·
Oceanografia ·
Álgebra Linear
· 2024/1
Send your question to AI and receive an answer instantly
Recommended for you
Preview text
Universidade Federal de Santa Catarina Disciplina: Álgebra Linear - MTM3121 5ª Lista de exercícios Assunto: Espaços vetoriais, subespaços vetoriais e subespaços gerados Prof.ª: Virgínia Silva Rodrigues Exercícios práticos 1) Em R^3 definimos as operações: (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3) = (x1+y2, x2+y1, x3+y3) e a multiplicação a(x, y, z) = (ax, ay, az) para quaisquer (x1, x2, x3), (y1, y2, y3), (x, y, z) ∈ R^3 e qualquer a ∈ R. R^3 é um espaço vetorial real com tais operações? Se verdadeiro, você deve mostrar as 8 condições da definição de espaço vetorial. Se falso, encontre uma condição da definição de espaço vetorial que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição. 2) Considere V = R^2 com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo. (i) Para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ R^2 e a ∈ R: (x1, x2) + (y1, y2) = (2x1 - 2x2, -x1 + x2) e a(x, y) = (3ay, -ax). R^2 com essas duas operações definidas acima não é um espaço vetorial. Faça o que se pede: • dentre as 8 condições da definição de espaço vetorial, identifique uma que não vale com respeito à soma definida acima e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha; • dentre as 8 condições da definição de espaço vetorial, identifique uma que não vale com respeito à multiplicação por escalar real definida acima e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha. (ii) Para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ R^2 e a ∈ R: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e a(x, y) = (ax, 0). Encontre uma condição da definição de espaço vetorial que falha e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha. 3) Mostre que W = {( 2a a + 2b ) : a, b ∈ R} 0 a - b é subespaço vetorial de M_2(R). Além disso, (i) ( 0 -2 ) ∈ W? (ii) ( 0 2 ) ∈ W? 1 1 3 1 4) Seja H o subconjunto de R^2, dado por H = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1}, isto é, H é o conjunto dos pontos interiores ao círculo de centro (0,0) e raio 1. H é um subespaço de R^2? Justifique sua resposta. 5) Quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços de R^3? (i) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : y é irracional}; (ii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ∈ Z}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : ax + by + cz = 0 com a, b, c ∈ R}. 6) Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3? (i) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = 1}; (ii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ≤ y ≤ z}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y ∈ Q}. 7) Para fazer esse exercício, veja o exercício teórico 2). Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de C(I) onde I = [0, 1]. (i) {f ∈ C(I) : f(0) = 0}; (ii) {f ∈ C(I) : ∫₀¹ f(t)dt = 0}; (iii) {f ∈ C(I) : f(0) = f(1)}. 8) Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R, isto é, V = {f : R → R : f é uma função}, com as operações de soma e multiplicação por escalar real como definidas no exercício teórico 2), com a ressalva de que agora, f + g : R → R e que a f : R → R, para qualquer a ∈ R. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V ? (i) W = {f : R → R : f(x²) = (f(x))²}; (ii) W = {f : R → R : f(0) = f(1)}; (iii) W = {f : R → R : f(-1) = 0}. 9) Sejam U, V e W subespaços de R^3 dados por U = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = z}, V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = y = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + z = 0}. Dê um sistema de geradores para U, V e W. 10) Dê um sistema de geradores para cada um dos subespaços de R^3: (i) U = {(x, y, z) ∈ R^3 : x - 2y = 0}; (ii) V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + z = 0 e x - 2y = 0}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + 2y - 3z = 0}. 