Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos

Bookconceitosindb I 532010 084241 ANÁLISE DE ESTRUTURAS Preencha a ficha de cadastro no final deste livro e receba gratuitamente informações sobre os lançamentos e as promoções da Elsevier Consulte também nosso catálogo completo últimos lançamentos e serviços exclusivos no site wwwelseviercombr Bookconceitosindb II 532010 084241 Luiz Fernando Martha Conceitos e Métodos Básicos ANÁLISE DE ESTRUTURAS CIPBrasil Catalogação na fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros RJ M332a Martha Luiz Fernando 1955 Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Luiz Fernando Campos Ramos Martha Rio de Janeiro Elsevier 2010 Contém exercícios Inclui bibliografia ISBN 9788535234558 1 Teoria das estruturas 2 Engenharia de estruturas I Título 096396 CDD 624171 CDU 624 2010 Elsevier Editora Ltda Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no 9610 de 19021998 Nenhuma parte deste livro sem autorização prévia por escrito da editora poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados eletrônicos mecânicos fotográficos gravação ou quaisquer outros Copidesque Ivone Teixeira Revisão Marco Antônio Corrêa Editoração Eletrônica SBNIGRI Artes e Textos Ltda Elsevier Editora Ltda Conhecimento sem Fronteiras Rua Sete de Setembro 111 16o andar 20050006 Centro Rio de Janeiro RJ Brasil Rua Quintana 753 8o andar 04569011 Brooklin São Paulo SP Brasil Serviço de Atendimento ao Cliente 08000265340 sacelseviercombr ISBN 9788535234558 Nota Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra No entanto podem ocorrer erros de digitação impressão ou dúvida conceitual Em qualquer das hipóteses solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens originados do uso desta publicação Embora os autores tenham colocado seu melhor esforço na escrita deste livro eles não assumem qualquer responsabilidade por erros ou omissões ou qualquer dano que possa resultar das informações aqui apresentadas Bookconceitosindb IV 532010 084241 Para Isabella Victor e Laura Bookconceitosindb V 532010 084241 Agradecimento Este livro é resultado de mais de 30 anos de experiência no ensino de análise de estruturas No histórico do livro relatado no Prefácio reconheço a contribuição de diversas pessoas que foram essenciais para que ele pudesse ser escrito Além dessas outras pessoas ajudaram diretamente nesta empreitada Minha esposa Isabella é a principal colaboradora Ela é minha fonte de inspiração e motivação e companheira há mais de 27 anos Nada seria possível na minha vida sem ela Agradeço à minha mãe Maria Luiza e meu pai Théo já falecido pela preparação para a vida Entre muitos ensinamentos a persistência e a busca pela qualidade foram os que mais me marcaram Fundamental em toda a minha vida profi ssional tem sido o meu amigo Marcelo Gattass Desde os tempos de graduação em engenharia civil na PUCRio sou infl uenciado por ele O ambiente que ele criou no Tecgraf é sem dúvida um dos fatores que mais contribuíram para que eu pudesse escrever este livro Reconheço ainda a colaboração dos meus colegas coordenadores de área no Tecgraf Agradeço também aos meus colegas do Departamento de Engenharia Civil da PUCRio pelos agra dáveis anos de convivência e colaboração Em particular agradeço ao professor Raul Rosas e Silva pela sua experiência e solicitude A PUCRio é um ambiente de trabalho maravilhoso Seria impossível citar todas as pessoas que têm me ajudado ao longo de mais de 30 anos de convivência Mas devo destacar duas pessoas que foram decisivas para a fi nalização deste livro Pe Francisco Ivern SJ ViceReitor de Desenvolvimento e Raul Nunes Coordenador Central de Projetos de Desenvolvimento Agradeço muito pelo apoio que me de ram Alguns colegas de trabalho me auxiliaram na revisão técnica da versão fi nal do livro Agradeço a André Maués Brabo Pereira Ivan Fábio Mota de Menezes e Rodrigo Burgos A imagem da capa foi criação da arquiteta Nathalia Mussi Weidlich assim como as fi guras do pórtico espacial metálico do primeiro capítulo do livro Essas imagens foram inspiradas no Edifício Beta Espaço IMA na PUCRio projetado pelos arquitetos Marcos Fávero Andrés Passaro e Diego Portas que permitiram o seu uso no livro Esse projeto recebeu prêmio de menção honrosa na categoria Obras Concluídas da 8a Bienal Internacional de Arquitetura em São Paulo 2009 A revisão gramatical e de estilo do livro foi feita por Carolina Alfaro de Carvalho Bianca Bold e Cláudia Mello Belhassof Sou muito grato pelo excelente trabalho que sem dúvida tornou o texto mais claro e leve A revisão foi complementada pela Editora Elsevier que também melhorou bastante o texto Bookconceitosindb VII 532010 084241 Finalmente gostaria de agradecer a três pessoas da Editora Elsevier André Gerhard Wolff Vanes sa Vilas Bôas Huguenin e Silvia Barbosa Lima Eles proporcionam um ambiente muito agradável para o autor que certamente contribuiu muito para a qualidade deste trabalho Luiz Fernando Martha Bookconceitosindb VIII 532010 084241 Prefácio Este livro foi escrito com a expectativa de apresentar de forma clara e com forte embasamento conceitual a teoria e a aplicação da análise de estruturas formadas por barras Para estruturas e solicitações reais a análise estrutural é uma tarefa relativamente difícil em comparação com outras atividades do projeto estrutural e muitos estudantes de engenharia e arquitetura têm difi culdade em compreender adequada mente os conceitos e métodos da análise estrutural O objetivo principal do livro é mostrar que uma vez compreendidos os conceitos básicos a análise de estruturas pode ser simples e prazerosa Essa simplicidade é proporcionada em grande parte pelo uso de programas de computador A aná lise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulação computacional do comportamento de estruturas Embora o livro não se destine diretamente ao desenvolvimento de programas de computador para prever o comportamento de estruturas é importante ter em mente que não se concebe em pleno século XXI executar as tarefas de análise estrutural mesmo no caso de estruturas formadas por barras sem o uso de computador e de computação gráfi ca Apesar disso as soluções apresentadas no livro para os métodos de análise são obtidas através de resolução manual Nesse sentido o livro pode ser considerado uma introdução à análise de estruturas O enfoque dado aqui é na compreensão do comportamento de estruturas formadas por barras e dos fundamentos dos métodos básicos da análise estrutural incluindo exercícios resolvidos e propostos A principal motivação para esse enfoque é o fato de que o uso de programas de computador sem o conhe cimento adequado de análise estrutural pode ser muito perigoso pois resultados errados de análise são a causa de graves acidentes com obras civis O principal foco do livro é a análise de estruturas hiperestáticas incluindo uma formalização ma tricial Entretanto o livro também aborda estruturas isostáticas e alguns aspectos da mecânica dos só lidos que são necessários para a análise de estruturas hiperestáticas Nesse sentido o livro procura ser autocontido na medida em que todos os desenvolvimentos teóricos dos principais assuntos tratados são apresentados neste volume PROGRAMAS DE COMPUTADOR COMPLEMENTARES Desde 1990 tenho trabalhado ativamente no desenvolvimento de programas de computador com in terface gráfi ca ativa para o ensino de engenharia e essa experiência foi fundamental para a confecção deste livro Na PUCRio encontrei um ambiente muito propício para esse tipo de desenvolvimento pois Bookconceitosindb IX 532010 084241 em 1987 o professor Marcelo Gattass criou o TecgrafPUCRio Grupo de Tecnologia em Computação Gráfi ca no qual ingressei em 1990 Nesse ambiente criei o Ftool Twodimensional Frame Analysis Tool wwwtecgrafpucriobrftool que é utilizado atualmente como ferramenta educacional em pratica mente todos os cursos de engenharia civil e arquitetura do país e também em algumas universidades no exterior Tenho conhecimento de que diversos escritórios de projeto estrutural também utilizam o Ftool Participaram do desenvolvimento inicial do Ftool no período de março de 1991 a dezembro de 1992 os então alunos de graduação em engenharia civil da PUCRio Eduardo Thadeu Leite Corseuil atualmente um dos coordenadores de área no Tecgraf Vinícius Samu de Figueiredo e Adriane Cavalie ri Barbosa como bolsistas de iniciação científi ca Também colaboraram no início do programa os então alunos de doutorado da PUCRio Waldemar Celes Filho e Ivan Fábio Mota de Menezes hoje professores da PUCRio e coordenadores de área no Tecgraf Desde 1993 o Ftool tem sido atualizado por mim com a ajuda de alguns alunos Sucessivas versões do programa foram lançadas cada uma com pequenas me lhorias Os principais colaboradores foram André Cahn Nunes então aluno de iniciação científi ca que implementou o traçado de linhas de infl uência em 2001 e Gisele Cristina da Cunha Holtz então aluna de mestrado que desenvolveu envoltórias de esforços internos para cargas acidentais e móveis disponíveis no Ftool desde 2008 Também colaboraram com o desenvolvimento do Ftool a exaluna de mestrado da PUCRio Christiana Mauricio Niskier e o exaluno de mestrado da EPUSP Luís Fernando Keafer orien tado pelo professor Túlio Nogueira Bittencourt outro colaborador Embora este livro não trate do desenvolvimento do Ftool esse programa foi fundamental para que o livro existisse porque a experiência em sala de aula com o uso do Ftool propiciou uma nova abordagem para o ensino de análise de estruturas que muito infl uenciou a forma como o assunto é apresentado no livro Como exemplo do uso complementar do Ftool para o ensino de análise de estruturas estão disponí veis na internet wwwtecgrafpucriobrftool dois roteiros para a simulação computacional do método das forças e do método dos deslocamentos utilizando o programa O livro também tem infl uência direta do Ftool porque praticamente todas as suas fi guras foram confeccionadas por mim com auxílio do programa Além da qualidade das fi guras isso proporciona uma característica muito interessante para o leitor tanto para o professor quanto para o aluno na internet existem arquivos de dados para o Ftool que correspondem aos exemplos da maioria das fi guras Dessa forma os exemplos podem ser explorados e analisados pelo leitor estendendo o escopo do livro além das dimensões da leitura Além do Ftool o programa eCross wwwtecgrafpucriobretoolscross é outra ferramenta educacional que complementa o livro Tratase de um programa gráfi co para o ensino do processo de Cross método da distribuição de momentos que pode ser executado em qualquer navegador da inter net Esse programa tem por objetivo demonstrar aos usuários alunos de graduação em engenharia civil como o processo de Cross funciona para o caso de vigas contínuas A execução do programa evidencia a interpretação física do método da distribuição de momentos mostrando como a confi guração deformada da viga e o diagrama de momentos fl etores variam durante a solução iterativa do método O programa também mostra os cálculos da mesma forma que são realizados em uma solução manual fazendo uma associação com a interpretação física Esse programa foi desenvolvido em 2000 em conjunto com o então aluno de graduação da PUCRio André Cahn Nunes em um trabalho de iniciação científi ca Também está disponível na internet wwwtecgrafpucriobretoolsmisulatool um programa que implementa a metodologia desenvolvida no livro para obter soluções fundamentais de barra isolada com seção transversal variável Essa metodologia baseiase na analogia da viga conjugada e foi desen volvida em 2006 em conjunto com a então aluna de graduação da PUCRio Paula de Castro Sonnenfeld Vilela em sua iniciação científi ca A integração numérica desenvolvida nesse trabalho foi produzida pelo pesquisador do Tecgraf Alexandre Antonio de Oliveira Lopes A metodologia foi estendida na mo Bookconceitosindb X 532010 084242 nografi a de Francisco Paulo de Aboim para conclusão da graduação em engenharia civil pela PUCRio em julho de 2009 Esse trabalho considera uma barra com seção transversal cuja altura varia em mísula parabólica ao longo do comprimento da barra Essa solução numéricocomputacional utilizou a lingua gem de programação Lua também desenvolvida na PUCRio pelos professores Roberto Ierusalimschy Waldemar Celes Filho e Luiz Henrique de Figueiredo o que permite aproveitála facilmente em qual quer programa de computador e estendêla para diversos tipos de seção transversal Essa metodologia será incorporada ao Ftool Finalmente dois tutoriais com animação ilustram a análise de estruturas pelo método das forças e pelo método dos deslocamentos eMetFor e eMetDes Essas animações também estão disponíveis na in ternet wwwtecgrafpucriobretools e foram desenvolvidas por Christiana Niskier e Fernando Ribeiro em seus trabalhos de conclusão da graduação em engenharia civil pela PUCRio em 2000 HISTÓRICO A história deste livro começou na década de 1970 O professor Marcelo Gattass então mestrando em engenharia civil na PUCRio organizou em 1976 um grupo de estudos sobre análise de estruturas com alguns alunos de graduação em engenharia civil Naquele momento eu cursava a primeira disciplina de estruturas hiperestáticas do currículo de engenharia civil da PUCRio que tratava principalmente do método das forças e era lecionada pelo professor José Carlos Süssekind Esse grupo de estudos foi interessante porque antes mesmo de eu ser exposto ao método dos deslocamentos abordado na se gunda disciplina de estruturas hiperestáticas também ministrada pelo professor Süssekind o grupo já buscava uma visão formal de como as condições de equilíbrio e as condições de compatibilidade são consideradas por esses dois métodos básicos da análise de estruturas Certamente esse grupo de estudos plantou uma semente na minha mente com relação a essa visão formal Durante o verão de 1978 eu fi z um curso de nivelamento para o ingresso no mestrado em enge nharia civil na PUCRio A disciplina de análise estrutural desse curso foi dada pelo professor Jorge de Mello e Souza Sou muito grato a esse professor pela clareza com que os conceitos da análise de estru turas foram apresentados A visão dual dos métodos das forças e dos deslocamentos que é apresentada neste livro tem infl uência direta desse curso de nivelamento É desse curso a origem do termo sistema hipergeométrico que utilizo para me referir à estrutura cinematicamente determinada auxiliar do método dos deslocamentos Durante os primeiros anos como professor de análise de estruturas na PUCRio em 1980 e 1981 eu auxiliei o professor Ney Augusto Dumont na orientação de um trabalho de iniciação científi ca que tratava da consideração de equilíbrio e compatibilidade na análise de estruturas Tivemos acesso ao livro Considerações sobre Equilíbrio e Compatibilidade Estrutural 1981 do professor Pietro Candreva da Escola Politécnica da USP Esse trabalho com o professor Ney Dumont e o livro do professor Candreva também infl uenciaram este livro Dedico o quarto capítulo considerações sobre equilíbrio e compatibilidade ao professor Candreva que não conheci pessoalmente Nessa época o professor Marcelo Gattass fazia seu doutorado na Universidade de Cornell nos Estados Unidos e me recomendou a leitura da edição combinada dos dois primeiros volumes do livro Structural Engineering 1976 de Richard White Peter Gergely e Robert Sexmith professores daquela universidade Para mim esse livro representa uma bíblia da análise de estruturas e muito do que eu sei aprendi com ele A sua abordagem conceitual de forma clara foi um modelo que procurei seguir ao escrever este livro Em 1981 tive a sorte de conhecer o professor Luiz Eloy Vaz recémchegado de seu doutorado na Universidade de Stuttgart na Alemanha Naquela época o professor Luiz Eloy ensinava análise de estru Bookconceitosindb XI 532010 084242 turas na UFRJ e eu na PUCRio e também atuávamos como engenheiros na Promon Engenharia Nesse período meu aprendizado em análise estrutural foi muito intenso pois o professor Luiz Eloy tem grande conhecimento do assunto e sabe transmitilo como poucos Isso certamente contribuiu para este livro Durante o ano de 1983 eu lecionei análise matricial de estruturas no curso de engenharia civil da PUCRio Preparei notas de aula para essa disciplina que tiveram uma forte infl uência da primeira edi ção do livro Matrix Structural Analysis 1979 dos professores William McGuire e Richard Gallaguer da Universidade de Cornell Essas notas de aula foram aproveitadas parcialmente neste livro e eu dedico o penúltimo capítulo método da rigidez direta aos professores McGuire e Gallaguer Os anos durante o meu doutorado na Universidade de Cornell de 1984 a 1989 serviram para em basar os conhecimentos em análise de estruturas Além do fortalecimento na área de análise matricial de estruturas e no método dos elementos fi nitos em Cornell eu fui exposto ao uso disseminado de compu tação gráfi ca em projetos de engenharia com uma vertente muito forte no desenvolvimento de ferramen tas gráfi cas com fi ns educacionais Isso também infl uenciou diversos aspectos deste livro Os meus dois orientadores de doutorado os professores Anthony Ingraffea e John Abel foram fundamentais para a minha formação nessa área Não poderia deixar de mencionar a enorme infl uência que eu tive na área de desenvolvimento de software gráfi co durante o doutorado do meu amigo Paul Wash Wawryznek Wash simplesmente me ensinou tudo o que eu sei sobre programação Desde 1990 leciono a disciplina de estruturas hiperestáticas na PUCRio que a partir de uma re forma de currículo na década de 1980 passou a abordar os dois métodos básicos da análise estrutural o método das forças e o método dos deslocamentos O livro adotado na disciplina naquela ocasião era o do professor Süssekind 1977 referência em todo o país até hoje mesmo fora de edição Durante a década de 1990 escrevi notas de aula para a disciplina baseadas em anotações de alunas e alunos que copiavam do quadro negro Sou muito grato a esses alunos pois essas notas de aula se tornaram a base deste livro A partir de 2000 as notas de aula foram digitalizadas e colocadas à disposição na internet Alguns alunos me auxiliaram nessa digitalização e dois não podem deixar de ser mencionados A colaboração de Christiana Mauricio Niskier exaluna de graduação e minha orientada no mestrado foi imprescindí vel Ela reviu o texto deu sugestões e ajudou na confecção de fi guras O orientado de mestrado e douto rado William Wagner Matos Lira hoje professor na Universidade Federal de Alagoas também colaborou na preparação do material digitalizado Ao longo da última década recebi inúmeros comentários positivos a respeito do material que dei xei disponível na internet Agradeço a todos seria impossível mencionar todos os nomes pois isso foi um incentivo muito grande para transformar as notas de aula neste livro A fi nalização do livro se deu de dezembro de 2008 a julho de 2009 Até a data da publicação ocor reu a sua revisão Em relação às notas de aula alguns capítulos foram expandidos e divididos e novos capítulos foram escritos Para aqueles que estão acostumados com o material anterior na internet o ca pítulo de conceitos básicos de análise estrutural foi desmembrado e ampliado Na versão do livro isso resultou no segundo capítulo modelos de estruturas reticuladas e no quarto capítulo considerações sobre equilíbrio e compatibilidade O terceiro capítulo é novo e aborda os principais conceitos referen tes à análise de estruturas isostáticas O capítulo que trata da idealização do comportamento de barras o quinto no livro foi estendido para incorporar uma análise qualitativa para o traçado do aspecto de confi gurações deformadas e diagramas de esforços internos em vigas e pórticos simples Os conceitos de barras inextensíveis e de contraventamento de pórticos foram incorporados a esse capítulo nas notas de aula estavam em um dos capítulos sobre o método dos deslocamentos Embora não seja tratado no restante do livro foi adicionada uma seção no quinto capítulo para introduzir o problema da perda de estabilidade de barras submetidas a compressão Essa apresentação foi feita apenas porque esse fenô meno é importante demais para ser desconsiderado O sexto capítulo do livro sobre a analogia da viga Bookconceitosindb XII 532010 084242 conjugada nas notas de aula era um apêndice A promoção desse apêndice a capítulo se deu principal mente porque a consideração de barras com seção transversal variável mísulas foi formalizada neste livro com base nessa analogia Além disso a análise de vigas para solicitações de variação transversal de temperatura também foi formalizada pela analogia da viga conjugada O antigo capítulo de soluções fundamentais foi dividido em dois o princípio dos trabalhos virtuais sétimo capítulo e soluções funda mentais para barra isolada nono capítulo O método das forças fi cou no oitavo capítulo essencialmente como nas notas de aula apenas com o acréscimo de exercícios resolvidos e propostos Os capítulos sobre o método dos deslocamentos décimo e décimo primeiro capítulos e sobre o processo de Cross décimo segundo capítulo também tiveram poucos acréscimos em relação às notas de aula A principal diferença foi a incorporação de exemplos resolvidos adicionais e exercícios propostos O décimo terceiro capítulo é um novo texto que estava anunciado na internet mas que não havia sido escrito sobre o método da rigidez direta formalização matricial do método dos deslocamentos Esse capítulo vinha sendo cobrado por muitos leitores das notas de aula deixadas na internet Finalmente o último capítulo sobre cargas acidentais e móveis foi expandido com mais exemplos resolvidos e exercícios propostos Bookconceitosindb XIII 532010 084242 Sugestão para uso Este é um livro de leitura para alunos professores e profi ssionais de engenharia civil e arquitetura e também é um livro de referência para disciplinas de análise de estruturas Todos os fundamentos teóri cos dos assuntos tratados são apresentados no próprio volume Dessa forma o livro pode ser adotado nas seguintes disciplinas da área de estruturas de um curso de engenharia civil estruturas isostáticas estruturas hiperestáticas e análise matricial das estruturas Pressupõese que o leitor tenha conhecimento sobre mecânica geral estática A análise de estruturas isostáticas é abordada de maneira a suprir as necessidades dos métodos de análise de estruturas hiperestáticas Portanto uma disciplina de estruturas isostáticas pode adotar o livro como referência básica mas provavelmente haverá a necessidade de complementação de outros assuntos Os três primeiros capítulos do livro podem ser utilizados nessa disciplina O primeiro é uma abordagem conceitual sobre a análise de estruturas e modelos estruturais o segundo descreve os tipos de modelos de estruturas formadas por barras e o terceiro trata da análise de estruturas isostáticas propriamente dita O quarto capítulo contém assuntos que são fundamentais para a análise de estruturas hiperestáti cas considerações sobre equilíbrio e compatibilidade De certa forma esse capítulo resume a essência do próprio livro Sugerese que os alunos sejam incentivados a ler esse capítulo e que os assuntos tratados sejam resumidos em sala de aula O quinto capítulo apresenta uma idealização matemática do comportamento de barras Em geral esse assunto é abordado nos currículos de engenharia civil nas disciplinas de mecânica dos sólidos re sistência dos materiais Por esse motivo para as disciplinas de análise de estruturas hiperestáticas esse também é um capítulo que deve ser lido pelos alunos e abordado de forma resumida em sala de aula Cer tamente existem referências mais completas sobre o assunto para as disciplinas de mecânica dos sólidos Contudo o assunto está resumido de forma simples e como é abordado será muito útil também para essas disciplinas Notadamente o resumo sobre a teoria de vigas de Navier pode ser de grande interesse Entretanto parte do quinto capítulo merece ser coberto em sala de aula Tratase de uma análise qualitativa dos aspectos das confi gurações deformadas e dos diagramas de esforços internos em vigas e pórticos simples Esse assunto não costuma ser apresentado nos livros de análise de estruturas apesar da sua importância Atualmente devido ao uso disseminado de programas de computador esse tratamento qualitativo ganha mais importância ainda pois desenvolve maior sensibilidade para a verifi cação dos resultados de análise fornecidos pelos programas O conceito de contraventamento de pórticos muito importante no projeto de estruturas também é apresentado no quinto capítulo Bookconceitosindb XV 532010 084242 O sexto capítulo pode ou não ser abordado nas disciplinas de análise de estruturas de um curso de en genharia civil dependendo da carga horária disponível A analogia da viga conjugada tratada nesse capítulo é um método alternativo para a análise de vigas hiperestáticas que pode ser muito útil No livro o capítulo é importante porque a formulação de soluções fundamentais de barra com seção transversal variável é feita com base nessa analogia Em um currículo com pelo menos duas disciplinas de análise de estruturas hiperes táticas certamente o sexto capítulo deve ser adotado na primeira delas antes do método das forças O sétimo capítulo apresenta o princípio dos trabalhos virtuais com as suas duas versões o princí pio das forças virtuais e o princípio dos deslocamentos virtuais A primeira versão é utilizada para obter soluções fundamentais para o método das forças e a segunda para o método dos deslocamentos Esse capítulo pode ser considerado como um capítulo auxiliar que deve ser resumido em sala de aula e su gerido para leitura pelos alunos O oitavo capítulo apresenta o método das forças que é o primeiro método geral para a análise de estruturas hiperestáticas Portanto é um capítulo fundamental do livro e contém exemplos resolvidos e exercícios propostos com soluções na internet O nono capítulo também é auxiliar devendo ser lido pelos alunos e resumido em sala de aula As soluções fundamentais para barra isolada base para a aplicação do método dos deslocamentos são apresentadas nesse capítulo O método dos deslocamentos propriamente dito é tratado em dois capítulos No décimo capítulo o método é formulado de maneira geral e no décimo primeiro é apresentado na forma tradicional con siderando restrições nas deformações das barras com vistas a uma diminuição do número de incógnitas para a solução do problema Esse capítulo também contém exemplos resolvidos e exercícios propostos estes com solução na internet Os dois capítulos também são fundamentais para a disciplina de análise de estruturas hiperestáticas O décimo segundo capítulo que apresenta o processo de Cross ou método da distribuição de mo mentos deve ser abordado em um curso de engenharia civil dependendo da carga horária disponível para análise de estruturas Esse processo é antigo mas ainda é importante porque tem um apelo intuitivo muito grande Com o uso do programa de computador eCross mencionado no Prefácio o processo de Cross pode ser ensinado em apenas uma aula de duas horas O décimo terceiro capítulo deve ser adotado em uma disciplina avançada de análise de estruturas em muitos currículos com denominação de análise ou cálculo matricial das estruturas O capítulo abor da o método da rigidez direta formalização matricial do método dos deslocamentos de forma sucinta porém abrangente pois baseiase nos assuntos tratados nos capítulos anteriores sobre o método dos deslocamentos Procurouse dar um enfoque conceitual ao método da rigidez direta sem enfatizar sua implementação computacional Apenas alguns detalhes de implementação foram comentados O que se pretende é que com os conceitos apresentados uma pessoa entenda o que é realizado por um programa de computador para uma análise desse tipo sem precisar entender como ele é implementado O último capítulo trata da análise de estruturas isostáticas e hiperestáticas para cargas acidentais e móveis Esse capítulo é parte integrante das disciplinas de análise de estruturas de qualquer currículo de engenharia civil Embora o assunto seja apresentado de forma integrada é comum ele ser tratado em parte na disciplina de análise de estruturas isostáticas e em parte nas de estruturas hiperestáticas Finalmente devese salientar que este livro também pode ser útil para as disciplinas de sistemas estru turais de um curso de graduação em arquitetura Nesse caso os cinco primeiros capítulos do livro seriam uti lizados como referência No que se refere à análise de estruturas hiperestáticas a abordagem qualitativa das confi gurações deformadas e dos diagramas de esforços internos para vigas e pórticos aliada ao uso do pro grama Ftool pode ser o sufi ciente para cobrir o conteúdo básico sobre o assunto em um curso de arquitetura Bookconceitosindb XVI 532010 084242 Notagao UNIDADES GENERICAS L indicacdo genérica de unidade de comprimento dimensao distancia ou deslocamento F indicacdo genérica de unidade de forga R indicacao genérica de unidade de rotacdo adimensional indicagao genérica de unidade de temperatura indicagao de grandeza adimensional GERAL g grau de hiperestaticidade LI linha de influéncia comprimento de barra L P forca concentrada genérica F H forca concentrada horizontal aplicada ou reacao de apoio F V forca concentrada vertical aplicada ou reacao de apoio F R reagao de apoio genérica F ou FL F reagdo forca na direcao do eixo global X F FY reacao forga na direcao do eixo global Y F M reacéo momento em torno do eixo global Z FL p taxa de carregamento forca longitudinal axial distribuido em barra FL q taxa de carregamento forca transversal distribuido em barra FL K coeficiente de rigidez de apoio elastico translacional horizontal FL K coeficiente de rigidez de apoio elastico translacional vertical FL K coeficiente de rigidez de apoio elastico rotacional ou ligacdo semirrigida rotacional FLR AT variacao de temperatura na fibra inferior de uma barra AT variacao de temperatura na fibra superior de uma barra AT variacgéo de temperatura na fibra do centro de gravidade da sec4o transversal de uma barra P carga abaixo da qual uma coluna nao perde estabilidade carga de Euler F k fator que define o comprimento efetivo de uma coluna para flambagem P carga virtual genérica F ou FL R reacao de apoio virtual genérica F ou FL Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER XVIII PROPRIEDADES DE SEÇÃO TRANSVERSAL h altura de seção transversal L A área de seção transversal L2 I momento de inércia à fl exão de seção transversal L4 ys máxima distância do bordo superior à linha neutra que passa pelo centro de gravidade de seção transversal L iy máxima distância do bordo inferior à linha neutra que passa pelo centro de gravidade de seção transversal L Ws módulo de resistência à fl exão superior de seção transversal L3 Wi módulo de resistência à fl exão inferior de seção transversal L3 pJ momento polar de inércia de seção transversal circular ou anelar L4 tJ momento de inércia à torção de seção transversal L4 χ fator de forma de seção transversal que defi ne a área efetiva para cisalhamento r raio que defi ne a distância de um ponto no interior de uma seção transversal em relação ao centro da seção L PROPRIEDADES DE MATERIAL E módulo de elasticidade de material FL2 G módulo de cisalhamento de material FL2 α coefi ciente de dilatação térmica de material Θ1 ESFORÇOS INTERNOS N esforço normal esforço interno longitudinal ou axial F Q esforço cortante esforço interno transversal de cisalhamento F M momento fl etor esforço interno de fl exão FL T momento torçor esforço interno de torção FL N esforço normal virtual F M momento fl etor virtual FL Q esforço cortante virtual F T momento torçor virtual FL DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES Δx deslocamento na direção do eixo global X L Δ y deslocamento na direção do eixo global Y L Δ z deslocamento na direção do eixo global Z L θ x rotação em torno do eixo global X R θ y rotação em torno do eixo global Y R θ z rotação em torno do eixo global Z R u deslocamento longitudinal axial do centro de gravidade de seção transversalL v deslocamento transversal do centro de gravidade de seção transversal L θ rotação de seção transversal por fl exão R ϕ rotação de seção transversal por torção R ρ recalque de apoio ou raio de curvatura da elástica transversal v da barra L 1ρ curvatura da elástica transversal v da barra L1 Δ deslocamento genérico a ser calculado L Δ deslocamento genérico virtual L Bookconceitosindb XVIII 532010 084243 Notação XIX u deslocamento longitudinal virtual L v deslocamento transversal virtual L θ rotação por fl exão virtual R ϕ rotação por torção virtual R TENSÕES E DEFORMAÇÕES σ x tensão normal na seção transversal de barra direção longitudinal FL2 a σx tensão normal na seção transversal de barra devida ao efeito axial FL2 f σx tensão normal na seção transversal da barra devida à fl exão FL2 σsf tensão normal por fl exão no bordo superior de seção transversal FL2 f σi tensão normal por fl exão no bordo inferior de seção transversal FL2 σs tensão normal combinando os efeitos axial e de fl exão no bordo superior de seção transversal FL2 σi tensão normal combinando os efeitos axial e de fl exão no bordo inferior de seção transversal FL2 τ tensão de cisalhamento FL2 c τy componente da tensão de cisalhamento pontual na direção y FL2 m τy tensão de cisalhamento média por efeito cortante direção y FL2 τ t tensão de cisalhamento pontual por efeito de torção FL2 εx deformação normal na direção longitudinal da barra a εx deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito axial f εx deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito de fl exão γ distorção de cisalhamento γ c distorção de cisalhamento por efeito cortante efeito integral na seção transversal γ t distorção de cisalhamento por efeito de torção DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES RELATIVOS DE ELEMENTO INFINITESIMAL DE BARRA dx comprimento de um elemento infi nitesimal de barra L du deslocamento axial longitudinal relativo interno de um elemento infi nitesimal de barra L dh deslocamento transversal relativo interno de um elemento infi nitesimal debarra L dθ rotação relativa interna por fl exão de um elemento infi nitesimal de barra R dϕ rotação relativa interna por torção de um elemento infi nitesimal de barra R duT deslocamento axial longitudinal relativo interno devido à variação de temperatura L dhT 0 deslocamento transversal relativo interno devido à variação de temperatura por hipótese é nulo dθT rotação relativa interna por fl exão devida à variação de temperatura R du deslocamento axial relativo interno no sistema virtual L dθ rotação relativa interna por fl exão no sistema virtual R dϕ rotação relativa interna por torção no sistema virtual R CAMPOS DE FORÇAS E DESLOCAMENTOS F campo de forças externas solicitações e reações de apoio atuando sobre uma estrutura σ campo de tensões internas associadas em equilíbrio com F f campo de esforços internos N M Q associados em equilíbrio com F F σ sistema de forças com forças externas F e tensões internas σ em equilíbrio F f sistema de forças com forças externas F e esforços internos f em equilíbrio D campo de deslocamentos externos elástica de uma estrutura ε campo de deformações internas compatíveis com D Bookconceitosindb XIX 532010 084244 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER XX d campo de deslocamentos relativos internos du dθ dh compatíveis com D D ε confi guração deformada com deslocamentos externos D edeformações internas ε compatíveis D d confi guração deformada com deslocamentos externos D e deslocamentos relativos internos d compatíveis ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA qC taxa de carregamento transversal distribuído em viga conjugada proveniente do diagrama de momentos fl etores da viga real L1 qT taxa de carregamento transversal distribuído em viga conjugada proveniente do efeito de variação transversal de temperatura na viga real L1 QC esforço cortante em viga conjugada MC momento fl etor em viga conjugada L ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E TRABALHO EXTERNO U0 energia de deformação por unidade de volume a U0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito axial f U0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito de fl exão c U0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito cortante t U0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito de torção U energia de deformação elástica total armazenada na estrutura dUa energia de deformação para o efeito axial armazenada em um elemento infi nitesimal de barra dU f energia de deformação para o efeito de fl exão armazenada em um elemento infi nitesimal de barra dUc energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um elemento infi nitesimal de barra dUt energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um elemento infi nitesimal de barra U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura WE trabalho realizado pelas forças externas quando a estrutura se deforma WE trabalho virtual das forças externas MÉTODO DAS FORÇAS Xi hiperestático F ou FL iδ 0 termo de carga L ou R δij coefi ciente de fl exibilidade LF LFL RF ou RFL X vetor dos hiperestáticos F ou FL δ0 vetor dos termos de carga L ou R δ matriz de fl exibilidade LF LFL RF ou RFL MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS E MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA EA parâmetro de rigidez axial de barra F EI parâmetro de rigidez por fl exão de barra FL2 GJt parâmetro de rigidez por torção de barra FL2 KΔ coefi ciente de rigidez axial de barra FL KA coefi ciente de rigidez à rotação por fl exão de barra na extremidade inicial FLR KB coefi ciente de rigidez à rotação por fl exão de barra na extremidade fi nal FLR tAB coefi ciente de transmissão de momento da extremidade inicial para a extremidade fi nal de uma barra Bookconceitosindb XX 532010 084246 Notação XXI tBA coefi ciente de transmissão de momento da extremidade fi nal para a extremidade inicial de uma barra Kϕ coefi ciente de rigidez à rotação por torção de barra FLR HA reação força axial na extremidade inicial de barra biengastada F HB reação força axial na extremidade fi nal de barra biengastada F 0 HA reação força axial na extremidade inicial da barra engastada e em balanço F VA reação força transversal na extremidade inicial de barra biengastada F VB reação força transversal na extremidade fi nal de barra biengastada F 0 VA reação força transversal na extremidade inicial da barra biapoiada F 0 VB reação força transversal na extremidade fi nal da barra biapoiada F MA reação momento por fl exão na extremidade inicial de barra biengastada FL MB reação momento por fl exão na extremidade fi nal de barra biengastada FL TA reação momento por torção na extremidade inicial de barra biengastada FL TB reação momento por torção na extremidade fi nal de barra biengastada FL id deslocabilidade local de barra no sistema local L ou R if força generalizada local de barra no sistema local F ou FL kij coefi ciente de rigidez local de barra no sistema local FL FR FLL ou FLR d vetor das deslocabilidades locais de barra no sistema local L ou R f vetor das forças generalizadas locais de barra no sistema local F ou FL k matriz de rigidez local de barra no sistema local FL FR FLL ou FLR ifˆ reação de engastamento perfeito local de barra isolada no sistema local F ou FL ˆ f vetor das reações de engastamento perfeito locais de barra isolada no sistema local F ou FL id deslocabilidade local de barra no sistema global L ou R if força generalizada local de barra no sistema global F ou FL kij coefi ciente de rigidez local de barra no sistema global FL FR FLL ou FLR d vetor das deslocabilidades locais de barra no sistema global L ou R f vetor das forças generalizadas locais de barra no sistema global F ou FL k matriz de rigidez local de barra no sistema global FL FR FLL ou FLR ifˆ reação de engastamento perfeito local de barra isolada no sistema global F ou FL f ˆ vetor das reações de engastamento perfeito locais de barra isolada no sistema global F ou FL fe vetor das cargas equivalentes nodais de uma barra no sistema global F ou FL fi vetor dos efeitos das deformações de uma barra sobre seus nós no sistema global F ou FL Di deslocabilidade ou grau de liberdade global de estrutura L ou R βi0 termo de carga F ou FL iF força nodal generalizada global de estrutura F ou FL Kij coefi ciente de rigidez global de estrutura FL FR FLL ou FLR D vetor das deslocabilidades ou graus de liberdade globais L ou R Dl vetor dos graus de liberdade globais livres L ou R Df vetor dos graus de liberdade globais fi xos L ou R β0 vetor dos termos de carga F ou FL F vetor das forças nodais generalizadas globais F ou FL lF vetor das cargas nodais combinadas nas direções dos graus de liberdade livres F ou FL fF vetor das forças nodais generalizadas nas direções dos graus de liberdade fi xos F ou FL P vetor das cargas nodais propriamente ditas no sistema global F ou FL Bookconceitosindb XXI 532010 084248 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER XXII Fi vetor dos efeitos das deformações de todas as barras de um modelo sobre seus nós no sistema global F ou FL K matriz de rigidez global FL FR FLL ou FLR pA taxa de carregamento força longitudinal axial distribuído na extremidade inicial de uma barra FL pB taxa de carregamento força longitudinal axial distribuído na extremidade fi nal de uma barra FL qA taxa de carregamento força transversal distribuído na extremidade inicial de uma barra FL qB taxa de carregamento força transversal distribuído na extremidade fi nal de uma barra FL Ni x Função de forma associada à deslocabilidade local id de barra no sistema local di número total de deslocabilidades internas rotações de número total de deslocabilidades externas translações R matriz de transformação por rotação e vetor de espalhamento PROCESSO DE CROSS Ki coefi ciente de rigidez à rotação por fl exão da barra i em relação a um nó FLR iγ coefi ciente de distribuição de momento da barra i em relação a um nó it coefi ciente de transmissão de momento da barra i em relação a um nó Bookconceitosindb XXII 532010 084249 Conteúdo Exclusivo na Web Esse material que complementará seus estudos está disponível para acesso e download através do código a seguir Código para acesso ao material exclusivo em wwwelseviercombr Construindo planos de empreendimentosindd 266 2222010 090534 11 1 I ntrodução à análise de estruturas O projeto e a construção de estruturas compõem uma área da engenharia civil na qual muitos engenhei ros civis se especializam Estes são os chamados engenheiros estruturais A engenharia estrutural trata do planejamento projeto construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte moradia trabalho e lazer Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio como no caso de pon tes e estádios esportivos ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro empreendimento por exemplo edifícios e teatros Uma estrutura pode ser projetada e construída em aço concreto madeira blocos de rocha materiais não convencionais materiais que utilizam fi bras vegetais por exemplo ou novos mate riais sintéticos plásticos por exemplo Ela deve resistir a ventos fortes a solicitações que são impostas durante sua vida útil e em várias partes do mundo a terremotos O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessi dades para as quais ela será construída satisfazendo condições de segurança de utilização econômicas estéticas ambientais construtivas e legais O resultado fi nal do projeto estrutural é a especifi cação de uma estrutura de forma completa isto é abrangendo todos os aspectos gerais tais como locação e todos os detalhes necessários para a sua construção Portanto o projeto estrutural parte de uma concepção geral da estrutura e termina com a docu mentação que possibilita a sua construção São inúmeras e muito complexas as etapas de um projeto estrutural Entre elas está a previsão do comportamento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utilização para as quais foi concebida A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do comportamento da estrutura Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros como pelos campos de tensões deformações e deslocamentos na estrutura De maneira geral a análise estrutural tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos cargas e reações de apoio e das tensões corres pondentes bem como a determinação dos deslocamentos e as correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada Essa análise deve ser realizada para os possíveis estágios de carregamentos e solicitações que devem ser previamente determinados O desenvolvimento das teorias que descrevem o comportamento de estruturas se deu inicialmen te para estruturas reticuladas isto é estruturas formadas por barras elementos estruturais que têm um eixo claramente defi nido Tratase dos tipos mais comuns de estruturas tais como a estrutura de uma cobertura ou o esqueleto de um edifício metálico Mesmo em casos de estruturas nas quais nem todos Bookconceitosindb 1 532010 083605 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 2 os componentes podem ser considerados como barras como é o caso de edifícios de concreto armado é comum analisar de forma simplifi cada o comportamento global ou parcial da estrutura utilizandose um modelo de barras Este livro aborda a análise de estruturas reticuladas estaticamente indeterminadas isto é estruturas hiperestáticas Entre elas incluemse treliças estruturas com todas as barras articuladas em suas extremi dades pórticos ou quadros e grelhas estruturas planas com cargas fora do plano São tratados princi palmente os métodos clássicos da análise de estruturas hiperestáticas o método das forças e o método dos deslocamentos São resumidos os principais conceitos de análise de estruturas estaticamente determinadas estruturas isostáticas pois servem como base para os métodos de análise de estruturas hiperestáticas Nesse contexto a análise considera apenas cargas estáticas e admitese um comportamento linear para a estrutura análise para pequenos deslocamentos e materiais elásticolineares Consideramse prérequisitos para a leitura deste livro conhecimentos de mecânica geral estática e mecânica dos sólidos resistência dos materiais Partese do princípio de que o leitor entende os concei tos básicos de equilíbrio estático esforços internos tensões e deformações Diversos livrostexto abordam esses assuntos Como sugestões para leitura recomendamse na área de estática os livros de Hibbeler 20041 ou Meriam e Kraige 2004 na área de análise de estruturas isostáticas os livros de Campanari 1985 Süssekind 19771 ou Soriano 2007 e na área de mecânica dos sólidos os livros de Beer e Johns ton 2006 Féodosiev 1977 Hibbeler 20042 Popov 1998 ou Timoshenko e Gere 1994 11 BREVE HISTÓRICO DA ENGENHARIA ESTRUTURAL Timoshenko 18781972 um dos pais da engenharia estrutural moderna descreve em seu livro História da Resistência dos Materiais Timoshenko 1983 um histórico do desenvolvimento teórico sobre o compor tamento de estruturas A engenharia estrutural vai encontrar raízes se bem que de uma forma empírica nos grandes monumentos e pirâmides do antigo Egito e nos templos estradas pontes e fortifi cações da Grécia e da Roma antigas O início da formalização teórica da engenharia estrutural é atribuído à publi cação do livro Duas Ciências de Galileu em 1638 que deu origem a todo o desenvolvimento científi co desde o século XVII até os dias de hoje Antes disso Leonardo da Vinci 14521519 já havia escrito algu mas notas sobre estática e mecânica dos sólidos Ao longo desses séculos vários matemáticos e cientistas ilustres deram suas contribuições para formalizar a engenharia estrutural tal como se entende hoje Até o início do século XX podese citar dentre outros Jacob Bernoulli 16541705 Euler 17071783 Lagrange 17361813 Coulomb 17361806 Navier 17851836 Thomas Young 17731829 SaintVenant 1797 1886 Kirchhoff 18241887 Kelvin 18241907 Maxwell 18311879 e Mohr 18351918 A formalização da engenharia estrutural através de teorias científi cas permite que os engenheiros estabeleçam as forças e solicitações que podem atuar com segurança nas estruturas ou em seus compo nentes e que defi nam os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componen tes sem que estes sofram efeitos prejudicais ao seu bom funcionamento A engenharia estrutural teve um grande avanço no fi nal do século XIX com a Revolução Industrial Novos materiais passaram a ser empregados nas construções tais como concreto armado ferro fundido e aço Também foi nessa época que a engenharia estrutural conquistou um grande desenvolvimento no Brasil Em seus livros História da Engenharia no Brasil Telles 1994 Telles 1984 Pedro Carlos da Silva Telles descreve com uma impressionante quantidade de informações históricas esse desenvolvimento Durante o século XX os principais avanços se deram nos processos construtivos e nos procedimentos de cálculo A engenharia civil brasileira é detentora de vários recordes mundiais com notória distinção na construção de pontes Bookconceitosindb 2 532010 083605 Capítulo 1 I ntrodução à análise de estruturas 3 12 ANÁLISE ESTRUTURAL A análise estrutural como já foi mencionado é a etapa do projeto estrutural na qual é realizada uma previsão do comportamento da estrutura Nela são utilizadas todas as teorias físicas e matemáticas resul tantes da formalização da engenharia estrutural como ciência A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração1 com relação à estrutura que está sendo analisada como indicado na Figura 11 sendo o primeiro o mundo físico isto é o nível que representa a estrutura real tal como é construída Essa visão de caráter mais geral sobre a análise de estru turas tem por objetivo defi nir claramente o escopo deste livro que essencialmente trata da transformação do modelo estrutural no modelo discreto para o caso de estruturas formadas por barras Em outras pala vras o livro aborda principalmente os métodos básicos para concepção e análise de modelos discretos de estruturas reticuladas Figura 11 Quatro níveis de abstração referentes a uma estrutura na análise estrutural 121 Modelo estrutural O segundo nível de abstração da análise estrutural é o modelo analítico utilizado para representar ma tematicamente a estrutura que está sendo analisada Esse modelo é chamado de modelo estrutural ou modelo matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses elaboradas para descrever o comportamento da estrutura em função das diversas solicitações Essas hipóteses são baseadas em leis físicas tais como o equilíbrio entre forças e tensões as relações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e as leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura A criação do modelo estrutural de uma estrutura real é uma das tarefas mais importantes da análise estrutural Tal tarefa pode ser bastante complexa dependendo do tipo de estrutura e da sua importância Por exemplo o modelo estrutural de um prédio residencial de pequeno porte é concebido de uma forma corriqueira Em geral o modelo desse tipo de estrutura é formado por um conjunto de linhas que repre sentam as vigas e colunas do prédio e pelas superfícies que representam as lajes de seus pavimentos Por outro lado a concepção do modelo estrutural de um prédio que abriga o reator de uma usina atômica é muito mais complexa e pode envolver diversos tipos de elementos estruturais das mais variadas formas por exemplo superfícies para representar paredes estruturais ou uma superfície representando a casca de concreto armado que cobre o prédio Na concepção do modelo estrutural fazse uma idealização do comportamento da estrutura real em que se adota uma série de hipóteses simplifi cadoras Estas estão baseadas em teorias físicas e em resulta dos experimentais e estatísticos e podem ser divididas nos seguintes tipos hipóteses sobre a geometria do modelo hipóteses sobre as condições de suporte ligação com o meio externo por exemplo com o solo hipóteses sobre o comportamento dos materiais 1 Conceito baseado no paradigma dos quatro universos da modelagem em computação gráfi ca idealizado por Gomes e Velho 1998 e no conceito de análise estrutural de Felippa 2009 Bookconceitosindb 3 532010 083605 4 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER hipoteses sobre as solicitagdes que atuam sobre a estrutura cargas de ocupacao ou pressao de vento por exemplo No caso de estruturas reticuladas o modelo estrutural tem caracteristicas que sao bastante espe cificas O modelo matematico desse tipo de estrutura baseiase no fato de que os elementos estruturais tém um eixo bem definido e esta fundamentado na teoria de vigas de Navier que rege o comportamento de membros estruturais que trabalham a flexdo acrescida de efeitos axiais e de torcdo Para esse tipo de estrutura as barras vigas e colunas sdo representadas por linhas no modelo estrutural A informacao tridimensional das barras fica representada por propriedades globais de suas sec6es transversais tais como area e momentos de inércia Portanto nesse caso a definigdo da geometria do modelo é uma tarefa simples os eixos das barras definem os elementos do modelo estrutural Apesar dessa simplicidade de ordem geométrica existem muitas questdes relacionadas com a defi nicgdo do dominio geométrico de modelos de estruturas reticuladas que devem ser consideradas Algu mas dessas questdes sao abordadas com base em um exemplo que é mostrado na Figura 12 Ilustrase nessa figura a estrutura real de um edificio construido com perfis metalicos an cae nl SS SSS ie i iil Figura 12 Exemplo de estrutura real edificio construido com perfis de aco Existem intmeras alternativas para a definicao do dominio geométrico do modelo da estrutura da Figura 12 algumas ilustradas na Figura 13 Uma possibilidade é a modelagem ato de criar o modelo utilizando um portico espacial Figura 13a cujo dominio geométrico compreende a estrutura como um todo Nesse caso todos os perfis metalicos da estrutura real sdo considerados em um tnico modelo tridi mensional A consideragao de um modelo tnico traz vantagens porque todos os efeitos tridimensionais de carregamentos externos e de ligacdo entre os elementos estruturais podem ser considerados no mode lo A andlise de um modelo desse tipo é relativamente sofisticada mas atualmente existem programas de computador que possibilitam essa tarefa sem grandes dificuldades Elles Capitulo 1 Introdugao a analise de estruturas 5 ELSEVIER Entretanto uma andlise tridimensional pode nao ser adequada ou necessaria Por exemplo em uma fase inicial de prédimensionamento podese definir as secGes transversais dos perfis metalicos com base em analises mais simples do que uma andlise tridimensional completa Em outras situacdes uma andlise tridimensional tem um grau de sofisticagao incompativel com os recursos disponiveis para 0 projeto pois pode acarretar custos altos no uso de programas de computador e duracao excessiva para a criacao do modelo estrutural a a ee ee ee as in ee pe ee ee a c d Figura 13 Modelos estruturais para a estrutura da Figura 12 a portico espacial b grelhas para um pavimento c portico plano longitudinal d portico plano transversal Por esses e por outros motivos é bastante usual a concepcao de modelos que abstraem 0 comporta mento da estrutura real em dominios geométricos isolados e de menor dimensao Os modelos isolados podem ser unidimensionais no caso do isolamento de uma viga da estrutura ou bidimensionais con Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 6 forme ilustrado nas Figuras 13b 13c e 13d veja planos de corte na Figura 12 Os modelos planos da Figura 13b representam o comportamento das vigas secundárias do pavimento intermediário do edifício com respeito a efeitos provocados por forças verticais atuantes como o peso próprio da estrutura e as cargas de ocupação Modelos planos com cargas transversais ao plano como os da Figura 13b são denominados grelhas Seção 24 Nessa concepção de modelagem as vigas secundárias do pavimento se apoiam nas vigas principais Por sua vez as vigas principais são consideradas em modelos bidimensio nais de pórticos planos Seção 21 que são ilustrados nas Figuras 13c e 13d Esses modelos abstraem de forma simplifi cada o comportamento longitudinal e o comportamento transversal da estrutura real Nessas duas fi guras as setas indicam as forças verticais que são transmitidas pelas grelhas dos pavimen tos do edifício para os modelos de pórticos planos Dessa forma o comportamento tridimensional da estrutura pode ser representado de maneira aproximada pela composição das respostas dos modelos bidimensionais Observase que a concepção da geometria de um modelo de estrutura reticulada apresenta várias alternativas Entretanto essa não é a questão mais complicada A consideração das outras hipóteses sim plifi cadoras que entram na idealização do comportamento da estrutura real pode ser bastante complexa Considere como exemplo o modelo estrutural de um simples galpão industrial mostrado na Figura 14 A representação das solicitações cargas permanentes cargas acidentais etc pode envolver alto grau de simplifi cação ou pode ser muito próxima da realidade O mesmo pode ser aplicado com respeito à consi deração do comportamento dos materiais ou das fundações condições de apoio Figura 14 Corte transversal da estrutura real de um galpão e seu modelo estrutural No exemplo da Figura 14 a ligação da estrutura com o solo foi modelada por apoios que impe dem os deslocamentos horizontal e vertical mas que permitem o giro da base das colunas Outro tipo de hipótese poderia ter sido feito para esses apoios por que não considerálos como engastes perfeitos que impedem também o giro da base como no caso dos pórticos planos das Figuras 13c e 13d No modelo da Figura 14 as cargas verticais representam o peso próprio da estrutura e as cargas horizontais representam o efeito do vento De quantas maneiras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras solicitações Questões como essas indicam que existem diversas possibilidades para a concepção do modelo de uma estrutura Nesse sentido pesam diversos fatores como a experiência do analista estrutural e a com plexidade da estrutura e de suas solicitações Apesar da importância da concepção do modelo estrutural dentro da análise estrutural não é o objetivo deste livro abordar esse assunto Os modelos matemáticos adotados na idealização do compor Bookconceitosindb 6 532010 083610 Capítulo 1 I ntrodução à análise de estruturas 7 tamento de estruturas usuais já estão de certa forma consagrados principalmente no caso de estruturas reticuladas Esses modelos são descritos em livros de mecânica dos sólidos resistência dos materiais Féodosiev 1977 Timoshenko Gere 1994 Povov 1998 Beer Johnston 2006 e teoria da elasticidade Timoshenko Goodier 1980 Malvern 1969 Little 1973 Boresi Chong 1987 Villaça Taborda 1998 entre outros Também não serão tratadas aqui questões que se referem à representação das solicitações reais no modelo estrutural bem como questões relativas às leis constitutivas dos materiais que compõem a estru tura Esses assuntos em geral são abordados em disciplinas que tratam das etapas de dimensionamento e detalhamento do projeto estrutural tais como estruturas de aço estruturas de concreto armado ou estruturas de madeira O foco principal deste livro são as metodologias de análise de estruturas hiperestáticas compostas por barras No corpo deste volume o modelo estrutural completo com materiais solicitações e apoios defi nidos é sempre fornecido como ponto de partida para a análise Entretanto para entender os méto dos de análise estrutural é preciso conhecer os modelos matemáticos adotados para estruturas reticula das Portanto os Capítulos 2 3 4 e 5 deste livro resumem todas as teorias físicas e matemáticas necessá rias para descrever os métodos de análise estrutural que são tratados neste volume 122 Modelo discreto O terceiro nível de abstração utilizado na análise estrutural é o do modelo discreto Figura 11 que é con cebido dentro das metodologias de cálculo dos métodos de análise Portanto a concepção do modelo discreto de estruturas reticuladas é um dos principais assuntos tratados neste livro De forma geral os métodos de análise utilizam um conjunto de variáveis ou parâmetros para re presentar o comportamento de uma estrutura Nesse nível de abstração o comportamento analítico do modelo estrutural é substituído por um comportamento discreto em que soluções analíticas contínuas são representadas pelos valores discretos dos parâmetros adotados A passagem do modelo matemático para o modelo discreto é denominada discretização Os tipos de parâmetros adotados no modelo discreto dependem do método utilizado No método das forças os parâmetros são forças ou momentos e no método dos deslocamentos são deslocamentos ou rotações Por exemplo a Figura 15 mostra a discretização utilizada na solução de um pórtico plano pelo método das forças A solicitação externa atuante denominada carregamento é constituída de uma força lateral horizontal e uma força vertical uniformemente distribuída na viga barra horizontal Na fi gura as setas indicadas com um traço no meio são reações de apoio Seção 213 Nesse método os parâme tros adotados para discretizar a solução são forças ou momentos redundantes para garantir o equilíbrio estático da estrutura isto é forças e momentos associados a vínculos excedentes de uma estrutura hipe restática Esses parâmetros são denominados hiperestáticos Bookconceitosindb 7 532010 083611 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 8 Figura 15 Superposição de soluções básicas no método das forças No exemplo da Figura 15 os hiperestáticos adotados são as reações de apoio MA reação momen to no apoio da esquerda e HB reação horizontal no apoio da direita A confi guração deformada do pórtico denominada elástica indicada pela linha tracejada na fi gura e mostrada em escala ampliada para deslocamentos é obtida pela superposição de soluções básicas dos casos 0 1 e 2 ilustrados na fi gura A estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura estaticamente determinada isostáti ca obtida da estrutura original através da eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperes táticos Cada solução básica isola um determinado efeito ou parâmetro o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 o efeito do hiperestático MA é isolado no caso 1 e o efeito do hiperestático HB é isolado no caso 2 A metodologia de análise pelo método das forças determina os valores que os hiperestáticos devem ter para recompor os vínculos eliminados restrição à rotação no apoio da esquerda e restrição ao deslocamento horizontal no apoio da direita Dessa forma a solução do problema fi ca parametrizada discretizada pelos hiperestáticos MA e HB Essa metodologia será apresentada em detalhes no Capítulo 8 deste livro Por outro lado a solução discreta pelo método dos deslocamentos para estruturas reticuladas é representada por valores de deslocamentos e rotações nos nós pontos de encontro das barras ou extre midades de barras como indicado na Figura 162 Esses parâmetros são denominados deslocabilidades No exemplo dessa fi gura as deslocabilidades são os deslocamentos horizontais dos nós superiores x C Δ e x Δ D os deslocamentos verticais desses nós y C Δ e y Δ D e as rotações dos nós livres ao giro z B θ z C θ e z D θ 2 A notação adotada neste livro para indicar genericamente uma componente de deslocamento ou rotação é uma seta com um traço na base Bookconceitosindb 8 532010 083611 FOB eh Capitulo 1 Introdugao a analise de estruturas 9 ELSEVIER 6 Ag 05 BAL Ac Ay Tt tt F ai ay ae Egy tap OC y KF OB XxX Figura 16 Pardametros nodais utilizados na discretizacdo pelo método dos deslocamentos Na Figura 16 a configuracao deformada da estrutura elastica mostrada em escala ampliada repre senta a solucao continua do modelo matematico Os valores das deslocabilidades nodais representam a solucao discreta do problema Nesse tipo de metodologia baseada em deslocamentos a solugdo continua pode ser obtida por interpolacao dos valores discretos dos deslocamentos e rotacdes nodais consideran do também o efeito da forca distribuida na barra horizontal A Figura 17 mostra a discretizacgao utilizada na solucao desse portico pelo método dos desloca mentos A solucdo continua em deslocamentos da estrutura é obtida pela superposicao de configura6es deformadas elementares das soluc6es basicas dos casos 0 a 7 mostrados na figura Cada solucao basica isola os efeitos das cargas externas caso 0 e de cada uma das deslocabilidades casos 1 a 7 Na Figura 17 as configuragdes deformadas elementares de cada caso basico sao denominadas cine maticamente determinadas porque sao fungdes conhecidas que multiplicam isoladamente cada uma das deslocabilidades Essas configuracdes deformadas elementares sao as proprias funcdes que interpolam os deslocamentos e rotacdes nodais para obter a solucao continua CIUISTITIST CITISTITIIT Ac ee TS Tt i Hai aif See lta f yt OG Hi 4 AY OH OF 85 Figura 17 Superposido de solugdes basicas no método dos deslocamentos Em geral para estruturas reticuladas com barras prismaticas a secdo transversal nao varia ao longo do comprimento da barra a solucao obtida por interpolacao é igual a solugao analitica do modelo estru 10 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER tural Isso ocorre porque as funcg6es de interpolagado que definem a configuracao deformada continua sao compativeis com a idealizagéo matematica do comportamento das barras feita pela mecanica dos sdlidos A metodologia de andlise pelo método dos deslocamentos é detalhada no Capitulo 10 No caso de estruturas continuas que nao séo compostas por barras comumente é utilizado na andalise estrutural o método dos elementos finitos com uma formulacgao em deslocamentos Zienkiewicz Taylor 2000 Nesse método 0 modelo discreto é obtido pela subdivisao do dominio da estrutura em subdominios chamados de elementos finitos com formas simples em modelos planos usualmente trian gulos ou quadrilateros como exemplificado na Figura 18 para o modelo bidimensional de uma estru tura continua com um furo Essa subdivisdo é denominada malha de elementos finitos e os pardametros que representam a solucdo discreta sao valores de deslocamentos nos nos vértices da malha ER ORO N Seether SOLY aR Dp INBOY Ye OC HRD AAT VNR RISK CSE EEE VD PRR PAE EAA RAL K TBIERVSEBE SA LK DAY SALE a XP CIHR BTL KALRL KYSER BOAT VAL AAAAAALS ATV VV VANS IS N SN JX JS AS IS TN LS LS AS LS LS ZS Figura 18 Discretizagdo pelo método dos elementos finitos de uma estrutura continua Podese observar por esse exemplo que a obtencao do modelo discreto para estruturas continuas é muito mais complexa do que no caso de modelos de estruturas reticuladas porticos trelicas ou grelhas Muitos outros métodos também sao utilizados como o método dos elementos de contorno As notas de aula de Felippa 2009 apresentam uma excelente introducdo aos métodos de andlise de estruturas continuas Capítulo 1 I ntrodução à análise de estruturas 11 Para estruturas formadas por barras os nós pontos onde são defi nidos valores discretos são identifi ca dos naturalmente no encontro ou nas extremidades das barras enquanto para modelos contínuos os nós são obtidos pela discretização do domínio da estrutura em uma malha Uma importante diferença entre os modelos discretos de estruturas reticuladas e de estruturas con tínuas é que a discretização de uma malha de elementos fi nitos introduz simplifi cações em relação à idealização matemática feita para o comportamento da estrutura Isso ocorre porque as funções de inter polação que defi nem a confi guração deformada de uma malha de elementos fi nitos não são em geral compatíveis com a idealização matemática do comportamento do meio contínuo feita pela teoria da elasticidade Dessa forma a solução do modelo discreto de elementos fi nitos é uma aproximação da so lução analítica da teoria da elasticidade ao passo que a solução do modelo discreto de uma estrutura com barras prismáticas é igual à solução analítica da mecânica dos sólidos Conforme mencionado este livro trata apenas de modelos de estruturas reticuladas Existem di versas referências para o tratamento de estruturas contínuas através do método dos elementos fi nitos tais como os livros de Bathe 1982 Cook et al 1989 Felippa 2009 Zienkiewicz e Taylor 2000 Assan 1999 Soriano 2003 Fish e Belytschko 2007 e Onãte 2009 123 Modelo computacional Desde a década de 1960 o computador tem sido utilizado na análise estrutural embora inicialmente apenas em institutos de pesquisa e universidades Nos anos 70 essa utilização passou a ser corriqueira e nos anos 80 e 90 com a criação de programas gráfi cos interativos a análise estrutural passou a ser feita com uso de computador em praticamente todos os escritórios de cálculo estrutural e empresas de consultoria A análise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulação computacional do com portamento de estruturas Embora este livro não esteja voltado diretamente para o desenvolvimento de programas para prever o comportamento de estruturas é importante ter em mente que não se concebe atualmente executar as tarefas de análise estrutural mesmo para o caso de estruturas reticuladas sem o uso de computador e de computação gráfi ca Portanto este livro pode ser considerado uma introdução à análise de estruturas As soluções apre sentadas para os modelos discretos das formulações do método das forças e do método dos deslocamen tos são obtidas através de resolução manual O enfoque dado aqui é na compreensão do comportamento de estruturas reticuladas hiperestáticas e dos fundamentos dos métodos básicos da análise estrutural Livrostexto sobre o método dos elementos fi nitos como os citados na seção anterior abordam de certa maneira a implementação computacional do método da rigidez direta que é uma formalização do mé todo dos deslocamentos direcionada a uma implementação computacional e do método dos elementos fi nitos O método das forças emprega uma metodologia que é menos propícia para ser implementada computacionalmente e por isso é pouco utilizado em programas de computador Entretanto diversos outros aspectos estão envolvidos no desenvolvimento de um programa de computador para executar uma análise estrutural Questões como estruturas de dados e procedimen tos para a criação do modelo geométrico geração do modelo discreto aplicação de atributos de análise propriedades de materiais carregamentos condições de suporte etc e visualização dos resultados são fundamentais nesse contexto Essas questões não são tratadas nos livros sobre elementos fi nitos pois pertencem à área de modelagem geométrica e computação gráfi ca Bookconceitosindb 11 532010 083616 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 12 13 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS Este capítulo inicial visa posicionar o leitor dentro da atividade de análise estrutural e apontar os prin cipais tópicos abordados neste livro Os Capítulos 1 a 5 são introdutórios e resumem conceitos básicos necessários para o entendimento do restante do livro Os demais capítulos apresentam métodos e proce dimentos para análise de estruturas reticuladas especialmente de estruturas estaticamente indetermina das hiperestáticas O próximo capítulo faz um resumo dos tipos mais comuns de modelos de estruturas reticuladas isto é de estruturas formadas por barras vigas pórticos planos treliças grelhas e pórticos espaciais Os modelos são caracterizados pelas hipóteses simplifi cadoras adotadas para a geometria da estrutura para as cargas e para os deslocamentos e rotações Os tipos mais comuns de restrições de apoio e sua simbo logia são apresentados O Capítulo 3 apresenta uma classifi cação de estruturas reticuladas estaticamente determinadas isostáticas Modelos estaticamente determinados têm solução baseada apenas em condições de equilí brio O capítulo também mostra a convenção de sinais adotada para esforços internos e os procedimen tos adotados para o traçado de diagramas de esforços internos de vigas pórticos planos treliças planas e grelhas estaticamente determinados Para exemplifi car esses procedimentos são mostradas soluções isostáticas para esses tipos de modelos Também são apresentados métodos para a determinação do grau de hiperestaticidade grau de indeterminação estática de vigas pórticos planos treliças e grelhas O Capítulo 4 trata principalmente das condições básicas a serem respeitadas pelo modelo estru tural condições de equilíbrio e condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações São apresentados os métodos clássicos de análise estrutural método das forças e método dos deslocamentos e a forma como as condições de equilíbrio condições de compatibilidade e leis constitutivas dos mate riais que compõem a estrutura são tratadas por esses métodos O comportamento linear de estruturas condição para aplicar a superposição de efeitos também é discutido Tal comportamento depende do comportamento linear dos materiais e da validade da hipótese de pequenos deslocamentos Quando se pode adotar essa hipótese as condições de equilíbrio são defi nidas para a geometria indeformada da es trutura Esse tipo de abordagem é denominado análise de primeira ordem A penúltima seção do Capítulo 4 caracteriza efeitos de segunda ordem que resultam em um comportamento não linear de ordem geomé trica para a estrutura embora esses efeitos não sejam considerados neste livro A última seção aborda conceitualmente as diferenças de comportamento entre estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas O Capítulo 5 resume a formalização matemática associada à idealização do comportamento de bar ras A teoria de vigas de Navier para o comportamento à fl exão de barras é apresentada com todas as suas hipóteses e simplifi cações As principais relações diferenciais da mecânica dos sólidos que regem o comportamento de barras para efeitos axiais cisalhantes de fl exão e de torção são apresentadas com vis tas à sua utilização no desenvolvimento dos métodos de análise abordados nos capítulos subsequentes Com base no modelo adotado para o comportamento de barras é feita uma comparação entre estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas com respeito às condições de equilíbrio e às condições de compa tibilidade A partir das relações diferenciais apresentadas para o comportamento à fl exão de barras é feita uma análise qualitativa de aspectos de diagramas de esforços internos e confi gurações deformadas em vigas e pórticos simples O Capítulo 5 também introduz a hipótese de barras inextensíveis Essa hipó tese é uma aproximação razoável para o comportamento de um pórtico e possibilita o entendimento do conceito de contraventamento enrijecimento lateral de pórticos com barras inclinadas muito importante no projeto de estruturas reticuladas A última seção do capítulo apresenta a modelagem da perda de estabilidade de barras submetidas à compressão considerando efeitos de segunda ordem equilíbrio na Bookconceitosindb 12 532010 083616 Capítulo 1 I ntrodução à análise de estruturas 13 confi guração deformada Isso é feito para complementar a idealização do comportamento de barras embora efeitos de segunda ordem não sejam considerados no restante do livro O Capítulo 6 apresenta a analogia da viga conjugada como forma alternativa para analisar vigas hi perestáticas Essa analogia também conhecida como processo de Mohr é inteiramente baseada na teoria de vigas de Navier descrita no Capítulo 5 Com base nessa analogia a resolução do problema da compa tibilidade de uma viga é substituída pela resolução do problema do equilíbrio de uma viga conjugada Como a imposição de condições de equilíbrio é em geral mais intuitiva do que a imposição de condições de compatibilidade a analogia da viga conjugada se apresenta como uma alternativa à imposição de condições de compatibilidade em vigas Tal analogia também é utilizada para deduzir soluções funda mentais de barras isoladas que são apresentadas formalmente no Capítulo 9 A vantagem de utilizar a analogia para isso é que ela trata de maneira conveniente uma barra cuja seção transversal varia ao longo do comprimento Embora no caso geral não existam soluções fundamentais analíticas para barras que têm seção transversal variável com a analogia da viga conjugada é possível obter soluções fundamentais de maneira efi ciente utilizando procedimentos numéricos Além disso essa analogia é aplicada à análise de vigas submetidas a efeitos térmicos transversais isto é efeitos de variação de temperatura entre a face inferior e a face superior da viga O Capítulo 7 apresenta o princípio dos trabalhos virtuais para a determinação de soluções básicas que são utilizadas pelos métodos das forças e dos deslocamentos Duas formulações podem ser deriva das desse princípio princípio das forças virtuais e princípio dos deslocamentos virtuais O princípio das forças virtuais é utilizado para determinar as soluções básicas do método das forças que correspondem a soluções de deslocamentos e rotações em sistemas estaticamente determinados isostáticos como as soluções básicas dos casos 0 1 e 2 mostrados na Figura 15 Já o princípio dos deslocamentos vir tuais é utilizado para determinar as soluções básicas do método dos deslocamentos que correspondem a soluções de forças e momentos em sistemas cinematicamente determinados confi gurações deformadas conhecidas como as soluções básicas dos casos 0 a 7 mostradas na Figura 17 Ao fi nal do Capítu lo 7 são apresentados os teoremas de reciprocidade teorema de Betti e teorema de Maxwell O método das forças para a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas é apresentado detalha damente no Capítulo 8 O capítulo trata principalmente de aplicações do método para vigas e pórticos planos mas também são considerados exemplos de modelos de treliça plana e grelha Embora os progra mas de computador geralmente utilizem o método dos deslocamentos e por isso na prática o método das forças seja pouco utilizado esse método tem o mérito de ser intuitivo Por esse motivo em geral o método das forças é apresentado em livrostexto antes do método dos deslocamentos O Capítulo 9 apresenta soluções fundamentais de barras isoladas que compõem as soluções básicas do método dos deslocamentos Elas podem ser consideradas soluções básicas locais sendo utilizadas para determinar as soluções básicas globais da estrutura como um todo do método dos deslocamentos Existem dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas O primeiro corresponde a soluções de uma barra quando são impostos isoladamente deslocamentos ou rotações nas extremidades O segundo tipo de soluções fundamentais são soluções de engastamento perfeito de barras para solicitações exter nas aplicadas cargas variações de temperatura etc As soluções fundamentais de barras isoladas são determinadas pelo princípio dos deslocamentos virtuais e pelo teorema de Betti Capítulo 7 Essa meto dologia da forma como é apresentada só considera soluções fundamentais para barras prismáticas isto é barras que têm seção transversal que não varia ao longo do comprimento As únicas soluções funda mentais para barras isoladas com seção transversal variável deduzidas no Capítulo 9 estão relacionadas a efeitos axiais e de torção e utilizam o método das forças No caso do efeito de fl exão conforme mencio Bookconceitosindb 13 532010 083616 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 14 nado o Capítulo 6 deduz com base na analogia da viga conjugada as soluções fundamentais para barras isoladas com seção transversal variável O Capítulo 10 apresenta uma introdução ao método dos deslocamentos Esse capítulo depende das defi nições de soluções fundamentais de barras isoladas abordadas no Capítulo 9 O objetivo é descrever os fundamentos do método dos deslocamentos aplicado a pórticos planos No Capítulo 10 o método é apresentado com uma formulação geral Essa formulação é particularizada nos Capítulos 11 e 12 visando a uma aplicação do método através de resolução manual sem computador O Capítulo 13 apresenta uma formulação matricial do método dos deslocamentos voltada para implementações computacionais método da rigidez direta No Capítulo 11 são introduzidas restrições comumente adotadas para as deformações de barras com o objetivo de reduzir o número de parâmetros discretos deslocabilidades de uma solução pelo método dos deslocamentos e assim facilitar sua resolução manual A apresentação do método com essas restrições pode ser considerada a forma clássica de apresentação em livrostexto como por exemplo no de Süssekind 19773 que estão voltados para resoluções manuais Na verdade o principal objetivo ao considerar essas restrições nas deformações de barras é caracterizar o comportamento de pórticos com relação aos efeitos de deformações axiais e de deformações transversais por fl exão A principal restrição adotada é a consideração de barras sem deformação axial chamadas de barras inextensíveis que é in troduzida no Capítulo 5 Também são apresentados procedimentos práticos macetes para eliminar parâmetros discretos do método dos deslocamentos sem que sejam introduzidas simplifi cações adicio nais no comportamento da estrutura Além disso o Capítulo 11 mostra um exemplo de análise de uma grelha por esse método explorando uma dessas simplifi cações O Capítulo 12 descreve um processo de solução iterativa de vigas e pórticos pelo método dos deslo camentos Esse processo é denominado método da distribuição de momentos White et al 1976 Hibbe ler 2009 ou processo de Cross Süssekind 19773 Apesar de esse processo ter caído em desuso nos últi mos anos ele apresenta a vantagem de propiciar um entendimento intuitivo do comportamento de vigas e quadros que trabalham fundamentalmente à fl exão além de permitir uma rápida resolução manual O método da rigidez direta que é uma formalização matricial do método dos deslocamentos volta da para sua implementação computacional é apresentado no Capítulo 13 A formulação geral do método da rigidez direta é desenvolvida para modelos de pórticos planos Procurase dar um enfoque concei tual sobre o método não focando diretamente em sua implementação computacional Apenas alguns aspectos a esse respeito são mencionados O objetivo é mostrar o que é realizado por um programa de computador para uma análise desse tipo sem entrar nos detalhes da implementação Salientase que a formulação matricial faz com que a generalização do método para outros tipos de modelos estruturais seja relativamente simples inclusive para modelos contínuos discretizados em elementos fi nitos No fi nal do capítulo apresentamse apenas alguns aspectos que caracterizam a aplicação do método para treliças planas e grelhas e que diferem da formulação apresentada para pórticos planos Finalmente o Capítulo 14 descreve o procedimento de análise de estruturas reticuladas para cargas acidentais e móveis isto é cargas que não têm atuação constante ou posição fi xa sobre a estrutura Os conceitos de linhas de infl uência e envoltórias de esforços internos são introduzidos Linhas de infl uência são gráfi cos ou funções que estabelecem a variação de um determinado esforço em uma determinada seção transversal para uma força vertical unitária que percorre a estrutura As envoltórias de esforços internos defi nem limites mínimos e máximos de variação de esforços internos ao longo da estrutura soli citada por cargas acidentais ou móveis Esses limites são defi nidos para cada seção transversal com base em linhas de infl uência É deduzido o método cinemático para o traçado de linhas de infl uência também chamado de princípio de MüllerBreslau White et al 1976 Süssekind 19771 Soriano 2007 Hibbeler Bookconceitosindb 14 532010 083616 Capítulo 1 I ntrodução à análise de estruturas 15 2009 Esse princípio é demonstrado no caso geral pelo teorema de Betti Capítulo 7 e estabelece que uma linha de infl uência de um determinado esforço interno em uma determinada seção transversal é a confi guração deformada resultante da imposição de um deslocamento generalizado ao se romper o vín culo associado ao esforço interno na seção As soluções de engastamento perfeito para barras isoladas do princípio de MüllerBreslau são apresentadas e deduzidas pela analogia da viga conjugada Capítulo 6 considerando também barras com seção transversal variável Essas soluções facilitam a determinação de linhas de infl uência por programas de computador que implementam o método da rigidez direta Bookconceitosindb 15 532010 083616 22 2 Modelos de estruturas reticuladas Este livro está voltado para a análise de estruturas reticuladas isto é estruturas formadas por barras Este capítulo apresenta uma classifi cação dos tipos de modelos de estruturas reticuladas de acordo com o seu arranjo espacial e suas cargas Para cada tipo de modelo são caracterizados os esforços internos as direções dos seus deslocamentos e rotações e os tipos de apoios e sua simbologia A apresentação dos tipos de modelos de estruturas reticuladas e suas características é feita explo rando um raciocínio intuitivo isto é ela não segue um formalismo matemático Entretanto partese do pressuposto de que o leitor entende os conceitos de força momento e equilíbrio estático A concepção dos modelos de estruturas reticuladas é complementada no Capítulo 5 que trata da idealização matemática adotada para o comportamento de barras 21 PÓRTICOS PLANOS A Figura 21 mostra um exemplo de quadro ou pórtico plano Um quadro plano é um modelo estrutural plano de uma estrutura tridimensional Tal modelo pode corresponder a uma fatia da estrutura ou pode representar uma simplifi cação do comportamento tridimensional Seção 121 Figura 21 Eixos globais cargas reações deslocamentos e rotações de um quadro plano Modelos estruturais desse tipo estão contidos em um plano neste livro é adotado o plano formado pelos eixos X e Y como mostra a Figura 21 e as solicitações externas cargas também estão contidas Bookconceitosindb 17 532010 083616 ELSEVIER 18 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha nesse plano Isso inclui forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z eixo saindo do plano Conforme mencionado na Seção 121 no modelo de estruturas reticuladas os elementos estruturais são representados por linhas pois têm um eixo bem defi nido Genericamente esses elementos estrutu rais são chamados de barras No exemplo o pórtico tem três barras uma viga barra horizontal e dois pilares ou colunas barras verticais No caso de quadros planos a representação matemática do comportamento dos elementos estrutu rais está embasada na teoria de vigas de Navier que rege o comportamento de barras que trabalham à fl exão acrescida de efeitos axiais Essa representação é abordada no Capítulo 5 211 Solicitações externas O quadro plano da Figura 21 tem solicitação externa composta por uma força horizontal P na direção de X e uma força uniformemente distribuída vertical q na direção de Y As forças aplicadas externamente são chamadas de forma geral cargas Cargas externas também podem incluir momentos aplicados que no caso de pórticos planos são momentos em torno do eixo perpendicular ao plano do modelo O conjunto de cargas que atua externamente é denominado genericamente carregamento Neste livro a unidade de distância é simbolizada por L a unidade de força é simbolizada por F a unidade de momento é simbolizada por FL e a unidade de força distribuída é simbolizada por FL A uni dade adotada para distância é o metro m para força é o quilonewton kN para momentos é o quilonewton multiplicado por metro kNm e para força distribuída é o quilonewton dividido por metro kNm Também estão indicadas na Figura 21 as reações de apoio que são forças e momentos que represen tam a resposta mecânica das fundações ou de outras estruturas conectadas sobre o modelo estrutural As reações de apoio são iguais e contrárias às ações das solicitações externas transferidas através da es trutura sobre as fundações ou estruturas conectadas Nesse exemplo as reações de apoio são compostas de forças horizontais e verticais e de um momento em torno do eixo Z No contexto da análise estrutural as solicitações externas de um modelo estrutural têm a seguinte classifi cação de acordo com a forma de atuação cargas permanentes cargas acidentais cargas móveis As cargas permanentes têm posição de atuação fi xa sobre a estrutura e perduram durante toda a sua vida útil O peso próprio é o típico exemplo de uma carga permanente Cargas acidentais têm posição fi xa mas sua atuação é intermitente ou seja não atuam o tempo todo Como exemplo podese citar as cargas de ocupação de um edifício ou as cargas provocadas pela pressão ou sucção de vento Cargas móveis não têm posição e sua atuação é intermitente O exemplo mais evidente é o de cargas de um veículo sobre uma ponte A análise de estruturas para cargas acidentais e móveis segue procedimentos que são bastante dis tintos dos procedimentos de análise para cargas permanentes A principal razão disso é que no caso de cargas permanentes a transferência de cargas através da estrutura tem uma distribuição constante Nes se caso as reações de apoio têm valores fi xos Por outro lado no caso de cargas acidentais e móveis a transferência de cargas através da estrutura e as reações de apoio variam em função da atuação das cargas Os procedimentos de análise levam em conta o caráter variável dos efeitos provocados por esses tipos de carga Outro motivo para a diferença de tratamento na análise deriva da natureza não determinística das cargas acidentais e móveis Em geral Bookconceitosindb 18 532010 083617 Capítulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 19 essas cargas são defi nidas através de estudos estatísticos resultando em cargas acidentais idealizadas para o projeto de estruturas e em veículostipo de projeto que representam solicitações móveis para diversas situações Este livro trata da análise estática de modelos de estruturas reticuladas para cargas permanentes acidentais e móveis Isso signifi ca que mesmo no caso de cargas móveis não são considerados efeitos de impacto ou vibrações em estruturas A maior parte do escopo do livro enfoca a análise estrutural para cargas permanentes No Capítulo 14 são mostrados os procedimentos para a análise de estruturas reticuladas para cargas acidentais e móveis Outros tipos de solicitações externas considerados são variação de temperatura e recalques movi mentos indesejados de apoios 212 Confi guração deformada A Figura 21 também indica a confi guração deformada da estrutura com as componentes de deslocamentos e rotações dos nós pontos de encontro ou pontos extremos das barras A confi guração deformada é re presentada na fi gura pela linha tracejada mostrada com a escala de deslocamentos exagerada Essa linha também é chamada curva elástica ou simplesmente elástica Estruturas civis são corpos rígidos porém deformáveis Ficará claro ao longo deste livro que a con sideração de deformações em estruturas é um dos pontoschave para a previsão do seu comportamento através de modelos estruturais Os deslocamentos de estruturas civis são em geral muito pequenos Isso é da natureza desse tipo de estrutura uma estrutura civil com grandes defl exões teria sua funcionalidade comprometida Por esse motivo as confi gurações deformadas sempre são mostradas com escala exagerada A simplifi cação adotada para modelos estruturais de quadros planos é a inexistência de desloca mentos na direção transversal ao plano direção Z e rotações em torno de eixos do plano da estrutura Portanto um quadro plano apresenta somente as seguintes componentes de deslocamentos e rotação Δx deslocamento na direção do eixo global X L Δ y deslocamento na direção do eixo global Y L θ z rotação em torno do eixo global Z R O símbolo da unidade de deslocamento é o mesmo utilizado para a unidade de distância L Neste livro a unidade adotada para deslocamento é o metro m rotações são expressas em radiano rad que é adimensional e utilizase o símbolo R para rotações Para modelos de estruturas reais valores de deslocamentos em metros e de rotações em radianos são muito pequenos 213 Apoios Um modelo estrutural tem condições de contorno em termos de deslocamentos e rotações que repre sentam as ligações do modelo com o meio externo o qual pode ser as fundações da estrutura ou outra estrutura conectada à estrutura sendo modelada A ligação de um modelo estrutural com o meio externo é considerada através de apoios que representam condições de suporte nos pontos de contato externo No exemplo da Figura 21 o modelo estrutural possui dois apoios O apoio da esquerda é um engaste que tem como condições de suporte restrições completas isto é as duas componentes de deslocamento e a rotação são nulas no ponto do apoio Por outro lado o apoio da direita é um apoio simples do 2o gênero Esse tipo de apoio impede os deslocamentos horizontal e vertical mas não restringe a rotação A Tabela 21 resume os tipos mais comuns de apoios em modelos de pórticos planos e vigas Para cada um deles é mostrada a simbologia adotada neste livro isto é como o apoio é representado no modelo as restrições de deslocamentos e rotação associadas ao apoio e as correspondentes reações de apoio Bookconceitosindb 19 532010 083617 ELSEVIER 20 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Apoios simples do 1o gênero restringem o deslocamento apenas em uma direção geralmente na direção vertical Y ou na direção horizontal X Na Tabela 21 o apoio do 1o gênero inclinado é mostrado com uma inclinação genérica dada pelo sistema de eixos X Y O apoio do 2o gênero e o engaste também denomi nado apoio do 3o gênero podem ser representados com qualquer inclinação Isso não acarreta mudança de comportamento porque os deslocamentos nas duas direções horizontal e vertical são restringidos O engaste deslizante sem inclinação além de restringir o deslocamento na direção Y impede a rotação Quando tem inclinação restringe o deslocamento na direção Y e a rotação Para cada restrição de apoio existe uma reação de apoio associada As reações de apoio são as forças e os momentos que representam o efeito mecânico do meio externo sobre o modelo estrutural A Figura 21 e a Tabela 21 ilustram a notação utilizada para indicar reações de apoio setas com um traço perpendicular no meio indicam uma reação força ou momento Tabela 21 Tipos de apoio em quadros planos e vigas Apoios Símbolos Restrições em deslocamentos e rotações Reações de apoio Simples do 1o gênero vertical Δy 0 Simples do 1o gênero horizontal Δx 0 Simples do 1o gênero inclinado Δy 0 Simples do 2o gênero Δx 0 Δy 0 Engaste 3o gênero Δx 0 Δy 0 θz 0 Engaste deslizante Δy 0 θ z 0 Engaste deslizante inclinado Δy 0 θ z 0 Bookconceitosindb 20 532010 083617 Capítulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 21 De acordo com a terceira lei de Newton as reações de apoio têm a mesma intensidade das forças e momentos que resultam das ações da estrutura sobre o meio externo mas com sentidos opostos a essas ações As ações da estrutura sobre o meio externo são provenientes das solicitações externas que atuam na estrutura e dependem da forma como a estrutura transfere essas cargas As reações de apoio que estão indicadas na Tabela 21 têm sempre a mesma direção da correspon dente restrição de apoio em deslocamento ou rotação As reações aparecem na tabela com os sentidos positivos isto é na direção dos eixos de coordenadas uma reação força horizontal é positiva quando tem o sentido da esquerda para a direita uma reação força vertical é positiva quando tem o sentido de baixo para cima e uma reação momento é positiva no sentido antihorário Convenção análoga vale para um apoio com inclinação A notação utilizada é Fx reação força na direção do eixo global X F Fy reação força na direção do eixo global Y F Mz reação momento em torno do eixo global Z FL Entretanto nem sempre é uma aproximação razoável considerar que uma restrição ao deslocamen to ou rotação é completa Existem apoios que oferecem restrições apenas parciais Isso ocorre quando o meio externo por exemplo uma fundação da estrutura não é completamente rígido Considere como ilustração os três tipos de fundações mostrados na Figura 22 A fundação da esquerda é um bloco com oito estacas a do centro é um bloco com duas estacas e a da direita é uma fundação direta em sapata Ob servase que as duas últimas fundações apresentam uma rotação θ enquanto a primeira não sofre giro Em um modelo estrutural uma representação razoável para o bloco de fundação com oito estacas pode ser um engaste pois esse tipo de fundação praticamente impede todos os deslocamentos e rotações Por outro lado a fundação em sapata oferece pouca resistência ao giro podendo ser representada por um apoio do 2o gênero Mas existem casos intermediários como o do bloco de duas estacas da Figu ra 22 A restrição ao giro imposta por essa fundação pode ser parcial Esse bloco de estacas é capaz de resistir a um momento aplicado mas sofre um giro associado ao momento Na verdade todos os apoios dessa fi gura impõem restrições parciais porque não existe uma fundação real com rigidez infi nita nem existe uma sapata que libere completamente a rotação Para essas duas fundações as considerações de engaste e apoio do 2o gênero são hipóteses razoáveis adotadas no modelo estrutural Figura 22 Fundações em bloco de oito estacas em bloco de duas estacas e em sapata Bookconceitosindb 21 532010 083619 22 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Apoios que restringem parcialmente deslocamentos ou rotacdes sao representados no modelo estru tural como apoios elasticos Quando a rotacao é liberada parcialmente e os deslocamentos continuam res tringidos por completo a denominagcao adotada é apoio eldstico rotacional O simbolo utilizado para esse tipo de apoio é mostrado na Figura 22 um apoio do 2 género com uma mola rotacional A Figura 23 ilustra a configuracao deformada com escala exagerada de um portico simétrico com apoios elasticos rotacionais As reacées de apoio provocadas pela forga P centrada atuando na viga também estao indicadas na figura H éareaco forca horizontal V é a reacdo forca vertical e M é a reacéo momento Vése na Figura 23 que um apoio elastico rotacional sofre uma rotacdo 8 e apresenta uma reacgao mo mento M Conforme ilustrado na Figura 24 no caso geral existe uma relacao nao linear entre o momento M ea rotacao sofrida pelo apoio Para pequenas rotacées a relagdo entre o momento e a rotacdo pode ser aproximada por uma relacdo linear indicada pela reta com coeficiente angular K o qual é chamado de coeficiente de rigidez a rotacao do apoio Nesse caso 0 apoio é denominado apoio eldstico rotacional linear Ee OTT teen i 1 0 Hy Det rx rx M M V V Figura 23 Portico com apoio elastico rotacional if I Lot ely 1 g ilk D g0 fA K 00 id I M0 a KP ee ee Sy Figura 24 Relagdo momento x rotagdo em um apoio elastico rotacional Observase pela Figura 24 que 0 apoio elastico rotacional é um caso intermediario entre o engaste e o apoio do 2 género O engaste é um caso extremo com coeficiente de rigidez a rotagdo com valor infinito e rotacado nula O apoio do 2 género é 0 extremo oposto com rigidez a rotacdo e reacao momento nulas Existem infinitos casos intermediarios de apoios elasticos rotacionais cada um dado por um valor de coeficiente de rigidez a rotacao Além do apoio elastico rotacional existe 0 apoio eldstico translacional Como a propria denominacao sugere esse apoio oferece uma restricao parcial a translacdo no ponto do apoio também apresentando 1 Essencialmente 0 apoio é eldstico acontece quando além de apresentar um impedimento parcial ao deslocamento ou rotacdo retorna a sua situacdo original deslocamentos ou rotacdes nulos apdés o descarregamento da estrutura De outra forma 0 apoio é inelastico FOB eh Capitulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 23 ELSEVIER uma reacao forga na direcdo do deslocamento restringido Apoios elasticos translacionais sao utilizados em modelos estruturais para representar um comportamento eldstico translacional de uma fundacao Também existem situacdes em que o modelo estrutural esta conectado a outra estrutura que nao se pre tende dimensionar ou projetar Nesse caso 0 tnico interesse é a representacao do comportamento elas tico da outra estrutura 0 que poderia ser feito por meio de apoios elasticos translacionais e rotacionais A Tabela 22 resume alguns tipos de apoios elasticos translacionais e rotacionais que podem combi nar restric6es parciais e restrigdes completas A tabela também indica relacgées constitutivas entre reacdes forga e deslocamentos e entre reacao momento e rotacao considerando um comportamento linear para os apoios elasticos Tabela 22 Alguns tipos de apoios elasticos lineares em quadros planos e vigas hy Apoio elastico x translacional vertical Le PY Kia FY Apoio elastico i Y translacional horizontal x PrKa F Apoios elasticos h Y god translacionais horizontal x PrKa y e vertical FrKav t F x ty A 0 iy Ory Apoio elastico rotacional x Av0 oral rit M M2 K 2 h F Kk A Apoios elasticos translacionais F Xx FyKkKynw 2 e rotacional MZ Mz Ke 2 FY x Kx Ax Engaste deslizante com apoio F KA Wts y 0 elastico translacional Wn x A we z Q 0 FY M Neste livro apoios elasticos sao considerados na andlise de estruturas pelo método dos deslocamen tos Secdo 117 abrangendo apenas apoios elasticos com comportamento linear ou seja quando os des locamentos e rotagdes do apoio séo pequenos Os apoios elasticos lineares seguem as seguintes relacdes entre reacdes forca e deslocamentos e entre reacgdo momento e rotacdo F K A 21 FY KYA 22 ELSEVIER 24 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha z z K M θθ 23 Nas Equações 21 22 e 23 o sinal negativo é necessário pois a reação de apoio é sempre contrária ao deslocamento ou rotação que o ponto do apoio sofre Os coefi cientes que aparecem nessas equações são defi nidos da seguinte maneira Kx coefi ciente de rigidez do apoio elástico translacional linear horizontal FL Ky coefi ciente de rigidez do apoio elástico translacional linear vertical FL Kθ coefi ciente de rigidez do apoio elástico rotacional linear FLR A unidade adotada neste livro para x K e y K é kNm e para θ K é kNmrad 214 Equilíbrio global Um modelo estrutural representa o isolamento de uma estrutura em relação ao meio externo Dessa maneira cargas externas devem estar em equilíbrio com reações de apoio No contexto deste livro o equilíbrio é estático pois as estruturas consideradas estão em repouso e sem vibração sem velocidades e acelerações e os efeitos inerciais são desprezados Pela segunda lei de Newton as resultantes de forças e momentos englobando cargas externas e reações de apoio devem ser nulas Essa condição de equilíbrio estático é muito explorada na análise de estruturas como é visto ao longo deste volume Uma força é uma grandeza vetorial com intensidade direção e sentido No caso de quadros planos a imposição de força resultante nula fornece duas condições para o equilíbrio global da estrutura 0 Fx somatório de forças na direção horizontal igual a zero 24 0 Fy somatório de forças na direção vertical igual a zero 25 Além disso as forças atuam em uma estrutura em vários pontos Nesse caso a ação à distância de uma força deve ser considerada O efeito de uma força atuando à distância é chamado de momento As sim a aplicação da segunda lei de Newton para estruturas em repouso deve ser estendida para momen tos No caso de quadros planos isso resulta em mais uma condição para o equilíbrio global da estrutura 0 Mo somatório de momentos em relação a um ponto O igual a zero 26 A imposição de somatório de momentos nulos pode ser feita em relação a qualquer ponto do plano XY 215 Esforços internos Além das ligações externas um modelo estrutural deve ter considerações sobre suas ligações internas A ligação interna entre partes da estrutura é representada em um modelo estrutural de duas maneiras abstra tas a primeira é através de tensões em pontos interiores da estrutura e a segunda é através de continuidade de deslocamentos dos pontos Tensão interna é um conceito abstrato de força por unidade de área atuando em um ponto de uma seção que corta um modelo estrutural separandoo em duas partes Em estruturas reticuladas as seções de corte são perpendiculares aos eixos das barras e denominadas seções transversais Esforços internos em uma estrutura reticulada representam as forças e momentos de ligação entre partes separadas por um corte em uma seção transversal da estrutura Esforços internos também são integrais de tensões ao longo de uma seção transversal de uma barra As relações entre tensões e esforços internos são apresentadas na Seção 53 Bookconceitosindb 24 532010 083622 Capítulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 25 Os esforços internos de um quadro plano estão associados ao seu comportamento plano Existem apenas três esforços internos em uma barra de um pórtico plano defi nidos nas direções dos eixos locais da barra como indicado na Figura 25 e detalhado a seguir N esforço normal esforço interno axial ou longitudinal na direção do eixo local x F Q esforço cortante esforço interno transversal na direção do eixo local y F M momento fl etor esforço interno de fl exão em torno do eixo local z FL Em um pórtico plano o eixo local x de uma barra é axial e passa pelo centro de gravidade CG das seções transversais Os outros eixos são transversais à barra sendo que o eixo y pertence ao plano da estrutura e o eixo z sempre sai do plano Figura 25 Eixos locais e esforços internos de uma barra de quadro plano No caso de um pórtico aberto sem ciclo fechado de barras o esforço normal ou axial é a resultante de forças de uma porção isolada sobre a outra porção na direção do eixo da barra na seção transversal de corte O esforço normal representa o efeito de tração ou compressão em uma seção transversal de uma barra O esforço cortante por sua vez é a resultante de forças de uma porção isolada sobre a outra porção na direção transversal ao eixo da barra na seção transversal Esse esforço representa o efeito cisalhante em uma seção transversal de uma barra O momento fl etor é a resultante momento de todas as forças e momentos de uma porção isolada sobre a outra porção na seção transversal e representa o efeito de fl exão ou dobramento em uma seção transversal de uma barra Os esforços internos de cada lado de uma seção de corte são iguais e contrários pois são ações e reações correspondentes terceira lei de Newton Além disso esforços internos expressam condições de equi líbrio de porções isoladas de um modelo estrutural isto é os valores do esforço normal N do esforço cortante Q e do momento fl etor M na seção de corte do pórtico da Figura 25 são tais que cada parte isolada do modelo satisfaz condições de equilíbrio estático Isso pode ser entendido com auxílio da Figura 26 que mostra o isolamento das duas porções desse pórtico plano Vêse que os esforços internos na seção de cor te equilibram uma porção isolada e correspondem às resultantes forças e resultante momento das cargas e reações da outra porção transportadas estaticamente para a seção de corte Bookconceitosindb 25 532010 083622 26 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER a ok CA SQ ahZer oh Figura 26 lsolamento de duas porcdes de um modelo de portico plano aberto esforcos internos equilibram cada porcdo e substituem o efeito estatico de uma porcao sobre a outra No caso de um portico fechado isto é com ciclo fechado de barras tal como o mostrado na Figu ra 27 a associacao de esforcos internos em uma secao transversal com 0 equilibrio de porgées isoladas deve ser entendida de forma mais abrangente Os esforcos internos equilibram cada porgao mas nao sao definidos apenas pelo efeito estatico de uma porgao sobre a outra A Figura 27 mostra o isolamento do portico com um ciclo fechado de barras em duas porcoes Observase que para fazer 0 isolamento em duas porc6es é necessario cortar mais do que uma secao transversal Nesse caso os esforcos internos em uma secao transversal nao correspondem ao transporte estatico das cargas e reagdes atuando na outra porcao Entretanto os esforcgos internos continuam a ex pressar condicoées de equilibrio de porcées isoladas pois os esforcos internos que atuam em um dos lados de uma secao de corte sao iguais e contrarios aos esforcos internos que atuam na mesma secao de corte do outro lado Além disso os esforgos internos nas duas secdes cortadas compartilham do equilibrio de cada porcao isolada Qi CTH OTH yy aT Ni Mi fi Q Ms N2 M2 ke Figura 27 Isolamento de duas porgdes de um modelo de portico plano com um ciclo fechado de barras A diferenga de comportamento entre porticos abertos e fechados é que no primeiro caso existem apenas trés esforcos internos de ligacao entre as porgoées isoladas Por isso uma vez determinadas as reac6es de apoio do portico da Figura 26 os esforcgos internos de ligacao podem ser determinados apenas por condicées de equilibrio de cada porcao No caso do portico fechado da Figura 27 existem seis es forcgos internos de ligacdo e para determinalos sao necessarias outras condicdes além das de equilibrio Na verdade essa diferenca de comportamento esta na propria esséncia da andlise de estruturas além do aa a ew Capitulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 27 ELSEVIER equilibrio outras condicdes que levam em conta a deformabilidade da estrutura devem ser considera das Esse assunto é tratado detalhadamente ao longo deste livro A determinagao da distribuigdo dos esforcos internos em uma estrutura é importante porque define como se da a transferéncia de carga através da estrutura reticulada A distribuicao de esforcos internos é usualmente mostrada através de diagramas de esforcos internos que sao um dos principais resultados de uma analise estrutural de porticos Por isso os métodos de andlise apresentados neste livro na maioria das vezes objetivam a determinacao de diagramas de esforcos internos A convencao de sinais para esforcos internos de porticos planos e outros tipos de estruturas reticu ladas é descrita na Secdo 36 216 Ligagdes internas e liberagdes de continuidade A continuidade de deslocamentos através dos pontos de um modelo estrutural também representa abs tratamente as ligacdes internas de uma estrutura Em uma estrutura reticulada a continuidade de des locamentos tem duas abordagens no interior das barras e nas conex6es entre elas A continuidade no interior das barras é conceitualmente formalizada na idealizacao do comportamento de barras que é abordada no Capitulo 5 Esta segdo faz uma conceituacao das ligac6es fisicas entre as barras de um mo delo de portico plano As ligacG6es entre as barras de um portico plano como os mostrados nas Figuras 21 23 e 27 sao consideradas perfeitas ligacdes rigidas a menos que algum tipo de liberacao tal como uma articulacao seja indicado Isso significa que duas barras que se ligam em um no tém deslocamentos e rotacao compa tiveis na ligacao Ligacdes rigidas caracterizam 0 comportamento de porticos e estao associadas a flexao de suas barras Em um modelo estrutural de portico plano é possivel que algumas ligac6es entre barras sejam ar ticuladas isto é as barras podem girar independentemente na ligacao A Figura 28 mostra um exemplo de portico metalico onde a ligacao entre a viga e a coluna da direita é articulada Configuragao deformada P q ampliada exageradamente Zz Se statiee i u ele i ele Tl ele Il ele eje Figura 28 Exemplo de um quadro plano com articulacdo no no superior direito ELSEVIER 28 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A Figura 28 indica de forma esquemática detalhes das ligações entre a viga e as duas colunas do pórtico Observase que a conexão entre a viga e o pilar da esquerda é executada com reforços para com patibilizar a rotação das duas barras na ligação nó rígido Por outro lado a ligação da viga com o pilar da direita não utiliza reforços e é feita com dois segmentos de cantoneiras aparafusados Essa conexão não compatibiliza as rotações da viga e coluna nó articulado Uma ligação articulada em um modelo estrutural é chamada de rótula e é representada por um cír culo na ligação Uma rótula libera a continuidade de rotação no interior de uma estrutura Observe na confi guração deformada da Figura 28 que o ângulo entre a viga e a coluna da esquerda ligação rígida permanece inalterado 90 quando a estrutura se deforma Por outro lado o ângulo entre as barras na rótula se altera A existência de rótula em uma seção transversal de uma barra faz com que naquele ponto a barra não tenha capacidade de transmissão de momentos fl etores Dessa forma uma rótula só transmite dois esforços internos esforço normal e esforço cortante ou seja o momento fl etor é nulo em uma rótula Isso é na verdade uma condição adicional de equilíbrio imposta por uma rótula pois a resultante momento de qualquer um dos lados da rótula tem de ser nula Se a resultante momento de cada um dos lados da rótula não fosse nula cada parte giraria em torno do ponto da rótula Uma rótula simples na ligação de duas barras na qual não se conectam outras barras só impõe uma condição adicional de equilíbrio Embora o momento fl etor tenha de ser nulo de cada lado da rótula a imposição de momento fl etor nulo apenas por um lado da rótula já garante que o momento fl etor entrando pelo outro lado tam bém seja nulo posto que o equilíbrio global de momentos em qualquer ponto inclusive o da rótula já é considerado No exemplo da Figura 28 o modelo estrutural considera que a ligação entre a viga e o pilar da direita é perfeitamente articulada Entretanto isso é apenas uma aproximação do comportamento real que só faz sentido se as rotações forem muito pequenas Na verdade as conexões em estruturas metáli cas liberam parcialmente as rotações relativas entre as barras Essas conexões são denominadas ligações semirrígidas Uma ligação semirrígida oferece uma restrição parcial à continuidade de rotação de uma barra assim como um apoio elástico rotacional impede parcialmente a rotação de uma barra ligada ao meio externo Dessa forma uma ligação semirrígida transmite momentos fl etores mas apresenta uma descon tinuidade de rotação entre as suas extremidades A Figura 29 mostra a representação da ligação entre a viga e a coluna da direita do modelo da Figu ra 28 alternativamente considerada como uma ligação semirrígida Utilizase o símbolo de uma rótula com mola rotacional conectando as barras adjacentes No detalhe da fi gura observase a rotação relativa entre as extremidades da ligação semirrígida A relação entre o momento fl etor M na ligação e a rotação relativa θ é no caso geral uma relação não linear similar à relação entre momento e rotação do apoio elástico rotacional mostrada na Figura 24 Em situações muito específi cas como uma análise de primeira ordem com pequenos deslocamentos e rotações a relação entre o momento fl etor e a rotação relativa pode ser aproximada por uma relação linear M Kθθ 27 Na Equação 27 temse Kθ coefi ciente de rigidez da ligação semirrígida rotacional linear FLR Bookconceitosindb 28 532010 083625 ry eA Capitulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 29 ELSEVIER K M M eS Figura 29 Exemplo de quadro plano com ligacdo semirrigida no no superior direito Existem outros tipos de liberacao de continuidade na configuragéo deformada de uma estrutura A Tabela 23 mostra os tipos mais comuns as liberacdes associadas e 0 efeito provocado pela liberacao em termos de esforcos internos Entretanto neste livro so consideradas apenas liberacdes completas de continuidade de rotagao isto é r6tulas ou separacao total Tabela 23 Tipos de liberagdo de continuidade interna em porticos planos e vigas Efeito em termos Simbolo Tipo de liberacado de esforcos internos a Libera continuidade de deslocamento axial de uma barra Libera continuidade de deslocamento transversal de uma barra Seo 0 Libera continuidade de rotacao entre barras rotula 2 Libera continuidade de deslocamentos axial e N000M0 transversal e de rotacao separacao total Liberacao parcial da continuidade de rotacao MK6 ligacdo semirrigida rotacional 22 VIGAS Uma viga é um elemento estrutural unifilar isto é tem um eixo bem definido No presente contexto uma viga é um modelo estrutural um modelo matematico que abstrai o comportamento de uma viga real Definese viga como um modelo estrutural cujas barras estao todas em um mesmo eixo que pode ser inclinado ou curvo O modelo de viga pode representar um elemento estrutural que na estrutura real tem ligacdes sim ples com outros elementos como é 0 caso de uma viga de ponte ou pode corresponder a um elemento estrutural que embora esteja fortemente conectado a outros elementos para fins de andlise tem 0 com portamento idealizado isoladamente ao longo de um eixo E comum analisar de forma isolada vigas de edificios que estao conectadas a pilares e a vigas transversais A Figura 210 mostra exemplos de modelos estruturais de vigas ELSEVIER 30 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 210 Exemplos de modelos estruturais de vigas Uma viga engastada e em balanço se caracteriza por ter uma extremidade livre balanço Balanços podem ocorrer em outros tipos de viga como biapoiada contínua e Gerber Uma viga está naturalmente associada a transferências de cargas verticais mas cargas horizontais também podem atuar em vigas Dessa forma podese dizer que uma viga enquanto modelo estrutural é um caso particular do modelo de quadros planos De fato aplicamse a vigas todas as considerações feitas para pórticos planos com respeito a cargas apoios reações de apoio equilíbrio global esforços internos ligações internas e liberações de continuidade Uma viga contínua é caracterizada pela ligação completa de rotações entre as barras dos vãos nos nós dos apoios internos da mesma forma que em nós rígidos de quadros planos Liberações de continui dade de rotação rótulas em geral estão associadas a vigas de pontes Dos modelos mostrados na Figura 210 há uma viga de ponte com juntas de separação denominada viga Gerber Essas juntas funcionam como articulações ou rótulas A fi gura também mostra detalhes do processo de execução dessas juntas Quando a junta ocorre sobre um apoio pilar o comportamento da estrutura é o de duas vigas indepen dentes simplesmente apoiadas em um único apoio quando incide no interior de um vão da ponte são executados os chamados dentes Gerber que permitem o apoio simples de um trecho da viga sobre outro 23 TRELIÇAS Uma treliça é um modelo estrutural reticulado que tem todas as ligações entre barras articuladas isto é existem rótulas em todos os nós A Figura 211 mostra uma treliça plana com suas cargas e reações Na análise de uma treliça as cargas são consideradas atuantes diretamente sobre os nós A consequência disso em conjunto com a hipótese de ligações articuladas é que uma treliça apresenta apenas esforços internos axiais esforços normais de tração ou compressão Figura 211 Eixos globais cargas reações de apoio e esforços internos normais de uma treliça plana West 1989 Bookconceitosindb 30 532010 083626 oe ew Capitulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 31 ELSEVIER A existéncia de apenas esforcos axiais nas barras de uma trelicga pode ser entendida através do iso lamento de uma barra como indica a Figura 211 Os momentos fletores nas duas extremidades da barra sao nulos rétulas Como no modelo estrutural nao existem cargas aplicadas no interior da barra para que os momentos fletores nas rdtulas da barra isolada sejam nulos o esforco interno na barra tem de ter necessariamente a direcao axial esforgo normal N indicado na figura A unidade ou célula minima para a criacdo de uma trelica plana é um tridngulo formado de barras conectadas pelos nos Mesmo com as liga6es articuladas nos nos o triangulo é uma forma rigida a me nos das deformacées axiais das barras Essa célula combinada com outras para compor um reticulado de barras articuladas formando uma triangulacao que também é uma forma rigida Intuitivamente 0 comportamento rigido do triangulo pode ser entendido com auxilio da Figu ra 212 que mostra trés painéis simples de trelica plana O primeiro painel da esquerda é formado por quatro barras articuladas resultando em um quadrilatero sem barra na diagonal Claramente esse painel nao tem estabilidade as quatro barras formam um mecanismo que pode se deslocar livremente para os lados A simples adigéo de uma barra diagonal no painel central formando dois tridngulos faz com o que o conjunto adquira estabilidade O painel da direita apresenta duas barras diagonais que se trans passam mas nao estao conectadas no ponto de intersecao A segunda barra diagonal nao é necessaria para dar estabilidade é uma barra que fornece redundancia para a estabilidade Na maioria dos casos as treligas nado apresentam barras transpassadas Isso pode ser utilizado em algumas situacgdes como para dar simetria ao arranjo de barras de uma trelica ou redundancia de seguranga Sian Q 2 cK ZX Figura 212 Painéis simples de trelica plana instavel estavel e redundante Na matemiatica essa propriedade de rigidez do triangulo é formalizada na area de topologia algé brica Munkres 1984 Em duas dimens6es 0 triangulo célula minima é formalmente definido como um simplex de ordem 2 ou 2simplex e a triangulacao é classificada como um complexo simplicial de ordem 2 O modelo estrutural mostrado na Figura 211 é 0 de uma trelica plana pois todas as barras e cargas estado no mesmo plano XY Trelicas espaciais sao estruturas reticuladas espaciais barras e cargas em qual quer direcao no espaco com ligacdes rotuladas Em trés dimensoes a célula minima para a criagado de uma trelica é 0 tetraedro que é definido como um simplex de ordem 3 ou 3simplex Entretanto a hipdtese de ligacdes articuladas é uma simplificacdo para o comportamento real de uma trelica pois muitas vezes nao existem articulagdes nos nos Essa simplificacao se justifica principal mente quando os eixos das barras concorrem praticamente em um tinico ponto em cada ligacao como ilustrado na Figura 213 Stissekind 19771 transversal Figura 213 Ligacdo rigida de barras em trelica e modelo de né como articulagdo completa ELSEVIER 32 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A Figura 213 mostra uma ligação rígida entre barras de uma treliça As barras têm seção transversal em cantoneira dupla e são soldadas em uma chapa A ligação é executada de tal maneira que os eixos das barras linhas tracejadas que passam pelos centros de gravidade das seções transversais convergem em um ponto Quando a ligação em um nó de treliça apresenta esse tipo de confi guração pelo menos de maneira aproximada comprovase de forma experimental que o comportamento da estrutura se dá fundamentalmente a esforços internos axiais Nesse caso o nó é representado por uma rótula completa no modelo estrutural Outra aproximação do modelo estrutural de treliça é a de que cargas são aplicadas diretamente sobre os nós O simples fato de as barras terem peso próprio viola essa hipótese Entretanto se for res peitada a confi guração de ligações com os eixos das barras convergindo em um ponto o efeito global de transferência de cargas através de esforços normais prevalece isto é esforços cortantes e momentos fl eto res são pequenos na presença de esforços normais Em geral não se considera o comportamento local de uma barra de treliça trabalhando como uma viga biapoiada biarticulada submetida a seu peso próprio Os apoios em treliças planas são do 1o ou do 2o gênero Um engaste em um modelo de treliça não faz sentido posto que todas as ligações são articuladas Portanto as reações de apoio em treliças são reações força O equilíbrio global de treliças planas é governado pelas mesmas Equações 24 25 e 26 de quadros planos 24 GRELHAS Outro tipo de modelo estrutural reticulado é a grelha Grelhas são modelos planos com cargas na direção perpendicular ao plano incluindo momentos em torno de eixos do mesmo Usualmente o modelo de grelha é utilizado para representar o comportamento de um pavimento de um edifício como indicado na Figura 13b ou do tabuleiro de uma ponte A Figura 214 mostra uma grelha no plano XY com força uniformemente distribuída transversal a esse plano As reações de apoio de uma grelha apresentam ape nas uma componente de força que é na direção vertical Z e duas componentes de momento indicadas por setas duplas Figura 214 Eixos globais cargas reações deslocamentos e rotações de uma grelha Em grelhas não há distinção quanto ao número de componentes de reação entre os apoios do 1o e do 2o gêneros O apoio do 1o gênero está associado apenas a uma componente de reação em qualquer situa ção quadros treliças ou grelhas Para um quadro plano ou treliça plana o apoio do 2o gênero apresenta duas componentes de reação de apoio para um quadro ou treliça espacial apresenta três componentes e para grelhas apresenta apenas uma componente força na direção Z Por hipótese uma grelha não apresenta deslocamentos dentro do seu plano A Figura 214 indica a confi guração deformada da grelha de forma exagerada que expõe as seguintes componentes de deslo camento e rotações Bookconceitosindb 32 532010 083628 Capítulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 33 Δ z deslocamento na direção do eixo global Z L θ x rotação em torno do eixo global X R θ y rotação em torno do eixo global Y R Em geral as ligações entre as barras de uma grelha são rígidas mas é possível haver articulações Uma ligação articulada de barras de grelha pode liberar apenas uma componente de rotação ou pode liberar as duas componentes Considerando que o plano da grelha contém os eixos X e Y o seu equilíbrio global resulta em três equações globais 0 Fz somatório de forças na direção do eixo vertical Z igual a zero 28 0 Mx somatório de momentos em torno do eixo X igual a zero 29 0 My somatório de momentos em torno do eixo Y igual a zero 210 A Figura 215 mostra os esforços internos de uma barra de grelha juntamente com a convenção ado tada para os seus eixos locais O eixo x é axial o eixo y está sempre no plano da grelha e o eixo z sempre coincide com eixo Z global São três os esforços internos Q esforço cortante esforço interno transversal na direção do eixo local z F M momento fl etor esforço interno de fl exão em torno do eixo local y FL T momento torçor esforço interno de torção em torno do eixo local x FL Figura 215 Eixos locais e esforços internos de uma barra de grelha É interessante fazer uma comparação entre as componentes de deslocamentos e rotações de quadros planos e grelhas bem como entre os tipos de esforços internos A Tabela 24 indica as componentes de deslocamentos e rotações que são nulas para quadros planos e grelhas Observe que quando uma com ponente é nula para um quadro plano ela não é nula para uma grelha e viceversa A tabela também mostra as diferenças entre os esforços internos de quadros planos e grelhas Vêse que os esforços nor mais são nulos para grelhas Por outro lado os quadros planos não apresentam momentos torçores As barras de um quadro plano e de uma grelha apresentam esforços cortantes mas têm direções distintas em relação aos eixos locais o mesmo ocorre para momentos fl etores Tabela 24 Comparação entre quadro plano e grelha Quadro Plano Grelha Deslocamento em X Δx Δx 0 Deslocamento em Y Δy Δy 0 Deslocamento em Z Δz 0 Δz continua Bookconceitosindb 33 532010 083628 ELSEVIER 34 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Quadro Plano Grelha Rotação em torno de X θ x 0 θ x Rotação em torno de Y θ y 0 θ y Rotação em torno de Z θ z θ z 0 Esforço normal N Nx x local N 0 Esforço cortante Q Q y y local Q Qz z local Momento fl etor M Mz z local M My y local Momento torçor T 0 T Tx x local 25 PÓRTICOS ESPACIAIS O caso mais geral de estruturas reticuladas é o de quadros ou pórticos espaciais Um exemplo é mostrado na Figura 13a Outro é ilustrado na Figura 216 Cada ponto de um quadro espacial pode ter três compo nentes de deslocamento e z y x Δ Δ Δ e três componentes de rotação e z y x θ θ θ Existem seis esforços internos em uma barra de pórtico espacial esforço normal N Nx x local esforço cortante y Q y local esforço cortante z Q z local momento fl etor y M y local momento fl etor z M z local e momento torçor T Tx x local O equilíbrio global de quadros espaciais tem de satisfazer condições de resultantes nulas para três componentes de força e para três componentes de momento no espaço tridimensional Disso resultam seis equações globais de equilíbrio que são a junção das equações para quadros planos com as equações para grelhas Para equilíbrio global de forças utilizamse as Equações 24 25 e 28 e para equilíbrio glo bal de momentos as Equações 29 210 e 26 Figura 216 Eixos globais e cargas de um quadro espacial Apesar da importância e da abrangência desse tipo de modelo de estrutura reticulada na prática to dos os modelos são tridimensionais este livro não trata explicitamente da análise de pórticos espaciais Entretanto os principais conceitos e procedimentos para a análise desse tipo de modelo são abordados na análise de pórticos planos e grelhas 26 CABOS E ARCOS Cabos e arcos são modelos que têm elementos estruturais com eixos bem defi nidos e que por hipótese estão submetidos à tração pura ou compressão pura respectivamente Esse tipo de comportamento está associado a um uso muito efi ciente do material porque existe um nível de tensão constante ao longo das Bookconceitosindb 34 532010 083629 oe tlle Capitulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 35 secoes transversais de cada elemento estrutural West 1989 Isso é mais evidente para cabos porque por serem flexiveis a sua geometria se modifica para atingir o estado de tensao constante Além disso 0 ni vel de tensao interna em elementos submetidos a tracao é limitado somente pela resisténcia do material Em elementos estruturais submetidos a compressao entretanto a capacidade de resisténcia da estrutura pode estar limitada por perda de estabilidade associada a imperfeicgdes geométricas que sao inevitaveis fendmeno denominado flambagem Uma das formas estruturais mais simples é a de uma estrutura suspensa por cabos que trabalham fundamentalmente a tracao como uma ponte suspensa ou ponte pénsil Figura 217 Nesse tipo de es trutura os cabos principais suportam o peso proprio e as cargas moveis do tabuleiro da ponte que sao transferidos por cabos de suspensdao Os cabos principais transferem essas cargas via esforcos normais de tracao esforco normal N indicado na figura aos pilares principais e aos pontos de fixacao nas extre midades NX ae al isl ccc CUI UM reece 11 UI Figura 217 Cabo de ponte suspensa No modelo estrutural em geral considerase que os cabos sao perfeitamente flexiveis isto é tém momentos fletores nulos em todas as sec6es transversais hipdtese que pode ser comprovada experi mentalmente Siissekind 19773 A consequéncia é que os cabos ficam submetidos apenas a esforcos normais de tracao Um cabo é um elemento estrutural cuja forma final depende do carregamento atuante Por exemplo no cabo da Figura 218 o somatério de todas as componentes verticais dos esforgos normais deve equilibrar as forcas aplicadas e as componentes verticais das reacdes de apoio Portanto a geometria final do cabo de pende das posic6es das cargas e também do comprimento do cabo Intuitivamente podese imaginar que 0 cabo modifica a sua forma se as cargas mudarem de posicao Além disso para atingir o equilibrio um cabo deve apresentar deflex6es consideraveis que s6 sao conhecidas apoés uma anialise estrutural ce NA es NO ae ed ea Figura 218 Cabo solicitado por forcgas concentradas verticais A forma atingida por um cabo que nao tem resisténcia a flexao é chamada de curva funicular White et al 1976 West 1989 Formas classicas conhecidas para cabos séo mostradas na Figura 219 Um cabo submetido a uma forga uniformemente distribuida ao longo do seu vao como o cabo principal de uma ponte pénsil cujo carregamento principal é dado pela acao do tabuleiro ou o cabo a esquerda na Figu ra 219 tem uma parabola do 2 grau como configuracao deformada final Siissekind 19773 Por outro lado um cabo submetido a uma forca uniformemente distribuida ao longo do seu comprimento por 36 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER exemplo 0 peso proprio assume uma configuragaéo deformada denominada catendria exemplo mos trado a direita na Figura 219 De acordo com Siissekind 19773 para uma flecha f deflexdo maxima pequena em relacao ao vao f1 15 o erro é minimo ao se analisar um cabo solicitado pelo seu peso proprio assumindo que sua forma é uma parabola do 2 grau Men parabola do 2 grau um Figura 219 Cabos solicitados por forcgas uniformemente distribuidas O fato de a geometria final do cabo nao ser conhecida a priori torna a andlise de cabos relativamente mais sofisticada do que a de vigas porticos e trelicas em que se considera para fins de imposicdo de equilibrio a geometria original indeformada da estrutura Na andlise de cabos as equacées de equili brio devem ser estabelecidas na configuracao deformada da estrutura Uma anidlise estrutural que formu la condicées de equilibrio para a configuracao indeformada da estrutura é dita anilise de primeira ordem Por outro lado uma andlise estrutural que na imposicao do equilibrio leva em conta deslocamentos sofridos pela estrutura denominada anilise de segunda ordem Este livro por tratar de conceitos basicos de andlise estrutural desconsidera efeitos de segunda ordem e portanto nao aborda a andlise de cabos Referéncias para a andlise de cabos sao os livros de Siissekind 19773 Soriano 2007 Hibbeler 2009 e Leet et al 2009 Entretanto nenhum desses autores considera que a analise de cabos também depende da deformagao elastica proveniente da tracdo isto é no caso geral a geometria final do cabo depende do alongamento sofrido em funcao da tracao a qual ele é submetido Isso torna a andlise de cabos mais complexa Outro tipo de elemento estrutural que trabalha fundamentalmente ao esforco normal é 0 arco de compressao Nesse tipo de estrutura a forma em arco é explorada para provocar tens6es de compressao em todos os pontos das sec6es transversais Isso é importante quando o material da estrutura tem uma boa resisténcia 4 compressao mas uma baixa resisténcia a tracao Esse é justamente 0 caso do material blocos de rocha utilizado nos aquedutos romanos e nas catedrais géticas da Europa O comportamento de transferéncia de cargas de um arco de compressao pode ser entendido como o mesmo comportamento de um cabo apenas invertido como mostra a Figura 220 White et al 1976 ae TUTTO fork De a Figura 220 Arcos solicitados por forgas verticais Nos exemplos da Figura 220 os elementos estruturais sao submetidos a compressdo pura Outro exemplo é o da ponte em arco ilustrada na Figura 221 Fonseca Moreira 1966 Esse tipo de solucao estrutural é bastante utilizado O peso proprio do tabuleiro da ponte e as cargas dos veiculos sao trans feridos através de esforcos normais de compressao nos pilares secundarios que se apoiam no arco A solicitagao no arco é constituida pelas forcas concentradas vindas dos pilares e de seu peso proprio Capítulo 2 Modelos de estruturas reticuladas 37 Figura 221 Ponte com arco de compressão Fonseca Moreira 1966 Como o arco tem uma forma rígida a sua geometria não se modifi ca ao contrário da de um cabo para atingir um estado de esforço axial puro Entretanto a sua forma faz com que o efeito de compres são prepondere em relação ao efeito de fl exão Em geral pontes desse tipo são construídas utilizando concreto armado ou aço que podem resistir à solicitação de compressão descentrada fl exão composta proveniente de esforços normais preponderantes e de momentos fl etores Basicamente existem duas diferenças principais entre as análises de cabos tracionados e arcos de compressão A primeira é que arcos são estruturas bem mais rígidas que cabos e consequentemente a sua geometria original indeformada é utilizada na análise de arcos de compressão A segunda diferença é a importância de considerar na análise de arcos a fl ambagem provocada pela compressão descentrada Para considerar o fenômeno da fl ambagem uma análise estrutural também deve levar em conta efeitos de segunda ordem Esses efeitos fogem do escopo dos assuntos tratados neste livro e por isso arcos de compressão não são abordados aqui Bookconceitosindb 37 532010 083631 33 3 Estruturas isostáticas Existe um caso especial de estruturas que pode ter suas reações de apoio e seus esforços internos determi nados apenas por condições de equilíbrio Em tais estruturas chamadas estruturas estaticamente determi nadas ou estruturas isostáticas o número de vínculos externos e internos se iguala ao número de condições de equilíbrio As estruturas que têm vínculos externos ou internos excedentes em relação ao número de condições de equilíbrio são chamadas estruturas estaticamente indeterminadas ou estruturas hiperestáticas Por sua vez um modelo estrutural que não tem número sufi ciente de vínculos em relação às condições de equilíbrio é denominado hipostático que não possui estabilidade Para determinar os esforços internos e reações de apoio em estruturas hiperestáticas é necessário considerar além das condições de equilíbrio outras condições que de forma simplista levam em conta a deformabilidade do modelo estrutural Essa consideração conjunta é a base dos métodos básicos de análises de estruturas hiperestáticas tratados nos próximos capítulos deste livro Este capítulo apresenta uma caracterização de modelos planos de estruturas reticuladas isostáticas Inicialmente será analisada a questão da obtenção de reações de apoio seguida da determinação da distribuição dos esforços internos em estruturas isostáticas O capítulo também descreve a convenção de sinais adotada para esforços internos em estruturas reticuladas e mostra procedimentos utilizados para o traçado de diagramas de esforços internos de estruturas isostáticas O conhecimento de tais pro cedimentos é muito útil para o traçado de diagramas de esforços internos de estruturas hiperestáticas A Seção 38 apresenta procedimentos para determinar o grau de indeterminação estática ou seja o grau de hiperestaticidade de uma estrutura reticulada que contabiliza a diferença entre o número de incógnitas do problema do equilíbrio estático e o número de equações de equilíbrio disponíveis A última seção do capítulo propõe exercícios de determinação de esforços internos em vigas quadros planos treliças pla nas e grelhas isostáticos Longe de pretender ser uma apresentação abrangente sobre estruturas isostáticas o capítulo tem o objetivo de resumir os conceitos de análise de estruturas estaticamente determinadas necessários para a compreensão e o desenvolvimento dos métodos de análise de estruturas hiperestáticas abordados neste livro Os conceitos básicos de equilíbrio estático são considerados prérequisito para o entendimento dos assuntos tratados neste capítulo Os livros de Hibbeler 20041 e Meriam e Kraige 2004 são boas refe rências na área de estática já na área de análise de estruturas isostáticas recomendamse os livros de Bookconceitosindb 39 532010 083632 40 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Fonseca e Moreira 1966 Gorfin e Oliveira 1975 Beaufait 1977 Siissekind 19771 Campanari 1985 Fleming 1997 Soriano 2007 e Almeida 2009 31 VIGAS ISOSTATICAS Uma condigao necessaria para que uma viga seja isostatica que o numero de componentes de reacao de apoio seja igual ao numero de equacées de equilibrio A Figura 31 mostra exemplos de duas vigas sim ples que atendem a essa condicao e ilustra também as forcas aplicadas que constituem carregamentos hipotéticos e as reagdes de apoio correspondentes 4 an aes Viga engastada Viga biapoiada e em balango com balangos Figura 31 Exemplos de vigas isostaticas simples A viga biapoiada com balancos da Figura 31 tem um apoio do 1 género e outro do 2 género com um total de trés componentes de reacao de apoio duas componentes verticais e uma horizontal Com base nas trés equacoes do equilibrio global da estrutura no plano Equacoées 24 25 e 26 é possivel determinar as trés componentes de reacdes de apoio A viga engastada e em balanco também tem trés componentes de reacao de apoio que podem ser determinadas utilizando as mesmas equac6es O calculo das componentes de reacao de apoio de uma viga biapoiada com balancos é exemplificado com auxilio do modelo mostrado na Figura 32 z z zt Cn 9 fee ee Ha 8kN az ai z tz an sentido fisico final vit Vel s b 4 mm St 6 m S 2 mS z 7 2 en 8 KN bh 3 m SS 3 mS Figura 32 Calculo de reacdes de apoio em viga biapoiada com balancos A imposicao da Equacao 24 do equilibrio global na direcao horizontal resulta na determinacao da reacao horizontal H de forma independente SF 0 H 8kN0 H 8kN As reac6es verticais V e V tém a sua determinacao acoplada através da utilizacdo das Equacoes 25 e 26 do equilibrio global de forgas verticais e do equilibrio global de momentos em relacao a um ponto No caso por conveniéncia 0 ponto escolhido como referéncia é 0 ponto do apoio A pois a reagdo V nao provoca momento em relacao a esse ponto distancia nula Primeiro se utiliza a equagao de equilibrio de momentos e depois se aplica a equacao de equilibrio de forgas verticais M0 V6m18kN4m144kN3m18kN8m0 eu Capitulo 3 Estruturas isostaticas 41 V 84kN YF 0 V V18 KN 144 kN 18kN0 V V180 kN V96kN No calculo das reagdes admitese inicialmente que todas as reacdes de apoio tém sentidos posi tivos Os sinais considerados nas equag6es sao tais que forcas horizontais sao positivas no sentido da esquerda para a direita forcas verticais so positivas de baixo para cima e momentos sao positivos no sentido antihorario Os sinais negativos indicam que as forcas ou momentos sao contrarios a essa con vencao Portanto 0 sinal negativo obtido para a reacao horizontal H indica que o seu sentido final é contrario ao do convencionado como positivo como indica a Figura 32 Observase que para fins de calculo de reacdes de apoio a forca uniformemente distribuida 24 kNm é substituida pela sua resultante de 144 kN 24 kNm 6 m localizada no centro do seu compri mento de abrangéncia A Secao 373 mostra os procedimentos adotados para determinar os esforcos internos esforco nor mal esforco cortante e momento fletor na viga da Figura 32 Vigas isostaticas simples nao contém rotulas e portanto somente as trés equacoes globais de equili brio no plano sao utilizadas Rétulas que aparecem em vigas Gerber Figura 210 introduzem condic6es adicionais de equilibrio impondo momentos fletores nulos nos pontos correspondentes Entretanto a so lugado de uma viga Gerber nao é feita de forma global considerando todas as equacées de equilibrio uma vez que na verdade uma viga desse tipo composta por varias vigas isostaticas simples biapoiadas e engastadas e em balanco A solucao de uma viga Gerber isostatica explora essa caracteristica sendo resolvida por decomposicao Considere como exemplo a viga Gerber isostatica mostrada na Figura 33 que esta solicitada por uma forca horizontal na extremidade esquerda ponto A e por uma forga vertical no vao GH As reagées de apoio também estao indicadas na figura com os seus sentidos fisicos finais 3 BC DE FG H i i Vat vet Vot vet vit mit SN 2B velfVe tn A vive tv os velve vp ve a Vat tv vit Mi Figura 33 Solucdo de reacdes de apoio de uma viga Gerber isostatica por decomposiao A solucao para forgas horizontais na viga Gerber é independente da solucao para forgas verticais e momentos Dessa forma para que uma viga Gerber seja isostatica somente um apoio pode oferecer uma reacao forca horizontal No exemplo 0 engaste fornece a Unica reacgao horizontal H Por outro lado a solucao para forgas verticais convenientemente realizada pela decomposicao da viga composta em vigas isostaticas simples como mostra a Figura 33 Observe que na decomposicao ELSEVIER 42 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha não há distinção entre apoio simples do 1o ou 2o gênero pois só são levadas em conta forças verticais O símbolo é utilizado para qualquer apoio simples Para decompor uma viga Gerber isostática como mostra o exemplo da Figura 33 é preciso separar a viga composta nas rótulas e identifi car a sequência de carregamento dos trechos isostáticos simples Identi fi camse inicialmente os trechos que têm estabilidade própria Ao separar a viga composta nas rótulas vêse que o trecho ABC é uma viga biapoiada com um balanço e o trecho HI é uma viga engastada e em balanço Como esses trechos já são vigas isostáticas simples eles têm estabilidade própria e dão suporte aos demais A sequência de carregamento continua com o trecho CDE contíguo à viga ABC Verifi case que esse trecho é suportado pela viga ABC no ponto da rótula C o que é indicado pelo apoio simples mostrado no ponto C na viga decomposta o apoio fi ca no trecho CDE sendo suportado formando uma viga biapoia da com balanço O apoio no ponto C é fi ctício e serve para indicar o ponto no qual o trecho é suportado Veja que não há distinção simbólica entre apoio real e apoio fi ctício O mesmo raciocínio pode ser feito para identifi car que o trecho EFG também é formado por uma viga biapoiada com balanço suportada pelo trecho CDE no ponto E bem como para identifi car que o trecho GH se comporta como uma viga biapoiada suportada pela viga EFG e pelo trecho HI engastado e em balanço Para calcular as reações de apoio é preciso respeitar a sequência de carregamento iniciando pelo trecho que não dá suporte a nenhum outro trecho no exemplo a viga biapoiada GH As reações de apoio VG e VH podem ser calculadas com base no equilíbrio dessa viga Na verdade essas forças são os esforços internos de ligação esforços cortantes nas rótulas G e H que são calculados como se fossem reações de apoio do trecho sendo suportado O efeito do trecho GH sendo suportado pelos trechos adjacentes é considerado pelas forças VG e VH que são transmitidas com sentidos opostos para os pontos dos trechos adjacentes nos quais se dão os su portes Os sentidos das forças transmitidas são trocados porque se trata de esforços internos que atuam em lados opostos das seções transversais das rótulas isto é correspondem a ação e reação Em seguida com a força VG calculamse as reações nos apoios real e fi ctício do trecho EFG e com a força VH determinamse as reações de apoio do trecho HI Uma vez determinada a reação VE no apoio fi ctício no ponto E do trecho EFG transmitese essa força com sentido oposto para o trecho CDE e determinamse as reações de apoio nesse trecho Finalmente com a força VC transmitida calculamse as reações de apoio VA e VB Duas observações podem ser feitas com base na solução de uma viga Gerber isostática por decom posição em vigas isostáticas simples A primeira é que ao se separar uma rótula o apoio fi ctício que identifi ca o trecho sendo suportado só pode fi car de um dos lados da rótula separada A defi nição do lado da rótula em que se situa o apoio fi ctício depende da análise da sequência de carregamentos dos trechos isostáticos simples A segunda observação é que é impossível ter em uma viga Gerber três rótulas alinha das sem que o trecho tenha um apoio do 1o gênero ou do 2o gênero A Figura 34 ilustra esse tipo de con formação que gera um trecho sem estabilidade na decomposição uma viga com um só apoio simples Figura 34 Instabilidade em uma viga Gerber três rótulas alinhadas sem apoio no trecho Bookconceitosindb 42 532010 083634 title Capitulo 3 Estruturas isostaticas 43 Observe no exemplo da Figura 34 que o numero total de equacgées de equilibrio contabilizando as trés globais e as trés adicionais das rotulas igual ao numero de componentes de reacao de apoios duas do apoio do 22 género e quatro dos apoios do 12 género Portanto a condigado de igualdade entre o numero de equacées de equilibrio e o nimero de componentes de reacao de apoio nao é suficiente para uma viga Gerber ser isostatica E preciso fazer a decomposicao da viga e verificar se a sequéncia de carregamento resulta em trechos isostaticos simples No exemplo existe um trecho que é hiperestatico trecho inicial com trés apoios simples e um trecho que nao tem o numero de apoios suficientes para ser isostatico e estavel Esse modelo estrutural é classificado como instével 32 QUADROS PLANOS ISOSTATICOS SIMPLES Assim como para vigas a primeira condicdo para um portico plano ser isostatico é que seja possivel determinar todas as componentes de reacao de apoio utilizando as equacoées globais de equilibrio e even tuais equagdes de momentos fletores nulos em rétulas A segunda condiao é que o portico seja aberto isto é a estrutura nao pode conter ciclos fechados denominados anéis de barras continuas sem rotulas Dessa forma nao pode haver um caminho ao longo da estrutura que partindo de um dos lados da secao de corte retorne ao outro lado sem passar por uma rotula A Figura 35 mostra trés tipos de quadros isostaticos simples que atendem a essas condicoes A figu ra indica as componentes de reacdes de apoios de uma forma genérica sem mostrar eventuais carrega mentos Os quadros isostaticos simples sao porticos abertos que comp6em quadros isostaticos compostos Secao 33 Quadro A auadro engastado Quadro biapoiado e em balango triarticulado Figura 35 Exemplos de trés tipos de quadros isostaticos simples O quadro biapoiado e 0 quadro engastado e em balanco sao semelhantes as vigas isostaticas simples Figura 31 O quadro triarticulado tem dois apoios do 22 género e uma rotula interna Como os apoios do 2 género nao restringem rotac6es eles se comportam como duas articulacdes que com a rotula in terna formam o chamado triarticulado Portanto sao quatro componentes de reacao de apoio uma forca horizontal e uma forga vertical em cada apoio que podem ser determinadas pelas trés equac6es globais de equilibrio Equacées 24 25 e 26 e pela condicao adicional de que o momento fletor na rétula in terna é nulo Entretanto a condicdo de igualdade entre o numero de equacées de equilibrio e o numero de com ponentes de reacao de apoio nao é suficiente para um quadro plano simples ser isostatico Existem exem plos classicos de estruturas que satisfazem essa condicao e sao instaveis tais como as mostradas na Figura 36 White et al 1976 O portico da Figura 36a apresenta trés componentes de reacao de apoio que sao verticais nao existindo nenhum vinculo que impeca 0 movimento horizontal do portico Se uma forca horizontal for aplicada a equacao global de equilibrio na direcao horizontal nao fica satisfeita A es trutura da Figura 36b tem trés reagdes concorrentes em um ponto Portanto nao é possivel equilibrar o momento de forcas atuantes como a carga P em relacao ao ponto de convergéncia das reacG6es de apoio ELSEVIER 44 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Finalmente o triarticulado da Figura 36c tem os dois apoios do 2o gênero e a rótula interna alinhados Para a solicitação indicada as reações de apoio têm de ser forças horizontais para que o momento fl etor na rótula seja nulo Entretanto as reações horizontais não são capazes de equilibrar a carga P aplicada Note a semelhança desse exemplo e o da viga Gerber com três rótulas alinhadas em um trecho sem apoio Figura 34 Essas estruturas são classifi cadas como instáveis Figura 36 Exemplos de quadros simples instáveis pela confi guração dos apoios externos O cálculo das componentes de reação de apoio de um quadro biapoiado é exemplifi cado com base no modelo mostrado na Figura 37 Figura 37 Cálculo de reações de apoio em quadro biapoiado A imposição do equilíbrio global na direção horizontal Equação 24 resulta na determinação da reação horizontal HA de maneira independente Fx 0 HA 18 kN 0 HA 18 kN A determinação das reações verticais VA e VB de maneira similar ao cálculo das reações da viga biapoiada com balanços mostrada anteriormente é feita de forma acoplada utilizando as Equações 25 e 26 do equilíbrio global de forças verticais e do equilíbrio global de momentos em relação a um ponto MA 0 VB 6 m 18 kN 2 m 24 kNm 6 m 3 m 0 VB 66 kN Fy 0 VA VB 24 kNm 6 m 0 VA VB 144 kN VA 78 kN Para fi ns de cálculo de reações de apoio substituise a força uniformemente distribuída pela sua resultante com posição no centro do vão da viga no qual atua Por conveniência na equação do equilí brio global de momentos o ponto do apoio A é escolhido como referência pois a reação VA não provoca momento em relação a esse ponto o que resulta no cálculo da reação VB Seguindo a convenção estabele cida forças verticais são positivas para cima e momentos são positivos no sentido antihorário Os sinais Bookconceitosindb 44 532010 083635 et Capitulo 3 Estruturas isostaticas 45 ELSEVIER negativos que aparecem nas equacgoes indicam que a correspondente forca vertical tem sentido de cima para baixo e o correspondente momento tem sentido horario A obtencao da distribuicgdo dos esforcos normais esforgos cortantes e momentos fletores no quadro biapoiado da Figura 37 é mostrada na Seao 375 A Figura 38 ilustra 0 calculo de componentes de reacdo de apoio de um quadro engastado e em balanco 24 kNm gOS N B am N Vip JA 18 kN Ha 396 kNm Vag Ma Se 6 m Figura 38 Calculo de reacdes de apoio em quadro engastado e em balanco A imposicao de cada uma das equacoes globais de equilibrio para o portico da Figura 38 resulta na determinacao das trés componentes de