Sequências de Números Reais - Limites e Propriedades

Seqüências de Números Reais Neste capítulo será apresentada a noção de limite sob sua forma mais simples o limite de uma seqüência A partir daqui todos os conceitos importantes da Análise de uma forma ou de outra reduzirseão a algum tipo de limite 1 Limite de uma seqüência Uma seqüência de números reais é uma função x N ℝ que associa a cada número natural n um número real xn chamado o nésimo termo da sequência Escrevese x₁ x₂ xₙ ou xₙnN ou simplesmente xₙ para indicar a sequência cujo nésimo termo é xₙ Não se confunda a sequência xₙ com o conjunto x₁ x₂ xₙ dos seus termos Por exemplo a sequência 1 1 1 não é o mesmo que o conjunto 1 Ou então as seqüências 0 1 0 1 e 0 0 1 0 0 1 são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo igual a 0 1 Uma sequência xₙ dizse limitada superiormente respectivamente inferiormente quando existe c ℝ tal que xₙ c respectivamente xₙ c para todo n N Dizse que a seqüência xₙ é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente Isto equivale a dizer que existe k 0 tal que xₙ k para todo n N Exemplo 1 Se a 1 então a sequência a a² aⁿ é limitada inferiormente porém não superiormente Com efeito multiplicando ambos os membros da desigualdade 1 a por aⁿ obtemos aⁿ aⁿ¹ Seguese que a aⁿ para todo n N logo aⁿ é limitada inferiormente por a Por outro lado temos a 1 d com d 0 Pela desigualdade de Bernoulli para todo n 1 em ℕ vale aⁿ 1 nd Portanto dado qualquer c ℝ podemos obter aⁿ c desde que tomemos 1 nd c isto é n c 1 d Dada uma sequência x xₙnN uma subseqüência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito N n₁ n₂ nₖ de ℕ Escrevese x xₙnN ou xₙ₁ xₙ₂ xₙₖ ou xₙₖₖN para indicar a subseqüência x xN A notação xₙₖₖN mostra como uma subseqüência pode ser considerada como uma sequência isto é uma função cujo domínio é N Lembremos que N N é infinito se e somente se é ilimitado isto é para todo n₀ N existe nₖ N com nₖ n₀ Exemplo 2 Dado o número real a 1 formemos a sequência aⁿnN Se N N é o conjunto dos números pares e N N é o conjunto dos número ímpares então a subseqüência aⁿnN é limitada apenas inferiormente enquanto a subseqüência aⁿnN é limitada apenas superiormente Dizse que o número real a é limite da sequência xₙ quando para todo número real ε 0 dado arbitrariamente podese obter n₀ N tal que todos os termos xₙ com índice n n₀ cumprem a condição xₙ a ε Escrevese então a lim xₙ Esta importante definição significa que para valores muito grandes de n os termos xₙ tornamse e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje Mais precisamente estipulandose uma margem de erro ε 0 existe um índice n₀ N tal que todos os termos xₙ da sequência com índice n n₀ são valores aproximados de a com erro menor do que ε Simbolicamente escrevese a lim xₙ ε 0 n₀ N n n₀ xₙ a ε Acima o símbolo significa que o que vem depois é a definição do que vem antes significa para todo ou qualquer que seja significa existe O pontoevírgula quer dizer tal que e a seta significa implica Convém lembrar que xₙ a ε é o mesmo que a ε xₙ a ε isto é xₙ pertence ao intervalo aberto a ε a ε Assim dizer que a lim xₙ significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contém todos os termos xₙ da sequência salvo para um número finito de índices n a saber os índices n n₀ onde n₀ é escolhido em função do raio ε do intervalo dado Em vez de a lim xₙ escrevese também a limₙN xₙ a limₙ xₙ ou xₙ a Esta última expressão lêse xₙ tende para a ou converge para a Uma sequência que possui limite dizse convergente Caso contrário ela se chama divergente Teorema 1 Unicidade do limite Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos Demonstração Seja lim xₙ a Dado b a podemos tomar ε 0 tal que os intervalos abertos I a ε a ε e J b ε b ε sejam disjuntos Existe n₀ N tal que n n₀ implica xₙ I Então para todo