11) Verificar que o conjunto de matrizes abaixo geram o espaço vetorial M_2(R): { ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 0 0 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) }. Exercícios teóricos 1) Mostre que, com as operações usuais, R^3 e M_2x3(R) são espaços vetoriais reais. Com o mesmo raciocínio usado para provar os dois anteriores, prove que R^n e M_mxn(R) são espaços vetoriais reais, com as operações também usuais. 2) (Exercício exigente!) Seja I um intervalo da reta. Indiquemos por C(I) = {f : I → R : f é contínua} com as operações abaixo: f + g : I → R e a f : I → R dadas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (a f)(x) = a f(x) para quaisquer f, g ∈ C(I), a ∈ R e x ∈ I. Mostre que C(I) é um espaço vetorial real. Observe que a soma de duas funções contínuas de I em R é uma função contínua e também que um escalar (real) multiplicado por uma função contínua também resulta em uma função contínua. Isso nos diz que as operações soma e multiplicação por escalar estão bem definidas. 3) Seja V um espaço vetorial real. Mostre as seguintes propriedades: a0v = 0v, para todo a ∈ R; (α - β)v = αv - βv, para quaisquer α, β ∈ R e qualquer v ∈ V; α(u - v) = αu - αv, para qualquer α ∈ R e u, v ∈ V. 4) Seja M_4(R) o espaço vetorial real com as operações usuais. Consideremos os subconjuntos de M_4(R), S = (a_ij)_{1≤i,j≤4} tais que a_ij = 0 para todo i > j e T = (b_ij)_{1≤i,j≤4} tais que b_ij = 0 para todo i < j, respectivamente conjuntos das matrizes triangulares superiores e inferiores. Mostre que S e T são subespaços de M_4(R). O conjunto de todas as matrizes diagonais {(c_ij)_{1≤i,j≤4} : c_ij = 0 para i ≠ j} é um subespaço de M_4(R)? 5) Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços vetoriais: (i) W = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : x + y = 0 e z - t = 0}; (ii) U = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : 2x + y - t = 0 e z = 0}. 6) Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em R. Seja V_p o subconjunto de V de todas as funções pares, i.e., tais que f(-x) = f(x), para todo x ∈ R; e seja V_i o subconjunto de V de todas as funções ímpares, i.e., tais que f(-x) = -f(x), para todo x ∈ R. Prove que V_p e V_i são subespaços de V. Respostas de alguns exercícios Exercício prático 1) R^3 com as operações definidas no exercício não é espaço vetorial. Exercício prático 3) (i) Sim; (ii) Não. Exercício prático 4) H não é subespaço de R^2, identifique dentre as condições para que tenhamos um subespaço vetorial, apenas uma que falha e dar um exemplo numérico que constate tal fato. Exercício prático 5) Apenas (iii) é subespaço vetorial. Os demais não são - nestes casos, basta que identifique dentre as condições para que tenhamos um subespaço vetorial, apenas uma que falhe e dar um exemplo numérico que constate tal fato. Exercício prático 6) Nenhum deles é subespaço de R^3, por quê? Exercício prático 7) Todos são subespaços. Exercício prático 8) (ii) e (iii). Exercício prático 9) {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} é um sistema de geradores para U. {(0, 0, 1)} é um sistema de geradores para V e {(1, -1, 0), (-1, 0, 1)} é um sistema de geradores para W. Exercício prático 10) (i) U = {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} e o sistema de geradores é {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}; (ii) V = {(2, 1, -2)} e o gerador é o conjunto unitário {(2, 1, -2)}; (iii) W = {(−2, 1, 0), (3, 0, 1)} e o sistema de geradores é {(−2, 1, 0), (3, 0, 1)}. Exercício prático 11) Para tal exercício, escreva um elemento qualquer de M_2(R) como ( x y ) = a ( 1 0 ) + b ( 1 1 ) + c ( 0 0 ) + d ( 0 1 ) ( z w ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) em que a, b, c e d são