Engrenagens Cilíndricas e Redutores UFSCar - Apostila Completa para Engenharia Mecânica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Engenharia de Projeto Elementos de transmissão Prof Dr Mariano Eduardo Moreno Prof Dr Luis Antonio Oliveira Araujo São Carlos 2020 ii Prefácio O conteúdo apresentado ao longo deste texto foi desenvolvido com a preparação das disciplinas Pro jeto Mecânico Integrado Projeto de Elementos de Máquinas e Complementos de Elementos de Máquinas A necessidade deste material foi por proporcionar aos estudantes uma base para estudo na situação de pandemia devido ao Covid19 e da adaptação do curso à modalidade de Ensino Não Presencial Emergencial no ano de 2020 Conteúdo de diversas referências foram compilados nesta apostila de modo a facilitar o acesso à bibliografia fundamental dos cursos para os alunos que estão impossibilitados de acessar a Biblioteca Comunitária da UFSCar São Carlos agosto de 2020 Prof Dr Mariano Eduardo Moreno iii iv Sumário I Engrenagens Cilíndricas 1 1 Engrenagens e Associações de Engrenagens 3 11 Terminologia de Engrenagens 3 12 Representação Gráfica 6 13 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 8 131 Módulos Normalizados 10 132 Geometria dos Dentes da Engrenagem 11 133 Dimensões Padronizadas em Função do Módulo 12 134 Ângulo de Pressão 14 135 Comprimento de Ação 15 136 Razão de Contato Transversal 15 137 Condições para Evitar Interferência 16 14 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais 19 141 Ângulo de Hélice 19 142 Passos Normal Transversal e Axial 20 143 Módulos Normal e Transversal 22 144 Ângulos de Pressão Normal e Transversal 22 145 Razão de Contato 23 146 Largura de Face 23 15 Relação Fundamental das Engrenagens 24 16 Forças em Engrenagens Cilíndricas 25 161 Dentes Retos 26 162 Dentes Helicoidais 26 17 União Eixo Cubo da Engrenagem 27 18 Redutores 29 181 Redutores de Transmissão Simples 29 182 Redutores de Transmissão Composta 30 183 Redutores Planetários de Um Estágio 37 v vi SUMÁRIO 184 Redutores Planetários de Dois Estágios 41 185 Rendimentos em transmissões por engrenagens 49 2 Dimensionamento de Engrenagens 51 21 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 51 211 Fator Geométrico de Resistência à Flexão J 52 212 Fator de Aplicação de Carga Ka e Ca 52 213 Fator de Distribuição de Carregamento Km e Cm 61 214 Fator Dinâmico Kv e Cv 62 215 Fator de Tamanho Ks e Cs 64 216 Fator de Alívio de Massa no Corpo da Engrenagem KB 65 217 Fator para Engrenagem Intermediária KI 67 218 Fator Geométrico de Superfície I 67 219 Coeficiente Elástico Cp 68 2110 Fator de Acabamento Superficial Cf 68 22 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais 68 221 Fator Geométrico de Resistência à Flexão J 68 222 Fator Geométrico de Superfície I 68 23 Resistência à Fadiga 73 231 Critérios para Verificação 76 232 Fator de Correção de Vida KL e CL 76 233 Fator de Confiabilidade KR e CR 78 234 Fator de Temperatura KT e CT 78 235 Fator de Razão de Dureza CH 78 236 Fatores de Segurança Quanto a Fadiga 79 24 Tolerâncias Dimensionais 82 241 Distância entre centros 82 25 Lubrificação 82 3 Aplicações ao projeto de redutores 85 31 Redutor Planetário de Um Estágio 85 II Correias e Correntes 89 4 Aspectos gerais sobre correias 91 5 Especificação de Correias 95 51 Correias Planas 95 52 Correias em V 102 521 Parâmetros Geométricos 102 522 Transmissão de Potência 104 523 Forças em Correias V 107 SUMÁRIO vii 524 Durabilidade Vida da Correia V 109 53 Correias Sincronizadoras 111 6 Correntes 115 61 Análise de movimento em correntes 115 62 Cálculos de transmissão de potência 119 63 Velocidade máxima recomendada e lubrificação 123 viii SUMÁRIO Lista de Figuras 11 Terminologia de engrenagens cilíndricas de dentes retos Adaptada de 3 5 12 Representação convencional e esquemática de pares de engrenagens 8 7 13 Engrenagem cilíndrica de dentes retos 8 14 Esquemático de uma transmissão simples por engrenagens cilíndricas 10 15 Perfil envolvente gerado a partir do diâmetro de base 12 16 Ângulo de pressão e perfil envolvente do dente 14 17 Formato do dente com a variação do ângulo de pressão para uma engrenagem cilín drica de 18 dentes Em a o diâmetro de base fica acima do diâmetro de raiz fazendo com que ocorra um enfraquecimento na raiz do dente À medida que se aumenta o ângulo de pressão o problema diminui com o preço da ocorrência de aumento da carga radial e proporcional diminuição da força tangencial 15 18 Evolução do contato entre dentes conjugados de pinhão e coroa desde o início do contato ponto M até seu final Ponto N em uma situação em que o início do contato ocorre no início da linha de ação 16 19 Geometria para análise da condição de número mínimo de dentes para evitar interfe rência entre pinhaõ e coroa 17 110 Geometria para análise da condição de número mínimo de dentes para evitar interfe rência entre pinhão e cremalheira 18 111 Engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos 19 112 Efeito do ângulo de hélice no nível de ruído Altos ângulos de hélice levam a níveis mais baixos de ruídos 17 20 113 Planos normal e transversal em uma cremalheira helicoidal e respectivos parâmetros 22 114 Velocidades tangenciais e angulares em uma transmissão por engrenagens cilíndricas 24 115 Equilíbrio de forças e torques em uma transmissão por engrenagens cilíndricas 25 116 Decomposição da força de contato em componentes tangencial e radial em relação ao círculo promitivo 26 117 Decomposição da força de contato em componentes tangencial e radial em relação ao círculo promitivo 27 ix x LISTA DE FIGURAS 118 Parâmetros referentes à espessura do cubo em função do diâmetro DF do eixo 28 119 Tramsmissão simples por engrenagens 29 120 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com duas reduções 30 121 Transmissões parciais em redutores de 2 ou 3 estágios de engrenagens cilindricas ou com um par cônico na entrada 32 122 Transmissões parciais para redutores a 2 estágios b 3 estágios 33 123 Relação rotação do pinhão e potência para diferentes módulos em uma transmissão por engrenagens cilíndricas com i 4 35 124 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com entrada e saída colineares 36 125 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 1 38 126 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 2 40 127 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 3 40 128 Desenho esquemático de um redutor planetário composto 42 129 Algumas configurações possíveis para planetário de dois estágios e indicação dos elementos acoplados em cada configuração 45 130 Configurações possíveis para planetário composto 46 131 Configurações possíveis para planetário diferencial 47 132 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com duas reduções para aná lise de torque disponível no eixo de saída 50 21 Fatores geométricos J para engrenagens cilíndricas de dentes retos segundo AGMA 53 22 Fator de distribuição de carregamentos Km para engrenagens cilíndricas 62 23 Fator de tamanho Ks para engrenagens cilíndricas 65 24 Dimensões consideradas para o fator de alívio de massa KB em engrenagens cilíndricas 65 25 Parâmetros para o fator de alívio de massa KB em pinhões pequenos 66 26 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 15 b Multiplicador para correção do fator J 69 27 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 20 b Multiplicador para correção do fator J 70 28 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 20 por outro processo de fabricação incluindo a faixa de 12 a 20 dentes b Multiplicador para correção do fator J para quantidade de dentes no intervalo de 12 a 20 Para valores maiores use a Figura 27 71 29 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 22 b Multiplicador para correção do fator J 72 210 Fator de resistência à flexão KL pela AGMA 77 211 Fator de resistência à fadiga superficial CL pela AGMA 77 212 Acabamento superficial para vários processos de fabricação 80 213 Máxima rugosidade superficial de peças comuns usinadas 81 41 Transmissão por correias a aberta b cruzada c semicruzada d com correia trapezoidal em V 12 92 LISTA DE FIGURAS xi 42 Exemplo de transmissão eliminando uso de embreagem 3 92 43 Transmissão variável por correias a contínua b escalonada 3 93 51 Acoplamentos de correias planas a grampos b ligação em ziguezague c ligação de placa d com garra e com trilhos fligação de barra g correias coladas 12 95 52 Correias nas configurações aberta imagem à esquerda e cruzada imagem à direita 96 53 Diagrama de corpo livre de um elemento de correia em contato com a polia 96 54 Gráfico da tração inicial Fi contra tração de correia F1 ou F2 mostrando Fc e o termo 2Td 3 99 55 Fator de correção de velocidade Cv para correias de couro de várias espessuras 3 101 56 Trações em correias planas 3 102 57 Trações em correias V 3 109 58 Opções para modelo de correia da empresa Optibelt GmbH Disponível em https wwwoptibeltcomfileadminpdfproduktezahnriemengummiOptibeltTMRubberTimingBeltDrives pdf Acesso em 24 fev 2020 113 59 Orientação de escolha de modelo de correia sincronizadora da empresa Optibelt GmbH Disponível em httpswwwoptibeltcomfileadminpdfproduktezahnriemengummi OptibeltTMRubberTimingBeltDrivespdf Acesso em 24 fev 2020 114 61 Parãmetros geométricos da roda dentada 116 62 Roda dentada rotacionada em γ2 117 63 Variação em porcentagem de velocidade cordal em função do número de dentes N da roda dentada 3 118 LISTA DE FIGURAS Lista de Tabelas 11 Exemplo de dados sobre engrenagem cilíndrica que devem constar na legenda de desenho técnico completo Adaptada de 8 6 12 Cotas de controle afastamento W para engrenagens com ângulo de pressão 20e módulo 1mm em função do número de dentes N 8 9 13 Módulos padronizados segundo a norma DIN 780 11 14 Módulos preferenciais 11 15 Valores padronizados de adendo e dedendo 13 16 Distribuição dos módulos padronizados nos seis grupos da DIN 3978 20 17 Ângulos de hélice ψ normalizados série 1 DIN 3978 21 18 Dados de referencia para comprimento do cubo l e espessura do cubo s 28 19 Termos das equações cinemáticas do planetário com engrenagem anelar fixa 38 110 Relações de transmissão e faixas de aplicação para redutores planetários simples 41 111 Termos das equações cinemáticas do planetário com o braço fixo 41 112 Termos das equações cinemáticas do planetário com a engrenagem solar fixa 41 113 Termos das equações cinemáticas do planetário composto do exemplo 42 114 Informações das engrenagens do redutor planetário de dois estágios 44 115 Relações de transmissão em função do número de dentes e identificação das relações de transmissão parciais dos estágios 48 116 Valores de referência para rendimentos de engrenagens cilíndricas e mancais 50 21 Valores Sugeridos para o Fator de Sobrecarga Ka 54 22 Fator de serviço segundo 6 59 23 Fator de distribuição de carregamentos 61 24 Valores de Qv recomendados pela AGMA para aplicações selecionadas 63 25 Valores de Qv recomendados pela AGMA em função da velocidade no círculo primitivo 63 26 Sistema de qualidade para engrenagens segundo AGMA 2000 AGMA 2015 e ISO 1328 64 27 Valores recomendados de Ks 65 xiii xiv LISTA DE TABELAS 28 Resistência a fadiga em flexão S fb e resistência a fadiga de superfície S fc conforme AGMA 75 29 Vida útil de projeto típica para engrenagens em função de sua aplicação 76 210 Fator de confiabilidade AGMA 78 211 Parâmetro ai em função da distância entre centros 83 212 Relação entre qualidade e série de tolerâncias 83 213 Parâmetro a j em função da série de tolerância 84 214 Grau de viscosidade recomendada para transmissões fechadas 84 41 Características de algfuns tipos comuns de correias 3 92 51 Propriedades de alguns materiais de correias planas e redondas 3 100 52 Fator de correção de polia Cp para correias planas 3 101 53 Tamanhos mínimos de polia para correias planas e redondas de uretano Diâmetros dados em mm 3 101 54 Altura de abaulamento e diâmetros de polias ISO para correias planas 3 102 55 Seção padronizadas de correias em V 3 102 56 Circunferências internas padronizadas de correias em V 3 103 57 Dimensões a adicionar à circunferência interna Tabela 56 para converter ao com primento primitivo Lp 3 103 58 Estimativas de potência kW de correias padronizadas em V 3 105 59 Fator de correção do ângulo de contato kW para transmissões por correias VV e VPlana 3 106 510 Fator de correção para comprimento da correia K2 3 106 511 Fatores de serviço Ks sugeridos para transmissões por correias em V 3 107 512 Parâmetros adicionais para correias em V 3 108 513 Parâmetros de durabilidade para algumas seções de correias em V 3 111 514 Passos padronizados em correias sincronizadoras 112 61 Dimensões padronizadas de correntes ANSI 118 62 Número de dentes em roda dentada de fileira única Morse Chain Company 119 63 Potência kW avaliada para corrente de rolos de fileira única e passo único em roda dentada com 17 dentes 121 64 Fatores de correção para quantidade de dentes K1 122 65 Fatores de correção para fileiras múltiplas K2 122 Parte I Engrenagens Cilíndricas CAPÍTULO 1 Engrenagens e Associações de Engrenagens 11 Terminologia de Engrenagens A terminologia empregada para engrenagens cilíndricas de dentes retos é apresentada na Figura 11 Os itens que definem a engrenagem seguidos de uma breve explicação são 1 Círculo primitivo ou de passo caracterizado pelo diâmetro primitivo d é um círculo teórico não existe fisicamente na engrenagem localizado aproximadamente à meia altura do dente que tangencia o círculo correspondente da engrenagem conjugada Os cálculos de esforços são localizados neste círculo primitivo 2 Círculo de adendo círculo caracterizado pelo diâmetro externo de da engrenagem 3 Círculo de raiz círculo caracterizado pelo diâmetro de raiz dr da engrenagem 4 Círculo de base círculo caracterizado pelo diâmetro de base db é um círculo teórico não existe fisicamente na engrenagem que é utilizado como base para a geração do perfil do flanco do dente em engrenagens envolventes 5 Número de dentes N quantidade de dentes que formam a engrenagem 6 Passo circular p comprimento do arco formado entre um ponto em um dente da engrenagem e o ponto correspondente no dente seguinte medido ao longo do círculo primitivo 7 Passo de base pb com definição similar ao passo circular mas com comprimento de arco medido ao longo do círculo de base 8 Módulo m grandeza que relaciona o diâmetro primitivo com o número de dentes da engre nagem Este parâmetro é padronizado em valores prédefinidos por norma e é utilizado como base para definir as proporções geométricas da engrenagem 3 4 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS 9 Adendo a distância radial entre os círculos primitivo e de adendo Em engrenagens normais é igual a m 10 Dedendo b distância radial entre os círculos primitivo e de raiz Em engrenagens normais é igual a 125m 11 Altura do dente h corresponde à soma de adendo e dedendo 12 Folga no fundo do dente c folga entre o fundo do dente de uma engrenagem e o topo do dente da engrenagem conjugada Dado pela diferença entre dedendo e adendo 13 Espessura do dente e medido no círculo primitivo corresponde ao comprimento do arco que cobre um dente vale p2 em engrenagens normais 14 Vão entre dentes medido no círculo primitivo corresponde ao comprimento do arco que cobre o espaço entre dentes vale p2 em engrenagens normais 15 Fundo do dente área entre os dentes localizada no círculo de raiz 16 Topo do dente área no topo do dente localizada no círculo de adendo 17 Raio na raiz do dente r raio de transição entre o flanco e o fundo do dente 18 Flanco do dente Face do dente que entra em contato com o dente conjugado da outra engrena gem Ao longo do movimento a linha de contato entre os dentes percorre o flanco do dente 19 Angulo de pressão φ ângulo entre a normal do flanco do dente na altura do círculo primitivo e a reta tangente ao mesmo círculo Determina a decomposição de forças entre um componente tangencial responsável pelo trabalho e um componente radial 20 Largura da face largura do flanco do dente medida na direção axial da engrenagem Para engrenagens helicoidais utilizamse os mesmos termos básicos mas várias das definições são divididas em planos diferentes Como os dentes tem o formato helicoidal caracterizado por um ângulo constante ao longo da direção axial os termos são avaliados em função de uma direção normal ao dente para estes será utilizado o índice n e da direção transversal ao eixo índice t 1 Passo transversal pt comprimento do arco formado entre um ponto em um dente da engre nagem e o ponto correspondente no dente seguinte medido ao longo do círculo primitivo 2 Passo normal pn comprimento do arco formado entre um ponto em um dente da engrenagem e o ponto correspondente no dente seguinte medido ao longo do círculo primitivo 3 Passo axial px distância na direção axial correspondente à rotação da engrenagem em um passo transversal 4 Módulo transversal mt grandeza que relaciona o diâmetro primitivo com o número de dentes da engrenagem Relacionase ao módulo normal pelo ângulo de hélice 11 TERMINOLOGIA DE ENGRENAGENS 5 Figura 11 Terminologia de engrenagens cilíndricas de dentes retos Adaptada de 3 5 Módulo normal mn Parâmetro padronizado em valores prédefinidos por norma e é utilizado como base para definir as proporções geométricas da engrenagem Assume os mesmos valores do módulo de engrenagens de dentes retos Relacionase ao módulo transversal pelo ângulo de hélice 6 Adendo a distância radial entre os círculo primitivo e de adendo Em engrenagens normais é igual a mn 7 Dedendo b distância radial entre o círculos primitivo e de raiz Em engrenagens normais é igual a 125mn 8 Angulo de pressão φt ângulo entre a normal do flanco do dente na altura do círculo primitivo e a reta tangente ao mesmo círculo projetados no plano transversal Determina a decomposição de forças entre um componente tangencial responsável pelo trabalho e um radial 9 Angulo de pressão φn ângulo entre a normal do flanco do dente na altura do círculo primitivo e a reta tangente ao mesmo círculo projetados no plano normal Determina a decomposição de forças para um carregamento axial 10 Ângulo de hélice ψ ângulo entre a linha de centro da engrenagem e a direção de inclinação do dente helicoidal 11 Sentido de hélice direita se a hélice inclinase no sentido horário distanciandose de um observador que olha na direção da geratriz da superfície primitiva ou esquerda se a inclinação é no sentido antihorário mantendo as demais condições anteriores 6 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS 12 Representação Gráfica Diversas referências apresentam uma boa abordagem sobre o assunto Neste texto serão utilizados 8 e 5 Os diversos tipos de engrenagens e sua representação convencional e esquemática são apresentados na Figura 12 Estão representados o acoplamento entre um pinhão e uma cremalheira a associação de um par de engrenagens cilíndricas retas ou também a representação de helicoidais no detalhe um para de engrenagens cônicas de dentes retos uma associação de parafuso semfim e coroa e um par de engrenagens cilíndricas helicoidais com montagem oblíqua Uma engrenagem cilíndrica totalmente cotada é também apresentada por 8 e reproduzida aqui como exemplo na figura que ilustra a Tabela 11 Nem todas as informações referentes à engrena gem podem ser incluídas diretamente no desenho da peça como por exemplo o número de dentes da engrenagem Estes valores devem ser adicionados acima da legenda do desenho Os itens específicos que devem constar no desenho técnico de engrenagens cilíndricas estão listados na Tabela 11 Alguns dos itens são definidos pelo projetista segundo as características de desempenho desejadas e outras são calculadas a partir dos dados de projeto Na coluna Dados podese acompanhar as informações sem referências como sendo as decisões de projeto e os itens referenciando alguma equação ou ta bela como sendo itens derivados a partir de cálculo Todos os itens serão explicados e devidamente estudados adiante neste texto Tabela 11 Exemplo de dados sobre engrenagem cilíndrica que devem constar na legenda de desenho técnico completo Adaptada de 8 Termos Exemplo de dados Módulo normal m mn 1 mm Módulo transversal mt 10353 mm Eq 124 Ângulo de pressão normal φ 20 Número de dentes N 22 Altura do dente h 225 mm Tab 15 Diâmetro primitivo d 22776 mm Eq 125 Ângulo de hélice ψ 15 Sentido da hélice direita Passo axial px 12132 mm Eq 122 Afastamento W 76884 mm Tab 12 Número de dentes por medida W NW 3 Tab 12 Entre eixos C 3364 0012 mm Eqs 238 à 240 Número de dentes da roda acolada N 43 Dados a marcar somente para engrenagens cilíndricas helicoidais Dentre os itens listados há além de cotas e informações funcionais para a fabricação da engrena 12 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 7 Figura 12 Representação convencional e esquemática de pares de engrenagens 8 8 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS gem referências para a inspeção do produto já manufaturado Tratamse das variáveis referentes ao afastamento W e ao seu respectivo número de dentes NW cujos valores são apresentados na Tabela 12 que conta também com uma ilustração que deixa claro como é feita a inspeção Detalhes mais aprofundados sobre o uso da dimensão W para a inspeção de engrenagens são apresentados por 9 em um capítulo exclusivo sobre o assunto Representação similar incluindo itens adicionais necessários referentes à engrenagens cônicas e semfimcoroa podem ser encontrados em 8 Neste texto o aprofundamento de exemplos será restrito a engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais apenas 13 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos comum é representada na Figura 13 em vista frontal mostrando em detalhes o prefil dos dentes que caracterizam o elemento engrenagem e em vista iso métrica para permitir a visualização dos flancos dos dentes da engrenagem Figura 13 Engrenagem cilíndrica de dentes retos Na figura 14 mostrase uma transmissão simples de engrenagens cilíndricas de dentes retos em notação simplificada A menor das engrenagens recebe o nome de pinhão e a maior delas é chamada de coroa Uma vez que este texto sobre engrenagens aborda redutores o pinhão será sempre consi derado a engrenagem motora e a coroa será considerada a engrenagem movida Para as derivações a seguir segundo as convenções utilizadas na literatura acadêmica disponível será atribuído o índice 1 às características referentes ao ground carcaça ou estrutura que sustenta os eixos das engrenagens o índice 2 às características do elemento que fornece o movimento de entrada pinhão e o índice 3 às carcterísticas do elemento movido coroa 13 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 9 Tabela 12 Cotas de controle afastamento W para engrenagens com ângulo de pressão 20e módulo 1mm em função do número de dentes N 8 N NW W mm N NW W mm N NW W mm N NW W mm N NW W mm 10 2 45683 48 6 169090 86 10 292497 124 14 415905 162 18 539312 11 2 45823 49 6 169230 87 10 292637 125 14 416045 163 19 568973 12 2 45963 50 6 169370 88 10 292777 126 15 416185 164 19 569113 12 2 46103 51 6 169510 89 10 292917 127 15 445846 165 19 569254 14 2 46243 52 6 169650 90 10 293057 128 15 445986 166 19 569394 15 2 46383 53 6 169790 91 11 322719 129 15 446126 167 19 569534 16 2 46523 54 6 169930 92 11 322859 130 15 446266 168 19 569674 17 2 46663 55 7 199591 93 11 322999 131 15 446406 169 19 569814 18 2 46803 