Reflexão e Refração da Luz: Análise e Leis

Unidade B Reflexão e Refração 1 Reflexão e refração Quando um feixe de luz incide sobre uma superfície transparente parte deste feixe é refletida e outra parte penetra na superfície do material A esse feixe denominamos de feixe refratado Chamamos esta segunda parte de feixe refratado A Figura B1 foi construída com o objetivo de analisar as direções desses feixes Um esquema dessa construção é apresentado na Figura B1 onde os feixes são representados por raios e os ângulos estão indicados de forma adequada Esta representação supõe que o feixe incidente seja uma onda plana com as frentes de onda normais ao raio incidente Figura B1 Representação usando raios Os ângulos de incidência 𝜃1 de reflexão 𝜃1 e de refração 𝜃2 são medidos em relação à normal da superfície reta vertical que passa pelo centro da figura como mostra a figura e governados por leis de reflexão e refração que podem ser facilmente obtidas da experiência São elas 1 Os raios incidente refletido e refratado e a normal à superfície no ponto de incidência estão no mesmo plano 2 Na reflexão temos 𝜃1 𝜃1 3 Na refração temos 𝑛1sen𝜃1 𝑛2sen𝜃2 onde 𝑛1 e 𝑛2 são constantes que dependem do meio onde a luz se propaga e são chamadas de índices de refração do meio Esta relação é conhecido como Lei de Snell que também é atribuída a R Descartes A Tabela B1 lista os índices de refração de algumas substâncias comuns para um comprimento de onda de 5890 Ǻ tomando como padrão o vácuo e fazendo 𝑛vac 1 ou seja 𝑛 𝑐 𝑣 onde 𝑣 é a velocidade da luz no meio Meio Índice de refração Água 133 Álcool etílico 136 Bissulfeto de carbono 163 Ar 1 atm e 20ºC 1003 Quartzo fundido 146 Vidro crown 153 Vidro flint denso 166 Cloreto de sódio 153 Polietileno 150154 Fluorita 143 Tabela B1 Alguns índices de refração para λ 5 890 Ǻ Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Os índices de refração de um meio em relação a outro variam com o comprimento de onda Como consequência disto se um feixe é formado raios de diferentes comprimentos de onda cada raio será refratado sob um ângulo diferente de modo que a refração espalha o feixe incidente Este espelhamento é conhecido como dispersão cromática De forma geral o índice de refração de um meio é maior quanto menor for o comprimento de onda da luz incidente Observe a Figura B2a Um feixe de luz branca representado por um raio amarelo incide numa interface ar vidro A componente da luz da região do azul do espectro eletromagnético é refratada sob um ângulo 𝜃2 𝑎 menor que o ângulo de refração 𝜃2 𝑣 da componente da região do vermelho ALERTA Lembrese estes ângulos tomam a normal como referência por isso o raio que sofre maior refração apresenta menor ângulo 𝜃2 𝑎 Figura B2 Feixe de luz branca representado por um raio amarelo incidindo numa interface arvidro a ou em um prisma vidro b Se nosso objetivo for aumentar a dispersão das cores produzindo um espectro da luz incidente num anteparo de interesse como por exemplo uma chapa fotográfica podemos usar um prisma de vidro conforme representamos na Figura B2b Quando um feixe de luz branca penetra no prisma os raios mais azuis sofrem maiores desvios e produzem um espectro da luz incidente no anteparo à direita O que ainda não mencionamos é que as leis da reflexão e refração podem ser deduzidas das equações de Maxwell e como as equações de Maxwel são válidas para todo tipo de onda eletromagnética suas consequências também valem Assim as leis de reflexão e refração inicialmente deduzidas experimentalmente apenas no óptico devem ser válidas para todas as zonas do espectro eletromagnético A figura B3 traz o esboço de um experimento usado para verificar a reflexão de microondas