Interferência Luminosa: A Experiência de Young

Unidade D Ótica Física Interferência 1 A experiência de Young Quando duas ondas de mesma frequência se propagam aproximadamente na mesma direção com diferença de fase constante com relação ao tempo estas ondas podem se combinar fazendo com que a energia resultante não se distribua uniformemente através o espaço podendo ser máxima em certos pontos e mínima em outros Em 1801 Thomas Young demonstrou a existência do fenômeno de interferência luminosa capaz de evidenciar a teoria ondulatória da luz com embasamento experimental Figura D1 Experiência de Young e espectro de interferência no anteparo C Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Na Figura D1 apresentamos um esquema ilustrativo da experiência de Young A luz solar incide em um pequeno orifício 𝑆𝑜 de um anteparo A A luz emergente se dispersa por difração atingindo 𝑆1 e 𝑆2 no anteparo B onde um novo fenômeno de difração ocorre Em seguida duas ondas esféricas se propagam superpostas a partir de B até atingirem o anteparo C Como já vimos anteriormente a interferência não se limita a ondas de luz sendo na verdade uma característica de todo fenômeno ondulatório Na Figura D2 trazemos uma análise da interferência construída conforme a experiência de Young O leitor deve ficar atento que em nenhum momento restringimos o fenômeno a ondas luminosas Figura D2 Os raios de 𝑆1 e 𝑆2 se combinam no ponto 𝑃 Embora o desenho não mostre por estar fora de escala esta construção é válida desde que 𝐷𝑑 Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Supondo que a distância 𝑑 da Figura D2 seja muito menor que D podemos considerar que o seguimento 𝑆1𝑏 seja ao mesmo tempo perpendicular a 𝑟1 e a 𝑟2 ou seja estamos considerando que os raios 𝑟1 e 𝑟2 seja aproximadamente paralelos Devido à exigência 𝐷𝑑 muitas vezes o experimento utiliza uma lente delgada posta em frente às fendas de modo que o anteparo C fique em seu plano focal conforme ilustramos na Figura D3 Nestas condições os raios 𝑟1 e 𝑟2 são realmente paralelos mesmo sem satisfazer a condição 𝐷𝑑 Agora observe que em ambos os casos os dois raios incidentes em 𝑃 estão em fase nas fendas 𝑆1 e 𝑆2 pois ambos pertencem à mesma frente de onda plana incidente Por outro lado como os raios têm percursos diferentes eles chegam em 𝑃 com uma determinada diferença de fase dada pelo número de comprimentos de onda contidos em 𝑆1𝑏 que corresponde à diferença de percurso e determina a interferência em P Dessa forma observaremos um máximo 𝑃 se o segmento 𝑆1𝑏 contém um número inteiro de comprimentos de onda ou seja 𝑆1𝑏 𝑚𝜆 com 𝑚 0123 Mas 𝑆1𝑏 𝑑 sen𝜃 Assim podemos prever os máximos de interferência através da expressão 𝑑 sen𝜃 𝑚𝜆 com 𝑚 0123 Note que que para cada máximo acima do ponto 𝑃 haverá um máximo simétrico abaixo Também convém observar que existe um máximo central definido por 𝑚 0 Agora vamos determinar os pontos que são minimamente iluminados Para que haja um mínimo em 𝑃 o segmento 𝑆1𝑏 deverá conter um número semiinteiro de comprimentos de onda Em outras palavras teremos 𝑑 sen𝜃 𝑚 1 2 𝜆 com 𝑚 0123 Quando colocamos uma lente como na Figura D3 poderíamos supor a existência de uma diferença de fase entre os raios após passarem pelo plano que contém 𝑆2𝑏 pois os percursos geométricos entre este plano e 𝑃 são evidentemente diferentes Entretanto no caso de raios paralelos focalizados por uma lente os percursos ópticos são