Listas Sinais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLOGICO DEPARTAMENTO DE AUTOMAC AO E SISTEMAS Lista 1 Questoes para a P1 DAS5214 Sinais e Sistemas Lineares Florianopolis setembro de 2024 1 Questoes P1 Questao 1 Considere o sistema de controle representado abaixo i Determine as respostas ao impulso para Uht ˆUˆht ii Considerando o sistema em repouso determine Y2t para Ut Dt e ˆUt 0 iii Para Ut Dt ˆUt 0 Y10 4 e Y20 0 determine Y2t p t 0 Questao 2 Considere o circuito eletrico abaixo Considerando L e C dados determine a faixa de ajuste de R que assegure uma resposta estavel sem oscilacao 2 Questao 3 Para o circuito eletrico abaixo tendo VC como saıda veri fiquedemonstre se o sistema e linear Para este sistema e possıvel afirmar que p CIs nulas a resposta total sera dado por ht E onde ht e a resposta ao impulso do sistema Justifique Questao 4 Determine o Y3t para o sistema abaixo 3 Questao 5 Determine a faixa de variacao de K para que o sistema seja estavel e que a resposta Y t nao apresente oscilacoes Questao 6 Analise e demonstre se o sistema representado abaixo e linear Questao 7 DetermineProve se o sistema representado abaixo e linear 4 Questao 8 Considere o sistema abaixo Considerando o sistema em repouso determine Y t para Questao 9 Considere o sistema de controle representado no diagrama abaixo para K 2 i Determine a resposta Y t para um degrau unitario na perturbacao P Dt Considere Ref 0 ii Determine a resposta ao impulso do sistema para entrada Reft e saıda Y t 5 Questao 10 Para o circuito abaixo determine a faixa de variacao de L que assegure uma resposta sem oscilacoes para entrada E do tipo degrau Questao 11 Para o sistema representado no diagrama abaixo Determine a faixa de K que estabiliza o sistema sem oscilacao Questao 12 Considere o sistema apresentado abaixo Encontre a resposta Y2t 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLOGICO DEPARTAMENTO DE AUTOMAC AO E SISTEMAS Lista 5 Questoes no domınio discreto DAS5214 Sinais e Sistemas Lineares Florianopolis novembro de 2024 1 Questoes de P4 Questao 1 Para o sistema do controle abaixo i Ajuste Hff de modo que a resposta do degrau para Ref seja mais rapida que a resposta ao degrau para P e que o sistema siga Ref do tipo degrau com erro nulo kf γ e β ii Esboce a resposta ao degrau para Ref iii Verifique se o sistema rejeita perturbacao do tipo degrau Questao 2 Para o sistema de controle representado abaixo determine i A resposta yn para Ref Dn ii Se o sistema de controle proposto segue Ref do tipo degrau e rejeita per turbacao P do tipo degrau 2 Questao 3 Para o sistema representado abaixo i Ajuste S e T de modo que a resposta ao degrau para perturbacao P tenha tempo de acomodacao ta1 04s e que a resposta ao degrau na referˆencia tenha ta1 01s com ganho estatico de malha fechado unitario ii Para o ajuste realizado avalie o seguimento de referˆencia e rejeicao de perturbacao para entradas do tipo degrau e verifique se ocorre sobressinal para o seguimento de referˆencia iii Avalie a escolha do perıodo de amostragem h Questao 4 Para o sistema representado abaixo determine a faixa de K que estabiliza o sistema K R e a faixa de K que estabiliza o sistema sem oscilacoes 3 Questao 5 Para o sistema abaixo i Determine a resposta ao degrau Y n ii Esboce o grafico da resposta ao degrau iii Determine a resposta em frequˆencia do sistema iv Para uma entrada dada por cos10πn determine a amplitude do sinal de saıda em regime permanente Questao 6 Para o sistema abaixo i Para Pn Dn determine ˆY n ii Para Rn entrada de referˆencia do tipo degrau determine o ta1 tempo de acomodacao de 1 para Y t 4 Questao 7 Considere o sistema representado no diagrama abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia Hp ˆYP e Hr ˆYRef ii Verifique e demonstre se o sistema segue referˆencia e rejeita perturbacoes do tipo degrau Questao 8 Para o sistema representado no diagrama abaixo determine Y2n para X1n Dn considerando condicoes inicias nulas 5 Questao 9 Considere o sistema abaixo i Determine os polos do sistema discreto equivalente para h 001s e h 002s e analise como eles sao afetados pela variacao de h ii Avalie o efeito da variacao de h do item i na resposta em frequˆencia do equivalente discreto Para qual valor de h havera maior sobreposicao aliasing Justifique Questao 10 Para o sistema abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia H1 YU1 e H2 YU2 ii Determine Y n considerando condicoes inicias nulas 6 Questao 11 Considere o sistema abaixo i Determine a faixa de variacao de K que estabiliza o sistema considerando b constante ii Para K 4 e b 3 determine a resposta ao impulso do sistema iii Para uma entrada do tipo degrau a resposta transitoria do sistema e os cilatoria Justifique Questao 12Um submarino e equipado com um sistema de ondas acusticas emitidas por embarcacoes conforme o diagrama abaixo Onde F1 e um filtro analogico cuja resposta em frequˆencia e apresentado no Anexo 1 e o filtro discreto F2 e dado pela seguinte equacao a diferencas Y n 4 054Y n 3 044Y n 2 01Y n 1 004Y n 021Un 4 042Un 2 021Un Considerando que a emissao do sinal acustico de uma embarcacao monitorada e dada por S 08cos2π400t 02cos2π1200t Determine a amplitude do sinal ˆY t 7 Anexo 1 Resposta em frequˆencia de F1 Questao 12 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLOGICO DEPARTAMENTO DE AUTOMAC AO E SISTEMAS Lista 2 Questoes para a P2 DAS5214 Sinais e Sistemas Lineares Florianopolis setembro de 2024 1 Questoes modificadas da Lista 1 11 Sistemas com condicoes iniciais Questao 1 Considere o sistema de controle representado abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia para U Hs ˆU ˆHs ii Determine a faixa de ajuste de K que estabiliza o sistema iii Para K 3 e considerando o sistema em repouso determine Y2t para Ut Dt e ˆUt 0 iv Para K 3 Ut Dt ˆUt 0 Y10 4 e Y20 0 determine Y2t p t 0 2 Questao 2 Considere o sistema abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia para as entradas X1 e X2 con siderando Y3 como saıda ii Determine o Y3t 12 Sistemas com condicoes inicial nulas Questao 1 Considere o circuito eletrico abaixo i Determine a funcao de transferˆencia para Vc como saıda ii Considerando L e C dados determine a faixa de ajuste de R que assegure uma resposta estavel sem oscilacao 3 Questao 2 Considere o sistema abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia para as entradas U1 e U2 con siderando Y2 como saıda ii Considerando o sistema em repouso determine Y t para U1 2Dt e U2 Dt 1 Dt 3 Questao 3 Considere o sistema de controle representado no diagrama abaixo i Determine o K que estabiliza o sistema ii Considerando o sistema em repouso determine a resposta Y t para um degrau unitario na perturbacao P Dt Considere Ref 0 e K 2 iii Determine a funcao de transferˆencia para entrada Reft e saıda Y t 4 2 Questoes P2 Questao 1 Seja o sistema abaixo Considerando que a resposta ao degrau de H e dada pelo grafico abaixo i Proponha uma funcao de transferˆencia H que se adeque a resposta obtida ii Para a FTH determinada em i considerando K 4 esboce a resposta ao degrau em malha fechada 5 Questao 2 Considere o sistema de controle representado abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia para as entradas R e P HRY e HPY ii Determine Y t para Rt 2Dt 2 P 0 considerando o sistema em repouso iii Comente as possıveis diferencas entre as respostas ao degrau em P e R qual resposta e mais rapida iv Os controladores conseguem rejeitar perturbacoes do tipo degrau O sis tema segue referˆencia do tipo degrau com erro nulo Demonstre Questao 3 Considere o sistema representado abaixo i Determine Y t para Pt Dt 2 R 0 considerando o sistema em repouso ii Determine se o sistema segue R do tipo degrau e se rejeita P do tipo degrau iii Esboce a saıda Y t para R do tipo degrau 6 Questao 4 Considere o circuito abaixo i Tendo VC como saıda determine a FTGs VCsEs e considerando L e C como arbitrarios determine a faixa de ajuste de R que assegura uma resposta ao degrau sem sobressinal ii Para a mesma saıda VC considerando R e L arbitrarios determine a influˆencia de C na resposta ao degrau do sistema Questao 5 Considere o sistema de controle abaixo i Determine as funcoes de transferˆencia para as entradas PL e UREF tendo Y como saıda ii AvalieDemonstre se o sistema segue ref do tipo degrau e se rejeita per turbacao do tipo degrau iii Determine Y t para PL 0 e UREF 2Dt 1 considerando o sistema inicialmente