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Química ·
Física 3
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Cap 22 da placa à esquerda b ponto B a 125 cm da superfície interna da placa à direita c ponto C no meio da placa à direita Figura 2234 Exercício 2230 2231 Uma carga negativa Q é colocada no interior da cavidade de um sólido metálico oco A parte externa do sólido está aterrada por um fio condutor entre ele e a Terra a Há algum excesso de carga induzida na superfície interna do pedaço de metal Em caso afirmativo determine o seu sinal e módulo b Há qualquer excesso de carga na superfície externa do pedaço de metal Por quê c Há um campo elétrico na cavidade Explique d Há um campo elétrico dentro do metal Por quê Há um campo elétrico fora do pedaço de metal Explique e Alguém fora do sólido poderia medir um campo elétrico produzido pela carga Q É razoável afirmar que o condutor aterrado blindou a região dos efeitos da carga Q Em princípio o mesmo poderia ser feito com a gravidade Por quê Problemas 2232 Um cubo possui arestas com comprimento L e é colocado com um dos vértices na origem como indica a Figura 2232 O campo elétrico não é uniforme porém é dado por È Bi Cj Dk onde B C e D são constantes positivas a Determine o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo S1 S2 S3 S4 S5 e S6 b Calcule o fluxo elétrico total no interior do cubo 2233 O campo elétrico È na Figura 2235 é paralelo ao eixo Ox em todos os pontos da região portanto os componentes Ey e Ez são nulos O componente x do campo elétrico Èx depende de x mas não depende de y nem de z Sobre os pontos do plano yz em que x 0 Ex 125 NC a Calcule o fluxo elétrico através da superfície I na Figura 2235 b Qual é o fluxo elétrico através da superfície II c O volume indicado na figura é uma pequena seção de uma viga isolante muito grande com espessura igual a 10 m Sabendo que existe uma carga igual a 240 nC no interior do volume indicado determine o módulo a direção e o sentido de È sobre a face oposta à face I d O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas no interior da viga ou pode ser produzido também por cargas existentes fora da viga Como se pode ter certeza disso Figura 2235 Problema 2233 2234 Uma superfície plana quadrada com lado igual a L é descrita pelas equações x L 0 y L 0 z L a Caça um desenho do quadrado e mostre os eixos x y e z b Calcule o fluxo elétrico através do quadrado produzido por uma carga puntiforme q positiva localizada na origem x 0 y 0 z 0 Sugestão Imagine o quadrado como parte de um cubo centralizado na origem 2235 O campo elétrico È1 em uma das faces de um paralelepípedo é uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicularmente para fora da face Na face oposta o campo elétrico È2 também é uniforme em todos os pontos e aponta perpendicularmente para dentro da face Figura 2236 As duas faces mencionadas possuem uma inclinação de 30 em relação à horizontal enquanto È1 e È2 são ambos horizontais o módulo de È1 é igual a 250 10⁴ NC e o módulo de È2 é igual a 70 10⁴ NC a Supondo que nenhuma outra linha de campo atravesse as superfícies do paralelepípedo determine a carga líquida contida em seu interior b O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas no interior do paralelepípedo ou pode ser produzido também por cargas existentes fora dele Como se pode ter certeza disso Figura 2236 Problema 2235 2236 Uma linha longa que possui densidade linear de carga uniforme 500 μCm corre paralelamente à superfície de uma placa de plástico plana e grande a 100 cm de distância e que possui uma densidade superficial de carga uniforme de 100 μCm² em um dos lados Ache a localização de todos os pontos em que uma partícula a não sofreria nenhuma força produzida por essa combinação de objetos carregados 2237 O cabo coaxial Um cabo coaxial longo é constituído por um cilindro interno condutor de raio a e por um cilindro externo coaxial com raio interno b e raio externo c O cilindro externo está apoiado em suportes isolantes e não possui nenhuma carga líquida O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento uniforme λ Determine o campo elétrico a em qualquer ponto entre os dois cilindros a uma distância r do eixo b em qualquer ponto no exterior do cilindro c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r ao eixo do cabo desde r 0 até r 2c d Calcule a carga por unidade de comprimento da superfície interna e da superfície externa do cilindro externo 2238 Um tubo cilíndrico condutor muito longo cilindro oco possui raio interno a e raio externo b Ele possui carga por unidade de comprimento igual a α em que