Listas de Exercícios

Tabela 1 Distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 Categorias Porcentagem das carcaças Fêmea 333 Macho castrado 667 Total 1000 Ao todo 667 das carcaças de bovinos abatidos pelo frigorífico eram de machos castrados Tabela 1 Ou seja aproximadamente 67 a cada 100 carcaças bovinas são de machos castrados Figura 1 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 A maioria das carcaças de bovinos abatidos pelo frigorífico era de machos castrados Figura 1 Figura 2 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 É também evidente ao interpretar a Figura 2 que a porcentagem de carcaças de bovinos machos castrados foi muito maior do a porcentagem de carcaças de fêmeas A Figura 3 proporciona a mesma interpretação Figura 3 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 11 Bioestatística Lista 1 de Exercícios 1 A carne bovina é uma importante fonte de proteína para alimentação humana Mas a qualidade do produto que chega ao consumidor pode ser afetada por diferentes fatores ao longo da cadeia produtiva Isso faz com que produtores frigoríficos e a indústria de alimentos avaliem as suas práticas constantemente para melhor atender as demandas de mercado Nesse contexto oa responsável técnico de uma planta frigorífica quer saber quais fatores pode utilizar para padronizar a qualidade das carcaças comercializadas Após consultar algumas publicações técnicocientíficas elea decidiu verificar se o sexo ou a idade daqueles animais abatidos pelo frigorífico afetam o acabamento cobertura de gordura das carcaças Para isso elea selecionou 172 dos 1147 animais que chegaram ao frigorífico para abate no mês de maio de 2023 Sabendo de tudo isso a Qual é a população em estudo b Qual a fonte dos dados c Cite duas limitações que podem motivar a utilização de uma amostra nessa investigação d Cite uma hipótese que pode ter motivado a investigação e Quais são as variáveis em estudo f Como podemos classificar essas variáveis 11 Bioestatística Lista 2 de Exercícios 1 Os dados a seguir são a categoria 1 fêmea 2 macho castrado de carcaças de 36 bovinos abatidos em um frigorífico 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a Construa uma tabela para resumir a distribuição desses dados b Elabore um gráfico para ilustrar a distribuição desses dados c O que você pode concluir ao interpretar esses dados 2 Os dados a seguir são o escores para o acabamento da carcaça 1 ausente 2 escasso 3 mediano 4 uniforme e 5 excessivo de 36 bovinos abatidos em um frigorífico 2 3 5 4 4 4 5 4 4 3 3 4 3 3 3 2 4 4 5 4 4 3 4 2 3 1 4 2 5 4 5 3 4 3 5 5 a Construa uma tabela para resumir a distribuição desses dados b Elabore um gráfico para ilustrar a distribuição desses dados c O que você pode concluir ao interpretar esses dados 3 Os dados a seguir são a espessura de gordura mm no contrafilé 12ª costela de 36 bovinos abatidos em um frigorífico 36 60 93 67 73 62 76 94 75 56 49 88 46 44 63 36 76 63 113 85 74 63 64 25 46 09 61 29 95 73 95 48 50 52 100 85 a Construa uma tabela para resumir a distribuição desses dados b Elabore um gráfico para ilustrar a distribuição desses dados c O que você pode concluir ao interpretar esses dados Tabela 1 Distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 Categorias Porcentagem das carcaças Fêmea 333 Macho castrado 667 Total 1000 Ao todo 667 das carcaças de bovinos abatidos pelo frigorífico eram de machos castrados Tabela 1 Ou seja aproximadamente 67 a cada 100 carcaças bovinas são de machos castrados Figura 1 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 A maioria das carcaças de bovinos abatidos pelo frigorífico era de machos castrados Figura 1 Figura 2 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 É também evidente ao interpretar a Figura 2 que a porcentagem de carcaças de bovinos machos castrados foi muito maior do a porcentagem de carcaças de fêmeas A Figura 3 proporciona a mesma interpretação Figura 3 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 UFPel IFM DME Prof Marco André Paldês da Costa email marcocostaufpeledubr 40 30 20 10 00 10 20 30 40 0 Tabela 1 Quantis e probabilidades para a distribuição Normal Padrão 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 050000 049601 049202 048803 048405 048006 047608 047210 046812 046414 01 046017 045620 045224 044828 044433 044038 043644 043251 042858 042465 02 042074 041683 041294 040905 040517 040129 039743 039358 038974 038591 03 038209 037828 037448 037070 036693 036317 035942 035569 035197 034827 04 034458 034090 033724 033360 032997 032636 032276 031918 031561 031207 05 030854 030503 030153 029806 029460 029116 028774 028434 028096 027760 06 027425 027093 026763 026435 026109 025785 025463 025143 024825 024510 07 024196 023885 023576 023270 022965 022663 022363 022065 021770 021476 08 021186 020897 020611 020327 020045 019766 019489 019215 018943 018673 09 018406 018141 017879 017619 017361 017106 016853 016602 016354 016109 10 015866 015625 015386 015151 014917 014686 014457 014231 014007 013786 11 013567 013350 013136 012924 012714 012507 012302 012100 011900 011702 12 011507 011314 011123 010935 010749 010565 010383 010204 010027 009853 13 009680 009510 009342 009176 009012 008851 008691 008534 008379 008226 14 008076 007927 007780 007636 007493 007353 007215 007078 006944 006811 15 006681 006552 006426 006301 006178 006057 005938 005821 005705 005592 16 005480 005370 005262 005155 005050 004947 004846 004746 004648 004551 17 004457 004363 004272 004182 004093 004006 003920 003836 003754 003673 18 003593 003515 003438 003362 003288 003216 003144 003074 003005 002938 19 002872 002807 002743 002680 002619 002559 002500 002442 002385 002330 20 002275 002222 002169 002118 002068 002018 001970 001923 001876 001831 21 001786 001743 001700 001659 001618 001578 001539 001500 001463 001426 22 001390 001355 001321 001287 001255 001222 001191 001160 001130 001101 23 001072 001044 001017 000990 000964 000939 000914 000889 000866 000842 24 000820 000798 000776 000755 000734 000714 000695 000676 000657 000639 25 000621 000604 000587 000570 000554 000539 000523 000508 000494 000480 26 000466 000453 000440 000427 000415 000402 000391 000379 