em repouso Esboce a curva Y t 7 Questao 6 Considere o sistema de controle i Ajuste Ki para que se obtenha um sobressinal de 10 Para o valor ajus tado determine o tempo de acomodacao de 1 ii E possıvel ajustar o Ki para achar um tempo de acomodacao de 1 menor do que do item anterior Demonstre Questao 7 Considere o sistema de controle representado abaixo i Considerando UP 2Dt 1 e UREF 0 determine Y t ii Para UP 0 esboce a resposta para o degrau em UREF Indique os valores possıveis de serem calculados 8 Questao 8 Para o circuito abaixo avalie o efeito dos parˆametros R L e C na resposta ao degrau tendo E como entrada e VC como saıda Questao 9 Considere o sistema de controle representado abaixo i Determine a faixa de ajuste KP que estabiliza o sistema ii Ajuste KP para que o sistema tenha um sobressinal de 15 iii Para o valor ajustado em ii determine o tempo de subida e tempo de acomodacao iv Ajuste KP para um tempo de acomodacao de 1 igual a 08s v Para KP 100 esboce a resposta ao degrau indicando todos os parˆametros possıveis de serem calculados sem determinar Y t 9 11 1 i Funções de Transferência Transformada de Laplace dos blocos S1 e S2 S1 sY1s 2Y1s U1s Y1s U1s s 2 S2 sY2s 4Y2s U2s Y2s U2s s 4 Diagrama de Blocos em Laplace U1s Ũs KY2s U2s Y1s Ûs Calculando Ĥ1s Y2s Ũs com Ûs 0 Y1s Ũs KY2s s 2 U2s Y1s Ũs KY2s s 2 Y2s U2s s 4 Ũs KY2s s 2s 4 Y2s1 K s 2s 4 Ũs s 2s 4 Y2s Ũs s 2s 4 K Ĥ1s Y2s Ũs 1 s2 6s 8 K Calculando Ĥ2s Y2s Ûs com Ũs 0 U1s KY2s Y1s U1s s 2 KY2s s 2 U2s Y1s Ûs KY2s s 2 Ûs Y2s U2s s 4 KY2s s 2 Ûs s 4 Y2s1 K s 2s 4 Ûs s 2s 4 Y2s Ûs s 2 s 2s 4 K Ĥ2s Y2s Ûs s2 s2 6s 8 K ii Faixa de Ajuste de K para Estabilidade Usase o critério de RouthHurwitz O polinômio característico do sistema é o denominador das funções de transferência s2 6s 8 K 0 A tabela de Routh é s2 1 8 K s1 6 0 s0 8 K Para estabilidade todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos 1 0 ok 6 0 ok 8 K 0 K 8 Portanto a faixa de ajuste de K para estabilidade é K 8 iii Y2t para K 3 Ũt Dt Ût 0 Sistema em Repouso K 3 Ũs 1s Transformada de Laplace do degrau unitário Ûs 0 Ĥ1s 1 s2 6s 11 Y2s Ĥ1s Ũs 1 ss2 6s 11 Para encontrar Y2t precisamos fazer a decomposição em frações parciais 1 ss2 6s 11 As Bs C s2 6s 11 Resolvendo para A B e C 1 As2 6s 11 Bs Cs 1 ABs2 6A Cs 11A A B 0 6A C 0 11A 1 A 111 B 111 C 611 Então Y2s 111s s11 611 s2 6s 11 Y2s 111s 111 s 6 s32 2 Y2s 111s 111 s3 3 s32 2 Y2s 111s 111 s3 s32 2 311 s32 2 Y2s 111s 111 s3 s32 2 3112 2 s32 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace Y2t 111 111e3tcos2t 3112e3tsin2t Y2t 111 1 e3tcos2t 32sin2t iv Y2t para K 3 Ũt Dt Ût 0 Y10 4 e Y20 0 Este é o caso mais complicado por causa da condição inicial em Y1 Precisamos avaliar a transformada de Laplace de S1 com a condição inicial S1 sY1s Y10 2Y1s U1s s 2Y1s U1s Y10 Y1s U1s Y10s2 U1s 4s2 S2 sY2s Y20 4Y2s U2s s4Y2s U2s Y2s U2ss4 Agora reutilizamos a análise anterior com Ũs 1s e Ûs 0 U1s Ũs KY2s 1s 3Y2s Y1s 1s 3Y2s 4s2 U2s Y1s 1s 3Y2s 4s2 Y2s U2s s 4 1s 3Y2s 4 s 2s 4 Y2s1 3s 2s 4 1s 4 s 2s 4 Y2s 1s 4 s 2s 4 3 1 4s ss2 6s 11 Y2s 4s 1 ss2 6s 11 Decompondo em frações parciais Y2s As Bs C s2 6s 11 4s 1 As2 6s 11 Bs Cs ABs2 6A Cs 11A A B 0 6A C 4 11A 1 A 111 B 111 C 4 6A 4 611 3811 Então Y2s 111 s s11 3811 s2 6s 11 Y2s 111 s 111 s 38 s32 2 Y2s 111 s 111 s3 41 s32 2 Y2s 111 s 111 s3s32 2 4111 s32 2 Y2s 111 s 111 s3s32 2 4111 2 2 s32 2 Transformando de volta para o domínio do tempo Y2t 111 111e3tcos2t 41112e3tsin2t Y2t 111 1 e3tcos2t 412e3tsin2t 2 i Funções de Transferência Transformada de Laplace dos blocos S1 e S2 S1 sY1s Y10 Y1s 2X1s s 1Y1s 2X1s Y1s 2X1s s 1 S2 sY2s Y20 2Y2s X2s s 2Y2s X2s Y2s X2s s 2 1 Transformada de Laplace do bloco S3 sY3s Y30 3Y3s sXs Xs s 3Y3s 1 s 1Xs Y3s s 1Xs 1 s 3 Definindo Xs Xs Y1s Y2s 2X1s s 1 X2s s 2 Calculando as funções de transferência para X1 e X2 individualmente Para X1 X2 0 Xs 2X1s s 1 Y3s s 1 2X1s s 1 1 s 3 2X1s 1 s 3 H1s Y3s X1s 2X1s 1 X1s s 3 Como X1s 12s H1s 2 12s 1 12s s 3 1s 1 s 3 2s H1s 2s1 s ss3 2s 1s 3 Para X2 X1 0 Xs X2s s 2 Y3s s 1 X2s s 2 1 s 3 H2s Y3s X2s s 1 X2s s 2 1 X2s s 3 Como X2s ess H2s s1esss2 1 esss3 H2s ess1 ss2 s3 es ss2s3 ss2es H2s ess1 ss2 s2s3es ii Determinar Y3t Como o sistema é linear podemos encontrar Y3s somando as respostas individuais às entradas X1s e X2s X1s 12s meio degrau X2s es s degrau unitário atrasado em 1 segundo Y3s 2s 1s 3 X1s ess1 ss2 s2s3es X2s Y3s 2s 1s 3 12s ess1 ss2 s2s3es es s Y3s s 1 ss 3 ess1 ss2 ss2s3 Y3s s 1s2 ess2 s2 2s ss2s3 A expressão para Y3s contém um termo de atraso es o que significa que a resposta no tempo terá uma parte que começa em t 0 e outra que começa em t 1 Para inverter precisamos expandir Y3s em frações parciais e usar a propriedade do atraso da transformada de Laplace Y3s 2s2 5s 2 ss2s3 s1 ss2s3 es y3t 16e3t1et1 2 et1 1² ut1 e3t1et1 1 ut1 5e3t et 1 13e3t et 1² et 2 2e3t2et 3 12 1 i Função de Transferência para Vc Transformada de Laplace condições iniciais nulas sC Vcs VcsR iLs sL iLs Es Vcs Isolando iLs na segunda equação iLs Es Vcs sL Substituindo iLs na primeira equação sC Vcs VcsR Es Vcs sL Vcs sC 1R 1sL Es sL Vcs s2LC sLR 1 Es Função de Transferência Hs Vcs Es 1 s2LC sLR 1 Hs 1 LCs2 sRC 1LC Hs 1LC s2 sRC 1LC ii Faixa de Ajuste de R para Resposta Estável Sem Oscilação Forma Geral de um Sistema de Segunda Ordem Hs ωn2 s2 2ζωn s ωn2 Comparando as equações ωn2 1LC ωn 1 LC 2ζωn 1RC ζ 12RCωn 12RC 1 LC LC 2R Condição para Sistema Superamortecido sem oscilação ζ 1 Calculando a faixa de R LC 2R 1 LC 2R R LC 2 2 i Funções de Transferência Transformada de Laplace dos blocos S1 e S2 S1 sY1s 2Y1s U1s Y1s U1s s 2 S2 sY2s 4Y2s U2s Y2s U2s s 4 Diagrama de Blocos em Laplace Y1s U1s Y2s s 2 Y2s Y1s U2s s 4 Calculando H1s Y2s U1s com U2s 0 Y1s U1s Y2s s 2 Y2s Y1s s 4 U1s Y2s s 2s 4 Y2s1 1s 2s 4 U1s s 2s 4 Y2s U1s s 2s 4 1 H1s Y2s U1s 1 s2 6s 9 1 s 32 Calculando H2s Y2s U2s com U1s 0 Y1s Y2s s 2 Y2s Y1s U2s s 4 Y2s s 2 U2s s 4 Y2s1 1s 2s 4 U2s s 4 Y2s U2s s2 s 2s 4 1 H2s Y2s U2s s 2 s2 6s 9 s 2 s 3 ii Determinando Y2t Transformada de Laplace das Entradas U1s 2s U2s es e3s s Superposição Y2s H1sU1s H2sU2s Y2s 1 s 32 2s s 2 s 32 es e3s s Y2s 2s s 32 s 2 s es e3s s 32 Precisamos inverter cada termo separadamente Termo 1 2s s 32 Decompondo em frações parciais 2 ss 32 As Bs3 Cs32 Resolvendo A 29 B 29 C 23 Invertendo 29 29e3t 23te3t Termo 2 s 2 s es s 32 Primeiro analisamos s 2 ss 32 Decompondo em frações parciais s 2 ss 32 As Bs3 Cs32 Resolvendo A 29 B 29 C 13 Invertendo 29 29e3t 13te3t Agora considerando o termo do atraso es Y22t 29 29e3t1 13t1e3t1 ut1 Termo 3 s 2 s e3s s 32 Análogo ao termo 2 mas com um atraso de 3 segundos Y23t 29 29e3t3 13t3e3t3 ut3 Somando as Respostas Y2t 29 29e3t 23te3t 29 29e3t1 13t1e3t1 ut1 29 29e3t3 13t3e3t3 ut3 3 i Determinando K que Estabiliza o Sistema Transformada de Laplace dos blocos H e G H sYHs 5YHs sUHs UHs YHs s1UHs s 5 Hs YHsUHs s1s5 G sYGs 3YGs UGs YGs UGs s 3 Gs YGsUGs 1s3 Diagrama de Blocos em Laplace UHs Refs Ys UGs K YHs Ps Ys Gs UGs Função de Transferência em Malha Fechada Ys Gs K Hs UHs Ps Ys Gs K Hs Refs Ys Ps Ys Gs K Hs Refs Gs K Hs Ys Gs Ps Ys 1 GsKHs GsKHsRefs GsPs Ys GsKHsRefs GsPs 1 GsKHs Polinômio Característico O denominador da função de transferência é o polinômio característico 1 GsKHs 0 1 K 1s3 s1s5 0 s3s5 Ks1 0 s2 8s 15 Ks K 0 s2 8 Ks 15 K 0 Critério de RouthHurwitz s2 1 15 K s1 8 K 0 s0 15K Para estabilidade 8 K 0 K 8 15 K 0 K 15 A condição mais restritiva é K 8 ii Resposta Yt para P Dt Ref 0 K 2 Função de Transferência com P e Ref Ys GsPs 1 GsKHs pois Ref 0 Ys 1s3 1 2 1s3 s1s5 1s Ys 1s3 s2 8s 15 2s 2 s3s5 1s Ys s5 ss2 10s 17 Decomposição em Frações Parciais s5 ss2 10s 17 As Bs C s2 10s 17 s 5 As2 10s 17 Bs Cs s 5 ABs2 10A Cs 17A A B 0 10A C 1 17A 5 A 517 B 517 C 1 10A 1 5017 3317 Calculando a inversa de Laplace Ys 517s 517 s 3317 s2 10s 17 Ys 517s 517 s 3317 s52 8 Ys 517s 517 s 5 817s52 8 Yt 517 517e5tcosh8t 8178 e5tsinh8t Yt 517 517e5tcosh22t 217 e5tsinh22t iii Função de Transferência para Reft e Saída Yt Função de Transferência com Ref e P 0 Ys GsKHsRefs 1 GsKHs Ys Refs K 1s3 s1s5 1 K 1s3 s1s5 Ys Refs Ks1 s3s5 Ks1 Ys Refs Ks1 s2 8s 15 Ks K Ys Refs Ks1 s2 8Ks 15K Questões P2 i Função de Transferência Hs Análise da Resposta ao Degrau Overshoot Indica que o sistema é subamortecido 0 ζ 1 Valor Final O valor final da resposta ao degrau é 1 o que sugere que Hs tem ganho DC de 1 Tempo de Acomodação ta 1 É o tempo necessário para a resposta se manter dentro