P3 - 2023-2

1. Calcule a integral ∫∫∫_E c(x^2+y^2+z^2)^(3/2), com E sendo a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 ≤ 1 que fica no primeiro octante. 2. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x+y = 4 e pelo cilindro y^2 + 4z^2 = 16. (Dicas: Integre primeiro com relação a x; em seguida use o fato de que a área da elipse y^2/16 + z^2/4 = 1 é igual a 8π.) 3. Considere a curva γ : [0, 2π] → R³ dada por γ(t) = (e^(2t) cos(2t), 2, e^(2t) sin(2t)). (a) Encontre os pontos inicial e final da curva. (b) Encontre seu vetor tangente unitário em t = π/2. (c) Encontre seu vetor normal unitário principal em t = 3π/2. (d) Calcule o comprimento de arco da curva. (e) Considere f(x, y, z) = y / 4√2. Encontre ∫_γ f(x, y, z)dS. (f) Parametrize a curva por seu comprimento de arco. 4. Considere o campo vetorial F(x, y) = (x^3, y³); se C é a curva que se inicia em (0, 0) e termina em (1, 1) através do arco y = x^4, calcule ∫_C F(x, y) ⋅ dy. 5. Considere o campo vetorial F(x, y) = (2x + 4y², 8xy + 7x + 5); seja C a curva que se inicia em (6,0) e segue até (0,10) através de um segmento de reta, em seguida parte de (0,10) e vai até (-2,0) através de outro segmento de reta, e por fim vai de (-2,0) até (6,0) através do eixo x. Calcule ∫_C F(x, y) ⋅ dy.