Macroeconomia Avançada

Lista de exercícios Macroeconomia Prof Regis Augusto Ely Mestrado em Economia PPGOM Universidade Federal de Pelotas UFPel 18 de novembro de 2022 1 Considere uma economia com um grande número de indivíduos idênticos em que cada indivíduo possui uma árvore idêntica que vive infinitamente e produz frutos que equivalem a dt unidades de consumo onde dt é um processo markoviano invariante no tempo Denotando pt como o preço de uma árvore no período t e kt o estoque de árvores o problema de um indivíduo representativo é maxct E0 t0 βt ln ct 1 sa pt1 dt1kt1 pt1 pt dtkt yt ct 2 a Monte o funcional de Bellman do problema acima e calcule as condições de primeira ordem b Encontre e interprete a equação de Euler do problema c Construa as hipóteses necessárias para obter a partir do problema acima a hipótese de passeio aleatório para o preço da árvore O que esta hipótese nos diz d Dê uma solução recursiva para a equação de Euler e encontre uma expressão para o preço de uma árvore Explique essa expressão e Suponha agora que yt 0 t e que ct dt Como fica a solução recursiva da equação de Euler Como ela se difere da anterior 2 Considere o modelo de crescimento com poupança endógena em tempo discreto Existe um grande número de indivíduos iguais nessa economia cujas decisões de poupança e consumo podem ser representadas pelo problema de um planejador central benevolente maxct t0 βt ct1σ1σ 3 sa kt1 ktθ 1δ kt ct 4 a Monte o funcional de Bellman e calcule as condições de primeira ordem do problema b Encontre a equação de Euler Podemos resolvêla recursivamente se tivermos apenas o valor de k0 Se não qual outra condição que se faz necessária c Encontre os possíveis estados estacionários desse problema d No caso em que σ 1 e V0 0 construa expressões para a função valor e a regra de decisão faltando 1 e 2 horizontes de programação 3 Considere o modelo de crescimento da questão anterior mas agora introduzimos uma oferta de trabalho elástica e choques de produtividade Dessa forma obtemos o seguinte modelo básico de ciclos reais maxctht t0 βt ct1σ1σ ht1φ1φ 5 sa kt1 At ktθ ht1θ 1δ kt ct 6 At At1ρ eεt εt iid0σε2 7 k0 dado 8 a Monte o funcional de Bellman e encontre as condições de primeira ordem b Encontre e interprete a equação de Euler c Calcule o estado estacionário d Monte o mesmo problema em uma economia descentralizada e defina o equilíbrio competitivo recursivo A partir do modelo da questão anterior podemos pensar no caso em que as horas trabalhadas não são medidas fracionadas sendo que os indivíduos podem trabalhar ĥ ou zero horas Com base nessa idéia responda a Construa o modelo de trabalho indivisível a partir do modelo básico de RBC Quais são as hipóteses necessárias e como podemos montar o problema de uma maneira similar a anterior b Resolva o problema exposto no item a supondo uma função de utilidade logarítmica no consumo e uma tecnologia CobbDouglas Não esqueça de encontrar as CPOs a equação de Euler e o estado estacionário 5 Considere o seguinte problema de um agente representativo que busca maximzar o sua utilidade intertemporal maxctht t0 βt uct1ht 9 sa yt Afktht 10 yt ct it 11 sjt1 sj1t 12 it j1J bj sjt 13 kt1 1δkt s1t 14 onde u e f são funções côncavas crescentes e duas vezes continuamente diferenciáveis βδ 01 j1J bj1 e as condições iniciais são k0 e sj0 com j1J1 Observe também que pelas restrições temos it j1J bj sjt j1J bj s1tj1 j1J bj ktj 1δktj1 15 a Encontre as equações de primeira ordem e a equação de Euler desse problema b Interprete o problema acima e a condição de substituição intertemporal que você encontrou no item a Macroeconomia 1 a Funcional de Bellman e Condições de Primeira Ordem 1º passo Formular o funcional de Bellman O problema envolve maximizar a utilidade de consumo ao longo do tempo max E0 Σ βⁱ lnct sujeito à restrição dinâmica pt1 dt1 kt1 pt dt kt yt ct pt O funcional de Bellman pode ser escrito como Vpt kt yt max lnct βEt Vpt1 kt1 yt1 ct 2º passo Reescrever a Restrição em termos kt1 Podemos reescrever a restrição para encontrar explicitamente kt1 kt1 1 pt1 dt1 pt dt kt yt ct pt 3º passo derivar o problema