Lista 7 -espaços com Produto Interno Processo de Ortogonalização de Gram-schmidt - 2024-1

Universidade Federal de Santa Catarina 7a Lista de exercícios de Álgebra Linear - MTM3121 Assunto: Espaços com produto interno, processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Profa.: Virgínia Silva Rodrigues Nessa lista, quando nada é dito ao contrário, o produto interno é o usual de R^n, n >= 2. 1) Seja V o espaço vetorial R^2. Sejam v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) elementos de R^2. Se Δ(v1, v2) = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2, então mostre que Δ é um produto interno. 2) Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno <,>. Sejam v1, ..., vn elementos não-nulos de V e mutuamente ortogonais, isto é, < vi, vj > = 0 se i ≠ j. Mostre que v1, ..., vn são linearmente independentes. 3) Considere no R^2 o produto interno dado por < u, v > = x1x2 + 2y1y2 - x1y2 - x2y1 para quaisquer par de vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) de R^2. Faça os itens abaixo: (i) determine m a fim de que os vetores (1 + m, 2) e (3, m - 1) sejam ortogonais; (ii) determine todos os vetores do R^2 ortogonais a (2, 1); (iii) determine todos os vetores (m, m - 1) de norma igual 1. 4) Determine todos os vetores de R^3 com produto interno usual de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a (2, 1, 2) e (−1, 3, 4). 5) Determine uma base ortonormal para cada um dos subespaços de R^4 utilizando o processo de Gram – Schmidt: (i) W = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)]; (ii) W = [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3, −3, −3, 0)]. Dica: Verifique se os geradores dados para W em (i) e (ii) formam de fato uma base para W e, após, aplique o processo de Gram-Schmidt. 6) Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} uma base de R^3. Ache uma base ortonormal β_o de R^3 em relação ao produto interno usual. 7) Seja β = {(−1, 1), (1, 1)} uma base do R^2. Ache uma base ortonormal β_o de R^2 em relação ao produto interno definido no exercício 1. 8) Determine uma base ortonormal do subespaço W de R^3 dado por W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x − y = 0}. 9) Seja V = M_2x1(R), o espaço vetorial das matrizes X de ordem 2 × 1 (espaço-coluna) com entradas reais, e seja M uma matriz quadrada 2 × 2 qualquer com entradas em R tal que M = M^T. Se x ∈ V e y são vetores-coluna então, fixada a matriz M, X^T MY é uma matriz 1 × 1, que identificamos com um número real. A função ϕ : V × V → R definida por ϕ(X, Y) = X^T MY não é um produto interno. Qual condição da definição de produto interno falha ? Dê um exemplo numérico que evidencie que tal condição falha. 