Resolver L.3 1) u_tt - u_xx = 0, 0 < x < 1, t > 0 a) { u(x,0) = u_x(1,t) u_t(x,0) = phi(x) u_t(x,0) = g(x) b) Solução para f(x) ≡ 0 e g(x) = 2\sin{\pi x} 2) Solução de { u_tt - c^2u_xx = 0, x \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R} u(x,0) = e^{x^2}, u_t(x,0) = 1 Dica: Fórmula D'Alembert. 3) u_tt - u_xx = g(x,t), 0 < x < \pi, t > 0 u(x,0) = u_x(\pi,t) = 0 u_t(x,0) = 0. Dica: Duhamel u(x,t) = \int_0^t W(x,t-s,s) ds com W(x,t) = W(x,t,s) solução de W_tt - W_xx = 0, 0 < x < \pi, t > 0 W(x,t_1,s) = W_x(\pi,t,s) = 0 W(x,0,s) = g(x,s) Problema de Cauchy homogêneo resolvido aula. Obs. \ W como W(x+t) e f(x) = g(x,s) 4) Resolver por séries: xy + xy' - 2y = 0, y = y(x), y(1) = 3. 5) Resolver problema do Laplace \Delta u = u_xx + u_yy = 0, 0 < x < \pi 0 < y < 1 a) +CS no desenho b) Se g(x) ≡ 1? (Diagram: u = g(x) u_y = 0 (0 < x < \pi) (y = 0 -> 1))