000368 000357 27 000347 000336 000326 000317 000307 000298 000289 000280 000272 000264 28 000256 000248 000240 000233 000226 000219 000212 000205 000199 000193 29 000187 000181 000175 000169 000164 000159 000154 000149 000144 000139 30 000135 000131 000126 000122 000118 000114 000111 000107 000104 000100 31 000097 000094 000090 000087 000084 000082 000079 000076 000074 000071 32 000069 000066 000064 000062 000060 000058 000056 000054 000052 000050 33 000048 000047 000045 000043 000042 000040 000039 000038 000036 000035 34 000034 000032 000031 000030 000029 000028 000027 000026 000025 000024 35 000023 000022 000022 000021 000020 000019 000019 000018 000017 000017 36 000016 000015 000015 000014 000014 000013 000013 000012 000012 000011 37 000011 000010 000010 000010 000009 000009 000008 000008 000008 000008 38 000007 000007 000007 000006 000006 000006 000006 000005 000005 000005 39 000005 000005 000004 000004 000004 000004 000004 000004 000003 000003 Notas quantil inteiro e 1º decimal 1ª coluna da tabela 2º decimal cabeçalho das demais colunas 𝑃 demais células Lista 7 Lista 7 de Exercıcios de Bioestatıstica 1 Efeito anestesico da xilocaına a Modelo normal gaussiano A duracao do efeito anestesico pode ser descrita por uma distribuicao normal com media µ 20 minutos e desvio padrao σ 3 minutos Portanto se X e a variavel aleatoria que representa a duracao do efeito temos X N20 32 b Probabilidade do efeito durar pelo menos 23 minutos Para calcular PX 23 primeiro encontramos o escore z correspondente a X 23 z 23 µ σ 23 20 3 1 Usando a tabela da distribuicao normal padrao obtemos PZ 1 1 0 15866 084134 c Probabilidade do efeito durar no maximo 17 minutos Para calcular PX 17 encontramos o escore z correspondente a X 17 z 17 µ σ 17 20 3 1 E entao usamos a tabela da distribuicao normal padrao para obter PZ 1 que e igual a PZ 1 por simetria 0 15866 d Probabilidade do efeito durar entre 17 e 23 minutos A probabilidade P17 X 23 e a diferenca entre as probabilidades encon tradas nos itens b e c 084134 0 15866 068268 1 e Tempo maximo para 90 de chance do efeito anestesico Encontramos o escore z que corresponde a 90 da area sob a curva normal padrao Para uma distribuicao normal padrao esse valor e aproximadamente 128 Convertendo de volta para o tempo de efeito anestesico temos X z σ µ X 128 3 20 X 2384 Portanto o tempo maximo para garantir que 90 dos pacientes mantenham o efeito anestesico seria aproximadamente 2384 minutos 1 Questao 2 a Porcentagem de criancas com atraso significativo no de senvolvimento da linguagem Para calcular a porcentagem de criancas com IDL abaixo de 68 pontos usamos a pontuacao z z X µ σ 68 90 10 22 A porcentagem correspondente a essa pontuacao z e encontrada pela funcao de distribuicao acumulada normal padrao 0013903 b Porcentagem de criancas com necessidade de acompan hamento especial Para criancas com IDL entre 68 e 85 pontos calculamos as pontuacoes z para ambos os limites z68 68 90 10 22 z85 85 90 10 05 A porcentagem de criancas que necessitam de acompanhamento especial e a diferenca entre os valores da funcao de distribuicao acumulada para z85 e z68 02346 2 3 Solucao do Problema de Glicose no Sangue Dados do Problema Os nıveis de glicose no sangue sao normalmente distribuıdos com media µ de 90 mgdL e desvio padrao σ de 38 mgdL Indivıduos saudaveis tˆem nıveis de glicose no sangue entre 65 e 120 mgdL a Probabilidade de um indivıduo nao ser considerado saudavel Primeiro calculamos as pontuacoes z para os limites inferior e superior do intervalo saudavel zinferior 65 µ σ 65 90 38 06579 zsuperior 120 µ σ 120 90 38 07895 A probabilidade de um indivıduo estar no intervalo saudavel e P65 X 120 Pzinferior Z zsuperior Φzsuperior Φzinferior Usando a tabela da distribuicao normal padrao ou uma calculadora da dis tribuicao normal encontramos os valores para Φzinferior e Φzsuperior e entao calculamos Psaudavel Psaudavel Φ07895 Φ06579 05298 A probabilidade de um indivıduo nao ser considerado saudavel e o comple mento disso Pnao saudavel 1 Psaudavel 1 05298 04702 b Numero esperado de indivıduos saudaveis em um estudo com 6000 pacientes Agora usamos a probabilidade de um indivıduo ser saudavel para encontrar o numero esperado de indivıduos saudaveis em um estudo com 6000 pacientes Nesperado saudaveis Psaudavel 6000 05298 6000 317868 Portanto esperamos que aproximadamente 3179 pacientes sejam saudaveis em um estudo de 6000 pessoas 3 Lista 10 1 Questao 1 Dados do problema Media amostral x de colesterol total 148 mgdL Media populacional µ0 de colesterol total 150 mgdL Desvio padrao populacional σ 277 mgdL Tamanho da amostra n 50 Nıvel de significˆancia α 005 Erro Padrao da Media O erro padrao SE e calculado por SE σ n 277 50 Calculo do Erro Padrao SE 277 7071 3916 Calculo do ZScore Crıtico Para um teste de duas caudas com α 0 05 procuramos o zscore que captura a porcao central de 95 da distribuicao normal padrao O zscore crıtico zα2 e zα2 Φ11 α 2 Φ10975 Calculo do ZScore Crıtico zα2 196 1 Calculo da Margem de Erro Margem de Erro zα2 SE 196 3916 Margem de Erro 7676 Calculo do Intervalo de Confianca Limite Inferior µ0 Margem de Erro 150 7676 Limite Inferior 142324 Limite Superior µ0 Margem de Erro 150 7676 Limite Superior 157676 Calculo do ZScore para a Media Amostral z x µ0 SE 148 150 3916 z 2 3916 051 Calculo do ValorP pvalor 2 1 Φz pvalor 2 1 Φ051 pvalor 2 1 0695 pvalor 061 Conclusao Como o valorp 061 e maior que o nıvel de significˆancia α 0 05 nao temos evidˆencia suficiente para rejeitar a hipotese nula Portanto com base nos dados da amostra e no nıvel de significˆancia de 005 nao podemos concluir que o nıvel medio de colesterol total no sangue seja diferente para homens a partir dos 50 anos de idade 2 Questao 2 Teste de Hipotese para Eficacia da Vacina Dados do problema Proporcao esperada p0 de resposta imune adequada 67 Proporcao amostral ˆp de resposta imune adequada 300400 ou 75 Tamanho da amostra n 400 Nıvel de significˆancia α 005 2 IC95 148 196 SE IC95 148 196 SE 148 196 SE IC95 14032 15568 c Interpretação dos Intervalos de Confiança O intervalo de confiança de 90 nos diz que se calculessemos muitos desses intervalos da mesma maneira a partir