Prova Analise de Estruturas II - Equacao da Linha Elastica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROF Me RENAN JOSÉ DA COSTA RIBEIRO DISCIPLINA EC 0502 ANÁLISE DE ESTRUTURAS II 1ª AVALIAÇÃO SEMESTRE 20241 3 pto Nome Matrícula Data2024 Equação da Linha Elástica 1 Calcular as expressões da linha elástica V M θ e δ das vigas dispostas abaixo 1 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROF Me RENAN JOSÉ DA COSTA RIBEIRO DISCIPLINA EC 0502 ANÁLISE DE ESTRUTURAS II 2 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços nas seções nas posições L 1 m e L 2 m Sabendo que o deslocamento limite é igual L250 apontar quais as seções estão em conformidade com tal exigência UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROF Me RENAN JOSÉ DA COSTA RIBEIRO DISCIPLINA EC 0502 ANÁLISE DE ESTRUTURAS II 3 Um fabricante de peças prémoldadas de concreto quer utilizar as seções abaixo no processo de fabricação de vigotas Sabendo que o peso específico do concreto é 25kNm³ determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços nas seções nas posições L 1 m e L 2 m Qual a seção que irá consumir mais material e qual apresentará menor deslocamento Apresente os resultados em percentuais comentados 4 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços na seção na posição L 175 m Sabendo que o peso específico do concreto C é 250 kNm³ do aço S 785 kNm³ e da madeira W 075 kNm³ apontar qual material apresenta menor deslocamento e a relação deslocamentopeso no meio do vão Utilizar como valor de carga os 2 últimos algarismos da matricula OBS A avaliação deve ser entregue em folha A4 com todos os cálculos de forma manuscrita Os gráficos e tabelas devem ser impressos ENTREGA030424 QUESTÃO 01 Calcular as expressões da linha elástica V M θ e δ das vigas abaixo 18 ITEM 1 Temos que Ax 0 Ay Pb L By Pa L momento fletor na viga i Trecho 1 Para 0 x a M₁x Pb L x ii Trecho 2 Para a x L M₂x Pb L x P x a Esforços cortantes V dM dx logo V₁x dM₁x dx Pb L para 0 x a V₂x dM₂x dx Pb L P para a x L Curva de deflexão e inclinação EIy M i Trecho 1 EIy₁x M₁x para 0 x a EIy₁x Pb L x EIy₁x dx Pb L x dx EIy₁x EIθ₁x Pb x² 2L c₁ EIy₁x dx Pb x² 2L c₁ dx EIy₁x Pb x³ 6L c₁x c₂ EIθ₁x Pb x² 2L c₁ EIy₁x Pb x³ 6L c₁x c₂ ii Trecho 2 EIy₂x M₂x para a x L EIy₂x Pb L x P x a EIy₂x dx Pb L x P x a dx EIy₂x Pb x² 2L P x a² 2 c₃ EIy₂x dx Pb x² 2L P x a² 2 c₃ dx EIy₂x Pb x³ 6L P x a³ 6 c₃x c₄ Logo EIθ₂x Pb x² 2L P 2x a² c₃ EIy₂x Pb x³ 6L P 6x a³ c₃x c₄ condições de contorno Para x a as inclinações para as duas partes da viga são as mesmas bem como as deflexões Para x 0 a deflexão é nula Para x L a deflexão é nula i inclinações iguais em x a EIθ₁a EIθ₂a Pb a² 2L c₁ Pb a² 2L P 2a a² c₃ c₁ c₃ ii deflexões iguais em x a EIy₁a EIy₂a Pb a³ 6L c₁a c₂ Pb a³ 6L P 6a a³ ac₃ c₄ ac₁ c₂ ac₃ c₄ c₂ c₄ visto que c₁ c₃ iii Para x 0 a deflexão é nula EIy₁x Pb x³ 6L c₁x c₂ EI0 c₂ c₂ 0 c₄ 0 iv Para x L a deflexão é nula EIy₂x Pb x³ 6L P 6x a³ c₃x c₄ L a b EI0 Pb L³ 6L P 6L a³ c₃L Pb L² 6 Pb³ 6 c₃L c₃ Pb L 6 Pb³ 6L Pb² Pb³ 