de Otimização O objetivo é maximizar lnct βEt Vpt1 kt1 yt1 Derivamos com relação a ct e introduzimos um multiplicador de Lagrange λt A função Lagrange é L lnct βEt Vpt1 kt1 yt1 λt pt1 dt1 kt1 pt1 dt1 pt pt dt kt yt ct A condição de primeira ordem com relação a ct é dada por Lct 1ct λt pt1 dt1 pt 0 Assim temos λt 1ct pt pt1 dt1 b Equação de Euler A equação de Euler é obtida ao igualar as derivadas da função utilidade em dois períodos consecutivos Consideramos as condições de primeira ordem para t e t1 Para o período t 1ct λt pt pt1 dt1 Para o período t1 1ct1 β Et λt1 pt1 pt2 dt2 Substituindo λt na equação t1 obtemos 1ct β Et 1ct1 pt pt1 dt1 Essa é a equação de Euler para o problema c Hipótese de processos aleatórios Para obter a hipótese de processos aleatórios devemos assumir que o preço da árvore é imprevisível e segue um processo de passos aleatórios Formalmente isso implica que pt1 pt εt onde ε é um termo de ruído aleatório com média zero e variância constante Isso significa que o preço da árvore depende apenas no período anterior mais um componente de incerteza d Solução recursiva da equação de Euler e expressão para o preço A equação de Euler derivada em 1b fornece uma relação recursiva entre ct ct1 pt e pt1 Podemos resolver essa relação recursivamente para encontrar uma expressão para o preço pt A expressão para o preço dependerá da forma exata da função utilidade e da natureza dos choques e Impacto de yt 0 e ct dt Se assumirmos que yt 0 para todos os t e que ct dt a equação de Euler será simplificada pois o consumo ct é igual à produção de frutos dt Nesse caso a solução recursiva muda pois não há mais renda exógena yt influenciando as decisões de consumo de consumo 2 a Funcional de Bellman e condições de primeira ordem 1º passo Formular o funcional de Bellman Vkt max ct1σ 1σ β Vkt1 ct sujeito à restrição dinâmica kt1 ktθ 1 δ kt ct 2º passo Expressar a função Lagrangeana L ct1σ 1σ β Vkt1 λt ktθ 1δ kt ct kt1 onde λt é o multiplicador de Lagrange associado à restrição dinâmica 3º passo derivar as condições de 1a ordem As condições de primeira ordem são obtidas derivando L em relação a ct e kt1 Derivada com relação a ct Lct ctσ λt 0 λt ctσ Derivada com relação a kt1 Lkt1 λt β Vkt1kt1 0 λt β Vkt1kt1 b Equação de Euler Combinando as condições de primeira ordem obtemos ctσ β Vkt1kt1 Derivando Vkt1 com relação a kt1 e substituindo λt obtemos a equação de Euler ctσ β Et ct1σ 1 δ θ kt1θ1 c Estados estacionários No estado estacionário todas as variáveis se tornam constantes ao longo do tempo ou seja ct c rt r kt1 k Portanto a equação de Euler no estado estacionário é cσ β cσ θ kθ1 1 δ Cancelando cσ dos dois lados obtemos 1βθkθ11δ Rearranjando encontramos a expressão para o capital no estado estacionário kθ1 frac1β 1 δ d Função Valor e regra de Decisão para σ1 e V00 Quando σ1 a função utilidade se transforma em uma função logarítmica uct ln ct Portanto o funcional de Bellman é reescrito como Vkt maxct ln ct βVkt1 com a restrição kt1 ktθ 1δkt ct Solução com 1 horizonte de programação com apenas um horizonte um período à frente a função valor é dada por V1kt lnct A regra de decisão é dada maximizando ln ct sujeito à restrição Isso resulta em ct ktθ 1δkt kt1 Solução com 2 horizonte de programação V2kt maxct lnct β lnct1 Sujeito à restrição de transição para kt1 e kt2 podemos resolver o problema iterativamente para encontrar a regra de decisão ótima 3 a funcional de Bellman e condições de Primeira Ordem 1 passo formular o funcional de Bellman Vtkt At max fracct1σ1σ fracht1φ1φ βEtVkt1 At1 2 passo trazer a restrição de transição para kt1 kt1 At ktθ ht1σ 1δkt ct 3 passo função Lagrangeana mathcalL fracct1σ1σ fracht1φ1φ βEtVkt1 At1 λt At ktθ ht1σ 1δkt ct kt1 onde λt é o multiplicador de Lagrange associado à restrição de transição 4 passo Condições de primeira ordem derivada em relação a ct fracmathcalLct ctσ λt 0 λt ctσ derivada com relação a ht fracmathcalLht htφ λt 1θ At ktθ htθ 0 Substituindo λt obtemos a condição ótima para ht htφ ctσ 1θ At ktθ htθ derivada com relação a kt1 fracmathcalLkt1 λt β fracVkt1 At1kt1 0 λt β fracVkt1 At1kt1 b Equação de