O alternador A gera microondas de determinada frequência numa antena dipolo Um refletor parabólico direciona estas ondas para um espelho metálico que pode girar sob um ângulo 𝜑 em torno de um ponto O O detector D registra a variação da intensidade da onda refletida em sua direção conforme apresentamos no gráfico à direita Como a teoria prevê um pico de detecção ocorre quando o ângulo de incidência da onda no espelho é igual ao ângulo cujo detector está posicionado 𝜑 45 Figura B3 Dispositivo experimental utilizado para estudar a reflexão de microondas por uma extensa lâmina de metal a Ao lado um gráfico apresentando a variação da intensidade lida no detector D Há ampla comprovação experimental de que as equações 𝜃1 𝜃1 e 𝑛1sen𝜃1 𝑛2sen𝜃2 descrevem corretamente o comportamento de feixes refletidos e refratados em todas as regiões do espectro eletromagnético O que difere a reflexão especular e a reflexão difusa é a existência de imperfeições na superfície refletora Se essas imperfeições forem muito menores que o comprimento de onda da onda incidente observaremos um raio refletido Do contrário iremos detectar um feixe difuso Sendo assim o fundo de uma panela de ferro é um bom refletor para microondas de 𝜆 05cm mas não é um bom refletor para a luz visível É por isso que não podemos usar este objeto como espelho para por exemplo pentear o cabelo ou nos barbear Uma segunda condição para a existência de um raio refletido é que as dimensões transversais do refletor devem ser muito maiores que o comprimento de onda do feixe incidente As exigências de que as superfícies sejam lisas e grandes também se aplicam à formação de feixes refratados Exemplo Na Figura B4 o raio amarelo ilustra um feixe monocromático incidindo na interface entre os meios 1 e 2 Considerando que 𝜃 50 𝑛1 16 e 𝑛2 14 determine os valores dos ângulos 𝑎 e 𝑏 indicados Solução Na reflexão o ângulo de incidência é igual ao ângulo refletido Assim como 𝜃 50 temos também 𝑎 500 Já o ângulo 𝑏 de refração é dado pela lei de Snell 𝑛1 sen𝜃1 𝑛2 sen𝜃2 16 sen50 14 sen𝑏 Figura B4 Exemplo de reflexão e refração Assim sen𝑏 16sen50º 14 ou seja 𝑏 sen1 16sen50º 14 61 1 1 Experimentos de refração Os fenômenos de refração estão a todo o momento presentes no nosso cotidiano basta observarmos interseções de meios transparentes à nossa volta Vamos discutir dois deles Como o índice de refração da água é diferente do índice de refração do ar sempre podemos observar um fenômeno de refração numa interface água ar Observe a Figura B5 onde representamos um bastão que poderia ser um lápis uma colher ou uma bomba de chimarrão mergulhado em um copo dágua Olhando o copo da esquerda não percebemos os desvios já que eles estão em um plano vertical paralelo a linha de visada Por outro lado no copo da direita o desvio da luz fica evidente e o lápis parece estar quebrado Figura B5 Exemplo de fenômeno de refração presente em nosso cotidiano Agora vamos usar o mesmo copo para realizar um experimento semelhante ilustrado na Figura B6 Verifique a situação à esquerda onde colocamos um copo de paredes opacas vazio apenas com uma moeda próxima a parede do copo O observador não consegue ver a moeda porque ela esta oculta atrás da parede do copo Quando colocamos água no copo da direita os raios de luz refletidos pela moeda sofrem refração ao passar da água para o ar Com o desvio provocado pela refração os raios de luz conseguem atingir os olhos do observador possibilitando que ele visualize uma imagem da moeda No entanto o observador tem a impressão que a moeda está em outro lugar do fundo do copo Figura B6 Experimento usado para mostrar o desvio da luz proveniente de um objeto causado pela refração da luz A figura