10) Seja {g1, g2, · · ·, gn} um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são ortogonais dois a dois. Prove que ∥ ∑_{i = 1}^n G_i ∥^2 = ∑_{i = 1}^n ∥ gi ∥^2 (teorema de Pitágoras generalizado). Dica: Uma vez que ∥ v ∥ = √< v, v >, podemos concluir que ∥ v ∥^2 = < v, v >, use esta última igualdade. 11) Determine um vetor unitário do R^3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço W = [(1, 2, −1), (−1, 0, 2)]. 12) Determine uma base ortonormal do subespaço W = [(1, 1, 1), (1, −2, 3)] do R^3 em relação ao produto interno dado por <u, v > = x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3, para todo par de vetores u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) do R^3. 13) Se X = ( x y ) e Y = ( x' y' ) z w z' w' são matrizes quaisquer de M_2(R), a função <,>: M_2(R) × M_2(R) → R definida por < X, Y > = xx' + yy' + zz' + ww' é um produto interno, verifique que é produto interno, tal produto é chamado produto interno usual sobre M_2(R). Dadas as matrizes X = ( 1 2 ) e Y = ( 0 2 ) −1 1 1 2 determine ∥ X + Y ∥ e o ângulo entre essas matrizes. 14) Usando o produto interno definido no exercício acima, exiba uma base ortonormal (usando Gram-Schmidt), a partir da base β de M_2(R) dada como segue β = {( 1 0 ), ( 1 1 ), ( 1 0 ), ( 1 1 )}. ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) Respostas de alguns exercícios: 3) (i) m = 6 ou m = 1, (ii) {(0, y) : y ∈ R}, (iii) (1, 0); 4) {∓4/3√17, ∓20/3√17, ±14/3√17}; 5) (i) β_o = { 1/√2(1, 1, 0, 0), √2/3(−1/2, 1/2, 2, 0), 1/√17(2/3,−2/3, 1/3, 4)} (ii) β_o = { 1/√19 (1, 3, 3, 0), √19/2 (−6/19, 1/19, 1/19, 0)}; 8) Base ortonormal {(1/√2, 1/√2, 0), (0, 0, 1)}; 9) Falha a condição ϕ(X, X) > 0 se X ≠ 0; 13) ∥ X + Y ∥= √26 e θ = arccos(5/3√7). Lista 7: 1) Para mostrar que Δ é produto interno, vamos demonstrar os 4 axiomas do produto interno. - Δ(u, v2) = 2 x1x2 + x1 y2 + x2 y1 + y1 y2. . Δ(v, u1) = 2 x1x2 + x2 y1 + x1 y2 + y2 y1 = 2 x1 x2 + x2 y1 + x1 y2 + y2 y1 = Δ(u, v2) logo, Δ(u, v) = Δ(v1, v2) ok! Δ(v, v1) = 2 x1 * x1 + x1 y1 + x1 y1 + y1^2 = 2 x1 * x1 + x1 y1 + y1^2 = x1^2 + (x1 + y1)^2 ⎜ 0 ⎜ 0 logo, Δ(v, v1), 0 ok! e Δ(u, v1) = 0 <=> v1 = (0, 0). Δ(v1, v2 + v3) = 2 x1 (x2 + x3) + x1 (y2 + y3) + (x1 + x3) y1 + y1 (y2 + y3) => Δ(v1, v2 + v3) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 y2 + x2 y3 + x1 y1 + x3 y1 + y1 y2 + y1 y3 => Δ(v1, v2 + v3) = (2 x1 x2 + x2 y2 + x1 y1 + y1 y2) + (x1 y2 + x2 y1) + (2 x1 y3 + x1 y3 + y1 y3) => Δ(v1, v2) Δ(v1, v3) Δ(v1, v2 + v3) = Δ(v1, v2) + Δ(v1, v3) ok! Δ(v1, α v2) = 2 x1 α x2 + x1 α y2 + α x2 y1 + α x1 y2 + y1 α y2 = α ( 2 x1 x2 + x1 y2 + x2 y1 + y1 y2) Δ(u, v1) Δ(u, v2) logo, como Δ(v, u2) é munido dos 4 axiomas, Δ(u, v2) é produto interno. 