Lista de Exercícios 5 - Fenômenos de Transporte 4 - 2023-1

Fenômenos de Transporte 4 Lista de Exercícios 5 A lista de exercícios deverá ser entregue até às 18h do dia 4 de setembro de 2023 via AVA. 1. A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de um fluido incompressível é dado por: 𝑢𝑥 = − 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝑢𝑦 = − 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 Demonstre que satisfaz a equação da continuidade. 2. O campo de velocidades, u=(5x)i + (5y)j + (-10z)k, satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível? 3. Um campo de velocidades é proposto como sendo: uy= 10y/(x2 + y2); uy= -10x/ (x2 + y2) e uz=0 a) Esse fluido é incompressível? b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão ∇p, assumindo o eixo z na vertical. Questão 1 A equação da continuidade é dada por: 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 = 0 Substituindo as funções de velocidade do lado esquerdo da equação, obtemos: 𝜕 𝜕𝑥 [− 𝑥 𝑥2 + 𝑦2] + 𝜕 𝜕𝑦 [− 𝑦 𝑥2 + 𝑦2] = [ 1 𝑥2 + 𝑦2] 𝜕 𝜕𝑥 [−𝑥] + [−𝑥] 𝜕 𝜕𝑥 [ 1 𝑥2 + 𝑦2] + [ 1 𝑥2 + 𝑦2] 𝜕 𝜕𝑦 [−𝑦] + [−𝑦] 𝜕 𝜕𝑦 [ 1 𝑥2 + 𝑦2] = [ 1 𝑥2 + 𝑦2] [−1] + [−𝑥] [− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2] 𝜕 𝜕𝑥 [𝑥2 + 𝑦2] + [ 1 𝑥2 + 𝑦2][−1] + [−𝑦][− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2] 𝜕 𝜕𝑦 [𝑥2 + 𝑦2] = [ −2 𝑥2 + 𝑦2] + [−𝑥] [− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2] [2𝑥] + [−𝑦][− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2] [2𝑦] = [ −2 𝑥2 + 𝑦2] + [ 2𝑥2 (𝑥2 + 𝑦2)2] + [ 2𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)2] = [ −2 𝑥2 + 𝑦2] + 2 [ 𝑥2 + 𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)2] = [ −2 𝑥2 + 𝑦2] + 2 [ 1 𝑥2 + 𝑦2] = 0 Logo, a equação da continuidade é satisfeita neste caso Questão 2 Esta lei de conservação é expressa por: 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑧 = 0 Substituindo as funções de velocidade do lado esquerdo da equação, obtemos: 𝜕5𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕5𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕(−10𝑧) 𝜕𝑧 = = 5 + 5 + (−10) = 10 − 10 = 0 Logo, a equação da continuidade é satisfeita neste caso. E portanto a lei de conservação da massa é satisfeita Questão 3 a) A equação da continuidade para fluido incompressível é dada por: 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑧 = 0 Substituindo as funções de velocidade do lado esquerdo da equação, obtemos: 𝜕 ( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑥 + 𝜕 ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑦 + 𝜕(0) 𝜕𝑧 = = 10𝑦 𝜕 ( 1 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑥 − 10𝑥 𝜕 ( 1 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑦 + 0 = 10𝑦 (− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2) 𝜕(𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑥 − 10𝑥 (− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2) 𝜕(𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑦 = 10𝑦 (− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2) (2𝑥) − 10𝑥 (− 1 (𝑥2 + 𝑦2)2) (2𝑦) = ( −20𝑥𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2) + ( 20𝑥𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2) = 0 Logo, a equação da continuidade é satisfeita neste caso. E portanto o fluido é incompressível b) As equações de Navier-Stokes, são dadas por: 𝜌 (𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑡 + 𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 + 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜇 (𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑧2 ) + 𝑋 𝜌 ( 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑡 + 𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 + 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑧2 ) + 𝑌 𝜌 (𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑡 + 𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑦 + 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 (𝜕2𝑢𝑧 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑧 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢𝑧 𝜕𝑧2 ) + 𝑍 Simplificando para 𝑢𝑧 = 0, 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑧 = 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑧 = 0, e regime permanente, temos: 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 + 0) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜇 (𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑦2 + 0) + 𝑋 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 + 0) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑦2 + 0) + 𝑌 𝜌(0 + 0 + 0) = −𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇(0 + 0 + 0) + 𝑍 Como o eixo 𝑧 está na vertical, as forças de corpo são dadas por 𝑋 = 𝑌 = 0 e 𝑍 = −𝜌𝑔, logo: 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜇 (𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑦2 ) 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑦2 ) 0 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 − 𝜌𝑔 Logo, temos: ∇𝑝 = (𝜕𝑝 𝜕𝑥 , 𝜕𝑝 𝜕𝑦 , 𝜕𝑝 𝜕𝑧) ∇𝑝 = (𝜇 (𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑥 𝜕𝑦2 ) − 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 ) , 𝜇 ( 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢𝑦 𝜕𝑦2 ) − 𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 ) , −𝜌𝑔) Admitindo fluido invíscido, temos 𝜇 = 0, logo: ∇𝑝 = (−𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 ) , −𝜌 (𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 + 𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦 ) , −𝜌𝑔) ∇𝑝 = ( −𝜌 ( ( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2)( −20𝑥𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2) + ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕 ( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑦 ) , −𝜌 ( ( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕 ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2) 𝜕𝑥 + ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2)( 20𝑥𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2) ) , −𝜌𝑔 ) ∇𝑝 = (−𝜌(( −200𝑥𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)3) + ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2)[10𝑦 𝜕 𝜕𝑦 ( 1 𝑥2 + 𝑦2) + 1 𝑥2 + 𝑦2 𝜕 𝜕𝑦 (10𝑦)]) , −𝜌(( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2)[−10𝑥 𝜕 𝜕𝑥 ( 1 𝑥2 + 𝑦2) + 1 𝑥2 + 𝑦2 𝜕 𝜕𝑥 (−10𝑥)] + ( −200𝑥2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)3)), −𝜌𝑔) ∇𝑝 = (−𝜌 ( −200𝑥𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)3 + ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2)[10𝑦 (− 2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2) + 10 𝑥2 + 𝑦2]), −𝜌 (( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2)[−10𝑥 (− 2𝑥 (𝑥2 + 𝑦2)2) + −10 𝑥2 + 𝑦2] + −200𝑥2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)3), −𝜌𝑔) ∇𝑝 = (−𝜌( −200𝑥𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)3 + ( −10𝑥 𝑥2 + 𝑦2)[(− 20𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)2) + 10 𝑥2 + 𝑦2]), −𝜌 (( 10𝑦 𝑥2 + 𝑦2)[( 20𝑥2 (𝑥2 + 𝑦2)2) + −10 𝑥2 + 𝑦2] + −200𝑥2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)3), −𝜌𝑔) ∇𝑝 = (−𝜌 ( −200𝑥𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)3 + [( 200𝑥𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)3) + ( −100𝑥 (𝑥2 + 𝑦2)2)]), −𝜌 ([( 200𝑥2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)3) + ( −100𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)2)] + −200𝑥2𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)3), −𝜌𝑔) 𝛁𝒑 = (𝝆 𝟏𝟎𝟎𝒙 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐 , 𝝆 𝟏𝟎𝟎𝒚 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐 , −𝝆𝒈)