Lista de Exercício de Recuperação-resolvida-2023 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS EPS7005 – PESQUISA OPERACIONAL EXERCÍCIO DE RECUPERAÇÃO Uma construtora está planejando o abastecimento de concreto para seis obras distintas. Sabe-se que cada m3 do concreto é composto por:  300 kg de cimento  0,700 m3 de brita e  0,350 m3 de areia. Ela pode produzir o concreto com recursos próprios, já que dispõe de uma pequena fábrica com capacidade para fornecer diariamente 250 toneladas de cimento, a um custo de R$ 215,50 por tonelada, além de três pedreiras (jazidas), onde extrai rocha para produzir a brita, e duas usinas para dosagem do concreto. A areia é comprada de um fornecedor externo que tem capacidade para fornecer diariamente até 500 m3 de areia lavada e peneirada, ao preço de R$ 65,00 por metro cúbico. Veja as localizações, as capacidades e os custo operacionais destas instalações no diagrama abaixo. Após a realização da dosagem, os insumos são colocados num caminhão betoneira para serem transportados até o local de lançamento. Ao longo da viagem os insumos continuam sendo misturados para manter uma perfeita homogeinização dos agregados, porém a água é adicinada somente no local da obra, minutos antes do lançamento do concreto nas formas. Na tabela abaixo encontram-se as distâncias a serem percorridas pelo caminhão betoneira: Distância entre Usinas e Obras (em km) Obra 01 Obra 02 Obra 03 Obra 04 Obra 05 Obra 06 Usina de Concreto 01 12 45 36 28 15 27 Usina de Concreto 02 18 23 27 23 20 33 Os custos unitários de transporte da matéria prima e do concreto usinado estão apresentados (individualmente para cada aluno) na tabela abaixo ao final do exercício. Pede-se: a) Construa o modelo matemático para o problema acima descrito (descreva as variáveis, as restrições, o objetivo e apresente a respectiva formulação matemática). b) Implemente o modelo e apresente o(s) arquivo(s) contendo o modelo computacional e a solução encontrada. c) Apresente, de forma objetiva, o plano de operações que a construtora deve seguir para atender a demanda de suas obras. d) Analise os custos marginais, e faça sugestões para melhoria da empresa. e) Até quanto a construtora poderia pagar por metro cúbico de concreto posto na obra, caso viesse a comprar o concreto de uma usina terceirizada ? f) Justifique, sob os diversos aspectos, a importância da empresa adotar o modelo proposto. Custos Unitários de Transporte Matrícula do Aluno Cimento R$/ton.km Brita R$/m3.km Areia R$/m3.km Concreto R$/m3.km 18102515 0,74 0,75 0,95 2,85 15206606 0,76 0,80 0,90 2,90 17204511 0,72 0,85 1,00 2,95 20202506 0,78 0,90 1,10 3,00 15200503 0,80 0,75 1,05 2,80 19104459 0,74 0,80 0,95 2,85 20102251 0,76 0,85 0,90 2,90 18100621 0,72 0,90 1,00 2,95 20100609 0,78 0,75 1,10 3,00 19203202 0,80 0,80 1,05 2,80 19203188 0,74 0,85 0,95 2,85 20204801 0,76 0,90 0,90 2,90 19205876 0,72 0,75 1,00 2,95 19200511 0,78 0,80 1,10 3,00 20103093 0,80 0,85 1,05 2,80 19203754 0,74 0,90 0,95 2,85 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS EPS7005 – PESQUISA OPERACIONAL EXERCÍCIO DE RECUPERAÇÃO MATRÍCULA: 18102515 a) Temos as seguintes variáveis em nosso modelo: Variável Descrição 𝑋𝑖𝑗 Quantidade Produzida em m3 de Concreto da Usina de Concreto 𝑖 ∈ {1, 2} para a Obra 𝑗 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑌𝑖 Quantidade Produzida em ton de Cimento para a Usina de Concreto 𝑖 ∈ {1, 2} 𝑊𝑖 Quantidade Produzida em m3 de Areia para a Usina de Concreto 𝑖 ∈ {1, 2} 𝑍𝑘𝑖 Quantidade Produzida em m3 de Brita na Jazida de Brita para a 𝑘 ∈ {1, 2, 3} Usina de Concreto 𝑖 ∈ {1, 2} Queremos minimizar os custos da empresa. Os custos da empresa são formados por custo de produção e custo de transporte. O custo de transporte é dado por: 2, 85 · (12 · 𝑋11 + 45 · 𝑋12 + 36 · 𝑋13 + 28 · 𝑋14 + 15 · 𝑋15 + 27 · 𝑋16 + 18 · 𝑋21 + 23 · 𝑋22 + 27 · 𝑋23 + 23 · 𝑋24 + 20 · 𝑋25 + 33 · 𝑋26) + 0, 74 · (350 · 𝑌1 + 380 · 𝑌2) + 0, 75 · (75 · 𝑊1 + 65 · 𝑊2) + 0, 95 · (70 · 𝑍11 + 30 · 𝑍21 + 20 · 𝑍22 + 115 · 𝑍32) O custo de produção é dado por: 