56 7 199732 94 11 323139 132 15 446546 170 19 569954 19 3 76464 57 7 199872 95 11 323279 133 15 446686 171 19 570094 20 3 76604 58 7 200012 96 11 323419 134 15 446826 172 20 599755 21 3 76744 59 7 200152 97 11 323559 135 15 446966 173 20 599895 22 3 76884 60 7 200292 98 11 323699 136 16 476628 174 20 600035 23 3 77025 61 7 200432 99 11 323839 137 16 476768 175 20 600175 24 3 77165 62 7 200572 100 12 353500 138 16 476908 176 20 600315 25 3 77305 63 7 200712 101 12 353641 139 16 477048 177 20 600456 26 3 77445 64 8 230373 102 12 353781 140 16 477188 178 20 600596 27 3 77585 65 8 230513 103 12 353921 141 16 477328 179 20 600736 28 4 107526 66 8 230653 104 12 354061 142 16 477468 180 20 600876 29 4 107386 67 8 230793 105 12 354201 143 16 477608 181 21 630537 30 4 107526 68 8 230933 106 12 354341 144 16 477748 182 21 630677 31 4 107666 69 8 231074 107 12 354481 145 17 507410 183 21 630817 32 4 107806 70 8 231214 108 12 354621 146 17 507550 184 21 630957 33 4 107946 71 8 231354 109 13 384282 147 17 507690 185 21 631097 34 4 108086 72 8 231494 110 13 384422 148 17 507830 186 21 631237 35 4 108226 73 9 261155 111 13 384563 149 17 507970 187 21 631377 36 4 108367 74 9 261295 112 13 384703 150 17 508110 188 21 631517 37 5 138028 75 9 261435 113 13 384843 151 17 508250 189 21 631657 38 5 138168 76 9 261575 114 13 384983 152 17 508390 190 22 661319 39 5 138308 77 9 261715 115 13 385123 153 17 508530 191 22 661459 40 5 138448 78 9 261855 116 13 385263 154 18 538192 192 22 661599 41 5 138588 79 9 261995 117 13 385403 155 18 538332 193 22 661739 42 5 138728 80 9 262135 118 14 415064 156 18 538472 194 22 661879 43 5 138868 81 9 262275 119 14 415205 157 18 538612 195 22 662019 44 5 139008 82 10 291937 120 14 415344 158 18 538752 196 22 662159 45 5 139148 83 10 292077 121 14 415484 159 18 538892 197 22 662299 46 6 168810 84 10 292217 122 14 415625 160 18 539032 198 22 662439 47 6 168950 85 10 292357 123 14 415765 161 18 539172 199 23 692101 N é o número de dentes total da engrenagem Nw é o número de dentes compreendido no afastamento Para módulos diferentes de 1 multiplicar o afastamento lido pelo módulo desejado Figura 14 Esquemático de uma transmissão simples por engrenagens cilíndricas 131 Módulos Normalizados Os diâmetros primitivos representados com linha traçoponto de acordo com as convenções de desenho técnico são círculos teóricos concêntricos a cada uma das engrenagens do par que se tangenciam em uma posição alinhada com a reta O2O3 Cada engrenagem é caracterizada por um número inteiro de dentes Ni Medido ao longo do diâmetro primitivo o comprimento de arco iniciando em um dente e terminando exatamente no ponto correspondente do dente seguinte é chamado de passo circular Podese escrever πdpcN 11 Na qual d é o diâmetro primitivo pc é o passo circular e N é o número de dentes da engrenagem Rearranjandose os termos da equação chegase a uma forma padronizada fundamental para o projeto de engrenagens que relaciona o diâmetro primitivo da engrenagem ao seu número de dentes dpcπNmN 12 Na qual m é o módulo da engrenagem e seu valor é padronizado por normas permitindo a intercambiabilidade de engrenagens fabricadas no sistema módulo Uma vez que o módulo depende do passo circular e que para haver engrenamento entre duas engrenagens ambas devem ter o mesmo passo circular verificase que elas devem necessariamente possuir também o mesmo módulo Os módulos padronizados com as unidades em milímetros são apresentados pela norma DIN 780 e mostrados na Tabela 13 adaptada a partir de 18 Nem todos os módulos apresentados na Tabela 13 pertencem à série 1 preferencial da norma DIN Dentre os módulos existentes 3 apresenta uma lista de módulos preferenciais divididos em primeira e segunda escolha reproduzida na Tabela 14 Em geral cortadores dos tamanhos apresentados nessa tabela estão disponíveis 13 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 11 Tabela 13 Módulos padronizados segundo a norma DIN 780 Módulo mm de até Incremento mm 02 03 de 005 em 005 03 10 de 01 em 01 10 40 de 025 em 025 40 70 de 05 em 05 70 160 de 10 em 10 160 240 de 20 em 20 240 450 de 30 em 30 450 750 de 50 em 50 Tabela 14 Módulos preferenciais Módulos preferenciais mm Primeira escolha 10 125 15 20 25 30 40 50 60 Segunda escolha 175 225 275 35 45 55 70 Primeira escolha 80 100 120 160 200 250 320 400 500 Segunda escolha 90 110 140 180 220 280 360 450 132 Geometria dos Dentes da Engrenagem O perfil de dentes de engrenagens comuns é construído a partir da função envoltória Tem como principal característica ser a função que descreve o formato do dente de modo a que a transmissão de movimento dada uma entrada de rotação constante no pinhão produza uma rotação constante na co roa Desta maneira ao longo da transmissão de movimento não ocorrem acelerações e desacelerações que podem causar problemas quando grandes velocidades estão envolvidas O perfil envolvente é gerado a partir de um círculo denominado círculo de base Imaginandose uma linha sendo desenrolada a partir do círculo de base de modo que ela permaneça sempre esticada ou seja chegando tangencialmente ao círculo de base o desenho feito por uma caneta posicionada na extremidade sendo desenrolada da linha é o perfil envolvente O círculo de base não existe fisicamente na engrenagem é um círculo teórico utilizado para geração do perfil Não deve ser confundido com o círculo de raiz Na Figura 15 ilustrase a geração do perfil em alguns ângulos selecionados o arco correspondente a um ponto coincidente com a linha vertical que passa pelo centro da engrenagem é esticado mantendo sua tangência no ponto de contato com o círculo de base As medidas dos círculos acima e abaixo do diâmetro primitivo são padronizadas e serão apresentadas a seguir no tópico sobre adendo e dedendo No detalhe podese ver claramente que o diâmetro de raiz está localizado abaixo do diâmetro de base Assim a função envolvente é definida apenas em parte do 12 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS perfil do dente O trecho entre os círculos de base e raiz não é envolvente e é gerado pela geometria da ferramenta que gera o perfil de engrenagem Figura 15 Perfil envolvente gerado a partir do diâmetro de base Na intersecção entre a linha normal ao perfil do dente e o círculo primitivo verificase que o plano de contato tem uma inclinação caracterizada por um ângulo φ denominado ângulo de pressão Podese facilmente demonstrar que o diâmetro de base está relacionado ao diâmetro primitivo por db d cosφ 13 E assim como foi definido o passo circular no diâmetro primitivo também podese definir um passo de base ou seja a projeção do passo no diâmetro de base Assim pb pc cosφ 14 133 Dimensões Padronizadas em Função do Módulo Para que seja mantida a proporcionalidade nas dimensões das engrenagens diversas dimensões são padronizadas cono função do módulo A primeira delas obtida diretamente da definição do módulo é o diâmetro primitivo como mostrado através da equação 12 Adendo e Dedendo Definese o adendo como a porção dos dentes da engrenagem que ficam acima do diâmetro primitivo e são delimitados pelo diâmetro externo De maneira análoga definese o dedendo como sendo a porção dos dentes da engrenagem que ficam abaixo do diâmetro primitivo delimitados pelo diâmetro de raiz Os valores de adendo e dedendo que dão a proporcionalidade em relação à altura total do dente são dados em função do módulo conforme apresentado na Tabela 15 13 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 13 Tabela 15 Valores padronizados de adendo e dedendo Engrenagem com dentes de tamanho padrão tamanho reduzido Adendo a a 10m a 08m Dedendo b b 125m b 10m Dessa maneira podese definir o adendo como o módulo vezes uma constante de proporcionali dade Assim a km 15 Em que k é o fator de proporcionalidade que vale 10 para dentes de altura completa e 08 para dentes de altura reduzida Diâmetros Externo e de Raiz A partir do adendo e dedendo que são função direta do módulo podese definir o diâmetro externo de e o diâmetro de raiz dr de uma engrenagem externa como sendo de d 2a 16 dr d 2b 17 Para uma engrenagem interna podese facilmente adaptar as expressões 16 e 17 para fornecerem o diâmetro interno di e o diâmetro de raiz como sendo di d 2a 18 dr d 2b 19 Largura de Face A largura de face de uma engrenagem deve ser dimensionada mas para tanto é necessário que se faça uma estimativa inicial de seu tamanho Engrenagens cilíndricas de dentes retos tem a faixa de variação comumente utilizada para a largura de face F dada em função do módulo como 8m F 16m 110 É comum que se construa o pinhão mais largo que a coroa para garantir maior uniformidade no contato e evitar efeitos indesejáveis de borda Assim costumase fazer com que a largura do pinhão Fp seja de 10m a 20m maior que a largura da coroa Note que para efeito de dimensionamento das 14 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS engrenagens o que conta é a largura em que ocorre o contato ou seja a largura da mais estreita das engrenagens no caso da coroa 134 Ângulo de Pressão O contato entre dentes gerados a partir do perfil envolvente ocorre em um plano cuja normal não coincide com a tangente dos círculos primitivos de pinhão e coroa em seu ponto de contato Devido à geometria dos dentes há uma inclinação deste plano de contato em relação à distância entre centros das engrenagens ou entre a direção tangente ao ponto teórico de contato e a direção normal ao plano de contato A esta inclinação dáse o nome de ângulo de pressão representado comumente na literatura pela letra φ O ângulo de pressão é uma característica do perfil envolvente Na Figura 16 mostrase o perfil envolvente de dois dentes conjugados de pinhão e coroa ressaltandose a relação entre o raio de base rb e o raio primitivo r dada pelo ângulo de pressão O ponto de contato entre os dentes percorre a linha que une os círculos de base de ambas as engrenagens e tem particular interesse no ponto em que os dois círculos primitivos se tangenciam Figura 16 Ângulo de pressão e perfil envolvente do dente Diferentes valores de ângulo de pressão tem sido utilizados O padrão de 145é considerado obsoleto Atualmente o valor mais comum é de 20e também é bastante utilizado 25 Diferentes ângulos de pressão afetam a geometria do dente e também a distribuição de esforços no dente Uma ilustração deste fato é providenciada por 8 e reproduzida na Figura 17 O autor usa a letra α para designar o ângulo de pressão A entrada para cálculos envolvendo esforços nas engrenagens é feita através da potência do sis tema que deve ser acionado já consideradas eventuais sobrecargas através de um coeficiente de apli cação de cargas Este último considera o tipo de máquina que aciona a transmissão e o tipo de serviço que o equipamento fará Desta combinação estimase o coeficiente que já catalogado em diversas referências sejam catálogos de redutores ou livros específicos sobre engrenagens como 9 Figura 17 Formato do dente com a variação do ângulo de pressão para uma engrenagem cilíndrica de 18 dentes Em a o diâmetro de base fica acima do diâmetro de raiz fazendo com que ocorra um enfraquecimento na raiz do dente À medida que se aumenta o ângulo de pressão o problema diminui com o preço da ocorrência de aumento da carga radial e proporcional diminuição da força tangencial A partir da potência e velocidade de trabalho podese encontrar o torque em cada eixo A força entre os dentes do pinhão e coroa em contato segue a normal ao plano de contato que é rotacionada do ângulo ϕ em relação à direção tangente ao ponto de contato entre os círculos primitivos de pinhão e coroa Dessa forma a partir do torque e diâmetro das engrenagens podese facilmente estimar a força tangencial atuando no dente da engrenagem e através do ângulo de pressão podese calcular a componente radial no contato entre dentes 135 Comprimento de Ação Comprimento de ação é o nome dado ao comprimento de uma linha reta cujo ponto de início ocorre no primeiro contato entre um dente do pinhão e um dente da coroa e o ponto de final ocorre no último instante de contato entre esses dois dentes Zrpap2rpcosϕ2rgag2rgcosϕ2Csinϕ 111 Em que r é o raio primitivo do pinhão ou da coroa identificados respectivamente pelo índice p ou g a é o adendo do dente ϕ é o ângulo de pressão e C é a distância centro à centro entre as engrenagens conjugadas 136 Razão de Contato Transversal A razão de contato transversal ou grau de recobrimento mp define o número médio de dentes em contato simultaneamente Para este parâmetro o valor mínimo aceitável é de 12 pois valores entre 1 e 12 podem levar a problemas de oscilações de velocidades vibrações e ruídos devido à grande sensibilidade quanto a erros de fabricação sobretudo referente ao espaçamento entre dentes Costumase utilizar a faixa de razão de contato para engrenagens comuns na faixa entre 14 e 20 mpZpb 112 Em que pb é o passo da engrenagem medido no diâmetro de base O passo de base é relacionado ao passo circular pelo cosseno do ângulo de pressão e o passo circular relacionase o módulo pela constante π Assim a razão de contato transversal pode ser escrita em função do módulo como 16 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS mp Z pc cosφ Z πmcosφ 113 137 Condições para Evitar Interferência Em uma condição ideal buscase que não haja contato entre os dentes de engrenagens conjugadas fora da região com perfil envolvente ou seja no trecho do flanco do dente entre o diêmetro de raiz e o diâmetro de base Caso o diãmetro de base de ambas as engrenagens seja menor que o diâmetro de raiz todo o flanco dos dentes conjugados terão prefil envolvente assim não haverá problamas no engrenamento No entanto quando isto não ocorre em pelo menos uma das engrenagens pode existir o problema denominado de interferência entre os dentes caracterizado como o contato da porção envolvente de um dente com a porção não envolvente do dente da engrenagem conjugada Para que a interferência não ocorra a condição geométrica é que a circunferência externa da coroa faça a intersecção com o círculo de base do pinhão exatamente no início do comprimentos de ação Assim na figura 18 ilustrase tal condição O contato entre um par de dentes tem início no ponto M e segue a linha de ação passando pelo ponto de tangência dos círculos primitivos ponto P até que ocorra a separação dos dentes no ponto N O equacionamento desta condição na qual o contato entre dentes iniciase no ponto de tangência da linha de ação com o círculo de base do pinhão permite a determinação do número mínimo de dentes no pinhão para que não haja interferência Figura 18 Evolução do contato entre dentes conjugados de pinhão e coroa desde o início do contato ponto M até seu final Ponto N em uma situação em que o início do contato ocorre no início da linha de ação Como mencionado a condição geométrica para que não haja interferência é dada impondose que o comprimento de ação Z tenha início no pinhão no ponto de tangência com o diâmetro de base Como este ponto é dado pela intersecção da linha de ação tangente unindo os diãmetros de base do par de engrenagens conjugado e o círculo de adendo da coroa diâmetro externo da coroa a relação geométrica pode ser obtida da análise do triângulo O3PM destacado na figura 19 na qual indicamse os ângulos e comprimentos associados Figura 19 Geometria para análise da condição de número mínimo de dentes para evitar interferência entre pinhão e coroa Aplicandose a lei dos cossenos ao triângulo temse O3M2PM2O3P22O3PPMcosϕ90 Aplicandose que O3PmNg2 PMmNp sinϕ2 e que cosϕ90sinϕ em que m é o módulo das engrenagens Np e Ng referemse respectivamente ao número de dentes no pinhão e na coroa e ϕ é o ângulo de pressão A condição limite para que não ocorra interferência impõe que O3MmNg2km com k sendo o fator de proporcionalidade do adendo em relação ao módulo Note que é imposto que O3M seja igual ao raio externo da coroa Então mNg2km2mNg22mNp22sin2ϕ12mNpmNgsin2ϕ Observase que o módulo pode ser eliminado da equação o que leva a Ng2k2Ng22Np2212NpNgsin2ϕ 114 Dividindose a equação inteira por Np2 e utilizando a definição de relação de transmissão como iNgNp podese facilmente reescrever a equação como i2kNp2i24i214sin2ϕ Isolandose Np encontrase a equação que permite encontrar o menor número de dentes no pinhão em função de uma dada relação de transmissão do ângulo de pressão adotado e que inclui o fator de proporcionalidade de altura de dente em relação ao módulo Assim Npminki24i24sin2ϕi2 115 18 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS Por exemplo para uma relação de transmissão i 1 ângulo de pressão de 20 e dentes de altura completa k 1 o número mínimo de dentes no pinhão para que não haja interferência é de 1232 ou seja 13 dentes Para pinhões com número pequeno de dentes podese desenvolver a partir da Eq 114 uma estimativa para o número máximo de dentes para a coroa a ser utilizada em conjunto com o pinhão sem que haja interferência Para tanto basta expandir a equação 114 e isolar o termo Ng para que se obtenha Ngmax N2 p sin2 φ 4k2 22k Np sin2 φ 116 Assim como exemplo para um par de engrenagens com dentes de altura completa e ângulo de pressão de 20 em que o pinhão tem 15 dentes a coroa correspondente deve ter no máximo 45 dentes para evitar a interferência ou seja uma relação de transmissão máxima de i 3 Para o engrenamento entre um pinhão e uma cremalheira o menor poinhão pode ser encontrado a partir da equação Npmin 2k sin2 φ 117 A equação 117 pode ser deduzida diretamente a partir do triângulo retângulo O2PN mostrado na figura 110 na qual a mesma lógica utilizada anteriormente é aplicada impondose o ponto N na intersecção entre a linha de adendo da cremalheira com o círculo de base do pinhão Figura 110 Geometria para análise da condição de número mínimo de dentes para evitar interferência entre pinhão e cremalheira Então para engrenagem de dentes de altura completa e ângulo de pressão de 20 o menor pinhão que não causa interferência é de 171 dentes ou seja 18 dentes Assim nessas condições de altura de dente e ângulo de pressão uma engrenagem a partir de 18 dentes pode engrenar com uma cremalheira sem ocorrência de interferência Então para valores entre 13 dentes número mínimo de dentes para uma relação de transmissão igual a 1 e 17 dentes valor anterior ao menor pinhão que engrena na cremalheira o número máximo de dentes pode ser dado pela equação 116 A partir de 18 dentes no pinhão dentro das relações de transmissão possíveis não há um valor máximo de número de dentes para a coroa definido 14 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais 141 Ângulo de Hélice Em uma engrenagem helicoidal os dentes são cortados segundo uma trajetória helicoidal em torno do cilindro base Essa trajetória é caracterizada por um ângulo constante de inclinação contado a partir da linha de centro do cilindro base utilizado para fabricar a engrenagem Recebe o nome ângulo de hélice e será indicado por ψ Um par de engrenagens cilíndricas de eixos paralelos e dentes helicoidais necessita que as engrenagens individuais tenham sentidos de hélice opostos como indicado em esquema na Figura 111 a Sentido oposto das hélices do par engrenado b Esquema de identificando as variáveis Figura 111 Engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos Segundo 9 o ângulo de hélice é normalmente arbitrado em função da velocidade angular da engrenagem de maior torque 9 apresenta uma equação para uma estimativa inicial do valor de ψ ψ tan¹ mₙ nₜ 50000 0555 118 Na qual mn é o módulo do cortador que irá gerar a engrenagem dado em mm e nt é a rotação da engrenagem de maior torque dada em rpm No próximo tópico será explicado o uso do índice n ao se falar em engrenagens helicoidais Outro critério além da velocidade angular da engrenagem para a definição do ângulo de hélice é na capacidade de redução de ruído que pode ser obtida Um estudo apresentado por 17 cujos resultados são apresentados na Figura 112 dá uma ideia da magnitude da redução em um experimento conduzido em um conjunto específico de geometrias Embora o comportamento observado não possa ser generalizado para todas as situações mostra claramente a tendência de redução de ruído com o aumento do ângulo de hélice e estão associadas com as razões de contato transversais em pontos específicos Alguns valores de ângulo de hélice são normalizados o que é particularmente útil em alguns pro 20 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS Figura 112 Efeito do ângulo de hélice no nível de ruído Altos ângulos de hélice levam a níveis mais baixos de ruídos 17 cessos de geração de dentes 9 A norma DIN 3978 fornece quatro tabelas de ângulos normalizados divididos em séries 1 a 4 A série 1 é preferida por permitir uma melhor quantidade de dentes do cortador A série 2 cobre ângulos intermediários em relação à série 1 As séries 3 e 4 são utilizadas para módulos especiais sendo a série 3 preferida em relação à série 4 Para apresentar os ângulos de hélice segundo a DIN 3978 os módulos normais são divididos em 6 grupos que são cobertos pelas séries de 1 a 4 Os 6 grupos são apresentados na Tabela 16 Aqui serão apresentados apenas os ângulos normalizados referentes à série 1 na Tabela 17 adaptado de 9 Tabela 16 Distribuição dos módulos padronizados nos seis grupos da DIN 3978 Módulos normais mm Grupo 1 1000 2000 4000 8000 Grupo 2 1125 2250 4500 9000 Grupo 3 1250 2500 5000 10000 Grupo 4 1375 2750 5500 11000 Grupo 5 1500 3000 6000 12000 Grupo 6 1750 3500 7000 14000 142 Passos Normal Transversal e Axial Em relação ao passo engrenagens helicoidais podem ser definidas por três parâmetros o passo trans versal o passo normal e o passo axial Sua visualização é mais fácil em uma cremalheira helicoidal engrenagem cilíndrica helicoidal de diâmetro infinito como apresentado na Figura 113 O passo 14 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 21 Tabela 17 Ângulos de hélice ψ normalizados série 1 DIN 3978 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 054421 062734 052246 055509 062734 073231 071051 080502 071051 075412 083737 100443 083737 094255 085921 095349 104825 123808 100443 112115 104825 115410 130010 151306 113213 130010 123808 135524 151306 175000 130010 143945 142839 155743 172727 202914 142839 162005 162005 180118 194329 231117 155743 180118 181236 200620 220128 255640 172727 194329 200620 221303 242143 284601 185756 212646 220128 242143 264437 314006 202914 231117 235810 263236 291035 343947 220128 245711 255640 284601 314006 374614 233441 264437 275711 310221 341344 410052 250902 283347 300000 332201 365212 442537 264437 302452 320524 354532 393620 341344 381330 422715 transversal pode ser relacionado ao diâmetro primitivo da mesma forma que mostrado na Equação 11 Assim πd ptN 119 Como visto no esquema abaixo do corte BB da Figura 113 o passo transversal e o passo normal estão relacionados por meio do ângulo de hélice ψ pn pt cosψ pt pn cosψ 120 O passo normal é dado pelo cortador utilizado para a manufatura dos dentes Utilizandose a Equação 12 temse que pn πmn 121 O módulo normal é característica do cortador então é um valor padronizado que assim como no caso de engrenagens retas é obtido pelas Tabelas 13 e 14 ou qualquer norma que seja aplicável O passo axial novamente conforme a Figura 113 está relacionado ao passo transversal pelo ângulo de hélice ψ px pt tanψ 122 Plano transversal AA Plano normal BB Figura 113 Planos normal e