n n₀ temos xₙ J Logo não é lim xₙ b Teorema 2 Se lim xₙ a então toda subseqüência de xₙ converge para o limite a Demonstração Seja xₙ₁xₙₖ a subseqüência Dado qualquer intervalo aberto I de centro a existe n₀ N tal que todos os termos xₙ com n n₀ pertencem a I Em particular todos os termos xₙₖ com nₖ n₀ também pertencem a I Logo lim xₙₖ a Teorema 3 Toda sequência convergente é limitada Demonstração Seja a lim xₙ Tomando ε 1 vemos que existe n₀ N tal que n n₀ xₙ a 1 a 1 Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto finito x₁xₙ₀ a 1 a 1 Todos os termos xₙ da sequência estão contidos no intervalo b c logo ela é limitada Exemplo 3 A sequência 2 0 2 0 cujo nésimo termo é xₙ 1 1ⁿ¹ é limitada mas não é convergente porque possui duas subseqüências constantes x₂ₙ₁ 2 e x₂ₙ 0 com limites distintos Exemplo 4 A sequência 1 2 3 com xₙ n não converge porque não é limitada Uma sequência xₙ chamase monótona quando se tem xₙ xₙ₁ para todo n N ou então xₙ₁ xₙ para todo n No primeiro caso Seção 1 Limite de uma sequência 25 dizse que xn é monótona nãodecrescente e no segundo que xn é monótona nãocrescente Se mais precisamente tivermos xn xn1 respect xn xn1 para todo n in mathbbN diremos que a sequência é crescente respectivamente decrescente Toda sequência monótona nãodecrescente respect nãocrescente é limitada inferiormente respect superiormente pelo seu primeiro termo A fim de que ela seja limitada é suficiente que possua uma subsequência limitada Com efeito seja xnn in N uma subsequência limitada da sequência monótona digamos nãodecrescente xn Temos xn leq c para todo n in mathbbN Dado qualquer n in mathbbN existe n in mathbbN tal que n n Então xn leq xn leq c O teorema seguinte dá uma condição suficiente para que uma sequência convirja Foi tentando demonstrálo ao preparar suas aulas na metade do século 19 que R Dedekind percebeu a necessidade de uma conceituação precisa de número real Teorema 4 Toda sequência monótona limitada é convergente Demonstração Seja xn monótona digamos nãodecrescente limitada Escrevamos X x1ldotsxnldots e a sup X Afirmamos que a lim xn Com efeito dado varepsilon 0 o número a varepsilon não é cota superior de X Logo existe n0 in mathbbN tal que avarepsilon xn0 leq a Assim n n0 Rightarrow avarepsilon xn0 leq xn a varepsilon e daí lim xn a square Semelhantemente se xn é nãocrescente limitada então lim xn é o ínfimo do conjunto dos valores xn Corolário Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente Com efeito basta mostrar que toda sequência xn possui uma subsequência monótona Diremos que um termo xn da sequência dada é destacado quando xn geq xp para todo p n Seja D subset mathbbN o conjunto dos índices n tais que xn é um termo destacado Se D for um conjunto infinito D n1 n2 cdots nk cdots então a subsequência xnn in D será monótona nãocrescente Se entretanto D for finito seja n1 in mathbbN maior do que todos os n in D Então xn1 não é destacado logo existe n2 n1 com xn1 xn2 Por sua vez xn2 não é destacado logo existe n3 n2 com xn1 xn2 xn3 Prosseguindo obtemos uma subsequência crescente xn1 xn2 cdots xnk cdots square 26 Sequências de números reais Cap 3 Exemplo 5 A sequência cujo nésimo termo é xn 1n é monótona decrescente limitada Temos então lim 1n inf 1n n in mathbbN 0 pelo Teorema 3 Capítulo 2 Exemplo 6 Seja 0 a 1 A sequência a a2 ldots an ldots formada pelas potências sucessivas de a é decrescente limitada pois multiplicando 0 a 1 por an resulta 0 an1 an Afirmamos que limn o infty an 0 Com efeito dado varepsilon 0 como 1a 1 seguese do Exemplo 1 que dado arbitrariamente varepsilon 0 existe n0 in mathbbN tal que 1an0 1varepsilon ou seja an0 varepsilon Seguese que lim an inf an n in mathbbN 0 2 Limites e desigualdades Seja P uma propriedade referente aos termos de uma sequência xn Diremos que para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P