P3 - Questao Antecipada - 2024-1

Disciplina Cálculo 4 Professor Gustavo Henrique Müller Data de Entrega 28062024 até às 1200 QUESTÃO ANTECIPADA PROVA 3 A questão apresentada abaixo com valor de 25 pontos faz parte da terceira prova da disciplina MTM 3104 Cálculo 4 do semestre 20241 Esta questão deve ser resolvida utilizando os métodos aprendidos nas aulas deste curso não sendo aceitas portanto resoluções que utilizem métodos mais avançados como Séries de Fourier Complexas e outros O prazo de entrega é 28062024 até às 1200 podendo ocorrer presencialmente junto com a prova ou virtualmente via Moodle IMPORTANTE O valor desta questão assim como o seu prazo serão válidos para todos os alunos inclusive para aqueles que não puderem comparecer à prova Nestes casos o aluno ausente deve enviar sua solução pelo Moodle dentro do prazo estabelecido Questão Antecipada 25 pontos Considere uma circunferência fechada de material homogêneo comprimento C e espessura desprezível Seja x 0 C uma posição no arco de circunferência com 0 C Neste contexto a distribuição de calor é determinada pela EDP abaixo chamada de Equação do Calor com condições de fronteira periódicas Encontre a função ux t que representa a distribuição de calor nesta circunferência ut α2uxx 0 x C t 0 u0 t uC t t 0 ux0 t uxC t t 0 ux 0 fx 0 x C Dica Como f 0 C R já é periódica sua extensão para os reais f R R possui período C Portanto a Série de Fourier para f é considerada no intervalo L L com C 2L Questão única Questão Antecipada 25 pontos Considere uma circunferência fechada de material homogêneo compri mento C e espessura desprezível Seja x 0 C uma posição no arco de circunferência com 0 C Neste contexto a distribuição de calor é determinada pela EDP abaixo chamada de Equação do Calor com condições de fronteira periódicas Encontre a função ux t que representa a distribuição de calor nesta circunferência ut α2uxx 0 x C t 0 u0 t uC t t 0 ux0 t uxC t t 0 ux 0 fx 0 x C Dica Como f 0 C R já é periódica sua extensão para os reais f R R possui período C Portanto a Série de Fourier para f é considerada no intervalo L L com C 2L Solução Primeiramente vamos determinar as soluções de forma geral visto que temos o mesmo problema de valor inicial e os casos diferem apenas do contorno associado a temperatura inicial Então de maneira geral nosso problema consiste em resolver a EDP do calor u t α22u x2 sob algumas condições De posse disso vamos a solução em algumas Etapas sendo essas Passo 1 Separação de variáveis Passo 2 Impor as condições de contorno Passo 3 Solução final usando a linearidade e séries de Fourier No entanto com fins de uma melhor notação faremos os desenvolvimentos pondo α2 e subsituiremos por 171 apenas ao fim para evitarmos notações pesadas Passo 1 Vamos usar o método de separação de variáveis assim buscaremos uma solução ux t da forma ux t ϕxgt Então levando na EDP temos 1 OT OT 0 t oO t et OF d0wgt Adxa0 Ww Ox Ot Ox Ot 09x Ogt gta 2 gt0 9 a 2 1 0 1 Ogt 1 Pole 1aglt 6 ox Ox gta Ot Como as equag6ées acima estao postas unicamente numa mesma varidvel e temos uma igualdade entao isso nos mostra que ambos os lados da igualdade acima so constantes portanto podemos separalas por uma constante de integrac4o a qual colocaremos como sendo p onde p R com efeito teremos 1 doa 8 dx dx P 1 dgt to gt po gt dt Entao organizando as equag6es acima obtemos doa 2 0 i P dgt 22 0 dt pag Agora vamos resolver cada uma das equagées A primeira é resolvida buscando uma solugao do tipo x e 0 que nos da 0 seguinte desenvolvimento dx 2 de 2 0 pr 0 da P dx pe eP 4 eP 0 rp0 re p rp rtpi onde i é a unidade imagindria Entao isso nos dé duas soluges sendo essas e e e Com isso e de posse do 2 principio da linearidade para EDOs a solugao da Equagao é dada por x AeiP 4 Blew ie Alcospr isinpx Bcospx i sinpz Alcospr 7isinpx Bcospxr isinpz A Bcospx Ai B2 sinpz Acospr Bsinpz Ou seja obtemos que ox Acospxr Bsinpx onde A B sao constantes tais que A A Be B Ai Bi Para a segunda EDO basta resolvermos usando separaao de varidveis ou seja temos que dgt d dt g d oF p dg g Ing pactC gte Peres gtKer com K e Entao temos duas solugdes sendo essas x Acospx Bsinpx gt Kero e issO nos permite construir a primeira forma da solucao uxt oxgt acospx bsinpre com ab constantes redefinidas de modo que a AK eb BK que serao determinadas via condiées de contorno 3 Passo 2 Agora vamos aplicar as condig6es de contorno dadas Com efeito segue que a primeira dessas é u0t u2Lt para todo valor de t real entéo segue que aplicando x 0e x C 2L na solucio vamos ter o seguinte u0t u2Lt acPet a cos p2L bsin p2Le aacosp2L bsin p2L cos2pL 1 sin2pL 0 WwL2nt ont PL desse modo determinamos p para qualquer natural n N U 0 Assim segue que nossa solugéo u pode