reacao de apoio de forma independente YF 0 H18kN 0 H18kN YF 0 V24kNm6m0 V144kN YIM 0 M 18kN2m 24kNm6m3m0 M396kNm Para exemplificar 0 calculo das componentes de reacao de apoio de um quadro triarticulado utiliza se o modelo mostrado na Figura 39 O carregamento atuante nesse portico é constituido por uma forca uniformemente distribuida de 24 kNm na viga e por um par de momentos de 54 kNm aplicados adja centes a rotula central do triarticulado 24 kNm 2 2 N N v G D OO c 54kNm E 54kNm 54kNm 54kNm y ws Hp 18 kN B B A XK 18 kN E DH A 7 st sentido A VBS fisico i 18 au we final Ha st 15m 15m 15m 15m Va fo 3m 3m Figura 39 Calculo de reacdes de apoio em quadro triarticulado Algumas observac6es pertinentes devem ser feitas com relacgdo ao par de momentos aplicados adja centes a rotula no ponto E do quadro triarticulado da Figura 39 A primeira é que esse tipo de solicitacao em geral nao corresponde a uma situacao real de carregamento Essa solicitacgdo esta relacionada com a imposicao de um determinado valor para o momento fletor em uma secao transversal de uma barra No ELSEVIER 46 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha caso conforme é visto na Seção 376 o momento fl etor na seção E resultante da aplicação do par de mo mentos é 54 kNm Esse tipo de solicitação é muito comum dentro do contexto de análise pelo método das forças Capítulo 8 A segunda observação está relacionada à representação gráfi ca do par de momentos Para todos os efeitos ele está aplicado imediatamente adjacente aos dois lados da rótula como indica o detalhe na Figura 39 As linhas espessas no detalhe que por praxe quase nunca são desenhadas em um modelo estrutural representam ligações infi nitamente rígidas entre os momentos aplicados e as seções transversais adjacentes à rotula Em outras palavras não existem trechos de barra entre a rótula e os momentos aplicados embora o desenho sem as linhas espessas dê a entender Para determinar as reações de apoio do triarticulado da Figura 39 não existe uma equação de equilíbrio que isoladamente forneça o valor de uma das componentes de reação de apoio Inicialmente são determinados os valores das reações HB e VB no apoio B utilizando a equação do equilíbrio global de momentos em relação ao ponto A e a equação de equilíbrio que impõe que o momento fl etor na rótula E seja nulo MA 0 VB 6 m HB 2 m 24 kNm 6 m 3 m 54 kNm 54 kNm 0 ME 0 VB 3 m HB 2 m 24 kNm 3 m 15 m 54 kNm 0 Observe que na primeira equação o momento provocado por HB considerado inicialmente posi tivo em relação ao ponto A é negativo sentido horário e na segunda equação o momento provocado pela mesma força em relação ao ponto E é positivo sentido antihorário Veja também que para fi ns de cálculo de reações de apoio na primeira equação substituise a força uniformemente distribuída 24 kNm pela sua resultante de 144 kN 24 kNm 6 m com posição no centro do comprimento de atua ção 3 m Já na segunda equação conforme ilustra a Figura 39 substituise a força distribuída pela sua resultante de 72 kN 24 kN 3 m atuando a uma distância de 15 m da rótula Além disso os momentos aplicados adjacentes à rótula se cancelam na primeira equação enquanto a segunda equação considera apenas o momento que está à direita do ponto E no sentido horário A solução dessas duas equações resulta nos valores das reações HB e VB VB 66 kN HB 18 kN Utilizando a equação do equilíbrio global na direção horizontal determinase o valor da reação horizontal HA Fx 0 HA HB 0 HA 18 kN 0 HA 18 kN Finalmente com base na equação do equilíbrio global na direção vertical chegase ao valor da reação vertical VA Fy 0 VA VB 24 kN 6 m 0 VA VB 144 kN VA 78 kN 321 Hiperestaticidade associada a ciclo fechado de barras Para explicar a necessidade de um pórtico simples ser aberto para ser isostático apresentase um exem plo de pórtico plan o com ciclo fechado anel de barras sem rótulas na Figura 310 Externamente o pór tico é isostático biapoiado mas o anel faz com que ele seja hiperestático internamente Considerando que um carregamento arbitrário solicite a estrutura as três componentes de reação de apoio da estrutura Figura 310a podem ser determinadas pelas três equações globais de equilíbrio Bookconceitosindb 46 532010 083638 elle Capitulo 3 Estruturas isostaticas 47 ELSEVIER 3 My N qM ae a N Le Q f a t b Figura 310 Portico plano externamente isostatico e com hiperestaticidade interna devida a um anel Apesar de ser possivel determinar as reacgoes de apoio do quadro da Figura 310 utilizando apenas equacoes de equilibrio nao se pode determinar os esforcos internos nas barras da estrutura s6 com base em equilibrio Isso ocorre porque ao se cortar a estrutura em qualquer secao transversal de uma barra a mesma nao fica dividida em duas porg6es Portanto nao se pode isolar dois trechos da estrutura de cada lado da secao 0 que é necessario para determinar os valores dos trés esforcos internos por equilibrio Por outro lado é possivel dividir a estrutura em duas porc6es se outra secao for cortada Entretanto aparece riam mais trés outras incdgnitas que sao os esforcos internos na outra secao transversal Podem existir quadros isostaticos que contém ciclos fechados de barras mas isso esta associado a presenca de rotulas Um exemplo é 0 quadro articulado com tirante mostrado na Figura 311 Outras si tuacoes sao as de quadros isostaticos compostos que serao vistos na proxima secao re ee wt Figura 311 Exemplo de quadro isostatico articulado com tirante O quadro articulado com tirante da Figura 311 se comporta externamente como um quadro bia poiado um apoio do 1 género e outro do 2 género com trés reagdes de apoio e trés equacées globais de equilibrio Equagoées 24 25 e 26 Entretanto ele funciona internamente como um quadro triarticulado rotula interna A barra horizontal inferior é biarticulada e se comporta como uma barra de trelica que s6 tem esforco interno axial esforco normal N mostrado na figura Quando o esforco normal é de tragao a barra funciona como um tirante quando é de compressao funciona como uma escora Ao se cortar essa barra em qualquer secao transversal o quadro fica aberto possibilitando 0 calculo dos esforcos internos em qualquer secao transversal desde que se conheca o valor do esforco normal N A condicao adicional de equilibrio impondo momento fletor nulo na rétula interna permite que se determine o valor desse esforco normal 33 QUADROS PLANOS ISOSTATICOS COMPOSTOS A Figura 312 mostra um exemplo de quadro isostatico composto O portico tem como suporte um en gaste e um apoio do 12 género Ele contém um ciclo fechado de barras e quatro rétulas internas Observe 48 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER que todas as rotulas sao simples isto é em cada uma delas s6 convergem duas barras Veja no detalhe da figura que a rotula no no C nao abrange todas as trés barras que chegam ao no 16 kNm 16 kNm zo w WU ao wy LUI G H t 6 20 kN A a P O 0 20 kN Bl olay BIVE ls oT PA H zo a av VD le 2m Se 2m Se 2m 20 IN Hp 20 KN pee Ha st Apoio ficticio na separagao de uma oP A ni aN rdotula indica o ponto onde um trecho Zz i esta sendo suportado por outro Va Figura 312 Calculo de reacdes de apoio em quadro isostatico composto A primeira questao é como identificar que um portico composto como o da Figura 312 é realmen te isostatico A Secdo 38 aborda essa questao formalmente contabilizando as trés equacées globais de equilibrio com as quatro equacdes que impodem momento fletor nulo nas quatro rétulas o que resulta em sete equacées de equilibrio O numero de incégnitas do problema do equilibrio estatico também é sete quatro componentes de reacao de apoio engaste e apoio do 12 género mais trés incdgnitas dos esforcos internos do ciclo fechado de barras Portanto esse portico pode ser isostatico Em seguida vem a questao de como determinar as reacées de apoio para depois determinar os es forgos internos Em vez de formular globalmente as sete equacées de equilibrio e identificar as incdégnitas é mais facil resolver esse problema com a decomposicao do quadro composto separandoo em trechos pelas rotulas como mostra a Figura 312 Essa decomposiao vai confirmar que o quadro composto é realmente isostatico Analogamente a vigas Gerber isostaticas que sao compostas por vigas isostaticas simples um qua dro isostatico composto é formado por quadros isostaticos simples A solugdo de quadros isostaticos compostos também é semelhante a solucdo de vigas Gerber isto é decomp6ese 0 quadro composto através de separacao pelas rotulas identificando uma sequéncia de carregamento dos quadros isostaticos sim ples De inicio identificamse os quadros que tém estabilidade propria e recursivamente verificamse os trechos que buscam suporte nos trechos que ja tém estabilidade Na solucao do portico da Figura 312 o engaste indica que existe um portico simples engastado e em balanco trecho ACD que tem estabilidade propria e deve ser isolado Isso impée que outros trechos tenham de buscar suporte no portico ACD nos pontos das rétulas em C e D Como o trecho BDEF tem um apoio do 1 género é preciso encontrar um apoio do 2 género para formar um quadro biapoiado Esse trecho é suportado pelo trecho ACD no ponto da rotula D 0 que é indicado pelo apoio do 22 género mos trado no ponto D no quadro decomposto 0 apoio fica no trecho biapoiado BDEF sendo suportado O apoio no ponto D é ficticio e serve para indicar o ponto no qual o trecho é suportado A Figura 312 mostra Capítulo 3 Estruturas isostáticas 49 dois outros apoios do 2o gênero fi ctícios que resultam da separação das rótulas em C e F Estes formam com a rótula H o quadro triarticulado CGHF que é suportado pelos dois trechos isolados anteriormente Da mesma forma como foi observado para a decomposição de uma viga Gerber ao se separar uma rótula de um quadro composto o apoio fi ctício que identifi ca o trecho sendo suportado só pode fi car de um dos lados da rótula separada A defi nição do lado da rótula em que se situa o apoio fi ctício depende da análise da sequência de carregamentos dos trechos isostáticos simples Entretanto no caso da viga Gerber a decomposição não faz distinção entre apoios do 1o gênero ou do 2o gênero pois na viga Gerber a transferência de cargas da decomposição trata apenas de forças verticais No quadro composto os apoios fi ctícios são sempre do 2o gênero pois tanto forças horizontais quanto verticais são transferidas pelas rótulas uma rótula mantém a continuidade de deslocamentos horizontal e vertical Portanto não faz sentido aparecer um apoio do 1o gênero na separação de uma rótula de um quadro composto Assim como em uma viga Gerber em um quadro plano isostático composto a solução para os esfor ços internos de ligação nas rótulas e para as reações de apoio deve ser iniciada pelo trecho que não serve de apoio para nenhum outro No exemplo da Figura 312 a solução do equilíbrio do triarticulado CGHF resulta na determinação das reações HC VC e VF HF é nula Na verdade essas forças são esforços de li gação nas rótulas mas são calculadas como se fossem reações de apoio do trecho isostático isolado Estas são transferidas com sentidos opostos para os pontos nos quais o triarticulado CGHF obtém apoio Com a força vertical VF podese resolver o equilíbrio do biapoiado BDEF determinando os esforços de ligação HD e VD e a reação de apoio VB Finalmente com as forças HC VC HD e VD resolvese o quadro engastado e em balanço ACD chegando às reações de apoio HA VA e MA A Seção 377 indica os procedimentos adotados para a obtenção dos esforços internos no quadro composto da Figura 312 Na decomposição de um quadro isostático composto devese tomar cuidado para não gerar situa ções de instabilidade como as indicadas na Figura 36 A decomposição do quadro composto da Figura 312 resultou em uma sequência de carregamento de quadros isostáticos simples todos com estabilidade Isso demonstra que o quadro composto isostático é estável 34 TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS Conforme defi nido na Seção 23 uma treliça é um modelo de estrutura reticulada com articulações comple tas em todos os nós Para que esse conjunto de barras articuladas no plano tenha uma forma rígida a menos das deformações axiais das barras é necessário que as barras estejam conectadas pelas suas extremidades compondo uma triangulação que formalmente é defi nida como um complexo simplicial de ordem 2 Por outro lado para uma treliça ser isostática é necessário que o número de incógni tas do problema do equilíbrio estático seja igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis Considerando que por defi nição o modelo estrutural treliça tem cargas aplicadas somente nos nós cada barra tem apenas um esforço interno esforço normal que não varia ao longo da barra Dessa forma o número de incógnitas do problema do equilíbrio estático é o número de barras acrescido do número de componentes de reação de apoio Com respeito às equações de equilíbrio é mais simples tratar o equilíbrio global da treliça de maneira indireta considerando o equilíbrio de cada nó isolado isto é se todos os nós da treliça satisfi zerem as condições de equilíbrio quando isolados então a treliça como um todo satisfaz as condições de equilíbrio Cada nó de treliça plana é um ponto no plano que tem de satisfazer duas condições de equilíbrio as resultantes horizontal e vertical de forças atuantes no nó devem ser nulas As forças que atuam em um nó isolado podem ser esforços normais vindos das barras adjacentes forças externas aplicadas ou reações de apoio Portanto o número de equações de equilíbrio de uma treliça plana é igual ao dobro do número de nós Bookconceitosindb 49 532010 083639 50 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Analisando os modelos da Figura 212 Secdo 23 verificase que o modelo da esquerda painel sem barra diagonal tem sete 2 1 4 incdgnitas e oito 4 2 equacdes de equilibrio Logo esse modelo é hipostatico e instavel pois o sistema de equacoes de equilibrio nao tem solugao ha menos incdgnitas que equacoes Ainda na Secao 23 é observado que as quatro barras articuladas formam um mecanismo que nao tem estabilidade Ja o modelo do centro da Figura 212 tem oito 2 1 5 incégnitas e oito 4 2 equacoes de equilibrio Esse modelo é isostatico e as barras formam um complexo simplicial Finalmente o modelo da direita da Figura 212 é hiperestatico pois existem nove 2 1 6 incdgnitas e oito 4 2 equacoes de equilibrio Como é observado na Segao 23 a barra adicional do painel redundante no que se refere a estabilidade isto é essa barra pode oferecer resisténcia estrutural adicional mas nao é ela que torna a estrutura estavel Esse modelo nao forma um complexo simplicial valido Munkres 1984 define complexo simplicial de ordem 2 como um conjunto de tridngulos 2sim plex em que a intersecao de dois tridngulos quaisquer quando nao é vazia obrigatoriamente um lado completo de triangulo uma barra ou um vértice um no Além disso a fronteira de um complexo simplicial valido é uma cadeia continua e conexa uma tunica parte de lados de tridngulos de barras que nao se autointercepta A Figura 313 mostra quatro exemplos de trelicgas planas cujas barras formam um complexo simplicial de ordem 2 As barras que formam a fronteira estao indicadas no desenho com espessura mais grossa Todas as trelicas sao externamente isostaticas biapoiadas mas duas delas sao hiperestaticas internamente a Trelicga isostatica R b Treliga hiperestatica R LS SS Q O Q 5 Y 0G O g O 0 0 0 O c Treliga isostatica d Treliga hiperestatica Figura 313 Exemplos de treligas cujo arranjo de barras constituem um complexo simplicial valido Para deixar clara a definigao de complexo simplicial a Figura 314 indica dois modelos de treliga cujo arranjo de barras nao atende a definicao de complexo simplicial de ordem 2 Um modelo é hiposta tico e o outro é hiperestatico painel com duas barras transpassadas Treliga hipostatica Treliga hiperestatica R Figura 314 Exemplos de trelicas cujo arranjo de barras nado constitui um complexo simplicial valido Capítulo 3 Estruturas isostáticas 51 As barras da fronteira da triangulação do modelo hipostático da Figura 314 compõem um cadeia contínua que se autointercepta Na verdade isso forma um modelo instável porque só existem dois apoios simples modelo biapoiado Na sequência é mostrado que podem existir treliças compostas isostáticas com uma fronteira de triangulação que se autointercepta No modelo hiperestático as barras transpassadas sem nó na interseção acarretam uma violação da defi nição de complexo simplicial que exige interseção de dois triângulos apenas em um lado completo ou em um vértice Resta a questão de identifi car em que situações um complexo simplicial biapoiado é isostático Uma análise dos modelos da Figura 313 pode trazer subsídios para tal Como as treliças dessa fi gura são biapoiadas as reações nos apoios simples do 1o e do 2o gêneros são sufi cientes para equilibrar o conjunto Imagine a criação da triangulação partindo de um conjunto de três barras quaisquer que formam um triângulo adicionando um triângulo de cada vez Se para formar um novo triângulo são necessárias duas novas barras conectadas a uma barra existente e um novo nó então o problema permanece isostático porque a cada duas novas incógnitas os esforços normais das novas barras são introduzidas duas novas equações as de equilíbrio do novo nó Por outro lado se para formar um novo triângulo basta adicionar uma barra sem criar um nó o problema se torna hiperestático pois há o acréscimo de uma incógnita sem que apareçam novas equações Observe que a treliça isostática da Figura 313a apresenta um serrilhado de barras no topo que é eliminado na treliça hiperestática da Figura 313b com a inserção das barras no topo sem a criação de nó algum São justamente essas barras no topo que fazem com que a treliça fi que hiperestática pois elas só introduzem incógnitas sem originar novas equações A comparação entre as treliças das Figuras 313c e 313d também evidencia o aparecimento de uma confi guração hiperestática quando somente uma nova barra é necessária para a criação de um novo triângulo Esse é o caso da única barra entre os apoios que caracteriza a diferença entre essas duas treliças Dessa análise podese concluir que para um complexo simplicial de ordem 2 formado por barras articula das nos lados dos triângulos constituir uma treliça isostática biapoiada o número de barras adjacentes a cada nó da treliça tem de ser maior do que o número de triângulos adjacentes ao nó Dito de outra maneira para uma treliça biapoiada ser isostática a adjacência radial em torno de um nó qualquer não pode ser completamente preenchida por triângulos do complexo simplicial Podese também estabelecer uma relação entre o número de nós e barras de um complexo simplicial que se confi gura em uma treliça isostática simples Considerando que são necessárias três componentes de reação de apoio para equilibrar externamente a triangulação para que o número de incógnitas seja igual ao número de equações de equilíbrio devese ter no de barras da triangulação isostática no de nós da triangulação 2 3 Uma treliça simples nesse contexto é aquela formada por um único complexo simplicial válido Conforme comentado anteriormente cada complexo simplicial forma um corpo rígido a menos das deformações axiais das barras É possível compor treliças isostáticas com a combinação de complexos simpliciais Estas são denominadas treliças compostas A Figura 315 mostra um exemplo de treliça com posta que funciona globalmente como uma viga Gerber e outro de treliça que funciona como um pórtico triarticulado Bookconceitosindb 51 532010 083640 52 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Treliga composta tipo Gerber a Treliga composta triarticulada Figura 315 Exemplos de trelicas isostaticas compostas Essencialmente se analisadas como um todo as treligas compostas da Figura 315 nado formam um complexo simplicial valido Entretanto as composicdes de complexos simpliciais indicadas na figura resultam em estruturas isostaticas estaveis Um exemplo de determinagao de reacdes de apoio e de esforcos normais em uma trelica simples isostatica é mostrado na SecAo 378 35 GRELHAS ISOSTATICAS A Figura 316 mostra dois exemplos de grelhas isostaticas grelha com trés apoios simples triapoiada e grelha engastada e em balanco Esses modelos apresentam trés componentes de reacado de apoio que podem ser determinadas pelas trés equacées globais de equilibrio Equacées 28 29 e 210 A direcao da reacao do apoio do 22 género para grelhas é a mesma da reacao do apoio do 1 género posto que grelhas so tém reacoes forca na direcdo Z Dessa forma os apoios simples na grelha triapoiada sao mostrados na figura com 0 simbolo genérico A IW ITITY a ZL j x i Grelha triapoiada Grelha engastada e em balango Figura 316 Exemplos de dois tipos de grelhas isostaticas simples A grelha triapoiada mostrada na Figura 317 é utilizada como exemplo para a determinacao de rea cdes de apoio em grelhas isostaticas B FF 16 kNm e TIN vt ce Cc D he S E SA fe 3m oY vt3 Figura 317 Calculo de reacdes de apoio em grelha triapoiada oni Capitulo 3 Estruturas isostaticas 53 E conveniente iniciar a determinacdo de reacdes de apoio selecionando 0 equilibrio de momentos em torno de um eixo no plano da grelha que passa por dois apoios pois as correspondentes reacoes de apoio provocam momentos nulos em relacao a esse eixo No exemplo a primeira equacao selecionada é de somatério de momentos nulos em relacao ao eixo que passa pelos pontos A D e B indicados na Figu ra 317 Essa condicao de equilibrio resulta no valor da reacao vertical V V3m16kNm3m15m0 V24kN Para fins de calculo de reagées de apoio substituise a forga uniformemente distribuida 16 kNm pela sua resultante de 48 kN 16 kNm 3 m localizada no centro do seu comprimento de abrangéncia 15 m de distancia ao eixo ADB O outro eixo para imposicao de equilibrio de momentos nao pode ser paralelo ao eixo ADB A im posicao do somatério de momentos nulos em torno do eixo CD resulta em V3mV3m0VV Finalmente impdese a condicao de equilibrio de forcas na direcao vertical Z VVV16kNm3m0 VV12kN A Secao 379 indica os procedimentos adotados para a determinacao dos diagramas de momentos fletores e momentos torcores para a grelha da Figura 317 36 CONVENCAO DE SINAIS PARA ESFORCOS INTERNOS A convencao de sinais adotada neste livro para esforcos internos em porticos planos esta associada ao sistema de eixos locais das barras Figura 25 e depende da definicao de fibras inferiores das barras A se guinte definicado é adotada nas barras horizontais e inclinadas as fibras inferiores sao as de baixo quando se olha para o eixo vertical do portico na sua orientacgao natural cabeca do observador para cima nas barras verticais as fibras inferiores sao as da direita A Figura 318 indica as fibras inferiores de um portico plano que contém barras com todas as incli nagoes possiveis As linhas tracejadas indicam as fibras inferiores adotadas para cada uma das barras Consistentes com a definicado de fibras inferiores os sistemas de eixos locais das barras também estaéo mostrados na figura O eixo local y da barra é transversal ao eixo da barra e tem 0 sentido que vai da fibra inferior para a fibra superior O sentido do eixo axial x é tal que o produto vetorial de x por y resulta em um vetor z que sai do plano do quadro x LY Pe Ree ee x x 3 Pa Figura 318 Fibras inferiores das barras de um portico genérico bidimensional faces inferiores das barras indicadas com linhas tracejadas e correspondentes eixos locais das barras Em uma estrutura aberta sem ciclo fechado de barras como um dos quadros isostaticos simples da Figura 35 os esforcos internos representam as resultantes de todas as forcas e momentos que atuam de um lado de uma secao de corte As resultantes de um lado atuam sobre a porcao de estrutura isolada do outro lado Observase que esforgos internos correspondentes de cada lado de uma segao de corte séo iguais e contrarios acdo e reacao Portanto é importante que a convengao de sinais leve isso em conta 54 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER e indique 0 mesmo sinal para esforcos internos associados que estado nos dois lados da segao de corte Dessa forma 0 sinal independe da porcao consultada para sua obtengao Essa caracteristica da convencao de sinais para esforcos internos é salientada na sequéncia Esforcos normais ou axiais representam a forca resultante na direcdo axial eixo x de todas as forgas de um lado da secao de corte Esforgos normais podem ser de tracao quando a forga axial tem a direcdo para fora da porcao isolada da estrutura Figura 319 ou de compressao quando a direcao dessa forga é para dentro da porcao isolada Segundo a convengao de sinais adotada os esforcos normais de tracgao sao positivos e os de compressao negativos A Figura 319 mostra as diregdes dos esforos nor mais positivos tracao isto é saindo da secao transversal Se See Figura 319 Convencado para esforcgos normais positivos O esforcgo cortante tem a direcdo do eixo local y da barra e é positivo Figura 320 quando consi derando as forcas 4 esquerda de uma segAo transversal olhando no sentido das fibras inferiores para as superiores a resultante na direcdo local y tem sentido para cima Considerando as forgas a direita da secao transversal 0 esforco cortante é positivo quando a resultante tem sentido contrario ao eixo local y Q Q Q Q Figura 320 Convencao para esforcos cortantes positivos Para momentos fletores a convencao de sinais adotada é tal que esse esforco interno é positivo Fi gura 321 quando considerando as forcas e momentos a esquerda de uma secAo transversal olhando no sentido das fibras inferiores para as superiores a resultante momento tem sentido horario Conside rando as forcas a direita da secdo transversal o momento fletor é positivo quando a resultante momento tem sentido antihorario Ste G Fo 7 F i Yj Oo Fy M jj M F dd y M M M M Figura 321 Convencdo para momentos fletores positivos e resultantes de tensdo normais de tracdo Fe de compressdo F na secao transversal tlle Capitulo 3 Estruturas isostaticas 55 Podese adotar uma maneira alternativa para identificar 0 sinal do momento fletor um momento fletor positivo estd associado a uma flexao da barra com uma concavidade da eldstica voltada para cima quando se olha no sentido da fibra inferior para a superior quando a concavidade esta voltada para baixo o momento fletor é negativo Essa relacao entre momento fletor e curvatura da eldastica é formalmente apresentada no Capi tulo 5 Equacao 522 e é muito util para a identificagdo do sinal do momento fletor Entretanto no caso geral nao é simples identificar o sentido da concavidade Felizmente existe uma maneira indireta de fazer isso identificar a fibra inferior ou superior da secao transversal da barra que fica tracionada na flexao A concavidade voltada para cima esta associada a um estiramento ou tracao das fi bras inferiores da barra e a um encurtamento ou compressao das fibras superiores Isso é representado no topo da Figura 321 para 0 caso de momento fletor positivo a linha corrugada representa 0 encurtamento das fibras superiores e a linha tracejada representa o estiramento das fibras inferiores As deformaées das fibras inferiores e superiores sao consistentes com a distribuicdo de tensGes internas associadas a flexaéo de uma barra Conforme descrito na Secao 53 o momento fletor esta associado a uma distribuicdo de tens6es normais o na secao transversal No comportamento linearelastico a distribuicdo de tensdes normais é linear como mostra a Figura 321 Nessa distribuigéo de tens6es F a forga resultante das tensGes normais de tracao saindo da secao e Fé a forca resultante das tensdes de compressao entrando na secao As forcas Fe F formam um conjugado que tem a mesma intensidade e sentido do momento fletor M atuante na secao transversal independentemente do lado pelo qual se observa a secao cortada Percebese que a convencao de sinais adotada é tal que o momento fletor é positivo quando a resultante de tracao EF fica do lado da fibra inferior da barra e é negativo quando a resultante de tracao fica do lado da fibra superior No caso de trelicas planas ou espaciais adotase a mesma convencao de sinais para esforcos internos normais mostrada na Figura 319 Para grelhas as fibras inferiores de todas as barras ficam no sentido negativo do eixo global Z Fi gura 214 Os eixos locais de uma barra de grelha sao mostrados na Figura 215 Nesse caso a convencgao de sinais para esforcos cortantes e momentos fletores é andloga a que é mostrada nas Figuras 320 e 321 respectivamente para porticos planos A Unica diferengca é que no caso de grelhas 0 eixo transversal local indicado nas figuras seria 0 eixo z sempre no sentido do eixo global Z em vez do eixo y Como nao existem esforgos normais em grelhas resta definir a convencao de sinais para momen tos torcores A Figura 322 indica os sentidos positivos de um momento torcor em uma barra de grelha O momento torcor é positivo quando considerando as forcas e momentos que ficam na porao oposta a porcao isolada a resultante momento em torno do eixo da barra indicado pela seta dupla na Figu ra 322 sai da secao transversal no lado da porcao isolada O sentido da seta dupla segue a regra da mao direita em que 0 eixo de rotacado corresponde ao polegar e o sentido do momento segue a orien tacdo dos dedos A a Zz T y Figura 322 Convencdo para momentos torcores positivos ELSEVIER 56 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 37 TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS Esta seção descreve a convenção e os procedimentos adotados para o traçado de diagramas de esforços internos em estruturas reticuladas isostáticas Nove exemplos isostáticos são apresentados uma viga biapoiada com força concentrada Seção 371 uma viga biapoiada com força uniformemente distribu ída Seção 372 uma viga biapoiada com balanços Seção 373 uma viga biapoiada com várias cargas Seção 374 um quadro biapoiado Seção 375 um quadro triarticulado Seção 376 um quadro com posto Seção 377 uma treliça biapoiada Seção 378 e uma grelha triapoiada Seção 379 371 Diagramas de esforços internos em viga biapoiada com força concentrada A Figura 323 mostra uma viga biapoiada com vão l submetida a uma força vertical aplicada com senti do para baixo em uma posição genérica indicada pela distância a ao primeiro apoio e pela distância b ao segundo apoio Uma seção transversal genérica é caracterizada pela distância x em relação ao primeiro apoio Na determinação dos esforços internos duas seções transversais típicas são tratadas uma à es querda d a carga aplicada x a na Figura 323a e outra à direita da carga x a na Figura 323b Figura 323 Cálculo de esforços internos em viga biapoiada solicitada por força concentrada As reações de apoio são determinadas pelo equilíbrio global Fy 0 e MA 0 da viga l P b VA l P a VB O esforço cortante e o momento fl etor na seção transversal genérica S são determinados pelo equi líbrio de cada porção isolada da viga quando se dá um corte em S Inicialmente os esforços internos são considerados com sentidos positivos de acordo com a convenção adotada Assim se a solução do equi líbrio resultar em sinal negativo para esforço interno o sentido fi nal desse esforço é contrário ao sentido positivo Na situação em que x a Figura 323a o equilíbrio Fy 0 e MS 0 da porção à esquerda da seção S fornece l P b V Q F A y 0 l P b x x V M M A S 0 Bookconceitosindb 56 532010 083644 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 57 Observe que o mesmo resultado tem de ser obtido se Q e M forem calculados através do equilíbrio da porção à direita de S l P b l a P l P a P V P Q F B y 1 0 x l l P a x a P x l V x a P M M B S 0 l P b x x l a P l a x a a x P 1 Apesar de ser mais complicado o cálculo foi feito pelo equilíbrio da porção da direita para de monstrar que uma vez calculadas as reações de apoio de forma correta tanto faz equilibrar a porção da esquerda ou da direita para se determinar os esforços internos na seção transversal Quando se equilibra a porção da direita transportamse as forças que estão à esquerda para a seção e costumase dizer que o cálculo dos esforços internos é feito entrando pelo lado esquerdo da seção De forma análoga quando se equilibra a porção da esquerda o cálculo é feito entrando pelo lado direito da seção Em geral procurase calcular os valores dos esforços internos pelo lado que requer menos cálculo Para a situação em que x a Figura 323b é mais simples considerar as forças que estão à direita ou entrar pelo lado direito da seção S l P a V Q F B y 0 l x l P a x l V M M B S 0 O diagrama de esforços cortantes é um gráfi co que descreve a variação do esforço cortante ao lon go das seções transversais da estrutura No caso da viga biapoiada com força concentrada o diagrama é mostrado na Figura 324 O traçado é determinado para as duas situações consideradas x a e x a resultando em uma descontinuidade no ponto de aplicação da carga Segundo a convenção adotada para o desenho do diagrama os valores positivos de esforços cortantes são desenhados do lado das fi bras superiores da barra e os valores negativos do outro lado Observe na fi gura que a descontinuidade do diagrama corresponde ao valor da força concentrada P aplicada no sentido da força A hachura dos diagramas de esforços internos é perpendicular ao eixo da viga Nem sempre a hachura é desenhada e nesse caso apenas as ordenadas do diagrama nas extremidades das barras são indicadas Figura 324 Diagrama de esforços cortantes em viga biapoiada solicitada por força concentrada De maneira análoga o diagrama de momentos fl etores é um gráfi co que descreve a variação do momento fl etor ao longo das seções transversais da estrutura A Figura 325 indica o diagrama para a viga biapoiada com força concentrada Conforme a convenção adotada para o desenho do diagrama os valores positivos de momentos fl etores são desenhados do lado das fi bras inferiores da barra e os nega tivos do outro lado Bookconceitosindb 57 532010 083644 ELSEVIER 58 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 325 Diagrama de momentos fl etores em viga biapoiada solicitada por força concentrada Observe que o diagrama é contínuo isto é os resultados obtidos das situações para x a e x a coincidem na seção transversal do ponto de aplicação da força concentrada P Observe também que o diagrama tem um bico mudança brusca de inclinação no ponto de aplicação de P sendo que o valor máximo de momento fl etor ocorre nesse ponto Mmáx Pabl Entretanto de maneira geral o diagrama de momentos fl etores não é indicado com sinal Isso não acarreta inconsistência porque a convenção adotada resulta em que o diagrama de momentos fl etores é traçado sempre do lado da fi bra tracionada da barra isto é para um momento fl etor positivo as fi bras tracionadas são as inferiores e para um momento fl etor negativo são as superiores Em algumas situações como no traçado de envoltórias de valores mínimos e máximos de momentos fl etores indicase o sinal dos mo mentos fl etores no diagrama Pode parecer estranho desenhar valores positivos do diagrama de momentos fl etores para baixo Essa praxe adotada no Brasil e em alguns países talvez se justifi que pelo fato de o momento fl etor estar associado à convexidade ou à curvatura da curva elástica da barra Seção 510 Nos trechos de barra nos quais a convexidade da curva elástica é para baixo concavidade para cima isto é fi bras inferiores de baixo tracionadas o momento fl etor é positivo e portanto desenhado para baixo Em outros países a convenção é desenhar as ordenadas positivas do diagrama de momentos fl etores do lado das fi bras superiores como nos outros diagramas 372 Diagramas de esforços internos em viga biapoiada com força uniformemente distribuída A Figura 326 mostra o modelo estrutural de uma viga biapoiada com força vertical uniformemente distribuída atuando ao longo de toda a sua extensão As reações de apoio da viga biapoiada são deter minadas pelo equilíbrio global Fy 0 e MA 0 2 q l V V B A Figura 326 Cálculo de esforços internos em viga biapoiada solicitada por força uniformemente distribuída Bookconceitosindb 58 532010 083645 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 59 Determinamse o esforço cortante e o momento fl etor em uma seção transversal genérica S através do equilíbrio das porções isoladas da viga por um corte em S como indicado na Figura 326 A imposição de Fy 0 e MS 0 na porção à esquerda da seção S fornece 0 0 Q q x V F A y q x V Q A q x q l Q 2 0 2 0 M q x x x V M A S 2 q x2 x V M A 2 2 2 q x q l x M A expressão do esforço co rtante resulta no diagrama mostrado na Figura 327 Figura 327 Diagrama de esforços cortantes em viga biapoiada solicitada por força uniformemente distribuída Observe que o diagrama de esforços cortantes é um gráfi co que varia linearmente e que o coefi ciente an gular da reta é igual a q Em outras palavras a taxa de redução de esforço cortante ao longo da barra é igual ao valor da carga distribuída q Formalmente existe uma relação diferencial entre o esforço cortante Q e o valor da carga transversal distribuída na viga dQdx q Essa relação é deduzida no Capítulo 5 e mostrada na Equação 512 Como q é constante e para baixo o diagrama de esforços cortantes tem uma variação linear sendo que a cada unidade de distância há uma redução de q no valor do esforço cortante como indicado na Figura 327 A expressão para o momento fl etor em uma seção transversal genérica da viga biapoiada para uma força uniformemente distribuída resulta no diagrama mostrado na Figura 328 Observe que o diagrama de momentos fl etores é uma parábola do segundo grau e que o valor máximo do diagrama ocorre na seção central e é igual a ql28 Figura 328 Diagrama de momentos fl etores em viga biapoiada solicitada por força uniformemente distribuída 373 Diagramas de esforços inte rnos em viga biapoiada com balanços Para exemplifi car o traçado de diagramas de esforços internos em vigas biapoiadas com balanços utiliza se o modelo estrutural mostrado na Figura 32 3731 Diagrama de esforços normais A Figura 329 mostra o diagrama de esforços normais da viga que dependem somente de forças hori zontais A fi gura ilustra um corte da viga em uma seção transversal do vão principal isolandoa em duas porções Apenas a atuação de forças horizontais é indicada em cada porção Para que cada porção isolada Bookconceitosindb 59 532010 083645 ELSEVIER 60 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha fi que em equilíbrio é necessário que o esforço normal N na seção de corte tenha o sentido indicado na fi gura Pela convenção de sinais adotada o esforço normal é positivo pois está saindo da seção tração Figura 329 Exemplo de diagrama de esforços normais em viga biapoiada com balanços No diagrama de esforços normais valores positivos são desenhados do lado das fi bras superiores e negativos do lado das fi bras inferiores Nesse exemplo os valores são nulos ou positivos No trecho em balanço da esquerda como não existe força horizontal à esquerda de qualquer seção transversal o diagrama de esforços normais é nulo Para qualquer outra seção da viga o esforço normal é constante pois a força resultante na direção axial à esquerda ou à direita da seção é sempre a mesma 8 kN e saindo da seção transversal 3732 Diagrama de esforços cortantes A Figura 330 mostra o traçado do diagrama de esforços cortantes da viga biapoiada com balanços A fi gura também indica cortes em seções transversais típicas da viga com o esforço cortante desenhado em cada seção de corte As seções típicas se localizam no balanço da esquerda no vão principal e no balanço da direita kN Q Q Q Q Q Q Q S x q q q Figura 330 Exemplo de diagrama de esforços cortantes em viga biapoiada com balanços Uma maneira conveniente para traçar o diagrama de esforços cortantes é percorrer as seções trans versais da viga por exemplo da esquerda para a direita determinando a resultante de forças na direção Bookconceitosindb 60 532010 083646 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 61 vertical do ponto de partida até a seção corrente Ao percorrer a viga podese pensar que ocorrem even tos em termos de forças verticais que defi nem as seções transversais típicas O primeiro evento é a carga vertical de 18 kN aplicada para baixo na extremidade do balanço da esquerda Qualquer seção no balanço da esquerda tem à sua esquerda uma carga vertical para baixo e pela convenção de sinais resulta em um valor negativo de 18 kN constante para o esforço cortante em todo o balanço O segundo evento é o aparecimento da reação vertical para cima de 96 kN no primeiro apoio A seção transversal que fi ca imediatamente à direita do apoio tem à sua esquerda uma resultante de força ver tical igual à soma dos dois eventos 18 kN e 96 kN Assim o valor do esforço cortante nessa seção é 78 kN Uma seção transversal típica do vão principal situase a uma distância x do primeiro apoio como indicado na Figura 330 Na seção típica a resultante de forças verticais à sua esquerda é reduzida de qx em relação à primeira seção do vão No fi nal do vão principal o valor do esforço cortante é reduzido em relação ao valor no início do vão de 144 kN 24 kNm 6 m Dessa forma o diagrama varia linearmente nesse vão e o valor do esforço cortante é 66 kN 78 kN 144 kN no fi nal do vão O próximo evento é a reação vertical para cima de 84 kN no segundo apoio Portanto todas as seções transversais no balanço da direita têm esforço cortante constante igual a 18 kN 66 kN 84 kN Alternativamente nesse balanço é mais simples determinar o esforço cortante considerando a resultante de força vertical à direita da seção típica Como a força aplicada na extremidade direita do balanço é de 18 kN para baixo pela convenção de sinais o resultado é o mesmo valor de esforço cortante positivo 18 kN 3733 Diagrama de momentos fl etores A Figura 331 mostra o diagrama de momentos fl etores da viga biapoiada com balanços Conforme a convenção adotada para o traçado do diagrama de momentos fl etores as ordenadas positivas do diagra ma são desenhadas do lado das fi bras inferiores e as ordenadas negativas do lado das fi bras superiores O diagrama de momentos fl etores da Figura 331 também indica o valor máximo local de momento fl etor na barra central A localização da seção transversal na qual ocorre o valor máximo é obtida com auxílio do diagrama de esforços cortantes na barra conforme mostrado na sequência Figura 331 Exemplo de diagrama de momentos fl etores em viga biapoiada com balanços O traçado do diagrama de momentos fl etores pode ser feito por superposição de efeitos em cada barra como ilustrado na Figura 332 Considere a barra central vão principal entre apoios O diagrama fi nal M dessa barra é obtido pela superposição do diagrama reto MI que é o traçado unindo os valores dos momentos fl etores nas extremidades da barra com o diagrama parabólico MII correspondente ao carregamento que atua no interior da barra considerada biapoiada Bookconceitosindb 61 532010 083647 ELSEVIER 62 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 332 Superposição de efeitos para compor o diagrama de momentos fl etores da Figura 331 O diagrama MI é composto por linhas retas pois corresponde a uma situação em que a barra está descarregada Isso ocorre porque o momento fl etor varia linearmente ao longo de uma barra sem carre gamento Por exemplo conforme ilustrado na Figura 332 o momento fl etor MI em uma seção transversal S na barra central que dista x do primeiro apoio é MIx 18 kN 4 m x VA x Portanto MI varia de forma linear com x linha reta Formalmente a variação linear de momento fl etor ao longo de um trecho de barra sem carregamento pode ser deduzida com base na relação diferencial entre o momento fl etor e o carregamento transversal distribuído d2Mdx2 qx Essa relação é deduzida no Capítulo 5 e mostrada na Equação 514 Nesse caso o carregamento transversal distribuído é nulo e a condição de d2Mdx2 0 resulta em uma variação linear para MIx em cada trecho A superposição de efeitos mostrada na Figura 332 resulta no procedimento adotado para o traçado de diagramas de momentos fl etores e indicado na Figura 333 para o exemplo da viga biapoiada com balanços Esse procedimento é comumente descrito como pendurar o diagrama de viga biapoiada para o car regamento que atua no interior do trecho de barra kNm M kNm M kNm M Passo 1 Passo 2 Passo 3 FT FT FC FC FC FC FT FT Figura 333 Passos para traçado do diagrama de momentos fl etores da Figura 331 Bookconceitosindb 62 532010 083647 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 63 O traçado do diagrama de momentos fl etores em cada trecho de barra é feito da seguinte maneira Passo 1 Determinamse os momentos fl etores nas extremidades do trecho de barra desenhando as or denadas do diagrama com valor do lado da fi bra tracionada da barra Passo 2 Se o trecho de barra não tiver cargas transversais no seu interior o diagrama fi nal é obtido sim plesmente unindo os valores extremos por uma linha reta Passo 3 Se o trecho de barra tiver carregamento no seu interior o diagrama de viga biapoiada para o carregamento é pendurado superposto transversalmente a partir da linha reta que une os valores extremos do trecho No procedimento ilustrado na Figura 333 o diagrama é traçado por trechos que coincidem com as próprias barras do vão principal e dos balanços Esse procedimento pode ser aplicado para uma divisão arbitrária de trechos de barra Em geral uma barra é dividida em trechos associados a eventos de mudan ça de carregamento A Seção 374 ilustra isso para uma viga biapoiada com várias cargas A fi bra tracionada é identifi cada quando se substitui o momento fl etor atuante em uma seção trans versal por um conjugado formado por uma força resultante de tensões normais de tração FT e uma força resultante de tensões normais de compressão FC Figura 321 O conjugado tem sempre o mesmo sentido horário ou antihorário do momento fl etor atuante na seção O lado da fi bra tracionada é o lado da força FT que sai da seção como observado na Figura 333 Note na Figura 333 passo 3 que os valores superpostos do diagrama de viga biapoiada para a bar ra central são medidos perpendicularmente ao eixo da barra a partir da linha reta que faz o fechamento dos valores extremos do trecho Os valores do diagrama fi nal são medidos do eixo da barra até a curva resultante da superposição Ainda no passo 3 do procedimento adotado para o traçado do diagrama de momentos fl etores é necessário conhecer o diagrama de viga biapoiada para o carregamento atuante em cada trecho de barra A Figura 334 mostra diagramas de momentos fl etores de viga biapoiada para cargas usuais Figura 334 Diagramas de momentos fl etores para vigas biapoiadas Bookconceitosindb 63 532010 083649 64 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER No caso de estruturas isostaticas para calcular os momentos nas extremidades dos trechos de bar ra é necessario em geral determinar as reac6es de apoio na estrutura Considerando que as reacées de apoio foram calculadas corretamente podese considerar as forgas e momentos vindos por qualquer lado de uma segAo transversal O valor do momento fletor e a indicacao de qual fibra inferior ou superior da barra esta sendo tracionada independe do lado em que se entra em relacao a secao transversal Portanto adotase o lado em que o calculo for mais simples Embora 0 exemplo utilizado tenha sido isostatico devese ressaltar que os mesmos procedimentos para o tracado do diagrama de momentos fletores em um trecho de barra também se aplicam para es truturas hiperestaticas Dessa forma uma vez que tenham sido determinados os valores dos momentos fletores nas extremidades do trecho 0 que é bem mais complicado para estruturas hiperestaticas e que se conheca 0 carregamento atuante no seu interior podese tracar o diagrama de momentos fletores no trecho 3734 Obtenao dos esforcos cortantes em uma barra a partir dos momentos fletores Outro aspecto interessante é a obtencdo do diagrama de esforcos cortantes em uma barra a partir do diagrama de momentos fletores O objetivo aqui é apresentar uma maneira alternativa para determinar o diagrama de esforcos cortantes em uma barra evitando o procedimento mostrado anteriormente que percorre as sec6es transversais da estrutura e acumula a resultante de forcas transversais até a secao corrente Em algumas situac6es como para porticos com barras inclinadas 0 procedimento anterior de eventos pode ser muito trabalhoso O procedimento alternativo baseado no diagrama de momentos fletores é feito isolando cada barra ou cada trecho de barra da estrutura como mostrado na Figura 335 para a barra central da viga da Figura 331 72 kNm 36 kNm q 24 kNm 72 kNm 24 KNm 36 kNm CWI TT Gaara g AD 6m ztivy Wed eV Yay AS sty Vas kNm m kKNm 72 mt kNm TAR iS fet mn BN 1 KN q kN 2 kN SS A 72 66 Figura 335 Tragado do diagrama de esforcos cortantes a partir do diagrama de momentos fletores A barra é considerada uma viga biapoiada com cargas momento aplicada nas extremidades para representar as resultantes momentos do resto da estrutura dos balancgos sobre a barra Os valores dos esforcos cortantes nas extremidades da barra séo determinados calculando as reacées de apoio da viga biapoiada por superposicdo de casos O caso I corresponde as cargas momento nas extremidades da barra e o caso II corresponde ao carregamento atuante no interior da barra Considerando que a taxa de redugao de esforco cortante ao longo da barra é igual ao valor da carga transversal distribuida dQdx Capítulo 3 Estruturas isostáticas 65 q o diagrama de esforços cortantes do caso I é constante e o diagrama do caso II é uma reta que tem a mesma inclinação do diagrama fi nal Q O cálculo das reações de apoio esforços cortantes nas extremidades Vesq esquerda e Vdir direita do exemplo da Figura 335 explora a superposição dos casos I e II 78 kN 72 6 2 24 6 6 36 72 II I esq esq esq V V V 66 kN 72 6 2 24 6 6 36 72 II I dir dir dir V V V Essa maneira alternativa de traçar o diagrama de esforços cortantes em uma barra mostra a impor tância do diagrama de momentos fl etores Em geral o primeiro diagrama a ser determinado na análise de um modelo estrutural reticulado viga pórtico ou grelha é o diagrama de momentos fl etores Dele podese deduzir os esforços cortantes em cada barra que por sua vez no caso de pórticos auxiliam na determinação dos esforços normais em barras adjacentes 3735 Obtenção do máximo de momento fl etor em uma barra Uma vez determinado o diagrama de esforços cortantes na barra é possível localizar a seção transversal na qual ocorre o máximo local de momento fl etor na barra Para tanto utilizase a relação diferencial en tre momento fl etor e esforço cortante o esforço cortante é a derivada do momento fl etor dMdx Q Essa relação é deduzida no Capítulo 5 e mostrada na Equação 513 Portanto para encontrar o valor máximo local do momento fl etor n a barra basta encontrar a seção na qual o esforço cortante se anula conforme mostrado na Figura 336 Figura 336 Determinação da seção transversal na qual ocorre o máximo momento fl etor no vão Considere que xm defi ne a distância da seção transversal na qual o esforço cortante se anula em rela ção ao início da barra Como o carregamento para esse exemplo é uma força uniformemente distribuída o diagrama de esforços cortantes varia de maneira linear Portanto temse 3 25 m 7824 q V x esq m 5475 kNm 2 2 max m m esq esq q x x V M M 374 Diagramas de esforços internos em viga biapoiada com várias cargas O procedimento de três passos adotado para traçar o diagrama de momentos fl etores descrito na seção anterior é exemplifi cado para uma viga biapoiada com várias cargas mostrada na Figura 337 Fonseca Bookconceitosindb 65 532010 083653 ELSEVIER 66 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Moreira 1966 O principal objetivo é mostrar que o procedimento não se aplica apenas a cada barra isoladamente mas também a trechos de barra isolados Figura 337 Viga biapoiada com várias cargas Fonseca Moreira 1966 A viga biapoiada da Figura 337 é solicitada por uma força uniformemente distribuída de 10 kNm atuante na primeira metade do vão No meio da segunda metade existe uma carga momento de 20 kNm aplicada no sentido horário Finalmente no meio do último quarto de vão aplicase uma força de 20 kN As reações verticais nos apoios A e B são iguais a 30 kN A determinação do diagrama de momentos fl etores da viga da Figura 337 é indicada na Figura 338 Os trechos AC CD e DB são considerados para a aplicação do procedimento de três passos O trecho DB não foi subdivido em dois DE e ED mas poderia ter sido feito Assim a força concentrada de 20 kN no ponto E é considerada um carregamento de interior de trecho A B C D E kNm M A B C D A B C D kNm M Passo 1 Passo 2 Passo 3 A B FC FC FT FT FT FT FC FC MD esq MD dir Figura 338 Diagrama de momentos fl etores da viga biapoiada da Figura 337 Considerando que os momentos fl etores nas extremidades A e B são nulos no passo 1 da Figu ra 338 determinamse as ordenadas dos momentos fl etores nas seções C e D Na seção C o momento fl e tor é de 40 kNm e traciona as fi bras inferiores entrando pelo lado direito ou esquerdo da seção Isso pode ser identifi cado substituindo o momento fl etor por um conjugado de forças FT e FC normais à seção trans versal que representam respectivamente as resultantes de tensões de tração e compressão associadas ao momento fl etor Figura 321 Independentemente da porção à esquerda ou à direita que se considere o conjugado tem sempre o mesmo sentido do momento fl etor As fi bras tracionadas são identifi cadas pela resultante de tensões de tração FT que nesse caso encontrase na face inferior da viga Bookconceitosindb 66 532010 083656 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 67 Na seção D devido à carga momento aplicada existe uma descontinuidade no diagrama de mo mentos fl etores Dessa forma duas seções transversais são consideradas em D uma imediatamente à esquerda Desq e outra imediatamente à direita Ddir A carga momento aplicada é considerada à direita da seção Desq e também à esquerda de Ddir Entrando pelo lado direito de Desq temse esq MD 20 kNm 20 kN 1 m 30 kN 2 m 20 kNm E entrando pelo lado esquerdo de Ddir temse dir MD 30 kN 6 m 10 kNm 4 m 2 m 2 m 20 kNm 40 kNm No passo 2 da Figura 338 o diagrama reto do trecho CD descarregado é traçado Em cada um dos outros dois trechos a linha reta que faz o fechamento das ordenadas do diagrama nas extremidades é desenhada tracejada Finalmente no passo 3 da Figura 338 os diagramas de viga biapoiada para o carregamento de cada trecho são superpostos ou pendurados a partir das linhas retas que fazem o fechamento das ordenadas do diagrama nas extremidades No trecho AC pendurase o diagrama parabólico com ordenada ql28 20 kNm no meio do trecho com l 4 m No trecho DB pendurase o diagrama triangular com ordenada Pl4 10 kNm no meio do trecho com l 2 m Na Figura 338 observase que o diagrama de momentos fl etores tem um valor máximo no trecho parabólico AC Utilizando a metodologia descrita na Seção 3735 a posição da seção transversal na qual ocorre o máximo e o seu valor podem ser determinados com auxílio do diagrama de esforços cortantes mostrado na Figura 339 Figura 339 Diagrama de esforços cortantes da viga biapoiada da Figura 337 O diagrama da Figura 339 é facilmente obtido pelas reações e forças aplicadas utilizando o procedi mento indicado na Seção 3732 que percorre as seções transversais da estrutura e acumula a resultante de forças transversais até a seção corrente Na seção A a reação de apoio da esquerda provoca um esforço cortante positivo de 30 kN No trecho AC com comprimento de 4 m ocorre um decaimento linear do es forço cortante em função da força distribuída de 10 kNm resultando um esforço cortante de 10 kN na seção C No trecho CE não existe nenhum evento em termos de forças transversais e portanto o esforço cortante permanece constante com o valor de 10 kN Veja que a carga momento aplicada em D não afeta o diagrama nesse trecho Na seção E ocorre uma descontinuidade no diagrama de 20 kN no sentido da força concentrada aplicada No trecho EB o esforço cortante permanece constante com o valor de 30 kN até ocorrer o evento da reação vertical no apoio da direita que faz o diagrama retornar a zero o que é compatível com o equilíbrio de forças na direção vertical A Figura 339 mostra que o esforço cortante da viga da Figura 337 é nulo em uma seção transversal que está localizada a xm 30 kN10 kNm 3 m do apoio A no trecho AC O valor do momento fl etor máximo nessa seção é Mmáx 30 kN 3 m 10 kNm 3 m 15 m 45 kNm Bookconceitosindb 67 532010 083657 ELSEVIER 68 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 375 Diagramas de esforços internos em quadro biapoiado O pórtico plano adotado como exemplo para traçado de d iagramas de esforços internos é o quadro biapoiado da Figura 37 A Figura 340 indica o diagrama de esforços normais do exemplo Conforme a convenção estabelecida no diagrama de esforços normais valores positivos são desenhados do lado das fi bras superiores e negativos do lado das fi bras inferiores A defi nição de fi bras inferiores das barras de um pórtico plano é feita na Figura 318 A hachura do diagrama e de qualquer outro conforme mencio nado é sempre perpendicular ao eixo de cada barra pois indica um valor do diagrama Figura 340 Diagrama de esforços normais em quadro biapoiado Os esforços normais indicados na Figura 340 são obtidos da seguinte maneira Na coluna da esquerda em qualquer seção transversal considerase a reação vertical no apoio da esquerda que vem por baixo da seção Como essa força que é normal à seção tem o sentido entrando na seção o esforço normal é negativo compressão de 78 kN Analogamente o esforço normal na coluna da direita é de compressão com valor 66 kN considerando a reação vertical no apoio da direita Em qualquer uma das colunas se poderia alter nativamente considerar as forças que vêm por cima de qualquer seção Apesar de ser mais trabalhoso o valor e o sinal do esforço normal são os mesmos Por exemplo entrando por cima de qualquer seção transversal na coluna da esquerda o valor do seu esforço normal é 78 kN 24 kNm 6 m 66 kN O esforço normal na viga do pórtico é 18 kN compressão entrando pela esquerda com a reação horizontal no apoio da esquerda ou pela direita com a força horizontal aplicada no apoio da direita O diagrama de esforços cortantes do exemplo é mostrado na Figura 341 Da mesma forma que para o diagrama de esforços normais valores positivos são desenhados do lado das fi bras superiores e nega tivos do lado das fi bras inferiores Figura 341 Diagrama de esforços cortantes em quadro biapoiado Bookconceitosindb 68 532010 083657 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 69 Esforços cortantes são positivos quando considerando as forças à esquerda de uma seção trans versal olhando no sentido da fi bra inferior para a fi bra superior a resultante das forças na direção transversal à barra for para cima Nas colunas as fi bras inferiores são as que fi cam na face direita das barras e os esforços cortantes são determinados pelas forças horizontais nos apoios Portanto na coluna da esquerda o esforço cortante é negativo 18 kN pois a força horizontal à esquerda de qualquer seção tem a direção para baixo Por outro lado na coluna da direita o esforço cortante é positivo 18 kN pois a força horizontal à esquerda é para cima Na viga do pórtico o esforço cortante tem uma variação linear pois o carregamento é uma força transversal distribuída de forma constante O esforço cortante no início na esquerda da viga é 78 kN pois devese à reação vertical no apoio da esquerda O esforço cortante na extremidade direita é 66 kN obtido entrando pela direita da viga com a reação vertical para cima no apoio da direita ou reduzindo o valor do esforço cortante no início da viga de 144 kN que corresponde à resultante da força distribuída O procedimento descrito para o traçado do diagrama de momentos fl etores de vigas também é apli cado para pórticos O primeiro passo do processo para o pórtico adotado como exemplo é indicado na Figura 342 O diagrama de momentos fl etores fi nal é mostrado na Figura 343 Depois de calculadas as reações de apoio determinamse os valores dos momentos fl etores nos nós do pórtico passo 1 O momento fl etor no topo da coluna da esquerda é igual a 72 kNm resultante do produto da reação horizontal 18 kN no apoio da esquerda pela distância ao topo 4 m De forma aná loga agora com a força de 18 kN aplicada no apoio da direita o momento fl etor no topo da coluna da direita é 36 kNm 18 kN 2 m Os sentidos dos momentos fl etores estão indicados na Figura 342 Figura 342 Diagrama de momentos fl etores em quadro biapoiado passo 1 Figura 343 Diagrama de momentos fl etores em quadro biapoiado passos 2 e 3 Bookconceitosindb 69 532010 083658 70 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Nesse exemplo os momentos fletores tracionam as fibras de fora o que é indicado na Figura 342 pela componente F de tracao do conjugado formado por resultantes de tensdes normais de tracao e de compressao associadas ao momento fletor que atua em cada seco transversal Por isso os diagramas nos nos sao desenhados no lado externo do quadro é a convengao utilizada Nao é necessdrio indicar o sinal dos momentos fletores o desenho da ordenada do lado da fibra tracionada é suficiente para caracterizar o momento fletor em cada secao transversal Observase também na Figura 342 que os valores dos momentos fletores em cada no sao iguais para as barras adjacentes Esse 6 sempre 0 caso quando ha duas barras chegando em um n6 e nao existe uma carga momento concentrada atuante no no Nesse caso seria inconsistente o momento fletor inver ter o lado da fibra tracionada ao passar de uma barra para a outra no no No passo 2 do tragado Figura 343 para as barras verticais que nado tém carga no interior o dia grama final é reto No passo 3 também na Figura 343 para a barra horizontal o diagrama é obtido pendurando a partir da linha reta que une as ordenadas do diagrama nas extremidades das barras a parabola do segundo grau que corresponde ao diagrama de viga biapoiada do carregamento uniforme mente distribuido que atua na barra Observase nas Figuras 341 e 343 que os diagramas de esforcos cortantes e de momentos fletores na barra horizontal sao iguais aos diagramas correspondentes para a barra central da viga biapoiada com balancos das Figuras 330 e 333 Nao poderia ser de outra maneira pois a barra horizontal do portico ea barra central da viga tem os mesmos momentos fletores nas suas extremidades e a mesma forca atuante distribuida de maneira uniforme 376 Diagrama de momentos fletores em quadro triarticulado Esta secdo determina o diagrama de momentos fletores do quadro triarticulado da Figura 39 A Figura 344 reproduz o carregamento e as reacdes de apoio desse exemplo e mostra 0 diagrama de momentos fletores Esse diagrama é igual ao do quadro biapoiado da secAo anterior Figura 343 uma vez que o portico tem a mesma geometria e as forcas externas reacdes de apoio e a forca uniformemente distribu ida sao as mesmas do exemplo anterior A unica diferenca esta no par de momentos aplicado adjacente a rotula E Os valores dessas cargas momento foram escolhidos justamente para que houvesse esta coin cidéncia os momentos aplicados tém o valor e 0 sentido do momento fletor na secao transversal do meio da viga do quadro biapoiado como indica a Figura 343 e é justificado na sequéncia 24 kNm ue Ik ti i Sem A A ste SS SMUT 54 54 a7 4 Bl gs i Y 18 kN a kNm 4 i sf Hep V ypA Veg 18 kN os Ha z EL 3m 3m Figura 344 Diagrama de momentos fletores em quadro triarticulado Capítulo 3 Estruturas isostáticas 71 Para determinar o momento fl etor nas duas seções transversais adjacentes à rotula E da Figu ra 344 devese observar que conforme comentado na Seção 32 Figura 39 não existe trecho de barra entre a rótula e o momento aplicado de cada lado Portanto a determinação do momento fl etor na seção transversal imediatamente à esquerda da rótula entrando pela esquerda não considera o momento aplicado na esquerda da rótula De maneira análoga o cálculo do momento fl etor na seção imediatamente à direita entrando pela direita não leva em conta o momento aplicado na direita da rótula Como o momento fl etor na rótula é nulo entrando por qualquer um dos dois lados obrigato riamente as descontinuidades do diagrama adjacentes à rotula têm o valor dos momentos aplicados Isso pode ser verifi cado com um simples cálculo Concluise que um par de momentos aplicado adjacente a uma rótula simples na qual convergem duas barras sempre resulta em momentos fl etores nas seções trans versais adjacentes com valor das cargas momento aplicadas tracionando as fi bras do mesmo lado apontado pelas setas do par de momentos Deve ser salientado que a aplicação de um par de momentos adjacente a uma rótula é muito comum no contexto de uma análise pelo método das forças Capítulo 8 Esse tipo de solicitação em geral não cor responde a uma situação real é um artifício adotado dentro de um procedimento de análise para forçar um valor de momento fl etor em uma determinada seção transversal Uma vez determinados os momentos fl etores nas seções transversais adjacentes à rótula E o dia grama nos dois trechos da viga da Figura 344 é obtido pendurando a partir da linha reta que faz o fechamento das ordenadas do diagrama nas extremidades de cada trecho os diagramas parabólicos de viga biapoiada para a força distribuída com valor de 27 kNm no meio de cada trecho 377 Diagramas de esforços internos em quadro composto Para exemplifi car o traçado de diagramas de esforços internos para quadros planos compostos adota se o modelo estudado na Seção 33 Figura 312 A Figura 345 reproduz a decomposição desse quadro isostático composto em uma sequência de carregamento de quadros isostáticos simples e mostra os diagramas de esforços normais esforços cortantes e momentos fl etores Uma vez que já são conhec i dos os esforços de ligação entre os quadros simples isolados os diagramas de esforços internos são traçados em cada quadro simples de forma independente O desenho dos diagramas é feito no quadro composto O esforço normal na barra GH é nulo pois não existe força horizontal na direção axial da barra à direita de qualquer seção transversal dessa barra Alternativamente entrando pela esquerda a reação de apoio HC é cancelada pela força aplicada de 20 kN Os esforços normais nas barras CG e FH são de com pressão porque considerando as forças que vêm por baixo de qualquer seção transversal nessas barras têmse na direção axial as reações verticais VC e VF respectivamente com sentido entrando na seção Na barra DE o esforço normal é positivo devido à reação horizontal HD à esquerda de qualquer seção Na barra EF o esforço normal é nulo pois não existe força horizontal entrando pela direita O esforço normal na barra CD é de tração positivo pois existe uma força aplicada HD à direita saindo da seção Final mente os esforços normais de compressão nas barras AC e BE são provocados respectivamente pelas reações verticais VA e VB Bookconceitosindb 71 532010 083659 72 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 16 kNm gown WWIII f G H m 6m She F 20 kN 0 st st z 5 Ve H Bl owt 2m BIH cD z H a i HW eS 3 Or 20s 5 a ta nel E hae als LI N 20 kN 9 19 GP Ar 0 Oo 20 kN D NH imal Fe oml 4 i oR Fme H ja ty jD a Ma 9 i OW RA kNm ar oVA 38 kere TT i 2 Ue O Oy oo ETD oH 58 S H oI 58 1 1 Ce Jo itm A TOMS Orr sey oH tI 28 28 H 7 H Slat Ha f H ee Hr A kN KN D A r Hi 5 Figura 345 Diagramas de esforcos internos em quadro isostatico composto O diagrama de esforcos cortantes na barra GH tem uma variacao linear devido a forca transversal uni formemente distribuida aplicada O valor positivo do esforgo cortante na extremidade esquerda da barra é provocado pela reacao vertical V e o valor negativo na extremidade direita provocado pela reacao vertical V Na barra CG o esforo cortante é positivo pois existe uma forca horizontal H vinda pela esquerda por baixo de quem olha no sentido da fibra inferior face direita para a superior face esquerda da barra Na barra HF o esforco cortante é nulo pois a reacao horizontal H é nula O esforco cortante negativo na barra CD é determinado pela forga V para cima a direita A barra DE tem 0 mesmo valor de esforco cortante pois este provocado pela reacao V para baixo a esquerda A forca V para baixo entrando pela direita da barra EF define um esforco cortante positivo Na barra AC o esforco cortante positivo é determinado pela reacao hori zontal H Finalmente a forca horizontal aplicada no ponto B define um esforco cortante negativo na barra BE O tragado do diagrama de momentos fletores nos quadros isolados simples da Figura 345 segue o procedimento em trés passos descrito na Segao 373 No primeiro passo sao tracadas as ordenadas do diagrama nas extremidades das barras desenhadas do lado da fibra tracionada Na determinacao das ordenadas do diagrama em cada secao transversal 0 calculo é feito entrando pelo lado da secao que é menos trabalhoso Em um no no qual convergem duas barras o momento fletor é calculado na secao ad jacente em uma barra e replicado para a secao adjacente na outra barra Por exemplo no nd G o momen to fletor 60 kNm traciona as fibras interiores tanto na barra CG quanto na barra GH e é determinado pela reacao horizontal H entrando por baixo Na rotula H o momento fletor 6 nulo O momento fletor Capítulo 3 Estruturas isostáticas 73 também é nulo nas rótulas D e F se for observado como um quadro composto Se forem observados nos quadros simples isolados esses pontos são apoios simples do 2o gênero ou são extremidades livres de balanço sem carga momento aplicada o que também resulta em momento fl etor nulo No nó C a rótula não é completa A articulação está na barra CG e portanto o momento fl etor é nulo no ponto C dessa barra O momento fl etor nas outras duas barras que convergem no ponto C é determinado analisando o pórtico simples engastado e em balanço ACD A maneira mais simples para determinar o momento fl e tor no ponto C é entrando pela direita com a força vertical VD para cima o que resulta em um momento fl etor de 56 kNm em C tracionando as fi bras interiores Três barras sem articulação convergem para o nó E É mais simples determinar o momento fl etor nesse ponto em cada barra entrando pelas extremidades opostas Na barra DE o momento fl etor de 56 kNm tracionando as fi bras superiores é provocado pela reação de apoio VD para baixo Na barra EF o momento fl etor de 116 kNm também traciona as fi bras su periores pois é provocado pela força vertical VF para baixo Na barra BE o momento fl etor de 60 kNm é provocado pela força horizontal de 20 kN aplicada no apoio B e traciona as fi bras da esquerda No ponto do engaste A o momento fl etor é determinado pela reação momento MA tracionando as fi bras da esquer da Finalmente o momento fl etor é nulo em B apoio simples do 1o gênero sem carga momento aplicada No segundo passo do procedimento do traçado do diagrama de momentos fl etores em todas as barras que não têm carga aplicada em seu interior o diagrama é traçado como uma linha reta que une as ordenadas nas extremidades da barra determinadas no passo anterior Nenhuma das barras com exce ção da GH tem carga no interior No caso da barra FH o diagrama é nulo pois os valores nas extremi dades da barra são nulos Na barra GH o diagrama é traçado no terceiro passo superpondo a parábola do segundo grau do diagrama de viga biapoiada para o carregamento no trecho à linha reta mostrada pontilhada na Figura 345 que faz o fechamento das ordenadas do diagrama nas extremidades da barra 378 Esforços normais em treliça biapoiada A treliça da Figura 346 é adotada como exemplo de determinação de reações de apoio e de esforços nor mais em uma treliça isostática plana VA HA A B C D E VC N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 kN N VA HA A B C D E VC 1 2 3 4 5 6 7 θ θ θ θ θ θ Figura 346 Esforços normais em treliça biapoiada calculados por equilíbrio nodal Bookconceitosindb 73 532010 083700 ELSEVIER 74 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha As reações de apoio da treliça são calculadas como em quadros planos No caso a treliça é biapoia da e a primeira equação global de equilíbrio utilizada é a de somatório nulo de forças na direção hori zontal para determinar o valor da reação horizontal HA Fx 0 HA 8 kN 0 HA 8 kN A segunda equação global de equilíbrio a ser aplicada é a de somatório nulo de momentos em rela ção ao ponto A resultando no valor da reação v ertical VC MA 0 VC 8 m 8 kN 3 m 10 kN 2 m 10 kN 6 m 0 VC 13 kN Finalmente chegase ao valor da reação vertical VA pelo equilíbrio de forças na direção vertical Fy 0 VA VC 10 kN 10 kN 0 VA 7 kN A Figura 346 também mostra o isolamento de todos os nós e o diagrama de esforços normais na treliça O isolamento é feito para impor o equilíbrio de cada nó da treliça de forma independente Confor me comentado na Seção 34 o equilíbrio global da treliça é garantido se todos os nós estão em equilíbrio isoladamente Esse não é o único método para cálculo de esforços normais nas barras de uma treliça pla na Na sequência será mencionado o método das seções Admitese inicialmente que todos os esforços normais nas barras são de tração No equilíbrio de cada nó isolado um esforço normal de tração aparece saindo do nó ação e reação com o esforço normal de tração que atua na barra correspondente Se o cál culo do equilíbrio nodal resultar em sinal negativo para um esforço normal signifi ca que esse esforço é de compressão Uma vez calculadas as reações de apoio o equilíbrio nodal pode ser iniciado por qualquer nó que te nha no máximo dois esforços normais adjacentes desconhecidos Escolhendo o nó A para iniciar temse Fy 0 N3 senθ VA 0 N3 3 13 7 kN 0 N3 841 kN Fx 0 N1 N3 cosθ HA 0 N1 841 kN 2 13 8 kN 0 N1 1267 kN O próximo nó a ser equilibrado é o C Fy 0 N6 senθ VC 0 N6 3 13 13 kN 0 N6 1562 kN Fx 0 N2 N6 cosθ 0 N2 1562 kN 2 13 0 N2 867 kN Em seguida equilibrase o nó D Fy 0 N3 senθ N4 senθ 10 kN 0 N4 361 kN Fx 0 N3 cosθ N4 cosθ N7 0 N7 1067 kN Só resta determinar o esforço normal N5 Para tal podese utilizar o equilíbrio de forças verticais no nó B Fy 0 N4 senθ N5 senθ 0 N5 361 kN Observase que não foram utilizadas três equações de equilíbrio equilíbrio de forças horizontais do nó B equilíbrio de forças horizontais do nó E e equilíbrio de forças verticais do nó E Essas equações não foram necessárias pois utilizamse as três equações globais de equilíbrio para determinar as reações de apoio Entretanto as equações que não foram usadas podem servir para a verifi cação dos cálculos No nó B temse Fx 0 N1 N2 N4 cosθ N5 cosθ 0 E no nó E temse Fx 0 N5 cosθ N6 cosθ N7 0 Fy 0 N5 senθ N6 senθ 10 kN 0 Utilizando os valores dos esforços normais calculados anteriormente verifi case que essas três equa ções de equilíbrio são satisfeitas Bookconceitosindb 74 532010 083701 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 75 A Figura 347 ilustra um procedimento alternativo para determinar esforços normais em barras de treliças planas Esse procedimento é denominado método das seções Uma vez conhecidas as reações de apoio de uma treliça plana se for possível isolar porções da treliça passando uma curva que corte exa tamente três barras o equilíbrio de uma porção isolada possibilita a determinação dos esforços normais nessas barras No exemplo da fi gura a treliça é cortada em três barras e os esforços normais destas po dem ser determinados pelo equilíbrio de qualquer uma das porções isoladas Figura 347 Cálculo de esforços normais em treliça plana por isolamento de porções 379 Diagramas de esforços internos em grelha triapoiada Adotase o modelo mostrado na Figura 317 Seção 35 como exemplo para determinar diagramas de esforços internos em grelhas isostáticas A Figura 348 reproduz as reações de apoio calculadas para esse modelo e mostra os diagramas de momentos fl etor es e torçores O traçado do diagrama de momentos fl etores da Figura 348d segue os mesmos passos do procedi mento adotado para vigas e quadros planos No primeiro passo as ordenadas do diagrama são traçadas nas extremidades das barras do lado da fi bra tracionada No caso de grelhas o momento fl etor é em torno do eixo local y da barra Figura 214 e a fl exão se dá em um plano vertical Portanto as fi bras tracionadas fi cam na face superior ou na face inferior da barra Observe que o diagrama de momentos fl etores em cada barra é desenhado em relevo saindo do plano da grelha Também deve ser atentado que mesmo com apenas duas barras chegando em um nó os momentos fl etores nas seções transversais adjacentes ao nó não se replicam O que ocorre é que como as barras são perpendiculares entre si o momento fl etor de uma barra se transforma em momento torçor na barra adjacente e viceversa Figura 348 Diagramas de momentos fl etores M e momentos torçores T em grelha triapoiada Bookconceitosindb 75 532010 083702 ELSEVIER 76 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O momento fl etor na extremidade E da barra EA é provocado pela reação de apoio VA resultando em 36 kNm e tracionando as fi bras inferiores O isolamento da barra EC na Figura 348b auxilia no enten dimento disso Observe que o momento fl etor de 36 kNm atuante na seção E da barra EA é perpendicular à barra na direção do eixo local y com a seta dupla do momento regra da mão direita para a frente O conjugado de resultantes de tensões de tração FT e de compressão FC tem o mesmo sentido do momento fl etor atuante na seção transversal Verifi case que FT está no lado de baixo indicando que as fi bras tra cionadas são as inferiores Na extremidade E da barra EC o momento fl etor é nulo pois a reação vertical VA tem distância nula em relação ao eixo local y passando pela seção E Na outra extremidade C dessa barra o momento fl etor continua sendo determinado entrando pela frente A Figura 348c mostra o momento fl etor de 36 kNm na seção C provocado pela reação de apoio VA indicado pela seta dupla perpendicular à barra EC para a esquerda O conjugado correspondente formado por FT e FC indica que a tração na seção C encontrase nas fi bras inferiores Na barra CD é mais conveniente entrar por trás A Figura 348b mostra a seta dupla voltada para trás do momento fl etor de 36 kNm na seção C da barra Esse momento traciona as fi bras superiores e é provocado pela reação de apoio VB e pela resultante da força uniformemente distribuída de 16 kNm com atuação no centro da barra 36 kNm 12 kN 3 m 16 kNm 3 m 15 m Na seção D da barra CD o momento fl etor é nulo pois a reação VB tem distância nula ao eixo local y passando em D Na seção D da barra DB o momento fl etor é provocado pela reação VB e traciona as fi bras inferiores Figura 348c O traçado fi nal do diagrama de momentos fl etores da Figura 348d é feito para as barras descarre gadas unindo por linhas retas em cada barra as ordenadas obtidas nas extremidades Para a única barra carregada a partir da linha reta que une os valores extremos é pendurada a parábola do segundo grau que corresponde ao diagrama de viga biapoiada para o carregamento distribuído no trecho Os momentos torçores da grelha indicados na Figura 348e são constantes em cada barra A Figu ra 348b indica o momento torçor na direção do eixo da barra EC com valor de 36 kNm com a seta dupla saindo da barra resultando no sinal positivo Na barra CD o momento torçor também está saindo da barra Figura 348c e por isso seu valor é positivo É interessante observar duas características do diagrama de momentos fl etores mostrado na Figu ra 348d que se repetem nesse tipo de diagrama em grelhas Note que as barras EA EC e CD formam um C e que o momento fl etor da barra EA é transmitido para a barra CD através da torção da barra EC Por outro lado as barras EC CD e DB formam um S e o momento fl etor na barra EC é transmitido para a barra DB via torção na barra CD A primeira característica a ser observada é que na confi guração em C ocorre uma inversão de lado de fi bras tracionadas na transmissão do momento fl etor passando de tração nas fi bras inferiores na barra EA para tração nas fi bras superiores na barra CD A outra característica é que na confi guração em S o lado da fi bra tracionada não se inverte os momentos fl etores nas barras EC e DB tracionam as fi bras inferiores 38 DETERMINAÇÃO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE Existem várias formas de determinar o grau de hiperestaticidade de uma estrutura Esta seção apresenta dois procedimentos para o cálculo desse grau para pórticos planos e comenta a determinação para treli ças planas e grelhas O grau de hiperestaticidade g pode ser defi nido da seguinte maneira g no de incógnitas do problema estático no de equações de equilíbrio Bookconceitosindb 76 532010 083703 oni Capitulo 3 Estruturas isostaticas 77 As incégnitas do problema do equilibrio estatico dependem dos vinculos de apoio da estrutura e da existéncia de ciclos fechados de barras ou anéis Cada componente de reacao de apoio é uma incdgnita isto é aumenta em uma unidade o grau de hiperestaticidade Com base no grau de hiperestaticidade os modelos estruturais podem ser classificados como a se guir g 0 condicao suficiente para o modelo ser hipostatico e instavel g 0 condigao necessaria para o modelo ser isostatico e estavel g 0 condicao necessaria para o modelo ser hiperestatico e estavel O grau de hiperestaticidade de modelos isostaticos e hiperestaticos nao é suficiente para caracterizar a estabilidade da estrutura pois apenas contabiliza o numero de incégnitas do problema do equilibrio estatico e o numero de equacoes de equilibrio Situagdes que provocam instabilidade como as indicadas na Figura 36 devem ser analisadas 381 Determinacao de g para porticos planos sem separacdo nas rétulas O primeiro procedimento para a determinacao do grau de hiperestaticidade de quadros planos visualiza o portico de uma forma global ou seja nado separa o portico pelas rotulas Podese resumir 0 nimero de incégnitas do problema do equilibrio estatico de quadros planos como n de incognitas do problema estatico n de componentes de reacao de apoio n de anéis 3 Observase que um anel introduz trés incdgnitas para o problema do equilibrio estatico isto é cada anel de um quadro plano aumenta em trés unidades o grau de hiperestaticidade Isso pode ser entendido com base na discussao da Secao 321 Figura 310 Com respeito ao numero de equacoes de equilibrio devese considerar as trés equacg6es que garantem o equilibrio global da estrutura Equacoes 24 25 e 26 e as equacées provenientes de liberacdes de con tinuidade interna na estrutura Neste livro estao sendo consideradas apenas liberac6es de continuidade de rotacao que sao provocadas por rotulas articulacdes internas na estrutura Dessa forma temse n de equacoes de equilibrio 3 equacoes do equilibrio global n de equagoes vindas de articulacoes internas Considerando que a equacao do equilibrio global de momentos em qualquer ponto da estrutura ja esta contabilizada nas equacées globais cada rétula simples na qual convergem apenas duas barras como na Figura 349a introduz apenas uma condicao de equilibrio que imp6e a nulidade do momento fletor na secdo transversal da rotula a b c Figura 349 Porticos planos com articulagées internas a rétula simples duas barras convergindo na articulaao b rdtula com trés barras convergindo c nd com trés barras convergindo mas apenas uma barra articulada Para o caso de articulagdes com trés barras convergindo como no quadro da Figura 349b sao duas as equacoées adicionais de equilibrio a serem consideradas 0 momento fletor deve ser imposto nulo en trando por duas das barras adjacentes sendo que nao é necessario impor momento fletor nulo entrando 78 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER pela terceira barra pois o equilibrio global de momentos ja garante essa condicao Tal conclusdo pode ser generalizada da seguinte maneira Ondtmero adicional em relacao as equacées do equilibrio global de equacées de equilibrio momen to fletor nulo introduzido por uma articulacdo completa na qual convergem n barras é igual an 1 Nesse contexto uma articulacao completa é aquela em que todas as sec6es transversais de barras ad jacentes sao articuladas A Figura 349c mostra um portico com um no no qual convergem trés barras sendo que somente uma delas articulada Nesse caso a rotula introduz apenas uma equacao adicional de equilibrio Resumindo 0 grau de hiperestaticidade de um portico plano pode ser definido como g n de componentes de reacao de apoio n de anéis 3 3 n de equacoes vindas de articulacoes internas Os graus de hiperestaticidade das estruturas mostradas na Figura 349 podem ser determinados com base no método apresentado Todos os apoios dos modelos estruturais da figura sao simples do 22 género e apresentam cada um duas componentes de reacgées de apoio uma forca na direcao horizontal e outra na direcao vertical O portico da Figura 349a é isostatico pois g 22 03 3 1 0 O quadro hiperestatico da Figura 349b tem g 222 03 3 2 1 Ea estrutura da Figura 349c tem g 222 03 3 1 2 A Figura 350 ilustra alguns exemplos de calculo do grau de hiperestaticidade de porticos planos pelo procedimento descrito nesta secdo Estao indicados para cada portico os nimeros de incdgnitas provenientes de componentes de reacao de apoio e de anéis O 2 JN 1 22 13 3 1 3 b Bigs a Js SXF O c 8 32 13 3 12 2 3 x O g 22 23 3 1415 2 2 O e 7 3 L dq s let 3 3 0141 0 2D 1 Figura 350 Exemplos de determinacdo do grau de hiperestaticidade de quadros planos sem separacao nas rotulas oni Capitulo 3 Estruturas isostaticas 79 Observe no exemplo da Figura 350e que a barra horizontal inferior poderia ter sido considerada um tirante ou escora pois trabalha somente por esforco axial se nao tiver carregamento A determi nagao de g considerando o quadro com tirante teria quatro incdgnitas trés reagdes e 0 esforco normal no tirante e quatro equacoes trés do equilibrio global e uma da rotula superior o que resulta g 0O exemplo demonstra que o método apresentado nesta secado para determinar o grau de hiperestaticidade de porticos planos é geral 382 Determinacdo de g para porticos planos com separacao nas rotulas Uma alternativa para a determinacao do grau de hiperestaticidade de quadros planos é separar trechos continuos pelas rdtulas Nesse caso trés equacdes de equilibrio por trecho continuo isolado devem ser impostas Dessa forma temse n de equacoes de equilibrio n de trechos continuos isolados 3 equacoes do equilibrio de cada trecho continuo Com respeito ao ntmero de incégnitas do problema do equilibrio estatico devese considerar além das componentes de reacao de apoio os esforcos internos de ligacdo nas rétulas separadas e eventuais anéis que restem mesmo apos a separacao n de incognitas do problema estatico n de componentes de reagao de apoio n de esforcos de ligacao nas rotulas n de anéis 3 Em cada rotula simples na qual convergem apenas duas barras existem dois esforcos internos de ligagado um horizontal e outro vertical O caso de mais de duas barras convergindo em uma roétula como o do portico da Figura 349b é analisado com auxilio da Figura 351 hte Figura 351 Esforcos de ligacdo na articulacdo interna do portico plano da Figura 349b Trés trechos continuos resultam da separacao da rotula do portico da Figura 349b Nas extremida des adjacentes a rotula de cada trecho isolado existem dois esforgos internos de ligacao um horizontal e outro vertical totalizando seis esforcos de ligacao indicados com sentidos positivos Entretanto esses esforcos estao associados por duas relacées de equilibrio como indicado na Figura 351 as resultantes dos esforcos na direcao horizontal e na direcao vertical devem ser nulas Essas condicées de equilibrio existem porque os esforcos de ligacdo na rétula sao esforcos internos que se relacionam como acao e reacao Dessa forma tanto um esforco de ligacao horizontal quanto um esforco de ligacdo vertical sao dependentes dos demais Essa conclusao pode ser generalizada da seguinte maneira Ontmero de incdégnitas provenientes de esforcos internos de ligacao introduzido por uma arti culacao completa na qual convergem n barras é igual a 2 n 1 A Figura 352 mostra a determinacao do grau de hiperestaticidade dos mesmos porticos vistos na Figura 350 pelo procedimento que separa trechos continuos pelas rotulas 80 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 2 a 8 21 3 2 2 1 22 2 13 3 b 22 2 3 2 2 be 4 c G2 42 33 2 3 2 bor 2 d 3 g 22 22 13 23 5 2 2 gs ZV 2 2 2 2 g 21 2242 33 0 2 tt Figura 352 Exemplos de determinacdo do grau de hiperestaticidade de quadros planos com separacdo nas rotulas Para cada portico da Figura 352 estao indicados os numeros de incdégnitas provenientes de com ponentes de reac6es de apoio de esforcos de ligacdo nas rotulas e de anéis Obviamente os mesmos re sultados sao encontrados Observe que em apenas um dos exemplos o da Figura 352d restou um anel apos a separacao pelas rotulas 383 Determinacdo de g para trelicas planas Para treligcas planas a maneira mais simples de determinar o grau de hiperestaticidade é considerando que o equilibrio global é alcangado pelo equilibrio dos nds individualmente Dessa maneira como sao impostas duas equac6es de equilibrio por nd o nimero total de equacoées de equilibrio é igual ao dobro do numero de nos As incégnitas do problema do equilibrio estatico de trelicas sao os esforcos normais nas barras um por barra e as componentes de reacao de apoio Resumindo o grau de hiperestaticidade de trelicas planas é determinado da seguinte maneira g n2 de componentes de reacao de apoio n de barras n de nos 2 384 Determinacdo de g para grelhas A determinacao do grau de hiperestaticidade para grelhas é andloga ao primeiro procedimento adotado para porticos planos Secdo 381 Grelhas também tém trés equacées globais de equilibrio que sao as Equac6es 28 29 e 210 Fey 2 Capitulo 3 Estruturas isostaticas 81 ELSEVIER Como uma barra de grelha tem trés esforcos internos esforco cortante momento fletor e momento torcor Secao 24 um circuito fechado de barras anel aumenta como nos quadros planos em trés uni dades o grau de hiperestaticidade Por outro lado a presenca de articulac6es rétulas em grelhas pode acrescentar mais do que uma equagao de equilibrio por rétula Isso ocorre porque como um ponto de uma grelha tem duas componentes de rotacao uma ligacao articulada de grelha pode liberar apenas uma ou as duas componentes de rotacao A Figura 353 mostra a determinacao do grau de hiperestaticidade para uma grelha sem circuito fechado de barras e sem articulagdes No exemplo as unicas incégnitas do problema do equilibrio estatico sao as quatro componentes de reacao de apoio Como s6 estao disponi veis as trés equacées globais de equilibrio o grau de hiperestaticidade é g 1 My We vet M tv ZL nly 8 G1 03 3 1 Figura 353 Exemplo de determinacdo do grau de hiperestaticidade de grelha 39 EXERCICIOS PROPOSTOS Para cada modelo de estrutura isostatica mostrado nas Figuras 354 a 374 pedese a determinacao das re acgoes de apoio e dos diagramas de esforcos internos correspondentes Para vigas pedemse os diagramas de esforcos cortantes e de momentos fletores Para quadros planos além desses pedese o diagrama de esforcos normais Para trelicas planas pedese o diagrama de esforcos normais E para grelhas pedem se os diagramas de momentos fletores e momentos torcores 2 2 Fy E 40 KN 4 e1msfermaferm a Leap 36 Pas Figura 354 Exercicio proposto 1 Figura 355 Exercicio proposto 2 z z f 40 KN I z E 7 8 N i alle ot glee ceapntscles teamed Figura 356 Exercicio proposto 3 Figura 357 Exercicio proposto 4 Todos os exemplos de vigas e quadros planos propostos foram retirados do livro de Adhemar Fonseca e Domicio Falcéo Moreira 1966 que esta fora de edicdo ELSEVIER 82 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 358 Exercício proposto 5 Figura 359 Exercício proposto 6 Figura 360 Exercício proposto 7 Figura 361 Exercício proposto 8 Figura 362 Exercício proposto 9 Figura 363 Exercício proposto 10 Figura 364 Exercício proposto 11 Figura 365 Exercício proposto 12 Bookconceitosindb 82 532010 083707 Capítulo 3 Estruturas isostáticas 83 Figura 366 Exercício proposto 13 Figura 367 Exercício proposto 14 Figura 368 Exercício proposto 15 Figura 369 Exercício proposto 16 Figura 370 Exercício proposto 17 Figura 371 Exercício proposto 18 Bookconceitosindb 83 532010 083708 ELSEVIER 84 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 372 Exercício proposto 19 Figura 373 Exercício proposto 20 Figura 374 Exercício proposto 21 Bookconceitosindb 84 532010 083710 44 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade1 Este capítulo resume alguns conceitos básicos de análise estrutural para estruturas compostas por barras Esses conceitos foram selecionados de forma a permitir a compreensão dos demais capítulos do livro e essa seleção foi baseada em consultas a trabalhos de diversos autores que certamente descrevem esses conceitos em maior profundidade Os principais livros de referência para este capítulo foram os de Whi te Gergely e Sexsmith 1976 Rubinstein 1970 Candreva 1981 Timoshenko e Gere 1994 Tauchert 1974 e West 1989 Este capítulo também se baseia em notas de aula do professor Jorge de Mello e Souza em um curso de nivelamento para ingresso no mestrado em engenharia civil da PUCRio em 1978 Os conceitos de tensões deformações e relações constitutivas de materiais que relacionam tensões com deformações são considerados como prérequisitos para os assuntos tratados neste capítulo e são encontrados em qualquer livrotexto de mecânica dos sólidos resistência dos materiais como o de Beer e Johnston 2006 ou o de Hibbeler 20042 A essência da análise de modelos estruturais está no atendimento a condições de equilíbrio a con dições de continuidade geométrica interna e externa respeitando restrições de apoio e a condições im postas pela idealização do comportamento de materiais Essas são as condições básicas da análise estrutural as ferramentas matemáticas utilizadas na análise de uma estrutura O principal objetivo deste capítulo é ilustrar como as condições básicas podem ser combinadas na análise de modelos de estruturas reticuladas Existem maneiras clássicas para se combinarem as condi ções básicas resultando nos métodos básicos da análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos Outro objetivo do capítulo é caracterizar o comportamento de estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas através de considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 41 CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL No contexto da análise estrutural o cálculo corresponde à determinação dos esforços internos na estru tura das reações de apoios dos deslocamentos e rotações e das tensões e deformações As metodologias de cálculo são procedimentos matemáticos que resultam das hipóteses adotadas na concepção do mode lo estrutural 1 O título deste capítulo é inspirado no título do livro de Candreva 1981 Na verdade é uma homenagem ao excelente material desse autor Bookconceitosindb 85 532010 083711 86 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Dessa forma uma vez concebido 0 modelo de andlise para uma estrutura as metodologias de cal culo podem ser expressas por um conjunto de equacdes matematicas que garantem a satisfacao das hipdteses adotadas Dito de outra maneira uma vez feitas considerac6es sobre a geometria da estrutura as cargas e solicitacdes as condicées de suporte ou ligacao com outros sistemas e as leis constitutivas dos materiais a andlise estrutural passa a ser um procedimento matematico de calculo que s6 se altera se as hipoteses e simplificacdes adotadas forem revistas ou reformuladas As condicédes matematicas que o modelo estrutural tem de satisfazer para representar adequada mente o comportamento da estrutura real podem ser divididas nos seguintes grupos condigées de equilibrio condicgdes de compatibilidade entre deslocamentos e deformacées condigdes sobre o comportamento dos materiais que comp6em a estrutura leis constitutivas dos materiais A imposicao dessas condi6es é a base dos métodos da andlise estrutural isto é as formas como sao impostas definem as metodologias dos chamados meétodos basicos da anilise de estruturas foco principal deste livro Esta secao exemplifica as condicdes basicas que o modelo estrutural tem de atender através de um exemplo simples de trés barras articuladas Timoshenko Gere 1994 mostrado na Figura 41 Existe uma forca externa P aplicada ao no da estrutura que conecta as trés barras que sao feitas de um material com médulo de elasticidade E e tém secGes transversais com drea A WY Pep ae L 6 x P Figura 41 Estrutura com trés barras articuladas 411 Condigdes de equilibrio No contexto deste livro no qual nao sao considerados problemas de vibragdes ou de dinamica de estru turas condicoes de equilibrio sao aquelas que garantem o equilibrio estatico de qualquer porcao isolada da estrutura ou desta como um todo No exemplo da Figura 41 o equilibrio tem de ser garantido global mente isto é para a estrutura como um todo em cada barra isolada e em cada né isolado As Equacoes 24 25 e 26 Secdo 214 impdem 0 equilibrio global de um modelo estrutural pla no Entretanto neste exemplo simples 0 equilibrio global pode ser reduzido a uma unica equacao que leva em conta a simetria da estrutura Considerando que s6 existem esforcos internos axiais nas barras forgas normais as reacdes de apoio nos nos superiores convergem em um ponto o nd inferior Observe que a reacao de apoio indicada na figura em cada barra inclinada é a resultante de suas componentes horizontal e vertical Na verdade as reacoes de apoio sao os proprios esforcos normais nas barras como indicado na Figura 41 Além disso a simetria da estrutura imp6e que os esforgos normais nas barras in Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 87 clinadas sejam iguais na verdade uma imposição de equilíbrio de forças na direção horizontal X Dessa forma o equilíbrio do nó inferior na direção vertical Y garante o equilíbrio global da estrutura P N N FY cosθ 2 0 2 1 41 Nessa equação temse N1 esforço normal na barra vertical F N2 esforço normal nas barras inclinadas F Na Equação 41 a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior da estrutura foi escrita considerando a geometria original indeformada da estrutura Isso só é válido quando os deslocamentos que a estrutura sofre são muito pequenos em relação às dimensões da estrutura Essa hipótese denomi nada hipótese de pequenos deslocamentos White et al 1976 West Geschwindner 2002 é adotada neste livro A análise de estruturas com essa consideração denominase análise de primeira ordem Nem sempre é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos Por exemplo no projeto moderno de estruturas metálicas exigese que se faça uma análise de segunda ordem deslocamentos não desprezíveis na impo sição das condições de equilíbrio pelo menos de maneira aproximada Apesar disso neste livro só são consideradas análises com pequenos deslocamentos e as condições de equilíbrio sempre serão escritas para a confi guração geometria indeformada da estrutura Esse ponto é justifi cado na Seção 44 na qual a hipótese de pequenos deslocamentos é abordada em maior profundidade Observase pela Equação 41 que não é possível determinar os valores dos esforços normais N1 e N2 isto é existem duas incógnitas em termos de esforços e apenas uma equação de equilíbrio considerando que a condição de equilíbrio na direção horizontal já é utilizada pela simetria do problema As estruturas cujos esforços não podem ser determinados apenas pelas equações de equilíbrio são chamadas de estru turas hiperestáticas como a estrutura do exemplo da Figura 41 Como visto no Capítulo 3 existe um caso especial de estruturas cujos esforços internos e externos reações de apoio podem ser determinados apenas pelas condições de equilíbrio são as chamadas estruturas isostáticas Em geral as equações de equilíbrio fornecem condições necessárias mas não sufi cientes para a de terminação dos esforços no modelo estrutural Para determinar os esforços em estruturas hiperestáticas é necessário fazer uso das outras condições básicas que são tratadas nas seções a seguir 412 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações As condições de compatibilidade entre deslocamentos e deform ações são condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura ao se deformar permaneça contínua sem vazios ou sobreposi ção de pontos e compatível com seus vínculos externos Devese ressaltar que as condições de compatibilidade não têm relação alguma com as propriedades de resistência dos materiais da estrutura consideradas nas leis constitutivas dos materiais tratadas na Seção 413 As condições de compatibilidade são expressas por relações geométricas impostas para ga rantir a continuidade do modelo estrutural Essas relações consideram as hipóteses geométricas adotadas na concepção do modelo As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos condições de compatibilidade externa referemse aos vínculos externos da estrutura e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com outras estruturas condições de compatibilidade interna garantem que a estrutura ao se deformar permaneça contí nua no interior dos elementos estruturais barras e nas fronteiras entre os elementos estruturais Bookconceitosindb 87 532010 083711 88 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER isto é que as barras permanecam ligadas pelos nos que as conectam incluindo ligacao por rota cao no caso de nao haver articulacao entre barras No exemplo da Figura 41 as condicdes de compatibilidade externa sao garantidas automaticamen te quando so se admite uma configuracdo deformada para a estrutura que tenha deslocamentos nulos nos nos superiores como mostra a Figura 42 A configuragao deformada esta indicada com deslocamen tos ampliados de forma exagerada pelas linhas tracejadas mostradas nessa figura As condicdes de compatibilidade interna devem garantir que as trés barras permanecam ligadas pelo no inferior na configuracao deformada Mantendose a hipdtese de pequenos deslocamentos pode se considerar que o angulo entre as barras apos a deformagao da estrutura nao se altera como indicado no detalhe da Figura 42 aN nm 2 i ay af Ny 0 gt 1 Pi ve Lotay dy D x d Nyy Nis or 5 D Figura 42 Configuracdo deformada da estrutura com trés barras articuladas Com base na Figura 42 e considerando a simetria da estrutura podese estabelecer relacdes de compatibilidade entre os alongamentos das barras da estrutura e o deslocamento vertical do no inferior d D dy D cos Sendo D deslocamento vertical do n6 inferior L d alongamento da barra vertical L dy alongamento das barras inclinadas L Isso resulta na seguinte equacao de compatibilidade entre os alongamentos das barras dy dcos 42 A introducao da equacao de compatibilidade acrescentou duas novas incégnitas ao problema d e d sem relacionalas as incognitas anteriores N e N Entretanto essas quatro incognitas ficam rela cionadas através da consideracdao do comportamento do material que comp6e a estrutura sem que isso introduza novas incognitas 413 Leis constitutivas dos materiais O modelo matematico do comportamento dos materiais em nivel macroscépico 6 expresso por um con junto de relacdes matematicas entre tensdes e deformacées chamadas de leis constitutivas Tais relacdes contém pardmetros que definem o comportamento dos materiais A teoria da elasticidade Timoshenko Goodier 1980 estabelece que as relacgées da lei constitutiva so equacées lineares com pardmetros constantes Nesse caso dizse que o material trabalha em regime eldsticolinearO comportamento é consi Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 89 derado elástico quando ao se descarregar a estrutura o material não apresenta deformação residual algu ma isto é ele retorna ao estado natural sem deformação O comportamento é considerado linear quando existe proporcionalidade entre tensões e deformações Entretanto nem sempre é possível adotar um comportamento tão simplifi cado para os materiais Por exemplo procedimentos modernos de projeto de estruturas metálicas ou de concreto armado baseiamse no estado de limite último quando o material não apresenta mais comportamento elásticolinear Apesar disso no contexto deste livro só são considerados materiais idealizados com comportamen to elásticolinear e sem limite de resistência Isso é justifi cado pelos seguintes motivos De maneira geral as estruturas civis trabalham em regime elásticolinear Por isso a maioria das estruturas é analisada adotandose essa aproximação Mesmo para projetos com base em regime último a determinação da distribuição de esforços inter nos em geral é feita a partir de uma análise linear isto é fazse o dimensionamento local no estado último de resistência com o uso de coefi cientes de majoração de carga e de minoração de resistência mas com esforços calculados através de uma análise global linear Essa é uma aproximação razoável na maioria dos casos mas o correto seria fazer uma análise global considerando o material em regi me não linear que é relativamente complexa quando comparada com uma análise linear Na prática uma análise não linear é executada por computadores de forma incremental sendo que em cada passo do processo incremental é feita uma análise linear Como este livro é introdu tório à análise de estruturas justifi case a consideração de um comportamento linear O foco principal deste livro são os métodos básicos da análise estrutural A consideração em si de leis constitutivas não lineares é um tema bastante amplo que foge ao escopo deste livro Portanto no exemplo da Figura 41 o material considerado apresenta comportamento elásticoline ar As barras dessa estrutura estão submetidas apenas a esforços axiais de tração As tensões x σ e as de formações x ε que aparecem nesse caso são normais às seções transversais das barras na direção do eixo local x na direção axial da barra A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida lei de Hooke Beer Johnston 2006 Féodosiev 1977 e é dada por x x Eε σ 43 sendo E módulo de elasticidade propriedade do material FL2 σ x tensão normal na seção transversal da barra direção longitudinal FL2 εx deformação normal na direção longitudinal da barra No contexto de uma análise com pequenos deslocamentos a tensão normal associada a um esforço axial é dada pela razão entre o valor do esforço e a área da seção transversal e a deformação normal é a razão entre o alongamento da barra e seu comprimento original Assim para a barra vertical da Figura 41 temse l E d A N 1 1 44 e para as barras inclinadas temse θ cos 2 2 l d E A N 45 Observase que as Equações 44 e 45 introduzem novas relações entre as incógnitas do problema sem que apareçam novas variáveis Dessa maneira as Equações 41 42 44 e 45 formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas N1 N2 d1 e d2 resultando na solução única do problema Bookconceitosindb 89 532010 083712 ELSEVIER 90 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Vêse que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo utilizando todos os três tipos de condições equilíbrio compatibilidade e leis constitutivas A próxima seção discute esse ponto com mais detalhes Há casos em que o material também é solicitado ao efeito de cisalhamento Para materiais traba lhando em regime elásticolinear a lei constitutiva que relaciona tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por γ τ G 46 sendo G módulo de cisalhamento propriedade do material FL2 τ tensão de cisal hamento FL2 γ distorção de cisalhamento 42 MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE ESTRUTURAL O exemplo simples mostrado na seção anterior ilustra bem a problemática da análise de uma estrutura hiperestática Para resolver calcular esforços deslocamentos etc uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar os três grupos de condições básicas da análise estrutural condições de equilíbrio condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e condições impostas pelas leis cons titutivas dos materiais White et al 1976 No exemplo existem infi nitos valores de N1 e N2 que satisfazem a Equação 41 de equilíbrio Tam bém existem infi nitos valores de d1 e d2 que satisfazem a Equação 42 de compatibilidade Entretanto existe uma única solução para essas entidades aquela que satisfaz simultaneamente equilíbrio compati bilidade e leis constitutivas Observase que para esse exemplo a solução da estrutura hiperestática requer a resolução de um sistema de quatro equações a quatro incógnitas Para estruturas usuais bem maiores a formulação do problema dessa maneira acarreta uma complexidade de tal ordem que a solução pode fi car comprometi da Assim é necessário defi nir metodologias para a solução de estruturas hiperestáticas Isso resulta nos dois métodos básicos da análise estrutural apresentados resumidamente a seguir 421 Método das forças O primeiro método básico da análise de estruturas é o chamado método das forças Nesse método as incógnitas principais do problema são forças e momentos que podem ser reações de apoio ou esforços internos Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas principais escolhidas e subs tituídas em equações de compatibilidade que são então resolvidas O método das forças tem como ideia básica determinar dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio qual solução faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas Na formalização do método das forças existe uma sequência de introdução das condições básicas do problema primeiro são utilizadas as condições de equilíbrio em seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais e fi nalmente são utilizadas as condições de compatibilidade O exemplo da Figura 41 é usado para ilustrar essa sequência Considere que o esforço normal N1 na barra central foi adotado como a incógnita principal O nú mero de incógnitas principais é igual ao número de incógnitas excedentes nas equações de equilíbrio A escolha de N1 como incógnita principal foi arbitrária Os mesmos resultados fi nais seriam obtidos se o Bookconceitosindb 90 532010 083712 Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 91 esforço normal N2 tivesse sido escolhido como incógnita principal Pela Equação 41 de equilíbrio podese escrever N2 em função de N1 cosθ 2 1 2 N P N 47 Pelas Equações 44 e 45 podese expressar d1 e d2 em função de N1 e N2 respectivamente Utilizando a Equação 47 e substituindo na Equação 42 temse a equação de compatibilidade expressa em termos da incógnita N1 3 1 3 cos 2 cos 2 θ θ EA P l N EA l EA l 48 Finalmente a solução dessa equação resulta no valor de N1 e substituindo esse resultado na Equa ção 47 temse N2 3 1 2 cos 1 θ P N 3 2 2 2 cos 1 cos θ θ P N Salientase que os valores de N1 e N2 independem da área da seção transversal das barras e do módulo de elasticidade porque no exemplo esses parâmetros são iguais para as três barras tendo sido cancelados na solução da Equação 48 Na verdade a solução mostrada não corresponde à metodologia utilizada na prática para analisar uma estrutura hiperestática pelo método das forças A metodologia adotada na prática gera uma para metrização discretização do problema em termos de variáveis independentes como sugerido na Seção 122 No caso do método das forças essas variáveis são as forças e momentos associadas aos vínculos excedentes à determinação estática da estrutura Essas forças e momentos são chamados de hiperestáticos Para o exemplo das três barras só existe um hiperestático Uma possível solução parametrizada pelo método das forças é obtida pela superposição de soluções básicas dos casos 0 e 1 mostrados na Figura 43 O hiperestático escolhido nessa solução é a reação de apoio vertical X1 N1 e o vínculo asso ciado é a restrição ao deslocamento vertical do apoio central Na solução indicada na Figura 43 a estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura estati camente determinada isostática obtida da estrutura original pela eliminação do vínculo excedente asso ciado ao hiperestático Essa estrutura isostática auxiliar é chamada de sistema principal SP Cada solução básica isola um determinado efeito ou parâmetro no SP o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 e o efeito do hiperestático X1 é isolado no caso 1 Figura 43 Superposição de soluções básicas do método das forças Bookconceitosindb 91 532010 083712 ELSEVIER 92 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha As soluções básicas mostradas na Figura 43 violam uma condição de compatibilidade da estrutura original pois o vínculo eliminado libera o deslocamento vertical do apoio central Por outro lado as so luções básicas do método das forças satisfazem as equações de equilíbrio da estrutura original A metodologia de cálculo do método das forças determina o valor que o hiperestático deve ter para recompor o vínculo eliminado no SP Tal condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de compatibilidade que superpõe os deslocamentos no vínculo eliminado de cada caso básico 0 1 11 10 X δ δ 49 Nessa equação δ10 termo de carga deslocamento vertical no ponto do vínculo eliminado no caso 0 δ11 coefi ciente de fl exibilidade deslocamento vertical no ponto do vínculo eliminado provocado por um valor unitário do hiperestático aplicado isoladamente As unidades de um termo de carga no contexto do método das forças podem ser L no caso de des locamento ou R no caso de rotação As unidades de um coefi ciente de fl exibilidade podem ser LF ou RF quando o hiperestático é uma força ou LFL ou RFL quando o hiperestático é um momento A Equação 49 determina o valor do hiperestático X1 que faz com que o deslocamento do ponto do vínculo eliminado seja nulo Dessa forma o valor correto do esforço normal N1 X1 é determinado pois a compatibilidade da estrutura original violada na criação da estrutura auxiliar SP é recomposta Considerando que deslocamentos verticais são positivos no sentido da força unitária arbitrada para X1 para cima os valores do termo de carga e do coefi ciente de fl exibilidade para esse problema são 3 10 cos 2 θ δ EA P l e 3 11 cos 2 θ δ EA l EA l Substituindo esses valores na Equação 49 podese observar que essa equação é exatamente igual à Equação 48 de compatibilidade encontrada anteriormente No Capítulo 8 o método das forças é formalizado em detalhes Essa metodologia de superposição de soluções básicas baseiase na validade do princípio da superposição de efeitos Seção 43 e serve para resolver qualquer estrutura hiperestática reticulada com comportamento linear O método das forças é assim denominado porque os hiperestáticos são forças ou momentos Tam bém é chamado de método da compatibilidade West Geschwindner 2002 porque as equações fi nais como a Equação 49 são equações de compatibilidade escritas em termos dos hiperestáticos 422 Método dos deslocamentos O segundo método básico da análise de estruturas é o chamado método dos deslocamentos Nele as incógnitas principais do problema são deslocamentos e rotações Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas principais escolhidas e substituídas em equações de equilíbrio que depois são resolvidas O método dos deslocamentos tem como ideia básica determinar dentro do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibilidade qual solução faz com que as condições de equilíbrio também sejam satisfeitas Observase que o método dos deslocamentos aborda a solução de estruturas de maneira inversa ao que é feito no método das forças Por isso esses métodos são considerados duais Na formalização do método dos deslocamentos a sequência de introdução das condições básicas também é inversa primeiro são utilizadas as condições de compatibilidade em seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais e fi nalmente são utilizadas as condições de equilíbrio O exemplo da Figura 41 também é utilizado para mostrar isso Bookconceitosindb 92 532010 083713 Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 93 A incógnita principal escolhida é o alongamento d1 da barra vertical que corresponde ao desloca mento vertical D1 do nó inferior da estrutura Figura 42 O número de incógnitas no método dos des locamentos é igual ao número de incógnitas excedentes nas equações de compatibilidade No exemplo existe uma equação de compatibilidade Equação 42 com duas incógnitas d1 e d2 A escolha de d1 como principal é arbitrária Utilizando a equação de compatibilidade e as Equações 44 e 45 da lei constitutiva podese expres sar a Equação 41 de equilíbrio em função da incógnita principal P d l EA l EA 1 3 cos 2 θ 410 A solução dessa equação fornece o valor de d1 e substituindo esse resultado na Equação 42 temse d2 EA l P d 3 1 2 cos 1 θ EA l P d 3 2 2 cos 1 cos θ θ Para encontrar os valores de N1 e N2 mostrados anteriormente basta utilizar as Equações 44 e 45 Assim como no método das forças a solução pelo método dos deslocamentos apresentada inicial mente nesta seção tem caráter apenas didático Na prática é necessário formalizar o método para resol ver qualquer tipo de estrutura reticulada A metodologia adotada na prática faz uma parametrização discretização do problema em termos de variáveis independentes como indicado na Seção 122 No caso do método dos deslocamentos essas variáveis são os parâmetros que defi nem completamente a confi guração deformada da estrutura chamados de deslocabilidades Para o exemplo das três barras devido à simetria da estrutura está sendo considerado que o nó in ferior não se desloca lateralmente Portanto só existe uma deslocabilidade o deslocamento vertical D1 do nó inferior A solução parametrizada pelo método dos deslocamentos é obtida por meio da superposição de soluções básicas dos casos 0 e 1 mostrados na Figura 44 Figura 44 Superposição de soluções básicas do método dos deslocamentos Na solução indicada na Figura 44 a estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura cinema ticamente determinada com confi guração deformada conhecida obtida da estrutura original pela adição do vínculo necessário para impedir a deslocabilidade D1 Essa estrutura cinematicamente determinada auxiliar é chamada de sistema hipergeométrico SH Cada solução básica isola um determinado efeito ou parâmetro no SH o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 e o efeito da deslo cabilidade D1 é isolado no caso 1 Bookconceitosindb 93 532010 083715 ELSEVIER 94 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha As soluções básicas mostradas na Figura 44 satisfazem as condições de compatibilidade do sistema hipergeométrico mas violam o equilíbrio da estrutura original que não contém o vínculo adicional que impede a deslocabilidade D1 Dito de outra maneira o apoio fi ctício adicionado no SH está associado a uma reação de apoio espúria que fere o equilíbrio da estrutura original Devese observar que as solu ções básicas do método dos deslocamentos jamais violam as condições de compatibilidade da estrutura original isto é existe continuidade interna ligação entre as barras e compatibilidade com os vínculos externos A metodologia de cálculo do método dos deslocamentos determina o valor que a deslocabilidade D1 deve assumir para recompor o equilíbrio da estrutura original sem o apoio fi ctício do SH Essa condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de equilíbrio que superpõe as reações no apoio fi ctício do SH de cada caso básico 0 1 11 10 D K β 411 Nessa equação temse β10 termo de carga força reação vertical no apoio fi ctício do caso 0 K11 coefi ciente de rigidez força vertical no apoio fi ctício do SH necessária para impor uma confi guração deformada tal que a deslocabilidade D1 assuma um valor unitário As unidades de um termo de carga no contexto do método dos deslocamentos podem ser F para o caso de força ou FL para o caso de momento As unidades de um coefi ciente de rigidez podem ser FL ou FLL quando a deslocabilidade é um deslocamento ou FR ou FLR quando a desloca bilidade é uma rotação A Equação 411 determina o valor da deslocabilidade D1 que faz com que a reação fi nal na superpo sição no apoio fi ctício do SH seja nula Dessa forma o valor correto de D1 é determinado pois o equilí brio da estrutura original violado na criação da estrutura auxiliar SH é restabelecido Considerando que forças verticais são positivas no sentido do deslocamento unitário arbitrado para D1 para baixo temse que os valores do termo de carga e do coefi ciente de rigidez para esse problema são β10 P e l EA l EA K 3 11 cos 2 θ Substituindo esses valores na Equação 411 podese observar que essa equação é exatamente igual à Equação 410 de equilíbrio encontrada anteriormente No Capítulo 10 a metodologia do método dos deslocamentos é formalizada em detalhes Assim como para o método das forças essa metodologia se baseia na validade do princípio da superposição de efeitos Seção 43 e serve para resolver qualquer estrutura reticulada com comportamento linear O método dos deslocamentos é assim denominado porque as incógnitas deslocabilidades são des locamentos ou rotações Também é chamado de método do equilíbrio West Geschwindner 2002 por que as equações fi nais como a Equação 411 são equações de equilíbrio cujas variáveis principais são as deslocabilidades 423 Comparação entre o método das forças e o método dos deslocamentos Nas duas seções anteriores os dois métodos básicos da análise de estruturas reticuladas foram apre sentados tendo por base um exemplo simples com três barras articuladas Conforme comentado esses métodos serão apresentados em detalhes em capítulos subsequentes deste livro Entretanto as principais ideias dos dois métodos já estão delineadas e é importante salientar os pontos principais Na Tabela 41 Bookconceitosindb 94 532010 083717 Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 95 é feita uma comparação entre os dois métodos mostrando um resumo da metodologia de cada um Salientase a dualidade entre os dois métodos Tabela 41 Comparação entre os métodos das forças e dos deslocamentos Método das forças Método dos deslocamentos Ideia básica Determinar dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio qual das soluções faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas Ideia básica Determinar dentro do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibilidade qual das soluções faz com que as condições de equilíbrio também sejam satisfeitas Metodologia Superpor uma série de soluções estaticamente determinadas isostáticas que satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura para obter uma solução fi nal que também satisfaz as condi ções de compatibilidade Metodologia Superpor uma série de soluções cinematicamente determinadas confi gurações deformadas conheci das que satisfazem as condições de compatibilida de da estrutura para obter uma solução fi nal que também satisfaz as condições de equilíbrio Incógnitas Hiperestáticos forças e momentos associados a vínculos excedentes à determinação estática da estrutura Incógnitas Deslocabilidades componentes de deslocamentos e rotações nodais que defi nem a confi guração defor mada da estrutura Número de incógnitas É o número de incógnitas excedentes das equa ções de equilíbrio denominado grau de hiperesta ticidade Número de incógnitas É o número de incógnitas excedentes das equações de compatibilidade denominado grau de hipergeome tria Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas Sistema principal SP estrutura estaticamente determinada isostática obtida da estrutura original pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáticos Essa estrutura auxiliar viola condições de compatibilidade da estrutura original Estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas Sistema hipergeométrico SH estrutura cinemati camente determinada estrutura com confi guração deformada conhecida obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários para impedir as deslocabilidades Essa estrutura auxiliar viola condições de equilíbrio da estrutura original Equações fi nais São equações de compatibilidade expressas em termos dos hiperestáticos Essas equações recompõem as condições de compatibilidade violadas nas soluções básicas Equações fi nais São equações de equilíbrio expressas em termos das deslocabilidades Essas equações recompõem as condições de equilíbrio violadas nas soluções básicas Termos de carga das equações fi nais Deslocamentos e rotações nos pontos dos víncu los liberados no SP provocados pela solicitação externa carregamento Termos de carga das equações fi nais Forças e momentos reações nos vínculos adicio nados no SH provocados pela solicitação externa carregamento Coefi cientes das equações fi nais Coefi cientes de fl exibilidade deslocamentos e rotações nos pontos dos vínculos liberados no SP provocados por hiperestáticos com valores unitários atuando isoladamente Coefi cientes das equações fi nais Coefi cientes de rigidez forças e momentos nos vínculos adicionados no SH para impor confi gura ções deformadas com deslocabilidades isoladas com valores unitários Bookconceitosindb 95 532010 083719 ELSEVIER 96 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 43 COMPORTAMENTO LINEAR E SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS Como visto nas seções anteriores na formalização dos métodos básicos da análi se estrutural adotase o princípio da superposição de efeitos White et al 1976 Felton Nelson 1996 West Geschwindner 2002 Esse princípio prescreve que a superposição dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças que atuam concomitantemente A Figura 45 exemplifi ca esse princípio mostrando que a combinação linear de duas forças resulta nos mesmos deslocamentos da combinação linear dos deslo camentos provocados pelas forças que atuam isoladamente Figura 45 Combinação linear de duas forças e os correspondentes deslocamentos Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um comportamento li near que se baseia em duas condições A primeira é que o material trabalhe no regime elásticolinear A segunda condição é que seja válida a hipótese de pequenos deslocamentos Conforme abordado na Seção 411 os deslocamentos podem ser considerados pequenos quando as equações de equilíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem resultados pratica mente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura White et al 1976 Para uma grande faixa de situações estruturas civis têm deslocamentos pequenos em comparação aos tamanhos característicos de seus membros comprimento da barra ou altura da seção transversal por exemplo Um contraexemplo para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos é mostrado na Figura 46 White et al 1976 Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas e o estado de equilíbrio estável só pode ser alcançado para a estrutura na confi guração deformada Cabos Seção 26 que são estruturas muito fl exíveis são outro tipo de estrutura cujo equilíbrio é alcançado na geometria fi nal considerando seus deslocamentos sobrepostos à geometria inicial indeformada Esse tipo de estrutura não é tratado neste livro Figura 46 Exemplo de uma estrutura para a qual não se pode adotar pequenos deslocamentos Bookconceitosindb 96 532010 083719 tlle Capitulo 4 Consideragées sobre equilibrio e compatibilidade 97 Existem exemplos classicos de modelos estruturais que s6 podem atingir o equilibrio na configura cao deformada Dois deles séo mostrados na Figura 36 White et al 1976 A estrutura da Figura 36b apresenta trés reacdes concorrentes em um ponto Portanto na configuracao indeformada nao é possi vel equilibrar o momento de forcas atuantes como a carga P em relacao ao ponto de convergéncia das reacdes de apoio Nesse caso talvez 0 equilibrio pudesse ser alcancado na configuracao deformada da estrutura quando as reacoes deixariam de concorrer em um ponto Mesmo assim essa estrutura sempre apresentaria um estado de instabilidade iminente O portico da Figura 36c tem trés rétulas alinhadas como o exemplo da Figura 46 e o equilibrio poderia acontecer na configuragdo deformada Estruturas que so atingem o equilibrio na configuragdo deformada sao classificadas neste livro como instdveis A dependéncia do comportamento linear com a hipdtese de pequenos deslocamentos pode ser en tendida a partir do exemplo da Figura 47 Nessa estrutura o deslocamento vertical da extremidade inferior do balango 6a depende das caracteristicas geométricas das barras assim como dos valores das forgas V e H e das propriedades do material da estrutura aces a ou fe fp Figura 47 Configuracdo deformada de um portico em forma de L Considerando que o material da estrutura da Figura 47 trabalha em um regime elasticolinear que a estrutura tem sec6es transversais predefinidas e que as forcas estao sempre atuando nos mesmos pontos o comportamento da estrutura no que diz respeito a seus deslocamentos depende apenas das caracteristicas geométricas da estrutura a e b e dos valores das cargas V e H que podem variar Duas situacdes podem ser consideradas Deslocamento 6a com um valor que nao pode ser desprezado em relacao as dimens6es a e b de maneira que as condicées de equilibrio devem ser escritas para a geometria deformada Nesse caso a 6aVHa ob ou seja a determinacao de 6a depende do conhecimento de seu pr6 prio valor Isso caracteriza o que se define como nao linearidade geométrica White et al 1976 Deslocamento 6a com um valor muito menor do que as dimensées a e b de maneira que as condigées de equilibrio podem ser escritas para a geometria original indeformada Nesse caso podese dizer que n 6aVHab ou seja nao existe dependéncia de 6a em relacao a si proprio Como todas as outras propriedades sao lineares o comportamento da estrutura é linear isto é oa varia linearmente em fungao dos valores das cargas No caso em que os deslocamentos nao sao pequenos a determinacao de 6a em geral nao tem so lugdo analitica simples Nesse caso 0 valor de 6a pode ser determinado por meio de algum processo iterativo Por exemplo partindo de um valor inicial que poderia ser nulo determinase o valor seguinte considerando um comportamento linear Com os valores de deslocamentos calculados no passo anterior atualizase a geometria da estrutura e determinase o valor seguinte de 6a Esse processo se repete até que o valor determinado em um passo nao difira significativamente do valor do passo anterior Esse processo pode nao convergir nesse caso a estrutura é instavel 98 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Uma analise estrutural que considera pequenos deslocamentos é denominada andlise de primeira ordem Uma analise que leva em conta os deslocamentos da estrutura para formular as condic6es de equi librio na configuracao deformada é denominada andlise de segunda ordem A hipotese de pequenos deslo camentos basica juntamente com o comportamento linear dos materiais para a utilizacao do principio da superposicao de efeitos White et al 1976 Como dito anteriormente esse principio é aplicado nos métodos basicos da andlise de estruturas que sao métodos lineares 44 ANALISE DE SEGUNDA ORDEM Para ilustrar uma andlise de segunda ordem e 0 efeito da nao linearidade geométrica um exemplo isos tatico simples com duas barras articuladas White et al 1976 é mostrado na Figura 48 A configuracao deformada da estrutura esta indicada pelas linhas tracejadas da figura Na configuracgado indeformada o angulo entre as barras e 0 eixo vertical é 6 e na configuragdo deformada o angulo é a Nesse exemplo os deslocamentos nao sao considerados pequenos e a condicao de equilibrio que relaciona a forga aplicada P com o esforgo normal N nas barras escrita na configuracao final deformada da estrutura ID P2Ncosa 2N 412 yItan 1D N N tan 1tan x WW Y comprimento original 1cos Ye comprimento final i i 1cosaItanID eo PN Zz 8 ie SOY t i D P Figura 48 Estrutura isostatica com grandes deslocamentos Com base na Figura 48 podese relacionar o alongamento d das barras com o deslocamento vertical D do no central O alongamento das barras é a diferenca entre o comprimento final deformado das bar ras e 0 comprimento original indeformado resultando na seguinte relacao de compatibilidade dltany 1D 1cosé 413 Para obter a resposta do problema em termos de deslocamentos é necessario considerar a relacao tensaodeformacao do material Considerando a deformacao nas barras como a razao entre o alonga mento e o comprimento original da barra a relacdo tensdodeformacao resulta em uma expressdo que relaciona o esforcgo normal das barras com seu alongamento EA Nd 414 1cos 414 eL Capitulo 4 Consideragées sobre equilibrio e compatibilidade 99 ELSEVIER Substituindo o alongamento d dado pela Equacao 413 na Equacao 414 e depois substituindo o es forgo normal N na Equacao 412 temse como resultado uma expressao que relaciona a forca aplicada P com o deslocamento vertical D EA 1D pa Siaest itano ID Kose J l ltan 1 D Simplificando essa expressao temse P2EAID 8 415 1 Jltaney 1 DY A relacao entre a forca P e o deslocamento D da Equacao 415 é mostrada na Figura 49 para alguns valores do Angulo 6 da configuracao indeformada da estrutura Os valores da forca aplicada foram nor malizados pela razao PEA e os valores dos deslocamentos foram normalizados pela razao DI Yea Yea efeitos de segunda ordem 6 15 pequenos deslocamentos 8 30 0 45 2 6 60 1 6 75 00 05 10 15 20 M1 Figura 49 Curvas cargadeslocamento para estrutura isostatica com grandes deslocamentos Com base na Figura 49 podese observar a natureza nao linear da resposta da estrutura para gran des deslocamentos mesmo para um material com comportamento elasticolinear A curva cargadeslo camento para o caso da estrutura achatada angulo grande é a que apresenta maior grau de nao li nearidade enquanto a curva para 0 caso da estrutura alongada angulo 0 pequeno é praticamente linear Notase também que a estrutura mais alongada é a mais rigida valor de carga mais alto para um dado valor de deslocamento E interessante comparar a resposta nao linear dada pela Equacao 415 com a resposta linear da es trutura da Figura 48 para pequenos deslocamentos A resposta linear é obtida igualando os angulos Oe ae considerando d Dcos como na Equacao 42 Isso resulta na seguinte relagdo cargadeslocamento 2EAcos6 Piinear a ae D 416 ELSEVIER 100 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Podese comparar a Equação 416 com a derivada da resposta não linear avaliada para D 0 l EA dD dP D 3 0 cos 2 θ 417 Vêse que o coefi ciente angular da resposta linear é igual à derivada da curva cargadeslocamento não linear para D 0 como indica o detalhe da Figura 49 Isso mostra que a resposta linear é uma apro ximação da resposta não linear para pequenos deslocamentos Esse estudo do comportamento não linear de uma estrutura indica que a solução para grandes des locamentos pode ser relativamente complexa mesmo no caso de uma estrutura bastante simples como a da Figura 48 De certa maneira o comportamento de todas as estruturas é não linear para o caso de uma análise exata que envolveria a consideração dos deslocamentos da estrutura nas equações de equilíbrio equilíbrio imposto na confi guração deformada Felizmente para uma gama considerável de estruturas civis os deslocamentos são tão pequenos para cargas usuais que podem ser desconsiderados quando se formulam as condições de equilíbrio Entretanto em muitas situações no projeto de estruturas a análise estrutural tem de levar em conta efeitos de segunda ordem Isso é mais importante em estruturas relativamente fl exíveis como pórticos de estruturas metálicas Para o caso de barras submetidas à compressão o efeito de segunda ordem de fl exão provocada por esforço normal pode induzir uma perda de estabilidade fenômeno denominado fl ambagem de barras a compressão Embora a fl ambagem de barras não seja considerada neste livro as principais características desse fenômeno são resumidas na Seção 513 Além do fenômeno local de fl ambagem de barras pode ocorrer perda de estabilidade de uma es trutura provocada por efeitos globais Um exemplo é o chamado efeito PΔ sendo P o esforço axial de compressão em uma coluna de um pórtico e Δ o deslocamento lateral do pórtico como exemplifi cado na Figura 410 Figura 410 Efeito de segunda ordem PΔ fl exão provocada por deslocamento lateral No exemplo da Figura 410 o deslocamento lateral é provocado por uma carga horizontal pela as simetria da estrutura engaste na esquerda e apoio simples na direita e por imperfeições geométricas de construção Admitindo que o deslocamento lateral não pode ser considerado pequeno as equações de equilíbrio devem ser formuladas considerando a confi guração deformada da estrutura Observase que as cargas verticais posicionadas na geometria deformada provocam fl exão nos pilares do pórtico que não aparece se os deslocamentos forem considerados pequenos A fl exão dos pilares aumenta mais ainda o deslocamento lateral do pórtico Se as seções transversais dos pilares do pórtico forem dimensionadas Bookconceitosindb 100 532010 083722 Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 101 adequadamente o pórtico atinge uma situação de equilíbrio Caso contrário o deslocamento lateral in duz uma perda de estabilidade que nesse caso é denominada fl ambagem global Neste livro só serão consideradas estruturas para as quais podese adotar a hipótese de pequenos deslocamentos equações de equilíbrio sempre escritas para a forma indeformada da estrutura isto é consideramse apenas efeitos de primeira ordem Isso só se justifi ca por ser este um contexto básico da análise de estruturas Conforme mencionado na prática uma análise não linear como a que leva em con ta efeitos de segunda ordem é executada computacionalmente de forma incremental sendo que em cada passo do processo incremental é feita uma análise linear isto é em cada passo de um processo iterativo de uma análise não linear são adotados métodos lineares de análise Além disso existem procedimentos simplifi cados para considerar efeitos de segunda ordem como o efeito PΔ Um desses procedimentos executa uma análise de primeira ordem considerando forças horizontais fi ctícias para levar em conta o efeito adicional de fl exão provocada pelo deslocamento lateral da estrutura A ABNT NBR 8800 2008 de projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios admite no caso de estruturas com pequena e média deslocabilidade que os efeitos de segunda ordem sejam levados em conta em uma análise de primeira ordem por meio da aplicação de forças fi ctícias horizontais denomi nadas forças nocionais Pelos motivos mencionados e como este livro é básico para análise de estruturas justifi case a con sideração apenas de efeitos de primeira ordem 45 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS E INDETERMINADAS Conforme abordado no Capítulo 3 existe um caso especial de estruturas cujos esforços inte rnos e externos reações de apoio podem ser determinados apenas por condições de equilíbrio Essas estru turas são defi nidas como estruturas estaticamente determinadas ou estruturas isostáticas As estruturas cujos esforços internos e externos não podem ser determinados apenas pelas condições de equilíbrio são defi nidas como estruturas estaticamente indeterminadas ou estruturas hiperestáticas Esta seção faz uma comparação entre o comportamento das estruturas isostáticas e hiperestáticas mostrando suas vantagens e desvantagens e justifi cando as razões pelas quais as últimas aparecerem mais frequen temente Essa comparação é feita utilizando um pórtico plano White et al 1976 West 1989 mostrado na Figura 411 que aparece em duas versões Na primeira Figura 411a as condições de suporte são tais que se pode determinar as reações de apoio utilizando somente condições de equilíbrio Como o pórtico é um quadro aberto não existe um ciclo fechado de barras podese determinar os esforços internos em qualquer seção transversal a partir apenas dessas condições portanto a estrutura é isostática A segunda versão do pórtico Figura 411b apresenta um vínculo externo excedente em relação à estabilidade es tática isto é existem quatro componentes de reação de apoio para três equações de equilíbrio global da estrutura Equações 24 25 e 26 Bookconceitosindb 101 532010 083723 102 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER p p a iL Pb a of 7 4 Kb2b2 oni A P2 P2 P P Hh Hh ee Hh Hh Seeaes ens PbA4 Hh hh H H Kb2 b2 Y y PR P Figura 411 Quadros isostatico a e hiperestatico b configuragdes deformadas reacdes de apoio e diagramas de momentos fletores A Figura 411 mostra as reagdes de apoio nos dois porticos Devido a simetria dos quadros as rea des verticais tém valores iguais 4 metade da carga vertical aplicada P O portico isostatico tem reacao horizontal do apoio da esquerda nula pois é 0 Unico apoio que restringe o deslocamento horizontal do quadro e nao existem forgas horizontais aplicadas Ja o portico hiperestatico tem os valores das reag6es horizontais iguais sendo as reacgdes com sentidos inversos para garantir o equilibrio na direcao horizon tal O valor dessas reac6es H é indefinido quando se consideram somente as condic6es de equilibrio Intuitivamente é facil verificar que os sentidos das reacdes horizontais da estrutura hiperestatica sao para dentro do portico Na Figura 411a a configuracao deformada da estrutura isostatica mos trada de forma exagerada linha tracejada indica uma tendéncia de as barras verticais de se afastarem relativamente Na estrutura hiperestatica a barra vertical da direita tem seu movimento horizontal res trito na base Como a tendéncia é de abrir 0 portico a reacdo associada a essa restriado vai fechar o portico isto é com sentido para dentro Esse exemplo ilustra bem uma caracteristica da estrutura hiperestatica existem infinitas solugdes que satisfazem as condicdes de equilibrio nesse caso existem infinitos valores possiveis para a reacao horizontal H Como visto na Secao 42 para determinar o valor de H também sao necessarias as condi goes de compatibilidade e as leis constitutivas dos materiais Isso torna a resolucao da estrutura hiperes tatica mais complexa Apesar dessa desvantagem da estrutura hiperestatica a maioria das estruturas é estaticamente in determinada Isso se deve aos seguintes motivos White et al 1976 Algumas formas estruturais sao intrinsecamente hiperestaticas como o esqueleto de um edificio conjunto de lajes vigas e pilares a casca de uma cobertura ou uma trelica espacial Os esforcos internos em uma estrutura hiperestatica tém em geral uma distribuicdo mais otimiza da ao longo da estrutura Isso pode levar a menores valores para os esforgos maximos No caso das Capítulo 4 Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade 103 estruturas da Figura 411 o máximo valor de momento fl etor ocorre para o meio da barra horizon tal viga da estrutura isostática embora essa estrutura não apresente momentos fl etores nas barras verticais colunas A viga da estrutura hiperestática apresenta máximo momento menor do que na viga da estrutura isostática mas as colunas são requisitadas à fl exão Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estru tural Isso pode ser entendido com auxílio da Figura 412 O quadro hiperestático dessa fi gura apre senta três situações para a rigidez relativa entre a viga e as colunas As confi gurações deformadas elásticas de cada uma das situações são mostradas com uma escala de deslocamentos exagerada Na Figura 412a as colunas são muito mais rígidas do que a viga fazendo com que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas se aproximando do caso de uma viga com extremi dades engastadas Na Figura 412c por outro lado a viga é muito mais rígida do que as colunas a ponto de elas não oferecerem impedimento às rotações das extremidades da viga que se aproxima do comportamento de uma viga simplesmente apoiada A Figura 412b apresenta um caso inter mediário Isso também pode ser observado nas elásticas de cada uma das situações Os círculos pretos nas elásticas das vigas indicam os chamados pontos de infl exão onde existe uma mudança na concavidade da curva elástica Nas seções transversais correspondentes a esses pontos o momento fl etor é nulo Observase que à medida que se aumenta a rigidez da viga em relação à das colunas os pontos de infl exão se movem para as extremidades da viga tendendo a uma situação de viga biapoiada Podese concluir que os diagramas de momentos fl etores da viga podem ser alterados de um comportamento quase biengastado para quase biapoiado com a variação da rigidez rela tiva entre os elementos estruturais Observase também que as reações de apoio horizontais do pórtico têm valores distintos para cada uma das situações Isso só é possível no caso de estruturas hiperestáticas O analista estrutural pode explorar essa característica da estrutura hiperestática mi nimizando ao máximo dentro do possível os esforços internos na estrutura Isso não pode ser feito em uma estrutura isostática No quadro da Figura 411a as reações de apoio e o diagrama de mo mentos fl etores independem dos parâmetros de rigidez relativos entre viga e colunas Na estrutura isostática as reações só dependem da geometria da estrutura e do valor da carga O diagrama de momentos fl etores só depende dos valores das cargas e reações de apoio e da geometria da estru tura Nas Seções 510 e 511 essa característica da estrutura hiperestática é abordada com um pouco mais de profundidade Em uma estrutura hiperestática os vínculos excedentes podem induzir uma segurança adicional Se parte de uma estrutura hiperestática por algum motivo perder sua capacidade resistiva a es trutura como um todo ainda pode ter estabilidade Isso ocorre porque a estrutura hiperestática pode ter capacidade de redistribuição de esforços o que não ocorre em estruturas isostáticas Dois exemplos dessa capacidade são mostrados na Figura 413 Se a diagonal comprimida D1 da treliça hiperestática da Figura 413a perder a estabilidade por fl ambagem a outra diagonal D2 que tra balha à tração ainda tem condições de dar estabilidade à estrutura O aparecimento de uma rótula plástica na extremidade direita da viga da Figura 413b onde aparece o diagrama de momentos fl etores com momento de plastifi cação Mp não acarretaria a destruição da estrutura pois ela se comportaria como uma viga simplesmente apoiada ainda estável Bookconceitosindb 103 532010 083724 104 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER p Hah Jp Hah A te N Hah Hah R te N Pb4 Hah aa L L Kb21 b2 P2 P2 P P Hph Hph ee eed Hph Hph ma Pb4Hph b oh Hp Ab k b2 b2 ie P2 P2 p fp Heh Heh Seria 2 ee Heh Heh t i P 04 Heh c h i M H H L L b21 b2 P2 P2 Figura 412 Variagdo do diagrama de momentos fletores em um quadro hiperestatico em funcdo da rigidez relativa entre viga e colunas O O a Qi 4 ase as las a b Figura 413 Estruturas hiperestaticas que podem apresentar uma segurana adicional Podese concluir que as estruturas isostaticas deveriam ser evitadas por nao oferecerem capacidade de redistribuicao de esforcos Até certo ponto isso é verdade mas existem algumas vantagens da estru tura isostatica que sao decorrentes da propria caracteristica da estrutura isostatica de ter seus esforcos internos definidos nica e exclusivamente pelas cargas aplicadas e pela geometria da estrutura nao exis tindo dependéncia quanto as propriedades dos materiais e de rigidez das barras Do ponto de vista fisico uma estrutura isostatica tem o numero exato de vinculos externos e inter nos para ser estavel Retirandose um desses vinculos a estrutura se torna instavel e é definida como hipostatica Adicionandose um vinculo qualquer a mais este nao seria o necessario para dar estabilidade a estrutura e ela se torna hiperestatica el Capitulo 4 Consideragées sobre equilibrio e compatibilidade 105 ELSEVIER Podese observar que pequenas variacOes na geometria da estrutura isostatica mantendose valida a hipdtese de pequenos deslocamentos por nao alterarem as equacées de equilibrio ndo geram esforcgos adicionais Dessa forma se os vinculos externos de uma estrutura isostatica sofrerem pequenos deslocamentos recalques de apoio s6 geraréo movimentos de corpo rigido das barras nao causando deformacées internas e por conseguinte nao havendo esforcos internos Para estruturas hiperestaticas entretanto um movimento de apoio pode induzir deformacoes nas barras da estrutura provocando esforcos A Figu ra 414 exemplifica essa diferenca de comportamento para uma viga biapoiada e outra apoiada e engas tada a Pp a I fo a b Figura 414 Recalque de apoio em viga isostatica e em viga hiperestatica As vigas da Figura 414 sofrem um recalque vertical p no apoio da direita que pode ser considerado pequeno em relacao ao comprimento da viga 0 recalque esta desenhado exageradamente fora de escala Vése na Figura 414a que a viga isostatica nao se deforma permanece reta apresentando apenas um movimento de corpo rigido sem 0 aparecimento de esforcos internos Ja a viga hiperestatica da Figu ra 414b apresenta deformac6es que induzem momentos fletores na estrutura Recalques de apoio sao solicitag6es que precisam ser consideradas em estruturas hiperestaticas podendo acarretar esforcos internos que devem ser considerados no dimensionamento da estrutura O fato de nao aparecerem esforcos internos em estruturas isostaticas provocados por movimentos de apoio pode ser considerado uma vantagem desse tipo de estrutura De forma andloga deformacées provenientes de variacdes de temperatura provocam desloca mentos sem que aparecam esforcos internos em estruturas isostaticas Intuitivamente isso pode ser entendido se for observado que a estrutura isostatica tem o numero estrito de vinculos para impedir seus movimentos nao impedindo por exemplo uma pequena variacao de comprimento de uma bar ra associada a um aquecimento Assim como os recalques de apoio as variacdes de temperatura em membros de uma estrutura hiperestatica podem induzir esforcos que devem ser considerados Exem plos de andlise de estruturas hiperestaticas submetidas a variagdes de temperatura serdo mostrados no restante deste livro Outra vantagem da estrutura isostatica é que ela se acomoda a pequenas modificacdes impostas em sua montagem ou construcdo sem que aparecam esforcos Considere como exemplo as trelicas simples mostradas na Figura 415 A trelica da Figura 415a é isostatica e a da Figura 415d é hiperestatica A diferenca entre elas é que a trelica hiperestatica tem uma barra diagonal a mais O comprimento especi ficado em projeto para as barras diagonais é Entretanto no exemplo a barra diagonal que é comum as duas trelicas é fabricada com um comprimento um pouco maior do que no desenho da figura a diferenca de comprimentos é mostrada de forma exagerada 106 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER O O ee penne eect e et O O 1 B 4 7 4 Joa i O Q O O as 7 AS 7X a b c QO O 0 Np 9D 5 fas ooo A 1B o Ni Ni 4 vl eS ee ae a a oe d e f Figura 415 Efeito de barra com comprimento fora de especificacgdo em trelicas isostatica e hiperestatica No caso da trelica isostatica as outras barras da estrutura se acomodam a nova geometria que para fins de equilibrio pode ser considerada praticamente igual 4 geometria de projeto porque as imperfei des sAo pequenas sem oferecer resisténcia Isso pode ser entendido intuitivamente se for considerado que a trelica isostatica sem a barra fora de especificacao constitui um mecanismo instavel do ponto de vista estatico Figura 415b A geometria do restante da trelica pode ser alterada sem resisténcia pois 0 me canismo se comporta como uma cadeia cinematica Portanto as outras barras se ajustam ao comprimento modificado da barra fabricada com imperfeicdo como corpos rigidos Figura 415c isto é sem que se deformem e sem que aparecam esforcos normais Por outro lado a trelica hiperestatica nao se acomoda a modificacao imposta na montagem da es trutura sem oferecer resistencia Mesmo sem a diagonal fora de especificacao é necessario deformar as outras barras para se impor a nova geometria Figura 415e Depois de montada a barra fora de espe cificagao a trelica hiperestatica se ajusta 4 nova configuracao O comprimento final da barra diagonal fora de especificagéo é menor do que o comprimento de fabricagao mas é maior do que o comprimento de projeto Figura 415f Disso resulta que as barras externas do painel ficam tracionadas e as barras diagonais ficam comprimidas Portanto a modificagéo imposta na montagem da trelica hiperestatica acarreta o aparecimento de deformacg6es e esforcos internos nas barras 55 5 I dealização do comportamento de barras Como discutido no Capítulo 1 a análise de estruturas está fundamentada na concepção de um modelo matemático aqui chamado de modelo estrutural que adota hipóteses simplifi cadoras sobre o compor tamento da estrutura real O Capítulo 2 aborda a concepção de modelos de estruturas reticuladas isto é de estruturas que têm elementos estruturais com uma dimensão bem maior do que as outras duas Os Capítulos 3 e 4 tratam de conceitos básicos para a análise de estruturas reticuladas Para complementar a formulação de modelos de estruturas reticuladas este capítulo até a Seção 57 resume os principais conceitos matemáticos envolvidos na idealização do comportamento de barras Tal idealização baseiase em hipóteses simplifi cadoras adotadas para o comportamento axial para o comportamento à fl exão condensado na teoria de vigas de Navier e para o comportamento à torção de barras Esses conceitos são básicos para a análise de estruturas reticuladas e podem ser encontrados em vários livrostexto de mecânica dos sólidos resistência dos materiais ou de análise