escalares a serem determinados. Solucione o sistema para determiná-los e deverá encontrar: a = 1/2(x − y − z + w), b = 1/2(x + y + z − w), c = 1/2(x − y − w) + 2/3 z e d = 1/2(−x + y − z + w). Exercício teórico 4) {(c_ij)_{1≤i,j≤4} : c_ij = 0 para i ≠ j} é subespaço, mostre isso. 3) i) W = { \left( \begin{array}{cc} 2a, & a_1+2b,1 \\ 0 & a,-b,1 \end{array} \right) \mid z \left( \begin{array}{cc} 2a, & 2b+q \\ 0 & a-b \end{array} \right) } w_1 + w_2 = \left( \begin{array}{cc} 2(a_1+a_2) \\ 0 \end{array} \right), \begin{array}{cc} a_1+a_2 & 2(b_1+b_2) \\ a_1+a_2, & b_1 \end{array} \in W \alpha w_1 = \left( \begin{array}{cc} \alpha(2a, & a_1+2b,) \\ 0, & \alpha(a,-b,) \end{array} \right) \in W Logo, \acute{e} subespaço. ii) \left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2a & 2b+q \\ 0 & a-b \end{array} \right) => \left( \begin{array}{cc} 2a=0 => a=0 \newline a+2b=2b => b=1 \newline a-b=1 => b=-1 \end{array} \right) \right) \newline a=0, e b=-1 => Logo, \in W \newline \thetabbox{assurda!} \notin W iii) \left( \begin{array}{cc} 0 & -2 & 3 \newline 0 & 1 & \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2a & a_1+2b \newline 0 & a,-b \end{array} \right) => \left( \begin{array}{cc} \thetabox{3} => \acute{e} Absurd \right), \notin W 2) (i) A QUE FALHA NA SOMA \acute{e}: (x+y)+z = x+(y+z) \omega_1=(1,0) \omega_2=(0,1) \omega_3=(1,0) (\omega_1+\omega_2) + \omega_3 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -4 \end{array} \right) \beta \omega_1, (\omega_2+\omega_3) \neq (2,0) A QUE FALHA NA MULTIPLICAÇÃO \acute{e} \alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y \alpha=2 \omega_1=(1,0) \omega_2=(0,1) => \alpha(\omega_1 + \omega_2 = (0,-4) (\alpha\omega_1 + \alpha\omega_2) = (3,-2) \newline (ii) A QUE FALHA \acute{e}: \omega_1 + \omega_2 = (\omega_1+\omega_2) \omega_1=(1,0) \omega_2=(1,1) => \omega_1 + \omega_2 = (2,2) (2,2) \acute{n} \tilde{\acute{o}} \acute{e} DA FORMA (x,0)
Send your question to AI and receive an answer instantly
Recommended for you
Preview text
Universidade Federal de Santa Catarina Disciplina: Álgebra Linear - MTM3121 5ª Lista de exercícios Assunto: Espaços vetoriais, subespaços vetoriais e subespaços gerados Prof.ª: Virgínia Silva Rodrigues Exercícios práticos 1) Em R^3 definimos as operações: (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3) = (x1+y2, x2+y1, x3+y3) e a multiplicação a(x, y, z) = (ax, ay, az) para quaisquer (x1, x2, x3), (y1, y2, y3), (x, y, z) ∈ R^3 e qualquer a ∈ R. R^3 é um espaço vetorial real com tais operações? Se verdadeiro, você deve mostrar as 8 condições da definição de espaço vetorial. Se falso, encontre uma condição da definição de espaço vetorial que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição. 2) Considere V = R^2 com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo. (i) Para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ R^2 e a ∈ R: (x1, x2) + (y1, y2) = (2x1 - 2x2, -x1 + x2) e a(x, y) = (3ay, -ax). R^2 com essas duas operações definidas acima não é um espaço vetorial. Faça o que se pede: • dentre as 8 condições da definição de espaço vetorial, identifique uma que não vale com respeito à soma definida acima e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha; • dentre as 8 condições da definição de espaço vetorial, identifique uma que não vale com respeito à multiplicação por escalar real definida acima e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha. (ii) Para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ R^2 e a ∈ R: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e a(x, y) = (ax, 0). Encontre uma condição da definição de espaço vetorial que falha e dê um exemplo numérico para evidenciar que a mesma falha. 