α é uma constante positiva com unidades de Cm Um fio carregado está sobre o eixo do tubo O fio possui uma carga por unidade de comprimento igual a α a Determine o campo elétrico em função de α e da distância r ao eixo do tubo para i r a ii a r b iii r b Mostre seus resultados em um gráfico de E em função da distância r b Qual é a carga por unidade de comprimento sobre i a superfície interna do tubo ii a superfície externa do tubo 2239 Repita o Problema 2238 porém agora supondo que o tubo condutor possua uma carga por unidade de comprimento igual a α Como no Problema 2238 o fio carregado possui uma carga por unidade de comprimento igual a α 2240 Um cilindro sólido muito longo de raio R possui uma distribuição uniforme de carga positiva sendo ρ a carga por unidade de volume a Deduza uma expressão para o campo elétrico no interior do volume a uma distância r do eixo do cilindro em termos da densidade de carga ρ b Qual é o campo elétrico em um ponto fora do volume em termos da carga por unidade de comprimento λ do cilindro c Compare os resultados dos itens a e b para r R d Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r de r 0 até r 3R 2241 Uma pequena esfera com massa de 0002 g e carga de 50 10⁸ C está suspensa por um fio próxima a uma grande placa condutora carregada como indica a Figura 2237 A densidade de carga sobre a placa é 250 10⁹ Cm² Determine o ângulo do fio Figura 2237 Problema 2241 2242 Uma esfera dentro de uma esfera Uma esfera condutora sólida de raio a possui carga q Ela está no interior de uma esfera condutora oca concêntrica com raio interno b e raio externo c A esfera condutora oca não possui nenhuma carga líquida a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r ao centro para as regiões r a a r b b r c e r c b Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r de r 0 até r 2c c Qual é a carga sobre a superfície interna da esfera oca d Qual é a carga sobre a superfície externa da esfera oca e Represente as cargas da pequena esfera usando quatro sinais de adição Faça um esboço das linhas de campo do sistema no interior de um volume esférico de raio igual a 2c 2243 Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica com raio 2R e que possui também uma carga Q A carga Q está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 r R R r 2R e r 2R b Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r 2244 Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b possui uma carga puntiforme positiva Q localizada em seu centro A carga total sobre a esfera oca é igual a 3Q e está isolada de suas vizinhanças Figura 2238 a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r ao centro para as regiões r a a r b e r b b Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície interna da esfera oca condutora c Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície externa da esfera oca d Faça um desenho indicando as linhas de campo elétrico e a localização de todas as cargas e Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r Figura 2238 Problema 2244 2245 Esferas ocas concêntricas Uma pequena esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b é concêntrica com uma grande esfera oca condutora com raio interno c e raio externo d Figura 2239 A carga total sobre a esfera oca interna é igual a 2q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a 4q a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em função da distância r ao centro comum para as regiões i r a ii a r b iii b r c iv c r d v r d Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de È em função da distância r b Qual é carga total sobre i a superfície interna da esfera oca pequena ii a superfície externa da esfera oca pequena iii a superfície interna da esfera oca grande iv a superfície externa da esfera oca grande Figura 2239 Problema 2245 2246 Repita o Problema 2245 porém agora supondo que a esfera oca grande possua uma carga igual a 2q Como no Problema 2245 a esfera oca pequena continua com uma carga 2q 2247 Repita o Problema 2245 porém agora supondo que a esfera oca grande possua uma carga igual a 4q Como no Problema 2245 a esfera oca pequena continua com uma carga igual a 2q 2248 Uma esfera condutora sólida de raio R possui uma carga positiva Q A esfera está no interior de uma esfera oca isolante e concêntrica com raio interno R e raio externo 2R A esfera isolante possui uma densidade de carga uniforme ρ a Calcule o valor de ρ para que a carga total do sistema seja igual a zero b Usando o valor de ρ encontrado na parte a determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 r R R r 2R e r 