Euler Para derivar a equação de Euler combinamos as condições de primeira ordem para λt e λt1 Temos ctσ βEtct1σ θ At1 kt1θ1 ht11σ 1 δ c estado estacionário No estado estacionário todas as variáveis são constantes ou seja ct c kt k ht h At A kt1 k Portanto a equação de Euler no estado estacionário é cσ β cσ θ A kθ1 h1σ 1 δ cancelando cσ dos dois lados obtemos 1 β θ A kθ1 h1σ 1 δ Essa é a condição de equilíbrio no estado estacionário Podemos resolver para k e h dado A θ β e δ d Economia descentralizada e equilíbrio competitivo recursivo Para economia descentralizada consideramos um problema em que indivíduos maximizam sua utilidade e firmas maximizam lucros As firmas produzem de acordo com a função de produção yt At ktθ ht1θ Problema das famílias As famílias maximizam maxct ht βt fracct1σ1σ fracht1φ1φ sujeito à restrição orçamentária ct kt1 wt ht xt kt 1δ kt onde wt é o salário real e xt é o retorno do capital Problema das firmas As firmas maximizam o lucro maxht kt At ktθ ht1θ wt ht xt kt As condições de primeira ordem para as firmas fornecem condição para o capital xt θ At ktθ1 ht1θ condição para o trabalho wt 1 θ At ktθ htθ Equilíbrio competitivo recursivo As condições de primeira ordem dos problemas das famílias e firmas são satisfeitas juntamente com a restrição de transição para kt1 Além disso os mercados de trabalho devem estar em equilíbrio ou seja ct kt1 At ktθ ht1θ 1δ kt 4 a Construção de Modelos de Trabalho Individual No modelo de trabalho indivisível os indivíduos escolhem entre uma quantidade fixa de horas ht ou não trabalhar 0 horas Nesse caso a função de utilidade dos indivíduos precisa ser ajustada para refletir essa característica Modelo baseado no RBC Real Business Cycle Consideramos as seguintes hipóteses para o modelo 1 Os indivíduos têm uma função de utilidade separável no consumo e uma tecnologia CobbDouglas 2 As horas de trabalho não são fracionadas ou seja o indivíduo trabalha h horas ou zero horas 3 A função é dada por yt At ktθ ht1σ onde Ht representa o número de horas trabalhadas na economia Problema do indivíduo O problema do indivíduo representativo pode ser formulado como max CtHt E0 βt lnct Ht1θ1θ Sujeito à restrição de acumulação de capital kt1 1δkt yt Ct condições para um Modelo de Trabalho Indivisível 1 O tempo de trabalho Ht é indivisível então o equilíbrio pode escolher trabalhar um valor fixo h ou não trabalhar 2 A função utilidade deve ser ajustada para refletir a escolha entre trabalhar uma quantidade fixa de horas ou não trabalhar a Solução do problema com função de utilidade logarítmica e tecnologia CobbDouglas Problema do indivíduo com função logarítmica A função é dada por max CtHt E0 βt lnct Ht1θ1θ Função Lagrangeana A função Lagrangeana para este problema é L t0 βt lnCt Ht1θ1θ λt1δkt yt Ct kt1 condições de 1ª ordem CPOs Derivando em relação a Ct LCt 1Ct λt 0 λt 1Ct Derivando em relação a Ht LHt Htθ λt1θAktα Htθ 0 Substituindo λt obtemos Htθ 1θAktαCt Htθ Equação de FuIver A equação de fuIver é obtida combinando as condições de primeira ordem para Ct e Ct1 1Ct βEt 1Ct1 θAt1 kt1α Ht1θ 1 δ 5 a Equação de primeira ordem e Equação de fuIver max Ctit t0 βt uCt1 ht Sujeito às restrições 1 yt Atkt ht onde At é um fator de produtividade ed é a função de produção 2 yt Ct it onde it é o investimento 3 δjt1 δjt1 para todas as fontes de investimento j12j1 4 O investimento é distribuído de acordo com os coeficientes bj de modo que it j1 δjt1 bj δjt 5 A acumulação de capital é dada por kt1 1 δkt 5ht Função Lagrangeana L t0 βt u ct1 ht λt At kt ht Ct j1 δjt zj jt μt δ1t 1 δkt kt1 condições de Primeira Ordem CPOs derivando em relação a Ct LCt uCt λt 0 Lht u1ht λt Atht 0 derivando em relação a ht derivando em relação a kt1 Lkt1 μt β Lkt 0 μt β Lkt b Interpretação do Problema e condição de Substituição Intertemporal A condição de substituição intertemporal reflete a relação entre o consumo presente e futuro A equação de fuIver para este problema estabelece a taxa δ qual o agente está disposto a traçar consumo ao longo do tempo dando o retorno do capital Ela é derivada combinada as CPOs para Ct e Ct1 μCt βEt μCt1 Atkt 1 δ