de diferentes amostras esperaríamos que 90 deles contivessem a média verdadeira da população O intervalo de 95 é mais amplo refletindo maior certeza 95 de que contém a média verdadeira 1 Questão 2 Construção de Intervalos de Confiança para Proporção de Pessoas Imunizadas Dados do problema De uma amostra de 400 pessoas 300 estão imunizadas após receber uma vacina experimental Erro Padrão da Proporção O erro padrão da proporção é calculado como SE p1 p n onde p é a proporção amostral de pessoas imunizadas que é 300400 075 a Intervalo de Confiança de 90 O valor crítico para um intervalo de confiança de 90 é dado por z090 que corresponde ao percentil 95 da distribuição normal padrão considerando dois lados z090 Φ1095 O intervalo de confiança de 90 é então IC90 p z090 SE IC90 075 1645 SE IC90 07144 07856 3 Questão 3 Teste de Hipótese para Diferença de Pressão Arterial Sistólica Dados do problema Média para pessoas sem glaucoma μnormal 130 mmHg Desvio padrão para pessoas sem glaucoma σnormal 22 mmHg Tamanho da amostra para pessoas sem glaucoma nnormal 16 Média para pessoas com glaucoma μglaucoma 140 mmHg Desvio padrão para pessoas com glaucoma σglaucoma 25 mmHg Tamanho da amostra para pessoas com glaucoma nglaucoma 18 Nível de significância α 010 Cálculo da Diferença das Médias Diferença das Médias μglaucoma μnormal 140 130 10 mmHg Erro Padrão da Diferença das Médias SEdiferenca σNORMAL² nNORMAL σGLAUCOMA² nglaucoma SEdiferenca 22² 16 25² 18 SEdiferenca 484 16 625 18 SEdiferenca 3025 3472 SEdiferenca 6497 SEdiferenca 806 mmHg Cálculo do ZScore z Diferença das Médias SEdiferenca 10 806 z 124 Calculo do ValorP Para um teste unilateral direito o valorp e dado por pvalor 1 Φz pvalor 1 Φ124 pvalor 1 08926 pvalor 01074 Conclusao Como o valorp aproximadamente 01074 e maior que o nıvel de significˆancia α 010 nao temos evidˆencia suficiente para rejeitar a hipotese nula Por tanto nao podemos afirmar que a pressao arterial media de pessoas com glau coma e estatisticamente maior do que a de pessoas sem glaucoma ao nıvel de significˆancia de 010 5 Lista 9 Construcao de Intervalos de Confianca Dados do problema Uma amostra de 50 homens tem uma media amostral de colesterol total de 148 mgdL e um desvio padrao de 277 mgdL Estamos interessados em construir intervalos de confianca para a media verdadeira da populacao Erro Padrao O erro padrao da media e calculado como SE σ n 277 50 a Intervalo de Confianca de 90 O valor crıtico para um intervalo de confianca de 90 e z Φ1095 pois estamos olhando para a cauda superior de 5 z090 Φ1095 O intervalo de confianca e entao calculado como IC90 x z090 SE IC90 148 1645 SE IC90 148 1645 SE 148 1645 SE IC90 14156 15444 b Intervalo de Confianca de 95 O valor crıtico para um intervalo de confianca de 95 e z Φ10975 pois estamos olhando para as caudas superiores de 25 z095 Φ10975 O intervalo de confianca e entao calculado como IC95 x z095 SE 1 Erro Padrão da Proporção SE p01 p0 n Cálculo do Erro Padrão SE 067 033 400 SE 02211 400 SE 000055275 SE 002351 Cálculo do ZScore z p p0 SE z 075 067 002351 z 008 002351 z 34027 Cálculo do ValorP Para um teste de uma cauda o valorp é dado por pvalor 1 Φz Cálculo do ValorP pvalor 1 Φ34027 pvalor 1 09996664 pvalor 00003336 Conclusão Como o valorp aproximadamente 00003336 é menor que o nível de significância α 005 rejeitamos a hipótese nula Consequentemente há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a vacina atende à exigência do órgão de controle de uma resposta imune adequada em pelo menos 67 das pessoas vacinadas b Intervalo de Confianca de 99 De forma semelhante o valor crıtico para um intervalo de confianca de 99 e dado por z099 que corresponde ao percentil 995 da distribuicao normal padrao considerando dois lados z099 Φ10995 O intervalo de confianca de 99 e entao IC99 ˆp z099 SE IC99 075 2576 SE IC99 06942 08058 c Interpretacao dos Intervalos de Confianca Os intervalos de confianca fornecem um intervalo estimado dentro do qual a proporcao verdadeira e esperada estar com um certo grau de confianca O intervalo de confianca de 99 e mais amplo do que o de 90 o que indica que estamos mais confiantes de que a proporcao verdadeira de pessoas imunizadas esta dentro deste intervalo mas isso tambem implica uma maior margem de erro Construcao de Intervalos de Confianca para PAS Dados do problema Grupo de pessoas normais com media de PAS de 130 mmHg desvio padrao de 22 mmHg e tamanho de amostra de 16 Grupo de pessoas com glaucoma com media de PAS de 140 mmHg desvio padrao de 25 mmHg e tamanho de amostra de 18 Erro Padrao Para pessoas normais SEnormal σnormal nnormal 22 16 55 Para pessoas com glaucoma SEglaucoma σglaucoma nglaucoma 25 18 589 3 a Intervalo de Confiança de 95 para o grupo normal O valor crítico para um intervalo de confiança de 95 é z095 196 IC95normal μnormal z095 SEnormal IC95normal 130 196 55 IC95normal 130 1078 130 1078 IC95normal 11922 14078 b Intervalo de Confiança de 95 para o grupo com glaucoma IC95glaucoma μglaucoma z095 SEglaucoma IC95glaucoma 140 196 589 IC95glaucoma 140 1155 140 1155 IC95glaucoma 12845 15155 c Intervalo de Confiança de 95 para a diferença entre as médias Assumindo que ambos os grupos possuem a mesma variabilidade absoluta usamos uma estimativa combinada do desvio padrão SEdiferenca SE2normal nnormal SE2glaucoma nglaucoma SEdiferenca 552 16 5892 18 216 IC95diferenca μglaucoma μnormal z095 SEdiferenca IC95diferenca 140 130 196 216 IC95diferenca 10 423 IC95diferenca 577 1423 d Interpretação dos Intervalos de Confiança Os intervalos de confiança nos permitem estar 95 confiantes de que o verdadeiro valor médio da PAS para cada grupo está dentro dos respectivos intervalos A inclusão de zero no intervalo de confiança para a diferença entre as médias indica que não há diferença estatisticamente significativa entre os dois grupos com um nível de confiança de 95 Lista 7 Solucao do Problema de Estimativa do Colesterol Dados do problema A media µ do colesterol total em homens com 50 anos ou mais e de 1492 mgdL e o desvio padrao σ e de 277 mgdL Estamos interessados na distribuicao da media amostral de colesterol para uma amostra de tamanho 50 Erro Padrao da Media