Lista de Exercícios 1 à 43-2022 2

Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 1 Exercício 1 Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A, B e C. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50, e R$ 2,00. O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis, que trabalham 40 horas por semana. Planeje a produção semanal da fábrica. Seção Produto A Produto B Produto C Qde. Máquina Corte 8,0 5,0 2,0 3,0 Dobra 5,0 10,0 4,0 10,0 Empacotamento 0,7 1,0 2,0 2,0 Exercício 2 A Fábrica de Rádios Sinval Vulah S.A. fabrica os modelos A, B e C que tem contribuição ao lucro de $16, $30 e $50, respectivamente. As exigências de produção mínima semanal são 20.000 para o modelo A, 120.000 para o modelo B e 60.000 para o modelo C. Cada tipo de rádio requer uma certa quantidade de tempo para fabricação das partes componentes, para a montagem e para embalagem. Especificamente, uma unidade do modelo A requer 0.3 horas para fabricar, 0.4 horas para montar e 0.1 para embalar. Os números correspondentes para uma unidade do modelo B são 0.4, 0.5 e 0.2, e para uma unidade do modelo C são 0.5, 0.8 e 0.3. Durante a próxima semana, a fábrica tem disponíveis 120.000 horas de tempo de fabricação, 160.000 horas de montagem e 48.000 horas de embalagem. Formule o modelo e resolva utilizando o LINDO. Exercício 3 Uma fábrica de computadores produz dois modelos de microcomputadores A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B, de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque 60 do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: Qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? Exercício 4 Uma empresa do ramo de madeira produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40 m3 de pinho e 80 m3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$ 5,00 por m3 e a madeira compensada dá um lucro de R$ 0,70 por m3. Para produzir uma mistura de 1 metro cúbico de madeira serrada são requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. Para produzir 100 m3 de madeira compensada são requeridos 3 m3 de pinho e 5 m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m3 de madeira serrada e 900 m2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro? Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 2 Exercício 5 Uma empresa tem três tipos de máquinas de processamento, tendo cada uma delas velocidade e taxas de defeitos diferentes. As máquinas do tipo I podem produzir 20 peças por hora com 5% de peças defeituosas; as do tipo II, 15 peças por hora com 10% de defeitos e as do tipo III, 10 peças por hora sem defeitos. O custo horário de operação por máquina é US$ 2,00; US$ 1,75 e US$ 1,50, respectivamente. Devem ser processadas 3500 peças por dia (8 horas/dia), mas só se dispõe de 8 máquinas do tipo I, 10 do tipo II e 20 do tipo III. Cada peça defeituosa custa à empresa US$ 1,00. Formule um modelo de PL para determinar a solução ótima para este problema. Exercício 6 Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de 3 produtos. A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no mercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo. Tipo de máquina Produto A Produto B Produto C Tempo disponível (horas por semana) Torno 5 3 5 400 Fresa 8 4 0 500 Furadeira 2 5 3 300 Lucro 20 15 18 Demanda Semanal Mínima 40 50 20 Exercício 7 Uma empresa petrolífera tem três refinarias (r = 1,2,3), e pretende distribuir combustíveis do tipo Y e Z para quatro mercados diferentes (m = 1,2,3,4). O custo de transporte do combustível Y é 2/3 do custo de transporte do combustível Z e ambos são diretamente proporcionais à distância. A demanda mensal de Y e Z para cada mercado é DYm e DZm respectivamente. A produção diária de Y e Z em cada refinaria é PYr e PZr, respectivamente. Para um melhor uso da matéria-prima, cada refinaria deve produzir no mínimo 3 galões de Y para cada 2 galões do combustível Z. Formule um modelo de PL que minimize os custos de transporte e que, no caso de faltar combustível distribua a produção proporcionalmente à demanda. Exercício 8 Uma empresa petrolífera tem três refinarias (r = 1,2,3), e pretende distribuir combustíveis do tipo Y e Z para quatro mercados diferentes (m = 1,2,3,4). O custo de transporte do combustível Y é 2/3 do custo de transporte do combustível Z e ambos são diretamente proporcionais à distância. A demanda mensal de Y e Z para cada mercado é DYm e DZm respectivamente. A produção diária de Y e Z em cada refinaria é PYr e PZr, respectivamente. Antes da distribuição, os combustíveis Y e Z deverão permanecer em estoque por pelo menos 15 e 20 dias, respectivamente. A capacidade total de estocagem de cada refinaria é limitada em Cr. Formule um modelo de PL que minimize os custos de transporte e que, no caso de faltar combustível distribua a produção proporcionalmente à demanda. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 3 Exercício 9 Uma empresa produz televisão em 3 fábricas: São Paulo, João Pessoa e Manaus. Os pontos principais de revenda, com as respectivas encomendas mensais são: Pontos de Revenda Encomendas (unidades) Rio de Janeiro 6.000 Salvador 5.000 Aracajú 2.000 Maceió 1.000 Recife 3.000 A produção máxima mensal em cada fábrica é: Fábricas Capacidade (unidades) São Paulo 10.000 João Pessoa 5.000 Manaus 6.000 O custo de transportes das fábricas até as revendas, para cada lote de 1.000 aparelhos, é dado pelo quadro abaixo: Para De Rio de Janeiro Salvador Aracaju Maceió Recife São Paulo 1.000 2.000 3.000 3.500 4.000 João Pessoa 4.000 2.000 1.500 1.200 1.000 Manaus 6.000 4.000 3.500 3.000 2.000 Determinar o número de unidades produzidas em cada fábrica e entregues a cada revenda, a fim de minimizar o custo de transporte. Exercício 10 Consideremos o problema da metalurgia de alumínio, em que se deseja produzir 2.000 kg de uma liga de alumínio, a custo mínimo, pela mistura de diversas matérias-primas (minérios). Esta liga deve atender a requisitos de engenharia que especificam os máximos e mínimos de diversos elementos químicos que a compõe. Os custos das matérias-primas são: Mat prima Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Mat6 Mat7 Custo 0,03 0,08 0,17 0,12 0,15 0,21 0,38 A composição dos minérios e a participação mínima/máxima de cada um dos elementos químicos nos 2.000 kg da liga são mostradas a seguir: Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 4 Elemento Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Al-puro Si-puro Mínimo Máximo Fe 0,15 0,04 0,02 0,04 0,02 0,01 0,03 - 60 Cu 0,03 0,05 0,08 0,02 0,06 0,01 - - 100 Mn 0,02 0,04 0,01 0,02 0,02 - - - 40 Mg 0,02 0,03 - - 0,01 - - - 30 Al 0,70 0,75 0,80 0,75 0,80 0,97 - 1500 - Si 0,02 0,06 0,08 0,12 0,02 0,01 0,97 250 300 Na tabela anterior temos, por exemplo, que Mat1 contém 15% de Ferro, 3% de Cobre, etc. Temos, ainda, que a liga a ser obtida (2.000 kg) deve conter, no máximo, 60 kg de Ferro, 100 kg de Cobre e que a quantidade de Silício deve estar entre 250 kg e 300 kg. Quanto à disponibilidade de matéria-prima, os dados estão indicados a seguir na linha “Disponibilidade Máxima”. A linha “Disponibilidade Mínima” refere-se a quantidade que se deseja forçar a entrar neste processo (por algum motivo, tal como liberação de espaço). Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Mat6 Mat7 Disp. Mín. - - 400 100 - - - Disp. Máx. 200 750 800 700 1500 Infinito Infinito Exercício 11 Um fundo de investimentos tem até R$ 300.000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que forneça bonificações de 12%. A empresa N não é diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. Para este investimento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições: a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$ 270.000,00. b) O investimento na empresa não-diversificada pode atingir R$ 150.000,00. c) Em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode-se investir até R$ 180.000,00. Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro? Exercício 12 Uma companhia aérea possui três tipos de aviões e é obrigada a servir quatro rotas aéreas. A tabela abaixo fornece a capacidade máxima (em número de passageiros) de cada tipo de aeronave, o número de aviões disponíveis de cada tipo, bem como o número de viagens por dia que cada tipo de avião pode fazer em uma determinada rota (por exemplo: um avião do tipo 1 pode realizar três viagens na rota 1 ou 2 viagens na rota 2, etc). Na tabela seguinte, é dado também o número de passageiros que necessariamente terá que ser transportado em cada rota. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 5 Número de Viagens Diárias em Cada Rota Tipo de Aeronave Capacidade (pass) Número de Aeronaves R1 R2 R3 R4 A1 50 5 3 2 2 1 A2 30 8 4 3 3 2 A3 20 10 5 5 4 2 Passageiros a serem transportados diariamente em cada rota 100 200 90 120 O Custo operacional por viagem para cada avião nas diferentes rotas é dado pela tabela abaixo. Custos Operacionais por Viagem Tipo de Aeronave R1 R2 R3 R4 A1 1.000,00 1.100,00 1.200,00 1.500,00 A2 800,00 900,00 1.000,00 1.000,00 A3 600,00 800,00 800,00 900,00 Formular um modelo de programação linear que permita alocar os aviões às diversas rotas, visando a minimizar o custo operacional do sistema. Exercício 13 Um navio tem três compartimentos de carga: proa, centro e popa. As capacidades limites são: Compartimento Peso (ton) Volume (m3) Proa 2.000 30.000 Centro 3.000 40.000 Popa 1.500 20.000 A empresa de navegação, proprietária do navio pode aceitar toda ou parte das seguintes cargas: Carga Quant. (ton) Vol. Esp. (m3/ton) Lucro (R$/ton) A 6.000 60 6.000 B 4.000 50 8.000 C 2.000 25 5.000 Para preservar o equilíbrio do navio, o peso em cada compartimento deve ser proporcional a sua capacidade em toneladas. Formule um modelo para determinar como carregar o navio de modo a maximizar o lucro ? Exercício 14 Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela abaixo ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em R$ por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formular o modelo de Programação Matemática. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 6 Liga Especial de Baixa Resistência Liga Especial de Alta Resistência Disponibilidade de Matéria-Prima Cobre 50 % 20 % 16 ton Zinco 25 % 30 % 11 ton Chumbo 25 % 50 % 15 ton Preço de Venda (R$/ton) 3.000,00 5.000,00 Exercício 15 Uma determinada fábrica produz panelas de metal médias e grandes a partir de elementos circulares de diâmetros de 0,25 e 0,40 metros, respectivamente. A primeira operação para obter as panelas é um corte desses elementos circulares sobre chapas de dimensão de 1,40 x 0,50 metros. Os elementos planos circulares são transformados em panelas em uma segunda operação de estamparia. Para o corte existem quatro tipos de matrizes conforme mostra a figura abaixo. MATRIZ 1 MATRIZ 2 MATRIZ 3 MATRIZ 4 A fábrica deseja uma produção diária mínima de 500 panelas médias (obtidas do elemento circular de diâmetro 0,25) e 350 grandes (obtidas do elemento circular de diâmetro de 0,40). Os custos em reais por chapa pelo uso de cada matriz de corte são respectivamente: 1, 2, 3, 2. Elaborar o modelo de Programação Linear que planeje a produção de modo a minimizar o custo com o uso das chapas. Exercício 16 Uma fábrica necessita cortar uma fita de aço de 12 cm de largura em tiras de 2,4 cm, 3,4 cm e 4,5 cm de largura. As necessidades globais das tiras são: Tipo de Tira Largura (cm) Comprimento Mínimo (m) Tira 1 2,4 2.500 Tira 2 3,4 4.500 Tira 3 4,5 8.000 Formule o problema que permite otimizar o consumo da fita a ser cortada minimizando a perda de material. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 7 Exercício 17 Considerar a produção das latas que são estampadas em folhas planas de alumínio. Uma lata consiste em um corpo principal e em duas extremidades (topo e base). Existem 4 padrões de estampas possíveis (que envolvem 2 tamanhos diferentes de folha de metal), como mostrado abaixo: Considerando que deverão ser fabricadas 5.000 latas, qual é a forma mais econômica de produzí-las? Exercício 18 A Viação Aérea Brasileira está estudando a compra de três tipos de aviões: Boeing 717 para as pontes aéreas de curta distancia, Boeing 737-500 para vôos domésticos e internacionais de média distancia e MD-11 para vôos internacionais de longa distancia. Em um estudo preliminar, considerou-se que a capacidade máxima dos aviões a serem comprados será sempre preenchida para efeito de planejamento. Os dados de planejamento constam da tabela abaixo: Tipo do Avião Custo (Milhões US$) Receita Teórica (Milhões US$) Pilotos Aptos BOEING 717 5,1 330 30 BOEING 737-500 3,6 300 20 MD-11 68 420 10 A verba disponível para as compras é de 220 milhões de dólares. Os pilotos de MD-ll podem pilotar todos os aviões da empresa, mas os demais pilotos só podem ser escalados às aeronaves a que foram habilitados. Cada aeronave necessita de dois pilotos para operar. As Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 8 oficinas de manutenção podem suportar até 40 Boeings 717. Um Boeing 737-500 equivale, em esforço de manutenção, a 3/4, e um MD-ll a 5/3, quando referidos ao Boeing 717. Formular o modelo de PL do problema de otimizar as aquisições de aviões. Exercício 19 Uma certa fábrica de camisetas deseja aproveitar as finais de um campeonato de futebol para vender camisetas dos times envolvidos. Os jogos vão durar quatro semanas. O custo de produção de cada camiseta é R$ 2,00 nas duas primeiras semanas e subirá para R$ 2,50 nas duas últimas, quando a concorrência demandar por material no mercado. A demanda semanal de camisetas será de 5.000,10.000, 30.000 e 60.000. A capacidade máxima de produção da empresa é de 25.000 camisetas. Na primeira e na segunda semana a empresa poderá, em um esforço excepcional, carrear mão-de-obra em horas extras e fabricar mais 10.000 camisetas em cada semana. Nesse caso, o custo dessas camisetas será de R$ 2,80. O excesso de produção pode ser estocado a um custo de R$ 0,20 por unidade por semana. Pedido 1: Formular o modelo de PL que minimize os custos. Pedido 2: Após o planejamento anterior, a direção da empresa verificou que a demanda iria variar substancialmente dentro dos quatro modelos de camiseta que representavam os quatro times disputando as finais. Apesar da demanda total ser exatamente aquela anteriormente levantada, o valor das camisetas iria variar em conformidade com o time e sua posição no campeonato. Nas duas primeiras semanas todos os times estariam em pé de igualdade até que fosse decidido os dois finalistas. A partir daí, as camisetas dos times eliminados cairiam em valor e em demanda no mercado, e as dos times finalistas subiriam conforme a tabela a seguir: Semana 1 2 3 4 Demanda Valor Demanda Valor Demanda Valor Demanda Valor Time A 1250 5,00 2500 6,00 500 3,00 - - Time B 1250 5,00 2500 6,00 500 3,00 - - Time Final. C 1250 5,00 2500 6,00 14500 8,00 30000 9,00 Time Final. D 1250 5,00 2500 6,00 14500 8,00 30000 9,00 Sabendo-se que existe um completo equilíbrio entre os quatro finalistas, formular o modelo que maximize os lucros da empresa produtora de camisetas. Exercício 20 Uma empresa de distribuição de derivados de petróleo está estudando um esquema para distribuição combustível em uma região com 4 mercados consumidores (A, B, C e D), cuja demanda é apresentada no quadro abaixo. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 9 Mercado Demanda Mensal (ton/mês) A 150.000 B 200.000 C 120.000 D 240.000 No atendimento desta demanda, a empresa pretende utilizar transporte marítmo e terrestre. Para tanto, é necessário instalar terminais marítimos ao longo da costa. Os portos escolhidos para instalação de possíveis terminais são denominados de P1, P2, P3 e P4. Os tipos de terminais que poderão ser instalados estão apresentados no quadro abaixo: Tipo Capacidade (ton/mês) Custo Fixo (R$/mês) Custo Variável (R$/ton) I 100.000 500.000,00 6,50 II 200.000 800.000,00 5,30 III 300.000 1.000.000,00 4,50 O combustível a ser distribuído na região poderá vir de duas refinarias distintas. A refinaria 1 tem uma capacidade de produzir adicionalmente 600.000 ton / mes, a um custo unitário de R$ 350,00 / ton. A segunda refinaria tem uma capacidade ociosa de 550.000 ton / mes, e com um custo unitário de R$ 370,00 / ton. O custo unitário de transporte é de R$ 5,60 / ton.km para o modo terrestre (entre terminais e mercados) e R$ 0,82 / ton.km para o modo marítimo (entre refinarias e terminais). As distâncias de transporte estão apresentadas no quadro abaixo. Distância de Transporte (km) De Para Merc. A Merc. B Merc. C Merc. D Ref. 1 Ref. 2 P1 150 140 160 120 800 1.400 P2 200 130 140 120 900 1.300 P3 180 170 130 160 1.200 1.000 P4 120 130 180 120 1.300 900 Formule um modelo para determinação do esquema ótimo de distribuição do combustível e de implantação dos terminais. Resolva o modelo formulado e analise os resultados. Exercício 21 Uma indústria química foi intimada pelo governo de seu estado para instalar e empregar dispositivos de anti-poluição. A empresa faz dois produtos; para cada um destes produtos, o processo de fabricação produz quantidades excessivas de gases irritantes e partículas (sólidos em suspensão). Na tabela abaixo é mostrada a emissão diária, em quilos, de cada poluente para cada 1000 litros de produto fabricado. A companhia está proibida de emitir mais do que G1, G2 e P1 quilos de gás CM, gás SD e partículas, respectivamente. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 10 Poluentes Emitidos (kg/1.000 litros) Tipo de Poluente Produto 1 Produto 2 Gás CM 24 36 Gás SD 8 12 Partículas 100 50 O gerente de produção aprovou a instalação de dois dispositivos anti-poluição. O primeiro dispositivo remove 0,75 de gás CM, 0,5 de gás SD e 0,9 de partículas, independentemente do produto fabricado. O segundo dispositivo remove 0,33 de gás CM, nada de gás SD e 0,8 de partículas para o produto 1 e 0,25 de gás CM, 0,45 de gás SD e 0,6 de partículas para o produto 2. O primeiro dispositivo reduz o lucro por milhar de litros fabricados diariamente por C1, independentemente do produto. Da mesma forma, o segundo dispositivo reduz o lucro por C2, por milhar de litros fabricados diariamente, independentemente do produto. Compromissos de vendas obrigam que pelo menos R1 e R2 milhares de litros do produto 1 e produto 2 sejam produzidos diariamente. Formule o modelo de otimização apropriado. Exercício 22 Os esgotos de três cidades (A, B e C), depois de sofrerem um tratamento, são descarregados em um rio. O esgoto de cada uma das três cidades produz uma quantidade diária de poluente expressa por PA, PB e PC toneladas. O tratamento do esgoto pode reduzir a quantidade de poluente até um máximo de 90%. Esta redução é denominada eficiência da estação de tratamento, e o custo de cada estação é diretamente proporcional à sua eficiência (ki × eficiência). Por outro lado, devido à ação bioquímica (aeração etc.), no final de cada trecho AB e BC do rio, a quantidade de poluentes é reduzida em 10% e 20% respectivamente. Qual a eficiência que devem ter as estações de tratamento, de modo que, para qualquer ponto do rio, a quantidade de poluentes medida em um dia não ultrapasse P toneladas, e de modo a minimizar o custo das estações de tratamento ? Formular um PPL que permita resolver este problema. Exercício 23 Uma casa de câmbio geralmente realiza transações lucrativas entre moedas estrangeiras. Suponha que esta casa de câmbio realiza operações entre cinco diferentes moedas: dólar, libra-esterlina, franco, marco, lira. Sejam as ofertas de troca apresentadas no quadro 1 e a disponibilidade inicial de moeda apresentada no quadro 2. Assuma que, com um sistema de comunicação rápida, a casa de câmbio pode ter acesso a estas informações e virtualmente realizar todas as transações que desejar simultaneamente. A única exigência nas transações é de que nenhum negócio fique a descoberto no fim de um dia de transação, quando as Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 11 moedas forem efetivamente trocadas. Em outras palavras, a casa de câmbio precisa ao menos ter a habilidade de cobrir as vendas totais de cada moeda com a renda proveniente de quaisquer outras trocas que foram produzidas por aquela moeda. Moeda Possíveis Negócios Compra Venda Razão de Troca Quantidade Disponível 1 Dolar Marco 1 / 2,003 30.000,00 2 Dolar Libra 1 / 0,705 20.000,00 3 Libra Lira 1 / 200,00 100.000,00 4 Libra Franco 1 / 150,00 50.000,00 5 Franco Marco 1 / 0,0216 15.000,00 6 Franco Lira 1 / 1,452 45.000,00 7 Lira Dolar 1 / 0,00714 35.000,00 8 Lira Franco 1 / 0,7234 40.000,00 9 Marco Libra 1 / 0,3467 20.000,00 10 Marco Dolar 1 / 0,4862 5.000,00 Formule um modelo de otimização que maximize a quantidade de dolares ao final da negociação, dado que a empresa dispõe em caixa as seguintes moedas: Moeda Disponível Dolar 10.000,00 Libra 20.000,00 Franco 30.000,00 Marco 40.000,00 Lira 50.000,00 Exercício 24 Por volta de 435 a.C., Esparta decidiu convocar reservistas para suplementar seu exército regular. Os novos combatentes podiam ser alistados por 1, 2, 3 ou 4 anos, respectivamente com custos de $10, $18, $25 e $31. A força mínima total de combatentes reservistas foi estabelecida na tabela abaixo. Como um general espartano, você poderia achar uma política de alistamento ótima para os próximos 10 anos, resolvendo o problema com um modelo de otimização. Formule o modelo e resolva. Ano Reservistas 435 AC 10.200 434 AC 11.800 433 AC 10.500 432 AC 12.300 431 AC 15.000 430 AC 14.500 429 AC 14.000 428 AC 16.100 427 AC 16.400 426 AC 16.500 Considere que não será possível contratar mais do que 13.000 reservistas em um único ano. Qual seria a solução ? Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 12 Exercício 25 Um empreendedor pode aplicar seu dinheiro em 5 projetos de investimento, cujos dados são apresentados abaixo: Fluxo de Caixa Anula (R$ 1.000,00) Projeto 0 1 2 3 I (100,00) 170,00 II (150,00) 220,00 III (100,00) 150,00 IV (50,00) 80,00 V (70,00) 130,00 Formule um modelo que ajude o investidor a determinar os projetos que maximizam o seu capital ao final do ano 3, considerando que: a) o capital inicial disponível é de R$ 220.000,00 e não poderá ser tomado empréstimo; b) todo capital disponível poderá ser aplicado na poupança que rende juros de 10 % a.a; c) I e V são projetos mutuamente exclusivos. Exercício 26 O Eng. Pompermayer está estudando o sistema estrutural abaixo, composto por duas barras rígidas e quatro cabos. Ajude-o a determinar a máxima carga total permitida para ser carregada nos pontos de carga P1, P2, P3 e P4, considerando as resistências admissíveis dos cabos e as dimensões das barras, conforme mostra a figura abaixo. Formule o modelo de PL. Exercício 27 Na figura abaixo está representado o esquema de dutos que conectam os tanques de uma refinaria (R), e as respectivas capacidades de transferência entre tanques, em milhares de Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 13 m3/hora. Dado que o gerente de produção da refinaria (R) deseja movimentar o máximo de produto para o terminal (T), por unidade de tempo, formule um modelo de PL para resolver este problema. Sugestão: Considere que possam existir as seguintes transferências de produto: R→A, R→B, A→B, A→C, B→A, B→C, B→D, C→D, C→T, D→C e D→T. Exercício 28 Um construtor produz barcos por encomenda, e tem os seguintes pedidos para serem entregues no final dos próximos 6 meses: Meses Fev Mar Abr Mai Jun Jul Nº de Barcos 1 2 5 3 2 1 Ele pode contruir até 4 barcos em qualquer mês, e pode guardar até 3 barcos em estoque. O custo de construção dos barcos é de $ 10.000,00 por unidade. Caso algum barco seja construído em um mês, um custo fixo adicional de $ 4.000,00 deve ser considerado. Para manter um barco em estoque durante o período de um mês, o construtor gasta $ 1.000,00. Qual deve ser o plano ótimo de construção, de modo a minimizar o custo total do construtor ? Formule um modelo de programação dinâmica para obter a solução. Exercício 29 Em uma linha de montagem existem 8 tarefas que podem ser realizadas como indicado abaixo: Tarefa Tempo da Tarefa (min) Tarefas Predecessoras 1 7 - 2 6 - 3 8 - 4 8 1,2 5 1 2,3 6 6 4,5 7 7 5 8 8 6,7 Considere que um trabalhador é posicionado em cada estação de trabalho e pode realizar um certo número de tarefas em sua estação. Considere, ainda, que a cada 15 minutos uma Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 14 unidade do produto deve sair da linha de produção. Formule um modelo de programação matemática que determine quantas estações de trabalho devem ser utilizadas, e quais as tarefas que deve ser alocadas a cada estação. Exercício 30 Uma empresa deseja determinar o plano de investimentos para o próximo ano, e dispõe dos seguintes projetos: Possibilidade de Investimento Valor Presente Líquido (US$) Capital Requerido (US$) I Construir um novo depósito 7.000.000,00 5.000.000,00 II Recuperar o depósito antigo 4.500.000,00 3.000.000,00 III Automatizar o depósito novo 5.500.000,00 4.200.000,00 IV Comprar a fornecedora do produto A 12.000.000,00 9.300.000,00 V Construir uma fábrica para produzir A 9.500.000,00 7.100.000,00 VI Reformar o escritório da empresa 1.500.000,00 900.000,00 Entre os projetos acima apresentados, as alternativas I e II são mutuamente excludentes, assim como IV e V. O projeto III, por sua vez, depende da realização do projeto I. A empresa dispõe de US$ 20.000.000,00 para investir nestes projetos. Formule um modelo de programação inteira binária para determinação do portafólio ótimo de investimento. Exercício 31 Uma fábrica trabalha com um atendimento variável em demanda durante as 24 horas do dia. As necessidades distribuem-se segundo a tabela abaixo: Turno de Trabalho Horário Número Mínimo de Operários 1 08:00 às 12:00 50 2 12:00 às 16:00 60 3 16:00 às 20:00 50 4 20:00 às 00:00 40 5 00:00 às 04:00 30 6 04:00 às 08:00 20 O horário de trabalho de um operário é de oito horas quando ele entra nos turnos 1, 2, 3, 4, e 6. O operário que entra no turno 4 recebe uma gratificação de 50% sobre o salário e o que entra no turno 5 trabalha apenas quatro horas. Elaborar o modelo de programação linear inteira que minimiza o gasto com a mão-de-obra. Exercício 32 Uma metalúrgica deve entregar uma partida de 2.500 placas retangulares de 2 x 4 cm (placas do tipo I) e 1.000 de 4 x 11 cm (placas do tipo II). Existe, em estoque, uma tira metálica com 15 cm de largura e 20 metros de comprimento e outra com 14 centímetros de largura e 30 metros de comprimento. As tiras com 30 metros de comprimento são cerca de 20% mais caras por quilo do que as de 20 metros, devido a problemas de transporte. São possíveis as seguintes configurações de corte ou padrões de corte nos equipamentos da empresa: Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 15 4 cm 4 cm 4 cm 14 cm 13 cm 15 cm Formular o modelo que permita minimizar a perda ao corte. Exercício 33 Uma empresa aérea deseja comprar aviões a jato grandes, médios e pequenos. O preço de compra é de US$ 33,5 milhões para cada avião grande, US$ 25,0 milhões para cada avião médio e US$ 17,5 milhões para cada avião pequeno. O conselho diretor autorizou um comprometimento máximo de US$ 750 milhões para esta compra. Qualquer que seja a compra