Flexão em Resistência dos Materiais II

Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 3 Flexão Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado 31 Revisão Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 32 A fórmula da flexão O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro I My σ σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Quando desenvolvemos a fórmula da flexão impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro Agora veremos como fica a fórmula da flexão para uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção 33 Flexão Reta ou Normal Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 34 Flexão Oblíqua Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal em termos gerais como y y z z I z M I M y σ σ tensão normal no ponto y z coordenadas do ponto medidas em relação a x y z My Mz componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos y e z Iy Iz momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z Momento aplicado arbitrariamente Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ 0 Temos IMPORTANTE utilizar um sistema x y e z orientado pela regra da mão direita Ângulo 𝜭𝜭 sentido do z para y até encontrar o M Ângulo α sentido do z para y até encontrar LN ou seja horário positivo antihorário negativo Orientação do eixo neutro y z z y M z M y 0 I I y z z y M z M y I I y z z y M I z y M I z y y Msen I z Mcos I θ θ z y y tg I z I θ z y I tg α I tg θ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Exemplo 1 A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento fletor M12kNm Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia uma vez que são os eixos de simetria para a seção transversal O momento decomposto em suas componentes y e z onde Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são 412 960 5 312 720 5 y z M kNm kNm M kNm kNm 3 3 4 3 3 4 1 02 04 1067 10 12 1 04 02 0267 10 12 z y I m I m y z z y M z M y I I σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Tensão de flexão 3 3 3 4 3 4 960 10 01 72 10 02 1067 10 0267 10 225 MPa y z z y B B M z M y I I Nm m Nm m m m σ σ σ 3 3 3 4 3 4 960 10 01 72 10 02 1067 10 0267 10 495 MPa C C Nm m Nm m m m σ σ 3 3 3 4 3 4 960 10 01 72 10 02 1067 10 0267 10 225 MPa D D Nm m Nm m m m σ σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 3 3 4 3 4 960 10 01 72 10 02 1067 10 0267 10 495 MPa E E Nm m Nm m m m σ σ 225 495 02 045 225 495 00625 MPa MPa z m z z z z m Orientação do eixo neutro a localização do z do eixo neutro NA pode ser determinada por cálculo proporcional Ao longo da borda BC exigese Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 4 3 4 tg tg 1067 10 tg tg531 0267 10 794 3069 z y I I m m α θ α α Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Exemplo 2 Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm Determine a tensão normal máxima na viga Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ambas as componentes do momento são positivas Temos 7 50 kNm sen30 15 1299 kNm cos30 15 z y M M Para propriedades da seção temos 0 0890 m 20 0 03 0 04 10 20 0 03 0115 0 04 10 0 05 A zA z Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Pelo teorema dos eixos paralelos os principais momentos da inércia são 4 6 2 3 2 3 4 6 3 3 m 1392 10 0 089 0115 0 03 20 0 03 20 12 1 0 05 0 089 0 04 10 10 0 04 12 1 m 205310 20 0 03 12 1 0 04 10 12 1 y z I I Ad2 I I A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C 3 3 6 6 75 10 01 1299 10 0041 2053 10 1392 10 748 MPa y z z y B B M z M y I I σ σ σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 68 6 tg60 1392 10 205310 tg 6 6 α α 6 6 75 002 1299 0089 903 MPa 2053 10 1392 10 C C σ σ tg 300 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Exercício de fixação extra Uma viga de madeira de seção transversal retangular está simplesmente apoiada em um comprimento L O eixo longitudinal da viga é horizontal e a seção transversal está inclinada em um ângulo θ A carga na viga é uma carga vertical uniforme de intensidade q agindo através do centroide C Determine a orientação da linha neutra e calcule as tensões normais máxima de tração e compressão se b80mm h 140mm L175m θ 225 e q75kNm Respostas σmáx175MPa e LN 517 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada na figura Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A B e D Respostas Exercício de fixação 1001 2493 e 1001 A B D MPa MPa MPa σ σ σ y z z y M z M y I I σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 35 Cargas combinadas Flexão carga axial Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado em uma estrutura sobre um rio A viga sofre flexão normal ou reta Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno sofre compressão Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Exemplo de flexão oblíqua composta mesa de quatro pés Analisando um dos pés vemos que chegam duas traves vigas e são pregadas Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Uma força de 15000 N é aplicada à borda do elemento Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C Exemplo 3 15000 50 750000 z M Para equilíbrio na seção é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750000 Nmm em torno do eixo z My é nulo C B y z Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 3 15000 750000 50 1 100 40 40 100 12 375 MPa 1125 MPa 15MPa 15000 750000 50 1 100 40 40 100 12 375 MPa1125 MPa 75MPa C C B B N Nmm mm mm mm mm mm N Nmm mm mm mm mm mm σ σ σ σ Para equilíbrio na seção é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750000 Nmm em torno do eixo z My é nulo y z x z y M M P y z A I I σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD Exemplo 4 40 02 8 40 04 16 z y y z M Pe kN m kNm M Pe kN m kNm Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Para