O erro padrao SE e calculado como SE σ n 277 50 a Probabilidade de uma media amostral maior que 155 mgdL Calculamos a pontuacao z para 155 mgdL z X µ SE 155 1492 SE A probabilidade de observar uma media maior que 155 mgdL e PX 155 1 PZ z 1 Φz 00694 b Probabilidade de uma media amostral menor que 147 mgdL Calculamos a pontuacao z para 147 mgdL z X µ SE 147 1492 SE A probabilidade de observar uma media menor que 147 mgdL e PX 147 Φz 02872 1 c Probabilidade de uma média amostral dentro de 3 mgdL da média verdadeira Calculamos as pontuações z para 1462 e 1522 mgdL zinferior 1462 μ SE zsuperior 1522 μ SE A probabilidade de a média amostral não diferir mais de 3 mgdL da média verdadeira é P1462 X 1522 Pzinferior Z zsuperior Φzsuperior Φzinferior 05562 Solução do Problema de Proporção de Imunizados Dados do problema Uma indústria farmacêutica afirma que 75 das pessoas vacinadas desenvolvem anticorpos Estamos interessados na distribuição da proporção amostral em uma amostra de 400 pessoas vacinadas Erro Padrão da Proporção O erro padrão da proporção SE é calculado como SE p1 p n 075 025 400 a Probabilidade de uma proporção amostral maior que 08 Calculamos a pontuação z para a proporção de 08 z p p SE 08 075 SE A probabilidade de observar uma proporção maior que 08 é Pp 08 1 PZ z 1 Φz 00105 b Probabilidade de uma proporção amostral não diferir mais que 5 pontos percentuais Calculamos as pontuações z para as proporções de 070 e 080 zinferior 070 p SE zsuperior 080 p SE A probabilidade de a proporcao amostral nao diferir mais que 5 pontos per centuais e P070 ˆp 080 Pzinferior Z zsuperior ΦzsuperiorΦzinferior 09791 3 Lista 6 Questao 1 Dados da distribuicao de probabilidade de lesoes de pele X em cobaias X 0 1 2 px 0189 0441 0343 a PX 0 A probabilidade de uma cobaia nao ter nenhuma lesao e dada diretamente pela tabela PX 0 0 189 b P1 X 3 Para calcular P1 X 3 somamos as probabilidades de X 1 X 2 e X 3 Como a soma das probabilidades de todos os possıveis valores de X deve ser igual a 1 temos PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 1 0 189 0 441 0 343 PX 3 1 0 973 PX 3 0 027 Entao P1 X 3 PX 1 PX 2 PX 3 P1 X 3 0 441 0 343 0 027 P1 X 3 0 811 1 c EX O valor esperado de X EX é a média ponderada dos valores que X pode assumir ponderada por suas probabilidades EX Σ x px EX 0 0189 1 0441 2 0343 3 0027 EX 0 0441 0686 0081 EX 1208 d VARX A variância de X VARX é a média dos quadrados dos valores que X pode assumir menos o quadrado da média de X VARX EX2 EX2 Primeiro calculamos EX2 EX2 Σ x2 px EX2 02 0189 12 0441 22 0343 32 0027 EX2 0 0441 1372 0243 EX2 2056 Agora calculamos VARX VARX EX2 EX2 VARX 2056 12082 VARX 2056 1459 VARX 0597 2 Probabilidade de Desenvolvimento de Câncer de Mama a Modelo Binomial para Descrever o Fenômeno Para modelar o desenvolvimento de câncer de mama até os quarenta anos de idade entre mulheres utilizamos o modelo binomial onde n representa o número de mulheres consideradas p 18 é a probabilidade de uma mulher desenvolver câncer de mama até os quarenta anos de idade X é a variável aleatória que representa o número de mulheres que desenvolvem câncer de mama A distribuição de probabilidade de X é então dada por PX k Cnk pk 1 pnk b Probabilidade de Pelo Menos Uma Mulher Ser Acometida pela Doença A probabilidade de pelo menos uma mulher em n ser acometida pela doença é dada por PX 1 1 PX 0 PX 1 1 n choose 0 p0 1 pn PX 1 1 1 pn Substituindo p por 18 temos PX 1 1 1 18n c Número Esperado de Mulheres Acometidas pela Doença O número esperado de mulheres ou o valor esperado EX para uma distribuição binomial é dado por EX n p Para n mulheres consideradas e p 18 o valor esperado é EX n 18 3 Modelagem de Casos de Malária com o Modelo de Poisson Dado que um país registra em média sete casos de malária por mês a Modelo de Poisson para Descrever o Fenômeno Podemos modelar o número de casos de malária usando o modelo de Poisson com a seguinte função de massa de probabilidade PX k eλ λk k onde λ é a média de casos por mês que é 7 b Probabilidade de Registrar um Caso de Malária ao Longo de um Mês A probabilidade de registrar exatamente um caso de malária é PX 1 e7 71 1 e7 7 000638 c Probabilidade de Registrar Ate Dois Casos de Malaria ao Longo de um Mˆes A probabilidade de registrar ate dois casos e a soma das probabilidades de registrar 0 1 ou 2 casos PX 2 PX 0 PX 1 PX 2 PX 2 e7 70 0 e7 71 1 e7 72 2 PX 2 e7 e7 7 e7 49 2 00296 d Probabilidade de Registrar um Caso de Malaria ao Longo de 15 Dias Se em media sao registrados sete casos por mˆes entao a media para 15 dias que e metade de um mˆes sera 7 2 ou 35 casos A probabilidade de registrar exatamente um caso em 15 dias e PX 1 e35 351 1 PX 1 e35 35 01056 4 Modelagem de Sındrome de Aspen com Modelo de Pois son a Descricao do Fenˆomeno com um Modelo de Poisson Para descrever a ocorrˆencia da Sındrome de Aspen em criancas utilizando o modelo de Poisson consideramos que as ocorrˆencias sao eventos raros e inde pendentes Seja X o numero de criancas diagnosticadas com a sındrome em um grande grupo de criancas A taxa media λ e o numero esperado de ocorrˆencias no grupo observado Neste caso λ 1 500 para um unico ensaio e para n criancas λ n 500 A probabilidade de ter k casos e dada por PX k eλλk k b Comparacao com o Modelo Binomial O modelo de Poisson serve como uma boa aproximacao do modelo Binomial quando o numero de ensaios n e grande e a probabilidade de sucesso em cada ensaio p e pequena de tal forma que o produto n p ou seja λ permanece constante Como a Sındrome de Aspen e rara p e pequeno e n pode ser muito grande indicando que a utilizacao do modelo de Poisson e uma aproximacao adequada 4 Lista 5 Questao 1 Dados das probabilidades percentuais de tipos sanguıneos e fatores Rh Fator Rh A B AB O 336 84 42 378 64 16 08 72 Table 1 Probabilidades de tipo sanguıneo e fator Rh a Probabilidade de um indivıduo com sangue tipo A encontrar um doador compatıvel Um indivıduo com tipo sanguıneo A pode receber sangue de indivıduos A ou O Portanto a probabilidade e a soma das probabilidades de A e O PA ou O PA PO PA ou O 33 6 37 8 PA ou O 71 4 b Probabilidade de um indivıduo com sangue tipo A ser Rh Para calcular a