acima mostra porque é tão difícil imitar um procedimento antigo de pesca que ainda hoje é usado por algumas comunidades indígenas a pesca utilizando apenas lanças pontiagudas Certamente os índios não sabem que o índice de refração da água é aproximadamente 13 No entanto eles sabem que ao ver o peixe sob determinada profundidade devem atirar sua lança mirando um alvo que nada a uma profundidade em torno de 30 maior 3 Construção de Huygens Nenhuma teoria da luz seria aceitável se não fosse capaz de predizer as leis da reflexão e da refração já estabelecidas Por outro lado podemos reproduzir estas leis e também muitas outras leis que descrevem a óptica através de uma teoria bastante simples embora restrita conforme a que o físico holandês Huygens propôs em 1678 Vamos descrevêla de forma sucinta A teoria de Huygens se limita a tratar a luz como uma onda sem fazer nenhuma observação sobre a natureza da luz No entanto isso não causará nenhum espanto se o leitor lembrar que a teoria de Maxwell do eletromagnetismo apareceu somente depois de decorrido mais de um século da publicação da teoria de Huygens Sua teoria orientou de forma bastante eficiente as experiências realizadas durante muitos anos e até nos dias de hoje continua útil para certos propósitos práticos e pedagógicos O leitor não deve esperar que a teoria de Huygens forneça a mesma quantidade de informações minuciosas que se obtêm da teoria mais completa do eletromagnetismo de Maxwell Esta teoria se baseia numa construção geométrica chamada princípio de Huygens que diz Devemos considerar os pontos de uma frente de onda como fontes puntiformes que produzem ondas esféricas secundarias Após um dado tempo 𝑡 a nova posição da frente de onda é a superfície que tangencia essas ondas secundárias RESNICK HALLIDAY 1969 A Figura B7 representa a construção de Huygens Após um intervalo de tempo 𝛥𝑡 a frente de onda se deslocou uma distância 𝛥𝑆 igual ao raio das ondas esféricas secundárias Figura B7 Propagação de uma onda plana no vácuo segundo a descrição proposta por Huygens Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 21 O Princípio de Huygens e a Lei da reflexão A Figura B8 mostra três frentes de onda de uma onda plana que incide sobre um espelho plano Para facilitar a análise escolhemos frentes afastadas entre si de um comprimento de onda 𝜆 O leitor deve perceber que o ângulo 𝜃1 entre o espelho e a frente de onda é igual ao ângulo entre o raio incidente e a normal ao espelho ou seja 𝜃1 é o ângulo de incidência Agora vamos analisar um ponto de incidência 𝑝 no espelho indicado na parte b da Figura B8 Com um compasso de abertura 𝑝𝑞 descrevemos um arco em torno de p e obtemos um semicírculo ao qual a onda refletida deve ser tangente Agora note que os triângulos 𝑞𝑝𝑝 e 𝑞𝑝𝑝 são semelhantes pois têm dois lados e um ângulo de mesma medida o lado 𝑝𝑝 é comum e 𝑞𝑝 𝑞𝑝 e ainda ambos possuem um ângulo reto em 𝑞 e 𝑞 Assim os outros ângulos têm necessariamente a mesma medida de modo que podemos concluir que 𝜃1 𝜃1 conforme exige a lei da reflexão Figura B8 Construção de Huygens para a reflexão de uma onda Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 22 O Princípio de Huygens e a Lei da refração A Figura B9 mostra gradativamente os estágios da refração de duas frentes sucessivas de uma onda plana de comprimento de onda 𝜆 as quais incidem numa interface arvidro Com base nessa construção e no Princípio de Huygens vamos encontrar a lei da refração Chamaremos de 𝑣1 a velocidade da onda no ar meio 1 e de 𝑣2 a velocidade da onda no vidro meio 1 Esta dedução não se aplica apenas para uma interface arvidro a única hipótese necessária para a dedução que segue é que a velocidade da onda no