idênticos e dois raios com o mesmo percurso óptico contêm sempre o mesmo número de comprimentos de onda de forma que não resultará numa diferença de fase pelo fato da luz atravessar a lente Assim as equações que determinam os máximos e os mínimos não sofrem nenhuma alteração se o experimento for acrescido de uma lente delgada convergente Figura D3 Usando uma lente para produzir franjas de interferência podemos diminuir a distância entre os anteparos Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 2 Experimentos de interferência Os aparatos experimentais acima devem ser construídos não apenas observando a condição 𝐷𝑑 mas também o fato de que a distância entre as fendas assim como suas dimensões devem ser da ordem do comprimento de onda da luz incidente Nesta seção separamos um exemplo desse tipo de construção onde realizamos a experiência de Young incidindo luz verde luz monocromática Suponha que o dispositivo de fenda dupla da Figura D2 seja iluminado por luz filtrada de forma que somente a luz verde 𝜆 5400Ǻ Suponha também que as fendas estão a 015 mm uma da outra e estão a 30 cm do anteparo onde se forma a figura de interferência Como você determinaria a posição angular do primeiro mínimo e do décimo máximo Inicialmente você de notar que o primeiro mínimo ocorrerá com o menor número semiinteiro ou seja 1 2 Logo devemos fazer 𝑚 0 na equação deduzida na seção anterior sen𝜃 𝑚 1 2 𝜆 𝑑 1 2 540𝑥109 015𝑥103 00018 O valor encontrado para 𝑠𝑒𝑛𝜃 é tão pequeno que podemos tomálo diretamente como o valor de 𝜃 expresso em radianos Já em graus teríamos 𝜃 0 1030 Quanto aos máximos não contando o máximo central 𝑚 0 temos que o décimo máximo é dado quando fazemos 𝑚 10 Agora basta repetir o cálculo anterior e obter 𝜃 2 060 No caso que acabamos de descrever qual o valor do afastamento linear existente entre dois máximos adjacentes produzidos no anteparo C Como vimos 𝜃 é um número muito pequeno de modo que podemos usar a aproximação sen𝜃 tg𝜃 𝜃 Com isso observando a Figura D2 extraímos tg𝜃 𝑦 𝐷 o que nos dá 𝑦 𝑚 𝜆𝐷 𝑑 com 𝑚 0123 As posições de dois máximos adjacentes quaisquer são dadas por 𝑦 𝑚 𝜆𝐷 𝑑 e 𝑦𝑚1 𝑚 1 𝜆𝐷 𝑑 Dai 𝛥𝑦 𝑦𝑚1 𝑦𝑚 𝜆𝐷 𝑑 540𝑥109𝑚30𝑥102 015𝑥103 000108𝑚 108mm Aqui concluímos que se 𝜃 for pequeno o afastamento entre as franjas de interferência não dependerá de 𝑚 o que indica que as franjas se dispõem uniformemente espaçadas A posição dos máximos e dos mínimos depende de 𝜆 Isso que dizer que se a luz incidente contiver mais que um comprimento de onda múltiplos espectros de interferência com espaçamentos diferentes serão superpostos 3 Composição de perturbações ondulatórias Se um conjunto de ondas se propaga em certa região do espaço sobrepondose num dado ponto então a onda observada nessa região é resultado da soma algébrica de cada uma das ondas incidentes Essa linearidade observada na composição de ondas traz resultados muito importantes Vamos descobrir Dadas 𝐸1 𝐸0sen𝜔𝑡 e 𝐸2 𝐸0sen𝜔𝑡 𝜑 duas as perturbações ondulatórias dependentes do tempo com diferença de fase 𝜑 fixa no tempo e freqüência angular 𝜔 2𝜋𝑓 A perturbação ondulatória resultante no ponto 𝑃 onde estas perturbações coexistem é dada por 𝐸 𝐸1 𝐸2 Esta expressão costuma ser escrita como 𝐸 𝐸𝜃sen𝜔𝑡 𝛽 onde 𝛽 1 2 𝜑 e 𝐸𝜃 2𝐸0cos𝛽 𝐸𝑚cos𝛽 A quantidade 𝐸𝑚 2𝐸0 é o valor máximo possível da amplitude 𝐸 Sabendo que a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado de sua amplitude 𝐼 𝐸2 e lembrando que a densidade