probabilidade de um indivıduo com tipo sanguıneo A ser Rh usamos a probabilidade condicional PRh Tipo A PA PA PA PRh Tipo A 33 6 33 6 6 4 PRh Tipo A 33 6 40 0 PRh Tipo A 0 84 ou 84 1 c Independência do fator Rh do tipo sanguíneo Para verificar a independência do fator Rh do tipo sanguíneo calculamos a razão entre as probabilidades Rh e Rh para cada tipo sanguíneo Se as razões forem aproximadamente constantes sugeriria que o fator Rh é independente do tipo sanguíneo Calculamos a razão entre Rh e Rh para cada tipo sanguíneo Para o tipo A Razão A PA PA 336 64 Para o tipo B Razão B PB PB 84 16 Para o tipo AB Razão AB PAB PAB 42 08 Para o tipo O Razão O PO PO 378 72 Se calculadas estas razões fornecem Razão A 525 Razão B 525 Razão AB 525 Razão O 525 Dado que as razões são consistentes entre os diferentes tipos sanguíneos isso indica que a probabilidade de um indivíduo ser Rh é proporcionalmente semelhante independentemente do tipo sanguíneo Portanto isso pode ser interpretado como uma evidência de que o fator Rh é de fato independente do tipo sanguíneo independência 2 Probabilidade de herança da doença a Qual é a probabilidade de apenas um dos filhos ser afetado A probabilidade de apenas um filho ser afetado é calculada considerando um filho afetado e o outro não em duas situações distintas o primeiro afetado e o segundo não e viceversa Pum filho afetado Pprimeiro afetado segundo não Pprimeiro não segundo afetado Pum filho afetado 14 34 34 14 Pum filho afetado 316 316 Pum filho afetado 616 Pum filho afetado 38 ou 375 b Qual é a probabilidade de nenhum deles ser afetado A probabilidade de nenhum dos filhos ser afetado é o produto das probabilidades de ambos não herdarem a doença Pnenhum afetado Pnão afetado Pnão afetado Pnenhum afetado 342 Pnenhum afetado 916 ou 5625 3 ELISA a Probabilidade de um resultado positivo na Prova do Laço dado que o indivíduo tem a doença sensibilidade do teste PPositivo no Laço Doença Verdadeiros Positivos Verdadeiros Positivos Falsos Negativos PPositivo no Laço Doença 774 774 3273 PPositivo no Laço Doença 774 4047 PPositivo no Laço Doença 01913 b Probabilidade de um resultado negativo na Prova do Laço dado que de fato não é portador da doença especificidade do teste PNegativo no Laço Sem doença Verdadeiros Negativos Verdadeiros Negativos Falsos Positivos PNegativo no Laço Sem doença 5000 5000 789 PNegativo no Laço Sem doença 5000 5789 PNegativo no Laço Sem doença 08637 Lista 4 Respostas da Lista 4 de Exercícios de Bioestatística Questão 1 Considere uma gaiola com 10 ratos onde 4 são geneticamente modificados para serem hipertensos e 6 são normais a Sem reposição A probabilidade de escolher dois ratos hipertensos um após o outro e sem reposição é o produto da probabilidade de escolher um rato hipertenso na primeira tentativa e a probabilidade de escolher um rato hipertenso na segunda tentativa dado que o primeiro já foi escolhido Pdois hipertensos sem reposição Pprimeiro hipertensoPsegundo hipertenso primeiro hipertenso Pdois hipertensos sem reposição 410 39 Pdois hipertensos sem reposição 0133 ou 1333 b Com reposição A probabilidade de escolher dois ratos hipertensos um após o outro e com reposição é o produto das probabilidades independentes de escolher um rato hipertenso em cada tentativa Pdois hipertensos com reposição Pprimeiro hipertensoPsegundo hipertenso Pdois hipertensos com reposição 410 410 Pdois hipertensos com reposição 0160 ou 16 c Simultaneamente A probabilidade de escolher dois ratos hipertensos simultaneamente é calculada usando combinações sem considerar a ordem Pdois hipertensos simultaneamente 4 choose 210 choose 2 Pdois hipertensos simultaneamente 6 45 Pdois hipertensos simultaneamente 0133 ou 1333 Questao 2 Dados da distribuicao conjunta do estado nutricional e do sexo dos indivıduos Estado nutricional Masculino Feminino Normal 16 19 Sobrepeso 27 18 Obeso 12 8 Table 1 Distribuicao conjunta do estado nutricional e do sexo Somamos os totais de cada categoria para encontrar a probabilidade de cada evento Total de homens 16 27 12 55 Total de mulheres 19 18 8 45 Total de indivıduos 55 45 100 a Ser homem A probabilidade de um indivıduo ser homem e o total de homens dividido pelo total de indivıduos Phomem 55 100 0 55 b Ser mulher e ser obeso A probabilidade de um indivıduo ser mulher e obeso e o numero de mulheres obesas dividido pelo total de indivıduos Pmulher e obeso 8 100 0 08 c Ser homem e nao ser obeso A probabilidade de um indivıduo ser homem e nao ser obeso e a soma dos homens normais e com sobrepeso dividida pelo total de indivıduos Phomem e nao obeso 16 27 100 0 43 d Nao ser homem ou nao ser obeso A probabilidade de um indivıduo nao ser homem ou nao ser obeso e o comple mento da probabilidade de ser homem e ser obeso Pnao homem ou nao obeso 1 Phomem e obeso 2 Pnao homem ou nao obeso 1 12 100 0 88 Questao 3 Dados do problema PM 010 Probabilidade da mae ter gripe PP 010 Probabilidade do pai ter gripe PM P 002 Probabilidade de ambos mae e pai terem gripe PF F 010 Probabilidade de ambos os filhos terem gripe a A chance da mae ter gripe depende do pai ter contraıdo a doenca PMP PM P PP 002 010 020 b Qual e a probabilidade de pelo menos um filho ter gripe Ppelo menos um filho 1 1 0202 1 064 036 c Qual e a probabilidade de o pai ter gripe dado que a mae tambem contraiu a doenca PPM PM P PM 002 010 020 d Qual e a probabilidade de o pai ter gripe sabendo que a mae nao contraiu a doenca PPM PP PM P 1 PM 008 090 00889 3 Tabela 1 Distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 Categorias Porcentagem das categorias Fêmea 333 Macho castrado 667 Total 1000 Figura 1 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 Lista 3 Respostas da Lista 3 de Exercícios de Bioestatística Questão 1 Dada a amostra da densidade mineral óssea do colo do fêmur de mulheres 0903 0866 0847 0657 1115 0997 0943 0861 1114 Calculamos a média x da amostra como x xin Substituindo os valores obtemos x 0903 0866 0847 0657 1115 0997 0943 0861 11149 x 83039 x 0923 O desvio padrão s para uma amostra é calculado por s xi x²n 1 Onde xi são os valores da amostra x é a média da amostra e n é o tamanho da amostra Substituindo os valores