P2 Resolvida-2021 2

1. Considere a série \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6 + x^2}.\] (a) Mostre que tal série é uniformemente convergente em \(\mathbb{R}\). (b) Seja \(r > 0\). Mostre que \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6 + x^2} \right)'\] é uniformemente convergente em \([-r, r]\). Conclua, justificando sua resposta, que \[\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6 + x^2} \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6 + x^2} \right)', \ \forall x \in [-r, r], \ \forall r > 0.\] 2. Seja \(0 < \delta < 1\) e seja \(\{f_n : [\delta, 1] \to \mathbb{R}\}\) onde \[f_n(x) = \frac{(3n + 5)x^4 + x}{nx + 2}, \ \forall x \in [\delta, 1], \ \forall n \in \mathbb{N}.\] (a) Calcule (informalmente) \(h(x)\) tal que \[f_n(x) \to h(x), \forall x \in [\delta, 1]\] e prove formalmente que tal convergência é uniforme em \([\delta, 1]\). (b) Calcule \[\lim_{n \to \infty} \int_{\delta}^{1} f_n(x) \, dx.\] 3. Considere a série de potências \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8n}{2n^2 + 1} x^n.\] (a) Obtenha o raio de convergência \(R > 0\) de tal série. (b) Obtenha todo o sub-conjunto da reta real onde tal série é convergente. 4. Considere a série de potências \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\] a qual tem raio de convergência \(R > 0\). (a) Prove em detalhes que a série \[\sum_{n=1}^{\infty} (a_n x^n)^{\gamma}\] também tem raio de convergência \(R > 0\). (b) Conclua, justificando sua resposta, que \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d^k}{dx^k} (a_n x^n)\] tem raio de convergência também \(R > 0\), \(\forall k \in \mathbb{N}\). Dica: Use 4a e um argumento simples por indução em \(k\). 5. Seja \(f_n : [1, 8] \to \mathbb{R}\) uma sequência de funções onde \[f_n(x) = \sum_{k=1}^{n} k^3 e^{-3kx}.\] Seja \(f : [1, 8] \to \mathbb{R}\) tal que \[f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x), \ \forall x \in [1, 8].\] Mostre que \(f\) é contínua em \([1, 8]\). Sugestão: Basta mostrar que a série em questão é uniformemente convergente em \([1, 8]\). Para isso use o teste da razão em \(x = 1\). 6. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva a equação do calor \[\begin{cases} a \, u_{xx}(x, t) = u_t(x, t), & \text{em } [0, L] \times [0, +\infty) \\ u(0, t) = u(L, t) = 0, & \forall t \in [0, +\infty)\\ u(x, 0) = f(x), & \forall x \in [0, L]\\ \end{cases}\] Aqui \(a > 0\), \(f\) é de classe \(C^2\) em \([0, L]\) e tal que \(f(0) = f(L) = 0\). \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6 + x^2}\] a) pelo teste da razão \[\lim_{n\to\infty} \frac{\sen^{10}((n+1)^2x)}{(n+1)^6+x^2} \bigg/ \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6+x^2}\] = \[\lim_{n\to\infty} \frac{\sen^{10}((n+1)^2 x)}{\sen^{10}(n^2 x)} \bigg/ \frac{(n^6+x^2)}{(n+1)^6+x^2}\] = \[\lim_{n\to\infty} \frac{\sen^{10}((n+1)^2 x)}{\sen^{10}(n^2 x)} \bigg/ \frac{(n^6+x^2)}{(n+1)^6+x^2}\] < 1. b) \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sen^{10}(n^2x)}{n^6+x^2} \right)\] \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{n^6+x^2}} \left( 10n^9 (n^6+x^2) \cos(n^2 x) - \sen(n^2 x) \right)\] \((n^6+x^2)^2\) Se a série converge em todos os reais, a série da derivada também converge para todos os reais. 2) \[f_n(x) = \frac{(3n+5) x^4 + x}{n x + 2}\], \ \forall x \in [\delta, 1]\] a) \[h(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n+5) x^4 + x}{n x + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(3 + \frac{5}{n}) x^4 + \frac{x}{n}}{n(x + \frac{2}{n})}\] = \[\lim_{n \to \infty} \frac{n(3 + \frac{5}{n}) x^4 + \frac{x}{n}}{n(x + \frac{2}{n})}\] = 3x^3 = 3x^3 \[h(x) = 3x^3\] b) \[\lim_{n \to \infty} \int_{\delta}^{1} (\frac{3n + 5)x^4 + x}{nx + 2}) \, dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{12n^2}\biggr[ nx \left( 9n x^3 + 3n^3 \frac{3x^3}{x} - 8x^2 + 4 \right) - 5n x^2 (5x - 12) - 40 \biggr]_{\delta}^{1} = 0.\