Lista 6 - Calor Onda Laplace - 2024-1

Disciplina Cálculo 4 Professor Gustavo Henrique Müller Aluno LISTA 6 EDP CALOR ONDA E LAPLACE Questão 1 Supondo α2 1 encontre uma expressão para a temperatura ux t do problema de distribuição de calor em uma barra com condições de Dirichlet homogêneas com a condição inicial e o comprimento da barra informados em cada um dos itens abaixo a fx 20 0 x π fx x 0 x 20 40 x 20 x 40 b Questão 2 Resolva o exercício anterior considerando condições de Neumann Questão 3 Uma barra de cobre de 20cm tem suas extremidades mantidas às temperaturas fixas de 20 C e 60 C Considerando uma temperatura inicial dada pela função fx 60 3x x 0 20 encontre a função ux t que expressa a distribuição de calor na barra ao longo do tempo Questão 4 O problema de valor de contorno apresentado abaixo representa a situação em que uma barra de comprimeiro L e material homogêneo tem sua extremidade esquerda mantida à temperatura nula enquanto a outra extremidade está isolada Neste contexto encontre a função ux t que representa a distribuição de calor nesta barra ut α2uxx 0 x L t 0 ux 0 fx 0 x L u0 t 0 uxL t 0 t 0 Questão 5 Em cada uma das situações descritas abaixo encontre a função ux t que soluciona a equação da onda gerada por uma corda elástica de comprimento L π com condições de Dirichlet Considere α 1 fx 2x3 3πx2 π2x e gx xx π a A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial à partir de uma posição inicial fx b A corda está em sua posição de equilíbro e é colocada em movimento com velocidade inicial gx c A corda é colocada em movimento com velocidade inicial gx à partir da posição fx Questão 6 Resolva o exercício anterior considerando condições de Neumann Questão 7 O problema de valor de contorno apresentado abaixo representa a onda produzida por uma corda elástica de comprimento L que tem uma extremidade fixa e a outra solta quando colocada em movimento na posição inicial fx com velocidade inicial gx Neste contexto encontre a função ux t que descreve este movimento utt α2uxx 0 x L t 0 u0 t 0 uxL t 0 t 0 ux 0 fx 0 x L utx 0 gx 0 x L Questaéao 8 Em cada item encontre a solucao estacionaria para o problema da equacao do calor em um quadrado de lado L cuja temperatura é mantida constante em todo seu perimetro exceto na lateral direita que tem distribuicao fixa dada por fy abaixo 0 0a 10 L Y 0 w 9 a f 4 1 10a 20 b fy L 0 202 30 2 Questaéao 9 Encontre a solucéo da equacéo de Laplace no retaéngulo que satisfaz as condicdes de contorno u0y 0 uLz y 0 uw0 0 ua Ly gz Questao 10 O problema de valor de contorno apresentado abaixo representa a equacao de Laplace para obter a distribuicéo de calor estaciondéria para um retangulo cujo lado direito 6 mantido a temperatura constante dada por fy e os outros trés lados estao isolados Neste contexto encontre a solugao ux y Ura Uyy 9 O0a Ly 0yL Uyx0 0 Uyx Ly 0 O0arl ux0y 0 uLey fy 0yL RESPOSTAS Questao 1 a uzt 3 ay 1 sennx an t t 160 nm b uat a 5 sen sen e a Questao 2 a uxt 20 a solugao é estacionaria tT 80 nt h NNL nn b uxt 10 h 20s 11 cos e as t 40 nm Questao 3 uxt 24 20 S 2 31 sen e ban fay NT 20 Questao 4 Cc 2 1 2n1r 2 2 L 2 1 uxt dobr sen e Sar ot onde by fx sen dx Questao 5 712 a uxt Fe 1 1 cosnt sennz n1 n b uxt x 1 1 sennt sennx c uzt 1 1 cosnt 1 1 sennt sennz Questio 6 a uxt x ee 1 1 cont cosne b uet m Y 1 1 sennt cosn c uet y pa 1 1 cosnt 4 1 sent cosn Questo 7 wed 5 focsn 252224 st oS an 22 b 7 fe gen eo dix dy acy 9 gen dx Questio 8 0 w20 antnay 0 208 73 sem gp 9 5 b uxy seen senh sen Questio 9 uzy ve senh om sen om onde icon 5 ax sen de Questao 10 uzy a c cosh cos 2 onde o incow yh F cos ty ea Fey