6L c₃ c₁ Pb 6LL² b² Equações finais trecho 1 EIy₁x Pb x³ 6L c₁x c₂ EIy₁x Pb x³ 6L Pb x 6LL² b² y₁x Pb x 6LEI x² L² b² y₁x Pb x 6LEI L² b² x² EIθ₁x Pb x² 2L c₁ θ₁x 1 EIPb x² 2L Pb 6LL² b² θ₁x 3Pb x² PbL² b² 6LEI θ₁x Pb 6LEI L² b² 3x² Equações finais trecho 2 EIy₂x Pb x³ 6L P 6x a³ c₃ x c₄ EIy₂x Pb x³ 6L P 6x a³ Pb x 6LL² b² EIy₂x Pb x 6LL² b² x² P x a³ 6 y₂x Pb x 6LEIL² b² x² P x a³ 6EI EIθ₂x Pb x² 2L P 2x a² c₃ EIθ₂x Pb x² 2L P 2x a² Pb 6LL² b² EIθ₂x Pb 6LL² b² 3x² P x a² 2 θ₂x Pb 6LEIL² b² 3x² P x a² 2EI QUESTÃO 01 ITEM 2 Por simetria temos que Ay By wL 2 Ademais Ax 0 momento fletor mx wL2x wxx2 mx 12 wL x 12 w x² mx 12wL x w x² 0 x L Esforços cortantes V dM dx 12 wL 12 2 w x Vx 12 wL w x para 0 x L Curva de deflexão e inclinação EIy M EIyx 12wL x w x² EIyx dx 12wL x w x² dx EIyx 12wL x²2 w x³3 c₁ EIyx dx 12wL x²2 w x³3 c₁ dx EIyx 12wL x³6 w x⁴12 c₁x c₂ EIθx wL x² 4 w x³ 6 c₁ EIδx wL x³ 12 w x⁴ 24 c₁x c₂ Condições de contorno a A partir da simetria da viga e de seu carregamento podemos concluir que a inclinação da curva de deflexão na metade da extensão é igual a zero isto é θxl2 0 EI θx wLx²4 wx³6 c₁ EI 0 wL42²14 wl2³16 c₁ 0 wL³16 wL³48 c₁ c₁ wL³48 wL³16 wL³48 3wL³48 2wL³48 c₁ wL³24 b As deflexões nos apoios é nula Logo para x0 δx 0 EI δx wLx³12 wx⁴24 c₁x c₂ EI 0 wL0³12 wx⁴240 c₂ c₂ 0 Equações finais EI δx wLx³12 wx⁴24 wL³24x δx 1EI 2wLx² wx⁴ wL³x 24 δx wx24EI L³ 2Lx² x³ EI θx wLx²4 wx³6 wL³24 θx 1EI 6wLx² 4wx³ wL³24 θx w24EI L³ 6Lx² 4x³ QUESTÃO 01 ITEM 3 P A B a b L P A B a b MB Bx By Bx 0 By P MB Pb Momento fletor na viga i Trecho 1 para 0 x b Pb x P M₁x Px Pb M₁x Pxb ii Trecho 2 para b x L P b Pb x P M₂x Px Pb Pxb M₂x Px Pb Px Pb M₂x 0 Esforços cortantes V dmdx V₁x dm₁xdx P V₂x dm₂xdx 0 Curva de deflexão e inclinação i Trecho 1 EI y₁x Pxb EI y₁x dx Pxb dx EI y₁x P2 xb² c₁ EI y₁x dx P2 xb² c₁ dx EI y₁x P6 xb³ c₁x c₂ EI θ₁x P2 xb² c₁ EI δ₁x P6 xb³ c₁x c₂ ii Trecho 2 EI y₂x 0 EI y₂x dx 0 dx EI y₂x 0 c₃ EI y₂x dx c₃ dx EI y₂x c₃x c₄ EI θ₂x c₃ EI δ₂x c₃x c₄ Condições de contorno i continuidade para xb θ₁b θ₂b e δ₁b δ₂b EI θ₁b EI θ₂b P2 bb² c₁ c₃ c₁ c₃ EI δ₁b EI δ₂b P6 bb³ c₁b c₂ c₃b c₄ c₁b c₂ c₃b c₄ c₂ c₄ visto que c₁ c₃ ii No engaste a inclinação é nula Para x0 θ₁0 EI θ₁0 P2 0b² c₁ Pb²2 c₁ 0 c₁ Pb²2 ii No engaste a deflexão é nula Para x0 δ₁0 EI δ₁0 P6 0b³ c₁0 c₂ 0 Pb³6 c₂ c₂ Pb³6 c₂ c₄ Equações finais EI θ₂x c₃ c₃ c₁ Pb²2 EI θ₂x Pb²2 θ₂x Pb²2EI b x L EI δ₂x c₃x c₄ EI δ₂x Pb²2 x Pb³6 δ₂x 1EI 3Pb²x Pb³6 δ₂x Pb²6EI 3x b b x L EI θ₁x P2 xb² c₁ EI θ₁x P2 xb² Pb²2 EI θ₁x P2 x² 2xb b² Pb²2 EI θ₁x P2 x² 2xb b² b² θ₁x Px2 2b x 0 x b δ₁x Px²6EI 3b x 0 x b QUESTÃO 01 ITEM 4 A B w MB Bx By Temos que Bx 0 By wL MB wLL2 wL²2 Momento fletor na viga wL²2 x wL Mx ωx x2 ωL x ωL ²2 Mx 12 ωx ² ωLx ωL ²2 Esforços cortantes V dmdx Vx 12 2ωx ωL Vx ωx ωL 0 x L Curva de deflexão e inclinação EI yx Mx EI yx 12 ωx ² ωLx ωL ²2 EI yx dx 12 ωx ² ωLx ωL ²2 dx EI yx ωx ³6 ωLx ²2 ωL ²2 x c1 EI yx dx ω x³6 ωLx ²2 ωL ²2 x c1 dx EI yx ωx 424 ωLx ³6 ωL ² x²4 c1 x c2 EI θx ωx ³6 ωLx ²2 ωL ² x2 c₁ EI δx ωx 424 