2) (1) α1(v1) + α2(v2) + α3(v3) + α4(v4) + ... + αn(vn) = 0 MULTIPLICANDO POR v1: (1).v1 => α1<v1,v1> + α2<v2,v1> + α3<v3,v1> + ... + αn<vn,v1> = <0,v1> ⬀⬀⬀⬀ α1 = 0 MULTIPLICANDO POR v2 (1).v2 => <v1,v2> + α2<v2,v2> + α3<v3,v2> + ... + αn<vn,v2> = <0,v2> ⬀⬀⬀⬀ α2 = 0 ANALOGAMENTE, FAZENDO ESSE PROCESSO ATÉ αn, TEMOS QUE: α1 = α2 = α3 = α4 = ... = αn = 0, logo, v1, v2, ..., vn é L.I 3) a) i) PARA SEREM ORTOGONAIS => <(1+m,2) , (3,m-1)> = 0 => 3(1+m) + α2.2(m-1) - (1+m)(m-1) - 3.2 = 0 => 3+3m+4m-4+1+m^2-6 = 0 m^2 - 7m + 6 ≤ 0 => m=6 ou m=1 ⬛⬛ ii) SEJA (a,b) UM VETOR QUALQUER DO IR, QUEREMOS <(a,b),(2,1)> = 0 2a + 2b - a - 2b = 0 => a = 0 e b ∈ IR. logo, QUALQUER VETOR (0,b), b ∈ IR É ORTOGONAL A (2,1) iii) <(1,m,m-1,m,m-1)>=1=> m^2 + 2(m-1)^2 - m(m-1) - m(m-1) = 1 m^2 + 2(1-m^2-m+1) = 0 1+ m - m + m + m = 1 => 2m^2-4m+2+2m-m^2=1 m^2 - 2m + 1 < 0 => (m-1)^2 - 1) m=1 ⬛ [1,0] 4) (a,b,c) um vetor do R^3 (a,b,c).(2,1,2)=0 => 2a+b+2c=0 (5) -a+3b+4c=0 (6) NORMA = 2 => ✓a^2+b^2+c^2=2 => a^2+b^2+c^2=4 (ii)+(i) => a=-4b-6c 2(ii)+(i) => 7b+10c=0 3a^2 + b^2 + c^2 =4 => -4b-6c+(b^2)+(c^2}<4 => 17b^2+37c+(4b^2+6c<4) 1813b^2+486c=4.(b+c)^2<=4 1200b^2+1813b^2+(-3360)b=400 3b^3-3360b-400=0 Δ= 16.610.400=> b=20/✓(3/17) ou b=-25/✓(3/17) => a =(±4/✓(3/17)) => c=(±14/✓(3/17)) (±14/✓(3/17), ±20/✓(3/17),±14/✓(3/17)) ⬛⬛ 5) APLICANDO GRAM-SCHMIDT W1<<(1,1,0,0) = >>v1 = ||w.||( w1,1) (1,1,0,0)/<1,1,0,0>=✓2@ v1=(1,1,0,0)/✓2⬛⬛ ω2=(0,1,2-<1,1,0,0) 0(1,1,0,0)/(20,1,2,0)1,1,0,0) <(1,1,0,0)/(1,1,0,0)2) ω2=(0,1,2,0)-(1,1,4,0) ω2 =(-1,1,4,0) ω|| = √2⇒ ||ω2|| = ω2=(0,0,3,4)-<(0,0,3,4),(1,1,0,0)/(1,1,0,0)/(1,1,0,0)/(1,1,0,0)/(1,1,0,0)> ω23= (0,0,30- (-1,1,4,0)/(1,1,4,0)/(1,0,0) UINT: 18<1,1s=> ⬛⬛3ω2=(0,0,3,4 occurs)- e⊗ ) (1,1,4,0) 141 ▶ spy2 ✰3=(1/3) ⬛ ⬛ 독= { -(1,3,3,0), 2(2,0,0,0)} W1 = (2,0,0,0) ⬛ v1 = w1/||w1| =(2,0,0,0)/2 i. ➢ ω2 =< 1,3,3,0) -<1,,3,3,0) -(2,0,0,0) = (4m,0,0. ω2=3-0 VJ= W1 //; = (0, 3, 3, 0) /√1/312,,(3,0,0),(3,0,0)=ω3 = (0/b)=312 6) • w1 = (1,1,0) v1 = w1 / ||w1|| = (1,1,0) / √2 => v1 = (1,1,0) / √2 • w2 = (1,0,1) - <(1,1,0),(1,0,1)>(1,1,0) <(1,1,0),(1,1,0)> = (1,0,1) - (1,1,0) 2 = 1/2 (1,-1,2) 1 2 => v2 = (1,-1,2) • w3 = (0,2,0) - <(1,1,0),(0,2,0)>(1,1,0) <(1,1,0),(1,1,0)> ~ <(1,-1,2),(0,2,0)>(1,-1,2) 4 1/4 <(1,-1,2),(1,-1,2)> w3 = (0,2,0) - 2/3 (1,1,0) + 2/6 (1,-1,2) (0,2,0) = (1,0,0) + 1/3 (1,-1,2) w3 = 1/3 (-2,2,2) ; u3 = w3/||w3|| = (-2,2,2) √3 => u3 = (-1,1,1)/√3 7) w1 = (-1,1); v1 = w1/||w1|| = (-1,1) +2 -1 -1 + 1 => v2 = (-1,1) w2 <(1,1) - <(-1,1),(1,1)>(-1,1) <(-1,1)> = (1,1) - (-2,+1+1+1) (1,1) => 1 w2 = (1,1) + (-1,-1) => w2 = (0,2); U2 = w2 / ||w2|| => U2 = (0,2) 2 => v2 = (0,1) 8) y = x (x,y,z) = (x,x,z) = x(1,1,0) + (0,0,1) Como (1,1,0) e (0,0,1) são ortogonais (1,1,0) . (0,0,1) = 0 Basta dividir pela norma: v1 = (1,1,0)/√2 e v2 = (0,0,1)/1 9) • φ(x,y) = xᴸᵀMy φ(y,x) = yᴸᵀMx φ(x,y)𝑇 = (yᴸᵀMx)ᴸᵀ = (Mx)ᴸᵀy = xᴸᵀMᴸᵀy = xᴸᵀMy = φ(x,y) φ(y,x) = φ(x,y) ok! • φ(x,x) = xᴸᵀMx ; tome M = (−1 −1) (-1 −1) e x = (0) φ(x,x) = (0,1)(−1 −1)(/) = (−1 −1)(/) = -1 < 0 Logo. φ(x,x) >/ 0 não é satisfeito. 