de energia em um campo elétrico é proporcional ao quadrado da intensidade desse campo temos 𝐼 𝐼0 𝐸 𝐸0 2 Combinando essas expressões encontramos 𝐼 4𝐼0cos²𝛽 𝐼𝑚cos2 𝜑 2 Quando a diferença de fase entre duas ondas não varia no tempo dizemos que estas ondas são coerentes e será possível observar uma figura de interferência no anteparo C Caso contrário dizemos que as duas ondas são incoerentes e não observaremos algo como a Figura D1c Agora volte às Figuras D2 e D3 da seção anterior Relacionando a diferença de fase entre as ondas que chegam a 𝑃 com a diferença de percurso 𝑆1𝑏 podemos escrever 𝜑 2𝜋 𝑆1𝑏 𝜆 o que implica 𝜑 2𝜋 𝜆 𝑑 sen𝜃 ou ainda 𝛽 1 2 𝜑 𝜋𝑑 𝜆 sen𝜃 Desta última expressão podemos obter as posições dos máximos fazendo 𝛽 𝑚𝜋 com 𝑚 0123 o que nos leva novamente a 𝑑 sen𝜃 𝑚𝜆 Do mesmo modo fazemos 𝛽 𝑚 1 2 𝜋 com 𝑚 0123 e obtemos os mínimos de intensidade dados por 𝑑 sen𝜃 𝑚 1 2 𝜆 Figura D4 Intensidades de um espectro de interferência de um experimento de fenda dupla Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 A Figura D4 mostra o gráfico de intensidade de um espectro de interferência de fenda dupla como aqueles ilustrados nas Figuras D2 e D3 Em cada uma das fendas do anteparo B observamos uma fonte luminosa capaz de sozinha manter o anteparo C com uma iluminação 𝐼0 constante A onda resultante terá 𝐼𝑚 4𝐼0 e mínimos com 𝐼 0 Se as ondas que partem do anteparo B não forem ondas coerentes observaríamos uma iluminação constante de intensidade 𝐼 2𝐼0 no anteparo C 31 Somando mais de duas ondas Em algumas situações a figura de interferência será formada pela composição três ou mais ondas bastando por exemplo acrescentarmos mais algumas fendas no anteparo B da Figura D2 Do mesmo modo em outras situações será necessário somar amplitudes individualmente infinitesimais Nosso objetivo agora será descrever um processo gráfico bastante prático que usa vetores giratórios denominados fasores para obter a amplitude e a fase da onda resultante Figura D5 Uma perturbação ondulatória 𝐸1 é representada por um vetor giratório fasor Em b representamos duas perturbações 𝐸1 e 𝐸2 no mesmo diagrama Por fim somando como fazemos com vetores encontramos o valor da perturbação resultante 𝐸 Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Usaremos a Figura D5 para aprendermos a trabalhar com fasores Na parte a representamos uma perturbação ondulatória de amplitude máxima 𝐸0 localizada num dado ponto 𝑃 Num instante 𝑡 o fasor que representa a onda terá girado um ângulo wt a partir do eixo x que será a fase da onda e terá uma projeção 𝐸1 𝐸0coswt em y correspondendo à atual amplitude da onda em 𝑃 Em b acrescentamos um fasor representando uma segunda perturbação em 𝑃 defasada de um ângulo 𝜑 da primeira Como vemos na figura abaixo 𝐸1 e 𝐸2 são as projeções dos fasores sobre o eixo vertical Estes dois fasores podem corresponder por exemplo as perturbações ondulatórias do problema de fenda dupla Agora observe a parte c A soma dos dois vetores giratórios gera um vetor resultante de módulo 𝐸𝑚 que será a amplitude máxima da onda resultante Usando o esquema da figura podemos ver que essa amplitude é a soma de duas partes iguais o que nos dá 𝐸𝑚 𝐸0cos𝛽 𝐸0cos𝛽 2𝐸0cos𝛽 Usando o teorema que diz que os ângulos externos de um triângulo qualquer são dados pela soma dos ângulos internos não adjacentes vemos que 2𝛽 𝜑 e assim podemos escrever 𝐸𝑚 2𝐸0cos 1 2 𝜑 Note que a fase da onda resultante