ωLx ³6 ωL ² x²4 c1 x c2 condições de contorno NO engaste tanto a deflexão quanto a inclinação são nulos Logo θ0 0 δ0 0 EI θ0 ω0³6 ωL0²2 ωL0²2 c1 ç1 0 EI δ0 ω0 424 ωL0³6 ωL0²4 y0 c2 ç2 0 Equações finais EI θx ωx³6 ωLx²2 ωL²x2 c1 EI θx ωx³ 3ωLx² 3ωLx 6 θx ωx6EI x² 3Lx 3L² EI δx ωx424 ωLx36 ωL² x²4 c1 x c2 EI δx ωx4 4ωLx3 6ωL² x² 24 δx ωx²24EI x² 4Lx 6L² QUESTÃO 01 ITEM 5 ωL2 W A B Ax L Ay By Ax 0 Ay By ωL2 Σ Ma 0 ωL2 23 L By L 0 By ωL3 Ay ωL2 ωL3 Ay 3ωL6 2ωL6 Δy ωL6 Portanto Ax 0 Ay ωL6 By ωL3 Momento fletor na viga Por semelhança de triângulos temos que ωx ωL ω ωxL F ω ωxL Fx bh2 x ωxL 12 Fx ωx²2L Mx ωL6 x ωx²2L 13 x Mx ωLx6 ωx³6L Esforços cortantes Vx dMxdx Vx ωL6 3 ωx²6L Vx ωL6 ωx²2L Curva de deflexão e inclinação EI yx Mx EI yx ωLx6 ωx³6L EI yx dx ωLx6 ωx³6L dx EI yx ωLx²12 ωx424L c1 EI yx dx ωLx²12 ωx424L c1 dx EI yx ωLx336 ωx5120L c1 x c2 Portanto EI θx ωLx²12 ωx424L c1 EI δx ωLx³36 ωx5120L c1 x c₂ condições de contorno Em ambos os apoios a deflexão é nula Logo δ0 δL 0 Mx ωL6 x ωx²2L 13 x Mx ωLx6 ωx³6L i δ0 0 EI δ0 ωL0³36 ω0 5120L c₁ 0 c₂ ç2 0 ii δL 0 EI δL ωL336 ωL5120L c1 L ç2 0 ωL436 ωL4120 c1 L L 0 ωL336 ωL3120 c1 c1 ωL³120 ωL³36 3ωL³360 10ωL³360 c1 7ωL³360 Equações finais EI θx ωLx²12 ωx424L c₁ EI θx ωLx²12 ωx424L 7ωL³360 EI θx 30 ωL² x² 15 ωx4 7 ωL4 360L θx ω360LEI 7L⁴ 15x⁴ 30L² x² EI δx ωLx³36 ωx5120L c1 x c₂ EI δx ωLx³36 ωx5120L 7ωL³ x360L outra abordagem para obter a equação do momento ω ωL 6 3 x x W A B L L 6 3 x x EI δx 10 ωL² x³ 3ωx5 7ωL4 x 360L δx ωx360LEI 7L⁴ 3x⁴ 10L² x² outra abordagem para obter a equação do momento EI yx Mx dMdx Vx EI yx Vx dVxdx ωx EI yIV x ωx ωx ωx ωL x EI d4 x dx4 ωL x EI d4 xdx4 dx ωL x dx EI d3 x dx3 Vx ωx²2L k1 EI d3 x dx3 dx ωx²2L k1 dx EI d2 x dx2 Mx ωx³6L k1 x k2 condicões de contorno para o momento O momento fletor na viga é nulo nas extremidades isto é M0 0 e ML 0 Mx ωx³6L k1x k2 M0 ω0³6L k10 k2 k2 0 ML ωL³6L k1L k2 0 ωL²6 k1L L 0 ωL6 k1 k1 ωL6 portanto Mx ωx³6L ωLx6 QUESTÃO 01 ITEM 6 Temos que Bx 0 By ωL2 MB ωL213L ωL²6 momento fletor na viga E1 yx Mx E1 yx Vx E1 y⁴x ωx E1 d⁴ydx ωx ω ωL x E1 d³ydx ωL x ωdx E1 d³ydx Vx ωx²2L ωx c1 E1 d²ydx ωx²2L ωx c1dx E1 d²ydx mx ωx³6L ωx²2 c1x c2 no engaste x0 o momento vale ωL²6 Logo M0 ω0³6L ω0²2 c10 c2 ωL²6 c2 ωL²6 no final do balanco x L o momento é nulo ML ωL³6L ωL²2 c1L ωL²6 0 ωL²6 ωL²2 c1L ωL²6 0 L ωL6 ωL2 c1 ωL6 0 c1 ωL2 Portanto Mx ωx³6L ωx²2 c1x c2 Mx ωx³6L ωx²2 ωLx2 ωL²6 esforço cortante Vx dMxdx 3ωx²26L 2ωx2 ωL2 Vx ωx²2L ωx ωL2 curva de deflexão e inclinação E1 yx Mx E1 yx ωx³6L ωx²2 ωLx2 ωL²6 E1 yx dx ωx³6L ωx²2 ωLx2 ωL²6 dx E1 yx ωx⁴24L ωx³6 ωLx²4 ωL²x6 k1 E1 yx dx ωx⁴24L ωx³6 ωLx²4 ωL²x6 k1 dx E1 yx ωx⁵120L ωx⁴24 ωLx³12 ωL²x²12 k1x k2 condições de contorno No engaste x0 tanto a inclinação quanto a deflexão são nulas E1 θ0 ω0⁴24L ω0³6 ωL0²4 ωL²0²6 k1 k1 0 E1 δ0 ω0⁵120L ω0⁴24 ωL0³12 ωL²0²12 00 k2 k2 0 equações finais E1 θx ωx⁴24L ωx³6 ωLx²4 ωL²x6 k1 E1 θx ωx⁴ 4ωLx³ 6ωL²x² 4ωL³x 24L θx ωx24LEI x³ 4Lx² 6L²x 4L³ E1 δx ωx⁵120L ωx⁴24 ωLx³12 ωL²x²12 k1x k2 E1 δx ωx⁵ 5ωLx⁴ 10L²x³ 