meio 1 seja maior que a velocidade no meio 2 𝑣2 𝑣1 As frentes de onda estão relacionadas entre si pela construção de Huygens Sendo 𝑡 𝜆1 𝑣1 o tempo durante o qual a onda de Huygens se move do ponto 𝑒 até atingir o ponto 𝑐 A luz que parte do ponto 𝑎 se propagando no vidro com uma velocidade menor e percorrerá uma distância menor no mesmo tempo 𝑡 𝜆2 𝑣2 o que implica em 𝜆2 𝜆1 𝑣2 𝑣1 A frente de onda refratada deve ser tangente a um arco traçado com este raio e de centro em 𝑎 Para os triângulos retângulos acb e acd podemos escrever sen𝜃1 𝜆1 ac para acb e sen𝜃2 𝜆2 ac para acd Dividindo uma expressão pela outra obtemos sen𝜃1 sen𝜃2 𝜆1 𝜆2 𝑣1 𝑣2 const Figura B9 Refração de uma onda plana baseada numa construção de Huygens Para simplificar a figura ocultamos a onda refletida Fique atento para a variação do comprimento de onda na refração Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 A lei da refração é sen𝜃1 sen𝜃2 𝑛21 Da expressão que acabamos de deduzir concluímos que 𝑛21 é o quociente entre as velocidades da luz nos dois meios 𝑛21 𝑣1 𝑣2 Reescrevendo a expressão deduzida da construção de Huygens teremos 𝑐 𝑣1 sen𝜃1 𝑐 𝑣2 sen𝜃2 onde 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo As grandezas 𝑐 𝑣1 e 𝑐 𝑣2 são os índices de refração do meio 1 e do meio 2 respectivamente em relação ao vácuo Para simplificar a notação normalmente escrevemos 𝑛1 sen𝜃1 𝑛2 sen𝜃2 Seguindo a análise vamos supor que a interface da Figura B9 seja vácuovidro Com isso 𝑣1 será a velocidade da luz e o comprimento de onda 𝜆1 terá um determinado valor 𝜆 característico da onda no vácuo Desse modo teremos 𝜆2 𝜆1 𝑣2 𝑣1 𝜆 𝑣2 𝑐 fazendo com que 𝜆2 𝜆 𝑛2 Este resultado mostra claramente que o comprimento de onda de uma luz monocromática num meio material é sempre menor que o comprimento de onda da mesma luz no vácuo já que o índice de refração de qualquer meio material é sempre 𝑛meio 1 Observe que este resultado está bastante claro na Figura B9 3 Reflexão interna total Na seção anterior analisamos a refração da luz que passa de um meio 1 para um meio 2 menos refringente Esta foi a hipótese usada durante a construção geométrica do problema mas sabemos que a lei da refração obtida experimentalmente e agora deduzida com base no princípio de Huygens não se restringe a este fato Cabe então a seguinte questão Se 𝑛1 𝑛2 teremos 𝜃2 𝜃1 nesse caso o que acontecerá quando o ângulo de incidência 𝜃1 se aproximar de 900 Vamos descobrir A figura B10 mostra um raio de luz partindo de uma fonte S localizada no meio 1 que poderia ser vidro ou acrílico por exemplo e atingindo a interface com o meio 2 ar vácuo menos refringente que o meio 1 Como 𝑛1 𝑛2 o ângulo 𝜃2 do raio refratado é maior que 𝜃1 Aumentando 𝜃1 gradativamente atingiremos um ângulo crítico 𝜃𝑐 para o qual 𝜃2 900 Determinamos o ângulo crítico com a expressão usual 𝑛1 sen𝜃𝑐 𝑛2sen900 o que implica em sen𝜃𝑐 𝑛2 𝑛1 Assim 𝜃𝑐 arcsen 𝑛2 𝑛1 Para ângulos de incidência maiores que este ângulo limite não existe raio refratado Nesse caso ocorre um fenômeno conhecido como reflexão total que está representado na parte c da Figura B10 Figura B10 Fenômeno conhecido por reflexão total O ângulo crítico a partir do qual o fenômeno ocorre é 𝜃1 𝜃𝑐 Observe que para uma interface vidroar temos 𝜃𝑐 arcsen 10 15 41 80 Veja também que a reflexão total não ocorre quando a luz provém do meio de menor índice de refração A Figura B11 analisa a reflexão total num prisma triangular de vidro Na esquerda um raio incide perpendicularmente a uma face do prisma de modo que não sofre refração Ao atingir a outra interface o raio sofre reflexão total Contudo mergulhandose o prisma na água o mesmo raio é em parte refletido e parte refratado Isto ocorre por que 𝑛agua 