Capítulo 2: Torção em Resistência dos Materiais II

Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 2 Torção Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados 21 Revisão Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ip momento polar de inércia da área da seção max e p p Tr T I I ρ distância radial da linha central do eixo T torque interno resultante que age na seção τ tensão de cisalhamento máxima na superfície externa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ângulo de torção p TL I G G módulo de elasticidade ao cisalhamento L comprimento do eixo ϕ ângulo de torção rad Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento i i i pi i T L I G Convenção de sinais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado solicitação gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B A partir de uma análise de corpo livre da barra estaticamente indeterminado 1 A B T T T EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis 0 2 A AC B CB AB AC CB p p AC B A CB T L T L I G I G L T T L 22 Eixos Estaticamente Indeterminados Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Teremos um sistema A B AC B A CB T T T L T T L CB A AC B L T T Ll L T T Ll Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm Se for submetido aos dois torques determine as reações nos apoios fixos A e B Respostas TA345Nm e TB645Nm Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Ip é constante Resposta 163MPa Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3 O eixo de aço é composto por dois segmentos AC com diâmetro de 05in e CB com diâmetro de 1in Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lbft determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Gaço108103ksi Resposta τmax293ksi Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão Se um torque de T250Nm for aplicado em sua extremidade como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal GAÇO80GPa GLAT36GPa 23 Estruturas heterogêneas quanto aos materiais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 250 1 Aço LAT T T Nm A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão O equilíbrio exige Compatibilidade Exigese que o ângulo de torção na extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão visto que eles estão unidos Aplicando a relação cargadeslocamento temos AÇO LAT p TL I G AÇO LAT pAÇO AÇO pLAT LAT T L T L I G I G 4 3 2 4 4 3 2 2 10 36 10 2 20 10 80 10 AÇO LAT T T mm N mm mm mm N mm Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3333 2 AÇO LAT T T Resolvendo o sistema Pela fórmula da torção Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão aço Isso era de se esperar já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes 24272 728 AÇO LAT T Nm T Nm 3 4 728 10 10 463 2 10 LAT máx Nmm mm MPa mm 3 4 4 24272 10 20 206 2 20 10 AÇO máx Nmm mm MPa mm mm 3 4 4 24272 10 10 103 2 20 10 AÇO mín Nmm mm MPa mm mm max p Tr I Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão Se estiver preso a um dos apoio rígido determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade GAÇO75GPa e GLAT37GPa Respostas Exercício de fixação 000617rad Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 5Uma barra de aço sólida de diâmetro 12in está circundada por um tubo de diâmetro externo igual a 18in e diâmetro interno igual a 14in Tanto a barra como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma bem segura na extremidade B A barra composta que tem 20in de comprimento é torcida por um torque T4400lbin agindo na placa da extremidade Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no tubo e o ângulo de torção em graus da placa assumindo que o módulo de elasticidade do aço é G116x106psi Respostas Exercício de fixação 0507 308 462 barra tubo ksi ksi Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 24 Eixos maciços não circulares Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são Análise completa da teoria é apresentada em livros como Mathematical Theory of Elasticity I S Sokolnikoff 2ª Ed 109134 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são ab c1 c2 10 0208 01406 12 0219 01661 15 0231 01958 20 0246 0229 25 0258 0249 30 0267 0263 40 0282 0281 50 0291 0291 100 0312 0312 max 2 1 3 2 T c ab TL c ab G amaior lado bmenor lado a b Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O eixo de alumínio 6061T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm 002 rad Gal 26 GPa Exemplo 1 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T adm 3 2 3 3 3 adm 4 4 4 3 al 2 20 20 56 179200 Nmm1792Nm 40 46 12 10 46 002rad 24120 2412 40 26 10 2412 Nm T N T T a mm mm T mm TL T Nmm Nm N a G mm mm T Por comparação o torque é limitado devido ao ângulo de torção Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica Se for submetido ao carregamento de torção mostrado determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC Respostas Exercício de fixação BC AC máx máx 0955 1592 MPa MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 7Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas e o correspondente ângulo de torção em B sabendose que G26GPa e Respostas Exercício de fixação 225 0816 177 0901 a T kNm b T kNm adm 50MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é Para o ângulo de torção tAm T 2 méd τméd tensão de cisalhamento média T torque interno resultante na seção transversal t espessura do tubo Am área média contida no contorno da linha central t ds A G TL m 4 2 25 Tubos de parede fina com seções transversais fechadas Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento Considere Gal 26 GPa Exemplo 2 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O torque interno no ponto A é T 85 Nm 3 méd 2 méd 85 10 2 2 10 2500 17 m Nmm T tA mm mm MPa Para tensão de cisalhamento média 2 2 Am 50 2 500 mm A área sombreada é ds ds t ds A G TL m 1 4 3 2 3 3 2 mm 0196 10 10 26 10 2 500 4 10 51 10 85 4 Para ângulo de torção A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo Assim 4 3 0196 10 4 50 392 10 rad Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 8O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas Se está sujeito aos dois torques como mostrado determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E Considerar G38GPa Respostas Exercício de fixação A B 175 292 e 000626rad MPa MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 9Um torque de 12kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio que tem a seção mostrada na figura Determinar a tensão de cisalhamento da barra Respostas Exercício de fixação 444MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 10O tubo é feito de plástico tem 5mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T500Nm Respostas Exercício de fixação 96MPa