Lista 6 - Subespaços Gerados Dependencia e Independencia Linear - 2024-1

Universidade Federal de Santa Catarina Disciplina: Álgebra Linear - MTM 3121 6ª Lista de exercícios Assunto: Subespaços gerados, dependência e independência linear, base e dimensão, vetor coordenada Profa.: Virgínia Silva Rodrigues 1) Seja W um subespaço vetorial de M2(R) dado por W = {( a a + b ) : a,b ∈ R}. b a − b Verifique que W = [ X = ( 1 1 ) , Y = ( 0 1 ) ], 0 1 1 −1 i.e., W é gerado pelas matrizes X e Y. 2) Seja W o subespaço vetorial de M3×2(R) gerado pelos vetores (matrizes) ( 0 0 ) , ( 0 1 ) , ( 0 1 ). 1 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 O vetor ( 0 2 ) 3 4 5 0 pertence a W ? 3) Determine se os seguintes subconjuntos de R3 são L.I. ou L.D.: (i) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)} (ii) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, −2)} (iii) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (4, 1, −2)} (iv) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2, −1)} 4) Determine m, n para que os subconjuntos de R3 abaixo sejam L.I.. (i) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, mn, 3)} Resposta: m ≠ 0. (ii) {(6, 2, 0), (3, n + 1, m − 1)} Resposta: n ≠ 0 ou m ≠ 1. Dica: Lembre-se que para que tenhamos um conjunto LI, a solução do sistema homogêneo é a solução nula. 5) Mostre que o conjunto {( 1 1 ) , ( 2 1 ) , ( 0 1 ) , ( 0 0 )} 0 0 0 0 1 0 0 2 é uma base de M2(R). (ii) Considere o subconjunto de M2(R) dado por W = {( 0 a ) : a + b ≤ 0} b 0 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de M2(R). Veja que W não é um subespaço vetorial de M2(R) dando um exemplo onde falha uma das condições para que se tenha um subespaço vetorial. 17) [questão prova 2007] Determine k para que o conjunto A seja linearmente dependente A = { ( 1 0 ) , ( 1 1 ) , ( 2 −1 ) }. 1 0 0 0 k 0 18) [questão prova 2015] Mostre que W = {( x y ) : y = −x e z ∈ R} z 0 é um subespaço de M2(R). Dê uma base para W e sua dimensão. 19) [questão prova 2014] Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − y = 0 e z − y + t = 0} W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − y − z − t = 0} subespaços do R4. Determine a dimensão e uma base para U e W. 20) [questão prova 2015] Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − z = 0 e y − t = 0} W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0 e z − t = 0} subespaços do R4. Determine a dimensão e uma base para U e para W. 21) [questão prova 2022] Assinale V se verdadeiro ou F se falso em cada item abaixo. (a) ( ) O conjunto W = {(x, y, z) : y² ∈ Q} é um subespaço vetorial de R3. (b) ( ) O vetor v = (1, 2, −1, 0) ∈ [(1, 2, 1, 1), (1, 1, −1, 0)]. (c) ( ) O conjunto {(1, 1, −1, 0), (1, 1, 2, 1), (−1, 1, 1, 5)} ⊂ R4 é LI. (d) ( ) Se u, v ∈ R2, ambos não-nulos, e se não existe escalar α ∈ R tal que v = αu, então {u, v} é base de R2. 22) [questão prova 2022] Sejam U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y = 0} V = [(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x − y = 0 e z − w = 0} subespaços do R4. Determine uma base e a dimensão de U, V e W. Justifique o porquê de serem bases. Respostas de alguns exercícios: 3) (i) L.D., (ii) L.I., (iii) L.D., 6) Chamando S espaço solução, temos (i) base de S é {(1, −4, 3)} e dimS = 1, (ii) base de S é {(−3/2, −5/2, 1, 0)} e dimS = 1; 7) {(2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} e dimW = 2; 8) Base: {(1, 2, 1, 3), (3, 1, −1, 4)} outra base {(1, 2, 1, 3), (0, 1, 4/5, 1)} e dimU = 2; 9) U : base {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} e dimU = 2, V : base {(1, 0, 0), (0, 2, 1)} e dimV = 2, W : base {(1, 1, 0), (0, 0, 2)} e dimW = 2; 10) {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}; 11) (i) sim; a justificativa é sua aluna(o, a), (ii) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e sua dimensão é 3, (iii) não; 12) Base para W1: {(−1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e dimW1 = 2 e base para W2: {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)} ou {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} e dimW2 = 3; 13) (i) ( 3 ) (ii) ( −5/2 ) (iii) ( √3/2 − 1 ) −2 1/2 √3/2 + 1 14) (i) ( 4 ) (ii) ( 3 ) (iii) ( 21/11 ) −5 2 −40/11 3 23/11. 18) \n ( x y) = ( x -x) = x ( 1 0 -1) + z ( 10 0.0) \n (z 0)\n\n BASE W = h {(00),(00)} DimW = 2\n\n 19) o U: ( x, y, z, t): x-y =0 ^ z-y + t=0 > y = x =7 z -xt =0\n\n x= z+t ; y = z+t .\n\n (x, y, z, t) = ( z+t, z+t,z,t) = z( 1, 1,1,0) + t( 1,0,0,1)\n\n BASE => h {1,1,0,1) (1,0,0,1)) a DimU = 2\n\n o W : ( x, y, z,t); x -y -z-t =0 => x = y =t \n\n ( x, y, z,t) = (y+z+t, y. y, z,t) = y(1,1,0,0) + z( 1,0,1,0) + t(1,0,0,1) \n\n BASE :.L{1(1,0,0,1(1,0,0,1)(1,0,0,1)} DimW = 3 \n\n 20) o U = ( x1, y 1, z, t): x -z=0 a y - t1=0 => x =z ^ y = t\n\n (x. y, z, t) = ( x, y, x, y) = x ( 1,0,1,0) + y (01,0,1)\n\n BASE => L{1(1,0,0,) ( 0,10,) ) Dim V : a \n\n *W = (x, y, z, t): x +y =0 a -z-t=0 => x =7= y \n\n ( x, y, z,t) = ( x ,-Y., z , z pe= x(1,-40,0) + z( 1,0,0,1). \n \nBASE => h (1, -4,0,0) (1.0) Ldim W=2\n\n21) a) NÃO; poris y não é linear \n\n b) NÃO, pois a última componente de u, não pode ser combinação linear dos vetores: 0 = ALL + b+0 => a=0 (absurdo!) c1) c(1,-4,0)+a(1,2,1) + b1 -(-1,1,1) = (0,0,0,0) c+a -b=0 a=-c 3a 4b+c=0 a=b-c=a=0 \n\n c+a 4b=0 a+-5b=0 L.I \n -c 12a 4b=0 \n a + 5b=0 a=b-c.a=0 \no L.I \n\nd) SIM. pois são L.I já que não são múltiplos.\n\n2) U = (x,y,z,w) = (x,-x, z,w) = x(1,-4,0.0) + z(0,0,1,0) + w(0,0,0,1) \n\nBASE = L{1(-4,0,0),( 0.0),01 1 0,0,01) DimU = 3 \n\n - V já é base : BASE = L{ 1(0,1,0,) (0,1,0,0,1 (0,0,0,1) DimV = 3 \n\n - W = (x,y,z,w) = (x,x, z,z) = x(1,1,0,0) + z (0.0,0,1) ;\n\n BASE = L {1(0,0,1)0,0,1,1)\n\n TODOS são BASES, pois são L.I.