calculados s 0143 Com a média e o desvio padrão calculados o pesquisador pode concluir que a densidade mineral óssea média do colo do fêmur na amostra de mulheres é de 0923 gcm² com um desvio padrão de 0143 indicando a variabilidade das medidas em torno da média Questão 2 Medidas resumo dos grupos Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Média 122 120 128 130 Desvio padrão 22 25 26 20 a Qual grupo apresenta a menor variabilidade absoluta Justifique A menor variabilidade absoluta é indicada pelo menor desvio padrão Portanto o grupo com a menor variabilidade absoluta é o Grupo D com um desvio padrão de 20 b Qual grupo apresenta a maior variabilidade relativa Justifique A variabilidade relativa pode ser avaliada pelo coeficiente de variação CV que é o desvio padrão dividido pela média do grupo multiplicado por 100 para expressálo em porcentagem O grupo com a maior variabilidade relativa é aquele com o maior CV Calculamos os CVs da seguinte maneira CVGrupo A 22122 100 1803 CVGrupo B 25120 100 2083 CVGrupo C 26128 100 2031 CVGrupo D 20130 100 1538 Com base nesses cálculos o grupo com a maior variabilidade relativa é o Grupo B com um CV de aproximadamente 2083 Questão 3 Os dados a seguir são uma amostra dos níveis de colesterol mgdL de funcionários de um hospital que concordaram em adotar uma dieta vegetariana por um mês 146 155 178 146 208 147 202 315 184 Construímos um gráfico de caixas para visualizar a distribuição dos níveis de colesterol da amostra b Coeficiente de curtose Para calcular o coeficiente de curtose G2 usamos a fórmula G2 nn1 n1n2n3 Σ xi x s4 3n12 n2n3 Substituindo os valores calculados na fórmula de curtose G2 9 10 919293 Σ xi 3011 05374 3 82 9293 G2 90 336 192 28 1875 Estes cálculos mostram que a distribuição dos pesos tem uma ligeira assimetria positiva G1 0338 e é mais achatada do que a normal com caudas mais leves G2 1875 Questão 4 Dados de peso dos bebês recémnascidos em quilogramas 25 35 24 36 26 38 28 33 26 a Coeficiente de assimetria Para calcular o coeficiente de assimetria G1 utilizamos a fórmula G1 n n 1n 2 Σ xi x s3 Calculamos a média x dos dados x 25 35 24 36 26 38 28 33 26 9 271 9 3011 E o desvio padrão s dos dados s Σxi x2 n 1 s 25 30112 26 30112 8 0537 Substituindo na fórmula do coeficiente de assimetria G1 9 9 19 2 Σ xi 3011 05373 G1 9 56 0338 Lista 2 1 Questao 1 Analise dos Dados de Bovinos Abatidos Os dados a seguir representam a categoria de carcacas de bovinos abatidos 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 onde 1 representa fˆemea e 2 representa macho castrado a Tabela de Distribuicao A tabela a seguir resume a distribuicao dos dados Categoria Frequˆencia 1 Fˆemea 16 2 Macho castrado 20 b Grafico de Barras O grafico a seguir ilustra a distribuicao dos dados 1 c Conclusao A partir dos dados e do grafico de barras concluımos que ha uma maior quan tidade de carcacas de bovinos machos castrados do que de fˆemeas no frigorıfico em questao Isto pode indicar uma preferˆencia ou um padrao de abate que favorece os machos castrados sobre as fˆemeas 2 Questao 2 Analise dos Dados de Acabamento da Carcaca Os dados a seguir representam os escores para o acabamento da carcaca de bovinos abatidos 2 3 5 4 4 4 5 3 3 4 3 3 3 2 4 4 5 4 4 3 4 2 3 3 1 4 2 5 4 5 3 4 3 5 5 onde 1 indica acabamento ausente 2 e escasso 3 e mediano 4 e uniforme e 5 e excessivo a Tabela de Distribuicao A tabela a seguir resume a distribuicao dos escores de acabamento 2 Escore de Acabamento Frequˆencia 1 ausente 1 2 escasso 4 3 mediano 11 4 uniforme 12 5 excessivo 7 Table 1 Distribuicao dos escores de acabamento da carcaca b Grafico de Barras c Conclusao Analisando a tabela e o grafico podemos observar que a maioria das carcacas possui um acabamento mediano a uniforme A menor frequˆencia de acaba mento ausente ou escasso indica um processo de acabamento eficaz Contudo a presenca de escores com acabamento excessivo sugere a possibilidade de aper feicoamento na uniformidade desse processo 3 3 Questao 3 Analise da Espessura da Gordura de Bovinos Abati dos Dados coletados da espessura de gordura no contrafile 12ª costela de 36 bovi nos abatidos em um frigorıfico sao apresentados abaixo a Tabela de Distribuicao A tabela de distribuicao da espessura da gordura e Intervalo de Espessura mm Frequˆencia 0025 2 2550 9 5075 14 75100 10 100125 1 Table 2 Distribuicao da Espessura da Gordura b Grafico de Barras 4 c Conclusao Analisando a tabela e o grafico de barras podemos concluir que a espessura da gordura na maioria das carcacas esta no intervalo de 50 a 75 mm Ha uma menor frequˆencia de espessuras muito finas 00 a 25 mm e muito espessas 100 a 125 mm Este padrao sugere um controle de qualidade na espessura da gordura possivelmente visando um padrao especıfico de acabamento 5 Lista 1 Respostas da Lista 1 de Exercıcios de Bioestatıstica a A populacao em estudo referese ao conjunto total de animais que podem ser abatidos pelo frigorıfico isto e todos os 1147 animais que chegaram ao frigorıfico para abate no mˆes de maio de 2023 b A fonte dos dados e provavelmente um registro interno do frigorıfico que documenta informacoes dos animais que chegam para abate incluindo detalhes sobre sexo idade e a condicao das carcacas c Duas limitacoes que podem justificar a utilizacao de uma amostra nessa investigacao sao i Restricoes de recursos como tempo e custo que podem tornar inviavel a analise de todos os 1147 animais ii O risco de danos ou alteracoes nas carcacas durante uma analise completa o que poderia interferir na producao e comercializacao d Uma hipotese que pode ter motivado a investigacao e que o sexo e a idade dos animais abatidos influenciam significativamente a qualidade da cobertura de gordura das carcacas afetando a qualidade do produto final consumido pelos humanos e As variaveis em estudo sao Sexo dos animais variavel categorica nominal Idade dos animais variavel quantitativa contınua ou discreta depen dendo de como e medida Qualidade da cobertura de gordura das carcacas variavel quantita tiva contınua ou categorica ordinal baseada na classificacao f As variaveis podem ser classificadas da seguinte forma O sexo e uma variavel categorica