transversal em uma cremalheira helicoidal e respectivos parâmetros 143 Módulos Normal e Transversal Em engrenagens helicoidais o módulo do cortador utilizado para gerar o perfil do dente é imposto segundo a direção de corte da ferramenta ou seja pela trajetória alinhada com o ângulo de hélice ψ Desta maneira a dedução feita em 12 deve ser adaptada para que continue a ser válida Considere que a propriedade do cortador passe a ser designada como módulo normal mn A expressão 12 é válida porque o módulo normal em engrenagens cilíndricas de dentes retos é derivado no plano transversal da engrenagem Para engrenagens helicoidais a relação entre o plano normal e o plano transversal é dada pelo ângulo de hélice Substituindose a Equação 120 em 119 e fazendo uso Equação 12 temse d pₙπ cos ψ N pₙπ Ncos ψ d mₙcos ψ N 123 Assim podese escrever mt mₙcos ψ 124 Para engrenagens de dentes retos cosψ vale um portanto mt mn A equação 12 pode então ser reescrita de modo a extender sua validade como d mt N 125 Note que o módulo padronizado apresentado nas Tabelas 13 e 14 é o valor de mn 144 Ângulos de Pressão Normal e Transversal Assim como no caso de engrenagens cilíndricas retas o ângulo de pressão é essencial no cálculo dos componentes de forças atuando nas direções tangencial e radial em relação ao diâmetro primitivo E 14 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 23 como foi feito para o módulo o ângulo de pressão deve ser corrigido para o valor medido no plano transversal da engrenagem De acordo com a Figura 113 podese verificar que os ângulos de pressão normal φn e transversal φt são diferentes A tangente de cada um dos ângulos pode ser escrita como tanφt g h tanφn g h As distâncias g e g se relacionam da mesma forma que os passos transversal e normal já apre sentado anteriormente g gcosψ A relações apresentadas permitem que se chegue à expressão para φt em função de φn e do ângulo de hélice ψ tanφt tanφn cosψ 126 Mais uma vez o parâmetro característico do cortador é o ângulo de pressão normal então este vai ter os mesmos ângulos padronizados utilizados em engrenagens de dentes retos 145 Razão de Contato Em engrenagens cilíndricas helicoidais a razão de contato é dividida em uma parte transversal e uma parte axial A razão de contato transversal é definida da mesma maneira que para uma engrenagem cilíndrica de dentes retos Pode então ser dada pela equação 112 desde que na estimativa de Z equação 111 seja utilizado o ângulo de pressão transversal φt e que o passo de base seja avaliado no plano transversal da engrenagem A razão de contato axial mF é definida como o quociente entre a largura de dente e o passo axial da engrenagem mF F px F tanψ mtπ 127 Recomendase que mF possua valores maiores que 115 Caso a razão de contato axial assuma valores menores que 10 os procedimentos de cálculo aqui abordados não são suficientes sendo necessários passos adicionais para os quais alguma norma específica deve ser consultada pois foge ao escopo deste texto A razão de contato total para engrenagens helicoidais é tomada como sendo a soma direta das duas parcelas mp e mF 146 Largura de Face Como consequência da restrição colocada quanto aos valores mínimos desejáveis para a razão de con tato axial tornase mais conveniente especificar os limites para a largura de face em uma engrenagem helicoidal a partir do passo axial F 115 pₓ 128 Autores como 10 assumem que o aproveitamento de toda a ação helicoidal e sua suave transferência de carga entre dentes só possa ser possível se F 2 pₓ no entanto em projeto de um equipamento devido às condições impostas pelas especificações de projeto tal condição bnem sempre pode ser satisfeita Exigese então uma avaliação por parte do projetista de modo a conseguir um balanço entre a situação ideal as restrições particolares do projeto e os resultados demonstrados pelas contas de dimensionamento dos elementos de máquinas 15 Relação Fundamental das Engrenagens A relação fundamental das engrenagens referese às formas de se escrever a relação de transmissão de movimento de um eixo a outro conectados através de engrenagens Considerandose o esquema representando as velocidades tangenciais em um par de engrenagens medidas no círculo primitivo e sua geometria conforme Figura 114 podese definir a relação de transmissão i do par de engrenagens como sendo a razão entre a velocidade angular de entrada e a de saída Figura 114 Velocidades tangenciais e angulares em uma transmissão por engrenagens cilíndricas ν ω₂ r₂ ω₃ r₃ 129 i ωₑₙₜᵣₐdₐωₛₐᵢdₐ ω₂ω₃ r₃r₂ d₃d₂ 130 Considerandose as forças envolvidas e fazendose o diagrama de corpo livre das engrenagens conforme mostrado na Figura 115 podese encontrar a relação entre os torques em ambos os eixos O torque nas engrenagens 2 e 3 são produzidos respectivamente pelas forças F₃₂tᵃⁿ e F₂₃tᵃⁿ que possuem mesmo módulo e sentidos opostos Assim F F₃₂ᵗᵃⁿ F₂₃ᵗᵃⁿ T₂r₂ T₃r₃ 131 Figura 115 Equilíbrio de forças e torques em uma transmissão por engrenagens cilíndricas Combinandose as equações 130 e 131 e ainda utilizandose a relação 12 podese então escrever a relação fundamental das engrenagens como i ωₑₙₜᵣₐdₐωₛₐídₐ ω₂ω₃ d₃d₂ N₃N₂ T₃T₂ 132 Assim a relação de transmissão para um par de engrenagens relaciona diretamente suas velocidades angulares torques diâmetros primitivos e número de dentes Muitas vezes é conveniente escrever a relação de transmissão em sua forma inversa ou seja como a razão entre a velocidade angular de saída e a de entrada levando a um valor menor que um Nestes casos costumase utilizar a letra τ para sua representação τ 1i ωₛₐídₐωₑₙₜᵣₐdₐ ω₃ω₂ 133 16 Forças em Engrenagens Cilíndricas Geralmente os problemas envolvidos na transmissão por engrenagens envolvem uma especificação da potência que deve estar disponível para realização de trabalho A potência H pode ser escrita em função de uma força vezes velocidade linear ou de torque vezes a velocidade angular H Fv Tω 134 O componente de força que realiza trabalho em uma engrenagem é o componente tangencial Wₜ Uma vez especificado o torque no eixo da engrenagem a força tangencial pode ser obtida utilizandose o raio primitivo da engrenagem Para o dimensionamento de engrenagens o componente tangencial é suficiente para os cálculos No entanto para o dimensionamento dos demais elementos como eixos rolamentos etc é necessário que se calculem os demais componentes de força sejam eles radiais Wᵣ ou axiais Wₐ 26 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS 161 Dentes Retos Em um engrenamento de dentes retos a força pode ser decomposta em dois componentes locali zados no plano transversal ao eixo da engrenagem e que podem ser orientados segundo as direções tangencial e radial como ilustrado na Figura 116 Figura 116 Decomposição da força de contato em componentes tangencial e radial em relação ao círculo promitivo A força de contato entre os dentes W ocorre na direção normal à superfície e para efeitos de cálculos considerase o círculo primitivo como ponto de aplicação de carga Assim os componentes estão relacionados através do ângulo de pressão Wr W sinφ 135 Wt W cosφ 136 Escrevendose em função do componente que é conhecido como entrada dos problemas Wt tem se Wr e W como Wr Wt tanφ 137 W Wt cosφ 138 162 Dentes Helicoidais Na Figura 117 mostrase esquematicamente a decomposição de forças em um ponto sobre um dente helicoidal O ponto considerado está na altura do diãmetro primitivo em posição central em relação à largura do dente A decomposição é feita projetandose a força W nas direções tangencial radial e axial Os ângulos utilizados para a obtenção dos conponentes são o ângulo de pressão na direção normal φn e o ângulo de hélice ψ Podese facilmente chegar às seguintes relações Wᵣ W sin φₙ 139 Wₐ W cos φₙ sin ψ 140 Wₜ W cos φₙ cos ψ 141 Figura 117 Decomposição da força de contato em componentes tangencial e radial em relação ao círculo promitivo Mas uma vez que o valor determinado como entrada para os cálculos é a força tangencial Wₜ é mais prático manipular as equações de modo a se obter os valores de Wᵣ Wₐ e W como função explícita de Wₜ Wᵣ Wₜ tan φₜ 142 Wₐ Wₜ tan ψ 143 W Wₜcos φₙ cos ψ 144 17 União Eixo Cubo da Engrenagem Uma estimativa de dimensões para o cubo de engrenagens é fornecida por 11 Tratase de uma referência rápida e de fácil utilização para projetos em estágios iniciais assim tem sua forma de cálculo apresentada nas equações 145 a 147 e os coeficientes dados na Tabela 18 Os parâmetros geométricos dados nas equações são ilustrados na Figura 118 e a variável T representa o torque a que a engrenagem está submetida l x ³T100 145 s y ³T100 146 s y ³T100 147 Tabela 18 Dados de referencia para comprimento do cubo l e espessura do cubo s União Cubo de ferro fundido Cubo de aço x y y x y y Ajuste térmico e forçado assento cônico 4253 2130 2135 1826 Chaveta plana 5370 1821 3546 1418 Chaveta inclinada 5370 1518 3546 1115 Eixo estriado série leve DINISO 14 3442 1316 2130 1115 Eixo estriado série média DINISO 14 2130 1215 1321 1014 Eixo estriado série pesada DINISO 14 1421 1114 0813 0913 Coeficientes válidos para o torque T dado em Nmm e os comprimentos l s e s em mm Figura 118 Parâmetros referentes à espessura do cubo em função do diâmetro DF do eixo Note que o comprimento do cubo é relacionado ao dimensionamento da chaveta estriado ou o meio utilizado para travar a rotação relativa entre o eixo e a engrenagem Desta maneira a largura do cubo nem sempre tem o mesmo valor que a largura dos dentes da engrenagem equação 110 De modo geral se a largura de cubo for calculada menor que F adotase F como seu valor Caso seja maior o assento sobressai além da largura de face da engrenagem de modo simétrico ou não e dependendo da proporção podese até ter que considerar o uso de nervuras para que a peça cumpra sua função estrutural Para alívios de massa em coroas é comum rebaixarse a espessura entre o cubo e o anel que sustenta os dentes mantendo sua integridade quanto a efeitos de membrana pela distribuição simétrica de nervuras radiais Uma recomendação inicial para o limite de quanto pode ser rebaixado o alívio é de que seja mantida a espessura s recomendada para o cubo também na espessura do rebaixo Entre nervuras adicionalmente podem ser incluídos furos passantes para o alívio de massa Esta é uma recomendação inicial baseada na proporção geométrica Cálculos mais elaborados utilizando as teorias de mecânica dos sólidos ou técnicas de cálculo computacional devem ser executados para verificar se a resistência estrutural do componente não é afetada 18 Redutores 181 Redutores de Transmissão Simples A transmissão simples eixo a eixo através de montagem e uma engrenagem em cada eixo é esquematizada na Figura 119 em um exemplo considerando quatro eixos Figura 119 Tramsmissão simples por engrenagens Segundo a relação fundamental das engrenagens a transmissão eixo a eixo pode ser escrita em função do número de dentes das engrenagens Assim escrevendose sucessivamente as relações que descrevem a velocidade angular entre eixos I entrada e II II e III III e IV saída temse ωII N2N3 ωI 148 ωIII N3N4 ωII 149 ωIV N4N5 ωIII 150 Substituindose as velocidades intermediárias para a obtenção de uma relação entre velocidade de entrada e velocidade de saída ou seja a transmissão total do conjunto de engrenagens temse ωsaida N4N5N3N4N2N3 ωentrada 151 τ ωsaidaωentrada N2N5 152 Verificase que a transmissão total do sistema depende apenas da quantidade de dentes das engrenagens de entrada e de saída A inclusão de engrenagens intermediárias altera apenas o sentido de rotação da saída Podese então reescrever 152 como τ ωsaidaωentrada 1p NentradaNsaida 153 Na qual p é dado pelo número de eixos na transmissão menos um Nentrada é o número de dentes na engrenagem no eixo motor ou de entrada e Nsaida é o número de dentes na engrenagem do eixo de saída da transmissão Neste tipo de concepção de redutor não é possível a obtenção de grandes reduções de forma compacta pois cada par de engrenagens está limitado a uma redução máxima de 18 Uma característica importante para o desenvolvimento de projetos é que a inclusão de uma engrenagem intermediária não altera a relação de transmissão total e inverte o sentido de rotação do redutor Esta característica é muito explorada na indústria automobilística para a obtenção da marcharé do veículo 182 Redutores de Transmissão Composta O tipo mais comum de redutor com transmissão composta é o redutor de eixos paralelos Como o nome indica a transmissão é feita através de pares de engrenagens cilíndricas que conectam eixos montados em paralelo Uma vez que a transmissão por pares de engrenagens simples é bastante limitada quanto à máxima relação de transmissão permitida uma solução para a obtenção de maiores relações de transmissão é a associação de pares de engrenagens em que pelo menos duas delas compartilhem o mesmo eixo transmissão composta Um esquema com três eixos pode ser visto na Figura 120 Figura 120 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com duas reduções Pela relação fundamental de engrenagens para uma dada velocidade angular de entrada ωentrada as velocidades do eixo intermediário e do eixo de saída podem ser escritas respectivamente como ωintermediario N2N3 ωentrada 154 18 REDUTORES 31 ωsaida N4 N5 ωintermediario 155 E consequentemente através de 154 e 155 ωsaida N4 N5 N2 N3 ωentrada τ2τ1ωentrada 156 Assim se um par de engrenagens cilíndricas pode ter uma redução máxima de 18 a utilização de dois estágios compostos leva a uma redução máxima teórica de 164 ao se combinar as reduções parciais de cada estágio Obviamente devemse tomar precauções para evitar que a coroa 3 guarde distância suficiente do eixo de saída A escolha dos módulos e números de dentes destas engrenagens deve assegurar esta condição Outro aspecto que deve ser considerado é em relação ao torque Para um sistema ideal sem perdas o torque no eixo de saída é multiplicado pela relação de transmissão total do redutor em relação ao torque de entrada Assim muitas vezes fazse necessário o uso de engrenagens com dentes maiores a cada novo estágio para que a engrenagem suporte os esforços decorrentes do aumento de torque No exemplo dado teriase então as engrenagens 2 e 3 1 par com um valor de módulo e as engrenagens 4 e 5 2 par com um valor mais alto Em situações como esta costumase empregar uma fórmula recursiva que permita definir uma pro gressão para a transmissão em geral fazendose reduções maiores nos estágios iniciais e a definição dos módulos a partir das transmissões parciais τi1 τ34 i 157 Ou podese alterar o expoente para uma menor diferença entre cada estágio τi1 τ45 i 158 E para manter a proporcionalidade do módulo mi1 mi τi1 τi 159 Ambas as equações 157 e 158 são simplificações para permitir um uso mais prático e rápido de estudos realizados por 11 que são resumidos em uma curva de recomendações de relações de transmissão parciais i1 e i2 para redutores de dois ou três estágios e reduções totais variando de 8 a 300 vezes O gráfico desenvolvido por 11 é reproduzido na Figura 121 e pode ser utilizado em alternativa às equações Pode ser aplicado a redutores de dois ou três estágios sendo que dado a redução total i obtémse uI para 2 estágios ou uI e uII para redutores de três estágios Caso desejese utilizar na entrada uma engrenagem cônica sua redução parcial para um redutor de 2 ou 3 estágios é dada pela faixa sombrada indicada para a variável uK Outra opção são os gráficos apresentados por 7 e reproduzidos na Figura 122 Novamente dada a redução total iges encontramse estimativas para as transmissões parciais uI e uII e calculase para o caso de um redutor de três estágios a transmissão uIII como sendo uIII iges uIuII A escolha de qual maneira serão obtidas as transmissões parciais depende muito da experiência do projetista e das necessidades específicas do projeto em questão Assim para um caso com dois estágios em que se deseja uma redução de 125 a definição dos Figura 121 Transmissões parciais em redutores de 2 ou 3 estágios de engrenagens cilíndricas ou com um par cônico na entrada 18 REDUTORES 33 a Configuração com dois estágios b Configuração com três estágios Figura 122 Transmissões parciais para redutores a 2 estágios b 3 estágios τ2 1 397299 Ambas as reduções não atingem o limite de redução máxima de 18 mas devem ser escritos como uma relação entre números de dentes assim o valor exato calculado dificilmente será atingido devendose buscar um valor que chegue próximo à redução total desejada Assumindose que o número mínimo de dentes para os pinhões é de 21 dentes temse as seguintes relações de transmissão τ1 21132 1 62857 160 τ2 2183 1 39524 161 τ 211322183 1 248435 162 A relação de transmissão chegou a um valor próximo ao desejado com um erro de cerca de 06 Caso o erro seja considerado muito alto por algum requisito de projeto podese considerar a utilização de uma quantidade de dentes superior ao valor mínimo recomendado de modo permitir uma melhor aproximação para a transmissão total Por exemplo tomandose para o primeiro par 23 dentes no pinhão e com o auxílio de uma planilha de cálculos podese facilmente chegar a um erro menor que 015 τ 231452599 1 249652 163 O preço pago para a diminuição do erro foi o aumento do tamanho das engrenagens pois fezse uso de engrenagens com maior quantidade de dentes A cada condição de projeto o engenheiro deve avaliar se o quão exata deve ser a redução feita pelo par de engrenagens para os fins a que se destina o equipamento considerado A definição inicial do módulo pode ser feita a partir da potência e da rotação do eixo motor do par de engrenagens 10 sugere que a estimativa inicial seja feita de acordo com a Figura 123 que relaciona a rotação do pinhão rpm e potência de projeto kW para diferentes módulos do par de engrenagens O gráfico foi obtido com condições de específicas para as engrenagens a saber pinhão com 24 dentes coroa com 96 dentes ângulo de pressão de 20º e largura da face do dente como sendo igual a 12 vezes o módulo Embora tratese de uma configuração particular de engrenagens esta proposta de estimativa pode ser expandida para outros casos uma vez que tratase de uma estimativa inicial ou seja posteriormente todas as dimensões serão verificadas por meio de um dimensionamento e se necessário serão devidamente corrigidas Assumindose para este exemplo o módulo inicial igual a 2 mm a estimativa do módulo para o segundo par fica m2 m1 τ2 τ1 2 2183 21132 318 mm De acordo com a Tabela 13 os valores padronizados mais próximos seriam 30 mm e 325 mm 18 REDUTORES 35 Figura 123 Relação rotação do pinhão e potência para diferentes módulos em uma transmissão por engrenagens cilíndricas com i 4 Até aqui foi feita uma estimativa que atende os requisitos cinemáticos do redutor de engrenagens Ambos os valores de módulo resultarão em soluções que atendem ao problema Nesta etapa ainda não se discute o dimensionamento das engrenagens para suportar os esforços da transmissão então ainda não há um critério para nortear a opção pelo módulo de 30 ou 325 mm Enquanto esse con teúdo não é apresentado nos exemplos buscarseá a escolha pelo projeto mais compacto em relação às dimensões finais do produto Uma situação comumente encontrada e que adiciona novas equações ao problema é a situação na 36 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS qual o eixo de entrada e de saída devem ser colineares Para tanto devese observar a necessidade de se impor uma condição geométrica aos diâmetros das engrenagens O esquema da Figura 124 ilustra a condição descrita acima A restrição geométrica que deve ser obedecida pode ser escrita como d2 d3 d4 d5 164 Caso todas as engrenagens tenham o mesmo módulo os diâmetros podem ser substituídos dire tamente pelo número de dentes de cada engrenagem Caso cada estágio tenha um módulo diferente que é a situação mais geral podese escrever m1N2 N3 m2N4 N5 165 Figura 124 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com entrada e saída colineares Tal equação deve ser resolvida tomandose em conta que os valores de módulo são discretos ou seja existem apenas alguns valores discretos que podem ser utilizados já destacados nas Tabelas 13 e 14 e que os dentes das engrenagens devem assumir valores inteiros O problema é mais fácil de resolver caso adotese que m1 m2 e a equação geométrica passa a ser escrita apenas em função dos números de dentes das engrenagens Quando esta situação é possível existem menos restrições assim podemse buscar melhores soluções em relação às relações de transmissão parciais Para um exemplo geral no qual se utilizarão módulos diferentes para os dois pares de engre nagens buscase uma relação de transmissão de 117 com módulo do primeiro par igual a 2 mm e desejase utilizar as equações já desenvolvidas neste capítulo para determinar uma solução Através de 158 podese estimar a proporção em que serão divididas as relações de transmissão parciais τ2 τ34 1 τ τ1τ2 1 17 τ1τ34 1 τ1 11747 1 50479 τ2 1 33677 Com estes valores como base adotamse relações de transmissão valores mais aproximados por exemplo τ1 15 e τ2 134 Definidas as transmissões parciais podese estimar o módulo do par de saída m2 m1 i1 i2 2 5 34 29 E adotase aqui o módulo 3 mm para o segundo par de engrenagens Assim as equações que devem ser resolvidas simultaneamente para o problema são τ1 N2N3 15 τ2 N4N5 1 34 2N2 N3 3N4 N5 Substituindose as relações de transmissão na relação geométrica de modo a deixála em função do número de dentes dos pinhões das duas transmissões temse 2N2 5N2 3N4 34N4 Ou 12N2 132N4 Uma solução que equilibra a equação é o uso de um valor inteiro múltiplo de 132 para N2 e o mesmo fator de escala multiplicado por 12 para N4 Utilizandose o fator 5 para escalar os coeficientes obtémse N2 1325 66 dentes e N4 125 60 dentes Das relações de transmissão parciais calculamse N3 5 N2 330 dentes e N5 34 N4 204 dentes Obtevese então neste exemplo uma relação de transmissão exata de 117 com transmissões parciais de 15 e 134 módulos 2mm no par de entrada e 3 mm no par de saída e foi garantida a concentricidade das engrenagens 2 e 5 pela imposição de uma equação geométrica 183 Redutores Planetários de Um Estágio Redutores planetários são assim chamados por possuírem uma engrenagem central chamada de solar e engrenagens que a orbitam chamadas de planetárias posicionadas de modo a ficarem igualmente espaçadas ao redor da engrenagem solar Outros componentes comumente encontrados neste tipo 38 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS de redutor são engrenagens mais externas chamadas anelares e uma peça de suporte que coordena a translação das engrenagens planetárias chamada braço Um redutor planetário é um sistema com mo bilidade igual a dois ou seja são necessárias duas entradas definidas para determinar completamente toda a movimentação do sistema Abordandose inicialmente um redutor planetário simples conforme esquematizado na Figura 125 temse como entradas as rotações das engrenagens solar ω2 ωentrada e anelar ω4 0 e desejase obter a velocidade angular do braço como saída do mecanismo ωbraco ωsaida Figura 125 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 1 Utilizandose os modelos tradicionais de resolução de sistemas planetários apresentados por 13 ou 19 podemse escrever as equações cinemáticas do problema conforme as indicações mostradas na Tabela 19 Tabela 19 Termos das equações cinemáticas do