estrutural O resumo aqui apresentado baseiase nos trabalhos dos seguintes autores Féodosiev 1977 Beer e Johnston 2006 Timoshenko Gere 1994 White et al 1976 e West 1989 Com base no modelo matemático da teoria de vigas de Navier a Seção 58 compara o comporta mento de vigas isostáticas e hiperestáticas A Seção 59 generaliza conceitualmente essa comparação para qualquer tipo de estrutura reticulada Essa seção resume o comportamento de estruturas isostáticas e hiperestáticas com respeito às condições de equilíbrio e de compatibilidade A Seção 510 faz uma aná lise qualitativa de aspectos de diagramas de esforços internos e de confi gurações deformadas em vigas com base nas relações diferenciais apresentadas para o comportamento à fl exão de barras A Seção 511 estende essa análise para pórticos simples apresentando a consideração de barras sem deformação axial barras inextensíveis A consideração de barras inextensíveis é uma aproximação razoável para o com portamento de um pórtico e possibilita o entendimento do conceito de contraventamento de pórticos com barras inclinadas apresentado na Seção 512 Esse conceito é muito importante no projeto de estruturas reticuladas Finalmente a Seção 513 aborda de maneira muito sucinta efeitos de segunda ordem associa dos a barras submetidas à compressão Esses efeitos não são tratados neste livro e só são apresentados para complementar a idealização do comportamento de barras Bookconceitosindb 107 532010 083727 ELSEVIER 108 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 51 RELAÇÕES ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES EM BARRAS Como visto na Seção 412 o modelo estrutural tem como p remissa uma condição de continuidade dos cam pos de deslocamentos e deformações no interior das barras Além disso esses dois campos têm de ser com patíveis entre si isto é os deslocamentos e deformações de uma barra devem estar associados Nos métodos de análise a condição de continuidade no interior de uma barra é forçada automaticamente quando só se admitem deformações contínuas para a barra Esta seção resume as hipóteses básicas do modelo estrutural que garantem continuidade e compatibilidade entre deformações e deslocamentos no interior de uma barra O modelo estrutural adotado baseiase na teoria de vigas de Navier para barras submetidas à fl exão acrescida da consideração de efeitos axiais provocados por esforços normais à seção transversal da barra O modelo também considera o efeito de torção para grelhas estruturas planas com cargas fora do plano e estruturas espaciais As deformações provocadas pelos esforços cortantes cisalhamento em barras são caracterizadas sucintamente e em geral não são consideradas na presença das outras deformações Essa hipótese é comumente adotada para fl exão de barras longas cujo comprimento é muito maior do que a altura da seção transversal que é o caso mais geral Outra hipótese simplifi cadora adotada aqui é o desacoplamento dos efeitos axiais transversais fl exão e cisalhamento e de torção Isso signifi ca que esses efeitos podem ser considerados em separado e superpostos resultando nas mesmas respostas de quando os efeitos atuam em conjunto Essa hipótese é consistente com a hipótese de pequenos deslocamentos mencionada na Seção 43 que também está sendo adotada Para defi nir as relações entre deslocamentos e deformações em uma barra é adotado um sistema de coordenadas locais para a barra indicado na Figura 51 Figura 51 Sistema de eixos locais de uma barra Na Figura 51 o eixo axial da barra x passa pelo centro de gravidade das seções transversais e os outros eixos são transversais à barra Em modelos de quadros planos o eixo y pertence ao plano da es trutura e o eixo z sai do plano Figura 318 Com base nesse sistema de coordenadas são defi nidos os deslocamentos e rotações dos pontos do eixo de uma barra de pórtico plano ux deslocamento axial ou longitudinal na direção de x L vx deslocamento transversal na direção de y L θx rotação da seção transversal por fl exão em torno do eixo z R No caso de grelhas o deslocamento transversal vx tem a direção do eixo local z e a rotação θx se dá em torno do eixo y Figura 215 Para grelhas também aparece ϕx rotação por torção em torno do eixo x R Os deslocamentos axiais ux e transversais vx de uma barra defi nem uma curva chamada elástica Em pórticos planos e vigas o sentido positivo do deslocamento transversal vx é o do eixo local y e o sentido positivo da rotação por fl exão θx é o antihorário Isso é exemplifi cado para uma viga engastada e em balanço mostrada na Figura 52 onde a elástica está indicada pela linha tracejada desenhada em uma escala exageradamente ampliada Bookconceitosindb 108 532010 083727 FOB 2 Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 109 ELSEVIER a 0 eee TO Figura 52 Elastica de uma viga engastada e em balango com deslocamento transversal e rotagdo indicados com seus sentidos positivos Considerando que os deslocamentos sao pequenos podese aproximar a rotacao da secao transver sal pela tangente da elastica Dessa forma podese associar 0 deslocamento transversal a rotacao da secao transversal em uma equacao que também é considerada uma relacao de compatibilidade do g 51 7 51 511 Deformacoes axiais Uma barra submetida a solicitagdes axiais centradas cuja resultante passa pelo centro de gravidade da secao transversal apresenta uma deformacao axial tal que todos os pontos de uma segAo transversal tém os mesmos deslocamentos na direcao axial Uma consequéncia disso é que as secées transversais de uma barra submetida a uma deformacao axial permanecem planas como indica a Figura 53 Tal condicao garante a continuidade de deslocamentos no interior da barra A deformagao axial é obtida com base no deslocamento axial relativo du entre duas secGes trans versais que distam dx entre si Figura 53 A deformacgao é igual a razdo entre a variacdo de comprimento do elemento infinitesimal e seu comprimento inicial du e 52 dx 02 Nessa equacao dx comprimento original de um elemento infinitesimal de barra L du deslocamento axial longitudinal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra L deformacao normal na direcao longitudinal devida ao efeito axial Ee PT u i LA LD dx utdu dx du Figura 53 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra 512 Deformagdes normais por flexao A teoria de vigas de Navier 17851836 esta fundamentada em duas hipoteses basicas A primeira delas é a hipotese de manutencao das secoes transversais planas quando a viga se deforma proposta originalmente por Jacob Bernoulli 16541705 A segunda hipdtese despreza deformag6es provocadas por efeitos de cisalhamento De acordo com tais hipdteses as segdes transversais de uma viga que se deforma a flexao permanecem planas e normais ao eixo deformado da viga Observe que essa condigéo também garante 110 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER uma continuidade de deslocamentos em todos os pontos interiores de uma barra que sofre flexao pois cada secao transversal permanece encaixada com suas adjacentes A manutencao das secoes transversais planas e normais ao eixo deformado da barra introduz uma con dicao de compatibilidade que relaciona deformac6es normais por flexao com a rotacdo da secao transversal Considere a rotacao relativa por flexao d de um elemento infinitesimal de barra indicada na Figura 54 Cada fibra do elemento infinitesimal é definida por uma coordenada y Quando se consideram pe quenos deslocamentos a variagdo de comprimento de uma fibra genérica 6 6d6y A deformacao normal por flexao é dada pela razao entre 6 e o comprimento inicial da fibra dx do far ef 53 ray 53 Nessa equacao d rotacao relativa interna por flexao de um elemento infinitesimal de barra R ef deformacado normal na direcao axial ou longitudinal devida ao efeito de flexao dé 0d0y p y do A EP x a dx dx pd0 dx Figura 54 Rotacdo relativa por flexdo de um elemento infinitesimal de barra Na Equacao 53 0 sinal negativo aparece porque uma fibra superior y positivo sofre deformacao por encurtamento negativa quando dé positiva antihoraria O sinal negativo da equacao considera uma deformacaéo positiva alongamento para uma fibra inferior y negativo com d6 positiva Observe na Figura 54 a relacao dx pd0 entre o raio de curvatura p do eixo da barra e o comprimen to do elemento infinitesimal de barra Disso resulta do 1 ass 54 dx 9 sendo 1p curvatura da elastica transversal vx da barra L p raio de curvatura da elastica transversal vx da barra L A deformacao normal por flexao de um fibra dada pela Equacao 53 também pode ser escrita em funcdo da curvatura da barra foy Ex 55 ra 55 Em outras palavras a deformacao normal por flexao em uma fibra genérica é proporcional a distan cia da fibra ao eixo x e A curvatura 1p da barra A partir da Equacao 53 considerando a relacao entre o deslocamento transversal vx e a rotagao da secao transversal x dada pela Equagao 51 podese escrever 2 L Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 111 ELSEVIER dv foi éEf Ie y 56 A Equagao 56 é uma relacao de compatibilidade entre o deslocamento transversal de uma barra e suas deformac6es normais por flexao Combinando a Equacao 51 com a Equacao 54 observase que existe uma relacdo entre a curvatura e a derivada a segunda da elastica transversal vx em relacao a x 1 dv 57 p ax Essa equacao é aproximada e é valida somente na condicaéo de pequenos deslocamentos A expres sao completa da curvatura de uma curva para grandes flechas vx é Féodosiev 1977 dv 1 Pp dv 82 58 1 dx Observase que para pequenas inclinacoes dvdx da curva a curvatura da Equacao 58 se aproxima a fornecida pela Equacao 57 para pequenos deslocamentos 513 Distorgdes por efeito cortante O efeito cortante em uma barra provoca o empenamento da secao transversal como indicado na Figura 55 e a distribuicdo de distorgdes de cisalhamento nao é uniforme ao longo da secao GE Saae t dh h i h Yj It Ie x Ys ee wee 1t dh Y dx dx Figura 55 Deslocamento transversal relativo por efeito cortante em um elemento infinitesimal de barra Esse efeito considerado aproximadamente ao se adotar uma distorao de cisalhamento média na secao transversal Timoshenko Gere 1994 Féodosiev 1977 A distorcao de cisalhamento por efeito cortante é representada de forma integral através do deslocamento transversal relativo Figura 55 dh Cc 59 yur 59 sendo que vy distorcao de cisalhamento por efeito cortante efeito integral na secao transversal dh deslocamento transversal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra L Entretanto conforme dito anteriormente no caso de barras usuais com comprimento muito maior do que a altura h da secao transversal as deformacées provocadas por efeitos cortantes sdo desprezadas ELSEVIER 112 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha porque as defl exões associadas a deformações por cisalhamento são pequenas na presença das defl exões provocadas por efeitos de fl exão 514 Distorções por torção Um a barra submetida a uma solicitação de torção apresenta distorções de cisalhamento Féodosiev 1977 No caso de seções transversais com simetria radial círculos ou anéis circulares como indicado na Figura 56 as distorções são proporcionais ao raio r do ponto na seção não ocorrendo o empenamento da seção Timoshenko Gere 1994 isto é nesses casos é válida a hipótese de manutenção das seções transversais planas x y dx dx dϕ t γ r dr Figura 56 Distorção por torção em um elemento infi nitesimal de barra com seção circular A relação entre a rotação relativa por torção dϕ em um elemento infi nitesimal de barra e a correspon dente distorção de cisalhamento pode ser obtida ao se observar na Figura 56 que γ t dx r dϕ Dessa forma temse dx r d t ϕ γ 510 Nessa equação γ t distorção de cisalhamento por efeito de torção seção com simetria radial dϕ rotação relativa por torção de um elemento infi nitesimal de barra R r raio que defi ne a posição de um ponto no interior da seção circular L No caso de uma seção transversal que não apresenta simetria radial ocorre um empenamento quan do a barra é solicitada à torção Nesse caso a distorção não depende somente do giro relativo entre seções mas também de efeitos locais Para considerar a distorção por torção de forma integral no nível da seção transversal é feita uma aproximação considerandose ainda a manutenção das seções transversais pla nas Féodosiev 1977 Isso será abordado na Seção 544 52 RELAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO EM BARRAS O modelo matemático adotado para a representação do comportamento de estruturas reticuladas consi dera que as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas para a estrutura como um todo para cada barra ou nó isolado ou para qualquer porção isolada da estrutura Isso inclui o equilíbrio de um elemento infi nitesimal de barra Nesta seção serão indicadas relações diferenciais que resultam do equilíbrio con siderado em nível infi nitesimal para uma barra de pórtico plano Conforme mencionado anteriormente esse modelo matemático baseiase na teoria de vigas de Navier para barras submetidas à fl exão acrescida da consideração de efeitos axiais Bookconceitosindb 112 532010 083732 2 L Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 113 ELSEVIER Para deduzir as relacdes de equilibrio para um elemento infinitesimal de barra adotamse direcdes positivas de cargas distribuidas e esforcos internos A convengao de sinais para esforcos internos adotada neste livro esta descrita na Secao 36 A Figura 57 isola um elemento infinitesimal de barra e indica os sentidos positivos para forgas distribuidas e esforcos internos q Y M Q Ge MdM qx ee Spo ON Yj NdN x ie Lila 2 00 dx Figura 57 Equilibrio de um elemento infinitesimal de barra e diregdes positivas adotadas para cargas distribuidas e esforcos internos Na Figura 57 as seguintes entidades sao apresentadas px taxa de carregamento forca longitudinal distribuido na barra FL qx taxa de carregamento forca transversal distribuido na barra FL Nx esforco normal esforco interno axial ou longitudinal F Qx esforco cortante esforco interno transversal de cisalhamento F Mx momento fletor esforco interno de flexao FL O equilibrio de forcas no elemento infinitesimal nas direcdes horizontal e vertical considerando as direc6es positivas indicadas na Figura 57 resulta em dN YF 0 dNpxdx0 Fe Pe 511 x dQ SF 0 dQtqxdx0 ae A 512 O equilibrio de momentos em relacao ao ponto O do elemento infinitesimal Figura 57 desprezan do os termos de mais alta ordem proporciona a seguinte relacao dx d My 0 dM QdQ dx qx0 BE Qx 513 x As Equacoes 512 e 513 podem ser combinadas resultando em uma relacao de equilibrio entre o momento fletor em uma secao transversal e a taxa de carregamento transversal distribuido dM qx 514 Te 514 53 EQUILIBRIO ENTRE TENSOES E ESFORCOS INTERNOS A formulagao geral do modelo matematico para o comportamento de barras também considera relagdes de equilibrio no nivel da secao transversal da barra que associam tens6es com esforcos internos As Secg6es 511 e 512 mostram que os efeitos axiais e de flexao provocam deformacées normais na direcdo longitudinal da barra Como consequéncia aparecem tens6es normais longitudinais o devidas a esses dois efeitos como indica a Figura 58 ELSEVIER 114 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha x M N y z y dA σx y a x σ f y σx Seção transversal CG yi ys f σi σsf dx i σ s σ Figura 58 Decomposição das tensões normais longitudinais em parcelas devidas aos efeitos axial e de fl exão As tensões indicadas na Figura 58 são a σx tensão normal na seção transversal da barra devida ao efeito axial FL2 f σx tensão normal na seção transversal da barra devido à fl exão FL2 Tais tensões devem estar em equilíbrio com o esforço normal e o momento fl etor na seção trans versal isto é as resultantes das tensões normais longitudinais integradas ao longo da seção transversal devem ser iguais ao esforço normal e ao momento fl etor na seção transversal Na Figura 58 é considerado um caso de fl exão composta reta A fl exão é composta quando é com binada com o efeito axial A fl exão é reta quando ocorre em torno de um dos eixos principais da seção transversal no caso o eixo z tendo como consequência que cada fi bra identifi cada por uma ordenada y apresenta um valor constante de tensão normal Também é indicado na Figura 58 que as tensões normais longitudinais variam linearmente ao longo da altura da seção transversal Essa distribuição linear se deve a dois fatores Primeiro conforme apresentado nas Seções 511 e 512 pela hipótese da manutenção das seções transversais planas as deformações normais longitudinais variam linearmente ao longo da altura da seção O segundo fator é a consideração de um comportamento linear para o material Pela Figura 58 vêse que para o efeito axial as tensões são constantes ao longo da seção transver sal e para o efeito de fl exão pura as tensões normais são nulas na fi bra do centro de gravidade CG da seção Dessa forma as relações de equilíbrio entre as tensões normais longitudinais e o esforço normal e o momento fl etor são A N dA N dA a x A a x A f x σ σ σ 0 515 A f x A a x dA y M dA y σ σ 0 516 Na Equação 515 temse A área da seção transversal L2 O sinal negativo que aparece na Equação 516 devese à convenção de sinais adotada uma tensão normal positiva tração em uma fi bra inferior y negativo provoca um momento fl etor positivo como indicado na Figura 58 Analogamente as tensões cisalhantes devidas ao efeito cortante devem estar em equilíbrio com o esforço cortante As tensões cisalhantes nesse caso estão na direção do eixo transversal y Como mencio nado na Seção 513 o efeito cortante é em geral desprezado na determinação de deformações Quando levado em conta isso é feito de forma aproximada considerando uma tensão cisalhante média ao longo da seção e uma área efetiva para cisalhamento Timoshenko Gere 1994 Féodosiev 1977 χ τ τ A Q dA Q m y A c y 517 Bookconceitosindb 114 532010 083734 Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 115 sendo c τy componente da tensão de cisalhamento pontual na direção y FL2 m τy tensão de cisalhamento média por efeito cortante direção y FL2 χ fator de forma que defi ne a área efetiva para cisalhamento O fator de forma χ considera a distribuição não uniforme de tensões de cisalhamento na seção trans versal associadas ao esforço cortante Esse fator tem valor 12 para seções retangulares 109 para uma se ção circular e aproximadamente 1 para uma grande variedade de perfi s com forma I White et al 1976 Finalmente deve ser considerado o equilíbrio entre o momento torçor na seção transversal da barra e as correspondentes tensões de cisalhamento A Figura 59 apresenta a convenção de sinais para o momento torçor a seta dupla indica um momento em torno do eixo x que é positivo quando sai da seção transversal dx T T r dA Seção transversal CC t τ CC é o centro de cisalhamento que pode ou não coincidir com o centro de gravidade Figura 59 Momento torçor em um elemento infi nitesimal de barra e correspondente tensão de cisalhamento O efeito de torção como visto na Seção 514 provoca distorções de cisalhamento com correspon dentes tensões cisalhantes No caso de seções transversais com simetria radial círculos e anéis as ten sões cisalhantes por efeito de torção são tangenciais perpendiculares ao raio No caso geral entretanto a distribuição de tensões cisalhantes por torção depende da forma da seção transversal O equilíbrio entre essas tensões e o momento torçor na seção transversal estabelecem que o produto vetorial do vetor raio r pelo vetor tensão cisalhante t τ em um ponto da seção Figura 59 integrado ao longo da seção deve ser igual ao momento torçor A t dA r T τ 518 sendo T momento torçor esforço interno de torção FL r raio de um ponto distância ao centro de cisalhamento da seção transversal L τ t tensão de cisalhamento pontual por efeito de torção FL2 54 DESLOCAMENTOS RELATIV OS INTERNOS A seção anterior mostrou que os esforços internos esforço normal esforço cortante momento fl etor e momento torçor em uma seção transversal representam resultantes de tensões internas integradas ao longo da seção O modelo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deforma ções tenham representações integrais no nível de seção transversal Essas representações têm signifi cado físico e são chamadas de deslocamentos relativos internos Na verdade os deslocamentos relativos internos já foram introduzidos na Seção 51 e são resumidos a seguir du deslocamento axial longitudinal relativo interno de um elemento infi nitesimal de barra Figura 53 L Bookconceitosindb 115 532010 083735 116 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER d rotacao relativa interna por flexao de um elemento infinitesimal de barra Figura 54 R dh deslocamento transversal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra Figura 55 L dg rotacao relativa interna por torcdo de um elemento infinitesimal de barra Figura 56 R Com base nas relacg6es entre deformag6es e deslocamentos em barras Secdo 51 nas relagdes das leis constitutivas do material Secao 413 e nas relacdes de equilibrio em tenses na secao transversal e esforcos internos Secao 53 é possivel estabelecer relacdes entre os deslocamentos relativos internos e os esforcos internos 541 Deslocamento axial relativo interno provocado por esforco normal Para o efeito axial usando as Equacoes 515 43 e 52 temse que o deslocamento relativo interno provo cado por um esforco normal atuando em um elemento infinitesimal de barra Figura 510 é igual a du N No0AEANEA du dx 519 dx EA 619 WY I N N N Yj du FA dx LE 4 dx du Figura 510 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforco normal 542 Rotacdo relativa interna provocada por momento fletor Para 0 efeito de flexdo usando as Equacoes 516 43 e 53 temse uma relacao entre o momento fletor e a rotacao relativa de um elemento infinitesimal de barra Figura 511 do do MyofdayEefaa cyeZy dA MEI22 620 Hy i 40 M M Yj do ax LEE EI dx Figura 511 Rotacdo relativa interna por flexdo de um elemento infinitesimal de barra provocada por momento fletor Na Equacao 520 aparece um pardmetro geométrico de secdo transversal para 0 comportamento a flexao de barras l J ydA momento de inércia a flexao da seco transversal em relacdo ao eixo z L A Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 117 O momento de inércia à fl exão da seção transversal é uma propriedade geométrica que depende de sua orientação com respeito ao plano onde ocorre a fl exão da barra A orientação da seção transversal é importante para a resistência à fl exão de uma barra Por exemplo a Figura 512 mostra uma viga biapoia da com seção transversal retangular de duas orientações uma em pé e outra deitada A barra com a seção em pé vai apresentar deformações por fl exão menores menor curvatura do que com a seção deitada b h b h l P P l Figura 512 Comparação entre confi gurações deformadas de viga biapoiada com seção retangular em pé e deitada A resistência à fl exão é maior quanto maior o momento de inércia da seção transversal O momento de inércia quantifi ca um afastamento de pontos da seção em relação ao eixo neutro eixo que passa pelo centro de gravidade da seção Por isso uma seção em forma de I em pé é efi ciente para a resistência à fl exão Existem inúmeros manuais e livros que apresentam fórmulas e tabelas de valores de momentos de inércia e de outras propriedades geométricas para diversos tipos de seções transversais A partir da Equação 520 a rotação relativa interna por fl exão é dada por EI dx M d θ 521 Uma importante relação entre a curvatura da viga e o momento fl etor é obtida a partir das Equações 54 e 521 EI ρ M 1 522 A relação entre o momento fl etor e a curvatura de uma barra dada pela Equação 522 é abordada na convenção de sinais adotada Seção 36 Essa relação é explorada na Seção 510 para relacionar o aspecto da curva elástica com o diagrama de momentos fl etores 543 Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço cortante O deslocamento transversal relativo interno provocado por um esforço cortante Figura 513 é conside rado de forma aproximada de acordo com as Equações 517 46 e 59 GA dx Q dh dx G A dh Q A dx G dh A G A Q c m y χ χ χ χ γ χ τ 523 Bookconceitosindb 117 532010 083737 118 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Q LL 12 ty dh re dx St zs F dh dx Figura 513 Deslocamento transversal relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforco cortante 544 Rotacao relativa interna provocada por momento torcor Para o efeito de torcdo no caso de secGes transversais circulares ou anelares a rotacdo relativa interna provocada por um momento torcor pode ser obtida com base nas Equacoes 518 46 e 510 d d T T fe tdA fer rdA G2 rdA ST GJ dgdx 524 A A a ax dx GJ sendo Jp Jreaa momento polar de inércia da secao transversal circular ou anelar L A Para sec6es transversais sem simetria radial caso geral ocorre um empenamento da secdo quando solicitada a torcao Como dito na Secao 514 é feita uma aproximacao de forma a considerar o efeito de torcao de forma integral para a secao transversal Isso resulta em uma propriedade da secao transversal equivalente ao momento polar de inércia chamada de momento de inércia a torao que depende da forma da secao A rotacao relativa interna provocada por um momento torcor em um elemento infinitesimal de barra Figura 514 considerando essa propriedade da secao transversal é T dg dx 525 GI 525 sendo J momento de inércia a torcdo da secdo transversal L dp T dpg tt dx T GI an Figura 514 Rotacdo relativa interna por torgdo de um elemento infinitesimal de barra provocada por momento torcor Livrostexto da area definem expressdes ou tabelas para o momento de inércia a torcao em funcao do tipo de secdo transversal Podese citar por exemplo o livro de Siissekind 19772 e o de Féodosiev 1977 Uma caracteristica importante dessa propriedade geométrica de secées transversais que os valo res para perfis de paredes abertas sao muito baixos quando comparados com perfis de paredes fechadas tubos Isso pode ser entendido com base na distribuicdo de tensdes de cisalhamento provocadas por torcao nesses dois tipos de secdo transversal A Figura 515 mostra duas sec6es transversais com mesmas dimens6es sendo a secao da esquerda um perfil aberto e a da direita um perfil fechado Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 119 df da Figura 515 Comparação entre distribuição de tensões de cisalhamento devidas à torção de barras com perfi l aberto e fechado Como indicado na Figura 59 o momento torçor que atua em uma seção transversal está associado a tensões de cisalhamento A distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da seção é caracterizada por um fl uxo de tensões de cisalhamento que depende da forma da seção McGuire 1968 Observase na Figura 515 que o fl uxo de tensões de cisalhamento no perfi l aberto é interrompido pela abertura na seção enquanto na seção fechada o fl uxo circula pelo anel do perfi l mantendo o mesmo sentido tangencial Para um dado valor do momento torçor atuante as intensidades das tensões cisalhantes geradas dependem do braço de alavanca entre tensões de cisalhamento em pontos da seção quanto maior o braço de alavanca menor a intensidade das tensões No caso do perfi l aberto o braço de alavanca da é da ordem de grandeza da espessura do perfi l Já no perfi l fechado o braço de alavanca df é da ordem de grandeza das dimensões globais da seção transversal Portanto as tensões de cisalhamento geradas no perfi l aberto são muito maio res do que as geradas no perfi l fechado O mesmo ocorre para as distorções provocadas por torção Por isso a capacidade de resistência à torção dos perfi s fechados é muito maior do que a dos perfi s abertos Féodosiev 1977 faz uma interessante comparação com base na chamada analogia da membrana atribuída a Prandtl entre o comportamento de barras com seções transversais abertas e fechadas subme tidas a torção 545 Deslocamentos relativos internos provocados por variação de temperatura Variações de temperatura provocam deformações em estruturas que estão associadas à dilatação ou ao encolhimento de seu material A variação de temperatura pode ser uniforme ou apresentar gradientes térmicos No caso de estruturas reticuladas as diversas barras podem ter variações distintas de tempera tura É possível também que uma barra tenha variação de temperatura entre a face inferior e a superior Esta seção defi ne o modelo idealizado usualmente para representar as deformações provocadas por va riações de temperatura em barras Tal modelo considera o efeito isolado de variações de temperatura em barras sem considerar defor mações provocadas pelos esforços internos causados pelos efeitos térmicos Portanto podese dizer que o modelo descrito corresponde às deformações livres que uma estrutura isostática sofre pelo efeito térmi co uma vez que variações de temperatura não provocam esforços internos em uma estrutura isostática Conforme comentado no capítulo anterior Seção 45 por ter o número exato de vínculos para ser está vel uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar um alongamento ou encurtamento associado a uma variação de temperatura Isso signifi ca que a variação de temperatura provoca deforma ções sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática Por outro lado variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos No caso de barras as deformações provocadas pelo efeito térmico são caracterizadas pelos desloca mentos relativos internos devidos à variação de temperatura duT deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura L dθT rotação relativa interna por fl exão devida à variação de temperatura R Bookconceitosindb 119 532010 083739 ELSEVIER 120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Por hipótese considerase que o deslocamento transversal relativo interno devido à variação de temperatura é nulo 0 dhT Considere inicialmente um exemplo simples de uma viga biapoiada que sofre um aquecimento uniforme de temperatura T como indicado na Figura 516 O material apresenta um coefi ciente de dilatação térmica α 1 l T l du l T α Δ 0 T C x y dx dx u u duT T dx duT α Figura 516 Viga biapoiada com variação uniforme de temperatura Nesse caso a variação de comprimento de um elemento infi nitesimal de barra de comprimento inicial dx é T dx duT α Agora considere o caso de uma viga que sofre um aquecimento T nas fi bras inferiores e um resfriamento T nas fi bras superiores como indicado na Figura 517 l α T dx x y T C T C dx x dx h2 h2 dθ T h T dx d T α θ 2 α T dx alongamento da fibra inferior encurtamento da fibra superior T T Figura 517 Viga biapoiada com variação transversal de temperatura A viga tem uma seção transversal tal que o centro de gravidade por onde passa o eixo longitudinal x se situa no meio da altura h da seção Para pequenos deslocamentos um ângulo em radianos pode ser aproximado à sua tangente Portanto com base na Figura 517 a rotação relativa interna por fl exão devida a essa variação transversal de temperatura é dx h T d T α 2 θ No caso geral indicado na Figura 518 as fi bras superiores e inferiores da barra sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma posição qualquer ao longo da altura da seção transversal defi nida por sua distância y em relação à base da seção Para a defi nição dos deslo camentos relativos internos devidos a uma variação genérica de temperatura são adotadas as seguintes hipóteses além de dhT 0 Bookconceitosindb 120 532010 083741 Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 121 A temperatura varia linearmente ao longo da altura da seção transversal da fi bra inferior para a superior A variação de temperatura da fi bra inferior é ΔTi e a da fi bra superior é ΔTs A con sequência dessa hipótese é que a seção transversal da barra permanece plana com a deformação provocada pela variação de temperatura considerando um material homogêneo O deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura duT corresponde ao alongamento ou encurtamento da fi bra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal A variação de temperatura nessa fi bra ΔTCG é obtida por interpolação linear de ΔTi e ΔTs α ΔTi dx y dx x h α ΔTs dx alongamento da fibra inferior alongamento da fibra superior dx T du CG T α Δ y ΔTs ΔTi Figura 518 Deformação de um elemento infi nitesimal de barra por variação de temperatura Com base na Figura 518 os deslocamentos relativos internos para uma variação genérica de tem peratura são dx T du CG T α Δ 526 dx h T T d s i T Δ Δ α θ 527 O sinal da rotação relativa interna da Equação 527 depende dos valores de ΔTi e ΔTs Conforme in dicado na Figura 518 quando ΔTi é maior que ΔTs no sentido algébrico dθ T tem sentido antihorário e é convencionada positiva Visto de outra maneira o sinal de dθ T é positivo quando existe alongamento da fi bra inferior da barra em relação à fi bra superior O sinal é negativo quando existe encurtamento da fi bra inferior em relação à fi bra superior Os parâmetros que aparecem nas Equações 526 e 527 são α coefi ciente de dilatação térmica do material 1 h altura da seção transversal da barra L Δ iT variação de temperatura na fi bra inferior da barra ΔTs variação de temperatura na fi bra superior da barra ΔTCG variação de temperatura na fi bra do centro de gravidade da seção transversal da barra 55 TENSÕES NORMAIS PROVOCADAS POR EFEITOS AXIAL E DE FLEXÃO As Seções 511 512 e 53 mostram que na idealização do comportamento de barras o efeito axial e o efeito de fl exão provocam deformações e tensões normais à seção transversal Portanto os efeitos axial e de fl exão se sobrepõem para a distribuição de tensões normais ao longo da seção transversal como indicado na Figura 58 O efeito axial provoca uma distribuição uniforme de tensões normais Da Equação 515 temse Bookconceitosindb 121 532010 083743 ELSEVIER 122 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A N a σx 528 A distribuição de tensões normais provocada por fl exão é linear e é obtida utilizando a relação entre tensões normais e deformações normais dada pela Equação 43 e a relação entre a deformação normal por fl exão e a curvatura dada pela Equação 55 ρ σ E y y f x 529 Utilizando a Equação 522 chegase à expressão para a distribuição de tensões normais provocada por um momento fl etor M em uma seção transversal I M y y f x σ 530 Com base na Equação 530 podese determinar a tensão no bordo inferior e a tensão no bordo supe rior de uma seção transversal submetida a um momento fl etor s s sf W M I M y σ 531 i i f i W M I M y σ 532 Nas Equações 531 e 532 o sinal do momento fl etor M é positivo quando traciona as fi bras inferiores convenção usual adotada e os seguintes parâmetros são defi nidos Figura 58 σsf tensão normal por fl exão no bordo superior da seção transversal FL2 f σi tensão normal por fl exão no bordo inferior da seção transversal FL2 ys máxima distância do bordo superior à linha neutra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal L iy máxima distância do bordo inferior à linha neutra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal L s s y I W módulo de resistência à fl exão superior da seção transversal L3 i i y I W módulo de resistência à fl exão inferior da seção transversal L3 A distribuição da tensão normal na seção transversal resultante do efeito axial combinado com efeito de fl exão é obtida a partir das Equações 528 e 530 I M y A N x y σ 533 Finalmente têmse as tensões normais do efeito combinado nos bordos da seção transversal s s W M A σ N 534 i i W M A σ N 535 sendo Figura 58 σs tensão normal combinando os efeitos axial e de fl exão no bordo superior da seção transversal FL2 σi tensão normal combinando os efeitos axial e de fl exão no bordo inferior da seção transversal FL2 56 EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARA O COMPORTAMENTO AXIAL O comportamento axial de uma barra pode ser consolidado em uma equação diferencial que leva em conta para um elemento infi nitesimal de barra as relações de equilíbrio compatibilidade e lei constitu Bookconceitosindb 122 532010 083746 Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 123 tiva do material A Equação 511 expressa o equilíbrio do elemento infi nitesimal de barra relacionando o gradiente do esforço interno axial Nx com a taxa de força axial distribuída aplicada px A Equação 52 estabelece uma relação de compatibilidade entre a deformação normal axial ax εx e o deslocamento axial ux E a Equação 43 da lei constitutiva do material relaciona tensão normal ax σx com deformação normal ax εx ambas na direção axial As relações de compatibilidade e lei constitutiva estão combinadas na Equação 519 du dx EA x N x sendo E o módulo de elasticidade do material e Ax a área da seção transversal que pode variar ao longo do comprimento da barra Essa equação também considera a relação de equilí brio A x x N x a x σ entre tensão normal e o esforço interno axial Equação 515 A substituição da Equação 519 na Equação 511 resulta na equação diferencial do comportamento axial p x dx dx EA x du d 536 Para uma barra prismática com área de seção transversal que não varia ao longo de seu compri mento temse EA x p dx d u 2 2 537 Com base na Equação 537 observase que uma barra com seção transversal constante e sem carre gamento axial tem um deslocamento axial que varia linearmente 57 EQUAÇÃO DE NAV IER PARA O COMPORTAMENTO À FLEXÃO O comportamento de vigas à fl exão foi formalizado no início do século XIX por Navier As relações di ferenciais de equilíbrio e compatibilidade mostradas neste capítulo para o comportamento à fl exão de vigas fazem parte dessa formalização a chamada teoria de vigas de Navier A Figura 519 faz um resumo de todas as expressões associadas a essa teoria mostrando o relacionamento entre elas Essa teoria que despreza deformações devidas ao efeito cortante estabelece uma equação diferen cial que relaciona os deslocamentos transversais vx de uma viga com a taxa de carregamento distri buído transversalmente qx Para se chegar a essa equação diferencial primeiro é obtida uma relação en tre o momento fl etor na seção transversal e a segunda derivada do deslocamento transversal em relação a x Isso é deduzido utilizando as Equações 57 e 522 considerando o caso geral de momento de inércia I variável ao longo da barra 2 2 EI x x M dx d v 538 A Equação 538 relaciona o momento fl etor em uma seção transversal da viga com a curvatura da viga que pode ser aproximada por d2vdx2 no caso de pequenos deslocamentos Combinando a Equação 538 com a Equação 514 chegase a 2 2 2 2 q x dx EI x d v dx d 539 No caso em que a barra é prismática momento de inércia I da seção transversal constante ao longo da barra temse EI x q dx d v 4 4 540 Bookconceitosindb 123 532010 083746 ELSEVIER 124 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha TEORIA DE VIGAS DE NAVIER dx x θ v qx dx M dM Q dQ M Q q O Equilíbrio do elemento Fy 0 qx dx dQ MO 0 Qx dx dM 2 2 q x dx d M Deformação do elemento dx y x d dx d d y δ θ x y z y dA f y σ x Seção transversal CG Equilíbrio entre momento fletor e tensões normais A f x dA y M σ tanθ θ x dx dv θ Relação tensão vs deformação f x f x Eε σ dx y d f x θ ε dx f x δ ε A dx y dA d E y M θ dx d y dA E M A θ 2 2 2 EI x x M dx d v 2 2 2 2 q x dx EI x d v dx d EI x q dx d v 4 4 Equação de Navier momento de inércia constante Pequenos deslocamentos dx y d E f x θ σ dx EI d M θ y dx d v f x 2 2 ε EI dx M d θ θ θ y v E A dA y dA I 2 q Q M v θ θ d δ f x ε f x σ Figura 519 Resumo da teoria de vigas de Navier A Equação 539 ou sua outra versão Equação 540 para inércia constante é chamada de equação de Navier Essa equação engloba no nível de um elemento infi nitesimal de barra todas as condições que o modelo estrutural tem de atender As Equações 51 e 53 consideram condições de compatibilidade a Bookconceitosindb 124 532010 083748 eL Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 125 ELSEVIER Equacgao 43 considera a lei constitutiva do material a Equacgdo 514 considera condigées de equilibrio entre carregamento transversal distribuido esforco cortante e momento fletor ea Equacao 516 considera o equilibrio entre tens6es normais e momento fletor Podese ainda considerar a relacao que existe entre o deslocamento transversal e o esforco cortante em uma barra obtida pelas Equacoes 513 e 538 considerando I constante dv QQ a EI 541 58 COMPARACAO ENTRE VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS Na Secao 45 é feita uma comparacao entre o comportamento de estruturas isostaticas e hiperestaticas Nesta secao tal estudo é aprofundado para vigas isostaticas e vigas hiperestaticas com base na equacao de Navier Essa comparacao baseiase em notas de aula do professor Jorge de Mello e Souza em um curso de nivelamento para ingresso no mestrado em engenharia civil da PUCRio em 1978 Considere por exemplo as vigas isostaticas mostradas na Figura 520 A andlise do equilibrio de um elemento infinitesimal de barra resultou na Equagao 514 que relaciona o momento fletor Mx em uma secao transversal da barra com a taxa de carregamento transversal distribuido qx Essa equacao integrada duas vezes em relacdo a x ao longo da viga fornece Mx qxdx bx b 542 As constantes de integracao b e b ficam definidas pelas condicdes de contorno em termos de forcas ou momentos nas extremidades das vigas A viga biapoiada da Figura 520a apresenta duas condic6ées de contorno em momentos momentos fletores nulos nas extremidades M0 0 e MI 0 Ea viga engastada e livre da Figura 520b apresenta uma condicdo de contorno em momento momento fletor nulo na extre midade livre e outra em forga esforco cortante nulo na extremidade livre MI 0 e Q 0 hy hy TT qx im qx ho Ax Y x KK K M0 0 Ml 0 Ml 0 Qi 0 a b Figura 520 Duas vigas isostaticas e suas duas condicdes de contorno em termos de forcas ou momentos Como pela Equacao 513 dMdx Qx podese concluir que as duas vigas isostaticas da Figu ra 520 tém condides de contorno suficientes para a determinacao das constantes de integracao b e b Assim os momentos fletores e os esforcos cortantes ficam definidos nas vigas isostaticas utilizando so mente condicoées de equilibrio No caso de vigas hiperestaticas como as indicadas na Figura 521 nao existem duas condicdes de equilibrio em forcas ou momentos disponiveis para a determinacao das constantes b e b da Equacao 542 Portanto utilizando somente equilibrio nao é possivel resolver o problema 126 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER hy hy TIT qx Tr qx x x KK K v0 0 vl 0 v0 0 vl 0 0 0 M 0 0 0 Al 0 a b Figura 521 Duas vigas hiperestaticas e suas quatro condicdes de contorno em termos de deslocamentos transversais ou de suas derivadas Entretanto as condicdes de compatibilidade e leis constitutivas devem ser consideradas para resol ver as vigas hiperestaticas Essas outras condic6es estao incluidas na equacgao de Navier Equacao 540 Considerando que tais vigas tem modulo de elasticidade E e momento de inércia I da secdo transversal constantes a equacao de Navier integrada quatro vezes em relacao a x ao longo da viga fornece vx fff x4 403x e9x7 C4xXCq 543 Considerando as Equac6es 51 e 538 observase que existem para as vigas da Figura 521 quatro condicées de contorno em termos de deslocamentos transversais vx ou de uma de suas derivadas dudx Ax e dvdx MxEI portanto é possivel determinar as quatro constantes de integracgdo da Equa cao 543 Uma vez integrada essa equacdo e com o conhecimento das constantes de integracao os esfor cos internos momentos fletores e esforcos cortantes podem ser encontrados pelas Equacoées 538 e 541 Na verdade os métodos basicos da andlise estrutural nado resolvem vigas hiperestaticas dessa ma neira relativamente complexa A indicacao da solucao dessa forma é feita apenas para demonstrar que para resolver uma estrutura hiperestatica é sempre necessario considerar além do equilibrio as condi cdes de compatibilidade entre deslocamentos e deformacées e a lei constitutiva do material 59 A ESSENCIA DA ANALISE DE ESTRUTURAS RETICULADAS A secao anterior fez uma comparacao entre vigas isostaticas e hiperestaticas simples apenas um vao com respeito as condicdes que o modelo estrutural tem de atender Esse estudo pode ser generalizado para quadros planos o que é feito nesta secao Para tanto algumas definicdes baseadas no livro de White et al 1976 serao feitas a seguir Considere uma estrutura reticulada isostatica ou hiperestatica submetida a um conjunto de cargas F F campo de forgas externas solicitagdes e reagdes de apoio atuando sobre uma estrutura Essas forcas externas geram um conjunto de forcas internas f f campo de esforcos internos N M Q associados em equilibrio com F As forgas externas e os esforcos internos formam um sistema denominado FE f sistema de forgas com forgas externas F e esforcos internos f em equilibrio O sistema de forcas F f caracteriza o comportamento de uma estrutura quanto as condicdes de equi librio Como visto nas Secées 41 e 45 no caso de uma estrutura hiperestatica para um dado campo de forgas externas F existem infinitas distribuicdes de esforcos internos que satisfazem as condicdes de equilibrio No caso de uma estrutura isostatica s6 existe uma possivel distribuicao de esforcos internos que satisfaz o equilibrio Isso pode ser exemplificado para as estruturas mostradas na Figura 522 com base no que é exposto na Secao 45 O campo de forcas externas F nessas estruturas é formado pela carga P aplicada e pelas nea tlle Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 127 correspondentes reacdes de apoio Os esforgos internos sdo os correspondentes diagramas de esforco normal esforcgo cortante e momento fletor Na figura s6 sao mostrados diagramas de momentos fletores P Hn P Hh Ve l iy P4Hh H H prt a top Prat b trp Figura 522 Quadros isostatico a e hiperestatico b reacdes de apoio e diagramas de momentos fletores O quadro isostatico da Figura 522a s6 tem um possivel diagrama de momentos fletores que satisfaz as condicées de equilibrio Entretanto considerando apenas condic6es de equilibrio o quadro hiperesta tico da Figura 522b tem infinitos possiveis valores para as reacdes de apoio horizontais H isto é existem infinitos diagramas de momentos fletores validos satisfazendo o equilibrio Podese resumir isso da seguinte maneira Uma estrutura estaticamente indeterminada apresenta infinitos sistemas de forcas Ff que satisfazem as condicées de equilibrio Uma estrutura estaticamente determinada s6 tem um pos sivel sistema de forcas F f O fato de uma estrutura isostatica s6 ter um Unico sistema de forcas F f que satisfaz as condi cdes de equilibrio traz como consequéncia que os esforcos internos e as reacdes de apoio nesse tipo de estrutura independem das propriedades constitutivas dos materiais e das caracteristicas geométricas das secdes transversais Em outras palavras a distribuicao de esforcos em estruturas isostaticas independe da rigidez relativa de seus elementos estruturais Por outro lado a distribuicao de esforcos em uma estru tura hiperestatica depende das dimensées relativas entre secdes transversais de suas barras e da rigidez relativa entre os materiais que compdem os membros da estrutura Para caracterizar uma estrutura quanto as condicées de compatibilidade as seguintes entidades sao definidas D campo de deslocamentos externos elastica de uma estrutura d campo de deslocamentos relativos internos du d0 dh compativeis com D Os deslocamentos relativos internos d caracterizam as deformac6es internas de uma estrutura para um elemento infinitesimal de barra como indica a Secao 54 Os deslocamentos relativos internos podem ser interpretados como deformacoes internas generalizadas definidas no nivel de secao transversal Os deslocamentos externos e os deslocamentos relativos internos formam um sistema denominado Dd configuragao deformada com deslocamentos externos D e deslocamentos relativos internos d compativeis Por definicdo para uma dada estrutura nao existe nenhuma relacao de causaefeito entre um sistema de forcas F f e uma configuracao deformada Dd isto é forcas e deslocamentos nao estao associados As unicas restricdes sao F f tem de satisfazer o equilibrio e Dd tem de satisfazer a compatibilidade As estruturas em geral tém infinitas configuragdes deformadas Dd validas isto é que satisfazem as condicdes de compatibilidade Quando isso ocorre a configuracdo deformada é dita cinematicamente indeterminada 128 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Por exemplo a Figura 523 apresenta configuragdes deformadas de um quadro isostatico e de um quadro hiperestatico Nos dois casos qualquer configuracao deformada que satisfaca as condicdes de compatibilidade com respeito aos vinculos externos e as condicdes de continuidade interna é valida Nao é dificil identificar que existem infinitas configuragdes deformadas validas see oN i Oe I h a hi b 1 a kK b s i kk b nes nea relativos internos relativos internos dua dO dha dup dQ dhy Figura 523 Quadros isostatico a e hiperestatico b e configuragdes deformadas Nao se deve confundir uma configuracao deformada cinematicamente determinada com uma es trutura estaticamente determinada As configuragdes deformadas de estruturas isostaticas como a da Figura 523a sao cinematicamente indeterminadas Existem casos particulares de estruturas que so tém uma configuracao deformada Dd possivel Nesse caso a configuragdo deformada é dita cinematicamente determinada Um exemplo desse tipo de configuracao deformada é o sistema hipergeométrico estrutura auxiliar utilizada na metodologia do método dos deslocamentos apresentado na Secao 422 Geralmente uma configuracao deformada cine maticamente determinada nao corresponde a uma estrutura real mas a uma abstracao sobre o compor tamento de uma estrutura durante o processo de andlise como no caso de um sistema hipergeométrico isso sera visto em detalhes no Capitulo 10 sobre o método dos deslocamentos Com base nas definicdes anteriores podese fazer a seguinte afirmacao com respeito a uma estrutu ra hiperestatica Umaestrutura hiperestatica tem infinitos sistemas de forcas F f que satisfazem o equilibrio e infi nitas configuracdes deformadas Dd que satisfazem a compatibilidade No entanto sé existe uma solucao para o problema aquela que satisfaz simultaneamente o equilibrio e a compatibilidade No caso de uma estrutura isostatica como s6 existe um possivel sistema de forcas F f que satisfaz o equilibrio este também esta associado a uma solugado que satisfaz a compatibilidade Podese fazer a seguinte afirmacao sobre uma estrutura isostatica Uma estrutura isostatica s6 tem um sistema de forcas F f que satisfaz o equilibrio e a corres pondente configuracdo deformada Dd satisfaz automaticamente a compatibilidade Intuitivamente isso pode ser entendido se for considerado que uma estrutura isostatica tem o nt mero exato de vinculos para ser estavel Como visto na Segao 45 essa caracteristica faz com que a estru tura isostatica se acomode a modificagdes de posicao de vinculos externos ou a mudangas de vinculos internos sem exercer nenhuma resisténcia Assim sendo a estrutura isostatica sempre satisfaz automati camente as condicdes de compatibilidade Podese observar que a andlise de estruturas hiperestaticas é mais complexa pois as sec6es transversais nao sao conhecidas na fase inicial do projeto Dessa forma a andlise e o dimensionamento de estruturas hi Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 129 perestáticas muitas vezes são realizados em ciclos No primeiro ciclo são adotadas dimensões iniciais para as seções baseadas em algum tipo de heurística ou em experiência Em cada ciclo subsequente partese de dimensões para seções do ciclo anterior fazse uma análise para obter a distribuição de esforços e executase o dimensionamento O processo converge quando um ciclo não modifi ca dimensões de seções do ciclo anterior Por outro lado a estrutura hiperestática proporciona um controle dentro de certos limites sobre a distribuição dos esforços internos conforme discutido na Seção 45 De maneira geral membros estruturais mais rígidos tanto no que se refere a seções transversais com dimensões maiores quanto a materiais mais rígidos tendem a atrair mais esforços internos Isso depende de muitos fatores e uma argumentação um pouco mais profunda sobre tal característica de estruturas hiperestáticas será feita na próxima seção Os dois métodos básicos da análise estrutural foco principal deste livro diferem quanto à estratégia adotada para chegar à solução da estrutura que deve satisfazer simultaneamente a condições de equilí brio e de compatibilidade O método das forças também chamado de método da compatibilidade tem como estratégia procurar dentre todos os sistemas de forças F f que satisfazem o equilíbrio aquele que tam bém faz com que a compatibilidade seja satisfeita O método dos deslocamentos também chamado de método do equilíbrio tem como estratégia procurar dentre todas as confi gurações deformadas D d que satisfazem a compatibilidade aquela que também faz com que o equilíbrio seja satisfeito Podese observar que não faz sentido procurar a solução de uma estrutura estaticamente determi nada isostática pelo método das forças pois só existe um sistema de forças F f válido para esse tipo de estrutura De maneira análoga não faz sentido procurar a solução de uma estrutura cinematicamente determinada pelo método dos deslocamentos pois só existe uma confi guração deformada D d válida para esse tipo de estrutura que praticamente não existe como estrutura real É interessante observar que o método dos deslocamentos resolve uma estrutura isostática da mesma maneira que resolve uma estrutura hiperestática porque em geral todas as estruturas são cinematica mente indeterminadas infi nitas confi gurações deformadas válidas 510 ANÁLISE QUALITATIVA DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS E CONFIGURAÇÕES DEFORMADAS EM VIGAS O projeto e a análise de estruturas formam uma atividade que muitas vezes pode ser trabalhosa mesmo no caso de estruturas isostáticas para as quais apenas considerações sobre equilíbrio estático são neces sárias para determinar a distribuição de esforços na estrutura No caso de estruturas hiperestáticas o desafi o é maior ainda porque a distribuição de esforços depende de dimensões das seções trans versais dos membros estruturais que não são conhecidas a priori conforme comentado anteriormente Tanto no caso de análise de estruturas isostáticas quanto no de estruturas hiperestáticas o processo pode ser facilitado se o analista estrutural tiver uma noção dos aspectos dos diagramas de esforços internos que re sultam da análise Em algumas situações uma análise aproximada pode ser executada com base nos aspectos dos diagramas Por exemplo a partir do aspecto do diagrama de momentos fl etores de uma estrutura hiperes tática podese identifi car seções transversais nas quais o momento fl etor é nulo e transformar a estrutura em uma estrutura isostática através da introdução de rótulas em algumas dessas seções Dessa forma se poderia analisar com uma aproximação razoável a estrutura hiperestática utilizando somente condições de equilíbrio O livro de White Gergely e Sexsmith 1976 contém um capítulo dedicado a esse tipo de análise Esta seção bastante motivada por esses autores apresenta características dos diagramas de esforços internos e da confi guração deformada de vigas Essas características podem auxiliar o traçado aproxima Bookconceitosindb 129 532010 083754 130 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER do dos diagramas As caracteristicas apresentadas baseiamse principalmente nas relagées diferenciais da idealizacao do comportamento de barras a flexao resumidas neste capitulo Tal apresentacao iniciase com os aspectos dos diagramas de esforcos cortantes e momentos fletores de uma viga biapoiada com duas forcas concentradas indicados na Figura 524 Sao ressaltados o relacio namento entre esses diagramas e a relacao deles com o carregamento Trecho horizontal pois AQ 0 dx carga distribuida nula Descontinuidade com valor da 2 A forca concentrada aplicada Descontinuidade com Xx valor da reacgio de KK Wa 7 Descontinuidade com apoio concentrada valor da reacio de Valor maximo de momento apoio concentrada fletor pois esforco cortante at troca de sinal neste ponto Reacao concentrada by LD Reagao concentrada para cima para cima bico para cima c i bico para cima a Q 0 momento fletor diminui de valor Q 0 momento fletor Fora concentrada para aumenta de valor on baixo bico para baixo Figura 524 Caracteristicas dos diagramas de esforcos cortante e de momentos fletores para uma viga biapoiada com duas forcas concentradas Observase na Figura 524 que o diagrama de esforcos cortantes apresenta patamares horizontais e que o diagrama de momentos fletores é formado por uma linha poligonal trechos lineares Isso se deve aos tre chos descarregados entre reacoes de apoio e cargas aplicadas Em cada trecho com base nas Equacoes 512 e 513 temse que 0 esforco cortante é constante dQdx 0 eo momento fletor varia linearmente dMdx Q Também com base nas mesmas relacées diferenciais nos pontos onde atua uma forca transversal con centrada tanto reacdo de apoio quanto carga aplicada o diagrama de esforcos cortantes da Figura 524 apresenta descontinuidades e o diagrama de momento fletores apresenta bicos isto é pontos onde ha uma mudangea de inclinacdo Observe que as descontinuidades do diagrama de esforcos cortantes quan do percorrido da esquerda para a direita assumem 0 valor e o sentido da forca atuante nos apoios onde atuam reac6es para cima 0 salto do diagrama é para cima e nos pontos que tém forcas aplicadas para bai xo o salto é para baixo Além disso observe que os bicos do diagrama de momentos fletores seguem os sentidos das forgas concentradas reacao forca para cima nos apoios implica bico para cima imaginando um diagrama com prolongamento nulo fora do dominio da viga indicado pela linha pontilhada e forca aplicada para baixo resulta em bico para baixo Observase que a inclinagdo do diagrama de momentos fletores esta relacionada com 0 sinal do esforco cortante no trecho quando o esforco cortante é positivo o momento fletor aumenta de intensidade da esquerda para a direita quando o esforo cortante é negativo o momento fletor diminui de intensidade Finalmente verificase que o valor maximo de momento fletor ocorre na secao transversal onde ocorre a mudanga de sinal do diagrama de esforcos cortantes eee aes FOB 2 Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 131 ELSEVIER As Equac6ées 512 e 513 também fornecem subsidios para 0 entendimento dos aspectos dos diagra mas de esforcos cortantes e de momentos fletores de uma viga biapoiada com balancos submetida a uma forga uniformemente distribuida para baixo como ilustrado na Figura 525 qa Descontinuidade com valor da dx 4 reacdo de apoio concentrada Todos os trechos tém a mesma inclinacao on a Tangente horizontal pois Valores minimos locais de momento Tangente horizontal pois esforco cortante é nulo na fletor pois o esforco cortante troca de esforco cortante é nulo na extremidade sinal nestas secoes extremidade Reacao concentrada para cima bico para cima d2M 2 Valor maximo local de dx 4 momento fletor pois o esforco Todos os trechos tém concavidade para cima cortante é nulo nesta segao Figura 525 Caracteristicas dos diagramas de esforcos cortante e de momentos fletores para uma viga biapoiada com balancos submetida a uma forca uniformemente distribuida O diagrama de esforcos cortantes mostrado na Figura 525 apresenta um aspecto de serrilhado cujos trechos tém todos a mesma inclinagdo que decresce da esquerda para a direita pois dQdx q carga para baixo As descontinuidades desse diagrama nos apoios apresentam o valor das reacdes de apoio e tém o sentido para cima porque as reac6es tém essa direcado Associado a isso 0 diagrama de momentos fletores tem bicos para cima nos pontos dos apoio No vao entre apoios o diagra ma de momentos fletores apresenta um maximo local na secao transversal onde o esforco cortante é nulo pois dMdx Q Os valores de momento fletor nas secdes transversais dos apoios correspon dem a valores de minimos pois 0 esforco cortante nessas secoes troca de sinal negativo para positivo percorrendo da esquerda para a direita Também por causa da relacao dMdx Q o diagrama de momentos fletores apresenta tangentes horizontais na extremidade livre dos balancos porque nessas secoes transversais o esforco cortante é nulo Finalmente observase que todos os trechos do diagrama de momentos fletores apresentam concavidade para cima Como o diagrama de momentos fletores é desenhado de forma invertida valores positivos para baixo a concavidade para cima esta associada a Mdx 0 De fato considerando que a carga uniformemente distribuida é voltada para baixo e portanto negativa pela Equacao 514 temse dMdx q Os aspectos dos diagramas de esforcos cortantes e momentos fletores dos exemplos anteriores de vigas biapoiadas foram analisados levando em conta apenas relacées diferenciais de equilibrio Equa cdes 512 513 e 514 Uma importante relacado diferencial que envolve equilibrio e compatibilidade em ELSEVIER 132 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha nível infi nitesimal traz também subsídios para identifi car o aspecto do diagrama de momentos fl etores É a relação entre a segunda derivada da elástica e o momento fl etor dada pela Equação 538 ou entre a curvatura da elástica e o momento fl etor dada pela Equação 522 EI M dx d v ρ 1 2 2 Nessa relação ρ é o raio de curvatura vx é o deslocamento transversal elástica Mx é o momento fl etor e EI é o parâmetro de rigidez à fl exão da viga produto do módulo de elasticidade do material pelo momento de inércia à fl exão da seção transversal A associação entre curvatura ou concavidade da elástica e o momento fl etor é importante porque é possível identifi car intuitivamente o aspecto da elás tica para alguns modelos estruturais como vigas contínuas e pórticos simples Isso ajuda no traçado do aspecto do diagrama de momentos fl etores Por exemplo quando a concavidade da elástica é para cima d2vdx2 0 o momento fl etor é positivo Isso é consistente com o que se observa na Seção 36 que asso cia um momento fl etor positivo à tração nas fi bras inferiores da barra e à compressão na fi bras superiores concavidade para cima ou convexidade para baixo Figura 321 Quando a concavidade é para baixo d2vdx2 0 ocorre o inverso fi bras superiores tracionadas e momento fl etor negativo Outra observação importante é que nas seções transversais da barra onde ocorre mudança de con cavidade raio de curvatura ρ tende a infi nito a concavidade tem valor nulo e o momento fl etor também é nulo Os pontos de uma barra onde isso ocorre são chamados de pontos de infl exão Na identifi cação intuitiva do aspecto da elástica a equação de Navier Equação 540 para barras com inércia constante também pode fornecer algum subsídio Para o caso de trechos de barras sem carre gamento transversal temse que d2Mdx2 0 e d4vdx4 0 isto é para trechos descarregados o momento fl etor varia linearmente observado anteriormente e o deslocamento transversal varia cubicamente po linômio do terceiro grau que satisfaz d4vdx4 0 Portanto em um trecho descarregado de barra não pode ocorrer mais do que um ponto de infl exão isso é uma propriedade de um polinômio do terceiro grau Para esclarecer esse fato considere como exemplo a viga biapoiada mostrada na Figura 526 sem carregamento transversal e com momentos aplicados nas extremidades White et al 1976 Configuração deformada escala exagerada Mesq M Mdir Mesq Mdir a M Mesq Mdir Ponto de inflexão Configuração deformada escala exagerada Mesq Mdir b Figura 526 Viga biapoiada com momentos aplicados nas extremidades White et al 1976 a única concavidade b mudança de concavidade Na viga da Figura 526a os momentos aplicados têm sentidos opostos e provocam uma fl exão na viga com uma única concavidade tracionando as fi bras na face superior Por outro lado os momentos aplicados na viga da Figura 526b têm o mesmo sentido o que provoca uma fl exão com mudança de concavidade tracionando as fi bras superiores na extremidade esquerda e as fi bras inferiores na extremidade direita Em ambas as situações o momento fl etor varia linearmente ao longo da viga sendo que no primeiro caso ele Bookconceitosindb 132 532010 083755 tlle Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 133 nao troca de sinal e no segundo caso troca de sinal Observase que no ponto de inflexdo na secao transver sal onde ocorre a mudanga de concavidade da viga da Figura 526b o momento fletor é nulo Os exemplos mostrados na Figura 526 sao hipotéticos e servem apenas para entender o comporta mento da elastica e do diagrama de momentos fletores em um vao descarregado Em geral os vaos de uma viga continua ou as vigas de um portico sao solicitados por forcas verticais para baixo associadas ao peso proprio ou a cargas acidentais e de ocupacdo E interessante portanto saber o aspecto da elastica e do diagrama de momentos fletores para tais situacdes A Figura 527 ilustra dois exemplos de um vao uma viga biapoiada com momentos fletores nas extremidades tracionando as fibras superiores Essa situacdo muito comum em vigas continuas e em porticos poy CTT a b Mesq Mair 7 Mesq yin WU Mair Configuragao deformada Configuragao deformada Metccnfenceccn eee ene Ma Met tM Seed S05 Figura 527 Viga biapoiada com momentos aplicados nas extremidades e cargas verticais para baixo Nas Figuras 527a e 527b sao mostradas duas vigas biapoiadas com cargas verticais para baixo e sem momentos aplicados nas extremidades Na primeira trés forcas concentradas sao aplicadas e na segunda uma forca uniformemente distribuida abrangendo todo 0 vao é aplicada Pelo fato de todas as cargas aplicadas terem sentido para baixo os correspondentes diagramas de momentos fletores mostra dos sao positivos isto é tracionam as fibras inferiores em todas as secées transversais Nas Figuras 527c e 527d as mesmas cargas verticais sao superpostas as cargas momento aplicadas nas extremidades da viga da Figura 526a As configuracdes deformadas resultantes das superposic6es de cargas estao indicadas com uma escala de deslocamentos exagerada e os diagramas de momentos fletores resultantes também sao mostrados Os diagramas sao obtidos pela superposicao do diagrama trapezoidal da Figura 526a com os diagramas das Figuras 527a e 527b isto é os diagramas finais sao obtidos pendurando o diagrama de viga biapoiada a partir da linha reta que faz o fechamento das ordenadas do diagrama nas extremidades Secao 3733 Observase que nos dois exemplos embora a curva elastica possa ter diferentes aspectos existem dois pontos de inflexdo circulos pretos indicados nas figuras que correspondem aos dois tnicos possiveis pontos de intersecao do diagrama pendura do com 0 eixo da viga Pode haver uma situacdo na qual exista somente um ponto de inflexao que seria quando o diagrama de viga biapoiada pendurado toca 0 eixo da viga em apenas um ponto Em outra situacao nao haveria ponto de inflexao algum para o caso de o diagrama pendurado nao interceptar o eixo da viga Podese concluir que em um vao com momentos fletores nas extremidades que tracionam fibras superiores e com cargas verticais para baixo no interior nao pode ocorrer mais do que dois pontos de inflexdo Essa 6 uma situacado bastante comum Um exemplo é mostrado na Figura 528 134 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 7 WIN T by A xz x Az i T T i T Ponto de inflexao Configuragao deformada desenhada de forma exagerada mudanca de concavidade Op Np De SQV FQ AZQLA NF Nef NeW Nef Ney Figura 528 Caracteristicas da configuracdo deformada do diagrama de momentos fletores e do diagrama de esforcos cortantes para uma viga continua com balancos submetida a uma forcga uniformemente distribuida As mesmas observacoes feitas para os aspectos dos diagramas de esforcos cortantes e de momentos fletores do exemplo da Figura 525 podem ser feitas para os diagramas da viga continua da Figura 528 Como foi observado 0 diagrama de esforcos cortantes tem 0 aspecto de serrilhado Nos apoios as des continuidades desse diagrama tém 0 mesmo valor e sentido para cima das reacoes de apoio Consisten temente nos pontos dos apoios o diagrama de momentos fletores apresenta bicos para cima Nos vaos entre apoios o diagrama de momentos fletores apresenta maximos locais nas sec6es transversais onde o esforco cortante é nulo Os valores de momento fletor nas secdes transversais dos apoios correspondem a valores de minimos locais pois 0 esforco cortante nessas sec6es troca de sinal negativo para positivo E nas extremidades livres dos balancos o diagrama de momentos fletores apresenta tangentes horizontais porque o esforco cortante é nulo Essas observacg6es sao complementadas pelas caracteristicas associadas da curva elastica da viga Observase que em cada um dos vaos internos existem dois pontos de inflexéo que correspondem as secoes transversais onde os momentos fletores séo nulos Nesses pontos ocorre uma mudanga de conca vidade da elastica sendo que nos trechos centrais dos vaos a concavidade é para cima e nos trechos proximos aos apoios a concavidade é para baixo Isso é consistente com o fato de os momentos fletores serem positivos tracionam as fibras inferiores nos trechos centrais dos vaos e negativos tracionam as fibras superiores nos trechos proximos aos apoios Verificase a partir das observacoes anteriores que a identificacao do aspecto da curva elastica de uma viga é muito importante para a identificacdo do aspecto do seu diagrama de momentos fletores Em algumas situag6es o tracado da elastica é bastante intuitivo A Figura 529 ilustra isso com base em dois exemplos de vigas com apenas uma carga concentrada aplicada tlle Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 135 a yee de inflexiio b aa i se Poitos ee 2 et wa 5 ENE OB Lea Sle 2a3 Figura 529 Vigas submetidas a uma Unica carga concentrada aspectos das elasticas e dos diagramas de momentos fletores A viga da Figura 529a tem um vao entre o engaste e o apoio simples do 12 género e um trecho em balanco Uma forga concentrada é aplicada para baixo na extremidade livre do balanco O tracado intui tivo da curva elastica comeca pelo balanco A forca para baixo provoca uma deflexao do balango com a concavidade para baixo A continuidade de rotacao da elastica na secao transversal do apoio simples imp6e que nessa secao a elastica tenha uma rotacao no sentido horario No outro lado do vao 0 engaste imp6e que a rotacao da elastica seja nula Observase que obrigatoriamente a curva elastica tem uma mudanga de concavidade ponto de inflexao no vao entre apoios pois a curva parte de uma tangente horizontal no engaste e chega na extremidade oposta do vao com uma rotagao no sentido horario Como esse vao é descarregado nao pode haver outro ponto de inflexao e o diagrama de momentos fletores varia linearmente A concavidade para cima da elastica proximo ao engaste indica que os momentos fle tores tracionam as fibras inferiores nessa regido ao passo que a concavidade para baixo na segunda parte do vao e no balanco mostra que os momentos fletores tracionam as fibras superiores Na secao transver sal do apoio simples o diagrama de momentos fletores tem de ser continuo mas apresenta uma mudan ca brusca de direcao isto é um bico para cima Todos os bicos desse diagrama sao consistentes com os sentidos das forcas verticais atuantes Se for considerado que fora do dominio da viga o diagrama se prolonga com valores constantes linhas pontilhadas na Figura 529a existem trés bicos No engaste a reacao vertical e o bico sao para baixo no apoio simples a reacao vertical e 0 bico sao para cima e na extremidade livre do balango a forca vertical aplicada e 0 bico sao para baixo Observase também que o sentido horario da reagdéo momento no engaste é consistente com um momento fletor que traciona as fibras inferiores nessa extremidade da viga Um fato interessante deve ser salientado com relagao a viga da Figura 529a Em um vao descarre gado com rigidez a flexdo EI constante engastado em uma extremidade e com uma rotacao da elastica na outra extremidade 0 ponto de inflexdo fica localizado a 13 do vao em relacao ao engaste Isso sera demonstrado na Seco 65 A viga continua com apoios simples mostrada na Figura 529b tem trés vaos e uma fora vertical aplicada no vao central A identificacdo da elastica é simples se for imaginado que em uma situaao inicial os apoios das extremidades da viga nao existem Nesse caso a aplicacao da forca concentrada no vao central provocaria uma curva elastica que por compatibilidade de rotacao nos apoios do vao teria balancos livres com deflexao para cima Reintegrando os apoios das extremidades a curva elastica seria forgada para baixo Dessa forma a elastica ganha concavidades para baixo nos vaos extremos Também é intuitivo imaginar que as reacées verticais nos apoios das extremidades sdo para baixo pois forgam a elastica para baixo nos vaos extremos O resultado é uma curva elastica com concavidades para baixo na esquerda e na direita e concavidade para cima no centro Os pontos de inflexdo onde mudam as concavidades obrigatoriamente estao localizados no vao central Isso pode ser concluido de algumas 136 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER maneiras Observe que o diagrama de momentos fletores nos vaos extremos é linear pois eles estao descarregados Nos apoios extremos os momentos fletores sao nulos o que consome os tinicos possiveis pontos de inflexdo nesses vaos As reac6es verticais para baixo provocam tracao nas fibras superiores consistente com as concavidades para baixo Dessa forma nas sec6es transversais dos apoios simples interiores que limitam o vao central os momentos fletores tracionam as fibras superiores A carga vertical aplicada para baixo no vao central faz com que dois pontos de inflexao aparegam no vao O diagrama de momentos fletores da viga da Figura 529b é consistente com o aspecto da elastica e com as reacées de apoio Observase que o diagrama é uma linha poligonal cujos vértices estao associa dos a eventos de forgas verticais Cada bico da linha poligonal tem o mesmo sentido da correspon dente forca vertical Eos momentos fletores sao nulos nos pontos onde ocorre mudanga de concavidade da curva elastica Isso é valido também para as extremidades da viga que podem ser consideradas pon tos de inflexao Outras situagdes em que o tracado intuitivo da elastica auxilia na identificagdo do aspecto do dia grama de momentos fletores sao indicadas na Figura 530 Os exemplos dessa figura sao vigas continuas submetidas a um recalque de um dos apoios As elasticas sdo tragadas com escala exagerada de deslo camentos Os sentidos das reacg6es verticais sdo consistentes com 0 recalque imposto e com as restrides impostas pelos outros apoios Os diagramas de momentos fletores resultantes sao formados por trechos lineares por vao Os pontos de inflexdo das elasticas correspondem com as secées transversais nas quais o momento fletor é nulo E os bicos dos diagramas tém o mesmo sentido das reacées verticais a b ponto de inflexao ec ae c 0 Figura 530 Vigas submetidas a recalques de apoio aspectos das eldsticas e dos diagramas de momentos fletores Os exemplos de vigas apresentados anteriormente nesta secdo tratam apenas dos aspectos qualita tivos da curva elastica e do diagrama de momentos fletores A nao ser em um unico caso Figura 529a nao se tem informagao precisa sobre a localizacao de pontos de inflexado Embora a localizacao exata de pontos de inflexdo nao seja 0 objetivo desta secdo é possivel ter mais subsidios para isso através de uma analise em que se varia a rigidez relativa a flexao dos vaos de uma viga continua Considere as vigas continuas com dois vaos mostradas na Figura 531 Figuras 531b 531c e 531d O apoio da esquerda é um engaste e 0 apoio da direita é simples A barra do primeiro vao apresenta um paradmetro de rigidez a flexdo de referéncia EI EI e esta carregada com uma forca vertical uniformemente distribuida A barra do segundo vao esta descarregada e tem trés possibilidades para sua rigidez a flexao Na Figura 531b tlle Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 137 a barra do segundo vao tem uma rigidez grande EI El EI na Figura 531c a barra tem o valor de referéncia da rigidez EI EI e na Figura 531d a barra tem uma rigidez pequena EI EI EI Nas figuras a barra do segundo vao é desenhada com diferentes espessuras para representar a rigidez relati va das trés possibilidades q q212 M4 q212 oy sel EL law Stohr ey l pau petty DO ome ra 4 g28 ee Figura 531 Vigas com variacdo da rigidez relativa a flexdo entre vdos As Figuras 531a e 531e representam situacgdes extremas para 0 comportamento da barra do pri meiro vao No primeiro caso 0 no da direita do vao é considerado engastado representando uma rigidez infinita para a barra do segundo vao No ultimo caso 0 no da direita considerado articulado apoio simples representando uma rigidez nula para a barra do segundo vao Nas duas situacdes extremas os valores exatos para rigidez a flexado constante ao longo da barra dos momentos fletores nas extremida des da barra estao indicados assim como as posi6es das secées transversais onde os momentos fletores sao nulos que correspondem a pontos de inflexao E interessante observar como varia o diagrama de momentos fletores da barra do primeiro vao em funcao da variagao de rigidez da barra do segundo vao Vése que o momento fletor na secao transversal a direita aumenta com a rigidez da barra do segundo vao Conforme comentado na segao anterior ele mentos estruturais mais rigidos tendem a atrair mais esforcos internos White et al 1976 Observase também na sequéncia de situagdes mostradas da Figura 531a a Figura 531e que pon tos de inflexdo se movem na direcao de locais com rigidez reduzida e os deslocamentos se dao dentro de uma faixa bem limitada de valores White et al 1976 Conforme salientado na Secao 45 concluise que é possivel dentro de certos limites controlar a distribuigdo de esforgos em uma estrutura hiperestatica variando a rigidez relativa de seus elementos estruturais Por exemplo com a variacao da rigidez a flexao da barra do segundo vao o momento fletor na secao transversal a esquerda do primeiro vao pode ser modificado Entretanto esse momento fletor sempre traciona as fibras superiores e esta limitado entre dois valores ql12 e ql8 que correspondem as situacdes extremas das Figuras 531a e 531e Isso nao é possivel em uma estrutura isostatica porque so existe uma possibilidade de distribuigao de esforcos internos a unica distribuicdo que satisfaz as con dicdes de equilibrio 138 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 511 CONSIDERACAO DE BARRAS INEXTENSIVEIS Uma simplificagdo comumente adotada na resolucao manual de estruturas é a de que as barras nao se de formam axialmente Essa simplificacao é chamada de hipotese de barras inextensiveis e esta fundamentada no fato de que as barras usuais de um portico tém deformacées axiais muito menores do que as deforma cdes devidas ao efeito transversal de flexao Um exemplo disso sera mostrado na Segao 731 Devese observar quando se adota a hipotese de barras inextensiveis que os resultados de uma anéli se estrutural podem diferir um pouco dos resultados sem a simplificacdo Portanto devese tomar cuidado com a adocao dessa hipotese que so se justifica para a resolucdo manual de porticos planos pequenos A consideracao de barras sem deformacao axial esta sempre associada a hipdtese de pequenos des locamentos A juncgdo dessas duas hipoteses resulta em uma simplificagdo para 0 comportamento de barras que é explicada com 0 auxilio do exemplo da Figura 532 LG do no superior para LG do no superior para barras extensiveis e LG do no superior para colunas inextensiveis e pequenos deslocamentos colunas inextensiveis pequenos deslocamentos 7 SS ew a a R R a b c Figura 532 Lugares geométricos LG dos nds superiores de um portico As barras do portico da Figura 532a sao extensiveis isto é podem ter deformag6es axiais Dessa maneira os dois discos de raio R sao os lugares geométricos LGs que definem as possiveis posicdes que os nos superiores do portico podem ocupar sendo R pequeno o suficiente para que se possa adotar a hipdtese de pequenos deslocamentos A Figura 532b mostra a restricdo nos LGs dos nés superiores caso as colunas do portico sejam consideradas sem deformagao axial Com essa hipotese a distancia entre um no superior e o n6é correspondente na base nao pode se alterar Como os nos da base sao fixos os nos su periores tém seus movimentos restringidos a um arco de circulo centrado no no correspondente da base como indica a Figura 532b Como os deslocamentos sao considerados pequenos podese aproximar o arco de circulo por uma tangente ao circulo como indicado na Figura 532c Dessa forma o LG de um no superior é uma reta horizontal transversal ao eixo da coluna correspondente Podese generalizar a consequéncia da combinacao da hipotese de barras inextensiveis com a hipo tese de pequenos deslocamentos da seguinte maneira Hipotese de barras inextensiveis com pequenos deslocamentos os dois nds extremos de uma bar ra so podem se deslocar relativamente na direcao transversal ao eixo da barra Com base nessa hipotese analisase a configuragao deformada do portico da Figura 533 A soli citacdo é uma forca horizontal P aplicada no topo Nesse exemplo as colunas e a viga do portico sao consideradas inextensiveis A A pt bk Fs T 4 i f oh 4 k 5 Figura 533 Configuracdo deformada ampliada exageradamente de um portico com barras inextensiveis para uma carga horizontal no topo ro Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 139 ELSEVIER Observe na Figura 533 que os nds superiores na configuracao deformada tém a mesma cota ver tical h em relacao a base da configuracgado indeformada embora as colunas apresentem deslocamentos transversais por flexao Aparentemente as colunas deveriam ter se alongado para isso ser possivel De maneira andloga os dois nos superiores continuam tendo a mesma distancia b entre si na configuracao deformada os nos superiores tem o mesmo deslocamento horizontal A embora a viga tenha se defor mado transversalmente Essas aparentes inconsisténcias s6 fazem sentido se os deslocamentos realmente forem pequenos Na verdade 0 que se considera com a hipotese de barras inextensiveis com pequenos deslocamentos é que a distancia na direcao do eixo indeformado entre os dois nds extremos de uma barra nao se altera quando esta se deforma transversalmente por flexao A adogao dessa hipotese simplificadora para o comportamento de uma barra pode facilitar bastante a identificagao do aspecto da configuracao deformada de porticos simples Isso pode trazer subsidios para determinar o aspecto de diagramas de momentos fletores nesse tipo de modelo estrutural a exem plo do que foi mostrado para vigas na secao anterior Para ilustrar isso considere os dois porticos mostrados na Figura 534 O portico simples da Figu ra 534a o mesmo que foi analisado na Segao 45 Essa andlise mostra intuitivamente que as reacdes horizontais nos apoios tém direcdes para dentro do portico visto que a tendéncia seria de as colunas se abrirem Dessa forma a concavidade da elastica nas colunas é voltada para dentro e os momentos fletores nas colunas variam linearmente com valores nulos na base tracionando as fibras externas do portico Como em cada um dos nos superiores o momento fletor se replica do topo da coluna para a ex tremidade da viga os momentos fletores nas extremidades da viga tracionam as fibras superiores Essa é a situacdo tipica em que existem dois pontos de inflexao na viga de maneira que nas extremidades da viga a concavidade da elastica é voltada para baixo imperceptivel na Figura 534 e no centro da viga a concavidade é voltada para cima Observase também que as ligacdes rigidas nos nos superiores com patibilizam as rotag6es entre viga e colunas o angulo entre as barras permanece 90 na configuracao deformada sendo que o no esquerdo sofre um giro absoluto no sentido horario e 0 no direito sofre um giro no sentido antihordrio Além disso a simetria do modelo e a posicao centrada da carga concentrada aliados a hipotese de barras inextensiveis fazem com que os dois nos superiores permanecam na mesma posicdo quando a estrutura se deforma Todas essas observacg6es resultam nos aspectos da eldstica e do diagrama de momentos fletores indicados na Figura 534a a b Wee r tse 077 fru ff Nah inflexio a Pontos de inflexao ee Pr Pe somente para o caso de T barras inextensiveis h Se i 4 Figura 534 Porticos simples com carga concentrada vertical ELSEVIER 140 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O aspecto da confi guração deformada do pórtico da Figura 534b é bastante semelhante ao do pórti co da Figura 534a A diferença está na restrição imposta às rotações na base das colunas pelos engastes Por causa dessa restrição existe uma mudança de concavidade na elástica das colunas acarretando um ponto de infl exão O diagrama linear de momentos fl etores nas colunas é compatível com essa elástica momento fl etor nulo no ponto de infl exão sendo que na parte superior da coluna as fi bras de fora são tracionadas e na parte inferior as fi bras de dentro são tracionadas É interessante observar também na Figura 534 que os diagramas de momentos fl etores apresentam bicos tanto na viga quanto nas colunas nas direções das forças concentradas Considere que o diagra ma em cada barra se prolonga para fora da barra com valores constantes linhas pontilhadas Observe que o diagrama na base das colunas tem um bico para dentro associado à reação horizontal para dentro O bico para fora nas extremidades superiores das colunas está associado à reação horizontal do outro lado do pórtico Na viga existem três bicos os das extremidades estão associados às reações verticais e o do centro da viga está associado à força vertical aplicada Também é interessante analisar a infl uência da rigidez relativa entre as barras de um pórtico no dia grama de momentos fl etores Isso foi tratado na Seção 45 para o pórtico da Figura 534a Nessa análise três situações são consideradas viga fl exível em relação às colunas Figura 412a viga e colunas com mesma ordem de grandeza para rigidez à fl exão Figura 412b e viga rígida em relação às colunas Fi gura 412c Observe que conforme comentado anteriormente elementos estruturais mais rígidos ten dem a atrair mais esforços internos Por isso os momentos fl etores nas extremidades da viga aumentam à medida que a rigidez das colunas aumenta em relação à rigidez da viga Outra observação também já comentada é que pontos de infl exão se movem dentro de certos li mites na direção de locais com rigidez reduzida Em uma situação extrema em que as colunas seriam infi nitamente rígidas a viga teria um comportamento biengastado e os pontos de infl exão fi cariam mais próximos do centro do vão como na Figura 531a À medida que a rigidez das colunas diminui os pontos de infl exão se movem para as extremidades No limite em que a rigidez à fl exão das colunas seria nula a viga teria um comportamento de viga biapoiada com pontos de infl exão nas extremidades Uma análise semelhante é feita para o pórtico simples biengastado submetido a uma força lateral P da Figura 533 A Figura 535 mostra a infl uência da rigidez relativa entre a viga e as colunas do pórtico Em todas as situações as colunas têm uma rigidez à fl exão de referência EI EIr Na Figura 535a a viga é infi nitamente rígida e na Figura 535e a viga tem articulações nas extremidades e por isso tem rigidez à fl exão nula Nas situações intermediárias a rigidez à fl exão da viga varia da seguinte maneira na Figura 535b a rigidez é grande EI EIg EIr na Figura 535c a rigidez é intermediária e igual ao valor de referência EI EIr e na Figura 535d a rigidez é pequena EI EIP EIr Considerando que as colunas do pórtico da Figura 535a são inextensíveis os nós superiores nas ex tremidades da viga só podem se deslocar na direção horizontal Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido Portanto o único movimento que a viga infi nitamente rígida pode ter é o deslocamento ho rizontal mostrado na fi gura Vêse na confi guração deformada que os nós da viga não sofrem rotações pois a viga se desloca horizontalmente mantendose reta é uma barra que não pode se deformar Por tanto a elástica das colunas é tal que não existe rotação nas seções transversais do topo e da base Dessa maneira a elástica tem na base uma concavidade voltada para a direita e no topo uma concavidade para a esquerda sendo que o ponto de infl exão fi ca localizado exatamente no meio da altura do pórtico como indicado na Figura 535a Essa informação é sufi ciente para determinar o valor do momento fl etor na base das colunas Como o momento fl etor no meio da coluna é nulo ponto de infl exão e o esforço cortan te em cada coluna é P2 devido à simetria determinase o momento fl etor na base a partir do equilíbrio da porção da coluna isolada abaixo de seu ponto médio o que resulta no valor de Ph4 tracionando as Bookconceitosindb 140 532010 083756 2 Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 141 ELSEVIER fibras da esquerda O valor do momento fletor no topo da coluna também é Ph4 mas tracionando as fi bras da direita porque o diagrama de momentos fletores varia linearmente ao longo da coluna e 0 ponto de inflexao esta localizado no meio Na viga infinitamente rigida os momentos fletores nas extremidades sao iguais aos dos topos das colunas sempre tracionando fibras do mesmo lado de dentro na esquerda e de fora na direita O diagrama de momentos fletores resultante 6 mostrado na Figura 535a Ph4 P E 00 Ph4 cod ee ee Ph 4 1 Ph4e pa Ph J 1 a é sh mM i i A A EI EI h2 A EB ft ft V Ph457 Ph4 57 P El exo Fr 7 ao 7 y y b h m f fy fy fy it a fy fy EI EI A FA ft P EI 7 7 7 ooo oI HY HY i i 7 9 j c h fj m A t I ft 1 fo ff EI EI AA AA fl P EI uous sscse a 4 poo ay 6 6 i fl fi ry fy A A d h A m AA i i ft H FH FH El EI F FI fT fT fl fl P EI qualquer e h m i t EI EI Ph2 Ph2 Figura 535 Porticos simples com carga horizontal influéncia da variacdo de rigidez a flexdo da viga Na outra situacao extrema da Figura 535e em que a viga nao tem rigidez a flexao o ponto de infle xao da coluna coincide com 0 ponto da articulacao no topo onde o momento fletor é nulo Os momentos fletores na viga sao nulos e o diagrama de momentos fletores na coluna varia linearmente com um valor Ph2 na base resultante do produto da metade da forca P que atua no topo de cada coluna pela altura h do portico Observase nas situag6es intermediarias das Figuras 535b 535c e 535d que o ponto de inflexao na coluna se move para cima a medida que a rigidez da viga diminui Isso foi observado anteriormente o ponto de inflexao sempre se move na direcao de locais com rigidez reduzida 142 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Os diagramas de momentos fletores das Figuras 535b 535c e 535d sao semelhantes e consisten tes com a posicdo modificada do ponto de inflexao na coluna Na viga pela simetria o ponto de inflexao esta sempre localizado na posigéo média Também se observa que os momentos fletores na viga dimi nuem a medida que sua rigidez a flexao é reduzida Isso é mais um exemplo de que elementos estruturais mais rigidos tendem a atrair mais esforcos internos Para finalizar esta secdo 0 portico com dois pavimentos da Figura 536 é analisado O portico é so p P 8 Pp licitado por forcas distribuidas verticais Figura 536a e por forcgas horizontais laterais Figura 536b Pp P gu A Figura 536c mostra o efeito da superposicao das duas solicitacées O pilar central do portico nao esta osicionado no meio da largura do portico para nao criar uma situacao de simetria Pp Pp P TI T 1 hs Ty wy A IN a po P ine A A a CU yp a i xy hs mee b goo ee r Bode P 1 i y y it f f pI A core aollk oy 1 eee i v 7 a 7 a 4 PF fA d FH A FH Ge op od e ps Y wy Ml Ns SS SUNTAN A Pra ee 7 ooo if fi at a 7 Ale OO AH em ee Om 1 1 YN V v me i y PNUD S 7 a A f fh Z BB J lam ES ee CR Figura 536 Portico com dois pavimentos solicitado por cargas verticais e laterais Para a solicitacao de cargas verticais da Figura 536a podese pensar no comportamento do portico como a superposicao de quatro porticos simples com duas colunas e uma viga como o da Figura 534b considerando uma forca uniformemente distribuida na viga As barras da coluna central tém diagramas 8 de momentos fletores que podem ser vistos como a superposicao dos diagramas de dois porticos simples adjacentes Como nao existe simetria os momentos fletores nas barras do pilar central nao sao nulos e Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 143 têm uma variação linear que está associada a uma elástica com um ponto de infl exão em cada barra Os momentos fl etores nos topos dessas barras tracionam as fi bras da direita pois os momentos fl etores nas vigas da esquerda são maiores que nas vigas da direita Nas colunas laterais o momento fl etor também varia linearmente com um ponto de infl exão em cada barra Nas vigas os momentos fl etores têm uma variação parabólica por causa da força transversal uniformemente distribuída Existem dois pontos de infl exão na elástica das vigas que são consistentes com as posições das duas seções transversais em cada barra em que o momento fl etor é nulo Observe também que devido à falta de simetria do pórtico existe uma pequena defl exão lateral de cada pavimento Na Figura 536b o diagrama de momentos fl etores do pórtico também pode ser visto como uma su perposição de diagramas de quatro pórticos simples com forças concentradas laterais como o pórtico da Figura 535b Assim em cada barra o diagrama de momentos fl etores varia linearmente e existe apenas um ponto de infl exão pois todas as barras estão descarregadas só existem forças laterais atuando nos nós superiores esquerdos Os diagramas de momentos fl etores nas barras da coluna central têm valores maiores do que nas colunas laterais por causa da superposição de efeitos dos pórticos simples adjacentes Isso indica que a reação de apoio horizontal e a reação momento na coluna central são maiores do que as reações de apoio nas colunas laterais Finalmente na Figura 536c é mostrado o efeito da superposição das cargas verticais da Figu ra 536a e das cargas laterais da Figura 536b Talvez seja difícil identifi car a priori os aspectos da con fi guração deformada e do diagrama de momentos fl etores para essa situação dada a complexidade do carregamento e da estrutura Entretanto as principais características a respeito dessas respostas estrutu rais que foram salientadas anteriormente podem ser observadas na Figura 536c Verifi case que os dia gramas de momentos fl etores nas vigas são parabólicos com valores nulos em duas seções transversais de cada vão que correspondem a pontos de infl exão da elástica Os diagramas de momentos fl etores nas barras dos pilares são lineares com um ponto de infl exão Nesses pontos de infl exão existem inversões dos sentidos das concavidades da elástica e os momentos fl etores sempre tracionam fi bras no lado con vexo da curvatura da elástica 512 CONTRAVENTAMENTO DE PÓRTICOS Os pórticos analisados na seção anterior apresentam defl exões laterais com exceção dos pórticos simé tricos com cargas verticais posicionadas simetricamente No caso geral excluindo situações com simetria geométrica e de carregamento pórticos que têm apenas barras horizontais e verticais apresentam defl e xões horizontais mesmo quando solicitados apenas por cargas verticais como é o caso do exemplo da Fi gura 536a A razão disso é que nessas situações a rigidez lateral do pórtico depende fundamentalmente da rigidez à fl exão de suas barras É importante enrijecer lateralmente um pórtico para minimizar defl exões laterais que podem com prometer o funcionamento adequado de uma estrutura ou para evitar efeitos de segunda ordem como o efeito PΔ mostrado na Seção 44 O enrijecimento lateral de um pórtico pode ser obtido com o uso de barras inclinadas que são denominadas barras de contraventamento ou de travejamento Para entender esse conceito associado a barras inclinadas fazse uso da hipótese de barras inextensí veis defi nida na seção anterior Considere o pórtico com duas barras inextensíveis mostrado na Figura 537 Bookconceitosindb 143 532010 083757 144 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER LG do no superior com LG do no superior com Figura 537 Triangulacdo formada por um no ligado a dois nds fixos por duas barras inextensiveis De acordo com a hipotese de barras inextensiveis o n6 superior da estrutura da Figura 537 s6 pode se deslocar relativamente ao no inferior esquerdo perpendicularmente a barra da esquerda o que define um lugar geométrico LG para o no superior Outro LG é definido com relacao ao no inferior direito o n6 superior so pode se deslocar transversalmente a barra da direita Como 0 movimento do n6 superior tem de satisfazer simultaneamente seus dois LGs 0 deslocamento do no é nulo isto é a Unica posiao possi vel do no na configuracgao deformada da estrutura é sua posicao original Portanto o n6 superior nao tem nenhuma componente de translacao Com base nesse raciocinio podese dizer que um no que estiver ligado a dois nos fixos a translacao por duas barras inextensiveis nao alinhadas formando um triangulo também fica fixo a translacao Dito de outra maneira para impedir deflex6es laterais de um portico plano com barras inex tensiveis é necesséario inserir barras inclinadas que enrijecem lateralmente contraventam o portico Isso pode ser entendido analisando os trés pdérticos com barras inextensiveis da Figura 538 E F E F E F a A a B A b B A c B Figura 538 Portico com dois pavimentos e barras de contraventamento Na Figura 538 existem trés situacdes portico com dois pavimentos sem barras diagonais Figu ra 538a portico com primeiro pavimento com uma diagonal e segundo pavimento sem diagonal Fi gura 538b e portico com os dois pavimentos com diagonal Figura 538c Na primeira situacao 0 portico nao esta contraventado e pode apresentar deflexdes laterais No portico do meio o nd C nao pode se deslocar pois esta ligado aos nds A e B por duas barras inextensiveis e nao alinhadas Por triangulacao o nd D também nao tem deslocamento porque esta ligado aos nos C e B que sao fixos a translacao Entre tanto os nos E e F do segundo pavimento podem apresentar deslocamento horizontal Esse deslocamen to pode ser eliminado ao se inserir uma barra diagonal no segundo pavimento como na Figura 538c Este ultimo caso é o de uma estrutura contraventada que nao apresenta deslocamentos laterais Uma estrutura desse tipo é dita indeslocavel Stissekind 19773 O conceito de contraventamento de por ticos isto é de inserao de barras diagonais em painéis da estrutura muito importante no projeto estrutural principalmente no caso de estruturas metdlicas que tém as pegas estruturais mais esbeltas do que em es truturas de concreto armado por exemplo E necessario contraventar uma estrutura para impedir 0 apare cimento de grandes deslocamentos horizontais Um portico sem barras inclinadas de contraventamento pode apresentar apenas por causa das deformacoes por flexdo das barras deslocamentos horizontais muito grandes incompativeis com 0 bom funcionamento de uma estrutura civil A Capitulo 5 Idealizagao do comportamento de barras 145 ELSEVIER E importante entender que sempre vao aparecer deslocamentos laterais em um portico mesmo com barras de contraventamento pois estas também se deformam axialmente Entretanto como as deflexdes provocadas por deformagao axial de barras usuais sao muito menores do que as deflexGes provocadas por flexao das barras os deslocamentos laterais de um portico sio bem menores com barras de contra ventamento do que sem elas Deve ser salientado que o conceito de contraventamento esta associado a hipdtese de barras inex tensiveis em conjunto com a hipdtese de pequenos deslocamentos Dessa forma as barras inextensiveis de um portico indeslocavel apresentam deformacoes por flexao sem que seus nos se desloquem Isso gera uma aparente inconsisténcia da hipotese de barras inextensiveis conforme mencionado na secao anterior exemplificada utilizando 0 pértico simples com duas barras da Figura 537 Considere que no no superior desse portico existe uma carga momento aplicada como indicado na Figura 539 Observase na configuracao deformada do portico da Figura 539 que esta desenhada com uma es cala para deslocamentos exagerada que as barras apresentam deflexGes transversais a seus eixos mesmo nao havendo deslocamentos dos nos Aparentemente a barra teria de se alongar para atingir tal confi guracao deformada Esse nao é o caso e a configuracao deformada s6 faz sentido porque a hipdtese de pequenos deslocamentos esta sendo adotada M x v we i Figura 539 Deformacdao por flexdo das barras de um portico simples indeslocavel Outro exemplo de portico contraventado é mostrado na Figura 540 E interessante observar que para tornar essa estrutura indeslocavel s6 é necessario introduzir uma barra inclinada por pavimento em apenas um compartimento ou baia por pavimento Isto é como as vigas do pavimento sao inex tensiveis basta que um no do pavimento tenha seu movimento horizontal impedido para que todos os outros nds do pavimento também tenham seus deslocamentos horizontais impedidos Na estrutura da Figura 540 o no do primeiro pavimento que recebe a barra inclinada que chega da base esta fixo por causa do triadngulo formado com a barra vertical abaixo Também por triangulacao todos os outros nds do pavimento ficam fixos Para o pavimento superior o mesmo raciocinio se aplica Partindo do fato de que os nos do primeiro pavimento estao fixos observase que a unica diagonal do segundo pavimento é suficiente para contraventar esse pavimento Figura 540 Portico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento E evidente que no projeto de contraventamento de um portico devese considerar a capacidade de resisténcia das barras inclinadas de travejamento Isso deve ser levado em conta para determinar o numero de barras diagonais por pavimento 146 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Por exemplo no contraventamento de porticos 6 comum colocar duas diagonais com inclinacdes opostas em algumas baias por pavimento porque dependendo do sentido das cargas laterais uma dia gonal vai trabalhar a compressao e a outra a tracdo Esse procedimento é adotado para evitar que o contraventamento deixe de surtir efeito no caso de a diagonal que trabalha a compressao perder a esta bilidade quando submetida a valores altos de esforcos axiais ver proxima secao A Figura 541 mostra o exemplo de um portico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes nas baias extremas de cada pavimento Um tirante contraventa o pavimento para deslocamentos laterais da esquerda para a direita e o outro tirante para deslocamentos laterais no sentido oposto Figura 541 Portico com dois pavimentos contraventado por quatro tirantes por pavimento 513 FLAMBAGEM DE BARRAS PERDA DE ESTABILIDADE PELO EFEITO DE COMPRESSAO Conforme mencionado em secées e capitulos anteriores este livro considera apenas efeitos de primeira ordem em que o equilibrio dos modelos estruturais sempre imposto para a geometria original e in deformada da estrutura Entretanto no comportamento real de estruturas efeitos de segunda ordem podem ser importantes para o dimensionamento dos elementos estruturais Esse é 0 caso de pilares e colunas que trabalham fundamentalmente com esforcos de compressao Para complementar a ideali zacao do comportamento de barras esta secdo descreve a perda de estabilidade de barras submetidas a compressao Esse fendmeno é conhecido como flambagem de barras Uma barra idealmente reta submetida a uma compressao centrada apresenta tensdes normais com distribuicgdo uniforme Nessa situagao ideal o esforco normal que é a resultante de tensdes normais atua no centro de gravidade da secao transversal nao aparecendo flexao na barra Mas na situacao real exis tem sempre imperfeicdes geométricas e 0 esforgo normal nunca atua perfeitamente centrado A excen tricidade do esforgo normal em relagao ao centro de gravidade da secao transversal provoca momentos fletores na barra No caso de tracao a flexao provocada pelo esforgo axial descentrado tende a retificar a barra e portanto é um efeito estabilizante Por outro lado 0 esforco axial descentrado de compressao provoca flexao na barra o que aumenta mais ainda a excentricidade isto é esse efeito se autoalimenta podendo inclusive provocar a perda da capacidade de resisténcia da barra comprimida Para modelar matematicamente esse fendmeno é necessario considerar as condicoes de equilibrio na configuracgao deformada da barra ou seja é preciso considerar efeitos de segunda ordem O matema tico L Euler em meados do século XVIII Féodosiev 1977 descobriu que a estabilidade de colunas sub metidas a esforcos axiais de compressao depende da relacao entre uma propriedade da secao transversal da coluna e de seu comprimento a carga maxima P que uma coluna pode sustentar sem flexionar varia inversamente com o quadrado de seu comprimento e proporcionalmente com o momento de inércia I da seco transversal p EL E EP 544 Na Equagao 544 temse P carga abaixo da qual a coluna nao perde estabilidade carga de Euler F E médulo de elasticidade do material FL Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 147 I momento de inércia da seção transversal correspondente ao plano onde se dá a fl exão menor mo mento de inércia da seção transversal L4 l comprimento da coluna L O gráfi co da Figura 542 mostra a variação do valor da força P de compressão na coluna em função da defl exão transversal máxima δ do centro da coluna A expressão de carga de Euler mostrada na Equa ção 544 foi deduzida para uma situação ideal Nessa situação linha sólida no gráfi co da Figura 542 a coluna permanece reta sem defl exão transversal até que a carga atinja o valor da carga de Euler Para valores mais altos da carga de compressão o equilíbrio da barra pode ser alcançado tanto na confi gu ração reta da barra quanto na confi guração deformada Quando existem duas confi gurações possíveis para o equilíbrio dizse que houve uma bifurcação da posição de equilíbrio McGuire 1968 Ocorre que no mundo físico real existem imperfeições de ordem construtiva como excentricidade na aplicação da carga imperfeições geométricas das seções transversais etc Devido a essas imperfeições em condições reais não existe bifurcação da posição de equilíbrio e a fl exão da coluna por fl ambagem pode ocorrer para cargas mais baixas do que a carga de Euler linha tracejada no gráfi co da Figura 542 PE P condições ideais sem imperfeições condições reais com imperfeições l P δ P δ bifurcação Figura 542 Coluna de Euler fl exão provocada por efeitos de compressão e perda de estabilidade Devese ressaltar que a teoria de fl ambagem de Euler considera como hipótese básica que o mate rial trabalha em um regime elástico ainda longe do regime de ruptura isto é admitese que a perda de capacidade de resistir a cargas da coluna se dá por fl ambagem de forma global A perda de estabilidade também pode ocorrer por algum fenômeno localizado como a ruína do material em algum ponto o descolamento da solda entre a mesa e a alma de um perfi l metálico ou mesmo por uma fl ambagem loca lizada caracterizada por exemplo pela ondulação da mesa comprimida do perfi l metálico Também podem ocorrer restrições físicas na estrutura real que difi cultam a fl ambagem como atrito nas articulações ou atrito lateral da coluna com o restante da estrutura Nesses casos a carga crítica para fl ambagem pode ser mais alta do que a carga de Euler A modelagem matemática da fl ambagem ideal de Euler aplica a condição de equilíbrio na confi gu ração deformada mas ainda considera que as defl exões e inclinações da elástica da barra são pequenas Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 543 submetida a uma força de compressão P A fi gura também mostra um elemento infi nitesimal de viga isolado na confi guração deformada isto é consi derando efeitos de segunda ordem Bazant Cedolin 1991 O esforço cortante e o momento fl etor atuando em cada lado do elemento infi nitesimal estão indicados com seus sentidos positivos O esforço normal P é considerado com o sentido de compressão Bookconceitosindb 147 532010 083757 148 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER v O psn MdM P er We en Meh V7 a SP P lee 0 P O dv ly x P QdQ ap dx Figura 543 Efeito de segunda ordem para uma viga biapoiada submetida a compressdo O equilibrio de momentos em relacao ao ponto O do elemento infinitesimal desprezando os termos de mais alta ordem fornece a seguinte relacao Yi Mo 0 dMQdQdxPdv0 AEQ4 PZ 0 545 Xx x Derivando a Equacao 545 em relacao a x e considerando pela Equacao 512 que dQdx 0 porque nao existe carregamento transversal chegase a dM dv dx dx Pela Equacgao 538 sabese que M EIdvdx Substituindo essa expressao na Equacao 546 con siderando rigidez a flexao EI constante temse a relacao diferencial do problema da viga submetida a compressao levando em conta efeitos de segunda ordem dv P dv dx EI dx 047 Essa equacao considera pequenas inclinacées da elastica vx porque na Equagao 538 a curvatura da barra esta sendo aproximada 4 derivada a segunda da elastica Para grandes deslocamentos deveria ser utilizada a relacao entre a curvatura e a elastica dada pela Equacao 58 Além disso também se con sidera que apesar da flexao da barra a distancia entre apoios nao se altera 0 que é consistente com a hipdtese de barras inextensiveis adotada A Equagao 547 caracteriza um problema de autovalor e autofuncdo Boyce e DiPrima 2005 que tem uma solucdo trivial vx 0 e solugGes caracteristicas da forma vx d senx d oxtd xd 548 ay El 2 COs El 3 4 A derivacgao dessa equacao duas vezes em relacao a x resulta em 2 Fe 4 Fsenxd Po cos Px 549 dx EI EI EI EI Para a viga biapoiada temse como condicao de contorno v 0 para x 0 Portanto na Equacao 548 d d 0 A condicao de contorno de M 0 para x 0 impoe que dvdx 0 para x 0 A consideracao dessa condicao na Equacao 549 resulta em d 0 Como d d 0 concluise que d 0 A imposicao de dv dx 0 para x 1 na Equacao 549 acarreta P1 sen 7 0 Disso resulta que P nzEII sendo n um inteiro qualquer A substituicaéo dessa expressao em conjunto com d 0 d 0 e o 0 na Equacao 548 resulta em d 0 Portanto as soluc6es caracteristicas correspondentes para a elastica sao Capítulo 5 I dealização do comportamento de barras 149 l n x d v x sen π 1 Vêse que a Equação 547 tem infi nitas soluções uma trivial e as soluções características com infi nitos valores para o inteiro n As soluções características para valores de n 1 correspondem a soluções harmônicas com muitas oscilações que somente fazem sentido do ponto de vista teórico A única solução de caráter prático corresponde a n 1 que resulta em uma elástica igual a uma meia onda senoidal com amplitude d1 δ como indicado na Figura 543 l x v x δ sen π 550 Nessa equação a amplitude máxima δ tem valor indeterminado Isso é típico de problemas de au tovalor e autofunção a Equação 550 é uma autofunção associada a um autovalor que é dado pela Equa ção 544 Nesse caso o autovalor e a autofunção correspondem a n 1 Uma autofunção defi ne apenas um modo de variação que não tem amplitude defi nida No contexto do problema da instabilidade fl am bagem da barra o autovalor é denominado carga crítica de Euler e a autofunção é um modo de deformação na fl ambagem A carga crítica é o valor limite para a força de compressão a partir do qual pode ocorrer perda de estabilidade Na verdade vai ocorrer instabilidade para cargas mais baixas que a carga crítica pois a confi guração reta é impossível de existir em virtude de imperfeições geométricas gráfi co na Figu ra 542 Devese ressaltar que a Equação 550 perde sua validade à medida que as defl exões se tornam signi fi cativas pois a Equação 547 considera curvaturas de maneira aproximada conforme mencionado Por essa equação o gráfi co Pδ na Figura 542 para condições ideais continuaria como uma reta horizontal após a bifurcação A forma desse gráfi co com valores de P aumentando com a defl exão máxima δ cor responde a uma modelagem matemática com grandes defl exões para colunas muito fl exíveis McGuire 1968 O problema clássico da fl ambagem de Euler considera uma barra simplesmente apoiada isto é biarticulada Outros tipos de restrições de apoio modifi cam o modo de deformação e a carga crítica de fl ambagem Isso é indicado na Figura 544 para colunas com quatro tipos de condições de extremidade Os modos de deformação na fl ambagem das colunas da Figura 544 apresentam pontos de infl exão pontos de mudança de sentido da concavidade compatíveis com as restrições de apoio Os pontos de infl exão correspondem às seções transversais em que o momento fl etor é nulo No caso da coluna biar ticulada os pontos de infl exão fi cam situados nas extremidades da barra e o comprimento efetivo para fl ambagem é todo o comprimento da coluna Nas outras situações os pontos de infl exão estão indicados na fi gura e o comprimento efetivo para fl ambagem em cada caso é a distância entre os pontos de infl exão A carga crítica de cada situação da Figura 544 depende do comprimento efetivo para fl ambagem e é dada pela expressão 2 2 kl EI PE π 551 A Equação 551 generaliza a fórmula de Euler e depende do seguinte parâmetro adicional Figu ra 544 k fator que defi ne o comprimento efetivo da coluna para fl ambagem Bookconceitosindb 149 532010 083759 ELSEVIER 150 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha PE PE l PE k 05 k 1 k 07 Uma extremidade articulada e outra engastada Duas extremidades articuladas Duas extremidades engastadas 07 l 05 l PE k 2 2 l Uma extremidade livre e outra engastada a b c d Figura 544 Efeito de restrições de apoio na fl ambagem de colunas A Equação 551 pode ser utilizada em condições mais gerais como para colunas com apoios elásti cos ou inseridas dentro de pórticos desde que se conheça o comprimento efetivo para fl ambagem dado pelo fator k isto é desde que se conheçam as posições dos pontos de infl exão no modo de deformação na fl ambagem Conforme mencionado esta seção apenas introduziu o problema da perda de estabilidade de barras submetidas à compressão que só pode ser modelado se forem considerados efeitos de segunda ordem Esses efeitos não serão tratados no restante deste livro pelas justifi cativas dadas ao fi nal da Seção 44 Essa apresentação é feita aqui porque esse fenômeno é importante demais para ser desconsiderado Bookconceitosindb 150 532010 083800 Analogia da viga conjugada 6 O capitulo anterior apresenta a idealizacdo para o comportamento de barras utilizada na andlise usual de estruturas reticuladas Em particular a Segdo 510 faz uma andlise qualitativa dos aspectos dos diagra mas de esforcos internos e da configuracao deformada de vigas hiperestaticas Essa andlise é baseada em consideragoes sobre equilibrio e compatibilidade associadas a idealizagdo adotada para o comportamen to de barras A determinacao exata dessas respostas estruturais andlise quantitativa requer a imposicao conjunta de condicées de equilibrio de condicdes de compatibilidade e de leis constitutivas adotadas para o comportamento dos materiais Os capitulos subsequentes deste livro apresentam métodos basicos da andlise estrutural que tratam da andlise quantitativa de estruturas hiperestaticas reticuladas Este capitulo apresenta a analogia da viga conjugada como forma alternativa para analisar vigas hipe restaticas Essa metodologia complementa a andlise qualitativa de aspectos de diagramas de momentos fletores apresentada na Secao 510 pois quantifica parametros dos diagramas A analogia esta baseada em uma comparacao entre as equacoes diferenciais de equilibrio e de compatibilidade que regem 0 com portamento de barras a flexao Tais equacdes sao deduzidas no Capitulo 5 e mostradas na Tabela 61 de forma comparativa Com base nessa analogia a imposicgao de condicdes de compatibilidade de uma viga é substituida pela imposicdo de condicées de equilibrio em uma viga conjugada Como a nocao de equilibrio é em geral mais intuitiva do que a nocao de compatibilidade a analogia da viga conjugada se apresenta como uma alternativa para a imposicdo de condicdes de compatibilidade em vigas Tabela 61 Comparacdo entre equacées diferenciais de equilibrio e compatibilidade para flexdo de vigas Capitulo 5 2 ELSEVIER 152 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 61 Processo de Mohr A analogia entre as equações diferenciais mostradas na Tabela 61 foi observada inicialmente por Mohr 18351918 e por isso esse método é conhecido como processo de Mohr Süssekind 19772 Hibbeler 2009 Notase na tabela que o papel de Mx nas equações de equilíbrio é o mesmo que o de vx nas equações de compatibilidade isto é Mx é análogo a vx Observase também que Qx é análogo a θx e qx a MxEIx A ideia original de Mohr de explorar essa analogia é utilizar as equações de compatibilidade da viga real como se fossem equações de equilíbrio de uma viga fi ctícia chamada de viga conjugada com carregamento força transversal distribuída qCx MxEIx esforço cortante QCx θx e momento fl etor MCx vx como indica a Tabela 62 Tabela 62 Analogia da viga conjugada VIGA REAL VIGA CONJUGADA Carregamento transversal qx qCx MxEIx Esforço cortante Qx QCx θx Momento fletor Mx MCx vx Rotação θx Deslocamento transversal vx Como dito a analogia da viga conjugada é uma maneira alternativa de impor condições de compa tibilidade na viga real o que é feito através da imposição de condições de equilíbrio na viga conjugada Essa alternativa tornase atrativa visto que a noção de equilíbrio é bastante intuitiva Existem generalizações da analogia de Mohr que vão além do comportamento de vigas à fl exão Pisarenko et al 1979 apresentam nove analogias para determinar tensões e deslocamentos em vigas considerando efeitos axiais e de torção Arici 1985 apresenta uma generalização que permite conside rar vigas sob base elástica e deformações impostas tais como deformações provenientes de variação de temperatura ou de protensão As aplicações da analogia da viga conjugada consideradas neste capítulo são cálculo de deslocamentos em vigas análise de vigas hiperestáticas para carregamentos arbitrários determinação de reações de engastamento de barras isoladas para carregamentos arbitrários que é um tipo de solução fundamental para o método dos deslocamentos dedução de coefi cientes de rigidez de barras isoladas que é outro tipo de solução fundamental para o método dos deslocamentos análise de vigas submetidas a efeitos de variação transversal de temperatura Além disso o Capítulo 14 apresenta uma dedução baseada na analogia de Mohr de soluções de barras biengastadas submetidas a descontinuidades de deslocamento transversal ou rotação impostas em uma seção transversal Essas são soluções fundamentais para a determinação de linhas de infl uência que representam a variação de um efeito qualquer em uma dada seção transversal para uma força unitá ria que percorre a estrutura Bookconceitosindb 152 532010 083800 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 153 Todas essas aplicações podem ser realizadas utilizando o princípio dos trabalhos virtuais PTV mostrado no Capítulo 7 Entretanto usar a analogia da viga conjugada é uma alternativa mais simples em muitos casos e também muito útil quando a viga tem uma seção transversal variável Em todos os exemplos tratados neste livro notase que só são consideradas barras prismáticas isto é barras com seção transversal que não varia ao longo do seu comprimento No Capítulo 8 o método das forças é apresentado para barras com seção transversal constante O Capítulo 10 introduz o método dos deslocamentos baseado inteiramente em soluções fundamentais de barras isoladas reações de engasta mento e coefi cientes de rigidez que são defi nidas no Capítulo 9 para barras prismáticas Como no caso geral não existem soluções fundamentais analíticas para barras com seção transversal variável este ca pítulo também apresenta uma metodologia baseada na analogia da viga conjugada para a determinação numérica de soluções fundamentais para essas barras 62 CONVERSÃO DE CONDIÇÕES DE APOIO A aplicação da analogia da viga conjugada requer a conversão das restrições de apoio da viga real para a viga conjugada As restrições de apoio que são condições de compatibilidade da viga real são expressas em termos de deslocamentos transversais v e de rotações θ As restrições relativas a desloca mentos transversais na viga real devem ser convertidas em restrições com respeito a momentos fl etores na viga conjugada assim como as restrições que se referem a rotações são traduzidas para restrições impostas a esforços cortantes A Tabela 63 mostra a conversão de restrições de apoio em vigas reais para as correspondentes restrições de apoio na viga conjugada em termos de momentos fl etores MC e esforços cortantes QC Na Tabela 63 os recalques de apoio impostos na viga real têm o sentido positivo de acordo com a convenção de sinais adotada o deslocamento transversal v é positivo de baixo para cima e a rotação θ é positiva no sentido antihorário Os correspondentes momentos fl etores MC e esforços cortantes QC tam bém são positivos na viga conjugada Dessa forma quando um recalque vertical positivo é imposto na viga real o momento aplicado na viga conjugada faz com que as fi bras inferiores fi quem tracionadas na seção transversal de aplicação o que corresponde a um momento fl etor positivo Analogamente quando uma rotação positiva é imposta como recalque de apoio na viga real a força aplicada na viga conjugada provoca um esforço cortante positivo na seção transversal de aplicação Também na Tabela 63 o sentido da descontinuidade de deslocamento transversal v Δ imposta é consistente com o sentido positivo de um deslocamento transversal relativo interno dh Figura 513 porque percorrendo o eixo da viga da esquerda para a direita a descontinuidade de deslocamento transversal se dá no sentido contrário ao do eixo local y da viga Observe que isso provoca uma des continuidade para baixo negativa do deslocamento transversal A carga momento correspondente aplicada na viga conjugada provoca uma descontinuidade ΔMC negativa no diagrama de momentos fl etores De forma análoga o sentido da descontinuidade de rotação θ Δ é consistente com o sentido positivo de uma rotação relativa interna por fl exão θ d como indicado na Figura 511 Observe que isso provoca uma descontinuidade no sentido antihorário positiva da tangente da elástica do deslocamento trans versal A força correspondente aplicada na viga conjugada provoca uma descontinuidade ΔQC positiva no diagrama de esforços cortantes Bookconceitosindb 153 532010 083800 ELSEVIER 154 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Tabela 63 Conversão de restrições de apoio para a viga conjugada apoio simples com momento aplicado MC ρ apoio simples interno apoio simples engaste extremidade livre apoio simples com recalque vertical engaste com recalque vertical engaste com recalque rotação rótula interna v ρ v ρ rótula interna QC ρ apoio simples extremidade livre engaste extremidade livre com momento aplicado extremidade livre com força aplicada apoio simples interno MC ρ QC ρ MC ρ MC ρ θesq θdir v 0 QCesq QCdir MC 0 θesq θdir v 0 QCesq QCdir MC 0 VIGA CONJUGADA VIGA REAL v ρ v ρ θ ρ θ ρ v 0 θ 0 v 0 θ 0 v 0 θ 0 MC 0 QC 0 MC 0 QC 0 MC 0 QC 0 apoio simples interno com recalque vertical rótula interna com momento aplicado θesq θdir QCesq QCdir MC ρ v ρ MC ρ engaste deslizante v 0 θ 0 engaste deslizante MC 0 QC 0 Δv ρ descontinuidade de deslocamento transversal ΔMC ρ momento aplicado Δθ ρ descontinuidade de rotação ΔQC ρ força aplicada ρ ρ 63 ROTEIRO DO PROCESSO DE MOHR Para analisar uma viga pelo processo de Mohr devese adotar a seguinte sequência de procedimentos 1 Conversão de restrições de apoio da viga real para a viga conjugada conforme indicado na Ta bela 63 2 Determinação do diagrama de momento s fl etores da viga real parametrizado pelos valores dos momentos fl etores nas extremidades das barras Bookconceitosindb 154 532010 083800 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 155 3 Determinação do carregamento na viga conjugada qC MEI O caso de barras com rigidez à fl e xão EI variável ao longo de seu comprimento é considerado no carregamento da viga conjugada 4 Imposição de condições de equilíbrio da viga conjugada Isso equivale a impor condições de compatibilidade da viga real No caso de vigas isostáticas o segundo passo desse roteiro determina completamente o diagrama de momentos fl etores da viga real pois este depende apenas de condições de equilíbrio Para vigas hipe restáticas no segundo passo traçase o aspecto do diagrama de momentos fl etores da viga real que fi ca parametrizado por momentos fl etores nas extremidades das barras Os valores desses momentos fl etores são as incógnitas do problema determinadas no quarto passo Percebese que o traçado do aspecto cor reto do diagrama de momentos fl etores é muito importante Para tanto utilizamse os procedimentos descritos na Seção 510 O traçado da elástica confi guração deformada pode auxiliar na identifi cação do aspecto do diagrama de momentos fl etores 64 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ISOSTÁTICAS O tipo de aplicação mais simples da analogia da viga conjugada é a determinação de deslocamentos ou rotações em vigas que pode ser aplicada a qualquer tipo de viga isostática ou hiperestática Entretanto a defi nição do carregamento na viga conjugada depende do conhecimento do diagrama de momentos fl etores da viga real No caso de uma viga isostática esse diagrama é determinado utilizando somente condições de equilíbrio Para uma viga hiperestática a determinação do diagrama de momentos fl etores requer uma análise anterior Essa análise pode ser feita por qualquer método inclusive pela analogia da viga conjugada conforme descrito na próxima seção Nesta seção três exemplos isostáticos são analisados O primeiro exemplo mostrado na Figura 61 é o de uma viga engastada e em balanço com uma força vertical aplicada na extremidade livre O objetivo desse exemplo é calcular o deslocamento transversal vB e a rotação B θ da seção transversal na extremida de livre A elástica da viga é indicada na fi gura pela linha tracejada O diagrama de momentos fl etores da viga real da Figura 61 é triangular e traciona as fi bras superio res negativo pela convenção adotada Isso produz um carregamento negativo de cima para baixo que varia linearmente na viga conjugada As conversões das condições de apoio Tabela 63 também estão indicadas na Figura 61 Vêse que a viga conjugada também é isostática pois uma viga real isostática sempre acarreta uma viga conjugada isostá tica Como a viga conjugada é estaticamente determinada podese concluir que conforme observado na Seção 59 a confi guração deformada de uma viga real isostática satisfaz automaticamente as condições de compatibilidade Essa conclusão é baseada no fato de que a viga conjugada isostática sempre é capaz de satisfazer condições de equilíbrio ou seja a viga real é sempre capaz de satisfazer condições de com patibilidade O mesmo não ocorre para uma viga hiperestática pois a viga conjugada correspondente é hipostática exigindo imposição de autoequilíbrio do seu carregamento Seção 65 O deslocamento transversal e a rotação da seção transversal na extremidade livre do balanço são calculados determinando por equilíbrio o momento fl etor e o esforço cortante na seção correspondente da viga conjugada O momento fl etor é negativo pois traciona as fi bras superiores nessa seção Portanto vB é negativo isto é de cima para baixo o que era de se esperar O esforço cortante nessa seção também é negativo acarretando uma rotação B θ no sentido horário As expressões fi nais para vB e B θ são mostra das na Figura 61 Bookconceitosindb 155 532010 083801 ELSEVIER 156 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 61 Cálculo de deslocamento e rotação em extremidade livre de viga engastada e em balanço O segundo exemplo isostático é a viga biapoiada mostrada na Figura 62 O objetivo é calcular o deslocamento transversal vB no centro da viga e a rotação C θ na extremidade direita Nesse exemplo os momentos fl etores na viga real tracionam as fi bras inferiores da viga resultando em um carregamento positivo de baixo para cima na viga conjugada O deslocamento vB é estabelecido pelo cálculo do mo mento fl etor no ponto B da viga conjugada e a rotação C θ é determinada pelo cálculo do esforço cortante em C Os resultados fi nais estão indicados na Figura 62 Diagrama de momentos fletores VIGA REAL VIGA CONJUGADA x Mx MB Pl4 MA 0 QA 0 MC 0 QC 0 C C C C Pl4EI MB Pl216EIl2 Pl216EIl6 C vB Pl348EI A B P vA 0 θA 0 vC 0 θC 0 Pl216EI l2 l3 QC Pl216EI C θC Pl216EI vB θC l2 l2 l2 C A B l2 l2 C l3 l3 Pl216EI Pl216EI Pl216EI l2 l2 MB Pl348EI C l6 l6 Figura 62 Cálculo de deslocamento no centro de viga biapoiada e de rotação na extremidade O terceiro exemplo para cálculo de deslocamentos é o da viga Gerber isostática da Figura 63 sub metida a um recalque vertical ρ 0006 m para baixo no apoio simples da esquerda e a um recalque rotacional θ 0004 rad no sentido antihorário no engaste da direita Bookconceitosindb 156 532010 083801 oni Capitulo 6 Analogia da viga conjugada 157 VIGA REAL VIGA CONJUGADA 0004 rad 0 p 0006 m c Bc J AA LAXB Cc D ER A DE fool ren rl J 3m she malea mabe2 m 3m 2m 2m 2m 3m 2m 2m 2m Diagrama de momentos fletores nulo Diagrama de momentos fletores Configuracao deformada eldstica é Lang en ee 0008 m vx 0004 m feo es SES oot gs ZEN AA ae os OE oY KA iC 0006 mq eae V tie 0004 m 0008 m Figura 63 Solucdo de viga Gerber isostatica com recalques de apoio Estruturas isostaticas tem um comportamento distinto de estruturas hiperestaticas em relacao a solicitagdes de recalques de apoio Conforme discutido na Segao 45 uma estrutura isostatica como a viga da Figura 63 nao apresenta esforcos internos para recalques de apoio A razao disso é que se pode mover um apoio sem que a estrutura isostatica ofereca resisténcia a esse pequeno movimento pois sem 0 apoio a estrutura isostatica se transforma em um mecanismo Visto de outra forma como a viga isostatica tem o numero exato de vinculos externos de apoio para ser estavel a estrutura se acomoda em uma nova configuracao geométrica para qualquer modificacao pequena da posicao de um apoio Dessa maneira as barras da estrutura nao se deformam permanecem retas e apenas apresentam movimentos de corpo rigido Como as barras nao tém deformacao nao aparecem esforos internos A analogia da viga conjugada fornece subsidios para comprovar essas observacées No exemplo da Figura 63 a viga conjugada é isostatica Ela é obtida utilizando a Tabela 63 para conversdao das condicées de apoio da viga real em condicdes de contorno em termos de momento fletor e esforgo cortante na viga conjugada O apoio simples com recalque vertical em A na viga real é convertido para um apoio simples na viga conjugada com uma carga momento aplicada O sentido da carga momento é tal que provoca um momento fletor negativo tracionando as fibras superiores na secdo A da viga conjugada compativel com o recalque negativo para baixo O apoio simples em B resulta na rotula da viga conjugada As duas rotulas em C e D se transformam em dois apoios simples E 0 engaste em E com recalque rotacional resulta em uma extremidade livre na viga conjugada com uma forga aplicada A forca para baixo provoca um esforco cortante positivo na viga conjugada que esta de acordo com a rotacao positiva sentido antihordrio do recalque no apoio em E O resultado é uma viga conjugada do tipo Gerber também isostatica O fato de a viga conjugada ser isostatica demonstra que a viga real se acomoda para qualquer recal que de apoio sem que aparecam momentos fletores Isso ocorre porque a viga conjugada tem estabilidade propria e pode suportar as cargas aplicadas momento e forca resultantes da conversao dos recalques de apoio sem precisar da carga distribuida resultante da conversao de um diagrama de momentos fletores da viga real para atingir o equilibrio ELSEVIER 158 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Além disso como as barras da viga conjugada estão descarregadas no seu interior o diagrama de momentos fl etores na viga conjugada é formado por trechos retos Portanto a confi guração deformada da viga real também é formada por trechos retos pois a elástica real é igual ao diagrama de momentos fl etores na viga conjugada A Figura 63 indica o diagrama que foi determinado resolvendo esse sim ples problema isostático Observe que nada depende da rigidez à fl exão EI da viga Note também que a elástica da viga real e o diagrama de momentos fl etores da viga conjugada são espelhados em relação ao eixo da viga pois valores positivos da elástica são desenhados para cima e de momentos fl etores para baixo A determinação da elástica de uma viga a partir do diagrama de momentos fl etores na viga conju gada é outra utilidade do processo de Mohr Isso pode ser feito para todos os exemplos de vigas hipe restáticas da próxima seção Procedimento semelhante pode ser feito para a determinação da rotação da tangente da elástica a partir do diagrama de esforços cortantes na viga conjugada 65 ANÁLISE DE VIGAS HIPERESTÁTICAS Quatro vigas hiperestáticas serão analisadas nesta seção A primeira é uma viga com dois vãos mostrada na Figura 64 submetida a uma força concentrada no meio do primeiro vão O objetivo é determinar o diagrama de momentos fl etores Os exemplos comprovam a versatilidade da analogia da viga conjugada para a análise de vigas hiperestáticas Conforme comentado na Seção 63 a solução de uma viga hiperestática pela analogia da viga conju gada é facilitada se o aspecto do diagrama de momentos fl etores da viga real for determinado a priori Os procediment os descritos na Seção 510 são úteis para isso Outro passo que auxilia muito nesse processo é o traçado do aspecto da elástica da viga com a identifi cação de sentido das concavidades associado ao sinal do momento fl etor e de possíveis pontos de infl exão No caso da viga da Figura 64 a elástica que é indicada pela linha tracejada com escala exagerada para deslocamentos tem uma concavidade para cima no primeiro vão provocada pela carga concentrada A elástica sofre uma rotação no sentido anti horário no apoio central e a concavidade da elástica é para baixo nesse trecho Isso resulta em um ponto de infl exão no primeiro vão indicado por um pequeno círculo preto No engaste da direita a tangente da elástica é horizontal impondo uma mudança de concavidade da elástica com outro ponto de infl exão no segundo vão O aspecto do diagrama de momentos fl etores na viga é consistente com o aspecto da elástica O diagrama é formado por trechos retos com mudanças de direção bicos nos pontos onde são aplicadas forças concentradas O aspecto resultante é tal que no início do primeiro vão os momentos fl e tores são positivos concavidade da elástica para cima no trecho do apoio central os momentos fl etores são negativos concavidade da elástica para baixo e no trecho do engaste os momentos fl etores voltam a ser positivos concavidade para cima Com base na análise do aspecto da elástica o momento fl etor MC na seção transversal do apoio central é imaginado tracionando as fi bras superiores isto é supõese que o momento em C seja nega tivo Ao fi nal da análise se o valor para MC resultar negativo signifi ca que o momento fl etor em C tra ciona as fi bras inferiores Isso não ocorre no exemplo confi rmando que as fi bras superiores em C estão tracionadas De forma análoga o momento fl etor MD na seção D do engaste é imaginado positivo isto é tracionando as fi bras inferiores o que é confi rmado ao se imporem condições de equilíbrio na viga conjugada Bookconceitosindb 158 532010 083803 oni Capitulo 6 Analogia da viga conjugada 159 VIGA REAL VIGA CONJUGADA I nl Mee A a R A re Pas B aw v c a f m MVE Ez w te tet 8 4 931 163 Diagrama de momentos fletores Mc6 EI McEI Mca EI We at ae Sey 300EI V Mx a 1800 EI Mp4 eit oa Me 6 6 S4 163 83 Me 0 4McEl83 4MpEl163 0 Ma 0 1800EI6 6McEl8 4McEI443 4MpEl523 0 Figura 64 Solucdo de viga continua de dois vaos com carga concentrada no primeiro vao O diagrama de momentos fletores da viga da Figura 64 determinado em funcao do momento fletor em Ce do momento fletor em D isto é o diagrama de momentos fletores é parametrizado por dois valores Me M O momento fletor M nao 6 um paradmetro independente pois depende diretamente de M No primeiro vao o diagrama é obtido pendurando a partir da linha reta que une o valor nulo no inicio da viga a ordenada negativa do diagrama em C o diagrama de viga biapoiada para a forga concentrada no vao que corresponde ao triangulo com altura P14 100 kN 12 m4 300 kNm no meio do vao Portanto o valor do momento fletor em B é M M2 300 kNm No segundo vao 0 diagrama é uma linha reta que liga a ordenada negativa do diagrama em C a ordenada positiva em D Observase que 0 momento fletor é nulo nos dois pontos de inflexdo identificados pelo aspecto da elastica A viga conjugada é obtida utilizando as conversdes de condides de apoio indicadas na Tabela 63 O apoio simples em A na viga real é convertido em um apoio simples na viga conjugada O apoio simples em B resulta na rotula da viga conjugada E 0 engaste em C tem como resultado uma extremidade livre na viga conjugada O car regamento na viga conjugada o diagrama de momentos fletores na viga real dividido pela rigidez a flexao EI Uma observacao importante é que conforme mencionado na seao anterior a viga conjugada é hipostatica E sempre assim uma viga real hiperestdtica acarreta uma viga conjugada hipostatica Isso indica que a viga real hiperestatica tem infinitas solugdes que satisfazem as condides de compatibilidade isola damente assim como existem infinitas solucdes para as condic6es de equilibrio existem infinitos valores de Me M que equilibram a viga real A solucao correta é aquela que satisfaz simultaneamente as con dicdes de equilibrio e as de compatibilidade Com base na analogia da viga conjugada a solucao correta é a que proporciona 0 equilibrio da viga conjugada pois isso é equivalente a atender a compatibilidade na viga real Como a viga conjugada é hipostatica o seu carregamento tem de ser autoequilibrado porque nao existem vinculos externos suficientes para garantir o equilibrio em uma estrutura hipostatica Duas equacoes de equilibrio na viga conjugada sao consideradas para 0 calculo de M e M que sao as incdgnitas do problema Tais equac6es que sao indicadas na Figura 64 impdem momento fletor nulo ELSEVIER 160 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha no ponto C considerando as forças à direita e momento total nulo no ponto A Os valores fi nais calcula dos para MC MD e MB também são mostrados na fi gura Para a imposição das condições de equilíbrio na viga conjugada utilizase um macete Süssekind 19772 que consiste em decompor o carregamento em parcelas triangulares que abrangem completa mente cada um dos vãos No primeiro vão a decomposição é consistente com a superposição feita para a obtenção do diagrama de momentos fl etores da viga real pendurase o diagrama triangular positivo de viga biapoiada com Pl4 no triângulo com ordenada negativa em MC e ambos os triângulos abran gendo todo o vão No segundo vão o carregamento linear que inverte o sentido é substituído por dois carregamentos triangulares um com sentido para baixo e valor MCEI no início do vão e outro com sentido para cima com valor MDEI no fi nal do vão Esse macete facilita muito os cálculos e evita que se determine o ponto no vão onde o carregamento muda de sentido As resultantes das parcelas triangula res do carregamento são indicadas na Figura 64 assim como suas posições Se houvesse interesse em determinar a expressão analítica da curva elástica da viga real seria neces sário apenas determinar o diagrama de momentos fl etores da viga conjugada A equação da elástica do exemplo da Figura 64 pode ser obtida por trechos de viga uma equação para o trecho AB outra para o BC e outra para o CD Em cada um desses trechos o carregamento da viga conjugada varia linearmen te Isso resulta em uma expressão em polinômio do 3o grau para o diagrama de momentos fl etores em cada trecho Portanto a expressão analítica da elástica é dada por trechos descarregados e entre cargas concentradas que são polinômios cúbicos conforme mencionado na Seção 510 Esse procedimento para determinar a elástica pode ser aplicado a todos os exemplos subsequentes É interessante observar a relação entre os valores de MC e MD e a posição do ponto de infl exão da elástica no segundo vão da viga real da Figura 64 O valor absoluto de MD é a metade do valor absoluto de MC o que resulta em um diagrama de momentos fl etores linear com valor nulo em uma seção transversal ponto de infl exão que se localiza a 13 do vão em relação ao engaste Isso ocorre sempre em uma barra descarregada com rigidez à fl exão EI constante que sofre uma rotação em uma extremidade e tem outra engastada conforme também é observado na Seção 510 Figura 529a Demonstrase esse fato pela impo sição de momento fl etor nulo no ponto C da viga conjugada com a extremidade livre em D utilizando o carregamento no segundo vão decomposto em duas forças com distribuição triangular e sentidos inversos O segundo exemplo de análise de uma viga hiperestática pelo processo de Mohr também apresenta essa característica do diagrama de momentos fl etores A Figura 65 mostra uma viga com dois vãos e que sofre um recalque para baixo no apoio da esquerda Os valores do recalque ρ imposto e da rigidez à fl exão EI estão indicados O traçado do aspecto do diagrama de momentos fl etores da viga real da Figura 65 é feito com base na elástica confi guração deformada da viga A fi gura indica que a elástica tem um valor negativo em A correspondente ao recalque de apoio imposto passa por zero em B e chega a zero em C com uma tangente horizontal engaste A forma mais natural de a viga se deformar é mostrada na fi gura linha tracejada com concavidade voltada para baixo no primeiro trecho e concavidade voltada para cima no trecho fi nal próximo ao engaste No ponto de infl exão do segundo vão no qual há a mudança de con cavidade o momento fl etor é nulo No primeiro trecho o momento fl etor traciona as fi bras superiores e no trecho fi nal traciona as fi bras inferiores Portanto concluise que o momento fl etor em A é nulo em B é negativo e em C é positivo resultando no aspecto do diagrama de momentos fl etores da Figura 65 O diagrama é formado por trechos retos pois não há cargas distribuídas e assim é parametrizado pelos valores de MB e MC Bookconceitosindb 160 532010 083804 Sees ree 1s ae a 161 oni Capitulo 6 Analogia da viga conjugada VIGA REAL VIGA CONJUGADA A EI 36x104 kNm Bo Du MbEI hy 7 c pine Ry Gee re i se eye Cc C a 6 mae b my Vs 2a3 bp eel ye J 5 3 c Moa2EI grey MoW2El Diagrama de momentos fletores p stttl ltr M cc B A B 4 249 TTT MEI aA p28 cyt o Co QF Ms05 Mc Mb2 Mc c V me 7 Ma 0 pet A Mah fog Bp ee Lg 2EI 3 2EI 3 2EI 3 p004m a6m b4m Ms 80 kNm EI 36x104 kNm Mc 40 kNm Figura 65 Solucdo de viga continua de dois vaos com recalque vertical de apoio O diagrama de momentos fletores da viga real dividido pela rigidez a flexao EI define o carrega mento da viga conjugada No segundo vao 0 carregamento é decomposto em duas parcelas triangulares com sentidos inversos que abrangem todo 0 vao Além das forgas distribuidas a viga conjugada tem uma carga momento aplicada no sentido antihorario no ponto A Essa carga momento resulta da conversao da condicdo de contorno em termos de deslocamento transversal da viga real nesse ponto como indica a Tabela 63 O deslocamento transversal v nesse ponto é negativo pois o recalque vertical imposto é p 004 m para baixo A carga momento aplicada no ponto A na viga conjugada tem sentido antihorario pois provoca um momento fletor p tracionando fibras superiores da viga conjugada nessa secao trans versal A determinacao dos valores de M e M é feita com base nas equacoes de equilibrio da viga conju gada mostradas na Figura 65 A imposiaéo de momento fletor nulo no ponto B resulta em M M2 Como no exemplo anterior o ponto de inflexao momento fletor nulo no segundo vao da viga real esta localizado a 13 do vao em relacao ao engaste A imposicao de momento total nulo no ponto A que considera a carga momento p aplicada é a segunda relacao de equilibrio utilizada Com base nos valores numéricos fornecidos para os comprimentos dos vaos a e b recalque vertical p e rigidez a flexao EI os valores dos momentos fletores M e M sao calculados conforme indica a Figura 65 O terceiro exemplo de andlise de uma viga hiperestatica pela analogia da viga conjugada também tem como solicitagaéo um recalque de apoio mas nesse caso o recalque é rotacional Considere a viga mostrada na Figura 66 cujas barras tém rigidez a flexao EI 30x10 kNm O objetivo do exemplo é de terminar o diagrama de momentos fletores na viga provocado por um recalque rotacional 0004 rad no sentido antihorario do engaste C a direita 162 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER A solucao desse exemplo é muito semelhante 4 do exemplo anterior Como sempre o processo ini cia com o tracado do aspecto da elastica da viga de acordo com a solicitacao imposta A linha tracejada mostrada na Figura 66 indica a elastica da viga com uma escala exagerada para os deslocamentos trans versais Observase que o recalque rotacional imp6e uma concavidade para cima da elastica proximo ao engaste com rotacao da elastica no sentido horario no ponto B que tem deslocamento transversal nulo apoio simples Como a elastica também tem deslocamento nulo no ponto A deve haver uma concavi dade para baixo no primeiro vao Como o diagrama de momentos fletores é linear nos dois vaos 0 ponto de inflexao no qual ocorre a mudanga de concavidade e o momento fletor se anula deve ser no segundo vao Disso resulta 0 aspecto do diagrama de momentos fletores indicado na figura parametrizado por M e M sendo que o momento fletor em B é negativo e em C é positivo VIGA REAL VIGA CONJUGADA Mp EI EI 30x104 kNm2 6 0004 rad IT A B Ro Oe STIS ann SE 5 IU McEI oo 1 2 2 4 et Diagrama de momentos fletores 3Mp2EI MsEI ena EI 4 Ni 2 oat eG Fm B LV No x 3 3Mc cit idafEX Mx M m4 ae 2 Ms 0 3MsEl2 3McEl4 66 0 Me24kNm M4 0 3Ms2EI2 3MsEl5 3McEl7 69 0 Mc 72 kNm Figura 66 Solucdo de viga continua de dois vaos com recalque rotacional de apoio A conversao da condicao de contorno do recalque rotacional no sentido antihorario no engaste C é igual a conversao da condicao de contorno no engaste da viga da Figura 63 Isso resulta na forga com valor aplicada para baixo na extremidade livre C da viga conjugada O sentido dessa forca provoca um esforco cortante positivo na secao C compativel com a rotacao positiva sentido antihorario na viga real Os valores finais para M e M indicados na Figura 66 sao determinados pelas mesmas equac6es de equilibrio na viga conjugada utilizadas no exemplo anterior O ultimo exemplo desta secao procura mostrar a versatilidade do processo de Mohr Considere a viga com dois vaos mostrada na Figura 67 e solicitada por uma forca uniformemente distribuida de 12 kNm cujas barras tém rigidez a flexao EJ 21x10 kNm Sabese que apos a aplicagéo do carregamen to a secdo transversal do apoio interno B sofre uma plastificacao parcial provocando uma rotacao relati va 6 001 rad no sentido horario veja detalhe na Figura 67 entre as sec6es transversais adjacentes ao apoio Nesse caso sendo 6 a rotacao a esquerda do apoio e 64 a rotacao a direita do apoio temse 64 Oesg 9 Considerase que a seco plastificada ainda tem capacidade de transmitir momento fletor Be Wer oe ee a a 1 oni Capitulo 6 Analogia da viga conjugada 63 O objetivo do exemplo é utilizando a analogia da viga conjugada determinar o diagrama de momentos fletores na viga apos a plastificagdo da secao no apoio B 12 km 3 A PAIS Cc LN JS ZX ZX a IS e 8 m s 6m 5 Figura 67 Viga continua com dois vdos que sofreu uma plastificagdo na secdo transversal do apoio interno A solucao do exemplo da Figura 67 pela analogia da viga conjugada é mostrada na Figura 68 que indica o aspecto imaginado para a elastica da viga linha tracejada e para o diagrama de momentos fleto res Se nao tivesse ocorrido a plastificacao da secao B o momento fletor em B seria negativo tracionando as fibras superiores Se apos a plastificagao a viga tivesse perdido totalmente a capacidade de transmis sao de momentos fletores o momento fletor em B seria nulo Portanto admitese que o momento fletor em B é negativo devendo ser menor em modulo do que o momento fletor sem a plastificagao VIGA REAL VIGA CONJUGADA 12 kN ey 001 rad A AY c el oo oy nD MsEl BS estan eee cs A A Cc t 001 rad t 8 be 8 m 6 m 001 rad 4Mp EI F 3me El A é Diagrama de momentos fletores i as 54EI Ve sce tet pw 4 4 3 3 Ms 0 3MsEl2 216El3 Ve6 0 XM 0 4MpED163 3MzEl10 08 512El4 216El11 Vé14 0 Mp 33 kNm Figura 68 Solucdo de viga continua com dois vaos que sofreu uma plastificagdo na sedo transversal do apoio interno O diagrama de momentos fletores nos dois vaos da viga e formado por trechos que sao parabolas do 22 grau obtidas ao pendurar os diagramas de viga biapoiada para a forga uniformemente distribuida parabolas com valor maximo q8 no meio de cada trecho considerado biapoiado a partir das linhas ELSEVIER 164 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha retas que unem os valores nulos em A e C ao valor negativo em B Dessa forma o diagrama de momentos fl etores é parametrizado por MB A viga conjugada é obtida convertendo as condições de contorno em termos de deslocamentos e rotações da viga real em condições de contorno em termos de momentos fl etores e esforços cortantes Os apoios simples nas extremidades são convertidos em apoios simples também O apoio simples B é convertido em uma rótula na viga conjugada Isso ocorre porque o deslocamento transversal vB 0 na seção B da viga real acarreta um momento fl etor nulo nessa seção da viga conjugada A rotação relativa nessa seção da viga real causa uma descontinuidade de esforço cortante na viga conjugada Isso é alcançado com a aplicação de uma força concentrada com o valor da rotação relativa θ no pon to B da viga conjugada A força é aplicada para baixo porque a descontinuidade do esforço cortante antes e depois da rótula em B tem o mesmo sinal da descontinuidade de rotação na viga real isto é C QB dir C QB esq θ O carregamento da viga conjugada tem o mesmo aspecto do diagrama de momentos fl etores da viga real pois é obtido deste através de uma divisão pela rigidez à fl exão EI Para impor as condições de equilíbrio na viga conjugada adotase o macete de decompor o carregamento da viga conjugada em parcelas triangulares e parabólicas Süssekind 19772 Dessa forma evitase a determinação do ponto no vão onde o carregamento muda de sentido e transforma o carregamento parabólico em uma distri buição simétrica facilitando muito os cálculos As resultantes das parcelas triangulares e parabólicas do carregamento estão indicadas na Figura 68 assim como suas posições Observase que a área de uma parábola simétrica é igual a 23 do produto de sua base por sua altura Duas equações de equilíbrio na viga conjugada são consideradas para o cálculo de MB Tais equações impõem momento fl etor nulo em B e somatório nulo de momentos em relação ao ponto A As duas incóg nitas são MB e a reação C VC do apoio da direita cujo valor fi nal não está indicado O valor obtido para o momento fl etor em B é MB 33 kNm Esse exemplo demonstra a versatilidade do processo de Mohr 66 DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE ENGASTAMENTO DE BARRAS ISOLADAS Uma aplicação importante da analogia da viga conjugada é a determinação de reações de engasta mento perfeito de barras isoladas submetidas a cargas arbitrárias As reações de engastamento para barras isoladas são soluções fundamentais necessárias para o método dos deslocamentos conforme é mostrado no Capítulo 10 Três exemplos desse tipo de solução são mostrados nesta seção No Ca pítulo 9 essas soluções fundamentais são apresentadas formalmente para o caso de barras que têm seção transversal constante ao longo do seu comprimento A Seção 661 apresenta uma metodologia que aplica a analogia da viga conjugada para dedução de reações de engastamento de barras com inércia variável O primeiro exemplo é o de uma viga biengastada com rigidez a fl exão constante submetida a uma força transversal uniformemente distribuída como mostrado na Figura 69 A solução indicada nessa fi gura considera a simetria do problema e admite que as reações de apoio verticais são iguais à metade da carga total aplicada A solução também considera que as reações momento análogo e reações força são iguais em módulo e têm sentidos inversos Os aspectos da elástica e do diagrama de momentos fl e tores para essa situação são discutidos na Seção 510 Figura 531a O diagrama de momentos fl etores é parametrizado pelo valor do momento fl etor MA nas extremidades que são arbitrados tracionando as fi bras superiores Bookconceitosindb 164 532010 083808 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 165 MA ql212 Diagrama de momentos fletores VIGA REAL VIGA CONJUGADA MA 0 QA 0 MB 0 QB 0 C C C C vA 0 θA 0 vB 0 θB 0 MA MAEI ql28 A B MAEI ql28EI MAlEI A B l q l2 l2 ql28EI2l3 MA ql2 ql2 MBMA MA MAEI ΣFy 0 C Figura 69 Cálculo de reações de apoio de viga biengastada para uma força uniformemente distribuída A