nominal pois categoriza sem nen huma ordem intrınseca A idade e uma variavel quantitativa que pode ser contınua ou disc reta 1 A qualidade da cobertura de gordura das carcacas e uma variavel quantitativa contınua ou categorica ordinal baseada na medicao ou classificacao utilizada 2 Tabela 1 Distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 Categorias Porcentagem das categorias Fêmea 333 Macho castrado 667 Total 1000 Figura 1 Gráfico para a distribuição das categorias de carcaças de bovinos abatidos em um frigorífico em maio de 2023 11 Bioestatística Lista 7 de Exercícios 1 Adaptado de Arango 2011 Estudos sugerem que o efeito anestésico local de uma determinada concentração de xilocaína dura em média 20 minutos No entanto essa medida de tempo é em média 3 minutos maior ou menor do que a duração média do efeito anestésico Sabendo disso a Como podemos descrever esse fenômeno utilizando um modelo normal gaussiano b Qual a probabilidade do efeito anestésico durar pelo menos 23 minutos c Qual a probabilidade do efeito anestésico durar no máximo 17 minutos d Qual a probabilidade do efeito anestésico durar de 17 a 23 minutos e Qual deve ser o tempo máximo de uma intervenção cirúrgica para assegurar 90 de chance do efeito anestésico local 2 Adaptado de Martinez 2015 Alterações específicas do desenvolvimento da linguagem devem ser identificadas precocemente para minimizar dificuldades de socialização ou de formação escolar em crianças Pesquisadores propuseram um índice desenvolvimento da linguagem IDL para identificar precocemente a necessidade de intervenções Crianças com IDL de 68 a 85 pontos precisam de acompanhamento especial Já aquelas com IDL abaixo de 68 pontos apresentam um atraso significativo em uma ou mais áreas do desenvolvimento da linguagem Supondo que o IDL de crianças com 3 a 6 anos de idade é normalmente distribuído com média 90 e desvio padrão de 10 pontos a Qual a porcentagem de crianças com atraso significativo em uma ou mais áreas do desenvolvimento da linguagem b Qual a porcentagem de crianças com necessidade de acompanhamento especial 3 Adaptado de Rosner 2016 Em pesquisa farmacológica várias medições de bioquímica sérica costumam ser rigorosamente monitoradas em busca de evidências de efeitos colaterais da medicação em estudo Suponha que os níveis de glicose no sangue são normalmente distribuídos com média de 90 mgdL e desvio padrão de 38 mgdL E que indivíduos sadios apresentam níveis de glicose no sangue de 65 a 120 mgdL a Qual a probabilidade de um indivíduo selecionado ao acaso não ser considerado sadio b Em um estudo que envolva 6000 pacientes qual o número esperado de indivíduos sadios Referências ARANGO HG Bioestatistica teorica e computacional com banco de dados reais em disco 3ed reimpr Rio de Janeiro Guanabara Koogan 2011 438 p MARTINEZ EZ Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p ROSNER B Fundamentos de Bioestatística Tradução Noveritis do Brasil Revisão técnica Magda Pires São Paulo Cengage Learning Brasil 2016 463 p 12 Bioestatística Lista 4 de Exercícios 1 Adaptado de Arango 2011 Uma gaiola do biotério contém 10 ratos brancos Wistar adultos Quatro desses ratos são geneticamente modificados para serem portadores de hipertensão arterial e seis deles são normais A identificação dos ratos hipertensos e feita por uma marcação na orelha Sabendo disso a Se dois desses ratos forem escolhidos ao acaso sucessivamente e sem reposição qual a probabilidade de que ambos sejam hipertensos b Se dois desses ratos forem escolhidos ao acaso sucessivamente e com reposição qual a probabilidade de que ambos sejam hipertensos c Se dois desses ratos forem escolhidos ao acaso e simultaneamente qual a probabilidade de que ambos sejam hipertensos 2 Adaptado de Martinez 2015 Um estudo classificou indivíduos de uma população conforme o estado nutricional e o sexo Os dados foram resumidos na tabela abaixo Tabela 1 Distribuição conjunta do estado nutricional e do sexo dos indivíduos de uma população Estado nutricional Sexo Masculino Feminino Normal 16 19 Sobrepeso 27 18 Obeso 12 8 Se um indivíduo qualquer dessa população for selecionado ao acaso qual a probabilidade dele a Ser homem b Ser mulher e ser obeso c Ser homem e não ser obeso d Não ser homem ou não ser obeso 3 Adaptado de Rosner 2016 Considere uma família com mãe pai e dois filhos Suponha que uma epidemia de gripe atinja a sua cidade Em 10 das famílias a mãe tem gripe Em 10 das famílias o pai tem gripe Em 2 das famílias pai e mãe têm gripe Cada filho tem 20 de chance de ter gripe enquanto em 10 das famílias as duas crianças contraíram a doença a A chance de a mãe ter gripe depende de o pai ter contraído a doença b Qual é a probabilidade de pelo menos um filho ter gripe c Qual é a probabilidade de o pai ter gripe dado que a mãe também contraiu a doença d Qual é a probabilidade de o pai ter gripe sabendo que a mãe não contraiu a doença 22 Referências ARANGO HG Bioestatistica teorica e computacional com banco de dados reais em disco 3ed reimpr Rio de Janeiro Guanabara Koogan 2011 438 p MARTINEZ EZ Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p ROSNER B Fundamentos de Bioestatística Tradução Noveritis do Brasil Revisão técnica Magda Pires São Paulo Cengage Learning Brasil 2016 463 p 11 Bioestatística Lista 3 de Exercícios 1 Adaptado de Martinez 2015 Um pesquisador utilizou a amostra abaixo para estimar a média e o desvio padrão da densidade mineral óssea medida em gcm2 gramas por centímetro quadrado do colo do fêmur de mulheres O que o pesquisador pode concluir ao interpretar essas medidas 0903 0866 0847 0657 1115 0997 0943 0861 1114 2 Adaptado de Arango 2011 Um pesquisador efetuou um levantamento sobre pressão arterial sistólica medida em mmHg milímetros de mercúrio em quatro grupos de pacientes segundo seu estado nutricional A tabela abaixo resume os resultados Medidas resumo Grupos A B C D Média 122 120 128 130 Desvio padrão 22 25 26 20 a Qual grupo apresenta a menor variabilidade absoluta Justifique b Qual grupo apresenta a maior variabilidade relativa Justifique 3 Adaptado de Rosner 2016 Os dados a seguir são uma amostra dos níveis de colesterol mgdL de funcionários