é wt 𝛽 wt 1 2 𝜑 Assim 𝐸 𝐸𝑚sen wt 1 2 𝜑 Vamos tomar o seguinte exemplo vamos determinar graficamente e em seguida fazer os cálculos para encontrar a resultante da composição de três perturbações ondulatórias num dado ponto 𝑃 As perturbações são 𝐸1 20sen𝜔𝑡 𝐸2 20sen𝜔𝑡 300 e 𝐸3 20sen𝜔𝑡 450 Para resolver este tipo de problema é conveniente tomar 𝑡 0 calcular a soma das projeções horizontais e verticais e em seguida calcular a fase 𝛽 Observe a Figura D6 𝐸ℎ 20cos00 20cos300 20cos450 𝐸ℎ 20 20 3 2 20 2 2 5146 Da mesma forma 𝐸𝑣 20sen00 20sen300 20sen450 𝐸𝑣 20 20 1 2 20 2 2 4414 Figura D6 Adicionando graficamente mais de duas perturbações ondulatórias Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Assim 𝐸𝑚 51 462 44 142 6780 e 𝛽 arctan 4414 5146 40 620 Podemos reescrever finalmente 𝐸 6780senwt 40 620 4 Interferência em Películas Delgadas Quando observamos a luz solar incidindo sobre uma bolha de sabão uma mancha de óleo derramado na água ou mesmo sobre as asas de uma borboleta as manchas coloridas que vemos são resultados da interferência dos raios refletidos pelas superfícies anterior e posterior do filme A Figura D7 foi construída com o objetivo de analisar a formação das imagens coloridas que você já deve ter observado em algum momento da vida ou pelo menos encontrado durante a busca no seu site de pesquisa favorito Iniciaremos com o exemplo mais simples para em seguida irmos acrescentando mais detalhes A figura representa uma película de espessura uniforme 𝑑 e índice de refração 𝑛 iluminada por raios de luz de comprimento de onda 𝜆 emitidos por uma fonte distante o suficiente para que possamos considerálos paralelos uns aos outros Figura D7 Ilustração que representa a defasagem de raios de luz ao refletirem em um filme fino Quando o raio atinge o filme no ponto 𝑎 parte da luz é refletida e parte é refratada e terá novamente uma parte refletida e outra refratada ao atingir a superfície inferior em 𝑏 o mesmo ocorrendo em 𝑐 Em seguida os raios 1 e 2 chegam ao olho do observador tendo percorrido distâncias que diferem entre si por 𝛥𝑆 2 𝑑 cos𝜃refratado Como o filme é supostamente fino para pequenos ângulos de incidência podemos admitir que esta distância é simplesmente 2𝑑 Se esses raios chegam em fase ao olho do observador ele dirá que a região ac é clara Do contrário chegando defasados o observador dirá que esta região é escura Veremos contudo que calcular o número de 𝜆 que cabem na diferença de percurso 2𝑑 não é suficiente para determinarmos se a interferência é construtiva destrutiva ou os dois casos apenas parcialmente Lembrese dos conteúdos discutidos na unidade B se a onda incidente possui comprimento de onda 𝜆 o meio 1 ar possui índice de refração 𝑛ar 1 e o meio 2 película possui índice de refração 𝑛 então 𝜆 da onda na película será 𝜆𝑛 𝜆 𝑛 justamente na parte diferente do percurso Quando há uma reflexão em uma interfase entre dois meios transparentes pode haver uma mudança de fase como veremos a seguir Figura D8 Exemplo de inversão de fase em ondas refletidas Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Um segundo cuidado é ainda mais decisivo no tratamento de interferência em filmes finos Note que o raio refletido na superfície superior sofre uma inversão de fase enquanto que o raio refratado em 𝑎 não sofre nenhuma mudança brusca de fase nem na transmissão através da superfície superior nem ao se refletir na superfície inferior Para