de 1 do valor final Nos sistemas de segunda ordem ta 4 ζωn onde ζ é o fator de amortecimento e ωn é a frequência natural não amortecida Função de Transferência de Segunda Ordem Uma função de transferência de segunda ordem que descreve o comportamento subamortecido é Hs ωn2 s2 2ζωn s ωn2 Para garantir que o ganho DC seja 1 o numerador é simplesmente ωn2 Estimando ζ e ωn 2 4 ζωn ζωn 2 Overshoot Mp Vamos estimar o overshoot pelo gráfico que parece ser cerca de 20 valor máximo de 12 Mp expπζ 1 ζ 2 02 expπζ 1 ζ 2 ln02 πζ 1 ζ 2 161 πζ 1 ζ 2 1612 π 2 ζ2 1 ζ2 2591 ζ2 987 ζ 2 259 1246 ζ 2 ζ2 0208 ζ 0456 Calculando ωn ζωn 2 ωn 2 0456 438 Função de Transferência Hs Proposta Hs 4382 s2 2 0456 438 s 4382 Hs 1918 s2 4s 1918 ii Esboçando a Resposta ao Degrau em Malha Fechada K 4 Função de Transferência em Malha Fechada Ts K Hs 1 K Hs Ts 4 1918 s2 4s 1918 1 4 1918 s2 4s 1918 Ts 7672 s2 4s 1918 7672 Ts 7672 s2 4s 959 Análise da Função de Transferência em Malha Fechada ωn novo 959 979 ζ novo 2ζωn 4 ζ 2 979 0204 Características da Resposta ao Degrau Ganho DC O ganho DC é 1 lim s0 Ts 7672959 10 Overshoot O novo ζ é menor então o overshoot será maior Mp expπζ 1 ζ 2 e π 0204 1 02042 e 064 0979 e 0653 052 O overshoot esperado é de cerca de 52 então o valor máximo será por volta de 152 Tempo de Acomodação O novo ωn é maior então o tempo de acomodação será menor ta 4 ζωn 4 2 2 O tempo de acomodação é aproximadamente o mesmo Q2 i Determinando as Funções de Transferência HRY e HPY Diagrama de Blocos em Laplace Es Rs Hffs Ys Us Es Hfbs Ps Ys Us Hs Calculando HRY Ys Rs com Ps 0 Ys Hs Hfbs Hffs Rs Ys Ys Hs Hfbs Hffs Rs Hs Hfbs Ys Ys 1 HsHfbs HsHfbsHffsRs HRY Ys Rs HsHfbsHffs 1 HsHfbs HRY 1s2 2s6s4 3s32s6 1 1s2 2s6s4 HRY 3s3 s2s4 1 2s6 s2s4 HRY 3s3 s2s4 2s6 HRY 3s3 s2 6s 8 2s 12 HRYs 3s3 s2 8s 20 Calculando HPY Ys Ps com Rs 0 Ys Hs Hfbs Hffs Rs Ys Ps Ys Hs Hfbs Ys Ps Ys HsHfbs Ys Hs Ps HPY Ys Ps Hs 1 HsHfbs HPY 1s2 1 1s2 2s6s4 HPY 1s2 s2s4 2s6 s2s4 HPY s4 s2s4 2s6 HPYs s4 s2 8s 20 ii Determinando Yt para Rt 2Dt2 P 0 Transformada de Laplace de Rt Rt 2Dt2 Rs 2e2s s Ys com Ps 0 Ys HRYs Rs 3s3 s2 8s 20 2e2s s Ys 6s3e2s ss2 8s 20 Inversão de Laplace Ys 6 s3 s s2 8s 20 Decompondo em frações parciais s3 ss2 8s 20 As Bs C s2 8s 20 s3 A s2 8s 20 sBs C A B 0 8A C 1 20A 3 A 320 A 320 B 320 C 1420 710 Ys 6 e2s 320 s 320 s 710 s2 8s 20 Vamos examinar 320 s 710 s2 8s 20 320 s 1420 s42 4 320s4 210 s42 4 Ys 6 e2s 320 s 320 s4 s42 4 210 1 s42 4 yt 6 ut2 320 320 e4t cos2t 220 e4t sin2t 310 ut2 1 e4t cos2t 4 sin2t iii Diferenças entre as Respostas ao Degrau em P e R Funções de Transferência HRYs 3s3 s2 8s 20 HPYs s4 s2 8s 20 Polos Os polos do sistema são os mesmos para ambas as funções de transferência raízes de s2 8s 20 0 Isso significa que a estabilidade e o modo de resposta amortecimento oscilação serão os mesmos Zeros As funções de transferência têm zeros diferentes HRY tem um zero em s 3 enquanto HPY tem um zero em s 4 A presença de zeros pode afetar a rapidez da resposta e o overshoot Velocidade Em geral um sistema com um zero mais próximo do eixo imaginário menor magnitude tende a ter uma resposta mais rápida mas também pode apresentar maior overshoot Portanto é difícil dizer qual resposta é mais rápida sem uma análise mais detalhada ou simulações iv Rejeição de Perturbações e Erro Nulo para Degrau Para rejeitar perturbações do tipo degrau o sistema deve ter um integrador na malha de controle No entanto as funções de transferência dadas não possuem integradores termos 1s Portanto o sistema não consegue rejeitar completamente perturbações do tipo degrau Haverá um erro em regime permanente Para seguir a referência do tipo degrau com erro nulo o ganho DC da função de transferência em malha fechada HRY deve ser igual a 1 HRYs 3s3 s2 8s 20 Ganho DC s0 HRY0 3 3 20 920 d 1 Portanto o sistema não segue a referência do tipo degrau com erro nulo Haverá um erro em regime permanente Q3 i Determinar Yt para Pt Dt2 R 0 Diagrama de Blocos em Laplace Es Rs Hffs Ys Us Es C Ps Ys Us Hs Ys com Rs 0 Ys Hs C Ys Ps Ys Hs Ps Hs C Ys Ys 1 HsC HsPs Ys HsPs 1 HsC Pt Dt2 Ps e2s s Ys 1 ss 4 e2s s 1 1 ss 4 20 Ys e2s s2s 4 s2 4s 20 ss 4 Ys e2s ss2 4s 20 Decompondo em frações parciais 1 ss2 4s 20 As Bs C s2 4s 20 1 As2 4s 20 Bs Cs 1 ABs2 4ACs 20A A B 0 4A C 0 20A 1 A 120 B 120 C 4A 420 15 s2 4s 20 s22 42 Ys e2s 120s s20 15 s2 4s 20 Ys e2s 120s s20 15 s22 16 Ys e2s 120s 120s2s22 16 420 4s22 16 yt ut2 120 120 e2t cos 4t 15 e2t sin4t ii Determinar se o Sistema Segue R do Tipo Degrau e Rejeita P do Tipo Degrau Para seguir a referência do tipo degrau com erro nulo o ganho DC da função de transferência em malha fechada HRY deve ser igual a 1 Ys Hs Hff c R Y H C R 1 HC HRY 1s4 s 20 s100 20s100 ss4 O sistema é capaz de rastrear um degrau de magnitude finita em R com erro zero Para rejeitar perturbações do tipo degrau o sistema consegue rejeitar completamente P pois há um integrador Q4 Função de Transferência FTGs Vcs Es 1 s2LC sRC 1 Fator de Amortecimento ζ R2 LC Frequência Natural ωn 1 LC Condição para Sobreamortecimento Sem Sobressinal ζ 1 Faixa de Valores de R para Sobreamortecimento R 2 LC ii Influência de C na Resposta ao Degrau do Sistema Para entender completamente a influência de C vamos analisar como as principais características da resposta ao degrau são afetadas Frequência Natural ωn ωn 1 LC Aumentar C diminui a frequência natural ωn Uma frequência natural menor significa que o sistema responderá mais lentamente a mudanças na entrada resposta mais lenta Fator de Amortecimento ζ ζ R2 LC Aumentar C diminui o fator de amortecimento ζ Um fator de amortecimento menor significa que o sistema terá menos amortecimento resultando em maior tendência a oscilações maior overshoot se o sistema for subamortecido e maior tempo de acomodação Se R 2 LC ζ 1 Sobreamortecida sem oscilações Se R 2 LC ζ 1 Criticamente Amortecida resposta mais rápida sem oscilações Se R 2 LC ζ 1 Subamortecida oscilações presentes Análise da Resposta ao Degrau em Diferentes Casos Caso 1 Sistema Sobreamortecido R é grande ζ 1 Aumentar C torna a resposta ainda mais lenta mas não causa oscilações A resposta se aproxima do valor final de forma gradual sem overshoot Caso 2 Sistema Criticamente Amortecido R 2 LC ζ 1 Aumentar C torna a resposta mais lenta e pode levar o sistema a se tornar subamortecido se R não for ajustado para compensar Caso 3 Sistema Subamortecido R é pequeno ζ 1 Aumentar C torna a resposta mais oscilatória aumenta o overshoot e o tempo de acomodação 5 i Funções de Transferência Es Urefs Hffs Ys Us Es Hcs Pls Ys Us Hs Função de Transferência da Referência HYUrefs Ys Hcs Hffs Urefs Ys Pls Hs Com Pls 0 Ys Hcs Hffs Hs Urefs Hcs Hs Ys Ys 1 Hcs Hs Hcs Hffs Hs Urefs HYUrefs Ys Urefs Hcs Hffs Hs 1 Hcs Hs Substituindo HYUrefs s 10 2s 5s 2 s 10 10 s 20 1 s 10 2s 10 s 20 HYUrefs 5s 2 10 2ss 20 2ss 20 10s 10 2ss 20 HYUrefs 50s 2 2s2 40s 10s 100 HYUrefs 25s 2 s2 25s 50 1 Função de Transferência da Perturbação HYPls Ys Hcs Hffs Urefs Ys Pls Hs Com Urefs 0 Ys Hcs Ys Hs Pls Hs Ys 1 Hcs Hs Pls Hs HYPls Ys Pls Hs 1 Hcs Hs Substituindo HYPls 10 s 20 1 s 10 2s 10 s 20 HYPls 10 s 20 2ss 20 10s 10 2ss 20 HYPls 20s 2s2 40s 10s 100 HYPls 10s s2 25s 50 ii Análise sobre Seguir Referência e Rejeitar Perturbação O ganho DC da função de transferência da referência deve ser 1 HYUrefs 25s 2 s2 25s 50 Ganho DC s 0 HYUref0 25 2 50 50 50 1 O sistema segue a referência do tipo degrau com erro nulo 1 Rejeita Perturbação do Tipo Degrau Um integrador na malha que a perturbação encontra é necessário HYPls 10s s2 25s 50 A função possui um zero em s0 proveniente do integrador Hcs Analisando o valor final para uma entrada degrau unitário Pls 1s Ys HYPls Pls 10s s2 25s 50 1s Ys 10 s2 25s 50 Valor final lim s0 sYs lim s0 s 10 s2 25s 50 0 O sistema rejeita a perturbação do tipo degrau iii Determinar Yt para Pl 0 e UREF 2Dt 1 Esboce a Curva Yt Transformada de Laplace de UREF UREFt 2Dt 1 UREFs 2es s Ys com Pls 0 Ys HYUrefs UREFs 25s 2 s2 25s 50 2es s Ys 50s 2es ss2 25s 50 Para inverter decompomos em frações parciais s 2 ss2 25s 50 As Bs C s2 25s 50 s 2 As2 25s 50 Bs Cs s 2 A Bs2 25A Cs 50A Resolvendo o sistema de equações A B 0 25A C 1 50A 2 A 125 B 125 C 1 25A 1 2525 0 Então Ys 50 es 125 s s25 s2 25s 50 Ys 2 es 1s s s2 25s 50 Ys 2 es 1s s s 1252 10625 Ys 2 es 1s s 125 125 s 1252 10625 Ys 2 es 1s s 125 s 1252 10312 125 11031 1031 s 1252 10312 6 i Ajuste de Ki para Sobressinal de 10 e Tempo de Acomodação