planetário com engrenagem anelar fixa Engrenagem ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco Engrenamento e relação de transmissão ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco 2 ωentrada ωsaida ω2braco 2 para 3 externo com relação N2 N3 3 ω3 ωsaida N2 N3ω2braco 3 para 4 interno com relação N3 N4 4 0 ωsaida N2 N3 N3 N4ω2braco Assim temse um sistema de três equações com incógnitas ωsaida ω3 e ω2braco dadas as entradas ωentrada para a engrenagem 2 e ω4 0 para a engrenagem 4 fixa na carcaça do redutor Matricial mente o sistema pode ser escrito como ωentrada 0 0 1 1 0 1 N2 N3 1 1 N2 N4 0 ωsaida ω2braco ω3 166 Resolvendose o sistema para ωsaida Seja D 1 1 0 1 N2N3 1 1 N2N4 0 e N ωentrada 1 0 0 N2N3 1 0 N2N4 0 ωsaida detN detD ωentrada N2N4 1 N2N4 167 A relação de transmissão do redutor τ pode ser então escrita em função do número de dentes das engrenagens como τ ωsaida ωentrada N2 N2 N4 168 Estas são as relações cinemáticas do redutor A transmissão total também deve obedecer restrições geométricas para garantir a coaxialidade dos eixos de entrada e saída Tais relações podem ser impostas da seguinte maneira d2 2d3 d4 169 Usandose a relação 12 e escrevendose para N3 N3 N4 N2 2 170 Podese verificar rapidamente que nesta configuração a diferença entre número de dentes das engrenagens 2 e 4 deve ser par pois sua divisão por 2 deve levar a um número de dentes N3 que necessariamente deve ser um número inteiro Exemplos Suponha um redutor simples com uma redução desejada de 114 com engrenagens cilíndricas de dentes retos com número mínimo de dentes igual a 17 Assumiremos inicialmente que a engrenagem solar é a menor das engrenagens e inicialmente testaremos o sistema mais compacto possível assim N2 17 Podese calcular N4 a partir da Equação 168 e N3 a partir da Equação 170 τ 114 17 17 N4 N4 221 N3 221 17 2 N3 102 Assim a combinação N2 17 N3 102 e N4 221 atende as relações geométricas e cinemáticas do problema de maneira exata Em uma segundo exemplo digamos que nas mesmas condições desejase uma redução de 115 As mesmas equações agora fornecem τ 115 17 17 N4 N4 238 N3 238 17 2 N3 1105 N3 não atende as especificações visto que não é um número inteiro Nova tentativa pode ser feita alterandose outro parâmetro como por exemplo N2 18 τ 115 18 18 N4 N4 252 N3 252 18 2 N3 117 40 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS A combinação N2 18 N3 117 e N4 252 também atende as relações geométricas e cinemá ticas da redução 115 de maneira exata Como terceiro exemplo buscase agora uma redução 13 e iniciase assumindo a engrenagem solar com 18 dentes τ 1 3 18 18N4 N4 36 N3 3618 2 N3 9 Embora sejam atendidas as relações geométricas e cinemáticas para o conjunto a engrenagem 3 tem um número de dentes menor que o mínimo admissível O problema pode ser resolvido multiplicandose N2 N3 e N4 por 179 Assim temse N2 34 N3 17 e N4 68 que novamente atende todos os requisitos propostos A configuração apresentada mantém como elemento fixo a engrenagem anelar Outras variações podem considerar como elementos fixos o braço Figura 126 ou a engrenagem solar Figura 127 As configurações citadas estão esquematizadas na Tabela 110 e conforme 4 apresentase a faixa de relações de transmissão comumente utilizadas para cada configuração Figura 126 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 2 Figura 127 Desenho esquemático de um redutor planetário simples configuração 3 Os sistemas de equações cinemáticas para obtenção das relações de transmissão mostradas na Tabela 110 são apresentados nas Tabelas 111 e 112 referentes respectivamente às configurações das Figuras 126 e 127 Para estes dois conjuntos as restrições geométricas são as mesmas do caso inicial mostrado sendo representadas pelas Equações 169 e 170 18 REDUTORES 41 Tabela 110 Relações de transmissão e faixas de aplicação para redutores planetários simples Esquema Elemento Fixo Entrada Saída Relação de Transmissão i Faixa de Aplicação Figura 125 Anelar Solar Braço i N2N4 N2 3 i 12 Figura 126 Braço Solar Anelar i N4 N2 2 i 11 Figura 127 Solar Anelar Braço i N2N4 N4 12 i 17 Tabela 111 Termos das equações cinemáticas do planetário com o braço fixo Engrenagem ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco Engrenamento e relação de transmissão ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco 2 ωentrada 0 ω2braco 2 para 3 externo com relação N2 N3 3 ω3 0 N2 N3ω2braco 3 para 4 interno com relação N3 N4 4 ωsaida 0 N2 N4ω2braco Tabela 112 Termos das equações cinemáticas do planetário com a engrenagem solar fixa Engrenagem ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco Engrenamento e relação de transmissão ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco 2 0 ωsaida ω2braco 2 para 3 externo com relação N2 N3 3 ω3 ωsaida N2 N3ω2braco 3 para 4 interno com relação N3 N4 4 ωentrada ωsaida N2 N4ω2braco 184 Redutores Planetários de Dois Estágios Assumindose agora um problema mais complexo considere uma configuração de redutor composto conforme esquematizado na Figura 128 O primeiro estágio é igual ao problema já analisado mas prolongase o eixo de saída e nele acoplase a engrenagem solar 5 que se conecta à engrenagem planetária 6 e esta por sua vez conectase à carcaça do redutor através da engrenagem anelar 7 A translação engrenagem planetária do segundo estágio movimenta o braço 2 cuja rotação dá o movimento de saída do redutor composto 42 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS Figura 128 Desenho esquemático de um redutor planetário composto A solução utilizandose a organização em tabela empregada para o redutor simples pode ser vista na Tabela 113 Tabela 113 Termos das equações cinemáticas do planetário composto do exemplo Engrenagem ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco Engrenamento e relação de transmissão ωengrenagem ωbraco ωengrenagembraco 2 ωentrada ω5 ω2braco1 2 para 3 externo com relação N2 N3 3 ω3 ω5 N2 N3ω2braco1 3 para 4 interno com relação N3 N4 4 0 ω5 N2 N4ω2braco1 4 para 5 não há transmissão direta 5 ω5 ωsaida ω5braco2 5 para 6 externo com relação N5 N6 6 ω6 ωsaida N5 N6ω5braco2 6 para 7 interno com relação N6 N7 7 0 ωsaida N5 N7ω5braco2 Assim temse um sistema com seis equações e seis incógnitas a saber ω5 ωsaida ω2braco1 ω5braco2 ω3 e ω6 São fornecidos como entradas a velocidade angular da engrenagem 2 ωentrada e as velocidades angulares das engrenagens 4 e 7 que fazem parte da carcaça do redutor portanto ω4 ω7 0 Matricialmente o sistema pode ser escrito como ωentrada 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 N2 N3 0 1 0 1 0 N2 N4 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 N5 N6 0 1 0 1 0 N5 N7 0 0 ω5 ωsaida ω2braco1 ω5braco2 ω3 ω6 Resolvendose o sistema para ωsaida aqui foi usado o programa wxMaxima encontrase a rela ção de transmissão do redutor τ que pode ser então escrita em função do número de dentes das engrenagens como τ ωsaida ωentrada N2 N5 N4 N7 N5 N2 N7 N5 N2 N2 N4 N5 N5 N7 τ1 τ2 171 A relação de transmissão deduzida em 171 apresenta na última igualdade mostrada dois conjuntos agrupados entre parêntesis Neste caso o primeiro conjunto tem as informações referentes à transmissão do primeiro estágio do redutor e o segundo tem os termos referentes ao segundo estágio Esta configuração de redutor dá como resposta um sistema no qual as relações de transmissão parciais dos estágios podem ser agrupadas separadamente Em outras configurações tal separação não é tão explícita Exemplos de diversas configurações possíveis de redutores planetários são apresentadas por 4 e seu tratamento matemático será discutido adiante Uma vez escrita a relação cinemática do redutor passase às suas relações geométricas d2 2d3 d4 172 d5 2d6 d7 173 Em cada estágio há a necessidade de das engrenagens compartilharem o mesmo passo circular e portanto o mesmo módulo Sendo o primeiro estágio de torque mais baixo e velocidade mais alta muitas vezes recomendase o uso de um módulo mais baixo Assim das Equações 172 173 e da relação 12 as relações geométricas podem ser reescritas apenas em função do número de dentes de cada engrenagem N3 N4 N2 2 174 N6 N7 N5 2 175 Neste tipo de redutor devese buscar equilibrar a redução de cada estágio segundo algum tipo de regra Uma possibilidade é o uso de alguma fórmula recursiva como por exemplo a Equação 157 Assumese aqui que o primeiro estágio tem uma redução maior e que vai reduzindo proporcionalmente estágio a estágio de acordo com o expoente de 34 Este expoente pode ser adequado conforme as necessidades de projeto caso desejese que as transmissões parciais sejam mais próximas ou mais distantes Exemplo Desta maneira para o exemplo apresentado de dois estágios e com uma redução desejada de 130 admitindose uma possível variação de 1 em relação ao valor nominal uma opção de encaminhamento inicial poderia ser a determinação de transmissões parciais utilizando a relação 157 τ 130 τ1 τ2 τ1 τ134 τ174 Assim τ1 1 69834 τ2 1 42958 Uma vez definida as relações de transmissão parciais de cada estágio a sua resolução pode seguir o mesmo caminho da solução do redutor planetário simples Para a conversão das relações escritas em função de número de dentes para diâmetros os módulos devem ser definidos Uma vez que se utilizaram relações de transmissão diferentes para cada estágio segundo uma determinada regra algo similar pode ser utilizado para definir a relação entre módulos dos estágios Sugerese então o uso de uma relação conforme a Equação 159 para a estimativa inicial do módulo dos estágios subsequentes Uma vez que módulos são padronizados o resultado dessa estimativa seria aproximado para o módulo padronizado mais próximo Para o problema proposto assumindose para a engrenagem solar do primeiro estágio N2 21 dentes e para a engrenagem solar do segundo estágio N5 20 dentes τ1 1 69834 21 21 N4 N4 12502 adotase N4 125 N3 125 21 2 N3 52 τ2 1 42958 20 20 N7 N4 6592 adotase N7 66 N6 66 20 2 N6 23 Uma vez que foram feitas aproximações na escolha do número de dentes de cada engrenagem devese recalcular a transmissão total do redutor para verificar se o valor está dentro da tolerância prédeterminada τ N2 N2 N4 N5 N5 N7 21 21 125 20 20 66 1 298952 A variação percentual na relação de transmissão é de 035 Assim a combinação N2 21 N3 52 N4 125 N5 20 N6 23 e N7 66 atende as relações geométricas e cinemáticas do problema dentro da tolerância especificada O redutor tem agora suas relações expressas em termos do número de dentes Para a definição de seus diâmetros é necessário uma estimativa dos módulos O módulo de cada estágio está relacionado com a potência transmitida e com as velocidades de rotação de trabalho envolvidas em cada componente Aqui vamos assumir como exemplo módulo m1 25 para o primeiro estágio De acordo com a relação 159 uma estimativa para m2 pode ser obtida através de m2 25 20146 8621 4042 adotase m2 4 mm A Tabela 114 resume as informações para as engrenagens calculadas neste exemplo assumindose o adendo como igual ao módulo e o dedendo como sendo 125 vezes o módulo Tabela 114 Informações das engrenagens do redutor planetário de dois estágios Engrenagem 2 3 4 5 6 7 Número de dentes Ni 21 52 125 20 23 66 Módulo normal mm 25 25 25 40 40 40 Diâmetro primitivo mm 525 1300 3125 800 920 2640 Diâmetro externo mm 575 1350 3075 880 1000 2560 Diâmetro de raiz mm 4625 12375 31825 700 820 2740 18 REDUTORES 45 a Acoplamento braços 1 e 2 engrenagens 4 e 5 b Braço 2 e solar 2 engrenagens 4 e 7 c Braço 2 e anelar 4 engrenagens 2 e 7 d Braço 1 e solar 5 braço 2 e anelar 4 Figura 129 Algumas configurações possíveis para planetário de dois estágios e indicação dos ele mentos acoplados em cada configuração A proporção utilizada entre as relações de transmissão dos dois estágios pode ser alterada para manter a proporcionalidade entre o tamanho das duas engrenagens anelares Notase que nesta pro posta de resolução a engrenagem anelar do segundo estágio alto torque é menor que a anelar do primeiro estágio Uma vez que o processo de cálculo seja planilhado alterações podem ser feitas no sentido de se equilibrar as dimensões do produto final No momento não será dada muita importância para este fato pois as dimensões estimadas atendem as necessidades cinemáticas propostas mas o tamanho das engrenagens deve ser definido através de seu dimensionamento que deve ser feito se gundo normas como por exemplo ISO DIN e AGMA O trabalho aqui desenvolvido fornece uma estimativa inicial que deve ser verificada e se necessário corrigida segundo as normas aplicáveis Diversas outras configurações nas quais podem ser identificados dois estágios têm sido utilizadas para em variações de redutores planetários seja pelo uso de dois redutores simples acoplados em série ou pelo uso de associações de engrenagens compostas nos eixos Alguns desenhos deste tipo de equipamentos são apresentados por 4 ou por 16 e serão utilizados como exemplo neste texto Um redutor acoplado ou seja onde um elemento de uma configuração planetária é unido ao estágio seguinte também em configuração semelhante foi apresentado Várias outras configurações podem ser sugeridas como por exemplo os esquemas mostrados na Figura 129 adaptada de 4 As relações de transmissão correspondentes são apresentadas na Tabela 115 Uma outra maneira de se obter dois estágios em um redutor planetário é através do uso de en grenagens compostas como planetas ou estrelas do redutor Desta maneira nos eixos referentes às engrenagens planetas são montadas duas engrenagens um planeta grande que se conecta à engrena gem solar e um planeta pequeno que se conecta à engrenagem anelar As configurações mais usuais 46 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS a Configuração composta 1 b Configuração composta 2 c Configuração composta 3 Figura 130 Configurações possíveis para planetário composto dentre as possíveis são apresentadas na Figura 130 As relações de transmissão totais e parciais estão equacionadas e apresentadas na Tabela 115 Redutores baseados na relação diferencial entre número de dentes das engrenagens são esquema tizados nas Figuras 131a a 131d A configuração mostrada em a caracterizase por não utilizar engrenagens anelares O elemento fixo é a engrenagem solar referente ao primeiro estágio A en trada de movimento é feita através do braço e transmitida para as engrenagens planeta de primeiro e segundo estágio montadas no mesmo eixo e que possuem uma pequena diferença na quantidade de dentes As engrenagens do segundo estágio transmitem o movimento para a engrenagem solar de saída As relações de transmissão para os tipos de redutores descritos acima estão resumidas na Tabela 115 junto com a identificação dos estágios parciais e apresentase a faixa de aplicação tipicamente utilizada para cada configuração 18 REDUTORES 47 a Configuração diferencial 1 b Configuração diferencial 2 c Configuração diferencial 3 d Configuração diferencial 4 Figura 131 Configurações possíveis para planetário diferencial Tabela 115 Relações de transmissão em função do número de dentes e identificação das relações de transmissão parciais dos estágios Esquema Elemento fixo Entrada Saída Relação de transmissão i ou τ Transmissões parciais Faixa de aplicação Fig 128 Anelar 4 e 7 Solar 2 Braço 2 ωsaida ωentrada N2 N2 N4 N5 N5 N7 τtotal τ1 τ2 1140 τ 19 Fig 129a Anelar 7 Solar 2 Braço ωentrada ωsaida N4 N2N7 N5 1 itotal 1 i1 i2 Fig 129b Braço 1 Solar 5 Anelar 7 ωentrada ωsaida N4 N2 N4 N2N7 N5 N7 N5 itotal i1 i1 i2 i2 Fig 129c Braço 1 Solar 5 Braço 2 ωentrada ωsaida 1 N7 N5N2 N4 N2 itotal 1 i1 i2 Fig 129d Anelar 7 Solar 2 Braço 2 ωentrada ωsaida 1 N2 N4 N2N7 N5 itotal 1 i1 i2 Fig 130a Anelar 5 Solar 2 Braço ωentrada ωsaida 1 N3 N2N5 N4 itotal 1 i1 i2 6 i 25 Fig 130b Braço Solar 2 Anelar 5 ωentrada ωsaida N3 N2N5 N4 itotal i1 i2 5 i 24 Fig 130c Solar 5 Braço Anelar 2 ωentrada ωsaida 1 N3 N2N5 N4 itotal 1 τ1 τ2 ou itotal 1 τ1 i2 105 i 22 Fig 131a Solar 2 Braço Solar 5 ωsaida ωentrada 1 N2 N3N4 N5 τtotal 1 τ1 τ2 150 τ 110 Fig 131b Anelar 3 Braço Anelar 4 ωsaida ωentrada 1 N3 N2N5 N4 τtotal 1 τ1 τ2 1100 τ 115 Fig 131c Anelar 4 Solar 2 Anelar 6 ωsaida ωentrada N2 N2 N41 N5 N3N4 N6 τtotal τ1 τ2 1500 τ 120 Fig 131d Braço 1 Solar 2 e 7 Braço 2 ωsaida ωentrada 1 N2 N4N7 N5N5 N5 N7 τtotal τ1 τ2 1100 τ 115 18 REDUTORES 49 185 Rendimentos em transmissões por engrenagens Redutores com transmissões por engrenagens apresentam perdas por atrito pois há deslizamento entre os flancos dos dentes durante o movimento Em engrenagens cilíndricas de eixos paralelos as perdas por par em contato são pequenas com um rendimento em geral acima de 98 mas que deve ser considerado pois a associação de diversos pares faz com que tenha que sr considerado várias vezes nos cálculos Para o dimensionamento um problema comum é fazer a estimativa de potência máxima de saída redução total a ser considerada e é necessário a especificação de um motor que atenda a potência na entrada do sistema ou seja que vence todos os atritos e inércias envolvidas e entrega disponível na saída a potência desejada Aqui serão consideradas perdas por par de engrenagens dadas pelo rendimento do par ηengr e perdas por par de mancais que sustentam o eixo ηmancal Em engrenagens não há perda de sin cronia de rotação entre os eixos uma vez que os dentes impedem o escorregamento de uma roda em relação à outra Tal possibilidade existe em outros tipos de transmissão como rodas de atrito ou correias planas por exemplo Assim o rendimento é aplicado às potências e aos torques envolvidos Considerandose o redutor esquematizado na Figura 132 de três eixos três pares de mancais e dois pares de engrenagens O torque disponível em cada eixo T a partir do de entrada bem como as rotações ω e potências H podem ser escritos como Para o Eixo I TI Tmotorηmancal ωI ωmotor HI TIωI Tmotorωmotorηmancal Hmotorηmancal Para o Eixo II TII TI τ23 ηengrηmancal Tmotor τ23 ηengrη2 mancal ωII ωIτ23 ωmotorτ23 HII TIIωII Tmotorωmotorηengrη2 mancal Hmotorη2 mancalηengr Para o Eixo III TIII TII τ45 ηengrηmancal Tmotor τ23τ45 η2 engrη3 mancal ωIII ωIIτ45 ωmotorτ23τ45 50 CAPÍTULO 1 ENGRENAGENS E ASSOCIAÇÕES DE ENGRENAGENS HIII TIIIωIII Tmotorωmotorη2 engrη3 mancal Hmotorη3 mancalη2 engr Figura 132 Desenho esquemático de um redutor de eixos paralelos com duas reduções para análise de torque disponível no eixo de saída Valores de referência para rendimentos de engrenagens cilíndricas e mancais são apresentados na Tabela 116 Tabela 116 Valores de referência para rendimentos de engrenagens cilíndricas e mancais Elementos Rendimento Par de mancais de rolamento 98 a 99 Par de mancais de deslizamento 96 a 98 Par de engrenagens cilíndricas retas 18 95 a 99 Par de engrenagens cilíndricas helicoidais 18 95 a 99 Válido para montagens de eixos paralelos CAPÍTULO 2 Dimensionamento de Engrenagens A verificação de dimensões de engrenagens é feita a partir de recomendações normatizadas dentre as quais as proncipais são propostas pela DIN Deutsches Institut für Normung AGMA American Gear Manufacturers Association e JIS Japanese Industrial Standards As propostas de dimensiona mento por cada uma das normas são baseadas em critérios de flexão na raiz do dente da engrenagem e em critérios de pressão específica na superfície do flanco do dente O primeiro critério tem como base a equação de Lewis e o segundo a equação de Buckingham ambas corrigidas em função de parâme tros que consideram fatores que podem alterar a equação teórica como qualidade de fabricação do dentado velocidade de operação combinação de materiais entre pinhão e coroa tratamento térmico utilizado geometria do dente etc 21 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos O cálculo dos esforços atuantes em engrenagens cilíndricas de dentes retos segundo a norma AGMA pode ser resumido em duas equações a primeira para a estimativa de tensões de flexão na raiz do dente e a segunda para as tensões de compressão no flanco do dente De acordo com a norma AGMA como apresentado por 14 a tensão de flexão σb é dada por σb Wt FmtJ KaKm Kv KsKBKI 21 Em que Wt é o componente tangencial de força atuando no dente da engrenagem F é a largura de face da engrenagem mt é seu módulo transversal e J é um parâmetro geométrico Além desses parâmetros são utilizados outros que fazem a correção em relação a diversas características do engre namento a saber Ka considera a forma de aplicação de carregamentos entre as engrenagens motora e movida Km considera a distribuição do carregamento ao longo do flanco do dente sendo portanto fortemente influenciada por parâmetros de montagem Kv relacionase com a velocidade tangencial de trabalho e a qualidade de fabricação das engrenagens do par Ks considera a utilização ou não de 51 tamanhos padronizados para as engrenagens KB considera a influência de alívios de massa na alma da engrenagem no comportamento do dente quanto a flexão e KI considera o efeito de engrenagens intermediárias em uma transmissão que conectam outras duas e atuam a cada ciclo como engrenagens motoras e movidas o que leva a uma reversão da flexão do dente a cada ciclo A equação AGMA para estimativa de tensões superficiais σc como apresentada por 14 é escrita como σc Cp WtFl d Ca CmCv Cs Cf 22 Em que Wt e F são os mesmos valores já definidos para a Eq 21 Ca Cm Cv e Cs análogos a Ka Km Kv e Ks e geralmente estimados exatamente da mesma maneira I é um parâmetro geométrico obtido como função do raio de curvatura da superfície do dente na região de contato d é o diâmetro primitivo da engrenagem motora pinhão Os dois novos coeficientes de correção Cp e Cf referemse respectivamente à correção em relação a uma possível diferença de materiais entre o pinhão e a coroa e suas propriedades elásticas que influenciam na região sujeita à pressão de contato e o último coeficiente referese ao acabamento superficial e tratamento térmico utilizado para cada componente Exemplos detalhados de aplicações utilizando estas equações podem ser facilmente encontradas em referências como 14 e 3 Estes autores apresentam equações tabelas e gráficos para a obtenção dos diversos parâmetros relacionados nas equações 21 e 22 e aqui reproduzidas e devidamente identificadas 211 Fator Geométrico de Resistência à Flexão J A estimativa do fator geométrico J pode ser feita com o auxílio da Figura 21 para fins de projeto É válida para engrenagens cilíndricas de dentes retos com ângulo de pressão de 20 graus a ou 25 graus b e dentes de profundidade completa Há uma curva para uma abordagem mais conservadora que considera toda a carga aplicada na ponta do dente e curvas que consideram o ponto mais alto que um único dente suporta a carga imediatamente antes da entrada em contato do dente seguinte que compartilha a carga Assim este gráfico pressupõe um grau de recobrimento número médio de dentes em contato igual ou maior que 14 212 Fator de Aplicação de Carga Ka e Ca Os modelos utilizados assumem que a transmissão de carga é feita de maneira totalmente uniforme ao longo do tempo Flutuações no carregamento nos dentes existem devido a natureza da transmissão do carregamento através da geometria do engrenamento bem como os não tem sua aplicação de maneira tão uniforme dependendo da natureza do equipamento motor e do equipamento movido Uma recomendação para consideração de flutuações na aplicação de carga é sugerida através dos fatores apresentados na Tabela 21 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 53 Figura 21 Fatores