10L²x² 120L δx ωx²120LEI x³ 5Lx² 10L²x 10L³ QUESTÃO 01 ITEM 7 Ay By AyL Mo Ay By MoL momento fletor na viga Mx Mo MoL x esforço cortante Vx dMxdx MoL curva de deflexão e inclinação E1 yx Mx E1 yx Mo MoL x E1 yx dx Mo MoL x dx E1 yx Mox Mox²2L c1 EIyxdx Mox Mo x²2 c1 dx EIyx Mox²2 Mox³6L c1x c2 Portanto EIθx Mox Mox²2L c1 EIδx Mox²2 Mox³6L c1x c2 condições de contorno Nos apoios a deflexão é nula logo δ0 0 e δL 0 i δ0 0 EIδ0 Mo0²2 Mo0³6L c10 c2 c2 0 ii δL 0 EIδL MoL²2 MoL³6L c1L c2 0 MoL²2 MoL²6 c1L L 0 MoL2 MoL6 c1 c1 MoL6 MoL2 MoL 3MoL6 c1 2LMo6 c1 LMo3 equações finais EIyxdx Mox Mo x²2 c1 dx EIyx Mox²2 Mox³6L c1x c2 Portanto EIθx Mox Mox²2L c1 EIδx Mox²2 Mox³6L c1x c2 condições de contorno Nos apoios a deflexão é nula logo δ0 0 e δL 0 i δ0 0 EIδ0 Mo0²2 Mo0³6L c10 c2 c2 0 ii δL 0 EIδL MoL²2 MoL³6L c1L c2 0 MoL²2 MoL²6 c1L L 0 MoL2 MoL6 c1 c1 MoL6 MoL2 MoL 3MoL6 c1 2LMo6 c1 LMo3 EJθx Mo x Mo x2 2L c1 EJθx M0 x m0 x2 2L Lm0 3 EJθx 6LM0 x 3mo x2 2L2 Mo 6L θx Mo6LEI 6Lx 3x2 2L2 EJδx M0 x2 2 M0 x3 6L c1 x c20 EJδx M0 x2 2 M0 x3 6L Lm0 x 3 EJδx 3LM0 x2 M0 x3 2L2 m0 x 6L δx M0 x6LEI 3Lx x2 2L2 δx M0X6LEI x2 3Lx 2L2 QUESTÃO 01 ITEM 8 M0 L Mo M0 MB BX A B By Temos que Bx 0 By 0 MB Mo Momento fletor na viga Mx Mo Esforço cortante Vx dMxdx Vx 0 Curva de deflexão e inclinação EJyx Mx EJyx m0 EJyxdx M0 dx EJyx m0 x c1 EJyxdx M0x c1 dx EJyx m0 x2 2 c1x c2 Portanto EJθx Mox c1 EJδx Mox2 2 c1x c2 condições de contorno No engaste tanto a inclinação quanto a deflexão são nulas logo θ0 0 e δ0 0 i θ0 0 EJθ0 Mo0 c1 c1 0 13 ii δ0 0 EJδ0 Mo02 2 c10 c2 c2 0 Equações finais i EJθx Mo x c1 c1 0 EJθx Mox θx Mo EI x ii EJδx Mox2 2 c1x c2 δx Mo 2EI x2 QUESTÃO 02 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ δ e verificar os esforços nas seções nas posições L 1 m e L 2 m Sabendo que o deslocamento limite é igual a L250 apontar quais as seções estão em conformidade com tal exigência 10kNm 400 cm E 30 GPa VIGA 1 VIGA 2 VIGA 3 45cm 30cm 15cm 15cm 15cm 15cm Como não foi informado qual material constitui cada uma das vigas vamos desconsiderar o peso próprio delas nos cálculos Do item 2 da questão 01 temos que Mx 12 wLx wx2 Vx 12 wL wx δx wx 24EI L3 2Lx2 x3 θx w 24EI L3 6Lx2 4x3 momento de inércia das vigas I bh3 12 I1 015 m 045 m3 112 11390625103 m4 I2 015 m 030 m3 112 3375104 m4 I3 015 m 0153 112 421875105 m4 E 30 GPa 30 109 Nm2 14 Momento fletor e esforço cortante O momento fletor e o esforço cortante não dependem da rigidez das vigas Logo o valor dessas grandezas nas seções solicitadas serão os mesmos para cada uma das vigas Vx 12 wL wx Para x 1 m V1 12 10 kNm 4 m 10 kNm 1 m V1 10 kN Para x 2 m metade do vão V2 12 10 kNm 4 m 10 kNm 2 m V2 0 kN Mx 12 wLx wx2 Para x 1 m M1 12 10 4 1 10 12 M1 15 kNm Para x 2 m M2 12 10 4 2 10 22 M2 20 kNm Deflexão e inclinação 1250 4000 cm 250 16 mm VIGA 01 deflexões δx wx 24EI L3 2Lx2 x3 δx 1 m 10103 1 24 30109 11391103 43 2412 13 δx 1 m 00006950 m 069 mm δx 1 m 069 mm 16 mm δx 2 m 10 103 2 24 30 109 11391103 43 2 4 22 23 δx 2 m 00009754 m 097 mm δx 2 m 097 mm 16 mm