2R Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de È em função da distância r c Sabemos que geralmente o campo elétrico é descontínuo somente através de uma fronteira onde existe uma fina camada de cargas Explique como seu resultado da parte b confirma essa regra 2249 Uma carga negativa Q está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina de raio R Encontre o módulo a direção e o sentido da força que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme q localizada a a uma distância r R do centro da esfera no exterior da casca esférica b a uma distância r R do centro da esfera dentro da casca esférica 2250 a Qual o excesso de elétrons que deve ser distribuído uniformemente dentro do volume de uma esfera plástica isolada com 300 cm de diâmetro para produzir um campo elétrico de 1150 NC na área externa da esfera b Qual é o campo elétrico em um ponto a 100 cm fora da superfície da esfera 2251 Uma única placa condutora isolada Figura 2240 possui uma carga por unidade de área σ em sua superfície Como a placa é condutora o campo elétrico sobre sua superfície é perpendicular ao plano e possui módulo E σε0 a No Exemplo 227 Seção 224 verificamos que o campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado com carga por unidade de área σ possui módulo E σ2ε0 exatamente a metade do valor do campo elétrico de uma placa condutora Por que existe essa diferença b Considerando a distribuição de cargas sobre a placa condutora como dois planos carregados um de cada lado da placa cada um deles com uma carga por unidade de área σ use o resultado do Exemplo 227 e o princípio da superposição para mostrar que E 0 no interior da placa e E σε0 fora da placa Figura 2240 Problema 2251 2252 Modelo de Thomson para o átomo Nos primeiros anos do século 20 um dos modelos pioneiros para a estrutura foi proposto pelo físico inglês J J Thomson o descobridor do elétron Segundo o modelo de Thomson um átomo era constituído por uma esfera carregada positivamente com elétrons negativos espalhados no interior de seu volume tal como passas no interior de um bolo Imagine um átomo constituído por um elétron de massa m e carga e que pode ser considerado uma carga puntiforme e uma esfera de raio R uniformemente carregada com uma carga total e a Explique por que a posição de equilíbrio do elétron seria o centro do núcleo b No modelo de Thomson suponha que o material positivo do átomo não oferecesse resistência ao movimento do elétron Mostre que se o elétron se deslocar de sua posição de equilíbrio até uma distância menor do que R o movimento resultante do elétron deve ser harmônico simples e calcule a frequência das oscilações Sugestão Faça uma revisão da definição do movimento harmônico simples na Seção 132 É possível mostrar que se a força resultante sobre o elétron possui essa forma então o movimento resultante é harmônico simples Reciprocamente se a força resultante sobre o elétron não possui essa forma então o movimento resultante não é harmônico simples c Na época de Thomson já se sabia que átomos excitados só emitiam ondas luminosas com certas frequências Nesse modelo a frequência das ondas emitidas seria a mesma das oscilações do elétron ou a dos elétrons no átomo Qual deveria ser o raio do átomo no modelo de Thomson para que ele emitisse luz vermelha com uma frequência igual a 457 10¹⁴ Hz Compare sua resposta com o raio de um átomo real que é da ordem de 10¹⁰ m veja o Apêndice F para os dados sobre o elétron d Se o elétron se deslocasse de sua posição de equilíbrio até uma distância maior do que R ocorreria oscilação do elétron O movimento resultante do elétron seria harmônico simples Explique sua resposta Nota histórica Em 1910 o núcleo do átomo foi descoberto provando que o modelo de Thomson não era correto A carga positiva do átomo não se encontra espalhada em seu volume como Thomson imaginava mas concentrada em um núcleo minúsculo com raio da ordem de 10¹⁴ a 10¹⁵ m Figura 2241 Problema 2253 2253 Modelo de Thomson para o átomo continuação Usando o modelo desatualizado de Thomson para o átomo descrito no Problema 2252 considere um átomo constituído por dois elétrons cada um com carga e espalhados no interior de uma esfera de raio R com uma carga total 2e No equilíbrio cada elétron está a uma distância d do centro do átomo Figura 2241 Calcule a distância d em termos das outras propriedades do átomo 2254 Uma placa uniformemente carregada Uma placa de material isolante com espessura 2d é orientada de modo que suas faces fiquem paralelas ao plano yz e sejam dadas pelos planos x d e x d As dimensões da placa nas direções y e z são muito maiores do que d de modo que