geométricos J para engrenagens cilíndricas de dentes retos segundo AGMA 54 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Tabela 21 Valores Sugeridos para o Fator de Sobrecarga Ka Máquina motora Máquina movida Uniforme Choque leve Choque moderado Choque pesado Uniforme 100 125 150 175 ou mais Choque leve 110 135 160 185 ou mais Choque moderado 125 150 175 200 ou mais Choque pesado 150 175 200 225 ou mais No caso em que o movimento não é de redução mas de ampliação do ou seja a relação de transmissão i 1 ou τ 1 recomendase um acréscimo de 10 nos valores sugeridos na Tabela 21 Exemplos de aplicações que devem ser utilizados como referência para classificar o tipo de choque que deve ser absorvido pelos elementos da transmissão são sugeridos por 9 tanto para a máquina motora quanto para a máquina movida Máquina motora 1 Choques uniformes Motores elétricos Turbinas a vapor ou a gás com operação uniforme Torques de partida de pequena inten sidade e rara frequência 2 Choques leves Turbinas a vapor ou a gás Motores hidráulicos ou elétricos cujos torques de partida são de grande intensidade ou alta frequência 3 Choques moderados Motores de combustão interna com múltiplos cilindros 4 Choques pesados Motores de combustão interna de um cilindro Máquina movida 1 Choques uniformes Agitadores de líquidos Bombas rotativas de engrenagens ou lobos Equipamentos para cervejarias e destilados 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 55 Eixos de transmissão carga uniforme Elevadores de caneca carga uniforme Embobinadoras de papel Enlatadoras e engarrafadoras Escadas rolantes Alvejadores para fábrica de papel Cozinhadores de cereal para indústria alimentícia Acionamento auxiliar de máquinas operatrizes Misturadores de líquidos de densidade constante Acionamento do guincho de pontes rolantes Bombas de refinarias de petróleo Telas e peneiras de esteiras para água Transportadores de caçamba carga uniforme Transportadores de caneca carga uniforme Transportadores de correia carga uniforme Transportadores de corrente carga uniforme Transportadores de esteira carga uniforme Transportadores helicoidais de rosca carga uniforme Alimentadores para tratamento de águas e esgotos Bombas de lama e detritos para tratamentos de águas e esgotos Decantadores de lama e detritos para tratamentos de águas e esgotos Classificadores para tratamentos de águas e esgotos Ventiladores centrífugos 2 Choques leves Misturadores de polpa Agitadores semilíquidos e densidade variável Bombas centrífugas Bombas de dupla ação multicilíndricas Classificadores rotativos Guinchos de dragas Transportadores de dragas Bombas de dragas 56 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Embobinadoras de tecido Agitadores para fábrica de papel Batedores e despolpadores para fábrica de papel Cilindros para fábrica de papel Esticadores de feltro para fábrica de papel Secadores para fábrica de papel Geradores Equipamentos de laboratório para indústria de borrachas Moinhos cilíndricos em linha para indústria de borracha Refinadores para indústria de borracha Alimentadores de plaina para indústria madeireira Cardas filatórios e retorcedeiras para indústria têxtil Maçaroqueiras para indústria têxtil Acionamento principal de máquinas operatrizes leves Misturadores de líquidos de densidade variável Misturadores de polpa de papel Máquinas para refinaria de petróleo Secadores e resfriadores rotativos Telas e peneiras recíprocas Telas e peneiras rotativas para cascalho Transportadores de caçamba carga pesada e intermitente Transportadores de caneca carga pesada e intermitente Transportadores de correia carga pesada e intermitente Transportadores de corrente carga pesada e intermitente Transportadores de esteira carga pesada e intermitente Transportadores helicoidais de rosca carga pesada e intermitente Filtros para tratamento de águas e esgotos Mexedores para tratamento de águas e esgotos Peneiras para tratamento de águas e esgotos Ventiladores em geral exceto os centrífugos 3 Choques moderados Alimentadores helicoidais 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 57 Transportadores de esteira e de correia Bombas recíprocas de descarga livre Eixos de transmissão carga pesada Elevadores de caçamba carga pesada Embobinadoras de metal Moinhos rotativos para fábrica de cimento Calandras para fábrica de papel Descascadores mecânicos e hidráulicos para fábrica de papel Guinchos para cargas moderadas Misturadores de massa para indústria alimentícia Moedores de carne para indústria alimentícia Picadores para indústria alimentícia Calandras para indústria de borracha mais que 10 hdia Extrusores para indústria de borracha mais que 10 hdia Serras para indústria madeireira Tambores despolpadores para indústria madeireira Transportadores de toras para indústria madeireira Calandras para indústria têxtil Máquinas de tinturaria para indústria têxtil Cortadores de chapa rotativos para indústria metalúrgica Trefilas para a indústria metalúrgica Betoneiras acionadas por motor elétrico Misturadores de borrachas mais que 10 hdia Moinhos para areia Extrusoras e misturadores para olarias e cerâmicas Acionamento do carro de pontes rolantes Acionamento da ponte rolante Centrífugas de refinarias de açúcar Facas de cana de refinarias de açúcar mais que 10 hdia Torres para refrigeração Transportadores de caçamba vibratória Transportadores de caneca vibratória Transportadores de correia vibratória 58 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Transportadores de corrente vibratória Transportadores de esteira vibratória Transportadores helicoidais de rosca vibratória 4 Choques pesados Alimentadores recíprocos Britadores de pedras e minérios Cabeçotes rotativos de dragas Peneiras de dragas Britadores de mandíbulas para fábrica de cimento Moinhos de bolas e rolos mais de 10hdia Moinhos de martelo Supercalandras para fábrica de papel Tambores descascadores para fábrica de papel Guinchos para cargas pesadas Trituradores e misturadores para indústria de borracha Cortadores de chapa de faca para indústria metalúrgica Viradeiras para indústria metalúrgica Acionamento principal de máquinas operatrizes pesadas Prensas Betoneiras acionadas por motor de combustão Prensas de tijolos e ladrilhos para olarias e cerâmicas Moendas e refinarias de açúcar Aeradores para tratamento de águas e esgotos Bibliografias específicas de redutores podem apresentar as informações de modo mais customi zado Por exemplo em 6 catálogo específico de uma série de redutores no item Fator de Serviço apresentamse os valores de Ka válidos para o acionamento através de motores elétricos com a re comendação de somarse 025 ao fator de serviço para acionamento por motores de combustão com quatro ou mais cilindros e somarse 05 para acionamento por motores de combustão de um a três cilindros O fator é dado em função do período de operação por dia Embora de certa maneira similar ao já apresentado a tabela recomendada por 6 é reproduzida a seguir no intuito de aumentar a va riedade de fontes de referência para os estudantes interessados no conteúdo referente a engrenagens e mostrar que existem leves diferenças na considração dos fatores a partir de diferentes referências bibliográficas 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 59 Tabela 22 Fator de serviço segundo 6 Campo de aplicação Máquina acionada Período de operação 3h 3 a 10h 10h Agitadores e misturadores Agitadores para líquidos 100 125 150 Agitadores para líquidos densi dade variável 120 150 165 Agitadores para sólidos mate rial não uniforme 140 160 170 Agitadores para sólidos mate rial uniforme 135 140 Misturadores de concreto 150 150 Tranportadores aéreos a cabo Teleféricos 140 150 Bonde a cabo Elevadores a cabo Caminho de ferro funicular skip Transportadores Elevador de canecas 140 150 Elevação outros 150 180 Correia transportadora 100 kW 115 125 140 Correia transportadora 100 kW 115 130 150 Alimentador de placas 125 150 Alimentador helicoidal 115 125 150 Vibratórios 155 175 200 Escadas rolantes 155 125 150 Elevador de passageiros Compressores Recíprocos 180 190 Compressor centrífugo 140 150 Tipo parafuso 150 175 Guindastes e elevadores de carga Guindastes e elevadores de carga Energia Conversores de frequência 180 200 Geradores hidráulicos baixa ro tação 170 Turbina hidráulica Ventiladores Trocador de calor 150 150 150 Torres de resfriamento a seco 200 Torres de resfriamento úmidas 200 200 200 Ventoinhas axial e radial 150 150 150 Indústria alimentícia Trituradores e moinhos 175 60 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Cortadores 125 150 Tambor de secagem 125 150 Laminadora Bobinadoras 160 175 Discos de corte e tesouras 155 175 200 Mesa transportadora aciona mentos individuais Mesa transportadora aciona mentos em grupo Mesa transportadora inversão Trefiladeira 135 150 175 Laminadoras de chapas Moinhos e tambores rotativos Secadores e trocadores de calor 150 160 Fornos 200 Moinho de bolas 200 Moinho de carvão 150 175 Bombas Bomba centrífuga 115 135 145 Alternadores cilindro único 135 150 180 Alternadores vários cilindros 120 140 150 Bomba helicoidal 125 150 Rotativa tipo de engrenagem ventoinha 125 Indústria madeireira Madeireira Mineração Trituradores e britadores 155 175 200 Vibradores 155 175 200 Acionamentos de giro 155 180 Escavadores Indústria de papel e celulose Descascadores 155 180 Rolos pickup wise drive wire suction 180 200 Cilindros secadores rolamentos antiatrito 180 200 Calandras rolamentos anti atrito 180 200 Filtros pressão e vácuo 180 200 Batedores e picadores 155 175 200 Jordan mills 150 175 Prensas 175 Cilindros 175 Misturadores de polpa Filtros lavadores 150 Cilindros Yankee secadores 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 61 Indústria de plástico e borracha Extrusoras plástico 140 160 Extrusoras borracha 150 180 Moinho para borracha 2 em li nha 155 175 200 Moinho para borracha 3 em li nha 150 175 Moinhos de aquecimento 135 150 175 Calandras 165 165 Esmerilhadeiras 155 175 200 Moinho misturador Laminadoras 155 175 200 Refinadoras 155 175 200 Formadoras de tubos Tratamento de água saneamento Aeradores 180 200 Espessadores 115 125 150 Filtro a vácuo 115 130 150 Coletores 115 125 150 Bomba parafuso 130 150 Aeradores de escova 200 Consultar o fabricante Consultar o fabricante dimensionamento conforme normas específicas 213 Fator de Distribuição de Carregamento Km e Cm Desalinhamentos axiais podem afetar a distribuição homogênea de carregamento ao longo do flanco do dente e tal fator tem maior influência quanto maior for a largura do flanco da engrenagem F Assim são sugeridos os valores de correção apresentados na Tab 23 que devem ser interpolados para valores intermediários conforme mostrado na Figura 22 Tabela 23 Fator de distribuição de carregamentos Largura de Face F mm Km até 50 16 150 17 250 18 500 ou mais 20 62 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Figura 22 Fator de distribuição de carregamentos Km para engrenagens cilíndricas 214 Fator Dinâmico Kv e Cv O coeficiente de fator dinâmico tem por objetivo levar em conta imprecisões na manufatura e no engrenamento dos dentes que levem a um afastamento da condição de velocidade angular constante do par de engrenagens dentre os quais segundo 3 podem ser citados Falta de acurácia produzida durante a geração do perfil do dente incluídos erros de espaça mento fronte de perfil e acabamento Vibração do dente durante o engrenamento causada pela rigidez do dente Margitude da velocidade no círculo primitivo Desbalanceamento dinâmico dos elementos rotativos Desgaste e deformação permanente das porções em contato nos dentes Desalinhamento do eixo de engrenagens e deflexão linear e angular do eixo Atrito entre dentes Para levar em conta estes fatores a AGMA propõe um conjunto de números de qualidade Qv relacionados às tolerâncias de engrenagens Valores de Qv entre 3 e 7 incluem engrenagens de quali dade comercial Entre 8 e 12 engrenagens de qualidade precisa Velocidades típicas de aplicações e respectiva faixa de qualidade usual são apresentados em 14 e reproduzidos nas Tabelas 24 e 25 Definidas a qualidade Qv e a velocidade tangencial no círculo primitivo vt podese estimar o fator Kv a partir das equações 23 24 e 25 ou 27 de acordo com a faixa de qualidade envolvida na fabricação das engrenagens Tabela 24 Valores de Qv recomendados pela AGMA para aplicações selecionadas Aplicação Qv Acionador de tambor de misturador de cimento 35 Forno de cimento 56 Acionadores de fresa de aço 56 Colheitadeira 57 Guindastes 57 Prensa de esmagamento 57 Transportador de mineração 57 Máquina de fabricação de papel 68 Furadeira pequeno porte 79 Mecanismo de medidor de gás 79 Máquina de lavar roupas 810 Prensa de impressão 911 Mecanismo de computador 1011 Transmissão automotiva 1011 Acionador de antenas de radar 1012 Acionador de propulsor marítimo 1012 Aciobador de motor aeronáutico 1013 Giroscópio 1214 Tabela 25 Valores de Qv recomendados pela AGMA em função da velocidade no círculo primitivo Velocidade primitiva ms Qv 0 4 68 4 10 810 10 20 1012 Acima de 20 1214 Kv AA 200ViB 23 A 50 561 B 24 B 12 Qv234 para 6 Qv 11 25 Há uma recomendação de velocidade máxima no círculo primitivo para cada valor de qualidade no intervalo de 6 a 11 que pode ser escrita conforme Equação 26 com unidades no SI ms Vt max A Qv 32200 26 Para uma qualidade menor que 5 e unidades no SI 64 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Kv 50 50200Vt para Qv 5 27 O parâmetro de qualidade é definido de maneira diferente pela norma AGMA e pela norma ISO A AGMA tem alterado sua nomenclatura para aproximarse mais da ISO Desta maneira na Tabela apresentamse as equivalências de qualidade em engrenagens entre as normas ISO 1328 AGMA revisão do ano 2000 e AGMA revisão do ano 2015 Tabela 26 Sistema de qualidade para engrenagens segundo AGMA 2000 AGMA 2015 e ISO 1328 AGMA 2000 AGMA 2015 ISO 1328 Engrenagem menos precisa Q5 12 Q6 A11 11 Q7 A10 10 Q8 A9 9 Q9 A8 8 Q10 A7 7 Q11 A6 6 Q12 A5 5 Q13 A4 4 Q14 A3 3 Q15 A2 2 Engrenagem mais precisa 215 Fator de Tamanho Ks e Cs A principal recomendação quanto a este fator é o uso de um valor igual a 10 para este coeficiente desde que se utilizem materiais testados e recomendados pela AGMA e os tamanhos normais de engrenagens O valor pode ser aumentado em situações particulares à critério do projetista como por exemplo em engrenagens com dentes muito grandes Assim autores como 4 recomendam o aumento do valor de Ks para módulos acima de 5 mm de acordo com a interpolação da Tabela 27 mostrada na Figura 23 21 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 65 Tabela 27 Valores recomendados de Ks Módulo mm Fator de tamanho Ks 5 100 6 105 8 115 12 125 20 140 Figura 23 Fator de tamanho Ks para engrenagens cilíndricas 216 Fator de Alívio de Massa no Corpo da Engrenagem KB Em engrenagens de maior diâmetro sobretudo coroas é comum a realização de um alívio de massa na região entre o cubo e os dentes da engrenagem conforme exemplificado na Figura 24 Figura 24 Dimensões consideradas para o fator de alívio de massa KB em engrenagens cilíndricas 66 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS A razão entre a altura entre o diâmetro de raiz e o alívio de massa tR e a altura total do dente ht é o parâmetro utilizado para a estimativa de KB Assim mB tR ht 28 KB 16ln 2242 mB 05 mB 12 10 mB 12 29 Autores como 14 apresentam para KB um cálculo simplificado com uma aproximação linear que em vista da facilidade atual no uso de planilhas eletrônicas pode ser considerado desnecessário na maioria das situações Mesmo assim tal formulação é apresentada na Equação 210 Cabe o comentário que ao utilizar a aproximação linear em vez da opção logarítmica Equação 29 adotase um valor mais conservador para KB KB 2mB 34 05 mB 12 10 mB 12 210 Para engrenagens maciças sem alívio de massa adotase KB 1 O uso da razão mB menor que 05 é desaconselhável assim nas equações 29 e 210 já foi feita a inclusão dessa condição nos limites de validade de mB Pequenos pinhões montados em eixos com o uso de chaveta devem ser analisados com cuidado pois a dimensão tR a ser considerada é a distância entre o fundo do rasgo de chaveta e a raiz do dente como ilustrado na Figura 25 Nesta situação é recomendável que seja garantida a condição de mB 12 para evitar a existência de um ponto cuja falta de material possa levar a uma falha da peça Caso esta condição não possa ser atingida devese considerar a fabricação do pinhão usinado diretamente no eixo Figura 25 Parâmetros para o fator de alívio de massa KB em pinhões pequenos 217 Fator para Engrenagem Intermediária KI Uma engrenagem intermediária na transmissão direta entre engrenagens atua por um lado como engrenagem movida e a seguir transmite o movimento para a próxima engrenagem atuando portanto também como engrenagem motora dentro da mesma volta Assim tal engrenagem é sujeita a uma quantidade maior de ciclos de carregamento bem como a uma amplitude maior de carregamento alternado uma vez que o mesmo dente trabalha ora como movido ora como motor Para este tipo de engrenagens o usual é ajustar o valor de KI como igual a 142 Para engrenagens não intermediárias o valor permanece como 10 218 Fator Geométrico de Superfície I O fator geométrico para a estimativa da pressão superficial segundo a AGMA considera o raio de curvatura dos dentes e o ângulo de pressão utilizado I cosφ1ρp 1ρg dp 211 Na qual φ é o ângulo de pressão e ρp e ρg são respectivamente o raio de curvatura do pinhão e da coroa e dp é o diâmetro primitivo do pinhão O sinal considera o engrenamento externo sinal acima ou interno sinal abaixo Os rais de curvatura para dentes de perfil envolvente podem ser escritos como ρp rp 1 xpm2 rp cosφ2 π m cosφ 212 ρg C sinφ ρp 213 Em que rp é o raio primitivo do pinhão m o módulo C é a distância entre centros das engrenagens e xp um coeficiente que considera correções no comprimento do adendo para engrenagens corrigidas A engrenagens sem correção atribuise xp 0 Para dentes com adendo corrigido em 25 usase xp 025 e assim por diante Em 3 apresentase para a estimativa de I a seguinte relação simplificada válida para engrenagens cilíndricas de dentes retos desde que com dentes de altura completa assume xp 0 I cosφ sinφ i2i 1 214 Em que i é a razão de velocidades ou relação de transmissão entre as engrenagens e novamente o sinal acima deve ser utilizado para engrenamento externo e abaixo para interno Os valores obtidos por ambas as relações são próximos mas esta última é mais fácil de ser implementada A versão não simplificada da Eq 214 segundo 17 que deixa a equação com resultado igual a 211 é I 1tanφ i2i 1 ρp ρgrp rg 215 219 Coeficiente Elástico Cp O coeficiente elástico considera diferenças entre os materiais do pinhão e coroa e é calculado a partir das constantes elásticas de cada material Cp 1 π 1 v²p Ep 1 v²g Eg 216 Na qual Ep e Eg são respectivamente os módulos de elasticidade do pinhão e da coroa e vp e vg são os respectivos coeficientes de Poisson 2110 Fator de Acabamento Superficial Cf Este fator deve ser empregado em engrenagens que não atendam os padrões estabelecidos pela AGMA para a rugosidade superficial Em engrenagens fabricadas por meios convencionais recomendase adoção de Cf 10 podendo ser aumentado em caso de rugosidade elevada ou na presença de tensões residuais 22 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais As expressões apresentadas anteriormente para o cálculo de tensões de flexão e pressão superficial são válidas também para engrenagens cilíndricas helicoidais com algumas alterações em função da geometria Assim para os fatores geométricos J e I serão apresentadas as alterações no cálculo Para a equação de tensão de flexão na raiz do dente a variável módulo m deve ser substituída pelo módulo tangencial mt conforme definido na equação 124 221 Fator Geométrico de Resistência à Flexão J O fator geométrico J para engrenagens helicoidais é obtido por gráficos específicos para cada ângulo de pressão em função do número de dentes das engrenagens e do ângulo de hélice correspondente A Figura base considera a engrenagem conjugada com outra engrenagem de 75 dentes Para corrigir a quantidade de dentes da engrenagem conjugada um outro gráfico é apresentado do qual se obtém um fator de modificação K que multiplica o fator J previamente encontrado Nas Figuras 26 27 e 29 mostramse os fatores J para engrenagens com ângulos de pressão de respectivamente 15 20 e 22 e respectivos gráficos de correção para engrenagens conjugadas com número de dentes diferente de 75 Já a Figura 28 apresentase também os fatores J para ângulos de pressão de 20 mas aplicado a engrenagens finalizadas pelo processo de shaving Tais gráficos foram incluídos por apresentar os parâmetros para engrenagens na faixa de 12 a 20 dentes Todos os gráficos apresentados nas Figuras 26 a 29 foram publicados pela AGMA 21801 de dezembro de 1982 São reproduzidos aqui com o intuito de permitir o desenvolvimento de exemplos didáticos de projeto nas disciplinas relacionadas com o tema 22 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 69 Figura 26 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 15 b Multiplicador para correção do fator J 70 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Figura 27 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 20 b Multiplicador para correção do fator J 22 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 71 Figura 28 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 20 por outro processo de fabricação incluindo a faixa de 12 a 20 dentes b Multiplicador para correção do fator J para quantidade de dentes no intervalo de 12 a 20 Para valores maiores use a Figura 27 222 Fator Geométrico de Superfície I Para o fator geométrico aplicado a engrenagens cilíndricas helicoidais a expressão 211 conta com a inclusão de um parâmetro adicional mN denominado razão de compartilhamento de carga Aqui o 72 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Figura 29 a Fator geométrico J para engrenagens helicoidais com ângulo de pressão de 22 b Multiplicador para correção do fator J ângulo de pressão considerado deve ser o medido no plano transversal da engrenagem Desta maneira podese escrever I cos φt 1 ρp 1 ρg dp mN 217 O termo mN é definido como mN F Lmin 218 Em que F é a largura de face do dente e Lmin é o comprimento mínimo das linhas de contato A estimativa deste último parâmetro é feita avaliandose os resíduos da razão de contato transversal mp dado pela equação 112 com o ângulo de pressão transversal considerado e a razão de contato axial mF dado pela equação 127 Estabelecendose variáveis para avaliação da parte fracionária das razões de contato podemse estabelecer as condições para a determinação de Lmin nr parte fracionária de mp 219 na parte fracionária de mF 220 Lmin mpF nanrpx cos ψb se na 1 nr mpF 1 na1 nrpx cos ψb se na 1 nr 221 Na qual ψb é o ângulo de hélice medido no diâmetro de base que em função do ângulo de hélice no diâmetro primitivo e dos ângulos de pressão pode ser escrito como ψb cos¹ cos ψ cos φn cos φ 222 Os raios de curvatura ρp e ρg são calculados de maneira diferente para engrenagens helicoidais 14 apresenta as seguintes expressões para seu cálculo ρp 05 rp ap C rg ag² rp cos φt² 223 ρg C sin φt ρp 224 Novamente 3 apresenta uma expressão simplificada para o cálculo de I dada em função do ângulo de pressão e da relação de