para significar que existe n0 in mathbbN tal que n n0 Rightarrow xn goza da propriedade P Teorema 5 Seja a lim xn Se b a então para todo n suficientemente grande temse b xn Analogamente se a b então xn b para todo n suficientemente grande Demonstração Tomando varepsilon a b temos varepsilon 0 e b a varepsilon Pela definição de limite existe n0 in mathbbN tal que n n0 Rightarrow avarepsilon xn a varepsilon Rightarrow b xn A outra afirmação se prova analogamente square Corolário 1 Seja a lim xn Se a 0 então para todo n suficientemente grande temse xn 0 Analogamente se a 0 então xn 0 para todo n suficientemente grande Corolário 2 Sejam a lim xn e b lim yn Se xn leq yn para todo n suficientemente grande então a leq b Em particular se xn leq b para todo n suficientemente grande então lim xn leq b Com efeito se fosse b a então tomaríamos c in mathbbR tal que b c a e teríamos pelo Teorema 5 yn c xn para todo n suficientemente grande contradizendo a hipótese square Observação Se fosse xn yn não se poderia concluir a b Basta tomar xn 0 yn 1n Teorema 6 Teorema do sanduíche Se lim xn lim yn a e xn leq zn leq yn para todo n suficientemente grande então lim zn a Seção 3 Operações com limites 27 Demonstração Dado arbitrariamente varepsilon 0 existem n1 n2 in mathbbN tais que n n1 Rightarrow a varepsilon xn a varepsilon e n n2 Rightarrow a varepsilon yn a varepsilon Seja n0 max n1 n2 Então n n0 Rightarrow a varepsilon xn leq zn leq yn a varepsilon Rightarrow zn in avarepsilon avarepsilon logo lim zn a square 3 Operações com limites Teorema 7 Se lim xn 0 e yn é uma sequência limitada convergente ou não então lim xn cdot yn 0 Demonstração Existe c 0 tal que yn leq c para todo n in mathbbN Dado arbitrariamente varepsilon 0 existe n0 in mathbbN tal que n n0 Rightarrow xn varepsilon c Então n n0 Rightarrow xn cdot yn xn cdot yn varepsilon c cdot c varepsilon logo lim xn cdot yn 0 square Exemplo 7 Se xn 1n e yn senn então yn não converge mas como 1 leq yn leq 1 temse lim xn yn lim sennn 0 Por outro lado se lim xn 0 mas yn não é limitada o produto xn cdot yn pode divergir tome xn 1n yn n2 ou convergir para um valor qualquer tome xn 1n e yn c cdot n Para uso posterior observemos que segundo resulta diretamente da definição de limite temse lim xn a Leftrightarrow lim xn a 0 Leftrightarrow lim xn a 0 Teorema 8 Se lim xn a e lim yn b então 1 lim xn pm yn a pm b 2 lim xn cdot yn a cdot b 3 lim fracxnyn fracab se b eq 0 Demonstração 1 Dado arbitrariamente varepsilon 0 existem n1 n2 in mathbbN tais que n n1 Rightarrow xn a varepsilon 2 e n n2 Rightarrow yn b varepsilon 2 Seja n0 max n1 n2 Então n n0 Rightarrow n n1 e n n2 logo xn yn a b xn a yn b leq xn a yn b varepsilon 2 varepsilon 2 varepsilon Portanto lim xn yn a b Mesmo argumento para xn yn 2 Temos xn yn a b xn yn xn b xn b a b xn yn b xn a b Pelo Teorema 3 xn é limitada Além disso lim yn b lim xn a 0 Seguese do Teorema 7 e da parte 1 que lim xn yn a b lim xn yn b lim xn a cdot b 0 donde lim xn yn a b 28 Sequências de números reais Cap 3 3 Vale xnyn ab xnb ynaynb Como limxnb yna ab ba 0 basta provar que 1ynb é uma sequência limitada para concluir que limxnyn ab 0 e portanto que limxnyn ab Ora pondo c b22 temos 0 c b2 Como lim ynb b2 seguese do Teorema 5 que para todo n suficientemente grande temse c ynb e portanto 1ynb 1c completando a demonstração Exemplo 8 Se xn 0 para todo n N e limxn1xn a 1 então lim xn 0 Com efeito tomemos c R com a c 1 Então 0 xn1xn c para todo n suficientemente grande Seguese que 0 xn1 xn1xnxn cxn xn logo para n suficientemente grande a sequência xn é monótona limitada Seja b lim xn De xn1 cxn para todo n suficientemente grande resulta fazendo n que b cb isto é 1 cb 0 Como b 0 e 0 c 1 concluímos que b 0 Exemplo 9 Como aplicação do exemplo anterior vêse que se a 1 e k N são