podem ser consideradas infinitas A placa possui uma densidade de carga uniforme ρ a Explique por que o campo elétrico no centro da barra x 0 é igual a zero b Usando a lei de Gauss determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em todos os pontos do espaço 2255 Uma placa carregada de forma não uniforme Repita o Problema 2254 porém agora supondo que a densidade de carga da placa seja dada por ρx ρ0xd2 onde ρ0 é uma constante positiva 2256 Pode ocorrer equilíbrio estável quando forças elétricas atuam sem nenhuma outra força No Capítulo 21 fornecemos diversos exemplos para o cálculo de uma força elétrica exercida sobre uma carga puntiforme por outras cargas puntiformes existentes em suas vizinhanças a Considere uma carga puntiforme positiva q Forneça um exemplo de como colocar duas outras cargas puntiformes escolhidas por você de modo que a força elétrica resultante exercida sobre a carga q seja igual a zero b Se a força elétrica sobre a carga q é igual a zero essa carga está em equilíbrio Dizemos que o equilíbrio é estável quando ao deslocarmos ligeiramente a carga em qualquer direção a partir da posição de equilíbrio a força elétrica resultante empurra a carga de volta à sua posição de equilíbrio Para que isso ocorra qual deve ser a direção do campo elétrico È produzido pelas outras cargas puntiformes existentes nas vizinhanças da carga em equilíbrio q c Suponha que a carga q seja removida para uma distância muito grande das outras cargas e imagine uma pequena superfície gaussiana centralizada no ponto onde a carga q estava em equilíbrio Aplicando a lei de Gauss para essa superfície mostre que é impossível obter a condição de equilíbrio estável mencionada no item b supondo que existam apenas as forças elétricas atuando sobre a partícula Em outras palavras uma carga q não pode atingir um equilíbrio estável quando sobre ela atuam forças exclusivamente eletrostáticas Esse resultado é conhecido como teorema de Earnshaw d Os itens de a até c referemse ao equilíbrio estável de uma carga puntiforme positiva q Prove o teorema de Earnshaw para uma carga puntiforme negativa q 2259 Lei de Gauss para a gravitação A força gravitacional entre duas massas puntiformes separadas por uma distância r é proporcional a 1r² tal como no caso da força elétrica entre duas cargas puntiformes Em virtude dessa semelhança entre uma força gravitacional e uma força elétrica também existe uma lei de Gauss para a gravitação a Seja g a aceleração da gravidade produzida por uma massa puntiforme m na origem de modo que g Gmr²r Considere uma superfície gaussiana esférica com raio r centralizada sobre essa massa puntiforme e demonstre que o fluxo de g através dessa superfície é dado por gdA 4πGm b Usando as mesmas etapas lógicas adotadas na Seção 223 para deduzir a lei de Gauss para um campo elétrico demonstre que o fluxo de g através de qualquer superfície fechada é dado por gdA 4πGMinte em que Minte é a massa total no interior da superfície fechada 2260 Aplicação da lei de Gauss para a gravitação Usando a lei de Gauss para a gravitação deduzida na parte b do Problema 2259 mostre que as seguintes afirmações são verdadeiras a Para qualquer distribuição de massas esfericamente simétrica com massa total M a aceleração da gravidade fora da distribuição é a mesma que aquela produzida se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro Sugestão Veja o Exemplo 225 na Seção 224 b Para qualquer ponto no interior de uma casca esférica com massa distribuída uniformemente em sua superfície a aceleração da gravidade é igual a zero Sugestão Veja o Exemplo 225 c Caso fosse possível fazer um buraco retílineo através do centro de um planeta esfericamente simétrico com densidade uniforme verificaríamos que o módulo de g seria diretamente proporcional à distância r ao seu centro Sugestão Veja o Exemplo 229 na Seção 224 Provamos esses resultados na Seção 126 fazendo cálculos muito trabalhosos as provas mediante o uso da lei de Gauss da gravitação são muito mais simples 2261 a Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade de carga uniforme ρ A esfera não está centralizada na origem porém seu centro está localizado no ponto r b Demonstre que o campo elétrico no interior da esfera é dado por E ρε0r b3ε0 b Uma esfera isolante com raio R possui um buraco esférico com raio a localizado no interior de seu volume e está centralizado em um ponto a uma distância b do centro da esfera em que a b R uma seção reta da esfera é indicada na Figura 2242 A parte maciça da esfera possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E no interior do buraco e mostre que E