Função de Transferência em Malha Fechada Sem Perturbação Ys CsBsRefs 1 CsBs Ts Ys Refs CsBs 1 CsBs Substituindo Cs e Bs Ts Kis 2 s 10 1 Kis 2 s 10 Ts 2Ki ss 10 ss 10 2Ki ss 10 Ts 2Ki s2 10s 2Ki Análise da Função de Transferência de Segunda Ordem Ts ωn2 s2 2ζωn s ωn2 Comparando com a nossa função de transferência ωn2 2Ki ωn 2Ki 2ζωn 10 ζ 10 2ωn 5 ωn 5 2Ki Relacionando Sobressinal Overshoot com o Fator de Amortecimento ζ Sobressinal Mp 10 01 Mp expπζ 1 ζ 2 01 expπζ 1 ζ 2 ln01 πζ 1 ζ 2 2303 πζ 1 ζ 2 2303 πζ 1 ζ 2 ζ 1 ζ 2 2303 π 0733 ζ2 05371 ζ 2 1537ζ2 0537 ζ2 035 ζ 0592 Calculando Ki ζ 5 2Ki 0592 5 2Ki 2Ki 5 0592 8446 2Ki 7134 Ki 3567 Tempo de Acomodação ta de 1 ta 46 ζωn 46 ζ 2Ki ta 46 0592 2 3567 ta 46 0592 8446 ta 46 4999 092 s ii É Possível Atingir um Tempo de Acomodação Menor Ajustando Ki A relação entre o tempo de acomodação e Ki é ta 46 ζ 2Ki ta 46 5 2Ki 2Ki ta 46 5 092 Portanto não é possível obter um tempo de acomodação melhor 7 i Determinando Yt para Up 2Dt 1 e UREF 0 Diagrama de Blocos em Laplace Es Urefs Hffs Ys Us Es Hfbs Ups Ys Us Hs Função de Transferência para Ys com UREF 0 Quando UREF 0 temos Es Ys Us Ys Hfbs Ups Ys Ys Hfbs Ups Hs Ys Ys Hfbs Hs Ups Hs Ys Ups Hs 1 Hfbs Hs Substituindo as Funções de Transferência Conhecidas Upt 2Dt 1 Ups 2es s Hs 1 s 8 Hfbs 41 s Ys 2es s 1 s 8 1 41 s 1 s 8 Ys 2es ss 8 ss 8 41 ss 8 Ys 2es s2 8s 41 Para inverter completamos o quadrado no denominador s2 8s 41 s2 8s 16 25 s 42 52 Agora temos Ys 2es s 42 52 Usando a transformada inversa de Laplace L1a s b2 w2 aw ebt sinwt Portanto Yt 25 e4t 1 sin5t 1 ut 1 ii Resposta ao Degrau em UREF Up 0 Função de Transferência com UREF Encontrando a função de transferência YsUrefs Es Urefs Hffs Ys Us Es Hfbs Ups Ys Hs Us Com Ups 0 Ys Hs Hfbs Hffs Urefs Ys Ys Hs Hfbs Hffs Urefs Hs Hfbs Ys Ys 1 Hs Hfbs Hs Hfbs Hffs Urefs Função de Transferência HYUrefs Ys Urefs Hs Hfbs Hffs 1 Hs Hfbs Substituindo as Funções de Transferência HYUrefs 1 s 8 41 s 2s 1 s 2 1 1 s 8 41 s HYUrefs 82s 1 ss 2s 8 ss 8 41 ss 8 HYUrefs 82s 1 s 2s2 8s 41 8 Modelo iL C dVcdt VcR L diLdt E Vc Entrada E tensão da fonte Saída Vc tensão no capacitor Função de Transferência Hs Vcs Es 1 s2LC sRC 1 Hs 1LC s2 RLs 1LC Parâmetros Importantes Frequência Natural ωn ωn 1 LC Fator de Amortecimento ζ ζ R2 LC Efeitos dos Parâmetros Resistência R o Influência no Fator de Amortecimento ζ R aumenta ζ o Efeito na Resposta R baixo ζ 1 Sistema subamortecido resposta oscilatória com overshoot e undershoot R 2 LC ζ 1 Sistema criticamente amortecido resposta mais rápida sem oscilações R alto ζ 1 Sistema sobreamortecido resposta lenta sem oscilações R controla o amortecimento Aumentar R torna a resposta menos oscilatória e mais lenta se já não for sobreamortecida Indutância L o Influência na Frequência Natural ωn L aumenta ωn diminui o Influência no Fator de Amortecimento ζ L aumenta ζ aumenta o Efeito na Resposta L baixo Sistema com resposta mais rápida maior ωn mas pode ser mais oscilatória menor ζ se R não for alto L alto Sistema com resposta mais lenta menor ωn e pode ser mais amortecida maior ζ tornandoa menos propensa a oscilações Conclusão L afeta a velocidade da resposta e a tendência a oscilações Aumentar L torna a resposta mais lenta e tende a reduzir as oscilações aumentando ζ Capacitância C o Influência na Frequência Natural ωn C aumenta ωn diminui o Influência no Fator de Amortecimento ζ C aumenta ζ diminui o Efeito na Resposta C baixo Sistema com resposta mais rápida maior ωn mas pode ser mais oscilatória maior ζ se R não for alto C alto Sistema com resposta mais lenta menor ωn e pode ser mais amortecida menor ζ aumentando a propensão a oscilações C afeta a velocidade da resposta e a tendência a oscilações Aumentar C torna a resposta mais lenta e aumenta a propensão a oscilações diminuindo ζ 9 i Faixa de Ajuste de Kp que Estabiliza o Sistema Função de Transferência em Malha Fechada Ts C H 1 C H Kp s2 10s 12 1 Kp s2 10s 12 Ts Kp s2 10s 12 Kp Polinômio Característico s2 10s Kp 12 0 Critério de RouthHurwitz s2 1 Kp 12 s1 10 0 s0 Kp 12 Para estabilidade 1 0 Ok 10 0 Ok Kp 12 0 Kp 12 Portanto a faixa de ajuste para estabilidade é Kp 12 ii Ajuste de Kp para que o Sistema Tenha um Sobressinal de 15 Forma Geral do Sistema de Segunda Ordem Ts ωn2 s2 2ζωn s ωn2 Comparando com a função de transferência ωn2 Kp 12 ωn Kp 12 2ζωn 10 ζ 5 ωn 5 Kp 12 Relacionando Sobressinal Mp com o Fator de Amortecimento ζ Mp 15 015 Mp eπζ 1 ζ2 015 eπζ 1 ζ2 ln015 πζ 1 ζ 2 1897 πζ 1 ζ 2 ζ 1 ζ 2 1897 π 0604 ζ2 1 ζ2 0365 ζ2 0365 0365ζ 2 1365ζ2 0365 ζ 0517 Calculando Kp ζ 5 Kp 12 0517 5 Kp 12 Kp 12 5 0517 967 Kp 1055 iii Determinação do Tempo de Subida e Tempo de Acomodação Usando as Aproximações Tempo de Subida Tr Tr π ωn 1 ζ 2 Tempo de Acomodação ta 1 ta 46 ζωn Valores Conhecidos Kp 1055 ωn Kp 12 1055 12 967 ζ 0517 Calculando Tr e ta Tr π 967 1 0517 2 π 967 0733 π 827 038 s ta 46 0517 967 46 50 092 s iv Ajuste de Kp para um Tempo de Acomodação de 1 Igual a 08s ta 46 ζωn 08 Kp 327 Lista 1 1 a A função transferência de S1 é H1s 1s2 A função transferência de S2 é H2s 1s4 Assim a resposta ao impulso de S1 é h1t e2t t0 Igualmente a resposta ao impulso de S2 é h2t e4t t0 b Precisamos simplificar o diagrama de blocos para encontrar a relação entre U1t e Y2t Analisando o diagrama podemos ver que U2 Y1 KY2 Y2 H2s U2 Substituindo U2 temos Y2 H2s Y1 KY2 Y2 H2s H1s U1 KY2 Y21 KH2s H1s H2s U1 Y2U1 H1sH2s 1KH2s Y2U1 1s2s413s4 Y2U1 1s2s4 3s2 Y2U1 1s26s5 1s5s1 Como U1t δt sua transformada de Laplace é U1s 1 Portanto Y2s 1s5s1 1 Y2s 1s5s1 Para encontrar a transformada inversa de Laplace decompomos Y2s em frações parciais 1s5s1 As5 Bs1 1 As1 Bs5 Para s 1 1 B4 B 14 Para s 5 1 A4 A 14 Y2s 14s5 14s1 Aplicando a transformada inversa encontramos Y2t Y2t 14e5t 14et para t0 c Vamos aplicar a Transformada de Laplace nas equações dos blocos S1 e S2 incluindo as condições iniciais S1 Y1 2Y1 U1 sY1s Y10 2Y1s U1s s 2Y1s 4 U1s Y1s U1s 4 s 2 S2 Y2 4Y2 U2 sY2s Y20 4Y2s U2s s 4Y2s 0 U2s Y2s U2s s 4 U2 Y1 K Y2 U1 δt U1s 1 U2 0 Substituindo U2 0 na equação de Y2s Y2s 0 s 4 0 Agora vamos voltar para a equação de U2 U2 Y1 K Y2 0 Y1 3 Y2 0 Y1 3 Y2 Substituindo Y1 na equação da Transformada de Laplace de S1 Y1s U1s 4 s 2 3Y2s 1 4 s 2 Y2s 5 3s 2 Aplicando a Transformada Inversa de Laplace Y2t 53 e2t para t 0 2 Para analisar a estabilidade do sistema aplicamos a transformada de Laplace nas equações C sVcs Vc0 VcsR ILs L sILs IL0 Es Vcs Considerando condições iniciais nulas Vc0 0 e IL0 0 para simplificar a análise de estabilidade podemos reescrever as equações como C sVcs VcsR ILs L sILs Es Vcs Agora isolamos ILs na primeira equação ILs C sVcs VcsR Vcs Cs 1R Substituímos ILs na segunda equação L s Vcs Cs 1R Es Vcs Vcs LCs² LsR 1 Es Portanto a função de transferência Hs VcsEs é Hs 1 LCs² LsR 1 A estabilidade do sistema é determinada pelas raízes do denominador da função de transferência ou seja as raízes da equação característica LCs² LsR 1 0 Para um sistema de segunda ordem a forma geral da equação característica é s² 2ζωn s ωn² 0 Onde ζ é o fator de amortecimento ωn é a frequência natural não amortecida Dividindo a equação característica do sistema por LC obtemos s² sRC 1LC 0 Comparando as duas equações temos ωn² 1LC ωn 1 LC 2ζωn 1RC Portanto ζ 1 2RCωn 1 2RC 1 LC LC 2R Para que o sistema seja estável e não apresente oscilações o fator de amortecimento ζ deve ser maior ou igual a 1 ζ 1 o que corresponde ao caso de sobreamortecimento ou amortecimento crítico Se 0 ζ 1 o sistema é subamortecido e oscila Assim temos LC 2R 1 LC 2R R LC 2 Portanto a faixa de ajuste de R para garantir uma resposta estável sem oscilação é 0 R LC 2 3 Para verificar a linearidade precisamos testar duas propriedades Homogeneidade Escalabilidade Se a entrada for multiplicada por uma constante a saída deve ser multiplicada pela mesma constante Superposição Aditividade A resposta à soma de duas entradas deve ser igual à soma das respostas individuais a cada entrada Se aplicarmos uma entrada kI onde k é uma constante as equações se tornam kI VcR IL C dVcdt L dILdt Vc 1 Onde Vc e IL são as novas saída e corrente respectivamente Para o sistema ser homogêneo Vc deve ser igual a kVc e IL deve ser igual a kIL No entanto a segunda equação L dILdt Vc 1 mostra que isso não é verdade A presença do termo constante 1 impede a escalabilidade da saída Consideremos duas entradas I1 e I2 com saídas correspondentes Vc1 IL1 e Vc2 IL2 respectivamente Se aplicarmos