conversão dos engastes na viga real resulta em uma viga conjugada totalmente solta no espaço Tabela 63 Apenas uma equação de equilíbrio na viga conjugada é necessária para determinar o valor de MA É a equação que impõe resultante de forças nula na direção vertical como indicado na Figura 69 Para impor essa condição o carregamento da viga conjugada é desmembrado em uma força uniforme mente distribuída para baixo e uma força com distribuição parabólica para cima Observe que a condição de momento resultante nulo na viga conjugada é considerada implicitamente quando se leva em conta a simetria do problema O equilíbrio da viga conjugada mostra que a suposição de momentos fl etores tracionando as fi bras superiores nas extremidades da viga real é verdadeira pois o carregamento na viga conjugada tem de ser autoequilibrado O valor obtido para o momento fl etor na extremidade da viga real MA ql212 é consistente com o que está indicado na Figura 531a O segundo exemplo de cálculo de reação de apoio para uma barra isolada também é uma das si tuações tratadas na Seção 510 Figura 531e É a viga com EI constante engastada na esquerda e sim plesmente apoiada na direita mostrada na Figura 610 A viga também está submetida a uma força transversal uniformemente distribuída O diagrama de momentos fl etores da viga da Figura 610 é parametrizado pelo módulo MA do mo mento fl etor na seção transversal do engaste que se supõe tracionar as fi bras superiores O problema não tem simetria e as reações de apoio verticais não são conhecidas a priori Nesse caso as condições de equilíbrio na viga real podem ser utilizadas para relacionar os valores das reações verticais com MA São utilizadas a condição de somatório nulo de momentos em relação ao ponto B e a condição de somatório nulo de forças verticais conforme indica a Figura 610 A viga conjugada desse problema tem a extremidade esquerda livre e a direita simplesmente apoia da O carregamento nessa viga é decomposto em uma parcela triangular para baixo e uma parcela pa rabólica para cima A solução para MA é encontrada impondo a resultante momento nula em relação ao ponto B na viga conjugada O valor obtido MA ql28 é o mesmo mostrado na Figura 531e A Figu ra 610 apresenta os valores fi nais das reações verticais VA e VB Bookconceitosindb 165 532010 083808 ELSEVIER 166 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Diagrama de momentos fletores VIGA REAL VIGA CONJUGADA MA MAEI ql28 A B MAEI ql28EI MAl2EI A B l q l2 l2 ql28EI2l3 MA MA 0 QA 0 MB 0 QB 0 C C C C vA 0 θA 0 vB 0 θB 0 VA VB ΣMB 0 MAl2EI2l3 C MA ql28 2l3 ql28EI2l3l2 0 ΣMB 0 VA MAl ql2 ΣFy 0 VB ql VA VA 5ql8 VB 3ql8 l3 A B VB C VB C Figura 610 Cálculo de reações de apoio de viga engastada e simplesmente apoiada para uma força uniformemente distribuída É interessante observar que nessa solução utilizouse somente uma equação de equilíbrio na viga conjugada A condição de resultante nula de forças verticais não foi necessária pois a condição de resul tante nula de momentos no ponto B foi sufi ciente para determinar MA Veja que a reação vertical C B V no único apoio da viga conjugada fi cou indeterminada Essa reação poderia ser determinada através da ou tra condição de equilíbrio o que resultaria em um valor negativo para baixo conforme indica a Figura 610 Com essa reação o esforço cortante na seção B da viga conjugada fi caria determinado Esse esforço cortante que é positivo corresponde à rotação no sentido antihorário da seção B na viga real O terceiro exemplo de determinação de reações de engastamento de barra considera o caso de ri gidez à fl exão inércia variável como mostra a Figura 611 A viga real dessa fi gura é engastada na esquerda simplesmente apoiada na direita e está submetida a uma força concentrada no meio do vão Além disso a seção transversal da metade esquerda da viga tem momento de inércia igual a 2I e a seção transversal da outra metade tem momento de inércia igual a I A solução da viga da Figura 611 é semelhante à solução da viga do exemplo anterior A principal diferença é que o carregamento na primeira metade da viga conjugada é igual ao diagrama de momentos fl etores da viga real dividido por 2EI Isso provoca uma descontinuidade na taxa de carregamento distri buído no ponto B A Figura 611 também mostra a decomposição do carregamento na viga conjugada e a solução por equilíbrio nessa viga As expressões para os valores das reações de apoio na viga real estão indicadas na fi gura Bookconceitosindb 166 532010 083808 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 167 Diagrama de momentos fletores VIGA REAL VIGA CONJUGADA MB MA 0 QA 0 MC 0 QC 0 C C C C MBEI MA 2Pl9 A B P vA 0 θA 0 vC 0 θC 0 l2 l3 l2 l2 l2 C A B l2 l2 C l3 l3 MBl8EI MBl4EI l6 l6 MA VA VC 2I I Pl4 MA MB2EI MA2EI MBEI A B l2 l2 C MB2EI MA2EI l3 MAl8EI ΣMC 0 C 0 3 4 6 2 8 3 2 8 l EI M l l l EI M l l l EI l M B B A MB Pl4 MA2 MB 5Pl36 ΣMC 0 VA MAl P2 ΣFy 0 VC P VA VA 13Pl18 VC 5Pl18 VC C VC C Figura 611 Cálculo de reações de apoio de viga engastada e simplesmente apoiada com inércia variável 661 Parâmetros fundamentais de reações de engastamento para barra is olada com inércia variável O último exemplo da Figura 611 ilustra a análise de uma viga com inércia variável pelo processo de Mohr Esse exemplo é simples porque a rigidez à fl exão EI é constante em cada metade do vão da viga Nos casos práticos as vigas podem ter uma variação bem mais complexa para o momento de inércia I Por exemplo uma viga em mísula reta cuja altura da seção transversal varia linearmente tem uma va riação cúbica do momento de inércia No caso de mísulas parabólicas cuja altura da seção varia em um polinômio do 2o grau o momento de inércia varia em um polinômio do 6o grau Em todos esses casos o carregamento na viga conjugada é o diagrama de momentos fl etores na viga real dividido pela expressão para a variação da rigidez à fl exão EI Ocorre que no geral a divisão de dois polinômios não resulta necessariamente em outro polinômio Assim a expressão para o carregamento na viga conjugada pode ser muito complexa e de difícil solução analítica Entretanto a analogia da viga conjugada fornece uma metodologia de fácil implementação computacional para o cálculo de reações de engastamento em barras isoladas Dessa forma uma solução numérica pode ser obtida Tal metodologia é descrita em seguida para o caso de uma viga biengastada submetida a uma força transversal linearmen te distribuída carregamento transversal mais geral aqui considerado para uma barra Esse caso pode servir de base para a dedução de reações de engastamento de barras isoladas com outras condições de suporte que incluam articulações ou apoios simples o que é mostrado no Capítulo 9 Seção 932 Bookconceitosindb 167 532010 083809 168 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER A Figura 612 mostra a notacao e os sentidos positivos das reagdes de engastamento perfeito de uma viga biengastada para um carregamento transversal linearmente distribuido em que ga 2 taxa de carregamento transversal distribuido na extremidade inicial positivo no sentido do eixo local y da barra 9g taxa de carregamento transversal distribuido na extremidade final positivo no sentido do eixo local y da barra M momento de engastamento na extremidade inicial reagao momento que atua na extremidade inicial de uma barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha uma solicitacao externa posi tivo no sentido antihorario Mz momento de engastamento na extremidade final reagio momento que atua na extremidade final de uma barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha uma solicitacao externa posi tivo no sentido antihorario V 2 forca transversal de engastamento na extremidade inicial reacao forca que atua na extremidade inicial de uma barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha uma solicitagao externa po sitivo no sentido do eixo y Vz forca transversal de engastamento na extremidade final reacdo forga que atua na extremidade final de uma barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha uma solicitacao externa posi tivo no sentido do eixo y x x qx 4a ie 7 y B i qx 1 eer gM S A x M 4 Je s Figura 612 Notacdo e sentidos positivos de reacdes de engastamento perfeito para uma barra isolada com forca transversal linearmente distribuida As reacées verticais V e Vz podem ser determinadas em funcao dos pardmetros do carregamento Ja 4g e dos momentos de engastamento M e M Isso é demonstrado com base na superposicao de efeitos indicada na Figura 613 Cada parcela dessa superposicao isola 0 efeito das reagdes momento e 0 efeito do carregamento distribuido ambos atuando na viga com apoios simples biapoiada Weert TTT Ma Ci Py a t Vz o epee TTTTTTITI tu M MM 5 5 AB A TB 0 galY qgel 0 Gal Yqzl 1 I yo BO vp 4 4 3 6 6 3 Figura 613 Superposicdo de efeitos para determinar reacdes verticais de engastamento de uma barra com forca transversal linearmente distribuida Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 169 As reações verticais de apoio 0 A V e 0 B V independem da rigidez à fl exão EI da barra pois a viga bia poiada é isostática para cargas transversais Essas reações são calculadas utilizando apenas condições de equilíbrio Para o carregamento transversal linearmente distribuído considerado as reações resultam em 6 3 0 l q l q V B A A 61 3 6 0 l q l q V B A B 62 As expressões para as reações verticais A V e B V em função de A q B q A M e B M são obtidas utili zando a superposição mostrada na Figura 613 6 3 l q l q l M M V B A B A A 63 3 6 l q l q l M M V B A B A B 64 A Figura 614 mostra o diagrama de momentos fl etores de uma viga biengastada submetida a uma força transversal linearmente distribuída Para o sentido positivo para cima do carregamento transver sal a reação momento MA deve ter o sentido horário o que provocaria um momento fl etor positivo na seção A Entretanto a dedução genérica desse problema está considerando sentidos positivos para todos os parâmetros A q B q A M e B M Por isso o diagrama de momentos fl etores mostrado na Figura 614 tem valor negativo em A e positivo em B e apresenta concavidade para baixo Figura 614 Diagrama de momentos fl etores de viga biengastada para uma força linearmente distribuída É conveniente decompor o diagrama de momentos fl etores na viga de forma a explicitar os valores de MA e B M Além disso o efeito da força distribuída também é separado no diagrama Conforme indica a Figura 614 o diagrama de momentos fl etores é dividido em três parcelas duas lineares uma Bookconceitosindb 169 532010 083809 ELSEVIER 170 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha que depende só de MA e outra só de B M e uma cúbica Mqx que corresponde ao polinômio do 3o grau resultante da força linearmente distribuída atuante na viga biapoiada 1 x M l x M l x M M x q B A 65 l x q l q x q x l q q x M B A A A B q 6 2 2 6 2 3 66 Para determinar os valores de MA e B M pela analogia da viga conjugada é necessário converter as condições de contorno em termos de deslocamentos e rotação da viga real em condições de contorno em termos de momentos fl etores e esforços cortantes na viga conjugada A tradução dessas condições de contorno é mostrada na Figura 615 e segue o que está indicado na Tabela 63 As duas extremidades da viga conjugada estão livres sem apoio Essa fi gura também mostra o carregamento na viga conjugada que corresponde a qCx MxEIx sendo que Mx é dado pelas Equações 65 e 66 Figura 615 Viga conjugada e seu carregamento para a determinação dos momentos de engastamento em barra com inércia variável para uma força linearmente distribuída Considerando que o carregamento da viga conjugada é autoequilibrado a determinação dos mo mentos de engastamento MA e B M é feita impondo duas equações de equilíbrio na viga conjugada A primeira impõe que o somatório das forças verticais na viga conjugada seja nulo e a segunda que o somatório dos momentos em relação ao ponto A na viga conjugada seja nulo 0 1 0 0 0 l q B l A l dx x EI x M M EI x dx l x M dx EI x l x 67 0 0 0 2 0 2 l q B l A l dx x EI x x M M EI x dx l x M dx EI x x l x 68 As Equações 67 e 68 formam um sistema de duas equações a duas incógnitas que resulta na solução para MA e B M Para o caso de barras com momento de inércia constante a solução é 30 20 2 2 l q l q M B A A 69 20 30 2 2 l q l q M B A B 610 Observe que para uma solicitação de força uniformemente distribuída para baixo qA qB q os valo res das reações momento são os mesmos obtidos anteriormente ql2 12 MA e ql2 12 MB Figura 69 Na situação em que a barra tem inércia variável os coefi cientes do sistema de equações anterior são integrais cujos integrandos correspondem a uma divisão de polinômios que no caso geral não têm solução analítica fechada Vilela e Martha 2008 fi zeram uma implementação numérica dessa metodo logia para o caso de mísulas retas ou seja quando o momento de inércia varia cubicamente ao longo do comprimento da barra Os resultados foram comparados com tabelas atribuídas a Guldan apresentadas por Süssekind 19773 e indicam uma solução precisa e efi ciente para o problema Bookconceitosindb 170 532010 083811 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 171 A metodologia desenvolvida por Vilela e Martha foi estendida na monografi a de Francisco Paulo de Aboim para conclusão da graduação em engenharia civil pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro em julho de 2009 Esse trabalho considerou uma variação do momento de inércia da seção transversão em um polinômio do 6o grau o que é consistente com uma mísula parabólica 2o grau para a barra Essa solução numéricocomputacional utilizou a linguagem de propagação Lua Ierusalimschy 2006 e está disponível na internet wwwtecgrafpucriobretoolsmisulatool 67 DEDUÇÃO DE COEFICIENTES DE RIGIDEZ À FLEXÃO DE BARRAS Esta seção exemplifi ca a utilidade da analogia da viga conjugada para a determinação de coefi cientes de rigidez de barra para o comportamento transversal de fl exão Coefi cientes de rigidez de uma barra isolada correspondem ao conjunto de forças e momentos que devem atuar nos nós nas extremidades da barra para equilibrála quando se impõe uma confi guração deformada elementar na qual somente uma componente de deslocamento ou rotação é não nula e unitária No caso do comportamento à fl exão da barra não se consideram deslocamentos impostos na direção axial da barra nem esforços normais pois o problema da deformação axial é independente considerando somente efeitos de primeira ordem O Capítulo 9 apresenta de maneira formal os coefi cientes de rigidez de barras isoladas Esta seção apresenta três exemplos para ilustrar a aplicação do processo de Mohr para determinar esses coefi cientes para o efeito transversal de fl exão A Seção 671 expõe a formulação da analogia da viga conjugada para a determinação de coefi cientes de rigidez à rotação de barras com inércia variável A Figura 616 ilustra a determinação de coefi cientes de rigidez à rotação de uma barra com inércia constante sem articulação A confi guração deformada do exemplo resulta da imposição de uma rotação θ no sentido antihorário na extremidade inicial da barra considerada biengastada A rotação imposta pode ser vista como um recalque rotacional que o apoio da esquerda sofre O objetivo do problema é determinar as reações de apoio na viga indicadas na fi gura com sentidos positivos em função da rota ção θ Figura 616 Cálculo de coefi cientes de rigidez à rotação de viga biengastada Bookconceitosindb 171 532010 083813 ELSEVIER 172 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Observase na confi guração deformada da Figura 616 que no lado esquerdo a elástica da viga tem uma concavidade para baixo e no lado direito para cima Consistentemente a elástica tem um ponto de infl exão e o diagrama de momentos fl etores tem uma variação linear com momentos fl etores negativos tra cionando as fi bras superiores à esquerda e momentos fl etores positivos tracionando as fi bras inferiores à direita Percebese que as reações momento no sentido antihorário estão de acordo com as fi bras tracionadas dos momentos fl etores nas duas extremidades A variação linear do diagrama de momentos fl etores na viga real resulta em um carregamento com distribuição linear na viga conjugada De acordo com a Tabela 63 a viga conjugada não tem apoios e tem uma força vertical com valor θ aplicada na extremidade esquerda resultando em um esforço cortante positivo nessa seção transversal compatível com a rotação imposta no sentido antihorário na viga real O problema do equilíbrio na viga conjugada é resolvido convenientemente com a decomposição do carregamento distribuído em duas parcelas que abrangem todo o vão da viga como indicado na Figu ra 616 A fi gura também mostra as equações de equilíbrio utilizadas e as expressões para as reações de apoio resul tantes Os coefi cientes de rigidez são os fatores que multiplicam a rotação θ nas expressões das reações de apoio pois por defi nição coefi cientes de rigidez à rotação são provocados por uma rotação unitária As rea ções força VA e VB da viga real podem ser obtidas com base nos momentos MA e MB por relações de equilíbrio Figura 616 Observe que isso resulta em uma expressão para a reação vertical VB na extremidade direita com sinal negativo indicando que o sentido da força é para baixo oposto ao sentido mostrado para essa reação O resultado do diagrama de momentos fl etores na viga real da Figura 616 comprova o que é comen tado na Seção 65 Figuras 64 e 65 a respeito da posição do ponto de infl exão O valor de MB é a metade do valor de MA e o ponto de infl exão onde o momento fl etor é nulo fi ca localizado a 23 do vão em relação à extremidade que sofre a rotação Isso ocorre para uma barra com rigidez à fl exão EI constante O segundo exemplo mostrado na Figura 617 é para a determinação de coefi cientes de rigidez à translação de uma barra com inércia constante sem articulação Esses coefi cientes são as forças transver sais e os momentos que devem atuar nas extremidades da barra e que são associados à imposição de um deslocamento transversal na extremidade esquerda Os coefi cientes de rigidez são os fatores que multi plicam o valor do deslocamento imposto nas expressões resultantes para as reações de apoio Figura 617 Cálculo de coefi cientes de rigidez à translação de viga biengastada Bookconceitosindb 172 532010 083814 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 173 O aspecto da elástica da viga real da Figura 617 indica uma concavidade para baixo no lado esquer do e uma concavidade para cima no lado direito Dessa forma o aspecto imaginado para o diagrama de momentos fl etores é semelhante ao do diagrama do exemplo anterior Os valores absolutos das reações momento nas extremidades são considerados diferentes entre si embora o aspecto da elástica apresente uma simetria Note na fi gura que a linha reta que une a posição do nó deslocado com o outro nó inter cepta a elástica no centro da viga O carregamento ao longo da viga conjugada da Figura 617 é semelhante ao do exemplo anterior Esse carregamento também é decomposto em duas forças distribuídas triangulares com sentidos opostos que abrangem o vão da viga Na extremidade esquerda da viga conjugada há uma carga momento no sentido horário provocando um momento fl etor positivo compatível com o valor do deslocamento imposto po sitivo na viga real A fi gura também mostra as equações de equilíbrio na viga conjugada e os valores com sinal obtidos para as reações de apoio Note que os valores das reações momento são iguais comprovando a simetria observada Com isso o ponto de infl exão se localiza no centro da viga As reações força da viga real são obtidas após determinados MA e MB por condições de equilíbrio na viga real como indica a fi gura O terceiro exemplo desta seção é para a determinação de coefi cientes de rigidez à translação de uma viga engastada na esquerda e com apoio simples na direita como mostra a Figura 618 A viga tem dois valores para momento de inércia da seção transversal Na primeira metade do vão o valor do momento de inércia é o dobro do valor da segunda metade O deslocamento é imposto na extremidade esquerda Figura 618 Cálculo de coefi cientes de rigidez à translação de viga engastada e simplesmente apoiada com inércia variável A elástica da viga real da Figura 618 apresenta um aspecto com uma única concavidade para baixo O diagrama de momentos fl etores é linear com valor negativo na extremidade esquerda e nulo no apoio simples Esse diagrama é parametrizado pela reação momento MA O carregamento na viga conjugada apresenta uma descontinuidade na seção transversal central proveniente da mudança abrupta do mo mento de inércia nessa seção Como no exemplo anterior o deslocamento transversal ρ imposto para cima na extremidade esquerda na viga real acarreta uma carga momento com valor ρ e sentido horário na viga conjugada O valor de MA é obtido impondo somatório nulo de momentos em relação ao ponto da extremidade direita da viga conjugada Os valores das reações força são obtidos por condições de equilíbrio na viga real como indicado na Figura 618 Bookconceitosindb 173 532010 083815 174 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 671 Parametros fundamentais de rigidez a flexdo para barra isolada com inércia variavel Esta segdo apresenta uma formulacao geral para a determinacao de coeficientes de rigidez a rotacao para barra isolada com inércia variavel sem articulagdes O Capitulo 9 Secdes 925 926 e 927 mostra que esses coeficientes sao considerados pardametros fundamentais Isso ocorre porque com base nos coeficientes de rigidez a rotacao possivel obter todos os outros coeficientes de rigidez para barras sem e com articulacao A Figura 619 ilustra uma viga biengastada com uma configuracdo deformada resultante de uma rotacdo imposta no sentido antihorario na extremidade inicial O que se deseja determinar sao os valores dos momentos M e M que devem atuar nas extremidades inicial e final respectivamente para impor essa configuracao deformada Os valores das reacées verticais sao determinados por condicdes de equilibrio na viga real V MM1 e Vj MMg1 VIGA REAL VIGA CONJUGADA Mae MaEM0 qx MxEIx AS A ITT Ma tv Vet al Ms EI1 e aS l Diagrama de momentos fletores Es ih xb Jac xdx0 to l YMG 0 acoxa00 Mp 9 Figura 619 Calculo de coeficientes de rigidez a rotagdo de barra com inércia variavel sem articulacdo para uma rotacgdo imposta na extremidade inicial Os aspectos da elastica e do momento fletor da viga da Figura 619 sao semelhantes aos da viga com inércia constante da Figura 616 A viga conjugada nao tem apoios e tem uma forca vertical para cima com valor aplicada na extremidade inicial associada a rotagdo imposta no sentido antihorario na viga real O carregamento da viga conjugada qx MxEIx é nao linear pois EI nao é constante Para for mular as condicées de equilibrio na viga conjugada é conveniente expressar 0 diagrama de momentos fletores linear da viga real em funcao de M e M Mx Mq i My 7 611 As duas equacoes de equilibrio mostradas na Figura 619 impdem que o somatorio das forgas ver ticais na viga conjugada seja nulo e que 0 somatério dos momentos em relacdo ao ponto A na viga con jugada seja nulo Essas duas condicdes formam um sistema de duas equacées a duas incdégnitas que é suficiente para determinar os momentos M e M Substituindo a expressdo do diagrama de momentos fletores na viga real Equacao 611 nessas duas equagées de equilibrio temse J CD1 J J LL M00 612 o Elx o Elx ona ee Capitulo 6 Analogia da viga conjugada 175 ELSEVIER 12 12 J Mx gy M J XL a My 0 613 0 EIx o Elx A solucao do sistema de equagdes formado pelas Equacoes 612 e 613 resulta nos valores de M e M Conforme definido na Secao 925 os parametros fundamentais de rigidez a flexao para uma rotacao imposta na extremidade inicial podem ser determinados K coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade inicial Ky M 0 t coeficiente de transmissao de momento da extremidade inicial para a extremidade final t MK 9 MM No caso de EI constante a solugdo desse sistema de equac6es acarreta os valores mostrados na Figura 616 M 4EI 16 e Mz 2EI1 Portanto nesse caso os parametros fundamentais sao Ky 4EIl ety 12 De maneira andloga determinamse os pardmetros fundamentais de rigidez a flexao de barra com inércia variavel para uma rotacdo 0 imposta no sentido antihorario na extremidade final A Figu ra 620 mostra a aplicacao da analogia da viga conjugada para determinar M e M de maneira a equili brar a barra com tal imposicao Dessa forma os parametros fundamentais para uma rotacdo imposta na extremidade final podem ser determinados Secao 925 K coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade final Kz Mz 6 t coeficiente de transmissao de momento da extremidade final para a extremidade inicial t MK 9 MM VIGA REAL VIGA CONJUGADA Man nM MaEI0 oe Seg oe A ST B MsEII 6 ax MayEnay 01 Va Vet 1 l Diagrama de momentos fletores Fr 0 fac xdx0 Ma 0 C CPS mays Bel Neha MS 0 Ja xxdx010 Figura 620 Calculo de coeficientes de rigidez a rotagdo de barra com inércia variavel sem articulagdo para uma rotado imposta na extremidade final A viga conjugada da Figura 620 tem uma forca com sentido para baixo na extremidade final pois isso resulta em um esforco cortante positivo nessa secdo transversal As equacées de equilibrio da viga conjugada mostradas na figura também imp6em somatorio nulo tanto de forgas verticais como de momentos em relacdo ao ponto A Essas duas equac6es podem ser expressas em funcao de M e M utilizando a Equacao 611 para Mx ELSEVIER 176 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 0 1 0 0 θ B l A l M EI x dx l x M dx EI x l x 614 0 0 2 0 2 l M EI x dx l x M dx EI x x l x B l A l θ 615 A solução do sistema formado pelas Equações 614 e 615 permite a determinação dos valores de MA e MB Quando EI é constante os valores obtidos são θ 2 l EI MA e θ 4 l EI MB resultando em l EI KB 4 e tBA 12 Observase que para barras com inércia variável os dois sistemas de equações formados pelas Equações 612 e 613 e pelas Equações 614 e 615 apresentam coefi cientes que no geral não têm solução analítica fechada integrais de divisão de polinômios De maneira semelhante ao que foi feito para rea ções de engastamento de barras isoladas Vilela e Martha 2008 sugerem uma implementação numérica para o cálculo desses coefi cientes para barras em mísula reta Os resultados obtidos nesse trabalho estão de acordo com as tabelas de Guldan Süssekind 19773 Uma implementação computacional utilizando a linguagem Lua para essa metodologia aplicada a barras com mísulas parabólicas está disponível atra vés do endereço na internet wwwtecgrafpucriobretoolsmisulatool 68 ANÁLISE DE VIGAS SUBMETIDAS A EFEITOS DE VARIAÇÃO TRANSVERSAL DE TEMPERATURA A variação de temperatura é um tipo de solicitação externa caracterizada por provocar deformações iniciais A analogia da viga conjugada apresentase como uma interessante alternativa para a análise de vigas para esse tipo de solicitação Arici 1985 Um exemplo de aplicação da analogia para uma deformação inicial localizada é mostrado nas Fi guras 67 e 68 Seção 65 No caso a deformação imposta é uma descontinuidade de rotação associada à plastifi cação de uma seção transversal Na viga conjugada a descontinuidade de rotação localizada é convertida em uma força concentrada aplicada na posição da seção em que ocorre a descontinuidade Tabela 63 O efeito de uma variação transversal de temperatura entre as faces inferior e superior da viga pode ser visto como uma imposição de uma descontinuidade de rotação distribuída ao longo da viga Portan to na viga conjugada esse efeito é convertido em uma força transversal distribuída A descontinuidade de rotação inicial provocada por um efeito térmico transversal é quantifi cada pela rotação relativa interna T dθ defi nida na Seção 545 Equação 527 Dessa forma a força transversal distri buída qT x na viga conjugada associada a T dθ é tal que a intensidade atuante em um elemento infi nitesi mal de viga de comprimento dx corresponde a T T d q dx θ Portanto chegase à seguinte expressão h x T T x q s i T Δ Δ α 616 Os parâmetros que aparecem nessa expressão são α coefi ciente de dilatação térmica do material 1 hx altura da seção transversal da viga que pode ser variável L Δ iT variação de temperatura na face inferior da viga ΔTs variação de temperatura na face superior da viga Conforme comentado na Seção 45 em estruturas isostáticas as deformações provocadas por tem peratura não sofrem qualquer tipo de restrição não causando portanto esforços internos na estrutura A Bookconceitosindb 176 532010 083820 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 177 analogia da viga conjugada demonstra esse comportamento de maneira muito simples Considere a viga biapoiada da Figura 621 com seção transversal constante submetida a um efeito térmico transversal tal que a face inferior da viga tem uma variação de temperatura Δ iT e a face superior tem uma variação de ΔTs Sem perda de generalidade podese imaginar que Δ iT 0 e ΔTs 0 pois isso acarreta dθ T 0 e qT 0 Figura 621 Cálculo de deslocamento em viga biapoiada para um efeito térmico transversal uniforme Os momentos fl etores na viga isostática real da Figura 621 são nulos pois efeitos térmicos não pro vocam esforços internos em uma viga biapoiada isostática Dessa forma o carregamento da viga conjuga da é constituído apenas pela força distribuída associada ao efeito térmico Nesse caso a força transversal distribuída T q é constante pois a altura h da seção transversal é constante e positiva para cima pois a rotação relativa interna dθ T é positiva A viga conjugada da Figura 621 também é biapoiada Percebese que o carregamento T q provoca um diagrama de momentos fl etores na viga conjugada que tem uma distribuição parabólica tracionando as fi bras superiores negativo Esse diagrama corresponde à elástica da viga real Observe que a elástica da viga real é rebatida para baixo em relação ao diagrama de momentos fl etores da viga conjugada pois os valores negativos da elástica são desenhados para baixo ao contrário dos valores negativos dos mo mentos fl etores Portanto o valor da defl exão máxima no centro da viga biapoiada provocada por uma variação transversal de temperatura é negativo como indicado na fi gura O exemplo da Figura 621 demonstra que uma viga isostática é capaz de sofrer variações de tempe ratura sem que apareçam esforços internos Isso ocorre porque a viga conjugada que também é isostática tem estabilidade própria e pode suportar a força distribuída resultante da conversão da descontinuidade de rotação distribuída imposta pelo efeito térmico transversal isto é a viga conjugada não precisa de outras cargas aplicadas como por exemplo a força distribuída resultante da conversão de um diagrama de momentos fl etores da viga real para atingir o equilíbrio Observase também que os deslocamentos transversais da viga isostática real independem do parâmetro de rigidez à fl exão EI ou seja a variação de temperatura atua livremente na viga isostática pois esta se acomoda sem resistência à deformação térmica imposta Por outro lado uma viga hiperestática como a viga biengastada da Figura 622 não se acomoda livremente a uma deformação térmica imposta Isso resulta em momentos fl etores na viga Bookconceitosindb 177 532010 083822 ELSEVIER 178 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 622 Cálculo de reações de apoio e momentos fl etores de viga biengastada para um efeito térmico transversal uniforme A viga da Figura 622 tem as mesmas propriedades e solicitação térmica da viga biapoiada do exem plo anterior Para aplicar a analogia da viga conjugada na análise da viga biengastada considerase a simetria do problema É imaginado que as reações momento nos apoios da viga biengastada são iguais e contrárias Como existe uma tendência ao alongamento das fi bras inferiores e ao encurtamento das fi bras superiores admitese que as reações momento provocam efeitos inversos a essa tendência na extremi dade esquerda a reação momento tem sentido antihorário e na extremidade direita sentido horário Portanto o diagrama de momentos fl etores da viga real é constante e negativo tracionando as fi bras superiores Mesmo que tivessem sido admitidos inicialmente valores diferentes ou outros sentidos para as reações momento a análise do equilíbrio da viga conjugada teria levado à uniformidade e ao sentido imaginados para o diagrama de momentos fl etores da viga real O carregamento da viga conjugada da Figura 622 tem contribuição de duas parcelas uma prove niente do diagrama de momentos fl etores da viga real e outra do efeito térmico Observase que pelo equilíbrio da viga conjugada sem apoios a uniformidade da força distribuída vinda do efeito térmico com sentido para cima implica uma força distribuída uniforme com sentido para baixo associada ao diagrama de momentos fl etores da viga real Isso confi rma o aspecto imaginado para esse diagrama No tase que as forças uniformemente distribuídas das duas parcelas se equilibram ponto a ponto ao longo da viga mostrando que o efeito térmico é resistido seção a seção na viga real Disso resultam momentos fl etores nulos na viga conjugada ou seja não existe deslocamento transversal na viga real O valor da reação momento da viga real resultante do equilíbrio de forças na direção vertical na viga conjugada está indicado na fi gura O terceiro exemplo de aplicação da analogia da viga conjugada para analisar efeitos térmicos trans versais em vigas encontrase na Figura 623 A viga engastada e simplesmente apoiada solicitada pelo mesmo efeito térmico dos exemplos anteriores apresenta tanto deslocamentos transversais quanto mo mentos fl etores mostrando que a viga resiste ao efeito térmico de forma global Bookconceitosindb 178 532010 083823 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 179 Figura 623 Cálculo de reações de apoio e momentos fl etores de viga engastada e simplesmente apoiada para um efeito térmico transversal uniforme No aspecto imaginado para o diagrama de momentos fl etores da viga real da Figura 623 a reação momento MA na extremidade esquerda traciona as fi bras superiores da viga Isso acarreta o diagrama trian gular negativo indicado O carregamento associado na viga conjugada é uma força distribuída li nearmente com sentido para baixo A outra solicitação na viga conjugada é a força uniformemente distribuída prove niente do efeito térmico Determinase o valor da reação MA única incógnita do problema impondo um somatório nulo de momentos em relação ao ponto B da viga conjugada O valor de MA está indicado na fi gura As reações de apoio VA e VB correspondentes são determinadas pelo equilíbrio da viga real confor me mostrado Verifi case que a reação VB tem sinal negativo e portanto sentido contrário ao desenhado Observase que os momentos fl etores na viga conjugada da Figura 623 não são nulos Assim a viga real tem deslocamentos transversais Os valores dos deslocamentos podem ser determinados facilmente pelo cálculo da equação do momento fl etor na viga conjugada O aspecto da elástica da viga real está indicado na fi gura A rotação da seção no apoio B no sentido antihorário corresponde ao esforço cortante positivo em B na viga conjugada que é consistente com a reação de apoio C B V para baixo cujo valor não está indicado Comparando a viga conjugada da Figura 623 com a da Figura 622 verifi case que no último exem plo as forças distribuídas associadas ao momento fl etor na viga real e provenientes do efeito térmico não se equilibram ponto a ponto isto é as deformações do efeito térmico transversal não são compensadas pelas deformações provocadas pelo momento fl etor seção a seção Isso indica que conforme menciona do a viga resiste ao efeito térmico de forma global A análise dos três exemplos anteriores indica que a analogia da viga conjugada permite um enten dimento mais abrangente sobre o comportamento de estruturas reticuladas submetidas a um efeito de variação de temperatura ou a qualquer outro efeito que imponha deformações iniciais protensão por exemplo Quando o comportamento cinemático em termos de deslocamentos rotações e deformações da viga real é convertido no comportamento mecânico em termos de momentos forças e forças dis tribuídas da viga conjugada a compatibilidade entre deformações iniciais solicitantes e deformações Bookconceitosindb 179 532010 083823 180 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER resistentes dos momentos fletores é substituida pela competicao por equilibrio de forcas distribuidas na viga conjugada No caso de uma viga isostatica por nao ter vinculos além dos necessdarios para ser es tavel as forcas distribuidas solicitantes das deformac6es iniciais atuam livremente e com estabilidade na viga conjugada Isso pode ser entendido como uma liberacdo ou atuacao sem resisténcia para defor mac6es iniciais na viga real isostatica Por outro lado a hipostaticidade da viga conjugada corresponden te a uma viga real hiperestatica imp6e que existam forcas distribuidas resistentes para equilibrar as forcas distribuidas solicitantes das deformac6es iniciais Essas forcas distribuidas resistentes na viga conjugada correspondem a deformac6es resistentes na viga real que sao associadas a esforcos internos No caso de estruturas que combinam outras solicitagdes externas com deformac6es iniciais as de formag6es reais nao existem somente para compatibilizar as deformag6es iniciais Um exemplo é 0 da viga continua com dois vaos mostrada na Figura 624 VIGA REAL VIGA CONJUGADA aT50C 2 q aAT ATh q a2503 000000 0000 CII LS B AAC D aa McEI p bke 3 m Sh 3 m Sh 3m Sh Sm B D AT 0C p003m A 2 eel Geel Gell pe i EI105kNm a103C h060m Qt Rot OG Qe a2503 a Co oo 3 Ale McEI Diagrama de momentos fletores i ay ect p Mc a Sa ante Sy B eC D gocce Neo voN gof 7 by SI Vs Mp Mp 60EI 60EI Ms Mp 60 Mc2 500 500 e c 7 4m 2 m2 m 4m Mé 0 3McEl2 180ED3 05003 V6 p0 3McEl 3Mc El M 0 3McEl4 3McEI8 180EN3 ee 180ED9 05003 05009 Ve12 p0 BN v Me45kNm Vi7054107 rad AN hse poxeit Va Ve Mg Mp 375 kNm le 3 m 3m Se 3m Sle I mm S Figura 624 Solucdo de viga continua com dois vdos para cargas concentradas recalque e variagdo de temperatura Além de um aquecimento das fibras superiores as fibras inferiores nao sofrem variagdo de tempera tura a viga real da Figura 624 é solicitada por duas forgas concentradas no meio de cada um dos vaos e por um recalque vertical para baixo do apoio da direita A figura indica 0 aspecto da elastica e do diagrama de momentos fletores da viga real Esse diagrama é formado por trechos retos e é determinado pelos valo res dos momentos fletores nas secdes B C e D M Me M Pelo aspecto da elastica com uma curvatura table Capitulo 6 Analogia da viga conjugada 181 voltada para baixo no apoio central concluise que o momento fletor em C traciona as fibras superiores negativo Por outro lado os valores de M e M sao dependentes de M M M 60 M2 conforme indica a Figura 624 Isso é deduzido pelo procedimento adotado para o tracado do diagrama de momen tos fletores em que se pendura o diagrama triangular P14 40 kN 6 m4 60 kNm a partir da linha reta tracejada que faz o fechamento dos valores extremos de momentos fletores de cada vao Portanto o diagrama de momentos fletores da viga real parametrizado por um unico valor o momento fletor M As condicoes de contorno na viga conjugada da Figura 624 sao obtidas de acordo com as conversdes estabelecidas na Tabela 63 O recalque vertical para baixo negativo na extremidade direita é convertido em uma carga momento aplicada no sentido horario resultando em um momento fletor negativo nessa extremidade da viga conjugada O diagrama de momentos fletores da viga real é convertido em forcas distribuidas na viga conjugada Convenientemente esse carregamento é decomposto em parcelas trian gulares que abrangem cada um dos vaos por completo Existe uma parcela adicional de carregamento na viga conjugada que esta associada a deformacao inicial provocada pelo efeito transversal de variacado de temperatura Essa parcela é a forgca uniformemente distribuida com sentido para baixo negativo cuja intensidade é obtida utilizando a Equagao 616 q aAT ATha50060 m 2503 A solucao de equilibrio da viga conjugada possibilita a determinacao da incégnita M Nao existe uma equacao de equilibrio que contenha essa incognita isoladamente Portanto duas equacdes devem ser selecionadas com a consideracao de mais uma incognita A Figura 624 mostra as duas equacoées de equilibrio utilizadas e a incégnita adicional escolhida Vs Essas equacées impdem momento fletor nulo no ponto B e somatério de momentos nulo no ponto A Os resultados para M M e M assim como para Vr estao indicados na figura Observe que a rotacao da elastica no apoio E da viga real esta associada a esta reacdo 6 Qr Vy 681 Parametros fundamentais de reagdes de engastamento provocadas por efeitos térmicos transversais para barra isolada com inércia variavel Esta secdo apresenta uma formulacao geral para a determinacdo de reagdes momento de engastamento para barra isolada com inércia varidvel sem articulagdes O Capitulo 9 Secao 932 mostra que a partir das reagdes momento de engastamento é possivel obter todas as reagdes de engastamento para barras sem e com articulacao A Figura 625 mostra uma barra biengastada com secao transversal variavel solicitada por um va riacdo transversal uniforme de temperatura caso mais geral considerado para esse tipo de solicitagao O objetivo é determinar os momentos de engastamento da barra para tal solicitagcao Os seguintes parame tros estao envolvidos na formulacao do problema a coeficiente de dilatacéo térmica do material 07 hx altura variavel da seco transversal da barra L EIx pardmetro de rigidez a flexao variavel da secao transversal da barra FL AT variagado de temperatura na face inferior da barra AT variagdo de temperatura na face superior da barra M momento de engastamento na extremidade inicial reagao momento que atua na extremidade inicial da barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha variacao de temperatura positivo no sentido antihorario FL Mz momento de engastamento na extremidade final reagao momento que atua na extremidade final da barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha variacao de temperatura positivo no sentido antihorario FL ELSEVIER 182 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 625 Cálculo de reações de apoio de viga biengastada com inércia variável para gradiente uniforme de temperatura A Figura 625 mostra o diagrama de momentos fl etores de uma viga real biengastada submetida a efeito térmico transversal Para o caso de aquecimento da face inferior e resfriamento da face superior da barra a reação momento B M deve ter sentido horário o que provocará um momento fl etor negativo na seção B Entretanto a dedução genérica desse problema é feita considerando sentidos positivos para todos os parâmetros Δ iT ΔTs A M e B M Por isso o diagrama de momentos fl etores mostrado na Figu ra 625 tem valor negativo em A positivo em B e uma variação linear A viga conjugada da Figura 625 não tem apoios e tem duas parcelas de forças distribuídas A pri meira qCx MxEIx é associada ao diagrama de momentos fl etores da viga real Essa parcela de car regamento da viga conjugada é não linear pois a rigidez à fl exão EI não é constante A segunda parcela qT x dada pela Equação 616 devese ao efeito térmico transversal Essa parcela é não uniforme pois a altura da seção transversal hx é variável Para formular as condições de equilíbrio na viga conjugada é conveniente expressar o diagrama de momentos fl etores linear da viga real em função de MA e MB utilizando a Equação 611 para Mx As equações de equilíbrio da viga conjugada mostradas na Figura 625 impõem somatório nulo de forças verticais e somatório nulo de momentos em relação ao ponto A Dessa forma temse 0 1 0 0 0 l s i B l A l dx h x T T M EI x dx l x M dx EI x l x Δ Δ α 617 0 0 0 2 0 2 l s i B l A l dx h x x T T M EI x dx l x M dx EI x x l x Δ Δ α 618 Os valores de MA e MB são determinados através da solução do sistema formado pelas Equações 617 e 618 Uma implementação computacional utilizando a linguagem Lua para o cálculo dos coefi cientes e solução desse sistema de equações para o caso de barra com mísula parabólica pode ser obtida através do endereço na internet wwwtecgrafpucriobretoolsmisulatool Quando EI e h são constantes os va lores obtidos são h T T EI M s i A Δ Δ α e h T T EI M s i B Δ Δ α que correspondem ao resultado do exemplo da Figura 622 As reações verticais são determinadas por condições de equilíbrio na viga real M l M V B A A e M l M V B A B Bookconceitosindb 182 532010 083827 Capítulo 6 Analogia da viga conjugada 183 69 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 1 Considere a viga na Figura 626 com rigidez à fl exão EI constante O apoio da direita impede a rotação do ponto B mas libera o seu deslocamento vertical Utilizando a analogia da viga con jugada determine o diagrama de momentos fl etores e o deslocamento do ponto B em função de P l e EI l P A B Figura 626 Exercício proposto 1 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Exercício 2 Considere a viga na Figura 627 com rigidez à fl exão EI constante Utilizando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores em função de P a b e EI a P b A B C Figura 627 Exercício proposto 2 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Exercício 3 Considere a viga na Figura 628 com rigidez à fl exão EI constante Utilizando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores A B C Figura 628 Exercício proposto 3 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Exercício 4 Considere a viga na Figura 629 cujas barras têm rigidez à fl exão EI 36x104 kNm2 Uti lizando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores A C B D Figura 629 Exercício proposto 4 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Exercício 5 Considere a viga na Figura 630 cujas barras têm rigidez à fl exão EI 24x104 kNm2 O apoio engaste da esquerda sofreu uma rotação como recalque cujo valor foi avaliado em θA 6x103 rad Utilizando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores na viga provocado pelo recalque de apoio A C B θA 6x103 rad Figura 630 Exercício proposto 5 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Bookconceitosindb 183 532010 083829 ELSEVIER 184 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Exercício 6 Considere a viga na Figura 631 cujas barras têm rigidez à fl exão EI 30x104 kNm2 Uti lizando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores na viga provocado por um recalque vertical ρ 4 cm de cima para baixo do engaste C à direita A B C ρ Figura 631 Exercício proposto 6 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Exercício 7 Considere a viga na Figura 632 cujas barras têm rigidez à fl exão EI 12x104 kNm2 Utili zando a analogia da viga conjugada determine o diagrama de momentos fl etores A viga está submetida concomitantemente a um recalque vertical para baixo de 3 cm no apoio A e a uma força concentrada vertical para baixo na seção C A B C D Figura 632 Exercício proposto 7 para análise de viga pela analogia da viga conjugada Bookconceitosindb 184 532010 083829 77 7 Princípio dos trabalhos virtuais Como visto na Seção 42 os métodos de análise de estruturas têm como metodologia a superposição de casos básicos No método das forças os casos básicos são soluções estaticamente determinadas isostáti cas e no método dos deslocamentos são soluções cinematicamente determinadas confi gurações defor madas conhecidas Essas soluções básicas formam a base da resolução dos métodos de análise Este capítulo apresenta uma metodologia geral para a determinação das soluções básicas para o caso de estruturas reticuladas que tenham um comportamento elástico e para barras com seção transver sal que não varia ao longo de seu comprimento O objetivo é dar subsídios para os métodos de análise tratados nos capítulos subsequentes deste livro Resumidamente o que é necessário para a análise de es truturas pelo método das forças é a determinação de deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas E para o método dos deslocamentos é necessário determinar forças e momentos que impõem confi gura ções deformadas conhecidas a estruturas A dedução das soluções básicas é feita com base no princípio dos trabalhos virtuais através de suas duas formulações princípio das forças virtuais e princípio dos deslocamentos virtuais Esta apresen tação está fortemente calcada nos livros de White et al 1976 e Tauchert 1974 e em notas pessoais do professor Luiz Eloy Vaz Para a determinação de deslocamentos e rotações em estruturas estaticamente determinadas é ne cessário um conhecimento adequado da resolução desse tipo de estrutura e do traçado de diagramas de esforços internos esforços axiais esforços cortantes momentos fl etores e momentos torçores No Capí tulo 3 foram salientados alguns aspectos importantes para o traçado dos diagramas de esforços internos em estruturas isostáticas O Capítulo 3 também apresentou a convenção de sinais adotada para esforços internos em vigas quadros planos treliças e grelhas 71 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA O princípio geral da conservação de energia é muito importante em vários métodos da análise de estrutu ras Esse princípio que é expresso como um balanço de energia ou trabalho se aplica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis Quando uma estrutura rígida em equilíbrio é submetida a um campo de deslo camentos arbitrário a soma algébrica do trabalho produzido por todas as forças aplicadas pelos respectivos deslocamentos deve resultar em um valor nulo Em estruturas deformáveis existe um termo adicional de energia devido ao trabalho produzido pelas tensões internas com as correspondentes deformações A inte gral dessa componente pontual infi nitesimal de trabalho ao longo do volume da estrutura é denominada Bookconceitosindb 185 532010 083830 186 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER energia de deformacao interna e deve ser levada em conta no balanco de energia Uma estrutura deformavel deve ser vista como um sistema eldstico como uma mola linear A diferenga é que uma estrutura é um sis tema elastico continuo no qual cada ponto armazena uma parcela da energia total de deformagao A Figura 71 mostra um elemento infinitesimal de volume de uma estrutura submetido a uma de formacao normal na direcao x A energia de deformagao por unidade de volume U armazenada nesse elemento é a area abaixo da curva tensdodeformagcao como indicado na figura No caso do material com comportamento linear a relacdo tensaodeformacao é dada pela Equagao 43 e a energia de deformacao por unidade de volume tem a seguinte expressao 1 Uy Jo dé 0 Ey 71 2 Oy ZE y d I 0 V i OF J dx Ao A Z x Ey dx ey Figura 71 Elemento infinitesimal de volume submetido a uma deformacdo normal A energia de deformacao por unidade de volume pode ser generalizada para as outras componentes de deformacao No caso de uma barra de um portico plano a energia de deformacao por unidade de vo lume veja definigaéo das deformag6es nas Secoes 511 512 e 513 e definicado das tensdes na Secao 53 é composta por Up usul sug stot etttol ef sicy 72 070 0 0 2 x x 2 x x 2 y Y Sendo 1 UG rae energia de deformacao por unidade de volume para 0 efeito axial 1 uf 50 e energia de deformacdo por unidade de volume para 0 efeito de flex4o 1 Up 3 fy y energia de deformacdo por unidade de volume para o efeito cortante No caso de grelhas 0 efeito de torgéo também deve ser considerado Para uma secao transversal com simetria radial Secdes 514 e 53 temse 1 Up at y energia de deformacao por unidade de volume para o efeito de torao Para secGes transversais sem simetria radial a energia de deformacao para 0 efeito de torcao é com putada de forma integral ao longo de uma secao transversal conforme mostrado adiante A energia de deformacao interna total é obtida pela integracao da energia U ao longo de todo o volume da estrutura Para porticos planos temse 1 1 1 U fu dV ake En dV 3 fo ef aves os dV 73 Vv 2Jv 2Jdy 2Jy No modelo matematico de estruturas reticuladas as barras sdo representadas pelos eixos que pas sam pelos centros de gravidade das secoes transversais Nesse modelo a energia de deformacao também Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 187 tem uma representação integral no nível de seção transversal resultando em uma energia de deformação por unidade de comprimento de barra A obtenção das expressões dessa energia é feita por meio da se paração da integral de volume da Equação 73 em uma integral de área ao longo da seção transversal e uma integral de linha ao longo do comprimento das barras estrutura c estrutura f estrutura a estrutura A c A f A a dU dU dU dx U dA U dA U dA U 0 0 0 74 Sendo U energia de deformação elástica total armazenada na estrutura dUa energia de deformação para o efeito axial armazenada em um elemento infi nitesimal de barra dU f energia de deformação para o efeito de fl exão armazenada em um elemento infi nitesimal de barra dUc energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um elemento infi nitesimal de barra A expressão para a dU é obtida com base nas Equações 52 e 515 N du dx dA dx du dU A a x a 2 1 2 1 σ 75 sendo N o esforço normal na seção transversal e du o deslocamento axial relativo interno dado pela Equa ção 519 Figura 510 A expressão para f dU é obtida com base nas Equações 53 e 516 θ θ σ M d dA dx dx y d dU A f x f 2 1 2 1 76 sendo M o momento fl etor na seção transversal e dθ a rotação relativa interna por fl exão dada pela Equa ção 521 Figura 511 A expressão para c dU é obtida com base nas Equações 59 e 517 Q dh dx dA dx dh dU A c y c 2 1 2 1 τ 77 sendo Q o esforço cortante na seção transversal e dh o deslocamento transversal relativo interno dado pela Equação 523 Figura 513 No caso de grelhas e pórticos espaciais o efeito de torção deve ser considerado dUt energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um elemento infi nitesimal de barra A expressão para t dU no caso de seções transversais com simetria radial é obtida com base nas Equações 510 e 524 Para uma seção transversal genérica sem simetria radial t dU é obtida de forma integral na seção consulte a Seção 544 resultando em T dϕ dUt 2 1 78 sendo T o momento torçor na seção transversal e dϕ a rotação relativa interna por torção dada pela Equa ção 525 Figura 514 A energia de deformação interna U é utilizada no princípio geral da conservação de energia A aplicação desse princípio no contexto da análise estrutural tratada neste livro requer a defi nição das se guintes premissas O carregamento é aplicado lentamente de tal forma que não provoca vibrações na estrutura não existe energia cinética O único tipo de energia armazenada pela estrutura é a energia de deformação elástica não exis tindo perda de energia na forma de calor ruído etc Bookconceitosindb 187 532010 083830 ELSEVIER 188 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A energia de deformação por efeito cortante é desprezada pois é muito menor do que a energia de deformação por fl exão para barras usuais com comprimento bem maior do que a altura da seção transversal A estrutura tem um comportamento linearelástico isto é o material da estrutura trabalha em um regime elástico e linear não existe plastifi cação em nenhum ponto e os deslocamentos da estrutura são pequenos o sufi ciente para se escreverem as equações de equilíbrio na confi gura ção indeformada da estrutura Considerando essas hipóteses o princípio da conservação de energia se reduz a WE U 79 sendo WE trabalho realizado pelas forças externas quando a estrutura se deforma Isto é o trabalho mecânico realizado pelas cargas aplicadas em uma estrutura é igual à energia de deformação interna armazenada na estrutura Se as cargas forem removidas lentamente o trabalho me cânico vai ser recomposto como ocorre na compressão e descompressão de uma mola A aplicação direta desse princípio é ilustrada na determinação do deslocamento no ponto central da viga mostrada na Figura 72 submetida a uma força vertical P1 aplicada no meio do vão Desejase calcular o deslocamento vertical D1 no ponto de aplicação da força O diagrama de momentos fl etores da viga para esse carregamento também está indicado na fi gura O trabalho realizado pela força externa é a área abaixo da curva que relaciona a força ao desloca mento de seu ponto de aplicação como indicado na Figura 72 As reações de apoio da viga que também são forças externas não produzem trabalho pois os deslocamentos correspondentes são nulos restrições de apoio E W P D l2 l2 P1 2 P 2 P D1 P1 D1 P1l4 l2 l2 x Mx Figura 72 Viga biapoiada com uma força central aplicada Portanto considerando um comportamento linear para a estrutura o trabalho total das forças exter nas para esse exemplo é 1 2 1 1 D P WE Como não existem esforços axiais nessa estrutura e a energia de deformação por cisalhamento é des prezada a energia de deformação elástica é função apenas do efeito de fl exão Considerando as Equações 74 76 e 521 temse l l l estrutura f EI dx M EI dx M M M d dU U 0 2 0 0 2 1 2 1 2 1 θ Igualando o trabalho externo à energia de deformação interna chegase a l EI dx M D P 0 2 1 1 2 1 2 1 Bookconceitosindb 188 532010 083832 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 189 Finalmente o deslocamento vertical do ponto central é dado por EI l P D EI dx M P D l 48 1 3 1 1 0 2 1 1 Observase que a utilização do princípio da conservação de energia possibilitou o cálculo do des locamento vertical do ponto central dessa viga Entretanto esse princípio não permite o cálculo de deslocamento de forma genérica Considere por exemplo que se deseja aplicar outra força na estru tura ou determinar o deslocamento em outro ponto Nesses casos o princípio da conservação de energia não fornece meios para o cálculo desejado Isso ocorre porque uma única equação WE U não é sufi ciente para a determinação de mais de um deslocamento desconhecido A solução para isso é a generalização desse princípio para o princípio dos trabalhos virtuais como será mostrado na seção a seguir 72 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo mas tem uma aplicação muito limitada para o cálculo de deslocamentos em estruturas Basicamente como visto na seção anterior esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada e o deslocamento calculado tem de ser no ponto de aplicação e na direção da força Analogamente também é possível cal cular a rotação na direção de um momento concentrado aplicado Esse princípio pode ter seu enfoque modifi cado de forma a eliminar as limitações citadas Para enunciar o princípio algumas defi nições são necessárias White et al 1976 A FA σ sistema de forças A com campo de forças externas A F e tensões internas σ A em equilíbrio entre si B DB ε confi guração deformada B com campo de deslocamentos externos DB e deformações inter nas B ε compatíveis entre si A generalização feita em relação ao princípio de conservação de energia é que agora não existe qualquer ligação entre o sistema de forças e a confi guração deformada a não ser que atuam em uma mesma estrutura isto é não existe relação causaefeito entre o sistema de forças A e a confi guração de formada B As únicas restrições são A FA σ tem de satisfazer o equilíbrio e B DB ε tem de satisfazer a compatibilidade isoladamente O balanço entre o trabalho externo e a energia de deformação interna combinando esses dois siste mas independentes resulta no princípio dos trabalhos virtuais PTV em equilíbrio B A B A E D F U W ε σ compatíveis 710 Sendo B A E D F W trabalho virtual das forças externas A F com os correspondentes deslocamentos exter nos DB B A U ε σ energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando as ten sões internas σ A com as correspondentes deformações internas B ε Devese salientar que na Equação 710 o termo ½ não aparece nas expressões do trabalho externo virtual e da energia de deformação interna virtual Esse termo aparece nas expressões do princípio da conservação de energia mostrado na Seção 71 porque forças e deslocamentos estão associados naquele Bookconceitosindb 189 532010 083833 ELSEVIER 190 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha caso ou seja têm uma relação de causa e efeito No trabalho externo virtual as forças não são a causa ou o efeito dos deslocamentos assim como na energia interna virtual as tensões internas não são a causa ou o efeito das deformações internas Devido justamente a essa independência entre forças e des locamentos o termo virtual se aplica Em outras palavras o trabalho E W e a energia de deformação U são ditos virtuais porque são meras abstrações de cálculo Para o caso de estruturas formadas por barras a energia de deformação interna virtual também pode ser expressa em termos de esforços internos e deslocamentos relativos internos Isso foi feito na seção ante rior para transformar a Equação 73 da energia de deformação elástica em termos de tensões e deformações na Equação 74 em termos de esforços internos e deslocamentos relativos internos Equações 75 76 e 77 Dessa forma o princípio dos trabalhos virtuais pode alternativamente ser expresso da seguinte maneira em equilíbrio B A B A E d f D F U W compatíveis 711 Sendo que a energia de deformação interna fi ca defi nida como fA dB U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando os es forços internos fA com os correspondentes deslocamentos relativos internos dB A Equação 711 utiliza as defi nições da Seção 59 para sistema de forças FA fA em equilíbrio e confi guração deformada DB dB compatível isto é FA é um campo de forças externas solicitações e reações de apoio atuante sobre uma estrutura fA é um campo de esforços internos NA MA QA em equilíbrio com FA DB é um campo de deslocamentos externos elástica de uma estrutura e dB é um campo de deslocamentos relativos internos duB dθB dhB compatíveis com DB No caso de pórticos planos a energia de deformação interna virtual pode ser desmembrada em parcelas que consideram os efeitos axial de fl exão e cortante B A B A B A dh Q d M du N U θ 712 O PTV só é válido se o sistema de forças FA fA realmente satisfi zer as condições de equilíbrio e se a confi guração deformada B DB ε ou DB dB realmente satisfi zer as condições de compatibilidade Portanto esse princípio pode ser utilizado para impor condições de compatibilidade a uma confi guração deformada D d qualquer Basta que se escolha arbitrariamente um sistema de forças F f denominado virtual do qual se saiba que satisfaz as condições de equilíbrio Essa versão do PTV é cha mada de princípio das forças virtuais e será apresentada na próxima seção De maneira análoga o PTV pode ser utilizado para impor condições de equilíbrio a um sistema de forças F f qualquer Basta que se escolha arbitrariamente uma confi guração deformada D d de nominada virtual da qual se saiba que satisfaz as condições de compatibilidade Essa versão do PTV é chamada de princípio dos deslocamentos virtuais e será apresentada na Seção 74 73 PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS Em muitas situações na análi se de estruturas é necessário impor condições de compatibilidade a uma confi guração deformada Por exemplo quando se calcula uma componente de deslocamento em um ponto de uma estrutura o que se deseja é o valor do deslocamento que é compatível com a confi guração deformada da estrutura que é provocada por alguma solicitação No contexto deste livro o cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas é a principal solução fundamental utilizada dentro da metodo logia do método das forças como apresentado na Seção 421 Bookconceitosindb 190 532010 083833 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 191 O princípio das forças virtuais PFV é uma das principais ferramentas para a determinação de deslo camentos em estruturas Esse princípio diz que Dada uma confi guração deformada real D ε ou D d e um sistema de forças F σ ou F f arbitrário virtual em equilíbrio a igualdade WE U estabelece uma condição de com patibilidade para a confi guração deformada real Sendo que F D WE trabalho das forças externas virtuais F com os correspondentes deslocamentos exter nos reais D σ ε U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando as tensões internas virtuais σ com as correspondentes deformações internas reais ε ou f d U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando os esforços internos virtuais f com os correspondentes deslocamentos relativos internos reais d O PFV utiliza um sistema auxiliar chamado sistema virtual completamente independente do sistema real sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou rotação ou estabelecer uma condi ção de compatibilidade O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura mas com cargas diferentes As cargas do sistema virtual são compostas de uma força ou momento escolhida arbitrariamente na direção do deslocamento ou rotação que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio As cargas do sistema virtual não existem na realidade por isso são ditas virtuais e são meras abstrações para cálculo Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 73 com uma força concentrada P1 no centro sistema real Desejase determinar o valor do deslocamento D2 em um ponto qualquer defi nido por uma distân cia a ao apoio da esquerda O sistema virtual é defi nido arbitrariamente com uma força 2 P aplicada nesse ponto e com a mesma direção do deslocamento Na fi gura estão indicados os diagramas de momentos fl etores M e M dos sistemas real e virtual O PFV aplicado à viga da Figura 73 resulta em desprezando deformações provenientes do efeito cortante l E M d D P U W 0 2 2 θ sendo dθ a rotação relativa interna do sistema real Pela Equação 521 temse l dx EI x M x M P D 0 2 2 1 l2 l2 P1 2 P 2 P D1 P1l4 x D2 x a b l l P2b a b P2 Mx Sistema Real Sistema Virtual l a P2 P2ab l Mx Figura 73 Cálculo de deslocamento genérico em viga biapoiada com uma força central aplicada Bookconceitosindb 191 532010 083833 ELSEVIER 192 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Portanto o PFV permite o cálculo de deslocamentos e rotações de forma generalizada As cargas da estrutura real podem ser quaisquer e podese calcular deslocamentos e rotações em qualquer ponto e em qualquer direção Nesse exemplo a magnitude da força virtual 2 P é irrelevante haja vista que o valor dessa força vai se cancelar na expressão que determina D2 pois o diagrama de momentos fl etores virtuais M é uma fun ção linear de 2 P Entretanto usualmente adotase um valor unitário para a carga virtual Observase que a aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à fl exão resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos fl etores nos sistemas real e virtual A Tabela 71 mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em uma barra com rigidez à fl exão EI constante ao longo do seu comprimento Para esse caso o parâmetro 1EI pode multiplicar por fora o resultado da integral Tabela 71 Combinação de diagramas de momentos fl etores em barra l MMdx 0 MB l MC l MB MC D M 8 MD ql2 16 2l q q M B A D 16 2l q M A E 16 2l q M B F MD l2 l2 qA qB MB l C M l MA l MB l C M l MA M l M A A M l M A B 2 1 M l M A C 2 1 l MB M l M B A 2 1 M l M B B 3 1 M l M B C 6 1 l C M M l M C A 2 1 M l M C B 6 1 M l M C C 3 1 D M l2 l2 q M l M D A 3 2 M l M D B 3 1 M l M D C 3 1 ME l2 l2 qA M l M E A 3 2 M l M E B 45 16 M l M E C 45 14 MF l2 l2 qB M l M F A 3 2 M l M F B 45 14 M l M F C 45 16 A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um ponto de um pórtico plano é obtida das Equações 711 e 712 estrutura estrutura estrutura E Q dh M d N du P U W θ Δ 1 713 Bookconceitosindb 192 532010 083834 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 193 Em que Δ deslocamento ou rotação a ser calculado no sistema real L ou R du deslocamento axial relativo interno no sistema real L dθ rotação relativa interna por fl exão no sistema real R dh deslocamento transversal relativo interno no sistema real L P carga virtual genérica associada ao deslocamento ou rotação a ser calculado F ou FL N esforço normal no sistema virtual provocado por P F M momento fl etor no sistema virtual provocado por P FL Q esforço cortante no sistema virtual provocado por P F A Tabela 72 mostra alguns tipos de cargas virtuais utilizadas dentro do contexto do PFV para cal cular deslocamentos e rotações em pontos de um pórtico plano As cargas virtuais mostradas nessa tabela são utilizadas dentro da metodologia de cálculo do mé todo das forças para determinar deslocamentos ou rotações nas direções de vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas Como visto na Seção 421 o método das forças utiliza uma estrutura auxiliar isostática chamada de sistema principal obtida da estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos Esses vínculos podem ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna e os deslocamentos e rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados O próximo capí tulo abordará essa metodologia em detalhes No caso de uma grelha estrutura plana com cargas fora do plano o efeito de torção também deve ser considerado resultando na seguinte expressão para o cálculo de um deslocamento genérico pelo PFV estrutura estrutura estrutura E Q dh T d M d P U W ϕ θ Δ 1 714 Sendo dϕ rotação relativa interna por torção no sistema real R T momento torçor no sistema virtual provocado por P FL Os deslocamentos relativos internos no sistema real dependem da solicitação externa que atua sobre a estrutura Os deslocamentos relativos internos são defi nidos na Seção 54 para o caso de solicitações de carregamentos externos e de variação de temperatura Entretanto existem outros tipos de solicitações que também provocam deslocamentos em estruturas como recalques de apoio e modifi cações impostas na montagem ou construção da estrutura Seção 45 As seções a seguir mostrarão aplicações do PFV para o cálculo de deslocamentos e rotações em es truturas isostáticas devidos a diferentes tipos de solicitações carregamento externo variação de tempe ratura e recalque de apoio Na sequência também será mostrada uma aplicação do PFV para a verifi cação do atendimento a condições de compatibilidade de uma viga hiperestática Bookconceitosindb 193 532010 083835 194 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Tabela 72 Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotagdes em vinculos eliminados de estruturas hiperestaticas Vinculo eliminado Deslocamento ou rotacdo Carga virtual associadoa Impedimento Deslocamento horizontal de horizontal do avoio ponto do vinculg P1 Z eliminado X Impedimento Deslocamento vertical de vertical do ponto apoio do vinculo eliminado al P1 Impedimento Rotagao da segao de rotacao de 7s do vinculo apoio eliminado M1 Continuidade Rotacao relativa VWe1 We de rotagao da entre secdes adja M1 M1 elastica centes a rotula introduzida SSS SS SSS eee 9 Deslocamento hori zontal relativo na i secao de corte ts 3 P1 P1 ore a om Pe ee g Continuidade de Deslocamento vertical deslocamentos e rotagao relativo na secao de da eldstica i corte a 4 P1 a SH Bp ee a 6 fa Rotacao relativa h na secio de corte M1 Me1 q Xo S ae Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 195 731 Deslocamentos provocados por carregamento externo As solicitações externas mais comuns em uma estrutura são carregamentos aplicados como peso pró prio cargas de ocupação cargas móveis cargas de vento etc A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a solicitações desse tipo em um quadro plano é obtida substituindo as Equações 519 521 e 523 dos deslocamentos relativos internos reais na Equação 713 estrutura estrutura estrutura GA dx Q Q dx EI M M EA dx N N P χ Δ 1 715 Sendo N esforço normal no sistema real provocado pelo carregamento externo F M momento fl etor no sistema real provocado pelo carregamento externo FL Q esforço cortante no sistema real provocado pelo carregamento externo F Para uma grelha utilizando a Equação 525 a expressão do PFV resulta em estrutura estrutura t estrutura GA dx Q Q GJ dx T T dx EI M M P χ Δ 1 716 Sendo T momento torçor no sistema real provocado pelo carregamento externo FL A última integral que considera o efeito de cisalhamento cortante nas Equações 715 e 716 tem va lor pequeno em comparação com os outros termos no caso de barras longas altura da seção transversal menor que aproximadamente ¼ do vão da barra Nesse caso a integral é desprezada A estrutura da Figura 74 é utilizada para exemplifi car o cálculo de deslocamento em um pórtico plano Considere que se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio da direita provocado pela força linearmente distribuída carga trapezoidal indicada A Figura 74 mostra os sistemas real e virtual utilizados com a confi guração deformada real onde o deslocamento desejado Δ está indicado O ma terial adotado é um aço com módulo de elasticidade E 205x108 kNm2 Para as colunas é adotada a seção transversal CS 200x523 com área Ac 67x103 m2 e momento de inércia Ic 48x105 m4 A seção transversal da viga é a VS 300x430 com área Av 55x103 m2 e momento de inércia Iv 88x105 m4 A energia de deformação interna virtual para o cálculo do deslocamento da estrutura da Figura 74 é composta de duas parcelas uma provocada pelos efeitos axiais e outra pelos efeitos de fl exão O cálculo da parcela associada aos efeitos axiais é mostrado a seguir sendo que a integral ao longo da estrutura é decomposta em um somatório de integrais ao longo das três barras barra barras barras barra estrutura l EA N N EA dx N N EA dx N N 717 Nessa expressão os esforços normais reais N e virtuais N estão indicados na Figura 74 e l é o comprimento de uma barra A convenção de sinais adotada Seção 36 é tal que os esforços normais de tração são positivos e os de compressão são negativos Dessa forma temse 13 78 2 13 66 4 1 18 6 c c v estrutura EA EA EA EA dx N N 718 Bookconceitosindb 195 532010 083838 ELSEVIER 196 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Sistema Real Sistema Virtual Δ kNm M kN N 18 78 66 P N 1 13 13 M Figura 74 Cálculo de deslocamento devido a um carregamento externo pelo PFV O cálculo da parcela de energia de deformação virtual por fl exão também é decomposto em um somatório de integrais computadas em cada barra barras barra estrutura dx EI M M dx EI M M 719 Os diagramas de momentos fl etores real M e virtual M estão indicados na Figura 74 Observa se que de acordo com a convenção adotada Seção 3733 os valores dos momentos fl etores nos diagra mas não são indicados com sinal pois as ordenadas do diagrama são sempre traçadas do lado da fi bra tracionada da barra isto é do lado em que o momento fl etor provoca tração A integral ao longo de cada barra na Equação 719 é calculada com base na Tabela 71 O exemplo ilustra a utilização dessa tabela de combinação de diagrama de momentos fl etores O cálculo para a viga é explicado na Figura 75 O diagrama de momentos fl etores reais é desmembrado em dois triângulos e duas parábolas cúbicas com valores indicados no centro e o diagrama de momentos fl etores virtuais é desmembrado em dois triângulos Essas parcelas são combinadas em separado para avaliar a integral Observase que os sinais da integral são positivos quando as parcelas dos diagramas tracionam fi bras do mesmo lado da barra e são negativos quando tracionam fi bras opostas Bookconceitosindb 196 532010 083839 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 197 M M 6 4 36 6 1 3 4 72 6 1 6 0 MMdx 45 4 81 6 14 45 4 27 6 16 6 0 MMdx 3 2 36 6 1 6 2 72 6 1 6 0 MMdx 45 2 81 6 16 45 2 27 6 14 6 0 MMdx 12 kNm 3 m 3 m 36 kNm 3 m 3 m Figura 75 Combinação de diagramas de momentos fl etores real e virtual para a viga da estrutura da Figura 74 Observe que as parcelas do diagrama de momentos fl etores reais associadas ao carregamento tra pezoidal são obtidas decompondo esse carregamento em dois carregamentos triangulares um com 12 kNm na extremidade esquerda e outro com 36 kNm na extremidade direita As parcelas em pa rábolas cúbicas correspondem aos diagramas de viga biapoiada para os carregamentos triangulares Os valores indicados nos centros dessas parcelas em parábola cúbica correspondem a ql216 sendo q o valor máximo do carregamento e l o comprimento do trecho As parcelas de contribuição da viga para a energia de deformação virtual por fl exão indicadas na Figura 75 são somadas às parcelas de contribuição das colunas resultando em 2 36 2 3 1 4 72 4 3 1 2 81 6 45 16 2 27 6 45 14 2 36 6 3 1 2 72 6 6 1 c c v v v v EI EI EI EI EI EI 4 81 6 45 14 4 27 6 45 16 4 36 6 6 1 4 72 6 3 1 v v v v estrutura EI EI EI EI dx EI M M 720 Com base nas Equações 715 718 e 720 e nos valores dos parâmetros E Av Iv Ac e Ic o deslocamento desejado da estrutura da Figura 74 pode ser calculado m 2 88x10 2 87x10 1 40x10 1 2 2 4 estrutura estrutura dx EI M M EA dx N N P Δ O sinal negativo do deslocamento calculado signifi ca que seu sentido da direita para a esquerda é contrário ao sentido da carga virtual P aplicada Observase que a contribuição da parcela de energia de deformação devida ao efeito axial 140x104 m é muito menor em módulo do que a contribuição da parcela devida ao efeito de fl exão 287x102 m Isso é usual para pórticos que trabalham fundamentalmente à fl exão e em geral no cálculo manual a contribuição da energia de deformação axial é desprezada Bookconceitosindb 197 532010 083839 198 Andlise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 732 Deslocamentos provocados por variagao de temperatura Como visto nas Secées 45 e 68 variacdes de temperatura nado provocam esforcos em uma estrutura isostatica Isso ocorre porque a estrutura isostatica tem o numero exato de vinculos para ser estavel e portanto sempre se ajusta a pequenas modificagcdes no comprimento dilatacéo ou encurtamento de suas barras provocadas por variac6es de temperatura Em outras palavras podese imaginar que uma es trutura isostatica nao oferece resisténcia para acomodar uma barra que sofreu uma pequena modificacao em seu comprimento em decorréncia de uma variacao de temperatura ja que a estrutura isostatica sem aquela barra se configura em um mecanismo Isso significa que a variacdo de temperatura provoca deslo camentos sem que aparecam esforcos em uma estrutura isostatica Entretanto variacdes de temperatura em estruturas hiperestaticas provocam deformacées e esforcos internos Muitas vezes essas solicitagdes sao de grande importancia em estruturas hiperestaticas Os efeitos de variagdo de temperatura em estruturas hiperestaticas serao considerados no préximo capitulo Esta secdo mostra como se aplica o principio das forcas virtuais para 0 calculo de deslocamentos provocados por variacao de temperatura em uma estrutura isostatica No contexto do PFV a variacdo de temperatura provoca o estado de deformacao do sistema real que no caso é uma estrutura isostatica Para se aplicar o PFV é necessario utilizar os deslocamentos relativos internos devidos a variagdo de temperatura Esses deslocamentos relativos internos foram defi nidos na Segao 545 sendo du deslocamento axial relativo interno devido a variacdo de temperatura Equacao 526 do rotacao relativa interna por flexao devida 4 variacdo de temperatura Equacao 527 dh 0 deslocamento transversal relativo interno devido a variacado de temperatura por hipotese é nulo A expressao geral do PFV para o calculo de um deslocamento genérico devido a uma variacao de temperatura genérica em um quadro plano é obtida substituindo as Equacées 526 e 527 dos desloca mentos relativos internos reais com dh 0 na Equacao 713 ay Jac ateo te 4 fEaioas 72 P h estrutura estrutura Sendo a coeficiente de dilatacéo térmica do material 07 h altura da secAo transversal da barra L AT variagado de temperatura na fibra inferior da barra AT variacao de temperatura na fibra superior da barra AT variagdo de temperatura na fibra do centro de gravidade da secao O As integrais ao longo da estrutura da Equacao 721 sio decompostas em um somatorio de integrais ao longo das barras Considerando que as barras sao prismaticas e que a variacdo de temperatura nas fibras superiores e inferiores de cada barra é uniforme essa equacao pode ser simplificada para 24 feat fro S220 fa 2 P and barra fmt h barra Observase na Equacao 722 que as integrais que aparecem correspondem as areas com sinal dos diagramas de esforco normal e momento fletor do sistema virtual calculadas em cada barra Para exemplificar 0 calculo de deslocamento pelo PFV devido a uma variacao de temperatura sera utilizada a mesma estrutura da Figura 74 Considere que a estrutura sofre um aquecimento interno de Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 199 20oC como indicado na Figura 76 e que também se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio da direita Portanto o mesmo sistema virtual adotado na Figura 74 é adotado aqui O material tem um coefi ciente de dilatação térmica α 0000012oC A altura da seção transversal das colunas é hc 020 m e a altura da seção transversal da viga é hv 030 m Tanto para a viga quanto para as colunas o centro de gravidade da seção transversal se situa no meio da altura Sistema Real Sistema Virtual P M Δ 2 2 4 4 Figura 76 Cálculo de deslocamento devido a uma variação de temperatura pelo PFV Para o cálculo de deslocamento em um pórtico provocado por uma variação de temperatura é con veniente defi nir quais são as fi bras inferiores e superiores das barras do pórtico A convenção adotada neste livro Seção 36 estabelece que as fi bras inferiores de uma barra vertical de um pórtico plano são as fi bras da direita Dessa forma as linhas tracejadas no diagrama de momentos fl etores virtuais da Figu ra 76 indicam as fi bras inferiores das barras adotadas no cálculo do deslocamento Disso resulta que a viga do pórtico da Figura 76 tem ΔTi 20oC ΔTs 0oC e ΔTCG 10oC a coluna da esquerda tem ΔTi 20oC ΔTs 0oC e ΔTCG 10oC e a coluna da direita tem ΔTi 0oC ΔTs 20oC e ΔTCG 10oC De forma consistente os momentos fl etores virtuais do exemplo da Figura 76 estão indicados com sinal seguindo a convenção adotada Seção 36 que considera que momentos fl etores são positivos quando tracionam as fi bras inferiores da barra e negativos quando tracionam as fi bras superiores Ob servase que nesse exemplo todos os momentos fl etores tracionam fi bras interiores do pórtico Como as fi bras internas da coluna da esquerda são consideradas as fi bras inferiores os momentos fl etores nessa coluna são positivos Por outro lado os momentos fl etores na coluna da direita são negativos pois as fi bras inferiores dessa coluna são as fi bras externas Os esforços normais virtuais nas barras do exemplo da Figura 76 estão indicados na Figura 74 sendo que a viga tem N 1 a coluna da esquerda tem N 13 e a coluna da direita tem N 13 A aplicação da Equação 722 para o cálculo do deslocamento desse exemplo resulta em Δ 3 2 1 10 3 4 1 10 1 6 10 α α α 2 2 2 20 0 2 4 4 0 20 6 2 2 4 0 20 c c v h h h α α α 723 Observase nessa equação que as integrais áreas dos diagramas virtuais de esforços normais e de momentos fl etores das barras do pórtico levam em conta os sinais desses esforços Utilizando α 0000012oC hv 030 m e hc 020 m na Equação 723 temse o deslocamento hori zontal do apoio da direita m 2 72x10 2 64x10 0 08x10 2 2 2 Δ O sinal positivo indica que o deslocamento é da esquerda para a direita pois esse foi o sentido da carga virtual aplicada Bookconceitosindb 199 532010 083841 ELSEVIER 200 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 733 Deslocamentos provocados por recalques de apoio Recalques de apoio em geral são solicitações acidentais Entretanto as fundações de uma estrutura po dem apresentar pequenos movimentos que devem ser considerados em uma análise para avaliar a capa cidade de resistência da estrutura Conforme visto nas Seções 45 e 64 recalques de apoio não provocam esforços em uma estrutura isostática pois a estrutura isostática tem o número exato de vínculos para ser estável e portanto sempre se ajusta a um pequeno movimento de apoio Em outras palavras podese imaginar que ao se movimentar um apoio a estrutura isostática perde um vínculo transformandose em um mecanismo uma cadeia cinemática Assim a estrutura se acomoda como um corpo rígido sem deformações para a nova posição do apoio Portanto recalques de apoio provocam deslocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deformações ou esforços Por outro lado movimentos diferenciados de apoios de estruturas hiperestáticas provocam defor mações e esforços internos na estrutura Assim como no caso de variações de temperatura os recalques de apoio podem provocar solicitações que são de grande importância em estruturas hiperestáticas Os efeitos de recalques de apoio em estruturas hiperestáticas serão considerados no próximo capí tulo Esta seção mostra como se aplica o princípio das forças virtuais para o cálculo de um deslocamento provocado por um recalque de apoio de uma estrutura isostática O mesmo pórtico plano adotado nas seções anteriores é considerado como exemplo para o cálculo do deslocamento como mostrado na Figura 77 No exemplo o apoio da esquerda da estrutura sofre um recalque vertical ρ de 6 cm para baixo Sistema Real Sistema Virtual P Δ VA 13 ρ 006 m Figura 77 Cálculo de deslocamento devido a um recalque de apoio pelo PFV Observase através da elástica indicada com amplitude exagerada na Figura 77 que o quadro isostático sofreu um movimento de corpo rígido devido ao recalque isto é as barras permanecem retas sem deformação Portanto a energia de deformação interna virtual é nula U 0 724 Por outro lado o trabalho virtual das forças externas agora recebe a contribuição da reação de apoio do sistema virtual A V com o correspondente deslocamento recalque de apoio real ρ Δ 13 P WE Nessa expressão foi considerado que a reação vertical virtual no apoio da esquerda é negativa pois tem o sentido de cima para baixo assim como o recalque real é negativo porque é para baixo A imposição da expressão do PFV WE U resulta no valor do deslocamento desejado no qual o sinal negativo indica que o deslocamento é da direita para a esquerda m 2 00x10 13 1 0 2 Δ ρ Δ P WE Bookconceitosindb 200 532010 083841 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 201 A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a recalques de apoio em um quadro isostático é obtida considerando que pela Equação 724 a energia de deformação interna virtual é nula recalques R P ρ Δ 1 725 Sendo ρ recalque de apoio genérico na estrutura real L ou R R reação de apoio no sistema virtual correspondente ao recalque real ρ F ou FL Os sinais das reações e recalques na Equação 725 devem ser consistentes com os seus respectivos sentidos 734 Verifi cação de atendimento à condição de compatibilidade Embora os exemplos mostrados nas seções anteriores tenham tratado de estruturas isostáticas o PFV também pode ser aplicado para estruturas hiperestáticas Nesse caso a estrutura do sistema virtual não precisa ter necessariamente os mesmos vínculos da estrutura real pois a única restrição quanto ao siste ma de forças virtuais é que satisfaça condições de equilíbrio Por exemplo considere a viga engastada e apoiada da Figura 78 ql28 q 8 5ql 8 3ql ql28 l2 l2 l M1 Sistema Real Sistema Virtual ql28 ql28 1l 1l M ql l Mdx M l 8 3 1 2 1 0 M ql l Mdx M l 8 3 1 2 1 0 1 M 1 M M M M M Figura 78 Sistema virtual para verifi cação de correção de diagrama de momentos fl etores de uma viga engastada e apoiada Na Figura 78 a estrutura real é hiperestática e a virtual é uma estrutura isostática obtida da estru tura real pela eliminação de um vínculo restrição à rotação θ1 na extremidade esquerda Nesse caso tendose disponível o diagrama de momentos fl etores da estrutura hiperestática real Figura 610 o cál culo da rotação na direção do vínculo eliminado deve resultar em um valor nulo Isso é na verdade uma verifi cação da correção do diagrama o diagrama correto é aquele que faz com que a condição de compatibilidade no vínculo liberado no sistema virtual seja satisfeita De fato o cálculo da rotação θ1 pelo PFV resulta em um valor nulo 0 3 8 1 3 8 1 1 2 2 0 1 1 EI l ql EI l ql dx EI x M x M M l θ Bookconceitosindb 201 532010 083842 ELSEVIER 202 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Nessa expressão a integral foi avaliada conforme indica a Figura 78 O diagrama de momentos fl etores real foi desmembrado em um triângulo e em uma parábola com máximo no centro Com base na Tabela 71 essas parcelas foram combinadas em separado com o triângulo do diagrama de momentos fl etores virtual para avaliar a integral Devese tomar cuidado na escolha do sistema virtual a estrutura adotada no sistema virtual nunca deve adicionar um vínculo em relação à estrutura real Considere como exemplo a estrutura da Figu ra 79 da qual se deseja calcular o deslocamento D1 no ponto central Note que a estrutura real é hipe restática e a estrutura virtual é isostática Entretanto a estrutura virtual tem um vínculo adicional na extremidade direita engaste que não existe na estrutura real q 8 5ql 8 3ql ql28 P1 Sistema Real Sistema Virtual ql28 ql28 M M 2 2 M l 2 θ l2 l2 D1 l2 l2 l2 Figura 79 Sistema virtual com vínculo adicional em relação à estrutura real O problema com a escolha do sistema virtual da Figura 79 é que no trabalho externo virtual total deve ser computado o trabalho realizado pela reação de apoio momento virtual 2 M com a correspon dente rotação real θ2 na extremidade direita Isso impede a determinação do deslocamento D1 pois na expressão do PFV aparecem duas incógnitas D1 e θ2 l E dx EI MM M D P U W 0 2 2 1 1 θ Note nessa expressão que o trabalho da reação momento virtual 2 M realizado com a rotação real θ2 é negativo pois essas entidades têm sentidos opostos horário e antihorário respectivamente 74 PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS Em várias situações na análise de estruturas é necessário impor condições de equilíbrio a u m sistema de forças Por exemplo as soluções fundamentais do método dos deslocamentos correspondem à determi nação de valores de forças e momentos que equilibram uma estrutura que tem uma confi guração defor mada compatível imposta como apresentado na Seção 422 O princípio dos deslocamentos virtuais PDV é uma das principais ferramentas para a determinação de forças e momentos necessárias para impor uma determinada confi guração deformada compatível com uma estrutura Esse princípio diz que Dado um sistema de forças real F σ ou F f e uma confi guração deformada D ε ou D d arbitrária virtual compatível a igualdade WE U estabelece uma condição de equilí brio para o sistema de forças real Sendo F D WE trabalho das forças externas reais F com os correspondentes deslocamentos externos virtuais D Bookconceitosindb 202 532010 083842 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 203 σ ε U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando as tensões internas reais σ com as correspondentes deformações internas virtuais ε ou f d U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura combinando os esforços internos reais f com os correspondentes deslocamentos relativos internos vir tuais d Assim como o PFV o PDV utiliza um sistema auxiliar virtual que é completamente independente do sistema real sendo este a estrutura da qual se quer estabelecer uma condição de equilíbrio O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura mas com uma confi guração deformada D d escolhida arbi trariamente de tal maneira que uma única força ou momento desconhecida a que se deseja calcular produza trabalho externo A confi guração deformada do sistema virtual não existe na realidade por isso é dita virtual e é uma mera abstração para cálculo Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 710 com uma força concentrada 1 P com posição defi nida por uma distância a ao apoio da esquerda sistema real Desejase determinar o valor da reação vertical VA no apoio da esquerda O sistema virtual é defi nido arbitrariamente com um campo de des locamentos externos virtuais D tal que a outra reação de apoio desconhecida VB não produza trabalho externo Sistema Real Sistema Virtual a b l A V DA 1 B V P1 a b b l D 1 Figura 710 Cálculo de reação de apoio de uma viga biapoiada pelo PDV Como a viga é isostática o campo de deslocamentos virtuais resultante da imposição de um deslo camento virtual unitário no apoio da esquerda corresponde a um movimento de corpo rígido A conse quência disso é que a energia de deformação virtual é nula U 0 Observase na Figura 710 que o campo de deslocamentos externos virtuais não precisa satisfazer as condições de compatibilidade externas ou internas da estrutura real Como dito a única restrição quanto à confi guração deformada virtual é que os deslocamentos externos virtuais sejam compatíveis com os deslocamentos relativos ou deformações internos virtuais Pela Figura 710 o valor do deslocamento virtual 1 D que corresponde à força externa real 1 P é obtido por semelhança de triângulos Portanto o valor da reação VA sai diretamente da imposição de WE U com U 0 l P b V D P D V A A A 1 1 1 0 A parcela de trabalho virtual externo associado a 1 P é negativa pois 1 P e 1 D têm sentidos opostos O PDV também pode ser utilizado para determinar um esforço interno em uma estrutura Para tan to é necessário escolher uma confi guração deformada virtual que isole na equação WE U o esforço que se quer calcular Considere por exemplo que se deseja determinar o esforço cortante na seção S de uma viga apoiada como indicado na Figura 711 A viga está submetida a uma força concentrada 1 P Bookconceitosindb 203 532010 083843 ELSEVIER 204 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha defi nida por uma distância a ao apoio da esquerda e a seção S é defi nida pela ordenada x ao início da viga sendo que a x Sistema Real Sistema Virtual P1 l VA VB A B S QS MS MS l x lx x xl a b b l D 1 lxl ΔS 1 a b y Figura 711 Cálculo de esforço cortante de uma viga biapoiada pelo PDV A confi guração deformada virtual do exemplo da Figura 711 é defi nida de tal forma que não existe deformação no interior da viga com exceção do ponto correspondente à seção S onde existe um deslo camento transversal relativo interno virtual ΔS 1 concentrado isto é foi imposta uma descontinuidade transversal unitária na posição da seção S Esse campo de deslocamentos virtual foi escolhido de tal for ma que somente o esforço cortante QS na seção S produza energia de deformação virtual interna Como não existe rotação relativa entre os trechos da elástica virtual antes e depois da seção S MS não provoca energia de deformação O sinal de S Δ é positivo porque percorrendo o eixo da barra da esquerda para a direita a desconti nuidade de deslocamento transversal se dá no sentido contrário ao do eixo local y da barra Esse sentido é consistente com o sentido positivo de um deslocamento transversal relativo interno dh como mostra a Figura 513 Observase que a imposição da descontinuidade de deslocamento transversal na seção S resulta em movimentos de corpo rígido para os trechos separados da viga Isso só ocorre porque a viga é isostática e quando cortada em duas partes se transforma em uma cadeia cinemática que não oferece resistência à descontinuidade imposta Portanto a energia de deformação interna virtual tem a seguinte expressão S QS U Δ Por outro lado somente a força externa real 1 P provoca trabalho externo As outras forças externas as reações de apoio VA e VB têm correspondentes deslocamentos virtuais nulos Portanto como 1 P e 1 D têm o mesmo sentido para baixo P1 D1 WE sendo que 1 D está indicado na Figura 711 Com base na expressão WE U chegase ao valor do esforço cortante desejado l P b QS 1 É óbvio que nesse exemplo a aplicação do equilíbrio diretamente é uma forma muito mais simples para se determinar o valor do esforço cortante em S O objetivo do exemplo é mostrar que o PDV é uma maneira alternativa para se imporem condições de equilíbrio que em alguns casos pode ser mais adequa da Devese observar também que o valor do esforço cortante QS foi obtido diretamente pelo PDV sem Bookconceitosindb 204 532010 083843 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 205 que se tivessem calculado as reações de apoio da viga Isso evidencia a elegância desse princípio como ferramenta matemática para imposição de equilíbrio De maneira análoga o momento fl etor na seção S desse exemplo também pode ser determinado diretamente pelo PDV A Figura 712 mostra a confi guração deformada virtual que é utilizada para de terminar MS Sistema Real Sistema Virtual l VA VB A B S QS MS MS l x lx x x lx l x l x b x l D 1 θS 1 P1 a b a b θA B θ Figura 712 Cálculo de momento fl etor de uma viga biapoiada pelo PDV A elástica virtual do exemplo da Figura 712 é composta de trechos retos com uma rotação relativa inter na θS 1 concentrada na posição da seção S considerando pequenos deslocamentos de tal forma que o arco de um círculo é aproximado por sua corda O sinal de S θ é positivo pois percorrendo o eixo da barra da esquerda para a direita a descontinuidade de rotação se dá no sentido antihorário Esse sentido é consistente com o sentido positivo de uma rotação relativa interna por fl exão θ d como indicado na Figura 511 Nesse caso os trechos separados da viga isostática giram como corpos rígidos e não existe desloca mento transversal relativo virtual Portanto somente MS produz energia de deformação interna virtual S MS U θ A partir da imposição de WE U sendo P1 D1 WE e b x l D 1 veja a Figura 712 observando que 1 P e 1 D têm o mesmo sentido chegase a l b x P MS 1 A aplicação do PDV aos exemplos anteriores pode ser feita de forma alternativa interpretando os pares de esforço cortante e de momento fl etor atuando de cada lado da seção transversal cortada como pertencentes ao campo de forças externas reais da viga isostática separada em dois trechos Nesse caso o deslocamento transversal relativo interno virtual e a rotação relativa interna virtual são aplicados res pectivamente com sentidos contrários aos sentidos positivos do esforço cortante e do momento fl etor isto é o campo de deslocamentos virtuais da Figura 711 é tal que o esforço cortante QS positivo atuando para baixo na porção da esquerda sofre um movimento virtual para cima e o esforço cortante QS positivo atuando para cima na porção da direita sofre um movimento virtual para baixo De forma análoga na Figura 712 o momento fl etor MS positivo atuando com sentido antihorário na porção da esquerda sofre uma rotação virtual θA no sentido horário e o momento fl etor MS positivo atuando com sentido horário na porção da direita sofre uma rotação virtual B θ no sentido antihorário Interpretando QS como forças externas às duas porções separadas da viga na Figura 711 temse l x l Q l x Q l b P W S S E 1 Bookconceitosindb 205 532010 083843 ELSEVIER 206 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A imposição de WE U com U 0 resulta no mesmo valor para QS obtido anteriormente QS P1bl Analogamente interpretando MS como momentos externos às duas porções separadas da viga na Figura 712 temse l x M l x l M l b x P M M D P W S S B S A S E 1 1 1 θ θ O resultado para MS impondose WE U com U 0 é igual ao obtido anteriormente MS P1bxl Os exemplos de aplicação do PDV mostrados anteriormente trataram somente de vigas isostáticas Por isso os campos de deslocamentos virtuais impostos correspondem a trechos retos de movimentos de corpo rígido Isso é feito apenas com o objetivo de apresentar o princípio haja vista que a imposição de con dições de equilíbrio em estruturas isostáticas é relativamente simples Na verdade a grande vantagem do PDV é a determinação de forças ou momentos externos e internos que equilibram uma estrutura qualquer isostática ou hiperestática que tenha uma confi guração deformada conhecida não rígida no caso geral A expressão geral do PDV para o cálculo de uma força externa genérica atuando em um ponto de um pórtico plano para manter seu equilíbrio é obtida das Equações 711 e 712 desprezando a energia de deformação por efeito cortante du estrutura M d θ estrutura E N P U W Δ 1 726 Sendo P força generalizada força ou momento externa ou interna a ser calculada no sistema real F ou FL N esforço normal no sistema real F M momento fl etor no sistema real FL Δ deslocamento generalizado deslocamento ou rotação externo ou interno na direção e no ponto da força generalizada a ser calculada L ou R du deslocamento axial relativo interno no sistema virtual L dθ rotação relativa interna por fl exão no sistema virtual R No caso de uma grelha estrutura plana com cargas fora do plano o efeito de torção também deve ser considerado resultando na seguinte expressão para o cálculo de uma força generalizada pelo PDV também desprezando a energia de deformação por efeito cortante estrutura estrutura E T d M d P U W ϕ θ Δ 1 727 Sendo T momento torçor no sistema real FL dϕ rotação relativa interna por torção no sistema virtual R Quando a força generalizada é um esforço interno devese cortar a seção transversal correspon dente e interpretar os esforços internos que resultam em cada uma das porções separadas como forças generalizadas externas Nesse caso o deslocamento generalizado imposto deve ser no sentido oposto ao sentido positivo do esforço interno A aplicação das Equações 726 e 727 pressupõe que o campo de deslocamentos virtuais é tal que somente a força generalizada externa ou interna que se quer determinar produz trabalho externo Ob servase que obter um campo de deslocamentos virtuais que satisfaça essa condição pode ser difícil para Bookconceitosindb 206 532010 083844 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 207 o caso de uma estrutura solicitada por um carregamento externo qualquer mesmo considerando que o campo de deslocamentos virtuais é arbitrário Não obstante essa limitação o Capítulo 9 mostrará aplicações das Equações 726 e 727 do PDV para o cálculo de forças e momentos externos em barras cinematicamente determinadas isto é das quais se conhece a confi guração deformada Essas são soluções fundamentais que constituem uma base para o método dos deslocamentos como será visto no Capítulo 10 Em outras situações não abordadas neste livro a arbitrariedade na seleção do campo de deslocamentos virtuais pode fornecer soluções muito sim ples e elegantes para o problema da imposição de condições de equilíbrio a um sistema de forças reais 741 PDV para solicitações de carregamentos externos e recalques de apoio Esta seção deduz a expressão do PDV para o cálculo genérico de forças ou momentos que equilibram uma estrutura qualquer isostática ou hiperestática cujas solicitações externas reais são carregamentos externos ou recalques de apoio Tais solicitações se caracterizam por não apresentarem deformações iniciais Para a aplicação do princípio a esses tipos de solicitação é necessário escrever as Equações 726 e 727 em função do campo de deslocamentos externos reais e virtuais Para tanto é obtida com base na Equação 519 uma relação entre o esforço normal N e o deslocamento axial u dx EA du N 728 A relação entre o momento fl etor M e o deslocamento transversal v é obtida com base na Equação 538 2 2 dx EI d v M 729 A relação entre o momento torçor T e a rotação por torção ϕ é obtida da Equação 525 dx d GJ T t ϕ 730 Substituindo as Equações 728 e 729 na Equação 726 e considerando pela Equação 51 que 2 2 d v dx dx d θ temse a expressão do PDV para quadros planos em função dos deslocamentos reais e virtuais dx dx v d dx EI d v dx dx du dx EA du P estrutura estrutura 2 2 2 2 1 Δ 731 Sendo EA parâmetro de rigidez axial F sendo E o módulo de elasticidade do material e A a área da seção transversal ux deslocamento axial longitudinal no sistema real L ux deslocamento axial longitudinal no sistema virtual L EI parâmetro de rigidez transversal por fl exão FL2 sendo I o momento de inércia à fl exão da seção transversal vx deslocamento transversal no sistema real L vx deslocamento transversal no sistema virtual L No caso de grelhas a expressão do PDV em função de deslocamentos transversais e rotações por torção externos é obtida substituindo as Equações 729 e 730 na Equação 727 Bookconceitosindb 207 532010 083844 ELSEVIER 208 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha estrutura t estrutura dx dx d dx d GJ dx dx v d dx EI d v P ϕ ϕ Δ 2 2 2 2 1 732 Sendo GJt parâmetro de rigidez à torção FL2 sendo G o módulo de cisalhamento do material e Jt o momen to de inércia à torção da seção transversal ϕx rotação por torção no sistema real R ϕx rotação por torção no sistema virtual R 742 PDV para solicitações de variação de temperatura A variação de temperatura é um tipo de solicitação externa que se caracteriza por provocar deformações iniciais No caso de estruturas isostáticas as deformações provocadas por temperatura não sofrem qual quer tipo de restrição não provocando portanto esforços internos na estrutura Por outro lado uma estrutura hiperestática pode ter tensões internas induzidas por variação de temperatura A aplicação do PDV para esse tipo de solicitação é deduzida para pórticos planos Nesse caso o deslocamento axial relativo interno e a rotação relativa interna por fl exão devem considerar um termo devido ao esforço interno que pode ser provocado conjuntamente por carregamento externo e recalques de apoio e um termo devido à variação de temperatura duT EA dx N du 733 d T EI dx M d θ θ 734 Sendo que duT e dθ T são dados pelas Equações 526 e 527 respectivamente Para aplicar a Equação 726 do PDV é necessário escrever o esforço normal N e o momento fl etor M considerando as deformações iniciais provocadas pela variação de temperatura Isso é feito com base nas Equações 733 e 734 dx du dx du EA N T 735 dx d dx d EI M θT θ 736 Substituir os esforços internos reais dados pelas Equações 735 e 736 na Equação 726 resulta na expressão do PDV para quadros planos hiperestáticos com solicitações reais de carregamento externo recalques e variação de temperatura estrutura T estrutura T dx dx d v dx d dx d v EI dx dx du dx du dx du EA P 2 2 2 2 1 θ Δ 737 Bookconceitosindb 208 532010 083845 Capítulo 7 Princípio dos trabalhos virtuais 209 75 TEOREM AS DE RECIPROCIDADE O PTV pode ser utilizado para formular dois teoremas que são muito úteis na análise de estruturas elás ticas lineares São os chamados teoremas de reciprocidade Tauchert 1974 o teorema de Maxwell e sua versão generalizada o teorema de Betti White et al 1976 Considere duas soluções estruturais completas A e B que atuam sobre a mesma estrutura elástica e linear as soluções são ditas completas porque cada uma delas satisfaz todas as condições de equilíbrio e compatibi lidade O sistema A é composto de um sistema de forças FA fA em equilíbrio e associado a uma confi guração deformada DA dA compatível No sistema A FA são as forças externas atuantes sobre a estrutura fA são esforços internos em equilíbrio com FA DA é o campo de deslocamentos externos da estrutura e dA são deslocamentos relativos internos compatíveis com DA Analogamente o sistema B é composto de um siste ma de forças FB fB em equilíbrio e associado a uma confi guração deformada DB dB compatível O PTV pode ser aplicado a esses dois sistemas de duas formas uma considera o sistema A como real e o sistema B como virtual e a outra ao contrário Utilizando a Equação 711 podese escrever as seguintes relações B A B A d f D F 738 A B A B d f D F 739 Considere que a estrutura é um quadro plano que tem um comportamento linear elástico Nesse caso a integral do lado direito do sinal de igual das Equações 738 e 739 é igual GA dx Q Q dx EI M M dx EA N N d f d f B A B A B A A B A B χ Dessa forma podese enunciar o teorema de Betti Tauchert 1974 White et al 1976 Se uma estrutura linear elástica é submetida a dois sistemas independentes de forças o traba lho realizado pelas forças generalizadas do primeiro sistema com os correspondentes desloca mentos generalizados do segundo sistema é igual ao trabalho realizado pelas forças generali zadas do segundo sistema com os correspondentes deslocamentos generalizados do primeiro sistema A B B A D F D F 740 As forças são ditas generalizadas porque podem envolver forças concentradas forças distribuídas e momentos aplicados Os deslocamentos são ditos generalizados porque podem envolver deslocamentos e rotações Um caso particular do teorema de Betti chamado de teorema de Maxwell ocorre quando as soluções completas independentes são constituídas de forças generalizadas unitárias isoladas como as mostradas na Figura 713 Sistema A Sistema B iPA 1 θ jA B 1 Mj B iΔ Figura 713 Teorema de Maxwell para forças generalizadas unitárias Bookconceitosindb 209 532010 083846 ELSEVIER 210 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O teorema de Maxwell na versão para forças generalizadas unitárias aplicadas pode ser enunciado da seguinte maneira Em uma estrutura linear elástica o deslocamento generalizado no ponto j provocado por uma força generalizada unitária atuante no ponto i é igual ao deslocamento generalizado no ponto i provocado por uma força generalizada unitária que atua no ponto j Figura 713 B i jA Δ θ 741 Alternativamente as soluções podem ser constituídas de imposições de deslocamentos generaliza dos unitários como indica a Figura 714 Sistema A Sistema B iPB B 1 θ j A Mj iΔ A 1 Figura 714 Teorema de Maxwell para deslocamentos generalizados unitários O teorema de Maxwell na versão para deslocamentos generalizados unitários impostos pode ser enunciado da seguinte maneira Em uma estrutura linear elástica a força generalizada que atua no ponto j necessária para pro vocar um deslocamento generalizado unitário no ponto i é igual à força generalizada que atua no ponto i necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário no ponto j Figu ra 714 B i A j P M 742 A primeira versão do teorema de Maxwell será utilizada no próximo capítulo para demonstrar a si metria da matriz de fl exibilidade que é a matriz dos coefi cientes de fl exibilidade do sistema de equações fi nais de compatibilidade do método das forças A segunda versão do teorema de Maxwell será utilizada no Capítulo 9 e no Capítulo 10 para demonstrar a simetria da matriz de rigidez que é a matriz dos coefi cientes de rigidez do sistema de equações fi nais de equilíbrio do método dos deslocamentos Bookconceitosindb 210 532010 083846 88 8 Método das forças Na solução de uma estrutura hiperestática conforme introduzido na Seção 42 é necessário considerar os três grupos de condições básicas da análise estrutural condições de equilíbrio condições de compatibili dade continuidade interna e compatibilidade com os vínculos externos e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura Este capítulo apresenta um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas o método das forças Este conteúdo se baseia em conhecimentos transmitidos em livros de vários autores principal mente os de Süssekind 19772 e White Gergely e Sexsmith 1976 Formalmente Seção 421 o método das forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo es trutural na seguinte ordem 1o Condições de equilíbrio 2o Condições referentes ao comportamento dos materiais leis constitutivas 3o Condições de compatibilidade Na prática entretanto a metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura hiperestática é Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfa zem as condições de compatibilidade da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade Cada solução básica denominada caso básico não satisfaz isoladamente todas as condições de compa tibilidade da estrutura original as quais fi cam restabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é em geral uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos Essa estrutura isostática é cha mada sistema principal SP As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados denominados hiperestáticos são as incógnitas do problema Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo método das forças será explicada detalhadamente na próxima seção Neste capítulo somente são consideradas estruturas com barras prismáticas isto é barras com seção transversal que não varia ao longo do seu comprimento Entretanto as expressões gerais dos termos e coefi cientes do método das forças consideram parâmetros da seção transversal que podem variar ao longo do comprimento da barra Bookconceitosindb 211 532010 083847 212 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 81 METODOLOGIA DE ANALISE PELO METODO DAS FORCAS O objetivo desta secao é apresentar a metodologia de andlise de uma estrutura hiperestatica pelo método das forcas Para facilitar o entendimento do método esta apresentacao sera feita com base em um exem plo ilustrado na Figura 81 5 kNm 20K poe E 1 9 ais 0 1 0 0 B N A le 6 m she 4m Figura 81 Estrutura utilizada para a descricdo da metodologia do método das foras A configuracgao deformada do portico da Figura 81 é mostrada de forma exagerada o fator de am plificagado dos deslocamentos da deformada é igual a 1000 Todas as barras da estrutura tém os mesmos valores para area A 5x10 m e momento de inércia I 5x10 m da secao transversal e para o m6 dulo de elasticidade E 2x10 kNm do material 811 Hiperestaticos e sistema principal Para analisar a estrutura com respeito as condicdes de equilibrio sao mostradas na Figura 82 as cinco componentes de reacoes de apoio da estrutura Sao trés as equacoes do equilibrio global da estrutura no plano Secao 214 YF 0 somatorio de forgas na direcao horizontal igual a zero XF 0 somatorio de forcas na direcao vertical igual a zero M 0 somatoério de momentos em relacgdo a um ponto qualquer igual a zero Como a estrutura é hiperestatica nado é possivel determinar os valores das reagdes de apoio da es trutura utilizando apenas as trés equacgoes de equilibrio disponiveis O nimero de incégnitas excedentes ao numero de equacées de equilibrio é definido como g grau de hiperestaticidade No exemplo de acordo com o exposto na Seao 38 g 2 Capítulo 8 Método das forças 213 HA VA MA HB VB Figura 82 Componentes de reações de apoio da estrutura da Figura 81 Conforme mencionado a solução do problema hiperestático pelo método das forças é feita pela superposição de soluções básicas isostáticas Para isso criase uma estrutura isostática auxiliar chamada sistema principal SP que é obtida da estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos O SP adotado no exemplo da Figura 81 é a estrutura isostática mostrada na Figura 83 θA 0 H 0 ΔB X1 X2 Figura 83 Sistema principal adotado para a solução da estrutura da Figura 81 Observase na Figura 83 que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura original a im posição de rotação A θ nula do apoio da esquerda e a imposição de deslocamento horizontal H ΔB nulo do apoio da direita O número de vínculos que devem ser eliminados para transformar a estrutura hiperes tática original em uma estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade g A escolha do SP é ar bitrária qualquer estrutura isostática escolhida é válida desde que seja estável estaticamente As Seções 843 85 e 86 a seguir abordam a questão da escolha do sistema principal em mais detalhe Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de apoio MA e HB que estão indicadas na Figura 82 Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as incógnitas da solução pelo método das forças Utilizase a nomenclatura Xi para indicar os hiperestáticos sendo i o seu índice que varia de 1 a g No exemplo temse X1 MA reação momento associada ao vínculo de apoio θA 0 X2 HB reação horizontal associada ao vínculo de apoio H 0 ΔB Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na Figura 83 com sentidos convencionados como posi tivos momento externo positivo no sentido antihorário e força externa horizontal positiva com sentido da esquerda para a direita Bookconceitosindb 213 532010 083847 ELSEVIER 214 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 812 Superposição de casos básicos para restabelecer condições de compatibilidade A solução do problema pelo método das forças recai em encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para juntamente com o carregamento aplicado recompor os vínculos de apoio eliminados Isto é procuramse os valores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibilidade violadas na criação do SP θA 0 e H 0 ΔB sejam restabelecidas A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos utilizando o SP como es trutura para as soluções básicas O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade mais um g 1 No exemplo isso resulta nos casos 0 1 e 2 que são descritos a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP O caso básico 0 ilustrado na Figura 84 isola o efeito da solicitação externa carregamento apli cado no SP A fi gura mostra a confi guração deformada com fator de amplifi cação igual a 20 do SP no caso 0 A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20 nas direções dos vínculos eliminados para a cria ção do SP são denominados termos de carga Um termo de carga é defi nido formalmente como iδ 0 termo de carga deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi quando a solicitação externa atua isoladamente no SP com hiperestáticos com valores nulos Neste exemplo os dois termos de carga podem ser calculados utilizando o princípio das forças virtuais PFV como mostrado na Seção 731 Esse cálculo não é detalhado aqui por uma questão de sim plicidade visto que o objetivo é apresentar a metodologia do método das forças Ao longo deste capítulo são dados diversos exemplos de aplicação do PFV para o cálculo de termos de carga e outros coefi cientes Os valores dos termos de carga do exemplo estão indicados na Figura 84 δ10 rad 1364 10 3 10 δ m 10 115 2 3 20 δ δ20 Figura 84 Solicitação externa isolada no SP da estrutura da Figura 81 O sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o sentido contrário ao considerado inicial mente para o hiperestático X1 no caso 1 a seguir Analogamente o sinal positivo de δ20 indica que esse deslocamento tem o mesmo sentido considerado inicialmente para o hiperestático X2 no caso 2 a seguir Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP A Figura 85 mostra a confi guração deformada com fator de amplifi cação igual a 2000 do SP no caso 1 O hiperestático X1 é colocado em evidência já que ele é uma incógnita do problema Considera se um valor unitário para X1 sendo o efeito de X1 1 multiplicado pelo valor fi nal que X1 deverá ter A rotação δ11 e o deslocamento horizontal δ21 provocados por X1 1 nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP são chamados coefi cientes de fl exibilidade Formalmente um coefi ciente de fl exibili dade é defi nido como Bookconceitosindb 214 532010 083847 oe eu Capitulo 8 Método das forcgas 215 ELSEVIER 6 coeficiente de flexibilidade deslocamento ou rotacao na direcao do vinculo eliminado associado ao hiperestatico X provocado por um valor unitario do hiperestatico X atuando isoladamente no SP Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso 1 indicados na Figura 85 sao calculados pelo PFV Por definicao as unidades dos coeficientes de flexibilidade correspondem as unidades de desloca mento ou rotacao divididas pela unidade do hiperestatico em questao As mesmas observac6es feitas quanto aos sinais dos termos de carga valem para os coeficientes de flexibilidade O sinal da rotacao 6 positivo porque tem o mesmo sentido do que é arbitrado para X 1 e o sinal do deslocamento horizontal 6 negativo porque tem o sentido contrario ao que é arbitrado para X 1 no caso 2 a seguir Observe que o sinal dos coeficientes 6 que tém i j sendo i o indice do hiperestatico 6 sempre positivo pois esses coeficientes sao deslocamentos ou rotagdes nos proprios pontos de aplicacao de forcas ou momentos unitarios poe peeeeeeeceeee N 1 N N 1 x X1 N O14 r v7zt 6 X 14 6 401152x107 radkNm 24 5y 06997x10 mkNm Figura 85 Hiperestatico X isolado no SP da estrutura da Figura 81 Caso 2 Hiperestatico X2 isolado no SP A Figura 86 mostra a configuracao deformada com fator de amplificagao igual a 400 do SP no caso 2 De maneira analoga ao caso 1 0 hiperestatico X colocado em evidéncia considerandose um valor unitaério multiplicado pelo seu valor final A rotacado 6 e o deslocamento horizontal 6 provocados por X 1 nas direc6es dos vinculos eliminados para a criagdo do SP também sao coeficientes de flexibilidade As unidades desses coeficientes por definicao sao unidades de deslocamento ou rotacao divididas pela unidade do hiperestatico X Poa Anny N N N x x X2 i an 1 6 X21 12 2 51 06997x10 radkKN 7757 55 61180x 10 mkN Oy Figura 86 Hiperestatico X isolado no SP da estrutura da Figura 81 216 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso 2 estao indicados na Figura 86 Observe que os valores de 6 e 6 sao iguais Isso nao coincidéncia Os coeficientes 6 e 6 sendo i e j indices de hiperestaticos sempre serao iguais Isso é demonstrado pelo teorema de Maxwell apresentado na Secao 75 versao para forcas generalizadas unitarias impostas Equacao 741 Restabelecimento das condicoes de compatibilidade A partir dos resultados obtidos nos casos apresentados podese utilizar superposicao de efeitos para restabelecer as condicdes de compatibilidade violadas na criacao do SP Isso é feito a seguir Superposicao das rotacées do no inferior esquerdo no A Superposicao dos deslocamentos horizontais no no inferior direito no B On On X41 On X 0 Sistema de equacées de compatibilidade 619 OX 6 yX 0 1364x1073 01152x10 X 06997x10 xX 0 So9 5yX1 65X 0 1152x10 06997 10 X 61180x10 X 0 A solucao desse sistema de equacées de compatibilidade resulta nos seguintes valores das reacdes de apoio X e X X 1339 kNm X 1729 kN O sinal de X positivo porque tem o mesmo sentido antihorario do que foi arbitrado para X 1 no caso 1 e o sinal de X é negativo porque tem o sentido contrario da direita para a esquerda ao que foi arbitrado para X 1 no caso 2 como indica a Figura 87 Os valores encontrados para X e X fazem com que 6 0 e 4 0 Dessa forma obtevese a solu cao correta da estrutura porque além de satisfazer as condicdes de equilibrio que sempre sao satisfeitas nos casos 0 1 e 2 o modelo estrutural também satisfaz as condicdes de compatibilidade 5 kNn 20 Parsee 1 1729kN 1339 kNm Figura 87 Valores e sentidos dos hiperestaticos na solucdo da estrutura da Figura 81 813 Determinacao de esforcos internos finais A solucao da estrutura nao termina com a obtenao dos valores dos hiperestaticos X e X Ainda é neces sario obter os diagramas de esforcos internos e os deslocamentos da estrutura Existem duas alternativas Para isso Capítulo 8 Método das forças 217 calculase uma estrutura isostática o sistema principal com o carregamento aplicado simulta neamente aos hiperestáticos com os valores corretos encontrados como se fossem forças e momentos pertencentes ao carregamento utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos ou deslocamentos fi nais Embora a primeira opção possa parecer mais simples a segunda é a utilizada na maioria das solu ções O motivo para isso é que o cálculo dos valores dos termos de carga e dos coefi cientes de fl exibili dade pelo PFV Seção 73 requer o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos 0 1 e 2 Portanto como esses diagramas já estão disponíveis os esforços internos fi nais da estrutura hiperestática original são obtidos através da superposição dos esforços internos dos casos básicos Por exemplo os momentos fl etores fi nais M podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de mo mentos fl etores Mi dos casos básicos 2 2 1 1 0 X M X M M M sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso 0 e os diagramas M1 e M2 são provocados por valores unitários dos hiperestáticos nos casos 1 e 2 respectivamente Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais fi nais N esforços cortantes fi nais Q e momentos fl etores fi nais M de uma estrutura com grau de hiperestati cidade g g j j N j Xj N N 1 0 81 g j j Qj Xj Q Q 1 0 82 g j j Mj Xj M M 1 0 83 Sendo N0 diagrama de esforços normais no caso 0 isto é quando a solicitação externa atua isoladamente no SP N j diagrama de esforços normais no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário Q0 diagrama de esforços cortantes no caso 0 isto é quando a solicitação externa atua isoladamente no SP Qj diagrama de esforços cortantes no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário M0 diagrama de momentos fl etores no caso 0 isto é quando a solicitação externa atua isoladamente no SP Mj diagrama de momentos fl etores no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário As seções a seguir mostram como calcular os coefi cientes que aparecem na formulação do método das forças Isso é feito pelo PFV com base nos diagramas de esforços internos dos casos básicos 82 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA O sistema de equações de compatibilidade da solução pelo método das forças do exemplo mostrado na seção anterior pode ser reescrito de forma matricial Bookconceitosindb 217 532010 083849 ELSEVIER 218 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 X X X X δ δ δ δ δ δ 0 0 2 1 22 21 12 11 20 10 X X δ δ δ δ δ δ No caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g podese escrever 0 0 δ X δ 84 Sendo δ0 vetor dos termos de carga δ matriz de fl exibilidade X vetor dos hiperestáticos O número de relações de compatibilidade na Equação matricial 84 é igual ao grau de hiperestatici dade da estrutura sendo que cada relação de compatibilidade restabelece o vínculo associado ao hiperes tático genérico Xi O termo de carga δ i0 é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi no caso 0 O coefi ciente δ ij da matriz de fl exibilidade é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi provocado por Xj 1 no caso j Observase que o vetor dos termos de carga depende do SP escolhido e da solicitação externa Já a matriz de fl exibilidade só depende do SP escolhido Portanto se outro carregamento ou qualquer outra solicitação atuar mantendose o mesmo SP somente os termos de carga têm de ser calculados nova mente O método das forças é assim chamado porque as incógnitas são forças ou momentos Ele também é denominado método da compatibilidade West Geschwindner 2009 porque as equações fi nais ex pressam condições de compatibilidade sendo ainda chamado de método da fl exibilidade por envolver coefi cientes de fl exibilidade em sua solução Duas observações adicionais podem ser feitas com respeito à matriz de fl exibilidade A primeira é que pelo teorema de Maxwell mostrado na Seção 75 versão para forças generalizadas unitárias impos tas Equação 741 a matriz é simétrica Ou seja ij ji δ δ 85 A segunda observação é que os coefi cientes de fl exibilidade que correspondem a um dado caso bá sico casos 1 e 2 da seção anterior têm o mesmo índice j Podese escrever então A jésima coluna da matriz de fl exibilidade δ da estrutura corresponde ao conjunto de desloca mentos generalizados deslocamentos ou rotações nas direções dos vínculos eliminados do SP provocados por Xj 1 hiperestático Xj com valor unitário atuando isoladamente no SP 83 DETERMINAÇÃO DOS TERMOS DE CARG A E COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE A análise de uma estrutura hiperestática pelo método das forças depende da determinação dos termos de carga e coefi cientes de fl exibilidade que aparecem no sistema fi nal de equações de compatibilidade Equação 84 Esses termos e coefi cientes correspondem a deslocamentos ou rotações nas direções dos vínculos eliminados do sistema principal adotado Portanto para se aplicar o método das forças é preci so utilizar alguma metodologia para determinar deslocamentos e rotações em pontos de uma estrutura isostática o SP O princípio das forças virtuais PFV conforme descrito na Seção 73 se apresenta como um método genérico para a determinação de deslocamentos e rotações em estruturas Bookconceitosindb 218 532010 083849 Capítulo 8 Método das forças 219 831 Determinação dos termos de carga O PFV trabalha com um sistema re al de deformação do qual se quer calcular um deslocamento ou rotação em algum ponto e um sistema de forças virtuais com uma carga virtual generalizada força ou momento aplicada no ponto e na direção do deslocamento ou rotação que se quer calcular No contexto do método das forças para a determinação dos termos de carga o sistema real de deformação é o caso 0 que isola a solicitação externa no SP com valores nulos para os hiperestáticos O sistema de forças virtuais varia de acordo com o termo de carga que se deseja determinar Por exemplo para determinar o termo de carga δ10 rotação da seção transversal no apoio da esquerda Figura 84 do pórtico adotado como exemplo na Se ção 81 devese utilizar como carga virtual um momento unitário aplicado no ponto do apoio da esquerda Observase que esse sistema de forças virtuais corresponde ao caso 1 com X1 1 isto é dentro dos do caso 1 Figura 85 De maneira análoga o sistema de forças virtuais para a determinação do termo de carga δ20 deslocamento horizontal do apoio da direita Figura 84 corresponde ao caso 2 com X2 1 Figura 86 Essas observações podem ser generalizadas da seguinte maneira Para determinar o termo de carga pelo PFV o sistema de forças virtuais utilizado corresponde ao caso i com Xi 1 hiperestático Xi com valor unitário atuando isoladamente no SP Utilizando a Equação 713 que expressa o cálculo de um deslocamento ou rotação em um ponto de um pórtico plano pelo PFV a expressão geral para o termo de carga δi0 é estrutura i estrutura i estrutura i i dh Q d M du N 0 0 0 0 θ δ 86 Na Equação 86 Ni Mi e Qi são os diagramas de esforços normais momentos fl etores e esforços cortan tes provocados por Xi 1 no caso i e 0 du dθ0 e 0 dh são os deslocamentos relativos internos para os efeitos axial de fl exão e de cisalhamento que caracterizam as deformações internas do sistema real caso 0 Os deslocamentos relativos internos dependem do tipo de solicitação interna No caso de carregamen to aplicado forças e momentos atuantes as expressões para 0 du dθ0 e 0 dh são dadas pelas Equações 519 521 e 523 A expressão do PFV para esse caso é fornecida na Equação 715 Dessa forma o termo de carga δ i0 para uma solicitação externa de carregamento aplicado em um pórtico plano é expresso por estrutura i estrutura i estrutura i i dx GA Q Q dx EI M M dx EA N N 0 0 0 0 χ δ 87 Na Equação 87 E é o módulo de elasticidade do material G é o módulo de cisalhamento do mate rial A é a área da seção transversal I é o momento de inércia da seção transversal e χ é o fator de forma da seção transversal que defi ne a área efetiva para cisalhamento A última integral da Equação 87 da energia de deformação por cisalhamento é geralmente desprezada na presença das outras integrais para o caso muito usual de barras não curtas com comprimento de vão bem maior do que a altura da seção transversal Ao longo deste capítulo a utilização da Equação 87 será mostrada em diversos exemplos No modelo de treliças só existem esforços internos normais e constantes em cada barra Para treliças com barras prismáticas seção transversal constante a expressão para o termo de carga provocado por carregamento aplicado pode ser reduzida em barras barra i barras barra i estrutura i i EA l N N dx EA N N dx EA N N 0 0 0 δ 0 88 sendo l o comprimento de uma barra A Seção 811 mostra um exemplo de cálculo de termo de carga para uma treliça plana solicitada por forças aplicadas Bookconceitosindb 219 532010 083849 ELSEVIER 220 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Em grelhas não existe o termo da energia de deformação axial e há um termo para a energia de deformação por torção A expressão para o termo de carga para grelhas desprezando a energia de defor mação por cisalhamento é estrutura t i estrutura i i dx GJ T T dx EI M M 0 0 δ 0 89 Na Equação 89 T0 é o diagrama de momentos torçores no caso 0 Ti é o diagrama de momentos torçores para o caso i com Xi 1 e Jt é o momento de inércia à torção da seção transversal A Seção 812 apresenta exemplos de cálculos de termos de carga para grelhas Para uma solicitação externa de variação de temperatura a hipótese adotada Seção 545 é que o deslocamento transversal relativo interno é nulo isto é dh0 0 As expressões para 0 du e dθ0 são obtidas pelas Equações 526 e 527 o que resulta na Equação 721 para o cálculo de um deslocamento pelo PFV Com base nessa equação o termo de carga δi0 para uma variação de temperatura que atua em um pórtico plano é expresso por estrutura s i i estrutura CG i i dx h T T M dx T N Δ Δ α α Δ δ 0 810 Na Equação 810 α é o coefi ciente de dilatação térmica do material h é a altura da seção transversal ΔTCG é a variação de temperatura na fi bra do centro de gravidade da seção transversal Δ iT é a variação de temperatura na fi bra inferior da seção transversal e ΔTs é a variação de temperatura na fi bra superior da seção transversal A aplicação da Equação 810 é ilustrada em exemplos nas Seções 88 e 810 Para treliças que têm somente deformações axiais apenas a variação uniforme de temperatura é considerada Nesse caso o termo de carga é dado por barras barra CG i barras barra CG i estrutura CG i i l T N dx T N dx T N α Δ α Δ α Δ δ 0 811 A Equação 811 considera barras prismáticas Na Seção 811 é apresentado um exemplo de cálculo de termo de carga para uma treliça com variação de temperatura Quando a solicitação externa é dada por recalques de apoio a expressão do PFV para estruturas isostáticas que é o caso do SP é fornecida pela Equação 725 Nesse caso os deslocamentos relativos internos são nulos e portanto a energia de deformação virtual interna é nula Com base nessa equação o termo de carga provocado por recalques genéricos de apoio é expresso por recalques i i R 0 0 ρ δ 812 Na Equação 812 0 ρ é um recalque de apoio genérico e i R é a reação de apoio correspondente ao recalque no caso i Em geral essa equação não é utilizada diretamente pois a determinação do termo de carga é feita partindo da expressão geral do PFV WE U considerando U 0 Nas Seções 89 e 810 são mostrados exemplos de análise de estruturas hiperestáticas para recalques de apoio 832 Determinação dos coefi cientes de fl exibili dade O PFV também é utilizado para determinar os coefi cientes de fl exibilidade da solução pelo método das forças Nesse caso o sistema real de deformação e o sistema de forças virtuais correspondem a hipe restáticos isolados com valores unitários Por exemplo para determinar o coefi ciente de fl exibilidade Bookconceitosindb 220 532010 083851 Capítulo 8 Método das forças 221 δ21 deslocamento horizontal do apoio da direita Figura 85 do pórtico na Seção 81 o sistema real de deformação é o caso 1 com X1 1 e o sistema de forças virtuais é o caso 2 com X2 1 Figura 86 Isso pode ser generalizado da seguinte maneira Para determinar o coefi ciente de fl exibilidade δij pelo PFV o sistema real de deformação cor responde ao caso j com Xj 1 hiperestático Xj com valor unitário atuando isoladamente no SP e o sistema de forças virtuais corresponde ao caso i com Xi 1 hiperestático Xi com valor unitário atuando isoladamente no SP Utilizando a Equação 713 geral do PFV desprezando a energia de deformação por cisalhamento temse a expressão do coefi ciente de fl exibilidade para quadros planos estrutura j i estrutura j i ij d M du N θ δ 813 Nesse caso a deformação real corresponde a um carregamento aplicado hiperestático com valor unitário e os deslocamentos relativos internos j du e j dθ são dados pelas Equações 519 e 521 Disso resulta estrutura j i estrutura j i ij dx EI M M dx EA N N δ 814 No caso de treliças a energia de deformação por fl exão é nula e os esforços normais são constantes nas barras O coefi ciente de fl exibilidade para treliças com barras prismáticas é dado por barras barra j i barras barra j i estrutura j i ij EA l N N dx EA N N dx EA N N δ 815 Finalmente a expressão para o coefi ciente de fl exibilidade para uma grelha é dx GJ T T dx EI M M estrutura t j i estrutura j i ij δ 816 As seções a seguir apresentam exemplos de cálculos de coefi cientes de fl exibilidade 84 ANÁLISE DE UMA VI GA CONTÍNUA No exemplo da Seção 81 para se chegar ao sistema principal são eliminados vínculos de apoio Esse recurso pode ser o mais intuitivo mas não é o único Em alguns casos por uma questão de conveniência da solução podese eliminar vínculos internos da estrutura hiperestática para a determinação do SP Em outros casos a única alternativa é a eliminação de vínculos internos Esta seção analisa uma estrutura com duas alternativas para se obter o SP uma eliminando vínculos externos de apoio e outra eliminando a continuidade interna da curva elástica confi guração deformada No exemplo adotado fi ca claro que a segunda alternativa é a mais conveniente pois resulta em cálculos bem mais simples para a determinação dos termos de carga e coefi cientes de fl exibilidade Isso acontece na maioria dos casos quando são introduzidas rótulas na estrutura para eliminar a continuidade interna de rotação Considere a viga contínua ilustrada na Figura 88 com três vãos e uma força uniformemente dis tribuída abrangendo o vão da esquerda A rigidez à fl exão da viga EI é fornecida Pedese o diagrama Bookconceitosindb 221 532010 083852 222 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER de momentos fletores da estrutura Para 0 calculo de deslocamentos ou rotac6es é utilizado o PFV cujo desenvolvimento teérico é mostrado na Secdo 73 Nesse cdlculo nio sfo considerados efeitos axiais mesmo porque nao existem esforcos axiais na viga continua ou efeitos de cisalhamento na energia de deformacao je S Ss 1 S Figura 88 Viga continua com trés vdos e carregamento uniformemente distribuido no primeiro vao A estrutura da Figura 88 tem grau de hiperestaticidade g 2 Para a resolugdo pelo método das forcas duas opcées para o sistema principal SP sao consideradas O objetivo é caracterizar as diferencas que existem na escolha do SP Na primeira opcao sao eliminados vinculos externos vinculos de apoio e na segunda sao eliminados vinculos internos continuidade de rotagao 841 Sistema principal obtido por eliminacao de apoios Nessa opao sao eliminados os apoios centrais da viga para se chegar ao SP Os hiperestaticos X e X sdo as reac6es de apoio associadas a esses vinculos como indicado na Figura 89 t XxX tx je Sf 1 S 1 Figura 89 Primeira opcdo para SP da estrutura da Figura 88 A solucao pelo método das foras recai em determinar os valores que as reacdes de apoio X e X devem ter para que juntamente com o carregamento atuante os deslocamentos verticais dos pontos dos apoios eliminados sejam nulos Dessa forma ficam restabelecidas as condicdes de compatibilidade exter nas eliminadas com a criacdo do SP A metodologia utilizada para impor as condicdes de compatibilidade consiste em fazer uma super posicao de casos basicos utilizando o SP como estrutura auxiliar Como a estrutura original é duas vezes hiperestatica existem trés casos basicos como mostrado a seguir Caso 0 Solicitagao externa carregamento isolada no SP Nesse caso somente a solicitagdo externa atua no SP e os valores dos hiperestaticos sao nulos X 0 e X 0 A Figura 810 mostra a configuracao deformada do caso 0 indicando os termos de carga 6 e 6 0 diagrama de momentos fletores M para esse caso ro lhe Capitulo 8 Método das forcgas 223 ELSEVIER te ye bof cee DO saot ne fs j S S ee qi28 q3 Figura 810 Solicitacdo externa isolada no SP da Figura 89 Os termos de carga no caso 0 tém a seguinte interpretacao fisica 619 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado pelo carregamento externo no caso 0 629 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado pelo carregamento externo no caso 0 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP Nesse caso somente 0 hiperestatico X atua no SP sem a solicitacdo externa e com X 0 Como 0 va lor do hiperestatico X nao é conhecido colocase X em evidéncia no caso 1 considerandose seu efeito unitario multiplicado externamente pela incognita X como indicado na Figura 811 A configuracao de formada e o diagrama de momentos fletores do caso 1 sao mostrados na figura na qual os coeficientes de flexibilidade 6 e 6 estao indicados Por definicdo o diagrama de momentos fletores M é para X 1 Os coeficientes de flexibilidade no caso 1 sao interpretados fisicamente como 6 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado por X 1 no caso 1 62 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado por X 1 no caso 1 ee ou 2 x 1 23 13 x X1 e Ss J S 1 213 13 Figura 811 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 89 Caso 2 Hiperestatico X isolado no SP Nesse caso somente o hiperestatico X atua no SP sem a solicitagaéo externa e com X 0 Analo gamente ao caso 1 colocase X em evidéncia no caso 2 A configuracdo deformada e o diagrama de 224 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER momentos fletores M para X 1 do caso 2 sdo mostrados na Figura 812 na qual os coeficientes de flexibilidade 6 e 6 estao indicados we fe on2 Ota fx 1 13 23 x Xo j S J S 1 13 Figura 812 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 89 Os coeficientes de flexibilidade no caso 2 tém a seguinte interpretacao fisica 62 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado por X 1 no caso 2 629 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X provocado por X 1 no caso 2 Restabelecimento das condicoes de compatibilidade Com base na superposicao dos trés casos basicos sao restabelecidas as condigdes de compatibilidade violadas na criagao do SP O objetivo é restabelecer as condicdes impostas pelos apoios eliminados isto é determinase que na superposicao os deslocamentos verticais finais dos pontos dos apoios sejam nulos Sr Or 522 Xo 0 O calculo dos coeficientes que aparecem nesse sistema de equacoes é feito com auxilio do PFV Con forme visto na Secao 73 o PFV trabalha com um sistema real de deformacao no qual se quer calcular um deslocamento em algum ponto e um sistema de forcas virtuais com uma forca aplicada no ponto e na direcao do deslocamento que se quer calcular No presente exemplo da viga continua com trés vaos para o SP adotado os deslocamentos a serem calculados sao os deslocamentos verticais nos pontos dos apoios eliminados para a criacao do SP Por tanto as cargas virtuais adotadas sao forcas unitarias aplicadas nesses pontos Tabela 72 Conforme observado na SeAo 83 esses sistemas correspondem justamente aos casos 1 e 2 para os hiperestaticos X e X com valores unitarios Dessa forma os sistemas reais de deformacao sao os casos 0 1 e 2 e os sistemas de forcas virtuais sao os casos 1 e 2 com X 1 e X 1 respectivamente Calculo de 6 No calculo do termo de carga 6 pelo PFV o sistema real de deformacao é 0 caso 0 e 0 sistema de forcas virtuais é 0 caso 1 com X 1 Portanto a expressao para esse coeficiente desprezando deforma des por cisalhamento Secao 831 é 1 72 Oi MModx 10 EI fr 10 O calculo dessa integral é dividido para dois trechos da viga 31 l 31 mamas mma J otamoas 0 0 l PN eh ala MG elk Capitulo 8 Método das forcas 225 ELSEVIER Essas integrais sao calculadas com base na Tabela 71 para a combinagao de diagramas de momentos fletores Para tanto os diagramas em cada trecho da viga sao decompostos em parcelas retangulares que nao existem nesse caso triangulares e parabdlicas simples como indica a Figura 813 je J Ss fe 2 5 gP3 1 31 Jatimots tims 0 l Mi 8 Figura 813 Combinacao de diagramas de momentos fletores para o calculo do termo de carga 6 relativo ao SP da Figura 89 A seguir sao dadas as expressdes das combinacées das parcelas dos diagramas Em cada trecho cada parcela do caso 1 combinada com as outras parcelas do caso 0 Observase que os momentos fletores no caso 0 tracionam as fibras inferiores e no caso 1 tracionam as fibras superiores Portanto os sinais das integrais sao negativos Isso resulta em l 2 2 1 21 ql 1 21 ql J stmoas 120g 1 at 33 3 33 8 31 2 1 21 ql tama 4 9 33 3 31 4 1 atime dx ft 0 4 O valor final para 6 mostrado em funcao do comprimento de um vao da viga continua da taxa de carregamento distribuido g e da rigidez a flexao EI da viga 31 4 1 I EI Jo 4EI Calculo de 6 Esse calculo é analogo ao calculo do termo de carga 6 Para calcular 6 pelo PFV o sistema real de deformacao é 0 caso 0 e o sistema de forcas virtuais é 0 caso 2 com X 1 resultando em 1 72 Oo MM dx 20 EI fr 20 Essa integral é calculada com base na combinacao dos diagramas de momentos fletores em trés tre chos da viga como mostrado na Figura 814 226 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 2g6 qP6 Oto 2 1 21 31 J mtamtoas J Mtamtoas J tamoas 0 l 21 a ff envnnaseeeccecsecccessececeeseeececesseccccenceed pony Ga 3 213 Figura 814 Combinagao de diagramas de momentos fletores para o calculo do termo de carga 6 relativo ao SP da Figura 89 As expressoes para as integrais relativas a cada trecho e o resultado final para 6 sao mostrados a seguir Assim como para 6 0s sinais sao negativos porque os momentos fletores dos casos 0 e 2 tra cionam fibras opostas l 2 2 I I otaoas 1g Tle 0 333 33 8 21 2 2 2 2 I I I Jtamoax lig tig tag 1 2d 1 33 3 63 6 6 3 3 33 6 31 2 Jatamoas 121 qd 51 33 6 31 4 0 24 Isso resulta em 31 1 5ql Oo MModx EI Jo 24EI Calculo de 6 Para calcular o coeficiente de flexibilidade 6 pelo PFV 0 sistema real de deformacao e o sistema de forcas virtuais coincidem tratase do caso 1 com X 1 Dessa forma Secao 832 1 2 Oy MMdx 11 FI fr v1 Essa expressao demonstra que o sinal de 6 positivo conforme mencionado na Secao 812 6 é sempre positivo sendo i 0 indice do hiperestatico A combinacao dos diagramas de momentos fletores esta ilustrada na Figura 815 e as express6es para as integrais dos dois trechos utilizados para o calculo desse coeficiente sao mostradas a seguir l amas 1 2 ar 0 3 3 3 31 33 3 31 3 foam dx Ae 0 9 PN eth Capitulo 8 Método das forcgas 227 ELSEVIER O valor resultante para 6 é 1 31 4 EI Jo 9EI S 2 Q i i 3 Jamey mer 0 Mi 33 Figura 815 Combinacdo de diagramas de momentos fletores para o calculo do coeficiente de flexibilidade 6 relativo ao SP da Figura 89 CAlculo de Oy 6 No calculo do coeficiente de flexibilidade 6 pelo PFV 0 sistema real de deformacao 0 caso 1 com X1e 0 sistema de forcas virtuais 0 caso 2 com X 1 Para 0 calculo do coeficiente de flexibilidade 6 OS papéis dos casos 1 e 2 se invertem o sistema de deformacao real é 0 caso 2 com X 1 e 0 sis tema de forgcas virtuais 0 caso 1 com X 1 Isso resulta em 1 72 On MMdx 21 EFI fr 201 1 72 Oy MMpdx 12 EI fr 12 Essas expressdes demonstram que 6 e 6 sao iguais conforme mencionado na Secao 812 6 6 sendo i e j indices de hiperestaticos A Figura 816 mostra a combinaado dos diagramas de momentos fletores No calculo das integrais de 6 e 6 a viga dividida em trés trechos As expressOes para as integrais em cada trecho e o calculo final desses coeficientes sao dados a seguir Observase que esses coeficientes sao positivos porque os momentos fletores dos casos 1 e 2 tracionam fibras do mesmo lado neste exemplo sao as fibras superiores l l J staatax tmx rs 2 1 0 0 33 3 2 2 iioagac avodart tp 2 LLL Ly 633 333 333 63 3 31 31 otamiax tmtoax gi Zt l 21 21 33 3 31 31 713 tama tomas 0 0 18 1 f 1 f 71 Oy Oy MM dx MMdx ae ar J MoM ep MaMa 18EI 228 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 4 283 Ss i 2 31 J vtaatyax J otaatax atamts 0 l 21 13 i eee 3 l 3 Figura 816 Combinacdo de diagramas de momentos fletores para o calculo dos coeficientes de flexibilidade 6 e 6 relativo ao SP da Figura 89 Calculo de 6 Assim como para 6 no calculo do coeficiente de flexibilidade 6 pelo PFV o sistema real de defor macao e o sistema de forcas virtuais se identificam Para 6 os dois sistemas sao 0 caso 2 com X 1 Isto resulta em 1 31 Ox MMydx 2 F fr 22 Como mencionado observase que 0 sinal de 6 é positivo O calculo desse coeficiente é feito através das integrais em dois trechos mostradas a seguir que resultam da combinacao dos diagramas de mo mentos fletores ilustrada na Figura 817 2 1 21 21 mtaateds 2 0 3 3 3 31 1 21 21 otadtaas co i 3 3 3 31 3 fram dx 4Ae 0 9 31 3 EI Jo 9EI Je 2 s Je 5 3 21 31 items items 0 2 213 Figura 817 Combinacdo de diagramas de momentos fletores para o calculo do coeficiente de flexibilidade 6 relativo ao SP da Figura 89 Capítulo 8 Método das forças 229 Solução do sistema de equações de compatibilidade Com base nas expressões dos termos de carga e dos coefi cientes de fl exibilidade encontrados ante riormente podese montar o sistema de equações de compatibilidade fi nal do método das forças para o presente exemplo 0 0 4 9 7 18 7 18 4 9 5 24 1 4 0 0 2 1 3 4 2 1 22 21 12 11 20 10 X X EI l EI ql X X δ δ δ δ δ δ A partir da solução desse sistema de equações determinamse os valores dos hiperestáticos X1 e X2 em função de l comprimento de um vão da viga e q taxa de carregamento distribuído 10 20 13 2 1 ql X ql X Observase que esses valores independem do parâmetro EI rigidez à fl exão da viga que foi elimi nado na solução do sistema de equações de compatibilidade Diagrama de momentos fl etores fi nais Para fi nalizar a solução da viga contínua com três vãos resta determinar o diagrama de momentos fl etores fi nais A Figura 818 mostra as reações de apoio e os momentos fl etores fi nais para essa estrutura q l l l 13ql20 ql10 13ql30 ql60 ql215 ql260 ql28 M Figura 818 Reações de apoio e diagrama de momentos fl etores fi nais da estrutura da Figura 88 Conforme mencionado anteriormente neste capítulo Seção 813 os diagramas de esforços internos fi nais podem ser determinados de duas maneiras calculase o sistema principal com o carregamento aplicado simultaneamente aos hiperestáticos X1 e X2 com os valores corretos encontrados utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos diagramas fi nais no caso do diagrama de momentos fl etores M M0 M1X1 M2X2 A segunda opção é em geral utilizada porque os diagramas de momentos fl etores dos casos básicos já estão disponíveis uma vez que são necessários para o cálculo dos termos de carga e dos coefi cientes de fl exibilidade 842 Sistema principal obtido por introdução de rótulas internas Nesta opção para se obter o SP são eliminados vínculos internos de continuidade de rotação da elástica confi guração deformada da viga Nesse caso são introduzidas duas rótulas nas seções transversais dos dois apoios internos Os hiperestáticos X1 e X2 são momentos fl etores associados à continuidade de rota ção da viga nessas seções transversais como ilustrado na Figura 819 Bookconceitosindb 229 532010 083859 230 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER X1 X1 X2 X2 je S Js S 1 Figura 819 Segunda opcdo para SP da estrutura da Figura 88 Os pares de momentos aplicados adjacentes as rotulas introduzidas na criagado do SP da Figura 819 fazem com que os momentos fletores finais nas secdes transversais onde foi eliminada a continuidade de rotacado necessariamente sejam iguais a X e X conforme observado na Secao 376 Salientase que embora a ilustragdo dos pares de momentos deixe transparecer ndo existem trechos de barra entre as rotulas e os momentos aplicados veja consideragées feitas na Secao 32 referentes ao exemplo da Figura 39 Seguindo a metodologia do método das forcas a solucao do problema recai em determinar os valo res que os momentos fletores X e X devem ter para que juntamente com o carregamento atuante fique restabelecida a continuidade de rotacao da elastica da viga Os mesmos passos mostrados para a solucao considerando a opao anterior do SP Secao 841 sdo efetuados nesta opcdo como mostrado a seguir Caso 0 Solicitagao externa carregamento isolada no SP ee dio On 0 ql ot t ql2 jx S Ss 1 Te nam Figura 820 Solicitacdo externa isolada no SP da Figura 819 69 rotacado relativa entre as secGes transversais adjacentes a rotula associada a X provocada pelo carregamento externo no caso 0 629 rotacdo relativa entre as seces transversais adjacentes a rétula associada a X provocada pelo carregamento externo no caso 0 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP Xi 1 Xi 1 erm mn ae wept SA ou 7 61 i I 21 1 l x Xt je J f S 1 Figura 821 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 819 ro eth Capitulo 8 Método das forcgas 231 ELSEVIER 61 rotacao relativa entre as secGes transversais adjacentes a rétula associada a X provocada por X 1 no caso 1 6y rotacdo relativa entre as sec6es transversais adjacentes a rotula associada a X provocada por X 1 no caso 1 Caso 2 Hiperestatico X isolado no SP Xo 1 X2 1 eoreee Re OF ae el oR OO Je A l 21 1 af x Xo j S Js S 1 4rE Figura 822 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 819 61 rotacao relativa entre as sec6es transversais adjacentes a rotula associada a X provocada por X 1 no caso 2 6 rotacao relativa entre as sec6es transversais adjacentes a rotula associada a X provocada por X 1 no caso 2 Restabelecimento das condicoes de compatibilidade Para esta opcao do sistema principal é preciso restabelecer as condicoes de continuidade de rotacao nas secoes transversais onde sao introduzidas as rotulas Isso é feito com base na superposicao dos trés casos basicos As equacoes de compatibilidade impdem que na superposicao as rotacoes relativas entre as secoes transversais adjacentes a cada rétula sejam nulas resultando em 69 Oy Oop Xo 0 O calculo dos coeficientes desse sistema de equacdes também é feito com auxilio do PFV tal como descrito na Secao 83 Para o sistema principal adotado sao calculadas as rotac6es relativas entre as secdes adjacentes a cada rotula introduzida na criagdo do SP Portanto as cargas virtuais adotadas sao pares de momentos unitarios aplicados adjacentes as rotulas Tabela 72 