transmissão além é claro da razão de compartilhamento de carga I cos φt sin φt 2mN i i 1 225 74 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS 23 Resistência à Fadiga Uma vez calculadas as tensões atuantes tanto de flexão como de pressão superficial fazse necessária a escolha de material que atenda os critérios desejados A AGMA apresenta propriedades de mate riais e possíveis tratamentos térmicos recomendados para o uso São fornecidas para estes materiais a resistência a fadiga em flexão e a resistência de fadiga superficial As tabelas da AGMA como apresentadas por 14 são reproduzidas na Tabela 28 Para elaboração do critério a ser utilizado as tensões calculadas em condições de laboratório devem se corrigidas em função de parâmetros par ticulares de seu uso como vida desejada temperatura de operação confiabilidade desejada e dureza dos materiais envolvidos 23 RESISTÊNCIA À FADIGA 75 Tabela 28 Resistência a fadiga em flexão S fb e resistência a fadiga de superfície S fc conforme AGMA Material Classe AGMA Designação Tratamento térmico Dureza superficial mínima S fb MPa S fc MPa Aço A1A5 Endurecido totalmente 180 HB 170230 590660 Endurecido totalmente 240 HB 210280 720790 Endurecido totalmente 300 HB 250325 830930 Endurecido totalmente 360 HB 280360 10001100 Endurecido totalmente 400 HB 290390 11001200 Endurecido por chama ou indução 50 HRC 310380 12001300 Endurecido por chama ou indução 54 HRC 150 12001300 Cementado e endurecido 5564 HRC 380520 12501300 AISI 4140 Nitretado 846 HR15N 230310 11001250 AISI 4340 Nitretado 835 HR15N 250325 10501200 Nitralloy 135M Nitretado 900 HR15N 260330 11701350 Nitralloy N Nitretado 900 HR15N 280345 13401410 25 Cromo Nitretado 875 HR15N 380450 11001200 25 Cromo Nitretado 900 HR15N 380450 13001500 Ferro fundido 20 Classe 20 Como fundido 35 340410 30 Classe 30 Como fundido 175 HB 69 450520 40 Classe 40 Como fundido 200 HB 90 520590 Ferro nodular A7a 604018 Recozido 140 HB 150230 530630 A7c 805506 Temperado e revenido 180 HB 150230 530630 A7d 1007003 Temperado e revenido 230 HB 180280 630770 A7e 1209002 Temperado e revenido 230 HB 180280 710870 Ferro maleável A8c 45007 165 HB 70 500 A8e 50005 180 HB 90 540 A8f 53007 195 HB 110 570 A8i 80002 240 HB 145 650 Bronze Bronze 2 AGMA 2C Fundido em areia 40 ksi min resist tração 40 450 Al Br 3 ASTM B148 78 alloy 954 Tratado termicamente 90 ksi min resist tração 160 450 76 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS 231 Critérios para Verificação As tensões estimadas através das Equações 21 e 22 devem ser confrontadas com critérios para que possa ser feita uma avaliação do correspondente fator de segurança A AGMA propõe equações para o cálculo da resistência à fadiga por flexão e resistência à fadiga superficial dadas respectivamente pelas equações 226 e 227 S fb KL KTKR S fb 226 Sfc CLCH CTCR S fc 227 Em que KL e CL são correções em relação à vida do componente KR e CR correções para ajustar a confiabilidade desejada KT e CT para ajustar a temperatura de operação e CH o fator que ajusta a diferença de dureza entre os dentes do pinhão e coroa S fb e S fc são os limites de resistência a fadiga de flexão e de superfície respectivamente São os valores apresentados na Tabela 28 232 Fator de Correção de Vida KL e CL A norma AGMA estabelece como padrão para os dados que apresenta uma vida nominal de 107 ciclos Como referência para a vida de engrenagens em relação ao tipo de aplicação a que se destina 10 sugere as faixas relacionadas na Tabela 29 A conversão entre vida em horas Lh e vida em ciclos L pode ser obtida facilmente através da rotação n medida em rpm L 60nLh 228 Assim para uma vida em horas previamente definida as engrenagens de cada eixo de um sis tema de transmissão devem ter como meta de vida uma quantidade diferente de ciclos muitas vezes diferente valor do padrão adotado pela AGMA Tabela 29 Vida útil de projeto típica para engrenagens em função de sua aplicação Aplicação Vida útil de projeto h Aparelhos domésticos 10002000 Motores de avião 10004000 Automotivos 15005000 Equipamentos agrícolas 30006000 Elevadores ventiladores industriais engrenamentos para usos diversos 800015000 Motores elétricos ventoinhas industriais e máquinas industriais em geral 2000030000 Bombas e compressores 4000060000 Equipamentos críticos de operação contínua 100000200000 Os valores de KL e CL são diferentes mas são obtidos de maneira similar através dos gráficos 23 RESISTÊNCIA À FADIGA 77 mostrados nas Figuras e respectivamente Figura 210 Fator de resistência à flexão KL pela AGMA Figura 211 Fator de resistência à fadiga superficial CL pela AGMA Ambas as figuras apresentam uma região sombreada delimitada por duas curvas a partir de 107 ciclos Como recomendação a curva superior da zona sombreada deve ser utilizada em aplicações comerciais usuais O limite inferior deve ser utilizado em aplicações críticas nas quais deve haver um controle rigoroso quanto a crateração pitting e são admissíveis apenas baixo desgaste dos dentes e baixos níveis de vibração 78 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS 233 Fator de Confiabilidade KR e CR Valores recomendados pela AGMA assumem uma confiabilidade de 99 para as engrenagens ou seja estatisticamente temse uma falha em cada cem peças Casso não seja satisfatório a correção deve ser feita através deste fator de acordo com recomendações da Tabela 210 Tabela 210 Fator de confiabilidade AGMA Confiabilidade KR ou CR 90 085 99 100 999 125 9999 150 234 Fator de Temperatura KT e CT A temperatura do lubrificante é uma medida razoável para a temperatura da engrenagem Para o aço em óleo a temperaturas de até cerca de 120 C o coeficiente KT pode sem mantido em 10 Para temperaturas mais altas com TC dado em C o coeficiente KT ou CT é estimado por KT 49218TC 620 229 Esta equação é válida apenas para aços não devendo ser utilizada em outros casos 235 Fator de Razão de Dureza CH Este fator é função da relação de transmissão e da dureza relativa entre pinhão e coroa Segundo 3 o pinhão geralmente possui número menor de dentes que a coroa e portanto é submetido a uma quantidade maior de ciclos de tensão de contato Se ambos são endurecidos de forma completa uma resistência superficial pode ser obtida ao se fazer o pinhão mais duro que a coroa Um efeito similar pode ser obtido com o endurecimento de superfície do pinhão e endurecimento total da coroa O parâmetro CH é calculado apenas para a coroa Para o pinhão CH 1 São sugeridas duas formas de cálculo para CH dependendo da dureza relativa entre as engrena gens Para pinhões endurecidos por completo conjugados com coroas também endurecidas por com pleto CH 1Ai1 230 Com i sendo a relação de transmissão A pode ser calculado por 23 RESISTÊNCIA À FADIGA 79 A 0 se HBp HBg 12 000898HBp HBg 000829 se 12 HBp HBg 17 000698 se HBp HBg 17 231 Com HB referindose à dureza Brinell do pinhão índice p ou coroa índice g A outra condição possível é o uso de pinhões com endurecimento de superfície dureza acima de 48 HRC conjugados a coroas com endurecimento completo Neste caso o cálculo de CH é dado por CH 1B450HBg 232 E B pode ser calculado por B 000075e0052Rq 233 Em que Rq é a rugosidade média quadrática do dente do pinhão medida em µm rms Valores de referência para rugosidade são apresentados por diversas referências em função dos processos de fabricação e valores típicos para algumas classes de produtos As tabelas aqui apre sentadas são retiradas de 2 com a fonte original citada na respectiva figura Na Figura 212 são apresentados diversos processos de fabricação e a faixa de variação tipicamente obtida para a rugo sidade superficial de componentes submetidos a tais acabamentos Na Figura 213 é apresentada a rugosidade máxima obtida em diversos tipos de componentes e são incluídas separadamente engre nagens com módulo inferior a 25 mm passo diametral maior que 10 in1 superior a 25 mm e engrenagens para carregamento pesado Em ambas as Tabelas a rugosidade apresentada é a rugo sidade média aritmética Ra conforme indica a notação AA Aritmetical Average Segundo 1 a medida Rq é mais utilizada nos Estados Unidos e a elevação ao quadrado traz um aumento do efeito da irregularidade fazendo com que o valor de Rq seja cerca de 11 maior que o valor de Ra 236 Fatores de Segurança Quanto a Fadiga Os respectivos coeficientes de segurança em relação à flexão e pressão superficial podem ser obtidos por Nfbpinhao S fb σbpinhao 234 Nfbcoroa S fb σbcoroa 235 Nfc Sfc σc 236 Os coeficientes de flexão são calculados individualmente para os dentes do pinhão e da coroa conforme 234 e 235 e calculase apenas um coeficiente de pressão superficial para o par de engre nagens conforme 236 Autores como 14 preferem utilizar a equação 236 elevada ao quadrado para compensar o fato de que na Eq 236 o termo de força tangencial encontrase dentro de uma raiz Figura 212 Acabamento superficial para vários processos de fabricação Segundo este raciocínio permite avaliar diretamente se a severidade é maior quanto à tensão de flexão ou à tensão de contato Assim Nfc Sfc σc² 237 Para engrenagens coroadas a comparação é feita elevandose O valor do coeficiente de segurança é tipicamente adotado como 10 uma vez que os diversos 23 RESISTÊNCIA À FADIGA 81 Figura 213 Máxima rugosidade superficial de peças comuns usinadas 82 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS coeficientes utilizados para corrigir a tensão atuante de flexão e de superfície Ka Km Kv Ks já incluem grande parte das incertezas sobre os carregamentos atuantes nas engrenagens Para uma segurança adicional ou antecipação de problemas não cobertos pelos coeficientes já considerados a AGMA sugere 10 Nf 15 24 Tolerâncias Dimensionais 241 Distância entre centros Em 9 apresentase um modo para estimativa da tolerância de distância entre centros de duas engre nagens cilíndricas conjugadas Para uma distância C com tolerância simétrica Aa temse C Aa C dcoroa dpinhao 2 238 Na qual o sinal referese a engrenamento externo acima e engrenamento interno sinal abaixo Aa a jA 2000 239 Em que A é dado por A 045 3ai ai 1000 240 E os coeficientes ai e aj são obtidos como função do valor da distância entre centros do sistema qualidade da engrenagem e da série de tolerâncias conforme mostrado nas Tabelas 211 212 e 213 25 Lubrificação Uma vez que a transmissão de movimento através de engrenagens é feita por uma combinação de movimentos de rotação e de translação uma lubrificação adequada tornase essencial para o funci onamento suave e para garantir a vida das peças Um suprimento de óleo deve ser providenciado continuamente no diâmetro primitivo das engrenagens de modo a reduzir o atrito evitar corrosão e também manter as temperaturas em níveis aceitáveis Os óleos recomendados pela AGMA são classificados em algumas categorias relacionadas a se guir e dentro de cada categoria diferentes graus de viscosidade estão disponíveis RO Óleos para engrenagens à base de petróleo com inibidores de ferrugem e oxidação CP Lubrificantes compostos formados de mistura de óleos graxos e óleos de petróleo EP Lubrificantes de extrema pressão que incluem aditivos para inibir desgaste nas faces dos dentes S Lubrificantes sintéticos com formulações especiais para condições severas de funciona mento 25 LUBRIFICAÇÃO 83 Tabela 211 Parâmetro ai em função da distância entre centros Distância entre centros C mm ai C 18 13416 18 C 30 23238 30 C 50 38730 50 C 80 63246 80 C 120 97980 120 C 180 146969 180 C 250 212132 250 C 315 280624 315 C 400 354965 400 C 500 447214 500 C 630 561249 630 C 800 709930 800 C 1000 894427 1000 C 1250 1118034 1250 C 1600 1414214 1600 C 2000 1788854 2000 C 2500 2236068 2500 C 2806243 Tabela 212 Relação entre qualidade e série de tolerâncias Qualidade das engrenagens Série de tolerâncias Classe ISO js 3 js5 a js8 inclusive 4 a 6 js6 a js9 inclusive 7 a 9 js7 a js10 inclusive 10 a 12 js8 a js11 inclusive Qualidade segundo designação ISO 1328 Os óleos são fornecidos em diversas viscosidades no padrão ISO Na Tabela 214 são apresenta das recomendações de viscosidades nominais para transmissões fechadas em função de um intervalo aproximado de temperaturas para a condição ambiente e para o reservatório de óleo e em função da velocidade tangencial na linha primitiva das engrenagens do estágio final de transmissão do redutor Nesta Tabela recomendase o uso de óleos do tipo RO a menos quando o sufixo S é utilizado in dicando o uso de óleos sintéticos O valor indicado corresponde à viscosidade nominal em mm2s referente ao seu valor médio estimado a uma temperatura de 40 C Para transmissões utilizando en grenagens semfim exigese uma viscosidade mais elevada que o indicado na Tabela Para óleos RO as viscosidades disponíveis são ISOVG 32 ISOVG 46 ISOVG 68 ISOVG 100 ISOVG 150 ISOVG 220 ISOVG 320 ISOVG 460 ISOVG 680 e ISOVG 1000 84 CAPÍTULO 2 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS Tabela 213 Parâmetro aj em função da série de tolerância Classe ISO js a j 5 7 6 10 7 16 8 25 9 40 10 64 11 100 Tabela 214 Grau de viscosidade recomendada para transmissões fechadas Intervalo de temperatura Velocidade da linha primitiva no estágio final da transmissão Ambiente Reservatório de óleo ms C C 5 5 a 10 10 a 15 15 a 20 20 a 25 25 a 30 30 a 35 40 a 23 15 68S 68S 46S 46S 46S 32S 32S 23 a 7 15 a 32 100S 100S 68S 68S 46S 32S 32S 7 a 45 32 a 66 150 150 150 68 68 68 46 45 a 26 66 a 88 320 220 220 150 100 100 100 26 a 48 88 a 99 460 460 320 320 220 150 100 48 99 Não recomendado CAPÍTULO 3 Aplicações ao projeto de redutores 31 Redutor Planetário de Um Estágio Para este projeto serão consideradas as condições dinâmicas de aceleração na engrenagem de entrada e suas consequências ao longo dos cálculos de uma condição transiente Para tanto fazse necessária a dedução das equações referentes a um planetário simples com entrada de movimento feita pela engrenagem solar anelar fixa e saída feita pelo braço das planetárias conforme Figura 125 A relação de transmissão em função do número de dentes das engrenagens ou de seus raios primitivos é dada por ωb NsNs Na ωs 12 NsNs Np ωs 12 rsrs rp ωs Em que N é o número de dentes r é o raio primitivo e os índices são utilizados para identificar a engrenagem solar s planetária p anelar a ou braço associado às planetárias b ωb e ωs são respectivamente a velocidade angular do braço e da engrenagem solar Esta equação pode ser derivada para a obtenção de uma relação entre a aceleração angular do braço em função da aceleração angular da engrenagem solar Assim αb 12 rsrs rp αs 31 Em que αb e αs são as acelerações angulares dos elementos indicados Resolvendose o sistema de equações do planetário para a velocidade angular da engrenagem planetária encontrase ωp 12 NsNp ωs 12 rsrp ωs Novamente a equação pode ser derivada para a obtenção de uma relação entre as acelerações angulares em função dos raios primitivos das engrenagens αp 12 rsrp αs 32 Figura aqui Fazendose o equilíbrio na Engrenagem Solar de acordo com a Figura Ts rs Fps np Js αs 33 Em que T referese ao torque atuando na engrenagem Fps é a força exercida pela engrenagem planetária na engrenagem solar np é a quantidade de engrenagens planetárias utilizadas na montagem e J é o momento de inércia de massa do elemento indicado pelo índice O equilíbrio da engrenagem planetária de acordo com a Figura pode ser feito em relação aos movimentos de rotação e de translação rp Fap rp Fsp Jp αp 34 Fsp Fap Fbp mp ap Em que m representa a massa do elemento e a a aceleração linear Uma vez que a engrenagem planetária está conectada ao braço a aceleração linear da planetária pode ser escrita em função da aceleração angular do braço como ap ab rs rp αb Em que ab é medida no ponto de conexão do braço com o eixo das planetárias ou seja a uma distância rs rp da linha dos eixos de entrada e saída Portanto temse Fsp Fap Fbp mp rs rp αb 35 O equilíbrio do braço saída do sistema é dado por rs rp np Fpb Tout Jb αb 36 Em que Tcb é o torque que a carga externa faz no eixo de saída do braço e Tout é o torque disponível no eixo de saída do planetário Substituindose as equações de modo a deixar todo o conjunto de equações em função da aceleração angular da engrenagem solar e considerandose que as forças de ação e reação tem mesmo valor numérico e seu sentido já foi considerado na dedução das equações podese escrever o problema em função de um sistema de quatro equações Ts rs Fsp np Js αs 37 rp Fap rp Fsp Jp rs 2 rp αs 38 Fsp Fap Fbp mp rs 2 αs 39 rs rp np Fbp Tout Jb rs 2rs rp αs 310 A resolução pode ser feita substituindose a última equação do sistema na equação imediatamente anterior sucessivamente até se chegar à primeira equação do sistema Assim resolvese a última equação para Fbp substituise na anterior Resolvese para Fap e substituise novamente na anterior Finalmente repetese mais uma vez resolvendose para Fsp e substituindose na primeira equação do sistema O resultado organizandose os termos em comum é Tin rs 2rs rp Tout Js np rs² 4 1 rp² Jp mp rs 2rs rp² Jb αs 311 Na qual o torque na engrenagem solar entrada do sistema foi renomeado para Tin 88 CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES AO PROJETO DE REDUTORES Parte II Correias e Correntes CAPÍTULO 4 Aspectos gerais sobre correias Correias são elementos de transmissão que funcionam como engrenagens transferindo o movimento de rotação a partir de uma roda para outra No entanto as rodas não estão diretamente em contato existe um elemento intermediário que faz a conexão entre as rodas Especificamente quando se fala sobre a transmissão por correias as rodas recebem o nome de polias que podem ter diversos tipos de perfis A principal característica do elemento de conexão é o fato de ele ser um elemento flexível denominado correia e que pode apresentar diversos tipos de seção cada qual com sua faixa de apli cação e com polia correspondente A transmissão de movimento pode ser feita apenas por atrito entre correia e polia necessitando assim de uma prétensão para provocar uma força normal e uma força de atrito associada ou por dentes quando é utilizada para a sincronização de movimentos Neste caso não pode haver a possibilidade de escorregamento entre os elementos assim a geometria tanto da correia como da polia deve ser específica para acomodar adequadamente o acoplamento entre os ele mentos Alguns possíveis perfis de correias são ilustrados na Tabela 41 Cada tipo apresenta diversos tamanhos padronizados cada qual atendendo a uma determinada faixa de potência a ser transmitida Uma transmissão por correias pode ser configurada de diversas maneiras para transmitir o movi mento invertendo ou não o sentido de rotação ou acoplando eixos que são ou não paralelos Algumas possibilidades de montagem são ilustradas na Figura 41 Arranjos que permitem uma transmissão sem a necessidade de embreagem e que permitem a variação da velocidade são apresentados respec tivamente nas Figuras 42 e 43 O tipo mais básico de montagem é a configuração aberta envolvendo duas polias de diâmetros diferentes portanto há uma relação de transmissão neste movimento de modo que não há inversão de sentido de rotação entre o eixo da polia motora e da polia movida Dada a geometria podem se desenvolver equações para encontrar os ângulos de abraçamento da correia em ambas as polias e a relação entre distância entre centros e perímetro da polia como um elemento padronizado o perímetro interno é uma dimensão característica da correia 12 relaciona vantagens e desvantagens no uso de correias em relação a outros mecanismos de transmissão sobretudo engrenagens e correntes são citadas como vantagens a se considerar 91 92 CAPÍTULO 4 ASPECTOS GERAIS SOBRE CORREIAS Tabela 41 Características de algfuns tipos comuns de correias 3 Tipo de Esquema Junção Intervalo de Distância correia ilustrativo da correia tamanho entre centros Plana sim t 075 a 5 mm sem limite superior Redonda sim d 18 a 34 sem limite superior V não h 8 a 19 mm limitada Sincronizadora não p 2mm ou acima limitada Figura 41 Transmissão por correias a aberta b cruzada c semicruzada d com correia trapezoidal em V 12 Figura 42 Exemplo de transmissão eliminando uso de embreagem 3 1 Funcionamento quase sem ruído 2 Melhor absorção e amortecimento de choques 3 Disposição simples sem caixa de transmissão ou lubrificação 93 Figura 43 Transmissão variável por correias a contínua b escalonada 3 4 Utilização múltipla por exemplo eixos com movimento concordante ou oposto eixos em po sição cruzada ou inclinada acionamento de vários eixos com uma correia 5 Mais econômico principalmente para grandes distâncias entre eixos e disposição simples das polias 6 Fácil desacoplamento por exemplo através de deslocamento da polia de protensão ou variação da distância entre eixos 7 Simples variação da relação de transmissão por exemplo através do uso de polias escalonadas ou cônicas para correias planas ou pela variação do diâmetro útil das polias para correias em V Como desvantagens 1 Maiores dimensões e maior força axial que de acordo com a construção resulta em 15 a 38 vezes a torça tangencial 2 Escorregamento na transmissão pelo menos 1 a 2 que varia com a força tangencial com a protensão com o alongamento permanente e com o coeficiente de atrito 3 Alongamento permanente da correia que cresc com o tempo e carga podendo provocar desli zamentos e escapamento da correia exigindo medidas especiais e aumento do custo ao tentar compensar tais efeitos 4 Variação do alongamento da correia com a temperatura e a umidade 94 CAPÍTULO 4 ASPECTOS GERAIS SOBRE CORREIAS 5 Variação do coeficiente de atrito com a poeira detritos óleo e umidade Ainda de acordo com 12 a faixa de variação da relação de transmissão é similar a engrenagens i 1 a 8 excepcionalmente até 20 O rendimento total é alto para correias planas incluindo perdas nos mancais de 96 a 98 em correias em V o rendimento é quase sempre um pouco menor De acordo com 3 valores de referência para correias em V ficam no intervalo de 70 a 96 CAPÍTULO 5 Especificação de Correias 51 Correias Planas O comprimento de correias planas não é padronizado Nesta configuração a correia pode ser adquirida como uma cinta e unida no tamanho desejado através de grampos placas ou colagem Diversas possibilidades de união são representadas na Figura 51 Ao se projetar transmissões com o uso de correias planas uma das grandes vantagens é que não á limitações em relação à distância entre centros das polias Figura 51 Acoplamentos de correias planas a grampos b ligação em ziguezague c ligação de placa d com garra e com trilhos fligação de barra g correias coladas 12 Quanto à sua configuração de montagem as correias podem ser dispostas em configuração aberta ou cruzada conforme representado na Figura 52 Para cada configuração estão indicadas na Figura as principais dimensões com a nomenclatura aqui utilizada e a seguir são apresentadas as expressões que determinam cada um dos parâmetros Para a configuração aberta podem ser deduzidas por geometria as expressões para os ângulos de abraçamento da correia sobre as polias e para seu comprimento total 95 Figura 52 Correias nas configurações aberta imagem à esquerda e cruzada imagem à direita θd π 2 sin1D d 2C 51 θD π 2 sin1D d 2C 52 L 4C² D d² 12DθD dθd 53 Expressões análogas podem ser obtidas para a configuração cruzada θ π 2 sin1D d 2C 54 L 4C² D d² 12D dθ 55 Para a dedução das equações que regem o comportamento de correias planas devese tomar um elemento