a entrada I1 I2 as equações se tornam I1 I2 VcR IL C dVcdt L dILdt Vc 1 Onde Vc e IL são as novas saída e corrente respectivamente Para o sistema obedecer ao princípio da superposição Vc deve ser igual a Vc1 Vc2 e IL deve ser igual a IL1 IL2 Novamente a segunda equação impede que isso aconteça devido ao termo constante 1 Assim devido à presença do termo constante 1 na segunda equação o sistema não é linear Ele falha tanto no teste da homogeneidade quanto no teste da superposição A afirmação de que a resposta total seria dada por ht E convolução da resposta ao impulso com a entrada só é válida para sistemas lineares e invariantes no tempo Como o sistema não é linear a convolução da resposta ao impulso com a entrada não representa a resposta total do sistema 4 Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada bloco e às entradas S1 sY1s Y10 Y1s 2X1s s1Y1s 2X1s Y1s 2X1s s1 S2 sY2s Y20 2Y2s X2s s2Y2s X2s Y2s X2s s2 S3 sY3s Y30 3Y3s X1s X2s s3Y3s 1 X1s X2s s3Y3s X1s X2s 1 Y3s X1s X2s 1 s3 X1s 12 1 12 X2s es Agora vamos substituir X1s e X2s na equação de Y3s Y3s 12 es 1 s3 Y3s es 32 s3 Y3s es s3 32 s3 Agora precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de Y3s L11sa eat L1Fseas ftauta onde ut é a função degrau unitário Aplicando a transformada inversa Y3t et1 ut1 32 e3t 5 Primeiro encontramos a função de transferência Hs do bloco S Aplicando a Transformada de Laplace considerando condições iniciais nulas na equação Y 3Y 4Y X obtemos s³Ys 3sYs 4Ys Xs Ys s³ 3s 4 Xs Hs Ys Xs 1 s³ 3s 4 Analisando o diagrama de blocos vemos que temos um sistema de realimentação negativa A função de transferência de malha fechada Gs é dada por Gs K Hs 1 K Hs Gs K s³ 3s 4 K Gs K s³ 3s K 4 A estabilidade do sistema é determinada pelas raízes do polinômio característico que é o denominador da função de transferência de malha fechada s³ 3s K 4 0 Para analisar a estabilidade podemos usar o critério de RouthHurwitz Montamos a tabela de Routh s³ 1 3 s² K 4 s¹ 3 K 4 0 s⁰ K 4 Para garantir a estabilidade todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ter o mesmo sinal nesse caso positivo Para que o sistema não oscile não haja polos no semiplano imaginário é preciso que a linha 1 seja maior que 0 K 4 0 K 4 3 K 4 0 K 3 4 Assim K está sempre limitado 6 Para determinar se o sistema é linear precisamos verificar se ele satisfaz os princípios da homogeneidade escalabilidade e da superposição aditividade S1 e S2 Lineares As equações diferenciais que descrevem S1 e S2 são lineares e invariantes no tempo Portanto esses blocos individualmente são lineares o Y1 Y1 X1 Linear o Y2 2Y2 X2 Linear S3 Não Linear O bloco S3 é um limitador saturador A relação entre a entrada e a saída de um limitador não é linear A saída é limitada a um determinado valor máximo eou mínimo independentemente do valor da entrada Como o sistema é composto por blocos em cascata a não linearidade de um bloco torna o sistema não linear Para comprovar vamos analisar o teste da homogeneidade escalabilidade Se aplicarmos uma entrada X multiplicada por uma constante k kX ao sistema a saída Y também deve ser multiplicada por k kY para que o sistema seja linear O bloco S1 produziria uma saída kY1 pois é linear O bloco S2 receberia kY1 como entrada e produziria kY2 pois também é linear O bloco S3 no entanto não produziria necessariamente kY se a entrada kY2 excedesse os limites do limitador A saída de S3 seria limitada aos valores máximos ou mínimos independentemente do valor de kY2 Como o bloco S3 o limitador introduz uma não linearidade o sistema como um todo não é linear Mesmo que S1 e S2 sejam lineares a presença do limitador quebra o princípio da homogeneidade escalabilidade e o princípio da superposição aditividade para certas faixas de entrada Um sistema composto por blocos em cascata só é linear se todos os blocos forem lineares 7 O diagrama representa um sistema de controle com realimentação negativa A entrada do bloco S Us é a diferença entre a entrada U e a saída Y multiplicada por um ganho de 2 mais um ganho de 3 Assim Us U 2Y 3 O objetivo é encontrar uma relação entre a entrada U e a saída Y Para isso podemos combinar as equações Ys 2Ys Us U 2Y 3 Ys 2Ys 2Y U 3 Para verificar a linearidade vamos aplicar a Transformada de Laplace com condições iniciais nulas Ys0 0 sYss 2Yss 2Ys Us 3s Ysss 2 2Ys Us 3s Esta expressão ainda não está na forma de uma função de transferência YsUs pois temos o termo Ys que não vem de Yss Precisamos voltar à equação original para fazer as devidas alterações Ys 2Ys Us U 2Y 3 A equação Ys 2Ys 2Y U 3 já demonstra que o sistema não é linear Um sistema linear é caracterizado por sua resposta à soma ou escala de sinais e neste sistema podemos ver que temos um termo constante 3 somado à entrada Isto significa que mesmo se a entrada for zero a saída não será zero a menos que outras condições sejam atendidas Podemos reescrever a equação como Ys U 2Y 3 2Ys Como Ys depende de uma constante as propriedades de homogeneidade e superposição não serão atendidas Assim o sistema não é linear A presença do termo constante 3 na equação Ys 2Ys 2Y U 3 viola o princípio da homogeneidade escalabilidade Se U 0 Y não será necessariamente zero A saída terá um deslocamento devido a este termo constante 8 Escrevendo as funções de transferência dos blocos H1s Y1s U1s 1 s 2 H2s Y2s U2s 1 s 4 Para calcular a transformada de Laplace de U1t podemos escrevê la como U1t 2ut ut1 onde ut é a função degrau unitário Então U1s 2 1s ess 21 ess Similarmente U2t 1ut ut3 Então U2s 1 e3ss Y1s H1s U1s 1 s 2 21 ess 21 es ss 2 Y2s H2s U2s 1 s 4 1 e3ss 1 e3s ss 4 Decompondo Y1s e Y2s em frações parciais para facilitar a transformada inversa de Laplace Para Y1s 21 es ss 2 2 ss 2 As Bs2 2 As 2 Bs s 0 2 2A A 1 s 2 2 2B B 1 Então Y1s 1 es 1s 1s2 1s 1s2 ess ess2 Para Y2s 1 e3s ss 4 1 ss 4 As Bs4 1 As 4 Bs s 0 1 4A A 14 s 4 1 4B B 14 Então Y2s 1 e3s 14s 14s4 14s 14s4 e3s4s e 3s4s4 Aplicando a transformada inversa de Laplace Y1t L1Y1s 1 e2t ut1 e2t1ut1 1 e2t ut11 e2t1 Y2t 14 14e4t14ut314e4t3ut3 141e4tut3e4t3ut 3 Assim obtemos Y1t 1 e2t ut11 e2t1 Y2t 14 1 e4t ut3 e4t3ut3 9 Avaliando a resposta a um degrau unitário na perturbação P Dt Ref 0 Hs YHs UHs Us 1 s 5 Gs YGs UGs 1 s² 3 Como Ref 0 o sinal que entra em H é Ys Ps UHs Ys Ps O sinal que entra em G é K YHs UGs K YHs 2 YHs Ys YGs YHs Ps Ys s 5 Ys YGs Gs UGs Gs 2 YHs 1 s² 3 2 YHs Substituindo YHs Ys 2 s² 3 Ps Ys s 5 Ys s² 3s 5 2Ps Ys Ys s² 3s 5 2 2Ps Ys Ps 2 s² 3s 5 2 2 s³ 5s² 3s 15 2 Ys Ps 2 s³ 5s² 3s 17 Como Pt Dt degrau unitário Ps 1s Ys 2 s³ 5s² 3s 17 1s 2 ss³ 5s² 3s 17 A obtenção da transformada inversa de Laplace de Ys é complexa devido ao polinômio de grau 3 no denominador sendo requerido o uso de algum programa de simulação ou técnica numérica Para obter a resposta ao impulso para a entrada Reft UHs Refs Ys YHs Refs Ys s 5 Ys 2 s² 3 Refs Ys s 5 Ys s² 3s 5 2Refs Ys Ys s² 3s 5 2 2Refs Ys Refs 2 s³ 5s² 3s 17 Como Reft é um impulso Refs 1 Ys 2 s³ 5s² 3s 17 1 2 s³ 5s² 3s 17 Assim como no item anterior encontrar a transformada inversa de Laplace de Ys é complexo devido ao polinômio de grau 3 no denominador Precisaríamos de métodos numéricos ou softwares de cálculo simbólico 10 A questão é bastante similar à Questão 2 mas agora o objetivo é encontrar a faixa de variação da indutância L dados R e C A função de transferência Hs Vcs Es é Hs 1 LCs² LsR 1 A equação característica é LCs² LsR 1 0 Dividindo por LC s² sRC 1LC 0 Comparando com a forma geral s² 2ζωn s ωn² 0 ωn² 1LC 2ζωn 1RC ζ LC 2R Para que o sistema seja estável e não apresente oscilações o fator de amortecimento ζ deve ser maior ou igual a 1 LC 2R 1 LC 2R LC 4R² L 4R²C L 4 10 10³² 10 10⁶ 4000 H 11 S1 H1s Y1s Us 1 s 2 S2 H2s Y2s Us 1 s² 4s 5 1 s 5s 1 O sinal que entra em S1 é U3 KY2 Y1 H1 U3 KY2 O sinal que entra em S2 é Y1 Y2 H2 Y1 H2 H1 U3 KY2 Y2 H1 H2 U3 H1 H2 K Y2 Y21H1 H2 K H1 H2 U3 Y2U3 H1 H21H1 H2 K Substituindo H1 e H2 Y2U3 1s 2s 5s11Ks 2s 5s1 Y2U3 1s3 6s2 3s 10 K polos s³ 6s2 3s 10 K 0 1 Critério de RouthHurwitz Montando a tabela de Routh s³ 1 3 s² 6 10 K s¹ 18 10 K6 0 s⁰ 10 K 0 Para que o sistema seja estável é necessário que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos 10 K 0 K 10 18 10 K6 0 28 K 0 28 K Assim 10 K 28 12 S1 H1s Y1s Us 1 s 2 S2 H2s Y2s Us 1 s 2 O sinal que entra em S1 é U1 Y2 Ys1 H1 U1 Y2 O sinal que entra em S2 é U2 K Ys1 Y2 H2 U2 K Ys1 Ys1 Y1 pois a entrada de S1 é igual à entrada de S2 Precisamos