Assim como para a primeira opcao do SP Secao 841 observase que os sistemas de forcas virtuais correspondem aos casos 1 e 2 para os hiperestaticos X e X com valores unitarios Assim os sistemas reais de deformacao sao os casos 0 1 e 2 e os sistemas de forgas virtuais sao os casos 1 e 2 com X1e X 1 Uma grande vantagem dessa segunda opao do SP é a facilidade no calculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade Esse calculo 6 mostrado a seguir com base na combinacao dos diagra mas de momentos fletores dos casos basicos apresentados anteriormente 510 2 108 Joe EI 3 8 24EI On 0 232 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 1 1 1 21 1 1 O14 p epartest1 On 019 2b214 ay EI 3 3 3EI EI 6 6EI 1 1 1 2 599 2spaaiedai da EI 3 3 3EI O sistema de equac6ées de compatibilidade resultante e a sua solucao estao indicados a seguir O19 4 O14 OW Xy 0 gl 124 4 1 23 16 Xy 0 5S 1 15 2 ql X 60 Observase que os valores de X e X correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas secées transversais dos apoios internos da viga continua conforme indicado na Figura 818 Portanto essa opcao do SP acarreta como nao poderia deixar de ser a mesma solucao da estrutura hiperestatica Outra vantagem dessa segunda opao do SP é a facilidade no tracado do diagrama dos momentos fletores finais Nas sec6es transversais onde foram introduzidas rotulas o valor do momento fletor final é o proprio valor do hiperestatico correspondente a cada rotula O tracado do diagrama final Figura 818 ao longo das barras é obtido através de uma superposicao simples dos diagramas dos casos basicos No primeiro vao tratase de uma superposicao de um tridngulo com uma parabola no segundo de uma superposicao de dois tridngulos e no terceiro apenas um triangulo 843 Consideracdes sobre a escolha do sistema principal A partir das andlises feitas nas secdes anteriores para o exemplo da viga continua podem ser tracgadas algumas consideracoes A primeira é que existem diversas opcées para 0 sistema principal A Figura 823 ilustra algumas opcoes validas com os hiperestaticos correspondentes e uma opao invalida instavel Todas as opoes sao obtidas pela eliminacgao de dois vinculos de compatibilidade pois 0 grau de hipe restaticidade do exemplo é g 2 oP ff ch of af X X Xa Xa XxX X xf instavel Figura 823 Opcdes de SP para a viga continua com trés vdos da Figura 88 Os sistemas principais mostrados na Figura 823 sao obtidos através da eliminacao de vinculos ex ternos de restricdes de apoio e de vinculos internos de continuidade de rotacao da curva elastica intro dugao de rotulas Uma opcao combina os dois tipos de liberacao de vinculo Na unica opgao invalida é eliminado o vinculo externo que impede o movimento da viga na direcao horizontal o que faz com que 0 SP fique instavel observe que o SP resultante é hiperestatico com relagéo ao comportamento transversal O fato de existirem diversas possibilidades para 0 sistema principal faz com que seja dificil forma lizar além da metodologia ja descrita um procedimentopadrao para andlise de estruturas pelo método das forcas Nos exemplos abordados na sequéncia deste capitulo ficara claro que a criacao do SP requer Capítulo 8 Método das forças 233 um conhecimento razoável de análise de estruturas isostáticas porém esse conhecimento não é facilmen te traduzido em procedimentospadrão para a escolha do SP Por exemplo em alguns casos Seção 86 o SP escolhido pode ser um quadro isostático composto com solução relativamente trabalhosa porque sua decomposição resulta em uma sequência cíclica de carregamento de quadros isostáticos simples A identifi cação a priori desses casos requer uma análise da decomposição do quadro composto Seção 33 a qual é difícil de ser padronizada A falta de um procedimentopadrão difi culta a elaboração de um algoritmo genérico para a criação do SP Além disso não é simples a identifi cação automática de uma instabilidade gerada pela eliminação de vínculos da estrutura Esses motivos explicam em parte por que o método das forças não é o mais utilizado em uma implementação computacional para análise de estruturas reticuladas Em geral os programas de computador implementam a metodologia do método dos deslocamentos O principal motivo para isso é justamente a simplicidade da criação da estrutura auxiliar sistema hipergeométrico utilizada na superpo sição de casos básicos adotada nesse método Conforme será visto no Capítu lo 10 no caso geral só existe uma opção para a escolha do sistema hipergeométrico e o procedimento para a sua criação é muito simples Outra consideração importante se refere à interpretação física do hiperestático do termo de carga e dos coefi cientes de fl exibilidade associados a um vínculo de compatibilidade eliminado na criação do SP Quando se elimina um vínculo de compatibilidade externa na criação do SP o hiperestático correspon dente é uma reação de apoio isto é uma força externa ou um momento externo O termo de carga e os coefi cientes de fl exibilidade correspondentes são deslocamentos absolutos para o caso de hiperestático força ou rotações absolutas para o caso de hiperestático momento na direção do vínculo eliminado Quando se elimina um vínculo de continuidade interna na criação do SP o hiperestático corres pondente é um esforço interno No caso da eliminação de um vínculo interno de continuidade de rotação da curva elástica introdução de uma rótula o hiperestático é um momento fl etor esfor ço interno No caso de um corte completo em uma seção transversal os hiperestáticos são os es forços internos na seção O termo de carga e os coefi cientes de fl exibilidade correspondentes são deslocamentos relativos ou rotações relativas na direção do vínculo eliminado na seção transversal Nos exemplos abordados neste capítulo as únicas liberações de continuidade interna consideradas são o corte completo de uma seção transversal que elimina a continuidade de deslocamento axial de deslocamento transversal e de rotação e a introdução de rótula A Tabela 23 mostra duas possibilidades adicionais de liberação de vínculos internos liberação de continuidade de deslocamento axial e de conti nuidade de deslocamento transversal em uma barra Os tipos de liberação de vínculos externos e internos que são adotados neste capítulo são mostrados na Tabela 72 85 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL PARA UM QUADRO FECHADO A Seção 84 apresentou a análise de uma viga contínua com duas opções para o SP uma com eliminação de vínculos externos e outra com eliminação de continuidade interna Esta seção estende esse estudo para um quadro externamente isostático conforme ilustrado na Figura 824 de tal maneira que para a cria ção do SP é necessário eliminar vínculos internos de continuidade De acordo com a Seção 38 veja também considerações feitas na Seção 321 o grau de hiperestaticidade do quadro é g 3 Todas as barras têm os mesmos parâmetros de material e de seção transversal Neste estudo são discutidos apenas os sistemas principais adotados e as interpretações físicas dos termos de carga e coefi cientes de fl exibilidade A solução fi nal da estrutura não é dada visto que isso será feito para diversos exemplos no restante deste capítulo Bookconceitosindb 233 532010 083903 234 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Duas opc6es sao adotadas para o SP da solugao do portico da Figura 824 pelo método das forgas Na primeira 0 anel circuito fechado de barras é cortado secionandoo em uma secao transversal Na segunda sao introduzidas rotulas internas h S 1212 Figura 824 Portico plano externamente isostatico e com hiperestaticidade interna em decorréncia de a um anel 851 Sistema principal obtido por corte de uma secao transversal A primeira opcao para a criacado do SP da estrutura da Figura 824 é feita secionandose 0 anel na secao S indicada na figura O SP resultante é mostrado na Figura 825 X2 Xs Xs Xi X2 Figura 825 Primeira opcdo para SP do quadro da Figura 824 Os hiperestaticos correspondentes a essa opcao do SP também estao indicados na Figura 825 Eles sao os esforcos internos de ligacao na secao S Os casos basicos da solugao da estrutura pelo método das forgas com esse SP sao apresentados a seguir Caso 0 Solicitagao externa carregamento isolada no SP A Figura 826 mostra 0 efeito da solicitagado externa para o SP adotado 4 Pees t t 1 i or PILE ay 10 wa P2 tp 2 Figura 826 Solicitacdo externa isolada no SP da Figura 825 ro lhe Capitulo 8 Método das forcgas 235 ELSEVIER Veemse na Figura 826 as interpretacoes fisicas dos termos de carga para esse caso sendo que 619 deslocamento axial relativo entre as secdes resultantes do corte na secdo S provocado pela solici tacao externa no caso 0 65 deslocamento transversal relativo entre as secdes resultantes do corte na secao S provocado pela solicitagdo externa no caso 0 no caso 69 é nulo 639 rotacdo relativa entre as secdes resultantes do corte na secdo S provocada pela solicitagéo externa no caso 0 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP O caso 1 da solugéo com o SP adotado é ilustrado na Figura 827 e as interpretacées fisicas dos coeficientes de flexibilidade correspondentes sao 61 deslocamento axial relativo entre as secdes resultantes do corte na secado S provocado por X 1 no caso 1 6 deslocamento transversal relativo entre as secdes resultantes do corte nasecdo S provocado por X 1 no caso 1 no exemplo 43 é nulo 63 rotacdo relativa entre as secées resultantes do corte na secado S provocada por X 1 no caso 1 i ort tt ooo Taos ae 1 xX TLE Ha ou X1 M1 7 Figura 827 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 825 Caso 2 Hiperestatico X isolado no SP A Figura 828 mostra 0 caso 2 da solucao para 0 SP adotado Os coeficientes de flexibilidade podem ser interpretados como 612 deslocamento axial relativo entre as secdes resultantes do corte na secdo S provocado por X 1 no caso 2 no exemplo 52 é nulo 659 deslocamento transversal relativo entre as sec6es resultantes do corte na secdo S provocado por X 1no caso 2 632 rotacao relativa entre as secdes resultantes do corte na secdo S provocada por X 1 no caso 2 no exemplo 532 é nulo 7 on ot Ty P ik a I X2 if fx 1 Figura 828 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 825 236 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Caso 3 Hiperestatico X isolado no SP Finalmente 0 caso 3 desta opcao do SP é indicado na Figura 829 cujos coeficientes de flexibilida des tém a seguinte interpretacao fisica 613 deslocamento axial relativo entre as secdes resultantes do corte na secao S provocado por X 1 no caso 3 653 deslocamento transversal relativo entre as secdes resultantes do corte na secao S provocado por X 1 no caso 3 no exemplo 53 é nulo 633 rotacdo relativa entre as secdes resultantes do corte na secao S provocada por X 1 no caso 3 Ca x Xs fp X3 a i 1 7 Figura 829 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 825 Restabelecimento das condicoes de compatibilidade De acordo com a metodologia do método das forcas a superposicao dos casos basicos 0 1 2 e 3 é utilizada para recompor as condicdes de compatibilidade que foram violadas na criagao do SP Para tanto somamse os valores das descontinuidades de deslocamento axial de deslocamento transversal e de rotacao na secao de corte S e impdese que essas somas tenham valores nulos Isso resulta em um sistema com trés equacdes de compatibilidade 019 04 X1 64 X 643X3 0 039 05 X1 03 X 053X4 0 Dessa forma é possivel encontrar os valores de X X e X que fazem com que os deslocamentos axial e transversal relativos e a rotacao relativa na secao de corte S sejam nulos Com isso as trés condi cdes de continuidade violadas sao restabelecidas 852 Sistema principal obtido por introdugdo de rdtulas A Figura 830 mostra a segunda opcao para o SP da estrutura da Figura 824 Esse SP é obtido introduzin dose trés rétulas no anel da estrutura Os momentos fletores nas sec6es transversais onde as rétulas sao introduzidas sao os hiperestaticos dessa solucao Xi X2 Xi eo C X2 X3 k Figura 830 Segunda opcdo para SP do quadro da Figura 824 oni Capitulo 8 Método das forcgas 237 Devese observar que as rotulas poderiam ser colocadas em quaisquer outros trés pontos desde que nao ficassem alinhadas em uma mesma barra 0 que caracterizaria uma instabilidade veja as Figuras 36 e 46 A Figura 831a ilustra outro SP valido obtido pela introducao de trés rétulas na estrutura da Figura 824 A Figura 831b indica um SP nao valido pois as trés rotulas estao alinhadas na barra superior do portico a b Figura 831 Outras alternativas para SP do quadro da Figura 824 com introducao de rotulas a opao valida b opcado invalida Outra observacao importante com respeito a solugao utilizando um SP obtido pela introducao de rotulas é que em geral na solucao dos casos basicos é necessaria a decomposicao do quadro isostatico composto em quadros isostaticos simples No caso geral uma decomposicao pode resultar em quadros biapoiados triarticulados ou engastados com balancos Secao 33 Para o SP adotado Figura 830 uma possivel decomposicao seria em um quadro biapoiado e outro triarticulado como mostrado para os ca sos 0 e 1 a seguir Para os casos 2 e 3 a mesma decomposiao se aplicaria As interpretacoes fisicas dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade para esta opcao do SP podem ser feitas genericamente da seguinte maneira 69 rotacao relativa entre as secdes adjacentes a rdtula associada ao hiperestatico X provocada pela solicitagao externa no caso 0 6 rotacao relativa entre as sec6es adjacentes a rotula associada ao hiperestatico X provocada por X 1 no caso j Caso 0 Solicitagao externa carregamento isolada no SP A Figura 832 indica a solucao do caso 0 da presente opao para o SP Observase que para resol ver esse problema isostatico 6 conveniente decompor o quadro composto da Figura 830 em um quadro triarticulado suportado por um quadro biapoiado com uma barra vertical em balanco a esquerda O qua dro composto é separado em duas porcoes pelas rotulas associadas aos hiperestaticos X e X Os apoios do quadro triarticulado sao ficticios mas servem para indicar que existem duas forgas de ligagado apoios do 22 género e a ordem de carregamento dos quadros simples nas sec6es transversais de ligacdo das rotulas separadas a porcao que contém 0 apoio ficticio é a porgdo suportada P2 by Apoio ficticio Y na separagao de uma onde um trecho esta sendo suportado por outro Pi Q P2 P2 t tp 2 Figura 832 Solicitacdo externa isolada no SP da Figura 830 238 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Conforme descrito na Segao 33 para resolver o problema devese determinar as reagdes de apoio no quadro triarticulado e aplicar essas reacdes como se fossem cargas atuando no quadro biapoiado Na verdade cada par reacdocarga em um apoio ficticio da decomposicao representa um esforco interno de ligacao em uma rotula No caso 0 do exemplo s6 existem esforcos de ligacdo verticais como mostra a Figura 832 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP A solugao do caso 1 desta opgao do SP é semelhante a solucdo do caso 0 A decomposicao do quadro composto no caso 1 é mostrada na Figura 833 1 it il Xi1 11 x X1 1 iit fii Figura 833 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 830 Esta secao indica a solucgdo de um quadro fechado hiperestatico externamente isostatico adotando duas opoes para o SP Em principio pode parecer mais complicado criar 0 SP introduzindo rotulas inter nas segunda opao do que cortando em uma segao transversal primeira opcdo Entretanto como foi visto na Secdo 842 a segunda opcao apresenta pelo menos duas vantagens A primeira é que em geral a introdugao de rotulas resulta em um calculo mais simples dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade A segunda vantagem é que o tracado do diagrama de momentos fletores final que é obtido pela superposicao dos diagramas dos casos basicos é mais simples Nos pontos em que sao introduzidas rotulas o valor do diagrama de momentos fletores final é o proprio valor do hiperestatico que correspon de aquela rotula 86 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL PARA QUADROS COMPOSTOS Esta secdo apresenta exemplos de criacdo de sistema principal para dois porticos planos hiperestaticos Um objetivo desta apresentacao é ilustrar algumas possibilidades de escolha de SP em fungao da elimina cao de diferentes vinculos de compatibilidade Outro objetivo é salientar 0 cuidado que deve ser tomado para evitar um SP com instabilidade ou com uma solucao muito trabalhosa Considere o quadro hiperestatico da Figura 834 De acordo com os procedimentos descritos na Se cao 38 o grau de hiperestaticidade desse portico é g 2 A figura apresenta quatro opcoes para o sistema principal dessa solucao lhe Capitulo 8 Método das forcgas 239 ELSEVIER Apoio ficticio na separagao de uma rdtula indica o ponto onde um trecho esta sendo suportado por outro Xig pX1 xX xX a X2 X x Xi X1 Xo 1 Xi X X2 b X2 Xig pX1 xX Xi c Instavel trés articulagées X enn Spy alinnadas X2 X1 X Xi d scr X2 X2 X2 X2 Figura 834 Opcdes de SP para um quadro hiperestatico Na primeira opcao para SP Figura 834a uma rotula é inserida e uma restricdo de apoio é elimi nada Para resolver esse SP 0 quadro isostatico composto resultante 6 decomposto em uma sequéncia de carregamento com um quadro triarticulado sendo suportado por um quadro biapoiado Os circulos indicam os apoios ficticios nos pontos de suporte do portico e as setas indicam a ordem da sequéncia de carregamento A segunda opcao Figura 834b tem uma sequéncia de carregamento semelhante Em vez de liberar a restricao do apoio da direita uma rotula é inserida no no superior a direita O resultado é um quadro composto que é decomposto em dois quadros triarticulados um suportado pelo outro A terceira opcao Figura 834c posiciona a segunda rotula no no central inferior do triarticulado que da suporte ao outro Entretanto isso gera uma instabilidade porque as trés articulagdes do quadro ficam alinhadas Segdo 32 Finalmente a quarta opcdo para o SP Figura 834d apresenta uma sequéncia de carrega mento na decomposicao bastante diferente das anteriores Nessa opcao duas rétulas sao inseridas nas extremidades da barra central vertical Isso resulta em um triarticulado interno pendurado em outro triarticulado externo No apoio a esquerda da ultima opcao de SP é interessante notar que invertemse os papéis de apoio real e apoio ficticio na separagao da rotula Observase a partir do exemplo da Figura 834 que uma das maiores dificuldades de utilizacao do método das forcas esta na escolha adequada do sistema principal Dois cuidados devem ser tomados ao se eliminar vinculos de compatibilidade na criacdo de um SP O primeiro é evitar um SP instavel A ins tabilidade pode ser decorréncia da falta de impedimento de um movimento de corpo rigido como no SP instavel mostrado na Figura 823 que nao apresenta algum apoio que restrinja o movimento horizontal A instabilidade também pode ser interna como as trés rotulas alinhadas do triarticulado da Figura 834c O segundo cuidado a ser tomado na escolha do SP consiste em evitar a criacdo de um quadro isos tatico composto cuja decomposicao seja uma sequéncia ciclica de carregamento de quadros isostaticos 240 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER simples Isso é explicado com auxilio do exemplo da Figura 835 que também tem um grau de hiperes taticidade g 2 Dy Aveig ficticio na separagdo de uma rotula indica o ponto onde um trecho esta sendo suportado por outro a X2 Xi X2 a X2 Xi Lo BAX x Xi X2 Figura 835 OpcGdes de SP para um quadro hiperestatico a sequéncia ciclica de carregamento b sequéncia aciclica de carregamento A primeira opcao de SP desse exemplo Figura 835a libera a restricao de rotagdo no engaste do portico e insere uma rotula na barra na lateral direita do ciclo fechado de barras O unico quadro isostati co simples que contém um apoio do 1 género é 0 quadro biapoiado Portanto separase a rotula central para criar um apoio ficticio do 2 género para formar o quadro biapoiado O restante do portico forma um quadro triarticulado com uma barra em balanco Entretanto essa nao uma boa opao para o SP Observase que o quadro biapoiado busca suporte na extremidade em balanco do quadro triarticulado que busca suporte a direita no quadro biapoiado Isso é 0 que caracteriza uma sequéncia ciclica de car regamento de quadros isostaticos simples Nesse tipo de sequéncia nao existe um portico isostatico que seja somente suportado A cadeia de carregamento comeca por um portico que se apoia no outro que por sua vez busca suporte no primeiro portico Essencialmente nao existe problema algum com essa decom posicao Apenas vale observar que a sua solucao é mais trabalhosa porque para determinar os esforcos internos de ligacdo nas rotulas separadas na decomposicao devese considerar concomitantemente as trés equacées de equilibrio do quadro biapoiado e as quatro equacoes de equilibrio do triarticulado Quando uma sequéncia ciclica de carregamento é identificada na criagéo de um SP devese buscar outra opcao Uma é a apresentada na Figura 835b na qual nenhuma restricao de apoio é liberada e duas rotulas sao inseridas Isso resulta em um quadro isostatico composto que decomposto em uma sequéncia aciclica de carregamento Nessa sequéncia um quadro triarticulado é suportado por um quadro engastado com balancos e por um quadro biapoiado Este também é suportado pelo quadro engastado com balancos Os dois exemplos considerados nesta secéo mostram que é necessario um conhecimento razoavel sobre andlise de estruturas isostaticas para utilizar o método das forgas Nao existe um procedimento padrao além da metodologia apresentada de superposicao de casos basicos aplicados ao sistema princi pal O que se tem a mais sao os cuidados salientados nesta secao para evitar problemas com o SP adotado Dessa forma o entendimento mais aprofundado sobre a aplicacao do método das forcas para andli se de estruturas hiperestaticas requer a pratica de exercicios O restante deste capitulo apresenta solucdes de porticos planos trelicas planas e grelhas pelo método das forgas A ultima secdo propée exercicios adicionais eth Capitulo 8 Método das forcgas 241 ELSEVIER 87 EXEMPLOS DE SOLUCAO DE PORTICOS PELO METODO DAS FORCAS Esta secdo apresenta quatro exemplos de solucao de porticos planos pelo método das forgas Figuras 836 837 838 e 839 As solugdes se baseiam inteiramente na metodologia apresentada nas secoes anteriores No calculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade desprezada a contribuicao da energia de defor macao para 0 efeito axial e para o efeito de cisalhamento Notase que todos os porticos tém pelo menos um anel ciclo fechado de barras e que pelo menos uma rotula é introduzida no anel para criar o SP Isso resulta na separacao de triarticulados na decomposicao dos anéis dos quadros compostos dos SPs z EI constante N o Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP 72 6 kN 36 je 4m Sfe 4m 5 E eae 8 Nv Sistema Principal SP e Hiperestaticos N o g 2 X1 Xi 6 kN mS 6 kN LA 12 kN yf o oD X2 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP Caso 2 Hiperestatico X2 isolado no SP 1 Xi1 16 4 16 vat vy X11 x Xy x X2 iY 69 116 x 14 ay vat Piva 116 ZX Equacoes de Compatibilidade Diagrama de Momentos Fletores S19 On S12 Xr 0 X 81kNm MMMXMX On On On X 0 X 458 kNm 360 Sd 261 81 GS bo p 196513667 O EI 3 3 EI by a E17244213644517264 22 m EI 3 6 2 EI Buc pp eg bt ae e116 0 kKNm ET 3 3 3EI 5x1 512 0 1 1 22 a 1144116 4 81 On F pirat o a s Figura 836 Exemplo de solucdo de quadro plano hiperestatico pelo método das forgas 242 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER son EI constante 10 kNm Caso 0 Solicitacado externa isolada no SP 120 d 4 z AN as 8 a 6m 6m De rm z ts 8 Sistema Principal SP e Hiperestaticos g 2 2 3 10 kNm X2 X2 st 3t Xt 8 45 1p Xi 8 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP Caso 2 Hiperestatico X2 isolado no SP 16 4 1 X21 1 1 1 mM te Xol1 1A 16 14 x Xi x xX X11 14 v4 14 4 14 Xi1 14 16 i 14 Equacoes de Compatibilidade 0 0 6 x 0 X 130kNm ToL perm Myatt yet 2prreare 5y Sn Oy X lol X 606 kNm 62 4238 EI 3EI 1 1 1 2114 5 1 3130645 130611206 280 3 10 py a 1 1 22 EI 1 1 EI 5 6 eroettta gb 0 442 1456 12 21 Ey 3 3E1 11 1 1 430 1 1 26 Sy 13061120611204 Sy 11642114 20 El 5 2 3 EI EI E 3EI Diagrama de Momentos Fletores MMMXMX 704 gs 8 O 8 R 170 Wa 7768 mM 1308 oon 2n2n pn OY kNm K le Figura 837 Exemplo de solucdo de quadro plano hiperestatico pelo método das forgas eth Capitulo 8 Método das forcgas 243 ELSEVIER 10 kNm Sistema Principal SP e Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP 40kN Hiperestaticos g 2 10 kNm ro x WWII A z EI constante E X 3 x z 80 O 40 fe z X2 3 N le 4m She 4m A g 3 x AZ 40 iN 240 kNm ts z 2 Caso 1 Hiperestatico X1 isolado no SP oO 1 Caso 2 Hiperestatico X2 isolado no SP Xi1 14 X1 14 7 14 vs i 14 mn 44 14 18 t md TY 44 14 ta 4 qPXe1 4 t 14 N ae 18 5 14 14 1 14 18 18 Equacées de compatibilidade O19 044 X1 61X 0 1 2480 1 22 14X 0 X 828 kNm to 09 69 X1 by Xq 0 3EI 3040 3EI14 40X 0 X 470kNm 1 1 1 5 1 3 1808211604 2480 5 1 311604 3040 10 Ty 20 r T EI 1 41602112402 3El EI 2916024422402 SEI 2 2 2 2 1 1 1 22 1 tists 14 Oy 41182 114 4 112 4 61 65 3 6 EI 3 3 3EI EI 3EI 122 Soy 4 Voge 222 40 EI 3 3EI weer T7B28 og Momentos Fletores Finais O owe 80 a MMMXMX ee 5 T 470 Lp R N re Figura 838 Exemplo de solucdo de quadro plano hiperestatico pelo método das forgas 244 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 12 kNm Sistema Principal SP e Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP JAY Hiperestaticos g 2 12 kNm z E EI constante O OY wt Xi z 54 Z 27 kN O I st x a E O O 3 2 b at 54 KN 11 way 54 a Q 216 54 kN tz st 27 kN 8 8 Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP Caso 2 Hiperestatico Xz isolado no SP 1 cer 144 X 1 7 ts mn 1 wl we Katy yn 44 X1 14 x X2 7 a i 1 114 vet 16 1 v6 1 14 qil4 wel 14 wel 14 Equacoes de compatibilidade 019 01 X1 dy2Xy 0 1 1188 1 32 14X 0 X 788 kNm Soy 59X15yX 0 EI 864 3ET14 20Xf lof X 4742kNm 1 4546111084112164 2 qa 51 3 2 3 1188 5 52 3 14 10 12 97 TI EI 1 44084112166 EI ALY 1 16 SEI 3 3 3 Oo g bm 4 F110844512166 864 EI 3 3 3 EI 6 2 1446 11442 divas 4 32 Soy 2 1446 42 Liga 420 EI 3 3 3EI EI 3 3 3EI 7 788 Momentos Fletores Finais we 154 O 0 KR oc I kKNm O AT AN QI 2 a N O 628 Ly Figura 839 Exemplo de solucdo de quadro plano hiperestatico pelo método das forgas Poe eh Capitulo 8 Método das forcgas 245 ELSEVIER 88 ANALISE DE VIGAS E PORTICOS PLANOS HIPERESTATICOS SUBMETIDOS A VARIACAO DE TEMPERATURA Variac6es de temperatura provocam deformacoes e esforcos internos em estruturas hiperestaticas e as solicitagdes térmicas podem ser de grande importancia para o dimensionamento desse tipo de estrutura Essa é uma das caracteristicas que diferenciam 0 comportamento de estruturas hiperestaticas e estrutu ras isostaticas pois variagdes de temperatura s6 provocam deformacoes e deslocamentos em estruturas isostaticas sem o aparecimento de esforcos internos Essa diferengca de comportamento foi discutida de forma intuitiva na Secdo 45 e analisada pela analogia da viga conjugada na Secao 68 A explicacado para isso 6 que uma estrutura isostatica nao oferece resisténcia as deformacées térmicas de uma barra posto que o restante da estrutura isostatica sem aquela barra se configura em um mecanismo que se ajusta li vremente a nova geometria da barra com deformacoes térmicas Esta secdo apresenta a aplicagao do método das forgas para analisar vigas e porticos planos submeti dos a variacoes térmicas Para entender os principios basicos desse tipo de andlise sera estudado inicial mente um exemplo muito simples de uma viga biapoiada com dois apoios que restringem o movimento horizontal como ilustrado na Figura 840 A figura também mostra 0 sistema principal e o hiperestatico adotados Sistema Principal AT 0 e Hiperestatico Xi Je 1 k 1 Figura 840 Viga biapoiada com restrido ao movimento horizontal nos dois apoios solicitada por uma variacgdo uniforme de temperatura A viga da Figura 840 é solicitada por uma variacao uniforme de temperatura e tem os seguintes parametros E modulo de elasticidade do material FL a coeficiente de dilatacéo térmica do material 07 comprimento da viga L A area da secao transversal constante L AT variacao uniforme de temperatura O caso 0 do método das forcas para esse exemplo é mostrado na Figura 841 O termo de carga 649 o deslocamento horizontal no ponto do apoio eliminado associado a X provocado pela variacgao uni forme de temperatura no caso 0 Caso 0 Solicitagao externa isolada no SP No 0 AT 0 ee a k 1 1 Figura 841 Solicitagdo externa variacdo uniforme de temperatura isolada no SP da Figura 840 246 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Na Segao 732 é descrita uma metodologia baseada no principio das forgas virtuais PFV para de terminar deslocamentos em estruturas isostaticas provocados por variac6es de temperatura Entretanto no caso do presente exemplo nao é necessario aplicar o PFV pois sabese que o alongamento de uma barra de comprimento submetida a uma variacao uniforme de temperatura é AT 1 Esta é a expres sao para o termo de carga 619 como indica a Figura 841 Notase que 0 caso 0 isostatico nao apresenta esforco normal N 0 O caso 1 da solugado do exemplo é mostrado na Figura 842 A expressao para 0 coeficiente de fle xibilidade 6 também esta indicada na figura Caso 1 Hiperestatico X1 isolado no SP ty i i Figura 842 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 840 A solucao pelo método das forcas fica completa com os seguintes passos Equacées de compatibilidade 69 04X0 XaATEA Esforco normal final N No N X com N0 NaATEA Observase que a deformacao final na viga é nula em todos os pontos Apesar de nao apresentar deformacao e deslocamentos a viga hiperestatica fica solicitada por um esforco normal de compressao provocado pelo efeito térmico Nessa solucdo sao desprezados efeitos de segunda ordem de tal forma que o esforco normal na viga nao provoca flambagem Secao 513 O exemplo anterior embora simples serve para entender a diferengca de comportamento entre uma viga isostatica e uma viga hiperestatica para uma solicitagcdo térmica Os exemplos mostrados nas Figu ras 843 e 844 generalizam a andlise pelo método das forcgas para variag6es nao uniformes de temperatura Os dois porticos das Figuras 843 e 844 tém grau de hiperestaticidade g 1 O médulo de elastici dade E e 0 coeficiente de dilatacdo térmica do material a estao indicados nas figuras As barras de cada um dos porticos tém a mesma seco transversal retangular com os pardmetros da base b da alturahe da posicao do centro de gravidade y também indicados O portico com barra inclinada da Figura 843 apre senta uma variacdo de temperatura na face inferior das barras de AT 12 C AT 0C resultando em uma variacao de temperatura na fibra do centro de gravidade da seao transversal ATcg 6 C O portico da Figura 844 tem uma variacdo de temperatura nas faces internas das barras de AT 20 C ea temperatura externa no varia resultando em 4Tg 10 C O sistema principal adotado para o primeiro portico libera a restrigdo ao movimento horizontal do apoio da direita ao passo que no segundo portico a rotacao do engaste da esquerda é liberada As Figu ras 843 e 844 também indicam os termos de carga e os coeficientes de flexibilidade nos seus respectivos casos basicos Os calculos desses pardmetros sao mostrados nas figuras Nos dois exemplos o PFV é utilizado para determinar o termo de carga Todas as definicGes necessarias e express6es utilizadas para o calculo dos termos de carga podem ser obtidas nas SecGes 732 e 831 Nessa determinacao 0 PFV trabalha com dois sistemas FOB eh Capitulo 8 Método das forcgas 247 ELSEVIER Sistema real estrutura da qual se quer calcular o deslocamento ou a rotagao no ponto e na dire ao do vinculo eliminado na criacao do SP Corresponde ao caso 0 isto é SP com a solicitagao térmica Como o SP é isostatico 0 efeito térmico s6 provoca deformag6es sem 0 aparecimento de esforcos internos As deformacoes internas provocadas pela variacao de temperatura sao ca racterizadas pelo deslocamento axial relativo interno duj Equaco 526 e pela rotacao relativa interna d Equacdo 527 no elemento infinitesimal de barra Sistema virtual estrutura com cargas unitdrias virtuais na direcdo do deslocamento ou rotacdo que se quer calcular Corresponde ao caso 1 com X 1 Para manter a consisténcia com o sinal de d6 o diagrama de momentos fletores M para X 1 é mostrado com sinais a Segao Sistema Principal SP e 12C a Hiperestatico g 1 E10 kNm xo o h060m TEA Xi 12x10 C 030m b020m 4m se sma Caso 0 Variagao de temperatura Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP isolada no SP Tt O10 N21 SHE ou Ni 098 Ay s s acc X1 ste 420 1KN 0 z KD a 4K 8 x NL 0 oO x 1 r Ni 1cos 03send 145 31035 4950 ey 9 Equacao de Compatibilidade So 519 5 X 0 59 maa nvaus estrut estrut 2 2 pt ATAT 412 a fo a i dx dO Sd dx 4820 dx estrut estrut dug a ATec dxa6dx considerando também deformacao axial 171 1 O19 020 Mydser6 Nya Oy 18 18 5 18 18 6 estrut estrut EI 3 3 1 1 098409851416 0 0 20 18 5454186 1 060 a60985100631608x10 m ee 00036 m Abh0412 m2 Diagrama de Momentos Fletores U 5 M Mo M Xy ae 1 678 5 433x10 009x10 339x10 mkN sendo My 0 O19 Oy X 0 31608x10 339x10X0 X 932kN 1 kNm Figura 843 Portico com barra inclinada solicitado por uma variagdo de temperatura na face inferior Observase que 0 efeito térmico na estrutura hiperestatica provoca momentos fletores sem que exis tam carregamentos forgas ou momentos aplicados 248 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Sistema Principal SPe Caso 0 Variacao de temperatura 20C Hiperestatico g 1 isolada no SP S 8 E HH 1 9 2 S a 20 C 478 2 y i A x 5a PR Rel an G0 Secdo LD ts transversal Caso 1 Hiperestitico X isolado no SP e7 h050m i mat Ni0 7 52020 m ou Noe at4 i Yy 025 m Ni 14 x xX X1 ta diva Equacao de Compatibilidade T T 69 Oy X 0 10 wine Nidiy doe AT AT 5 20 1 ag de 5 M 2 N i h 050 1 EI a EA dx duj aAToc dx 0r10 dx estrut estrut considerando deformacao axial O19 a 40 Jooas a10 Jn 1dx estrutura estrutura 1 1 54 1131144 EI VDSS ID Bio 27 40 134514 1 1 1 1 1 3 3 1 1 5 EA 4 4 4 4 a10 780453 20010 rad I bh 020050 00125 m 12 12 6 Diagrama de Momentos Fletores Abh010 m MMMX 96 E108 kNm sendo M 0 61 208375 10 radkNm 8 1 kKNm 619 04 X0 200107 20837510X 0 X96kNm Figura 844 Portico solicitado por uma variacdo interna de temperatura 89 ANALISE DE VIGAS E PORTICOS PLANOS HIPERESTATICOS SUBMETIDOS A RECALQUE DE APOIO A diferenca de comportamento entre estruturas isostaticas e hiperestaticas com relacao a solicitagdes de recalques de apoio movimentos indesejados de apoio é semelhante a diferenca no caso de variacées de temperatura O exemplo da Figura 845 ilustra essa diferenca de forma intuitiva determinando o termo de carga sem necessidade de utilizacao do PFV ae ene eh Capitulo 8 Método das forcgas 249 ELSEVIER Sistema Principal G e Hiperestatico A k kK 1 a7 AO 94 O70 Figura 845 Viga engastada e simplesmente apoiada solicitada por um recalque de apoio A viga engastada e simplesmente apoiada da Figura 845 sofre um recalque vertical p para baixo do apoio simples da direita O sistema principal adotado e o hiperestatico também estao indicados na figura Para determinar o termo de carga necessdrio estabelecer uma convencao de sinais para a descontinui dade de rotacdo A da elastica Essa convencao esta indicada na Figura 845 O caso 0 da solucao dessa viga pelo método das forgas é mostrado na Figura 846 O termo de carga 61 a rotacao da secao transversal do apoio da esquerda do SP O calculo desse pardmetro é simples pois aproxima o angulo de rotacao a sua tangente considerase a hipdtese de pequenos deslocamentos De acordo com a convengao para a descontinuidade de rotacao 0 sinal de 6 é negativo A expressao do 6 esta indicada na figura Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP 0 519 tan dy 5ann P 62 kK 1 Figura 846 Solicitacdo externa recalque de apoio isolada no SP da Figura 845 A Figura 847 mostra 0 caso 1 da solucao da viga com recalque de apoio A interpretacao fisica ea expressao do coeficiente de flexibilidade 6 aparecem na figura Caso 1 Hiperstatico X1 isolado no SP hf on A 11 1 nt M2 t on has x X41 kK 1 1 l oy oc Figura 847 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 845 Finalmente chegase ao diagrama de momentos fletores Figura 848 na viga com recalque confor me indicado a seguir 3E Equacoes de compatibilidade 66X0 X am p Momentos fletores finais MMMX com M 0 250 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 3Elp 1 Figura 848 Diagrama de momentos fletores finais da viga com recalque da Figura 845 Concluise conforme mencionado anteriormente que a viga hiperestatica solicitada apenas por um recalque de apoio apresenta deformacées e esforcos internos Comparandoa com uma viga isostatica correspondente por exemplo a viga do SP no caso 0 verificase que esta nao tem deformacao nem esforco interno apresentando apenas uma rotacao de corpo rigido No caso geral de uma solicitacdo de recalque de apoio em porticos o PFV é utilizado para determi nar os valores dos termos de carga Sec6es 733 e 831 Esse procedimento é exemplificado para a andlise de um portico mostrado na Figura 849 baseado em uma questao do antigo Exame Nacional de Cursos Provao de Engenharia Civil de 2002 Em uma construcao a meia encosta a laje de piso foi apoiada em estruturas compostas de perfis metalicos Ao se inspecionar a obra para recebimento verificouse a existéncia de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metalicas cujo modelo estrutural é apre sentado na Figura 849 na esquerda A fim de avaliar os esforcos adicionais nessa estrutura ocasionados pelo recalque utilizase o método das forgas e para tanto adotase o sistema prin cipal no qual foi colocada uma rotula no no B e o hiperestatico X carga momento em ambos os lados da rotula inserida em B mostrados na figura na direita O mdédulo de elasticidade do material aco é E 20x108 kNm A secdo transversal do perfil metalico tem momento de inércia I 51x10 m Com base no exposto pedese o diagrama de momentos fletores causado apenas pelo recalque em A Despreze deformac6es axiais das barras laje Sistema Principal e Hiperestatico 7 g 1 x ee A E y oO eo 4m Figura 849 Portico solicitado por um recalque de apoio O caso 0 da solucao do portico da Figura 849 é mostrado na Figura 850 Observe que o termo de carga 6 arotacdo relativa entre as secdes adjacentes a rotula do SP provocada pelo recalque de apoio no caso 0 Essa rotacao relativa pode ser avaliada conforme indica a figura aproximando o angulo de rotacdo a sua tangente De acordo com a convengao adotada para uma descontinuidade de rotagdo A mostrada na figura o termo de carga 6 é positivo Na sequéncia o PFV é utilizado para confirmar o valor encontrado para 64 Notase que os momentos fletores sdo nulos no caso 0 isostatico isto é M 0 Isso consistente com o fato de as barras do portico permanecerem retas sem deformacao quando atua o recalque no caso 0 a barra vertical sofre um movimento vertical de corpo rigido e a barra horizontal sofre uma rotacao de corpo rigido FN ek ala MG elk Capitulo 8 Método das forcas 251 ELSEVIER Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP pL nn At O19 tan dy Oi p4 3 019 25x 10 rad N 3 4 lee Pao P zAre Pag 001 m Mo 0 4m Figura 850 Solicitacdo externa recalque de apoio isolada no SP da Figura 849 O caso 1 dessa solucdo é mostrado na Figura 851 O coeficiente de flexibilidade 6 6 a rotacado relativa entre as secdes adjacentes a rotula do SP provocada por X 1 no caso 1 2 i Mbt fraadara le EI EI 3 BEI Caso 1 Hiperstatico X1 isolado no SP 1 a X1 X11 us hx 1 Figura 851 Hiperestatico X isolado no SP da Figura 849 O cAalculo do 6 é feito pelo principio das foras virtuais PFV considerandose Sistema real estrutura da qual se quer calcular a rotacao relativa Corresponde ao caso 0 Sistema virtual estrutura com momentos unitarios virtuais na direcdo da rotacao relativa que se quer calcular Corresponde ao caso 1 com X 1 O PFV estabelece que W U sendo W Trabalho das forcas e dos momentos externos do sistema virtual com os correspondentes desloca mentos e rotacdes externos do sistema real Nesse caso o trabalho externo virtual é igual 4 soma do produto de X 1 por 6 como produto da reacao vertical V no apoio esquerdo do caso 1 pelo recalque de apoio Pag U Energia de deformacao interna virtual O recalque de apoio nao provoca deformacées internas ape nas movimentos de corpo rigido das barras Portanto u0 Igualando o trabalho externo virtual a energia de deformacao interna virtual chegase ao mesmo valor obtido anteriormente para 6 WU 6 4140010 6y 0014425x10 rad 252 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER A determinacao do valor do hiperestatico X é feita recompondose a continuidade de rotacgao no n6é B do portico 10 519 6X0 25x10 X X 765kNm noo 32x1051x10 O diagrama final de momentos fletores é obtido através da superposicao dos diagramas dos casos basicos M MMX com M 0 O resultado é ilustrado na Figura 852 765 LD Nn kN Figura 852 Diagrama de momentos fletores finais do portico com recalque da Figura 849 810 ANALISE DE VIGA SUBMETIDA AO EFEITO COMBINADO DE CARREGAMENTO VARIACAO DE TEMPERATURA E RECALQUE DE APOIO Esta secao apresenta a andlise de uma estrutura solicitada concomitantemente por um carregamento uma variacado de temperatura e um recalque de apoio O exemplo adotado é a viga continua com dois vaos mostrada na Figura 853 Essa viga foi analisada para as mesmas solicitagdes pela analogia da viga conjugada Figura 624 A viga tem um material com médulo de elasticidade E 10 kKNm e coeficiente de dilatagao térmica a 10C Os dois vaos da viga tém uma secdo transversal com area A 001 m momento de inércia I 0001 m altura h 060 m e centro de gravidade situado no meio da altura O objetivo dessa andlise é determinar o diagrama de momentos fletores na viga provocado pelas seguintes solicitacGes Forgas concentradas P 40 KN aplicadas no centro dos vaos da viga Aquecimento das fibras superiores da viga de AT 50 C ao longo de toda a sua extensao as fibras inferiores nao sofrem variacado de temperatura isto é AT 0 C Recalque vertical para baixo de 3 cm 003 m do apoio direito 2 aT50C 2 da oS all 1 MOOV OOO O4OON OOO se bke 3 m St 3 m She 3m SH Sm ATi 0C p 003 m Sistema Principal e Hiperestatico g 1 Xr Xy Figura 853 Viga continua com solicitagdes de forcas aplicadas variagdo de temperatura e recalque de apoio O sistema principal adotado para a andlise da viga também é mostrado na Figura 853 Nesse SP foi introduzida uma rotula na secao transversal do apoio central da viga liberando a continuidade de rotacao da elastica nesse ponto O caso 0 da presente andlise esta ilustrado na Figura 854 O diagrama de momentos fletores desse caso provocado apenas pelas duas forcas concentradas aplicadas pois a variacdo de temperatura e 0 recalque de apoio nao provocam esforcos internos no SP isostatico eth Capitulo 8 Método das forcgas 253 ELSEVIER Caso 0 Solicitacoes externas isoladas no SP AT 50 C 1 OOOO BOY OOd sk I 580m She 30m Ske 50m She 50m Pro 008 my 60 i 60 kNm Figura 854 Solicitacdes externas isoladas no SP da viga continua da Figura 853 O caso 1 correspondente é indicado na Figura 855 O diagrama de momentos fletores M para X 1 é mostrado com sinal visando manter a consisténcia com os sinais das rotac6es relativas internas provocadas pela variacdo de temperatura O esforco normal N do caso 1 é nulo Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP oD 41 MD X 7 A ST WA0 Z A kx wot anata je 6 mp 6 m Figura 855 Hiperestatico X isolado no SP da viga continua da Figura 853 A determinacao do valor do hiperestatico X é feita recompondose a continuidade de rotagao na secao transversal do apoio central da viga Disso resulta a seguinte equacado de compatibilidade 049 014 Xy 0 O coeficiente de flexibilidade 6 é a rotacao relativa entre as secdes adjacentes a rotula do SP pro vocada por X 1 no caso 1 considerando N 0 M 1 1 1 4 6 dx 11611 6 Phas F 06456 5y 4x10 radkNm O termo de carga 6 éa rotacao relativa entre as secdes adjacentes a rotula do SP provocada pelas forgas aplicadas pela variacao de temperatura e pelo recalque de apoio que atuam concomitantemente no caso 0 549 jy 519 Of O calculo de cada um dos termos que comp6em o termo de carga é feito utilizando o PFV conforme mostrado a seguir CAlculo da contribuicgdo do carregamento 69 considerando N 0e N 0 Sto MiMo 4 1 2 1 056034405603421603 180 EI EI 3 3 6 EI Oy 18x10 rad CAlculo da contribuicao da variacao de temperatura 5j considerando N 0 st ras 254 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER sendo AT AT 0 dof F MATA 47 3 gy 050 0 50 ie gp 2 ay h 060 3 Isso resulta em 250 2 1 O10 0 ya 28 2 16 3 Jo 3 2 O19 50x10 rad Para o calculo da contribuicao do recalque de apoio df pelo PFV considerase que o trabalho ex terno virtual é igual 4 soma do produto de X 1 por df com o produto da reacao vertical V no apoio direito do caso 1 pelo recalque de apoio po Wz 16f Ver Peo Nesse caso a energia de deformacao interna virtual é nula U0 pois o recalque de apoio nao provoca deformacées no caso 0 isostatico Dessa forma 16 Vex Peg 9 Off Ver Peo 16 003 df 50x10 rad O valor final do termo de carga é 519 O1g Jig 5 18x10 50x10 50x10 18x10 rad Observe que por coincidéncia de valores o efeito da variacdo de temperatura e o efeito do recalque de apoio se cancelam Resolvendo a equagao de compatibilidade chegase ao valor do hi perestatico X1 69 6 18107 4x10 45 kNm Finalmente através da superposicao M M M X chegase ao diagrama de momentos fletores finais mostrado na Figura 856 450 M kNm TS 375 375 Figura 856 Diagrama de momentos fletores finais da viga continua da Figura 853 Portanto chegase ao mesmo resultado da andlise dessa viga pela analogia da viga conjugada con forme indica a Figura 624 811 ANALISE DE TRELICAS PLANAS HIPERESTATICAS A primeira questao a se abordar para a andlise de uma trelica plana hiperestatica é a criacdo do siste ma principal Para tanto é necessario determinar o grau de hiperestaticidade da trelica e identificar os vinculos excedentes que podem ser externos ou internos A Secdo 383 resume o procedimento adotado para determinar o grau de hiperestaticidade g de uma trelica plana Essencialmente 0 nt mero de incdégnitas do problema do equilibrio estatico de uma trelica plana é igual ao numero de barras mais o numero de componentes de reacoées de apoio O grau de hiperestaticidade é a diferenca entre o numero de incdgnitas e o numero de equacées de equilibrio que é igual ao dobro do nimero de nos ttle Capitulo 8 Método das forcgas 255 Para identificar vinculos excedentes é preciso caracterizar trelicas planas com respeito a uma possi vel hiperestaticidade externa ou interna como foi é feito na Secdo 34 Com base nessa caracterizaao a Figura 857 apresenta trés exemplos de criacao de SP para trelicas planas hiperestaticas LZ a pas t X Da 9 Q Z1XN DEIN Lr Z 7 Figura 857 OpcGes de SP para trelicas planas hiperestaticas A trelica da Figura 857a um complexo simplicial valido isto é as barras da treliga formam uma triangulacdo simples veja a definigéo de complexo simplicial na Segao 34 Além disso nenhum no da triangulacgado tem uma adjacéncia radial completamente preenchida por tridngulos do complexo simplicial o que caracteriza uma triangulacdo sem hiperestaticidade interna Portanto como existe um apoio do 1 género excedente em relacao a situagao biapoiada o grau de hiperestaticidade dessa trelica é g 1 OSP adotado elimina um dos apoios do 1 género e 0 hiperestatico correspondente é a reagao nesse apoio Um exemplo de trelica que nao constitui um complexo simplicial valido é mostrado na Figura 857 b Isso ocorre porque o painel central da trelica apresenta duas barras diagonais que se transpassam sem que estejam conectadas no ponto de intersecdo o que caracteriza uma redundancia para a estabilidade estatica hiperestaticidade interna Além disso existem dois apoios do 2 género ou seja existe um vinculo externo excedente em relacgao ao necessario para dar estabilidade Portanto o grau de hiperesta ticidade é g 2 Para criar o SP é necessario eliminar um vinculo interno excedente e um vinculo externo excedente O SP adotado corta uma das barras diagonais do painel central e transforma 0 apoio da direita em apoio do 1 género Os hiperestaticos associados sao 0 esforco normal na barra diagonal cortada e a reacao horizontal do apoio da direita A trelica da Figura 857c apresenta uma triangulacao de barras cujo no central tem uma adjacéncia radial completamente preenchida por tridangulos do complexo simplicial O numero de barras adjacentes a esse no é maior do que o numero de triangulos adjacentes ao no De acordo com o que foi discutido na Secao 34 isso caracteriza uma hiperestaticidade interna e assim a treligca é externamente isostatica Portanto o SP escolhido corta uma barra de tal maneira que 0 entorno do néo central nao fique completa mente preenchido por triangulos O hiperestatico é o esforco normal na barra cortada Apéos a criacao do sistema principal a andlise de uma trelicga plana hiperestatica pelo método das forcas segue o procedimentopadrao descrito anteriormente neste capitulo Esta secéo apresenta dois exemplos de andlises de trelicas planas hiperestaticas O primeiro corresponde a trelica da Figu ra 857a O modelo estrutural completo com dimens6es e carregamento é mostrado na Figura 858 Todas as barras tem 0 mesmo material com mdédulo de elasticidade E e a mesma seco transversal com area A 256 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER z 2 Sistema Principal e Hiperestatico 2 g 1 aR 2 Ff fo 3 9 OQ Z LA t x st ez mate2 mabe mah2 m Figura 858 Trelica hiperestatica com forcas aplicadas Observase que a eliminacao do apoio central transforma a trelica hiperestatica na trelicga isostatica da Figura 346 Portanto a solucao do caso 0 corresponde a solucao da trelica da Figura 346 Os esforcgos normais calculados para essa trelica na Secao 378 estao reproduzidos na Figura 859 O termo de carga que nao esta indicado na figura tem a seguinte interpretacao fisica 619 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado do SP provocado pelo carregamento externo no caso 0 Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP 1 o 4 oO oO are x 5 1067 E w 5 GY Os 2 Q OQ O an O a zt 33 kN N2 m2 m2 m2 ma Figura 859 Solicitagdo externa isolada no SP da trelica da Figura 858 O caso 1 da solucao da trelica esta indicado na Figura 860 Os esforcos normais N para X 1 também sao mostrados na figura O calculo desses esforcos normais que nao é descrito é feito por equi librio dos nos isolados de maneira andloga ao que é mostrado na Segao 378 A interpretacao fisica do coeficiente de flexibilidade nao indicado na Figura 860 é 6 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado do SP provocado por X 1 no caso 1 Caso 1 Hiperestatico X1 isolado no SP 0 0 0 067 0 S o 7 2 7 0 O e 1 QO O ty x ry by sl fx 1 ts oO oO be2 mater meer mape2 m Figura 860 Hiperestatico X isolado no SP da trelica da Figura 858 FN eh ala MG elk Capitulo 8 Método das forcas 257 ELSEVIER O termo de carga e 0 coeficiente de flexibilidade sao calculados utilizando o PFV e de acordo com as Esquac6es 88 e 815 sdo expressos por 7 NN 1 Ci by ae VIN Ng 10 J EA EA 1 0 i1 7 N y 1 2 4 5 QL ax nil 11 J EA EA i i1 Nas expressGes para 59 5 EA é 0 parametro de rigidez axial das barras Nj é 0 esforco normal na barra i no caso 0 Nj é 0 esforco normal na barra i no caso 1 para X 1e I 60 comprimento da barra i A tabela na Figura 861 resume todos os valores para I Nj e Nj 14 of m KN J kN JL FS lao fzerosl 1 O Tom 400 eer moss oat ast eat soe 1 SQKG L ser 361 060 a19 O 4 ser 361 060 7 Y INI 361 1562 060 73 X 1384 KN 400 1067 067 14 ALE HSSARNNE NE Figura 861 Esforcos normais finais da treliga da Figura 858 A Figura 861 também apresenta os esforcos normais finais obtidos pela superposicgado dos esforcgos normais dos caso basicos N N NX O hiperestatico X 6 determinado resolvendose a equacao de compatibilidade 61 6X 0 Ou seja X d19 6 isto é X 1384 kN Observe que 0 parame tro de rigidez axial EA igual para todas as barras é cancelado na solugdo dessa equacao A precisao de duas casas decimais para os valores intermediarios é utilizada para garantir um resultado adequado com uma casa decimal para os esforcos normais finais O segundo exemplo de aplicagéo do método das forgas para a analise de uma trelica hiperestatica é apresentado na Figura 862 A barra vertical barra da trelica sofre uma variacdo uniforme de tem peratura AT em relacao as outras barras Todas as barras tém rigidez axial EA e coeficiente de dilatacao térmica a O objetivo do exemplo é determinar os esforgos normais nas barras da trelica em funcao de EA AT ae a pardmetro de dimensdao geométrica O sistema principal também indicado na figura libera a restricao ao deslocamento horizontal no apoio da direita Sistema Principal e Hiperestatico Q QO a g 1 am AGEL Ze 4 x O O O A a s a s Figura 862 Trelica hiperestatica com variagdo AT de temperatura na barra vertical O caso 0 desse problema é mostrado na Figura 863 Observe que a trelica isostatica SP s6 apresenta deformacao na barra vertical que se alonga em decorréncia da variacgdo de temperatura As outras barras nao se deformam apenas se movimentam como corpos rigidos Os esforgos normais sao nulos N 0 em 258 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER todas as barras A interpretacao fisica do termo de carga 6 esta indicada na figura o deslocamento hori zontal do apoio da direita provocado pela variacao de temperatura que atua no SP no caso 0 Caso 0 Solicitacao externa isolada no SP g O 4 Qes JS f PS am e 7 e 4 No 0 O SIO XO yee AN Je a fe a s O10 Figura 863 Solicitacdo externa variacdo de temperatura isolada no SP da trelica da Figura 862 O caso 1 da presente solugao esta ilustrado na Figura 864 As reacdes de apoio e os esforcos nor mais N para X 1 estao indicados na figura Caso 1 Hiperestatico X isolado no SP 12 HQ Q Q Q 10 J Op af 7 V2 2 cl V2 2 x X1 Xi1 zi O Oo O O A 412 on ae a Figura 864 Hiperestatico X isolado no SP da trelica da Figura 862 A expressao para o termo de carga 6 é determinada pelo PFV de acordo com 0 exposto nas Secdes 732 e 831 considerando o deslocamento axial relativo interno dug ATdx de um elemento infini tesimal da barra vertical provocado pela variacdo de temperatura Nas outras barras du 0De acordo com a Equacao 811 isso resulta em aATa trelica barra 5 O sinal negativo indica que o sentido de 61 é da direita para a esquerda conforme aparece na Figu ra 863 O coeficiente de flexibilidade 6 0 deslocamento horizontal do apoio da direita para X 1 de acordo com a Equacao 815 5 Ny 1 a a2 3 a O1 Nil 1 ax Yl Ni 1 6 3 se 2 2 J EA EAL ini 4EA 2EA 4 v2 EA 1 A solucao da equacao de compatibilidade resulta no seguinte valor para o hiperestatico X que in depende do pardmetro de dimensao geométrica a x 50 6 x 2 AT EA by 23442 Os esforcos normais finais Figura 865 sao obtidos fazendo N NX pois N 0 ttle Capitulo 8 Método das forcgas 259 Q iN Q X 2 0 N ne Sh er om J XV22 SG A x ADEA SX72 e 1 on 1 23442 Figura 865 Esforcos normais finais na treliga hiperestatica com variagdo 7 de temperatura na barra vertical Este ultimo exemplo evidencia mais uma vez a diferenca de comportamento entre estruturas isos taticas e estruturas hiperestaticas com respeito a efeitos de variagado de temperatura A trelica isostatica da Figura 863 se acomodou sem resisténcia ao alongamento da barra vertical Por outro lado a resposta final da trelica hiperestatica mostrada na Figura 865 indica que aparecem esforgos normais em todas as barras provocados pela variagdo de temperatura da barra vertical A propriedade de trelicas isostaticas se ajustarem a pequenas variacdes de comprimento das barras é uma vantagem em relacao a trelicas hiperestaticas conforme comentado na Seao 45 observe a Figura 415 Nao é incomum a fabricacao de barras de treliga com comprimento fora da especificagao de projeto Na montagem a trelica isostatica se ajusta livremente a comprimentos de barra ligeiramente diferentes dos de projeto A trelica hiperestatica por outro lado apresenta esforcos normais residuais decorrentes da montagem forgada para se ajustar a comprimentos de barra fora de especificagao Tomando como base o exemplo anterior observase que é bem simples a consideracao de modi ficag6es impostas na montagem de uma trelica hiperestatica em decorréncia de um comprimento de barra fora de especificacao Considere que em vez de uma variacao uniforme de temperatura a barra vertical da trelica da Figura 862 tivesse sido fabricada com um comprimento a A unica alteragado na solucao da trelica pelo método das forcas seria no calculo do termo de carga 6 Podese imaginar que o deslocamento relativo interno du de cada elemento infinitesimal da barra vertical é obtido distribuindo uniformemente o incremento de comprimento fora de especificacao é1 ao longo da barra dug a dx O termo de carga resultante é O19 dug nv dug IN Tyarras O11N 1 boareas 619 a trelica barra5 a 2 O restante da solucdo da trelica é semelhante a solucdo anterior 812 ANALISE DE GRELHAS HIPERESTATICAS Conforme definido na Secao 24 uma grelha é uma estrutura plana com carregamento transversal ao plano A aplicacdo do método das forgas para a andlise de grelhas segue a mesma metodologia descrita neste capitulo para vigas porticos planos e trelicas planas Essencialmente a andlise de um tipo de mo delo estrutural pelo método das forcas é composta por duas caracteristicas Aescolha do sistema principal isto é a selecao dos tipos de vinculos externos ou internos que podem ser liberados para transformar a estrutura original hiperestatica em uma isostatica A determinacao dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade que é feita pelo calculo de deslocamentos e rotacées absolutos ou relativos nas direcdes dos vinculos eliminados do sistema principal O procedimento usualmente adotado para esse calculo 0 principio das foras virtuais 260 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER A Figura 866 apresenta dois exemplos de criacao de SP para grelhas x a sp fx b DR ree te X2 Figura 866 Opcoes de SP para grelhas hiperestaticas A Secao 384 resume os procedimentos para a determinacao do grau de hiperestaticidade g de uma grelha Na criacgdo do SP podese eliminar vinculos externos de restricdes de apoio ou vinculos internos de continuidade No exemplo da grelha da Figura 866a que tem grau de hiperestaticidade g 20 SP é obtido pela eliminacao das duas restrigdes ao deslocamento vertical dos dois apoios simples Os hiperes taticos correspondentes sao as reacGes nesses apoios Para a eliminacao de vinculos internos é preciso considerar os modos de deformacao de uma barra de trelica A condicao de estrutura plana com carga fora do plano faz com que uma barra de grelha tenha uma deformacao por flexdéo em um plano vertical perpendicular ao plano da grelha e uma deformacao por torcao A continuidade da curva elastica configuracgao deformada de uma barra de grelha esta associada a continuidade de deslocamento transversal fora do plano a continuidade de rotacao por flexao em torno de um eixo perpendicular a barra no plano da grelha e a continuidade de rotacdo por torgado em torno do eixo da barra Na escolha de um SP a liberacdo de vinculos internos em uma secdo transversal de uma bar ra de grelha pode ser completa corte total da secao transversal ou pode ser feita seletivamente para cada vinculo de continuidade No exemplo da Figura 866b uma secao transversal da barra central é cortada 0 que libera os trés vinculos de continuidade interna Os hiperestaticos correspondentes sao os trés esforcos internos na secao transversal cortada esforco cortante X momento fletor X e momento toror X A liberagao seletiva de continuidade interna em uma secao transversal de barra de grelha é menos utilizada Na introducado de uma rotula é preciso identificar se as duas continuidades de rotacao por flexdo e por torcao sao liberadas ou se apenas uma delas Seria possivel também eliminar apenas a conti nuidade de deslocamento transversal como indica a Tabela 23 Além de todas essas considerag6es para a escolha de um SP é preciso evitar que se gere instabili dade com a eliminacao de vinculos A Figura 867 mostra uma grelha com quatro apoios simples e uma opao invalida para o SP com trés apoios simples situados ao longo de um eixo reto Essa configuragao é instavel porque qualquer forga que atue fora desse eixo provoca um momento em torno do eixo que nao pode ser equilibrado J SP en he Figura 867 Opcdo invalidada para SP de grelha hiperestatica trés apoios simples alinhados Capítulo 8 Método das forças 261 Dois exemplos ilustram a análise de grelhas hiperestáticas O primeiro apresentado na Figura 868 com a solução completa é a grelha com quatro apoios simples da Figura 867 adotandose um SP válido isto é evitando três apoios simples em um único eixo O segundo exemplo é uma grelha mostrada na Figura 869 com um engaste e dois apoios simples resultando em um grau de hiperestaticidade g 2 Nos dois exemplos é indicada uma relação entra a rigidez à fl exão EI e a rigidez à torção GJt que é a mesma para todas a barras sendo E o módulo de elasticidade do material G o módulo de cisalhamen to do material I o momento de inércia à fl exão da seção transversal e Jt o momento de inércia à torção da seção transversal Em ambas as soluções desprezase a contribuição da energia de deformação pelo efeito de cisalhamento Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ EI 1 3 3 36 3 1 3 3 18 3 1 3 3 36 3 1 3 3 36 3 1 10 δ EI GJ EI GJ t t 162 0 162 1 3 36 3 3 36 3 GJt EI 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 4 11 δ EI EI EI GJ EI t 45 6 54 36 54 36 11 δ 0 45 162 1 EI X EI kN 63 1 X Momentos Fletores Finais 1 1 0 X M M M kNm M Caso 0 Solicitação externa isolada no SP Caso 1 Hiperstático X1 isolado no SP x X1 X1 1 Sistema Principal e Hiperestático g 1 SP X1 M1 T1 3 1 2 3 3 3 3 0 0 0 0 Momentos Torsores Finais 1 1 0 X T T T kNm T 18 468 360 108 252 252 kNm M0 kNm T0 0 12 12 24 18 36 36 36 36 0 0 0 36 36 0 0 0 252 468 EI GJt 6 Figura 868 Análise de grelha com quatro apoios simples O sistema principal da solução da Figura 868 sem a barra em balanço corresponde ao exemplo de grelha triapoiada isostática analisado na Seção 379 Figura 348 Portanto os procedimentos adotados para o traçado dos diagramas de momentos fl etores M0 e torçores T0 do caso 0 são descritos na Seção Bookconceitosindb 261 532010 083925 ELSEVIER 262 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 379 O traçado dos outros diagramas de momentos fl etores e torçores segue a metodologia descrita no Capítulo 3 O mesmo se aplica para os diagramas do exemplo da Figura 869 Equações de Compatibilidade 36 kNm 4 77 kNm 12 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 X X X X δ δ δ δ δ δ EI EI EI GJ EI GJ EI t t 48 2 3 16 24 16 24 2 2 4 1 3 4 4 4 1 3 2 2 2 1 1 11 δ EI EI EI GJ EI t 3 448 2 3 80 3 88 2 2 4 4 4 4 1 3 4 4 4 1 3 2 2 2 1 3 1 22 δ Diagrama de Momentos Fletores 2 2 1 1 0 X M X M M M EI GJ EI t 3 1280 0 1 3 4 80 4 1 1 10 δ EI GJ EI t 3 320 0 1 3 2 80 4 1 6 2 80 4 1 1 20 δ EI EI EI GJ EI t 3 128 2 3 32 3 16 2 4 4 1 3 2 4 4 1 6 2 4 4 1 1 21 12 δ δ EI GJt 3 2 Sistema Principal SP e Hiperestáticos g 2 X1 X2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP kNm kNm 80 0 0 0 0 0 0 0 M0 T0 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP x X1 X11 2 4 0 0 0 0 0 M1 T1 2 X11 x X2 X21 4 4 0 0 0 M2 T2 2 X21 2 2 2 Diagrama de Momentos Torçores 2 2 1 1 0 X T X T T T M kNm 255 174 87 87 202 81 0 0 87 T kNm Figura 869 Análise de grelha com um engaste e dois apoios simples Nos dois exemplos o sistema principal é obtido através da liberação de apoios que impedem o mo vimento vertical Portanto os hiperestáticos correspondentes são as reações verticais nesses apoios No caso básico 0 os termos de carga δ10 e δ20 são deslocamentos verticais nos pontos dos apoios liberados Bookconceitosindb 262 532010 083925 Capítulo 8 Método das forças 263 provocados pelo carregamento externo Nos casos básicos 1 e 2 os coefi cientes de fl exibilidade δ11 δ12 δ21 e δ22 são deslocamentos verticais nos pontos dos apoio liberados provocados por hiperestáticos com valores unitários Na solução das duas grelhas os termos de carga são determinados de acordo com a Equação 89 e os coefi cientes de fl exibilidade são dados pela Equação 816 As expressões das combinações dos diagra mas de momentos fl etores e dos diagramas de momentos torçores são indicadas nas Figuras 868 e 869 A solução do sistema de equações de compatibilidade está indicada nos dois exemplos resultando nos valores dos hiperestáticos Os diagramas fi nais de momentos fl etores e momentos torçores são obti dos pela superposição do diagramas dos casos básicos levando em conta os valores determinados para os hiperestáticos 813 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Esta seção propõe uma série de exercícios para a solução de estruturas hiperestáticas pelo método das forças Para cada modelo pedese a determinação dos diagramas de esforços internos correspondentes Para vigas e quadros planos pedese o diagrama de momentos fl etores Para treliças planas pedese o diagrama de esforços normais E para grelhas pedese os diagramas de momentos fl etores e momentos torçores Nos exercícios com vigas e quadros planos a menos que se indique de outra maneira a ener gia de deformação axial não deve ser considerada na determinação dos termos de carga e coefi cientes de fl exibilidade Em nenhum exercício a energia de deformação pelo efeito de cisalhamento deve ser considerada Além disso em cada um dos exercícios todas as barras têm o mesmo material e a mesma seção transversal Os valores dos parâmetros do material e da seção transversal são indicados quando necessário Como notação h é a altura da seção transversal y é a distância do centro de gravidade à fi bra inferior da seção transversal e b é a largura de uma seção transversal retangular No caso de grelhas a relação entre a rigidez à fl exão EI e a rigidez à torção GJt das barras é fornecida EI 105 kNm2 Figura 870 Exercício proposto 1 EI 105 kNm2 α 105 C Seção transversal h 050 m y 025 m Figura 871 Exercício proposto 2 EI 105 kNm2 Figura 872 Exercício proposto 3 Figura 873 Exercício proposto 4 Bookconceitosindb 263 532010 083925 ELSEVIER 264 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha EI constante Figura 874 Exercício proposto 5 EI constante Figura 875 Exercício proposto 6 EI 105 kNm2 α 105 C Seção transversal h 060 m y 030 m Figura 876 Exercício proposto 7 EI 105 kNm2 Figura 877 Exercício proposto 8 EI const Figura 878 Exercício proposto 9 EI const Figura 879 Exercício proposto 10 EI constante Figura 880 Exercício proposto 11 EI constante Figura 881 Exercício proposto 12 Bookconceitosindb 264 532010 083926 Capítulo 8 Método das forças 265 EI 105 kNm2 α 105 C Seção transversal h 060 m y 030 m Figura 882 Exercício proposto 13 EI constante Figura 883 Exercício proposto 14 EI constante Figura 884 Exercício proposto 15 E 108 kNm2 α 105 C Seção transversal retangular h 060 m b 020 m Considere deformações axiais Figura 885 Exercício proposto 16 EI constante Figura 886 Exercício proposto 17 E 107 kNm2 α 105 C Seção transversal retangular h 060 m b 020 m Considere deformações axiais Figura 887 Exercício proposto 18 EI constante Figura 888 Exercício proposto 19 EI const Figura 889 Exercício proposto 20 Bookconceitosindb 265 532010 083926 ELSEVIER 266 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha E 107 kNm2 α 105 C Seção transversal retangular h 040 m b 015 m Considere deformações axiais Figura 890 Exercício proposto 21 E 108 kNm2 α 105 C Seção transversal A 0012 m2 I 0001 m4 h 060 m y 030 m Figura 891 Exercício proposto 22 EI const Figura 892 Exercício proposto 23 E 108 kNm2 α 105 C Seção transversal A 001 m2 I 0001 m4 h 060 m y 030 m Figura 893 Exercício proposto 24 EA 105 kN α 105 C Figura 894 Exercício proposto 25 EA 105 kN α 105 C Figura 895 Exercício proposto 26 EI GJt 3 Figura 896 Exercício proposto 27 EI GJt 3 Figura 897 Exercício proposto 28 EI GJt 3 Figura 898 Exercício proposto 29 EI GJt 2 9 Figura 899 Exercício proposto 30 Bookconceitosindb 266 532010 083927 Capítulo 8 Método das forças 267 EI GJt 2 5 Figura 8100 Exercício proposto 31 GJt EI Figura 8101 Exercício proposto 32 A barra 5 da treliça mostrada na Figura 8102 foi fabricada com comprimento fora de especifi cação igual a 205 a e depois colocada na treliça Todas as barras da treliça têm rigidez axial EA Determine o diagrama fi nal de esforços normais em função de EA e a Calcule o comprimento fi nal da barra 5 depois de montada na treliça a a a a 1 2 3 4 5 Figura 8102 Exercício proposto 33 Introduzindo obrigatoriamente rótulas indique um possível sistema principal para cada um dos pór ticos ilustrados nas Figuras 8103 8104 e 8105 Os hiperestáticos também devem ser indicados Mostre a decomposição do sistema principal obtido em qua dros isostáticos simples biapoiados triarticulados e engastados com balanço Figura 8103 Exercício proposto 34 Figura 8104 Exercício proposto 35 Figura 8105 Exercício proposto 36 Bookconceitosindb 267 532010 083927 99 9 Soluções fundamentais para barra isolada A metodologia de análise pelo método dos deslocamentos faz uma discretização do comportamento con tínuo de uma estrutura que resulta em uma superposição de soluções cinematicamente determinadas conforme introduzido no Capítulo 1 Figura 17 e na Seção 422 Essas soluções são confi gurações de formadas elementares da estrutura que está sendo analisada Conforme essa metodologia uma confi gu ração deformada elementar isola um determinado efeito ou parâmetro que representa o comportamento cinemático deformado da estrutura Cada confi guração deformada elementar é composta de confi gu rações deformadas elementares das suas barras As confi gurações deformadas elementares de barras isoladas são as soluções fundamentais para o método dos deslocamentos Este capítulo apresenta soluções fundamentais de barras isoladas que formam a base do processo de discretização do método dos deslo camentos descrito em detalhes no próximo capítulo Existem dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas O primeiro é chamado de coefi cien tes de rigidez locais que correspondem a forças e momentos que devem atuar nas extremidades de uma barra para equilibrála quando são impostos isoladamente deslocamentos ou rotações unitários nas suas extremidades O segundo tipo de solução fundamental são reações de engastamento perfeito de uma barra isolada provocadas por solicitações externas isto é são as reações de apoio para uma barra com as extremida des engastadas deslocamentos e rotações restritos nas extremidades resultantes da aplicação de uma solicitação externa Os tipos de solicitações externas considerados são forças concentradas momentos concentrados forças distribuídas e variação de temperatura As soluções fundamentais podem ser obtidas a partir de parâmetros fundamentais No caso dos coefi cientes de rigidez locais os parâmetros fundamentais são o coefi ciente de rigidez axial os coefi cientes de rigidez à rotação para o comportamento transversal de fl exão e o coefi ciente de rigidez à torção Todos os demais coefi cientes de rigidez locais podem ser deduzidos em função desses parâmetros fundamentais No caso das reações de engastamento perfeito de barra isolada submetida a solicitações transversais os momentos de engastamento perfeito são os parâmetros fundamentais Neste capítulo são deduzidos parâmetros fundamentais apenas para barras prismáticas isto é para barras com seção transversal que não varia ao longo do seu comprimento com exceção dos parâmetros fundamentais para os efeitos axial e de torção As Seções 661 671 e 681 mostram procedimentos para obter parâmetros fundamentais para o efeito transversal de fl exão de barras com seção transversal va riável Bookconceitosindb 269 532010 083928 270 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER As propriedades de materiais de geometria e de variacdo de temperatura utilizadas pelas solucdes fundamentais sao E modulo de elasticidade do material FL G modulo de cisalhamento do material FL a coeficiente de dilatacéo térmica do material 07 comprimento de uma barra L h altura da secdo transversal de uma barra L y altura do centro de gravidade da secao transversal L A 4rea da secAo transversal L I momento de inércia a flexéo da seco transversal L J momento de inércia a torcdo da secdo transversal L AT variagao de temperatura na face inferior de uma barra AT variacdo de temperatura na face superior de uma barra 91 FUNCOES DE FORMA PARA CONFIGURACOES DEFORMADAS ELEMENTARES DE BARRAS PRISMATICAS DE PORTICOS PLANOS As configuracdes deformadas elementares de uma barra isolada de um portico plano correspondem as elasticas que resultam da imposicao individual de deslocamentos ou rotagdes em uma de suas extremi dades Os deslocamentos sao impostos em direcées paralelas aos eixos locais de uma barra sendo que o eixo x tem a direcao axial da barra e 0 eixo y tem a direcao transversal como mostra a Figura 25 A Figura 91 indica os deslocamentos e rotagdes nas extremidades de uma barra de portico plano isolada nas direc6es dos eixos locais da barra Esses deslocamentos e rotagdes sfo chamados de desloca bilidades d deslocabilidade de barra no sistema local deslocamento na direcao de um dos eixos locais x ou y ou rotacdo em uma extremidade de uma barra isolada Sendo que dj e d sao deslocamentos na direcao axial d e d sao deslocamentos na direcao trans versal e d e dg sdo rotac6es y de wet a Ai u dl di ed dy x S 1 fe 1 x a Figura 91 Eixos locais e deslocabilidades de uma barra de portico plano isolada Na Figura 91 as deslocabilidades também estado indicadas com seu significado fisico na configura cao deformada com amplitude exagerada Todas as deslocabilidades sao mostradas com sentidos posi tivos Os deslocamentos sao positivos nos sentidos dos eixos locais da barra e as rotacdes sao positivas no sentido antihorario Uma elastica elementar da barra de portico plano isolada é definida no sistema de eixos locais pelo deslocamento axial ux e pelo deslocamento transversal vx que estado indicados na Figura 91 Confor me foi comentado na Secao 51 devido a adocao da hipotese de pequenos deslocamentos 0 comporta mento axial e o comportamento transversal de uma barra sao considerados independentes Dessa forma Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 271 o deslocamento axial ux só depende das deslocabilidades axiais 1 d e 4 d e o deslocamento transversal vx é defi nido somente pelas deslocabilidades 2 d 3 d 5 d e 6 d Considerando que a barra tem seção transversal constante e que não existe carregamento na direção axial com base na Equação 511 temse que o esforço normal N na barra é constante Portanto a partir da Equação 519 ou da Equação 537 observase que o deslocamento axial ux varia linearmente ao longo da barra 0 1 b b x u x 91 sendo b1 e b0 coefi cientes de um polinômio linear que podem ser determinados por condições de contor no de extremidade do deslocamento axial Por outro lado o deslocamento transversal vx da barra prismática é regido pela Equação 540 de Navier Como não existe carregamento transversal nesse caso o deslocamento transversal tem uma va riação cúbica ao longo da barra 0 1 2 2 3 3 c c x c x c x v x 92 sendo c3 c2 c1 e c0 coefi cientes de um polinômio do 3o grau que podem ser determinados por condições de extremidade do deslocamento transversal e de sua derivada rotação As Equações 91 e 92 descrevem uma elástica genérica de uma barra isolada Essa elástica pode ser descrita de maneira alternativa em função diretamente das deslocabilidades 4 4 1 1 d x N d x N u x 93 6 6 5 5 3 3 2 2 d x N d x N d x N d x N v x 94 As funções Nix chamadas de funções de forma defi nem as elásticas elementares da barra isolada McGuire et al 2000 Essencialmente as Equações 91 e 93 são equivalentes A diferença é que os parâ metros que defi nem a elástica axial da primeira equação são meros coefi cientes de um polinômio linear enquanto os parâmetros na segunda equação têm um signifi cado físico são as deslocabilidades axiais Analogamente as Equações 92 e 94 são equivalentes mas na última os parâmetros que defi nem a elás tica transversal são deslocabilidades que têm signifi cado físico Existe uma função de forma da barra isolada associada a cada uma de suas deslocabilidades No caso das deslocabilidades axiais as equações que defi nem as funções de forma são obtidas a partir da Equação 91 que determina os valores das constantes b0 e b1 com base em condições de contorno adequadas A função de forma N1x é defi nida considerando u0 1 e ul 0 na Equação 91 e a função de forma N4x é defi nida considerando u0 0 e ul 1 Isso resulta nas seguintes funções que também são mostradas na Figura 92 l x x N 1 1 95 l x x N 4 96 x ux l 1 l x x N 1 1 x ux l 1 l x x N 4 Figura 92 Funções de forma axiais de uma barra isolada De forma análoga para as deslocabilidades transversais as equações que defi nem as funções de forma são obtidas a partir da Equação 92 que determina os valores das constantes c0 c1 c2 e c3 com base Bookconceitosindb 271 532010 083928 ELSEVIER 272 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha em condições de contorno adequadas A função de forma N2x é defi nida considerando v0 1 dv0dx 0 vl 0 e dvldx 0 a função de forma N3x é defi nida considerando v0 0 dv0dx 1 vl 0 e dvldx 0 a função de forma N5x é defi nida considerando v0 0 dv0dx 0 vl 1 e dvldx 0 e a função de forma N6x é defi nida considerando v0 0 dv0dx 0 vl 0 e dvldx 1 Isso resulta nas seguintes funções também ilustradas na Figura 93 3 3 2 2 2 2 3 1 l x l x x N 97 2 3 2 3 2 l x l x x x N 98 3 3 2 2 5 2 3 l x l x x N 99 2 3 2 6 l x l x x N 910 x vx l 1 3 3 2 2 2 2 3 1 l x l x x N x vx l 1 3 3 2 2 5 2 3 l x l x x N x vx l 1 2 3 2 3 2 l x l x x x N x vx l 1 2 3 2 6 l x l x x N Figura 93 Funções de forma transversais de fl exão de uma barra isolada 92 COEFICIENTES DE RIGIDEZ LOCAIS As soluções fundamentais de barra isolada mais importantes são os coefi cientes de rigidez de barra ou lo cais No presente contexto coefi cientes de rigidez de barra são forças e momentos que devem atuar nas extremidades da barra isolada paralelamente aos seus eixos locais para equilibrála quando um desloca mento ou rotação unitário é imposto isoladamente em uma das suas extremidades As funções de for ma mostradas na seção anterior defi nem elásticas correspondentes a essas soluções fundamentais para uma barra de quadro plano com seção transversal constante A seguinte notação é utilizada Figura 94 kij coefi ciente de rigidez de barra no sistema local força ou momento que deve atuar em uma extremida de de uma barra isolada na direção da deslocabilidade id para equilibrála quando a deslocabi lidade unitária jd 1 é imposta isoladamente em uma das extremidades Bookconceitosindb 272 532010 083929 table Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 273 l dy Xd fh Benn fr al ds fs fi w fs fi x Je Kp Kssd5 tee Lec 6545 a 2343 yy cy ois k 646 Keel Kad Kid Kigdg neni 566 Figura 94 Superposicdo de configuracdes deformadas elementares para compor a elastica final de uma barra de portico plano isolada O significado fisico dos coeficientes de rigidez de uma barra de portico plano no sistema local é mostrado na Figura 94 que indica no seu topo a configuracao deformada de uma barra isolada e 0 conjunto de forcas e momentos que atuam nas extremidades da barra paralelamente a seus eixos locais para equilibrala nessa configuracao Tais forgas e momentos sao definidos como fi forca generalizada de barra no sistema local forga ou momento que atua na direcao da deslocabilida de d de uma barra para equilibrala quando isolada Como indica a Figura 94 a configuracdo deformada de uma barra pode ser decomposta em configu racgdes deformadas elementares que para barras prismaticas sao baseadas nas func6es de forma defini das na Secao 91 A partir dessa superposicao as forcas generalizadas da barra sao obtidas pela soma das forcas e momentos que equilibram a barra para cada uma das configuracdes deformadas elementares Observase ainda na Figura 94 0 desacoplamento entre os efeitos axiais e transversais de flexao de uma barra As deformadas elementares axiais provocadas por dj e dy nao mobilizam coeficientes de rigidez de flexao forcas na direcao transversal ou momentos Da mesma forma as deformadas elemen tares transversais de flexdo provocadas por d3 d3 ds e d nao mobilizam coeficientes de rigidez axiais Devido a esse desacoplamento alguns coeficientes de rigidez locais sao nulos A superposicao de configuragdes deformadas elementares mostrada na Figura 94 resulta em uma relacdo entre cada forca nodal generalizada f e as deslocabilidades da barra Por exemplo a forga total f obtida pela soma das forcas axiais na extremidade inicial da barra resultando em ft ki14 Kadi Analogamente a forca total f é obtida pela soma das forcas transversais na extremidade inicial da bar ra resultando em f3 kid5 ko3dy kosds kode A superposicao das configuracdes deformadas elementares da Figura 94 origina a seguinte relacao matricial para todas as forcas e momentos atuantes nas extremidades da barra ELSEVIER 274 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 6 5 4 3 2 1 66 65 63 62 56 55 53 52 44 41 36 35 33 32 26 25 23 22 14 11 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f 911 A Equação 911 também pode ser escrita de forma condensada d k f 912 Sendo f vetor das forças generalizadas de barra no sistema local conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos locais para equilibrála quando isolada k matriz de rigidez de uma barra no sistema local matriz dos coefi cientes de rigidez locais ij k nas dire ções dos eixos locais d vetor das deslocabilidades de barra no sistema local conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos locais Duas observações podem ser feitas quanto à matriz de rigidez da barra isolada A primeira é que pelo teorema de Maxwell versão para deslocamento generalizado unitário imposto Equação 742 a matriz é simétrica isto é ij ji k k 913 A segunda observação vem da superposição de confi gurações deformadas elementares mostrada na Figura 94 Observase que os coefi cientes de rigidez correspondentes a uma dada confi guração deforma da elementar têm o mesmo índice j Podese dizer então A jésima coluna da matriz de rigidez k de uma barra no seu sistema local corresponde ao con junto de forças generalizadas que atuam nas extremidades da barra paralelamente a seus eixos locais para equilibrála quando se impõe uma confi guração deformada tal que jd 1 desloca bilidade jd com valor unitário e as demais com valor nulo As próximas subseções deduzem as expressões dos coefi cientes de rigidez para uma barra Essa dedução será feita de forma independente para o comportamento axial de fl exão e de torção No caso de barras prismáticas os coefi cientes de rigidez serão determinados por imposição de condições de equilí brio com base no princípio dos deslocamentos virtuais PDV Os parâmetros fundamentais de rigidez serão identifi cados para cada tipo de comportamento Também se mostrará a dependência de todos os coefi cientes de rigidez em relação aos parâmetros fundamentais inclusive para barra com articulação no caso do comportamento à fl exão Conforme mencionado anteriormente os parâmetros fundamentais para os efeitos axial e de torção serão deduzidos para barras prismáticas e com seção transversal variável Para o efeito transversal de fl exão a dedução só será feita para barras prismáticas A formulação dos pa râmetros fundamentais de rigidez para fl exão de barras com seção transversal variável foi feita na Seção 671 com base na analogia da viga conjugada 921 Parâmetro fundamental de rigidez axial de barra Pode se defi nir um único parâmetro fundamental a partir do qual todos os coefi cientes do efeito axial mesmo para o caso de seção transversal variável podem ser deduzidos Bookconceitosindb 274 532010 083930 Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 275 KΔ coefi ciente de rigidez axial FL força axial que deve atuar em uma das extremidades de uma barra isolada para impor um deslocamento axial Δ 1 naquela extremidade enquanto todas as outras deslocabilidades são mantidas nulas A Figura 95 mostra uma barra com a imposição de deslocamentos axiais unitários isoladamente As forças axiais nas extremidades da barra têm sempre os mesmos valores e sentidos opostos para que haja equilíbrio Além disso pelo teorema de Maxwell Equação 913 as forças axiais atuantes nas duas situações mostradas na fi gura são iguais Δ K l l Δ 1 Δ K Δ K Δ K Δ 1 Figura 95 Coefi ciente de rigidez axial de uma barra qualquer isolada Comparando a Figura 95 com as confi gurações deformadas elementares axiais no topo da Figu ra 94 podese concluir que KΔ k k 44 11 914 KΔ k k 14 41 915 A determinação do parâmetro fundamental de rigidez axial para uma barra prismática pode ser feita de forma direta pela imposição do equilíbrio da barra que sofre uma deformação axial Considere a imposição de um deslocamento axial Δ 1 na extremidade fi nal da barra como mostrado à direita na Figura 95 O alongamento da barra está associado a um esforço normal de tração N Δ K A partir da relação a x a x Eε σ Equação 43 entre a tensão e a deformação normais da barra chegase a E l A N Δ l EA K Δ 916 922 Coefi cientes de rigidez axial de barra prismática Todos os coefi cientes de rigidez axial para uma barra prismática poderiam ser determinados diretamente por imposição de equilíbrio seguindo o procedimento realizado na seção anterior Entretanto o PDV provê uma maneira mais geral para obter os mesmos resultados Considere que se deseja determinar o valor do coefi ciente de rigidez 14 k correspondente à força 1f que deve atuar na extremidade inicial da barra quando um deslocamento axial d4 1 é imposto isoladamente na extremidade fi nal O campo de deslocamentos axiais reais desse problema é 4 4 d x N u x conforme indicado na Figura 96 Para calcular 14 k devese escolher um campo de deslocamentos axiais virtuais tal que somente a força 1f pro duza trabalho externo virtual Esse campo é 1 1 d x N u x também mostrado na Figura 96 Aplicando o PDV com base na Equação 731 somente com a parcela da energia de deformação axial chegase a 4 0 1 4 0 1 14 4 1 d dx dx dN dx EA dN dx dx du dx EA du d d k l l Nessa expressão o valor do deslocamento virtual 1 d imposto na extremidade inicial é cancelado Portanto temse l EA dx dx dN dx dN EA k l 0 4 1 14 Bookconceitosindb 275 532010 083931 276 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Sistema Real Sistema Virtual fiKiads fa kagda ee ee ee ee a OE 4 1 Ie 5 Je 5 Campo de deslocamentos reais Campo de deslocamentos virtuais WO lux Naxdi MO fu Na 4y 1 1 Figura 96 Aplicagdo do PDV para obtencdo de coeficiente de rigidez axial de uma barra isolada Observase que o PDV determina de forma direta 0 valor do coeficiente de rigidez k encontrado anteriormente sem a necessidade de calcular outro coeficiente Esse resultado pode ser generalizado para os outros coeficientes basta escolher os campos de deslocamentos real e virtual apropriados Tal generalizacao resulta em l dN 4N kj EA dx ij1A j J de ij 1A 917 Com base na Equacao 917 podese calcular os valores dos coeficientes de rigidez axial para a barra primatica Os resultados sao mostrados na Figura 97 EA1d EA1d EA1d EA1d BAAD a MBAS ds BALI dg PAID d d 1 4 ke Figura 97 Coeficientes de rigidez axial de uma barra prismatica isolada 923 Parametro de rigidez axial de barra com secdo transversal variavel A deducao do parametro fundamental de rigidez axial para uma barra qualquer inclusive com secao transversal variavel é feita pela inversdo do seu coeficiente de flexibilidade axial O coeficiente de fle xibilidade é definido para o método das forcas Capitulo 8 A Figura 98 mostra uma barra engastada e em balanco com uma deformagao axial provocada de duas maneiras Na situacdo a esquerda na figura aplicase uma fora axial P na extremidade livre e a direita imp6ese um deslocamento axial A On P A EAx EAx PW P x KA x Ic s Ie s Figura 98 Coeficiente de flexibilidade axial e parametro de rigidez axial para barra com secao transversal variavel O deslocamento axial provocado pela forca aplicada é proporcional ao valor da forca e ao coeficiente de flexibilidade axial 6 da barra sendo Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 277 l 0 EA x dx 11 1 δ A equivalência entre as duas situações da Figura 98 leva a Δ δ 11 P e P K Δ Δ Disso resulta que 11 KΔ 1 δ ou seja 1 0 1 l EA x dx KΔ 918 No caso de uma barra com seção transversal constante chegase a EA l K Δ como defi nido na Equação 916 Para uma barra com seção transversal variável a determinação de Δ K pela Equação 918 pode ser feita de forma numérica 924 Coefi cientes de rigi dez à fl exão de barra prismática sem articulação No caso de barras prismáticas o PDV pode ser utilizado para determinar os valores dos coefi cientes de ri gidez à fl exão associados às deslocabilidades 2 d 3 d 5 d e 6 d Considere como exemplo a determinação do coefi ciente de rigidez 23 k correspondente à força 2f que deve atuar na extremidade inicial da barra quando uma rotação d3 1 é imposta isoladamente na extremidade inicial O campo de deslocamentos transversais reais é 3 3 d x N v x conforme indicado na Figura 99 Para calcular 23 k devese escolher um campo de deslocamentos transversais virtuais tal que somente a força 2f produza trabalho externo virtual Esse cam po é 2 2 d x N v x como mostra a Figura 99 superposto ao campo de deslocamentos reais Utilizando a Equação 731 do PDV somente com a parcela da energia de deformação por fl exão chegase a 3 0 2 2 2 2 3 2 0 2 2 2 2 2 23 3 1 d dx dx N d dx EI d N dx dx v d dx EI d v d d k l l Nessa expressão o valor do deslocamento virtual 2 d é cancelado Portanto temse l dx dx N d dx d N EI k 0 2 3 2 2 2 2 23 3 53 5 d k f 3 33 3 d k f 3 23 2 d k f 3 63 6 d k f 3 d 3 3 d x N v x 2 2 d x N v x 2 d l Campo de deslocamentos reais Campo de deslocamentos virtuais Figura 99 Aplicação do PDV para obtenção de coefi ciente de rigidez à fl exão de uma barra isolada A generalização desse resultado para os outros coefi cientes resulta em l j i ij dx dx N d dx d N EI k 0 2 2 2 2 653 2 i j 919 Os valores dos coefi cientes de rigidez à fl exão são calculados com base na Equação 919 Os resulta dos são mostrados na Figura 910 Bookconceitosindb 277 532010 083933 278 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 12E11d5 12E11d Ne ts 6E114 6EIPd oe By 6EL1dy eee EL22d 3 12E1 1d Ger 1a wpe i 6EI 17 d 2 4 ps QELDed 6EI1d aE I 1c G dy z 4E11d3 6Er17d 2EI1dg 7 1 1d Figura 910 Coeficientes de rigidez a flexdo de uma barra prismatica isolada sem articulacdo 925 Parametros fundamentais para os coeficientes de rigidez a flexao de barra Os coeficientes de rigidez a flexao para rotagdes impostas nas extremidades mostrados na Figura 911 sao considerados pardmetros fundamentais na medida em que todos os coeficientes de rigidez a flexao locais podem ser deduzidos a partir deles Esses parametros também valem para barras com seao trans versal variavel e séo definidos como Siissekind 19773 Ka we Katap Kg tpa AS Ga f Poo ee Figura 911 Parametros fundamentais de rigidez a rotado por flexdo de uma barra K coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade inicial FLR momento que deve atuar na extremi dade inicial de uma barra isolada para impor uma rotacao unitaria 6 1 na extremidade inicial enquanto todas as outras deslocabilidades sao mantidas nulas tap coeficiente de transmissao de momento da extremidade inicial para a extremidade final parametro que estabelece a relacao entre o coeficiente de rigidez K e 0 momento atuante na extremidade final para impor uma rotagdo 0 1 na extremidade inicial enquanto todas as outras deslocabilidades sao mantidas nulas o momento na extremidade final sempre tem 0 mesmo sentido do momento Ka Kz coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade final FL R momento que deve atuar na extremidade final de uma barra isolada para impor uma rotacgao unitaria 6 1 na extremidade final enquanto todas as outras deslocabilidades sao mantidas nulas tga coeficiente de transmissao de momento da extremidade final para a extremidade inicial parametro que estabelece a relacdo entre o coeficiente de rigidez Kz e o momento atuante na extremidade inicial para impor uma rotacao 6 1 na extremidade final enquanto todas as outras deslocabilidades sao mantidas nulas o momento na extremidade inicial sempre tem o mesmo sentido do momento K Embora sejam apresentados quatro pardametros fundamentais na verdade apenas trés seriam neces sarios porque pela Equacao 913 deduzse que K t4z Kgtp e portanto Siissekind 19773 Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 279 AB BA B A t t K K 920 Optouse por trabalhar com quatro parâmetros em vez dos três reduzidos pela Equação 920 para manter uma simetria entre as expressões que relacionam os coefi cientes de rigidez local à fl exão com os parâmetros fundamentais de rigidez à rotação As expressões para os coefi cientes 33 k 63 k 66 k e 36 k saem diretamente das defi nições dos parâmetros fundamentais KA k 33 921 BA B AB A t K t K k k 36 63 922 KB k 66 923 As expressões para os coefi cientes 23 k 53 k 26 k e 56 k são deduzidas ao se garantir o equilíbrio da barra isolada quando submetida às duas confi gurações deformadas mostradas na parte inferior da Figu ra 94 as forças transversais nas extremidades são iguais em módulo têm sentidos opostos e equilibram os momentos nas extremidades Considerando a Equação 913 os coefi cientes 32 k 35 k 62 k e 65 k65 k que são os momentos mostrados nas duas confi gurações deformadas de fl exão interme diárias da Figura 94 tam bém podem ser deduzidos Isso resulta em l t K l t K K k k AB A AB A A 1 32 23 924 l t K l t K K k k AB A AB A A 1 35 53 925 l t K l t K K k k BA B BA B B 1 62 26 926 l t K l t K K k k BA B BA B B 1 65 56 927 Finalmente os coefi cientes 22 k 52 k 25 k e 55 k que são as forças cortantes mostradas nas duas con fi gurações deformadas de fl exão intermediárias da Figura 94 são deduzidos por equilíbrio da barra isolada resultando em 2 55 22 1 1 l t K t K k k BA B AB A 928 2 25 52 1 1 l t K t K k k BA B AB A 929 Os valores dos parâmetros fundamentais de rigidez à rotação para uma barra com seção transversal uniforme ao longo de seu comprimento têm expressão analítica fechada Eles podem ser deduzidos pelo PDV como expõe a Seção 924 ou pela analogia da viga conjugada conforme mostrado na Seção 67 Figura 616 Os resultados são l EI K K B A 4 930 Bookconceitosindb 279 532010 083935 280 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 1 tap tea 931 2 Entretanto nado existem solucées analiticas fechadas para esses pardametros para barras com secao transversal varidvel A Secao 671 apresenta uma metodologia para determinar os pardametros funda mentais de rigidez a flexao para barras nao prismaticas com base na analogia da viga conjugada 926 Coeficientes de rigidez a flexdo de barra com articulacao na extremidade inicial Estruturas reticuladas muitas vezes apresentam barras articuladas em uma extremidade ou em am bas No modelo estrutural isso é considerado através de uma rotula na extremidade articulada que libera a continuidade de rotacgao da barra nessa extremidade com as outras barras adjacentes ou com um apoio Procedimentos andlogos aos que foram adotados para determinar coeficientes de rigidez de barras sem articulacdo poderiam ser desenvolvidos para barras com articulacao Para tanto seria necessaria a determinacao de funcdes de forma para barras articuladas Porém um procedimento mais simples ba seado em superposicao de efeitos pode ser adotado para determinar os coeficientes de rigidez de uma barra articulada Tal procedimento relaciona todos os coeficientes de rigidez a flexao da barra articulada com os parametros fundamentais de rigidez a flexdo Isso é valido para barras com secao transversal constante e variavel Os coeficientes de rigidez axiais sao os mesmos da barra sem articulacdo mostrados na Segao 921 Considere na Figura 912 a barra articulada na extremidade inicial A figura indica uma superposi cao de efeitos cujo objetivo é a determinacao dos coeficientes de rigidez a flexdo associados a imposicao de uma rotacao unitaria na extremidade final kof ké6 ae 1 wt wy ks6 Je K Kg tea mee wy Kgtpa 22 Kg tea tap Figura 912 Superposicdo de configuragées deformadas para obtencdo de coeficientes de rigidez a flexdo de uma barra com articulagdo na extremidade inicial A Figura 912 mostra a configuracgao deformada da barra com a rotacao unitaria imposta no sentido antihordario na extremidade final A articulacao na extremidade inicial faz com que 0 momento fletor nessa extremidade seja nulo Tal condicao pode ser alcangada com base na superposicao de duas confi guracoes deformadas da barra como indicado na figura A primeira parcela corresponde a uma rotagao unitaria imposta no sentido antihorario na extremidade final da barra sem articulagdo Para garantir o equilibrio nessa configuracao aparece um momento na extremidade inicial Kz tg no sentido anti horario A segunda parcela da superposicao corresponde a aplicagéo de um momento Kz tg no sentido horario na extremidade inicial de tal forma que o momento final da superposicdo nessa extremidade seja nulo O coeficiente de rigidez a rotacao k na barra articulada é obtido pela superposicgaéo de momentos ro WL Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 281 ELSEVIER das parcelas da superposicao Os outros coeficientes de rigidez sao determinados utilizando 0 teorema de Maxwell Equagao 913 e condicées de equilibrio da barra isolada como se faz para a barra sem arti culacao O resultado é k33 0 932 keg k3p 0 933 keg Kg 1tpa tas 934 k53 ky 0 935 kjg Kig SBA ta Fan tna tas 937 Kg 1tgatap I55 keg 938 Kp1tpat k5o kos B 2 as 939 Kg 1tgatas 940 K5q kos 940 Devese salientar que os coeficientes de rigidez associados a rotacao unitaria imposta na extremida de inicial da barra sao nulos Isso ocorre porque a articulacdo faz com que nao haja resisténcia a rotagado imposta nessa extremidade Para uma barra com segao transversal que nao varia as expressOes para os pardametros fundamen tais sio mostrados nas Equacoes 930 e 931 Substituir essas express6es nas Equacoées 932 a 940 resulta nos coeficientes de rigidez a flexao de uma barra prismatica com articulacado na extremidade inicial que sao mostrados na Figura 913 3 ser Pd SEI 1ds WF Oe GEr17d eee d wee weet 2 ds woe ve sE1 12d OO OO 3 ber1a eer1 ds eer a 3EI 1d e de BEL Pd Figura 913 Coeficientes de rigidez a flexdo de uma barra prismatica isolada com articulacdo na extremidade inicial 282 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 927 Coeficientes de rigidez a flexdo de barra com articulacao na extremidade final Os procedimentos para determinar coeficientes de rigidez de uma barra com articulacao na extremidade inicial mostrados na secdo anterior sao adotados para uma barra com articulacdo na extremidade final e também sao validos para barras nao prismaticas A Figura 914 mostra a superposicao de configuracdes deformadas utilizada para determinar os coeficientes de rigidez a flexdo da barra com articulacgdo na extremidade final associados a imposicao de uma rotacao unitaria na extremidade inicial kis he se A 1 Ky be 1 wor Ka tap Ka tap tpa Ka Ka tap Figura 914 Superposicgdo de configuragées deformadas para obtencdo de coeficientes de rigidez a flexdo de uma barra com articulagdo na extremidade final A superposicao de efeitos mostrada na Figura 914 o teorema de Maxwell e 0 equilibrio da barra com articulacao na extremidade final isolada resultam nas seguintes relagdes entre os coeficientes de rigidez local a flexao e os parametros fundamentais de rigidez a rotacao ky K 4 1taptpa 941 keg 0 943 K41taptpa k53 ky a 944 Kq1taptpa ks3 k35 1 945 ks kos 0 947 K41tap tea koy kg 948 Ka 1taptpa 949 ksp kos a ee Todos os coeficientes de rigidez a flexao para a barra prismatica sao mostrados na Figura 915 Nota se também que os coeficientes associados a imposicao de uma rotacao unitaria na extremidade articulada sao nulos ro WL Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 283 ELSEVIER 3E11 a 3E1 1 dé f it OG ae 3Er1dé eee 2 Sw GET Idy eee ds 3EI 1d3 a 36113 d wee j 3ET1d4 ds s 3EI1d3 oer Ids Figura 915 Coeficientes de rigidez a flexdo de uma barra prismatica isolada com articulagdo na extremidade final 928 Matrizes de rigidez de barra prismatica de portico plano Esta secdo mostra matrizes de rigidez de barra prismatica de portico plano no sistema de eixos locais para diferentes condicdes de extremidade Isso resume os resultados para os coeficientes de rigidez de barra obtidos nas secGes anteriores Quatro tipos de condicdes de extremidade sao consideradas barra sem articulagéo Equacao 950 barra com articulacdo na extremidade inicial Equagao 951 barra com articulacao na extremidade final Equacao 952 e barra com articulagado nas duas extremidades Equacao 953 Os sinais dos coeficientes sao positivos quando as forcas e momentos correspondentes tém os sentidos positivos das deslocabilida des indicados na Figura 91 De outra forma os sinais sao negativos Observase também a simetria das matrizes de rigidez o que é compativel com a Equacao 913 Os coeficientes de rigidez axial sao iguais para os quatro tipos de barra primeiras e quartas linhas e colunas das matrizes de rigidez Observase o desacoplamento entre o efeito axial e o efeito transversal de flexao pelos coeficientes nulos comuns a todas as matrizes Nas matrizes as linhas e colunas corres pondentes as rotacdes das extremidades articuladas também sao nulas No caso da matriz de rigidez para a barra biarticulada Equacao 953 s6 os coeficientes de rigidez axial sao diferentes de zero Essa equacgao corresponde a matriz de rigidez de uma barra de trelica plana EAI 0 0 EAI 0 0 0 12E11 6EII 0 12EI1 6EII 0 6EII 4EII 0 6EII 2EII k 950 EAl 0 0 EAI 0 0 0 12E11 6EII 0 12E11 6EII 0 6ELI 2EII 0 6EII 4EII ELSEVIER 284 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha EI l EI l l EI EI l EI l l EI EA l l EA EI l EI l l EI EA l l EA k 3 3 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 2 2 2 3 3 2 3 3 951 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 0 3 2 3 2 2 3 2 3 EI l EI l l EI EA l l EA EI l EI l l EI EI l EI l l EI EA l l EA k 952 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l l EA EA l l EA k 953 929 Coefi cientes de rigidez à torção de barra A determinação dos coefi cientes de rigidez à torção de uma barra prismática de grelha ou de pórtico espacial pode ser feita utilizando o PDV a exemplo do que se faz para a barra de pórtico plano Consi dere a imposição de uma rotação por torção A ϕ na extremidade inicial de uma barra isolada enquanto a rotação na outra extremidade é mantida nula 0 ϕB como mostra a Figura 916a Também considere a imposição de uma rotação B ϕ na extremidade fi nal mantendo A ϕ nula Figura 916b São utilizadas setas duplas para representar rotações e momentos torçores Os momentos torçores A T e B T que atuam nas extremidades da barra para impor essas confi gura ções deformadas também estão indicados na Figura 916 com sentidos positivos Como não existe car regamento no interior da barra o momento torçor é constante ao longo da mesma Além disso a partir da Equação 524 vêse que a rotação por torção ϕx varia linearmente ao longo da barra Portanto as mesmas funções de forma axiais das Equações 95 e 96 podem ser utilizadas para representar a variação de ϕx como indica a Figura 916 Bookconceitosindb 284 532010 083945 Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 285 A A K T ϕ ϕ l A ϕ ϕB 0 B ϕ ϕA 0 a b A A l x x N x ϕ ϕ ϕ 1 1 B B l x x N x ϕ ϕ ϕ 4 l GJ K t ϕ B A K T ϕ ϕ A B K T ϕ ϕ B B K T ϕ ϕ Figura 916 Coefi cientes de rigidez à torção de uma barra isolada O PDV é utilizado para determinar o momento torçor A T da Figura 916b Esse é o momento que deve atuar na extremidade inicial da barra quando uma rotação por torção B ϕ é imposta isoladamen te na extremidade fi nal considerando ϕA 0 O campo de rotações por torção reais desse problema é B x N x ϕ ϕ 4 O campo de rotações por torção virtuais é A x N x ϕ ϕ 1 tal que somente o momento torçor da extremidade inicial produz trabalho virtual externo Aplicando o PDV com base na Equação 732 somente com a parcela de energia de deformação por torção chegase a B t B l t l t B A l GJ dx dx dN dx GJ dN dx dx d dx GJ d T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 1 4 0 1 O coefi ciente de rigidez à torção é o fator que multiplica a rotação B ϕ O sinal negativo indica que o momento torçor A T tem o sentido contrário ao da rotação B ϕ imposta com sentido positivo Esse resulta do pode ser generalizado para os outros coefi cientes basta escolher os campos de rotações real e virtual apropriados Essa generalização resulta nos coefi cientes de rigidez à torção mostrados na Figura 916 os coefi cientes são os fatores que multiplicam as rotações Defi nese genericamente o parâmetro ϕ K como o parâmetro fundamental de rigidez à torção que para a barra prismática tem a seguinte expressão l GJ K t ϕ 954 Para uma barra com seção transversal variável o parâmetro fundamental de rigidez à torção pode ser deduzido a partir da inversão do coefi ciente de fl exibilidade à torção da barra a exemplo do que é feito para o efeito axial na Seção 923 Isso resulta em 1 0 1 l t GJ x dx Kϕ 955 Assim como se defi ne a matriz de rigidez de uma barra de pórtico plano no sistema de eixos locais da barra é possível defi nir uma matriz de rigidez de barra de grelha Uma grelha é uma estrutura plana com carregamento transversal ao seu plano Por hipótese uma barra de grelha não tem solicitações axiais e apresenta efeito transversal de fl exão e efeito de torção A Figura 917 mostra a convenção adotada neste livro para os eixos locais e para as deslocabilidades locais de uma barra de grelha As deslocabilidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas duplas indicam rotações por torção Observe que as deslocabilidades 2 d e 5 d aparecem com sentidos horários porque são rotações em torno do eixo local y que entra no plano da fi gura Bookconceitosindb 285 532010 083946 286 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 7 x ase di Yy pa dy 6 SN i ia x kK 1 Figura 917 Eixos locais e deslocabilidades de uma barra de grelha isolada Com base na convencao adotada na Figura 917 e nos coeficientes de rigidez a flexao deduzidos na Secdo 924 a Equacao 956 mostra a matriz de rigidez de uma barra prismatica de grelha no sistema lo cal Essa matriz considera os coeficientes de rigidez a flexao e os coeficientes de rigidez a torcao da Figu ra 916 A organizacao dos coeficientes na matriz é diferente da organizacao na matriz de rigidez da barra de portico plano assim como alguns sinais sao trocados pois a numeracgao e alguns sentidos positivos das deslocabilidades sao diferentes compare a Figura 917 com a Figura 91 O momento de inércia a flexao da secao transversal é I Iy isto é é o momento de inércia em torno do eixo local y mostrado na Figura 917 GJI 0 0 GJI 0 0 0 4EIl 6EII 0 2EIl 6EII K 6EII 12EI1 0 6EII 12E11 056 GJI 0 0 GJI 0 0 0 2EIl 6EII 0 4EIl 6EII 0 6EI1 12E11 0 6EII 12E1I 93 REACOES DE ENGASTAMENTO DE BARRA ISOLADA PARA SOLICITACOES EXTERNAS Esta secdo apresenta solucdes fundamentais de engastamento perfeito de barras isoladas para carrega mentos aplicados e solicitagdes de variagdo de temperatura Essas soluc6es sao utilizadas no método dos deslocamentos apresentado no proximo capitulo A Figura 918 mostra a notacao e os sentidos positivos das reagdes de engastamento perfeito de uma barra de portico plano isolada em que f reacao de engastamento perfeito de barra no sistema local reagao forga ou momento que atua na direcao da deslocabilidade local d de uma barra com as extremidades fixas para equilibrala quando ha uma solicitagdo externa genérica y qx TTT Titel ii i es 77 cr x ae ii fs tj ict Figura 918 Notacdo e sentidos positivos de reacdes de engastamento de barra de portico plano No caso de efeitos axiais como forcas aplicadas na direcao axial ou variagdo uniforme de temperatu ra as reacdes de engastamento axiais f e f nao sao afetadas pelo fato de a barra possuir uma articula Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 287 ção em uma das extremidades Por outro lado as reações de engastamento para solicitações transversais 2ˆf 5ˆf 3ˆf e 6ˆf são infl uenciadas pela existência de articulação Isso será tratado na Seção 932 931 Parâmetros fundamentais para reações de engastamento provocadas por efeitos axiais As reações de engastamento axiais 1ˆf e 4ˆf estão relacionadas pelo equilíbrio na direção do eixo local x Assim uma das reações é escolhida como parâmetro fundamental Essa escolha é arbitrária e feita com o auxílio da Figura 919 que mostra uma barra biengastada e uma barra engastada em balanço ambas com o mesmo carregamento axial genérico l px HA HB l px 0 HA Figura 919 Reações axiais de engastamento de uma barra com carregamento transversal genérico Na Figura 919 adotase a seguinte notação HA reação axial de engastamento na extremidade inicial F reação axial que atua na extremidade inicial de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa po sitiva no sentido do eixo local x HB reação axial de engastamento na extremidade fi nal F reação axial que atua na extremidade fi nal de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa posi tiva no sentido do eixo local x 0 HA reação axial na extremidade inicial da barra engastada e em balanço para a solicitação externa positiva no sentido do eixo local x F A reação de apoio 0 A H na barra engastada e em balanço isostática depende apenas do carregamen to axial e corresponde à resultante do carregamento com sentido inverso Dessa forma pelo equilíbrio na direção axial é possível relacionar a reação B H com A H e 0 A H 0 A A B H H H 957 Portanto os parâmetros fundamentais para as reações de engastamento provocadas por solicitações axiais em barras isoladas são a reação de engastamento A H e a reação de apoio 0 A H No caso de uma solicitação externa de variação de temperatura a reação 0 A H é nula As expressões a seguir indicam as relações entre as reações de engastamento para solicitações axiais e os parâmetros fundamentais f HA 1ˆ 958 0 4ˆ A A H H f 959 932 Parâmet ros fundamentais para reações de engastamento provocadas por efeitos transversais A fi m de obter os parâmetros fundamentais para reações de engastamento provocadas por efeitos trans versais observase que as reações de engastamento transversais 2ˆf e 5ˆf são dependentes das reações momento 3ˆf e 6ˆf Isso é demonstrado com base na superposição de efeitos da Figura 920 para a barra sem articulação biengastada com carregamento transversal genérico Bookconceitosindb 287 532010 083947 ELSEVIER 288 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Na Figura 920 as parcelas da superposição isolam respectivamente o efeito das reações momento e o efeito do carregamento transversal genérico ambos atuantes na barra com apoios simples viga bia poiada Adotase a seguinte notação MA momento de engastamento na extremidade inicial FL reação momento que atua na extremidade ini cial de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa positivo no sentido antihorário MB momento de engastamento na extremidade fi nal FL reação momento que atua na extremidade fi nal de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa po sitivo no sentido antihorário VA reação transversal de engastamento na extremidade inicial F reação força na direção do eixo local y que atua na extremidade inicial de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa positiva no sentido do eixo y VB reação transversal de engastamento na extremidade fi nal F reação força na direção do eixo local y que atua na extremidade fi nal de uma barra com as extremidades fi xas para equilibrála quando há uma solicitação externa positiva no sentido do eixo y 0 VA reação força transversal na extremidade inicial da barra biapoiada para a solicitação externa positiva no sentido do eixo local y F 0 VB reação força transversal na extremidade fi nal da barra biapoiada para a solicitação externa positiva no sentido do eixo local y F MA B M 0 VB 0 A V l M M B A l M M B A MA B M A V B V l qx qx Figura 920 Superposição de efeitos para determinar reações transversais de engastamento de uma barra com carregamento transversal genérico Os valores de 0 A V e 0 B V dependem apenas do carregamento considerado e do comprimento da bar ra viga biapoiada isostática Tais reações são calculadas utilizando somente condições de equilíbrio e portanto são facilmente obtidas Observase que essas reações independem do parâmetro de inércia à fl exão EI mesmo que este seja variável ao longo do comprimento da barra As expressões para as reações transversais A V e B V em função de A M B M 0 A V e 0 B V são Figura 920 0 A B A A V l M M V 960 0 B B A B V l M M V 961 Portanto os parâmetros fundamentais para as reações de engastamento provocadas por solicitações transversais em barras isoladas sem articulação são os momentos de engastamento MA e MB e as reações Bookconceitosindb 288 532010 083947 ro 2 Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 289 ELSEVIER de apoio Vs e V No caso de uma solicitacado externa de variacaéo de temperatura as reacdes Va e Vz sao nulas As expresses a seguir indicam as relac6es entre as reacdes de engastamento para solicitagdes transversais e os parametros fundamentais para a barra sem articulacao MM f Sa 962 feM 963 MM fo a Vn 964 fg Mgz 965 As reacoes de engastamento para uma barra com articulacdo podem ser obtidas a partir das reacdes de engastamento de uma barra sem articulagdéo com 0 mesmo carregamento transversal A Figura 921 mostra a superposicao de efeitos utilizada para a determinacao das reacoes de engastamento provocadas por efeitos transversais de uma barra com articulacao na extremidade inicial A Figura 922 faz o mesmo para uma barra com articulacao na extremidade final Ff VMa1tapI qx fr Va a1tag fe 0 fs VgMa1tyg1 th fia foMpMy tag l Ma 1tap I emi Mrrmrrtttl Ms ga Kuo t Ma Va Vp Ma 1t45 Ma tap 1 Ky 6 EAB Figura 921 Superposicdo de efeitos para determinar reagdes de engastamento de barra com articulagdo na extremidade inicial BVaMoOrto ett Tiree tl fs M4Mg tea a fs VpMg1tpa1 ra fo fe fe 0 fe Mg 1 tsa I t es Maty vat Mp 1 tna Mz Kz0 I Figura 922 Superposicdo de efeitos para determinar reagdes de engastamento de barra com articulagdo na extremidade final As Figuras 921 e 922 mostram que as reac6es de engastamento f f3 fs e fg para as duas si tuacoes de articulacdo também dependem dos coeficientes de transmissao de momentos tag e tga AS expresses a seguir indicam as relac6es entre as reacdes de engastamento para efeitos transversais e os pardmetros fundamentais da barra com articulagdo na extremidade inicial 290 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER MM 1t fp A Mag V8 966 fy 0 967 MM 1t fe S Ma4 Vp 968 fe MpMata 969 Analogamente as expressGes a seguir relacionam as reacoes de engastamento para efeitos transver sais e os pardmetros fundamentais da barra com articulacao na extremidade final MM 1t fz 8 Mg 4 Va 970 fy MMg tga 971 MM 1t fs A B Mp BA Vp 972 fg0 973 933 Reacdes de engastamento de barra prismatica para carregamentos axiais e transversais A determinacao das reacdes de engastamento perfeito de uma barra prismatica sem articulacgao biengas tada solicitada por um carregamento transversal genérico é feita com base no teorema de Betti apresen tado na Segao 75 seguindo um procedimento descrito por Felton Nelson 1996 Para exemplificar tal procedimento considere a barra biengastada da Figura 923 com fora distri buida transversalmente O objetivo do exemplo é determinar a reacdo forca transversal f da extremi dade inicial da barra y Sistema I fv Sistema II M Oe Gh vl x No xA a a C Tecpresee fe 44 yo olay y tis ist f jx 5 Figura 923 Aplicagdo do teorema de Betti para determinar a reacdo vertical na extremidade inicial Para a aplicacao do teorema de Betti no exemplo da Figura 923 é necessario definir dois sistemas I e II O sistema I éa barra biengastada com 0 carregamento externo aplicado e as correspondentes reag6es de apoio O sistema II tem o vinculo associado a reacao f liberado e uma forca transversal V aplicada no ponto do vinculo liberado A configuracgao deformada do sistema II é tal que seu campo de desloca mentos externos é proporcional a funcao de forma Nx Aplicando 0 teorema de Betti temse que o trabalho realizado pelas forcas e momentos externos do sistema I com os correspondentes deslocamentos e rotacdes do sistema II é igual ao trabalho realizado pelas forcas e momentos externos do sistema II com os correspondentes deslocamentos e rotacdes do sistema I ro 2 Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 291 ELSEVIER Observase que todas as forcas e momentos externos do sistema II tém deslocamentos e rotacdes correspondentes nulos no sistema I Portanto o trabalho das forcas do sistema I com os deslocamentos do sistema II é nulo Fhdy 4sNos 44 as 0 0 Dessa forma chegase a uma expressao para determinar a reacgdo desejada em funcao do carrega mento transversal qx ga0yNaGyar0 0 Um exemplo andlogo é utilizado para determinar a reacgdo momento fi na extremidade inicial pelo teorema de Betti como ilustra a Figura 924 Nesse caso no sistema II liberase a rotacao associada a reacdo f3 no apoio da extremidade inicial y Sistema I y Sistema II TTIMTIT tt vo x N3xO f fe wo ar Mz I x x 0 x o M V ti sp Ma TMs Ye Je on Figura 924 Aplicacdo do teorema de Betti para determinar a reacdo momento na extremidade inicial O campo de deslocamentos externos do sistema II da Figura 924 proporcional a fungao de forma Nx A aplicagado do teorema de Betti para esse exemplo resulta em l Fe oy Nssde0 0 Os resultados obtidos nos exemplos das Figuras 923 e 924 podem ser generalizados para diversos tipos de cargas axiais transversais distribuidas transversais concentradas e momentos concentrados como ilustra a Figura 925 P qx M f px t J fo Ms A fi P fa a aT it Figura 925 Reacgdes de engastamento perfeito axiais e transversais de barras isoladas A Equacao 974 resultante da aplicacao do teorema de Betti é utilizada para determinar as reacdes axiais fj e f na barra prismatica provocadas por uma forga axial distribuida px Utilizase a Equacao 975 para determinar as reac6es forcas transversais f e f5 e as reacdes momentos f e fg na barra prismatica provocadas por forcas transversais distribuidas forgas transversais concentradas e cargas momentos concentrados Figura 925 l o 974 NG plo de PY NGP 14 974 0 j 292 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER l dN x FNiG aya LNs 2H 2356 975 j j A Figura 926 mostra reagdes de engastamento axiais de barras prismaticas submetidas a uma forca concentrada axial e a uma forca distribuida linearmente Essas reacGes sao obtidas utilizando a Equacao 974 Py Y Rf P I Pbl PaI E a ah fi Pa1 I px pB px Jee o moos R H Pat Pel 5 fiHy H H 6 3 A l B Figura 926 Reacgdes de engastamento perfeito axiais de barras prismaticas As Figuras 927 928 e 929 indicam reacgdes de engastamento de barras prismaticas submetidas a carregamentos transversais As forcas transversais aplicadas tém o sentido inverso ao sentido do eixo local y Essas reacdes sao determinadas para barras sem articulacao com base na Equacao 975 ver Equa des 962 a 965 e para as barras articuladas com base nas Equacoes 966 a 973 ver também Figuras 921 e 922 gl 12 q gl 12 fi 4ql2 UTE ta12 2 fgarql2 l fe ql 12 q 2 or gl 8 fs 43ql8 TM a fi 541 8 taq8 5q18 Is r a fo ql 8 ar at THA TTEATEATERH esas eE fsql 8 ff 3ql8 t5q18 3ql84 fs a fg 0 Figura 927 Reacgdes de engastamento de barras prismaticas com forca transversal uniformemente distribuida ro WL Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 293 ELSEVIER P18 PI8 fy P2 CY cto tP2 PM fgP2 2 1 fo P18 3P116 f 45P16 p f0 ff 11P 16 tsp 16 1p 164 fo11P fg 3P116 3P116 fp 11P 16 4 fi 43P116 ff 45P 16 tip 16 sP16 Ss SP fo 9 Figura 928 Reacgdes de engastamento de barras prismaticas com forca concentrada no meio do vao Pab 1 Pab 1 fp Pb3ab1 fg Pab P ff Paa3b1 rp2Gab0 2 a380 fs path sp a anereman fe Fa po l Mb2ab12 M Ma2ba1 fi 6Mab 1 y4A y fi Mv2abP f 6Mab 1 saab 1 6Mab jet fs hb fg Ma2ba1 Pa l ad 12 30 4 a1 20 2 q q fi 3q1 20 C Fs 4l 30 ff 7ql 20 tq 20 741204 fs7ql fe ql 20 Figura 929 Reacgdes de engastamento de barras com forca concentrada momento concentrado e forca transversal linearmente distribuida West 1989 Nesta secdo as expressOes para determinar reacdes de engastamento de barras isoladas solicitadas por carregamentos externos sao exatas para 0 caso de barras com secoes transversais que nao variam ao longo do comprimento Isso ocorre porque os campos de deslocamentos externos utilizados no sistema auxiliar para a aplicacdo do teorema de Betti sistema II das Figuras 923 e 924 sao proporcionais as fun cdes de forma que correspondem a solucées exatas do campo de deslocamentos para barras com seao transversal constante ELSEVIER 294 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Para barras com seção transversal variável duas estratégias distintas são adotadas uma para rea ções de engastamento axiais e outra para reações de engastamento relacionadas com o efeito transversal de fl exão No primeiro caso utilizase o método das forças como descrito na próxima seção A segunda estratégia apresentada na Seção 661 é baseada na analogia da viga conjugada e deter mina parâmetros fundamentais para reações de engastamento de barras não prismáticas provocadas por carregamentos transversais Esses parâmetros fundamentais também poderiam ser determinados com o método das forças mas a analogia da viga conjugada fornece uma solução mais simples Entretanto o caso mais geral de carregamento considerado para a obtenção dos parâmetros funda mentais para reações de engastamento de barras com seção transversal variável é o de uma força linear mente distribuída tanto para o efeito axial quanto para o transversal Quando esse tipo de carregamento atua parcialmente no comprimento da barra é possível subdividila em mais barras inserindo nós inter mediários nas seções transversais onde ocorre a mudança de carregamento A consequência é a criação de mais graus de liberdade deslocabilidades para o problema o que é tratado normalmente em uma análise pelo método dos deslocamentos 934 Reações de engastamento de barra com seção transversal variável para carregamentos axiais A solução para reações de engastamento axiais para uma barra biengastada com seção transversal va riável é mostrada na Figura 930 Esse problema é formulado pelo método das forças Capítulo 8 Como sistema principal adotase a barra biapoiada da fi gura O hiperestático associado é a reação de engasta mento HA que é um parâmetro fundamental para a reação de engastamento axial A solicitação externa mais geral considerada é uma força uniformemente distribuída que varia linearmente abrangendo todo o comprimento da barra sendo pA taxa de carregamento axial distribuído na extremidade inicial positivo no sentido do eixo local x da barra FL pB taxa de carregamento axial distribuído na extremidade fi nal positivo no sentido do eixo local x da bar ra FL l l Δ δ 10 l KΔ Δ px px x pA pB px HA B H Δ KΔ Δ Caso 0 Caso 1 EAx EAx EAx l x p l x p p x B A 1 Figura 930 Superposição de efeitos para determinar parâmetro de reação de engastamento axial de barra com seção transversal variável Na solução pelo método das forças da Figura 930 o esforço normal N0x do caso 0 pode ser ex presso em função do parâmetros do carregamento pA e pB Bookconceitosindb 294 532010 083952 Capítulo 9 Soluções fundamentais para barra isolada 295 l x p l x x p d l p l p d p x N B A x B A x 2 2 1 2 2 0 0 0 η η η η η O termo de carga Δ δ 10 é o deslocamento provocado pela solicitação externa no ponto do vínculo eliminado que é expresso por l B l A l l dx EA x l x p dx EA x l x x p EA x dx x N dx EA x N N 0 2 0 2 0 0 0 0 1 2 2 Δ O coefi ciente de fl exibilidade para essa solução é Δ δ 11 1K sendo Δ K o parâmetro fundamental de rigidez axial que é dado pela Equação 918 A equação de compatibilidade da solução é 0 11 10 HA δ δ resultando em Δ Δ K H A Portanto a expressão para o parâmetro fundamental de reação de engasta mento axial de barra com seção transversal variável é l B l A l A dx EA x l x p dx EA x l x x p EA x dx H 0 2 0 2 1 0 2 2 1 976 Pela Equação 957 a reação de engastamento no apoio fi nal é obtida desta forma l p p H H B A A B 2 977 Para uma barra com área da seção transversal constante as integrais da Equação 976 podem ser avaliadas trivialmente resultando em 6 3 l p l p H B A A 3 6 l p l p H B A B Esses são os mesmos resultados obtidos na seção anterior Figura 926 No caso de barras com seção transversal variável as integrais da Equação 976 podem ser avaliadas numericamente 935 Reações de engastamento de barra prismática para variação de temperatura Esta seção apresenta a determinação de reações de engastamento de barras isoladas com seção trans versal constante para solicitações de variação de temperatura Inicialmente mostrase um procedimento simples McGuire et al 2000 baseado em uma superposição de efeitos utilizada no método das forças veja o primeiro exemplo da Seção 88 Um método geral baseado no PDV é exposto na sequência A Figura 931 ilustra o caso de uma variação uniforme de temperatura correspondendo à variação de temperatura ΔTCG na fi bra do centro de gravidade da seção transversal A barra tem um material com módulo de elasticidade E e coefi ciente de dilatação térmica α A seção transversal é constante com área A e momento de inércia I A variação de temperatura na fi bra do centro de gravidade é obtida por inter polação linear da variação de temperatura ΔTi na face inferior da barra e da variação de temperatura ΔTs na face superior h y T h y h T T s i CG Δ Δ Δ 978 sendo h a altura da seção transversal e y a distância do centro de gravidade à fi bra inferior da seção Bookconceitosindb 295 532010 083952 296 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER y fi EAaAT og ATcc O fa EAaATg ik x f 5 aATcgl T ate SN EA16 D 4 Ay AT Ql 2 a ee Pe ATcc J EA N EA167 ta Figura 931 Superposicdo de efeitos para determinar reacdes axiais de engastamento de barra prismatica para variacdo uniforme de temperatura McGuire et al 2000 As reacgdes de engastamento provocadas pela variacdo uniforme de temperatura do exemplo da Figura 931 sao calculadas por superposicao de efeitos tendo como estruturabase a barra com 0 vinculo que impede o deslocamento axial do apoio da direita liberado Na primeira parcela da superposicao que é na verdade o caso 0 da solucao pelo método das forgas a barra sofre a variacao uniforme de temperatura e pode se alongar ou encurtar livremente O deslocamento axial no apoio da direita é 6a AT Na segunda parcela da superposicdo caso 1 do método das forcas é aplicada uma forca axial N EA15 que impode um deslocamento axial desse apoio igual a 5 mas no sentido contrario Observase que as reacdes de engastamento desse exemplo sao forcas axiais iguais ao esforco normal N O calculo das reagdes de engastamento para uma variacao transversal de temperatura em uma barra prismatica é feito de forma andloga ou seja por superposicao de efeitos como indicado na Figura 932 As parcelas da superposicdo mostrada na Figura 932 tem vinculos que impedem as rota6es nas extremidades da barra liberados Na primeira parcela caso 0 do método das forcgas ocorre uma deformacao por flexao da barra devida a variacdo transversal de temperatura na qual cada elemento infinitesimal de barra sofre uma rotaco relativa interna d6 que é dada pela Equacdo 527 Na segunda parcela caso 1 séo aplicados momentos M EId6 dx nas extremidades da barra de maneira a anular essa deformacao Observase que as reacdes de engastamento desse exemplo so momentos iguais ao momento M aplicado ElaAT AT ty ElaAT AT jp ee jg AT k AT O x 1 AT ee pp AT Oo ZA by EI A oe T dg j 3 MEI M El x ls gt 4T AT 5 fe ES 4 M Tee M dx EI Figura 932 Superposicdo de efeitos para determinar momentos de engastamento de barra prismatica para variacgdo transversal de temperatura McGuire et al 2000 ry ee Capitulo 9 Solugdes fundamentais para barra isolada 297 ELSEVIER Os mesmos resultados encontrados podem ser alcangados de maneira mais formal com base na Equacao 737 do PDV O sistema real corresponde a barra biengastada que sofre uma variacao axial e transversal de temperatura Como pode ser observado nas Figuras 931 e 932 os deslocamentos finais reais axiais ux e transversais vx sdo nulos Dessa forma a Equacao 737 se reduz a l T 74 i T 27 1 d pot feof te Base f fof 2 Po 075 Aldo dx dx 0 dx dx O sistema virtual é escolhido de tal forma que apenas a reacao real de engastamento que se deseja determinar produza trabalho virtual externo Portanto para o cdlculo da reagdo f escolhese um campo de deslocamentos virtuais igual a ux d Nxsendo d 0 deslocamento axial virtual na extremidade inicial De maneira semelhante para o calculo da reacdo f é escolhido um campo de deslocamentos virtuais igual a vx d Nx e analogamente para as outras reac6es Com base nas Equacoes 979 526 e 527 chegase as expresses gerais para o calculo das reacgées de engastamento de uma barra prismatica isolada provocadas por uma variacgao de temperatura l dN EAaATo tdx i14 fi cG J a 980 aATAT dN py pT s idx i2356 fi 7 J ie 981 As reacoes de engastamento calculadas pelas Equacoes 980 e 981 sdo mostradas na Figura 933 Ob servase que os valores sao os mesmos encontrados anteriormente nos exemplos das Figuras 931 e 932 EIaAT ATh ElATATh fi EAATog G AT fz 0 t or EAaATog AT EAaATcg fy ElaAT ATh mn fz 0 fg EIAT ATh Figura 933 Reacgdes de engastamento de uma barra prismatica biengastada para variacdo de temperatura Os momentos de engastamento perfeito de barra biengastada com secao transversal constante que correspondem aos pardmetros fundamentais para reacdes de engastamento de barra isolada sao EIa AT AT h My e At 4T h Na Seao 681 apresentase uma metodologia para determinar os pardmetros fundamentais M e M para barra com seao transversal varidvel solicitada por uma variacao transversal de temperatura A proxima secao determinara rea6es axiais de engastamento para barras com seaAo transversal variavel Os procedimentos mostrados nas Figuras 921 e 922 e resumidos nas Equacoes 966 a 973 podem ser utilizados para obter reacdes de engastamento de barras com articulagdes em uma das extremidades para variacao de temperatura Nesse caso as reacdes Ve V3 sdo nulas ELSEVIER 298 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 936 Reações de engastamento de barra com seção transversal variável para variação uniforme de temperatura Uma superposição de efeitos típica do método das forças e semelhante à apresentada na Figu ra 931 é realizada para deduzir as expressões das reações axiais de engastamento de uma barra com seção trans versal variável provocadas por uma variação uniforme de temperatura como mostra a Figura 934 Figura 934 Superposição de efeitos para determinar reações axiais de engastamento de barra com seção transversal variável para variação uniforme de temperatura Na verdade em decorrência das variações da altura h e da posição y do centro de gravidade da seção transversal ao longo do comprimento da barra a variação de temperatura ΔTCG na fi bra do centro de gravidade não é constante Em contrapartida são constantes a variação de temperatura ΔTi na face inferior da barra e a variação de temperatura ΔTs na face superior A expressão para a ΔTCGx é dada pela Equação 978 O deslocamento δ T da primeira parcela da superposição da Figura 934 que é o termo de carga do caso 0 da solução pelo método das forças é determinado integrando o deslocamento axial re lativo interno para variação uniforme de temperatura Equação 526 ao longo do comprimento da barra l s i l CG T dx h x y x T h x y x h x T dx x T 0 0 Δ Δ α α Δ δ As reações axiais de engastamento correspondem à forças T K Δ δ e T K Δ δ atuantes na segunda parcela da superposição da Figura 934 que é o caso 1 da solução pelo método das forças Dessa forma chegase a l s l i l B A h x dx y x T dx h x y x h x T EA x dx H H 0 0 1 0 1 Δ Δ α 982 As integrais da Equação 982 podem ser avaliadas numericamente No caso de uma seção transver sal constante chegase às reações mostradas na Figura 931 Bookconceitosindb 298 532010 083957 1010 10 Método dos deslocamentos Conforme foi introduzido na Seção 42 o método dos deslocamentos pode ser considerado o método dual do método das forças Os dois métodos consideram na análise de uma estrutura os três grupos de condições básicas da análise estrutural condições de equilíbrio condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais Entretanto o método dos deslocamentos resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na ordem inversa do que é feito pelo método das forças 1o condições de compatibilidade 2o leis constitutivas dos materiais 3o condições de equilíbrio A dualidade entre os dois métodos fi ca clara quando se observa a metodologia utilizada pelo mé todo dos deslocamentos para analisar uma estrutura A metodologia de análise do método consiste em Somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio Esse procedimento é o inverso do que foi feito na solução pelo método das forças mostrada no Ca pítulo 8 Cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de compatibilidade continuidade interna e compatibilidade com respeito aos vínculos externos da estrutura Entretanto os casos básicos não satis fazem as condições de equilíbrio da estrutura original pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equilíbrio As condições de equilíbrio da estrutura fi cam restabelecidas quando se super põem todas as soluções básicas 101 DESLOCABILIDADES E SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO A solução pelo método dos deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinemati camente determinadas isto é de confi gurações deformadas conhecidas conforme ilustra a Figura 101 Essa fi gura mostra a confi guração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de confi gurações deformadas elementares cada uma associada a um determinado efeito que é isolado Bookconceitosindb 299 532010 083958 300 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER MMT 3 Itt o Pye Py T tt I 0 1 Dyfrr Da 1D4 2 3 4 eo771 TD TL loo D6 IN De D6 5 6 A 7 Figura 101 Configuracdo deformada de um portico plano formada pela superposicdo de configuracées deformadas elementares Na Figura 101 a configuracao deformada elementar do caso 0 isola 0 efeito da solicitacao externa carregamento sendo que essa configuracdo deformada é tal que os nos extremidades das barras da estrutura apresentam deslocamentos e rotacdes nulos A configuragdo deformada nesse caso corres ponde a situagdo de engastamento perfeito da viga barra horizontal para a solicitacgdo externa aplicada forca uniformemente distribuida As demais configuracdes deformadas mostradas nessa figura dos casos 1 a 7 correspondem a imposicdes de deslocamentos e rotacdes nodais isolados isto é cada caso apresenta uma configuracao deformada elementar em que somente uma componente de deslocamento ou rotacéo nodal tem um valor nao nulo A superposicao de configuracgdes deformadas mostrada na Figura 101 indica que a configuracao deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada pelas componentes de deslocamen tos e rotagdes dos nos da estrutura Isso é possivel porque podese determinar a configuracao deformada de uma barra a partir dos deslocamentos e rotacdes dos nds extremos da barra e do seu carregamento De fato as Equacoes 93 e 94 determinam a elastica deslocamentos axiais e transversais de uma barra prismatica em funcao dos deslocamentos e rotag6es nas extremidades das barras A elastica final da barra é obtida superpondo o efeito da solicitacao externa isolado no caso 0 Com base nisso a seguinte definicao é feita Deslocabilidades sio as componentes de deslocamentos e rotagdes nodais que estao livres isto é que devem ser conhecidas para determinar a configuracdo deformada de uma estrutura Dessa forma as deslocabilidades sao os parametros que definem completamente a configuracao deformada de uma estrutura As deslocabilidades sao as incdgnitas do método dos deslocamentos A seguinte notacao sera utilizada D deslocabilidade de uma estrutura componente de deslocamento ou rotacao livre nao restrita por apoio em um no da estrutura na direcao de um dos eixos globais A deslocabilidade D também é chamada de deslocabilidade global para diferenciala da deslocabilida de local de uma barra isolada Secao 91 No exemplo mostrado na Figura 101 D e D so deslocamentos horizontais dos nds superiores D e D sao deslocamentos verticais dos nés superiores D e D sao rotagdes dos nos superiores e D é a rota tlle Capitulo 10 Método dos deslocamentos 301 cao do no inferior direito As demais componentes de deslocamentos e rotagado nao sao deslocabilidades livres porque sao restritas por apoios Uma estrutura que tem todas as deslocabilidades definidas com valores conhecidos é denominada estrutura cinematicamente determinada No exemplo da Figura 101 as configuracées deformadas elemen tares dos casos 1 a 7 sao consideradas cinematicamente determinadas com excecdo dos valores das deslocabilidades D que nao sao conhecidos a priori O modelo estrutural utilizado nos casos basicos é o de uma estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adicado de vinculos na forma de apoios ficticios Esse modelo é chamado de sistema hipergeométrico SH O SH correspondente a estrutura da Figura 101 é mostrado na Figura 102 Os apoios ficticios adi cionados a estrutura para impedir prender as deslocabilidades sao numerados de acordo com a nume racao das deslocabilidades isto 0 apoio 1 impede a deslocabilidade D 0 apoio 2 impede a deslocabi lidade D e assim por diante ZT oF Tt 6k 1 4 L Figura 102 Sistema hipergeométrico do portico plano da Figura 101 Pode parecer estranho criar uma estrutura o SH na qual todos os nés sao engastados completa mente Na verdade 0 SH é utilizado para isolar as diversas componentes cinematicas da estrutura isto é isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades Como mostrado na Figura 101 em cada um dos casos basicos da solucao pelo método dos deslocamentos no maximo uma deslocabilidade assume um valor nao nulo Com base no SH essa deslocabilidade é imposta como um recalque do correspondente apoio ficticio inserido na criagéo do SH enquanto os outros apoios ficticios fixam as demais deslocabili dades Neste ponto é interessante resgatar um paralelo feito na Secdo 423 entre o método das forcas e o método dos deslocamentos Conforme discutido no Capitulo 8 as incdgnitas do método das forcas sao os hiperestaticos que sao forcas e momentos associados a vinculos excedentes a determinacao estatica da estrutura Por outro lado as incdgnitas do método dos deslocamentos sao as deslocabilidades que sao componentes de deslocamentos e rotagdes nodais que definem a configuracao deformada da estrutura Com respeito a estrutura utilizada nas solucoes basicas no método das forgas essa estrutura é 0 sistema principal que é uma estrutura estaticamente determinada isostatica obtida da estrutura original através da eliminacao dos vinculos excedentes associados aos hiperestaticos Em contraposicao no método dos deslocamentos a estrutura utilizada nas solug6es basicas é 0 sistema hipergeométrico que é uma estru tura cinematicamente determinada obtida da estrutura original através da adicado dos vinculos necessa rios para impedir as deslocabilidades Essa comparacao evidencia a dualidade entre os dois métodos Uma observacao importante é que enquanto existem varios possiveis sistemas principais método das forcas para uma estrutura existe somente um sistema hipergeométrico método dos deslocamen tos Isso ocorre porque para se chegar ao sistema principal isostatico do método das forcas existem varias possibilidades para eliminar vinculos da estrutura e para se chegar ao sistema hipergeométrico so existe uma possibilidade impedindo todas as deslocabilidades 302 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 102 METODOLOGIA DE ANALISE PELO METODO DOS DESLOCAMENTOS O objetivo desta secdo é apresentar a metodologia de andlise estrutural do método dos deslocamentos 0 que é feito com base em um exemplo o portico simples mostrado na Figura 103 Os calculos dos coefi cientes que aparecem na solucao nao serao indicados nesta secao mas serao explicados em secoes subse quentes a Secao 1063 mostra os calculos dos coeficientes para a estrutura da Figura 103 Todas as barras da estrutura do exemplo tém as mesmas propriedades elasticas e de secdo transver sal O material adotado tem modulo de elasticidade E 12x10 kNm A secdo transversal das barras tem drea A 12x107 m e momento de inércia I 12x10 m A solicitagéo externa é uma forca unifor memente distribuida q 5 KNm aplicada na barra horizontal 5 kNm Deslocabilidades Lt Dy Di D3 7 4 le 3m s 6m s Figura 103 Estrutura utilizada para a descrido da metodologia do método dos deslocamentos e suas deslocabilidades A Figura 103 também indica a configuragao deformada da estrutura com uma amplificacao de 450 vezes e as deslocabilidades D D e D correspondendo respectivamente aos deslocamentos horizontal e vertical e a rotacao do no interno A figura também serve para apresentar a notacao para deslocamentos e rotagdes uma seta com um traco perpendicular na base Essa notacdo permite indicar as deslocabilida des sem desenhar a configuracado deformada da estrutura que em geral é complicada ou desconhecida Como foi dito a configuracao deformada da estrutura fica parametrizada pelas deslocabilidades Observe que existem infinitos valores para D D e D satisfazendo as condicdes de compatibilidade isto é existem infinitas configuragdes deformadas que satisfazem as condicdes de compatibilidade com respeito aos vinculos externos apoios que satisfazem as condicdes de continuidade do campo de des locamentos no interior das barras e que satisfazem a continuidade de ligacdo entre as barras que per manecem ligadas e com 0 mesmo angulo entre si no no interno Entretanto somente uma dessas confi guracoes deformadas esta associada ao equilibrio da estrutura O método dos deslocamentos tem como estratégia procurar dentre todas as configuracdes deformadas que satisfazem a compatibilidade aquela que também faz com que 0 equilibrio seja satisfeito O equilibrio da estrutura é imposto na forma de equilibrio dos nos isolados considerando também que as barras isoladas estao em equilibrio Portanto a solucdo desse problema pelo método dos desloca mentos recai em encontrar os valores que D D e D devem ter para que 0 n6 interno fique em equilibrio visto que os nos dos apoios tém seu equilibrio automaticamente satisfeito pelas reacdes de apoio Dentro da metodologia do método dos deslocamentos aplicada ao exemplo da Figura 103 solucdes basicas casos basicos isolam 0 efeito da solicitagdo externa carregamento e os efeitos de cada uma das deslocabilidades Cada efeito isolado afeta 0 equilibrio do n6 interno Na superposicao dos casos basicos é imposto o equilibrio do no interno O sistema hipergeométrico SH para a estrutura do exemplo é mostrado na Figura 104 Os casos basicos utilizam esse SH como estrutura auxiliar através da qual os efeitos isolados sao impostos Capítulo 10 Método dos deslocamentos 303 1 2 3 Figura 104 Sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 103 No exemplo em estudo existem quatro casos básicos casos 0 1 2 e 3 conforme descrito a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH O caso 0 mostrado na Figura 105 isola o efeito da solicitação externa isto é do carregamento apli cado Dessa forma a carga externa é a aplicada no SH com D1 0 D2 0 e D3 0 Nesse caso as forças e os momentos que aparecem nos apoios fi ctícios do SH são chamados de termos de carga βi0 Um termo de carga é defi nido formalmente como βi0 reação no apoio fi ctício associado à deslocabilidade Di para equilibrar o SH quando atua a solici tação externa isoladamente isto é com deslocabilidades de valores nulos β10 0 15 20 β kN 15 30 β kNm Figura 105 Solicitação externa isolada no SH da estrutura da Figura 103 Nesse exemplo são três os termos de carga conforme indicado na Figura 105 sendo que β10 é a reação horizontal β20 é a reação vertical e β30 é a reação momento nos três apoios fi ctícios do nó interno Essas reações correspondem à situação de engastamento perfeito do SH e seus valores são calculados de maneira a equilibrar o nó interno levando em conta o carregamento uniformemente distribuído que atua na barra horizontal As reações de engastamento de barras isoladas são conhecidas a priori e por isso são consideradas soluções fundamentais para uma análise pelo método dos deslocamentos Essas soluções fundamentais são determinadas seguindo a metodologia descrita na Seção 93 e tabeladas Os esforços internos no caso 0 também são esforços em barras cujos nós extremos são engastados Dessa forma somente as barras que têm carga no seu interior apresentam esforços internos e deforma ções Isso pode ser entendido pelo fato de os apoios fi ctícios adicionados no SH isolarem as barras com respeito a deformações Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH O caso 1 mostrado na Figura 106 isola o efeito da deslocabilidade D1 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D2 e D3 Conforme indicado nessa fi gura a deslocabilidade D1 é colocada em evi dência Considerase um valor unitário para D1 sendo o efeito de D1 1 multiplicado pelo valor fi nal que D1 deverá ter Para impor a confi guração deformada onde D1 1 e as demais deslocabilidades são mantidas nulas é necessário aplicar um conjunto de forças e momentos nodais que mantém o SH em equilíbrio nessa confi guração como indicado na Figura 106 Bookconceitosindb 303 532010 083959 ELSEVIER 304 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 35252 7 11 K kNm K11 K21 K31 2764 8 31 K kNmm 13160 4 21 K kNm D1 1 x D1 Figura 106 Deslocabilidade D1 isolada no SH da estrutura da Figura 103 As forças e momentos que aparecem nos apoios fi ctícios do SH para equilibrálo quando é imposta uma confi guração onde D1 1 são chamados de coefi cientes de rigidez globais Kij Formalmente o coefi cien te de rigidez global é defi nido como Kij coefi ciente de rigidez global força ou momento que deve atuar na direção de Di para manter a estru tura na verdade o SH em equilíbrio quando é imposta uma confi guração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas No caso 1 os coefi cientes de rigidez globais são a força horizontal K11 a força vertical K21 e o mo mento K31 Por defi nição as unidades dos coefi cientes de rigidez correspondem às unidades de força ou momento divididas pela unidade da deslocabilidade em questão Nesse exemplo no caso 1 a unidade de D1 é a de deslocamento em metros Conforme será visto ainda neste capítulo os coefi cientes de rigidez globais são obtidos em função de coefi cientes de rigidez das barras isoladas Estes também denominados coefi cientes de rigidez locais são determinados de acordo com o exposto na Seção 92 e são soluções fundamentais para uma análise pelo método dos deslocamentos além de serem tabelados para barras prismáticas Figuras 910 913 e 915 Uma das vantagens desse método em relação ao método das forças é que o cálculo dos coefi cientes de rigidez globais baseiase em valores tabelados para os coefi cientes de rigidez locais o que exige um esforço menor na solução manual da estrutura quando comparado com o cálculo dos coefi cientes de fl e xibilidade do método das forças mostrado no Capítulo 8 Tal vantagem também facilita a implementação computacional do método dos deslocamentos Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH De maneira análoga no caso 2 a deslocabilidade D2 é colocada em evidência considerando o efei to devido a um valor unitário de D2 multiplicado por seu valor fi nal como indicado na Figura 107 Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D2 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D3 13160 4 12 K kNm K22 326 4 32 K kNmm 19729 7 22 K kNm x D2 K12 K32 D2 1 Figura 107 Deslocabilidade D2 isolada no SH da estrutura da Figura 103 Bookconceitosindb 304 532010 083959 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 305 A força horizontal K12 a força vertical K22 e o momento K32 que aparecem nos apoios fi ctícios do SH para mantêlo em equilíbrio quando é imposta uma confi guração deformada onde D2 1 são os coefi cientes de rigidez globais que aparecem no caso 2 As unidades desses coefi cientes por defi nição são unidades de força ou momento divididas pela unidade da deslocabilidade D2 metro como mostrado na Figura 107 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Do mesmo modo no caso 3 a deslocabilidade D3 é colocada em evidência como mostra a Fi gura 108 Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D3 mantendo nulos os valores das deslocabili dades D1 e D2 A fi gura também mostra os coefi cientes de rigidez globais desse caso Observe que as unidades desses coefi cientes são unidades de força ou momento divididas por radiano pois a desloca bilidade D3 é uma rotação 2764 8 13 K kNrad K13 K23 K33 21120 0 33 K kNmrad 326 4 23 K kNrad D3 1 x D3 Figura 108 Deslocabilidade D3 isolada no SH da estrutura da Figura 103 Restabelecimento das condições de equilíbrio O equilíbrio da estrutura original é restabelecido quando se anulam os efeitos dos apoios fi ctícios do SH A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados anteriormente podese utilizar a superposição dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó interior As resultantes de forças e momentos externos nesse nó devem ser nulas como feito a seguir Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior 0 3 13 2 12 1 11 10 D K D K K D β Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior 0 3 23 2 22 1 21 20 D K D K D K β Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior 0 3 33 2 32 1 31 30 D K D K D K β Podese generalizar esses resultados escrevendo uma equação de equilíbrio na direção da desloca bilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades 0 1 0 n j j j ij i D K β 101 A solução do sistema formado pelas três equações de equilíbrio do exemplo desta seção com os valores mostrados anteriormente para os termos de carga βi0 e para os coefi cientes de rigidez globais Kij resulta nos seguintes valores para as deslocabilidades Bookconceitosindb 305 532010 083959 ELSEVIER 306 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 3 1 0 4504 10 D m 3 2 1 0480 10 D m 3 3 0 7530 10 D rad Esses valores fazem com que as resultantes de forças e momentos externos que atuam no nó in terno da estrutura sejam nulas Dessa forma atingiuse a solução correta da estrutura porque além de satisfazer as condições de compatibilidade que sempre foram satisfeitas nos casos 0 1 2 e 3 ela também satisfaz as condições de equilíbrio haja vista que não existem forças e momentos externos fi ctícios aplicados ao nó A Seção 139 demonstra que a imposição de resultantes nulas para as forças e os momentos externos dos apoios fi ctícios do SH é equivalente à imposição do equilíbrio do nó inter no isolado levando em conta efeitos externos forças e momentos aplicados e efeitos internos forças e momentos vindos das barras O equilíbrio dos outros dois nós sempre é satisfeito pelas reações de apoio cujos valores fi nais podem ser obtidos pela superposição dos valores das reações obtidos em cada caso Os sinais das deslocabilidades são determinados pelos sentidos em que foram impostos os deslo camentos unitários e a rotação unitária nos casos básicos Assim o sinal positivo de D1 indica que esse deslocamento tem o mesmo sentido da esquerda para a direita do deslocamento horizontal imposto no caso 1 O sinal negativo de D2 indica que esse deslocamento vertical é para baixo pois é contrário ao deslocamento unitário imposto no caso 2 E o sinal negativo de D3 mostra que essa rotação é no sentido horário pois é contrária à rotação unitária imposta no caso 3 Determinação dos esforços internos Uma vez determinados os valores das deslocabilidades os diagramas fi nais de esforços da estru tura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos conforme mostrado na sequência deste capítulo Por exemplo os momentos fl etores fi nais M podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fl etores Mi dos casos básicos 3 3 2 2 1 1 0 D M D M D M M M sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso 0 e os diagramas M1 M2 e M3 são provocados por valores unitários das deslocabilidades nos casos 1 2 e 3 respectivamente Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais fi nais N esforços cortantes fi nais Q e momentos fl etores fi nais M de uma estrutura com n desloca bilidades n j j N j Dj N N 1 0 102 n j j Qj Dj Q Q 1 0 103 n j j Mj Dj M M 1 0 104 Sendo N0 diagrama de esforços normais da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é im posta a solicitação externa com todas as deslocabilidades mantidas nulas N j diagrama de esforços normais da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é im posta uma confi guração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas Bookconceitosindb 306 532010 084001 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 307 Q0 diagrama de esforços cortantes