VIGA 01 inclinações θx w 24EI L3 6Lx2 4x3 θx 1 m 20 103 24 30 109 11391 103 43 6 4 12 4 13 θx 1 m 000053648591 rad θx 1 m 0031 θx 2 m 10 103 24 30 109 11391 103 43 6 4 22 4 23 θx 2 m 0 rad Logo a viga 01 está em conformidade com a exigência VIGA 02 deflexões δx1m 10103 1 24 30 109 3375104 43 2 4 12 13 δx1m 000234568 m 234 mm δx1m 234 mm 16 mm δx2m 10 103 2 24 30 109 3375 104 43 2 4 22 23 δx2m 000329218 m 329 mm δx2m 329 mm 16 mm VIGA 02 inclinações θx1m 10 103 24 30 109 3375 104 43 6 4 12 4 13 θx1m 000181069958 rad 0104 θx1m 0104 θx2m 10 103 24 30 109 3375 104 43 6 4 22 4 23 θx2m 0 rad 0 A viga 02 está em conformidade com a exigência de deflexão VIGA 03 deflexões δx1m 10 103 1 24 30 109 421875 105 43 2 4 12 13 δx1m 0018765 m 1876 mm δx1m 1876 mm 16 mm δx2m 10103 2 24 30109 421875105 43 2 4 22 23 δx2m 002633745 m 2634 mm δx2m 2634 mm 16 mm A viga 03 não está em conformidade com a exigência de deflexão θx1m 10 103 24 30 109 421875 105 43 6 4 12 4 13 θx1m 001448559671 rad θx1m 0830 θx2m 10 103 24 30 109 421875 105 43 6 4 22 4 23 θx2m 0 rad 0 Portanto dentre as três vigas apenas a viga 03 não atende a exigência da deflexão máxima admitida QUESTÃO 03 Um fabricante de peças prémoldadas de concreto quer utilizar as seções abaixo no processo de fabricação de vigotas sabendo que o peso específico do concreto é 25 kNm3 determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo v m θ δ e verificar os esforços nas seções nas posições L1m e L2m Qual a seção que irá consumir mais material e qual apresentará menor deslocamento Apresente os resultados em percentuais comentados 10kNm 400 cm E 30 GPa 30 109 Pa γc 25 kNm3 VIGA 01 VIGA 02 VIGA 03 15cm 15cm 15cm 15cm 15cm 15cm Volume de cada viga V1 A1 h l2 h 015 m2 4m V1 0090 m3 V2 A2 h πd24 h π4 015m2 4m V2 00706858 m3 00707 m3 V3 A3 h bh2 h 015m 015m 4m 2 V3 0045 m3 Como V3 V2 V1 a seção que irá consumir mais material será a seção quadrangular Peso próprio de cada viga P1 V1 γ 0090 m3 25 kNm3 P1 225 kN P2 V2 γ 00707 m3 25 kNm3 P2 17675 kN P3 V3 γ 0045 m3 25 kNm3 P3 1125 kN Carga adicional nas vigas Vamos considerar o peso próprio de cada viga como um carregamento distribuído a ser adicionado ao carregamento distribuído original de 10 kNm já descrito pelo exercício Portanto o novo carregamento w distribuído em cada viga será w1 w P1 L 10kNm 225 kN 4m w1 105625 kNm w2 w P2 L 10 kNm 17675 kN 4m w2 1044187 kNm w3 w P3 L 10 kNm 1125 kN 4m w3 1028125 kNm momento de Inércia I1 bh3 12 015 m 015 m3 112 I1 421875 105 m4 I2 πr4 4 πd4 64 π 64 015m4 I2 2485048 105 m4 I3 bh3 36 triângulo isósceles I3 015 m 015 m3 36 I3 140625 105 m4 momento fletor e esforço cortante Já sabemos que a viga biapoiada e com carregamento constante apresenta as seguintes equações para momento fletor e cortante Vx 12 wL wx mx 12 wLx wx2 VIGA 01 L 4m w 105625 kNm Para x 1 m V1 1056 kN m1 1584 kNm Para x 2 m V2 0 kN m2 24125 kNm VIGA 02 L 4m w 1044187 kNm Para x 1 m V1 1044 kN m1 1566 kNm Para x 2 m V2 0 kN m2 2088 kNm VIGA 03 L 4m w 1028125 kNm Para x 1 m V1 1028 kN m1 1542 kNm