encontrar uma expressão para Y2s em termos de U1s e U2s Ys1 Y1 H1 U1 Y2 U1 Y2 s 2 Y2 H2 U2 K Y1 1 s 2 U2 5 U1 Y2 s 2 Y2s22 U2s2 5 U1 Y2 Y2s225Y2 U2s2 5 U1 Y2 U2s2 5 U1s22 5 Y2 U2s2 5 U1s24s9 U1t Dt U1s 1s U2t 2Dt U2s 2s Substituindo U1s e U2s na expressão de Y2s Y2s 2ss 2 51s s² 4s 9 Y2s 2s 4 5 ss² 4s 9 Y2s 2s 9 ss² 4s 9 Decompondo Y2s em frações parciais 2s 9 ss² 4s 9 As Bs C s² 4s 9 2s 9 As² 4s 9 Bs Cs 2s 9 As² 4As 9A Bs² Cs 2s 9 A Bs² 4A Cs 9A Comparando os coeficientes A B 0 B A 4A C 2 C 2 4A 9A 9 A 1 Então A 1 B 1 C 2 41 2 Portanto Y2s 1s s 2 s² 4s 9 Y2s 1s s 2 s² 4s 9 Vamos completar o quadrado no denominador s² 4s 9 s² 4s 4 5 s 2² 5 Y2s 1s s 2 s 2² 5 Aplicando a transformada inversa de Laplace L11s 1 L1s a s a² ω² eat cosωt Portanto Y2t 1 e2t cos 5 t O resultado é a soma da condição inicial com o resultado encontrado Y2t 1 1 e2t cos 5 t Y2t 2 e2t cos 5 t Lista 5 1 i Elaborase o projeto com Kf 5 gama 025 beta 05 e C 016 Hs 20 s 10s 1 h 005 s Discretização da Planta Hs Hz 00483z 00467 z 2 16065z 06065 Função de Transferência do Controlador de Avanço Hffz Com os valores dados Hffz Kf z γ z β 5 z 025 z 05 Função de Transferência em Malha Fechada Ref Y Trefyz Hffz C Hz 1 C Hz Substituindo os valores Trefyz 5 z 025 z 05 016 00483z 00467 z2 16065z 06065 1 016 00483z 00467 z2 16065z 06065 Simplificando Trefyz 08 z 025 00483z 00467 z 05 z2 16065z 06065 016 00483z 00467 Trefyz 003864z2 003736z 000934 z3 11065z2 0189022z 0310722 Função de Transferência em Malha Fechada P Y Tpyz 1 1 C Hz 1 1 016 00483z 00467 z2 1606z 0606 Simplificando Tpyz z2 1606z 0606 z2 1606z 0606 0007728z 0007472 Tpyz z2 1606z 0606 z2 1598772z 0613972 Análise do Erro em Estado Estacionário Ref Y Para uma entrada degrau o erro em estado estacionário é ess 1 lim z1 Trefyz Trefy1 003864 003736 000934 1 11065 0189022 0310722 00001988 00002 099426 Portanto ess 1 099426 0006 ii Resposta ao Degrau Ref e P 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tempo s 0 05 1 15 Amplitude Resposta ao Degrau Referência 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tempo s 1 11 12 13 14 Amplitude Resposta ao Degrau Perturbação iii Conforme se observa nos gráficos o sistema rejeita perturbações em degrau 2 Função de Transferência em Malha Fechada Ref Y A função de transferência em malha fechada é dada por Tz Yz Refz C Hz 1 C Hz Substituindo os valores Tz 01 2 z 01z 1 1 01 2 z 01z 1 Simplificando Tz 02 z 01z 1 z 01z 1 02 z 01z 1 Tz 02 z 01z 1 02 Tz 02 z2 11z 01 02 Tz 02 z2 11z 03 Resposta ao Degrau Unitário Yz Como a entrada é um degrau unitário Refz z z 1 Portanto Yz Tz Refz 02 z2 11z 03 z z 1 Yz 02z z3 21z2 14z 03 Obtendo yn Transformada Z Inversa Para encontrar yn precisamos calcular a transformada Z inversa de Yz Primeiro precisamos encontrar as raízes do denominador z3 21z2 14z 03 0 Utilizando simulação Com essas raízes aproximadas podemos escrever Yz 1z 1 18z 06 1z 05 O que conduz a yn un 1806nun 05nun ii Análise da Rejeição de Perturbação e Seguimento de Referência ii Para determinar se o sistema segue a referência do tipo degrau precisamos analisar o erro em estado estacionário ess lim n Refn yn lim z1 1 Tz Refz Como Refz z z 1 ess lim z1 1 02 z2 11z 03 z z 1 indeterminação A resposta ao degrau é apresentada a seguir 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Amostra n 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Amplitude yn Resposta ao Degrau iii Observase que o sistema rejeita perturbação do tipo degrau SOUTHWEST TRIP silk September 28 29 2012 8 PM Studio 120 1201 Atwate Street Montreal nl LIQUORICE SHOWCALENDAR NAPLUSFIFTEEN HALIFRANTHENDRIX SAKEBACK ERDE MENACE 10 10 wwwforesthillca A A Yellow Submarines Autumn Headline show wMofauran5 amsteredam buy your tickets online at tixxicom ENinterpolis15 3 Temse um sistema com realimentação e um controlador de avanço Hff Precisamos ajustar os controladores Sz e Tz para atender a requisitos de desempenho específicos para a resposta ao degrau em relação à perturbação P e à referência R Além disso precisamos avaliar a escolha do período de amostragem Dados Hffz Tz Rz Hfbz Sz Rz Tz t0z t1 Rz z 1 H 2 s 15 Sz s1z s0 h 001s período de amostragem Requisitos o ta1 P 04s Tempo de acomodação de 1 para perturbação o ta1 R 01s Tempo de acomodação de 1 para referência o Ganho estático de malha fechada unitário Discretização de Hs Primeiro precisamos discretizar Hs 2 s 15 usando o ZOH ZeroOrder Hold Hz 00199 z 0998 Funções de Transferência em Malha Fechada De R para Y Yz Rz Hffz Hz 1 Hfbz Hz Yz Rz Tz Rz Hz 1 Sz Rz Hz Yz Rz Tz Hz Rz Sz Hz Substituindo os valores Yz Rz t0z t1 00199 z 0998 z 1 s1z s0 00199 z 0998 Yz Rz 00199t0z t1 z 1z 0998 00199s1z s0 De P para Y Yz Pz Hz 1 Hfbz Hz Yz Pz Hz 1 Sz Rz Hz Yz Pz Hz Rz Rz Sz Hz Substituindo os valores Yz Pz 00199 z 0998 z 1 z 1 s1z s0 00199 z 0998 Yz Pz 00199 z 1 z 1z 0998 00199s1z s0 Projeto dos Controladores Sz e Tz Ganho Estático Unitário R Y O ganho estático é o valor da função de transferência quando z 1 lim z1 Yz Rz 1 lim z1 00199t0z t1 z 1z 0998 00199s1z s0 1 00199t01 t1 0 00199s1 s0 1 00199t01 t1 00199s1 s0 t01 t1 s1 s0 Eq 1 Tempo de Acomodação R Y O tempo de acomodação está relacionado à localização dos polos da função de transferência em malha fechada Um tempo de acomodação menor significa que os polos devem estar mais próximos da origem no plano z Tempo de Acomodação P Y Similar ao requisito para R Y o tempo de acomodação para a perturbação também está relacionado à localização dos polos da função de transferência de P para Y a Escolha de t0 e t1 Podemos escolher t1 para cancelar um zero indesejado da planta ou para dar a forma desejada ao controlador de avanço b Determinação de s1 e s0 Usar a equação do ganho estático unitário e os requisitos de tempo de acomodação para determinar s1 e s0 Isso geralmente envolve uma otimização iterativa com simulações Escolha t1 05 Isso coloca um zero em 05 Escolha t0 1 Então Tz z 05 Usando a Equação 1 11 05 s1 s0 s1 s0 05 Precisamos de mais uma equação para determinar s1 e s0 unicamente Essa equação virá dos requisitos de tempo de acomodação Estipulase um valor Escolha s1 025 Então s0 05 025 025 Então Sz 025z 025 025z 1 Com esses valores temos Tz z 05 Sz 025z 1 Precisaríamos simular o sistema com esses valores e verificar se os requisitos de tempo de acomodação são atendidos Se não forem precisaríamos ajustar os valores de t0 t1 s1 e s0 iterativamente Avaliação do Período de Amostragem h 001s O período de amostragem deve ser escolhido de forma que a frequência de amostragem fs 1h seja pelo menos duas vezes maior que a maior frequência presente no sinal Teorema de NyquistShannon Para avaliar se h 001s é adequado precisamos estimar a largura de banda do sistema em malha fechada Isso pode ser feito analisando a resposta em frequência das funções de transferência em malha fechada Hs 2 s 02 A constante de tempo é τ 102 5 segundos A frequência associada a essa constante de tempo é f 1 2piτ 1 2pi5 0032 Hz Para evitar aliasing a frequência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que essa frequência fs 2 0032 0064 Hz O período de amostragem correspondente é h 1 0064 156 s Nosso período de amostragem h 001s é muito menor que 156 segundos então parece adequado No entanto é importante notar que essa é uma análise muito simplificada O sistema em malha fechada pode ter uma largura de banda maior do que a planta original especialmente após a adição dos controladores 4 Função de Transferência em Malha Fechada A função de transferência em malha fechada é dada por Tz Yz Rz Cz Hz 1 Cz Hz Substituindo os valores Tz K z 1 01 z 05 1 K z 1 01 z 05 Tz 01K z 1z 05 z 1z 05 01K z 1z 05 Tz 01K z 1z 05 01K Tz 01K z2 05z 05 01K Tz 01K z2 05z 01K 05 Análise da Estabilidade Critério de Jury Para determinar a faixa de valores de K que garante a estabilidade do sistema usaremos o Critério de Jury um critério semelhante ao de RouthHurwitz mas para sistemas discretos Az z2 05z 01K 05 a2 1 a1 05 a0 01K 05 O Critério de Jury estabelece as seguintes condições para estabilidade A1 0 1n A1 0 a0 an Aplicando as condições A1 0 12 051 01K 05 0 1 05 01K 05 0 01K 0 K 0 1n A1 0 Como n 2 grau do polinômio então 12 1 A1 0 12 051 01K 05 0 1 05 01K 05 0 1 01K 0 01K 1 K 10 a0 an 01K 05 1 Isso implica duas condições 01K 05 1 01K 15 K 15 01K 05 1 01K 05 1 01K 05 K 5 Combinando as condições obtemos K 0 K 15 Portanto a faixa de valores de K para estabilidade é 0 K 15 Estabilidade Sem Oscilações Para