da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é im posta a solicitação externa com todas as deslocabilidades mantidas nulas Qj diagrama de esforços cortantes da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é im posta uma confi guração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas M0 diagrama de momentos fl etores da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é imposta a solicitação externa com todas as deslocabilidades mantidas nulas Mj diagrama de momentos fl etores da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é im posta uma confi guração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas 103 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL E VETOR DOS TERMOS DE CARGA Pode se reescrever o sistema de equações de equilíbrio do exemplo da seção anterior de forma matricial 0 0 0 3 33 2 32 1 31 30 3 23 2 22 1 21 20 3 13 2 12 1 11 10 D K D K D K D K D K D K D K D K D K β β β 0 0 0 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 30 20 10 D D D K K K K K K K K K β β β No caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades podese escrever 0 0 K D β 105 sendo β0 vetor dos termos de carga K matriz de rigidez global D vetor das deslocabilidades O número de equações de equilíbrio na Equação matricial 105 é igual ao número de deslocabilida des sendo cada equação dada pela Equação 101 que corresponde a uma deslocabilidade genérica Di Observase que a matriz de rigidez global independe da solicitação externa carregamento que só é considerada no vetor dos termos de carga A matriz K é uma característica da estrutura apenas já que só existe um possível sistema hipergeométrico para cada estrutura A exemplo do que foi feito na Seção 92 para uma barra isolada duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de rigidez global A primeira é que pelo teorema de Maxwell versão para deslo camento unitário imposto Equação 742 a matriz é simétrica ou seja ij ji K K 106 A segunda observação é que os coefi cientes de rigidez que correspondem a uma dada confi guração deformada elementar casos 1 2 e 3 da seção anterior têm o mesmo índice j Podese dizer então A jésima coluna da matriz de rigidez K global da estrutura corresponde ao conjunto de forças generalizadas forças e momentos que atuam nas direções das deslocabilidades para equilibrá la quando é imposta uma confi guração deformada tal que Dj 1 deslocabilidade j D com valor unitário e as demais deslocabilidades com valor nulo O método dos deslocamentos é assim chamado porque as incógnitas são deslocamentos ou rota ções Também é chamado de método do equilíbrio West Geschwindner 2009 porque as equações fi nais expressam condições de equilíbrio E ainda é chamado de método da rigidez porque envolve coefi cientes de rigidez em sua solução Bookconceitosindb 307 532010 084001 ELSEVIER 308 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha É interessante rever uma comparação que foi feita na Seção 423 entre o método das forças e o mé todo dos deslocamentos no que diz respeito aos sistemas de equações resultantes dos dois métodos e aos coefi cientes dessas equações Conforme discutido no Capítulo 8 as condições expressas pelo sistema de equações fi nais do méto do das forças são condições de compatibilidade Essas condições são impostas nas direções dos vínculos eliminados para se chegar ao sistema principal SP Por outro lado as equações fi nais do método dos deslocamentos expressam condições de equilíbrio que são impostas nas direções das deslocabilidades ou seja nas direções dos vínculos introduzidos para se chegar ao sistema hipergeométrico SH No método das forças os hiperestáticos mantêm o equilíbrio e recompõem a compatibilidade ao passo que no método dos deslocamentos as deslocabilidades mantêm a compatibilidade e recompõem o equilíbrio Os termos de carga no método das forças são deslocamentos ou rotações provocados pela solicitação externa atuando no SP com hiperestáticos nulos Já no método dos deslocamentos os termos de carga são forças ou momentos necessários para equilibrar o SH com deslocabilidades nulas submetido à so licitação externa isto é no método dos deslocamentos os termos de carga são reações de engastamento perfeito Finalmente os coefi cientes da matriz de fl exibilidade do método das forças são deslocamentos ou rotações provocados por hiperestáticos com valores unitários atuando no SP Os coefi cientes da matriz de rigidez global do método dos deslocamentos são forças ou momentos necessários para equilibrar o SH submetido a deslocabilidades com valores unitários 104 CONVENÇÕES DE SINAIS DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS As equações fi nais do método dos deslocamentos expressam o equilíbrio dos nós da estrutura nas di reçõe s das deslocabilidades Por isso é conveniente apresentar uma convenção de sinais para forças e momentos que facilite a defi nição de condições de equilíbrio Isso acarreta uma nova convenção de sinais para esforços internos que atuam nas extremidades de uma barra de um quadro plano A Tabela 101 resume a convenção de sinais adotada no método para quadros planos Tabela 101 Convenção de sinais adotada para quadros planos no método dos deslocamentos Deslocamentos horizontais Deslocamentos verticais Rotações Forças horizontais Forças verticais Momentos Esforços axiais em extremidades de barra Esforços cortantes em extremidades de barra Momentos fletores em extremidades de barra Bookconceitosindb 308 532010 084002 tlle Capitulo 10 Método dos deslocamentos 309 Observase na Tabela 101 que os deslocamentos e forcas horizontais sao positivos quando tém o sentido da esquerda para a direita e negativos quando tém o sentido contrario Os deslocamentos e for as verticais sao positivos quando tém o sentido de baixo para cima e negativos quando voltados para baixo As rotagdes e os momentos sao positivos quando tém sentido antihorario e negativos quando tém sentido horario A convengao de sinais para esforcos internos atuando nas extremidades das barras é a mesma porém se refere a diregdes no sistema de eixos locais da barra direcdo axial e direcao transversal ao eixo da barra Devese salientar que essa convencao se refere a efeitos sobre as extremidades de uma barra isolada Os efeitos das barras sobre os nos isolados sao contrarios agao e reacao mas a convencao de sinais esta associada aos efeitos sobre as barras A convengao de sinais para momentos fletores é explorada para descrever os diagramas de mo mentos fletores nos passos intermediarios do método Em vez de desenhar os diagramas de momen tos fletores dos casos basicos do método dos deslocamentos os momentos fletores serao indicados nas extremidades das barras segundo a convengao de sinais apresentada na Tabela 101 Devese observar que conforme explicado na Seao 3733 o tracgado do diagrama de momentos fletores em uma barra da qual se conhecem os momentos fletores nas extremidades e 0 carregamento no interior da barra é um procedimento simples pendurase a partir da linha reta que une os momentos nas extremidades da barra o diagrama de momentos fletores devido ao carregamento em uma viga biapoiada de mesmo comprimento Uma das utilidades da convencdo de sinais adotada é condensar informac6es sobre os esforcos internos que atuam em uma barra Por exemplo considere a viga biengastada mostrada na Figura 109 4 fo EI const Diagrama de momentos fletores I tracado do lado das fibras tracionadas ghz gh 12 Reacoes de apoio e seus SInais 1 f New J why vot Mi Indicacao dos momentos fletores Va ql2 Vp ql2 usando a convencao de sinais Ma ql212 Mz ql212 J q212 ql212 R Figura 109 Indicacdo de momentos fletores em uma viga biengastada utilizando a convencdo de sinais do método dos deslocamentos A Figura 109 indica valores de reagdes de apoio com seus sentidos fisicos e com os sinais da con vencao adotada O diagrama de momentos fletores para essa viga biengastada é mostrado em sua for ma usual isto é desenhado do lado da fibra da secao transversal que é tracionada Também é mostrado como se indicam os momentos fletores nas extremidades usando a convencao de sinais do método Ob servase que os momentos fletores nas extremidades da barra teém o mesmo sinal das reagdes momento Conforme ja mencionado solugdes fundamentais de barras biengastadas isoladas e carregadas sao necessarias para a utilizacdo do método dos deslocamentos Isso ocorre porque o caso 0 da superposi cao de casos basicos do método corresponde a uma situacao de engastamento perfeito Secao 102 As reacdes de apoio de barras prismaticas biengastadas e por conseguinte os esforcgos internos em suas extremidades sao tabelados para diversos tipos de solicitagdes externas como indicado na Seao 93 310 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Outro exemplo de utilizagaéo da convengao de sinais adotada é mostrado na Figura 1010 A figura mostra solucdes fundamentais para rotacdes impostas as secoes transversais extremas de uma barra iso lada Conforme visto na Secao 92 essas solucdes resultam em coeficientes de rigidez de barra ou locais que sao necessarios dentro da metodologia do método dos deslocamentos 6E110 e1P6 err tss 2EI10 l 4EI 10 0 Ae UY at 4EI10 Er 170 2EI1 0 2227 61126 a Indicagao dos momentos fletores usando a convencao de sinais 4EI 16 2EI10 2EI 10 4EI 10 Figura 1010 Indicagdo de momentos fletores resultantes da imposido de rotagdes nas extremidades de uma barra isolada utilizando a convencdo de sinais do método dos deslocamentos Na proxima secao sera apresentado o exemplo de uma viga continua que tem por objetivo utilizar a convencao de sinais na solucgdo pelo método dos deslocamentos Alguns conceitos importantes do mé todo serdo salientados nessa solucao 105 EXEMPLO DE SOLUCAO DE UMA VIGA CONTINUA Considere a viga continua mostradana Figura 1011 O valor da rigidez a flexao da vigaé EI12x10 kNm O valor da forca uniformemente distribuida atuante é q 12 kNm 12 kNm bem s ee 5m se m Figura 1011 Viga continua para exemplo de solucdo pelo método dos deslocamentos As tnicas deslocabilidades da estrutura da Figura 1011 sao as rotacdes D e D dos nos dos apoios internos Isso é indicado na Figura 1012 com 0 correspondente sistema hipergeométrico SH Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico L L Figura 1012 Deslocabilidades e sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 1011 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 311 Uma vez identifi cadas as deslocabilidades e o SH a metodologia do método dos deslocamentos segue com a superposição de casos básicos cada um isolando determinado efeito no SH como defi nido na Seção 102 Isso será mostrado a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Figura 1013 Confi guração deformada exagerada do caso 0 da estrutura da Figura 1011 Nesse caso é imposta uma confi guração deformada indicada na Figura 1013 de forma ampliada na qual as rotações dos nós dos apoios internos são mantidas nulas enquanto atua o carregamento Para que o SH fi que em equilíbrio com essa condição imposta aparecem reações momento nas chapas fi ctí cias do SH Essas reações nos apoios fi ctícios do SH são chamadas de termos de carga conforme visto anteriormente Os termos de carga β10 e β20 são apresentados genericamente na Figura 1013 com seus sentidos positivos A interpretação física desses termos pode ser entendida com auxílio do diagrama de momentos fl etores para o caso 0 mostrado na Figura 1014 M0 kNm 1 2 β10 β20 1 2 β10 20 kNm β20 32 kNm 16 16 36 36 4 4 Figura 1014 Diagrama de momentos fl etores do caso 0 da estrutura da Figura 1011 Os momentos fl etores para o caso 0 são determinados a partir da solução conhecida para uma viga biengastada com carregamento uniformemente distribuído conforme mostrado anteriormente Os mo mentos de engastamento perfeito nas extremidades de uma barra têm valores em módulo igual a ql212 sendo l o comprimento da barra Os momentos fl etores são mostrados na Figura 1014 de duas maneiras Na primeira o diagrama é traçado na convenção usual isto é do lado da fi bra da seção transversal que é tracionada Na segunda os valores dos momentos fl etores são indicados nas extremidades das barras de acordo com a convenção de sinais adotada no método dos deslocamentos Observamse no diagrama traçado as descontinuidades do diagrama de momentos fl etores indicando condições de equilíbrio da estrutura original sem as chapas fi ctícias que são violadas Entretanto o equilíbrio do SH é satisfeito com a introdução dos termos de carga β10 e β20 A interpretação física desses termos fi ca clara na Figu ra 1014 Notase também a simplicidade para a obtenção dos valores dos termos de carga Como o sentido das reações momentos é compatível com o sentido dos momentos fl etores que atuam nas extremidades Bookconceitosindb 311 532010 084002 ELSEVIER 312 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha das barras para obter os valores dos termos de carga basta somar os valores com sinal dos momentos fl etores nas seções transversais adjacentes ao nó do termo de carga Dessa forma β10 q4212 q6212 16 36 20 kNm β20 q6212 q2212 36 4 32 kNm Como dito anteriormente em vez de desenhar os diagramas de momentos fl etores dos casos bási cos do método dos deslocamentos os momentos fl etores são indicados nas extremidades das barras de acordo com a segunda maneira apresentada na Figura 1014 No exemplo desta seção as duas maneiras são mostradas para caracterizar bem o sentido físico dos termos de carga Isso também é feito para carac terizar os coefi cientes de rigidez globais nos dois outros casos básicos desse exemplo Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH x D1 1 2 M1 kNmrad 1 2 K21 K11 1 2 K11 20x103 kNmrad K21 4x103 kNmrad 6000 12000 8000 4000 0 D1 1 K11 K21 0 Figura 1015 Confi guração deformada e diagrama de momentos fl etores do caso 1 da estrutura da Figura 1011 No caso 1 é imposta uma confi guração deformada na qual a rotação D1 é unitária colocando seu valor a ser determinado em evidência como mostrado na Figura 1015 A fi gura também mostra o diagra ma de momentos fl etores M1 que corresponde ao valor unitário de D1 Os valores dos momentos fl etores são obtidos dos coefi cientes de rigidez de barra 4EIl e 2EIl provocados por rotações impostas em suas extremidades como indicado na Figura 1010 com θ 1 Os momentos fl etores são mostrados na forma de um diagrama traçado do lado da fi bra tracionada e com valores nas extremidades das barras Devese observar que a barra da direita na Figura 1015 não sofre deformações no caso 1 e por tanto tem momentos fl etores nulos Também estão indicadas na fi gura as interpretações físicas dos coefi cientes de rigidez globais K11 e K21 correspondem às descontinuidades no diagrama de momentos fl etores Em outras palavras esses coefi cientes são os momentos necessários para manter em equilíbrio o SH quando é imposta uma confi guração deformada na qual D1 1 isoladamente É evidente que ou tros momentos e forças são necessários para manter o SH em equilíbrio nessa confi guração deformada mas eles são reações nos apoios reais da estrutura Os coefi cientes de rigidez globais nesse exemplo são os momentos que aparecem nos apoios fi ctícios do SH Os valores de K11 e K21 são obtidos pelas somas dos momentos fl etores com sinal nas seções trans versais adjacentes ao nó correspondente K11 4EI4 4EI6 12000 8000 20000 kNmrad K21 2EI4 4000 kNmrad A soma dos coefi cientes de rigidez locais de barra 4EI4 e 4EI6 para a obtenção do coefi ciente de rigidez global K11 pode ser entendida de outra maneira o esforço K11 necessário para girar a estrutura de Bookconceitosindb 312 532010 084003 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 313 D1 1 é a soma dos esforços os coefi cientes de rigidez das barras necessários para girar cada barra em separado Essa soma de contribuições de coefi cientes de rigidez de barra para compor um coefi ciente de rigidez glo bal da estrutura é uma das características mais importantes do método dos deslocamentos Essa caracte rística proporciona a concepção de algoritmos simples para a implementação computacional do método Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 2 1 M2 kNmrad 1 2 K12 K22 1 2 K12 4x103 kNmrad K22 32x103 kNmrad 12000 24000 4000 8000 0 0 D2 1 K12 K22 x D2 Figura 1016 Confi guração deformada e diagrama de momentos fl etores do caso 2 da estrutura da Figura 1011 O caso 2 mostrado na Figura 1016 é inteiramente análogo ao caso 1 Os valores dos coefi cientes de rigidez globais obtidos nesse caso são K12 2EI4 4000 kNmrad K22 4EI6 4EI2 8000 24000 32000 kNmrad Equações de equilíbrio Para resolver a estrutura pelo método dos deslocamentos como visto na Seção 102 são impostas condições de equilíbrio que determinam que os momentos externos totais introduzidos pelas chapas fi ctícias do SH sejam nulos Utilizando a superposição dos casos básicos essas condições de equilíbrio resultam no seguinte sistema de equações de equilíbrio cuja solução para os valores das deslocabilidades está indicada 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 D K D K D K D K β β 0 0 32 4 4 20 10 32 20 2 1 3 D D rad 15 10 1 rad 23 10 1 3 2 3 1 D D O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção transversal do apoio interno da esquerda se dá no sentido horário e o valor positivo de D2 indica que a rotação na seção transversal do outro nó interno apresenta sentido antihorário Esses sentidos de rotação são compatíveis com a confi guração deformada da estrutura para esse carregamento que é mostrada ampliada exageradamente na Figura 1017 D2 D1 Figura 1017 Confi guração deformada da estrutura da Figura 1011 Bookconceitosindb 313 532010 084003 314 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Determinagao do diagrama de momentos fletores finais Apos a determinacao dos valores das deslocabilidades resta a determinacao dos efeitos finais na estrutura Isso é feito utilizando a superposicao de casos basicos sendo que os efeitos dos casos 1 e 2 sao ponderados com os valores encontrados para D e D Por exemplo os momentos fletores finais sao obtidos por MMMDMD MM123x10M 115x10M Essa superposicao é feita individualmente para todas as sec6es transversais extremas das barras honrando o sinal da convencao do método que aparece nos diagramas dos casos basicos O resultado é mostrado na Figura 1018 Podese observar que a soma dos momentos fletores finais com sinais das duas sec6es transversais adjacentes a cada no interno é nula indicando que o equilibrio de momentos atuantes sobre 0 no esta sendo satisfeito M kNm yee 308 308 317 317 4 Figura 1018 Momentos fletores da estrutura da Figura 1011 utilizando a convencao de sinais do método dos deslocamentos Entretanto essa forma de apresentacao de resultados de momentos fletores nao é adequada E pre ciso tracar o diagrama de momentos fletores ao longo da estrutura sendo que o diagrama é desenhado usualmente do lado da fibra tracionada das secoes transversais Portanto é preciso interpretar a conven cao de sinais de momentos fletores verificando o sentido dos momentos nas duas extremidades de cada barra Isso é mostrado na Figura 1019 que indica os sentidos dos momentos fletores que atuam nas ex tremidades das barras e sobre os nos da viga continua Essa figura também mostra 0 tracado do diagrama de momentos fletores finais da estrutura 86 86 308 308 317 317 98 98 CO TAD B08 eee eee e ee eee e eee M kNm NY 98 Figura 1019 Momentos fletores da estrutura da Figura 1011 desenhados do lado da fibra das secdes transversais Observe que os efeitos de momentos atuantes sobre os nds sao sempre contrarios aos efeitos sobre as barras acdo e reacao Conforme ja mencionado os sinais dos momentos fletores na convencao do méto do dos deslocamentos se referem aos efeitos que atuam sobre as extremidades das barras Note também que as reacdes momento tém sempre o mesmo sentido dos momentos fletores que atuam nas barras A partir da solugdo do exemplo desta secdo podese fazer alguns comentarios Em todas as etapas do método dos deslocamentos os esforcos nas barras e as reacdes de apoio sao sempre determinados com base em configuracdes deformadas conhecidas E sempre assim conhecese a configuracdo deformada e dai se tiram os esforcos e reacdes Este certamente um raciocinio caracteristico do método bem diferente da forma como se resolvem estruturas isostaticas por equilibrio ou estruturas hiperestaticas pelo método das forgas Apesar de essa metodologia nao ser intuitiva para quem comega a aprender o método dos deslocamentos a solucao de cada caso basico é bem simples pois as deformacées impostas sao sempre configuracdes muito simples ou sao a solucdo de engastamento perfeito do caso 0 ou é imposta apenas uma deslocabilidade isolada nos outros casos Os esforcos e reacdes em cada caso basico sao obtidos de solucGes tabeladas Essa metodologia simples também permite algoritmos de facil implementacao computacional 2 Capitulo 10 Método dos deslocamentos 315 ELSEVIER 106 EXEMPLOS DE SOLUCAO DE PORTICOS SIMPLES Na segao anterior foi observado que os coeficientes de rigidez globais que comp6em o sistema de equacdes de equilibrio do método dos deslocamentos sao formados pela contribuicdo de coeficientes de rigidez de barras individualmente No exemplo da secao anterior como s6 havia deslocabilidades do tipo rotacao s6 se levaram em conta coeficientes de rigidez a rotacao Nesta secao a utilizacao dos coeficientes de rigidez de barra sera generalizada com a consideracao adicional de coeficientes de rigidez axial e transversal Como visto na Secao 92 o objetivo dos coeficientes de rigidez de barra é tabelar solucdes fundamentais para os esforgos que devem atuar em uma barra isolada devidos a deslocamentos ou rotagdes impostos isola damente em uma extremidade da barra Esses coeficientes também sao chamados de coeficientes de rigidez locais Trés exemplos serao apresentados nesta secdo com 0 objetivo de mostrar a metodologia do método dos deslocamentos principalmente no que se refere ao calculo dos coeficientes de rigidez globais em funcao dos coeficientes de rigidez locais das barras Nos dois primeiros exemplos as barras sao horizontais ou verticais Isso faz com que os coeficientes de rigidez locais nas direcées locais sejam horizontais ou verticais podendo ser somados diretamente para compor os coeficientes de rigidez globais O terceiro exemplo mostra que é necessario projetar os coeficientes de rigidez locais de uma barra inclinada para fazer essa composicao 1061 Pdrtico com trés deslocabilidades Considere o portico mostrado na Figura 1020 Siissekind 19773 com uma forga horizontal e uma forca vertical aplicadas no no interno As duas barras tém o mesmo material com modulo de elasticidade Ee a mesma secao transversal cuja relacdo entre a area A e o momento de inércia I é dada por AI2 mO objetivo do exemplo é a determinacao do diagrama de momentos fletores Na Figura 1021 estao indica das as deslocabilidades da estrutura e 0 correspondente sistema hipergeométrico SH 4 10 kN E 7 16 m Figura 1020 Exemplo de solucdo de portico com trés deslocabilidades Stissekind 19773 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH t 2 D P13 1 D3 Figura 1021 Deslocabilidades e sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 1020 A solucao pelo método dos deslocamentos apresentada neste capitulo utiliza uma superposicao de casos basicos que usam como estrutura auxiliar o SH Isso sera mostrado a seguir para 0 presente exemplo Os termos de carga f B B do caso 0 sao indicados na Figura 1022 com seus sentidos positivos O sentido real é dado pelo sinal do termo Se for negativo isso indica que o sentido é contrario ao dese nhado Nesse caso como as cargas sao aplicadas diretamente sobre 0 no onde foram colocados os apoios ELSEVIER 316 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha fi ctícios do SH os termos de carga são obtidos diretamente pelo equilíbrio do nó resultando nos valores indicados Como não existem cargas aplicadas no interior das barras estas não apresentam deformações Como não existem deformações nas barras não existem esforços internos Por isso os momentos fl etores M0 no caso 0 são nulos conforme indicado na Figura 1022 O caso 1 está indicado na Figura 1023 Observase nessa fi gura como os coefi cientes de rigidez locais das barras contribuem para os coefi cientes de rigidez globais da estrutura Por exemplo a força K11 que deve atuar na direção global de D1 para dar uma confi guração deformada na qual D1 1 é obtida pela soma do coefi ciente de rigidez axial EA6 da barra horizontal com o coefi ciente de rigidez transver sal 12EI43 da barra vertical Vêse também que em nenhuma das duas barras aparecem forças verticais no nó deslocado para dar a confi guração deformada imposta Assim não há contribuição para o coefi ciente de rigidez global K21 o que resulta em um valor nulo De forma análoga o coefi ciente de rigidez global K31 recebe uma contribuição nula da barra horizontal pois esta sofre apenas uma deformação axial e uma contribuição do momento 6EI42 vindo da barra vertical Na Figura 1023 também estão indicados os valores dos momentos fl etores M1 para D1 1 nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais apresentada na Seção 104 Nesse caso somente a barra vertical apresenta momentos fl etores Nos casos seguintes os coefi cientes de rigidez globais são calculados de maneira análoga sendo todos indicados nas Figuras 1024 e 1025 Também estão indicados nas fi guras os momentos fl etores M2 e M3 para D2 e D3 com valores unitários nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais do método Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β10 β20 β30 β10 10 kN β20 6 kN β30 0 kNm M0 kNm 0 0 0 0 Figura 1022 Caso 0 da estrutura da Figura 1020 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Figura 1023 Caso 1 da estrutura da Figura 1020 Bookconceitosindb 316 532010 084003 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 317 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Figura 1024 Caso 2 da estrutura da Figura 1020 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH M3 4EI4 2EI4 D3 1 K13 K23 K33 K13 0 6EI42 K23 6EI62 0 K33 4EI6 4EI4 6EI42 4EI4 2EI4 6EI42 4EI6 2EI6 6EI62 4EI6 2EI6 6EI62 D3 1 x D3 Figura 1025 Caso 3 da estrutura da Figura 1020 Equações de equilíbrio Conforme visto anteriormente Seções 102 e 105 a solução pelo método dos deslocamentos recai em equações de equilíbrio que impõem reações fi nais nulas nos apoios fi ctícios do SH Para o exemplo desta seção essas equações são 0 0 0 3 33 2 32 1 31 30 3 23 2 22 1 21 20 3 13 2 12 1 11 10 D K D K D K D K D K D K D K D K D K β β β Utilizando a relação fornecida entre o valor da área e do momento inércia da seção transversal das barras AI 2 m2 podese colocar os coefi cientes de rigidez globais em função do parâmetro de rigidez à fl exão EI Isso resulta no seguinte sistema de equações cuja solução também é indicada em função de EI Bookconceitosindb 317 532010 084004 ELSEVIER 318 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 0 0 0 5 3 1 6 3 8 1 6 5 9 0 3 8 0 48 25 0 6 10 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 4 010 9 595 085 22 3 2 1 A confi guração deformada fi nal da estrutura é mostrada na Figura 1026 Observase que os sinais dos deslocamentos e da rotação são consistentes D1 é positivo da esquerda para a direita D2 é negativo de cima para baixo e D3 é negativo sentido horário D3 D2 D1 D3 Figura 1026 Confi guração deformada com ampliação exagerada da estrutura da Figura 1020 Determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais Os momentos fl etores fi nais na estrutura são obtidos pela superposição de efeitos dos casos básicos sendo M0 nulo M M0 M1D1 M2D2 M3D3 Isso resulta nos valores com sinais dos momentos fl etores nas extremidades das barras indicados à esquerda na Figura 1027 Esses sinais são interpretados segundo a convenção do método resultando nos sentidos indicados no meio da fi gura Finalmente o diagrama de momentos fl etores é desenhado do lado da fi bra tracionada conforme indicado à direita na Figura 1027 43 29 43 63 43 43 63 29 M kNm M kNm Figura 1027 Diagrama de momentos fl etores da estrutura da Figura 1020 1062 Pórtico com articulação interna Esta seção mostra a solução pelo método dos deslocamentos de um pórtico simples com seis desloca bi lidades e uma articulação rótula interna como mostrado na Figura 1028 As três barras têm a mesma seção transversal com área A e momento de inércia I e material com módulo de elasticidade E A relação entre A e I é dada por AI 2 m2 A Figura 1029 mostra as deslocabilidades e o correspondente sistema hipergeométrico Bookconceitosindb 318 532010 084005 oa 2 Capitulo 10 Método dos deslocamentos 319 ELSEVIER 10 kNm 10KN I E 6 m Figura 1028 Exemplo de solucdo de portico com articulacgdo interna Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH D2 Ds De 2 5 Dy D4 WV P13 6k 1 4 D3 Figura 1029 Deslocabilidades e sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 1028 Assim como no exemplo da secao anterior 0 objetivo principal do presente exemplo é mostrar a determinacao dos coeficientes de rigidez globais em funcao dos coeficientes de rigidez locais da barras Essa determinacao é simples pois as barras da estrutura sao perpendiculares entre si Quando existem barras inclinadas é preciso converter coeficientes de rigidez locais das diregdes locais para as direcdes globais Isso ocorre porque os coeficientes de rigidez globais so formados por somas de contribuicdes dos coeficientes de rigidez locais das diversas barras Para poderem ser somados os coeficientes locais devem ter as mesmas direcdes horizontais ou verticais A proxima secao apresentara um exemplo com barra inclinada na qual sera mostrado como se faz essa conversao Observe nas Figuras 1028 e 1029 que a articulacao do no superior direito é considerada na extre midade direita da barra horizontal viga A outra possibilidade para considerar a rotula seria na extremi dade superior da barra vertical coluna da direita Ainda haveria outra possibilidade considerar as duas barras articuladas no no Isso geraria como sera mostrado no proximo capitulo uma indeterminacao do sistema de equacoes finais de equilibrio quanto ao valor da rotacdo D Na verdade isso resulta em um macete de calculo em que essa rotacdo nao é considerada deslocabilidade Essa discussdo sera deixada para o proximo capitulo A superposigao de casos basicos utilizando como estrutura auxiliar o SH é mostrada a seguir Em cada caso basico sao mostradas as configuracdes deformadas impostas e indicados os correspondentes momentos fletores nas extremidades das barras seguindo a convengcao de sinais apresentada na Secao 104 ELSEVIER 320 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β10 β20 β30 M0 kNm 45 0 0 0 β40 β50 β60 0 0 β10 10 kN β20 375 kN β30 45 kNm β40 0 β50 225 kN β60 0 Figura 1030 Caso 0 da estrutura da Figura 1028 Os termos de carga βi0 são indicados na Figura 1030 com seus sentidos positivos O sentido real é dado pelo sinal do termo Se for negativo isso indica que o sentido é contrário ao desenhado Para o caso 0 é necessária a solução prévia das reações de engastamento perfeito de uma viga engastada na esquer da e articulada na direita para uma força transversal uniformemente distribuída aplicada Essa solução é mostrada na Seção 933 Figura 927 O momento fl etor que aparece na extremidade esquerda da viga da estrutura é igual a 10628 45 kNm como indicado na Figura 1030 Os valores com sinal dos termos de carga mostrados na Figura 1030 são obtidos com base nas car gas aplicadas e na solução de engastamento perfeito para a viga com uma rótula na extremidade direita Figura 927 Os procedimentos para a determinação dos coefi cientes de rigidez globais Kij do exemplo desta seção são análogos aos que foram feitos para o exemplo da seção anterior e estão indicados nas Figuras 1031 a 1036 Entretanto essas fi guras não indicam os esforços que atuam nas extremidades das barras isoladas em cada caso básico O raciocínio para a obtenção dos coefi cientes globais pode ser feito consultando as Figuras 910 913 e 915 que mostram os coefi cientes de rigidez locais para uma barra prismática Os coefi cientes de rigidez globais dos casos 1 a 6 estão indicados com seus sentidos positivos nas Figuras 1031 a 1036 O sentido real é dado pelo sinal Se o sinal for negativo o sentido real é contrário ao desenhado Os valores dos coefi cientes dos casos 1 a 6 também estão indicados nas fi guras corres pondentes em função dos parâmetros de rigidez axial EA e de rigidez à fl exão EI É interessante observar a infl uência da articulação da barra horizontal na determinação dos coefi cientes de rigidez da estrutura Por exemplo em virtude dessa articulação nos casos básicos 2 3 e 5 Figuras 1032 1033 e 1035 os coefi cientes K62 K63 e K65 são nulos apesar de a barra horizontal estar sendo mobilizada à fl exão Note também que a barra horizontal não é mobilizada à fl exão no caso 6 Figura 1036 Bookconceitosindb 320 532010 084006 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 321 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Figura 1031 Caso 1 da estrutura da Figura 1028 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Figura 1032 Caso 2 da estrutura da Figura 1028 Bookconceitosindb 321 532010 084006 ELSEVIER 322 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH D3 1 K13 K23 K33 M3 0 K43 K53 K63 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K13 0 6EI42 K23 3EI62 0 K33 3EI6 4EI4 K43 0 K53 3EI62 K63 0 D3 1 x D3 Figura 1033 Caso 3 da estrutura da Figura 1028 Caso 4 Deslocabilidade D4 isolada no SH Figura 1034 Caso 4 da estrutura da Figura 1028 Bookconceitosindb 322 532010 084007 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 323 Caso 5 Deslocabilidade D5 isolada no SH Figura 1035 Caso 5 da estrutura da Figura 1028 Caso 6 Deslocabilidade D6 isolada no SH D6 1 K16 K26 K36 M6 0 K46 K56 K66 0 0 x D6 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 0 K46 0 6EI42 K56 0 0 K66 0 4EI4 K16 0 K26 0 K36 0 Figura 1036 Caso 6 da estrutura da Figura 1028 Equações de equilíbrio O sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos Equação 105 para o exemplo desta seção contém seis condições de equilíbrio uma para cada deslocabilidade Utilizando a relação for necida AI 2 m2 podese colocar os coefi cientes de rigidez globais em função do parâmetro de rigidez à fl exão EI Isso resulta no sistema de equações mostrado em seguida cuja solução também é indicada em função de EI Bookconceitosindb 323 532010 084008 ELSEVIER 324 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais A confi guração deformada fi nal da estrutura e o diagrama de momentos fl etores obtido pela super posição dos diagramas dos casos básicos dada pela Equação 104 estão indicados na Figura 1037 D2 D1 D6 D3 D3 D4 D5 101 0 101 243 M kNm 257 0 M kNm 101 101 243 257 Diagrama de momentos fletores traçado do lado das fibras tracionadas Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais Configuração deformada ampliada exageradamente Sentidos dos momentos fletores nas extremidades das barras Figura 1037 Confi guração deformada e diagrama de momentos fl etores da estrutura da Figura 1028 Observase pela solução do exemplo desta seção que o método dos deslocamentos tem uma meto dologia com procedimentos simples e padronizados Entretanto nesse exemplo e no anterior só foram consideradas barras horizontais e verticais A próxima seção mostra a solução de uma estrutura com barra inclinada 1063 Pórtico com barra inclinada Nos exemplos apresentados nas Seções 105 1061 e 1062 as barras são horizontais ou verticais Isso faz com que os coefi cientes de rigidez locais nas direções locais sejam horizontais ou verticais podendo ser somados diretamente para determinar os coefi cientes de rigidez globais da estrutura Esta seção mostra os procedimentos necessários para considerar uma barra inclinada O mesmo exemplo mostrado na Seção 102 Figura 103 é revisitado nesta seção para mostrar os cálculos dos coefi cientes de rigidez globais quando uma das barras é inclinada O caso básico 0 desse exemplo mostrado na Figura 105 não sofre a infl uência da barra inclinada visto que somente a barra horizontal tem carregamento Bookconceitosindb 324 532010 084009 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 325 O cálculo dos coefi cientes de rigidez globais dos casos básicos 1 2 e 3 é explicado nas Figuras 1038 1039 e 1040 Esse cálculo continua sendo feito somandose os valores dos coefi cientes de rigidez locais das barras que são mobilizadas na confi guração deformada imposta em cada caso Entretanto para uma barra inclinada a imposição de uma deslocabilidade na direção horizontal ou vertical acarreta deformações axiais e transversais combinadas Por outro lado esforços axiais e transversais na barra inclinada devem ser projetados para as direções horizontal e vertical para compor um coefi ciente de rigidez global O caso básico 1 da solução da estrutura da Figura 103 está detalhado na Figura 1038 Observase nessa fi gura que o deslocamento horizontal D1 1 imposto quando projetado nas direções dos eixos locais da barra inclinada tem uma componente axial igual a cosθ e uma componente transversal igual a senθ sendo θ o ângulo que a barra inclinada faz com o eixo horizontal da estrutura Dessa forma a barra inclinada é mobilizada tanto axial quanto transversalmente Com base nas componentes axial e transversal do deslocamento imposto é possível determinar as forças e os momentos que devem atuar nas extremidades da barra inclinada para que ela alcance o equi líbrio na confi guração deformada imposta Os valores das forças e dos momentos são obtidos em função dos coefi cientes de rigidez locais da barra e estão indicados na Figura 1038 nas direções de seus eixos locais com seus sentidos físicos reais Para determinar os coefi cientes K11 e K21 é necessário projetar as forças axial e transversal que atuam no topo da barra inclinada nas direções horizontal e vertical desses coefi cientes O coefi ciente de rigidez K11 é obtido pela soma das projeções horizontais das forças axial e transversal com a força axial que atua na barra horizontal O coefi ciente de rigidez K21 é obtido pela soma das projeções verticais das forças axial e transversal no topo da barra inclinada sendo que não há uma contribuição da barra horizontal para esse coefi ciente Finalmente o coefi ciente de rigidez K31 é determinado pelo momento que atua na extremidade superior da barra inclinada pois não existe momento na extremidade da barra horizontal Os valores desses coefi cientes são mostrados na Figura 1038 em função dos parâmetros de rigidez axial EA e de rigidez à fl exão EI Os valores numéricos dos coefi cientes indicados na Figura 106 são calcu lados considerando o módulo de elasticidade do material E 12x107 kNm2 a área A 12x102 m2 e o momento de inércia I 12x103 m4 da seção transversal das barras A Figura 1039 mostra o caso básico 2 da solução dessa estrutura As projeções nas direções dos eixos locais da barra inclinada do deslocamento vertical D2 1 resultam em uma componente axial igual a senθ e em uma componente transversal igual a cosθ Utilizando os coefi cientes de rigidez locais da barra inclinada determinamse as forças e os momen tos que atuam em suas extremidades para essa confi guração deformada imposta O coefi ciente de rigidez global K12 é obtido pela soma das projeções horizontais das forças axial e transversal no topo da barra inclinada sendo que a barra horizontal não contribui para esse coefi ciente não foi mobilizada axialmente O coefi ciente de rigidez global K22 é calculado pela soma das projeções verticais das forças axial e transversal da barra inclinada com a força transversal da barra horizontal O coefi ciente de rigidez global K32 é obtido pela soma com sinal dos momentos que atuam nas duas barras nas extremidades que se tocam Os valores fi nais desses três coefi cientes estão indicados na Figura 107 O caso básico 3 do exemplo da barra inclinada é mais simples pois a rotação D3 1 imposta provoca apenas confi gurações deformadas elementares não compostas nas duas barras Para obter os coefi cientes de rigidez globais desse caso basta projetar a contribuição da barra inclinada nas direções dos eixos globais e somála com a contribuição da barra horizontal Isso é mostrado na Figura 1040 Os valores fi nais desses coefi cientes são indicados na Figura 108 Bookconceitosindb 325 532010 084010 ELSEVIER 326 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos para o exemplo da barra inclina da já foi mostrado na Seção 102 assim como sua solução Com base nos valores obtidos para as desloca bilidades D1 D2 e D3 é possível determinar o diagrama de momentos fl etores fi nais da estrutura o que é feito pela superposição dos diagramas dos casos básicos indicada na Figura 1041 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 K21 K31 D1 1 x D1 1 θ 1 6EI52senθ EA5cosθ 12EI53senθ cosθ 35 senθ 45 6EI52senθ EA5cosθ 12EI53senθ EA6 EA6 K11 EA5cos2θ 12EI53sen2θ EA6 K21 EA5cosθsenθ 12EI53senθcosθ K31 6EI52senθ Figura 1038 Cálculo dos coefi cientes de rigidez do caso 1 da estrutura da Figura 103 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 1 θ 6EI52cosθ EA5senθ 12EI53cosθ senθ 45 cosθ 35 6EI52cosθ EA5senθ 12EI53cosθ K12 EA5senθcosθ 12EI53cosθsenθ K22 EA5sen2θ 12EI53cos2θ 12EI63 K32 6EI52cosθ 6EI62 K22 K12 K32 D2 1 12EI63 6EI62 12EI63 6EI62 x D2 Figura 1039 Cálculo dos coefi cientes de rigidez do caso 2 da estrutura da Figura 103 Bookconceitosindb 326 532010 084010 Capítulo 10 Método dos deslocamentos 327 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH 1 θ 6EI52 senθ 45 cosθ 35 K13 6EI52senθ K23 6EI52cosθ 6EI62 K33 4EI5 4EI6 4EI6 6EI62 6EI62 x D3 K13 K23 K33 D3 1 1 6EI52 2EI6 4EI5 2EI5 Figura 1040 Cálculo dos coefi cientes de rigidez do caso 3 da estrutura da Figura 103 Determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais 15 0 0 15 M0 kNm 0 0 M1 6EI52senθ 6EI52senθ para D1 1 M3 para D3 1 M2 para D2 1 211 53 M kNm M kNm 6EI52cosθ 6EI62 6EI62 6EI52cosθ 4EI6 2EI6 4EI5 2EI5 m 0 4504 10 3 1 D m 1 0480 10 3 2 D rad 0 7530 10 3 3 D 53 09 M M0 M1D1 M2D2 M3D3 Figura 1041 Diagrama de momentos fl etores fi nais da estrutura da Figura 103 Observase pelo exemplo desta seção que a solução de uma estrutura com barra inclinada é mais complexa do que a solução de uma estrutura só com barras horizontais e verticais No caso de barras inclinadas os coefi cientes de rigidez locais nas direções locais não podem ser somados diretamente para compor os coefi cientes de rigidez globais O procedimento adotado para determinar a contribui ção dos coefi cientes de rigidez locais de uma barra inclinada é dividido em duas etapas Primeiro uma deslocabilidade global do tipo deslocamento que é imposta é decomposta em uma componente axial e outra transversal em relação à barra inclinada Segundo os coefi cientes de rigidez locais gerados inde pendentemente para as componentes axial e transversal da deslocabilidade são projetados nas direções da deslocabilidade global da estrutura horizontal ou vertical Bookconceitosindb 327 532010 084010 ELSEVIER 328 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Esse procedimento pode ser implementado de forma genérica em um programa de computador para a análise de estruturas pelo método dos deslocamentos Isso será mostrado no Capítulo 13 como um dos procedimentos do método da rigidez direta uma versão generalizada do método dos deslocamentos Os exemplos mostrados neste capítulo salientam a característica mais marcante do método dos des locamentos a soma de contribuições de coefi cientes de rigidez locais de barras para compor um coefi ciente de rigidez global da estrutura Essa característica permite a concepção de algoritmos simples para a análise de estruturas Isso é explorado na implementação de programas de computador que em geral utilizam esse método O Capítulo 13 mostra o processo que é utilizado para a montagem da matriz de rigidez global em função das matrizes de rigidez locais das barras que compõem a estrutura Entretanto a resolução manual de uma estrutura pelo método é difi cultada pelo número excessivo de equações de equilíbrio geradas uma para cada deslocabilidade A presença de barras inclinadas tam bém torna a análise manual de estruturas muito trabalhosa Podese concluir que a solução manual de uma estrutura pelo método dos deslocamentos para uma estrutura genérica com muitas barras sendo algumas inclinadas é muito difícil de ser realizada No caso de treliças por terem sempre muitas barras inclinadas isso é mais evidente Por isso este capítulo não apresenta a aplicação do método para treliças planas Isso é deixado para o Capítulo 13 que formaliza o método da rigidez direta para quadros planos treliças planas e grelhas Realmente nos dias de hoje não se concebe mais analisar uma estrutura sem o auxílio de um pro grama de computador Entretanto algumas vezes é necessário analisar manualmente uma estrutura Isso é feito em geral para se adquirir sensibilidade sobre o comportamento da estrutura ou para entender a metodologia de análise do método dos deslocamentos Com esses objetivos o próximo capítulo conside rará uma série de simplifi cações que são adotadas para viabilizar a resolução manual de uma estrutura por esse método O próximo capítulo também mostrará a aplicação do método para grelhas Bookconceitosindb 328 532010 084010 1111 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades O método dos deslocamentos conforme apresentado no capítulo anterior tem uma metodologia de cál culo bem mais simples do que a metodologia do método das forças apresentada no Capítulo 8 Alguns aspectos podem ser salientados para caracterizar esse fato Por exemplo no método dos deslocamentos só existe uma opção para a escolha do sistema hipergeométrico estrutura cinematicamente determinada utilizada nos casos básicos enquanto no método das forças existem várias opções para a escolha do sis tema principal estrutura estaticamente determinada utilizada nos casos básicos Também pode ser ob servado que o cálculo dos valores dos coefi cientes de rigidez do sistema de equações fi nais de equilíbrio do método dos deslocamentos é muito mais simples soma direta de coefi cientes de rigidez de barras do que o cálculo dos coefi cientes de fl exibilidade do método das forças integrais de energia de deformação Esses dois fatores justifi cam o fato de a maioria dos programas de computador para análise de estruturas adotar o método dos deslocamentos em suas implementações Entretanto a aplicação desse método na forma apresentada no capítulo anterior para a resolução manual de uma estrutura é muito trabalhosa Isso se deve ao número excessivo de incógnitas desloca bilidades que resulta da solução mesmo para estruturas simples e à complexidade na consideração de barras inclinadas Na verdade a forma apresentada no capítulo anterior para o método dos deslocamentos é dirigida para uma solução por computador A formalização do método para uma implementação computacional será vista no Capítulo 13 no qual será apresentado o método da rigidez direta Este capítulo faz uma apresentação do método dos deslocamentos voltada para a resolução manual sem auxílio de computador procurando diminuir ao máximo o número de deslocabilidades Essa é a forma pela qual o método era apresentado em livros tradicionais de análise de estruturas reticuladas como o de Süssekind 19773 Para tanto são introduzidas simplifi cações no comportamento das barras com respeito às suas de formações isto é são adotadas restrições nas deformações das barras como por exemplo a hipótese de que as barras não se deformam axialmente Essa hipótese também é comumente adotada na resolução manual pelo método das forças quando se despreza a parcela de energia de deformação axial no cálculo dos coefi cientes de fl exibilidade e termos de carga Além disso este capítulo apresenta alguns macetes de cálculo como eliminação de trechos em ba lanço que também reduzem o número de incógnitas na solução pelo método dos deslocamentos sem introduzir nenhuma simplifi cação quanto ao comportamento das estruturas Bookconceitosindb 329 532010 084010 ELSEVIER 330 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Resumindo este capítulo apresenta o método dos deslocamentos com algumas simplifi cações que têm os seguintes objetivos reduzir o número de deslocabilidades da estrutura visando principalmente uma resolução manual caracterizar o comportamento de pórticos quadros com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações por fl exão das barras Embora a motivação inicial seja reduzir o número de deslocabilidades de uma estrutura o segundo objetivo é o mais importante na presente abordagem Conforme apresentado na Seção 511 os elementos estruturais de um pórtico construído com materiais e dimensões usuais têm defl exões provocadas por deformações axiais muito menores do que as defl exões transversais devidas a deformações por fl exão Portanto a consideração de barras sem deformação axial chamadas de barras inextensíveis é uma apro ximação razoável para o comportamento de um quadro A hipótese de barras inextensíveis possibilita o entendimento do conceito de contraventamento ou travejamento de pórticos Seção 512 que é muito importante no projeto de estruturas A consideração desse conceito na análise de pórticos planos pelo método dos deslocamentos é um dos principais objetivos deste capítulo Outro tipo de simplifi cação adotada é a consideração de algumas barras infi nitamente rígidas Nes se caso além de desprezar deformações axiais o modelo não considera deformações por fl exão dessas barras isto é as barras se mantêm retas na confi guração deformada da estrutura apresentando apenas movimentos de corpo rígido Essa hipótese é adotada em situações particulares como em uma análise simplifi cada de edifícios em que as vigas dos pavimentos são modeladas como barras rígidas e os pilares permanecem com deformações por fl exão 111 A ESSÊNCIA DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Para o entendimento completo da aplicação do método dos deslocamentos com restrições nas deforma ções das barras é interessante resgatar os principais conceitos do método que foram apresentados nos dois capítulos anteriores Começase por salientar a importância da defi nição do comportamento cinemático de uma barra A base da discretização do problema analíticoestrutural pelo método dos deslocamentos está na existên cia de soluções fundamentais para barras isoladas Isso é o que permite representar o comportamento cinemático contínuo de uma estrutura por parâmetros discretos as deslocabilidades As soluções fun damentais de barras isoladas baseiamse no fato de que o comportamento cinemático de uma barra defi ne seu comportamento mecânico Dito de outra maneira conhecendo a confi guração deformada de uma barra e a solicitação externa que atua em seu interior é sempre possível determinar os esforços internos na barra e as forças e momentos que devem atuar em suas extremidades para mantêla em equilíbrio isoladamente Observase que o ponto de partida para a solução dos casos básicos do método dos deslocamentos está no conhecimento da confi guração deformada de cada barra e do carregamento em seu interior As seções a seguir aprofundam esses conceitos Começase pela generalização da defi nição de des locabilidade 1111 Deslocabilidade como parâmetro genérico para defi nição de confi guração deformada Deslocabilidades são os parâmetros que defi nem a confi guração deformada de um modelo estrutural isto é a elástica de um modelo é defi nida completamente pelas deslocabilidades considerando todas as hipó teses adotadas para o comportamento cinemático do modelo No caso de estruturas reticuladas sem restri Bookconceitosindb 330 532010 084011 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 331 ções nas deformações de suas barras as deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações dos nós do modelo Nós são pontos notáveis de um modelo como no encontro de barras ou na extremidade de uma barra que não está conectada a outras barras Podese também inserir um novo nó simplesmente subdividindo uma barra Em algumas situações isso é feito por conveniência embora a criação do nó não modifi que os resultados do modelo Por exemplo criar um nó no interior de uma barra pode ser útil para aplicar uma força concentrada que atua no interior da barra ou para aplicar uma força distribuída que abrange parcialmente o vão da barra Isso não é obrigatório mas pode ser conveniente em uma implemen tação computacional ou para obter um traçado mais simples dos diagramas de esforços internos Quando se consideram no modelo estrutural restrições nas deformações das barras conforme será visto ao longo deste capítulo deixa de existir uma relação unívoca entre uma deslocabilidade e uma componente de deslocamento ou rotação nodal Por exemplo a hipótese de barras inextensíveis associa os deslocamentos axiais dos nós extremos de uma barra de tal maneira que esses deslocamentos fi cam representados por um único parâmetro Dessa forma é importante interpretar uma deslocabilidade como um parâmetro que defi ne a confi guração deformada de um modelo 1112 Soluções fundamentais de engastamento perfeito de barras isoladas Conforme abordado no Capítulo 9 parte das soluções fundamentais do método dos deslocamentos está nas reações de engastamento perfeito de barras isoladas Essas soluções também consideram uma even tual articulação em uma extremidade da barra ou nas duas Quando se analisa uma estrutura reticulada pelo método considerase o seguinte devem estar disponíveis de alguma maneira em geral tabeladas as reações de engastamento e a elástica de uma barra biengastada isolada com ou sem articulações provocadas por qualquer tipo de solicitação externa As solicitações externas consideradas no escopo deste livro são carregamentos forças e momentos aplicados variação de temperatura e recalques de apoio 1113 Soluções fundamentais de coefi cientes de rigidez de barras isoladas Outras soluções fundamentais do método dos deslocamentos Capítulo 9 são os coefi cientes de rigidez locais isto é de barras isoladas Esses coefi cientes correspondem ao conjunto de forças e momentos que devem atuar nas extremidades de uma barra com ou sem articulação para impor uma confi guração de formada elemen tar em que apenas uma deslocabilidade local da barra é não nula Em geral os coefi cien tes de rigidez locais estão disponíveis na forma de tabelas Em algumas situações a confi guração defor mada imposta a uma barra é resultado da superposição de duas ou mais deslocabilidades locais Podese generalizar o conceito de solução fundamental para coefi cientes de rigidez locais da seguinte maneira conhecendose a confi guração deformada de uma barra isolada isto é conhecendose os valores de suas deslocabilidades locais é sempre possível determinar as forças e momentos que atuan do em suas extremidades equilibram a barra na confi guração deformada imposta Evidentemente não faz sentido defi nir coefi ciente de rigidez quando se impõe uma deslocabilidade associada a um impedimento adotado para a deformação da barra Por exemplo não existe coefi ciente de rigidez axial para uma barra inextensível Dito de outra maneira o esforço axial em uma barra inextensí vel não pode ser defi nido com base na deformação axial pois a barra nunca tem deformação axial Entre Bookconceitosindb 331 532010 084011 ELSEVIER 332 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha tanto o esforço normal em uma barra inextensível não é nulo O que ocorre é que a barra não se deforma pela ação de um esforço normal atuante Em diversos exemplos ao longo deste capítulo será salientado que o esforço normal em uma barra inextensível não é conhecido a priori com base em uma confi guração deformada imposta para a estrutura Os esforços normais em barras inextensíveis são sempre obtidos como consequência do equilíbrio de barras adjacentes Analogamente os momentos fl etores em uma barra infi nitamente rígida não são nulos mas não podem ser deduzidos com base na confi guração deformada da barra pois ela não se deforma Como acontece com os esforços normais para barras inextensíveis os momentos fl etores e esforços cortantes em uma barra infi nitamente rígida são determinados em função dos esforços atuantes nas barras adjacentes para que haja equilíbrio do conjunto 1114 Confi gurações deformadas dos casos básicos A estratégia de análise de uma estrutura pelo método dos deslocamentos é somar uma série de confi gu rações deformadas básicas casos básicos compatíveis para na superposição impor o equilíbrio Uma confi guração deformada é dita compatível quando satisfaz as condições de compatibilidade com os vín culos externos e as condições de continuidade interna Cada caso básico isola um determinado efeito Caso 0 confi guração deformada corr espondente a uma situação de engastamento perfeito deslocabi lidades nulas para a solicitação externa aplicada Caso j confi guração deformada correspondente a apenas uma deslocabilidade j D isolada A confi guração deformada elementar de cada caso básico é imposta através de forças e momentos fi ctícios que atuam nas direções das deslocabilidades O equilíbrio fi nal da estrutura é garantido impon dose na superposição dos casos básicos valores nulos para essas forças e momentos fi ctícios No caso 0 as forças e momentos fi ctícios são os termos de carga βi0 que equilibram a estrutura na confi guração deformada de engastamento perfeito Na verdade no caso 0 apenas as barras deformá veis com solicitações externas atuantes em seu interior apresentam deformação Nos casos j as forças e momentos fi ctícios são os coefi cientes de rigidez globais ij K que equilibram a estrutura em uma confi guração deformada tal que a deslocabilidade Dj 1 e as demais são nulas O ponto de partida para a determinação dos termos de carga no caso 0 é a situação de engastamen to perfeito em que todas as deslocabilidades são mantidas fi xas A solução de engastamento global é ob tida pela composição das soluções fundamentais de engastamento de barras isoladas que sempre estão disponíveis isto é os termos de carga são determinados a partir de soluções de engastamento perfeito de barras isoladas para qualquer tipo de solicitação externa Para a determinação dos coefi cientes de rigidez globais dos casos j o ponto de partida é uma con fi guração deformada elementar conhecida de cada caso básico O conceito adotado para se determinarem os coefi cientes de rigidez globais de um caso básico é dada uma confi guração deformada de um modelo estrutural do qual se conhecem todas as des locabilidades é sempre possível determinar as forças e momentos que atuando nas direções das deslocabilidades equilibram o modelo na confi guração deformada imposta Os coefi cientes de rigidez globais de cada caso básico j são determinados a partir de coefi cientes de rigidez locais associados à confi guração deformada a que cada barra é submetida na imposição da confi guração deformada do caso básico Em geral a confi guração deformada de uma barra em um caso básico é elementar na medida em que apenas uma das deslocabilidades locais é mobilizada naquele caso Em algumas situações a confi guração deformada global do caso pode induzir a uma combinação de confi Bookconceitosindb 332 532010 084011 table Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 333 guracoes deformadas elementares em uma barra Quando isso ocorre utilizase uma superposicado de efeitos para compor o efeito combinado das configuragdes deformadas elementares da barra 112 CLASSIFICACAO DAS SIMPLIFICACOES ADOTADAS Podese classificar as simplificacdes adotadas para diminuir o numero de deslocabilidades na solucdao de uma estrutura reticulada em quatro tipos eliminacdéo de trechos em balanco consideracéo de barras inextensiveis eliminacao de deslocabilidades do tipo rotacao de nds quando todas as barras adjacentes sao articuladas no no consideragao de barras infinitamente rigidas A primeira simplificacado 6 na verdade um macete de calculo visto que trechos em balanco de por ticos podem ter seus esforcos internos determinados isostaticamente basta calcular os esforcos a partir das extremidades livres do balanco A Figura 111 mostra um exemplo dessa simplificagdo A estrutura é dividida em duas partes 0 tre cho em balanco e 0 restante O balanco é calculado como uma estrutura isostatica engastada no ponto de contato com o restante do portico O portico sem o balanco é calculado para uma forga e um momento obtidos pelo transporte da forca que atua no balanco para o ponto de contato A consequéncia da solucao do portico da Figura 111 com a eliminacao do trecho em balanco é evi dente Considerando que cada no sem restricao de apoio tem trés deslocabilidades a estrutura completa com balango tem 21 deslocabilidades A mesma estrutura sem o balanco tem apenas seis deslocabilidades E obvio que 0 calculo de deslocamentos nos pontos do balanco depende da resposta do restante da estrutura Entretanto esse cdlculo pode ser feito por superposicao de efeitos somandose aos desloca mentos do balanco considerado engastado o movimento de corpo rigido associado aos deslocamentos e a rotacao do ponto de contato do restante do portico com o balanco 4 M rw i M Pl 1 Figura 111 Separacdo do trecho em balanco de um portico plano 113 CONSIDERACAO DE BARRAS INEXTENSIVEIS Uma simplificagdéo comumente adotada na resolugdo manual de estruturas pelo método dos deslocamen tos é a de que as barras nao se deformam axialmente Essa simplificacao é chamada de hipotese de barras inextensiveis e foi apresentada na Secao 511 A consideragao de barras sem deformacao axial esta sempre associada a hipdtese de pequenos deslocamentos A combinacao dessas duas simplificagdes tem como 334 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER consequéncia uma reducao drastica no ntmero de deslocabilidades do tipo translagao nao afetando o numero de deslocabilidades do tipo rotacao Podese resumir a consequéncia da combinacao da hipotese de barras inextensiveis com a hipotese de pequenos deslocamentos da seguinte maneira os dois nds extremos de uma barra so podem se deslocar relativamente na direcao transversal ao eixo da barra Dito de outra forma 0 que se considera na hipotese de barras inextensiveis com pequenos deslocamentos é que a distancia na direcao do eixo indeformado entre os dois nos extremos de uma barra nao se altera quando esta se deforma transversalmente por flexao Devese observar que a solucdo de uma estrutura com base na hipotese de barras inextensiveis difere um pouco da solugdo sem a simplificagcao Portanto devese tomar cuidado com a adogao dessa hipotese que so se justifica para a resolucdo manual de porticos planos pequenos Além disso a configuracao deformada de uma barra inextensivel apresenta uma aparente inconsis téncia Isso foi analisado nas Secées 511 e 512 Observando por exemplo as Figuras 533 e 539 verifica se que para uma barra apresentar deflexdes transversais mantendo a distancia entre os nds extremos in variavel seria necessario que a barra se alongasse Essa consideracao s6 faz sentido se os deslocamentos forem realmente pequenos Para entender por que a consideracao de barras inextensiveis resulta na reducdo do numero de deslocabilidades do tipo translacao a estrutura da Figura 533 é analisada A Figura 112a indica as deslocabilidades dessa estrutura para o caso de barras extensiveis e a Figura 112b indica as deslocabili dades para o caso de barras inextensiveis No segundo caso os dois nds superiores estao conectados aos correspondentes nos da base por duas barras inextensiveis e verticais Portanto os dois nos superiores so podem se deslocar na diregdo perpendicular aos eixos das barras verticais isto é os nds se deslocam na direcao horizontal Concluise que D 0 e D 0 isto é duas deslocabilidades do tipo translacgao sao eliminadas Além disso como a distancia entre os dois nos superiores nao se altera esses nos tém des locamentos horizontais que sao iguais portanto D D Isso elimina mais uma deslocabilidade do tipo translacao pois o mesmo pardmetro de deslocabilidade horizontal esta associado aos dois nés superio res Portanto o numero de deslocabilidades é reduzido de seis para trés Barras extensiveis Barras inextensiveis Do Ds a oe Do0 Ds0 Dy D4 Dy Da D D3 De D3 De a b Figura 112 Reducdo do numero de deslocabilidades para o portico da Figura 533 Como foi dito a consideracao de barras inextensiveis nao afeta as deslocabilidades do tipo rotagao Essa hipotese apenas reduz o numero de deslocabilidades do tipo translacao Entretanto essa vantagem é acompanhada de uma desvantagem que é a complexidade na identi ficacgdo das deslocabilidades do tipo translacao A Secao 1132 resume as regras que sao utilizadas para determinar deslocabilidades do tipo translagdo em porticos planos com barras inextensiveis Com a simplificagdo de barras inextensiveis é feita uma renumeracao das deslocabilidades resul tantes E costume numerar primeiro as deslocabilidades do tipo rotacéo e depois as deslocabilidades do tipo translacao Para a estrutura da Figura 112b isso resulta na numeracao mostrada na Figura 113 A ao elke Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 335 ELSEVIER Figura 113a indica as deslocabilidades com a notacao adotada e a Figura 113b indica a interpretacao fisica das deslocabilidades Dy Do D3 D3 D3 C D3 D1 ID Dy Do a b Figura 113 Renumeracdo das deslocabilidades para o portico da Figura 112 No restante deste livro sera adotada a seguinte terminologia Siissekind 19773 deslocabilidades internas sao as deslocabilidades do tipo rotagao deslocabilidades externas sao as deslocabilidades do tipo translacao di namero total de deslocabilidades internas de numero total de deslocabilidades externas Na estrutura da Figura 113 D e D sao deslocabilidades internas e D 6 uma deslocabilidade exter na Portanto di 2 e de 1 1131 Exemplo de solucao de portico com barras inextensiveis Para exemplificar a solucgdo de um portico plano com barras inextensiveis pelo método dos deslocamen tos o exemplo adotado na Seao 1062 sera analisado novamente O objetivo é fazer uma comparacao com a solugdo com barras extensiveis do capitulo anterior A Figura 114 mostra 0 modelo estrutural desse exemplo 10 kNm 10K fl 7 6 m Figura 114 Exemplo de portico com barras inextensiveis e articulacdo na viga Assim como na Seco 1062 a articulacao do no superior direito é considerada na extremidade direi ta da barra horizontal viga A Secao 114 mostra outras possibilidades para considerar essa articulacao As trés barras inextensiveis tem a mesma secdo transversal com momento de inércia I e material com modulo de elasticidade E Na Secao 1062 foi adotada uma relacdo entre a 4rea e o momento de inércia da secao transversal dada por AI 2 m A hipotese de barras inextensiveis analoga a considerar um valor infinito para essa relacao A Figura 115 mostra as deslocabilidades e 0 correspondente sistema hipergeométrico SH da estru tura da Figura 114 Observase nessa figura que o SH apresenta apenas trés apoios ficticios ELSEVIER 336 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha D3 D1 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH D3 D2 3 1 2 Figura 115 Deslocabilidades e sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 114 Com respeito às deslocabilidades internas as chapas 1 e 2 do SH fi xam as rotações D1 e D2 dos nós superiores Observase que a chapa 2 impede a rotação da seção transversal do topo da coluna pois a articulação interna está sendo considerada modelada na extremidade direita da viga Vêse que a con sideração de barras inextensíveis não altera a adição de apoios para o impedimento de deslocabilidades internas na criação do SH adicionase uma chapa fi ctícia para cada rotação livre Por outro lado a adição de apoios no SH para impedir deslocabilidades externas requer uma análise adicional Como os nós superiores não têm deslocamentos verticais colunas inextensíveis não é neces sário adicionar apoios fi ctícios para impedir esses deslocamentos Além disso apenas um apoio o apoio 3 é necessário para fi xar o deslocamento horizontal D3 dos dois nós superiores Como a viga é inexten sível o apoio 3 adicionado no nó superior esquerdo também impede o deslocamento horizontal do nó superior direito Na verdade o apoio 3 pode ser colocado indistintamente em qualquer um dos dois nós superiores Nas duas situações o movimento horizontal dos nós superiores fi ca impedido Esse exemplo mostra que a criação do SH e a identifi cação das deslocabilidades de um pórtico com barras inextensíveis não é tão direta como no caso de barras extensíveis Com barras extensíveis cada nó superior do pórtico tem três deslocabilidades dois deslocamentos e uma rotação Portanto a criação do SH é simples basta adicionar três apoios fi ctícios por nó Figura 1029 Já no caso de barras inextensíveis a criação do SH do exemplo é feita em duas fases Na primeira são inseridas duas chapas para impedir as deslocabilidades internas Na segunda é feita uma análise para identifi car que é necessário inserir apenas um apoio fi ctício no SH para fi xar a deslocabilidade externa Essa análise adicional é o preço que se paga para diminuir o número de deslocabilidades quando se adota a hipótese de barras inextensíveis Isso pode ser relativamente complexo no caso geral principal mente quando existirem barras inclinadas A Seção 1132 estabelece regras gerais para a adição de apoios fi ctícios no SH para impedir deslocabilidades externas de pórticos planos com barras inextensíveis Uma vez obtido o SH da estrutura da Figura 114 a metodologia de cálculo do método dos des locamentos segue o procedimentopadrão de superposição de casos básicos Como a estrutura tem três deslocabilidades existem quatro casos básicos o caso 0 isola o efeito da solicitação externa no SH e os demais casos isolam individualmente os efeitos das deslocabilidades Isso é mostrado a seguir Bookconceitosindb 336 532010 084011 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 337 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 45 0 0 0 β20 0 0 β10 45 kNm β20 0 β30 10 kN Figura 116 Caso 0 da estrutura da Figura 114 A Figura 116 mostra que o caso 0 desse exemplo é semelhante ao do exemplo da Seção 1062 com barras extensíveis A principal diferença está na transmissão dos esforços cortantes das extremidades da viga para esforços normais nas colunas Como não foram adicionados apoios fi ctícios no SH para impedir os deslocamentos verticais dos nós superiores a viga vai buscar apoio na base da estrutura isto é os cor tantes que devem atuar nas extremidades da viga com os dois nós extremos engastados são fornecidos pelas reações verticais dos apoios originais da base da estrutura Vêse que as colunas por serem inexten síveis têm de transmitir via esforço axial as reações da base para os cortantes nas extremidades da viga Essa análise leva a concluir que as colunas inextensíveis têm esforços normais indefi nidos a priori isto é os esforços normais nas colunas são consequência dos esforços cortantes na viga De fato como a barra não tem deformação axial seu esforço axial pode assumir qualquer valor Visto de outra forma as colunas inextensíveis são requisitadas a transmitir via esforço normal os esforços cortantes das extremidades da viga em substituição aos apoios fi ctícios que não foram necessá rios para criar o SH Observase também que a determinação das reações nos apoios do SH tanto reais quanto fi ctícios é feita com base na confi guração deformada que é imposta No caso 0 mostrado na Figura 116 as reações verticais da base foram determinadas pelos valores dos esforços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga para que ela tenha uma confi guração deformada com todos os nós fi xos e a solicitação externa atuante Essa é uma característica do método dos deslocamentos É sempre assim conhecese a confi guração deformada e então determinamse os esforços e reações de apoio Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 0 K21 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K11 3EI6 4EI4 K21 0 K31 6EI42 D1 1 x D1 3EI62 3EI62 Figura 117 Caso 1 da estrutura da Figura 114 Bookconceitosindb 337 532010 084011 ELSEVIER 338 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O caso 1 desse exemplo é mostrado na Figura 117 Os coefi cientes de rigidez globais correspon dentes a esse caso também estão indicados na fi gura Como no caso 0 as reações verticais dos apoios da base são determinadas pelos esforços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga que são transmitidos via esforços normais pelas colunas Essa transmissão pode ser entendida com base na Figura 118 que mostra as barras do caso 1 isola das indicando os esforços atuantes nas extremidades Observase que o coefi ciente K11 é obtido pela soma dos momentos que devem atuar nas extremidades da viga e da coluna que sofrem a rotação D1 1 que é imposta O coefi ciente K21 é nulo pois a viga é articulada na direita não aparecendo um momento na chapa 2 O coefi ciente K31 corresponde ao esforço cortante no topo da coluna da esquerda E fi nalmente observa se que os esforços cortantes nas extremidades da viga correspondem aos esforços normais nas colunas x D1 D1 1 6EI42 2EI4 D1 1 3EI62 3EI62 3EI62 6EI42 4EI4 3EI6 3EI62 3EI62 3EI62 K11 3EI6 4EI4 K31 6EI42 Figura 118 Isolamento das barras no caso 1 da estrutura da Figura 114 É interessante comparar esse caso com o correspondente para barras extensíveis indicado na Figu ra 1033 Para barras extensíveis como existem apoios fi ctícios no SH que impedem os deslocamentos verticais dos nós superiores os cortantes nas extremidades da viga não são transmitidos para as colunas e morrem logo nos apoios adjacentes Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 0 K12 0 K22 0 4EI4 K32 6EI42 x D2 Figura 119 Caso 2 da estrutura da Figura 114 A Figura 119 indica o caso 2 desse exemplo com os correspondentes coefi cientes de rigidez glo bais A característica mais importante a ser observada nesse caso é que o coefi ciente de rigidez K32 corres ponde ao esforço cortante no topo da coluna da direita isto é o apoio 3 que fi ca na esquerda do pórtico Bookconceitosindb 338 532010 084012 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 339 está recebendo o esforço cortante da coluna do outro lado Esse esforço cortante está sendo transmitido via esforço normal pela viga como é mostrado na Figura 1110 x D2 2EI4 6EI42 6EI42 D2 1 6EI42 6EI42 4EI4 K22 4EI4 K32 6EI42 Figura 1110 Isolamento das barras no caso 2 da estrutura da Figura 114 Observe que a confi guração deformada do SH nesse caso é a mesma que no caso correspondente para barras extensíveis mostrado na Figura 1036 Entretanto naquele caso a viga não é solicitada a esforço nor mal pois existe um apoio adjacente ao nó superior direito que impede seu deslocamento horizontal Esse tipo de análise evidencia a complexidade adicional da resolução pelo método dos deslocamen tos para barras inextensíveis A grande vantagem desse método era justamente a simplicidade nos procedi mentos que podiam ser facilmente automatizados Por isso na implementação computacional do método considerase em geral barras sem nenhuma restrição nas deformações embora isso acarrete maior número de incógnitas A análise com a hipótese de barras inextensíveis como dito só se justifi ca na resolução manual Existe uma maneira alternativa para se determinar o valor do coefi ciente de rigidez K32 que é basea da no equilíbrio global do SH O ponto de partida dentro da metodologia do método dos deslocamentos é sempre a confi guração deformada imposta Com base na confi guração deformada do caso 2 na qual é imposta uma rotação D2 1 os esforços cortantes e momentos fl etores de todas as barras fi cam deter minados Por conseguinte as reações de apoio na base da estrutura também fi cam determinadas Nesse caso como mostra a Figura 119 a reação horizontal na coluna da esquerda é nula e a reação horizontal na coluna da direita é igual a 6EI42 da direita para a esquerda Finalmente o coefi ciente de rigidez K32 é determinado impondo que o somatório de todas as forças horizontais atuantes no SH seja nulo Essa maneira alternativa nem sempre é possível de ser aplicada Nesse caso é possível pois existe apenas uma incógnita com relação ao equilíbrio na direção horizontal Essa alternativa por equilíbrio global do SH será salientada em outros exemplos no restante do capítulo Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 6EI42 0 K33 12EI43 12EI43 12EI43 6EI42 D3 1 6EI42 6EI42 x D3 Figura 1111 Caso 3 da estrutura da Figura 114 Bookconceitosindb 339 532010 084012 ELSEVIER 340 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O último caso básico desse exemplo é mostrado na Figura 1111 O caso 3 mostra que a análise para barras inextensíveis pode ser bastante diferente da análise para barras extensíveis Com barras inexten síveis quando é imposto um deslocamento D3 1 no caso 3 os dois nós superiores sofrem o mesmo movimento horizontal pois a viga nunca pode ter seu comprimento alterado Isso signifi ca que um des locamento imposto em um nó pode acarretar um deslocamento de outro nó o que nunca acontece no caso de barras extensíveis Dessa forma as duas colunas são mobilizadas se deformam quando o deslocamento D3 1 é im posto Por outro lado a viga não se deforma pois as rotações nas extremidades estão fi xas tendo apenas um movimento de corpo rígido A Figura 1112 explica a determinação dos coefi cientes de rigidez globais desse caso Como se vê na fi gura os coefi cientes de rigidez K13 e K23 correspondem aos momentos fl etores que devem atuar no topo das colunas quando é imposto um deslocamento horizontal unitário no topo mantendo a rotação fi xa O coefi ciente de rigidez K33 corresponde aos esforços cortantes no topo das colunas sendo que o esforço cortante da coluna da direita é transmitido ao apoio fi ctício 3 do SH via esforço normal na viga Alternativamente o coefi ciente de rigidez K33 pode ser determinado pelo equilíbrio global do SH Para tanto as reações horizontais na base do pórtico fi cam determinadas a priori pela confi guração de formada das colunas iguais a 12EI43 da direita para a esquerda A imposição de somatório nulo das forças horizontais resulta em K33 24EI43 12EI43 6EI42 D3 1 12EI43 6EI42 D3 1 x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42 12EI43 12EI43 K13 6EI42 K33 12EI43 12EI43 K23 6EI42 Figura 1112 Isolamento das barras no caso 3 da estrutura da Figura 114 Equações de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais O sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos para esse exemplo é mostrado a seguir com a correspondente solução para as deslocabilidades em função de 1EI 0 0 0 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 30 20 10 D D D K K K K K K K K K β β β 0 0 0 3 8 3 8 3 8 3 8 1 0 3 8 0 2 3 10 0 45 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 15106 5666 78 67 3 2 1 Observase que os valores das deslocabilidades para a solução com barras inextensíveis são ligei ramente diferentes dos valores das deslocabilidades correspondentes na solução com barras extensíveis da Seção 1062 do Capítulo 10 A rotação D1 da presente solução corresponde à rotação D3 6875 Bookconceitosindb 340 532010 084012 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 341 EI do exemplo da Seção 1062 A rotação D2 anterior corresponde à rotação D6 5145EI para barras extensíveis Finalmente o deslocamento horizontal D3 da solução com barras inextensíveis tem um valor intermediário entre os valores das deslocabilidades horizontais D1 15655EI e D4 13725EI dos nós superiores do pórtico com barras extensíveis A confi guração deformada fi nal da estrutura e o diagrama de momentos fl etores obtido pela super posição dos diagramas dos casos básicos dada pela Equação 104 estão indicados na Figura 1113 Com parando essa fi gura com a Figura 1037 da solução com barras extensíveis observase que os momentos fl etores fi nais das duas soluções são próximos D3 D2 D1 D1 D3 111 0 111 228 M kNm 283 0 M kNm 111 111 228 283 Diagrama de momentos fletores traçado do lado das fibras tracionadas Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais Configuração deformada ampliada exageradamente Sentidos dos momentos fletores nas extremidades das barras Figura 1113 Confi guração deformada e diagrama de momentos fl etores da estrutura da Figura 114 Na comparação entre as soluções do pórtico analisado com e sem a consideração da hipótese de barras inextensíveis devese levar em conta que na Seção 1062 foi adotada uma relação entre a área e o momento de inércia da seção transversal dada por AI 2 m2 que é um valor pequeno em relação a valores utilizados em estruturas usuais Quanto maior for essa relação para uma barra mais próxima ela estará do comportamento inextensível pois essa hipótese corresponde a uma relação AI com valor infi nito Apesar disso as diferenças entre as duas soluções analisadas não são muito grandes Isso de monstra que a hipótese de barras inextensíveis fornece uma boa aproximação para a solução de pórticos feita manualmente 1132 Regras para determinação de deslocabilidades externas de pórticos planos com barras inextensíveis No exemplo resolvido na seção anterior foi visto que a determinação das deslocabilidades externas quando se adota a hipótese de barras inextensíveis requer análise adicional para identifi car as possíveis translações que os nós de um pórtico podem sofrer O exemplo estudado é relativamente simples pois só tem uma barra horizontal e duas verticais O objetivo desta seção é estabelecer regras para a identifi cação de deslocabilidades externas trans lações de um pórtico plano qualque r com barras inextensíveis incluindo barras inclinadas Bookconceitosindb 341 532010 084012 ELSEVIER 342 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Na verdade como será visto a maneira mais simples de se determinarem as deslocabilidades exter nas de um pórtico com barras inextensíveis é introduzindo os apoios fi ctícios para a criação do SH a cada apoio necessário para fi xar uma translação nodal é identifi cada uma deslocabilidade externa As regras apresentadas a seguir são chamadas de regras de triangulação Para entender essas regras é preciso considerar o conceito de contraventamento que foi apresentado na Seção 512 Podese resumir esse conceito da seguinte maneira um nó que estiver ligado a dois nós fi xos à translação por duas barras inex tensíveis não alinhadas formando um triângulo também fi ca fi xo à translação Com base no conceito de contraventamento de pórticos planos com barras inextensíveis são defi ni das duas regras para a adição de apoios fi ctícios do 1o gênero no sistema hipergeométrico com o objetivo de impedir deslocabilidades externas 1 Um nó que estiver ligado a dois nós fi xos à translação por duas barras inextensíveis não alinha das formando um triângulo também fi ca fi xo à translação Portanto não é necessário adicionar um apoio fi ctício a esse nó Caso o nó só esteja ligado a um nó fi xo por uma barra ou a dois nós fi xos por duas barras alinhadas devese adicionar um apoio para impedir o deslocamento na direção transversal ao eixo dessas barras 2 Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma triangulação se comporta como um corpo rígido Portanto devese procurar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo rígido do conjunto Alguns exemplos da aplicação dessas regras são apresentados a seguir para a determinação do SH de pórticos com barras inextensíveis As deslocabilidades não são indicadas cada uma é identifi cada por um apoio fi ctício necessário para fi xar os nós da estrutura Esses exemplos são analisados apenas com respeito às deslocabilidades externas Entretanto as cha pas fi ctícias que são adicionadas para impedir deslocabilidades internas também são indicadas Uma chapa fi ctícia é adicionada para cada nó que tem sua rotação livre Os apoios fi ctícios são numerados da seguinte maneira primeiro numeramse as chapas que impedem as deslocabilidades internas em segui da os apoios que impedem as deslocabilidades externas são numerados O primeiro exemplo corresponde a um pórtico com dois pavimentos analisado na Seção 512 Fi gura 538 Existem três situações pavimentos sem barras de contraventamento Figura 1114 primeiro pavimento com barra diagonal de contraventamento e segundo pavimento sem barra diagonal Figu ra 1115 e os dois pavimentos com barras de contraventamento Figura 1116 No pórtico da Figura 1114 pela regra 1 é necessário adicionar o apoio 5 para impedir o movimento horizontal do nó da esquerda do primeiro pavimento o nó que tem a chapa 3 Isso faz com que também pela regra 1 o nó da direita desse pavimento não tenha deslocamento isto é o nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está ligado por duas barras inextensíveis e não alinhadas a dois nós fi xos à translação o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita formando um triângulo Portanto não é necessário inserir mais apoios fi ctícios nesse pavimento Observe que o apoio 5 pode ser colocado tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o deslocamento horizontal desse pavimento os nós do pavimento não têm deslocamentos verticais porque as colunas são inextensíveis Por raciocínio análogo no segundo pavimento do pórtico da Figura 1114 é necessário adicionar apenas o apoio 6 para fi xar os nós desse pavimento Partese da condição de que os nós do primeiro pa vimento já estão fi xos Para essa estrutura contabilizando o número de chapas e apoios fi ctícios que foram inseridos para criar o SH o número de deslocabilidades internas é di 4 e o número de deslocabilidades externas é de 2 Bookconceitosindb 342 532010 084012 lhe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 343 ELSEVIER Tf 4 5PBI Figura 1114 SH de um portico com dois pavimentos sem barras diagonais Td SS Figura 1115 SH de um portico com dois pavimentos e uma diagonal no primeiro pavimento Sy Figura 1116 SH de um portico com dois pavimentos e uma diagonal em cada pavimento No portico com uma barra diagonal de contraventamento no primeiro pavimento mostrado na Fi gura 1115 ja existe um tridngulo formado pelos dois nds da base com 0 no que tem a chapa 3 Portanto pela regra 1 esse no ja esta fixo e nao é necessario adicionar um apoio para impedir a translacao horizon tal do primeiro pavimento Para o segundo pavimento o comportamento é igual ao da estrutura anterior e é necessario adicionar 0 apoio 5 para fixar os nos do pavimento Nesse caso di 4 e de 1 No ultimo portico dessa série 0 portico com duas barras de contraventamento mostrado na Figu ra 1116 observase que pela regra 1 de triangulacao nao é necessario inserir nenhum apoio para impe dir deslocabilidades externas di 4 e de 0 Esse portico por nao ter deslocabilidades do tipo transla cao é chamado de portico indeslocavel Siissekind 19773 E importante entender que deslocamentos horizontais em um portico sempre estao presentes mes mo com barras de contraventamento pois estas também se deformam axialmente Entretanto como a deformacao axial de uma barra usual provoca deslocamentos axiais muito menores do que os desloca mentos provocados por flexao a utilizacao de barras de contraventamento reduz substancialmente os deslocamentos horizontais do portico Outro exemplo de SH para portico com barras inextensiveis é mostrado na Figura 1117 Esse é um portico contraventado que também foi analisado na Secao 512 Figura 540 Foi observado que uma unica barra diagonal por pavimento é suficiente para contraventar o portico Observase na Figura 1117 que por triangulacdo o né com a chapa 7 esta fixo Também por triangulacdo todos os outros nds do pavimento ficam fixos Para o pavimento superior 0 mesmo raciocinio se aplica Partindo do fato de que os nos do primeiro pavimento estao fixos observase que a unica diagonal do segundo pavimento é suficiente para contraventar esse pavimento Nesse exemplo di 10 e de 0 344 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER i a Figura 1117 SH de um portico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento A sequéncia de porticos mostrados nas Figuras 1118 a 1121 analisa a criagdo do SH para uma estru tura com trés painéis no segundo pavimento mas sem as colunas centrais no primeiro pavimento Tt 1 9DS 6 8 10 11 Figura 1118 SH de um portico com trés painéis sem diagonais 10 11 Figura 1119 SH de um portico com trés painéis e uma diagonal no painel central 9 hb oS ENT 3 10 Figura 1120 SH de um portico com trés painéis e duas diagonais SN ees 9bB 6 8 Figura 1121 SH de um portico com trés painéis e trés diagonais O primeiro portico mostrado na Figura 1118 nado tem barras inclinadas nos painéis Nesse caso 0 apoio 9 adicionado no no da esquerda do primeiro pavimento é suficiente para impedir o movimento horizontal de todos os nés desse pavimento Entretanto somente os nds que tém as chapas 5 e 8 tém os deslocamentos verticais fixos pois nao existem colunas no pavimento inferior para restringir os desloca tlle Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 345 mentos verticais dos outros nos Portanto os apoios 10 e 11 sao inseridos para impedir esses deslocamen tos verticais Para o segundo pavimento como nao existem barras inclinadas é necessario inserir 0 apoio 12 para impedir o deslocamento horizontal do pavimento Os deslocamentos verticais de todos os nds do segundo pavimento sao nulos pois eles estao ligados por colunas inextensiveis aos nds do primeiro pavimento que estao todos fixos Portanto nenhum outro apoio é necessario para criar 0 SH O resultado em termos do numero de deslocabilidades é di 8 e de 4 O segundo portico dessa série Figura 1119 tem uma diagonal no painel central do segundo pavi mento Apos a insercao dos apoios 10 e 11 essa barra inclinada é suficiente para impedir as translagdes dos nos do segundo pavimento Isso ocorre porque por triangulacao 0 no que tem a chapa 2 fica fixo a translacao pois esta ligado aos nos fixos que tém as chapas 6 e 7 por duas barras nao alinhadas Os demais nos do segundo pavimento também ficam fixos por triangulacao resultando em di 8 e de 3 E interessante observar que ap6s a adicdo do apoio 10 0 apoio 11 do SH da Figura 1119 poderia ter sido colocado alternativamente fixando 0 movimento horizontal do n6 que tem a chapa 1 Nesse caso por triangulacdo os nds que tém as chapas 2 7 3 e 4 nesta ordem também ficariam fixos Isso mostra que quando se adota a hipotese de barras inextensiveis nao existe s6 um SH possivel embora as alter nativas sejam semelhantes Conforme observado anteriormente essa hipotese elimina em parte a vantagem que o método dos deslocamentos apresenta na facilidade de automatizacao de seus procedimentos A propria andlise que se faz nesta secao explorando as regras de triangulacdo mostra que nao é simples criar um algoritmo para identificar deslocabilidades externas em um portico com barras inextensiveis A Figura 1120 mostra o terceiro portico da sequéncia com diagonal nos dois painéis da esquerda Nesse caso apos a adicdo do apoio 10 0 né que tem a chapa 1 fica fixo por causa da barra inclinada no painel da esquerda Depois disso assim como para o SH da Figura 1119 os demais nés também ficam fixos resultando em di 8 e de 2 Finalmente na Figura 1121 vése o SH do portico com diagonal nos trés painéis Intuitivamente pela sequéncia de porticos estudada é de se imaginar que o numero de deslocabilidades externas desse portico seja de 1 Entretanto mesmo depois de adicionar 0 apoio 9 para prender o movimento horizon tal do primeiro pavimento nao é possivel encontrar outro no que se ligue a dois nos fixos por duas barras nao alinhadas A unica maneira de demonstrar que de 1 é lancando mao da regra 2 que até agora nao foi utilizada Observe que o conjunto de barras dos trés painéis forma uma triangulacao completa Esse conjunto pela regra 2 apresenta comportamento de corpo rigido Para prender os movimentos de corpo rigido desse conjunto considerando que os deslocamentos verticais dos nos do topo das colunas inexten siveis do primeiro pavimento sao nulos vése que so é necessario fixar o movimento horizontal em um ponto o que é feito pelo apoio 9 Alias esse apoio poderia ser colocado em qualquer no da triangulacao Dois exemplos adicionais sao considerados para exemplificar a criacdo de SH para porticos planos com barras inextensiveis Eles sao mostrados nas Figuras 1122 e 1123 sPH 4 4 6 PIS Figura 1122 SH de um portico com um apoio simples do 12 género 346 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER alPQ Y Figura 1123 Duas opcdes para SH de um portico com vigas inclinadas O portico da Figura 1122 é semelhante ao portico da Figura 1114 com excecao de que 0 suporte da direita é um apoio simples que so restringe o deslocamento vertical do n6é apoio do 1 género Nesse caso na criagdo do SH tanto a deslocabilidade interna quanto 0 deslocamento horizontal desse no tém de ser fixados chapa 5 e apoio 6 Por ultimo a Figura 1123 mostra um portico com duas vigas inclinadas mas sem uma barra hori zontal que una os nos no topo das colunas Pela regra 1 de triangulacao é preciso inserir os apoios 4e 5 para impedir os deslocamentos horizontais desses nds como indicado no centro da figura O né que tem achapa 1 fica fixo apos a insercao desses apoios Alternativamente conforme indicado a direita da figura podese fixar os movimentos do né coma chapa 1 com os apoios 4 horizontal e 5 vertical Isso fixa por triangulacao os dois outros nos 114 SIMPLIFICACAO PARA ARTICULACOES COMPLETAS Na Segao 1131 foi analisado um portico simples com barras inextensiveis e uma articulagao rétula interna Essa articulacao embora tenha sido considerada na extremidade direita da viga Figura 114 também articulou a secdo transversal no topo da coluna da direita De fato o momento fletor final no topo da coluna também é nulo Figura 1113 O resultado é é6bvio uma rétula na qual convergem duas barras articula as secdes transversais adjacentes de ambas as barras Mas fica a pergunta e se a secdo transversal no topo da coluna também tivesse sido modelada com uma rotula Pela observacao anterior isso seria uma redundancia visto que uma Unica rotula ja é sufi ciente para articular a secao transversal da extremidade direita da viga e a secdo transversal no topo da coluna Entretanto conforme sera mostrado nesta secao essa redundancia pode resultar na diminuicao de uma deslocabilidade interna na solugao do problema a rotagdo do né completamente articulado Isso configura um macete de calculo que nao modifica os resultados Para justificar esse macete de calculo a rétula da estrutura da Secao 1131 sera modelada de duas formas adicionais uma com a coluna articulada e outra com a viga e a coluna articuladas Portanto ao todo serao mostradas trés maneiras de se considerar a articulacao da estrutura da Figura 114 a viga articulada na extremidade direita e coluna direita nao articulada j4 mostrado na Secdo 1131 b coluna direita articulada no topo e viga nao articulada Secao 1141 c viga e coluna articuladas no no superior direito Segao 1142 1141 Pdrtico com articulagao no topo de uma coluna Como dito a mesma estrutura analisada na Seco 1131 sera analisada nesta secdo de outra maneira A diferenca é que nesta secao a articulagao interna é considerada no topo da coluna direita como indicado ttle Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 347 na Figura 1124 em vez de considerala na extremidade direita da viga A solucao b com a rotula no topo da coluna é semelhante a solucao a comentada na Secao 1131 Portanto apenas alguns pontos em que as duas soluc6es diferem entre si serdo salientados 10 kNm 10K fl 6 m Figura 1124 Exemplo de portico com barras inextensiveis e articulagdo em coluna As deslocabilidades da estrutura sao basicamente as mesmas da solucao a Figura 115 excetuan dose o fato de que a rotacao D agora corresponde a rotacao da secao transversal da extremidade direita da viga Como consequéncia a chapa 2 do SH da solucao b fica acima da rotula no topo da coluna da direita Isso pode ser visto nas figuras dos casos basicos dessa solucao mostrados a seguir O caso 0 da solucao b mostrado na Figura 1125 difere do caso 0 da solucao a Figura 116 nos momentos de engastamento da viga que agora é considerada sem articulacao Por conseguinte os termos de carga f e mostrados na Figura 1125 correspondem a solucao de viga biengastada O termo de carga f igual ao da solucao a O caso 1 da solugao b com articulacao na coluna Figura 1126 também difere do caso 1 da so lugdo a Figura 117 somente na viga que agora se comporta como uma barra biengastada Isso altera os coeficientes de rigidez K e K Este ultimo é nulo na solucao a e diferente de zero na solugao b Os casos 2 das solugdes com articulagado na viga Figura 119 e com articulacao na coluna Figu ra 1127 sdo bastante diferentes Na primeira solucao a rotacdo D 1 imposta no topo da coluna e na segunda a rotacdo D 1 imposta na segao transversal da extremidade direita da viga Com isso 0 coeficiente de rigidez K nado é mais nulo como na solucao a e o coeficiente de rigidez global K agora corresponde ao coeficiente de rigidez a rotacao da viga e nao da coluna como é na solugao a Outra diferenca marcante é 0 fato de a coluna da direita nao sofrer flexdo na solucao b nado apa recendo também esforco cortante nessa coluna Dessa forma 0 coeficiente de rigidez global K que esta associado ao esforco cortante no topo da coluna é nulo na solucao b Também se observa que nao existem reagées de apoio horizontais no caso 2 da Figura 1127 mos trando de forma alternativa que por equilibrio global de forcas na direcao horizontal 0 coeficiente K é igual a zero Finalmente 0 caso 3 da solugao b mostrado na Figura 1128 difere do caso 3 da solugao a Figura 1111 apenas no comportamento da coluna da direita Com isso 0 coeficiente de rigidez global K nulo na solucao b pois o topo da coluna é articulado O coeficiente de rigidez K também é dife rente pois o esforco cortante na coluna da direita agora corresponde ao de uma barra com engaste na base e articulacao no topo ELSEVIER 348 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 30 30 0 0 β20 0 0 β10 30 kNm β20 30 kNm β30 10 kN 3 1 2 Figura 1125 Caso 0 da estrutura da Figura 1124 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 K21 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 4EI6 K11 4EI6 4EI4 K21 2EI6 K31 6EI42 D1 1 2EI6 x D1 6EI62 6EI62 Figura 1126 Caso 1 da estrutura da Figura 1124 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 4EI6 2EI6 0 K12 2EI6 K22 4EI6 0 K32 0 x D2 6EI62 6EI62 Figura 1127 Caso 2 da estrutura da Figura 1124 Bookconceitosindb 348 532010 084013 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 349 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 0 0 K33 12EI43 3EI43 3EI43 3EI42 D3 1 3EI42 0 x D3 Figura 1128 Caso 3 da estrutura da Figura 1124 Equações de equilíbrio Com base nos casos básicos da solução b para o exemplo que está sendo analisado montase o correspondente sistema de equações de equilíbrio Isso está indicado a seguir juntamente com os valores obtidos para as deslocabilidades em função de 1EI 0 0 0 15 64 0 3 8 0 2 3 1 3 3 8 1 3 3 5 10 30 30 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 15106 7888 78 67 3 2 1 Notase que os valores obtidos para a rotação D1 e para o deslocamento horizontal D3 são os mesmos obtidos na solução a Seção 1131 Entretanto o valor obtido para a rotação D2 difere do valor obtido anteriormente Isso era esperado haja vista que essa rotação tem interpretações físicas diferentes nas duas soluções como indicado na Figura 1129 Essa fi gura mostra as confi gurações deformadas da solu ção a viga articulada e da solução b coluna articulada Configuração deformada viga articulada D3 D1 D1 D3 Configuração deformada coluna articulada D3 2 D a D1 D1 D3 2 D b Figura 1129 Confi gurações deformadas das estruturas das Figuras 114 e 1124 Observase na Figura 1129 que a rotação D2 da solução a é no sentido horário correspondendo ao valor negativo 2 D a 5666EI enquanto na solução b o sentido é antihorário compatível com o Bookconceitosindb 349 532010 084013 350 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER valor positivo D 7888EI Fica claro na figura que DS corresponde a rotacdo da seco transversal do topo da coluna quando a articulacdo pertence a viga e que D corresponde a rotacao na extremidade direita da viga para o caso de a articulacao pertencer a coluna Portanto os valores de D tinham mesmo que ser diferentes nas duas solucoes Apesar disso como nao podia deixar de ser os resultados finais para os esforcos internos e reacdes de apoio obtidos pela solucao b sto os mesmos da solucao a Por exemplo podese verificar que a su perposicao dos diagramas de momentos fletores M M MD MD MD da solucao b resulta no mesmo diagrama da solugao a mostrado na Figura 1113 1142 Pdrtico com articulagdo dupla na viga e na coluna Finalmente o portico analisado nas Secées 1131 e 1141 sera analisado nesta secdo considerando que tanto a viga quanto a coluna da direita contém uma rotula no no superior direito solucdo c Confor me mencionado anteriormente o objetivo desta andlise é justificar um macete de calculo que elimina a deslocabilidade interna de um no com articulagéo completa com todas as secées transversais adja centes rotuladas O modelo estrutural da solucao c mostrado na Figura 1130 onde a articulagao completa do no superior direito esta indicada As Figuras 1131 1132 1133 e 1134 mostram os casos 0 1 2 e 3 respectivamente 10 kNm 10K fl 7 6m Figura 1130 Exemplo de portico com barras inextensiveis e articulagdo dupla na viga e na coluna Quase todos os casos basicos da solucao c tém aspectos semelhantes aos da solucao a ou da solucao b Por exemplo 0 caso 0 mostrado na Figura 1131 tem os mesmos resultados do caso 0 da solucao a Figura 116 Salientase o fato de que tudo que se refere a deslocabilidade D na solugao c 6 nulo Dessa forma o termo de carga f igual a zero O coeficiente de rigidez K do caso 1 Figura 1132 que 6 semelhante ao caso 1 da solugao a Figura 117 também é nulo Analogamente no caso 3 Figura 1134 que é semelhante ao caso 3 da solucao b Figura 1128 0 coeficiente K 0 O unico caso basico da solucao c que nado tem semelhante nas outras solucées é 0 caso 2 mostra do na Figura 1133 Observase nesse caso que nao existe resisténcia do SH para a rotacdo D 1 que é imposta Portanto os coeficientes de rigidez desse caso sdo nulos assim como os momentos fletores ou qualquer outro esforco interno pois as barras nao tém deformacao Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 351 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 45 0 0 0 β20 0 β10 45 kNm β20 0 β30 10 kN 0 Figura 1131 Caso 0 da estrutura da Figura 1130 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 0 K21 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K11 3EI6 4EI4 K21 0 K31 6EI42 D1 1 x D1 0 3EI62 3EI62 Figura 1132 Caso 1 da estrutura da Figura 1130 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 0 K12 0 K22 0 K32 0 x D2 D2 1 0 0 Figura 1133 Caso 2 da estrutura da Figura 1130 Bookconceitosindb 351 532010 084014 ELSEVIER 352 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 0 K33 12EI43 3EI43 D3 1 x D3 3EI43 3EI42 3EI42 0 Figura 1134 Caso 3 da estrutura da Figura 1130 Equações de equilíbrio O sistema de equações de equilíbrio da solução c é indicado a seguir 0 0 0 15 64 0 3 8 0 0 0 3 8 0 2 3 10 0 45 3 2 1 D D D EI Observase que a matriz de rigidez global desse sistema de equações é singular pois tem a segunda linha e a segunda coluna nulas Isso quer dizer que esse sistema pelo menos na forma como está apresen tado não tem solução Na verdade isso é consistente com o fato de a articulação estar sendo considerada de forma redundante Entretanto se a segunda linha da equação for eliminada bem como a infl uência da deslocabilidade D2 eliminando a segunda coluna da matriz isso resulta em um sistema de equações que tem solução para D1 e D3 0 0 15 64 3 8 3 8 3 2 10 45 3 1 D D EI EI D EI D 15106 78 67 3 1 Notase que os valores de D1 e D3 são os mesmos obtidos nas soluções a e b Os momentos fl etores ou qualquer outro esforço interno ou reações de apoio também resultam nos mesmos valores obtidos nas outras soluções Também se observa que na solução c a superposição envolve apenas três casos M M0 M1D1 M3D3 Este é justamente o macete de cálculo simplesmente desconsiderase a deslocabilidade interna de um nó completamente articulado Essa é a terceira simplifi cação adotada quando se resolve manualmente uma estrutura pelo método dos deslocamentos Como visto na análise desta seção essa simplifi cação não modifi ca os resultados apenas deixa uma deslocabilidade interna indefi nida Quando se adota essa simplifi cação entretanto devese tomar alguns cuidados Por exemplo só se pode utilizar a simplifi cação quando realmente todas as barras que chegam no nó têm as seções transver sais adjacentes articuladas Por exemplo a Figura 1135 mostra um exemplo em que somente uma barra é articulada em um nó Figura 1135a e um exemplo correspondente em que todas as barras são articu ladas nesse nó Figura 1135b Os SHs dos dois casos também estão indicados na fi gura No primeiro Bookconceitosindb 352 532010 084014 lhe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 353 ELSEVIER caso a deslocabilidade interna do n6 com articulacao tem de ser considerada e no segundo caso essa deslocabilidade pode ser eliminada Li Li 6 P SH I SH 5Bb 4bo Figura 1135 Estrutura em que nado se pode desconsiderar a rotacdo do no da articulacdo a e estrutura em que a simplificagdo pode ser feita b Outro macete de calculo pode ser feito no caso de um apoio simples do 22 género apoio que fixa deslocamentos e libera a rotacao no qual converge apenas uma barra O truque consiste em interpre tar a liberacao da rotacao como uma articulagao da barra considerando 0 apoio como um engaste Isso é exemplificado na Figura 1136 Dessa forma eliminase a deslocabilidade interna do n6 do apoio 3PH Interpretagao SH O Figura 1136 Simplificacdo para o caso de apoio do 22 género no qual s6 converge uma barra Nos exemplos mostrados neste e no proximo capitulo essa interpretacao sera feita implicitamente sem que se desenhe 0 apoio como um engaste e a barra articulada na extremidade do apoio Entretanto a barra sera considerada dessa forma Essa simplificacao também deve ser usada com cuidado A Figura 1137 mostra um exemplo em que duas barras convergem para um no com um apoio do 22 género sem que exista uma articulagaéo Nesse caso 0 macete nao é possivel e a deslocabilidade interna do no do apoio deve ser considerada SH L Figura 1137 Situacdo em que nao é possivel adotar a simplificacdo para apoio do 22 género 1143 Regras para determinacdo de deslocabilidades internas Com base na simplificagaéo para articulagdo completa podese resumir da seguinte maneira os procedi mentos adotados em quadros planos para identificagao de deslocabilidades internas rotacdes nodais e adicao de chapas ficticias para prender rotac6es na criacao do sistema hipergeométrico 354 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 1 Umno com engaste nao tem deslocabilidade interna Portanto nao é necessaério adicionar uma chapa nesse no na criacao do SH 2 A rotacao de um no com articulagéo completa todas as barras adjacentes sao articuladas no no nao é considerada deslocabilidade interna A rotacdéo do néo fica indeterminada Portanto nao é necessario inserir uma chapa nesse no 3 Umn6 que tem um apoio do 2 género no qual s6 converge uma barra é considerado engastado sendo que a articulacao é considerada na extremidade correspondente da barra Portanto o nd nao tem rotacao isto é nao é necessario adicionar chapa no no 4 Em qualquer outra situagdo exceto no caso de uma barra adjacente infinitamente rigida Secao 115 o no tem deslocabilidade interna e é necessario inserir uma chapa na criacao do sistema hipergeométrico 1144 Exemplo de solucdo de portico com duas articulacdes Esta secdo mostra um exemplo de solucdo de uma estrutura com barras inextensiveis em que se adota a simplificacdo para nds completamente articulados O modelo estrutural e sua solucdo sao mostrados na Figura 1138 Todas as barras tém a mesma inércia a flexao EI onde E é o médulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da secAo transversal das barras Existe uma articulacdo interna e uma articulacao externa apoio do 22 género no qual converge apenas uma barra De acordo com a simplifi cacao que foi apresentada na secao anterior nos dois nds correspondentes a essas articulacgées as deslo cabilidades internas nao serao consideradas Na solucao mostrada na Figura 1138 devese observar que o termo de carga e os coeficientes de rigidez K e K tm duas alternativas para célculo podem ser determinados pela soma dos esforcos cor tantes que atuam nas colunas no nivel do pavimento ou podem ser calculados impondose o equilibrio global do SH na direcao horizontal 2 F 0 Por exemplo no caso 0 pela soma dos cortantes nas colunas no nivel do pavimento f 10438 1242 39 kN Pelo equilibrio global devese considerar todas as forcas horizontais atuantes inclu sive as resultantes das cargas distribuidas X F f 104 124 10458 1242 0 Isso resulta no mesmo valor para c Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH S 16 kNm EI constante 2 AN a 1 KN fo16kNm 16 SH E 2 foo 39 kN 2 Ibo N 2 0 4 2 0 0 i z oO Je 6 m 5 kNm 20 0 OAs 155 iN 20 kKNm Continua PN eth Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 355 ELSEVIER Continuagao Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 2EI4y i Sel WEIL IN 6EL42 Ky 9EI4 2EI4 Ki2 3EI 4 6E142 Ko 3EI4 Ky 18EI48 a Dat 4EI4 Dy I 0 6EIP4 ee Ef Ral x De yt UN 4 D1 ney OT Oy 0 mse ra v rT 77 3EI6 3EI4 10 43EI4 0 0 3EI42 iQ 3E12 3E149 7 3E142 SEI 43 Equacoes de equilibrio D 4220 Byy KyD KyD 0 16 EL 72 6 Di fol 1 153EI 153El Momentos Fletores Finais MMMDMD 6685 Noa 0 325 6 325 0 24 301 24 301 kNm 466 0 kKNm 466 AX Figura 1138 Solucdo de um portico com uma articulacdo interna e outra externa 1145 Exemplo de viga continua com carregamento variagao de temperatura e recalque de apoio Esta secdo analisa pelo método dos deslocamentos uma viga continua com dois vaos submetida a trés tipos de solicitacdes externas forgas aplicadas variagdo de temperatura e recalque de apoio Essa viga foi analisada pela analogia da viga conjugada na Figura 624 e pelo método das forcas na Secao 810 O objetivo deste exemplo é mostrar como diferentes tipos de solicitagdes externas podem ser considerados no caso basico 0 do método dos deslocamentos A viga é considerada inextensi vel e é mostrada na Figura 1139 As propriedades do material e da secao transversal também estado indicadas na figura 356 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 4 grass 0001400 000000 4 A A K 3m S 3m K35 m eat SH Figura 1139 Viga continua com forcas aplicadas variagdo de temperatura e recalque de apoio O sistema hipergeométrico do presente exemplo também é mostrado na Figura 1139 Nao sao in troduzidas chapas ficticias para prender as rotacdes dos dois nos nas extremidades da viga porque esta sendo adotado o macete que interpreta a viga articulada nas extremidades deixando as rotagdes dos nos extremos indeterminadas essa rotacdes nao sao consideradas deslocabilidades Observe que como a viga é inextensivel nado ha distincao entre apoio simples do 1 ou do 22 género Portanto na andlise da viga pelo método dos deslocamentos apenas uma deslocabilidade esta sendo considerada a rotacao da secao transversal no apoio interno A chapa ficticia 1 do SH prende essa deslocabilidade Devese salientar que a variacao de temperatura provoca uma deformagao axial na viga Mas como essa deformacao nao esta confinada apenas um apoio prende o deslocamento na direcao horizontal a variacao axial de temperatura nao provoca esforcos normais e é desprezada Caso 0 Solicitacées externas isoladas no SH Os efeitos dos trés tipos de solicitacdes externas sao considerados no termo de carga O termo de carga e o diagrama de momentos fletores M sao calculados considerando a contribuicao de cada solicita cdo externa em separado A Figura 1140 indica a contribuicdo das duas forcas concentradas aplicadas no meio de cada vao Nesse caso a parcela do termo de carga devida ao carregamento é nula P I yl kNm st zh tz be 3m Ste 3m St Sm SR Sm St Figura 1140 Caso 0 da viga continua da Figura 1139 para forcas aplicadas A contribuicdo da variacado de temperatura para 0 caso 0 é mostrada na Figura 1141 Os momentos de engastamento provocados pela variacao transversal de temperatura AT AT para as barras engasta das no centro e articuladas nas extremidades sao obtidos seguindo a metodologia indicada na Secao 935 A Figura 933 fornece os momentos de engastamento para as barras biengastadas e as Equacées 969 e 971 sao utilizadas para obter os momentos de engastamento considerando as barras com articulacdes nas extremidades Figuras 921 e 922 As expressGes para esses momentos de engastamento nas secdes transversais 4 esquerda M e a direita M do no central séo mostradas na Figura 1141 Observase que a parcela do termo de carga devida a variacado de temperatura também é nula AT 50 C AT 50 C DOODDDDY DODD DMO hk 2 Ayo nav mais OW FLw a a 3 kNm ATi0C oy AT 0C eft at te 6 m S 6 m Figura 1141 Caso 0 da viga continua da Figura 1139 para variagdo de temperatura lhe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 357 ELSEVIER O efeito do recalque de apoio no caso 0 é indicado na Figura 1142 Essa solicitagcao externa provo ca momentos e reacdes de engastamento no caso 0 como qualquer outra solicitacao Nesse caso como a chapa ficticia 1 fixa a rotacdo do no central da viga 0 recalque no apoio da direita so afeta a barra da direita Os momentos e forcas cortantes que devem atuar nas extremidades da barra para mantéla em equilibrio quando é imposto o recalque de apoio sao obtidos da Figura 915 coeficientes de rigidez locais para barra com articulagado na extremidade direita Bio 250 kNm mt Iso 0 LSnaBO oo A 003 m kNm 4 GEI8p P E1594 Ors 6 m 6 m 02190 Figura 1142 Caso 0 da viga continua da Figura 1139 para recalque de apoio Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH O caso basico 1 da solucao da viga continua é mostrado na Figura 1143 O coeficiente de rigidez global K e os momentos fletores sao determinados com base nas Figuras 913 e 915 pois as barras sao consideradas articuladas nas extremidades Ku GEI62 D1 Ky 105 kNmrad 7 3EI6 aBjgt 777 0 i LS O77 lL AP 7 E3EI6 t 3El 5x10 3El 3EI62y 3EL6 je m S1 6 m Figura 1143 Caso 1 da viga continua da Figura 1139 Equacao de equilibrio e determinacao do diagrama de momentos fletores finais De acordo com a metodologia do método dos deslocamentos o efeito final da chapa ficticia do SH é anulado na superposicao dos casos basicos 0 e 1 Isso resulta na equacao de equilibrio mostrada a seguir em que é indicada a contribuicdo das trés solicitagdes externas atuantes no termo de carga Bi KyD0 Bio Bin BKyD 0 25010D 0 A solucao dessa equacao fornece D 25x10 rad Finalmente a Figura 1144 indica a superposicdo dos diagramas de momentos fletores dos casos basicos e mostra o diagrama de momentos fletores finais Momentos Fletores Finais MMMD Mo My MfMD 450 pt 375 375 bke 3 m Sh 3 m Ste 3 m Ste mS Figura 1144 Diagrama de momentos fletores finais da viga continua da Figura 1139 358 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Observase que o diagrama de momentos fletores finais é igual 4 parcela do diagrama M para as forgas aplicadas Concluise que por coincidéncia os efeitos da variacdo de temperatura e do recalque de apoio se cancelam Isso também foi observado na andlise dessa viga pelo método das forcas Secao 810 115 CONSIDERACAO DE BARRAS INFINITAMENTE RIGIDAS O ultimo tipo de simplificagdo adotada para reduzir o numero de deslocabilidades na solugado de um portico pelo método dos deslocamentos é a consideracao de barras com rigidez infinita isto é barras que nao tém ne nhuma deformacao Essa consideragao nao é feita para todas as barras de um portico e sé faz sentido para ca sos especiais de andlises em que o comportamento global do portico é representado de maneira simplificada Por exemplo na andlise de um prédio para cargas laterais de vento por exemplo podese consi derar que o conjunto de lajes e vigas de um pavimento do prédio forma um diafragma rigido quando o portico se desloca lateralmente Em outras palavras em situac6es especiais o pavimento pode ser consi derado um elemento infinitamente rigido em comparacao com as colunas do prédio elementos estrutu rais que tém deformacoes por flexao Para entender como a consideracgao de pavimentos ou barras rigidas influencia a determinacao das deslocabilidades de um portico o exemplo da Figura 1145 é analisado Nesse portico as colunas sao inextensiveis com uma inércia a flexao EI constante A viga é considerada uma barra infinitamente rigi da A solicitagdo externa é uma forca horizontal P atuante no pavimento rigido Py 7 p Figura 1145 Portico com uma viga infinitamente rigida Considerando que as colunas do portico da Figura 1145 sao inextensiveis os nds do pavimento do portico s6 podem se deslocar na direcao horizontal Isso impede a rotagdo da viga como um corpo rigi do Portanto o unico movimento que a viga infinitamente rigida pode ter é o deslocamento horizontal mostrado na Figura 1146 KID KID SOT eTLeTeerosros I F 1 i Figura 1146 Configuracdo deformada da estrutura da Figura 1145 Vése na configuragdo deformada mostrada na Figura 1146 que os nds do pavimento nao sofrem rotacgGes pois a viga se desloca horizontalmente mantendose reta é uma barra que nao pode se deformar Dessa forma a estrutura s6 tem uma deslocabilidade que é o deslocamento horizontal D do pavimento Através dessa analise podese avaliar como a consideracao de barras infinitamente rigidas influen cia na reducdo do numero de deslocabilidades de um portico Se as barras do portico adotado como Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 359 exemplo não tivessem nenhuma restrição quanto às suas deformações o número total de deslocabili dades seria seis três em cada nó do pavimento Considerando as três barras sem deformação axial o número de deslocabilidades se reduz para três Figura 113 Finalmente com a consideração da viga infi nitamente rígida o número de deslocabilidades se reduz a um É evidente que tanto a hipótese de barras inextensíveis quanto a consideração de barra com rigidez infi nita modifi cam os resultados da solução de um pórtico quando comparadas com a solução sem essas simplifi cações As restrições nas deformações de barras devem ser consideradas tendo como objetivo uma análise simplifi cada em geral relacionada com a resolução manual de uma estrutura Outro ponto a ser considerado é que a identifi cação das deslocabilidades de pórticos com barras in fi nitamente rígidas só pode ser feita caso a caso Muitas vezes é necessário visualizar a priori através de esboços por exemplo a confi guração deformada de uma estrutura para identifi car suas deslocabilidades Seria muito difícil estabelecer regras gerais para a determinação de deslocabilidades de pórticos que têm pelo menos uma barra rígida como foi feito na Seção 1132 para pórticos apenas com barras inextensíveis Apesar disso para pórticos simples com poucas barras infi nitamente rígidas não é difícil identifi car as deslocabilidades Assim como para pórticos só com barras inextensíveis a maneira mais simples de se de terminarem as deslocabilidades de um pórtico com barras inextensíveis e rígidas é introduzindo os apoios fi ctícios para a criação do SH a cada apoio necessário para fi xar os nós da estrutura é identifi cada uma deslocabili dade Isso é considerado nos exemplos que contêm barras infi nitamente rígidas no restante deste capítulo A Seção 1153 resume algumas sugestões para criação do SH de pórticos com barras infi nitamente rígidas Voltando ao pórtico da Figura 1145 sua solução recai na superposição dos casos 0 e 1 mostrados nas Figuras 1147 e 1148 O SH desse exemplo é mostrado na Figura 1147 onde só é necessário adicionar um apoio fi ctício o apoio 1 para fi xar a estrutura podendose identifi car dessa forma a deslocabilidade D1 Como os nós superiores da estrutura não têm rotações não é necessário inserir chapas fi ctícias que fi xam deslocabilidades internas no SH Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Figura 1147 Sistema hipergeométrico SH e caso 0 da estrutura da Figura 1145 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 12EIh3 12EIh3 M1 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 12EIh3 6EIh2 12EIh3 6EIh2 12EIh3 6EIh2 K11 24EIh3 12EIh3 6EIh2 12EIh3 12EIh3 12EIh2b 6EIh2 6EIh2 x D1 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b D1 1 D1 1 Figura 1148 Caso 1 da estrutura da Figura 1145 Bookconceitosindb 359 532010 084016 ELSEVIER 360 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O fato de não existirem chapas fi ctícias no SH faz com que a determinação dos esforços nas barras no caso 1 Figura 1148 exija uma análise mais detalhada Como sempre no método dos deslocamentos o ponto de partida para a solução de cada caso básico é a confi guração deformada imposta Nesse caso é imposto um deslocamento D1 1 As colunas do pórtico são deformadas de tal maneira que há um des locamento transversal nos nós superiores sem que eles girem A viga se desloca como um corpo rígido Com base na confi guração deformada das colunas no caso 1 os esforços cortantes e momentos fl etores nas suas extremidades são conhecidos coefi cientes de rigidez de barra Figura 910 Por outro lado o fato de a viga não ter deformação por fl exão não acarreta a condição de momentos fl etores nulos Assim como para colunas inextensíveis os esforços normais não são conhecidos a priori os momentos fl e tores na viga rígida também não podem ser determinados antecipadamente De fato a viga rígida pode ter qualquer distribuição para momentos fl etores já que ela sempre se mantém reta Assim os momentos fl etores na viga rígida devem ser determinados para satisfazer o equilíbrio da estrutura Isso pode ser entendido com base no isolamento das barras no caso 1 como indicado na Figura 1148 A viga rígida tem de ter momentos nas suas extremidades de forma a estabelecer o equilíbrio de momentos nos nós superiores Assim os sentidos dos momentos fl etores que atuam na viga são sempre opostos aos sentidos dos momentos nas colunas Utilizando a convenção de sinais do método dos des locamentos os momentos fl etores do diagrama M1 têm sinais positivos nas colunas e negativos na viga resultando em um somatório de momentos nulos em cada nó Essa análise pode ser vista de outra maneira A presença da viga rígida fez com que não fosse ne cessário inserir chapas fi ctícias no SH para impedir deslocabilidades internas Então a viga rígida tem de fazer o papel das chapas fi ctícias Esse papel é feito equilibrando os momentos fl etores que atuam nas colunas para a confi guração deformada imposta O isolamento das barras na Figura 1148 também mostra que devem aparecer esforços cortantes nas extremidades da viga rígida que são transmitidos via esforço normal nas colunas para os apoios da base A determinação do coefi ciente de rigidez K11 pode ser feita de duas maneiras Ele pode ser obtido pela soma dos esforços cortantes no topo das colunas ou pelo equilíbrio global de forças horizontais De ambas as maneiras o valor resultante é K11 24EIh3 Equação de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais Com base na superposição dos casos básicos 0 e 1 é estabelecido o equilíbrio da estrutura origi nal Isso é feito obrigandose o efeito fi nal do apoio fi ctício na estrutura a ser igual a zero 0 1 11 10 D K β 0 24 1 3 D h EI P A solução dessa equação de equilíbrio resulta no valor da deslocabilidade da estrutura EI P h D 24 3 1 Finalmente o diagrama de momentos fl etores mostrado na Figura 1149 é obtido com base na rela ção M M0 M1D1 onde nesse exemplo M0 0 É interessante observar que os valores dos momentos fl etores independem da largura b do pórtico Esse resultado foi adiantado na Figura 535 Figura 1149 Diagrama de momentos fl etores da estrutura da Figura 1145 Bookconceitosindb 360 532010 084017 stata Nee nea lhe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 361 ELSEVIER 1151 Exemplo de solucao de pdrtico com dois pavimentos Esta secao analisa uma estrutura com dois pavimentos rigidos mostrada na Figura 1150 As colunas sao inextensiveis com inércia a flexao EI constante iow Oo E oO O 10 KN oO L 12m Figura 1150 Portico com dois pavimentos rigidos Diferentes condicdes de articulacao sao consideradas para as colunas A coluna do segundo pavi mento a esquerda é articulada no topo No mesmo pavimento a coluna da direita é articulada na base A coluna da esquerda no primeiro pavimento é considerada articulada na base apoio do 22 género A unica coluna que nao tem articulacao é a do primeiro pavimento a direita A solucdo dessa estrutura pelo método dos deslocamentos é mostrada na Figura 1151 As tnicas deslocabilidades da estrutura da Figura 1150 sao os deslocamentos horizontais D e D dos dois pavimentos Isso é identificado na Figura 1151 pelos apoios ficticios 1 e 2 do SH necessarios para fixar os deslocamentos horizontais dos pavimentos Como os nos da estrutura nao tém deslocamen tos verticais colunas inextensiveis e as vigas sao infinitamente rigidas nao sao necessarios mais apoios para prender a estrutura Portanto s6 existem duas deslocabilidades Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitagao externa isolada no SH 1oKN 9 0 Fre SUN yest 20 0 0 10 kN SH Bs O Sy Bio 10 KN kN 0 0 Lr L Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 0 2 0 3EI62 zs eerie 9 3EI62 70 3EI 6 Kx H ms HD21 Dy 1 qi 10 3El6 BEI6A 0 6E164 ul 2Q4 x D2 a DCIS LIES PE DEES ie x Dy 6 3EI62 0 3EI 62 6EI62 Kn 21616 Ky 6El t Kn 6E1 Kn 6EI63 0 am f 6E16 12EI63 R Aer 62 3E16 Continua 362 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Continuagao Equacées de equilibrio D 288 Bio KD K 2D 0 10 Er 21 6 D 0 1 EI ne ae pak De a of ae 6 vel ef fol 048 a EL Momentos Fletores Finais MMMDMD 0 30 30 Lo 4 301 54 eB 30 24 4 24 PG 48 54 P Cs kNm 48 kNm a Jn x Figura 1151 Solucdo da estrutura da Figura 1150 Na solugao do portico com dois pavimentos mostrada na Figura 1151 observase que no caso 0 os momentos fletores sao nulos pois as colunas nao tém deformac6es nem cargas em seu interior Nesse caso as forcas horizontais aplicadas sao transmitidas via esforco normal nas vigas rigidas diretamente para os apoios ficticios do SH As reag6es nos apoios ficticios sao os termos de carga e f Nos casos 1 e 2 o ponto de partida sao as deformacg6es conhecidas impostas para as colunas Essas deformac6es induzem momentos fletores e esforcos cortantes nas extremidades das colunas coefi cientes de rigidez de barras com e sem articulagéo Figuras 910 913 e 915 Os momentos fletores que aparecem nas extremidades das vigas rigidas sao tais que equilibram os momentos nas extremidades das colunas isto 6 os momentos fletores dos diagramas M e M que aparecem nas extremidades das vigas rigidas tém valores e sinais que fazem com que 0 somatorio dos momentos em cada no seja nulo Os coeficientes de rigidez dessa estrutura K K K e K correspondem aos esforos cortantes nas colunas em cada pavimento Por exemplo 0 coeficiente K calculado no caso 1 pela soma dos cortantes nas extremidades das colunas no primeiro pavimento K 3EI6 3EI6 3EI6 12EI6 21EI6 No mesmo caso 0 coeficiente K obtido pela soma dos cortantes no topo das colunas do segundo pavimento K 3EI6 3EI6 6EI6 Para essa estrutura nao é possivel determinar os coeficientes de rigidez impondose o equilibrio global da estrutura na direcao horizontal pois em cada caso existem duas incégnitas para uma equacao de equilibrio 1152 Exemplo de barra rigida com giro Nos dois exemplos anteriores as barras infinitamente rigidas sofrem um deslocamento horizontal sem rotacao Nesta secao é considerado um portico mostrado na Figura 1152 com uma barra rigida que sofre um giro Esse portico tem a coluna da esquerda considerada infinitamente rigida sendo que a viga e a outra coluna sao flexiveis com inércia a flexao igual a EI e inextensiveis poo eh Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 363 ELSEVIER h K b Figura 1152 Portico com uma coluna infinitamente rigida que sofre um giro Como a coluna rigida da estrutura da Figura 1152 esta articulada na base apoio do 22 género existe a possibilidade de a barra girar tendo como centro de rotacgao 0 ponto do apoio Isso é indicado na Figura 1153 que mostra a unica configuracao deformada possivel para esse portico Como o angulo en tre a coluna rigida e a viga nao pode se alterar ligacao rigida sem articulaao o giro da coluna induz uma rotacao igual na extremidade esquerda da viga Ie Di D1 C H 4 2ee2rrc r Y 0 He 6 h Y o y vA H a yA 0 Dih 4 LV Figura 1153 Configuracdo deformada da estrutura da Figura 1152 Considerando que os deslocamentos sao pequenos 0 Angulo pode ser aproximado por sua tan gente Portanto 0 Dh sendo h o comprimento da coluna rigida Observase que um deslocamento D da esquerda para a direita induz uma rotacao 6 no sentido horario A hipotese de pequenos deslocamentos também permite que se considere que o movimento do n6 no topo da coluna rigida nao tenha uma componente vertical Como a rotacao 9 do né esta associada a seu deslocamento horizontal D s6 existe um paradmetro que define o movimento do no Portanto esse no so tem uma deslocabilidade Podese adotar para esse pardmetro tanto o deslocamento horizontal D quanto a rotacao 6 A Figura 1154 indica quatro opdes para o sistema hipergeométrico desse portico sendo todos equivalentes Nao é necessario inserir uma chapa no no superior direito porque sendo uma articulacao completa sua rotacao é deixada indeterminada Portanto s6 existe uma deslocabilidade que pode ser D ou 0 dependendo do apoio ficticio que é inserido na criagaéo do SH i O O 1 1 q i SH SH y SH SH H H H a b aN c by d Figura 1154 OpcGes para sistema hipergeométrico SH da estrutura da Figura 1152 ELSEVIER 364 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O apoio fi ctício do 1o gênero dos SHs das Figuras 1154a e 1154b prende o deslocamento hori zontal D1 dos dois nós superiores a viga é inextensível A chapa fi ctícia das opções das Figuras 1154c e 1154d prende a rotação θ1 da barra infi nitamente rígida Como o deslocamento horizontal D1 e a ro tação θ1 estão associados tanto faz inserir um apoio do 1o gênero ou uma chapa ambos fi xam tanto D1 quanto θ1 Em geral preferese a inserção de um apoio do 1o gênero pois é mais intuitiva Na solução mostrada a seguir o deslocamento horizontal D1 é adotado como deslocabilidade e o SH selecionado é o da Figura 1154b Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH O caso 0 desse exemplo é mostrado na Figura 1155 Como as barras fl exíveis não estão deforma das pois não têm carga em seu interior não aparecem momentos fl etores nessas barras Portanto tam bém não aparece momento fl etor na coluna rígida A força horizontal P aplicada é transmitida via esforço normal na viga para o apoio 1 do SH resultando no termo de carga β10 P Figura 1155 Caso 0 da estrutura da Figura 1152 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH O caso 1 dessa solução mostrado na Figura 1156 merece atenção especial É imposta uma confi guração deformada tal que D1 1 Isso provoca uma rotação θ1 1h no sentido horário na extremidade esquerda da viga Com base nessa rotação imposta à viga todos os esforços atuantes nas barras do SH fi cam determinados no caso 1 Isso pode ser entendido analisando o equilíbrio das barras isoladas conforme mostrado na Figu ra 1156 A rotação θ1 imposta na extremidade esquerda da viga provoca um momento nessa extremida de igual a 3EIbθ1 no sentido horário No diagrama M1 isso corresponde ao valor negativo 3EIbh na seção transversal esquerda da viga Para que haja equilíbrio de momentos no nó superior esquerdo aparece um momento fl etor no topo da coluna rígida igual a 3EIbh Os esforços cortantes nas ex tremidades da viga e da coluna rígida são calculados de forma a equilibrar essas barras Portanto esses esforços são sempre iguais em valores e com sentidos opostos formando conjugados que equilibram os momentos nas barras Por outro lado o momento fl etor e os esforços cortantes nas extremidades da coluna fl exível da direita fi cam determinados pela condição de deslocamento horizontal unitário imposto no topo veja os coefi cientes de rigidez de barra com articulação mostrados na Figura 913 Para completar o equilíbrio das barras isoladas no caso 1 desse exemplo é necessário determinar os esforços normais em todas as barras Como indica a Figura 1156 os esforços normais são determina dos por último de forma a equilibrar os esforços cortantes nas barras A Figura 1156 também indica o valor do coefi ciente de rigidez K11 que corresponde à soma dos esforços cortantes no topo das colunas Bookconceitosindb 364 532010 084018 FN eth Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 365 ELSEVIER K Di1 3EIbh Se od NS 6 3EIbh 0 a NS 0 1 h RS 0 3EIh L b Ku 3EIbh2 3EIh3 3EIb01b 3EIb01h GEIb 0 EIb 0h oe b64b 3EIb0 3EIb61h rs A 3EIh3 3EIb01b EIb 3EIhs 2 Sg GEIb b1h 45 J ee1oa0 3ELb6b Figura 1156 Caso 1 da estrutura da Figura 1152 Equacao de equilibrio e determinacao do diagrama de momentos fletores finais Com base no termo de carga e no coeficiente de rigidez K podese determinar o valor da deslo cabilidade D 0 que é feito a partir da equacao de equilibrio mostrada a seguir 3EI bh Ph b KD0 PD0 D Prot Kur FS b TS SE fea Finalmente os momentos fletores finais na estrutura podem ser determinados utilizando a super posicado de efeitos M M MD onde M 0 O diagrama de momentos fletores finais mostrado na Figura 1157 P h2bh 0 P h2bh P h2bh 0 P h2 bth 0 P b hbh Pbhbh Figura 1157 Diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 1152 1153 Sugest6es para criagdo do SH de porticos com barras infinitamente rigidas Conforme observado anteriormente é dificil estabelecer regras gerais para identificar deslocabilidades de porticos com barras infinitamente rigidas Entretanto com base em observacoes feitas nas analises dos exemplos anteriores podese sugerir alguns procedimentos que auxiliam nessa identificacgao 1 A identificagaéo de deslocabilidades deve ser feita de forma indireta através da inserco dos apoios para a criacao do SH a cada apoio necessario para fixar os nos da estrutura é identificada uma deslocabilidade ELSEVIER 366 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 2 É importante entender que o giro de uma barra infi nitamente rígida está associado aos deslo camentos transversais em suas extremidades pois a barra sempre permanece reta isto é existe uma dependência entre a rotação da barra infi nitamente rígida e os deslocamentos transversais de seus nós 3 Quando uma barra infi nitamente rígida não tem rotação os seus dois nós não giram e não têm deslocamentos na direção transversal ao eixo da barra Nesse caso na criação do SH devese impedir a translação da barra infi nitamente rígida em sua direção axial Isso é feito através da inserção de um apoio do 1o gênero Como os nós da barra infi nitamente rígida não têm rotação não é necessário inserir chapas fi ctícias neles 4 Na criação do SH quando ocorre um giro de uma barra infi nitamente rígida tendo como centro de rotação um de seus nós é mais simples e intuitivo inserir um apoio do 1o gênero para impedir o deslocamento do outro nó na direção transversal ao eixo da barra Nesse caso não é necessário inserir chapas fi ctícias nos nós da barra infi nitamente rígida porque com a inserção do apoio do 1o gênero o giro da barra também é impedido 116 EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS Esta seção mostra a solução pelo método dos deslocamentos de uma série de exemplos de quadros pla nos com barras inextensíveis e barras infi nitamente rígidas Figuras 1158 a 1165 O objetivo de todas as soluções é determinar o diagrama de momentos fl etores dos pórticos A solução de cada exemplo é comentada sucintamente salientando aspectos que caracterizam sua análise Nos exemplos o parâmetro de rigidez à fl exão EI é constante para todas as barras com exceção das barras infi nitamente rígidas que são as barras indicadas com espessura mais grossa Em todas as soluções os termos de carga e os coefi cientes de rigidez globais estão indicados nas fi guras com seus sentidos positivos Dessa forma caso o sinal de um termo de carga ou coefi ciente de rigidez global seja negativo signifi ca que seu sentido é contrário ao que é mostrado na fi gura correspon dente O pórtico da Figura 1158 tem uma barra em balanço na esquerda e uma barra horizontal infi nita mente rígida na direita O deslocamento vertical e a rotação do nó na extremidade livre do balanço não são considerados deslocabilidades pois se adota a simplifi cação para balanços isostáticos descrita na Seção 112 A barra em balanço continua sendo desenhada no SH da Figura 1158 mas não existe rigidez associada a ela A única função dessa barra que é tratada no caso 0 é transferir as forças que atuam na extremidade livre do balanço para o nó da base do balanço ligado ao restante da estrutura A rotação desse nó é a única deslocabilidade interna considerada na análise Essa rotação está asso ciada à chapa fi ctícia 1 do SH Os outros dois nós superiores não têm rotação pois a barra infi nitamente rígida não sofre giro Dessa forma não é necessário inserir chapas fi ctícias nesses nós As rotações dos nós dos apoios do 2o gênero não são consideradas deslocabilidades pois se adota a simplifi cação resumi da na Seção 1143 que considera esses nós articulações completas Todos os nós do pavimento do pórtico têm o mesmo deslocamento horizontal Portanto na criação do SH apenas um apoio fi ctício do 1o gênero apoio 2 precisa ser inserido para impedir essa deslocabilidade Ou seja na análise desse pórtico são consideradas apenas duas deslocabilidades a rotação do nó no encontro do balanço com o restante da estrutura e o deslocamento horizontal de todos os nós do pavimento do pórtico Bookconceitosindb 366 532010 084019 tithe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 367 z 90 kNm Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH Q 90 kNm S 40 120 120 120 10 KN fl M oes Ee t g 3s ji i qi 0 4 90 KNm 4m V Ny 40 120 120 120 0 10 kN see er les mfe 4m s 4m 0 0 0 Bo 40 120 Sistema Hipergeométrico fro 80 kNm 0 kNm 5 SH foo 10 kN st 0 8 A ot oO WN Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Ku 3EI4 4EI4 2EI4 Ki 3EI4 6EI62 SEI42 Ku 7EI4 Kaz 3EI16 EEE SF 0 Kn 3EI42 0 ea SF 0 Kx 3EI48 Ky 3EI16 2EI42 12E163 3EI43 0 Di1 2EI4 4 m a Ky 43EI288 SIEI576 51EI576 ap Nacva Ke Smet 11 HEA 2FI4 09 Bly 6EI6 3E142 OX x D1 sh thy 5 Upkenaeny ERC 1 x D2 7 3EI4 0 0 O F i JI ia 43E142 6EI6 I43EI42 3E142 4 0 i Ms 10 3EI 431 4H ae 0 Ko 3EI48 tcEIe 0 E1 6EI6 t 51EI576 SEL 42 12E163 YY 6EI Equacoes de equilibrio D 6112 Bio Ky1D1 KD 0 80 2 74 316 Pi 0 1 EI Poy KyD1 Ky D 0 10 316 43288 D 0 D 14372 o EI 1506 Momentos Fletores Finais cee 266 MMMDMD 589 Que et 400 589 1506 1266 269 409 180 269 Q 3 189 240 269 oo x N 0 0 kKNm 9 240 3 Figura 1158 Exemplo 1 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos ELSEVIER 368 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha De especial na análise do pórtico da Figura 1158 temse no caso 0 o isolamento das três barras do pavimento A barra do balanço é isolada e sua solução isostática é indicada Como a reação momento de 40 kNm da barra isolada tem sentido horário o valor do momento fl etor na seção transversal da extremi dade direita dessa barra é negativo 40 kNm no diagrama M0 O termo de carga β10 é determinado por esse momento de engastamento na barra em balanço e pelo momento de engastamento na extremidade esquerda da barra central com força uniformemente distribuída aplicada O engastamento na extremida de direita dessa barra é fornecido pela barra infi nitamente rígida O momento fl etor na extremidade esquerda da barra infi nitamente rígida é defi nido para que haja equilíbrio de momentos no nó do encontro com a barra central com carregamento O isolamento das duas barras mostra o efeito de ação e reação dos momentos fl etores atuantes na extremidade comum dessas barras Vêse que o sentido do momento fl etor atuante na barra infi nitamente rígida é contrário ao sen tido do momento fl etor na barra central com carregamento No diagrama M0 os momentos fl etores nas seções transversais correspondentes das duas barras aparecem com sinais contrários Observase que as colunas do pórtico no caso 0 não se deformam Como essas barras são fl exíveis e não têm deformação elas também não apresentam momentos fl etores Por conseguinte as colunas não apresentam esforços cortantes Dessa forma as reações horizontais e a reação momento nos apoios inferiores só podem ser nulas se fossem diferentes de zero as colunas apresentariam esforços cortantes e momentos fl etores Assim impondo somatório nulo de forças na direção horizontal chegase ao valor do termo de carga β20 que equilibra a única força horizontal aplicada no caso 0 As reações de apoio verticais no caso 0 também são indicadas A determinação dessas reações não é necessária para a solução do diagrama de momentos fl etores do pórtico As reações são deter minadas para salientar o fato de que os esforços cortantes nas barras horizontais impostos pela con fi guração cinemática de engastamento do caso 0 têm de vir de algum lugar No caso esses esforços são fornecidos pelas reações de apoio verticais e são transmitidos via esforços normais nas colunas É interessante observar que os esforços cortantes nas extremidades da barra infi nitamente rígida fi cam determinados pelo equilíbrio da barra isolada em função do momento fl etor que deve atuar em sua extremidade esquerda Procedimentos análogos são adotados nas soluções dos casos 1 e 2 do pórtico da Figura 1158 Nesses casos a barra em balanço não infl uencia em nada é como se não existisse As confi gu rações deformadas impostas em cada caso induzem momentos fl etores nas barras fl exíveis ligadas à barra infi nitamente rígida O momento fl etor atuante nessa barra é sempre contrário aos momentos fl etores nas barras fl exíveis Os coefi cientes de rigidez globais K21 e K22 são determinados pelo equilí brio global na direção horizontal Nesse equilíbrio consideramse as reações horizontais nos apoios inferiores que são determinadas de acordo com a confi guração deformada imposta para as barras verticais em cada caso O segundo exemplo de solução de pórtico plano desta seção é mostrado na Figura 1159 Esse pórti co é o único exemplo analisado que não tem barra infi nitamente rígida Na solução da Figura 1159 estão indicadas três opções para o sistema hipergeométrico que são equivalentes A chapa fi ctícia 1 é inserida no único nó com deslocabilidade interna Os outros nós são engastados ou têm articulação completa A diferença entre as opções para o SH está no nó que é escolhido para inserir o apoio fi ctício 2 Entretanto o efeito é o mesmo pois nas três opções o apoio fi ctício prende o deslocamento vertical do triângulo formado pelas três barras internas As regras para impedimento de deslocabilidades externas mostradas na Seção 1132 podem ser utilizadas para defi nir qualquer uma das Bookconceitosindb 368 532010 084020 tithe Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 369 posicées do apoio ficticio 2 E interessante observar que o triangulo interno é uma forma rigida a menos das deformacoes por flexao de suas barras Como as barras horizontais laterais na esquerda e na direita sao inextensiveis nado existe movimento horizontal nem giro do triangulo Concluise que 0 apoio 2 é necessario para impedir o tnico movimento livre do tridngulo que é uma translacao vertical Por isso o apoio pode ser inserido em qualquer um de seus nos 24 kNm Sistema Hipergeométrico 2 WWI 3 opdes para o apoio 2 f 0 SH E SH O SH 2 O ke 4m S 8 m Se 4m 2 O Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH zeuan Kun 3EI83EI10 D1 n 17 WNIT Pio 192 kKNm 4EI4 XI om aK Ku 67EI40 4EL4 2EI4 0 eS 0 0 Orr Oo 0 377 MO 2E4 3EI8 3E110 6EL x Di 0 0 h kNm yr OL 0 om 9 t foo 192 KN 2Fy 0 foo 248 0 SF 0 Kn 6EI420 f Ky 3EI8 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Equagées de equilibrio 46437 Ky 3EI8 Ky 6EI42 D 9 Faerie in KyD Ky2D 0 EI D2 1p oS Py KD Ky2D3 0 p 136220 7 2 OL F6EI 2 EI oe Fore xD 921 4070 38 2e4 fh SEP XO a 192 38 1564 D o pe 4Lx JF y 0 Koo 3EI43 12EI43 3 3EI4 f Ky 15EI64 3536 Momentos Fletores Finais 0 178 71214 0 179 VA MMMDMD 3536 xX oD pMDiMyDy Xian A NRT 2929 2929 0 PN 0 0 O Figura 1159 Exemplo 2 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos ELSEVIER 370 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Na análise do pórtico da Figura 1159 devese salientar a determinação do termo de carga e dos coefi cientes de rigidez globais associados ao apoio fi ctício 2 do SH Considere como exemplo a de terminação do termo de carga β20 no caso 0 A tendência inicial seria calcular esse termo de carga em função apenas do esforço cortante na extremidade esquerda da barra com força uniformemente distribuída atuante Entretanto uma análise mais detalhada indica que o esforço cortante na outra ex tremidade dessa barra não pode ser transmitido para a barra horizontal na direita pois essa barra tem de ter esforço cortante nulo A barra na direita não tem deformação nesse caso Como consequência essa barra não tem momento fl etor ou esforço cortante Portanto o esforço cortante na extremidade direita da barra carregada é totalmente transmitido através de esforço normal na barra inclinada para o apoio 2 Essa análise que envolve determinação de esforço normal em barra inclinada é muito trabalhosa e em geral desnecessária Considerando que as reações de apoio verticais nos apoios externos reais são sempre conhecidas em função da condição cinemática imposta ponto de partida de cada caso básico a força vertical no apoio fi ctício 2 β20 K21 ou K22 pode ser determinada pelo equilíbrio global de forças na direção vertical Em geral quando se têm barras inclinadas esse procedimento de equilíbrio global é adotado Exemplos subsequentes nesta seção ilustram isso Em particular no caso 0 do exemplo da Figura 1159 as reações verticais nos apoios externos são nulas pois os esforços cortantes nas duas barras horizontais laterais são nulos Nos casos 1 e 2 os esforços cortantes nessas barras e as reações verticais são determinados com base na confi guração de formada imposta em cada caso Finalmente observase que a confi guração deformada do caso 2 é tal que os três nós do triân gulo interno têm o mesmo deslocamento D2 1 Não poderia ser de outra maneira haja vista que o triângulo se comporta como um corpo rígido para translações barras inextensíveis Como as três barras do triângulo são fl exíveis e não apresentam deformação elas não têm momento fl etor no caso 2 Somente as duas barras horizontais laterais têm deformação e momentos fl etores nesse caso O terceiro exemplo Figura 1160 também apresenta um triângulo interno sendo que uma das bar ras do triângulo é infi nitamente rígida A concepção do SH desse exemplo segue o mesmo raciocínio descrito para o exemplo anterior Apenas uma opção é indicada para o SH desse modelo embora o apoio fi ctício que impede o movimento vertical pudesse ser inserido em qualquer um dos nós do triângulo Bookconceitosindb 370 532010 084020 e Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 371 ELSEVIER Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH AN 0 Exo Of E Hy 7 y kN 6 kNm 6 kNm s kNm 6 kNm 4 o ohn ke 6 m St 6 m S 6 m 27 oto a7tHarg 18 270 kN Sistema Hipergeoméetrico Z f A z 180 km K RR 4 fo9kNm 9 Bo 675kN ft SH H t fio 27 18 9 H SE 0 foo 618 225 1800 O 2 Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 0 0 3El6 ote 0 FB 1m 3EL628 Dy 1 SEL6 2EI6 0 1B TOES see P SES Dat BP Na n6r62 6B6 p 0 OPRG Le 4 2EI6 a0 Oy 3EI6 3EI6 TA 6EI6 Ky EI6 A SF 0 Ku 6EI620 Ku 22EI15 6EI6 3EI63 f Kn El6 Ku 3EI10 3E16 4El6 Ko EI12 Kr6El6 12EI6 SE 0 Kx 3EI63 3EI63 12EI6 Equacoes de equilibrio D 12706 Big KyD K D 0 9 ny 42215 16 fDi fo 1 EL Pop KoD 1 Ko 2D 0 675 16 112 D 0 D 106412 2 EI Momentos Fletores Finais MMMDMD N 0 887 a ER 0 TQ ak Hy 88 i KNm i 1530 i 1157 i A fy Noe iH ay CPT 1530 Se nf M157 00 4365 746 O SET 27 365 TA8B Figura 1160 Exemplo 3 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos ELSEVIER 372 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A barra infi nitamente rígida do pórtico da Figura 1160 não tem rotação pois as duas barras hori zontais na esquerda são inextensíveis Por esse motivo o único nó do pórtico que tem deslocabilidade interna é o nó interno no qual convergem três barras fl exíveis duas barras horizontais e a barra incli nada Assim como no pórtico do exemplo anterior as forças verticais associadas ao apoio fi ctício 2 β20 K21 ou K22 são determinadas em cada caso básico pelo equilíbrio global na direção vertical Para tanto utilizamse as reações verticais nos apoios reais da estrutura que são determinadas com base nos esfor ços cortantes nas barras horizontais externas ao triângulo No caso 0 as reações de apoio correspondem a soluções de engastamento perfeito com ou sem articulação das barras carregadas Nesse caso a barra superior horizontal não tem carregamento e portanto não aparece reação vertical no apoio superior do 2o gênero Nos demais casos os esforços cortantes são conhecidos em função da confi guração deformada imposta resultando nas reações de apoio indicadas na fi gura O exemplo seguinte mostrado na Figura 1161 apresenta uma barra em balanço três barras forman do um triângulo e uma barra infi nitamente rígida A diferença em relação aos exemplos anteriores é que no caso básico 2 com a translação vertical do triângulo a barra infi nitamente rígida sofre um giro tendo como centro de rotação o nó superior na direita com apoio do 2o gênero A consequência disso é a exis tência no nó superior direito do triângulo de uma rotação θ2 no sentido horário associada ao giro da barra infi nitamente rígida Como a ligação entre as barras nesse nó é rígida as duas barras fl exíveis que convergem no nó sofrem uma rotação induzida pelo deslocamento vertical imposto Portanto aparecem momentos fl etores com sinal negativo rotação no sentido horário nas extremidades dessas duas bar ras Esses momentos fl etores são obtidos pelos coefi cientes de rigidez locais das duas barras em função da rotação θ2 O momento fl etor que aparece na extremidade esquerda da barra infi nitamente rígida é tal que o equilíbrio de momentos no nó seja satisfeito Isso resulta em um momento fl etor com sinal positivo e igual à soma em módulo dos valores dos momentos nas duas barras fl exíveis A reação vertical no apoio do 2o gênero é compatível com o momento fl etor na barra infi nitamente rígida O quinto exemplo Figura 1162 é bastante semelhante ao exemplo anterior Observe que uma rota ção global de 90º no sentido horário seguida de um espelhamento em relação ao eixo vertical e da retira da da barra em balanço transforma o pórtico do exemplo anterior no pórtico da Figura 1162 O presente exemplo tem por objetivo salientar a maneira como se determinam reações de apoio na solução de um caso básico do método dos deslocamentos para pórticos com barras inextensíveis O carregamento do pórtico da Figura 1162 é uma força uniformemente distribuída que atua na barra inclinada O termo de carga β20 corresponde à reação horizontal no apoio fi ctício 2 para manter o SH em equilíbrio no caso 0 isto é quando atua o carregamento e as deslocabilidades são mantidas com valores nulos A alternativa mais natural para calcular o termo de carga seria partir dos esforços cortantes nas extremidades da barra inclinada e transmitilos via esforço normal nas outras barras até chegar ao apoio fi ctício 2 Isso é possível de ser realizado mas exigiria decomposições das forças transmitidas em função das direções das barras o que é relativamente trabalhoso Um procedimento mais simples pode ser feito analisando o equilíbrio global do SH Observe que no caso 0 as duas barras verticais que che gam nos apoios reais não têm momento fl etor ou esforço cortante Por conseguinte as reações horizontais e a reação momento nos apoios inferiores são nulas Dessa forma podese determinar β20 simplesmente impondo o equilíbrio global na direção horizontal Para tanto considerase a componente horizontal com 48 kN de intensidade da resultante da força uniformemente distribuída aplicada Bookconceitosindb 372 532010 084021 elk Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 373 ELSEVIER 16 kNm aye sw WN Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitagao externa isolada no SH fF aN 16 ml Bio 16 kNm Pro 20kNm IY ANT 0 0 32 0 L 2 0 z 0 eo mate 3m She hs m kNm 0 b Bo83kN A oe 0 El Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D1 2EI3 4EI3 SEY 49613 0 Se p wn hye HO5EI 12 o NXVL a a oe og AS NGBYS of 2EI3 mes ty ARS oom eieeof 2EL eae lanial 1 x D1 Ki EI6 y 25EI1264 x Do Ky 29EI15 Os 4 0 fo e14y NXyo aa 3E LA OR yy fps SSS f Koo 17EI96 JAA 3EI42 oY Nay0 fr Kx EI6 4F 0 3EI 48 Equacoes de equilibrio D 32712 Bip KyD1 Ky2D 0 20 7 t2915 16 fDi Jo 1 EI Boy KyD KyyD 0 83 16 1796 D 0 D 49944 o EI Momentos Fletores Finais MM M Dy M Dy 516 sm 320 516 1327 2263 0 520K 8 m 936 1 isd 0 s 936 kNm 0 Figura 1161 Exemplo 4 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos 374 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 16 by Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH an 7 fro 50 kNm 7 ty 0 48 kN PH v 0 2h P DD i Sk y SH Bo48kN OH oo 1 fe iy i WV 3 XK i oe SF 0 0 Hy 0 I 4m J kNm Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D1 s5 z Kn 17E196 D2 1 11 9EFI15 11 3EL5 ft 4 Ki Ky EI6 Fy 0 Cats TF 0 OF I30 Lo ETE 4EI3 s3EI4 Kn EI6 49F73 e0 25EI12 4EI3 sg Fay KuP 0 0 Y x Dy a im Fir nn x Do 2EI3 2E13h 0 oH i recive asl HY of 0 of 36143 1 3E142 A AAS 25EI1204 2 iy ay By 25EI126 wwe 3EI4 2EI 34 2EI 34 25EI124 Equacoes de equilibrio D 53576 Bi t KD K1D 0 50 ET 2915 16 D 1 EI Py KyD Ky Dy 0 48 16 1796 Dz D 32148 EI Momentos Fletores Finais 179 8 L 9 MMMDMD 179 o kNm x SON 714 NOH O 131777603 9 FO i i i 0 603 i 2 L Figura 1162 Exemplo 5 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos O sexto exemplo desta secao ilustrado na Figura 1163 também tem uma barra infinitamente rigida que sofre um giro mas nao tem barras formando um tridngulo ee eM Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 375 ELSEVIER Ff Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitacdo externa isolada no SH E 3 12 kNm SH NS fio 36kNm 0 2 kNm 40 31 kN 40m a SN 5 12 kNn a dj H HY O A 40 KN ST 36 36 F436 Hy OTF OLS 9 x z st 364 Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 3EI 42 t WI Ku 13EI6 Kp El12 3 0 o Ky EI12 p 0 3EI4 Kx EI6 a OF x 0 KD 1 3EI4 x CEO 2EI6 3EI42 4EI6 ee epee tet fo Dy 1 Ne 3EI4 2EI6 Aatrat 4EI604 hE Gn Cea SLO 0 ole 3EI6 44 DEI48 eee ee eeee et 6 0 0 JA 0 3EI6 SEN EI64 7EI604 3EI4 3EI43 Equacoes de equilibrio D 9648 Biy KD Ky2D 0 36 136 112 Di Jo 1 EL Boq KyD Ky2Do 0 31 112 16 D 0 D 18117 EI Momentos Fletores Finais MMMDMpDo 0 at kNm 694 4121 s145 694 145 ae Ib 4 oA 267 094 so g Ht Hh HH Hh HH Ki 226 d 7 0 226 S Figura 1163 Exemplo 6 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos ELSEVIER 376 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O pórtico da Figura 1163 tem duas deslocabilidades sendo D1 a rotação do nó não articulado no qual convergem três barras fl exíveis e D2 o deslocamento horizontal da barra horizontal intermediária No SH correspondente é inserida a chapa fi ctícia 1 e o apoio fi ctício 2 Esse apoio não só impede o deslo camento horizontal do nó superior da barra infi nitamente rígida como também fi xa sua rotação Por esse motivo não é necessário inserir chapas fi ctícias nos dois nós dessa barra Em cada caso básico os momen tos fl etores que atuam nas extremidades da barra infi nitamente rígida são determinados em função dos momentos fl etores nas duas barras fl exíveis adjacentes para que haja equilíbrio de momentos nos nós É interessante observar no caso básico 2 da Figura 1163 que a imposição da deslocabilidade D2 1 com o consequente giro da barra infi nitamente rígida no sentido horário induz uma rotação de igual inten sidade e sentido à extremidade direita das duas barras horizontais Isso ocorre porque o ângulo entre essas barras e a barra infi nitamente rígida permanece reto na confi guração deformada As rotações induzidas no sentido horário nas barras horizontais provocam momentos fl etores negativos em suas extremidades Des sa forma aparecem momentos fl etores positivos nas extremidades da barra infi nitamente rígida A determinação do termo de carga β20 e dos coefi cientes de rigidez globais K21 e K22 da solução mostrada na Figura 1163 pode ser feita de duas maneiras Em geral isso ocorre para pórticos que não têm barra inclinada Uma possibilidade é determinar a força horizontal no apoio fi ctício 2 pela soma dos esforços cortantes das barras verticais no nível do apoio 2 Alternativamente podese determinar as rea ções horizontais nos apoios reais da estrutura e calcular a força no apoio 2 com base no equilíbrio global de forças na direção horizontal Isso é o que está indicado na fi gura De qualquer maneira os esforços cortantes nas barras verticais têm de ser determinados Para a barra infi nitamente rígida isso é feito iso lando a barra e utilizando os valores dos momentos fl etores atuantes nas extremidades O exemplo seguinte mostrado na Figura 1164 é bastante semelhante ao exemplo anterior Os dois pórticos têm uma barra vertical infi nitamente rígida que sofre rotação e não têm barra inclinada Entre tanto um detalhe no caso básico 2 da solução da Figura 1164 ainda não tinha aparecido Observe que a barra vertical inferior na esquerda tem uma confi guração deformada tal que duas deslocabilidades locais da barra são mobilizadas com a imposição da deslocabilidade global D2 1 Essa barra que é considerada articulada na extremidade inferior tem na extremidade superior um deslocamento horizontal unitário imposto para a direita e uma rotação θ2 14 imposta no sentido antihorário A confi guração defor mada da barra é resultado da superposição de duas confi gurações deformadas elementares uma para o deslocamento horizontal imposto e outra para a rotação imposta Os esforços cortantes e o momento fl etor nas extremidades da barra são obtidos por superposição dos esforços cortantes e dos momentos fl etores associados às confi gurações deformadas elementares O último exemplo desta seção é mostrado na Figura 1165 A análise desse pórtico apresenta algu mas difi culdades Uma difi culdade inicial que aparece na análise desse pórtico está na criação do SH Com respeito à deslocabilidade interna não há dúvida apenas o nó no nível intermediário na esquerda precisa de uma chapa fi ctícia O nó superior tem uma articulação completa e os outros nós pertencem à barra infi nitamente rígida A difi culdade está no posicionamento do apoio fi ctício para prender a deslo cabilidade externa do pórtico No SH adotado o apoio fi ctício 2 posicionado no nó indicado pela letra B impede a translação da barra horizontal prendendo também a rotação da barra infi nitamente rígida Uma vez fi xado o deslocamento horizontal do nó B o triângulo BCD formado pelas barras fl exíveis tem todos os movimentos de corpo rígido impedidos pois os deslocamentos horizontais dos nós B e D estão fi xos e o deslocamento vertical do nó C também está impedido pela barra infi nitamente rígida Portanto o apoio fi ctício 2 posicionado horizontalmente é sufi ciente para prender a deslocabilidade externa do pórtico Uma alternativa que está indicada na fi gura é posicionar verticalmente o apoio 2 no mesmo nó Com esse posicionamento do apoio o triângulo também tem os movimentos de corpo rígido impedidos Bookconceitosindb 376 532010 084022 ilk Capitulo 11 Método dos deslocamentos com redugao de deslocabilidades 377 ELSEVIER F Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH E PA wt 12 kNm H oq oN HO H i Pro 36kNm SH 1 h y 36 seNT TTT TI 1 9 Hy 7 2 7 1 E SH Bo 9kN Of 86 36 0 i 1 kNm ae A Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Equacoes d libri 2El 64 quacoes de equilibrio i i KyD KyD2 0 2EI 64 2E16 By KyD Ky Dy 0 H 0 36 53 1124 D fo EI DEL6 Ku 5EI3 9 1124 512 D 0 Is t2EU6 eS 11 D 5 439484 soy eS 1 at Ku 11E124 4Ei6 4E14 EI Kx 2EI 64 D 65032 6EI42 0 2FI4 EI f 618 2EI4 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 13EI 244 13EI 244 Do1 0 4EI6 3EI8 re 4EI6 5 Del Kop 5EI12 ioe CEU 2 3EI4 3EI42 6EI 4 x D2 SEI83 h 43EI8 Ki2 11EI24 i 0 6EI42 1 Q14 3EI84 6EI4 3EI84 12E148 Ko 13EI 244 3EI 84 12EI4 Ky2 2EI6 6EI4 0 Momentos Fletores Finais MM M Dy M Dy kNm TTT tease 4B 1394 383 151 54 vA Q 244 151 q 2 0 46 Figura 1164 Exemplo 7 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos 378 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Ibo qt Sistema Hipergeométrico Caso 0 Solicitacao externa isolada no SH QD me H2 Bio 12442 0 SH atebao O TT OC AF 0 kNm ys 2 Br 24 kN W HY AA IS QC Ly bo 16 16 16 Hy amass Ream istema Ipergeome T1CO OQ alternativa SH a 4 23 H 0 Ho 162838INDD 3 Ap 4D23 SS tz a ny i R Ip Do 4m AF 0 Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 1 1 PMc OSS Hs2 Ku 0 3Mc 0 3 H33 H82 Kin 0 1 HZ Iba 0 ao a 5EI6 Hp 25E1361C T0442 43 amis ESS ONS 6EI42Ar 2EI46 3EI3 2EI4 S Pe 1 0 xD ee 0 She taey a hoc Vo Cc wake 2E14 Ap 443 ely EL Sapp xD Kn 261 Ke ae Bo 12 SF 0 Ko 13EI12 0 D Ai 0 Ky 13EI12 2 er 2 H4 2EI 42 HA El 6EI4 Ap AEI4 2Fx 0 Ka 43EI36 Equacoes de equilibrio D 5668 Bip KyD KD 0 16 2 1312 Di Jo 1 EI Pog Ko1D1 KyD 0 24 1312 4336 D 0 D 25236 EI Momentos Fletores Finais 0 PO MMMDMD 0 kNm SLI 384 0 x er 27k i tN 8 27 384 fF 384 a i H H 0 L Figura 1165 Exemplo 8 de solucdo de portico plano pelo método dos deslocamentos Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 379 Outra difi culdade na solução do pórtico da Figura 1165 reside na determinação da força vertical no apoio fi ctício 2 β20 K21 ou K22 Essa força em cada caso básico pode ser determinada pelo equilíbrio global do SH na direção horizontal Para tanto é necessário calcular a reação horizontal no apoio inferior HA e a reação horizontal no apoio superior HD A reação horizontal HA é determinada utilizando o momento fl etor na extremidade superior da barra infi nitamente rígida Entretanto o cálculo da reação horizontal HD requer alguma imaginação A alternativa mais simples é impor o equilíbrio global de mo mentos em relação ao nó C pois tanto a força no apoio fi ctício 2 quanto a reação vertical no apoio inferior VA não provocam momento em relação a esse nó A última difi culdade do exemplo da Figura 1165 aparece no caso básico 2 Observe que a impo sição de D2 1 provoca um giro de corpo rígido do triângulo BCD como indicado na fi gura A rotação do triângulo ocorre porque o nó D só pode se deslocar na direção vertical e o nó C só pode se deslocar na direção horizontal Com a imposição do deslocamento horizontal unitário ao nó B como o triângulo tem uma forma rígida obrigatoriamente ocorre seu giro sendo que os nós B e D também apresentam um deslocamento vertical para baixo Levando em conta que o ângulo de rotação é pequeno podese consi derar que os deslocamentos dos nós B e C na direção horizontal são iguais e que os deslocamentos dos nós B e D na direção vertical também são iguais Com a hipótese de pequenos deslocamentos podese aproximar os ângulos de rotação às suas tangentes Isso resulta em um deslocamento horizontal D2 1 para os nós B e C e em um deslocamento vertical Δ2 43 para os nós B e D Observe que nesse caso a barra horizontal BC sofre além do deslocamento horizontal de corpo rígido um deslocamento vertical Δ2 43 imposto para baixo na extremidade esquerda e uma rotação θ2 14 imposta no sentido horário na extremidade direita Os momentos fl etores que aparecem nas extremidades dessa barra são obtidos por superposição de efeitos considerando os coefi cientes de rigidez locais associados ao deslocamento Δ2 e à rotação θ2 impostos isoladamente A análise dos exemplos desta seção ilustra o tipo de raciocínio que se deve ter em mente na solução de cada caso básico do método dos deslocamentos Considere como exemplo a solução para determi nação dos termos de carga caso básico 0 do pórtico da Figura 1162 com carregamento na barra inclinada Observase que é sempre possível determinar as forças e momentos que devem atuar nas direções das deslocabilidades globais para equilibrar o modelo estrutural na situação de engastamento perfeito deslocabilidades com valores nulos quando atua uma solicitação externa Outro raciocínio típico do método é exemplifi cado nas superposições de efeitos utilizadas nas so luções do caso básico 2 dos exemplos das Figuras 1164 e 1165 Conforme observado na Seção 1113 é sempre possível determinar as forças e momentos que devem atuar nas extremidades de uma barra para equilibrála quando se conhecem os valores de suas deslocabilidades locais isto é quando sua confi guração deformada é conhe cida O procedimento mais elaborado para a determinação dos termos de carga e coefi cientes de rigidez globais do exemplo da Figura 1165 ilustra outro raciocínio a ser incorporado quando se trabalha com o método dos deslocamentos Conforme observado na Seção 1114 é sempre possível determinar as forças e momentos que atuando nas direções das deslocabilidades globais equilibram um modelo estrutural cinematicamen te determinado isto é com todas as deslocabilidades com valores conhecidos Essas observações podem ser resumidas da seguinte maneira uma estrutura ou uma barra isolada cinematicamente determinada obrigatoriamente tem seu comportamento mecânico determinado Em outras pa lavras é sempre possível determinar os esforços externos e internos em uma estrutura ou em uma barra isolada quando se conhecem a solicitação externa atuante e a confi guração deformada Bookconceitosindb 379 532010 084023 380 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 117 APOIOS ELASTICOS A consideracao de que a restricdo de um apoio ao deslocamento ou a rotagdo completa nem sempre é uma aproximacao razoavel Em algumas situacdes um apoio pode impedir parcialmente o movimento ou o giro da secao transversal do ponto de contato do apoio com a estrutura Apoios que tém esse com portamento sao denominados apoios elasticos e se caracterizam por apresentar reacdes de apoio mesmo sofrendo deslocamento ou rotacao A Secao 213 discute o comportamento de apoios elasticos e mostra alguns dos tipos mais comuns Um apoio elastico é dito translacional quando impede parcialmente o deslocamento Nesse caso existe uma reacao forca na diregdo do deslocamento mas com sentido contrario Por outro lado quando a rota cao é restringida parcialmente 0 apoio elastico é rotacional A reagao momento no apoio elastico rotacio nal é contraria a rotacao sofrida pela secao transversal de contato Este livro considera apenas os apoios elasticos lineares Nesse tipo de apoio a relacao constitutiva entre a reacao forga e o deslocamento do apoio ou entre a reacdo momento e a rotacao é linear e é dada pelo coeficiente de rigidez do apoio A Tabela 22 indica a notacao adotada para os coeficientes de rigidez translacionais e rotacionais e mostra as relac6es constitutivas para alguns tipos de apoio A consideragao de apoios elasticos lineares em uma analise pelo método dos deslocamentos é muito simples Essencialmente 0 deslocamento ou rotagcéo com impedimento parcial é uma deslocabilidade do modelo estrutural O coeficiente de rigidez do apoio s6 é mobilizado no caso basico que impde uma configuracao deformada tal que o deslocamento ou rotacao restringido parcialmente assume um valor unitario Para exemplificar uma andlise desse tipo a viga inextensivel da Figura 1166 é considerada Essa viga tem um apoio elastico rotacional e um apoio elastico translacional Os valores e as unidades do coeficiente de rigidez rotacional K e do coeficiente de rigidez translacional K estado indicados na figura assim como 0 valor e a unidade do paradmetro de rigidez a flexao EI da viga q8kNm K 9200 IN KS EI 216x104 kNm2 KY 1700 kNm Le l6m i Figura 1166 Viga com apoio elastico rotacional e apoio elastico translacional O sistema hipergeométrico da viga da Figura 1166 esta indicado na Figura 1167 O desloca mento horizontal no no da direita nao é considerado deslocabilidade externa porque a viga é inex tensivel A rotacao na extremidade direita nado é considerada deslocabilidade interna porque a viga é considerada articulada nesse no sendo que a rotagao da secao transversal no no é deixada indeter minada Portanto duas deslocabilidades séo consideradas rotacdo da secéo transversal na extremi dade esquerda da viga e deslocamento vertical da extremidade direita O SH tem uma chapa ficticia que prende a rotacao na esquerda e um apoio ficticio que prende o deslocamento na direita Observe que os apoios ficticios do SH prendem a rotacao do apoio elastico rotacional e o deslocamento do apoio elastico translacional Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 381 1 2 SH Figura 1167 Sistema hipergeométrico da viga da Figura 1166 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH O caso 0 da presente solução é mostrado na Figura 1168 Nesse caso os apoios elásticos não cau sam nenhum efeito pois estão isolados pelos apoios fi ctícios do SH Os termos de carga correspondem às reações de engastamento da viga que é considerada articulada no nó da direita O diagrama M0 está indicado pelos valores dos momentos fl etores nas extremidades da viga l 6 m q 8 kNm β10 ql28 β10 36 kNm β20 18 kN β20 3ql8 M0 36 0 5ql8 kNm Figura 1168 Caso 0 da viga da Figura 1166 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH A Figura 1169 indica o caso 1 da solução da viga com apoios elásticos A rotação unitária D1 1 imposta ao SH provoca uma rotação no apoio elástico e na seção transversal na extremidade esquerda da viga O momento necessário para dar um giro unitário no apoio elástico rotacional é igual ao coe fi ciente de rigidez Kθ Dessa forma o coefi ciente de rigidez global K11 é obtido pela soma de Kθ com o coefi ciente de rigidez à rotação da viga 3EIl O coefi ciente de rigidez global K21 é a força que deve atuar no apoio fi ctício 2 para equilibrar o SH na confi guração deformada imposta no caso 1 Essa força tem seu sentido para baixo resultando em um sinal negativo para K21 Como o apoio 2 impede o deslocamento vertical do nó na direita o apoio elástico translacional não é mobilizado nesse caso Na fi gura os valores dos momentos fl etores do diagrama M1 estão indicados nas extremidades da viga l 6 m K11 3EIl Kθ K11 20000 kNmrad K21 1800 kNrad K21 3EIl2 K21 EI 216x104 kNm2 x D1 D1 1 K11 M1 10800 0 3EIl 3EIl2 Kθ 9200 kNmrad Figura 1169 Caso 1 da viga da Figura 1166 Bookconceitosindb 381 532010 084024 ELSEVIER 382 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH O caso 2 mostrado na Figura 1170 impõe um deslocamento vertical unitário D2 1 que mobiliza o apoio elástico translacional A força necessária para impor esse deslocamento no apoio elástico é igual a seu coefi ciente de rigidez Ky Dessa maneira o coefi ciente de rigidez global K22 é obtido pela soma de Ky com a força necessária para deformar a viga 3EIl3 A chapa fi ctícia 1 que prende a rotação D1 nesse caso isola o apoio elástico rotacional na esquerda do efeito da confi guração deformada imposta Portan to somente o coefi ciente de rigidez local da viga 3EIl2 infl uencia o coefi ciente de rigidez global K12 Os momentos fl etores do diagrama M2 são mostrados na fi gura l 6 m K22 3EIl3 Ky K12 1800 kNmm K22 2000 kNm K12 3EIl2 x D2 D2 1 M2 0 3EIl2 3EIl3 1800 EI 216x104 kNm2 Ky 1700 kNm K22 K12 Figura 1170 Caso 2 da viga da Figura 1166 Equação de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fl etores fi nais A fi nalização da análise da viga com apoios elásticos segue o procedimentopadrão do método dos deslocamentos O sistema de equações de equilíbrio e a solução para D1 e D2 são mostrados a seguir 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 D K D K D K D K β β 0 0 2000 1800 1800 20000 18 36 2 1 D D m 11556 10 D rad 2 840 10 3 2 3 D1 A confi guração deformada e o diagrama de momentos fl etores fi nais são mostrados na Figura 1171 Esse exemplo embora simples ilustra todos os procedimentos para consideração de apoios elásticos lineares na análise de vigas e pórticos planos pelo método dos deslocamentos M kNm l 6 m 261 0 Momentos Fletores Finais 2 2 1 1 0 D M D M M M Configuração deformada amplificação de 40 vezes D2 D1 Figura 1171 Diagrama de momentos fl etores da viga da Figura 1166 Com base no exemplo apresentado nesta seção podese resumir da seguinte maneira a infl uência de um apoio elástico linear no sistema de equações de equilíbrio fi nal do método dos deslocamentos um Bookconceitosindb 382 532010 084024 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 383 apoio elástico linear translacional ou rotacional que restringe parcialmente a deslocabilidade Di é consi derado adicionandose seu coefi ciente de rigidez ao coefi ciente de rigidez global Kii 118 SOLUÇÃO DE GRELHA PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS A aplicação do método dos deslocamentos a grelhas segue a mesma metodologia descrita para pórticos planos neste capítulo e no capítulo anterior Com relação às simplifi cações adotadas para reduzir o nú mero de deslocabilidades a consideração de barras inextensíveis não tem efeito algum uma vez que por hipótese as barras de grelha não têm comportamento axial As outras simplifi cações podem ser adotadas Cada nó de grelha tem em potencial se não tiver restrições de apoio três deslocabilidades um deslocamento vertical transversal ao plano da grelha e duas componentes de rotação em torno dos dois eixos no plano da grelha Vêse que cada nó tem duas deslocabilidades internas Portanto na criação do sistema hipergeométrico para uma grelha é preciso inserir duas chapas fi ctícias e um apoio simples fi ctício por nó sem restrição de apoio Esta seção mostra a análise de uma grelha Figura 1172 que explora a simplifi cação de eliminação de deslocabilidades internas de nós com apoios simples em extremidade solta de barra sem barra adja cente Nesse caso as duas rotações do nó fi cam indeterminadas não são consideradas deslocabilidades No exemplo existem dois nós nessa situação e dois nós engastados Portanto somente os dois nós inter nos da estrutura têm deslocabilidades internas Como todos os nós têm apoios que restringem o desloca mento vertical a grelha tem ao todo quatro deslocabilidades internas A Figura 1172 também indica os valores da rigidez à fl exão EI e da rigidez à torção GJt que são as mesmas para todas as barras da grelha GJt 56000 kNm2 EI 30000 kNm2 X Y Z Figura 1172 Grelha com quatro deslocabilidades internas O sistema hipergeométrico e as deslocabilidades da grelha da Figura 1172 estão indicados na Figu ra 1173 As deslocabilidades D1 e D2 são rotações em torno do eixo global X e as deslocabilidades D3 e D4 são rotações em torno do eixo global Y As deslocabilidades são indicadas por setas duplas com traços na base na direção do eixo em torno do qual se dá a rotação Os sentidos das setas mostrados na fi gura defi nem os sentidos positivos das deslocabilidades As setas são perpendiculares às correspondentes chapas fi ctícias 1 2 3 ou 4 do SH 1 2 3 4 D1 D2 D3 D4 SH Figura 1173 Sistema hipergeométrico e deslocabilidades da grelha da Figura 1172 Os cinco casos básicos da solução da grelha pelo método dos deslocamentos são descritos a seguir Figuras 1174 a 1178 Em cada caso os momentos fl etores e torçores são indicados nas extremidades de cada barra Um momento fl etor em uma barra tem a direção de rotação em torno de um eixo do pla Bookconceitosindb 383 532010 084024 ELSEVIER 384 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha no perpendicular à barra Um momento torçor tem a direção de rotação em torno do eixo da barra A convenção de sinais adotada é tal que um momento é positivo quando atuando sobre uma extremidade de barra tem o mesmo sentido da correspondente deslocabilidade imposta com valor unitário O sinal é negativo quando o sentido do momento é contrário ao sentido da deslocabilidade Os momentos fl etores e torçores são determinados em função da condição cinemática confi guração deformada imposta em cada caso básico No caso 0 as chapas fi ctícias mantêm as deslocabilidades fi xas e aparecem momentos fl etores de engastamento perfeito nas barras com carregamento Como todas as cargas são aplicadas nos eixos das barras no caso 0 os momentos torçores são nulos Os termos de carga da solução que estão indicados na Figura 1174 correspondem aos momentos de engastamento nas chapas fi ctícias do SH Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH 1 2 3 4 1 2 3 4 M0 kNm kNm T0 0 150 150 80 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β10 150 kNm β20 150 kNm β40 80 kNm β30 0 Figura 1174 Caso 0 da grelha da Figura 1172 Nos demais casos básicos são impostas confi gurações deformadas em que somente uma deslocabi lidade é diferente de zero e unitária Os momentos fl etores e torçores em cada barra dependem da direção da deslocabilidade imposta em cada caso básico Por exemplo no caso 1 as duas barras da frente na esquerda sofrem uma fl exão e a barra que vai para trás na esquerda sofre uma torção Os momentos fl e tores em cada barra são determinados com base nos coefi cientes de rigidez locais mostrados nas Figuras 910 913 e 915 dependendo da condição de articulação nas extremidades da barra Os momentos torço res em cada barra são obtidos pelo parâmetro fundamental de rigidez à torção dado pela Equação 954 As barras da frente na esquerda e na direita por serem articuladas nas extremidades não apresentam rigidez à torção Os coefi cientes de rigidez globais de cada caso básico estão indicados nas Figuras 1175 a 1178 Cada coefi ciente de rigidez global é obtido pela soma dos correspondentes coefi cientes de rigidez locais de fl exão ou de torção das barras mobilizadas pela deslocabilidade imposta no caso básico Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH 1 2 3 4 1 2 3 4 M1 T1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x D1 10 3EI D1 1 0 0 15 2EI 15 4EI D1 1 8 GJt 8 GJt 8 15 4 10 3 11 GJt EI EI K 15 2 21 EI K K31 0 K41 0 Figura 1175 Caso 1 da grelha da Figura 1172 Bookconceitosindb 384 532010 084024 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 385 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 1 2 3 4 1 2 3 4 M2 T2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x D2 10 3EI D2 1 0 0 15 2EI 15 4EI D2 1 8 GJt 8 GJt 8 10 3 15 4 22 GJt EI EI K 15 2 12 EI K K32 0 K42 0 Figura 1176 Caso 2 da grelha da Figura 1172 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH 1 2 3 4 1 2 3 4 M3 T3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x D3 D3 1 0 0 8 2EI 8 4EI D3 1 15 GJt 15 GJt 15 8 4 33 GJt EI K 15 43 GJt K K13 0 0 0 0 K23 0 Figura 1177 Caso 3 da grelha da Figura 1172 Caso 4 Deslocabilidade D4 isolada no SH 1 2 3 4 1 2 3 4 M4 T4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x D4 D4 1 0 0 8 2EI 8 4EI D4 1 15 GJt 15 GJt 15 8 4 44 GJt EI K 15 34 GJt K K14 0 0 0 0 K24 0 Figura 1178 Caso 4 da grelha da Figura 1172 Equação de equilíbrio e diagramas de momentos fl etores e momentos torçores fi nais Para fi nalizar a análise da grelha é necessário resolver o sistema de equações de equilíbrio mostrado a seguir que resulta da imposição de efeitos fi nais nulos nas chapas fi ctícias do SH Bookconceitosindb 385 532010 084025 ELSEVIER 386 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 0 0 0 0 4 44 3 43 2 42 1 41 40 4 34 3 33 2 32 1 31 30 4 24 3 23 2 22 1 21 20 4 14 3 13 2 12 1 11 10 D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K D K β β β β 0 0 0 0 562003 112003 0 0 112003 562003 0 0 0 0 24000 4000 0 0 4000 24000 80 0 150 150 4 3 2 1 D D D D A solução desse sistema de equações fornece os valores das rotações das deslocabilidades da estrutura rad 4 450 10 rad 0 886 10 rad 7 500 10 rad 500 10 7 3 4 3 3 3 2 3 1 D D D D Finalmente os diagramas de momentos fl etores e momentos torçores da grelha são mostrados na Figura 1179 Esses diagramas são obtidos utilizando as superposições dos diagramas dos casos básicos indicadas na fi gura kNm M kNm T 0 1200 1200 0 0 0 0 0 675 675 525 525 525 525 133 133 133 133 665 1134 1200 1200 0 0 675 675 525 525 133 133 133 665 1134 225 160 Momentos Fletores Finais 4 4 3 3 2 2 1 1 0 D M D M D M D M M M Momentos Torçores Finais 4 4 3 3 2 2 1 1 0 D T D T D T D T T T kNm M kNm T Diagramas indicados na convenção do Método dos Deslocamentos Diagramas indicados na convenção usual Figura 1179 Diagramas de momentos fl etores e torçores da grelha da Figura 1172 É interessante notar que a análise da grelha desta seção é facilitada pelo fato de os ângulos entre suas barras serem retos Isso faz com que as confi gurações deformadas impostas em cada caso básico provoquem apenas fl exão ou apenas torção em uma dada barra Observe que esse fato faz com que o comportamento da grelha com respeito às direções das rotações seja desacoplado as deslocabilidades D1 e D2 não se relacionam com as deslocabilidades D3 e D4 Isso é identifi cado pelos coefi cientes de rigidez globais nulos do sistema de equações de equilíbrio Na verdade esse sistema é constituído de dois siste mas de duas equações a duas incógnitas completamente independentes Se uma barra não forma um ângulo reto com uma chapa fi ctícia que é sempre perpendicular a um dos eixos globais X ou Y a rotação imposta pela chapa tem de ser decomposta na barra em uma componente de fl exão e outra de torção Além disso para calcular os coefi cientes de rigidez globais os coefi cientes de rigidez locais que têm as direções dos eixos locais das barras têm de ser projetados para as direções das deslocabilidades globais Bookconceitosindb 386 532010 084025 Capítulo 11 Método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades 387 A complexidade associada a barras inclinadas em grelhas é análoga à complexidade de análise de quadros planos com barras extensíveis e inclinadas conforme foi observado na Seção 1063 Nesses ca sos não faz sentido analisar manualmente a estrutura pelo método dos deslocamentos A alternativa é realizar a análise utilizando um programa de computador O Capítulo 13 apresentará uma formalização do método que é direcionada para uma implementação computacional 119 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Este capítulo fi naliza nesta seção com uma série de exercícios propostos para a análise de pórticos planos pelo método dos deslocamentos A solução desses exercícios deve explorar ao máximo as técnicas para redução do número de deslocabilidades das estruturas que foram apresentadas neste capítulo Todas as barras das estruturas dos exercícios são inextensíveis Algumas barras indicadas pela espessura mais grossa são infi nitamente rígidas As barras que são fl exíveis têm o mesmo valor para a rigidez à fl exão EI Figura 1180 Exercício proposto 1 Figura 1181 Exercício proposto 2 Figura 1182 Exercício proposto 3 Figura 1183 Exercício proposto 4 Figura 1184 Exercício proposto 5 Figura 1185 Exercício proposto 6 Bookconceitosindb 387 532010 084026 ELSEVIER 388 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 1186 Exercício proposto 7 Figura 1187 Exercício proposto 8 Figura 1188 Exercício proposto 9 Figura 1189 Exercício proposto 10 Figura 1190 Exercício proposto 11 Figura 1191 Exercício proposto 12 Figura 1192 Exercício proposto 13 Figura 1193 Exercício proposto 14 Figura 1194 Exercício proposto 15 Figura 1195 Exercício proposto 16 Bookconceitosindb 388 532010 084026 1212 12 P rocesso de Cross O processo de Cross ou método da distribuição de momentos White et al 1976 é um método rela tivamente simples para o cálculo de momentos fl etores em vigas contínuas pórticos planos grelhas e até em pórticos espaciais Esse processo é baseado no método dos deslocamentos e só se emprega para estruturas sem deslocabilidades externas do tipo translação isto é ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação Apesar dessa limitação o método criado por Hardy Cross na década de 1930 Analysis of Continuous Frames by Distributing FixedEnd Moments Transactions ASCE Paper n 1793 vl 96 1936 ainda é utilizado para o cálculo de estruturas O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas com alto grau de hiperestaticidade A aplicação prática do processo de Cross diminuiu muito pois atualmente se usam programas de computador para a análise de estruturas que costumam utilizar o método dos desloca mentos embora alguns utilizem o processo de Cross como procedimento de análise de vigas contínuas Apesar de o uso do método da distribuição de momentos ter diminuído nas últimas décadas a sua apre sentação neste livro tem um objetivo acadêmico pois ele tem um apelo intuitivo muito forte e por isso serve para uma melhor compreensão do comportamento de estruturas reticuladas à fl exão Este capítulo baseiase nos livros de White Gergely e Sexsmith 1976 e de Süssekind 19773 Exis tem muitas outras referências clássicas para o processo de Cross que não são mencionadas Entretanto devido à sua relevância no Brasil não se pode deixar de mencionar o livro do professor Jayme Ferreira da Silva Jr Método de Cross 1967 Primeiramente será apresentada uma interpretação física do processo de Cross como introduzido de forma muito conveniente por White et al As duas seções seguintes descreverão os dois pontos básicos que fundamentam o método a distribuição de um momento aplicado em um nó de um pórtico por parcelas de momentos fl etores equilibrantes nas barras adjacentes Seção 122 a solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos para uma estrutura que só tem rotações como deslocabilidades Seção 123 Devese observar que o processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com deslocabili dades externas isto é com translações nodais Isso é feito com a aplicação do método dos deslocamentos Bookconceitosindb 389 532010 084027 390 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER mostrado nos Capitulos 10 e 11 considerando como incégnitas apenas as deslocabilidades externas Tal aplicacao resulta em uma série de casos basicos sendo cada um deles resolvido pelo processo de Cross A Secao 127 utiliza essa metodologia em um exemplo com deslocabilidade externa 121 INTERPRETACAO FISICA DO METODO DA DISTRIBUICAO DE MOMENTOS White Gergely e Sexsmith 1976 descreveram em seu livro um experimento fisico que serve para entender intuitivamente o processo de Cross A Figura 121 mostra uma reproducao esquematica desse experimento a b A c A oe 4 d eee eee i Figura 121 Reproducdo esquematica do experimento para interpretagdo fisica do processo de Cross descrito no livro de White Gergely e Sexsmith 1976 Pela Figura 121 o método da distribuicdéo de momentos pode ser entendido como a aplicagao fisica de sucessivos travamentos e liberagdes de rotagdes nodais de uma viga continua com trés vaos Inicial mente a viga tem todas as suas rotacdes nodais travadas Em seguida aplicase uma carga concentrada na posicao média do vao central Figura 121a Como todos os nos tém as suas rotacoes artificialmente fixadas o efeito inicial da carga s6 é sentido no vao central isto é os dois vaos extremos nao sofrem deformacao alguma portanto nado apresentam momentos fletores Nessa situacgao os dois nés interme didrios apresentam um desequilibrio de momentos fletores que esta sendo artificialmente equilibrado por momentos externos aplicados pelas travas que fixam as rotacoes Se a rotacdo do segundo no da esquerda para a direita for liberada 0 no gira até atingir 0 equilibrio Figura 121b Nessa situacao os momentos fletores nas sec6es transversais adjacentes a esse no tém de estar em equilibrio pois a trava liberada nao pode introduzir momento externo algum O primeiro e 0 segundo vaos da viga se deformam em consequéncia da liberacado da rotacao acarretando uma modifica cao na distribuicéo de momentos fletores nos vaos Enquanto isso 0 terceiro vao permanece indeformado e sem momentos fletores No passo seguinte do processo 0 segundo no é travado novamente e 0 terceiro né tem sua rotacgao liberada Figura 121c O resultado é uma modificagao da configuracao deformada apenas nos dois vaos adjacentes ao no liberado 0 primeiro vao permanece com a deformacao do passo anterior e uma nova distribuicéo de momentos fletores nos vdos afetados A repeticao desse processo de sucessivos passos de travamento de um no e liberacao de outro acar reta uma acomodagao da viga em uma situacao na qual nao é mais necessario travar as rotac6es nodais pois atingese o equilibrio de momentos fletores nos nos A situacao final é mostrada na Figura 121d Capítulo 12 P rocesso de Cross 391 Podese salientar alguns aspectos importantes desse experimento em cada passo do processo iterativo apenas um nó tem a rotação liberada enquanto todos os outros têm as rotações fi xadas quando um nó é equilibrado pela liberação de sua rotação as barras adjacentes ao nó se defor mam implicando uma redistribuição de momentos fl etores nas barras e afetando o equilíbrio dos nós adjacentes após cada passo a rotação do nó liberado é fi xada com o valor acumulado dos incrementos de rotação de todos os passos anteriores o equilíbrio de um nó que tem a sua rotação travada só é atingido artifi cialmente com a aplicação de um momento externo pela trava quando os momentos fl etores nas seções transversais adjacentes a um nó estão em equilíbrio não é necessário travar o nó nesse caso a trava liberada não exerce momento externo algum no nó Com base no experimento podese adiantar dois pontoschave do processo de Cross O primeiro é a distribuição de momentos fl etores nas barras adjacentes de um nó que tem a sua rotação liberada A próxima seção faz uma análise dessa redistribuição de momentos fl etores O outro pontochave é o próprio processo iterativo e incremental de determinação das rotações nodais A Seção 123 analisa a so lução incremental do sistema de equações de equilíbrio de uma viga contínua Após a análise desses dois pontoschave o processo de Cross é formalizado na Seção 124 122 DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES EM UM NÓ Considere o quadro da Figura 122 Süssekind 19773 que tem barras inextensíveis todas com igual valor para o parâmetro de rigidez à fl exão EI O pórtico tem um nó central com a rotação livre e um momento externo ME aplicado Todos os outros nós têm suas rotações fi xas engastes Apenas uma das barras tem uma articulação na extremidade oposta ao nó central Para analisar a distribuição do momento ME por momentos fl etores nas barras da estrutura da Figu ra 122 empregase o método dos deslocamentos Como as barras são inextensíveis a estrutura só tem uma deslocabilidade a rotação do nó central Capítulo 11 O sistema hipergeométrico SH e os casos básicos da solução pelo método são mostrados na Figura 123 l1 l2 l3 l4 ME EI const Figura 122 Aplicação de um momento externo em um nó com rotação liberada Bookconceitosindb 391 532010 084027 ELSEVIER 392 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Caso 0 Momento externo isolado no SH 1 β10 ME M0 0 ME 1 4 1 11 i Ki K M1 0 x D1 D1 1 2EIl1 2EIl2 2EIl3 K1 4EIl1 K4 3EIl4 K2 4EIl2 K3 4EIl3 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH 1 Figura 123 Casos básicos da solução pelo método dos deslocamentos da estrutura da Figura 122 Na solução mostrada na Figura 123 utilizase a seguinte notação Ki coefi ciente de rigidez à rotação da barra i Os valores para rigidez à rotação de barras com EI constante foram deduzidos de duas maneiras independentes nas Seções 67 e 92 i i EI l K 4 barra sem articulação i i EI l K 3 barra com articulação na extremidade oposta à extremidade que sofre o giro A equação de equilíbrio resultante da solução pelo método dos deslocamentos para essa estrutura é 0 1 11 10 D K β Os valores do termo de carga β10 e do coefi ciente de rigidez global K11 estão indicados na Figura 123 A solução dessa equação resulta no valor da deslocabilidade rotação D1 i E K M D1 A determinação dos momentos fl etores fi nais nas barras é feita por superposição dos efeitos dos casos 0 e 1 M M0 M1D1 sendo que M0 é nulo Com base nos valores obtidos anteriormente têmse os valores dos momentos fl etores fi nais mostrados na Figura 124 nas seções transversais extremas das barras Esses valores estão defi nidos em função do parâmetro iγ de cada barra sendo iγ coefi ciente de distribuição de momento da barra i O coefi ciente de distribuição de momento de uma barra com relação a um nó é a razão entre o coefi ciente de rigidez à rotação da barra e o somatório dos coefi cientes de rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó i i i K K γ 121 O somatório de todos os coefi cientes de distribuição de momento de todas as barras adjacentes a um nó com respeito a esse nó é unitário i i 1 γ 122 Bookconceitosindb 392 532010 084027 Capítulo 12 P rocesso de Cross 393 M 0 1 2 ME γ 2 ME γ 1 ME γ 4 ME γ 3 ME γ 3 2 ME γ 2 2 ME γ Figura 124 Momentos fl etores fi nais nas extremidades das barras da estrutura da Figura 122 Na Figura 124 observase também que a distribuição do momento externo aplicado no nó acarreta momentos fl etores nas outras extremidades das barras O valor do momento fl etor na outra extremidade é igual à metade do valor na extremidade adjacente ao nó equilibrado para o caso de barra sem articula ção ou igual a zero para o caso de barra articulada Defi nese então o coefi ciente de transmissão de momento da barra i 12 it coefi ciente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articulação it 0 coefi ciente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articulada Para o caso da barra sem articulação o valor 12 corresponde à relação entre os coefi cientes de rigi dez 2EIl e 4EIl devidos a uma rotação unitária imposta Concluise que o momento externo ME aplicado no nó é distribuído nas barras por momentos fl etores nas seções transversais adjacentes ao nó chamados de parcelas equilibrantes que são proporcionais aos coefi cientes de distribuição de momento no nó i E i M M γ 123 Nas seções transversais das barras opostas ao nó aparecem momentos fl etores chamados de parcelas transmi tidas que são iguais ao produto das parcelas equilibrantes pelo coefi ciente de transmissão de momento de cada barra No caso de barras que têm seção transversal variável os coefi cientes de rigidez à rotação não corres pondem aos valores 4EIl ou 3EIl assim como o coefi ciente de transmissão de momento da barra sem articulação não é igual a 12 Nesse caso os parâmetros fundamentais para os coefi cientes de rigidez à fl exão de uma barra isolada defi nidos genericamente na Seção 925 devem ser utilizados KA coefi ciente de rigidez à rotação na extremidade inicial da barra tAB coefi ciente de transmissão de momento da extremidade inicial para a extremidade fi nal KB coefi ciente de rigidez à rotação na extremidade fi nal da barra tBA coefi ciente de transmissão de momento da extremidade fi nal para a extremidade inicial O Capítulo 6 apresenta uma metodologia basea da na analogia da viga conjugada que possibilita a determinação desses parâmetros fundamentais Tal metodologia pode ser aplicada para uma barra que não tem seção transversal constante Seção 671 123 SOLUÇÃO ITERATIVA DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRI O Conforme apresentado na Seção 121 o método da distribuição de momentos é um processo iterativo de sucessivos passos de travamento de um nó e liberação de outro nó Esta seção procura dar uma interpre tação matemática para o processo mostrando que constitui uma solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos Isso é demonstrado com o auxílio de um exemplo uma viga Bookconceitosindb 393 532010 084028 394 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER continua com trés vaos mostrada na Figura 125 e que tem uma inércia a flexdo EI 24x10 kNm O primeiro apoio simples do 2 género esta sendo interpretado como uma articulacgdo na extremidade da barra sendo que a rotacao do no do primeiro apoio nao esta sendo considerada como incdégnita Secdes 1142 e 1143 Portanto a viga so tem duas deslocabilidades que sao as rotagdes D e D das secdes transversais dos dois apoios internos 8m 6m s 6m Figura 125 Viga continua com duas deslocabilidades A solugao da viga da Figura 125 pelo método dos deslocamentos resulta no seguinte sistema de equacoes de equilibrio Capitulos 10 e 11 64114 3EI 84EI 6D 2EI 6D 0 114 84 2EI 6D 4EI 64EI 6D 0 Substituindo o valor fornecido para EI e passando os termos de carga para 0 lado direito do sinal de igual temse 25000D 8000D 50 124 8000D 32000D 30 125 A solucao direta do sistema formado pelas Equacoes 124 e 125 resulta nos seguintes valores para as rotagoes D e D D 25000x10 rad Dy 15625x10 rad Uma alternativa para a solucao desse sistema de equacoes de equilibrio é uma solucao iterativa do tipo GaussSeidel Essa solugdo é 0 segundo pontochave para 0 método de distribuigéo de momentos 0 primeiro é a distribuicao de momentos em um no mostrada na Secao 122 A solucao iterativa é iniciada admitindo um valor nulo para D e encontrando um valor para D com base na equagao 124 25000D 8000050 D 20000x10rad O segundo passo da solucao iterativa consiste em utilizar esse valor encontrado para D na Equaao 125 para determinar um valor para D 8000 20000x108000D 30 D 414375x10 rad No terceiro passo a Equacao 124 é utilizada novamente com o ultimo valor obtido para D para determinar um novo valor para D resultando em 25000D 800014375x1050 D 24600x10rad A Tabela 121 indica os resultados da solucao iterativa apos quatro ciclos completos de passagem pelo par de Equacées 124 e 125 Os valores exatos da solucao direta também sao mostrados na tabela Podese verificar que os valores obtidos pela solucao iterativa sio bem proximos dos valores exatos Na verdade a solucao exata sempre pode ser atingida para um determinado grau de precisdo desejado bastando executar um numero suficiente de ciclos ro eu Capitulo 12 Processo de Cross 395 ELSEVIER Tabela 121 Solucdo iterativa das Equacdes 124 e 125 aa D fad Valoresiniciais 20000x103 14375x10 24600x10 15525x103 24968x10 15617x10 24997x10 15624x10 25000x107 15625x10 O processo de solugao iterativa do sistema de equacées de equilibrio mostrado é uma interpretacao matematica do experimento visto na Secao 121 Esse processo sera ilustrado em seguida com base na Figura 126 Podese imaginar que a situacdo inicial designada estagio 0 corresponde a uma configuracao de engastamento dos nos interiores da viga continua da Figura 125 isto é com rotacées fixadas com valo res nulos No estagio 1 ocorre uma liberacao da rotacao D enquanto a rotacao D é mantida nula Esse estagio corresponde ao resultado do primeiro passo da solugao iterativa resultando no primeiro valor encontrado para D No estagio 2 a rotacao D é fixada com o valor obtido no estagio anterior e a rotacao D é liberada exatamente como no segundo passo da solugao iterativa O estagio 3 corresponde a um con gelamento da rotacao D com o valor obtido no estagio anterior e uma liberacao da rotacao D No estagio 4 a rotacao D é fixada e a rotagao D é liberada Esse processo continua até atingir a convergéncia das rotacdes dos nos que ocorre quando os incrementos de rotacao dos nés sao despreziveis Dy A ADs Dy ATED 5 D 20000x10 rad D He Dz 5 D 20000x10rad ae ose ly OS I 241437510 rad Dy TT TD 5 Zc D 24600x10 rad yaa ye te B Ir 2 414375x10F rad Di tm ED 3 oe D 24600x10 rad by mn BS ey OR r 41552510 rad Figura 126 Interpretacdo fisica da solucdo iterativa do sistema de equacoes de equilibrio da viga da Figura 125 configuracdes deformadas com fator de amplificacdo igual a 150 Devese observar que em cada estagio da solucao iterativa mostrada na Figura 126 os momentos fletores nas barras da viga poderiam ser determinados com base nos valores correntes das rotacoes D e D Isso ocorre porque conforme resumido ao final da Secao 116 uma configuragao deformada cine maticamente determinada define os esforcos internos e externos em um modelo estrutural Dessa forma 396 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER podese acompanhar a evolucao da distribuigaéo dos momentos fletores nas barras e 0 desequilibrio de momentos fletores nos nds ao longo do processo A analogia da solucao iterativa indicada na Figura 126 com 0 experimento mostrado na Secao 121 é evidente Em cada estagio do processo iterativo apenas um no tem a rotacao liberada O né liberado gira até atingir um estado de equilibrio O incremento de rotacao esta associado ao valor do desequilibrio de momentos fletores no nd6 Com o giro do né as barras adjacentes se deformam ocorrendo uma redistri buicao de momentos fletores nessas barras e afetando o equilibrio do n6 adjacente No estagio seguinte a rotacao do no liberado é fixada com o valor acumulado de rotacao de todos os estagios anteriores O equilibrio de momentos fletores no no fixado é alterado pela liberacao da rotacao do no adjacente O no que tem a sua rotacao fixada artificialmente so fica equilibrado com a aplicagéo de um momento externo O processo iterativo continua até que a estrutura atinja uma situacao de equilibrio global na qual nao é necessario aplicar momentos externos nos nos interiores 124 FORMALIZACAO DO PROCESSO DE CROSS O método da distribuicéo de momentos pode ser visto como a jungdo de duas ideias apresentadas nas Secgdes 122 e 123 A solugdo do método segue a mesma linha do processo iterativo mostrado na secao anterior A diferenca é que as rotacdes nao sao calculadas em cada estagio do processo Em vez disso é feito um acompanhamento detalhado da evolucao dos valores dos momentos fletores nas extremidades de todas as barras Os valores dos momentos fletores nas barras sao determinados em cada estagio com base na distribuigado de parcelas equilibrantes estudada na Secao 122 Inicialmente 0 processo de Cross é mostrado para uma estrutura que tem apenas um no a equili brar Em seguida na Secao 1242 0 processo é formalizado com auxilio da viga continua estudada na Secao 123 1241 Processo de Cross para portico com uma deslocabilidade O processo de Cross é formulado nesta secao para um portico que s6 tem uma rotacao nodal livre O objetivo é mostrar que utilizando o principio basico de distribuicdéo de momento externo aplicado a um no dado pela Equacao 123 podese determinar diretamente os valores das parcelas equilibrantes de momentos fletores nas barras sem ser necessario calcular a rotacéo do no Considere o portico mostrado na Figura 127 que tem barras inextensiveis e rigidez a flexao EI cons tante para todas as barras As barras estao numeradas conforme mostra a figura sendo que a barra 1 tem uma articulacdo na base 10 kNm QO ft Y e 4 3 m a 6m s Figura 127 Portico com uma deslocabilidade interna Sussekind 19773 Os coeficientes de rigidez a rotacdo das trés barras do exemplo com relacao ao no central nd que tem a deslocabilidade interna sao Poe el Capitulo 12 Processo de Cross 397 ELSEVIER K 3EI5 Ky 4EI4 eK 4E16 Utilizando a Equacao 121 podese determinar os coeficientes de distribuicdéo de momento das trés barras no no central K K K Y 026 y 044 e y 030 KKkK KKkK KKkK A Figura 128 mostra o estagio inicial do processo de Cross para 0 portico estudado A figura tam bém indica os valores dos coeficientes de distribuicdo de momento das trés barras com relacdo ao né cen tral Nesse estagio o no tem a rotacao fixada com valor nulo isto é 0 nd esta completamente engastado Nessa situacao as barras descarregadas nao apresentam momentos fletores e a barra carregada tem mo mentos fletores de engastamento perfeito que sao obtidos da Figura 927 Observase que os momentos fletores nas sec6es transversais adjacentes ao no central nao estao equilibrados No segundo estagio do processo 0 no central tem a rotacao liberada Figura 129 De acordo com o que foi visto na Secao 122 o momento total desequilibrante no no com valor de 300 kKNm é equilibra do por parcelas equilibrantes de momentos fletores nas trés barras adjacentes ao no 10 kNm om oy 300 209 300 Az 0X a 0 pv 0 LV Figura 128 Estagio inicial do processo de Cross para o portico da Figura 127 10 kNn my TTT r O50 ee 4300 277777 300 73 90 45 7 fF s t 12 10o A 132 i Parcelas Equilibrantes f t12 300 026 78 J 300 044 132 0 66 300 030 90 L Figura 129 Estagio final do processo de Cross para o portico da Figura 127 As parcelas equilibrantes indicadas na Figura 129 sao proporcionais aos valores dos coeficientes de distribuicao de momento e tém sentido contrario ao momento desequilibrante O sentido contrario é indicado pelo sinal contrario das parcelas equilibrantes em relagéo ao momento desequilibrante o que é consistente com a convengao de sinais adotada no processo de Cross a mesma do método dos desloca mentos 398 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Também conforme visto na Secao 122 o equilibrio do no central acarreta um transporte de momen tos fletores para os outros nos das barras As parcelas transmitidas de momentos fletores sao determina das pelos coeficientes de transmissao de momento t indicados na Figura 129 As parcelas equilibrantes e transmitidas de momentos fletores nas barras que sao obtidas no segun do estagio do processo se acumulam nos momentos fletores do estagio inicial de engastamento perfeito Esse acumulo é consistente com 0 acumulo de rotagdes nodais que é uma caracteristica do processo ite rativo mostrado na Seco 123 Os valores finais acumulados de momentos fletores nas extremidades das barras do portico estudado sao mostrados na Figura 1210 O diagrama de momentos fletores desenhado com ordenadas do lado da fibra tracionada também esta indicado na figura 240 eee 78 45 18 04210 345 bes 132 M kN e oe 66 Figura 1210 Diagrama final de momentos fletores para o portico da Figura 127 Pela andlise do portico desta secdo observase que a aplicacao do processo de Cross para uma estru tura com apenas uma deslocabilidade é muito simples Os momentos fletores nas barras sao determina dos sem que seja necessario calcular rotacdes Essa simplicidade é mantida para 0 caso de mais de uma deslocabilidade conforme sera visto em seguida 1242 Processo de Cross para viga com duas deslocabilidades No exemplo da secao anterior apos o estagio inicial é necessdrio apenas um passo para equilibrar 0 n6 e terminar 0 processo iterativo Isso ocorre porque s6 existe um no a equilibrar Quando a estrutura tem mais de uma deslocabilidade isto é quando tem mais de um no a equilibrar aplicase a mesma metodo logia de equilibrio nodal baseado nos coeficientes de distribuigao de momento Nesse caso entretanto as parcelas transmitidas de momentos fletores no equilibrio de um no acarretam o desequilibrio de nds adjacentes ja equilibrados Portanto para atingir a convergéncia final do processo é necessario repetir ciclos de equilibrio no dal até que as parcelas transmitidas sejam despreziveis Esse é justamente o processo iterativo que foi mostrado na Segao 123 A unica diferenga é que no processo de Cross formalizado nesta secdo as rota des dos nods equilibrados nao sao calculadas Em vez disso os valores dos momentos fletores nas barras sao determinados em cada estagio Para exemplificar a metodologia de calculo do processo de Cross para estruturas com mais de uma deslocabilidade sera feita a analise da mesma viga continua estudada na Secao 123 Figu ra 125 A Figura 1211 indica todos os estagios dessa solugao Apenas os dois nos interiores sao equilibrados a primeira barra é considerada articulada na extremidade esquerda Adotase uma precisdo de 01 kNm para momentos fletores isto é uma casa decimal para representar os valores dos momentos fletores oni Capitulo 12 Processo de Cross 399 5 cps so f L L fessor 0 t802060 fesigo fo dt 145 xzn0 za v5 feuos fo Sao a7 fEsagos fo SSidt 0 eg B fesagos fo das sf Bugs 0 da 002 0 Figura 1211 Processo de Cross para a viga continua da Figura 125 momentos em kNm Os coeficientes de distribuicdo de momento estao indicados em cada no na Figura 1211 Os calculos desses coeficientes para o primeiro no sao Yyq el8 036 eye JEL 064 3EI84E16 3EI84E16 Para o segundo né temse 4EI6 Yee Veo Gey at 7604 O processo mostrado na Figura 1211 inicia no estagio 0 que corresponde a uma situacao de en gastamento perfeito Os valores dos momentos fletores iniciais nas barras sao determinados com base na Figura 927 Observase que existe um desequilibrio no primeiro no de 640 1140 500 kNm O segundo no tem um desequilibrio de 1140 840 300 kNm No estagio 1 0 primeiro no é equilibrado No caso geral de uma estrutura com varias deslocabilida des nao existe uma ordem preferencial para 0 equilibrio dos nos qualquer n6 desequilibrado pode ser 0 proximo a ser equilibrado Entretanto 0 processo converge mais rapidamente se em cada estagio 0 no que tiver o maior desequilibrio em modulo naquele instante for o no a ser equilibrado Stissekind 19773 O equilibrio do primeiro no resulta nas seguintes parcelas equilibrantes 500 036 180 kNm 500 064 320 kNm Conforme mostra a Figura 1211 apds o equilibrio do n6 as parcelas equilibrantes sao sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele no estao em equilibrio somados resultam em um valor nulo O equilibrio desse n6 nao transmite momento fletor para a esquerda pois a extremidade oposta da barra a esquerda é articulada A parcela transmitida para a direita é igual a metade da parcela equilibrante t 12 32012 160 kNm Essa parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na secdo transversal a esquerda do segun do no Como este ainda nao foi equilibrado o seu desequilibrio total é 1140 840 160 460 kNm No estagio 2 o equilibrio do segundo no resulta em parcelas equilibrantes iguais estas aparecem sublinhadas na Figura 1211 460 050 230 kNm As parcelas transmitidas nesse equilibrio também sao iguais 23012115 kNm 400 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER A parcela transmitida para a direita vai para a secao transversal do engaste A unica consequén cia é que essa parcela se soma ao momento fletor inicial na secdo do engaste que absorve qualquer valor de momento fletor A parcela transmitida para a esquerda por sua vez desequilibra o primei ro no ja equilibrado Nao ha problema basta comecar um novo ciclo de equilibrio nodal iterando até convergir O desequilibrio de 115 kNm no primeiro no é resolvido no estagio 3 As parcelas equilibrantes sao 115 036 41 kNm 115 064 74kNm Esses valores sao aproximados de maneira que utilizando uma casa decimal resultam em uma soma exatamente igual a 115 kNm forcando dessa forma 0 equilibrio de momentos fletores conforme a precisao desejada Observase que um procedimento semelhante é feito no estagio 4 que equilibra a parcela transmiti da de 37 kNm Os valores das parcelas equilibrantes de 19 kNm e 18 kNm foram obtidos de manei ra asomar exatamente 37 kNm mesmo que em principio eles devessem ser iguais os dois coeficientes de distribuigéo de momento no né sao iguais a 050 Com esse procedimento os momentos fletores finais do processo satisfazem o equilibrio com o nimero de casas decimais especificado para a precisdo No estagio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita sao iguais 09 kNm Como se esta utilizando apenas uma casa decimal para representar os valores de momentos 0 arredondamento da metade de 19 kNm poderia ser para cima ou para baixo Optouse por arredondar para baixo porque isso faz o processo iterativo convergir mais rapidamente Observe que as diferencas de valores sao muito pequenas da ordem da precisao especificada No ultimo estagio 0 estagio 6 ocorre o mesmo que no estagio 4 as parcelas equilibrantes de 01 kNm e 02 kNm nao sao iguais mas equilibram o momento desequilibrante de 03 kNm com uma casa decimal Nesse estagio a parcela transmitida para a esquerda metade de 01 kNm foi arredondada para um valor nulo a fim de que o primeiro no permanega em equilibrio e 0 processo termine Devese observar que as parcelas transmitidas sempre decrescem em modulo 0 que garante a convergéncia do processo iterativo Isso se deve a dois motivos primeiro as parcelas equilibrantes decrescem em modulo em relacdo ao momento desequilibrante em cada no pois os coeficientes de distribuicdo de momento sao no maximo iguais a uma unidade em geral menores que uma unida de e segundo porque os coeficientes de transmissdo de momento também sao menores que uma unidade Os valores dos momentos fletores finais nas extremidades de todas as barras mostrados no final da tabela da Figura 1211 sao determinados com base no acumulo soma com sinal dos momentos fletores de todos os estagios do processo A Figura 1212 mostra o diagrama de momentos fletores na viga conti nua desenhado do lado da fibra tracionada m kNm 864 pe Rag ee 64 4 171 126 Figura 1212 Diagrama de momentos fletores da viga continua da Figura 125 ro WL Capitulo 12 Processo de Cross 401 ELSEVIER 125 APLICACAO DO PROCESSO DE CROSS A QUADROS PLANOS A metodologia do processo de Cross apresentada na secao anterior pode ser aplicada diretamente para porticos planos indeslocaveis sem translagdes nodais Isso é exemplificado nesta segcéo com a solucao do quadro plano mostrado na Figura 1213 O objetivo dessa solucao é obter o diagrama de momentos fletores do quadro pelo processo de Cross utilizando uma precisao de 1 kNm isto é sem nenhuma casa decimal Todas as barras do portico sao inextensiveis e tém a mesma inércia a flexao EI para todas as secoes transversais 30 kNn E A B Nh 20 kNm E lo G V 3m 10 m S4 10 m Figura 1213 Exemplo de portico plano para solucdo pelo processo de Cross Conforme estudado no Capitulo 11 0 portico da Figura 1213 s6 tem deslocabilidades internas ro tagdes nodais As deslocabilidades do no E nao sao consideradas pois 0 no corresponde a uma extremi dade livre de balanco A rotagado do no F nao esta sendo considerada como deslocabilidade pois a barra superior da direita é interpretada com uma articulagdo no no F Secées 1142 e 1143 Dessa forma o quadro tem quatro deslocabilidades internas que sao as rotacdes dos nos A B Ce D A solugao iterativa do processo de Cross do quadro da Figura 1213 é mostrada na Figura 1214 que indica os coeficientes de distribuicéo de momento de cada barra para cada no a ser equilibrado No no A somente as barras AB e AC sao consideradas para a determinacao dos coeficientes pois a barra AE é um balanco sem rigidez a rotacdo em relacdo ao no A Os calculos dos coeficientes para esse nd sao 4EI10 1 4EI5 2 YABFeryancAETR 2 YACFGETVVOLAEIJR 2 4EI104EI5 3 4EI104EI5 3 Para o no B os calculos dos coeficientes sao 4EI10 3EI10 Yea 4EI10 g7 Vee 3EI10yog 4EI103EI104EI5 4EI103EI104EI5 Yep i 053 4EI103EI104EI5 No no C temse 4EI5 4EI10 Yon Yec 4EI5 gy g Yep AEI10 ng 4EI 54E1104E15 4EI 54E1104E15 ELSEVIER 402 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Finalmente os coefi cientes de distribuição de momento para o nó D são 3 2 5 4 10 4 5 4 EI EI EI γDB e 3 1 5 4 10 4 10 4 EI EI EI DC γ 39 35 1 1 78 17 2 78 3 39 1 72 93 207 38 75 053 027 020 22 44 3 7 375 36 23 13 04 02 04 13 23 3 336 111 55 95 47 2 1 1 107 25 250 24 17 2 0 311 250 49 8 4 0 168 167 28 39 11 1 167 56 19 22 0 1 0 107 135 135 0 Figura 1214 Processo de Cross para o quadro plano da Figura 1213 momentos em kNm O processo de Cross mostrado na Figura 1214 é iniciado com o cálculo dos momentos de engasta mento perfeito das barras carregadas Nas barras AB BF e CD os momentos de engastamento são obti dos a partir da Figura 927 Observase que os momentos fl etores iniciais da barra CD são arredondados para a precisão desejada O momento de engastamento no nó A da barra EA é calculado conforme indica o detalhe no canto superior esquerdo da Figura 1214 cálculo isostático de reações de engastamento de uma barra em balanço com carga uniformemente distribuída O momento fl etor dessa barra em A é ne gativo pois atua na extremidade da barra no sentido horário Em cada passo do processo procurase equilibrar o nó que tem o maior momento desequilibrante em módulo No estágio inicial os nós C e D têm o valor máximo em módulo de momento desequilibrante e se optou por equilibrar o nó D momento desequilibrante igual a 167 kNm no primeiro passo Consi derando os coefi cientes de distribuição de momento nesse nó têmse como parcelas equilibrantes 111 kNm na barra DB e 56 kNm na barra DC As parcelas transmitidas são 55 kNm arredondada para baixo para o nó B e 28 kNm para o nó C No passo seguinte o nó C é o que tem o maior momento desequilibrante em módulo 167 28 195 kNm O equilíbrio desse nó acarreta a transmissão de mo mentos para os nós A e D este passa a fi car desequilibrado novamente O próximo nó a ser equilibrado é o nó B em seguida o nó A e assim sucessivamente até que os momentos transmitidos sejam menores do que 1 kNm a precisão desejada A Figura 1214 mostra os momentos fl etores fi nais nas extremidades de todas as barras Os valores fi nais são calculados superpondo os valores dos momentos de todos os estágios do processo O diagrama de momentos fl etores fi nais desse exemplo é indicado na Figura 1215 Bookconceitosindb 402 532010 084035 2 Capitulo 12 Processo de Cross 403 ELSEVIER 311 336 7 375 yo 47 wee 2 7 ee a SF 168 Nn eee AN 250 py Sp M km 38 Figura 1215 Diagrama de momentos fletores do quadro plano da Figura 1213 126 APLICACAO DO PROCESSO DE CROSS A QUADROS COM APOIO ELASTICO ROTACIONAL A consideracao de apoios elasticos em uma andlise pelo método dos deslocamentos foi tratada na Secao 117 Esta secao descreve através de um exemplo os procedimentos necessarios para considerar apoios elasticos em uma andlise de um portico plano pelo processo de Cross Um apoio elastico rotacional entra na distribuigdo de parcelas equilibrantes de momentos quando um no é equilibrado em um estagio do processo O coeficiente de distribuicao de momento do apoio elastico que define a sua parcela equilibrante é calculado com base no seu coeficiente de rigidez ro tacional Isso é explicado para 0 portico mostrado na Figura 1216 que tem dois apoios elasticos rota cionais z 10 km e RE UA EI 24000 kNm2 F a S 5 10 kNm SB EL 24000 KN CZF 5000 kNimrad ll 10 a top 8000 kNmrad e3mafe 12m Figura 1216 Exemplo de portico plano com apoios elasticos rotacionais A Figura 1216 indica os valores dos parametros de rigidez a flexao EI das barras do portico e os valores dos coeficientes de rigidez rotacional dos dois apoios elasticos Observe que as barras horizontais sao mais rigidas do que as verticais Nesse exemplo os nods estao identificados por letras Os nds equilibrados no processo de Cross sao os internos A e B e os dos apoios elasticos C e D A determinacao dos coeficientes de distribuigao de momentos desses nos é indicada a seguir Esse calculo considera para cada n6 0 coeficiente de rigidez a rotacao de uma barra 4EI1 ou 3EI1 sendo 1 o comprimento da barra e o coeficiente de rigidez rotacio nal 12000 kNmrad ou 8000 kNrad de um apoio elastico ELSEVIER 404 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Os coefi cientes de distribuição de momentos do nó A são 7 4 3 2400012 4 100005 4 100005 AB γ 7 3 3 2400012 4 100005 3 2400012 AF γ Para o nó B têmse os seguintes coefi cientes de distribuição de momentos 3 1 4 100005 4 2400012 4 100005 4 100005 BD BA γ γ 3 1 4 100005 4 2400012 4 100005 4 2400012 BC γ A seguir estão os coefi cientes de distribuição de momentos do nó C 40 12000 4 2400012 4 2400012 CB γ 60 12000 4 2400012 12000 Cmola γ Finalmente os coefi cientes de distribuição de momentos do nó D são 50 8000 4 100005 4 100005 DB γ 50 8000 4 100005 8000 Dmola γ A solução do processo de Cross para o pórtico com apoios elásticos segue o procedimentopadrão descrito nas seções anteriores Essa solução é mostrada na Figura 1217 e a Figura 1218 ilustra o diagra ma de momentos fl etores resultante 20 19 2 5 40 9 1 40 9 20 1 46 184 13 5 04 06 47 37 13 13 13 180 1 4 88 84 4 0 96 120 40 28 1 120 20 56 0 88 165 165 05 05 0 12 12 6 10 4 3 3 2 1 0 1 4 1 2 0 0 13 50 Figura 1217 Processo de Cross para o quadro plano da Figura 1216 momentos em kNm Bookconceitosindb 404 532010 084036 gran aes FOB 2 Capitulo 12 Processo de Cross 405 ELSEVIER 165 Re 7 180 2 96 3788 180 18 M kNm ee Figura 1218 Diagrama de momentos fletores do quadro plano da Figura 1216 127 APLICACAO DO PROCESSO DE CROSS A ESTRUTURAS COM DESLOCABILIDADES EXTERNAS O processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com deslocabilidades externas isto é com translacoes nodais Isso é feito com a aplicagdo do método dos deslocamentos considerando como incég nitas apenas as deslocabilidades externas O resultado é uma série de casos basicos sendo cada um deles resolvido pelo processo de Cross Siissekind 19773 Essa metodologia é explicada a seguir com base em um exemplo simples 0 pértico com uma deslo cabilidade externa mostrado na Figura 1219 O objetivo é determinar o diagrama de momentos fletores da estrutura Todas as barras sao inextensiveis e tm a mesma inércia a flexao EI 24000 kNm 180kNm SN 120 KN 7 4m Figura 1219 Exemplo de portico plano com deslocabilidade externa para solucdo pelo processo de Cross Na aplicagao do método dos deslocamentos em conjunto com o processo de Cross para porticos com deslocabilidades externas o numero de casos basicos é igual ao de deslocabilidades externas mais uma unidade Para 0 exemplo estudado isso é explicado com o auxilio da Figura 1220 180 kNm 180 kNm Di1 a35 120 KN 120 KN ou 4 jem fD t Figura 1220 Decomposicdo em casos basicos para a solugdo do quadro plano da Figura 1219 utilizando o processo de Cross ELSEVIER 406 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Na Figura 1220 observase que o caso 0 isola a solicitação externa para a estrutura com a deslo cabilidade D1 impedida e o caso 1 considera o efeito isolado dessa deslocabilidade Cada caso básico analisa uma estrutura indeslocável pelo processo de Cross O caso 1 resolve o problema para um valor fi xo e unitário da deslocabilidade externa como se fosse um recalque conhecido no apoio fi ctício do sis tema hipergeométrico A solução desse exemplo está indicada na Figura 1221 Na solução mostrada na Figura 1221 utilizamse duas casas decimais para os coefi cientes de distri buição de momentos uma precisão de 1 kNm para momentos fl etores no caso 0 e uma precisão de 10 kNmm para momentos fl etores no caso 1 A Figura 1221 também indica a maneira como são calculados o termo de carga β10 e o coefi ciente de rigidez global K11 dessa solução Figura 1220 Depois de resolvidos os casos básicos pelo proces so de Cross β10 e K11 são determinados impondose o equilíbrio global do sistema hipergeométrico na direção horizontal Para tanto é necessário determinar os valores das reações horizontais nos apoios Isso é feito calculandose os esforços cortantes nas barras verticais a partir dos momentos fl etores resultantes do processo de Cross Seção 3734 A fi gura mostra o isolamento das barras verticais com a indicação dos momentos fl etores e esforços cortantes atuantes nas extremidades Também são mostradas as expressões para β10 e K11 que resultam da imposição do equilíbrio global de forças horizontais Outro aspecto interessante da solução ilustrada na Figura 1221 é a determinação dos momentos fl etores iniciais estágio 0 do processo de Cross do caso básico 1 Os momentos fl etores do estágio 0 correspondem aos momentos de engastamento para a solicitação externa No caso 1 a solicitação externa é um deslocamento horizontal D1 1 imposto ao apoio fi ctício do SH Conforme comentado anteriormente nesse contexto a solicitação externa é um recalque do apoio fi ctício Tal solicitação pro voca momentos fl etores iniciais apenas nas barras verticais pois os nós superiores do pórtico têm ro tações fi xas estágio 0 Nessa situação inicial a barra horizontal não tem momentos fl etores pois sofre apenas um movimento horizontal unitário de corpo rígido Com isso os momentos fl etores iniciais na barra vertical da esquerda são iguais a 3EI32 na extremidade superior Figura 915 e zero na extremidade inferior De forma semelhante a barra vertical da direita tem momentos fl etores iniciais nas duas extremidades iguais a 6EI32 Figura 910 O equilíbrio iterativo de momentos nos nós su periores do pórtico a partir dos momentos fl etores iniciais nas barras verticais resulta nos momentos fl etores fi nais do caso básico 1 Bookconceitosindb 406 532010 084038 Seles Capitulo 12 Processo de Cross 407 ELSEVIER lesen Sistema Hipergeométrico SII Processo de Cross 120 KN Oe 1 v ome k4 m Caso 0 Solicitacdo externa isolada no SH Mn Bo Bio 120 1543 2693 2453 kNm 240 240 qs Po 41543 400 Sy SF 0 2693 kNm 120 co p Hy I pyp 1909 64 129 171 49 154 180 32 32 16 y 3 oe OH fe 0 ie 5 0 0 85 44 1543 1543 7 Aso Es aS 2693 26953 Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH my 3E132 KO5 0437 Ku Me 0 0 6EI32 3440 6880 a 8000 7 2280 1140 160009120 65 45ere 240 490 i 30 120 60 7560 0 10 30 16000 4560 4399 5590 yo 10 5590 6E132 11770 x D Kn 55903 193303 249203 kNmm 55903 SF 0 193303 5590 x lr 55903 55903 193303 193303 A 11770 Equacao de equilibrio Momentos Fletores Finais 254 G9 99 254 2 360 99 254 kKNm 0 205 8 Qi Figura 1221 Solucdo do quadro plano da Figura 1219 utilizando o processo de Cross ELSEVIER 408 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 128 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Cinco quadros planos indicados nas Figuras 1222 a 1226 são propostos para a análise pelo processo de Cross EI constante Figura 1222 Exercício proposto 1 EI constante Figura 1223 Exercício proposto 2 EI 105 kNm2 Figura 1224 Exercício proposto 3 EI 105 kNm2 Figura 1225 Exercício proposto 4 EI 60000 kNm2 EI 60000 kNm2 EI 80000 kNm2 EI 40000 kNm2 EI 30000 kNm2 K 36000 kNmrad Figura 1226 Exercício proposto 5 Bookconceitosindb 408 532010 084039 1313 13 Método da rigidez direta A essência dos métodos básicos da análise de estruturas está na representação discreta do comporta mento contínuo analítico e matemático de um modelo estrutural em termos de um número fi nito de parâmetros Dessa maneira a solução do problema estrutural que essencialmente busca a determinação do campo de deslocamentos e do campo de tensões no domínio geométrico da estrutura é alcançada através da determinação dos parâmetros que representam o comportamento do modelo estrutural de forma discreta Essa essência pode ser entendida dentro de um escopo mais amplo como está resumido na Figura 11 que defi ne os níveis de abstrações concebidos pela análise estrutural Os métodos básicos possibilitam a transformação do modelo estrutural contínuo em um modelo discreto que pode ser resol vido manualmente ou implementado computacionalmente O problema estrutural na situação estática sem efeitos dinâmicos de vibrações por exemplo é um problema de valor de contorno com um conjunto de equações diferenciais que devem ser satisfeitas em todos os pontos do meio contínuo sólido atendendo condições de contorno em termos de deslocamentos e forças de superfície No caso de estruturas reticuladas formadas por elementos estruturais unifi lares denominados barras o comportamento do meio sólido contínuo é condensado nos eixos das barras isto é o meio sólido é representado por um modelo aramado indicado apenas pelas linhas dos eixos das barras Para tanto a mecânica dos sólidos idealiza o comportamento das barras através de um conjunto de hipóteses sobre o seu comportamento cinemático e mecânico Por exemplo admitese que as seções transversais de uma barra que se deforma permanecem planas Essa idealização do comportamento das barras é o que permite a criação do modelo estrutural para estruturas reticuladas Para estruturas em que não é possível identifi car elementos estruturais unifi lares outras teorias matemáticas idealizam analitica mente o comportamento estrutural do modelo como a teoria da elasticidade a teoria das placas a teoria das cascas a teoria da plasticidade etc O nível de simplifi cação envolvido na concepção de um modelo estrutural analítico pode ser muito variável mesmo no caso de modelos de barras Por exemplo nos modelos de primeira ordem é conside rado que os deslocamentos dos pontos da estrutura são muito pequenos quando comparados às dimen sões geométricas de suas seções transversais Adotando essa hipótese é possível estabelecer condições de equilíbrio na geometria original indeformada da estrutura Isso facilita muito o problema pois não é necessário determinar os deslocamentos dos pontos da estrutura para escrever as equações de equilíbrio Por outro lado em uma análise de segunda ordem devese levar em consideração os deslocamentos na Bookconceitosindb 409 532010 084040 ELSEVIER 410 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha imposição das condições de equilíbrio o que faz com que o problema tenha um comportamento não linear é a chamada não linearidade de ordem geométrica O comportamento não linear de uma estrutura também pode ser atribuído ao comportamento não linear dos materiais que a compõem mesmo em uma aproximação de primeira ordem Por exemplo po dese admitir que o material tem um limite de resistência com relação a tensões em que a partir de uma determinada condição para o estado de tensões um ponto da estrutura se plastifi ca ou seja o material perde a capacidade de resistência nesse ponto Em resumo os modelos estruturais podem ser simples ou sofi sticados dependendo do tipo de pro blema estrutural que se deseja resolver Entretanto esse não é o foco deste livro dentro do contexto de análise de estruturas A principal questão tratada neste volume é a concepção do modelo discreto de estruturas reticuladas Para tanto questões como análise de primeira ou segunda ordem e comportamento linear ou não linear dos mate riais são deixadas de lado A problemática associada à concepção de modelos discretos é comum tanto à análise linear quanto à análise não linear Além disso a ideia deste livro é atender a um público que está se iniciando em análise de estruturas Isso justifi ca a adoção do nível mais simples para as hipóteses sobre o comportamento de modelos estruturais Em todos os métodos tratados neste livro só são levados em conta efeitos de pri meira ordem e o material considerado para a estrutura é idealizado não existe na realidade com um comportamento elásticolinear e sem limite de resistência Este capítulo foca essa discussão em outro ponto essencial da análise estrutural moderna não se concebe mais realizar tal atividade sem o uso de programas de computador Em outras palavras de nada adianta conceber os modelos discretos se no caso prático de estruturas reais não é possível resolvêlos manualmente ou seja na realidade dos tempos atuais o quarto nível da abstração preconizado na Figura 11 o modelo computacional é fundamental para o problema que se deseja resolver Com isso em mente e com base no que foi apresentado nos capítulos anteriores o método dos des locamentos é o que está mais direcionado a uma implementação computacional Portanto este capítulo apresenta uma formalização matricial desse método que tem por objetivo aproximar a sua metodologia aos procedimentos adotados usualmente nos programas de computador Essa nova roupagem do méto do dos deslocamentos é conhecida como método da rigidez direta White Gergely e Sexsmith 1976 mas essencialmente segue a metodologia do método de origem Essa formalização matricial também é conhe cida como análise matricial das estruturas ou cálculo matricial das estruturas Seria difícil citar todas as referências sobre esse assunto pois muitas fi cariam esquecidas Mas não se pode deixar de mencionar o livro clássico de Weaver e Gere 1990 cuja primeira edição foi publicada em 1967 Outros autores consagrados nessa área são Przemieniecki 1985 com publicação original em 1968 Wang 1970 e Meek 1971 No Brasil os livros do professores Fernando Venâncio Filho 1975 e Domício Falcão Moreira 1977 foram pioneiros nesse assunto Uma excelente referência é o livro de McGuire e Gallagher 1979 que ganhou uma segunda edição com a colaboração de Ziemian mais recentemente 2000 Muito do conteúdo deste capítulo é baseado na primeira edição desse livro Em particular as comparações entre o método da rigidez direta e o método dos elementos fi nitos para estruturas contínuas foram delineadas no último capítulo da primeira edição do livro de McGuire e Gallagher Deve ser salientado que o capítulo não apresenta nenhum aspecto de implementação computacional propriamente dita Acrescentase apenas um formalismo matricial para o método dos deslocamentos na sua formulação geral para barras extensíveis e fl exíveis isto é sem simplifi cação alguma para reduzir o número de deslocabilidades Bookconceitosindb 410 532010 084040 Capítulo 13 Método da rigidez direta 411 Além disso a implementação computacional de um programa para análise de estruturas reticuladas ou contínuas pelo método dos elementos fi nitos necessita de muitos outros métodos e procedimentos que vão bem além do que é exposto neste capítulo Reproduzindo o que foi mencionado na Seção 123 diversos outros aspectos estão envolvidos no desenvolvimento de um programa de computador para executar uma análise estrutural Questões como estruturas de dados e procedimentos para a criação do modelo geométrico geração do modelo discretizado aplicação de atributos de análise propriedades de materiais carregamentos condições de suporte etc e visualização dos resultados são fundamentais nesse contexto 131 DISCRETIZAÇÃO NO MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA A metodologia de discretização no contexto do método dos deslocamentos foi apresentada no Capí tulo 10 Figura 101 Os parâmetros de discretização são as componentes de deslocamentos e rotações livres não restritas por apoios dos nós do modelo estrutural Os nós são os pontos de encontros de barras ou as extremidades soltas de barras não conectadas a outras barras As componentes de des locamentos e rotações nodais livres são denominadas deslocabilidades Essencialmente as deslocabi lidades são os parâmetros que defi nem o comportamento cinemático de um modelo estrutural isto é elas determinam a sua confi guração deformada As deslocabilidades são as incógnitas do método dos deslocamentos O Capítulo 11 desassocia o conceito de deslocabilidade de parâmetro nodal uma vez que introduz restrições nas deformações das barras que criam dependências entre deslocabilidades nodais Com essas restrições algumas componentes de deslocamentos e rotações nodais fi cam acopladas Assim prevalece a defi nição original de parâmetro que defi ne o comportamento cinemático para uma deslocabilidade No contexto do método da rigidez direta muitas vezes uma deslocabilidade é denominada grau de liberdade Nesse método em geral não se consideram restrições nas deformações das barras Dessa maneira os graus de liberdade do modelo são os deslocamentos e rotações nodais Como na formulação matricial do método em geral as restrições de apoio são consideradas em um estágio posterior da solu ção é comum se referir a uma componente de deslocamento ou rotação nodal restrita por apoio também como grau de liberdade isto é dentro da formulação do método podese referir a um grau de liberdade restrito por apoio o que seria uma inconsistência de acordo com a defi nição de deslocabilidade Por uma questão de consistência este capítulo adota a designação grau de liberdade para qualquer com ponente de deslocamento ou rotação nodal incluindo as livres e as restritas por apoios No caso de barras isoladas a designação deslocabilidades ainda é preservada Além disso estendese o conceito de nó No presente contexto um nó deve ser entendido como pon to de discretização Esse conceito generaliza a ideia de barra para elemento de barra preparando para uma generalização do método da rigidez direta para sua forma generalizada o método dos elementos fi nitos A ideia que se deseja passar é a possibilidade de inserir um nó ponto de discretização no interior de uma barra que fi ca subdivida em duas barras ou melhor em dois elementos de barra Essa subdivi são pode ser ilimitada ou seja podese recursivamente dividir elementos de barra em mais elementos Mas a questão que se coloca é por que discretizar uma barra em vários elementos de barra No contexto do método da rigidez direta para estruturas reticuladas a resposta para essa pergunta é simplesmente por conveniência A subdivisão de barras em diversos elementos de barra ou melhor a discretização de uma barra com a inserção de vários nós no seu interior não modifi ca os resultados da estrutura pelo menos quando se trabalha com barras com seção transversal que não varia ao longo do Bookconceitosindb 411 532010 084040 ELSEVIER 412 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha comprimento A discretização pode ser conveniente para simplifi car a aplicação de uma força concentra da no interior da barra ou de uma força distribuída que abrange parcialmente o vão da barra Existem casos entretanto em que a discretização pode ser um artifício de modelagem que melhora a qualidade dos resultados O exemplo mais clássico é o da modelagem discretizada de uma barra com seção transversal variável Esse artifício discretiza uma barra em diversos elementos de barra cada um com uma seção transversal constante e varia as suas propriedades tentando capturar o efeito global da barra original Esse exemplo é frequente porque a maioria dos programas de computador para análise de estruturas reticuladas não implementa barras com seção transversal variável Obviamente o resulta do dessa solução discretizada é uma aproximação para o comportamento analítico da barra com seção transversal variável A qualidade do resultado com discretização melhora à medida que mais elementos de barra são utilizados Essa discussão leva a outra indagação por que os resultados de uma solução da estrutura com barras prismáticas independem do nível de discretização adotado Na verdade esse questionamento não deveria fi car restrito a barras prismáticas uma vez que é possível formular soluções fundamentais consistentes para barras com seção transversal variável Capítulos 6 e 9 utilizando integração numérica A resposta a essa indagação está na própria essência da formulação do método da rigidez direta conforme será descrito ao longo deste capítulo Entretanto é possível sintetizar uma resposta A discretização de barras no método da rigidez direta não modifi ca os resultados de uma análise estrutural pois o comportamento contínuo de um elemento de barra pode ser representado por parâmetros nodais sem que se introduza nenhuma aproximação adicional além das simplifi ca ções já contidas na idealização analítica do comportamento de barras1 132 REPRESENTAÇÃO DOS CARREGAMENTOS COMO CARGAS NODAIS O pontochave para a discretização de um modelo estrutural dentro do contexto do método da rigidez direta está nas soluções fundamentais para barras isoladas que foram apresentadas no Capítulo 9 Isso é o que permite utilizar um número fi nito de graus de liberdade para representar adequadamente o com portamento da estrutura contínua A concepção da discretização pelo método pode ser explicada com o auxílio do exemplo da Figura 131 A Figura 131 mostra uma viga contínua com três vãos submetida a uma força uniformemente dis tribuída que abrange parcialmente o vão central caso I II Considerouse deliberadamente que a barra do vão central é subdividida discretizada em três elementos de barra que correspondem aos dois trechos descarregados e ao trecho com a força uniformemente distribuída Dessa forma o caso geral de barra discretizada está sendo considerado A solicitação da viga contínua é decomposta em dois casos de carregamento que são defi nidos da seguinte maneira Caso I Estrutura submetida à força uniformemente distribuída em conjunto com as reações de en gastamento perfeito do elemento de barra central isolado atuando nas suas extremidades Caso II Estrutura submetida a forças e momentos que correspondem às reações de engastamento perfeito do caso I atuando com sentidos invertidos nos nós das extremidades do elemento de barra car regado 1 Essa é a principal diferença entre o método da rigidez direta e o método dos elementos fi nitos com formulação em deslocamentos para o problema estrutural Inerente à própria concepção do segundo método são introduzidas aproximações adicionais na substi tuição do comportamento contínuo do meio pelo comportamento discreto dos nós do modelo em elementos fi nitos Por isso esse método tem um caráter aproximado Bookconceitosindb 412 532010 084040 roe et Capitulo 13 Método da rigidez direta 413 ELSEVIER q pg ee Vat q tvs I U 1 JU J nH I ie wm Ma 49 ey Mp ZA A Va Vp Va VB Ma Ms peostionan hh er q I II O Figura 131 Superposicdo de efeitos para discretizacgdo do comportamento de uma viga continua pelo método dos deslocamentos Observase que o carregamento do caso I indicado na Figura 131 é autoequilibrado Além disso as deformacoes e a elastica estado restritas ao elemento de barra carregado sendo que os deslocamentos e rotacdes de todos os nds do modelo sao nulos Isso é facil de ser identificado pois as forgas e momentos que atuam nos nos extremos do elemento de barra carregado correspondem as reag6es de engastamento perfeito para o carregamento desse elemento Com isso 0 efeito do carregamento nao é sentido nos ou tros elementos de barra da estrutura Ademais as componentes de reagdes em todos os apoios no caso sao nulas Outro aspecto a se destacar é que no caso II estao sendo considerados como nos os pontos entre os trechos descarregados e 0 trecho carregado do vao central assim como os pontos dos apoios da estrutura Os nos estao identificados na Figura 131 por um pequeno circulo preto Com a superposicao dos efeitos dos casos I e II mostrados nessa figura temse 1 Asoma dos carregamentos resulta no carregamento original do caso I II 2 Os deslocamentos e rotacgdes nodais do caso II sao iguais aos provocados pelo carregamento original haja vista que sao nulos no caso I 3 A elastica final nos elementos de barra descarregados corresponde a elastica do caso II uma vez que esses elementos nao tém deformagao no caso I 4 Aelastica final no elemento de barra carregado é obtida pela soma dos deslocamentos do caso I que sao deslocamentos para o elemento engastado perfeitamente em suas extremidades com os deslocamentos do caso II 5 Os esforcos internos finais nos elementos de barra descarregados correspondem aos esforcos internos obtidos pela andlise do caso II pois esses elementos nao tém esforcos internos no caso I 6 Os esforcos internos finais no elemento de barra carregado sao obtidos pela soma dos esforgos de engastamento perfeito do caso I com os esforcos provenientes da andlise do caso II 7 As reacoes de apoio finais sao iguais as reacdes de apoio obtidas na andlise do caso II pois 0 caso I nado tem reacoes de apoio O objetivo da decomposicao nos casos de carregamento e II é claro A ideia é isolar no caso I 0 efeito local das solicitagdes que atuam no interior das barras ou dos elementos de barra O efeito local correspon ELSEVIER 414 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha de a uma situação de engastamento perfeito dos elementos de barra carregados O caso II considera o efeito global da solicitação que foi transformada em forças e momentos nodais iguais às reações de engastamento do caso I mas com sentidos invertidos Observase que o comportamento fi nal da estrutura é praticamente igual ao comportamento global do caso II a menos dos efeitos locais de engastamento do trecho carregado Em essência o caso II corresponde ao comportamento global discretizado da estrutura Isso se dá por dois motivos O primeiro é que a solicitação nesse caso ocorre somente nos nós pontos de discreti zação do modelo O segundo motivo é que pelo menos em termos de deslocamentos e rotações nodais os resultados do caso II são os da estrutura para o carregamento original Observase que a decomposição nos casos de carregamento I e II só faz sentido porque o caso I corresponde à situação local de engastamento perfeito restrita ao trecho carregado que resulta em deslo camentos e rotações nodais nulos Esse é um dos fatos que garante que os resultados do modelo discreti zado não se modifi cam se diferentes níveis de discretização forem utilizados2 Para generalizar a metodologia de decomposição nos casos I e II algumas defi nições são necessárias cargas nodais propriamente ditas são forças e momentos que no carregamento original da estru tura atuam diretamente sobre os nós da discretização cargas equivalentes nodais são as cargas nodais que atuam no caso II provenientes das reações de engastamento perfeito dos elementos de barra carregados no caso I com sentidos invertidos3 cargas nodais combinadas são resultado da combinação das cargas nodais propriamente ditas com as cargas equivalentes nodais As cargas nodais combinadas são as solicitações do caso II e re presentam o efeito discretizado das solicitações externas atuando sobre os nós O modelo de pórtico plano da Figura 132 é utilizado para ilustrar essas defi nições O carregamento original do pórtico é constituído de forças verticais uniformemente distribuídas que atuam nas vigas inclinadas e por duas forças laterais horizontais Para a análise do pórtico desse modelo a Figura 133 mostra o caso I e a Figura 134 ilustra o caso II Observase na Figura 133 que a confi guração deformada da estrutura para o caso I é restrita às barras carregadas As reações de engastamento perfeito atuando em conjunto com as forças verticais uniformemente distribuídas isolam o efeito dessas cargas para o resto da estrutura As outras barras não têm deformações tampouco esforços internos As reações nos apoios da base da estrutura são nulas Em resumo esse caso de carregamento apresenta apenas efeitos locais do carregamento no interior das barras Por outro lado o caso II Figura 134 é solicitado pelas cargas nodais combinadas e captura a res posta global da estrutura Os deslocamentos e rotações nodais desse caso de carregamento correspondem aos deslocamentos e rotações nodais da estrutura com o carregamento original O mesmo se dá para as reações nos apoios da base 2 Essa é outra diferença básica entre o método da rigidez direta para modelos reticulados e o método dos elementos fi nitos para meios estruturais contínuos No segundo método existe a decomposição em dois casos de carregamento mas o caso I não é associado a uma situação de engastamento perfeito do elemento fi nito 3 No método dos elementos fi nitos também existe o conceito de cargas equivalentes nodais Entretanto a essas cargas não é dada a conotação de reações de engastamento nos trechos carregados com os sentidos invertidos Nesse método cargas equivalentes nodais são denominadas consistentes ou compatíveis porque produzem o mesmo trabalho virtual que o carregamento no interior do elemento fi nito produz para um campo de deslocamentos virtuais consistente com a formulação aproximada do elemento Essa conotação para cargas equivalentes nodais é compartilhada pelo método da rigidez direta pelo menos para barras prismáticas na medida em que as reações de engastamento perfeito de uma barra podem ser determinadas por equivalência de trabalho virtual utilizando funções de forma de barra como campo de deslocamentos virtuais Seção 933 Isso caracteriza o método da rigidez direta como um caso particular do método dos elementos fi nitos Bookconceitosindb 414 532010 084041 2 Capitulo 13 Método da rigidez direta 415 ELSEVIER 6 oo ay E 5 Kn t 20KN 4 ag t E O N20 kN 3 N y i 6 2x6 80000 kNmrad a 12m Figura 132 Portico plano com cargas nodais e cargas em barras 156 kNm ee z vs 2 156 kNm 156 kNm y z yw Ik he re 7 156 kNm ben w ZT 2 Ts Figura 133 Caso de carregamento do portico da Figura 132 2 Fry Ne kNm Fig A aI Fie 27 1 ma gt z Tere Ol Teo T156 kNm Fu 156 kNm aa A Fiz x a 13 20 KN coe Fro 77 7 z Tere 90 oot Fs 156 km oo ip ca D 20 kN F Fe Fy Q E3 Forgas nodais G by generalizadas Fa Fy globais tr Figura 134 Caso II de carregamento do portico da Figura 132 ELSEVIER 416 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Devese salientar que os efeitos locais de engastamento perfeito dos elementos de barra carregados no seu interior são conhecidos a priori pois são soluções fundamentais conhecidas e disponíveis Seção 93 Podese observar que para o cálculo da elástica e dos esforços internos fi nais existe uma distinção entre elementos de barra carregados no seu interior e elementos de barra descarregados A elástica e os esforços internos fi nais dos elementos de barra descarregados fi cam determinados completamente pela análise global do caso de carregamento II Por outro lado para se obter a elástica e os esforços internos nos elementos de barra carregados é preciso superpor os resultados dos casos I e II4 Observase também que existe uma semelhança entre o caso de carregamento I do método da rigidez direta e o caso básico 0 do método dos deslocamentos No que se refere à elástica e aos esforços internos dos elementos de barra o caso I e o caso 0 fornecem absolutamente os mesmos resultados Entretanto existe uma diferença sutil os termos de carga do caso básico 0 não são formados apenas pelas reações de engastamento perfeito das barras carregadas nos apoios fi ctícios do sistema hipergeométrico Os termos de carga também consideram reações nos apoios fi ctícios para as cargas nodais propriamente ditas Percebese então que as cargas nodais combinadas correspondem aos termos de carga com senti dos invertidos Na verdade não é exatamente assim pois os termos de carga se referem às reações ape nas nos apoios fi ctícios do sistema hipergeométrico Por outro lado as cargas nodais combinadas podem atuar nas direções dos graus de liberdade restritos por apoio No caso II o resultado da superposição das cargas nodais combinadas com as reações de apoio é um conjunto de forças e momentos denominado forças nodais generalizadas globais Para o pórtico de estudo as forças nodais generalizadas globais são mostradas na Figura 134 com sentidos positivos Fazse a seguinte defi nição iF força nodal generalizada global componente de força ou momento que atua na direção do grau de liberdade global i D resultante da superposição de cargas nodais combinadas e componentes de reação de apoio Nessa defi nição a noção de grau de liberdade global estende o conceito de deslocabilidade global para incluir os deslocamentos e rotações conhecidos associados às restrições de apoio Vêse que as forças nodais generalizadas globais seguem a numeração dos graus de liberdade globais que podem ser numerados de maneira arbitrária No exemplo mostrado na Figura 134 o critério adotado foi numerar os três graus de liberdade de cada nó seguindo a ordenação da numeração nodal Os números dos nós estão indicados na Figura 132 assim como os números das barras identifi cados com um círculo Em cada nó o primeiro grau de liberdade a ser numerado é o deslocamento horizontal e o último é a rotação O conjunto de forças nodais generalizadas globais forma um vetor que é defi nido da seguinte maneira F vetor das forças nodais generalizadas globais é o conjunto de todas as forças nodais generalizadas globais Não fosse pelo fato de os graus de liberdade e as forças nodais generalizadas incluírem componen tes nas direções das restrições de apoio poderseia escrever β0 F sendo β0 o vetor dos termos de carga do caso básico 0 do método dos deslocamentos Seção 103 Em resumo o modelo estrutural a ser analisado pelo método da rigidez direta é o modelo discre tizado do caso de carregamento II que é solicitado pelas cargas nodais combinadas Um dos objetivos dessa análise é determinar os valores dos graus de liberdade desconhecidos isto é das componentes de 4 Aqui reside mais uma diferença entre o método da rigidez direta e o método dos elementos fi nitos Neste último depois que o car regamento no interior dos elementos fi nitos é convertido em cargas equivalentes nodais não se faz mais referência ao carregamento original A confi guração deformada e as tensões nos elementos fi nitos são determinadas sem distinção entre elementos carregados e descarregados apenas o efeito global é considerado Bookconceitosindb 416 532010 084041 Capítulo 13 Método da rigidez direta 417 deslocamentos e rotações nodais livres Outro objetivo é determinar as componentes de reação de apoio Dessa forma o vetor das forças nodais generalizadas globais fi ca completamente determinado Além disso a análise do caso II resulta na determinação das elásticas e esforços internos em todos os elementos de barra do modelo estrutural Para complementar os resultados é preciso superpor as elás ticas e esforços internos da situação de engastamento perfeito do caso I mas somente para os elementos de barra carregados As seções seguintes deste capítulo detalham os passos dessa metodologia Por questão de conve niência as duas próximas seções descrevem de maneira genérica e simplifi cada como são fornecidos os dados de entrada para um programa de computador e de que forma os resultados textuais não gráfi cos da análise saem do programa 133 DADOS DE ENTRADA TÍPICOS DE UM PROGRAMA DE COMPUTADOR Esta seção ilustra de forma muito simplifi cada o tipo de informação que é fornecida para um programa de computador que analisa estruturas reticuladas planas O objetivo é caracterizar os grupos de dados necessários para o programa realizar as seguintes tarefas 1 Montar o sistema de equações de equilíbrio do método da rigidez direta 2 Resolver esse sistema determinando os valores dos deslocamentos e rotações dos graus de liber dade livres 3 Calcular as reações de apoio 4 Determinar esforços internos nas extremidades das barras nas direções dos seus eixos locais Todos esses passos serão detalhados nas próximas seções Obviamente cada programa de computador defi ne um formato próprio para os dados de entrada Os tipos de dados entretanto são comuns à maioria dos programas e podem ser classifi cados basicamen te nos seguintes grupos coordenadas nodais e restrições de apoio incidência nodal das barras e propriedades dos seus materiais e de suas seções transversais grupo que também fornece informações sobre liberações de continuidade por exemplo prove nientes de rótulas recalques de apoio cargas nodais propriamente ditas carregamentos no interior das barras Os três últimos grupos de dados são fornecidos para cada caso de carregamento Para ilustrar os dados de entrada adotase o pórtico da Figura 132 como exemplo A seguir é re produzida a listagem de um arquivo textual com os dados de entrada desse exemplo para um programa genérico Coordenadas Nodais e Condições de Suporte Nó X Y DeslocX DeslocY RotaçãoZ Mola X Mola Y Mola Z m m tipo tipo tipo kNm kNm kNmrad 1 00 00 Fixo Fixo Fixo 00 00 00 2 120 00 Fixo Fixo Mola 00 00 00 3 00 20 Livre Livre Livre 00 00 800000 4 00 60 Livre Livre Livre 00 00 00 5 120 70 Livre Livre Livre 00 00 00 6 120 110 Livre Livre Livre 00 00 00 Bookconceitosindb 417 532010 084042 ELSEVIER 418 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Dados das Barras Barra Nó Nó Rótula Rótula ModElást Área Seção MomInércia inicial fi nal inicial fi nal kNm2 m2 m4 1 1 3 Não Não 20e08 0008 00004 2 2 5 Não Não 20e08 0008 00004 3 3 4 Sim Não 20e08 0008 00004 4 3 5 Não Não 20e08 0008 00004 5 4 6 Não Não 20e08 0008 00004 6 5 6 Não Não 20e08 0008 00004 Dados de Cargas Concentradas em Nós Nó Fx kN Fy kN Mz kNm 3 200 00 00 4 200 00 00 Dados de Carregamentos Uniformemente Distribuídos em Barras Barra Direção Qx kNm Qy kNm 4 Global 00 120 5 Global 00 120 A geometria global do modelo é fornecida através das coordenadas dos nós defi nidas em algum sistema de eixos globais Para cada nó fornecemse um número ou índice e suas coordenadas No caso plano são as coordenadas em relação aos eixos globais X e Y No exemplo o nó com índice 1 está locali zado na origem do sistema de eixos globais As restrições de apoio são informadas para cada nó e indicam os graus de liberdade fi xos livres ou com um apoio elástico No exemplo o nó com índice 1 é um engaste e tem os três graus de liberdade fi xos O nó com índice 2 tem um apoio do 2o gênero deslocamentos nas direções X e Y fi xos e um apoio elástico rotacional cujo coefi ciente de rigidez é fornecido Os demais nós têm todos os graus de liberdade livres A topologia do modelo isto é a maneira como as barras se interconectam é obtida pelo programa de computador com base em uma informação que se costuma denominar incidência nodal dos elementos Essa informação é uma das mais importantes para o programa de computador pois permite que a matriz de rigidez global do modelo que contém os coefi cientes do sistema de equações de equilíbrio seja mon tada de maneira muito efi ciente Essencialmente essa informação indica como as barras usam os nós do modelo Para cada barra que é identifi cada por um índice informase o número de seu nó inicial e de seu nó fi nal O número de um nó é o índice utilizado para defi nir suas coordenadas Na informação sobre os dois nós de uma barra é importante a ordem em que os índices dos nós são fornecidos Isso defi ne o sentido do eixo local x da barra Tal eixo é orientado do nó inicial para o nó fi nal O sentido do eixo x defi ne o sistema de eixos locais da barra O eixo local z da barra sempre sai do plano e o eixo local y é tal que o produto vetorial do eixo x pelo y resulta no eixo z Várias informações estão associadas aos eixos locais de um elemento de barra Um carregamento no seu interior pode ser defi nido com componentes nas direções dos eixos locais ou nas direções dos eixos globais Na próxima seção será visto que os resultados dos esforços internos atuantes nas extremidades das barras têm sinais associados às direções dos eixos locais das barras No exemplo além da incidência nodal para cada barra são fornecidos o valor do módulo de elasti cidade do seu material e os valores de área e momento de inércia da sua seção transversal Os dados de propriedades de barra acusam a presença de uma rótula na extremidade inicial da barra com índice 3 As cargas nodais são informadas nas direções dos eixos globais Os sinais dos valores fornecidos são associados aos sentidos desses eixos Bookconceitosindb 418 532010 084042 Capítulo 13 Método da rigidez direta 419 No exemplo as forças uniformemente distribuídas são aplicadas nas barras com índices 4 e 5 na direção do eixo global Y Portanto o carregamento nessas barras é defi nido nas direções dos eixos globais o sinal negativo indica que as forças distribuídas são contrárias ao sentido positivo do eixo Y isto é para baixo 134 RESULTADOS TÍPICOS DE UM PROGRAMA DE COMPUTADOR Os resultados da análise de uma estrutura reticulada fornecidos por um programa de computador de pendem muito do tipo de análise Em uma análise simples como a do pórtico da Figura 132 que tem apenas um caso de carregamento original os resultados típicos são deslocamentos e rotações nodais reações de apoio esforços internos nas extremidades das barras A seguir estão listados os resultados textuais da análise do pórtico de estudo feita por um programa genérico Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais Nó Desloc X m Desloc Y m Rotação Z rad 1 0000e00 0000e00 0000e00 2 0000e00 0000e00 4929e04 3 3212e03 1975e04 3015e03 4 1482e03 4507e04 1842e03 5 3789e03 6739e04 1087e03 6 1114e03 8107e04 2054e03 Reações de Apoio Nó Fx kN Fy kN Mz kNm 1 236 1580 1442 2 164 1540 394 Resultados de Esforços Internos nas Barras direções locais Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento Nó inic Nó fi nal Nó inic Nó fi nal Nó inic Nó fi nal kN kN kN kN kNm kNm 1 1580 1580 236 236 1442 970 2 1540 1540 164 164 394 756 3 1013 1013 341 341 00 1365 4 130 730 668 772 970 1645 5 889 289 727 713 1365 1276 6 547 547 541 541 889 1276 Os deslocamentos e rotações nodais fornecidos pelo programa têm as direções dos eixos globais O mesmo ocorre para as reações de apoio A Figura 135 mostra esses resultados de forma gráfi ca A elás tica da estrutura é traçada com base nos valores dos deslocamentos e das rotações nodais As funções de forma das barras Seção 91 são usadas para isso Para as barras inclinadas carregadas a elástica prove niente da situação de engastamento perfeito da barra deve ser superposta ao efeito global dos resultados do programa de computador Na fi gura as reações de apoio estão desenhadas com seus sentidos físicos após a interpretação de seus sinais Bookconceitosindb 419 532010 084042 420 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 1 it it U 1 it 1 it 27 i oe 1 a 7 v7 7 7 o7 Leer 7 t Oa i 236 KN 164 kN ee ry FW a kNm st 364 kNm 9 Q 8 Figura 135 Configuracdo deformada ampliada em 40 vezes em relacdo a escala da estrutura e reacdes de apoio do portico da Figura 132 Em geral um programa de computador fornece em resultados textuais os esforcgos internos nas extre midades das barras de acordo com as direc6es de seus eixos locais Os valores seguem a convencao de sinais adotada no método dos deslocamentos como definido na Secdo 104 Tabela 101 Conforme descrito anterior mente as direcdes dos eixos locais de uma barra dependem da ordem de indicacao dos nos da barra Isso deve ser levado em conta para interpretar de forma correta os valores dos esforcos internos fornecidos pelo programa Para realizar o tracado dos diagramas de esforcos internos é preciso converter os valores obtidos dos resultados textuais do programa para a convengao usual adotada Secao 36 As Figuras 136 137 e 138 mostram os diagramas de esforcos normais esforcos cortantes e momentos fletores do exemplo 9 Ae Nh BS 34 Se im 5 Q 1 3 T wr i rx Figura 136 Diagrama de esforcos normais do portico da Figura 132 L T aa h 3 oeb R kN 2 INI ty rx Figura 137 Diagrama de esforcos cortantes do portico da Figura 132 ttle Capitulo 13 Método da rigidez direta 421 Ds e CO Sb 9 ae K gers co il e i LS Figura 138 Diagrama de momentos fletores do portico da Figura 132 135 SISTEMAS DE COORDENADAS GENERALIZADAS Uma das caracteristicas mais marcantes do método dos deslocamentos é a soma de contribuicées de coe ficientes de rigidez locais das barras para compor os coeficientes de rigidez globais da estrutura Isso foi salientado algumas vezes nos trés capitulos anteriores No método da rigidez direta essa caracteristica fica mais marcante porque essa soma é feita de forma explicita e direta conforme sera visto na sequéncia deste capitulo Alias o termo direta no nome do método vem justamente dai Entretanto para poder efetuar a soma de coeficientes de rigidez locais de varias barras é preciso que esses coeficientes estejam definidos no mesmo sistema de eixos Ocorre que os coeficientes de rigidez locais se referem a direcdes dos eixos locais da barra Secao 92 Para somar os coeficientes de rigidez locais deve se projetalos previamente para um sistema de eixos tinico em geral para o sistema de eixos globais Essa questao foi abordada em um exemplo com barra inclinada na Secao 1063 e essa necessidade foi salientada Para tratar de forma genérica e arbitraria a transformacao dos coeficientes de rigidez locais do sis tema local de uma barra para o sistema global da estrutura 6 conveniente definir sistemas de coordenadas generalizadas que sao usados para indicar as direcoes dos coeficientes de rigidez da barra ou da estrutura Coordenadas generalizadas sao direcdes associadas aos graus de liberdade ou deslocabilidades de uma barra ou de uma estrutura As coordenadas generalizadas globais sao as direcoes utilizadas para definir os graus de liberdade globais da estrutura As coordenadas generalizadas locais do elemento de barra sao as direcées utilizadas para definir as deslocabilidades locais Para uma barra as coordenadas generalizadas locais podem estar associadas tanto as direcdes dos eixos locais ou do sistema local quanto as diregdes dos eixos globais ou do sistema global A Figura 139 mostra um exemplo com os trés tipos de sistemas de coor denadas para um portico simples Os eixos locais das barras também estao indicados na figura Na verdade as coordenadas generalizadas foram utilizadas em outras partes deste livro mas sem explicitalas Por exemplo as forgas generalizadas globais apresentadas na Secao 132 se referem as co ordenadas generalizadas globais Em outra situagao as solugdes fundamentais reacdes de engastamento e coeficientes de rigidez locais para barras isoladas apresentadas no Capitulo 9 foram definidas nas direcdes das coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais das barras A novidade é a definicao de coordenadas generalizadas locais nas direcdes dos eixos globais Essas coordenadas sao utilizadas em etapas intermedidrias do método da rigidez direta em que é necessario somar contribuicdes vindas das diversas barras para compor um efeito global O exemplo mais evidente dessa utilizagdo 6 na montagem da matriz de rigidez global da estrutura com base nos coeficientes de rigidez da barras Secao 137 Outro exemplo é a composicao das forcas generalizadas globais que rece bem contribuicdo das cargas equivalentes nodais das barras carregadas e das cargas nodais propriamente ditas Secdo 138 ELSEVIER 422 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 x y x y x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4 5 6 1 2 3 1 2 3 7 8 9 5 4 6 10 11 12 Coordenadas generalizadas globais Eixos locais das barras Coordenadas generalizadas locais no sistema global Coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais Figura 139 Sistemas de coordenadas generalizadas adotados no método da rigidez direta 136 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL NO SISTEMA GLOBAL Conforme comentado na seção anterior para considerar a infl uência de uma barra na matriz de rigidez global é preciso transformar as propriedades mecânicas da barra que são defi nidas naturalmente pelos coefi cientes de rigidez no seu sistema de eixos locais para o sistema de coordenadas generalizadas glo bais A Seção 92 defi niu coefi cientes de rigidez locais no sistema local da barra O objetivo desta seção é defi nir outra versão da matriz de rigidez da barra Essa versão relaciona forças e momentos que atuam nas extremidades da barra nas direções das coordenadas generalizadas globais com deslocamentos e rotações das extremidades nas mesmas direções Isso é indicado na Figura 1310 para uma barra com inclinação arbitrária dada pelo ângulo θ Essa versão da matriz é denominada matriz de rigidez local no sistema global 1f 2f 3f 6f 5f 4f 1 d 2 d 3 d 6 d 5 d 4 d x y X Y l θ Figura 1310 Forças generalizadas e deslocabilidades locais de uma barra defi nidas no sistema de eixos globais Uma deslocabilidade de uma barra isolada no sistema global é defi nida formalmente como id deslocabilidade local de barra no sistema global deslocamento na direção de um dos eixos globais X ou Y ou rotação em extremidade de uma barra isolada Bookconceitosindb 422 532010 084042 Capítulo 13 Método da rigidez direta 423 Os índices 1 e 4 estão relacionados com deslocabilidades horizontais isto é na direção do eixo global X Os índices 2 e 5 são usados para as deslocabilidades na direção do eixo global vertical Y E os índices 3 e 6 se referem às rotações nas extremidades Referese às forças e aos momentos que atuam nas extremidades da barra isolada como if força generalizada local de barra no sistema global força ou momento que atua na direção da deslo cabilidade id de uma barra para equilibrála quando isolada Os coefi cientes de rigidez relacionam forças generalizadas com deslocabilidades No presente con texto a seguinte notação é utilizada kij coefi ciente de rigidez local de barra no sistema global força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isolada na direção da deslocabilidade id para equilibrála quando a deslocabilidade unitária jd 1 é imposta isoladamente em uma das suas extremidades De maneira inteiramente análoga ao que foi feito na Seção 92 podese mostrar que a superposição dos efeitos de todas as deslocabilidades com valores arbitrários resulta na seguinte relação matricial 6 5 4 3 2 1 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 6 5 4 3 2 1 d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f 131 A Equação 131 pode ser escrita de forma condensada d k f 132 Sendo f vetor das forças generalizadas de barra no sistema global conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos globais para equilibrála quando isolada k matriz de rigidez de uma barra no sistema global matriz dos coefi cientes de rigidez locais ij k nas dire ções dos eixos globais d vetor das deslocabilidades de barra no sistema global conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos globais Assim como para a matriz de rigidez local no sistema local a matriz no sistema global também é simétrica ver teorema de Maxwell versão para deslocamento generalizado unitário imposto Equação 742 isto é ij ji k k 133 Uma consequência da defi nição do coefi ciente de rigidez local ij k é A jésima coluna da matriz de rigidez k de uma barra corresponde ao conjunto de forças gene ralizadas que atuam nas extremidades da barra paralelamente aos eixos globais para equilibrá la quando é imposta uma confi guração deformada tal que jd 1 deslocabilidade jd com valor unitário e as demais deslocabilidades com valor nulo É possível formular uma transformação da matriz de rigidez no sistema local de uma barra genérica com qualquer inclinação para a matriz no sistema global Para tanto é preciso relacionar as deslocabili Bookconceitosindb 423 532010 084043 ELSEVIER 424 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha dades da barra no sistema local com as deslocabilidades no sistema global A Figura 1311 mostra repre sentações das deslocabilidades nos dois sistemas 1 d 2 d 5 d 4 d x y X Y l θ 1 d 2 d 3 3 d d 6 6 d d 5 d 4 d Figura 1311 Representações das deslocabilidades de uma barra no sistema local e no sistema global Com base na Figura 1311 podese obter as deslocabilidades locais em função das globais θ θ sen cos 2 1 1 d d d θ θ sen cos 5 4 4 d d d θ θ cos sen 2 1 2 d d d θ θ cos sen 5 4 5 d d d 3 3 d d 6 6 d d Essas relações podem ser representadas de forma condensada d R d 134 sendo d o vetor das deslocabilidades da barra no sistema local e R uma matriz de transformação por rotação 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sen 0 0 0 0 sen cos θ θ θ θ θ θ θ θ R 135 A matriz de transformação por rotação é ortogonal isto é sua inversa é igual à sua transposta T 1 R R Por causa disso podese obter as deslocabilidades no sistema global em função das desloca bilidades no sistema local a partir da transposta da matriz R T d R d 136 De maneira semelhante podese obter as forças generalizadas da barra no sistema global em função das forças generalizadas no sistema local Figura 1312 θ θ sen cos 2 1 1 f f f θ θ sen cos 5 4 4 f f f θ θ cos sen 2 1 2 f f f θ θ cos sen 5 4 5 f f f 3 3 f f 6 6 f f 1f 2f 3f 6f 5f 4f X Y l θ 1f 2f 3f 6f 5f 4f x y l θ Figura 1312 Representação das forças generalizadas de uma barra no sistema global e no sistema local Bookconceitosindb 424 532010 084044 oni Capitulo 13 Método da rigidez direta 425 Definese entao as seguintes relagdes matriciais entre as forcas generalizadas da barra fIRV 137 fRf 138 A relacao que existe entre dR d e fRf chamada de relacao de contragradiéncia Ru binstein 1970 pois a iltima expressdo pode ser obtida a partir da primeira utilizando o principio dos deslocamentos virtuais PDV como mostrado a seguir Dado um campo de deslocamentos virtuais o trabalho provocado pelas forcas externas nao depen de do sistema de eixos utilizado para definir as forcas Assim 0 trabalho das forcas no sistema global é igual ao trabalho das forcas no sistema local para um campo de deslocamentos virtuais d R d Logo df df Considerando que d dR chegase a df dRf Como 0 campo de deslocamentos virtuais é arbitrario podese cancelar d dessa expressdo Com isso chegase de maneira alternativa a relacao fRf Para determinar a matriz de rigidez da barra no sistema global partese da Equacao 912 tle L a sendo k a matriz de rigidez da barra no sistema local Substituindo d por Rd e prémultiplicando essa equacao por R resulta RP f1R Tk IR a Ou seja f IRF KIRA Com base na Equacao 132 chegase a kR kR 139 E importante salientar que a Equacao 139 é valida para qualquer tipo de barra com ou sem articulacdo inclusive para barra com secao transversal variavel Essa generalidade é muito importante para a implemen tacao computacional pois permite que o procedimento para montagem da matriz de rigidez global trate as matrizes de rigidez de todas as barras da mesma maneira independentemente das suas caracteristicas Em geral um programa de computador tem uma funcao que calcula a matriz de rigidez k da barra no sistema local De acordo com a Secao 928 a determinacao dessa matriz para 0 caso de barra prisma tica depende do comprimento da barra do médulo de elasticidade do material da area e do momento de inércia da secao transversal e da condicao de articulacgdo nas extremidades As Equacoées 950 a 953 mostram a matriz para barra prismatica sem articulacao e com articulacées A matriz de transformacao por rotacao R também pode ser obtida genericamente Conforme visto na Secao 133 as coordenadas dos nés inicial e final de uma barra sao fornecidas para um programa de computador Esses dados sao suficientes para calcular cos e sen presentes na Equacao 135 da matriz de rotacao Considere que i é o indice do né inicial e j o indice do no final da barra como mostrado na Figura 1313 As coordenadas do no inicial sao XY e as do né final sao XY Y 9 Y j I i eT Xx Xx Y 0 Y 9 J Xx Xx Figura 1313 Quatro orientacdes tipicas de uma barra ELSEVIER 426 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha O comprimento da barra é dado por 2 2 i j i j Y Y X X l Sendo θ o ângulo de inclinação da barra podese determinar cosθ e senθ da seguinte maneira l X X i j cosθ l Y Y j i θ sen Essas expressões são válidas para qualquer inclinação da barra e para qualquer ordem que se consi dere o nó inicial e o nó fi nal de uma barra A Figura 1313 mostra exemplos de duas inclinações da barra com variações na ordem de indicação do nó inicial e do nó fi nal da barra Isso resulta em quatro situações típicas para o ângulo θ uma em cada quadrante Observe que os sinais de cosθ e senθ obtidos pelas ex pressões anteriores são consistentes com as inclinações da barra 137 MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL O método dos deslocamentos determina a matriz de rigidez global de um modelo por superposição de casos básicos Em cada caso básico é imposta uma confi guração deformada que isola o efeito de um grau de liberdade global Podese dizer que esse procedimento faz a montagem da matriz de rigidez global por coluna pois a jésima coluna da matriz de rigidez global K corresponde ao conjunto de forças e momentos que atua nas direções das coordenadas generalizadas globais para equilibrar a estrutura quando se impõe uma confi guração deformada com grau de liberdade Dj 1 Por exemplo a Figura 1314 mostra os coefi cientes da 9a e da 10a colunas da matriz de rigidez global de um pórtico genérico que correspondem respectiva mente à imposição de D9 1 e D10 1 1 2 3 7 8 9 5 4 6 10 11 12 Coordenadas generalizadas globais K1010 K1110 K1210 K710 K810 K910 K610 K410 K510 K110 K210 K310 K109 K119 K129 K79 K99 K69 K49 K59 K19 K29 K39 D10 1 D9 1 K89 Figura 1314 Coefi cientes de rigidez da 9a e da 10a colunas de uma matriz de rigidez global Observe que o modelo da Figura 1314 está solto no espaço isto é a matriz de rigidez global está sendo montada considerando todos os graus de liberdade inclusive os que podem estar com restrições de apoio Conforme comentando anteriormente a consideração das condições de suporte é feita em uma fase posterior à montagem da matriz de rigidez global Seção 1310 que é portanto montada por com pleto O procedimento de montagem da matriz K por coluna é adequado para uma resolução manual Entretanto esse algoritmo não é o mais adequado para uma implementação computacional O procedi mento característico do método da rigidez direta é o da montagem da matriz de rigidez por barra Tal algo ritmo monta a matriz K de forma direta somando as contribuições das matrizes de rigidez das barras uma de cada vez o que será explicado a seguir Bookconceitosindb 426 532010 084045 Capítulo 13 Método da rigidez direta 427 Na Figura 1314 observe que quando se impõe o grau de liberdade D9 1 somente as barras com índices 1 e 3 são mobilizadas Essas duas barras são adjacentes ao nó associado a D9 Nessa situação a barra com índice 2 não sofre deformação alguma e portanto não contribui para a 9a coluna da matriz de rigidez global De maneira análoga somente as barras com índices 2 e 3 são mobilizadas pela confi gura ção deformada imposta por D10 1 sendo que a barra com índice 1 não contribui para a 10a coluna de K Esse raciocínio pode ser generalizado da seguinte maneira Os coefi cientes da matriz de rigidez k de uma barra contribuem apenas para os termos da ma triz de rigidez global K associados às coordenadas generalizadas globais dos nós inicial e fi nal da barra Tal afi rmação parte do princípio de que não se considera restrição alguma nas deformações das barras como por exemplo a consideração de barras inextensíveis Dessa forma a cada nó de um pórtico plano são associados exatamente três graus de liberdade Portanto a informação principal para a montagem da matriz de rigidez global a partir das matrizes de rigidez das barras é o relacionamento entre as coordenadas generalizadas locais de cada barra com as coordenadas generalizadas globais Note que só faz sentido estabelecer esse relacionamento se as coorde nadas generalizadas locais e globais estiverem no mesmo sistema de eixos Por isso é preciso transformar as matrizes de rigidez das barras dos sistemas locais para o global Essencialmente o relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais é uma garan tia de satisfação das condições de compatibilidade interna Isso ocorre porque a associação de coorde nadas generalizadas locais que se correspondem em barras adjacentes com uma única coordenada generalizada global é na verdade uma imposição de compatibilidade entre componentes de deslo camento ou rotação das barras que se conectam Como no método dos deslocamentos o método da rigidez direta trabalha intrinsecamente satisfazendo condições de compatibilidade em todas as etapas da metodologia A Figura 1315 mostra um exemplo para explicar como é feito o relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais As matrizes de rigidez locais das barras no sistema global são ilustradas na fi gura em separado com o índice da barra identifi cando cada matriz Nos desenhos representativos das matrizes somente os coefi cientes de rigidez locais não nulos são mostrados Para cada barra do modelo da Figura 1315 é criado um vetor de índices que associa cada coordena da generalizada local com a coordenada global correspondente e vetor de espalhamento vetor com a dimensão do número de coordenadas generalizadas locais de um elemento de barra em que cada termo ei armazena o número da coordenada generalizada global associado à coordenada generalizada local i O exemplo da Figura 1315 mostra os vetores de espalhamento das três barras do modelo As barras estão indicadas com a numeração das coordenadas generalizadas locais fi gura superior à esquerda e com a numeração das coordenadas generalizadas globais fi gura superior à direita Observe que o vetor de espalhamento de cada barra armazena seguindo a ordenação das coordenadas locais os índices das coordenadas globais Bookconceitosindb 427 532010 084045 ELSEVIER 428 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 1315 Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global Os vetores de espalhamento de todas as barras dependem da numeração das coordenadas genera lizadas globais que é arbitrária Devese salientar que como não poderia deixar de ser os resultados de uma análise não dependem da estratégia utilizada para essa numeração Existem diversas estratégias para numerar os graus de liberdade de um modelo estrutural dependendo da técnica utilizada para resolver o sistema de equações globais cujos coefi cientes são os termos da matriz de rigidez global No entanto foge do escopo deste livro abordar esse problema Podese dizer que a numeração dos graus de liberdade de forma geral procura diminuir ao máximo o número de coefi cientes da matriz K arma Bookconceitosindb 428 532010 084045 Capítulo 13 Método da rigidez direta 429 zenados na memória do computador Em algumas situações a técnica de numeração visa uma solução numérica mais efi ciente do sistema de equações Muitas vezes as duas questões minimização do uso de memória e efi ciência numérica de solução do sistema determinam em conjunto a escolha da estratégia de numeração dos graus de liberdade Os artigos de Cuthill e Mckee 1969 Gibbs et al 1976 e Sloan 1986 são referências clássicas sobre esse assunto Por simplicidade no presente contexto a numeração das coordenadas generalizadas globais segue a ordem dos índices fornecidos para os nós do modelo Considere que os nós são numerados consecu tivamente de 1 até o número total de nós nn e que i é o índice do nó inicial de uma barra e j o índice do nó fi nal Utilizando essa estratégia para o caso de pórtico plano o vetor de armazenamento da barra resulta com os seguintes valores j j j i i i e 3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 T Essa estratégia de numeração será modifi cada para permitir o particionamento do sistema de equa ções que é utilizado por uma das técnicas para considerar condições de apoio Seção 13101 O algoritmo para montagem da matriz de rigidez global por barra independe da estratégia adotada para numerar as coordenadas generalizadas globais Tal algoritmo segue um procedimentopadrão que é descrito a seguir Em uma etapa de inicialização a matriz de rigidez global K é criada com todos os coefi cientes nulos Em seguida a contribuição de cada uma das barras uma de cada vez é somada na matriz K Ao fi nal depois de todas as barras terem sido consideradas a matriz de rigidez global está completa Note na Figura 1315 o posicionamento de cada um dos coefi cientes de rigidez das barras na matriz de rigidez global A linha e a coluna da matriz global que recebem a contribuição de um coefi ciente de rigidez local de uma barra são determinadas com base no vetor de espalhamento e da barra Considere que i e j são os índices do coefi ciente de rigidez local kij A linha e a coluna na matriz K associadas a esse coefi ciente são ii ei jj ej Dessa forma a contribuição de kij para Kiijj é obtida da seguinte maneira Kiijj Kiijj kij Observase que o algoritmo é muito simples De maneira informal podese condensar esse algorit mo da seguinte maneira barras k barra K sendo que esse somatório pressupõe um espalhamento prévio das matrizes de rigidez locais das barras para a dimensão da matriz de rigidez global O procedimento de montagem da matriz de rigidez global é exemplifi cado na Figura 1316 para o pórtico plano da Figura 132 Na Figura 1316 cada matriz de rigidez local tem seus coefi cientes não nulos identifi cados por um símbolo único Note que a barra com índice 3 tem uma articulação na extremidade inicial inferior Por tanto a terceira linha e a terceira coluna da matriz de rigidez dessa barra são nulas pois correspondem ao grau de liberdade associado à rotação liberada pela rótula Os diferentes símbolos utilizados para os coefi cientes de rigidez locais servem para identifi car em que posições da matriz de rigidez global sentese a contribuição de cada coefi ciente ao mesmo tempo em que é possível visualizar a sobreposição de coefi cientes de rigidez das diversas barras Bookconceitosindb 429 532010 084047 430 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 17 Spt generalizadas globais 6 16 Numeragao nodal que resulta na minimizagao da semi 6 14 largura de banda B46 11 15 12 5 13 5 4 10 4 3 8 DY 1 7 YS 6 3 er 3 1 49 2 fs Coun is 1 HT UT Ty 4 PICT IDL 2 B 12 POPC or ys HE hs PTT a 2 HET TT ET 7 Pe 2 ETT Tas PL a HE Ws a aero OLLIE Ms T23789 PT TT Ti TT TT TT TT PP ys 45 6 181415 e COLE PeP ECE op po WA CT oo AF Oe es LESS Ae ECC CE NSNCECRAN FLERE EG PCCAPVZZE Va Es Lt Tt tl Vy Ay Ey 4 LTT Ti YY Aa TEs V7 LT EE ETE TE TT NNN OENIAAN 16 ANAAWNN 110 VVYYyis f TTT TT TE TT NNN EE NAN 7 ANAANN 71 Ye 69L TTT TT TT NNN ENAN 18 AAAANN 722 VAVAVAVAVAVAG 1234 5 6 7 8 910111213141516 17 18 NANANA 16 LALA SSNARN 7 8 9131415 10 111216 17 18 Figura 1316 Montagem da matriz de rigidez global para o portico da Figura 132 Existem diversos aspectos a serem salientados a respeito da matriz de rigidez global resultante O pri meiro é que obviamente se obtém a mesma matriz utilizando os procedimentos de montagem por coluna q p sem p Talvez a caracteristica mais marcante da matriz K seja o que se denomina esparsidade isto é a for ma como seus coeficientes sao agrupados Notase que a formacao natural da matriz de rigidez global faz com que os termos diferentes de zero os que tém algum simbolo na matriz da Figura 1316 fiquem proximos da diagonal principal Fora da faixa em torno dessa diagonal s6 existem termos nulos Dizse entao que a matriz tem a formacao em banda Sabese também que a matriz K é simétrica Portanto é possivel explorar o formato em banda ea simetria da matriz para armazenar o namero minimo de coeficientes nado nulos Dessa forma uma pos sibilidade é armazenar na memoria do computador uma matriz retangular com numero de linhas igual ao numero de graus de liberdade e com o ntmero de colunas igual ao pardmetro B Figura 1316 que é chamado de semilargura de banda A semilargura de banda é a maior largura b de todas as linhas da Capítulo 13 Método da rigidez direta 431 matriz considerando como largura de uma linha o número de coefi cientes entre a diagonal principal inclusive e o último coefi ciente não nulo naquela linha para a direita As seguintes considerações podem ser feitas para a determinação da semilargura de banda B 1 Considerando ngl o número de graus de liberdade por nó no caso de pórtico plano ou grelha ngl 3 para treliças como as rotações nodais não são levadas em conta ngl 2 e em um pórtico espacial em que cada nó tem potencialmente três componentes de deslocamento e três compo nentes de rotação ngl 6 2 Considerando uma barra genérica que conecta os nós com índices i e j suponha que i j 3 As coordenadas generalizadas globais são numeradas seguindo a ordenação da numeração dos nós 4 A matriz está sendo montada para a estrutura solta no espaço isto é nenhum nó tem restrição de apoio e todos os graus de liberdade do modelo estão sendo considerados Dessa forma a dimensão da matriz quadrada que é igual ao número total de graus de liberdade é n nnngl sendo nn o número total de nós O procedimento para determinação da semilargura de banda também é realizado por barra Para cada barra verifi case qual é a maior largura b das linhas da matriz global que são afetadas pela inser ção da matriz de rigidez da barra b nglj ngli 1 1 1 b nglj i 1 A semilargura de banda depende da máxima diferença entre os índices dos dois nós extremos de barra considerando todas a barras do modelo B nglj imáx 1 A expressão j imáx 1 é chamada de banda nodal Observase com base no exemplo da Figura 1316 que o formato em banda ainda considera em seu interior um número considerável de termos nulos da matriz O que se busca é uma numeração que minimize a semilargura de banda a fi m de diminuir a quantidade de memória necessária para armaze nar a matriz K A numeração adotada no exemplo não é a que minimiza a semilargura de banda pois a banda nodal é igual a 4 proporcionada pela barra com índice 2 resultando em B 12 O detalhe no canto superior direito da fi gura mostra uma renumeração dos nós que minimiza a banda nodal para 3 Existem outros formatos para armazenar em memória a matriz K buscando sempre evitar o arma zenamento de coefi cientes nulos O mais famoso é o skyline Cook et al 1989 de silhueta dos arranha céus que armazena em um vetor único de forma consecutiva os coefi cientes de cada coluna da matriz da diagonal principal até o último termo não nulo para cima Ainda pode restar o armazenamento de alguns termos nulos mas bem menos do que no formato em banda Notase também na Figura 1316 que as sobreposições de coefi cientes de rigidez locais se dão em torno da diagonal principal da matriz de rigidez global Essa é uma característica associada ao arranjo de barras em uma estrutura que fi cam conectadas pelos nós A sobreposição próxima à diagonal principal se dá por submatrizes com dimensão nglxngl 3x3 no caso do pórtico plano No exemplo o maior núme ro de submatrizes sobrepostas é 3 Isso está associado ao fato de os nós com índices 3 e 5 serem usados por três barras cada um Na verdade a montagem de toda matriz se dá por submatrizes com dimensão 3x3 uma vez que a numeração das coordenadas generalizadas globais de cada nó é consecutiva nesse exemplo Por causa disso um grupo consecutivo de três linhas e um grupo consecutivo de três colunas da matriz global estão associados a um determinado nó Podese pensar que as submatrizes são unidades para o preenchimento Bookconceitosindb 431 532010 084047 ELSEVIER 432 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha da matriz global Dessa maneira a identifi cação das posições de contribuição de uma matriz de rigidez local na matriz global baseiase apenas nos números dos nós da barra Um último ponto a ser salientado na montagem da matriz de rigidez global da Figura 1316 é a contribuição do coefi ciente de rigidez rotacional do apoio elástico no nó com índice 2 Esse coefi ciente de rigidez se soma ao termo K66 da matriz de rigidez global como explicado na Seção 117 um apoio elástico translacional ou rotacional que restringe parcialmente o grau de liberdade Di é considerado adicionandose seu coefi ciente de rigidez ao coefi ciente de rigidez global Kii 138 MONTAGEM DAS CARGAS NODAIS COMBINADAS NO VETOR DAS FORÇAS GENERALIZADAS GLOBAIS O problema discreto de análise estrutural que se quer resolver é o do caso de carregamento II descrito na Seção 132 Nesse problema o comportamento do modelo estrutural é representado por parâmetros associados aos nós que são os pontos de discretização Todas as solicitações desse modelo discretizado são convertidas em cargas nodais combinadas que consideram os efeitos dos carregamentos atuantes no interior das barras e as cargas nodais propriamente ditas As cargas nodais combinadas e as reações de apoio formam o vetor das forças nodais generalizadas F do modelo A dimensão desse vetor é a dimen são da matriz de rigidez global completa isto é o número de termos de F é igual a n nnngl sendo nn o número de nós do modelo e ngl o número de graus de liberdade por nó ngl 3 no caso de pórtico plano Esta seção descreve um procedimento para a montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças nodais generalizas globais O procedimento se dá em duas etapas que estão ilustradas nas Figuras 1317 e 1318 para o exemplo com três barras da Figura 139 1 1ˆf 1 2ˆf 1 3ˆf 1 4ˆf 1 5ˆf 1 6ˆf 1ˆf 2 2ˆf 2 3ˆf 2 4ˆf 2 5ˆf 2 6ˆf 2 3 1ˆf 3 2ˆf 3 3ˆf 3 4ˆf 3 5ˆf 3 6ˆf 1 1ˆf Reações de engastamento perfeito no sistema global 1 3ˆf 1 2ˆf 3 5ˆf 3 6ˆf 3 4ˆf 2 6ˆf 2 4ˆf 2 5ˆf Reações de engastamento perfeito nos sistemas locais 1 6ˆf 1 4ˆf 1 5ˆf 2 1ˆf 2 3ˆf 2 2ˆf 3 2ˆf 3 3ˆf 3 1ˆf Figura 1317 Transformação das reações de engastamento perfeito das barras dos sistemas locais para o sistema global Bookconceitosindb 432 532010 084048 Capítulo 13 Método da rigidez direta 433 Na primeira etapa as reações de engastamento perfeito das barras carregadas nos seus sistemas locais são transformadas para o sistema global Figura 1317 Isso é necessário porque as reações de engastamento das barras carregadas se transformam em cargas equivalentes nodais que se somam às cargas nodais propriamente ditas para formar as cargas nodais combinadas As reações de engastamento no sistema local de uma barra Seção 93 constituem uma das soluções fundamentais conhecidas e disponíveis para a aplicação do método da rigidez direta Genericamente as reações de engastamento de uma barra solicitada externamente são grupadas em um vetor ˆ f vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no seu sistema local conjunto de forças e mo mentos que atua nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos locais para equilibrála quando há uma solicitação externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas De acordo com a Equação 137 as reações de engastamento no sistema local podem ser convertidas para o sistema global da seguinte maneira ˆ ˆ T f R f sendo a matriz R fornecida pela Equação 135 para uma inclinação genérica da barra dada pelo ângulo θ A Figura 1317 mostra para o exemplo das três barras as reações de engastamento nos sistemas locais de cada barra e no sistema global As reações de engastamento de uma barra no sistema global são agrupadas em um vetor defi nido da seguinte maneira f ˆ vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema global conjunto de forças e momen tos que atua nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos globais para equilibrála quando há uma solicitação externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas A segunda etapa do procedimento de montagem das cargas nodais combinadas no vetor F é mos trada na Figura 1318 Primeiro as reações de engastamento das barras carregadas no sistema global são convertidas para cargas equivalentes nodais vindas das barras e atuantes nos nós Na verdade isso é trivial pois o efeito da barra sobre o nó é igual ao efeito do nó sobre a barra ação e reação com sentido invertido Observe que as reações de engastamento nas barras são o efeito dos nós sobre as barras pois os nós são engastados no caso de carregamento I da metodologia do método da rigidez direta Seção 132 A seguinte defi nição é feita ˆ f fe vetor das cargas equivalentes nodais de uma barra no sistema global conjunto de forças e mo mentos que atua nos nós adjacentes a uma barra nas direções dos eixos globais resul tante do transporte do carregamento que atua no interior da barra As cargas equivalentes nodais correspondem a reações de engastamento perfeito da barra carregada transporta das para os nós com sentidos invertidos Pelo menos para barras prismáticas esse trans porte é feito de forma consistente isto é levando em conta as funções de forma das barras Seção 91 Isso ocorre porque as cargas equivalentes nodais calculadas como reações de engastamento da barra e com sentidos invertidos produzem o mesmo trabalho virtual que o carregamento no interior da barra para um campo de deslocamentos virtuais ba seado nas funções de forma da barra como demonstrado na Seção 933 Bookconceitosindb 433 532010 084048 ELSEVIER 434 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 1318 Transporte e espalhamento das forças equivalentes nodais vindas das barras e superposição com cargas nodais propriamente ditas para formar as cargas nodais combinadas No exemplo da Figura na 1318 os nós do modelo são mostrados isolados com os efeitos vindos das barras cargas equivalentes nodais indicados em cada nó Na fi gura também estão indicadas em cada nó as correspondentes componentes das cargas nodais propriamente ditas que formam um vetor defi nido da seguinte maneira P vetor das cargas nodais propriamente ditas no sistema global conjunto de forças e momentos externos que atua diretamente sobre os nós nas direções dos eixos globais Considerando todos os graus de liberdade do modelo inclusive os que têm restrições de apoio a dimensão desse vetor é igual à dimensão do vetor das forças nodais generalizadas O vetor fe de cargas equivalentes nodais de cada barra tem como dimensão o número de graus de liberdade da barra Para somar as cargas equivalentes nodais com as cargas nodais propriamente ditas é preciso espalhar as cargas equivalentes nodais para a dimensão global do vetor P Esse espalhamento é semelhante ao que ocorre na montagem da matriz de rigidez global Na verdade é mais simples pois é um espalhamento para um vetor e não para uma matriz De maneira informal podese escrever a seguinte expressão para a montagem das cargas nodais cambinadas no vetor das forças nodais generalizadas globais barras barra P fe F Bookconceitosindb 434 532010 084048 Capítulo 13 Método da rigidez direta 435 sendo que esse somatório pressupõe um espalhamento prévio dos vetores das forças equivalentes nodais das barras para a dimensão do vetor F Finalmente devese salientar que algumas componentes das cargas nodais combinadas atuam na di reção de coordenadas generalizadas globais que correspondem a graus de liberdade restritos por apoios Essas componentes poderiam ser negligenciadas pois uma força aplicada em um apoio que restringe o movimento na direção da força não produz efeito em termos de esforços internos a força morre no apoio Na verdade as componentes das cargas nodais combinadas correspondentes aos graus de liberda de restritos por apoio são superpostas com sentidos invertidos diretamente às reações de apoio A Seção 13101 mostra um procedimento formal para determinar reações de apoio O procedimento mais usado entretanto é descrito na Seção 1311 139 INTERPRETAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES FINAIS COMO IMPOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO AOS NÓS ISOLADOS A estratégia adotada no método dos deslocamentos Capítulos 10 e 11 para resolver uma estrutura é su perpor uma série de confi gurações cinemáticas deformadas que satisfazem a compatibilidade os casos básicos para no somatório atender as condições de equilíbrio As confi gurações cinemáticas de cada caso básico satisfazem o equilíbrio mas à custa de forças e momentos fi ctícios que atuam nas direções das deslocabilidades Essas forças e momentos fi ctícios são os termos de carga e os coefi cientes de rigidez de cada coluna da matriz K Figura 1314 O equilíbrio fi nal da estrutura original é alcançado impondose que na superposicão dos casos básicos as forças e os momentos fi ctícios sejam nulos O método da rigidez direta é apenas uma roupagem diferente para o método dos deslocamentos A principal diferença está na estratégia da montagem da matriz de rigidez global conforme visto na Seção 137 Na verdade é tudo a mesma coisa até porque o sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos é o mesmo do método da rigidez E é isso que se pretende demonstrar nesta seção O conceito de equilíbrio global do modelo discretizado no método da rigidez direta é o de equilí brio dos nós isolados Considerando que as barras isoladas estão em equilíbrio garantido pelos coefi cientes de rigidez da barra e que existe compatibilidade de deslocamentos e rotações nas ligações da barras garantida pelo relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais o equilíbrio global da estrutura é alcançado se todos os nós isolados estiverem em equilíbrio Isso resulta em um sistema de equações cada uma associada a uma coordenada generalizada global Para auxiliar na ex plicação desse conceito o exemplo das três barras é utilizado novamente como ilustra a Figura 1319 A relação d k f dada pela Equação 132 fornece o conjunto de forças generalizadas locais que atua nas extremidades da barra nas direções dos eixos globais para equilibrála em uma dada confi gu ração deformada com valores arbitrários para as deslocabilidades no vetor d Essas forças generalizadas representam o efeito dos nós sobre a barra O efeito da barra sobre seus dois nós é igual mas com sentido invertido ação e reação Podese então defi nir o seguinte f fi vetor dos efeitos das deformações de uma barra sobre seus nós no sistema global conjunto de for ças e momentos que atua nos nós adjacentes a uma barra nas direções dos eixos globais resultante das deformações sofridas pela barra A Figura 1319 ilustra os efeitos dos vetores fi nos nós do exemplo com três barras O somatório das contribuições dos vetores fi de todas as barras precedido de um espalhamento para a dimensão global da estrutura resulta em barras fi barra Fi Bookconceitosindb 435 532010 084050 ELSEVIER 436 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha A defi nição do vetor resultante desse somatório é Fi vetor dos efeitos das deformações de todas as barras de um modelo sobre os nós no sistema global conjunto de forças e momentos que atua em todos os nós do modelo nas direções dos eixos globais resul tante das deformações sofridas pelas barras Figura 1319 Equilíbrio nodal das forças generalizadas internas vindas das barras com as forças externas generalizadas Podese mostrar que D K d k Fi barras barra sendo D vetor dos graus de liberdade globais do problema discreto incluindo graus de liberdade restritos por apoio Novamente esse somatório pressupõe um espalhamento das matrizes e vetores das dimensões lo cais das barras para as dimensões globais da estrutura O vetor Fi representa o efeito interno da estrutura sobre os nós O vetor F das forças generali zadas globais representa o efeito externo Por fi m impondo o equilíbrio de forças e momentos atuantes internos e externos nas direções de todas as coordenadas generalizadas globais chegase a F 0 Fi Ou seja F D K 1310 Bookconceitosindb 436 532010 084050 2 Capitulo 13 Método da rigidez direta 437 ELSEVIER Esse sistema representa 0 equilibrio de todos os nos da estrutura inclusive os restritos por apoio nas direcdes de todos os graus de liberdade Alguns termos do vetor D dos graus de liberdade sao conhecidos restricdes de apoio Os termos correspondentes do vetor F sao desconhecidos reagées de apoio 1310 CONSIDERACAO DAS CONDICOES DE APOIO Até o presente ponto da formulacao do método da rigidez direta nao foram consideradas as condicées de su porte na solucao do problema Matematicamente isso se reflete no fato de que a matriz de coeficientes do sis tema de equacoes indicado na Equacao 1310 é singular e por enquanto nao é possivel resolver o sistema Isso mesmo a matriz de rigidez global resultante do processo de montagem definido na Secao 137 tem o determi nante nulo Para identificar isso basta pensar que é possivel um movimento de corpo rigido para o modelo associado a um vetor dos graus de liberdade D com valores nao nulos mas com vetor de forcas F nulos E evidente que sem considerar as condic6des de apoio o problema nao tem solucao Esta secao apresenta trés procedimentos usualmente adotados para modificar 0 sistema de equagées de equilibrio considerando condic6es de suporte e dessa forma chegar a um sistema de equacées que tem solucao 13101 Particionamento do sistema de equacdes A maneira mais formal para considerar as condicdes de apoio é através do particionamento do sistema de equacées o que é conseguido por meio de uma renumeracao das coordenadas generalizadas globais de tal maneira que as coordenadas correspondentes aos graus de liberdade restritos por apoio sejam numeradas por ultimo Um exemplo desse tipo de renumeracao é mostrado na Figura 1320 para o portico da Figura 132 Coordenadas 5 generalizadas globais 6 renumeradas 4 2 3 10 1 8 D 7 13 14 6 16 17 Ks ist 18 Figura 1320 Renumeracdo das coordenadas generalizadas globais do portico da Figura 132 para particionamento do sistema de equacées de equilibrio O algoritmo para fazer a renumeracao é muito simples basta percorrer os nds do modelo e numerar inicialmente apenas as coordenadas com direoes livres de restricdo de apoio em um segundo passo numeramse as coordenadas restantes Com a renumeracao das coordenadas generalizadas globais a unica modificagéo em relagdo ao procedimento descrito na Secao 137 para a montagem da matriz de ri gidez global reside nos vetores de espalhamento e das barras os indices de coordenadas generalizadas globais armazenados nesses vetores refletem a renumeracao Apos a renumeracao 0 sistema da Equacao 1310 pode ser subdivido em dois sistemas Ky Di KytD Fd 1311 ELSEVIER 438 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha f f ff l fl F D K D K 1312 Nessas equações o subscrito l se refere a livre e o f se refere a fi xo O particionamento do sis tema permite a identifi cação dos seguintes vetores Dl vetor dos graus de liberdade globais livres são as incógnitas do problema desconhecidas lF vetor das cargas nodais combinadas nas direções dos graus de liberdade livres conhecidas Df vetor dos graus de liberdade globais fi xos são os valores impostos pelas restrições de apoio conheci dos em geral são nulos a não ser para recalques de apoio conhecidos fF vetor das forças nodais generalizadas nas direções dos graus de liberdade fi xos são as componentes de reações de apoio desconhecidas A Equação 1311 pode ser manipulada resultando em f lf l l ll D K F D K 1313 O lado direito do sinal de igual dessa equação é totalmente conhecido pois o vetor Fl corresponde às cargas nodais combinadas nas direções livres e o vetor Df corresponde aos valores impostos nas restrições de apoio O sistema da Equação 1313 corresponde exatamente ao sistema obtido pelo método dos desloca mentos que só considera deslocabilidades globais livres Dl A solução desse sistema resulta na deter minação dessas deslocabilidades A Equação 1312 na verdade não é um sistema a ser resolvido pois o vetor Dl é conhecido após a solução da Equação 1313 A Equação 1312 fornece diretamente os valores das reações de apoio f ff l fl f D K D K F 1314 Para complementar devese superpor às componentes de reações de apoio obtidas com base na Equação 1314 eventuais cargas nodais combinadas aplicadas nos graus de liberdade restritos por apoio com sentidos invertidos 13102 Diagonalização da linha e coluna da matriz de rigidez global correspondente ao grau de liberdade restrito Neste procedimento inicialmente a matriz global K e o vetor das forças nodais generalizadas F são montados sem levar em conta nenhuma condição de apoio Para considerar o caso de uma restrição de apoio com valor de deslocamento ou rotação imposto recalque de apoio é necessário modifi car a matriz e o vetor A seguir mostrase uma expansão do sistema de equações F K D sem levar em conta o fato de que muitos termos da matriz K são nulos Considere que o grau de liberdade Di tem desloca mento prescrito ou rotação prescrita com valor ρi n i i i n i i i n n i n i i i n i i i i i i i i i i i i F F F F F F D D D D D K K K K K K K K K K K K K K K K K K 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 31 21 11 ρ Bookconceitosindb 438 532010 084052 Capítulo 13 Método da rigidez direta 439 A iésima linha e a iésima coluna da matriz K e o vetor F são modifi cadas da seguinte maneira i n i n i i i i i i i i i i i i i n i i i n n K F K F K F K F K F D D D D D D K K K K K K K ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 31 21 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A iésima linha da matriz fi ca com um 1 na diagonal principal e 0 nos outros termos Nessa linha a força