deferencial de correia e fazer a análise das forças atuantes Escolhese um elemento que cobre um arco dθ sobre a polia em uma coordenada θ e fazse o diagrama de corpo livre conforme apresentado na Figura 53 Para tornar a dedução genérica a integração será feita em um ângulo de abraçamento φ que posteriormente pode ser adaptado às necessidades do problema específico Por exemplo para a polia menor de uma transmissão em configuração aberta φ θd e para a polia maior φ θD Também devese considerar que a força de tração na correia varia ao longo da polia e nas posições em que a correia sai da polia as forças valem F1 e F2 adotandose como convenção que F1 F2 O lado com a força F1 é chamado de lado tracionado e o com F2 lado frouxo Figura 53 Diagrama de corpo livre de um elemento de correia em contato com a polia Com os seguintes parâmetros utilizados na Figura 53 e nas deduções a seguir apresentados com unidades tipicamente empregadas no SI 51 CORREIAS PLANAS b largura da correia mm t espessura da correia mm r raio da polia mm m massa por unidade de comprimento kgmm dS diferencial de força causado pela ação centrífuga N dN diferencial de força normal entre correia e polia N f coeficiente de atrito O diferencial de força centrífuga pode ser escrito em função da massa mrdθ e aceleração centrípeta ω²r e rearranjado como dS mrdθrω² mr²ω²dθ mv²dθ Fcdθ Em que v velocidade tangencial da correia mms Fc força centrífuga N Fazendose o equilíbrio estático do elemento diferencial nas direções radial e tangencial temse Direção radial ΣFr 0 F dFsindθ2 F sindθ2 dN dS 0 F dFdθ2 Fdθ2 dN dS 0 dN Fdθ dS Direção tangencial ΣFt 0 fdN F cosdθ2 F dF cosdθ2 0 fdN F F dF 0 fdN dF 0 Eliminandose dN das equações de equilíbrio e escrevendose dS em função de dθ fFdθ dS dF 0 fFdθ Fcdθ dF 0 dFdθ fF fFc fmr²ω² A solução da EDO é F Aefθ mr²ω² 98 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS E a determinação da solução específica é feita pela aplicação das condições de contorno Con forme a Figura VVVV em θ 0 a força atuante é F2 a condição de contorno de menor valor e em θ φ a força atuante é F1 Da primeira condição temse F2 Amr2ω2 A F2 mr2ω2 Substituindose F F2 mr2ω2efθ mr2ω2 Aplicandose a segunda condição obtémse F1 F2 mr2ω2efφ mr2ω2 F1 mr2ω2 F2 mr2ω2 efφ F1 Fc F2 Fc 56 Que é a equação básica de correias ou equação de ação de correias Esta pode ser escrita também em outra forma que as vezes é mais conveniente para se trabalhar F1 F2 F1 Fcefφ 1 efφ 57 As forças de tração no lado mais tensionado da correia e no lado mais frouxo devem ser tais que sua diferença possa transmitir o torque desejado Podese então rescrever F1 e F2 em função de uma précarga Fi da força centrípeta Fc e da relação entre torque transmitido T e diâmetro d da polia F1 Fi Fc T d 58 F2 Fi Fc T d 59 Para a análise da pré carga Fi e verificação de seu papel na transmissão do torque mostrase a seguinte manipulação matemática proposta por 3 que usa as definições propostas acima Equações 58 e 59 de F1 e F2 mais a equação básica de correias Eq 56 para escrever Fi em função de T F1 F2 2T d 510 F1 F2 2Fi Fc 511 Fi Td F1F2 2 Fc F1F2 2 F1 FcF2 Fc F1 FcF2 Fc efφ 1 efφ 1 Fi T d efφ 1 efφ 1 512 51 CORREIAS PLANAS Verificase então que a pré carga é diretamente proporcional ao torque que se deseja transmitir sendo dependente também do coeficiente de atrito e ângulo de abraçamento nas polias de acordo com os termos introduzidos pelo uso da Eq 56 Uma outra análise que pode ser feita consiste em isolar o termo Td na Equação 512 e substituílo nas Equações 58 e 59 F1 Fc Fi 2efφefφ 1 513 F2 Fc Fi 2efφ 1 514 Mostrase que F1 e F2 possuem um comportamento linear em relação a Fi que pode ser melhor visualizado no gráfico apresentado na Figura 54 O aumento da tração inicial aumenta também o torque que pode ser transmitido pelo arranjo de correias A tração inicial possui um valor máximo que pode ser aplicado que é aquele que conduz à maior carga permitida na correia F1adm Figura 54 Gráfico da tração inicial Fi contra tração de correia F1 ou F2 mostrando Fc e o termo 2Td 3 Fabricantes de correias disponibilizam valores máximos de tração permissíveis por unidade de largura e aqui são reproduzidos os dados apresentados por 3 na Tabela 51 Para a partir desses dados de fabricantes obterse a tração admissível F1adm são necessárias correções F1adm bFa Cp Cv 515 Em que b é a largura da correia Fa é a tração permissível dada em catálogo pelo fabricante e os coeficientes Cp e Cv são correções em função do uso particular em cada projeto Cp referese a correções referentes à polia e o fator é apresentado na Tabela 52 para correias em couro ou poliamida Para correias de uretano utilize Cp 1 Cv é a correção em relação à velocidade podese utilizar o 100 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS gráfico da Figura 55 para sua estimativa em caso de correias de couro ou utilizar Cv 1 para correias de poliamida ou uretano O torque necessário para a transmissão é obtido a partir da potência de trabalho A potência na situação nominal ou de trabalho será designada por Hnom Para os cálculos de torque necessário na transmissão a potência nominal deve ser corrigida em função de um fator de projeto desejado para o sistema e de um fator para considerar eventuais sobrecargas de trabalho Assim a potência de projeto Hd deve ser calculada como Hd HnomKsNd 516 Em que Ks é o fator de sobrecarga e Nd é o fator de projeto desejado O fator Ks pode sere utilizado como o mesmo que é especificado para correias em V que serão mostradas na próxima seção e valores de referência podem ser encontrados na Tabela 511 Tabela 51 Propriedades de alguns materiais de correias planas e redondas 3 Material Especificação Tamanho Diâmetro mínimo de polia Fa por uni dade de lar gura a 3ms Peso específico Coeficiente de atrito mm mm kNm kNm3 Couro 1 camada t 45 75 5 95 a 122 04 t 5 90 6 95 a 122 04 2 camadas t 7 115 7 95 a 122 04 t 8 150 9 95 a 122 04 t 9 230 10 95 a 122 04 Poliamida F0 t 08 15 18 95 05 F1 t 13 25 6 95 05 F2 t 18 60 10 138 05 A2 t 28 60 10 100 08 A3 t 33 110 18 114 08 A4 t 50 240 30 106 08 A5 t 64 340 48 106 08 Uretano w 127 t 16 Tabela 53 10 103 a 122 07 w 19 t 20 17 103 a 122 07 w 32 t 23 33 103 a 122 07 Redonda d 6 14 103 a 122 07 d 10 33 103 a 122 07 d 12 58 103 a 122 07 d 20 13 103 a 122 07 Adicione 50mm ao tamanho da polia para correias de 200 mm de largura ou mais t espessura w largura d diâmetro Outras informações padronizadas sobre polias para correias planas são disponibilizadas por 3 e reproduzidas nas Tabelas 53 e 54 A primeira apresenta tamanhos mínimos de polias para correias planas e redondas e a segunda apresenta a altura do abaulamento especificadas para a centralização de correias planas durante o movimento Tais informações dão subsídio ao projeto de transmissões ao se estabelecer alguns limites práticos de trabalho A forma como a tração varia ao longo do comprimento de uma correia plana é mostrada na Figura 51 CORREIAS PLANAS 101 Tabela 52 Fator de correção de polia Cp para correias planas 3 Material Especificação Diâmetro da polia pequena mm 40 a 100 115 a 200 220 a 310 355 a 405 460 a 800 mais de 800 Couro 05 06 07 08 09 10 Poliamida F0 095 10 10 10 10 10 F1 070 092 095 10 10 10 F2 073 086 096 10 10 10 A2 173 086 096 10 10 10 A3 070 087 094 096 10 A4 071 080 085 092 A5 072 077 091 Figura 55 Fator de correção de velocidade Cv para correias de couro de várias espessuras 3 Tabela 53 Tamanhos mínimos de polia para correias planas e redondas de uretano Diâmetros dados em mm 3 Tipo de correia Tamanho da correia Razão entre a velocidade da polia e comprimento da correia revms mm até 14 14 a 27 28 a 55 Plana 127 x 16 97 112 127 19 x 20 127 16 19 32 x 23 127 16 19 Redonda 6 381 445 508 10 571 665 762 12 762 889 1016 20 127 152 1778 56 O formato do gráfico é simples e assume que a espessura da correia é suficientemente pequena para não acrescentar tensões de flexão significativas durante a passagem da correia pela polia na qual se impõe uma curvatura ao elemento É interessante visualizar o gráfico para comparar com correias em que este efeito é significativo como nas correias em V apresentadas na próxima seção 102 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS Tabela 54 Altura de abaulamento e diâmetros de polias ISO para correias planas 3 Diâmetro da polia ISO Altura de coroa Diâmetro da polia ISO Altura de coroa mm mm mm mm w 250 mm w 250 mm 40 50 62 03 315 355 075 075 70 80 03 315 355 10 10 90 100 115 03 570 635 710 13 13 125 142 04 800 900 13 15 160 180 05 1015 13 15 200 230 06 1140 1270 1420 15 20 250 285 075 1600 1800 2030 18 25 Figura 56 Trações em correias planas 3 52 Correias em V 521 Parâmetros Geométricos Correias em V tem como ideia o aumento da capacidade de transmissão de carga através de uma geometria em cunha da correia que aumenta o efeito da força de atrito responsável pela transmissão de torque sem o escorregamento As dimensões das seções transversais disponíveis são padronizadas tanto para o padrão no sistema métrico como para o sistema em polegadas Também são disponibi lizadas pelos fabricantes informações como diâmetro mínimo para a polia e o intervalo de potência que pode ser atendido por determinado tipo de correia Tais dados são apresentados na Tabela 55 Tabela 55 Seção padronizadas de correias em V 3 Desenho da seção Seção de correia Largura a mm Espessura b mm Diâmetro mínimo da polia mm Intervalo de po tência kW A 12 85 75 02 até 75 B 16 11 135 07 até 185 C 22 13 230 11 até 75 D 30 19 325 37 até 186 E 38 25 540 75 e acima 52 CORREIAS EM V 103 A especificação da correia é feita pela letra que faz a designação da seção correspondente seguida pelo seu comprimento padronizado Os valores padronizados comumente encontrados são apresenta dos na Tabela 56 Estes valores referemse ao perímetro interno da correia Para dimensionamentos práticos devese trabalhar com o perímetro medido em um diâmetro primitivo e deferente das cor reias planas correias em V possuem uma seção com altura significativa então perímetro interno e primitivo não podem ser considerados iguais A conversão de um em outro é feita pela adição de um fator de correção constante para cada tipo de seção ao valor do perímetro interno conforme definido na Tabela 57 Tabela 56 Circunferências internas padronizadas de correias em V 3 Seção Circunferência mm A 650 775 825 875 950 1050 1150 1200 1275 1325 1375 1425 1500 1550 1600 1650 1700 1775 1875 1950 2000 2125 2250 2400 2625 2800 3000 3200 B 875 950 1050 1150 1200 1275 1325 1375 1425 1500 1550 1600 1650 1700 1775 1875 1950 2000 2125 2250 2400 2625 2800 3000 3200 3275 3400 3450 3950 4325 4500 4875 5250 6000 6750 7500 C 1275 1500 1700 1875 2025 2125 2250 2400 2550 2625 2800 3000 3200 3400 3600 3950 4050 4350 4500 4875 5250 6000 6750 7500 8250 9000 9750 10500 D 3000 3200 3600 3950 4050 4350 4500 4875 5250 6000 6750 7500 8250 9000 9750 10500 12000 13500 15000 16500 E 4500 4875 5250 6000 6750 7500 8250 9000 9750 10500 12000 13500 15000 16500 Tabela 57 Dimensões a adicionar à circunferência interna Tabela 56 para converter ao compri mento primitivo Lp 3 Seção da correia A B C D E Quantidade a ser adicionada mm 32 45 72 82 112 Ao se projetar uma transmissão por correias é importante que estas estejam tensionadas portanto uma vez que se tem a relação de transmissão desejada o diâmetro mínimo que pode ser utilizado para a polia e o comprimento primitivo da correia escolhida podese começar o procedimento de estimativa da distância entre centros na transmissão Assim por exemplo dada uma distância entre centros desejada calculase o comprimento primitivo necessário fazse a correção para o perímetro interno através da Tabela 57 Para o valor obtido buscase a correia com valor padronizado mais próximo que atenda às necessidades de projeto Adotado este valor recalculase a distância entre centros agora atendendo ao requisito de um comprimento de correia comercialmente disponível Para tal estimativa são apresentadas s expressão final de cálculo do comprimento primitivo Lp em função da distância entre centros C e dos diâmetros das polias menor d e maior D e a expressão da estimativa inversa em que a distância entre centros é dada em função dos diâmetros das polias e do comprimento primitivo Lp 2C πD d2 D d²4C 517 C 025Lp π2 D d Lp π2 D d² 2D d²12 518 Diferente do que ocorre em correias planas em que praticamente não há limite para a distância entre centros quando se trata de correias em V grandes distâncias entre centros levam a vibrações excessivas assim alguns limites são sugeridos pelos fabricantes Para correias em V convencionais sugerese D C 3D d 519 Assim ao se projetar uma transmissão por correias em V o catálogo do fabricante deve ser consultado e a distância entre centros C deve ser projetada segundo as especificações sugeridas Alguns tipos de correias possuem limites diferentes dos utilizados como exemplo neste texto 522 Transmissão de Potência Foi apresentado na Tabela 55 a faixa de potências atendida por cada seção de correias em V A informação é fornecida por fabricantes válida para determinadas condições de vida como por exemplo 24000h ou 10⁸ ciclos Com tais condições é fornecida uma potência que pode ser transmitida por uma correia individualmente Muitas vezes a potência que se deseja transmitir exige que se faça uso de várias correias montadas em paralelo para atingir a potência máxima de projeto Assim a quantidade de correias deve ser determinada As informações de potência que pode ser transmitida individualmente por uma correia com seção definida são apresentadas na tabela 58 Este valor aqui chamado de Htab é um valor teórico obtido sob determinadas condições de ensaio Para aplicações gerais os valores fornecidos de Htab devem ser corrigidos em função da aplicação desejada Dois são os fatores de correção mais relevantes 1 K1 que faz a correção em relação ao ângulo de abraçamento φ que a correia faz em torno da polia 2 K2 que faz a correção em relação ao comprimento primitivo da correia Uma potência admissível para uma correia Ha ajustada para a aplicação desejada pode ser então definida como Ha K1 K2 Htab 520 Na qual os valores de K1 e K2 podem ser obtidos respectivamente a partir das Tabelas 59 e 510 apresentadas a seguir Feita a estimativa da potência admissível que pode ser transmitida por uma correia esta deve ser comparada com a potência máxima de projeto para a determinação de quantas correias montadas em paralelo devem ser utilizadas O cálculo da potência de projeto também deve levar alguns pontos em 52 CORREIAS EM V 105 Tabela 58 Estimativas de potência kW de correias padronizadas em V 3 Seção da Diâmetro primitivo Velocidade da correia ms correia da polia mm 5 10 15 20 25 A 65 035 046 040 011 75 049 075 084 069 028 85 060 098 117 164 084 95 069 116 143 149 128 105 077 130 164 178 163 115 083 141 182 201 193 acima de 125 087 151 197 221 216 B 105 080 118 125 094 016 115 095 148 171 155 092 125 107 174 209 206 157 135 119 195 242 249 210 145 128 214 269 287 257 155 136 231 294 319 298 165 143 245 316 348 334 acima de 175 150 258 335 374 366 C 150 137 198 203 140 175 185 294 346 331 233 200 221 366 454 474 412 225 249 421 538 586 551 250 272 466 605 716 663 275 289 503 659 746 753 acima de 300 305 533 706 813 828 D 250 309 457 489 380 101 275 373 584 680 634 419 300 426 691 836 850 685 325 471 783 970 1030 910 350 509 858 1089 1179 1104 375 542 925 1186 1313 1268 400 571 985 1276 1432 1417 acima de 425 598 1037 1350 1537 1544 E 400 648 1044 1306 1350 1141 450 740 1246 1582 1716 1604 500 813 1395 1805 2007 1969 550 873 1514 1984 2253 2275 600 925 1611 2134 2454 2522 650 970 1701 2260 2619 2738 acima de 700 1000 1768 2372 2768 2917 consideração Inicialmente devese estimar a potência nominal de trabalho Esta deve ser corrigida por um fator de aplicação de carga que considera a maneira como a carga é transmitida em relação à intensidade de choques entre máquina motora e máquina movida de modo análogo ao apresentado na teoria de engrenagens Também deve ser considerado o fator de segurança de projeto ou seja o mínimo fator de segurança desejado para o projeto que será corrigido ao final das escolhas feitas ao longo do projeto e relatado ao final do mesmo Assim 106 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS Tabela 59 Fator de correção do ângulo de contato kW para transmissões por correias VV e V Plana 3 Dd C K1 θ Correias VV Correias VPlana 000 180 100 075 010 1743 099 076 020 1665 097 078 030 1627 096 079 040 1569 094 080 050 1510 093 081 060 1451 091 083 070 1390 089 084 080 1328 087 085 090 1265 085 085 100 1200 082 082 110 1133 080 080 120 1063 077 077 130 989 073 073 140 911 070 070 150 828 065 065 Um ajuste para a coluna VV em função de θ K1 01435430007468θ 0000015052θ 2 para 90 θ 180 Tabela 510 Fator de correção para comprimento da correia K2 3 Fator de Comprimento nominal da correia m comprimento K2 seção A seção B seção C seção D seção E 085 até 088 até 115 até 188 até 32 090 095 a 115 12 a 15 203 a 24 36 a 405 até 48 095 12 a 138 155 a 188 263 a 30 433 a 525 525 a 60 100 15 a 188 195 a 243 32 a 395 60 675 a 75 105 195 a 225 263 a 30 405 a 488 675 a 825 825 a 975 110 24 a 28 32 a 36 525 a 60 90 a 105 105 a 120 115 acima de 30 395 a 45 675 a 75 120 135 a 150 120 acima de 488 acima de 825 acima de 135 165 Multiplique o valor da potência estimada por correia pelo fator K2 para obter a potência corrigida Hd HnomKsnd 521 Na qual a potência nominal é Hnom Ks é o fator de aplicação de carga obtido conforme a Tabela 511 e nd é o fator de projeto desejado Assim a quantidade de correias Nb que deve ser utilizada para transmissão da potência desejada é calculada por 52 CORREIAS EM V Tabela 511 Fatores de serviço Ks sugeridos para transmissões por correias em V 3 Máquina acionada Fonte de potência Característica normal de torque Torque alto ou não uniforme Uniforme 10 a 12 11 a 13 Choque leve 11 a 13 12 a 14 Choque médio 12 a 14 14 a 16 Choque intenso 13 a 15 15 a 18 Nb HdHa 522 Obviamente uma quantidade inteira de correias deve ser escolhida Caso a quantidade de correias seja excessiva o projeto deve ser reavaliado e uma seção de tamanho maior deve ser considerada Note que na indicação de potência atendida por cada tipo de correia há sempre uma superposição de valores nos intervalos indicados O coeficiente de segurança nfs obtido ao final do projeto é dado por Nfs Ha Nb Hnom Ks 523 523 Forças em Correias V O estudo de forças em correias V toma como base que a equação fundamental de correias Equação 56 ainda é válida desde que feitos ajustes necessários em relação ao coeficiente de atrito A correia em V é como uma cunha penetrando na ranhura da polia específica Assim temse a geometria em cunha multiplicando o efeito da normal entre polia e correia e o contato ocorre em duas faces Tais parâmetros determinam um coeficiente de atrito efetivo f para o qual há estudos indicando que para ângulos de polia de 30 34e 38valores de 050 045 e 040 são respectivamente obtidos 3 A Gates Rubber Company declara seu coeficiente de atrito efetivo como 05123 conforme apresentado em 3 e portanto este será o valor utilizado nas considerações a partir deste ponto A Equação básica para correias V pode então ser escrita como F1 FcF2 Fc e05123φ 524 A tração adicional causada pela força centrífuga pode ser equacionada como Fc Kc v242 525 Para a velocidade tangencial v dada em ms e na qual Kc é um parâmetro dado em massa por unidade de comprimento e é apresentado na Tabela 512 A equação já adapta as unidades de Kc para que seu uso direto a partir da a Tabela 512 seja compatível com a saída de força Fc em N A diferença de forças entre o lado tracionado e o lado frouxo da correia é denominado ΔF e é responsável pela capacidade de transmissão de potência Assim escrevendose em função da diferença 108 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS de forças e a seguir a forma como ela pode ser calculada a partir dos dados conhecidos ou seja em função da potência em uma correia F F1 F2 526 F HdNb πnd 60106 527 Com F em N n sendo a rotação do eixo considerado em rpm d o diâmetro da polia consi derada em mm e Hd em kW Utilizandose a a equação básica de correias na forma mostrada na Equação 57 temse F F1 Fcefφ 1 efφ Rearranjandose para que seja determinada a força F1 em função dos termos já determinados temse F1 Fc Fefφ efφ 1 528 Obtémse então F2 a partir da Equação 526 F2 F1 F 529 E podese também determinar a força de pré carga necessária para transmitir o torque desejado utilizandose a Equação 511 e isolandose Fi Fi F1 F2 2 Fc 530 Temse então calculadas as forças atuantes na transmissão de potência em um arranjo com polias e correias em V Tabela 512 Parâmetros adicionais para correias em V 3 Seção da correia Kb Nm Kc lbft A 25 0561 B 65 0965 C 180 1716 D 642 3498 E 1226 5041 3V 26 0425 5V 124 1217 8V 546 3288 Dados por cortesia de Gates Rubber Co Denver Colo 52 CORREIAS EM V 109 524 Durabilidade Vida da Correia V na seção anterior foram calculadas as forças atuantes na transmissão de potência Para considerações referentes à durabilidade da correia outros parâmetros de força devem ser incluídos na análise Isso porque há um fator adicional que aumenta a complexidade na determinação de correlações que de finam a vida do componente devido a sua seção com uma altura que não pode ser desprezada as correias em V ao abraçarem a polia sofrem uma flexão assim além das forças já determinadas há um componente de tração adicional nos pontos acima da linha neutra da seção da correia Tal compor tamento pode ser observado em uma análise similar ao já realizado para a correia plana e mostrada agora na figura 57 Figura 57 Trações em correias V 3 Acompanhandose a situação de um ponto inicialmente em A no lado mais tracionado da correia e em sua superfície externa passando primeiro pela polia menor B até C indo para o lado frouxo da correia D e finalmente passando pela polia maior E até F para então retornar ao seu ponto de origem verificase que os esforços avaliados em sua superfície externa possuem o comportamento mostrado no gráfico Iniciando com uma carga F1 ao ser flexionada sobre a polia menor a força atuante sofre um acréscimo de Fb1 atingindo um valor máximo de T1 Depois de passar pela curvatura da polia a carga adicional de flexão desaparece e a força fica no valor de F2 Ao ser flexionada sobre a polia maior a carga novamente sofre um acréscimo desta vez de um valor Fb2 cuja intensidade é menor que Fb1 devido ao maior raio desta polia O acréscimo se mantém até que o ponto deixa a polia tendo atingido um valor máximo de T2 e entra novamente no lado tracionado da carreia voltando ao patamar de força valendo F1 O cálculo das forças adicionais devido à flexão da correia são computados conforme as seguintes equações T1 F1 Fb1 F1 Kb d 531 T2 F1 Fb2 F1 Kb D 532 Nas quais os valores usuais de Kb são mostrados na Tabela 512 em função do tipo de seção da correia analisada Para as estimativas de durabilidade da correia devese ter em mente que há uma combinação de carregamentos cíclicos um com valor de pico em T1 e outro em T2 Estes ciclos devem ser combinados para a consideração correta do dano causado por cada um deles A equação do fator de compensação de tração em função do número de voltas ou número de passagens sugerida pela Gates Rubber Company é Tb Np Kb 533 Na qual a força considerada é T o número de passagens é Np e um expoente