Para x 2 m V2 0 kN m2 2056 kNm Deflexões máximas VIGA 01 L 4m w 105625 kNm E 30 109 Nm2 I 421875 105 m4 δx wx24EI L³ 2Lx² x³ δx2m 10562510³2243010⁹42187510⁵ 4³ 242² 2³ 002781893 m 2782 mm VIGA 02 L4 m w1044187 knm E3010⁹ Nm² I248504810⁵ m⁴ δx2m 104418710³2243010⁹248504810⁵ 40 004668753 m 4669 mm VIGA 03 L4 m w1028125 knm E3010⁹ Nm² I14062510⁵ m⁴ δx2m 102812510³2243010⁹14062510⁵ 40 δx2m 0081234 m 8123 mm VIGAS δmáx mm Fator V1 2782 10 0 V2 4669 1678 678 V3 8123 2920 1920 A menor deflexão foi observada na viga 1 retangular A deflexão na viga circular é quase o dobro da deflexão da viga retangular A viga triangular por sua vez apresenta deflexão praticamente três vezes maior do que a da viga retangular Portanto as deflexões nas vigas circular e triangular são respectivamente 678 e 192 maiores do que a deflexão da viga retangular No entanto nenhuma dessas vigas passaria no critério da deformação máxima inferior a L250 4000mm250 com efeito L250 16 mm e δmáx V1 16 mm δmáx V2 16 mm δmáx V3 16 mm QUESTÃO 04 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ δ e verificar os esforços na seção na posição L175 m Sabendo que o peso específico do concreto é 25 kNm³ do aço 785 kNm³ e da madeira 075 kNm³ apontar qual material apresenta menor deslocamento e a relação deslocamentopeso do meio do vão Utilizar com valor de carga os 2 últimos algarismos da matrícula 81 kNm X kNm 350 cm 15 cm 15 cm material E GPa γ knm³ concreto 28 250 aço 200 785 madeira 12 075 Momento de inércia o momento de inércia será o mesmo para todos os materiais visto que a seção transversal é a mesma Iᵪ bh³12 015m015m³ 112 Iᵪ 42187510⁵ m⁴ Peso próprio de cada viga CONCRETO Pc γcVc 25 kNm³ 015m015m35m 007875 m³ Pc 196875 KN Aço Pa γaVa 785 kNm³ 007875 m³ Pa 6181875 KN MADEIRA Pm γmVm 075 kNm³ 007875 m³ Pm 00590625 KN CARGA DISTRIBUÍDA TOTAL De modo análogo ao que foi feito na QUESTÃO 03 temos w wᵢ PL wc 81 kNm 196875 kN35m 815625 kNm wa 81 kNm 6181875 kN35m 827662 kNm wm 81 kNm 0059062535m 810169 kNm Momento fletor cortante e deflexão Das questões iniciais sabemos que a viga biapoiada com carregamento constante apresenta as seguintes equações para momento fletor cortante e deflexão Vx 12 wL wx Mx 12 wLx wx² δx wx24EI L³ 2Lx² x³ VIGA 01 CONCRETO Para x175 m L350 m E28 GPa w815625 kNm e I42187510⁵ m⁴ temos Vx175 m 0 kN Mx175 m 12489 kNm δx175 m 0134915 m 13491 mm VIGA 02 AÇO Para x175 m L350 E200 GPa w827662 kNm e I42187510⁵ m⁴ segue que Vx175 m 0 kN Mx175 m 12674 kNm δx175 m 0019167 m 1917 mm VIGA 03 Madeira Para x175 m L350 E12 GPa w810169 kNm e I42187510⁵ m⁴ temos Vx175 m 0 kN Mx175 m 12406 kNm δx175 m 03126954 m δx175 m 31269 mm No meio do vão x175 m temos os seguintes pesos P₁ 815625 kNm 350 m 28547 kN P₂ 827662 kNm 350 m 28968 kN P₃ 810169 kNm 350 m 28356 kN VIGA δmáx mm Fator concreto 13491 70 aço 1917 10 madeira 31269 163 VIGA Peso total kN δmmPkN concreto 28547 047 aço 28968 007 madeira 28356 110 Menor deslocamento viga de aço Menor relação deslocamentopeso no meio do vão viga de aço QUESTÃO 02 