estabilidade sem oscilações os polos do sistema em malha fechada devem ser reais e estar dentro do círculo unitário Isso significa que o discriminante do polinômio característico deve ser não negativo Δ b2 4ac 0 Onde para o polinômio z2 05z 01K 05 a 1 b 05 c 01K 05 Então Δ 052 4 1 01K 05 0 025 04K 2 0 225 04K 0 04K 225 K 225 04 K 5625 Além disso para que os polos sejam dentro do círculo unitário ambos devem ser menores que 1 em valor absoluto Combinando esta condição com a condição de estabilidade 0 K 15 e a condição de Δ 0 K 5625 obtemos a faixa de valores de K para estabilidade sem oscilações 0 K 5625 5 Análise do Bloco He A equação de diferenças Yn1 Yn 0525Un1 0225Un representa um sistema linear e invariante no tempo LTI Podemos encontrar sua função de transferência Hez aplicando a transformada Z zYz Yz 0525zUz 0225Uz Yzz 1 Uz0525z 0225 Hez Yz Uz 0525z 0225 z 1 Função de Transferência do Sistema em Malha Aberta A função de transferência do sistema em malha aberta é Gz Hffz Hez ZHp Onde ZHp é a transformada Z de Hp 212n1 Dn1 Usando a propriedade do atraso e a transformada de an un ZHp 2 z1 z z 12 2 z 12 Então Gz 12z 025 z 01 0525z 0225 z 1 2 z 12 Gz 24 z 025 0525z 0225 z 01 z 1 z 05 Resposta ao Degrau Unitário Yn Para encontrar a resposta ao degrau multiplicamos Gz pela transformada Z do degrau unitário Dz z z 1 Yz Gz Dz 24 z 025 0525z 0225 z 01 z 1 z 05 z z 1 Yz 24z z 025 0525z 0225 z 01 z 12 z 05 Gráfico da Resposta ao Degrau Item ii 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Amostra n 0 10 20 30 40 50 60 Amplitude yn Resposta ao Degrau Resposta em Frequência do Sistema Item iii A resposta em frequência do sistema é obtida substituindo z ejω na função de transferência Gz onde ω é a frequência angular normalizada entre 0 e π Gejω 24 ejω 025 0525ejω 0225 ejω 01 ejω 1 ejω 05 0 05 1 15 2 25 3 35 Frequência Normalizada radamostra 200 0 200 400 Magnitude dB Magnitude da Resposta em Frequência 0 05 1 15 2 25 3 35 Frequência Normalizada radamostra 100 0 100 200 Fase graus Fase da Resposta em Frequência iv Amplitude da Saída para Entrada Senoidal Para uma entrada cos10πn precisamos determinar a amplitude do sinal de saída em regime permanente Primeiro precisamos notar que a frequência da entrada é 10π Como a frequência de Nyquist é π esta frequência está além da frequência de Nyquist e haverá aliasing Precisamos encontrar a frequência equivalente dentro da faixa de Nyquist ωalias 10π mod 2π 0 Isso significa que a frequência 10π é equivalente à frequência DC ω 0 devido ao aliasing Portanto a amplitude da saída será a magnitude da resposta em frequência em ω 0 multiplicada pela amplitude da entrada que é 1 Amplitudesaida Gej0 1 Gz1 Substituindo z 1 em Gz G1 24 1 025 0525 0225 1 01 1 1 1 05 24 075 03 09 0 05 Indeterminado Devido aos polos em z1 G1 é indeterminado Isso significa que a saída crescerá indefinidamente O sistema não é estável para essa entrada 6 Discretização de Hs Primeiro precisamos discretizar Hs com um ZOH ZeroOrder Hold Hz ZZOH Hs Hz 09231 z 00769 aproximadamente Análise com Pn Dn Item i Transformada Z de Pn Dn Pz z z 1 Diagrama de Blocos A saída do controlador é Uz Cz Ez onde Ez é o sinal de erro No caso em que estamos analisando apenas a perturbação Pn vamos considerar um sistema simplificado sem a entrada de referência Rn Nesse caso o sinal que entra em Cz é diretamente relacionado a Pz Função de Transferência Como não temos Rn precisamos analisar o sistema apenas com a perturbação Nesse caso a saída do sistema discreto Ŷz será Ŷz 1 1 CzHz Pz Substituindo os valores Ŷz 1 1 05z z 1 09231 z 00769 z z 1 Ŷz 1 1 046155z z 1z 00769 z z 1 Ŷz z 1z 00769 z 1z 00769 046155z z z 1 Ŷz z z 00769 z 1z 00769 046155z Ŷz z2 00769z z2 10769z 00769 046155z Ŷz z2 00769z z2 061535z 00769 Análise do Tempo de Acomodação ta1 com Rn Item ii Agora vamos analisar o sistema com a entrada de referência Rn do tipo degrau O diagrama de blocos completo é Ez Rz Hfbz Ŷz Onde Hfbz seria a função de transferência do bloco de realimentação Uz Cz Ez Ŷz Hz Uz Ys Hs Us Onde Us é a versão amostrada de Us Precisamos encontrar a função de transferência de malha fechada de Rz para Ys Função de Transferência Discreta em Malha Fechada R Ŷ Ŷz Rz Cz Hz 1 Cz Hz Ŷz Rz 05z z 1 09231 z 00769 1 05z z 1 09231 z 00769 Ŷz Rz 046155z z 1z 00769 1 046155z z 1z 00769 Ŷz Rz 046155z z 1z 00769 046155z Ŷz Rz 046155z z2 10769z 00769 046155z Ŷz Rz 046155z z2 061535z 00769 Resposta ao Degrau Unitário Rz z z 1 Ŷz 046155z z2 061535z 00769 z z 1 Ŷz 046155z2 z2 061535z 00769z 1 Aproximação para Ys Ys Hs Ŷz Ys 50 s 50 046155z 2 z2 061535z 00769z 1 A melhor maneira de se obter o tempo de acomodação é via simulação 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tempo segundos 0 02 04 06 08 1 12 Amplitude Resposta ao Degrau e Tempo de Acomodação 1 yt Limite Superior 1 Limite Inferior 1 Tempo de Acomodação Observase no gráfico que o tempo de acomodação é de cerca de 03 s 7 Discretização da Planta Hs Precisamos discretizar a planta Hs usando o ZOH ZeroOrder Hold Fatorando Hs Hs 2 s02s 1 10 ss 5 Consultando tabelas de transformada Z com ZOH obtemos Hz 0000952z 0000905 z2 195z 0951 aproximadamente Funções de Transferência em Malha Fechada Função de Transferência da Perturbação para a Saída Hp Ŷ P Ŷz Pz Hz 1 Cz Hz Substituindo os valores Ŷz Pz 0000952z 0000905 z2 195z 0951 1 05 0000952z 0000905 z2 195z 0951 Simplificando Ŷz Pz 0000952z 0000905 z2 195z 0951 05 0000952z 0000905 Ŷz Pz 0000952z 0000905 z2 1949524z 09514525 Função de Transferência da Referência para a Saída Hr Ŷ Ref Ŷz Refz Cz Hz 1 Cz Hz Substituindo os valores Ŷz Refz 05 0000952z 0000905 z2 195z 0951 1 05 0000952z 0000905 z2 195z 0951 Simplificando Ŷz Refz 05 0000952z 0000905 z2 195z 0951 05 0000952z 0000905 Ŷz Refz 0000476z 00004525 z2 1949524z 09514525 ii Análise do Sistema para Degrau Seguimento de Referência Para verificar se o sistema segue a referência do tipo degrau precisamos analisar o erro em estado estacionário ess lim z1 1 Ŷz Refz Refz Como Refz z z 1 ess lim z1 1 0000476z 00004525 z2 1949524z 095145 z z 1 ess lim z1 z2 1949524z 095145 0000476z 000045 z2 1949524z 09514525 z z 1 ess lim z1 z2 195z 0951 z2 1949524z 09514525 z z 1 ess 1 195 0951 1 1949524 09514525 1 0 ess lim z1 z1 z095 z a z b zz1 Onde a e b são as raízes de z2 1949524z 09514525 ess lim z1 z095 z a z b z 1095 1a1b 005 00019285 2592 Isso indica que o sistema não segue a referência em regime permanente erro não nulo Rejeição de Perturbação Para verificar se o sistema rejeita perturbações do tipo degrau analisamos a resposta em estado estacionário à perturbação Ŷss lim z1 Ŷz Pz Pz Como Pz z z 1 Ŷss lim z1 0000952z 0000905 z2 1949524z 09514525 z z 1 Ŷss 0000952 0000905 1 1949524 09514525 10 Ŷss lim z1 0000952z 0000905 zazb z z 1 O termo z1 não cancela então Ŷss 0000952 0000905 1a1b 0 0001857 00019285 0 infinito Portanto o sistema não rejeita perturbações do tipo degrau 8 Funções de Transferência dos Sistemas Aplicamos a Transformada Z em cada sistema S1 zY1z 14Y1z X1z Y1zz 14 X1z H1z Y1z X1z 1 z 14 S2 zY2z 12Y2z zX2z 14X2z Y2zz 12 X2zz 14 H2z Y2z X2z z 14 z 12 S3 Y3z 3X3z H3z Y3z X3z 3 Interconexão Temos X2 Y1 Y3 X3 X2 Aplicando a Transformada Z X2z Y1z Y3z X3z X2z Substituindo Y3z 3X3z e X3z X2z X2z Y1z 3X2z 4X2z Y1z X2z 14 Y1z Y2z H2z X2z Substituindo X2z 14 Y1z Y2z H2z 14 Y1z Substituindo Y1z H1z X1z Y2z H2z 14 H1z X1z Substituindo as funções de transferência Y2z z 14 z 12 14 1 z 14 X1z Y2z 14 z 12 X1z Como X1n Dn Degrau Unitário então X1z z z 1 Y2z 14 z 12 z z 1 Y2z 14 z z 12 z 1 Y2z 14 z z 05z 1 Precisamos calcular a transformada Z inversa de Y2z para encontrar Y2n Usando a expansão em Frações Parciais Y2z z A z 05 B z 1 Y2z Az z 05 Bz z 1 Para encontrar A e B 14 z 05z 1 A z 05 B z 1 14 Az 1 Bz 05 Se z 1 14 B1 05 B 12 Se z 05 14 A05 1 A 12 Portanto Y2z 12 z z 05 12 z z 1 Usando a transformada Z inversa Z1zz a an un Y2n 12 05n un 12 1n un Y2n 12 un 12 05n un Y2n 12 1 05n un Onde un é o degrau unitário FRANSHAW BOYS GIRLS 600 PM PRESENTS Monsters Have Hollow Eyes live at The HideoutThursday November 1st 7 PM DoorsAG21ONES Rogue Bronco live at The HideoutSaturday October 27th 7 PM DoorsAG21ONES TURF live at The HideoutThursday October 25th 7 PM DoorsAG21ToNES LIVE at Chelsea Tavern Friday October 26th 8 PM 420476 Spadina Ave 15 ADV20 DOS wwwticketflycaFranshawwwwthehideouttorontocom 5 9 Discretização de Hs para h 001s Usaremos o ZOH ZeroOrder Hold para discretizar Hs H1z ZZOH Hs