entao passar a ser escrita em termos de cada parametro n de modo que teremos nr rat Unxt lan cos b sin Lo em que fazemos os coeficientes a e b serem também definidos com relagdo a cada n Com isso vamos agora entao aplicar a segunda condicfo e contorno periddica com relagéo a derivada em x que nos diz que u0t u2U t para todo valor de real Entao para essa condiao teremos que uma vez que a derivada de wu é nat OpUn xt an sin by Cos e L segue que da condicao de contorno que nat OL OL nr rat Oy Un0t OpUn2Lt be Lo a sin b cos e L nat nat bne b a sin 2n7 by cos 2n7 e L bd a sin 2n7 b cos 2n7 b an 05 1 bd 1bVn NU 0 consequentemente segue que b b para n impar e b 6b para n par logo temos que para n impar segue que b b 2b 0 5b O Portanto todo b com n impar é nulo Por outro lado as 4 solug6es par n par sao tais que b pode ser nao nulo Construcao da série de Fourier Com isso segue entao que a solucdo mais geral possivel é obtida entaéo pela combinagao linear das solucdes obtidas em cada n desse modo segue entao que a solucao completa do problema é dada por uzt S Unx t n0 oo 1 1 nat NIX 1 NTL S own OE r BEY YJ ancos E 4 5 sin L le n0 1 1 observe que introduzimos o termo aac na série juntamente com os b que garante que se n for impar entao essa contribuicao sera nula Aplicacao da condicao de valor inicial no tempo A expressao acima configura a série de Fourier de ux t Entéo veja que dado o problema resta determinar mos cada a e cada b para isso iremos utilizar a condiao de valor inicial dada por uxt 0 ux0 fz para todo x 02Z Com efeito temos que para t 0 segue que nossa solugao fica dada por nTx 11 snre uv0 fz fx Qn COS b sin 20 fle Fle ances P S 7 Entao vamos determinar cada coeficiente a e cada b utilizando a ortogonalidade das fungdes seno e cosseno no intervalo L L tomando a extensdo analitica periddica de fx Desse modo segue que integrando inicialmente 5 a expressdo acima de L até L teremos que L L 0 pL 0 141l 0 fadx la cos dx jC sin L L L 2 L L L x 1 1 e cos p CACM sin S dx L co dx L oo L L 14 1 S es cos dx p CEC sin n1 L te L mx NTL 0 sin n cos L 1 1 L a bn 3 oar mit 7 ba 7p be aoL L lanl 1 1 an b a sinna sinn7 5 cosn7 cosn7 ao2L fanL 11 oa sinnz sinna p CEC cosnm cost ao2L onde usamos os resultados de paridade das fung6es seno e cosseno sinrx sinra e cosra cosrx bem como 0 fato de que sinn7 0 pois n N Entao segue que temos que ag fica determinado por 1 fe do 57 fxdz Agora resta determinarmos os casos em que a e 5 sdo tais que n 0 Para isso é necessdrio usarmos a 6 ortogonalidade dessas fung6es com efeito veja que dados m e n com m n naturais teremos que L 1 fe sinnaz cosmadx 5 2 sinnx cosmxdx L L 1 L 5 sinn ma sinn madax L 1 Lnm 1 Lnm mem sin xdx mam sin xdx 2n m J1n4m 2n m J1nm 1 Lnm 1 Lnm 2n m C08 vam r 2n m cos 1 Xntm cosLn m cosLn m 1 2n m cosLn m cosLn m 0 NTL Ademais para fungao sin é possivel obter a seguinte relagao de ortogonalidade L L sin sin dx 2 sin sin dx L L L 0 L L L cos Cop cos an dx 0 L L L nmra L ntmra sin sin nmn L n mr L 0 sinn mx sinn mx sinn mm sinn mr nmr n mr e como n menm sao naturais segue que ambos os termos acima so estritamente nulos logo L NTx MTX sin sin dx 0 1 L L Agora tomando n m teremos que L L L 2 sin de 2 sin SF a 1cos de L L 0 L 0 L LL 2nrx h xsin 2nt L F L L Inn sin2n7 L uma vez que sin2n7 0 pois n é natural De igual forma tais relagdes podem ser obtidas para 0 cosseno também as quais sao paran m a seguinte 7 m d of 2 m d cos cos dx cos cos dx L L L 0 L L L L nmra 4 L nmra sin sin nmn L nmr L 0 sinn mn sinn mn sinn mm sinn mr nmr n mr 0 Por outro lado temos para n m que L L cos dx 2 cos dx 1 L 0 L L 2NTX 1 Jd cos L x 4 LL 2Qnrax L xsin 2nt L 0 L Ls 2n7 L dq Snl2nm L Usando as relagdes acima podemos enfim determinar todos os a e b que compdem a solugéo da EDP desejada Com efeito multiplicando a solugao geral para t 0 por cos e integrando de L até L segue que teremos L ue 11 sees SE ae 3 wees GE bP sin 2 cos AE ae L NTx Max Sian cos cos dx n0 WL 1 f Seen a sin COS dx 1 1 ApL b 0 Gm L 5 AmL Logo obtemos entao que 1 se 8 ou apenas modificando o rétulo de n para m teremos que 1 fe Gn 7 fx cos dx 5 ae a MTL De forma similar multiplicando a solugao geral para t 0 por sin e integrando de L até L segue que teremos L Law 1 1 fx sin dx d e cos p CACM sin S sin dx s Le mE a 1 An sin 08 x n0 1 1 ye sin sin dx 11 Sean 0 bp tt 2 n0 1 m pen 2 logo segue entao 4 modificando o rétulo de m n que 11 1 p CEC F t sin dx 6 Assim segue que a solugao completa do problema é dada por oo ye nr nat uxt agt d e COs p CACM sin S L 7 oo nr nat oo a4 1 nnart ntxL Ntx aot Sian COs e bo S bn sin e L 8 n1 n135 com 1 fe ay az flee 1 fe Gn F fx cos dx 9 9 fh b I fx sin dx 9 sendo an definido para todo n natural e bn para n ímpar 10