estender porque isso ocorre observe a corda mista corda com diferentes densidades esticada entre dois pontos que está ilustrada na Figura D8 Um pulso que se move para a direita na parte a será parcialmente refletido e parcialmente transmitido ao atingir a união sendo que ambos estarão em fase com a onda incidente Por outro lado o pulso representado na Figura D8b sofrerá uma inversão de fase ao refletir ficando defasado de 180 do pulso incidente Isto ocorre porque a segunda metade da corda é mais densa que a primeira Agora voltamos aos raios luminosos da Figura D7 Como a onda de luz se aproxima de uma superfície a partir da qual existe um meio ótico com índice de refração maior o raio refletido terá sofrido uma inversão de fase Contudo na superfície inferior o raio está no meio mais refringente e não sofrerá inversão de fase Assim admitindo incidência quase normal à superfície os raios irão se combinar formando um máximo de intensidade se 2𝑑 𝑚 1 2 𝜆𝑛 com 𝑚 0123 onde a fração 1 2 foi colocada justamente devido à inversão de fase na reflexão Lembrando que 𝜆𝑛 𝜆 𝑛 reescrevemos 2dn 𝑚 1 2 𝜆 com 𝑚 0123 para os máximos Com o mesmo raciocínio encontramos 2dn 𝑚𝜆 com 𝑚 123 para os mínimos Observe que as equações que acabamos de deduzir também são válidas se o índice de refração da película for menor que o do meio pois a inversão de fase ocorrerá na superfície inferior Observe também que se a espessura 𝑑 da película não for uniforme e sim algo no formato de uma cunha como ocorre em uma bolha de sabão haverá interferência construtiva em algumas regiões e destrutiva em outras Assim uma mesma cor poderá ser vista em algumas regiões e em outras não e também cores diferentes terão interferências construtivas em regiões diferentes o que explica o colorido das bolhas de sabão e das manchas de óleo Vamos tratar três exemplos interessantes sendo o último deles um problema muito famoso Exemplo 1 Uma película de álcool cujo 𝑛 136 se encontra flutuando no ar Suponha que esta película tenha 2620 Ǻ de espessura se a iluminarmos com luz branca com incidência normal a luz refletida parecerá ter qual cor Solução Como a espessura está em angstroms Ǻ vamos resolver o problema nessa unidade de medida A equação que dará os máximos de interferência foi deduzida há pouco Isolando 𝜆 teremos 𝜆 2dn 𝑚1 2 22620136 𝑚1 2 71264 𝑚1 2 angstroms Já a expressão para os mínimos nos dá 𝜆 71264 𝑚 angstroms Assim máximos e mínimos ocorrem para os seguintes comprimentos de onda m 0 máx 1 mín 1 máx 2 mín 2 máx 𝜆Ǻ 142528 71264 47509 35632 28505 Note que somente o máximo correspondente a 𝑚 1 situase na região visível Como o comprimento de onda 47509 angstroms está na região do azul do espectro eletromagnético se usar luz branca na iluminação da película a componente azul parecerá dominante quando vista pela reflexão Exemplo 2 As lentes dos nossos óculos são frequentemente recobertas por películas finas de substâncias transparentes como MgF2 𝑛 138 para reduzir os efeitos da reflexão na superfície do vidro Qual a espessura mínima necessária para que essa película produza um mínimo de reflexão na cor azul do espectro visível 𝜆 4750𝐴 Solução Admita que a luz atinja a lente com incidência quasenormal a superfície Note que não podemos usar as equações recém deduzidas pois haverá inversão de fase nas duas interfaces já que 𝑛1 𝑛2 𝑛3 Por outro lado observe a Figura D9 Como ambos os raios sofrem a mesma inversão