constantes então lim nk an lim an n lim n nn 0 Com efeito pondo xn nk an yn an n e zn nnn vem yn1yn an1 logo limyn1yn 0 e pelo Exemplo 8 lim yn 0 Temos também xn1xn 1 1nk a1 portanto pelo Teorema 8 limxn1xn 1a 1 Seguese do Exemplo 8 que lim xn 0 Finalmente zn1zn nn1n donde limzn1zn 1e Veja Exemplo 13 abaixo Como 1e 1 seguese que lim zn 0 Exemplo 10 Dado a 0 mostremos que a sequência dada por xn ⁿa a1n tem limite igual a 1 Com efeito tratase de uma sequência monótona decrescente se a 1 crescente se a 1 limitada portanto existe L limn a1n Temse L 0 Com efeito se 0 a 1 então a1n a para todo n N donde L a Se porém a 1 então a1n 1 para todo n N donde L 1 Consideremos a subsequência a1nn1 a12 a16 a112 Como 1nn1 1n 1n1 o Teorema 2 e o item 3 do Teorema 8 nos dão L lim a1nn1 lim a1n a1n1 LL 1 Exemplo 11 Seja 0 a 1 A sequência cujo termo geral é xn 1 a a2 an 1 an11 a é crescente limitada pois Seção 3 Operações com limites 29 xn 11 a para todo n N Além disso limn 11 a xn limn an11 a 0 portanto limn xn limn 1 a an 11 a A igualdade acima vale ainda quando se tem 1 a 1 isto é a 1 Com efeito o argumento se baseou no fato de que limn an 0 que persiste quando se tem apenas a 1 pois lim an 0 lim an 0 Exemplo 12 A sequência cujo termo geral é an 1 1 12 1n é evidentemente crescente Ela também é limitada pois 2 an 1 1 12 122 12n1 3 Escreveremos e lim an O número e é uma das constantes mais importantes da Análise Matemática Como vimos temse 2 e 3 Na realidade vale e 27182 com quatro decimais exatas Exemplo 13 Consideremos a sequência cujo termo geral é bn 1 1nn n 1nn Pela fórmula do binômio bn 1 n1n nn 121n2 nn 1n 21n1nn 1 1 12 1 1n 13 1 1n1 2n 1n 1 1n1 n 1n Logo bn é uma soma de parcelas positivas O número dessas parcelas bem como cada uma delas cresce com n Portanto a sequência bn é crescente É claro que bn an Ver Exemplo 12 Seguese que bn 3 para todo n N Afirmamos que lim bn lim an e Com efeito quando n p vale bn 1 1 12 1 1n 1p 1 1n1 2n1 p 1n Fixando arbitrariamente p N e fazendo n na desigualdade acima obtemos limn bn 1 1 12 1p ap Como esta desigualdade vale para todo p N seguese que limn bn limp ap e Mas já vimos que bn an para todo n N Logo lim bn lim an Isto completa a prova de que lim bn e 30 Sequências de números reais Cap 3 Exemplo 14 Consideremos a sequência cujo nésimo termo é xn ⁿn n1n Temos xn 1 para todo n N Esta sequência é decrescente a partir do seu terceiro termo Com efeito a desigualdade ⁿn n1n1 é equivalente a nn1 n1n isto é a n 1 1nn o que é verdade para n 3 pois como vimos acima 1 1nn 3 para todo n Portanto existe L lim n1n e temse L 1 Considerando a subsequência 2n12n temos L2 lim2n12n2 lim21n n1n lim 21n lim n1n L Cfr Exemplo 10 Como L 0 de L2 L resulta L 1 Concluímos portanto que lim ⁿn 1 Exemplo 15 Aproximações sucessivas da raiz quadrada O seguinte método iterativo para obter com erro tão pequeno quanto se deseje valores aproximados para a raiz quadrada de um dado número real a 0 já era conhecido pelos babilônios 17 séculos antes da era cristã Tomase arbitrariamente um valor inicial x1 a e definese indutivamente xn1 xn axn2 Para mostrar que a sequência xn assim obtida converge para a começamos observando que para qualquer x R a x ax a x Multiplique ambos os membros da desigualdade a x por a Em seguida notemos que pondo y x ax2 y é a média aritmética dos números ax e x logo é menor do que x e maior do que a média geométrica desses números que é a Logo a y x Portanto temos uma sequência decrescente x1 x2 xn xn1 cujos termos são todos maiores do que a Esta sequência converge para um número real c Fazendo n na igualdade xn1 xn axn2 obtemos c c ac2 donde c2 a isto é lim xn a Vemos então que todo número real a 0 possui uma raiz quadrada real Mais ainda o processo iterativo xn1 xn axn2 fornece rapidamente boas aproximações para a como se pode verificar