10) || g1 + g2 + g3 + ... + gn ||² = (g1 + g2 + g3 + ... + gn, g1 + g2 + g3 + ... + gn) = g1.g1 + g1g2 + g1g3 + ...+ g1gn + g2g1 + g2g2 + g2g3 + ...+ g2gn + g3g1,g2g2+d3g3+...d3gn+... = g1.g1 + g2.g2 + g3.g3 + ... + gn.gn = ∑𝑖 ||gi||² => ||∑𝑖||² != ∑𝑖 || gi ||² 11) (a,b,c) vetor do ℝ3 {(a,b,c).(1,2,-1) = 0 => c = a + 2b (a,b,c).(-1,0,2) = 0 => 2c = a √a² + b² + c² = 1 => 4c² + (c-2c/2)² + c² =1 4c + c²/4 + c² =1 => 16c² + c² + 4c =1 => c = 1/√21, a = 2/√21, b = -1/2√21 1/√21 (1,2,-1/2) 12) • w1 = (1,1,1) ; v1 = w1 / ||w1|| = (1,1,1) = (1,1,1) √1 + 2 + 1 • w2 = (1,-2,3) - <(1,1,1),(1,-2,3)>(1,1,1) = (1,2,3) - (1,1,1) 4 w2 = (1.2,3) - 2(1,1,1) => w2 = (1,-0,1) , U2 = w2 / ||w2|| U2 = (-1,0,1) 1 + 1 => U2 = (-1,0,1) / √2 x = ( x y ; x z w )( x y ; x y )( x^2 y w^2 ; z w )= W 13) •< x, y > = xz^1 + yy + zz w^w = x x^1 yy + zz + w < x, x > < x, y > = < y, x > ok! •< x, x > = x y t z^t w^0 ok! •< x, y + w >= ( x( x^t x^n ) + y( y^+y) + z( zz^+zz ) + w( w^tw ) ) < x, y + w > = xx + xx^ + yy^ + yy + zz t zz + w^w + w^w < x, y + w > = x t yy z t ww + x x^ + yy + zz + w^w < x, y > < x, w > < x, y + w > ~= < x, y> + < x, w > ok! •< a x, y >= a xa x^1 + a yy + a zz^t a w • a( xx^tyy z^t w w ) < a x, y > = a < x, y > a E um corpo. < x+y , x+y > = || x+y ||^2 ; x+y = ( 1 4 ) 0 3 || x+y ||^2 = ( 1.1 + 4.4 + 0.0 + 3.3 ) => || x+y || = 6 x • y = || xיי || cosθ => 4 +1 + 2 = √1+4+11 - 4 4 11 cosθ 5 = √3 . 19 cosθ => cosθ = 5 3√3 5 θ = cos-1 ( √3 ) Scanned with CamScanner 14) ( 11 ) - a ( 10 ) + b ( 00 ) + c ( 01 ) 1 1 0 1 0 1 1 = a b c => 1 = 2 1 = b 1 = c ▫ - 개 4 + c =0 Iogo, ( 11 ) não e combinacào linear das outenas Allocin do Gram-Schmidt: ow, = ( 0 ) e u, = ow 1 w, 11 Δ | 2 = ( 01 ) ( 01 0 ) ow, 11 √2 0 1 • ow.2 [ ( 0 ) (0 ) ( 01 ) ( 01 ) ] = ( 11 00 ) - => ow,= 1 ( 1 -2 ) | 1 ) 1 )8 2 0 -11 U.2 = ow, 2 [ ( 1 -2 ) 1 -2 ( 11 ) ( 01 ) ] ( 01 0 -1 S < - - > _ 6 u = ( 1 - 2 ) ( 01) ( 0 -1 ) • w3= ( 10 ) - ( 01 ) ( 01 ) ( 01 0 1 ) - ( 10 - 21 ) ( 1 ) ( 0 1 ) ( 11 ) ( 01 )8 ( 01 ) 7 ( 1 -2) ( 0 -1 ) ( 0 -2 ) ( 01 ) 1 ( 11 ) 4 • ( 1 -2 ), ( 1 - 2 ) 4 -1-2 ( 0 -1 ) 018 88 }7 11 w.3 = ( 10 ) - 2 -2 (10) ow.3= -0 ( 00 ) => W3 = ( 00 ) 11 0 0 0 0 10 3 ) ( 0 1 | ) 2או 2 0 1 o ô 3 ◦ u3 = ou 3- ow, 11 v11 Eu •01) = II ( 11 )_ ( 10 -i ) Ow (01) (01) (01)| w'1•0'% oo (01)| ow 7 W40 r (01) (01) W, io l - aj ( tận ) + 2 ( ( 00) + (() - ) 00 ) + ( 1 - 2 ) (10 (0-2 10 0 120/40 ( 010-1 0 20 ) ( 00 ) ( 01 ) w.3 r {4294 1.14 1.11) wmkwma mwama 18 vw (14 d u- 1 12 ) 111 ή (1 ) (ér\ 9 + 13° ( 01 ) ( 01 ( er ) (0 -21Z3 0-27Z0-2 ) ] 1 ( 11 ) ( 011 ssu rew ( a ) (01)(01)7 v ) 7 | = o(-14) 1 :~, ~ : ( - [ 1스/ 조계 cd 이67부１０ (00 z )J Scanned with CamScanner