basta calcularmos quantos comprimentos 𝜆𝑛 cabem na distância 2𝑑 Se este número for inteiro teremos um máximo Já se esse número for semiinteiro teremos um mínimo Figura D9 Lentes antireflexo Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Assim temos 2𝑑 𝑚𝜆𝑛 ou 2dn 𝑚𝜆 com 𝑚 0123 para os máximos e 2dn 𝑚 1 2 𝜆 com 𝑚 0123 para os mínimos Como estamos procurando um mínimo usamos esta segunda expressão tomando 𝑚 0 já que o problema se refere a menor espessura possível 𝑑 𝑚1 2𝜆 2𝑛 01 24750 2138 860 5 Ǻ Exemplo 3 Neste exemplo trabalharemos com uma construção capaz de gerar uma figura conhecida como Anéis de Newton A parte a da Figura D10 ilustra uma lente de raio de curvatura 𝑅 apoiada em uma lâmina de vidro plana iluminada de cima por uma luz de comprimento de onda 𝜆 A parte b ilustra o que seriam as franjas circulares de interferência conhecidas com Anéis de Newton associadas com a camada de ar existente entre a lente e a lâmina cuja espessura é variável Encontre os raios dos máximos circulares de interferência Figura D10 Experimento que gera os chamados Anéis de Newton Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Solução Nessa construção apenas o raio do fundo da película de ar sofre uma mudança de fase de 180 pois é somente esse raio que sofre reflexão por um meio de índice de refração maior Com isso podemos usar diretamente as equações deduzidas nesta seção desde que se consiga expressar a distância 𝑑 em termos das dimensões da lente e do raio do anel de interferência correspondente A distância 𝑑 é dada por 𝑑 𝑅 𝑅² 𝑟² 𝑅 𝑅 1 𝑟 𝑅 2 1 2 Supondo 𝑟 𝑅 1 a raiz quadrada pode ser aproximada via binômio de Newton conservandose apenas os dois primeiros termos Com essa aproximação teremos 𝑑 𝑅 𝑅 1 1 2 𝑟 𝑅 2 𝑟² 2𝑅 Já a condição de máximo é dada por 2dn 𝑚 1 2 𝜆 com 𝑚 0123 Finalmente unindo estes dois resultados encontramos 𝑟 𝑚 1 2 𝜆𝑅 com 𝑚 0123 que fornecerá os valores dos raios dos anéis claros ilustrados na Figura D10b 5 Mudança de fase na reflexão Nesta seção usaremos o caminho inverso da luz para estudar a reflexão produzida na interface entre dois meios A ideia básica será de que um raio luminoso refletido ou refratado conserva sua trajetória original quando seu sentido for invertido A Figura D11a mostra uma onda de amplitude 𝐸 refletida e refratada em uma superfície que separa dois meios 1 e 2 para os quais se tem 𝑛1 𝑛2 A amplitude da onda refletida foi escrita como 𝑟12𝐸 onde 𝑟12 é o coeficiente de reflexão Já a amplitude da onda refratada foi denotada por 𝑡12𝐸 em que 𝑡12 é o coeficiente de transmissão Agora observe a Figura D11b onde ilustramos a situação opticamente inversa ou seja os dois raios finais da parte a invertem seus sentidos interagem com a interface entre os meios e deverão formar o raio de amplitude 𝐸 Para que tenhamos a situação inversa os raios da parte inferior esquerda não podem existir logo suas amplitudes devem se anular Esta condição nos informa que 𝑟12𝑡12𝐸 𝑡12𝑟21𝐸 0 ou 𝑟12 𝑟21 O sinal menos significa que comparando a onda refletida pelo meio 1 com a refletida pelo meio 2 concluiremos que elas se comportam de modo diferente e portanto uma delas sofre uma defasagem de 180 O raio refletido pelo meio otimamente mais denso é que se defasa de 180 Figura D11 Em a um raio é refletido e refratado em uma superfície entre o ar e o vidro Em b montamos a situação opticamente inversa Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969