de um hospital que concordaram em adotar uma dieta vegetariana por um mês 146 155 178 146 208 147 202 315 184 Construa e interprete um gráfico de caixas 4 Adaptado de Parenti Silva e Silveira 2017 Uma pesquisadora estava estudando o peso em quilogramas de bebês recémnascidos em uma maternidade e obteve os dados abaixo 25 35 24 36 26 38 28 33 26 a Calcule e interprete o coeficiente de assimetria b Calcule e interprete o coeficiente de curtose Referência ARANGO Hector Gustavo Bioestatistica teorica e computacional com banco de dados reais em disco 3ed reimpr Rio de Janeiro Guanabara Koogan 2011 438 p MARTINEZ Edson Zangiacomi Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p PARENTI Tatiane SILVA Juliane Silveira Freire da SILVEIRA Jamur Bioestatística Revisão técnica Rute Henrique da Silva Ferreira Porto Alegre SAGAH 2017 207 p ROSNER Bernard Fundamentos de Bioestatística Tradução Noveritis do Brasil Revisão técnica Magda Pires São Paulo Cengage Learning Brasil 2016 463 p 11 Bioestatística Lista 8 de Exercícios 1 Adaptado de Martinez 2015 Suponha que homens com 50 anos ou mais de idade tenham em média 1492 miligramas de colesterol total para cada decilitro de sangue E que esses níveis de colesterol total diferem em média 277 mgdL do nível médio de colesterol total no sangue de homens com 50 anos ou mais de idade Se selecionarmos ao acaso 50 indivíduos dessa população a Qual a probabilidade de observar uma estimativa amostral da média maior que 155 mgdL b Qual a probabilidade de observar uma estimativa amostral da média menor que 147 mgdL c Qual a probabilidade de uma estimativa amostral da média não diferir do nível médio de colesterol total em mais de 3 mgdL 2 Adaptado de Morettin e Bussab 2017 Uma indústria farmacêutica garante que 75 daqueles que recebem uma de suas vacinas apresentam anticorpos no sangue após completarem o esquema vacinal Se selecionarmos ao acaso 400 pessoas vacinadas a Qual a probabilidade de observar uma proporção amostral de imunizados maior que 08 b Qual a probabilidade de observar uma proporção amostral que não difere da proporção de imunizados informada pela indústria em mais de cinco pontos percentuais Referências MARTINEZ EZ Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p MORETTIN Pedro A BUSSAB Wilton O Estatística básica 9 ed São Paulo Saraiva 2017 554 p 12 Bioestatística Lista 5 de Exercícios 1 Adaptado de Arango 2011 O quadro abaixo apresenta as probabilidades de selecionar ao acaso um indivíduo de uma população com uma combinação específica de tipo sanguíneo e fator Rh Com base nesses dados Tipo sanguíneo Fator Rh A B AB O 336 84 42 378 64 16 08 72 a Qual a probabilidade de um indivíduo com sangue tipo A encontrar um doador compatível b Sabendo que o indivíduo tem sangue tipo A qual a probabilidade dele ser Rh c Há razões para crer que o fator Rh independe do tipo sanguíneo Justifique 2 Adaptado de Rosner 2016 Suponha que uma doença seja herdada por meio de um modo de herança autossômica recessiva Esse modo de herança implica que os filhos de uma família têm cada um a probabilidade de 1 em 4 de herdar a doença Se um uma família possui dois filhos a Qual é a probabilidade de apenas um deles ser afetado b Qual é a probabilidade de nenhum deles ser afetado 3 Adaptado de Martinez 2015 O teste ELISA IgMantiDENV é considerado um procedimento padrão ouro para o diagnóstico da dengue Já a prova do laço é um exame simples feito em casos de suspeita de dengue A tabela a seguir exibe os resultados da prova do laço e do Elisa IgMantiDENV de 9836 indivíduos com suspeita de infecção por dengue Prova do laço ELISA Positivo Negativo Positivo 774 789 Negativo 3273 5000 Calcule a probabilidade de um indivíduo qualquer selecionado ao acaso ter um resultado a Positivo na Prova do Laço uma vez que ele de fato é portador da doença sensibilidade do teste b Negativo na Prova do Laço dado que ele de fato não é portador da doença especificidade do teste 22 Referências ARANGO HG Bioestatistica teorica e computacional com banco de dados reais em disco 3ed reimpr Rio de Janeiro Guanabara Koogan 2011 438 p MARTINEZ EZ Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p ROSNER B Fundamentos de Bioestatística Tradução Noveritis do Brasil Revisão técnica Magda Pires São Paulo Cengage Learning Brasil 2016 463 p 11 Bioestatística Lista 6 de Exercícios 1 Adaptado de Silva 2023 Pesquisadores amostraram três cobaias de cada uma das gaiolas de um biotério para quantificar o número de animais que apresentavam lesões de pele 𝑋 Os dados foram resumidos no quadro abaixo 𝑋 0 1 2 3 𝑝𝑥 0189 0441 0343 Sabendo disso calcule a 𝑃𝑋 0 b 𝑃1 𝑋 3 c 𝐸𝑋 d 𝑉𝐴𝑅𝑋 2 Adaptado de Rosner 2016 Estudos sugerem que aproximadamente uma em cada oito mulheres desenvolve câncer de mama até os quarenta anos de idade Sabendo disso a Como podemos descrever esse fenômeno utilizando um modelo Binomial b Qual a probabilidade de selecionar ao acaso pelo menos uma mulher acometida pela doença c Qual o número esperado de mulheres acometidas pela doença 3 Adaptado de Martinez 2015 Suponha que um país registra em média sete casos de malária ao mês a Como podemos descrever esse fenômeno utilizando um modelo de Poisson b Qual a probabilidade desse país registrar um caso de malária ao longo de um mês c Qual a probabilidade desse país registrar até dois casos de malária ao longo de um mês d Qual a probabilidade desse país registrar um caso de malária ao longo de 15 dias 4 Adaptado de Arango 2011 Estimase que uma a cada quinhentas crianças são diagnosticadas com Síndrome de Aspen Sabendo disso a Como podemos descrever esse fenômeno utilizando um modelo de Poisson b O que você pode concluir ao comparar o modelo de Poisson com o modelo Binomial Referências ARANGO HG Bioestatistica teorica e computacional com banco de dados reais em disco 3ed reimpr Rio de Janeiro Guanabara Koogan 2011 438 p MARTINEZ EZ Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde São Paulo Blucher 2015 345 p ROSNER B Fundamentos de Bioestatística Tradução Noveritis do Brasil Revisão técnica Magda Pires São Paulo Cengage Learning Brasil 2016 463 p SILVA AR Estatística decodificada São Paulo Blucher 2023 418 p