a distribuição uniforme da tensão normal temos 3 3 40 8 16 02 04 08 04 08 04 04 08 12 12 125 kPa375kPa375kPa625kPa 125 kPa375kPa375kPa125kPa 125 kPa375kPa375kPa875kPa 125 kPa375kPa375k y z x z y A A B C D M M P y z A I I kN kNm kNm m m m m m m m m σ σ σ σ σ σ Pa125kPa 02 z 04 02 z 04 02 z04 02 z04 A y m m B y m m C y m m D y m m Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2 O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo Calcule as tensões normais que agem na seção transversal no corte aa nos pontos A e B Respostas Exercício de fixação 25 75 A B psi e psi σ σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Exercício de fixação extra Uma edificação é composta por três pavimentos cada um formado por uma laje de concreto de 4x6m com 15cm de espessura suportanto uma carga uniformemente distribuída de 15kNm2 Cada laje está apoiada em vigas de contorno com seção de 12x28cm as quais se apoiam em quatro pilares de 20x30cm nas extremidades da edificação Calcule as máximas tensões normais no pilar γ25kNm3 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único material e utilizar a fórmula 36 Vigas Compostas Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Se um momento for aplicado a essa viga então como ocorre a um material homogêneo a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão e por consequência as deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO material Método da seção transformada 1 2 E E σ ε σ ε Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de deformações 1 2 E n E 1 rígido 2 rígido Regra numerador o material que será substituído O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga 2 1 E n E Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Uma vez determinada a tensão da seção transformada ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 2 kNm determine a tensão normal nos pontos B e C Considere Emad 12 GPa e Eaço 200 GPa Exemplo 5 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço substituindo a madeira aço mad 006 150 9 mm b nb mm A localização do centroide eixo neutro é 0 03638 m 015 0 009 015 0 02 015 0 009 0 095 0150 0 02 0 01 A yA y A seção transformada é mostrada na figura ao lado mad aço 12 006 200 E n E Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Portanto o momento de inércia em torno do eixo neutro é 3 2 3 2 6 4 1 015 002 015 002 003638 001 12 1 0009 015 0009 015 0095 003638 12 9358 10 m LN I Aplicando a fórmula da flexão a tensão normal em B e C é 6 6 2 017 003638 286 MPa 9358 10 2 003638 778 MPa 9358 10 B C C M y I σ σ σ A tensão normal na madeira em B é 006 2856 171 MPa B B B n σ σ σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita à flexão pura com o momento M2kNm Respostas em módulo Exercício de fixação 200 100 aço lat E GPa E GPa aço máx 500MPa σ lat máx 250MPa σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4 A fim de reforçar a viga de aço colocouse entre seus flanges uma tábua de carvalho como mostra a figura abaixo Se a tensão normal admissível do aço é e da madeira qual momento fletor máximo que a viga pode suportar com e sem o reforçoO momento de inércia da viga de aço é e sua área da seção transversal é Respostas sem reforço M116kipin com reforço M172kipin Exercício de fixação 24 adm aço ksi σ 3 adm mad ksi σ 3 3 29 10 16 10 aço mad E ksi E ksi 4 203 zI in 879 2 A in Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 5 Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio formando a seção composta mostrada Usando os dados abaixo determinar o maior momento fletor permissível quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal Respostas M308kNm Exercício de fixação 160 adm lat MPa σ 100 adm alum MPa σ 70 Ealum GPa 105 Elat GPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Vigas de concreto armado Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 60 kNm determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto Considere Eaço 200 GPa e Econc 25 GPa Exemplo 6 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A área total de aço é 2 2 aço 982 mm 12 5 2 π A Exigese que o centroide se encontre no eixo neutro 2 3 3 aço 7 856 mm 982 2510 200 10 nA A 2 0 300 7856 400 0 2 5237 2094933 0 1209 mm 1733mm yA h h h h h h h 3 aço 3 conc 200 10 E n 8 E 25 10 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O momento de inércia da seção transformada calculado em torno do eixo neutro é 3 2 2 z 6 4 z 300 1209 1209 I 300 1209 7856 400 1209 12 2 I 78867 10 mm Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada a tensão normal máxima no concreto é 6 conc 6 4 máx conc máx 60 10 1209 78867 10 920 MPa z z Nmm mm M y I mm σ σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias aço conc aço 8 2123 16984 MPa n σ σ σ A tensão normal em cada uma das duas hastes é portanto 6 conc 6 4 60 10 400 1209 2123 MPa 78867 10 Nmm mm mm σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6 Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada 150mm colocadas a 20mm acima da face inferior da laje Os módulos de elasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço Sabendo se que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura da laje determinar a a máxima tensão no concreto b a tensão no aço Respostas Exercício de fixação conc máx 77 a MPa σ aço 1148 b MPa σ Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 7 A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço Se o esforço de tração admissível para o aço for e o esforço de compressão admissível para o concreto qual momento máximo M poderá ser aplicado à seção Supor que o concreto não suporta esforço de tração Resposta M11688kipin Exercício de fixação 40 adm aço ksi σ 3 adm conc ksi σ 3 3 29 10 38 10 aço conc E ksi E ksi