Questao 1 Lista-2021 2

1. Considere a série \[ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sen^8(n^3x)}{n^5 + x^2}. \] (a) Mostre que tal série é uniformemente convergente em $\mathbb{R}$. (b) Seja $r > 0$. Mostre que \[ \sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\sen^8(n^3x)}{n^5 + x^2}\right)' \] é uniformemente convergente em $[-r, r]$. Conclua, justificando sua resposta, que \[ \left(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sen^8(n^3x)}{n^5 + x^2}\right)' = \sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\sen^8(n^3x)}{n^5 + x^2}\right)', \quad \forall x \in [-r, r], \forall r > 0. \]