realizada, espera-se que haja mercado para assegurar a utilização dos aviões em sua capacidade máxima. Se estima que os lucros anuais líquidos (descontando o custo de recuperação do capital aplicado), é de US$ 2,1 milhões para um avião grande, US$ 1,5 milhões para um avião médio e US$ 1,15 milhões para um avião pequeno. Supõe-se que a empresa poderá dispor de pilotos treinados para operar até 30 aviões novos. Se forem comprados apenas aviões pequenos, as instalações de manutenção poderiam comportar até 40 aviões, porém cada avião médio equivale a 1¼ aviões pequenos e cada avião grande equivale a 1¾ aviões pequenos, em termos de utilização das mesmas instalações de manutenção. Formule um modelo de programação inteira para este problema. Exercício 34 Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de custos diferente, expressando condições de transporte e preços na origem. Por outro lado, cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado na produção da gasolina, é possível a programação das condições de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam na classificação do tipo da gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petróleo e deseje produzir a gasolina amarela, azul e superazul, programar a mistura dos tipos de petróleo atendendo às condições que se seguem nas tabelas abaixo: Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 16 Tipo de Petróleo Quantidade Disponível (barril/dia) Custo Unitário (R$/barril) 1 3.500 19 2 2.200 24 3 4.200 20 4 1.800 27 A composição dos produtos deve satisfazer as seguintes condições: Tipo de Gasolina Especificação Preço de Venda (R$/barril) Não mais que 30% de 1 Não menos que 40% de 2 Superazul Não mais que 50% de 3 35,00 Não mais que 30% de 1 Azul Não menos que 10% de 2 28,00 Amarela Não mais que 70% de 1 22,00 Exercício 35 A diretora de pessoal de uma empresa de aviação comercial deve decidir quantas aeromoças deverão ser treinadas e contratadas nos próximos seis meses. As necessidades, expressas pelo número de aeromoças-horas-de-vôo são as seguintes: 8.000 em janeiro; 9.000 em fevereiro; 7.000 em março; 10.000 em abril; 9.000 em maio; e 11.000 em junho. Leva um mês de treinamento antes que uma aeromoça possa ser posta em um vôo regular; assim, uma garota deve ser contratada pelo menos 1 mês antes que ela seja realmente necessária. Cada moça treinada requer requer 100 horas de supervisão de uma aeromoça experiente durante o mês de treinamento, de modo que são disponíveis 100 horas a menos para o serviço de vôo por aeromoças regulares. Cada aeromoça experiente pode trabalhar até 150 horas em um mês, e a empresa dispõe de 60 aeromoças no começo de janeiro. A política da empresa é não demitir ninguém. Porém, no fim de cada mês, aproximadamente 10% das aeromoças pedem demissão para se dedicarem a outras atividades e para se casarem. Uma aeromoça experiente custa a empresa R$ 1.500,00 por mês, enquanto que na fase de treinamento o custo é de somente R$ 900,00 (já incluindo os encargos legais). Exercício 36 Formule um modelo de programação linear para determinar a política ótima de contratação e treinamento da empresa, e utilize um pacote de programação linear para obter a solução ótima. Interprete a solução encontrada. Uma companhia de transporte resolveu adquirir uma nova frota de caminhões para o que dispõe de R$ 4.000.000,00. Existem no mercado três modelos de caminhões que podem ser adquiridos: A, B e C. O caminhão A pode receber até 10 toneladas de carga, tem uma velocidade média de 56 km/h e custa R$ 80.000,00; B tem uma capacidade de 20 toneladas e uma velocidade média de 48 km/h, seu custo e R$ 130.000.00; C é provido de leito para o ajudante de motorista e, Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 17 por isso, embora seja semelhante a B, a sua capacidade é de 18 toneladas e seu custo é de R$ 150.000.00. O caminhão A é operado por uma só pessoa e, se for utilizado em três turnos, pode rodar 18 horas por dia. Os caminhões B e C exigem e pessoas; enquanto B pode rodar 18 horas por dia, no regime de três turnos, C pode trabalhar 21 horas por dia. A companhia dispõe de 150 motoristas; as possibilidades de obter mais são muito reduzidas. Por outro lado, as disponibilidades de manutenção limitam a nova frota a um máximo de 30 veículos. Pede-se que se estabeleça um modelo de programação linear destinado a determinar quantos veículos de cada tipo devem ser adquiridos, de modo que a capacidade da frota em ton.km por dia seja máxima. Resolva o problema e interprete a solução obtida. Exercício 37 Uma fábrica produz refrigeradores, freezers e fornos de micro-ondas. A demanda mensal média destes produtos é, respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de médias móveis com período 4, isto é, a demanda de quatro meses consecutivos é constante ao longo do tempo. A demanda registrada nos últimos três meses foi a seguinte: Demanda Mensal (unidades) Produto Julho Agosto Setembro Refrigerador 125.000 108.000 136.000 Freezer 57.000 52.000 73.000 Micro-ondas 45.000 36.000 58.000 Para fabricar estes produtos, três recursos básicos são necessários (MDO, matéria-prima e energia), cujos consumos unitários estão apresentados no quadro abaixo: Consumo Unitário Produto MDO (horas) Material (kg) Energia (kWh) Refrigerador 1,40 17,00 25,00 Freezer 1,70 21,00 23,00 Micro-ondas 1,10 10,00 17,00 A fábrica dispõe de 1.900 empregados na linha de produção, cada um dos quais trabalha 200 horas por mês. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto é $10, $13 e $8, respectivamente para refrigeradores, freezers e fornos de micro-ondas. A disponibilidade mensal de energia é de 5,5 × 106 kWh. A empresa poderá comprar até 3.850 ton/mês de material, que poderá ser armazenado a um custo mensal de $ 0,15 / kg. Usando o computador, determine e apresente um plano ótimo de produção-material-pessoal para os próximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados entrem em férias (1 mês) durante este período. Considere que no início do mês de outubro não existe estoque de produto acabado e que o estoque de matéria-prima é de 3.200 ton. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 18 Exercício 38 Para realizar negociações comerciais com diversos países, uma empresa precisa contratar profissionais qualificados e treinados em diversos idiomas (inglês, francês, espanhol, italiano, alemão, russo, chinês e japonês). Após um rigoroso processo de seleção, restaram 8 candidatos, cujos dados estão apresentados na tabela abaixo: Candidatos 1 2 3 4 5 6 7 8 Salário (R$) 3.500,00 4.200,00 2.900,00 3.800,00 3.300,00 4.000,00 3.400,00 3.600,00 Idiomas inglês francês japonês chinês russo inglês italiano inglês alemão francês inglês russo espanhol espanhol alemão italiano chinês japonês russo inglês espanhol italiano alemão francês espanhol chinês alemão Formule um modelo que ajude a selecionar os candidatos que satisfaçam as necessidade comerciais da empresa, e que proporcionem à mesma o menor custo com a folha de pagamento. Exercício 39 No início de cada mês, depois de receber o salário do mês anterior, o Sr. McMoney aplica parte do que ganhou (R$ 1.000,00) em investimentos. Excepcionalmente, no dia 1° de janeiro de 2008 ele poderá aplicar uma quantia maior (R$ 3.000,00), que irá obter do resgate de outros investimentos e remunerações extras de final de ano. Ele dispõe de três alternativas: a) Alternativa 1: aplicação (sempre no início do mês), com prazo mensal, e rendimento de 1,00 % ao mês, já descontados os impostos; b) Alternativa 2: aplicação (sempre no início do mês), com prazo bimestral, e rendimento de 2,21 % ao bimestre, já descontados os impostos; c) Alternativa 3: aplicação (sempre no início do mês), com prazo trimestral, e rendimento de 3,64 % ao trimestre, já descontados os impostos. Se for interessante, o Sr. McMoney poderá utilizar um empréstimo bancário mensal com juros de 1,5 % ao mês. Sabe-se que parte do dinheiro aplicado deverá ser utilizado para pagar dívidas contraídas pelo Sr. McMoney durante anos anteriores, conforme mostra o quadro abaixo: Data Pagamento de Dívidas 01/02/2008 2.500,00 01/05/2008 3.100,00 01/09/2008 1.700,00 01/11/2008 1.000,00 Determine o melhor plano de investimento ao longo do ano de 2008, e responda o que se pede: a) apresente o plano. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 19 b) o empréstimo bancário é interessante ? Por que ? c) quanto o Sr. McMoney terá no final de 2008 ? Exercício 40 O Sr. Taylor é responsável pelo planejamento operacional de uma empresa de transporte aéreo. Ajude-o a formular um plano de operação que minimize os custos. Considere os seguintes dados: a) Custo de uma decolagem US$ 8.000,00 b) Custo de um pouso US$ 4.000,00 c) Custo por km de vôo US$ 50,00 d) Custo por hora parada US$ 8.000,00 e) Tempo de um pouso/decolagem 15 min f) Velocidade de cruzeiro 850 km/h g) Tempo embarque/desembarque 30 min A empresa deve manter em operação os seguintes vôos diários: Saída Chegada Num. Vôo Local Hora Local Hora 00 125 POA 09:00 SAO 12:00 01 127 SAO 09:30 FLN 10:40 02 130 FLN 10:00 POA 10:45 03 132 CWB 10:15 FOZ 10:45 04 135 RIO 12:00 POA 17:30 05 140 FOZ 12:30 SAO 15:30 06 142 SAO 14:00 FOZ 17:00 07 148 POA 16:30 CWB 18:00 08 157 FOZ 16:30 RIO 19:15 09 162 RIO 18:00 CWB 19:30 10 170 SAO 17:20 POA 20:30 11 172 FLN 15:10 SAO 18:25 12 176 CWB 10:15 FOZ 12:10 13 180 RIO 13:20 CWB 17:20 14 182 FOZ 16:00 RIO 19:00 Considere, ainda, as seguintes coordenadas dos aeroportos, expressos em km: Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 20 Aeroporto Coordenada X Coordenada Y POA 2.570 670 FLN 2.750 930 CWB 2.700 1.170 FOZ 2.170 1.180 SAO 2.650 1.370 RIO 3.120 1.420 Exercício 41 A Cia. Souza Cruz S.A. processa fumo para produção de cigarros e para exportação. Para tanto dispõe de quatro fábricas, cujas capacidades e custos de produção e estocagem estão apresentados no quadro 1. Processamento de Fumo Estoque Fumo Bruto Estoque Fumo Processado Fábrica Capacidade (ton.mês) Cutos (R$/ton) Capacidade (ton.mês) Cutos (R$/ton) Capacidade (ton.mês) Cutos (R$/ton) Blumenau 240.000 10,30 1.500.000 8,10 1.000.000 5,30 Rio Negro 180.000 12,40 750.000 7,20 800.000 4,10 Cruz Alta 160.000 9,70 1.250.000 7,60 1.000.000 4,60 Uberaba 170.000 10,50 1.000.000 5,40 900.000 3,80 Quadro 1 - Fábricas, capacidades de processamento e estocagem e custos O fumo bruto é obtido junto às colônias de produtores de fumo em quatro estados brasileiros, de acordo com o cronograma de colheita apresentado no quadro 2. Produção de Fumo Bruto (1.000 ton) Mês RS SC PR MS Jan 230 120 210 0 Fev 150 0 110 0 Mar 0 0 0 0 Abr 0 0 0 0 Mai 0 0 0 100 Jun 0 110 0 110 Jul 140 250 130 150 Ago 180 360 240 250 Set 260 380 370 260 Out 280 370 400 250 Nov 380 350 420 200 Dez 350 230 380 120 Quadro 2 - Cronograma de colheita, por estado A empresa como um todo, estima que as vendas, tanto para produção de cigarros quanto para exportação, atinja os valores apresentados no quadro 3. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 21 Quadro 3 - Previsão de venda mensal de fumo processado Para movimentar o fumo bruto a empresa utiliza diversos modos de transporte, que após avaliados determinaram os custos por tonelada transportada apresentados no quadro 4. Custo de Transportes ($/ton) Para De Cruz Alta Blumenau Rio Negro Uberaba RS 7,20 10,80 12,00 26,00 SC 6,80 3,60 4,00 25,20 PR 14,40 10,80 9,20 21,60 MS 23,40 16,40 14,80 10,80 Cruz Alta - 8,40 10,00 22,80 Blumenau 8,40 - 7,20 18,40 Rio Negro 10,00 7,20 - 17,20 Uberaba 22,80 18,40 17,20 - Quadro 4 - Custo de transporte de fumo entre regiões produtoras e fábricas O fumo bruto, em geral, percorre o caminho das regiões produtoras para as fábricas, podendo, entretanto ser movimentado entre fábricas, se houver necessidade ou se os custos assim o determinar. As vendas poderão ser atendidas a partir de qualquer uma das fábricas, mas se houver necessidade, por razões de capacidade de estocamento e/ou por razões de custo, o fumo processado poderá ser movimentado de uma fábrica para outra. O custo do fumo bruto nas regiões de produção são cotados por uma tabela única da empresa, e por questões de incentivo ao plantio, a empresa mantém uma política de comprar toda a produção, mesmo que ela não seja utilizada no processamento das fábricas. Assim, as quantidades excedentes de produção, apesar de serem compradas, são destruídas na própria origem. Em relação a este problema pede-se: a) Formule um modelo de programação linear e resolva-o usando o computador b) Analise o resultado obtido e faça um relatório para a direção da empresa propondo melhorias com vistas a redução de custos. Mês Previsão de Vendas (ton) Jan 300.000 Fev 500.000 Mar 700.000 Abr 900.000 Mai 800.000 Jun 800.000 Jul 700.000 Ago 600.000 Set 600.000 Out 500.000 Nov 500.000 Dez 400.000 Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 22 Exercício 42 Uma construtora está planejando a produção concreto para seis obras distintas, cujas necessiades e possibilidade de abastecimento encontram-se no esquema abaixo. USINA CONCRETO 02 USINA CONCRETO 01 FÁBRICA DE CIMENTO JAZIDA DE BRITA 01 JAZIDA DE BRITA 02 JAZIDA DE BRITA 03 OBRA 01 OBRA 05 OBRA 04 OBRA 03 OBRA 02 OBRA 06 Cap. = 300 m3/dia R$ 52,00 /m3 Cap. = 400 m3/dia R$ 45,00 /m3 Cap. = 250 m3/dia R$ 43,50 /m3 350 km 380 km 70 km 30 km 20 km 115 km Cap. = 600 m3/dia R$ 28,00 /m3 Cap. = 700 m3/dia R$ 35,00 /m3 JAZIDA DE AREIA Cap. = 500 m3/dia R$ 65,00 /m3 75 km 65 km 130 m3/dia 98 m3/dia 115 m3/dia 230 m3/dia 145 m3/dia 85 m3/dia Cap. = 250 ton/dia R$ 215,50 /ton USINA CONCRETO 02 USINA CONCRETO 01 FÁBRICA DE CIMENTO JAZIDA DE BRITA 01 JAZIDA DE BRITA 02 JAZIDA DE BRITA 03 OBRA 01 OBRA 05 OBRA 04 OBRA 03 OBRA 02 OBRA 06 Cap. = 300 m3/dia R$ 52,00 /m3 Cap. = 400 m3/dia R$ 45,00 /m3 Cap. = 250 m3/dia R$ 43,50 /m3 350 km 380 km 70 km 30 km 20 km 115 km Cap. = 600 m3/dia R$ 28,00 /m3 Cap. = 700 m3/dia R$ 35,00 /m3 JAZIDA DE AREIA Cap. = 500 m3/dia R$ 65,00 /m3 75 km 65 km 130 m3/dia 98 m3/dia 115 m3/dia 230 m3/dia 145 m3/dia 85 m3/dia Cap. = 250 ton/dia R$ 215,50 /ton Os custos unitários de transporte da matéria prima e do concreto são os seguintes: Cimento: .................................................................. R$ 0,45 ton.km Brita e Areia: ............................................................ R$ 0,75 m3.km Concreto: ................................................................. R$ 2,86 m3.km Considerando que a composição do concreto é de: Cimento: .................................................................. 300 kg Brita: ....................................................................... 0,705 m3 Areia: ...................................................................... 0,350 m3 e que as distâncias, em km, entre as usinas de concreto e as obra constam do quadro abaixo, determine a forma como deverão ser atendidas as necessidades diárias da empresa nos vários projetos em execução. Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional Pag. 23 Obra 01 Obra 02 Obra 03 Obra 04 Obra 05 Obra 06 Usina 01 12 45 36 28 5 27 Usina 02 18 23 27 23 10 33 Exercício 43 Uma empresa produtora de cimento dispõe de duas unidades de processamento, P1 e P2, com capacidades de produção instalada de 15.000 ton./mês e 10.000 ton./mês, respectivamente. O custo de processamento, em cada uma destas unidades, é de CR$ 200,00 por tonelada e CR$ 180,00 por tonelada, respectivamente. O calcáreo, a principal matéria-prima utilizada na fabricação do cimento, pode ser extraído de duas jazidas, JA1 e JA2, cuja produção mensal é de 8.000 toneladas cada uma. Para a produção do cimento a empresa compra a cinza de uma usina siderúrgica, e a utiliza numa proporção de 1:2 com o calcáreo. Dois grandes mercados consumidores concorrem para o consumo da produção desta empresa, conforme se apresenta abaixo: Consumo Mensal de Cimento (ton) Mercado 01 8.000 Mercado 02 6.000 Além dos custos de produção já citados, a empresa deve assumir os custos de transporte da matéria-prima e do produto final, apresentados abaixo: Custo Unitário de Transporte (R$/ton.km) Calcáreo 0,20 Cinza Siderúrgica 0,30 Cimento 0,15 No esquema abaixo, encontra-se a situação de cada um dos locais citados, bem como as distâncias entre eles. Formule o problema de planejamento de produção de cimento da empresa em questão.