de ajuste é b é dado em função do tipo de seção da correia A combinação dos carregamentos T1 e T2 é feita utilizandose a regra de Miner e neste caso é escrita como 1Np KT1b KT2b 534 Aqui é mais conveniente escrever a equação diretamente em termos do número de passagens Np Np KT1b KT2b 1 535 Os parâmetros de durabilidade K e b são apresentados na tabela 513 Os valores são válidos para um número de passagens entre 108 e 109 ou entre 109 e 1010 Assumindose que são utilizados nas contas de Np os valores de K e b referentes ao intervalo entre 108 e 109 e obtenhase um valor de Np superior a 109 deve ser especificado como vida útil do componente Np 109 O tempo de vida em horas pode ser calculado como t Np Lp 3600 v 536 Em que Lp é o comprimento primitivo da correia em m e v é a velocidade tangencial em ms Novamente caso o número de passagens calculado seja maior que 109 a vida em horas t deve ser relatada como o resultado obtido de t 109 Lp 3600 v Valores acima deste tempo não são confiáveis por estarem fora do intervalo de validade dos parâmetros utilizados no cálculo 3 sugere que a análise de correias em V seja feita nos seguintes passos Encontrar v Lp C φ e e05123φ Encontrar Hd Ha e Nb Encontrar Fc ΔF F1 F2 Fi e nfs 53 CORREIAS SINCRONIZADORAS 111 Encontrar Np e t se possível Tabela 513 Parâmetros de durabilidade para algumas seções de correias em V 3 108 a 109 109 a 1010 Diâmetro mínimo picos de força picos de força de polia Seção K b K b mm A 2999 11089 75 B 5309 10926 125 C 9069 11173 215 D 18726 11105 325 E 26791 11100 540 3V 3240 12464 4726 10153 66 5V 7360 12593 10653 10283 177 8V 16189 12629 23376 10319 312 53 Correias Sincronizadoras Correias dentadas que não admitem escorregamento mas que como elementos flexíveis possuem uma vida limitada cujas recomendações de troca do elemento devem ser cuidadosamente respeitadas para evitar grandes prejuízos em equipamentos que a utilizam em alguma transmissão de movimento A correia sincronizadora é caracterizada pelo passo entre dentes e sua categoria de serviço con forme exemplo mostrado na Tabela 514 valores diferentes destes existem consulte catálogos de fabricantes As larguras de correia são também padronizadas com os valores disponíveis dados em catálogos Uma página do catálogo 15 é reproduzida na Figura 58 apenas a título de demonstra ção Algumas informações apresentadas por 3 É fabricada de um tecido emborrachado revestido de tecido de nylon que possui internamente fios de aço para aguentar a carga de tração Os dentes da correia se encaixam em ranhuras na periferia da polia razão pela qual não há escorregamento e consequentemente transmite potência a uma razão de velocidade angular constante Não se faz necessária nenhuma tração inicial e possuem um amplo intervalo de velocidades de operação Sua eficiência é da ordem de 97 a 99 não requerem lubrificação e têm operação mais silenciosa que transmissões por correntes Não apresentam variações de velocidades que ocorrem em transmissões por correntes devido ao escorregamento do elos sendo uma opção bastante atrativa transmissões de precisão Na fabricação há o cuidado em garantir que os fios de aço estejam na linha primitiva da cor reia garantindo que esta seja praticamente inextensível fazendo com que o comprimento primitivo seja o mesmo independente da espessura do reforço Em geral para a seleção da correia o fabricante fornecerá em catálogo para cada tipo de correia em seu portfólio diagramas dos modelos de correias indicados para a aplicação desejada em função da potência de projeto em W ou kW para fabricantes que usam o SI e da velocidade em rpm esperada para a menor das polias Um exemplo de diagrama de seleção de correias é mostrado na Figura 59 reproduzida do catálogo da Optibelt GmbH 15 A potência de projeto design power utilizada no 112 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS catálogo não é a potência nominal desejada ou seja o valor teórico calculado de maneira similar ao apresentado na seção sobre correias em V Neste caso o fabricante sugere que a correção deva ser feita em função de três parâmetros principais 1 Tipo de aplicação informando se há a ocorrência de choques na transmissão de carga e em que intensidade ocorre tanto na máquina motora como na máquina movida 2 Caso a correia seja utilizada para ampliar a velocidade do motor ao invés de reduzir um outro fator de correção deve ser empregado 3 Correção quanto às condições de operação envolvendo o uso de polias tensionadoras ou o tempo contínuo de operação para considerar a fadiga do material da correia Tabela 514 Passos padronizados em correias sincronizadoras Categoria de serviço Designação Passo mm Extra leve XL 5 Leve L 10 Pesado H 12 Extra pesado XH 22 Duplamente extra pesado XXH 30 Cada um destes fatores tem instruções detalhadas de cálculo no catálogo fornecido pelo fabri cante e as orientações devem ser seguidas e aplicadas ao projeto e revistas a qualquer alteração feita As estimativas iniciais de potência de projeto costumam ser revistas ao longo do desenvolvimento completo de um projeto Orientações sobre máxima distância entre polias e comprimento total da correia também são fornecidas nos catálogos de fabricantes O processo é bastante similar ao que já foi detalhado nas seções anteriores com algumas variações em função das particularidades do tipo de correia e recomendações baseadas na experiência de desenvolvimento do produto que são específicas do fabricante considerado 53 CORREIAS SINCRONIZADORAS 113 Figura 58 Opções para modelo de correia da empresa Optibelt GmbH Disponí vel em httpswwwoptibeltcomfileadminpdfproduktezahnriemengummi OptibeltTMRubberTimingBeltDrivespdf Acesso em 24 fev 2020 114 CAPÍTULO 5 ESPECIFICAÇÃO DE CORREIAS Figura 59 Orientação de escolha de modelo de correia sincronizadora da empresa Optibelt GmbH Disponível em httpswwwoptibeltcomfileadminpdfproduktezahnriemengummi OptibeltTMRubberTimingBeltDrivespdf Acesso em 24 fev 2020 CAPÍTULO 6 Correntes A transmissão por correntes tem princípios similares à por correias em relação ao fato de tratarse de uma transmissão de movimento entre duas rodas ligadas por um elemento que transmite o movimento tangencialmente às rodas No entanto o fato do elemento flexível ser formado na realidade por uma cadeia de elementos discretos elos articulados traz algumas considerações adicionais que devem ser avaliadas Como vantagens do uso de correntes podese ressaltar o fato de não haver escorregamento na transmissão do movimento uma vez que este é feito através de rodas dentadas Por ser constituída de sucessivos elos metálicos encadeados a corrente não está sujeita a efeitos de fluência do material com o passar do tempo Desde que garantidas as condições de funcionamento em especial a lubrificação sua vida pode ser consideravelmente mais longa que correias comuns Outro aspecto é a possibilidade de se fazer facilmente múltiplos acionamentos a partir de uma única entrada fonte de potência Nos tópicos a seguir descrevese o problema referente à compatibilidade de movimento da cor rente em relação à roda dentada a maneira comum de avaliação de potência transmitida e a apresenta ção de uma equação que busca estimar a velocidade limite que pode ser recomendada para transmis sões por correntes Todos os desenvolvimentos apresentados neste capítulo seguem as recomendações de 3 apenas alguns parãmetros são adaptados para o SI 61 Análise de movimento em correntes Apresentase inicialmente um estudo geométrico correntes para expressaralgumas grandezas de forma mais conveniente para a formulação dos efeitos que devem ser observados em correntes Na Figura 61 mostrase uma roda dentada pequena com 9 dentes Na parte de cima a corrente está esticada segundo uma linha horizontal AB O espaçamento entre roletes é dado pelo passo p Com a corrente em torno da roda dentada verificase que ao passo p corresponde um ângulo γ denominado ângulo de passo Analisandose o triângulo OAC indicado na figura podese facilmente estabelecer uma relação 115 116 CAPÍTULO 6 CORRENTES Figura 61 Parãmetros geométricos da roda dentada entre o ângulo de passo o passo e o diâmetro primitivo D da roda dentada Uma vez que a roda tem uma quantidade inteira de dentes N o ângulo de passo pode também ser escrito como γ 360N Assim o diâmetro primitivo pode ser escrito como D p sinγ2 p sin180 N 61 Nesta última equação o diâmetro primitivo fica escrito em função apenas dos parãmetros conhe cidos ou facilmente identificáveis da roda dentada o número de dentes N e o passo p da corrente Outra expressão útil é a descrição da velocidade linear da corrente dada a partir da rotação de entrada n medidad em rpm O comprimento de corrente equivalente a uma volta completa na roda dentada é dado por Np ou seja número de dentes vezes o passo o que corresponde a uma rotação da roda dentada Assim a velocidade tangencia pode ser escrita como v Npn 62 Na qual n é dado em rpm p em mm e portanto obtémse v em mmmin Este valor corres ponde a uma velocidade média da corrente pois a velocidade tangencial está sujeita a uma variação que decorre do fato de a corrente ser formada por elos rígidos articulados e não por um elemento único flexível como no caso de correias Esta variação de velocidade pode ser melhor compreendida caso seja feita a análise de velocidade tangencial na corrente primeiro na situação mostrada na Fi gura 61 e a seguir em uma posição em que a roda dentada está rotacionada em metade do ângulo de passo γ2 no sentido antihorário ilustrada na Figura 62 Na situação inicial a linha de corrente é tangente ao círculo primitivo e é identificada pelas letras AB Na situção rotacionada em γ2 a linha de corrente está identificada pelas letras AB e podese verificar que ela não sai tangente ao círculo primitivo e sim segundo uma secante Assim na Figura 62 estão identificadas tanto a linha AB da situação original como a linha AB Assumindose uma rotação constante podese verificar que a cada incremento de γ2 o raio da linha de corrente varia entre um valor méximo e um mínimo vari ação identificada como δ na figura Sendo a velocidade tangencial diretamente proporcional tanto ao raio como à rotação verificase que ela também varia entre um máximo e um mínimo 61 ANÁLISE DE MOVIMENTO EM CORRENTES Figura 62 Roda dentada rotacionada em γ2 Podese escrever para a velocidade máxima vmax utilizandose o diâmetro primitivo D e a seguir escrevêlo em função do passo e número de dentes vmax π D n π p n 1sinγ2 π p n 1 sin180N 63 O mesmo procedimento pode ser feito para a segunda condição utilizandose um diâmetro d observandose que ambos estão relacionados por d D cosγ2 comprovado pela análise do triângulo retângulo OAC da Figura 62 Então vmin π d n π n D cosγ2 π p n cosγ2 sinγ2 π p n 1 tan180N 64 Podese então definir a variação de velocidade como a subtração entre o valor máximo e mínimo Δv vmax vmin π p n 1sin180N 1tan180N 65 A variação percentual de velocidade é obtida relacionandose a variação de velocidade com a velocidade nominal obtida na Equação 62 Δv v π N 1sin180N 1tan180N 66 Que é a equação conhecida como variação de velocoidade cordal Devido a este efeito devese ter muita atenção no uso de correntes para funções de sincronização que envolvam precisão de movimento O comportamento da variação de velocidade cordal pode ser representado graficamente em função do número de dentes da roda dentada e é reproduzido na Figura 63 conforme apresentado por 3 Recomendase que para uma operação suave em velocidades moderadas e altas seja utilizado roda dentada com pelo menos 17 dentes O uso de 19 ou 21 dentes proporciona uma condição mais favorável para o critério de vida do componente além de reduzir o barulho na transmissão Em caso de espaço reduzidoum número menor de dentes pode ser utilizado mas o projetista deverá ter em mente que a vida do componente será reduzida 118 CAPÍTULO 6 CORRENTES Figura 63 Variação em porcentagem de velocidade cordal em função do número de dentes N da roda dentada 3 A faixa usual para a especificação de transmissões por correntes é de até 61 entretanto valores maiores podem ser utilizados Para complementar a análise algumas dimensões padronizadas como exemplo é utilizado o pa drão ANSI de correntes e algumas dimensões comerciais de rodas dentadas são apresentadas As sim apresentamse na Tabela 61 os parâmetros referentes às dimensões de correntes padronizadas segundo a ANSI considerando apenas uma fileira de correntes Na Tabela 62 mostramse os tama nhos comerciais de rodas dentadas disponibilizados por um fabricante atender a cada um dos padrões ANSI Tabela 61 Dimensões padronizadas de correntes ANSI Número Passo Largura Resistência a tração Peso linear Diâmetro do Espaçamento de padrão mínima rolete fileira dupla ANSI mm mm N Nm mm mm 25 635 318 3470 131 330 640 35 952 476 7830 306 508 1013 41 1270 635 6670 365 777 40 1270 794 13920 613 792 1438 50 1588 952 21700 101 1016 1811 60 1905 127 31300 146 1191 2278 80 2540 1588 55600 250 1587 2929 100 3175 1905 86700 377 1905 3576 120 3810 254 124500 565 2222 4544 140 4445 254 169000 722 2540 4887 160 5080 3175 222000 965 2857 5855 180 5715 3571 280000 1322 3571 6584 200 6350 381 347000 1599 3967 7155 240 7670 4763 498000 2390 4762 8783 Fonte ANSI B2911975 ANSI Número de dentes disponível em rodas dentadas 25 830 32 3436 40 42 45 48 54 60 64 65 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 35 445 48 52 54 60 64 65 68 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 41 660 64 65 68 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 40 860 64 65 68 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 50 860 64 65 68 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 60 860 62 63 64 65 66 67 68 70 72 76 80 84 90 95 96 102 112 120 80 860 64 65 68 70 72 76 78 80 84 90 95 96 102 112 120 100 860 64 65 67 68 70 72 74 76 80 84 90 95 96 102 112 120 120 945 46 48 50 52 54 55 57 60 64 65 67 68 70 72 76 80 84 90 96 102 112 120 140 928 3037 39 40 42 43 45 48 54 60 64 65 68 70 72 76 80 84 96 160 830 3236 38 40 45 46 50 52 53 54 56 57 60 6266 68 70 72 73 80 84 96 180 1325 28 35 39 40 45 54 60 200 930 32 33 35 36 39 40 42 44 45 48 50 51 54 56 58 59 60 63 64 65 68 70 72 240 930 32 35 36 40 44 45 48 52 54 60 Fonte Morse Chain Company Ítaca NY rodas dentadas de cubo tipo B Utilizase preferencialmente uma quantidade ímpar de dentes no roda motora e uma quantidade par de passos para definir o comprimento total da corrente para que não seja necessário o uso de elos especiais O comprimento da corrente em função da quantidade de passos pode ser estimado de maneira aproximada por Lp 2Cp N₁ N₂2 N₂ N₁² 4π²Cp 67 Com C correspondendo à distância entre centros e N₁ e N₂ ao número de dentes das rodas Podese também apresentar uma expressão que dá a distância entre centros em função do passo C p4 A A² 8 N₂ N₁2π² 68 Em que A N₁ N₂2 Lp 62 Cálculos de transmissão de potência Em geral as falhas em correntes não ocorrem por problemas relacionados à sua resistência à tração e sim pela quantidade excessiva de horas de trabalho levando ao desgaste de roletes ou a ocorrência de fadiga em sua superfície 3 Fabricantes fornecem tabelas com a potência suportada por cada especificação de corrente correspondente à uma vida de 15000 horas Aqui serão apresentados os valores fornecidos em 3 para ilustrar o procedimento de seleção destes componentes reproduzidos na Tabela 63 Tal exemplo assume para a potência tabelada fornecida as seguintes condições Vida de 15000 horas Corrente com uma única fileira Padrão ANSI Fator de serviço igual a 10 Comprimento equivalente a 100p cem vezes o passo da corrente Corrente lubrificada Alongamento máximo permitido de 3 Eixos dispostos na horizontal Duas rodas com 17 dentes A estimativa da potência apresentada é feita impondose como limitante a resistência da placa que compõe cada elo da corrente ou a resistência do rolete Cada uma delas pode ser escrita conforme as equações apresentadas a seguir sugeridas em Chains for power transmission and materials handeling publicação de 1982 feita pela American Chain Association ACA Para a placa sugerese H₁ 000298N₁¹⁰⁸ n₁⁰⁹ p2543007p254 69 E para o rolete H₂ 746Kᵣ N₁n₁¹⁵ p254⁰⁸ 610 Em que N₁ é o número de dentes da roda menor n₁ é a velocidade da roda rpm p é o passo da corrente mm e Kᵣ é um fator que depende da série ANSI utilizada sendo que para correntes ANSI 25 e 30 Kᵣ 29 para ANSI 41 kᵣ 34 e para ANSI 40 a 240 Kᵣ 17 As potências H₁ e H₂ são dadas em kW Ao utilizarse a equação 69 para uma corrente ANSI 41 a constante 000298 deve ser substituída por 000164 Com os dois resultados calculados o valor tabelado deve ser o menor entre H₁ e H₂ 62 CÁLCULOS DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 121 Tabela 63 Potência kW avaliada para corrente de rolos de fileira única e passo único em roda dentada com 17 dentes Rotação Potência Htab kW da roda Corrente padrão ANSI número rpm 25 35 40 41 50 60 80 100 120 140 160 180 200 240 50 00373 01193 0276 01491 0537 0925 215 412 697 1074 1559 216 286 461 100 00671 0216 0515 0283 0999 1723 401 768 1298 201 292 403 534 858 150 00969 0306 0738 0410 1432 248 578 1104 1872 289 420 579 768 1238 200 01193 0403 0962 0529 1864 321 746 1432 242 375 544 753 999 1603 300 01715 0582 1380 0761 269 462 1081 207 350 540 783 1081 1439 231 400 0223 0753 1790 0984 348 599 1394 268 452 699 1014 1402 1857 267 500 0276 0925 218 1201 426 732 1708 327 553 858 1238 1521 1655 0 600 0328 1089 257 1417 501 865 201 386 651 947 1051 1156 1260 700 0373 1253 296 1626 576 992 231 443 664 753 835 917 0 800 0418 1409 334 1834 650 1119 261 470 543 614 684 753 900 0462 1566 371 204 723 1245 298 394 455 515 573 629 1000 0507 1723 409 224 798 1365 281 336 389 440 489 538 1200 0604 204 481 245 940 1611 214 256 295 335 372 0 1400 0694 233 553 1946 1074 1350 1693 203 235 265 0 1600 0783 263 623 1596 954 1104 1387 1663 1924 0 1800 0865 293 668 1334 798 925 1163 1394 1611 2000 0947 322 576 1133 688 790 992 1186 0 2500 1163 394 411 0820 491 564 713 0298 3000 1372 421 311 0619 371 430 541 0 Tipo A Tipo B Tipo C Tipo C Notas Valor estimado das tabelas da ANSI por interpolação linear Tipo A lubrificação manual ou por gotejamento Tipo B lubrificação por disco ou banho Tipo C lubrificação por jato de óleo Tipo C Tipo C mas em região crítica recomendase avaliação do projeto junto ao fabricante Fonte Compilado de ANSI B2911975 e B2991958 adaptado por 3 122 CAPÍTULO 6 CORRENTES Assim como desenvolvido para correias calculase uma potência admissível a partir da potência tabelada aplicandose fatores de correção cabíveis Então escrevese Ha K1K2Htab 611 Na qual os coeficientes K1 e K2 são definidos como K1 Fator de correção para considerar uma roda com uma quantidade de dentes diferente de 17 conforme apresentado na Tabela 64 K2 Correção que considera a possibilidade de mais de uma fileira de correntes conforme apre sentado na Tabela 65 Tabela 64 Fatores de correção para quantidade de dentes K1 Número de dentes na K1 para faixa de potência K1 para faixa de potência roda dentada motora préextremo pósextremo 11 062 052 12 069 059 13 075 067 14 081 075 15 087 083 16 094 091 17 100 100 18 106 109 19 113 118 20 119 128 N N117108 N11715 Tabela 65 Fatores de correção para fileiras múltiplas K2 Número de fileiras K2 1 10 2 17 3 25 4 33 5 39 6 46 8 60 Cabe aqui uma explicação sobre a definição dos termos préextremo e pósextremo utilizados na Tabela 64 Para as entradas da Tabela 63 que apresenta os valores de Htab são utilizados os valores obtidos das equações 69 ou 610 o menor entre eles é utilizado As entradas cuja base de registro é dada pela equação 69 são chamadas de préextremo com a potência limitada pela fadiga da placa do elo Já as entradas cuja base de registro é dada pela equação 610 são chamadas de pósextremo com a potência limitada pela fadiga devido ao impacto 63 VELOCIDADE MÁXIMA RECOMENDADA E LUBRIFICAÇÃO 123 Também devese ressaltar que a expressão 610 é desenvolvida para correntes com comprimento especificado em cem vezes o passo e vida nominal de 15000 horas Para um comprimento diferente devese utilizar a seguinte equação H₂ 746kᵣ N₁n₁¹⁵ p254⁰⁸ Lₚ100⁰⁴ 15000h⁰⁴ 612 Os dois últimos termos entre parêntesis da equação fazem a adequação em relação ao comprimento da corrente e à vida Assim Lₚ representa o comprimento da corrente dado em quantidade de passos ou seja número de elos e h é a vida desejada em h Notase que se para Lₚ e h for utilizado o valor nominal estes termos reduzemse a um e a expressão reduzse à forma apresentada na Equação 610 Novamente a potência admissível Hₐ deve ser comparada com a potência de projeto Hd sendo esta dada por Hd HnomKsNd 613 Em que Ks é o fator de sobrecarga e Nd é o fator de projeto desejado 63 Velocidade máxima recomendada e lubrificação A máxima velocidade é limitada pelo atrito entre pino e bucha Sugerese em 3 o uso de n₁ 1000 825 795p25410278N₁¹³²³ F4448 1159 logp254 1873 614 Na qual F é a força de tração na corrente com valor em N e obtémse a rotação n₁ em rpm Da rotação podese facilmente estimar a valocidade tangencial a partir do diâmetro primitivo Parte essencial do funcionamento de transmissões por correntes é sua lubrificação A recomendação geral é de uso de óleo mineral médio ou leve sem o uso de aditivos Exceto em condições excepcionais óleos pesados e graxas não são recomendadospor serem muito viscosos e assim não penetram adequadamente nas pequenas folgas existentes entre as peças da corrente 3 124 CAPÍTULO 6 CORRENTES Referências Bibliográficas 1 O L Agostinho A C S Rodrigues and J Lirani Tolerâncias ajustes desvios e análise de dimensões Edgard Blucher 1977 2 J G Bralla editor Design for manufacturability handbook McGrawHill Education 1999 3 R G Budynas and J K Nisbett Elementos de máquinas de Shigley AMGH Porto Alegre 10 edition 2016 4 D W Dudley editor Gear handbook the design manufacture and application of gears McGrawHill New York 1962 5 U Fischer et al Manual de Tecnologia Metal Mecânica Blucher 2011 6 SEW Eurodrive Redutores industriais série MC SEW Eurodrive 2007 7 H Linke J Börner and R Hess Cylindrical gears calculation materials manufacturing Hanser Cincinnati 2016 8 G Manfé R Pozza and G Scarato Desenho técnico mecânico curso completo para escolas técnicas e ciclo básico das faculdades de engenharia volume 3 Hemus São Paulo 1977 9 N Mazzo Engrenagens cilíndricas da concepção à fabricação Blucher São Paulo 2013 10 R L Mott Elementos de máquina em projetos mecânicos Pearson São Paulo 5 edition 2015 11 G Niemann Elementos de máquinas volume 2 Blucher São Paulo 1971 12 G Niemann Elementos de máquinas volume 3 Blucher São Paulo 1971 13 R L Norton Design of machinery an introduction to the synthesis and analysis of mecha nisms and machines McGrawHill Series in Mechanical Engineering McGrawHill Boston 4th edition 2008 14 R L Norton Machine design an integrated approach Pearson 2010 125 126 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 15 OPTIBELT Technical manual rubber timing belt drives Arntz Optibelt Group Höxter 2016 16 D N Reshetov editor Atlas de construção de máquinas Hemus São Paulo 1979 17 J E Shigley C R Mischke and T H Brown Jr editors Standard handbook of machine design McGrawHill New York 3 edition 2004 18 M StipkovicFilho Engrenagens geometria e projeto LTC Rio de Janeiro 2017 19 J J Uicker G R Pennock and J E Shigley Theory of machines and mechanisms Oxford University Press New York 4th edition 2011