tomando exemplos concretos 4 Limites infinitos Dada uma sequência xn dizse que o limite de xn é mais infinito e escrevese lim xn para significar que dado arbitrariamente A 0 existe n0 N tal que n n0 implica xn A Seção 4 Limites infinitos 31 Analogamente lim xn significa que para todo A 0 dado podese achar n0 ℕ tal que n n0 xn A Devese enfatizar que e não são números e que se lim xn e lim yn as seqüências xn e yn não são convergentes Como lim xn limxn limitaremos nossos comentários ao primeiro caso Se lim xn então a seqüência xn não é limitada superiormente A recíproca é falsa A seqüência dada por xn n 1n n é ilimitada superiormente porém não se tem lim xn pois x2n1 0 para todo n ℕ Mas se xn é nãodecrescente então xn ilimitada lim xn No Exemplo 1 ao mostrar que as potências a a2 a3 de um número a 1 formam uma seqüência ilimitada superiormente provouse na realidade que lim an Teorema 9 1 Se lim xn e yn é limitada inferiormente então limxn yn 2 Se lim xn e existe c 0 tal que yn c para todo n ℕ então limxn yn 3 Se xn c 0 yn 0 para todo n ℕ e lim yn 0 então limyn xnyn 4 Se xn é limitada e lim yn então lim xnyn 0 Demonstração 1 Existe c ℝ tal que yn c para todo n ℕ Dado arbitrariamente A 0 existe n0 ℕ tal que n n0 xn A c Seguese que n n0 xn yn A c c A logo limxn yn 2 Dado arbitrariamente A 0 existe n0 ℕ tal que n n0 xn Ac Logo n n0 xn yn Ac c A donde limxn yn 3 Dado A 0 existe n0 ℕ tal que n n0 yn cA Então n n0 xnyn c Ac A e daí limxnyn 4 Existe c 0 tal que xn c para todo n ℕ Dado arbitrariamente ε 0 existe n0 ℕ tal que n n0 yn cε Então n n0 xnyn c εc ε logo limxnyn 0 As hipóteses feitas nas diversas partes do teorema anterior têm por objetivo evitar algumas das chamadas expressões indeterminadas No 32 Seqüências de números reais Cap 3 item 1 procurase evitar a expressão De fato se lim xn e lim yn nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre limxn yn Este limite pode não existir como no caso em que xn n 1n e yn n pode ser igual a se xn 2n e yn n pode ser tome xn n e yn 2n ou pode assumir um valor arbitrário c ℝ por exemplo se xn n c e yn n Por causa desse comportamento errático dizse que é uma expressão indeterminada Nos itens 2 3 e 4 as hipóteses feitas excluem os limites do tipo 0 também evitado no Teorema 7 00 e respectivamente os quais constituem expressões indeterminadas no sentido que acabamos de explicar Outras expressões indeterminadas freqüentemente encontradas são 0 1 e 00 Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob forma de uma expressão indeterminada Por exemplo o número e limn 1 1nn é da forma 1 E como veremos mais adiante a derivada é um limite do tipo 00 Agora uma observação sobre ordem de grandeza Se k ℕ e a é um número real 1 então limn nk limn an limn n limn nn Todas estas seqüências têm limite infinito Mas o Exemplo 9 nos diz que para valores muito grandes de n temos nk an n nn onde o símbolo quer dizer é uma fração muito pequena de ou é insignificante diante de Por isso dizse que o crescimento exponencial supera o polinomial o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante mas é superado pelo crescimento exponencial com base ilimitadamente crescente Por outro lado o crescimento de nk mesmo quando k 1 supera o crescimento logarítmico como mostraremos agora No Capítulo 11 provaremos a existência de uma função crescente log ℝ ℝ tal que logxy log x log y e log x x para quaisquer x y ℝ Daí resulta que log x logx x 2 log x donde log x log x2 Além disso log x log1 x log 1 log x donde log 1 0 Como log é crescente temse log x 0 para todo x 1 Vale também log2n n log 2 portanto limn log2n Como log é crescente seguese limn log n Provaremos agora que lim n log nn 0 Seção 5 Exercícios 33 Para todo n ℕ temos log n n Como log n 12 log n seguese que log n 2n Dividindo por n resulta que 0 log nn 2n Fazendo n vem lim n log nn 0 