é uniforme em todos os pontos do volume do buraco Sugestão Use o princípio da superposição e o resultado do item a Figura 2242 Problema 2261 2262 Um cilindro isolante muito longo de raio R possui um buraco cilíndrico com raio a perfurado ao longo de toda a extensão do eixo paralelo ao eixo do cilindro O eixo do buraco está a uma distância b do eixo do cilindro em que a b R Figura 2243 A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E no interior do buraco e mostre que E é uniforme em todos os pontos do volume do buraco Sugestão Veja o Problema 2261 Figura 2243 Problema 2262 2263 Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de cada volume de duas esferas de raio R Uma das esferas está centralizada na origem e a outra está centralizada no ponto x 2R Figura 2244 Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido por essas duas distribuições de cargas nos seguintes pontos sobre o eixo Ox a x 0 b x R2 c x R d x 3R 2264 Repita o Problema 2263 porém agora supondo que a esfera da esquerda possua carga Q e que a esfera da direita possua carga Q Figura 2244 Problema 2263 2265 Campo elétrico no interior de um átomo de hidrogênio Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga Q 160 10¹⁹ C e um elétron com carga Q 160 10¹⁹ C Podemos considerar o próton uma carga puntiforme situada em r 0 o centro do átomo O movimento do elétron faz com que sua carga seja espalhada ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por ρr Qπa₀³e2ra₀ em que a₀ 529 10¹¹ m é o chamado raio de Bohr a Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton Mostre que quando r a carga contida nesse volume tende a zero Explique esse resultado b Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido pelo átomo de hidrogênio em função da distância r c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r Problemas desafiadores 2266 Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que está distribuída uniformemente ao longo de uma esfera de tal modo que a densidade volumétrica de carga ρr é dada por ρr α para r R2 ρr 2α1 rR para R2 r R ρr 0 para r R Nessas relações α é uma constante positiva com unidades de Cm³ a Determine α em função de Q e de R b Aplicando a lei de Gauss deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico E em função da distância r Faça esse cálculo separadamente para cada uma das três regiões Expresse suas respostas em termos da carga total Q Verifique cuidadosamente se seus resultados coincidem quanto às fronteiras entre as três regiões c Que fração da carga total está contida no interior da região r R2 d Se um elétron com carga q e está oscilando em torno do ponto r 0 o centro da distribuição com amplitude menor do que R2 mostre que o movimento é harmônico simples Sugestão Faça uma revisão da definição do movimento harmônico simples na Seção 132 Se e somente se a força resultante sobre o elétron for proporcional ao seu deslocamento do equilíbrio então o movimento resultante será harmônico simples e Qual é o período do movimento da parte d f Se a amplitude do movimento descrito na parte e é maior do que R2 o movimento resultante é harmônico simples Por quê 2267 Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que está distribuída uniformemente ao longo de uma esfera de tal modo que a densidade volumétrica de carga ρr é dada por ρr 3αr2R para r R2 ρr α1 rR² para R2 r R ρr 0 para r R Nessas relações α é uma constante positiva com unidades de Cm³ a Determine α em função de Q e de R b Aplicando a lei de Gauss deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r Faça esse cálculo separadamente para cada uma das três regiões Expresse suas respostas em termos da carga total Q c Que fração da carga total está contida no interior da região R2 r R d Qual é o módulo do campo elétrico E para r R2 e Se um elétron com carga q e for liberado a partir do repouso em qualquer ponto de qualquer uma das três regiões o movimento resultante será oscilatório porém não será harmônico simples Por quê Veja o problema desafiador 2266