𝑛ar o que exige um ângulo 𝜃𝑐 maior para que ocorra a reflexão total Figura B11 Reflexão total à esquerda em um prisma de vidro Ao mergulharmos o prisma na água à direita a reflexão é apenas parcial Exemplo 1 Se o ângulo crítico numa interface vácuoar for 𝜃1 450 como podemos encontrar o índice de refração do vidro Solução O ângulo 𝜃1 não pode ser inferior ao ângulo crítico 𝜃𝑐 Assim como 𝑛vac 1 temos sen𝜃𝑐 𝑛2 𝑛1 1 𝑛vidro A expressão acima nos fornece uma relação entre o ângulo em que ocorre a reflexão total e o índice de refração do vidro Supondo que o índice de refração do vidro seja tal que a reflexão total comece a aparecer quando 𝜃1 450 encontramos 𝑛 1 sen450 141 Exemplo 2 Vamos supor os índices de refração da água e do acrílico sejam exatamente 𝑛agua 13 e 𝑛acrilico 15 Qual o ângulo crítico para a segunda situação da Figura B11 em que um prisma se encontra mergulhado na água Solução O novo ângulo crítico é obtido diretamente da das equações dessa seção 𝜃𝑐 arcsen 𝑛2 𝑛1 arcsen 13 15 𝜃𝑐 600 Como o ângulo de incidência da situação é 45 portanto menor que 𝜃𝑐 não vemos reflexão total Além do raio 𝑎 refletido temos um raio refratado fazendo um ângulo 𝜃2 com a normal tracejada dado por 𝑛1 sen𝜃1 𝑛2 sen𝜃2 15 sen450 13 sen𝜃2 𝜃2 54 70 4 Princípio de Fermat Em 1657 Pierre Fermat propôs um novo método para descrever os percursos dos raios luminosos baseandose na idéia de que a natureza sempre atua pelo caminho mais curto O princípio de Fermat pode ser enunciado da seguinte forma entre todos os caminhos possíveis para que a luz vá de um ponto a outro o caminho seguido é aquele em que o tempo necessário é um mínimo Sendo assim como em cada meio a velocidade é constante encontrar o tempo mínimo em geral corresponde a encontrar a distância mínima percorrida Podemos deduzir as leis da reflexão e de refração a partir do princípio de Fermat A Figura B12 mostra um raio de luz partindo de uma fonte 𝑆 passando por 𝑃 e chegando a um dado ponto 𝑄 Na parte a vamos analisar a reflexão de um raio de luz e na parte b analisaremos a refração Os pontos 𝑆 e 𝑄 são fixos enquanto que a posição de 𝑃 varia horizontalmente até que se obedeça ao principio de Fermat Figura B12 Dedução das leis de reflexão a e refração b através do princípio de Fermat As figuras ilustram um raio de luz partindo de uma fonte 𝑆 passando por 𝑃 e chegando a um dado ponto 𝑄 Adaptada do RESNICK HALLIDAY 1969 Vamos iniciar obtendo a lei da reflexão Em a o caminho 𝛥𝑥 SPQ percorrido pelo raio de luz é dado por 𝛥𝑥 SPQ 𝑦1 2 𝑥² 𝑦2 2 𝑑 𝑥² onde 𝑥 determina a posição do ponto 𝑃 em que o raio toca o espelho De acordo com o princípio de Fermat a posição de 𝑃 é aquela que minimiza o tempo de percurso o que neste caso corresponde a encontrarmos uma distância mínima ou seja vamos procurar 𝑥 tal que 𝑑𝛥𝑥 dx 0 𝑑𝛥𝑥 dx 1 2 𝑦1 2 𝑥²1 2 2𝑥 1 2 𝑦2 2 𝑑 𝑥²1 2 2𝑑 𝑥1 0 então 𝑥 𝑦12𝑥² 𝑑𝑥 𝑦22𝑑𝑥² Agora analise novamente a Figura B12a Não é difícil perceber que sen𝜃1 𝑥 𝑦12𝑥² e sen𝜃1 𝑑𝑥 𝑦22𝑑𝑥² Portanto sen𝜃1 sen𝜃1 ou seja como 𝜃1 e 𝜃1 são menores que 900 temos que a lei da reflexão é novamente dada por 𝜃1 𝜃1 Agora vamos obter a lei da refração Considere a construção Figura B12b O caminho SPQ é igual a 𝛥𝑥1 𝛥𝑥2 e o tempo de percurso é dado por 𝑡 𝛥𝑥1 𝑣1 𝛥𝑥2 𝑣2 Lembrando que 𝑣 𝑐 𝑛 obtemos 𝑡 𝑛1𝛥𝑥1𝑛2𝛥𝑥2 𝑐 𝑙 𝑐 onde a grandeza 𝑙 𝑛1𝛥𝑥1 𝑛2𝛥𝑥2 é chamada caminho óptico do raio O princípio de Fermat exige que este caminho seja um mínimo para que 𝑡 também o seja Nestas bases vamos encontrar 𝑥 tal que dl dx 0 dl dx 𝑛1 1 2 𝑦1 2 𝑥²1 2 2𝑥 𝑛2 1 2 𝑦2 2 𝑑 𝑥²1 2 2𝑑 𝑥1 0 Implicando que 𝑛1 𝑥 𝑦12𝑥² 𝑛2 𝑑𝑥 𝑦22𝑑𝑥² Conforme a Figura B12b teremos novamente sen𝜃1 𝑥 𝑦12𝑥² e sen𝜃2 𝑑𝑥 𝑦22𝑑𝑥² resultando em 𝑛1 sen𝜃1 𝑛2 sen𝜃2 que é a lei da refração