3) Mostre que W = {( 2a a + 2b ) : a, b ∈ R} 0 a - b é subespaço vetorial de M_2(R). Além disso, (i) ( 0 -2 ) ∈ W? (ii) ( 0 2 ) ∈ W? 1 1 3 1 4) Seja H o subconjunto de R^2, dado por H = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1}, isto é, H é o conjunto dos pontos interiores ao círculo de centro (0,0) e raio 1. H é um subespaço de R^2? Justifique sua resposta. 5) Quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços de R^3? (i) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : y é irracional}; (ii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ∈ Z}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : ax + by + cz = 0 com a, b, c ∈ R}. 6) Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3? (i) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = 1}; (ii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ≤ y ≤ z}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y ∈ Q}. 7) Para fazer esse exercício, veja o exercício teórico 2). Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de C(I) onde I = [0, 1]. (i) {f ∈ C(I) : f(0) = 0}; (ii) {f ∈ C(I) : ∫₀¹ f(t)dt = 0}; (iii) {f ∈ C(I) : f(0) = f(1)}. 8) Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R, isto é, V = {f : R → R : f é uma função}, com as operações de soma e multiplicação por escalar real como definidas no exercício teórico 2), com a ressalva de que agora, f + g : R → R e que a f : R → R, para qualquer a ∈ R. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V ? (i) W = {f : R → R : f(x²) = (f(x))²}; (ii) W = {f : R → R : f(0) = f(1)}; (iii) W = {f : R → R : f(-1) = 0}. 9) Sejam U, V e W subespaços de R^3 dados por U = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = z}, V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x = y = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + z = 0}. Dê um sistema de geradores para U, V e W. 10) Dê um sistema de geradores para cada um dos subespaços de R^3: (i) U = {(x, y, z) ∈ R^3 : x - 2y = 0}; (ii) V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + z = 0 e x - 2y = 0}; (iii) W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + 2y - 3z = 0}. 11) Verificar que o conjunto de matrizes abaixo geram o espaço vetorial M_2(R): { ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 0 0 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) }. Exercícios teóricos 1) Mostre que, com as operações usuais, R^3 e M_2x3(R) são espaços vetoriais reais. Com o mesmo raciocínio usado para provar os dois anteriores, prove que R^n e M_mxn(R) são espaços vetoriais reais, com as operações também usuais. 2) (Exercício exigente!) Seja I um intervalo da reta. Indiquemos por C(I) = {f : I → R : f é contínua} com as operações abaixo: f + g : I → R e a f : I → R dadas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (a f)(x) = a f(x) para quaisquer f, g ∈ C(I), a ∈ R e x ∈ I. Mostre que C(I) é um espaço vetorial real. Observe que a soma de duas funções contínuas de I em R é uma função contínua e também que um escalar (real) multiplicado por uma função contínua também resulta em uma função contínua. Isso nos diz que as operações soma e multiplicação por escalar estão bem definidas. 3) Seja V um espaço vetorial real. Mostre as seguintes propriedades: a0v = 0v, para todo a ∈ R; (α - β)v = αv - βv, para quaisquer α, β ∈ R e qualquer v ∈ V; α(u - v) = αu - αv, para qualquer α ∈ R e u, v ∈ V. 4) Seja M_4(R) o espaço vetorial real com as operações usuais. Consideremos os subconjuntos de M_4(R), S = (a_ij)_{1≤i,j≤4} tais que a_ij = 0 para todo i > j e T = (b_ij)_{1≤i,j≤4} tais que b_ij = 0 para todo i < j, respectivamente conjuntos das matrizes triangulares superiores e inferiores. Mostre que S e T são subespaços de M_4(R). O conjunto de todas as matrizes diagonais {(c_ij)_{1≤i,j≤4} : c_ij = 0 para i ≠ j} é um subespaço de M_4(R)? 5) Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços vetoriais: (i) W = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : x + y = 0 e z - t = 0}; (ii) U = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : 2x + y - t = 0 e z = 0}. 6) Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em R. Seja V_p o subconjunto de V de todas as funções pares, i.e., tais que f(-x) = f(x), para todo x ∈ R; e seja V_i o subconjunto de V de todas as funções ímpares, i.e., tais que f(-x) = -f(x), para todo x ∈ R. Prove que V_p e V_i são subespaços de V. Respostas de alguns exercícios Exercício prático 1) R^3 com as operações definidas no exercício não é espaço vetorial. Exercício prático 3) (i) Sim; (ii) Não. Exercício prático 4) H não é subespaço de R^2, identifique dentre as condições para que tenhamos um subespaço vetorial, apenas uma que falha e dar um exemplo numérico que constate tal fato. Exercício prático 5) Apenas (iii) é subespaço vetorial. Os demais não são - nestes casos, basta que identifique dentre as condições para que tenhamos um subespaço vetorial, apenas uma que falhe e dar um exemplo numérico que constate tal fato. Exercício prático 6) Nenhum deles é subespaço de R^3, por quê? Exercício prático 7) Todos são subespaços. Exercício prático 8) (ii) e (iii). Exercício prático 9) {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} é um sistema de geradores para U. {(0, 0, 1)} é um sistema de geradores para V e {(1, -1, 0), (-1, 0, 1)} é um sistema de geradores para W. Exercício prático 10) (i) U = {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} e o sistema de geradores é {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}; (ii) V = {(2, 1, -2)} e o gerador é o conjunto unitário {(2, 1, -2)}; (iii) W = {(−2, 1, 0), (3, 0, 1)} e o sistema de geradores é {(−2, 1, 0), (3, 0, 1)}. Exercício prático 11) Para tal exercício, escreva um elemento qualquer de M_2(R) como ( x y ) = a ( 1 0 ) + b ( 1 1 ) + c ( 0 0 ) + d ( 0 1 ) ( z w ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) em que a, b, c e d são escalares a serem determinados. Solucione o sistema para determiná-los e deverá encontrar: a = 1/2(x − y − z + w), b = 1/2(x + y + z − w), c = 1/2(x − y − w) + 2/3 z e d = 1/2(−x + y − z + w). Exercício teórico 4) {(c_ij)_{1≤i,j≤4} : c_ij = 0 para i ≠ j} é subespaço, mostre isso. 3) i) W = { \left( \begin{array}{cc} 2a, & a_1+2b,1 \\ 0 & a,-b,1 \end{array} \right) \mid z \left( \begin{array}{cc} 2a, & 2b+q \\ 0 & a-b \end{array} \right) } w_1 + w_2 = \left( \begin{array}{cc} 2(a_1+a_2) \\ 0 \end{array} \right), \begin{array}{cc} a_1+a_2 & 2(b_1+b_2) \\ a_1+a_2, & b_1 \end{array} \in W \alpha w_1 = \left( \begin{array}{cc} \alpha(2a, & a_1+2b,) \\ 0, & \alpha(a,-b,) \end{array} \right) \in W Logo, \acute{e} subespaço. ii) \left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2a & 2b+q \\ 0 & a-b \end{array} \right) => \left( \begin{array}{cc} 2a=0 => a=0 \newline a+2b=2b => b=1 \newline a-b=1 => b=-1 \end{array} \right) \right) \newline a=0, e b=-1 => Logo, \in W \newline \thetabbox{assurda!} \notin W iii) \left( \begin{array}{cc} 0 & -2 & 3 \newline 0 & 1 & \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2a & a_1+2b \newline 0 & a,-b \end{array} \right) => \left( \begin{array}{cc} \thetabox{3} => \acute{e} Absurd \right), \notin W 2) (i) A QUE FALHA NA SOMA \acute{e}: (x+y)+z = x+(y+z) \omega_1=(1,0) \omega_2=(0,1) \omega_3=(1,0) (\omega_1+\omega_2) + \omega_3 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -4 \end{array} \right) \beta \omega_1, (\omega_2+\omega_3) \neq (2,0) A QUE FALHA NA MULTIPLICAÇÃO \acute{e} \alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y \alpha=2 \omega_1=(1,0) \omega_2=(0,1) => \alpha(\omega_1 + \omega_2 = (0,-4) (\alpha\omega_1 + \alpha\omega_2) = (3,-2) \newline (ii) A QUE FALHA \acute{e}: \omega_1 + \omega_2 = (\omega_1+\omega_2) \omega_1=(1,0) \omega_2=(1,1) => \omega_1 + \omega_2 = (2,2) (2,2) \acute{n} \tilde{\acute{o}} \acute{e} DA FORMA (x,0)