5 Exercícios Seção 1 Limite de uma seqüência 1 Uma seqüência xn dizse periódica quando existe p ℕ tal que xnp xn para todo n ℕ Prove que toda seqüência periódica convergente é constante 2 Dadas as seqüências xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 3 Se lim xn a prove que lim xn a 4 Se uma seqüência monótona tem uma subseqüência convergente prove que a seqüência é ela própria convergente 5 Um número a chamase valor de aderência da seqüência xn quando é limite de uma subseqüência de xn Para cada um dos conjuntos A B e C abaixo ache uma seqüência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência A 1 2 3 B ℕ C 0 1 6 A fim de que o número real a seja valor de aderência de xn é necessário e suficiente que para todo ε 0 e todo k ℕ dados exista n k tal que xn a ε 7 A fim de que o número real b não seja valor de aderência da seqüência xn é necessário e suficiente que existam n0 ℕ e ε 0 tais que n n0 xn b ε Seção 2 Limites e desigualdades 1 Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n ℕ prove que a b ε 2 Sejam lim xn a e lim yn b Se a b prove que existe n0 ℕ tal que n n0 xn yn 3 Se o número real a não é o limite da seqüência limitada xn prove que alguma subseqüência de xn converge para um limite b a 4 Prove que uma sequência limitada converge se e somente se possui um único valor de aderência 5 Quais são os valores de aderência da sequência xn tal que x2n1 n e x2n 1n Esta sequência converge 6 Dados a b R defina indutivamente as sequências xn e yn pondo x1 sqrtab y1 ab2 e xn1 sqrtxn yn yn1 xn yn2 Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite 7 Dizse que xn é uma sequência de Cauchy quando para todo ε 0 dado existe n0 N tal que m n n0 xm xn ε a Prove que toda sequência de Cauchy é limitada b Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos c Prove que uma sequência xn é convergente se e somente se é de Cauchy Seção 3 Operações com limites 1 Prove que para todo p N temse limn npn 1 2 Se existem ε 0 e k N tais que ε xn nk para todo n suficientemente grande prove que lim nxn 1 Use este fato para calcular limn nn k lim nn nn lim nlog n e lim nn log n 3 Dado a 0 defina indutivamente a sequência xn pondo x1 sqrta e xn1 sqrta xn Prove que xn é convergente e calcule seu limite L sqrta sqrta sqrta 4 Seja en xn sqrtasqrta o erro relativo na nésima etapa do cálculo de sqrta Prove que en1 en2 2 1 en Conclua que en 001 en1 000005 en2 00000000125 e observe a rapidez de convergência do método 5 Dado a 0 defina indutivamente a sequência xn pondo x1 1a e xn1 1a xn Considere o número c raiz positiva da equação x2 a x 1 0 único número positivo tal que c 1a c Prove que x2 x4 x2n c x2n1 x3 x1 e que lim xn c O número c pode ser considerado como a soma da fração contínua 1 a 1 a 1 a 1 a 6 Dado a 0 defina indutivamente a sequência yn pondo y1 a e yn1 a 1 yn Mostre que lim yn a c onde c é como no exercício anterior 7 Defina a sequência an indutivamente pondo a1 a2 1 e an2 an1 an para todo n N Escreva xn an an1 e prove que lim xn c onde c é o único número positivo tal que 1c 1 c O termo an chamase o nésimo número de Fibonacci e c 1 sqrt52 é o número de ouro da Geometria Clássica Seção 4 Limites infinitos 1 Prove que lim nn 2 Se lim xn e a R prove que limn sqrtlogxn a sqrtlog xn 0 3 Dados k N e a 0 determine o limite limn n nk an Supondo a 0 e a e calcule limn an n nn e limn nk an n nn Para o caso a e ver exercício 9 seção 1 capítulo 11 4 Mostre que limn logn1log n 1 5 Sejam xn uma sequência arbitrária e yn uma sequência crescente com lim yn Supondo que lim xn1 xnyn1 yn a prove que lim xn yn a Conclua que se lim xn1 xn a então lim xn n a Em particular de lim log1 1n 0 conclua que lim log nn 0 6 Se lim xn a e tn é uma sequência de números positivos com lim t1 tn prove que lim t1 x1 tn xn t1 tn a Em particular se yn x1 xnn temse ainda lim yn a