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços nas seções nas posições L 1 m e L 2 m Sabendo que o deslocamento limite é igual L250 apontar quais as seções estão em conformidade com tal exigência Para uma viga biapoiada de comprimento L e carga distribuída constante w temos que M x 12 wLx wx2 Vx 12 wL wx δx wx 24EI L3 2Lx2 x3 θ x w 24EIL3 6Lx2 4x3 Dados comuns às 3 vigas E 3000 GPa q 1000 kNm L 400 m Elementos geométricos Viga Base m Altura m Ix m4 EI Nm2 δ lim mm Viga 1 015 045 000113906250 341718750 1600 Viga 2 015 030 000033750000 101250000 1600 Viga 3 015 015 000004218750 12656250 1600 VIGA 01 Esforços deflexões e inclinações X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2000 000 0000 01509 SIM 050 1500 875 0379 00409 SIM 100 1000 1500 0695 00307 SIM 150 500 1875 0903 00164 SIM 200 000 2000 0975 00000 SIM 250 500 1875 0903 00164 SIM 300 1000 1500 0695 00307 SIM 350 1500 875 0379 00409 SIM 400 2000 000 0000 00447 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2000 000 0000 01509 SIM 050 1500 875 1278 01379 SIM 100 1000 1500 2346 01037 SIM 150 500 1875 3048 00554 SIM 200 000 2000 3292 00000 SIM 250 500 1875 3048 00554 SIM 300 1000 1500 2346 01037 SIM 350 1500 875 1278 01379 SIM 400 2000 000 0000 01509 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2000 000 0000 12072 SIM 050 1500 875 10226 11035 SIM 100 1000 1500 18765 08300 NÃO 150 500 1875 24383 04433 NÃO 200 000 2000 26337 00000 NÃO 250 500 1875 24383 04433 NÃO 300 1000 1500 18765 08300 NÃO 350 1500 875 10226 11035 SIM 400 2000 000 0000 12072 SIM VIGA 02 Esforços deflexões e inclinações VIGA 03 Esforços deflexões e inclinações QUESTÃO 03 Um fabricante de peças prémoldadas de concreto quer utilizar as seções abaixo no processo de fabricação de vigotas Sabendo que o peso específico do concreto é 25kNm3 determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços nas seções nas posições L 1 m e L 2 m Qual a seção que irá consumir mais material e qual apresentará menor deslocamento Apresente os resultados em percentuais comentados Para uma viga biapoiada de comprimento L e carga distribuída constante w temos que M x 05wLx wx2 Vx 05wL wx δx wx 24EI L3 2Lx2 x3 θ x w 24EI L3 6Lx2 4x3 Dados comuns às três vigas E 3000 GPa q 1000 kNm L 400 m γ 2500 kNm3 Viga ST Base m Altura m diâmetro m Área ST m2 Vol m3 Viga 1 Q 015 015 002250 00900 Viga 2 C 015 001767 00707 Viga 3 T ISO 015 015 001125 00450 Viga Peso próprio q total kNm Ix m4 EI Nm2 δ lim mm kN Viga 1 22500 105625 000004218750 12656250 1600 Viga 2 17671 104418 000002485049 7455147 1600 Viga 3 11250 102813 000001406250 4218750 1600 VIGA 01 Esforços deflexões e inclinações X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2113 000 0000 12751 SIM 050 1584 924 10802 11655 SIM 100 1056 1584 19821 08766 NÃO 150 528 1980 25754 04682 NÃO 200 000 2113 27819 00000 NÃO 250 528 1980 25754 04682 NÃO 300 1056 1584 19821 08766 NÃO 350 1584 924 10802 11655 SIM 400 2113 000 0000 12751 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2088 000 0000 21400 SIM 050 