nodal generalizada Fi no vetor F é substituída pelo valor do recalque imposto ρi Para manter a simetria da matriz de rigidez global os outros termos da iésima coluna da matriz são anulados sendo que os outros termos do vetor F são alterados como indicado levando em conta que os termos anulados da matriz são os que multiplicam o valor conhecido do recalque de apoio Dessa forma o nú mero de equações do sistema não se altera em relação ao número total de graus de liberdade a dimensão da matriz K é mantida Di continua sendo uma incógnita e a solução da iésima linha do sistema resulta para Di um valor igual ao recalque imposto O procedimento deve ser aplicado para cada restrição de apoio Considerando que um recalque de apoio não é o tipo de solicitação mais frequente na maioria das vezes ρi 0 Nesse caso o único termo alterado do vetor F é o iésimo 13103 Inserção de um apoio elástico fi ctício com valor muito alto do coefi ciente de rigidez Este procedimento usa um artifício que soma ao termo da diagonal da matriz K correspondente ao grau de liberdade com recalque de apoio prescrito um coefi ciente de rigidez fi ctício Kg com valor muito gran de por exemplo 104 vezes o maior valor entre os termos da diagonal principal de K como se fosse um apoio elástico O termo correspondente do vetor F é substituído por um valor igual a Kg vezes o valor do recalque de apoio Esse procedimento é um macete numérico conhecido Como Kg tem um valor muito grande em rela ção aos outros coefi cientes da matriz K na solução da iésima linha do sistema de equações o valor de Kg ofusca os valores dos outros coefi cientes resultando em i g i g i K K D ρ ρ Bookconceitosindb 439 532010 084053 ELSEVIER 440 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Dessa forma as modifi cações na matriz K e no vetor F são mínimas as suas dimensões são man tidas e não se afetam as outras linhas do sistema de equações que não estão relacionadas com a restrição de apoio 1311 DETERMINAÇÃO DE REAÇÕES DE APOIO A Seção 13101 apresentou uma metodologia para a consideração de condições de apoio a partir do particionamento do sistema de equações de equilíbrio Tal metodologia possibilita uma determinação formal das reações de apoio da estrutura como indica a Equação 1314 Entretanto muitas vezes para minimizar o uso de memória do computador ou para evitar cálculos desnecessários a segunda partição do sistema de equações de equilíbrio dada pela Equação 1312 não é implementada Quando isso ocorre a segunda parcela do vetor do lado direito do sinal de igual da Equação 1313 é determinada junto com a montagem da matriz de rigidez global Dessa forma o vetor KlfDf não é montado explicitamente A alternativa é montar um vetor local klfdf para cada barra adjacente a um grau de liberdade com recalque imposto e superpor esse vetor precedido de um espalha mento no vetor global no lado direito do sinal de igual da Equação 1313 Observe que isso só é neces sário se o valor imposto ao grau de liberdade for não nulo isto é quando existe um recalque de apoio Quando essa estratégia de solução é adotada ou quando se consideram as condições de apoio das maneiras mostradas nas Seções 13102 e 13103 é necessário algum procedimento para determinar as reações de apoio Um procedimento simples usado com frequência baseiase nas forças generalizadas fi nais que atuam nas barras da estrutura A Figura 1321 é utilizada para explicar esse conceito Considere a título de exemplo duas barras com carregamento arbitrário convergindo em um nó com um engaste As forças generalizadas fi nais que atuam na barra são provenientes da solução local do caso I e da solução global do caso II como apresentado na Seção 132 Figura 1321 Determinação de componentes de reação de apoio por superposição de forças generalizadas locais que atuam nas barras isoladas nas direções dos eixos globais Bookconceitosindb 440 532010 084054 Capítulo 13 Método da rigidez direta 441 No caso I as forças que atuam nas extremidades de cada barra são dadas pelo vetor ˆ f que é o ve tor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema global Seção 138 Esse vetor é obtido com base nas reações de engastamento ˆ f da barra no sistema local que é uma solução fundamental conhecida utilizando a transformação da Equação 137 No caso II as forças que atuam nas extremidades de cada barra são obtidas pelo vetor f que é o vetor das forças generalizadas de barra no sistema global provenientes das deformações sofridas pela barra Resolvido o sistema de equações de equilíbrio global e determinados os valores dos graus de li berdade livres chegase aos valores do vetor das deslocabilidades locais d da barra Pela Equação 132 chegase a f k d Conforme ilustrado na Figura 1321 as componentes das reações de apoio são obtidas superpondo os termos dos vetores ˆ f e f correspondentes aos graus de liberdade com restrição de apoio consi derando todas as barras que convergem no nó que tem a restrição de apoio Observe que o sentido das componentes de reação de apoio é o mesmo dos termos dos vetores ˆ f e f que atuam sobre as barras Na fi gura todos os termos dos dois vetores são mostrados com seus sentidos positivos Para complementar devese superpor às componentes de reações de apoio obtidas eventuais car gas nodais propriamente ditas aplicadas diretamente nos graus de liberdade restritos por apoio com sentidos invertidos 1312 DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS NAS BARRAS Além dos deslocamentos e rotações nodais e das reações de apoio qualquer programa de computador que analisa estruturas reticuladas fornece como resultados os esforços internos esforços normais esfor ços cortantes e momentos fl etores nas extremidades de todas as barras Conforme mencionado na Seção 134 esses resultados se referem a direções dos eixos locais isto é os esforços internos são fornecidos nas direções das coordenadas generalizadas locais no sistema local de cada barra Os sinais dos esforços estão associados com os sentidos das coordenadas Portanto a convenção de sinais utilizada é a do método dos deslocamentos Tabela 101 De acordo com a Seção 132 os esforços internos fi nais em uma barra descarregada são obtidos utilizando somente os resultados da análise discreta do caso II Nessa situação os esforços internos de pendem apenas das deformações que a barra sofre que são defi nidas pelas deslocabilidades locais d Nesse ponto da execução do programa de computador essas deslocabilidades têm valores conhecidos pois o sistema global de equações de equilíbrio já deve ter sido resolvido Assim os esforços internos nas extremidades de uma barra são obtidos em dois passos No primeiro calculase o vetor das forças gene ralizadas de barra no sistema global k d f No segundo passo transformase esse vetor para o sistema local f R f Para uma barra descarregada as componentes desse vetor já são os esforços internos nas extremi dades da barra Para uma barra com carregamento no seu interior também conforme a Seção 132 além dos esfor ços internos provenientes das deformações da barra é necessário sobrepor as reações de engastamento ˆ f do caso I no sistema local da barra A Figura 1322 ilustra essa superposição Nessa fi gura Ni e Nj são os esforços normais nas extremidades inicial e fi nal da barra respectivamente Qi e Qj são os esforços cortantes e Mi e Mj são os momentos fl etores Na fi gura todos os esforços internos estão indicados com seus sentidos positivos Bookconceitosindb 441 532010 084054 ELSEVIER 442 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Figura 1322 Determinação de esforços internos fi nais nas extremidades de uma barra por superposição de forças generalizadas locais nas direções dos eixos locais Observase que nas etapas fi nais da determinação de reações de apoio e esforços internos utilizamse a matriz de rigidez k e a matriz de transformação por rotação R de cada barra As duas matrizes são calculadas na etapa anterior de montagem da matriz de rigidez global Seções 136 e 137 A questão que surge é se essas matrizes são armazenadas na memória do computador ou se são recalculadas nas etapas fi nais A escolha entre as duas alternativas depende de vários fatores Esse balanço entre uso de memória de computador matrizes armazenadas para serem utilizadas nas fases fi nais e efi ciência não se repetem os cálculos é constante em qualquer implementação computacional Devese salientar também que os procedimentos descritos para determinar reações de apoio e es forços internos são completamente genéricos isto é podem ser utilizados para qualquer tipo de barra com e sem articulação inclusive para barras com seção transversal variável 1313 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este capítulo apresentou um resumo dos principais conceitos do método da rigidez direta aplicado a uma análise de pórticos planos com comportamento estático linear e elástico Procurouse dar um enfo que conceitual sobre o método sem focar em sua implementação computacional Apenas alguns detalhes de implementação foram comentados O que se pretende é que com os conceitos apresentados uma pes soa entenda o que é realizado por um programa de computador para uma análise desse tipo sem precisar entender como ele é implementado Além disso a notação matricial utilizada facilita uma generalização dos conceitos para outros tipos de modelos estruturais Dessa forma por analogia podese estender a aplicação do método Bookconceitosindb 442 532010 084055 Capítulo 13 Método da rigidez direta 443 No caso de treliças planas por exemplo a principal diferença em relação a pórticos planos é que as rotações dos nós da treliça não são consideradas graus de liberdade Portanto cada nó de treliça tem dois graus de liberdade um deslocamento horizontal e outro vertical A Figura 1323 mostra os três sistemas de coordenadas generalizadas para um modelo de treliça plana Coordenadas generalizadas globais Coordenadas generalizadas locais no sistema global Coordenadas generalizadas locais no sistema local 4 3 2 1 4 3 2 1 14 13 12 11 8 7 4 3 10 9 5 6 2 1 X Y x y θ θ Figura 1323 Coordenadas generalizadas globais e locais de um modelo de treliça plana A matriz de rigidez da barra ou do elemento de treliça plana no sistema local é semelhante à ma triz de rigidez de uma barra de pórtico plano com as duas extremidades articuladas Equação 953 Para obter a matriz de rigidez do elemento de treliça basta eliminar as linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade de rotação 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l l EA EA l l EA k Observe nessa matriz que os coefi cientes de rigidez associados aos graus de liberdade transversais nas direções das coordenadas locais 2 e 4 são nulos pois a barra de treliça só tem rigidez na direção axial Para obter a matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema global basta aplicar a Equa ção 139 considerando uma matriz de transformação por rotação com as linhas e colunas associadas às rotações nodais eliminadas θ θ θ θ θ θ θ θ cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos R Os procedimentos subsequentes para a aplicação do método da rigidez direta para treliças planas são análogos aos procedimentos para pórticos planos A extensão do método para grelhas também é direta Considerando que o plano da grelha é for mado pelos eixos globais X e Y são três os graus de liberdade por nó uma rotação em torno do eixo X uma rotação em torno do eixo Y e um deslocamento transversal ao plano da grelha na direção do eixo glo bal Z A Figura 1324 ilustra uma grelha e indica os sistemas de coordenadas generalizadas utilizados Bookconceitosindb 443 532010 084056 ELSEVIER 444 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Coordenadas generalizadas globais Coordenadas generalizadas locais no sistema global Coordenadas generalizadas locais no sistema local 4 3 2 1 14 13 12 11 8 7 4 3 10 9 5 6 2 1 X Y Z 15 16 17 18 6 4 2 1 5 3 X Y Z θ X Y Z θ 6 5 x y Figura 1324 Coordenadas generalizadas globais e locais de um modelo de grelha As setas duplas na Figura 1324 representam coordenadas generalizadas associadas a rotações Cada seta dupla tem a direção do eixo em torno do qual se dá a rotação Nesse exemplo a numeração das coordenadas generalizadas é feita conforme se explica a seguir As coordenadas são numeradas conse cutivamente em cada nó No sistema global a numeração segue a ordem primeiro a direção associada à rotação em torno do eixo X segundo a direção associada à rotação em torno do eixo Y e terceiro a direção associada ao deslocamento na direção Z No sistema local a numeração segue a mesma ordem mas se refere aos eixos locais da barra x y e z A matriz de rigidez de uma barra de grelha no sistema local é fornecida pela Equação 956 A matriz de rigidez da barra de grelha no sistema global pode ser obtida com base na Equação 139 Adotando a estratégia descrita na Figura 1324 para numeração das coordenadas generalizadas locais nos sistemas global e local a matriz de rotação é igual à utilizada para uma barra de pórtico plano indicada na Equa ção 135 Todos os outros passos para a análise de uma grelha pelo método da rigidez direta são semelhantes aos descritos para pórticos planos Podese observar que o método é relativamente simples e genérico A extensão para pórticos espaciais também é direta Além disso conforme comentado ao longo das Seções 131 e 132 o método da rigidez direta pode ser generalizado para modelos contínuos resultando no método dos elementos fi nitos com formulação em deslocamentos para o problema estrutural Isso é apenas uma interpretação bastante simplista para o método dos elementos fi nitos pois este tem uma dedução bem mais geral baseada em uma formula ção variacional e integral Entretanto para um estudante ou profi ssional com formação em engenharia civil ou engenharia mecânica a interpretação de que o método da rigidez direta é um caso particular do método dos elementos fi nitos pode facilitar muito o entendimento deste método Bookconceitosindb 444 532010 084056 1414 14 Cargas acidentais e móveis Os capítulos anteriores deste livro consideram apenas um tipo de solicitação externa no que se refere à forma de atuação as solicitações permanentes Cargas permanentes têm posição fi xa na estrutura e atuam durante toda sua vida útil O exemplo mais óbvio de cargas permanentes é o peso próprio da estrutura e dos acessórios fi xos Este capítulo considera no contexto da análise de estruturas reticuladas cargas acidentais e móveis Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis Exemplos são pontes rodoviárias e ferroviá rias ou pórticos industriais que suportam pontes rolantes para transporte de cargas Os esforços internos nesses tipos de estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas aplicadas mas também com sua posição de atuação Portanto o projeto de um elemento estrutural como uma viga de ponte envolve a determinação das posições das cargas móveis que produzem valores extremos ou limites máximos e mínimos dos esforços internos nas seções transversais do elemento No projeto de estruturas submetidas a cargas fi xas a posição de atuação de cargas acidentais de ocupação também infl uencia a determinação dos esforços internos dimensionantes1 Por exemplo o mo mento fl etor máximo em uma determinada seção transversal de uma viga contínua com vários vãos não é determinado pelo posicionamento da carga acidental de ocupação em todos os vãos Posições selecio nadas de atuação da carga acidental determinam os valores limites de momento fl etor na seção Assim o projetista estrutural tem de determinar para cada seção transversal a ser dimensionada e para cada esfor ço interno dimensionante as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os valores limites Uma alternativa para esse problema seria analisar a estrutura para várias posições das cargas mó veis ou acidentais e selecionar os valores extremos Esse procedimento não é prático nem efi ciente de maneira geral exceto para estruturas e carregamentos simples O procedimento geral e objetivo para de terminar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam valores limites de determinado esforço interno em uma seção transversal de uma estrutura é feito com o auxílio de linhas de infl uência Com base no traçado de linhas de infl uência é possível obter as chamadas envoltórias limites de es forços internos que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais As envoltórias limites de momento fl etor em uma estrutura descrevem para um conjunto de cargas permanentes e cargas móveis ou acidentais os valores máximos e mínimos de momento fl etor 1 Denominamse esforços internos dimensionantes de uma seção transversal os esforços internos críticos que defi nem as dimensões da seção e no caso de concreto armado ou protendido que defi nem as armaduras Bookconceitosindb 445 532010 084056 446 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER nas secées transversais da estrutura de forma andloga ao que descreve o diagrama de momentos fletores para um carregamento permanente Assim 0 objetivo da andlise estrutural para o caso de cargas moéveis ou acidentais é a determinacao de envoltérias de maximos e minimos de momentos fletores esforcos cor tantes etc o que possibilita o dimensionamento da estrutura submetida a esses tipos de solicitacao As envoltérias sao em geral obtidas por interpolacdo de valores maximos e minimos respectivamente de esforcos internos calculados em um determinado ntmero de sec6es transversais ao longo da estrutura 141 LINHAS DE INFLUENCIA Uma linha de influéncia LI descreve a variagaéo de um determinado efeito por exemplo uma reacao de apoio um esforco cortante ou um momento fletor em uma secao transversal em fungao da posicao de uma forga vertical orientada para baixo e unitaria que percorre a estrutura Assim a LI de momento fle tor em uma secao transversal é a representacao grafica ou analitica do momento fletor na secao de estu do produzida por uma forga concentrada unitaria que passeia sobre a estrutura Isso é exemplificado na Figura 141 que mostra a LI de momento fletor em uma secao S indicada Nessa figura a posicao da forca unitaria P 1 é dada pelo pardmetro x e uma ordenada genérica da LI representa 0 valor do momento fletor em S em funcao de x isto LIM Mx Neste livro os valores positivos das linhas de influéncia sao desenhados para baixo e os valores negativos para cima Isso é praxe no Brasil embora também seja comum seguir a convencao adotada para o tracado de diagramas de esforcos internos LI para momentos fletores tragada com valores positivos do lado das fibras inferiores da barra e LI para os demais esforcos internos tracada com valores positivos do lado das fibras superiores x 1 o is a LIMs Ss a ZX ZA 1m Msx i be ey PS 5g of 5 5 Figura 141 Linha de influéncia de momento fletor em uma secado transversal de uma viga continua A determinacao do valor maximo e do valor minimo de um esforco interno em uma seco transver sal é exemplificada para o caso do momento fletor na secdo S da Figura 141 O carregamento permanen te constituido do peso proprio da estrutura é representado por uma forca uniformemente distribuida g como indica a Figura 142 SUITS TIT I III 8 K 3 LIMs Figura 142 Carga permanente uniformemente distribuida atuando em uma viga continua Considerando que a ordenada de LIM Mx é funcao de uma forca concentrada unitaria o valor do momento fletor em S devido ao carregamento permanente pode ser obtido por integracao do produto da fora infinitesimal gdx por Mx ao longo da estrutura 12 12 Mé sco ga Jum gdx 0 0 Considere que existe um carregamento acidental de ocupacado que é representado por uma forca uniformemente distribuida q Por ser acidental a carga g pode atuar parcialmente ao longo da estrutura Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 447 O que se busca são as posições de atuação da carga q que maximizam ou minimizam o momento fl etor em S O valor máximo de MS é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da LIMS e o valor mínimo é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas negativas da LIMS Isso é mostrado nas Figuras 143 e 144 q q S LIMS Figura 143 Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar máximo momento fl etor em uma seção transversal q S LIMS Figura 144 Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar mínimo momento fl etor em uma seção transversal Os valores máximo e mínimo de MS devidos somente ao carregamento acidental podem ser obtidos por integração do produto LIMSqdx nos trechos positivos e negativos respectivamente da linha de in fl uência 12 9 4 0 LI LI qdx M qdx M M S S máx q S 9 0 LI qdx M M S mín q S Assim os valores máximos e mínimos fi nais de MS provocados pelo carregamento permanente e pelo carregamento acidental são q máx S g S S máx M M M q mín S g S S mín M M M Observe que no caso geral o valor máximo fi nal de um determinado esforço interno em uma seção transversal não é necessariamente positivo nem o valor mínimo fi nal é necessariamente negativo Isso depende da magnitude dos valores provocados pelos carregamentos permanente e acidental Quando os valores máximo e mínimo têm o mesmo sinal o esforço interno dimensionante é aquele com a maior magnitude Quando os valores máximo e mínimo têm sentidos opostos principalmente no caso de mo mento fl etor ambos podem ser dimensionantes 142 LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA VIGA BIAPOIADA COM BALANÇOS A determinação das expressões analíticas de linhas de infl uência é relativamente simples para o caso de estruturas isostáticas Nesse caso um enfoque baseado no equilíbrio explícito da estrutura submetida a uma força concentrada unitária po de ser utilizado para determinar as linhas de infl uência Considere como exemplo a viga biapoiada com balanços mostrada na Figura 145 O equilíbrio de forças verticais e de momentos em relação ao ponto A por exemplo determina os valores das reações de apoio VA l xl e VB xl Essas relações nada mais são do que as próprias expressões analíticas das linhas de infl uência das reações de apoio pois expressam a variação de VA e VB em função da posição x da força concentrada unitária Observe que essas expressões também são válidas para posições da força unitária sobre os balanços da viga Bookconceitosindb 447 532010 084057 ELSEVIER 448 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha VAx lxl P 1 x l VA VB 1 LIVA A B VBx xl 1 LIVB Figura 145 Linhas de infl uência de reações de apoio em uma viga biapoiada com balanços A imposição direta do equilíbrio também pode ser utilizada para determinar as linhas de infl uên cia do esforço cortante e do momento fl etor em uma seção genérica S do vão da viga biapoiada como mostrado na Figura 146 Para isso duas situações são consideradas uma quando a força concentrada unitária está à esquerda da seção S e outra quando a força está à direita como indicado a seguir Esforço cortante P 1 à esquerda de S x a QS VB LIQS LIVB xl P 1 à direita de S x a QS VA LIQS LIVA l xl Momento fl etor P 1 à esquerda de S x a MS bVB LIMS bLIVB bxl P 1 à direita de S x a MS aVA LIMS aLIVA al xl QSx lxl P 1 x l VA VB 1 LIQS A B MSx bxl LIMS S a b QS MS MS 1 QSx xl MSx alxl a b abl Figura 146 Linhas de infl uência de esforço cortante e momento fl etor em uma seção transversal no vão de uma viga biapoiada com balanços Bookconceitosindb 448 532010 084057 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 449 A Figura 146 ilustra os procedimentos gráfi cos para traçar as LIQS e LIMS para uma seção transversal S típica de vão de viga biapoioada O traçado da LIQS inicia com o desenho de duas retas paralelas que se prolongam até as extremidades dos balanços uma passando pelo primeiro apoio e por um ponto no se gundo apoio deslocado para cima de 1 e outra passando por um ponto no primeiro apoio deslocado para baixo de 1 e pelo segundo apoio A LIQS é obtida utilizando trechos das duas retas com uma descontinui dade unitária na seção de referência A LIMS é traçada com base em duas retas ligando os apoios a pontos deslocados para baixo de a no primeiro apoio e de b no segundo apoio As duas retas se interceptam exa tamente na posição da seção de referência e a LIMS usa trechos de cada reta conforme indicado na fi gura As linhas de infl uência para seções transversais dos balanços da viga biapoiada também podem ser determinadas por imposição direta do equilíbrio A Figura 147 mostra algumas LIs para esforços cortan tes e momentos fl etores em seções transversais características dos balanços A seção transversal Aesq está localizada imediatamente à esquerda do apoio A e a seção transversal Bdir fi ca imediatamente à direita do apoio B Observase que os valores de uma LI em uma seção transversal de um balanço são nulos para qualquer posição da força unitária fora do trecho de viga entre a extremidade livre do balanço e a seção transversal As linhas de infl uência de esforços cortantes são constantes da extremidade livre do balanço até a correspondente seção transversal No balanço à esquerda como a força unitária com sentido para baixo está à esquerda da seção transversal o esforço cortante é negativo na seção No balanço à direita o sentido para baixo provoca um esforço cortante positivo As linhas de infl uência de esforços cortantes sempre têm uma descontinuidade com intensidade unitária na seção transversal de referência A linha de infl uência para momento fl etor em uma seção transversal no balanço é sempre negativa momento fl etor provocado pela força unitária traciona as fi bras superiores e tem variação linear Isso ocorre porque o momento fl etor na seção transversal de referência varia linearmente com a distância da força unitária à seção para posições da força unitária entre a seção e a extremidade livre do balanço Aesq Bdir S1 S2 1 LIQS1 1 LIQAesq 1 LIQBdir LIMA c c LIMS2 d d Figura 147 Linhas de infl uência de esforço cortante e momento fl etor em seções transversais nos balanços de uma viga biapoiada 143 ENVOLTÓRIAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM VIGA BIAPOIADA COM BALANÇOS Conforme mencionado anteriormente um dos principais objetivos da análise estrutural para cargas aci dentais e móveis é determinar as chamadas envoltórias de mínimos e máximos para esforços internos ao longo de uma estrutura As envoltórias são gráfi cos que expressam como variam os valores mínimos e máximos de um determinado esforço interno nas seções transversais da estrutura Bookconceitosindb 449 532010 084058 ELSEVIER 450 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Entretanto não existem expressões analíticas para as envoltórias O principal motivo para isso está na maneira como se determinam os valores mínimo e máximo do esforço interno em uma dada seção trans versal Esses valores são obtidos buscando posições críticas para as cargas muitas vezes interrompendo a atuação de cargas acidentais em trechos da estrutura de maneira a minorar ou majorar um determinado efeito como ilustrado na Seção 141 Dessa forma as envoltórias são traçadas por interpolação de valores calculados em seções transversais selecionadas por exemplo a cada metro Surgem então duas questões A primeira é como determinar o posicionamento das cargas aciden tais e móveis para obter os valores mínimo e máximo de um determinado esforço interno em uma dada seção transversal A segunda questão é como calcular os valores mínimo e máximo A solução para essas questões está na utilização de linhas de infl uência A melhor maneira para explicar isso é através de um exemplo Considere a viga biapoiada de uma ponte com balanços mostrada na Figu ra 148 Esse exemplo foi inspirado em um exercício resolvido por Süssekind 19771 sendo que naquele caso a viga não tinha balanços O objetivo do exemplo é determinar as envoltórias de mínimos e máximos de esforço cortante e momento fl etor considerando o efeito conjunto de carga permanente e carga móvel As envoltórias serão traçadas por interpolação de valores calculados nas seções transversais indicadas na fi gura Carga móvel Carga permanente A B C D E F G Besq Bdir Fesq Fdir Estrutura e seções trans versais para envoltórias Figura 148 Viga biapoiada com balanços carga permanente e carga móvel A viga da Figura 148 está solicitada por uma força permanente uniformemente distribuída de 20 kNm e por um carregamento móvel que é o veículo de projeto também chamado de tremtipo indicado na fi gura Um veículo de projeto é um carregamento idealizado para representar em projeto os efeitos dos veículos principais de uma estrada rodoviária ou ferroviária No exemplo o veículo de projeto tem dois eixos representados pelas duas forças concentradas de 10 kN e de 20 kN Como o veículo pode tra fegar nos dois sentidos as forças concentradas podem inverter de posição Existem normas que especifi cam os veículos de projeto de acordo com a classe da rodovia ou fer rovia As normas condensam informações sobre estudos estatísticos que resultam na especifi cação de cargas móveis para projeto Na verdade os veículos de projeto de pontes rodoviárias têm uma distribui ção por área e não por linha É necessário portanto obter o efeito de um veículo de projeto sobre uma viga longitudinal de uma ponte rodoviária Isso é feito considerando o posicionamento do veículo de projeto transversalmente sobre a ponte O resultado é um tremtipo distribuído ao longo do eixo da viga como o da viga em estudo A força uniformemente distribuída dessa carga móvel é chamada de carga de multidão e representa os veículos secundários que trafegam sobre a ponte A carga de multidão tem um comportamento de carga acidental isto é ela pode ser interrompida em trechos da viga para minimizar ou maximizar um determinado efeito Foge do escopo deste livro aprofundar a descrição de cargas mó veis contida nas normas A presente apresentação apesar de ser bastante superfi cial é sufi ciente para entender os procedimentos de análise para esse tipo de carregamento O efeito da carga permanente na viga em estudo é mostrado na Figura 149 Essa fi gura indica os diagra mas de esforços cortantes e momentos fl etores provocados pela força permanente uniformemente distribuída Também estão indicados nesses diagramas os valores dos esforços internos permanentes nas seções transver Bookconceitosindb 450 532010 084058 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 451 sais selecionadas para o traçado das envoltórias Mostramse os sinais dos momentos fl etores porque mínimos e máximos têm signifi cado algébrico isto é não é só o módulo do momento fl etor que interessa A C D E G Besq Bdir Fesq Fdir A B C D E F G Carga Permanente Esforços Cortantes kN Carga Permanente Momentos Fletores kNm Figura 149 Diagramas de esforços cortantes e momentos fl etores para a carga permanente da viga da Figura 148 Em seguida nas Figuras 1410 a 1418 são mostrados os cálculos dos valores mínimos e máximos para esforço cortante nas seções transversais selecionadas provocados pela carga móvel Nos apoios duas seções transversais são utilizadas uma imediatamente à esquerda e outra imediatamente à direita do apoio Para cada uma das seções transversais são traçadas as linhas de infl uência de esforço cortante com base nos procedimentos descritos na Seção 142 Observase que as LIs de esforço cortante para as seções A e G nas extremidades dos balanços fi cam degeneradas para um valor pontual unitário localizado na própria seção transversal Cada LI das Figuras 1410 a 1418 é utilizada para encontrar as posições críticas da carga móvel que provocam o mínimo e o máximo de esforço cortante na seção correspondente A pesquisa da posição crítica que provoca o valor mínimo baseiase no conceito descrito na Seção 141 que procura posicionar a carga móvel sobre as ordenadas negativas da LI De maneira análoga para se obter o valor máximo a carga móvel é posicionada sobre as ordenadas positivas da LI Os valores extremos maiores valores em módulo são obtidos quando a força concentrada do veículo de projeto com maior intensidade está posicionada sobre a maior ordenada em módulo da LI No exemplo não é difícil encontrar essa posição pois só existem duas forças concentradas no tremtipo e as LIs são relativamente simples A pesquisa da posição crítica para um tremtipo mais complexo por exemplo de pontes ferroviárias e para LIs com mais variações de sinais inclusive com trechos curvos é uma tarefa relativamente trabalhosa Felizmen te hoje em dia existem programas de computador que resolvem esse problema Os resultados mostrados nas Figuras 1410 a 1418 dos cálculos dos valores mínimos e máximos de esforço cortante provocados pela carga móvel são reproduzidos na Tabela 141 que também mostra os resultados para a carga permanente As envoltórias fi nais são obtidas somandose o efeito da carga permanente com os efeitos de mínimo e de máximo da carga móvel Dessa maneira as envoltórias fi cam descritas pelos valores mínimos e máximos de esforço cortante nas seções transversais selecionadas A Figura 1419 mostra os gráfi cos dessas envoltórias Utilizase a convenção usual para traçado de diagramas de esforços cortantes valores positivos são desenhados do lado das fi bras superiores das barras Os valores no vão principal e nos balanços são interpolados independentemente A linha trace jada corresponde ao diagrama de esforços cortantes para a carga permanente No balanço à esquerda o efeito da carga permanente coincide com a envoltória de valores máximos No outro balanço coincide com a envoltória de mínimos A região entre as envoltórias de mínimos e máximos é denominada faixa de trabalho pois não existem fora dessa faixa valores de esforços cortantes para as cargas permanente e móvel consideradas Bookconceitosindb 451 532010 084058 ELSEVIER 452 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Posição da carga móvel para QA mínimo Posição da carga móvel para QA máximo carga móvel não atuando LIQA A 2000 kN 1 00 20 c m QA mín 0 c m QA máx Figura 1410 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção A da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QBesq mínimo Posição da carga móvel para QBesq máximo carga móvel não atuando LIQBesq Besq 6000 kN 1 00 10 3 1 00 10 1 00 20 c m QBesq mín 0 c m QBesq máx Figura 1411 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção Besq da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QBdir mínimo Posição da carga móvel para QBdir máximo LIQBdir Bdir 8 75 kN 0 25 3 50 10 0 25 20 c m QBdir mín 9125 kN 12 1 00 50 10 3 0 25 50 10 10 0 75 20 1 00 c m QBdir máx Figura 1412 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção Bdir da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QC mínimo Posição da carga móvel para QC máximo LIQC C 1250 kN 0 25 3 50 10 0 25 3 50 10 0 25 20 c m QC mín 5750 kN 9 0 75 50 10 3 0 25 50 10 10 0 50 20 0 75 c m QC máx Figura 1413 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção C da viga da Figura 148 para a carga móvel Bookconceitosindb 452 532010 084058 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 453 Posição da carga móvel para QD mínimo Posição da carga móvel para QD máximo LIQD D 3125 kN 0 25 3 50 10 0 50 6 50 10 0 25 10 0 50 20 c m QD mín 3125 kN 3 0 25 50 10 6 0 50 50 10 10 0 25 20 0 50 c m QD máx Figura 1414 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção D da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QE mínimo Posição da carga móvel para QE máximo LIQE E 5750 kN 0 25 3 50 10 0 75 9 50 10 0 50 10 0 75 20 c m QE mín 1250 kN 3 0 25 50 10 3 0 25 50 10 20 0 25 c m QE máx Figura 1415 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção E da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QFesq mínimo Posição da carga móvel para QFesq máximo LIQFesq Fesq 9125 kN 0 25 3 50 10 1 00 12 50 10 0 75 10 1 00 20 c m QFesq mín 8 75 kN 3 0 25 50 10 20 0 25 c m QFesq máx Figura 1416 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção Fesq da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para QFdir mínimo Posição da carga móvel para QFdir máximo carga móvel não atuando LIQFdir Fdir 0 c m QFdir mín 6000 kN 10 3 1 00 10 1 00 20 1 00 c m QFdir máx Figura 1417 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção Fdir da viga da Figura 148 para a carga móvel Bookconceitosindb 453 532010 084058 ELSEVIER 454 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Posição da carga móvel para QG mínimo Posição da carga móvel para QG máximo carga móvel não atuando LIQG G 0 c m QG mín 2000 kN 20 1 00 c m QG máx Figura 1418 Mínimo e máximo de esforço cortante na seção G da viga da Figura 148 para a carga móvel Tabela 141 Envoltórias de esforços cortantes kN para a viga da Figura 148 Seção Carga Carga Móvel Envoltórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A 0 2000 0 2000 0 Besq 60 6000 0 12000 6000 Bdir 120 875 9125 11125 21125 C 60 1250 5750 4750 11750 D 0 3125 3125 3125 3125 E 60 5750 1250 11750 4750 Fesq 120 9125 875 21125 11125 Fdir 60 0 6000 6000 12000 G 0 0 2000 0 2000 120 20 60 20 120 60 mínimos máximos 21125 11125 21125 11125 4750 11750 4750 11750 3125 3125 carga permanente faixa de trabalho kN Q Figura 1419 Envoltórias de esforços cortantes para a viga da Figura 148 Os procedimentos para obtenção das envoltórias de momentos fl etores da viga biapoiada com ba lanços da Figura 148 são semelhantes aos utilizados para as envoltórias de esforços cortantes A princi pal diferença é que as envoltórias de momentos fl etores não têm descontinuidades nos apoios da viga Portanto só existe uma LI e dois valores limites para momentos fl etores nas seções transversais dos apoios Além disso os valores dos momentos fl etores nas extremidades dos balanços são sempre nulos As LIs e os cálculos dos valores mínimos e máximos de momentos fl etores para a carga móvel são mostrados nas Figuras 1420 a 1424 O traçado das LIs segue os procedimentos descritos na Seção 142 A Tabela 142 resume esses cálculos e faz a superposição dos efeitos da carga permanente com os efeitos da carga móvel nas seções transversais selecionadas A Figura 1425 mostra o traçado dessas envoltórias Bookconceitosindb 454 532010 084059 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 455 que também são obtidas por interpolação independente dos valores calculados nos balanços e no vão principal Consistente com a convenção utilizada usualmente os valores positivos das envoltórias de momentos fl etores são desenhados do lado da fi bra inferior das barras Posição da carga móvel para MB mínimo Posição da carga móvel para MB máximo LIMB carga móvel não atuando B 10500 kNm 3 00 3 50 10 3 00 20 c m MB mín 0 c m MB máx Figura 1420 Mínimo e máximo de momento fl etor na seção B da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para MC mínimo Posição da carga móvel para MC máximo LIMC C 9000 kNm 0 75 3 50 10 2 25 3 50 10 2 25 20 c m MC mín 19500 kNm 12 2 25 50 10 10 1 50 20 2 25 c m MC máx Figura 1421 Mínimo e máximo de momento fl etor na seção C da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para MD mínimo Posição da carga móvel para MD máximo LIMD D 7500 kNm 1 50 3 50 10 1 50 3 50 10 1 50 20 c m MD mín 25500 kNm 12 3 00 50 10 10 1 50 20 3 00 c m MD máx Figura 1422 Mínimo e máximo de momento fl etor na seção D da viga da Figura 148 para a carga móvel Bookconceitosindb 455 532010 084059 ELSEVIER 456 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Posição da carga móvel para ME mínimo Posição da carga móvel para ME máximo LIME E 9000 kNm 2 25 3 50 10 0 75 3 50 10 2 25 20 c m ME mín 19500 kNm 12 2 25 50 10 10 1 50 20 2 25 c m ME máx Figura 1423 Mínimo e máximo de momento fl etor na seção E da viga da Figura 148 para a carga móvel Posição da carga móvel para MF mínimo Posição da carga móvel para MF máximo LIMF carga móvel não atuando F 10500 kNm 3 00 3 50 10 3 00 20 c m MF mín 0 c m MF máx Figura 1424 Mínimo e máximo de momento fl etor na seção F da viga da Figura 148 para a carga móvel Tabela 142 Envoltórias de momentos fl etores kNm para a viga da Figura 148 Seção Carga Carga Móvel Envoltórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A 0 0 0 0 0 B 90 105 0 195 90 C 180 90 195 90 375 D 270 75 255 195 525 E 180 90 195 90 375 F 90 105 0 195 90 G 0 0 0 0 0 Bookconceitosindb 456 532010 084059 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 457 mínimos máximos carga permanente faixa de trabalho 195 195 90 90 90 90 195 525 375 375 kNm M Figura 1425 Envoltórias de momentos fl etores para a viga da Figura 148 Devese salientar que o número de seções transversais selecionadas para o traçado das envoltórias no exemplo da viga biapoiada com balanços foi muito pequeno Resultados mais precisos teriam sido obtidos se um número maior de seções transversais tivesse sido utilizado Isso se justifi ca no presente contexto porque o intuito do exemplo é explicar os procedimentos adotados para obter envoltórias da forma mais simples possível para uma estrutura e uma carga móvel também muito simples 144 MÉTODO CINEMÁTICO PARA O TRAÇADO DE LINHAS DE INFLUÊNCIA O princípio dos deslocamentos virtuais PDV Seção 74 oferece um método alternativo para o traçado de linhas de infl uência em estruturas isotáticas Considere que a viga biapoiada mostrada na Figura 1426 sofreu um campo de deslocamentos virtuais vx conforme indicado onde o apoio da esquerda é deslo cado virtualmente para baixo de uma unidade de distância O objetivo é determinar a linha de infl uência da reação de apoio vertical no apoio A LIVA Como a viga biapoiada é isostática o movimento do apoio impõe um deslocamento de corpo rígido para a viga isto é a viga permanece reta e não existem deforma ções internas Devese observar que o campo de deslocamentos virtuais imposto é tal que o deslocamento unitário de apoio A é contrário ao sentido positivo para cima da reação de apoio VA Com isso a parcela de trabalho virtual associada a essa reação é negativa vx lxl P 1 x l VA VB 1 A B Figura 1426 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de reação de apoio de uma viga biapoiada O PDV diz que o trabalho virtual produzido pelas forças externas reais da estrutura pelos corres pondentes deslocamentos externos virtuais é igual à energia de deformação interna virtual que no caso é nula não existem deformações internas virtuais pois o campo de deslocamentos virtuais é de corpo rígido Portanto o trabalho virtual das forças externas é nulo isto é VA1 Pvx 0 VAx l xl Vêse que a aplicação do PDV resulta na expressão analítica encontrada anteriormente na Seção 142 para a LIVA Não podia deixar de ser dessa maneira pois o PDV nada mais é do que uma forma alternati Bookconceitosindb 457 532010 084100 ELSEVIER 458 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha va para se imporem condições de equilíbrio Seção 74 Além disso a elástica resultante do deslocamento unitário imposto campo de deslocamentos virtuais é consistente com a convenção adotada para o tra çado de LIs valores positivos da LI para baixo e negativos para cima As linhas de infl uência do esforço cortante e do momento fl etor em uma seção S da viga biapoiada também podem ser determinadas pelo PDV O campo de deslocamentos virtuais para a obtenção de LIQS é mostrado na Figura 1427 VA VB 1 QS MS MS vx xl QS P 1 x l a b vx lxl VA VB 1 QS MS MS QS P 1 x bl al bl al Figura 1427 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de esforço cortante em uma seção transversal de uma viga biapoiada O campo de deslocamentos virtuais da Figura 1427 é tal que a viga é cortada na seção S e é impos to um deslocamento transversal relativo nessa seção igual a uma unidade de distância tratado como pequeno deslocamento Com a seção transversal cortada a viga por ser isostática se transforma em um mecanismo uma cadeia cinemática que não oferece resistência ao movimento imposto Portanto os movimentos virtuais dos dois segmentos de viga após o corte são de corpo rígido sem deformação virtual interna Além disso as inclinações dos dois segmentos de viga à esquerda e à direita de S devem permanecer iguais para que não haja rotação relativa nessa seção evitando dessa forma que o momento fl etor MS produza trabalho virtual Notase também na Figura 1427 que o deslocamento transversal relativo na seção S é contrário às direções positivas do esforço cortante QS isto é o segmento à esquerda de S sobe de al enquanto o segmento à direita desce de bl A aplicação do PDV à estrutura da Figura 1427 resulta em P 1 à esquerda de S x a QSal QSbl MS1l MS1l Pxl 0 QSx xl P 1 à direita de S x a QSal QSbl MS1l MS1l Pl xl 0 QSx l xl Como se pode notar essas expressões são as mesmas obtidas na Seção 142 para a LIQS O campo de deslocamentos virtuais para determinar a linha de infl uência de momento fl etor em uma seção S da viga biapoiada é mostrado na Figura 1428 Esse campo de deslocamentos é tal que a con tinuidade de rotação da viga é liberada na seção S e é imposta uma rotação relativa unitária θ 1 rad nessa seção transversal consideramse pequenos deslocamentos isto é um arco de círculo é aproximado por sua corda Notase na Figura 1428 que o segmento de viga à esquerda da seção S sofre um giro com ângulo igual a bl considerando pequenos deslocamentos no sentido horário que é contrário à direção Bookconceitosindb 458 532010 084100 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 459 positiva de MS na extremidade do segmento Observase também que o segmento à direita de S gira de al no sentido antihorário que é contrário à direção positiva de MS na porção da direita vx bx l l a b P 1 x vx alx l a b θ 1 VA VB QS MS MS a bl Figura 1428 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de momento fl etor em uma seção transversal de uma viga biapoiada Aplicando o PDV à estrutura da Figura 1428 obtémse P 1 à esquerda de S x a QSabl QSabl MSbl MSal Pbxl 0 MSx bxl P 1 à direita de S x a QSabl QSabl MSbl MSal Pal xl 0 MSx al xl Isso resulta nas mesmas expressões para LIMS obtidas anteriormente Seção 142 Observase que para uma barra inclinada como P 1 é sempre vertical somente a componente ver tical de vx seria utilizada no trabalho virtual Portanto a LI é a componente vertical da elástica virtual imposta Podese resumir a obtenção de linhas de infl uência de um efeito reação de apoio ou esforço interno por aplicação do PDV da maneira explicada a seguir Süssekind 19772 Para se traçar a linha de infl uência de um efeito E esforço interno ou reação procedese da seguinte forma Rompese o vínculo capaz de transmitir o efeito E cuja linha de infl uência se deseja determinar Na seção onde atua o efeito E atribuise à estrutura no sentido oposto ao de E positivo um des locamento generalizado unitário que será tratado como muito pequeno A confi guração deformada elástica obtida é a linha de infl uência Se o trecho da estrutura percorrido pela força vertical unitária for inclinado a linha de infl uência nesse trecho é a com ponente vertical da elástica O deslocamento generalizado a que se faz referência depende do efeito em consideração como indi cado na Figura 1429 No caso de uma reação de apoio o deslocamento generalizado é um deslocamento absoluto do apoio Para um esforço normal o deslocamento generalizado é um deslocamento axial re lativo na seção transversal do esforço normal Para um esforço cortante é um deslocamento transversal Bookconceitosindb 459 532010 084100 460 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER relativo na secao transversal do esforco cortante E para um momento fletor é uma rotacao relativa entre as tangentes a elastica adjacentes a secdo transversal do momento fletor Efeito Deslocamento generalizado Reacao de apoio AO ae vt A1 Esforco normal A1 N 4 N Esforgo cortante we t ac fast QVQ a Momento fletor ee 1 Figura 1429 Deslocamentos generalizados utilizados no método cinematico para tracado de LI Essa maneira de determinar linhas de influéncia embora s6 tenha sido mostrada para uma viga biapoiada se aplica a qualquer tipo de estrutura inclusive estrutura hiperestatica Esse método foi for mulado por MiillerBreslau no final do século XIX e por isso 6 chamado de principio de MiillerBreslau White Gergely Sexsmith 1976 Siissekind 19772 também conhecido como meétodo cinematico para o tracado de LI A demonstracao do principio de MiillerBreslau para estruturas hiperestaticas é feita utilizando o teorema de Betti Secdo 75 que 6 uma consequéncia do PDV Considere as duas vigas continuas hipe restaticas com mesmo comprimento mostradas na Figura 1430 A viga 1 tem uma forca concentrada unitaria P 1 aplicada a uma distancia x do inicio da viga A viga 2 difere da primeira pela inexisténcia do primeiro apoio sendo que nessa posiao é aplicada uma carga concentrada P que provoca em seu ponto de aplicacao um deslocamento para baixo de uma unidade de distancia OO x Tt 1 1 i a ty 3 212 Pe 1 V2x Figura 1430 Aplicacdo do teorema de Betti a duas vigas continuas O teorema de Betti é aplicado as vigas 1 e 2 da Figura 1430 sendo que os campos de desloca mentos virtuais utilizados sao os deslocamentos da outra viga isto é o campo de deslocamentos virtuais imposto a viga 1 é a elastica vx da viga 2 e para a viga 2 imposta a elastica vx como campo de Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 461 deslocamentos virtuais Considerando um comportamento elásticolinear com base no teorema de Betti podese escrever Equação 740 1 2 1 2 F v v F isto é o trabalho da forças externas da viga 1 com os correspondentes deslocamentos externos da viga 2 é igual ao trabalho das forças externas da viga 2 com os correspondentes deslocamentos da viga 1 Com base nisso temse VA1 P1v2x P20 VAx v2x LIVA v2x Como a elástica v2x da viga 2 corresponde justamente à imposição de um deslocamento unitário na direção oposta à reação de apoio VA com a liberação do vínculo associado fi ca demonstrado que o princípio de MüllerBreslau também é válido para vigas hiperestáticas Demonstrações análogas pode riam ser feitas para linhas de infl uência de esforço cortante e momento fl etor ou mesmo para outros tipos de estruturas como pórticos hiperestáticos Um fato importante a ser destacado e que transparece da Figura 1430 é que as linhas de infl uência para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos enquanto para estruturas isostáticas elas são formadas por trechos retos conforme mencionado anteriormente O método cinemático fornece uma explicação intuitiva para isso No caso de estruturas isostáticas a liberação do vínculo associado ao efeito para o qual se quer determinar a LI resulta em uma estrutura hipostática que se comporta como uma cadeia cinemática quando o deslocamento generalizado é im posto Como a cadeia cinemática não oferece resistência alguma ao deslocamento imposto as barras da estrutura sofrem movimentos de corpo rígido isto é permanecem retas Assim as LIs para estruturas isostáticas são formadas por trechos retos Por outro lado a liberação do vínculo no caso de uma estrutura hiperestática resulta em uma estru tura que ainda oferece resistência ao deslocamento generalizado imposto Isso signifi ca que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao deslocamento imposto isto é as barras fi cam fl exionadas Se forem desprezadas deformações por cisalhamento e considerando barras prismáticas seções transver sais constantes a equação diferencial que governa o comportamento de barras à fl exão é a equação de Navier Equação 540 EI x q dx d v x 4 4 Nessa expressão vx é o deslocamento transversal da barra qx é a taxa de carregamento transver sal distribuído E é o módulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da seção transversal Como no caso do método cinemático para o traçado de LI a taxa de carregamento distribuído é nula a elástica resultante que é a própria LI é regida pela seguinte equação diferencial 0 4 4 4 4 dx d LI dx v x d Portanto as LIs para estruturas hiperestáticas com barras prismáticas são formadas por trechos cur vos descritos matematicamente por polinômios do 3o grau O método cinemático é bastante útil para a determinação do aspecto de uma LI isto é quando se deseja obter apenas a forma da LI Isso é frequentemente utilizado no projeto de estruturas submetidas a cargas acidentais uniformemente distribuídas conforme foi exemplifi cado na Seção 141 No exemplo mostrado a forma da LI de momento fl etor na seção transversal de estudo é sufi ciente para determinar os posicionamentos da carga acidental que maximizam ou minimizam o momento fl etor na seção Os valores máximo e mínimo do momento fl etor na seção não precisam ser calculados necessariamente com base na LI qualquer outro método pode ser utilizado Assim somente os aspectos das LIs possibilitam a determinação de valores máximos e mínimos de esforços ao longo da estrutura A Seção 145 aplica essa metodologia a uma viga contínua com três vãos sendo que os valores mínimos e máximos nas seções Bookconceitosindb 461 532010 084100 462 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER transversais selecionadas para o tracgado das envoltérias de momentos fletores sao calculados pelo pro cesso de Cross Para exemplificar formas tipicas de LIs as Figuras 1431 a 1436 mostram LIs para uma viga Gerber isostatica e para uma viga continua hiperestatica As Figuras 1431 e 1432 mostram LIs de reacdes de apoio A B Cc D E F Va t tvs r 1 a vn in tye ty Va tvs NS va st 7 EE uVa a Figura 1431 Linhas de influéncia de reagdes de apoio para uma viga Gerber isostatica A B wy Ry LVa 41 oN Figura 1432 Linhas de influéncia de reacdes de apoio para uma viga continua hiperestatica Observase nas Figuras 1431 e 1432 que uma LI de reacao de apoio tem valor unitario no apoio de referéncia e valores nulos nos outros apoios Isso faz todo sentido porque quando a forca unitaria passa exatamente sobre 0 apoio de referéncia toda a sua carga é transferida diretamente para esse apoio Por outro lado quando a forca unitaria passa por outro apoio nenhuma parcela de carga vai para 0 apoio de referéncia No caso da viga Gerber isostatica da Figura 1431 notase que as LIs das reacdes de apoio tém pontos de inflexado bicos correspondentes 4 mudanga de inclinacdo da LI nos pontos das rotulas Isso pode ser entendido com base na decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas simples Secao 31 Quando a forca unitaria por exemplo percorre 0 vao da viga secundaria na decomposicao veja na figura a reacdo de apoio de referéncia V ou V varia de acordo com o esforo interno V transferido ttle Capitulo 14 Cargas acidentais e méveis 463 da viga secundaria para a viga principal que da suporte as demais O esforco de transferéncia V tem valor unitario quando a forca unitaria esta exatamente sobre a rotula C e tem caimento linear 4 medida que a forca unitaria se aproxima do apoio D Nessa posicao da forga unitaria 0 esforco V tem valor nulo Isso explica por que a LIV ou a LIV tem uma inclinacao no trecho da viga principal e outra no trecho da viga secundaria O método cinematico para o tragado da LI captura bem esse comportamento da viga Gerber isos tatica Quando o apoio A é movido para baixo deslocamento generalizado unitario imposto para obter LIV a viga principal gira tendo como ponto fixo 0 apoio B e o ponto da rétula C é movido para cima Isso levanta a viga secundaria pelo ponto C girandoa e tendo 0 apoio D como ponto fixo O ponto da rotula E por sua vez abaixa girando a viga EF em torno do apoio F Todos os trechos isostaticos simples giram mantendose retos pois ao se mover o apoio A a estrutura se transforma em um mecanismo ci nematico que nao oferece resisténcia ao deslocamento imposto O método cinematico tem uma aplicagao semelhante para obter a LIV As Figuras 1433 e 1434 mostram LIs de esforcos cortantes Nos apoios como existe uma desconti nuidade da LI sempre sao consideradas sec6es transversais imediatamente a esquerda e a direita Ob servase nessas figuras que as linhas de influéncia de esforcos cortantes para secdes transversais de um determinado vao entre apoios ttm um comportamento tipico Assim a secao A do primeiro vao apos o balanco tem LI de esforco cortante com descontinuidade localizada préxima ao apoio A sendo que fora do vao a LI é igual as LIs das segoes S e B ou de qualquer outra secao do mesmo vao Em outras palavras duas secdes de um mesmo vao tém LIs de esforco cortante diferindo apenas pela localizacao da descontinuidade que fica na secdo transversal de referéncia E finalmente as Figuras 1435 e 1436 mostram LIs de momentos fletores Aesq Aair 51 Besg Bair oe Oe Le i 1 TS ZX O x O A LI QAes gee a A Xs a ro a Woy Figura 1433 Linhas de influéncia de esforcos cortantes para uma viga Gerber isostatica 464 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Aesq Aair St Besq Bair So H7 Ds DMs at LIQAair 7S ZA ZX Z ai a 4 4 a a MA 1 OO ae rx Hs 4 se 42 ee oD Dt 9 os VEYr LIQ Bair By Par4 Ls zFS w H LIQs A Figura 1434 Linhas de influéncia de esforcos cortantes para uma viga continua hiperestatica A Si B DN eee eg O1 Ze 1Ma oN oo O LIMs SD on 9 1 aN O S LIMp Figura 1435 Linhas de influéncia de momentos fletores para uma viga Gerber isostatica WL Capitulo 14 Cargas acidentais e méveis 465 ELSEVIER A S B So C Mee 1 DM 6 Sao LIMs a ox an g DS LIMg 9 9 Ss Le Sa LIMs Je1 x 5 2 LIMc Figura 1436 Linhas de influéncia de momentos fletores para uma viga continua hiperestatica 145 EXEMPLO DE DETERMINACAO DE ENVOLTORIAS DE MOMENTO FLETOR BASEADO NOS ASPECTOS DAS LINHAS DE INFLUENCIA Esta secdo exemplifica a utilizacéo do método cinematico apenas para identificar o aspecto da LI O exemplo adotado é a viga continua com trés vaos mostrada na Figura 1437 O objetivo é determinar as envoltorias de momentos fletores A viga tem inércia a flexao EI constante ao longo de toda sua extensao A carga permanente constituida do peso proprio da estrutura é uma forcga uniformemente distribuida tendo sido avaliada em g 6 kKNm A carga acidental de projeto também é uma forca uniformemente distribuida e esta estipulada em q 12 kNm A carga acidental nao tem extensao definida isto é seus trechos de atuacgado devem ser obtidos de forma a majorar ou minorar o momento fletor em uma determi nada sec4o transversal 4 Si B So Cc 3 D an fin iee a 6m 8m 6m Figura 1437 Viga continua com trés vdos submetida a cargas permanente e acidental As envoltérias de momentos fletores sao tracadas por interpolagaéo de valores minimos e maximos calculados nas secoes A S B S C e S indicadas na Figura 1437 Para encontrar os valores limites nas secdes transversais selecionadas a Figura 1438 mostra os aspectos das linhas de influéncia identifican do trechos positivos e negativos Com base nos aspectos das LIs sao definidos os vaos da viga onde a carga acidental deve atuar de forma a minorar e majorar os momentos fletores nas seg6es indicadas Isso identifica seis casos de carregamentos distintos que estao numerados de I a VI Cada caso de carre gamento é obtido pela superposicao da forca uniformemente distribuida g da carga permanente com a forga uniformemente distribuida q da carga acidental nos vaos indicados 466 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Para os casos de carregamento identificados na Figura 1438 os diagramas de momentos fletores sao tracgados utilizando o processo de Cross Capitulo 12 como mostram as Figuras 1439 a 1444 Nessas solucées é adotada uma precisao de 01 kNm para os valores dos momentos fletores isto é as aproxima des para os valores sao feitas com uma casa decimal Adotamse para os coeficientes de distribuicdo de momentos duas casas decimais 8 Carga permanente 4 1 B 2 C 3 D ce fe fe 6m 8m 6m 4 4 Carregamento I oN Carga acidental para Ma minimo 3s A 7b Ma Carregamento II Carga acidental para Ma maximo Carga acidental para Msi minimo PO Sr A LI Msi ITU ene Carga acidental para Ms maximo a Carga acidental para Mg minimo eee 4 Carregamento IV Carga acidental para Mg maximo Sa pa ii 7 NEE ans Carregamento II Carga acidental para Ms maximo eee zx a auummxxxuxaxm Vzaxaxummuxwac Car Qa accidental para Mc minimo 8 FE Me CT cen ee aoa sWROL TTT Carga acidental para Mc maximo Co em ll ee wmemwmyg Svmeyseeu a Carga acidental para Ms3 minimo j 2 7X HN LI Ms3 To CUUUTUTETTTTTUTE Carezemento eoeacaay 00 qO00acvoOT ss GGsOTcacvuevnesneaeoe iY Carga acidental para Ms3 maximo Figura 1438 Lls de momentos fletores nas segdes selecionadas da viga da Figura 1437 e casos de carregamento com posic6es criticas da carga acidental Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 467 A Tabela 143 resume os valores mínimos e máximos de momentos fl etores calculados nas seções A S1 B S2 C e S3 A Figura 1445 mostra o traçado das envoltórias de momentos fl etores mínimos e máximos Esses gráfi cos são obtidos interpolando os valores resumidos na Tabela 143 para cada vão da viga de forma independente 057 043 050 050 540 540 320 320 810 0 122 245 245 97 195 147 73 18 36 37 05 10 08 04 01 02 02 0 01 0 642 334 334 526 526 0 MI kNm 18 kNm 18 kNm 6 kNm Figura 1439 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento I da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores 180 180 960 960 270 0 222 445 335 167 214 428 429 61 122 92 46 11 23 23 03 06 05 02 0 01 01 106 753 753 723 723 0 MII kNm 6 kNm 6 kNm 057 043 050 050 18 kNm Figura 1440 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento II da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores Bookconceitosindb 467 532010 084102 ELSEVIER 468 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha 057 043 050 050 540 540 960 960 270 0 172 345 345 168 337 255 127 31 63 64 09 18 13 06 01 03 03 0 01 0 363 896 896 682 682 0 MIII kNm 18 kNm 18 kNm 6 kNm Figura 1441 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento III da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores 057 043 050 050 180 180 320 320 810 0 122 245 245 05 10 08 04 01 02 02 0 01 0 175 191 191 567 567 0 MIV kNm 18 kNm 6 kNm 6 kNm Figura 1442 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento IV da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores 057 043 050 050 180 180 960 960 810 0 222 445 335 167 79 158 159 22 45 34 17 04 09 08 01 02 02 01 0 01 0 65 672 672 977 977 0 MV kNm 18 kNm 18 kNm 6 kNm Figura 1443 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento V da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores Bookconceitosindb 468 532010 084103 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 469 057 043 050 050 540 540 320 320 270 0 63 126 94 47 0 01 02 603 414 414 272 272 0 MVI kNm 18 kNm 6 kNm 6 kNm Figura 1444 Solução pelo processo de Cross do caso de carregamento VI da viga da Figura 1437 e diagrama de momentos fl etores Tabela 143 Envoltórias de momentos fl etores kNm para a viga da Figura 1437 Seção A S1 B S2 C S3 Mín 642 54 896 50 977 91 Máx 106 322 191 701 272 547 M kNm S1 S2 S3 A B C D Figura 1445 Envoltórias de momentos fl etores kNm para a viga da Figura 1437 Dois aspectos devem ser salientados a respeito das envoltórias de momentos fl etores mostradas na Figura 1445 O primeiro é que deveriam ter sido utilizados valores limites calculados em outras seções transversais As envoltórias foram traçadas em cada vão interpolando apenas os valores nas extremida des e no ponto central O outro ponto a ser destacado é que o valor máximo de momento fl etor em cada vão não corresponde à seção transversal central Para determinar os valores máximos e suas posições seria necessário utilizar mais pontos para o traçado das envoltórias Apesar dessas defi ciências o exemplo ilustra a utilidade do princípio de MüllerBreslau para obter o aspecto das linhas de infl uência O procedimento descrito nesta seção é bastante utilizado em projetos de estruturas de edifícios 146 METODOLOGIA PARA CÁLCULO DE LINHAS DE INFLUÊNCIA PELO MÉTODO CINEMÁTICO A seção anterior mostrou que o princípio de MüllerBreslau é útil para a determinação qualitativa dos aspectos de linhas de infl uência Entretanto esse método cinemático também pode ser utilizado para determinar equações e valores de LIs de maneira geral A metodologia descrita a seguir foi apresentada pelo professor B Ernani Diaz 1984 que demonstrou que o método cinemático pode ser implementado Bookconceitosindb 469 532010 084103 470 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER computacionalmente com poucas modificagdes em qualquer programa de computador para andlise de estruturas reticuladas que utilize o método da rigidez direta Capitulo 13 A determinagao de uma LI baseada no método cinematico é feita pela superposicéo de duas con figuragdes deformadas elasticas para uma mesma estrutura Isso é exemplificado para o caso da LI de esforco cortante em uma secao genérica de uma viga continua que é indicada na Figura 1446 aw ee A1 va Vet we aa Ma A1 Ms 1 Ber Rania anaes ty VB we Va Va Ma Msp 11 cae A1 1 x x ao x mn wo Figura 1446 Determinacdo de LI de esforco cortante de uma secdo transversal de uma viga continua por superposicdo de efeitos Na Figura 1446 a viga continua é submetida a dois tipos de solicitagdes mostradas nos casos I e II O caso I corresponde a um deslocamento generalizado para o tracado da LI imposto localmente na barra que contém a secao transversal de estudo No exemplo da figura considerouse deliberadamente que a barra em questao nao abrange todo o vao central entre apoios Dessa forma se esta considerando uma situacao mais geral O campo de deslocamentos imposto no caso I fica restrito 4 barra da secao de estudo pois ele corresponde a uma situacdo de engastamento perfeito da barra isto é como se ela fosse biengastada Podese notar que essa situacao corresponde ao caso I da metodologia do método da rigidez direta descrita no capitulo anterior Secao 132 Observase também que o caso I é uma solucao fundamental para considerar o efeito da descontinui dade de deslocamento imposta andloga a solucao fundamental de uma barra biengastada com carrega mento externo Seco 932 O caso II da superposicao considera 0 efeito global do deslocamento generalizado imposto Esse efeito global é determinado pelo calculo da elastica global da estrutura devida a uma solicitagéo em que as reacdes de engastamento do caso I sao aplicadas aos nods extremos da barra em questao com seus sen tidos opostos como indica a Figura 1446 Essas forcas e momentos com sentidos opostos sao conforme definido no Capitulo 13 as cargas equivalentes nodais para a solicitacao do caso I Notase que na superpo sicdo dos dois casos as forcas e momentos aplicados aos nos da barra se cancelam resultando somente no deslocamento generalizado imposto a viga como um todo Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 471 Dessa forma podese observar que a metodologia adotada para o cálculo da LI pelo método cinemá tico segue o formalismo do método da rigidez direta no caso I é considerado o efeito local da solicitação externa e no caso II a estrutura é resolvida globalmente solicitada por cargas equivalentes nodais A única novidade é que a solicitação externa é um deslocamento generalizado imposto à barra que contém a seção transversal de estudo com as extremidades engastadas Por esse motivo qualquer programa de computador que implemente o método da rigidez direta e determine valores da elástica pode ser facil mente modifi cado para calcular LIs pelo método cinemático Como exemplo podese citar o programa Ftool wwwtecgrafpucriobrftool que utiliza essa metodologia para o traçado de LIs Esse desenvol vimento foi resultado de um trabalho de iniciação científi ca em 2001 do então aluno de graduação em engenharia civil da PUCRio André Cahn Nunes Portanto para implementar computacionalmente esse método é necessário fornecer soluções fun damentais de engastamento perfeito para linhas de infl uência típicas em uma barra Essas soluções devem conter as reações de engastamento perfeito e a equação da elástica devida a um deslocamento generalizado imposto Isso será feito a seguir para LIs de esforço cortante e momento fl etor em seção transversal genérica de uma viga biengastada 147 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA LINHA DE INFLUÊNCIA DE ESFORÇO CORTANTE EM BARRA PRISMÁTICA A Figura 1447 mostra a solução fundamental de uma barra biengastada à qual é imposto um desloca mento generalizado para o traçado de LI de esforço cortante em uma seção transversal genérica A barra é considerada pris mática seção transversal não varia ao longo de seu comprimento com módulo de elasticidade E e momento de inércia da seção transversal I A convenção de sinais adotada para reações de apoio é tal que reações forças verticais são positivas quando orientadas para cima e negativas para baixo Reações momentos são positivas quando têm senti do antihorário e negativas quando têm sentido horário As reações estão indicadas na Figura 1447 com seus sentidos positivos Dessa forma se o sinal da reação em sua expressão fi nal for negativo isso signi fi ca que ela tem o sentido contrário ao que está indicado na fi gura A convenção de sinais para a elástica é tal que deslocamentos transversais vx são positivos quando têm sentido para baixo e negativos com sentido para cima Como dito anteriormente a inversão da convenção para deslocamentos transversais se deve a um costume de indicar ordenadas positivas de linhas de infl uência para baixo Δ 1 VA VB MA MB vesqx vdirx l a b S Figura 1447 Solução fundamental de uma barra biengastada para determinação de LI de esforço cortante em uma seção transversal A solução para a elástica da barra da Figura 1447 é obtida considerando a seguinte equação diferen cial equação de Navier com taxa nula de carregamento transversal distribuído e as seguintes condições de contorno e continuidade Equação diferencial 0 4 4 dx v x d Bookconceitosindb 471 532010 084104 ELSEVIER 472 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Condições de contorno 0 0 v 0 l v 0 0 dx dv 0 dx l dv Condições de continuidade à esquerda e à direita da seção considerada 1 a v a v esq dir dx a dv dx a dv esq dir Isso resulta na seguinte solução para a elástica da viga isto é para a linha de infl uência do esforço cortante em uma seção genérica 3 2 2 3 l x l x x v LIQ esq S para x a 0 3 2 2 3 1 l x l x x v LIQ dir S para l x a As reações de engastamento perfeito podem ser determinadas de diversas maneiras Uma delas é utilizando as equações diferenciais da teoria de vigas de Navier que relacionam a elástica vx com o momento fl etor e com o esforço cortante Equações 538 e 541 Outra possibilidade é através da analogia da viga conjugada Isso será mostrado na Seção 149 Considerando a convenção de sinais adotada as reações de engastamento têm as seguintes expressões fornecidas por Diaz 1984 3 12 l EI VA 3 12 l EI VB 2 6 l EI MA 2 6 l EI MB Para o caso de barras com articulação rótula em uma das extremidades os procedimentos indica dos na Seção 932 podem ser utilizados para transformar as reações da barra biengastada para reações da barra com articulação Figuras 921 e 922 considerando que não há carregamento distribuído As expressões para as LIs isto é para as elásticas devem ser obtidas considerando condições de contorno apropriadas para a articulação na extremidade inicial ou fi nal da barra Entretanto em uma implementação computacional não é necessário fazer tratamento especial al gum para considerar a descontinuidade de deslocamento imposta em uma barra com articulação pois a liberação de continuidade de rotação provocada por uma rótula em uma extremidade da barra é tratada como um efeito global Isso ocorre porque existe um procedimentopadrão para transformar cargas equi valentes nodais e a elástica da barra sem articulação para a barra com articulação Esse procedimento independe do tipo de solicitação imposta Portanto a consideração de articulação na barra é tratada de forma mais geral e conveniente no caso II da superposição utilizada pelo método da rigidez direta Figura 1446 Dessa forma as expressões para as reações de engastamento da barra e a equação da elás tica por trechos mostradas nesta seção para a barra sem articulação são sufi cientes para implementar linhas de infl uência de esforços cortantes em um programa de computador considerando barras com seção transversal constante Bookconceitosindb 472 532010 084105 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 473 148 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTO FLETOR EM BARRA PRISMÁTICA A determinação da solução fundamental para LI de momento fl etor em uma seção transversal qualquer de uma barra biengastada é análoga ao que é feito na Seção 147 para a LI de esforço cortante A descon tinuidade de rotação imposta é mostrada na Figura 1448 As reações de engastamento estão indicadas com seus sentidos positivos VA VB MA MB θ 1 vesqx vdirx l a b S Figura 1448 Solução fundamental de uma barra biengastada para determinação de LI de momento fl etor em uma seção transversal A equação diferencial e as condições de contorno são as mesmas da LI de esforço cortante Apenas as condições de continuidade são diferentes Condições de continuidade à esquerda e à direita da seção considerada a v a v dir esq 1 dx a dv dx a dv dir esq A solução para a linha de infl uência de momento fl etor é mostrada a seguir 2 2 1 3 2 l x l a l x l a x x v LIM esq S para x a 0 a l x l a l x l a x x v LIM dir S 2 2 1 3 2 1 para l x a E as reações de engastamento perfeito têm as seguintes expressões consistentes com a convenção de sinais adotada de acordo com Diaz 1984 2 12 6 l EI l a VA 2 12 6 l EI l a VB l EI l a MA 6 4 l EI l a MB 6 2 A Seção 1410 deduz essas expressões pela analogia da viga conjugada As mesmas observações feitas na seção anterior com respeito à presença de articulação em uma das extremidades da barra podem ser adotadas para o caso da linha de infl uência de momento fl etor 149 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA LINHA DE INFLUÊNCIA DE ESFORÇO CORTANTE EM BARRA COM SEÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL A analogia da viga conjugada apresentada no Capítulo 6 fornece uma alternativa para a solução de vigas hiperestáticas Nessa metodologia as condições de compatibilidade na viga a ser analisada são substi tuídas por condições de equilíbrio em uma viga conjugada A analogia exige a conversão de condições de contorno cinemáticas em termos de deslocamentos transversais e rotações na viga real para condições Bookconceitosindb 473 532010 084106 ELSEVIER 474 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha de contorno mecânicas em termos de momentos fl etores e esforços cortante s na viga conjugada Além disso o diagrama de momentos fl etores na viga real é convertido em um carregamento distribuído na viga conjugada através de sua divisão pelo parâmetro de rigidez à fl exão EI Nessa conversão uma seção transversal variável é considerada na função de variação de seu momento de inércia Ix No contexto da solução fundamental para a LI de esforço cortante a analogia da viga conjugada apresenta uma solução muito simples e elegante Isso é mostrado na Figura 1449 para o caso de uma barra com seção transversal constante Δ 1 VA VB MA MB vesqx vdirx l a b S VIGA REAL Diagrama de momentos fletores MA MB x EI const vB 0 θB 0 vA 0 θA 0 l a b VIGA CONJUGADA MBEI MAEI MB 0 QB 0 MA 0 QA 0 C C C C qCx A B Δ 1 C 0 Fy C 0 MA EI M x qC x MAl2EI 2l3 2l3 l3 MBl2EI A B l3 Δ 1 a MAl2EIl3 MBl2EI2l3 Δ 0 2 Δ 6 l EI M M B A M B M A Mx Figura 1449 Solução fundamental de uma barra biengastada com seção transversal constante para determinação de LI de esforço cortante pela analogia da viga conjugada Observase na Figura 1449 que a descontinuidade de deslocamento transversal imposta na viga real é convertida para um momento concentrado aplicado na posição da seção transversal de referência na viga conjugada Tabela 63 Os engastes da viga real são convertidos para extremidades livres na viga conjugada resultando em uma viga sem nenhum vínculo de apoio O diagrama de momentos fl etores da viga real tem uma variação linear Figura 1449 Consideran do os sentidos positivos para as reações de engastamento MA e MB na extremidade inicial o momento fl etor é negativo traciona fi bras superiores e na extremidade fi nal é positivo traciona fi bras inferiores O carregamento distribuído na viga conjugada qCx MxEI também tem uma variação linear pois EI é constante barra prismática A solução do equilíbrio da viga conjugada que é equivalente a impor condições de compatibilidade na viga real requer um carregamento autoequilibrado Isso é satisfeito impondose duas condições de equilíbrio na viga conjugada como indicado na Figura 1449 somatório nulo de forças na direção vertical e somatório de momentos nulos em relação a qualquer ponto no caso foi escolhido o ponto A A solução ob tida para MA e MB veja a fi gura é a mesma indicada na Seção 147 considerando Δ 1 As reações verticais da barra biengastada podem ser obtidas por equilíbrio da viga real VA MA MBl e VB MA MBl Resta o cálculo da equação da elástica que é a LI do esforço cortante na barra biengastada A ana logia da viga conjugada também fornece uma solução elegante para isso a elástica da viga real é o dia grama de momentos fl etores da viga conjugada Ou seja uma vez determinados os valores de MA e MB é possível obter a expressão do momento fl etor na viga conjugada Essa expressão tem dois trechos pois existe um momento concentrado Δ 1 aplicado na viga conjugada Devese considerar que no caso da Bookconceitosindb 474 532010 084107 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 475 linha de infl uência o deslocamento transversal vx é positivo para baixo Podese verifi car que esses procedimentos resultam na mesma expressão com dois trechos mostrada na Seção 147 para LIQS Essa metodologia também pode ser aplicada para a barra com seção transversal variável A solução pela analogia da viga conjugada para a barra com Ix variável é mostrada na Figura 1450 A fi gura tam bém mostra a expressão da variação linear de Mx em função de MA e MB O carregamento distribuído na viga conjugada qCx MxEIx tem uma variação que não é linear pois depende da função de variação de Ix A Figura 1450 também indica as equações de equilíbrio que devem ser impostas na viga conjugada Substituindo a expressão de Mx em função de MA e MB nessas equações temse 0 0 l EI x dx M x 0 1 0 0 B l A l M EI x dx x l M dx EI x x l l dx EI x x x M 0 0 Δ 0 0 2 0 2 Δ B l A l M EI x dx l x M dx EI x x l x Considerando que Δ 1 essas duas equações formam um sistema que resolvido fornece os valores para MA e MB Δ 1 VA VB MA MB vesqx vdirx l a b S VIGA REAL Diagrama de momentos fletores MA MB x EIx vB 0 θB 0 vA 0 θA 0 l x M l x M M x B A 1 l a b VIGA CONJUGADA MBEIl MAEI0 MB 0 QB 0 MA 0 QA 0 C C C C qCx A B Δ 1 C 0 Fy l C x dx q 0 0 C 0 MA l C xdx x q 0 0 Δ EI x M x qC x Figura 1450 Solução fundamental de uma barra biengastada com seção transversal variável para determinação de LI de esforço cortante pela analogia da viga conjugada No caso geral de barra com seção transversal variável o cálculo das integrais que aparecem no sis tema de equações de equilíbrio pode ser complicado pois o integrando envolve divisão de polinômios que não é outro polinômio necessariamente A alternativa é resolver as integrais numericamente Vilela e Martha 2008 propõem uma metodologia simples e efi ciente para isso De maneira análoga para EIx variável a elástica da viga real ou o momento fl etor da viga conju gada pode ser avaliada numericamente Uma implementação computacional dessa metodologia para o caso de barra com mísula parabólica pode ser obtida através do endereço na internet wwwtecgraf pucriobretoolsmisulatool 1410 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTO FLETOR EM BA RRA COM SEÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL A solução fundamental para LI de momento fl etor em barra biengastada pela analogia da viga conjugada segue os mesmos passos descritos na Seção 149 para a LI de esforço cortante A principal diferença está Bookconceitosindb 475 532010 084107 ELSEVIER 476 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha na conversão da descontinuidade de rotação da tangente da elástica Conforme defi nido na Tabela 63 essa descontinuidade é convertida para uma força concentrada na viga conjugada A Figura 1451 mostra a solução para o caso da barra com seção transversal constante Observase que as expressões obtidas para MA e MB considerando θ 1 são as mesmas mostradas na Seção 148 Chegase também aos mesmos resultados encontrados anteriormente para as reações verticais utilizando VA MA MBl e VB MA MBl Podese verifi car que o cálculo do diagrama de momentos fl etores na viga conjugada resulta invertendose o sinal na expressão em dois trechos da elástica vx LIMS da Seção 148 VIGA CONJUGADA qCx A B VA VB MA MB l a b VIGA REAL Diagrama de momentos fletores MA MB x vB 0 θB 0 vA 0 θA 0 θ 1 vesqx vdirx S θ 1 EI const MBEI MAEI EI M x qC x l a b MB 0 QB 0 MA 0 QA 0 C C C C C 0 Fy C 0 MA MAl2EI 2l3 2l3 l3 MBl2EI A B l3 a θ θ l EI l a M l EI l a M B A 6 2 6 4 Mx θ 1 MAl2EI MBl2EI θ 0 MAl2EIl3 MBl2EI2l3 θa 0 Figura 1451 Solução fundamental de uma barra biengastada com seção transversal constante para determinação de LI de momento fl etor pela analogia da viga conjugada A Figura 1452 mostra a solução da barra com seção transversal variável pela analogia da viga con jugada l a b VIGA CONJUGADA MBEIl MAEI0 MB 0 QB 0 MA 0 QA 0 C C C C qCx A B EI x M x qC x VA VB MA MB l a b VIGA REAL Diagrama de momentos fletores MA MB x EIx vB 0 θB 0 vA 0 θA 0 l x M l x M M x B A 1 θ 1 vesqx vdirx S θ 1 C 0 Fy l C x dx q 0 0 θ C 0 MA l C a xdx x q 0 0 θ Figura 1452 Solução fundamental de uma barra biengastada com seção transversal variável para determinação de LI de momento fl etor pela analogia da viga conjugada Bookconceitosindb 476 532010 084108 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 477 A imposição das condições de equilíbrio na viga conjugada indicadas na Figura 1452 resulta nas duas equações a seguir 0 0 θ l EI x dx M x 0 1 0 0 θ B l A l M EI x dx l x M dx EI x x l l a dx EI x x x M 0 0 θ 0 0 2 0 2 a M EI x dx l x M dx EI x x l x B l A l θ Conforme comentado na Seção 149 procedimentos numéricos podem ser utilizados para calcu lar as integrais dessas equações Resolvendo o sistema de equações considerando θ 1 chegase aos momentos de engastamento MA e MB da solução fundamental para linha de infl uência de momento fl etor em uma barra com inércia variável As reações verticais VA e VB podem ser determinadas pelo equilíbrio da barra A equação da elástica vx isto é a expressão para LIMS pode ser obtida após a determinação do diagrama de momentos fl etores na viga conjugada A implementação computacional mencionada anteriormente também considera a solução de LIMS para barra com inércia variável mí sula parabólica 1411 EXEMPLO DE TRAÇADO DE ENVOLTÓRIAS DE ESFORÇOS INTERNOS PARA PONTE RODOVIÁRIA As seções anteriores deste capítulo deixam transparecer que a análise estrutural considerando cargas acidentais e móveis é relativamente mais complexa do que a análise para cargas permanentes principal mente se a resolução for manual Na verdade atualmente não se concebe mais analisar estruturas sem o uso de programas de computador No caso de cargas acidentais e móveis isso é ainda mais evidente Uma das difi culdades está na obtenção das equações das linhas de infl uência principalmente para estru turas hiperestáticas Se as barras não forem prismáticas fi ca mais complexo ainda Outra difi culdade está na identifi cação das posições da carga móvel que provocam os valores limites para cada esforço interno em cada seção transversal Deve ser considerado que para uma determinação precisa das envoltórias é necessário selecionar várias seções transversais para o traçado de linhas de infl uência e cálculo dos valo res mínimos e máximos Esta seção mostra um exemplo de determinação de envoltórias de esforços internos para uma das vigas longitudinais de uma ponte rodoviária cujo modelo estrutural em conjunto com os cor respondentes pilares é idealizado pelo pórtico hiperestático mostrado na Figura 1453 O módulo de elasticidade adotado na análise é E 25x107 kNm2 As seções transversais da viga e dos pilares estão indicadas na fi gura A ponte está solicitada por uma força permanente uniformemente distribuída avaliada em 80 kNm e por um carregamento móvel que é o veículo de projeto também indicado na fi gura O objetivo desta apresentação é apenas ilustrar os resultados de uma análise para cargas móveis utilizando um programa de computador O programa Ftool foi utilizado nesta análise wwwtecgraf pucriobrftool Bookconceitosindb 477 532010 084108 ELSEVIER 478 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Carga acidental de multidão Externa 12 kNm Interna 4 kNm Veículo de projeto rodoviário extensão 8 m desenho em escala maior do que o desenho do modelo estrutural Seção transversal dos pilares Seção transversal da viga Figura 1453 Modelo estrutural de uma ponte rodoviária e carga permanente considerada O veículo de projeto tem dois valores para carga acidental chamada de carga de multidão a carga acidental interna que abrange a extensão do veículo e a carga acidental externa que tem extensão ili mitada Esse tipo de confi guração é comum e aparece porque o veículo de projeto tem uma distribuição por área no tabuleiro da ponte Os dois valores de carga acidental que atuam sobre a viga longitudinal da ponte resultam dos procedimentos de distribuição transversal do veículo de projeto sobre o tabuleiro Bookconceitosindb 478 532010 084108 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 479 Alguns resultados da análise desse modelo estrutural serão mostrados a seguir A Figura 1454 apresenta a linha de infl uência de momentos fl etores na seção transversal média do vão central da viga e as envoltórias de momentos fl etores As posições da carga móvel que provocam os valores mínimo e máximo de momento fl etor nessa seção transversal são indicadas mostrando também os trechos onde atua a carga de multidão A linha de infl uência e as envoltórias são mostradas sem valores numéricos Um trecho da linha de infl uência é ampliado e os valores nesse trecho estão indicados O gráfi co trace jado mostrado nas envoltórias corresponde ao diagrama de momentos fl etores para a carga permanente LIMS LIMS M S Figura 1454 Linha de infl uência de momentos fl etores na seção transversal média do vão central e envoltórias de momentos fl etores do modelo estrutural da Figura 1453 A linha de infl uência de esforços cortantes na seção transversal média do vão central da viga é ilus trada na Figura 1455 indicando as posições críticas da carga móvel para essa seção O vão central apare ce ampliado com os valores da linha de infl uência indicados As envoltórias de mínimos e máximos e o diagrama de esforços cortantes para a carga permanente tracejado também são mostrados sem valores na fi gura Bookconceitosindb 479 532010 084109 ELSEVIER 480 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha LIQS LIQS Q S S Figura 1455 Linha de infl uência de esforços cortantes na seção transversal média do vão central e envoltórias de esforços cortantes do modelo estrutural da Figura 1453 A Figura 1456 ilustra a linha de infl uência de esforços normais na seção transversal média do se gundo pilar da ponte e as posições da carga móvel que provocam os valores mínimo e máximo de esforço normal nessa seção O trecho com as maiores ordenadas negativas da linha de infl uência está ampliado com valores numéricos indicados A fi gura também mostra os aspectos das envoltórias de mínimos e má ximos de esforços normais O gráfi co tracejado corresponde aos esforços normais da carga permanente Bookconceitosindb 480 532010 084109 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 481 LINS LINS N S S Figura 1456 Linha de infl uência de esforços normais na seção transversal média do segundo pilar e envoltórias de esforços normais do modelo estrutural da Figura 1453 Os resultados mostrados na Figura 1456 são os únicos relacionados a esforços normais deste capí tulo O aspecto da linha de infl uência indicada na fi gura pode ser entendido com base no método cine mático De acordo com a Figura 1429 o deslocamento generalizado para obtenção da linha de infl uência é um deslocamento axial relativo unitário imposto na seção transversal média do segundo pilar A linha de infl uência de esforços normais é a elástica resultante de um corte na seção seguido de um afastamento axial das partes separadas Observase que as maiores ordenadas em módulo dessa linha de infl uência são negativas Isso faz sentido pois corresponde ao trecho da viga percorrido pela força unitária próximo do segundo pilar provocando os maiores valores do esforço normal de compressão negativo na seção transversal de re ferência Observe que essa linha de infl uência tem um trecho positivo entre o terceiro e o quarto pilares Nesse trecho a carga móvel é posicionada para obter o máximo no sentido algébrico do esforço nor mal na seção do segundo pilar Nessa posição a carga móvel provoca um esforço normal de tração no segundo pilar Entretanto o efeito da carga permanente sempre atuante faz com que o esforço normal no pilar seja de compressão em qualquer situação O mesmo ocorre nos outros pilares de acordo com as envoltórias da Figura 1456 Bookconceitosindb 481 532010 084109 ELSEVIER 482 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Essa fi gura mostra que também aparecem esforços normais nas seções transversais da viga da pon te com exceção dos vãos nas extremidades Isso ocorre porque aparecem reações de apoio horizontais nas bases dos pilares do pórtico adotado como modelo estrutural Esse efeito não aparece em modelos de vigas isoladas É interessante notar as envoltórias de mínimos e máximos de momentos fl etores e esforços cortantes nos pilares da ponte Figuras 1454 e 1455 Existe uma inversão de sinais dos momentos fl etores em to dos os pilares No caso dos esforços cortantes apenas os pilares centrais apresentam inversão de sinais Devese salientar também a difi culdade que é encontrar as posições críticas da carga móvel sobre uma dada LI Essa difi culdade fi ca mais acentuada para trechos da LI sem ponto anguloso Formalmente esse é um problema de otimização cujo objetivo é minimizar ou maximizar os valores dos esforços em relação à posição do tremtipo que percorre a estrutura A metodologia utilizada pelo programa Ftool para resolver esse problema é descrita em um artigo de Holtz Martha e Vaz 2005 que resultou da dis setação de mestrado de Gisele Cristina da Cunha Holtz na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro em 2005 Esses aspectos ilustram a complexidade de uma análise de pórticos para cargas móveis Na verdade a análise estrutural para estruturas e solicitações reais é uma tarefa relativamente difícil quando com parada com outras atividades do projeto estrutural Felizmente existem programas de computador que facilitam essa tarefa Entretanto o uso de programas de computador sem o conhecimento adequado de análise estrutural pode ser muito perigoso pois resultados errados de análise são a causa de graves acidentes com obras civis Nesse contexto o uso adequado de um programa de computador está associado a um forte em basamento em conceitos e métodos da análise de estruturas Este livro foi escrito com a expectativa de contribuir nesse sentido 1412 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício proposto 1 Na Figura 1457 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores na seção F e de esforços cortantes na seção A Com base na LIMF calcule a ordenada da LIQA na seção I indicada LIMF F I A LIQA valor pedido I m Figura 1457 Exercício proposto 1 Bookconceitosindb 482 532010 084109 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 483 Exercício proposto 2 Na Figura 1458 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores nas seções S4 e S10 de uma ponte Calcule a ordenada da LIMS4 na seção indicada LIMS4 LIMS10 S4 S10 valor pedido m m Figura 1458 Exercício proposto 2 Exercício proposto 3 Na Figura 1459 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores na seção S7 e de esforços cortantes na seção S1 de uma ponte Calcule a ordenada da LIMS7 na seção indicada Sugestão explore a simetria da estrutura m LIMS7 S7 valor pedido LIQS1 S1 Figura 1459 Exercício proposto 3 Bookconceitosindb 483 532010 084109 ELSEVIER 484 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Exercício proposto 4 Na Figura 1460 são mostradas as linhas de infl uência de esforços cortantes nas seções A e D de uma ponte Os valores das ordenadas estão indicados a cada dois metros Também está indicada a linha de infl uência de momentos fl etores na seção S2 Calcule a ordenada indicada na LIMS2 m LIQD D LIMS2 S2 LIQA A valor pedido Figura 1460 Exercício proposto 4 Exercício proposto 5 Na Figura 1461 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores e de esforços cortantes na seção S6 de uma ponte Calcule a ordenada da LIMS6 na seção indicada m LIMS6 S6 LIQS6 valor pedido Figura 1461 Exercício proposto 5 Bookconceitosindb 484 532010 084110 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 485 Exercício proposto 6 Na Figura 1462 são mostradas as linhas de infl uência de esforços cortantes na seção S5 e de momentos fl etores na seção S13 de uma ponte Calcule as ordenadas indicadas valores pedidos da LIQS5 m LIQS5 S13 valores pedidos LIMS13 S13 S5 S5 A B C Figura 1462 Exercício proposto 6 Exercício proposto 7 Na Figura 1463 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores nas seções S3 e S7 de uma ponte Calcule a ordenada da LIMS3 na seção indicada m LIMS7 S7 valor pedido S3 LIMS3 m Figura 1463 Exercício proposto 7 Bookconceitosindb 485 532010 084110 ELSEVIER 486 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Exercício proposto 8 Na Figura 1464 são mostradas as linhas de infl uência de momentos fl etores nas seções B e C de uma ponte Os valores das ordenadas estão indicados a cada dois metros Também está indicada a linha de infl uência de momentos fl etores na seção S2 Calcule a ordenada indicada na LIMS2 LIMB B LIMC C m LIMS2 S2 valor pedido m m Figura 1464 Exercício proposto 8 Exercício proposto 9 Para uma viga de ponte cujo modelo estrutural é apresentado na Figura 1465 calcule os valores mínimo e máximo de momento fl etor na seção S3 devidos às cargas permanente e móvel indicadas Utilize o pro cesso de Cross para determinar os momentos fl etores dos casos de carregamento identifi cados Sabese que o valor mínimo da linha de infl uência de momentos fl etores na seção S3 está localizado na extremi dade esquerda da viga Todas as barras têm a mesma inércia à fl exão EI S3 Carga permanente g 18 kNm Carga móvel q 30 kNm Q 200 kN carga de multidão Figura 1465 Exercício proposto 9 Bookconceitosindb 486 532010 084110 Capítulo 14 Cargas acidentais e móveis 487 Exercício proposto 10 Para a estrutura cujo modelo é apresentado na Figura 1466 calcule os valores mínimo e máximo de mo mento fl etor na seção S8 devidos às cargas permanente e acidental indicadas Utilize o processo de Cross para analisar a estrutura Todas as barras são inextensíveis e têm a mesma inércia à fl exão EI Utilize duas casas decimais para os coefi cientes de distribuição de momentos e uma casa decimal para momentos fl etores S8 Carga permanente g 9 kNm Carga acidental q 12 kNm Figura 1466 Exercício proposto 10 Exercício proposto 11 Considere o modelo estrutural de uma ponte rodoviária mostrado na Figura 1467 A carga permanente cons tituída do peso próprio da estrutura é uniformemente distribuída tendo sido avaliada em g 16 kNm A carga móvel está indicada na fi gura sendo que q representa a carga de multidão e as cargas P1 e P2 represen tam as cargas dos eixos do veículo de projeto Trace as linhas de infl uência de momentos fl etores nas seções A S1 B e S2 indicando valores das ordenadas e das áreas positivas e negativas Com base na carga permanente e na carga móvel monte uma tabela de momentos fl etores mínimos e máximos nas seções A S1 B e S2 Desenhe as envoltórias de momentos fl etores máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos Carga permanente g 16 kNm Carga móvel q 10 kNm A S1 B S2 P1 50 kN P2 100 kN Figura 1467 Exercício proposto 11 Bookconceitosindb 487 532010 084111 ELSEVIER 488 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha Exercício proposto 12 Para uma viga de ponte cujo modelo estrutural é apresentado na Figura 1468 calcule os valores míni mo e máximo de momento fl etor na seção S3 devidos às cargas permanente e móvel indicadas Sabese que o valor mínimo da linha de infl uência de momentos fl etores na seção S3 está localizado na seção S2 indicada Todas as barras têm a mesma inércia à fl exão EI Utilize o processo de Cross para determinar os momentos fl etores com precisão de uma casa decimal para momentos fl etores e de duas casas decimais para coefi cientes de distribuição de momentos Carga permanente g 18 kNm Carga móvel q 30 kNm Q 150 kN carga de multidão S3 S2 Figura 1468 Exercício proposto 12 Exercício proposto 13 Considere o modelo estrutural de uma ponte rodoviária mostrado na Figura 1469 A carga permanente constituída do peso próprio da estrutura é uniformemente distribuída tendo sido avaliada em g 10 kNm O carregamento móvel está indicado na fi gura sendo que q representa a carga de multidão e as cargas P1 e P2 representam as cargas dos eixos do veículo de projeto Trace as linhas de infl uência de es forços cortantes nas seções A Besq Bdir C Desq Ddir E F e G indicando valores das ordenadas e das áreas positivas e negativas Com base na carga permanente e na carga móvel monte uma tabela de esforços cortantes mínimos e máximos nessas seções Desenhe as envoltórias de esforços cortantes máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos Carga permanente g 10 kNm Carregamento móvel q 12 kNm P1 40 kN P2 80 kN A Besq Bdir Desq Ddir C E F G Figura 1469 Exercício proposto 13 Bookconceitosindb 488 532010 084111 Apêndice soluções práticas Combinação de diagramas de momentos fl etores em barra l MMdx 0 MB l MC l MB MC D M 8 MD ql2 16 2l q q M B A D 16 2l q M A E 16 2l q M B F MD l2 l2 qA qB MB l C M l MA l MB l C M l MA M l M A A M l M A B 2 1 M l M A C 2 1 l MB M l M B A 2 1 M l M B B 3 1 M l M B C 6 1 l C M M l M C A 2 1 M l M C B 6 1 M l M C C 3 1 D M l2 l2 q M l M D A 3 2 M l M D B 3 1 M l M D C 3 1 ME l2 l2 qA M l M E A 3 2 M l M E B 45 16 M l M E C 45 14 MF l2 l2 qB M l M F A 3 2 M l M F B 45 14 M l M F C 45 16 reprodução da Tabela 71 Bookconceitosindb 489 532010 084111 ELSEVIER 490 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha TEORIA DE VIGAS DE NAVIER dx x θ v qx dx M dM Q dQ M Q q O Equilíbrio do elemento Fy 0 qx dx dQ MO 0 Qx dx dM 2 2 q x dx d M Deformação do elemento dx y x d dx d d y δ θ x y z y dA f y σ x Seção transversal CG Equilíbrio entre momento fletor e tensões normais A f x dA y M σ tanθ θ x dx dv θ Relação tensão vs deformação f x f x Eε σ dx y d f x θ ε dx f x δ ε A dx y dA d E y M θ dx d y dA E M A θ 2 2 2 EI x x M dx d v 2 2 2 2 q x dx EI x d v dx d EI x q dx d v 4 4 Equação de Navier momento de inércia constante Pequenos deslocamentos dx y d E f x θ σ dx EI d M θ y dx d v f x 2 2 ε EI dx M d θ θ θ y v E A dA y dA I 2 q Q M v θ θ d δ f x ε f x σ reprodução da Figura 519 Bookconceitosindb 490 532010 084112 ek Apéndice solugoes praticas 491 ELSEVIER Diagramas de momentos fletores para vigas biapoiadas 1 oT Me oA Es ie et Nt 2 PL4 2 7 CPabl ct qe8 a a b ead FEE eked qa 4B 4B Witte a fe SN sce Ped Pea eio 5 ened fours 3 gal Gal qa 4g fe gal go 3 7 93 wt eee he 1 33 1539 Si ipod 2sbe 12 2a 2 12 ale 12 Mx fJa48 3 44 y2 42d TAB I oe 6l 2 6 Pisarenko et al 1979 s4F R 1kk 1k fa 3 reproducdo da Figura 334 Eixos locais e deslocabilidades de barra de portico plano y de d eek o ds 2 a ds ds fl u v ds 7 3 d wds 4 x i j s x 4 reproducdo da Figura 91 Coeficientes de rigidez axial de barra prismatica EA 1d EA 1d EA1dj EA1 dj EA Pedy EAI EAT dy BAI d di 1 4 kK 1 Kk 1 reproducdo da Figura 97 492 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Coeficientes de rigidez a flexdo de barra prismatica sem articulacao 1261 1d5 121 1d one 8L 2 weoce i moe 6E11d 6EI1d5eeo7 i 6EL1dy eee EL 3 1261 1d G2E11 ware i 6EI 17 d4 perros QEL1 ds 6EI1d 4EI 1dé G dy wee i 4E11d3 6Er17d 2EI1dg 7 6E1 1d reproducdo da Figura 910 Coeficientes de rigidez a flexdo de barra prismatica com articulagao na extremidade inicial 3 eer 1d3 EI 1 ds Fe 3E1 12di eee ds wee cect 2 d e Le 3E1 12 dé O le 3E113d oer 0ds je 5 eer a 3EI 1d a FA BET 12 di reproducdo da Figura 913 Coeficientes de rigidez a flexdo de barra prismatica com articulacgdo na extremidade final 3Er1d3 3Er1 a f Toone G eat e 3EI 17 dé weet Neer ba aa OF 3EI1 by BEM Aer 3ET12d54 s d a 3EI 1d5 3EI 1d reproducdo da Figura 915 title Apéndice solugoes praticas 493 Notagao e sentidos positivos de reacdes de engastamento de barra de portico plano qx 2 TTT ii 2 KA hi fs ti ict kK 1 reproducdo da Figura 918 Reagdes de engastamento perfeito axiais de barra prismatica Py K fi Pb1 Pbl Pal x a eS fy Pal ca l px PB PA Hy PAT Pas fiHa px Jerome moos R Hy Paty Pan 5 fiHy H H A l B reproducdo da Figura 926 Reagdes de engastamento de barra prismatica com forca transversal uniformemente distribuida gl 12 q ql 12 fi 4gl2 Eorrrre fg tql 12 tal niet fsql2 fegl 12 q 2 f gq 8 f5 3ql8 UTILITY a ff 5ql8 taa8 5ql8t fs a fo ql 8 01S TUTTO asa E jiql8 ff 3ql 8 t5q18 3ql84 fs ql fo 0 reproducdo da Figura 927 494 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER Reagdes de engastamento de barra prismatica com forca concentrada no meio do vao P18 PI8 fy P2 GQ ins P2 rit fgP2 2 12 fi P18 3P116 ff 45P16 pF mo fg11P1 tsp 16 1p 16 4 fo11P 16 fg 3P116 3P116 fo 11P 16 4 fs 3P116 f45P1 tip 16 sP16 fs9P16 fo 9 reproducdo da Figura 928 Reagdes de engastamento de barra prismatica com forca concentrada momento concentradoe fora transversal linearmente distribuida Pab 1 P Pab 1 fi Pb 3ab1 fi Pab f Paa3b1 t rvaab1 pa a301 fs 2 a b fo Fa Pa l ad Mb2abI MM Ma2ba1 fi 6Mab 1 y y fi Mv2abP f 6Mab 1 saa 1 6Mab jet fs pa l aed 2 4 ql 20 iy gl 30 ql fo 3ql 20 Gace fi gl 30 ff 7ql 20 t3q120 741204 fo7ql fe ql 20 kK 5 reproducdo da Figura 929 eu Apéndice solugoes praticas 495 Reagdes de engastamento de barra prismatica para variagdo de temperatura EIatAT ATh El aAT AT h fr EA0 AT og 5 5 0 ae AT 0 ee fr EAaATog ATi 9 EAaATec fs ElaAT ATh fg EA a AT cg f50 fe ElaAT ATh 3EIarAT AT 2h fi BAa ATog AT E fp BEIAT AT2h1 or EAa ATeg AT EAaATco fs 0 3ElaAT AT se1a47 AT fi EAa AT ec 2hel K 2hl fi 43ELAT AT2h1 fo 3EI aAT AT2h 3EIaAT AT2h fi EAa ATog 5 43ElaAT AT2hl ts Q 47 0 fs 2h1 EAa AToe AT 9 EAaATcg f 43El aAT AT2h 3EaaTATt t sere4T AT fi EAa ATeg 2hl K 3 2hl ff 3EIaAT AT2h1 fg 0 reproducdo da Figura 933 com acréscimo Referências bibliográfi cas ABNT NBR 8800 Projeto e Execução de Estruturas de Aço em Edifícios Norma ABNT 2008 Almeida MCF Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Ofi cina de Textos 2009 Arici M Analogy for BeamFoundation Elastic Systems Journal of Structural Engineering v 111 n 8 p 16911702 1985 Assan AE Método dos Elementos Finitos Primeiros Passos Campinas Unicamp 1999 Bathe KJ Finite Element Procedures in Engineering Analysis Nova Jersey PrenticeHall Englewood Cliffs 1982 Bazant ZP Cedolin L Stability of Structures Elastic Inelastic Fracture and Damage Theories Nova York Oxford University Press 1991 Beaufait FW Basic Concepts of Structural Analysis Nova Jersey PrenticeHall Englewood Cliffs 1977 Beer FP Johnston Jr ER Dewolf JT Resistência dos Materiais 4 ed São Paulo McGrawHill Intera mericana 2006 Boresi AP Chong KP Elasticity in Engineering Mechanics Elsevier 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Combined Edition v 1 Introduction to Design Concepts and Analysis v 2 Indeterminate Structures Nova York John Wiley Sons 1976 Zienkiewicz OC Taylor RL The Finite Element Method v 1 The Basis 5 ed Oxford Massachusetts ButterworthHeinemann 2000 Bookconceitosindb 499 532010 084119 Índice de assuntos analogia da viga conjugada analogia de Mohr 13 14 151 152 análise de viga hiperestática 152 158 159 161 162 163 análise de viga hiperestática submetida a solicitações combinadas 180 análise de viga submetida a variação transversal de temperatura 152 176 177 178 179 cálculo de deslocamento transversal e rotação geral 152 158 160 cálculo de deslocamento transversal e rotação em viga isostática 152 155 cálculo de reação de apoio de viga hiperestática 165 166 167 carregamento transversal 152 comparação entre equações diferenciais de equilíbrio e compatibilidade de barras 151 conversão de restrições de apoio da viga real para a viga conjugada 153 dedução de coefi cientes de rigidez à fl exão 152 171 172 173 deslocamento transversal da viga real 152 determinação de reação de engastamento de barra isolada 152 164 esforço cortante da viga conjugada 152 exercícios propostos 183 momento fl etor da viga conjugada 152 momento fl etor da viga real 152 parâmetros fundamentais de reações de engastamento de barra isolada com inércia variável 167 parâmetros fundamentais de reações de engastamento provocadas por efeitos térmicos transversais de barra isolada com inércia variável 181 parâmetros fundamentais de rigidez à fl exão de barra isolada com inércia variável 174 175 rotação da viga real 152 roteiro do processo de Mohr 154 solução fundamental de linha de infl uência para barra isolada 152 solução fundamental de linha de infl uência de esforço cortante em barra isolada seção transversal constante 474 seção transversal variável 475 solução fundamental de linha de infl uência de momento fl etor em barra isolada Bookconceitosindb 501 532010 084119 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 502 seção transversal constante 476 seção transversal variável 476 viga conjugada hipostática de viga real hiperestática 159 viga conjugada isostática de viga real isostática 155 análise de primeira ordem 12 36 87 98 409 análise de segunda ordem 36 87 98 409 exemplo 98 análise estrutural 1 3 12 atributos de análise 11 411 essência da análise de estruturas reticuladas 126 409 estática 19 método básico ou clássico 2 12 90 129 não linear 101 tridimensional 5 análise matricial das estruturas ver método da rigidez direta 410 anel ciclo fechado de barras ver em pórtico apoio 19 coefi ciente de rigidez à rotação de apoio elástico 22 24 380 381 383 403 432 coefi ciente de rigidez à translação de apoio elástico 24 380 382 383 elástico 22 elástico linear 22 23 380 elástico rotacional 22 380 403 elástico translacional 22 380 engaste 19 engaste deslizante 20 23 inclinado 20 inelástico 22 reação ver em reação de apoio relação constitutiva de apoio elástico 23 relação reação força x deslocamento 23 relação reação momento x rotação 22 restrição de apoio 12 19 149 restrição completa 19 23 restrição parcial 21 22 simbologia 19 23 simples do 1o gênero 20 simples do 2o gênero 19 do 3o gênero ver engaste 20 tipo 17 19 23 aqueduto 36 arcos de compressão 34 compressão descentrada fl exão composta 37 compressão pura 36 fl ambagem 35 37 articulação ver em modelo estrutural balanço 35 barra 18 aparente inconsistência associada à hipótese de barra inextensível 139 144 334 bifurcação da posição de equilíbrio 146 coefi ciente de rigidez local no sistema de eixos locais 273 304 310 312 315 435 Bookconceitosindb 502 532010 084119 Índice de assuntos 503 coluna da matriz de rigidez local no sistema de eixos locais 274 comportamento à fl exão 12 107 comportamento à torção 107 comportamento axial 107 comprimento efetivo para fl ambagem 149 curvatura da elástica transversal 110 de contraventamento ou de travejamento em diagonal ou inclinada 143 144 342 343 deformação cisalhante por efeito cortante ou transversal 111 deformação cisalhante por torção 112 deformação normal por fl exão 110 deformação normal por efeito axial 109 desacoplamento de efeitos axial transversal e de torção 108 273 283 deslocabilidade local no sistema de eixos locais 270 286 423 424 numeração 271 286 deslocamento axial 108 270 deslocamento axial relativo interno 109 115 116 deslocamento axial relativo interno devido a variação de temperatura 119 121 deslocamento relativo interno genérico 115 190 deslocamento transversal por fl exão 108 123 270 deslocamento transversal relativo interno efeito cortante 111 116 117 deslocamento transversal relativo interno devido a variação de temperatura por hipótese nulo 120 distorção de cisalhamento por efeito cortante ver em deformação cisalhante por efeito cortante distorção de cisalhamento por torção ver em deformação cisalhante por torção efeito axial 12 13 efeito de cisalhamento 12 efeito de fl exão 12 13 efeito de segunda ordem associado à compressão ver fl ambagem 107 efeito de torção 12 13 efeito térmico ver em variação de temperatura eixo local de barra de grelha 33 eixo local de barra de pórtico plano ou viga 25 418 energia de deformação elástica por unidade de comprimento 187 equação diferencial do comportamento à fl exão equação de Navier 123 equação diferencial do comportamento axial 123 equação diferencial do problema da fl ambagem de Euler 148 fi bra inferior convenção para pórtico plano 53 fl exão provocada por esforço axial descentrado 146 fl ambagem perda de estabilidade por compressão 12 100 146 246 fl ambagem local 147 força generalizada local no sistema de eixos locais 273 424 formulação matemática do problema da fl ambagem de Euler 147 função de forma 271 272 idealização do comportamento 10 12 107 409 infi nitamente rígida 140 hipótese de barra inextensível hipótese simplifi cadora para o comportamento axial 12 107 138 333 334 335 Bookconceitosindb 503 532010 084119 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 504 hipótese de manutenção de seções transversais planas hipótese de Bernoulli 109 112 409 hipótese que desconsidera deformação por cisalhamento 108 109 111 188 195 197 longa 108 matriz de rigidez local no sistema de eixos locais barra de grelha 286 barra de pórtico plano 274 283 284 425 barra de treliça 283 443 modo de deformação na fl ambagem 149 perda de estabilidade à compressão ver fl ambagem 12 prismática ver em seção transversal constante raio de curvatura da elástica transversal 110 relação de deformação cisalhante por torção com rotação por torção 112 relação de deformação normal por fl exão com curvatura 110 relação de deformação normal por fl exão com rotação por fl exão 110 relação de deslocamento transversal elástica com curvatura da elástica 111 relação de deslocamento transversal elástica com deformação normal por fl exão 111 relação de deslocamento transversal elástica com rotação por fl exão 109 relação de equilíbrio de esforço cortante com deslocamento transversal por fl exão 125 relação de equilíbrio de esforço cortante com taxa de carregamento transversal distribuído 59 113 relação de equilíbrio de esforço normal com taxa de carregamento longitudinal distribuído 113 relação de equilíbrio de momento fl etor com esforço cortante 65 113 relação de equilíbrio de momento fl etor com taxa de carregamento transversal distribuído 62 113 relação de equilíbrio de momento fl etor com tensão normal por fl exão 114 relação de momento fl etor com curvatura ou com concavidade 55 58 117 123 131 relação de rotação por fl exão com curvatura da elástica 110 restrição a deformações 14 rotação por fl exão 108 rotação por torção 108 rotação relativa interna devida a variação de temperatura 119 121 rotação relativa interna por fl exão 110 116 117 rotação relativa interna por torção 112 116 118 seção transversal constante barra prismática 13 123 125 153 211 seção transversal variável 13 123 153 211 412 442 sistema de coordenadas locais 108 solução fundamental de reação de engastamento perfeito para solicitações externas 13 269 286 303 311 320 331 337 347 384 416 433 para cargas aplicadas axialmente 286 parâmetros fundamentais 287 para seção transversal constante 292 para seção transversal variável 295 reações de engastamento para seção transversal constante 291 292 relação entre reações de engastamento e parâmetros fundamentais 287 Bookconceitosindb 504 532010 084119 Índice de assuntos 505 para cargas aplicadas transversalmente 165 166 167 287 parâmetros fundamentais 288 para seção transversal constante 170 292 para seção transversal variável 167 294 reações de engastamento para seção transversal constante 165 166 290 291 292 293 356 relação entre reações de engastamento e parâmetros fundamentais 289 290 para variação axial de temperatura 296 parâmetros fundamentais 297 para seção transversal constante 297 para seção transversal variável 298 reações de engastamento para seção transversal constante 297 para variação transversal de temperatura 178 179 181 parâmetros fundamentais 297 para seção transversal constante 182 para seção transversal variável 181 reações de engastamento para seção transversal constante 178 179 356 solução fundamental para deslocabilidade imposta coefi ciente de rigidez local 13 269 277 310 312 316 320 325 331 347 384 para deslocamento axial imposto em extremidade coefi ciente de rigidez axial 171 parâmetro fundamental 274 para seção transversal constante 275 277 para seção transversal variável 276 coefi cientes de rigidez para seção transversal constante 275 relação entre coefi cientes de rigidez e parâmetro fundamental 275 para deslocabilidade de fl exão imposta em extremidade coefi ciente de rigidez à fl exão 171 174 175 parâmetros fundamentais 278 para seção transversal constante 175 176 279 para seção transversal variável 174 175 280 coefi cientes de rigidez para seção transversal constante 171 172 278 281 283 relação entre coefi cientes de rigidez e parâmetros fundamentais 279 280 282 solução fundamental para deslocabilidade torcional imposta coefi ciente de rigidez à torção 284 parâmetro fundamental 285 para seção transversal constante 285 384 para seção transversal variável 285 coefi cientes de rigidez para seção transversal constante 285 relação entre coefi cientes de rigidez e parâmetro fundamental 285 superposição de confi gurações deformadas elementares 273 tabela de combinação de diagramas de momentos fl etores ver princípio das forças virtuais 192 196 taxa de carregamento força longitudinal distribuído 113 taxa de carregamento força transversal distribuído 113 123 Bookconceitosindb 505 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 506 tensão cisalhante por efeito cortante 115 tensão cisalhante por efeito de torção 115 tensão normal combinando efeito axial com efeito de fl exão 122 tensão normal por efeito axial 114 121 tensão normal por efeito de fl exão 114 122 variação axial de temperatura 120 variação de temperatura genérica 13 variação de temperatura na face ou na fi bra inferior 121 variação de temperatura na face ou na fi bra superior 121 variação de temperatura na fi bra do centro de gravidade da seção transversal 121 variação transversal de temperatura 13 121 vetor das deslocabilidades locais no sistema de eixos locais 274 424 vetor das forças generalizadas locais no sistema de eixos locais 274 441 vetor das reações de engastamento locais no sistema de eixos locais 433 441 bifurcação da posição de equilíbrio ver em barra bloco de estaca ver fundação 21 cabos 34 96 curva catenária 36 curva funicular 35 esforço normal de tração 35 equilíbrio na confi guração deformada 36 geometria fi nal 35 96 cadeia cinemática ver modelo estrutural hipostático 106 cálculo matricial das estruturas ver método da rigidez direta 410 carga ver solicitação externa 12 13 acidental 6 14 18 133 445 465 posição selecionada para valores extremos 445 crítica de Euler 146 149 de ocupação 18 133 445 de multidão 450 de vento 18 358 externa 18 24 fi xa 445 móvel 14 18 445 450 posição selecionada para valores extremos 445 natureza não determinística 18 permanente 6 18 445 446 450 465 taxa de carregamento força longitudinal distribuído ver em barra taxa de carregamento força transversal distribuído ver em barra carregamento ver carga externa 7 11 18 catedral gótica 36 coluna ver em pórtico comparação entre método das forças e método dos deslocamentos 95 299 301 308 329 comparação entre estruturas isostáticas e hiperestáticas 12 85 101 105 107 125 126 157 180 246 248 250 259 comparação entre pórtico plano e grelha 33 complexo simplicial ver em treliça comportamento linear ver em modelo estrutural Bookconceitosindb 506 532010 084120 Índice de assuntos 507 comportamento não linear ver em modelo estrutural computação gráfi ca 11 condição de apoio ver restrição de apoio 6 condição de compatibilidade ver em modelo estrutural condição de contorno em deslocamento ver condição de apoio 19 em rotação ver condição de apoio 19 condição de equilíbrio ver em modelo estrutural condição de suporte ver restrição de apoio 11 19 confi guração deformada 8 19 313 318 349 414 análise qualitativa de aspecto 107 129 aspecto da elástica 132 133 134 139 140 143 cinematicamente determinada 9 128 269 cinematicamente indeterminada 127 traçado intuitivo da elástica 135 136 155 continuidade interna ver em modelo estrutural contraventamento ver em pórtico curva elástica ver elástica e confi guração deformada 19 deformação normal 89 por fl exão ver em barra por efeito axial ver em barra deformação cisalhante 90 108 por efeito cortante ou transversal ver em barra por torção ver em barra dente Gerber 30 deslocabilidade ver em método dos deslocamentos deslocamento ver deslocamento de barra 12 17 grelha 33 pórtico espacial 34 pórtico plano ou viga 19 419 unidade 19 deslocamento relativo interno ver em barra diagrama de esforço interno 27 análise qualitativa de aspecto 107 129 aspecto de diagrama de esforço cortante 130 134 aspecto de diagrama de momento fl etor 130 132 133 134 135 136 139 140 143 155 diagrama de caso básico do método das forças ver em método das forças diagrama de caso básico do método dos deslocamentos ver em método dos deslocamentos diagrama de momento fl etor de viga biapoiada 63 obtenção de diagrama de esforço cortante a partir de momentos fl etores 64 406 obtenção de máximo de momento fl etor em barra 65 67 pendurar diagrama de momento fl etor de viga biapoiada 62 traçado 12 39 56 420 traçado aproximado 129 traçado de diagrama de esforço cortante em viga e pórtico 57 60 68 traçado de diagrama de esforço normal em viga e pórtico 60 68 Bookconceitosindb 507 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 508 traçado de diagrama de momento fl etor em grelha 73 traçado de diagrama de momento fl etor em viga e pórtico 57 58 61 63 65 69 70 traçado de diagrama de momento torçor em grelha 73 traçado para pórtico isostático composto 71 dinâmica de estruturas 86 distância unidade 18 distorção de cisalhamento ver em deformação cisalhante efeito de impacto 19 efeito de primeira ordem 101 146 171 410 efeito de segunda ordem 12 101 143 146 147 246 efeito inercial 24 efeito PΔ ver em pórtico eixo global ver em grelha pórtico e treliça eixo local ver em barra elástica ver confi guração deformada 8 19 elemento fi nito ver em método dos elementos fi nitos energia cinética 187 energia de deformação elástica interna 186 engaste ver em apoio engenharia civil 1 engenharia estrutural 2 envoltória de esforço interno 14 445 convenção para o traçado 451 455 determinação de valor extremo em uma seção 447 exemplo de determinação baseado em aspectos de linhas de infl uência de momento fl etor 465 exemplo de determinação em viga biapoiada com balanços 449 454 exemplo de traçado para ponte rodoviária 477 478 479 480 481 482 exercícios propostos 486 487 488 faixa de trabalho 451 inexistência de expressões analíticas 450 superposição ao efeito de carga permanente 451 454 traçado por interpolação 446 450 454 457 469 equilíbrio ver em modelo estrutural esforço interno 17 24 190 419 convenção de sinais 12 39 53 convenção de sinais para esforço cortante 54 convenção de sinais para esforço normal 54 convenção de sinais para momento fl etor 54 convenção de sinais para momento torçor 55 diagrama ver em diagrama de esforço interno dimensionante 445 distribuição 27 39 envoltória ver em envoltória de esforço interno esforço cortante esforço interno transversal 25 113 esforço normal esforço interno axial ou longitudinal 25 30 113 momento fl etor esforço interno de fl exão 25 113 momento torçor esforço interno de torção 115 traçado de diagrama ver em diagrama de esforço interno esforço cortante ver em esforço interno Bookconceitosindb 508 532010 084120 Índice de assuntos 509 esforço normal ver em esforço interno estática ver mecânica geral 2 39 estrutura contínua 10 11 409 estrutura de dados 11 411 estrutura cinematicamente determinada ver confi guração deformada 13 93 129 301 estrutura cinematicamente indeterminada ver confi guração deformada 128 estrutura estaticamente determinada ver estrutura isostática 2 8 12 39 91 101 127 129 estrutura estaticamente indeterminada ver estrutura hiperestática 2 12 39 101 127 estrutura hiperestática 2 39 101 128 comportamento com respeito a modifi cação imposta em montagem ou construção 106 259 comportamento com respeito a recalque de apoio 105 248 250 comportamento com respeito a variação de temperatura 105 180 208 246 259 controle dos esforços internos 103 129 137 distribuição otimizada de esforços internos 102 forma estrutural intrinsecamente hiperestática 102 única solução é a que satisfaz simultaneamente condições de equilíbrio e de compatibilidade 90 159 segurança adicional 103 estrutura hipostática ver em modelo estrutural hipostático estrutura indeslocável ver em pórtico estrutura instável ver modelo estrutural hipostático 97 estrutura isostática 2 8 39 91 101 128 129 211 comportamento com respeito a modifi cação imposta em montagem ou construção 105 259 comportamento com respeito a recalque de apoio 105 157 200 248 250 comportamento com respeito a variação de temperatura 105 176 198 246 259 exercícios propostos 81 estrutura real 3 estrutura reticulada 1 3 4 11 análise 12 modelo 12 409 fl ambagem ver em barra e em arcos de compressão fl ambagem global 101 fl ambagem local ver em barra força 18 24 unidade 18 força distribuída 18 unidade 18 força nocional 101 fundação 18 19 21 geometria indeformada ver em modelo estrutural grelha 2 6 12 13 14 32 apoio ver apoio 32 condição de equilíbrio global 33 convenção de sinais para esforço interno ver esforço interno 55 deslocamento ver deslocamento de barra 33 eixo global 32 383 443 engastada e em balanço 52 Bookconceitosindb 509 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 510 esforço interno 33 isostática 52 isostática cálculo de reação de apoio 52 ligação articulada ver modelo estrutural 33 reação de apoio 32 rotação ver rotação de barra 33 triapoiada 52 grau de indeterminação estática ver grau de hiperestaticidade 12 39 grau de hiperestaticidade 12 39 212 determinação 12 76 determinação para grelha 80 determinação para pórtico plano 76 77 79 determinação para treliça plana 80 254 hiperestático ver em método das forças hipótese de pequenos deslocamentos 12 87 96 101 108 145 188 249 333 334 363 409 hipótese de barra inextensível ver em barra impacto ver em efeito de impacto implementação computacional ver em método da rigidez direta liberação de continuidade ver em modelo estrutural ligação articulada ver em modelo estrutural ligação interna ver em modelo estrutural ligação rígida ver em modelo estrutural ligação semirrígida ver em modelo estrutural linha de infl uência 14 445 446 458 convenção para traçado 446 determinação baseada no equilíbrio explicito 448 descontinuidade unitária de linha de infl uência de esforço cortante na seção de referência 449 determinação de aspecto da linha de infl uência 461 exemplos para viga Gerber isostática 462 463 464 exemplos para viga contínua hiperestática 462 464 465 exercícios propostos 482 483 484 485 486 formada por trechos curvos em estruturas hiperestáticas 461 formada por trechos retos em estruturas isostáticas 461 método cinemático princípio de MüllerBreslau 14 457 459 460 461 469 metodologia para cálculo pelo método cinemático 469 para seções transversais de balanço 447 para viga biapoiada com balanços 447 procedimento gráfi co para traçado 449 posicionamento de carga acidental ou móvel para obtenção de valor extremo 447 451 461 465 solução fundamental de LI de esforço cortante em barra com seção transversal variável 473 solução fundamental de LI de esforço cortante em barra prismática 471 solução fundamental de LI de momento fl etor em barra com seção transversal variável 475 solução fundamental de LI de momento fl etor em barra prismática 473 malha de elementos fi nitos ver em método dos elementos fi nitos Bookconceitosindb 510 532010 084120 Índice de assuntos 511 material coefi ciente de dilatação térmica 121 comportamento elástico 88 comportamento linear 12 89 186 410 lei constitutiva relações tensãodeformação 7 12 86 88 211 299 lei de Hooke 89 módulo de cisalhamento 90 módulo de elasticidade 89 146 418 propriedade 11 regime elásticolinear 88 96 188 410 relação tensão cisalhante com distorção de cisalhamento 90 relação tensão normal com deformação normal 89 186 ruína 147 mecânica dos sólidos 2 7 10 11 relação diferencial 12 mecânica geral 2 mecanismo instável ver modelo estrutural hipostático 106 método da compatibilidade ver método das forças 92 129 218 método da distribuição de momentos ver processo de Cross 14 389 método da fl exibilidade ver método das forças 218 método da rigidez ver método dos deslocamentos 307 método da rigidez direta 11 14 409 410 470 aplicação a grelhas 443 aplicação a treliças planas 443 carga equivalente nodal 414 433 carga nodal combinada 414 432 433 carga nodal propriamente dita 414 432 433 coefi ciente de rigidez local no sistema de eixos globais 423 429 coefi ciente de rigidez local no sistema de eixos locais ver em barra coluna da matriz de rigidez local no sistema de eixos globais 423 coluna da matriz de rigidez local no sistema de eixos locais ver em barra comparação com método dos elementos fi nitos 410 414 416 comparação de carga nodal combinada com termo de carga do método dos deslocamentos 416 comportamento global discretizado 414 432 conceito de nó como ponto de discretização 411 414 432 consideração de restrições de apoio 411 426 437 diagonalização da linha e coluna da matriz de rigidez global correspondente ao grau de liberdade restrito 438 inserção de apoio elástico fi ctício com valor alto do coefi ciente de rigidez 439 particionamento do sistema de equações de equilíbrio 429 437 dados de entrada típicos de programa de computador 417 cargas nodais propriamente ditas 417 418 carregamento no interior das barras 417 432 defi nido no sistema de eixos globais 418 defi nido no sistema de eixos locais 418 casos de carregamento 417 coordenadas nodais 417 Bookconceitosindb 511 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 512 incidência nodal das barras 417 418 425 informação sobre liberações de continuidade rótulas das barras 417 propriedades das seções transversais das barras 417 área 418 momento de inércia à fl exão 418 propriedades elásticas dos materiais das barras 417 módulo de elasticidade 418 recalques de apoio 417 restrições de apoio 417 defi nição do sistema de eixos locais pela incidência nodal da barra 418 420 deslocabilidade global ver método dos deslocamentos 411 deslocabilidade local no sistema de eixos globais 422 424 numeração 427 deslocabilidade local no sistema de eixos locais ver em barra numeração ver em barra determinação de reação de apoio 440 discretização 411 412 efeito global da solicitação externa 414 efeito local no elemento de barra da solicitação externa 413 414 416 elemento fi nito de barra 411 força generalizada local no sistema de eixos globais 423 424 força generalizada local no sistema de eixos locais ver em barra força nodal generalizada global 416 contribuição de carga equivalente nodal e carga nodal propriamente dita 421 grau de liberdade global 411 416 implementação computacional 11 14 314 328 329 331 387 410 411 425 426 442 471 inserção de nó subdividindo barra 331 411 412 413 interpretação como caso particular do método dos elementos fi nitos 411 444 interpretação do equilíbrio global fi nal como imposição de equilíbrio aos nós isolados 435 436 437 matriz de rigidez global 418 422 429 442 armazenamento em banda 431 armazenamento em skyline 431 banda nodal 431 esparsidade 430 431 formação em banda 430 montagem 418 421 435 por barra montagem direta 421 426 428 429 espalhamento de matriz local para a dimensão de matriz global 428 429 430 por coluna por caso básico do método dos deslocamentos 426 semilargura de banda 430 431 matriz de rigidez local no sistema de eixos globais 422 423 425 429 441 matriz de rigidez local no sistema de eixos locais ver em barra Bookconceitosindb 512 532010 084120 Índice de assuntos 513 matriz de transformação de rotação de sistema global para sistema local barra de grelha 444 barra de pórtico plano 424 425 433 442 barra de treliça 443 relação de contragradiência 425 relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e coordenadas generalizadas globais 427 garantia de satisfação de condições de continuidade entre as barras 427 435 vetor de espalhamento 427 437 representação de carregamento como cargas nodais 412 resultados típicos de um programa de computador 419 deslocamentos e rotações nodais 419 esforços internos nas extremidades das barras 419 441 convenção de sinais 420 441 reações de apoio 419 sistemas de coordenadas generalizadas 421 aplicação a grelhas 443 aplicação a treliças planas 443 coordenadas generalizadas globais no sistema de eixos globais 421 numeração 428 437 estratégias de numeração 428 429 431 coordenadas generalizadas locais no sistema de eixos globais 421 numeração 422 no sistema de eixos locais 421 numeração ver em barra superposição do efeito local com o efeito global para elástica fi nal 413 417 419 superposição do efeito local com o efeito global para diagrama de esforços internos fi nal 413 417 tarefas realizadas por programa de computador 417 transformação de matriz de rigidez local de barra do sistema local para sistema global 421 423 425 427 transformação de vetor de deslocabilidades locais de barra do sistema global para o local 424 transformação de vetor de forças locais de barra do sistema local para o global 425 433 441 vetor das cargas nodais propriamente ditas no sistema global 434 vetor das cargas equivalentes nodais de barra no sistema global 433 434 vetor das deslocabilidades locais no sistema de eixos globais 423 424 441 vetor das deslocabilidades locais no sistema de eixos locais ver em barra vetor das forças generalizadas locais no sistema de eixos globais 423 435 441 vetor das forças generalizadas locais no sistema de eixos locais ver em barra vetor das forças nodais combinadas nas direções dos graus de liberdade globais livres 438 vetor das forças nodais generalizadas globais 416 432 434 montagem das cargas nodais combinadas 432 433 434 Bookconceitosindb 513 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 514 espalhamento de vetor local para a dimensão de vetor global 434 vetor das forças nodais generalizadas nas direções dos graus de liberdade fi xos 438 vetor das reações de engastamento locais no sistema de eixos globais 433 441 vetor das reações de engastamento locais no sistema de eixos locais ver em barra vetor dos efeitos das deformações de barra sobre seus nós no sistema de eixos globais 435 vetor dos efeitos das deformações de todas as barras sobre os nós no sistema de eixos globais 436 vetor dos graus de liberdade globais 436 vetor dos graus de liberdade globais fi xos 438 vetor dos graus de liberdade globais livres ver vetor das deslocabilidades globais do método dos deslocamentos 438 método das forças 2 7 13 85 90 129 185 190 211 276 294 296 298 análise de grelha hiperestática para carregamento 261 262 análise de pórtico hiperestático para recalque de apoio 250 análise de pórtico hiperestático para variação de temperatura 247 248 análise de treliça hiperestática para carregamento 255 análise de treliça hiperestática para variação de temperatura 257 análise de viga contínua 221 análise de viga hiperestática submetida a solicitações combinadas 252 análise de viga para recalque de apoio 249 análise de viga para variação de temperatura 245 caso básico 91 185 211 coefi ciente de fl exibilidade 92 95 215 223 224 231 246 248 253 256 coluna da matriz de fl exibilidade 218 determinação de coefi ciente de fl exibilidade 220 259 para grelha 221 263 para pórtico plano ou viga 221 226 227 228 246 para treliça 221 257 258 determinação de esforços internos fi nais 216 229 246 249 254 257 258 263 determinação de termo de carga 219 259 para carregamento em grelha 220 263 para carregamento em pórtico plano ou viga 219 224 225 246 253 para carregamento em treliça 219 257 para modifi cação imposta em montagem de treliça 259 para recalque de apoio 220 249 250 254 para variação de temperatura em pórtico plano ou viga 220 246 247 248 253 para variação de temperatura em treliça 220 358 diagrama de esforço interno de caso básico 217 discretização 7 91 escolha arbitrária do sistema principal 213 221 232 259 corte completo de seção transversal 234 260 eliminação de vínculo externo de apoio 222 260 introdução de rótula interna liberação de continuidade de rotação 229 236 liberação de continuidade de deslocamento axial 233 Bookconceitosindb 514 532010 084120 Índice de assuntos 515 liberação de continuidade de deslocamento transversal 233 opção inválida instável 232 239 260 para grelha 260 262 para treliça plana 255 quadro composto resultante formando uma sequência acíclica de carregamento 240 quadro composto resultante formando uma sequência cíclica de carregamento 239 240 vantagem da opção de introdução de rótula 231 232 238 exemplos resolvidos de pórticos planos 241 exercícios propostos 263 hiperestático 7 91 211 212 213 253 255 260 262 ideia básica 95 incógnita 95 interpretação física de coefi ciente de fl exibilidade 233 235 236 237 256 263 interpretação física de termo de carga 233 235 237 256 257 262 matriz de fl exibilidade 218 metodologia de análise 95 212 número de incógnitas 95 ordem de imposição das condições básicas da análise estrutural 211 restabelecimento de condições de compatibilidade e equações fi nais de compatibilidade 92 95 216 224 229 231 246 249 254 257 258 263 simetria da matriz de fl exibilidade 218 sinal de coefi ciente de fl exibilidade 215 sinal de hiperestático 216 sinal de termo de carga 214 sistema principal 91 95 193 211 212 213 252 sistema virtual para determinação de termo de carga e coefi ciente de fl exibilidade 219 224 225 226 227 228 247 251 solução básica ver caso básico 8 13 91 superposição de casos básicos ou de soluções básicas 8 91 211 213 214 termo de carga 92 95 214 223 230 246 248 253 256 tipos de vínculos eliminados para criação de sistema principal 193 unidade de coefi ciente de fl exibilidade 92 215 vetor dos hiperestáticos 218 vetor dos termos de carga 218 método do equilíbrio ver método dos deslocamentos 94 129 307 método dos deslocamentos 2 7 8 14 85 92 129 185 269 299 405 análise de grelha com carregamento 383 análise de pórtico com barras extensíveis e articulação interna 318 análise de pórtico com barras extensíveis e uma barra inclinada 324 análise de pórtico com barras extensíveis e três deslocabilidades 315 análise de pórtico com barras inextensíveis articulação interna e articulação externa 354 análise de pórtico com barras inextensíveis e articulação interna 335 análise de pórtico com barras inextensíveis e barra rígida que sofre giro 362 Bookconceitosindb 515 532010 084120 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 516 análise de pórtico com barras inextensíveis e dois pavimentos rígidos 361 análise de pórtico com barras inextensíveis e um pavimento rígido 358 análise de viga com apoio elástico rotacional e apoio elástico translacional 380 análise de viga contínua 310 análise de viga hiperestática submetida a solicitações combinadas 355 caso básico 93 185 299 coefi ciente de rigidez global 94 95 304 312 313 332 338 347 350 354 357 362 364 381 382 435 coefi ciente de rigidez global para grelha 384 coefi ciente de rigidez local no sistema de eixos locais ver em barra comparação de comportamento de pórticos com e sem restrições de deformação nas barras 338 340 341 359 complexidade adicional de análise para barras inextensíveis ou infi nitamente rígidas 339 345 complexidade associada a barra de grelha inclinada 387 complexidade associada a barra extensível e inclinada 328 confi guração deformada elementar de caso básico solução fundamental do método 269 303 304 305 311 312 313 316 319 325 332 coluna da matriz de rigidez global 307 435 convenção de sinais 308 309 310 314 318 420 convenção de sinais para grelha 384 conversão coefi ciente de rigidez local de barra do sistema local para sistema global 319 325 327 386 deslocabilidade global incógnita do método 8 14 93 95 300 310 315 318 335 347 350 356 358 361 363 380 411 externa translação 335 405 interna translação 335 deslocabilidade global para grelha 383 determinação de coefi ciente de rigidez global a partir de coefi cientes de rigidez locais 313 315 316 319 320 325 327 328 329 332 421 427 determinação de coefi ciente de rigidez global ou termo de carga a partir de esforços cortantes ao longo de uma linha 338 340 354 360 362 364 determinação de coefi ciente de rigidez global ou termo de carga por condição de equilíbrio global 339 340 354 360 determinação de esforços internos fi nais 306 314 318 324 327 340 350 352 357 360 365 382 385 386 determinação de esforços normais para barra inextensível 332 337 360 determinação de momentos fl etores para barra infi nitamente rígida 332 360 determinação de termos de carga a partir das reações de engastamento de barras e cargas nodais 311 315 320 331 332 356 diagrama de esforço interno de caso básico 303 316 319 326 discretização 9 93 269 331 essência do método dos deslocamentos 330 exemplo resolvido de pórtico com barras inextensíveis 368 369 370 exemplo resolvido de pórtico com barras inextensíveis e uma barra rígida 366 367 368 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 Bookconceitosindb 516 532010 084120 Índice de assuntos 517 exercícios propostos de pórticos com barras inextensíveis e uma barra rígida 387 força generalizada local no sistema de eixos locais ver em barra formulação matricial ver método da rigidez direta 14 410 ideia básica 95 435 infl uência do coefi ciente de rigidez de apoio na matriz de rigidez global 382 383 432 interpretação de deslocabilidade como parâmetro que defi ne confi guração deformada 330 331 411 interpretação física de coefi ciente de rigidez global 312 313 interpretação física de termo de carga 311 matriz de rigidez global 307 352 matriz de rigidez local no sistema de eixos locais ver em barra metodologia de análise 95 302 número de deslocabilidades incógnitas 95 329 externas translações 335 342 343 345 internas rotações 335 342 343 345 ordem de imposição das condições básicas da análise estrutural 299 raciocínio característico do método comportamento cinemático defi ne comportamento mecânico o ponto de partida para a solução de cada caso básico é a confi guração deformada imposta 314 331 332 337 360 379 395 reação de engastamento de barra isolada no sistema de eixos locais ver em barra redução de deslocabilidades 14 329 330 410 consideração de barras inextensíveis ou sem deformação axial ver barra 14 329 333 335 339 427 consideração de barras infi nitamente rígidas 330 333 358 desconsideração de rotação de nó com apoio simples no qual só converge uma barra 353 354 356 380 401 desconsideração de rotação de nó com articulação completa 333 346 350 352 eliminação de balanços 329 333 401 regras para determinar deslocabilidades externas para pórticos com barras inextensíveis regras de triangulação 334 336 341 342 345 346 regras para determinação de deslocabilidades internas 353 354 resolução manual 14 328 329 359 387 426 restabelecimento de condições de equilíbrio e equações fi nais de equilíbrio 94 95 305 313 317 323 326 340 349 352 357 360 365 382 385 simetria da matriz de rigidez global 307 sinal de coefi ciente de rigidez global 320 sinal de deslocabilidade global 306 318 sinal de termo de carga 315 320 sistema hipergeométrico 93 95 301 310 315 318 329 335 356 361 363 380 sistema hipergeométrico para grelha 383 solução básica ver caso básico 9 13 93 302 sugestões para identifi cação de deslocabilidades para pórticos com barras inextensíveis e rígidas 359 365 superposição de casos básicos ou de soluções básicas cinematicamente determinados 9 269 299 302 309 319 336 426 435 Bookconceitosindb 517 532010 084121 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 518 termo de carga 94 95 303 311 315 320 332 347 350 354 356 362 364 381 416 435 provocado por recalque de apoio 357 provocado por variação de temperatura 356 unidade de coefi ciente de rigidez global 94 304 vetor das deslocabilidades globais 307 438 vetor das deslocabilidades locais no sistema de eixos locais ver em barra vetor das forças generalizadas locais no sistema de eixos locais ver em barra vetor dos termos de carga 307 416 método dos elementos de contorno 10 método dos elementos fi nitos 10 11 discretização 11 elemento fi nito 10 malha de elementos fi nitos 10 11 modelo analítico ver modelo estrutural 3 modelo computacional 3 410 modelo de barras ver estrutura reticulada 2 modelo de estruturas reticuladas ver estrutura reticulada 11 17 modelo discreto 3 7 10 11 comportamento discreto 7 409 concepção 3 410 discretização 7 11 geração 11 411 solução discreta 9 modelo estrutural 3 articulação ver liberação de continuidade e rótula 27 articulação completa 78 bidimensional 5 6 cinematicamente determinado ver em confi guração deformada cinematicamente indeterminado ver em confi guração deformada coefi ciente de rigidez à rotação de ligação semirígida 28 comportamento analítico 7 409 comportamento linear 2 12 96 188 comportamento longitudinal 6 comportamento não linear de ordem geométrica 12 410 comportamento transversal 6 comportamento tridimensional 6 condição básica 12 85 condição de compatibilidade 12 13 85 87 128 128 152 189 190 211 299 condição de equilíbrio de porção isolada 25 56 59 79 condição de equilíbrio estático 12 13 24 85 86 127 128 129 152 189 190 211 212 299 condição de equilíbrio imposta por rótula 28 77 continuidade interna de deslocamento ou rotação 24 27 85 108 domínio geométrico 4 Bookconceitosindb 518 532010 084121 Índice de assuntos 519 estaticamente determinado ver em estrutura estaticamente determinada estaticamente indeterminado ver em estrutura estaticamente indeterminada geometria indeformada 12 idealização do comportamento de material ver em material idealização matemática do comportamento 3 11 409 infl uência da rigidez relativa na distribuição de esforços internos 140 instável 43 77 hipostático 39 104 hipótese de barra inextensível ver em barra hipótese simplifi cadora 3 12 liberação de continuidade 27 417 ligação articulada ver rótula 27 ligação interna 24 27 ligação rígida 27 ligação semirrígida 28 modelagem 4 mola rotacional de ligação semirígida 28 par de momentos aplicados adjacentes a rotula 45 71 plano 6 relação momento x rotação de ligação semirígida 28 restrição parcial à continuidade de rotação 28 rótula ver ligação articulada 28 417 418 solução analítica 9 11 solução contínua 9 409 tendência de elementos estruturais rígidos de atrair mais esforço interno 137 140 393 tendência de pontos de infl exão se moverem para locais com rigidez reduzida 137 140 141 tipo de liberação de continuidade 29 tridimensional 4 unidimensional 5 modelo geométrico criação 11 411 modelagem 11 modelo matemático ver modelo estrutural 3 9 momento 18 24 unidade 18 movimento de apoio ver em recalque de apoio solicitação externa não linearidade geométrica 97 nó articulado ver articulação em modelo estrutural 28 rígido 28 perda de energia na forma de calor 187 peso próprio ver em solicitação externa pilar ver em pórtico ponte ferroviária 445 451 ponte em arco 36 ponte rodoviária 445 Bookconceitosindb 519 532010 084121 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 520 ponte rolante 445 ponte suspensa ou ponte pênsil 35 ponto de infl exão 103 132 135 136 139 149 pórtico 2 aberto 25 anel ciclo fechado de barras 32 77 234 apoio ver em apoio articulação ou rótula ver em modelo estrutural articulado com tirante 47 aspecto da confi guração deformada ver em confi guração deformada aspecto de diagrama de momento fl etor ver em diagrama de esforço interno biapoiado 43 biapoiado cálculo de reação de apoio 44 carga 17 34 coluna ou pilar 18 condição de equilíbrio global de pórtico espacial 34 condição de equilíbrio global de pórtico plano ver modelo estrutural 24 77 contraventamento 12 107 143 144 146 330 342 convenção de sinais para esforço interno ver esforço interno 54 deslocamento de pórtico espacial ver deslocamento de barra 34 deslocamento de pórtico plano ver deslocamento de barra 19 efeito PΔ 100 143 eixo global de pórtico espacial 34 eixo global de pórtico plano 17 418 engastado e em balanço 43 engastado e em balanço cálculo de reação de apoio 45 esforço interno de pórtico espacial ver esforço interno 34 esforço interno de pórtico plano ver esforço interno 25 espacial 4 12 fechado 26 hiperestaticidade associada a ciclo fechado de barras 46 indeslocável ou contraventado 144 343 industrial 445 isostático composto 47 isostático composto cálculo de reação de apoio 48 isostático composto solução por decomposição 48 237 isostático simples 43 plano 6 12 13 reação de apoio de pórtico plano ver reação de apoio 21 23 rotação de pórtico espacial ver rotação de barra 34 rotação de pórtico plano ver rotação de barra 19 solicitação externa 17 triarticulado 43 51 triarticulado cálculo de reação de apoio 45 princípio da conservação de energia 185 188 trabalho realizado pelas forças externas 188 Bookconceitosindb 520 532010 084121 Índice de assuntos 521 princípio da superposição de efeitos 96 princípio das forças virtuais 13 191 determinação de deslocamento ou rotação em estrutura geral 201 218 determinação de deslocamento ou rotação em estrutura estaticamente determinada isostática 185 190 193 provocado por carregamento externo 195 224 225 230 253 provocado por recalque de apoio 200 251 254 provocado por variação de temperatura 198 246 253 energia de deformação interna virtual 191 251 sistema real 191 251 sistema virtual 191 251 tabela de combinação de diagramas de momentos fl etores em barra 192 196 tipos de cargas virtuais 193 194 trabalho das forças externas virtuais 191 251 valor unitário para carga virtual 192 verifi cação de atendimento a condição de compatibilidade 201 princípio de MüllerBreslau ver em linha de infl uência princípio dos trabalhos virtuais 13 153 189 energia de deformação virtual interna 189 190 trabalho virtual das forças externas 189 princípio dos deslocamentos virtuais 13 202 cálculo de esforço cortante em viga biapoiada 204 cálculo de momento fl etor em viga biapoiada 205 cálculo de reação de apoio de viga biapoiada 203 determinação de esforço externo ou interno em estrutura cinematicamente determinada 185 206 274 276 277 285 297 457 458 459 provocado por carregamento externo ou recalque de apoio 207 provocado por variação de temperatura 208 determinação de linha de infl uência para vigas isostáticas 457 458 459 energia de deformação interna virtual 203 trabalho das forças externas reais 202 processo de Cross 14 389 466 análise para pórtico plano deslocável 405 caso básico com deslocalidade externa impedida 406 407 caso básico com deslocalidade externa imposta com valor unitário 406 407 coefi ciente de rigidez global 406 407 termo de carga 406 407 análise para pórtico plano indeslocável com uma deslocabilidade interna 396 análise para pórtico plano indeslocável com várias deslocabilidades internas 401 análise para pórtico plano indeslocável e apoios elásticos rotacionais 403 análise para viga com duas deslocabilidades internas 398 coefi ciente de distribuição de momento de uma barra 392 397 399 401 403 466 cálculo do coefi ciente 397 399 401 403 coefi ciente de rigidez à rotação de uma barra 392 393 396 coefi ciente de transmissão de momento de uma barra 393 controle de precisão para momentos fl etores 400 406 convenção de sinais 397 convergência otimizada da solução iterativa 399 402 Bookconceitosindb 521 532010 084121 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 522 arredondamento para baixo de parcela transmitida 400 402 estágio inicial situação de engastamento perfeito 397 399 402 406 exercícios propostos 408 garantia de convergência do processo iterativo 400 interpretação física 389 390 395 parcela de momento fl etor equilibrante 393 397 399 402 parcela de momento fl etor transmitida 393 398 399 400 402 pontos básicos que fundamentam o processo 389 391 distribuição de momento desequilibrante em um nó em parcelas equilibrantes 389 391 solução interativa do equilíbrio 389 394 398 399 401 402 404 valores fi nais acumulados de momentos fl etores 398 400 402 404 processo de Mohr ver em analogia da viga conjugada programa de computador 11 13 14 328 329 387 389 410 411 412 417 419 425 441 451 477 projeto estrutural 1 detalhamento 7 dimensionamento 7 estruturas de aço 101 estruturas mistas de aço e concreto armado 101 quadro ver em pórtico reação de apoio 7 18 20 24 419 432 notação 20 obtenção 39 reação força 21 23 reação momento 21 23 sentido positivo 21 recalque de apoio ver em solicitação externa restrição a deformações ver em barras e em método dos deslocamentos restrição de apoio ver em apoio restrição parcial à continuidade ver em modelo estrutural resistência dos materiais ver mecânica dos sólidos 2 7 rotação ver rotação de barra 12 17 grelha 33 pórtico espacial 34 pórtico plano ou viga 19 419 unidade 19 rótula ver em modelo estrutural sapata ver fundação 21 seção transversal 24 altura 121 área 114 418 área efetiva para cisalhamento 114 fator de forma que defi ne área efetiva para cisalhamento 115 máxima distância do bordo inferior à fi bra do centro de gravidade 122 máxima distância do bordo superior à fi bra do centro de gravidade 122 módulo de resistência à fl exão inferior 122 módulo de resistência à fl exão superior 122 Bookconceitosindb 522 532010 084121 Índice de assuntos 523 momento de inércia à fl exão 116 147 418 momento de inércia à torção 118 momento polar de inércia 118 segunda lei de Newton 24 simplex ver em treliça sistema cinematicamente determinado ver confi guração deformada 13 sistema cinematicamente indeterminado ver em confi guração deformada sistema estaticamente determinado ver estrutura estaticamente determinada 13 sistema estaticamente indeterminado ver em estrutura estaticamente indeterminada solicitação externa 13 carga ver referência direta para carga 18 recalque de apoio 19 136 440 peso próprio 18 133 465 variação de temperatura ver barra 19 solução fundamental de engastamento perfeito de barra isolada ver em barra solução fundamental para deslocabilidade imposta em barra isolada ver em barra solução iterativa do tipo GaussSeidel 394 superposição de efeitos 12 tirante 146 tensão genérica 24 tensão de cisalhamento genérica ver tensão de cisalhamento em barra 90 tensão normal genérica ver tensão normal em barra 89 teorema de reciprocidade 13 209 teorema de Betti 13 209 460 461 teorema de Maxwell 13 teorema de Maxwell versão para deslocamento generalizado unitário imposto 210 274 307 teorema de Maxwell versão para força generalizada unitária aplicada 210 216 218 teoria da elasticidade 11 409 teoria da plasticidade 409 teoria das cascas 409 teoria das placas 409 teoria de vigas de Navier 4 12 107 terceira lei de Newton 21 25 topologia algébrica 31 treliça 2 12 30 apoio ver apoio 32 cálculo de reação de apoio 73 carga nodal 30 49 complexo simplicial 31 49 50 255 composta 51 condição de equilíbrio global de treliça plana ver modelo estrutural 32 49 convenção de sinais para esforço normal ver esforço interno 55 eixo global 443 esforço interno axial ver esforço interno 30 73 espacial 31 Bookconceitosindb 523 532010 084121 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Luiz Fernando Martha ELSEVIER 524 hiperestática 50 hipostática 50 incógnitas do problema do equilíbrio estático 49 isostática 49 ligação articulada ver rótula 30 método das seções para treliça plana 75 plana 12 13 31 reação de apoio 32 rótula 30 32 simples 51 simplex 31 50 triangulação 31 49 255 tremtipo 450 variação de temperatura ver em solicitação externa e em barra vento ver em carga de vento veículotipo ou veículo de projeto ver tremtipo 19 450 vibração de estrutura 19 24 86 187 viga 12 13 29 apoio ver apoio 30 biapoiada 30 biapoiada com balanços 30 40 cálculo de reação de apoio 40 carga 30 comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas ver comparação entre estruturas isosáticas e hiperestáticas 125 condição de equilíbrio global 30 contínua 30 contínua com balanços 30 deslocamento ver em deslocamento de barra efeito térmico ver em barra efeito de fl exão ver em barra engastada e em balanço 30 39 esforço interno axial 30 Gerber 30 41 51 Gerber cálculo de reação de apoio 42 Gerber instabilidade 42 Gerber solução por decomposição 41 42 hiperestática 153 infi nitamente rígida ver em barra isostática 40 155 isostática simples 41 liberação de continuidade de rotação ver rótula 30 ligação interna 30 modelo estrutural 29 pórtico plano 18 principal 6 reação de apoio 30 rotação ver em rotação de barra rótula 29 secundária 6 variação de temperatura vem em barra visualização de resultados 11 411 Bookconceitosindb 524 532010 084121