28 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋1𝑗 + 35 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋2𝑗 + 215, 5 · (𝑌1 + 𝑌2) + 65 · (𝑊1 + 𝑊2) + 52 · 𝑍11 + 45 · (𝑍21 + 𝑍22) + 43, 5 · 𝑍32 Temos um conjunto de restrições referente-se as capacidades do sistema de produção: 𝑗=1 6 ∑ 𝑋1𝑗 ≤ 600 𝑗=1 6 ∑ 𝑋2𝑗 ≤ 700 𝑌1 + 𝑌2 ≤ 250 𝑊1 + 𝑊2 ≤ 500 𝑍11 ≤ 300 𝑍21 + 𝑍22 ≤ 400 𝑍32 ≤ 250 Temos um conjunto de restrição referente a demanda de concreto por parte das obras: 𝑋11 + 𝑋21 ≥ 130 𝑋12 + 𝑋22 ≥ 98 𝑋13 + 𝑋23 ≥ 115 𝑋14 + 𝑋24 ≥ 230 𝑋15 + 𝑋25 ≥ 145 𝑋16 + 𝑋26 ≥ 85 Temos um conjunto de restrições referentes a composição do concreto: 0, 3 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋1𝑗 ≤ 𝑌1 0, 3 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋2𝑗 ≤ 𝑌2 0, 35 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋1𝑗 ≤ 𝑊1 0, 35 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋2𝑗 ≤ 𝑊2 0, 7 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋1𝑗 ≤ 𝑍11 + 𝑍21 0, 7 · 𝑗=1 6 ∑ 𝑋2𝑗 ≤ 𝑍22 + 𝑍32 Por fim, temos as restrições de não-negatividade: 𝑋𝑖𝑗 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ {1, 2} ∀𝑗 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑌𝑖 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ {1, 2} 𝑊𝑖 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ {1, 2} 𝑍𝑘𝑖 ≥ 0 ∀𝑘 ∈ {1, 2, 3} ∀𝑖 ∈ {1, 2} b) Para resolução do modelo foi utilizado o solver do LibreOffice Calc. O arquivo modelagem.ods contém os detalhes da modelagem. Os resultados obtidos estão descritos na tabela abaixo: 𝑋𝑖𝑗 1 2 3 4 5 6 1 130 0 0 0 145 85 2 0 98 115 230 0 0 𝑌𝑖 1 2 108 132,9 𝑊𝑖 1 2 126 155,05 𝑍𝑘𝑖 1 2 1 162,1 - 2 89,9 310,1 3 - 0 Função Objetivo: R$ 268.811,3675 c) O plano de operações será o seguinte: ● A Usina de Concreto 1 irá fornecer concreto de forma exclusiva para as obras 1, 5 e 6 ● A Usina de Concreto 2 irá fornecer concreto de forma exclusiva para as obras 2, 3 e 4 ● A Fábrica de Cimento irá fornecer 108 ton para Usina de Concreto 1 ● A Fábrica de Cimento irá fornecer 132,9 ton para Usina de Concreto 2 ● A Jazida de Areia irá fornecer 126 m3 para Usina de Concreto 1 ● A Jazida de Areia irá fornecer 155,05 m3 para Usina de Concreto 2 ● A Jazida de Brita 1 irá fornecer 162,1 m3 para Usina de Concreto 1 ● A Jazida de Brita 2 irá fornecer 89,9 m3 para Usina de Concreto 1 e 310,1 m3 para Usina de Concreto 2 ● A Jazida de Brita 3 não será utilizada. d) A tabela abaixo apresenta os custo marginais: Custos Concreto Cimento Areia Brita Custo Transporte 47535,15 65343,48 18551,8375 15184,5 Custo Produção 25585 51913,95 18268,25 26429,2 Podemos destacar, de forma negativa, os custos de transporte do concreto e cimento. Significando que tanto as Usinas de Concreto como a Fábrica de Cimento não estão em locais estrategicamente instalados. As distâncias entre a Fábrica de Cimento e as Usinas de Concreto são muito superiores comparado com as outras distâncias dentro do sistema, podendo assim significar que saia mais vantajoso comprar o cimento a uma empresa terceira mais bem localizada. O custo de transporte do concreto é elevado devido ao alto custo unitário de transporte do concreto. Já o custo de produção do cimento pode ser considerado muito alto devido a alta taxa (700g) necessária de cimento na composição do concreto. Outro ponto interessante é que a Jazida de Brita 2 tem toda sua capacidade consumida, significando que para obter melhores resultados podemos tentar expandir a sua capacidade, já que a mesma se encontra muito próxima das usinas de concreto. e) Para calcular este valor máximo basta dividir o custo total pela quantidade produzida de concreto. valor máximo = 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖=1 2 ∑ 𝑗=1 6 ∑ 𝑋𝑖𝑗 = 𝑅$ 268.811,3675 803 ≃ 334, 75 O valor máximo é de R$ 334,75, pois caso seja um valor superior seria mais vantajoso a empresa produzir seu próprio concreto. f) Modelos como este auxiliam as empresas no processo de tomada de decisão, buscando sempre um conjunto de operações que minimizem seus custos ou maximizem seus lucros.