1566 914 18128 19561 NÃO 100 1044 1566 33265 14712 NÃO 150 522 1958 43222 07858 NÃO 200 000 2088 46687 00000 NÃO 250 522 1958 43222 07858 NÃO 300 1044 1566 33265 14712 NÃO 350 1566 914 18128 19561 NÃO 400 2088 000 0000 21400 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 2056 000 0000 37235 SIM 050 1542 900 31542 34035 NÃO 100 1028 1542 57880 25599 NÃO 150 514 1928 75205 13672 NÃO 200 000 2056 81235 00000 NÃO 250 514 1928 75205 13672 NÃO 300 1028 1542 57880 25599 NÃO 350 1542 900 31542 34035 NÃO 400 2056 000 0000 37235 SIM Vigas Vol m3 δ máx mm Fator δ mm Viga 1 00900 27819 1000 0000 000 Viga 2 00707 46687 1678 18868 6783 Viga 3 00450 81235 2920 53416 19201 Maior Vol 00900 m3 Menor δ 27819 mm VIGA 02 Esforços deflexões e inclinações VIGA 03 Esforços deflexões e inclinações QUESTÃO 04 Determinar a equação da linha elástica das vigas abaixo V M θ e δ e verificar os esforços na seção na posição L 175 m Sabendo que o peso específico do concreto C é 250 kNm3 do aço S 785 kNm3 e da madeira W 075 kNm3 apontar qual material apresenta menor deslocamento e a relação deslocamentopeso no meio do vão Utilizar como valor de carga os 2 últimos algarismos da matricula Para uma viga biapoiada de comprimento L e carga distribuída constante w temos que M x 05wLx wx2 Vx 05wL wx δx wx 24EI L3 2Lx2 x3 θ x w 24EI L3 6Lx2 4x3 Dados comuns às três vigas q 8100 kNm L 350 m Viga Material E GPa Base m Altura m Vol m3 γ kNm3 Viga 1 Concreto 28 015 015 007875 2500 Viga 2 Aço 200 015 015 007875 7850 Viga 3 Madeira 12 015 015 007875 075 Viga Peso próprio kN q total kNm Ix m4 EI Nm2 δ lim mm Viga 1 19688 815625 000004218750 11812500 1400 Viga 2 61819 827663 000004218750 84375000 1400 Viga 3 00591 810169 000004218750 5062500 1400 VIGA 01 Esforços deflexões e inclinações concreto X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 14273 000 0000 70675 SIM 050 10195 6117 59338 62845 NÃO 100 6117 10195 106089 42652 NÃO 150 2039 12234 131622 15042 NÃO 175 000 12489 134915 00000 NÃO 200 2039 12234 131622 15042 NÃO 250 6117 10195 106089 42652 NÃO 300 10195 6117 59338 62845 NÃO 350 14273 000 0000 70675 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 14484 000 0000 10040 SIM 050 10346 6207 8430 08928 SIM 100 6207 10346 15072 06059 NÃO 150 2069 12415 18699 02137 NÃO 175 000 12674 19167 00000 NÃO 200 2069 12415 18699 02137 NÃO 250 6207 10346 15072 06059 NÃO 300 10346 6207 8430 08928 SIM 350 14484 000 0000 10040 SIM X m V kN M kNm δ mm θ grau Conformidade 000 14178 000 0000 163805 SIM 050 10127 6076 137529 145657 NÃO 100 6076 10127 245885 98856 NÃO 150 2025 12153 305064 34862 NÃO 175 000 12406 312695 00000 NÃO 200 2025 12153 305064 34862 NÃO 250 6076 10127 245885 98856 NÃO 300 10127 6076 137529 145657 NÃO 350 14178 000 0000 163805 SIM Vigas Vol m3 δ máx mm Fator Peso Total kN δ mmPeso kN Concreto 250000 134915 7039 285469 047 Aço 785000 19167 1000 289682 007 Madeira 07500 312695 16314 283559 110 Menor δ 19167 mm VIGA 02 Esforços deflexões e inclinações aço VIGA 03 Esforços deflexões e inclinações madeira