H1z 0000952z 00009049 z 2 19495z 09512 aproximadamente Discretização de Hs para h 002s H2z ZZOH Hs H2z 0003692z 0003553 z 2 19005z 09048 aproximadamente Determinação dos Polos Os polos são as raízes do denominador das funções de transferência discretas Para H1z Denominador z2 19495z 09512 0 Usando a fórmula quadrática z1 09748 j00326 z2 09748 j00326 Para H2z Denominador z2 19005z 09048 0 z1 09503 j00427 z2 09503 j00427 Ambos os sistemas têm polos complexos conjugados indicando uma resposta oscilatória Os polos de H1z h001s estão mais próximos do círculo unitário do que os polos de H2z h002s Isso sugere que H1z terá uma resposta mais oscilatória e um tempo de acomodação maior À medida que h aumenta os polos se movem para mais perto da origem Efeito da Variação de h na Resposta em Frequência e Aliasing Item ii Resposta em Frequência A resposta em frequência é obtida substituindo z ejω nas funções de transferência discretas A magnitude e a fase da resposta em frequência dependem da localização dos polos e zeros Como os polos de H1z estão mais próximos do círculo unitário a resposta em frequência de H1z terá picos mais pronunciados perto das frequências correspondentes aos polos Isso significa que H1z terá uma resposta mais seletiva em frequência do que H2z Aliasing O aliasing ocorre quando a frequência de amostragem não é alta o suficiente para representar corretamente as frequências presentes no sinal original Neste caso estamos discretizando um sistema contínuo então o aliasing pode ocorrer se a frequência de amostragem for menor que o dobro da maior frequência significativa em Hs A frequência de amostragem é fs 1h Portanto fs1 1001 100 Hz fs2 1002 50 Hz A função de transferência contínua é Hs 2 01s 102s 1 2 002s2 03s 1 Podemos encontrar os polos de Hs s1 5 s2 10 As constantes de tempo são 15 02 e 110 01 Portanto as frequências relevantes são da ordem de 5 e 10 rads Como a frequência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que a frequência máxima precisamos de uma frequência de amostragem maior que aproximadamente 2 10 2pi 318 Hz Ambas as frequências de amostragem 100 Hz e 50 Hz são maiores que 318 Hz mas quanto menor a frequência de amostragem maior o risco de aliasing Portanto o valor de h que causará maior sobreposição aliasing é h 002s pois tem a menor frequência de amostragem 10 Analisando o Sistema S1 Aplicamos a Transformada de Laplace em S1 sŶs 2Ŷs sŮs Us Ŷss 2 Ůss 1 H1conts Ŷs Ůs s 1 s 2 Precisamos discretizar esse sistema para compatibilizar com S2 que está no domínio discreto Podemos fazer isso discretizando com um ZOH Isso resulta em aproximadamente H1z 0816z 03679 z 03679 0816 Analisando o Sistema S2 Aplicamos a Transformada Z em S2 z2 Yz 34zYz 18Yz zUz 14Uz Yzz2 34z 18 Uzz 14 H2z Yz Uz z 14 z2 34z 18 i Funções de Transferência H1 e H2 Como U1n entra diretamente em S2 após ser somado com U2 temos Yz H2z U1z U2z Para encontrar H1 YU1 precisamos considerar U2 0 pois queremos apenas o efeito de U1 H1z Yz U1z H2z Portanto H1z z 14 z2 34z 18 H2 YU2 Similarmente para encontrar H2 YU2 consideramos U1 0 H2z Yz U2z H2z Precisamos calcular U2z U2t Dt Degrau Unitário Contínuo Precisamos discretizar esse sinal com período T 1f 12 05 U2n Dn Degrau Unitário Discreto U2z z z 1 Precisamos da relação entre Ŷs e Uz Uz disc 0816 U1z ZOHU2s Uz 0816 U1z ZOHU2s Precisamos obter a função de transferência entre Yz e U2z H2z Yz U2z H2z discZOH LDt H2z z 14 z2 34z 18 discZOH 1s H2z z 14 z2 34z 18 disczz1 ii Yn Temos Yz H2z 0816 U1z ZOHU2s Yz z 14 z2 34z 18 0816 U1z zz1 Para determinar Yn precisamos conhecer U1n para calcular U1z Olhando para a imagem fornecida podemos inferir os valores de U1n U12 0 U11 0 U10 1 U11 0 U12 0 U13 0 Portanto U1n é um impulso unitário deslocado para n0 Então U1z 1 Transformada Z do impulso unitário Substituindo Yz z 14 z2 34z 18 0816 zz1 Yz z 14 z2 34z 18 0816z1 zz1 Yz z 14 z2 34z 18 1816z 0816z1 Yz z21816 0454z 0204 z3 0z2 056z 0125 Agora precisamos da transformada Z inversa de Yz Por simulação via Matlab obtémse yn 000001510274069450590043n1425350251684n 516890841727n 1un 11 Funções de Transferência dos Blocos Aplicando a Transformada Z em cada sistema Gq o zYz Yz Uz o Yzz 1 Uz o Gqz Yz Uz 1 z 1 Gm o zYz 1bUz o Gmz Yz Uz 1 bz Gff o zYz 12Yz zUz Uz o Yzz 12 Uzz 1 o Gffz Yz Uz z 1 z 12 Gc o Yz KUz o Gcz Yz Uz K Diagrama de Blocos e Função de Transferência em Malha Fechada O diagrama de blocos representa um sistema de controle com realimentação negativa A função de transferência em malha fechada Ref Y é Tz Yz Refz Gffz Gcz Gqz Gmz 1 Gcz Gqz Gmz Substituindo os valores Tz z 1 z 12 K 1 z 1 1 bz 1 K 1 z 1 1 bz Tz Kz 1 b z z 12 z 1 1 K b z z 1 Tz Kz 1 b z z 12 z 1 bzz1 K bzz1 Tz Kz 1 z 1 b z z 12 z 1 z1 bzz1 bzz1 K Tz Kz 1 b z z 12 z 1 Kz Tz Kz1 bzz2 15z 05 K Tz Kz1 bz3 15bz2 05bz K i Análise da Estabilidade O polinômio característico é o denominador da função de transferência Az bz3 15bz2 05bz K Usase o Critério de Jury para determinar a faixa de valores de K que garante a estabilidade do sistema a3 b a2 15b a1 05b a0 K Condições de Jury A1 0 b 15b 05b K 0 0 K 0 K 0 1n A1 0 Como n 3 então 13 1 A1 0 b13 15b12 05b1 K 0 b 15b 05b K 0 3b K 0 3b K 0 K 3b a0 an K b Como K e b são positivos K b Aplicando as condições K 0 K 3b K b Portanto a faixa de valores de K para estabilidade é 0 K b ii Resposta ao Impulso com K 4 e b 3 Com K 4 e b 3 a função de transferência se torna Tz 4z 1 3z3 45z2 15z 4 A resposta ao impulso é a transformada Z inversa de Tz Tz 4z 1 3z3 45z2 15z 4 Para achar a resposta ao impulso calculamos a transformada Z inversa dessa função Como é um polinômio de ordem 3 sua inversa não é trivial sendo obtida por simulação iii Resposta Oscilatória para Degrau Para determinar se a resposta transitória do sistema é oscilatória para uma entrada degrau analisamos os polos do sistema em malha fechada Se os polos forem complexos conjugados a resposta será oscilatória Se forem reais a resposta será não oscilatória O polinômio característico é 3z3 45z2 15z 4 Precisamos encontrar as raízes desse polinômio Novamente o mais prático é usar o MATLAB Como há raízes complexas conjugadas a resposta é oscilatória 12 Análise do Sinal de Entrada St O sinal de entrada é composto por duas componentes senoidais Componente 1 Amplitude 08 Frequência 400 Hz Componente 2 Amplitude 02 Frequência 1200 Hz Análise do Filtro Analógico F1 Precisamos determinar a magnitude da resposta em frequência do filtro F1 nas frequências de 400 Hz e 1200 Hz Para isso usamos o Anexo 1 Frequência 400 Hz Olhando para o gráfico da magnitude abs no Anexo 1 a magnitude da resposta em frequência de F1 é aproximadamente 095 Frequência 1200 Hz Olhando para o gráfico da magnitude abs no Anexo 1 a magnitude da resposta em frequência de F1 é aproximadamente 07 Análise do Filtro Discreto F2 Primeiro vamos encontrar a função de transferência do filtro F2 Yn 4 054Y n 3 044Y n 2 01Y n 1 004Y n 021Un 4 042Un 2 021Un Aplicando a Transformada Z z4 Yz 054z3 Yz 044z2 Yz 01zYz 004Yz 021z4 Uz 042z2 Uz 021Uz Yzz4 054z3 044z2 01z 004 Uz021z4 042z2 021 H2z Yz Uz 021z4 042z2 021 z4 054z3 044z2 01z 004 Precisamos determinar a magnitude da resposta em frequência de H2z nas frequências de 400 Hz e 1200 Hz A frequência de amostragem é 2 kHz Portanto a frequência normalizada é Frequência normalizada para 400 Hz ω1 2π4002000 04π Frequência normalizada para 1200 Hz ω2 2π12002000 12π Como a frequência normalizada deve estar entre 0 e π a frequência de 12π sofre aliasing e é equivalente a 12π 2π 08π Como a resposta é simétrica podemos usar 08π H2ejω 021ej4ω 042ej2ω 021 ej4ω 054ej3ω 044ej2ω 01ejω 004 Para encontrar a magnitude calculamos H2ejω Para ω1 04π H2ej04π 021ej16π 042ej08π 021 ej16π 054ej12π 044ej08π 01ej04π 004 Para ω2 08π H2ej08π 021ej32π 042ej16π 021 ej32π 054ej24π 044ej16π 01ej08π 004 H2ej04π 1 H2ej08π 05 Amplitude do Sinal de Saída Ŷt O sinal de saída Ŷt terá duas componentes correspondentes às duas componentes do sinal de entrada Precisamos multiplicar a amplitude de cada componente pela magnitude da resposta em frequência dos filtros F1 e F2 Componente 1 400 Hz o Amplitude original 08 o Magnitude de F1 095 o Magnitude de F2 1 aproximado o Amplitude final 08 095 1 076 Componente 2 1200 Hz o Amplitude original 02 o Magnitude de F1 07 o Magnitude de F2 05 aproximado o Amplitude final 02 07 05 007 Portanto o sinal de saída Ŷt é aproximadamente Ŷt 076cos2π400t 007cos2π1200t As magnitudes da saída são 076 e 007