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Cap 22 da placa à esquerda b ponto B a 125 cm da superfície interna da placa à direita c ponto C no meio da placa à direita Figura 2234 Exercício 2230 2231 Uma carga negativa Q é colocada no interior da cavidade de um sólido metálico oco A parte externa do sólido está aterrada por um fio condutor entre ele e a Terra a Há algum excesso de carga induzida na superfície interna do pedaço de metal Em caso afirmativo determine o seu sinal e módulo b Há qualquer excesso de carga na superfície externa do pedaço de metal Por quê c Há um campo elétrico na cavidade Explique d Há um campo elétrico dentro do metal Por quê Há um campo elétrico fora do pedaço de metal Explique e Alguém fora do sólido poderia medir um campo elétrico produzido pela carga Q É razoável afirmar que o condutor aterrado blindou a região dos efeitos da carga Q Em princípio o mesmo poderia ser feito com a gravidade Por quê Problemas 2232 Um cubo possui arestas com comprimento L e é colocado com um dos vértices na origem como indica a Figura 2232 O campo elétrico não é uniforme porém é dado por È Bi Cj Dk onde B C e D são constantes positivas a Determine o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo S1 S2 S3 S4 S5 e S6 b Calcule o fluxo elétrico total no interior do cubo 2233 O campo elétrico È na Figura 2235 é paralelo ao eixo Ox em todos os pontos da região portanto os componentes Ey e Ez são nulos O componente x do campo elétrico Èx depende de x mas não depende de y nem de z Sobre os pontos do plano yz em que x 0 Ex 125 NC a Calcule o fluxo elétrico através da superfície I na Figura 2235 b Qual é o fluxo elétrico através da superfície II c O volume indicado na figura é uma pequena seção de uma viga isolante muito grande com espessura igual a 10 m Sabendo que existe uma carga igual a 240 nC no interior do volume indicado determine o módulo a direção e o sentido de È sobre a face oposta à face I d O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas no interior da viga ou pode ser produzido também por cargas existentes fora da viga Como se pode ter certeza disso Figura 2235 Problema 2233 2234 Uma superfície plana quadrada com lado igual a L é descrita pelas equações x L 0 y L 0 z L a Caça um desenho do quadrado e mostre os eixos x y e z b Calcule o fluxo elétrico através do quadrado produzido por uma carga puntiforme q positiva localizada na origem x 0 y 0 z 0 Sugestão Imagine o quadrado como parte de um cubo centralizado na origem 2235 O campo elétrico È1 em uma das faces de um paralelepípedo é uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicularmente para fora da face Na face oposta o campo elétrico È2 também é uniforme em todos os pontos e aponta perpendicularmente para dentro da face Figura 2236 As duas faces mencionadas possuem uma inclinação de 30 em relação à horizontal enquanto È1 e È2 são ambos horizontais o módulo de È1 é igual a 250 10⁴ NC e o módulo de È2 é igual a 70 10⁴ NC a Supondo que nenhuma outra linha de campo atravesse as superfícies do paralelepípedo determine a carga líquida contida em seu interior b O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas no interior do paralelepípedo ou pode ser produzido também por cargas existentes fora dele Como se pode ter certeza disso Figura 2236 Problema 2235 2236 Uma linha longa que possui densidade linear de carga uniforme 500 μCm corre paralelamente à superfície de uma placa de plástico plana e grande a 100 cm de distância e que possui uma densidade superficial de carga uniforme de 100 μCm² em um dos lados Ache a localização de todos os pontos em que uma partícula a não sofreria nenhuma força produzida por essa combinação de objetos carregados 2237 O cabo coaxial Um cabo coaxial longo é constituído por um cilindro interno condutor de raio a e por um cilindro externo coaxial com raio interno b e raio externo c O cilindro externo está apoiado em suportes isolantes e não possui nenhuma carga líquida O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento uniforme λ Determine o campo elétrico a em qualquer ponto entre os dois cilindros a uma distância r do eixo b em qualquer ponto no exterior do cilindro c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r ao eixo do cabo desde r 0 até r 2c d Calcule a carga por unidade de comprimento da superfície interna e da superfície externa do cilindro externo 2238 Um tubo cilíndrico condutor muito longo cilindro oco possui raio interno a e raio externo b Ele possui carga por unidade de comprimento igual a α em que α é uma constante positiva com unidades de Cm Um fio carregado está sobre o eixo do tubo O fio possui uma carga por unidade de comprimento igual a α a Determine o campo elétrico em função de α e da distância r ao eixo do tubo para i r a ii a r b iii r b Mostre seus resultados em um gráfico de E em função da distância r b Qual é a carga por unidade de comprimento sobre i a superfície interna do tubo ii a superfície externa do tubo 2239 Repita o Problema 2238 porém agora supondo que o tubo condutor possua uma carga por unidade de comprimento igual a α Como no Problema 2238 o fio carregado possui uma carga por unidade de comprimento igual a α 2240 Um cilindro sólido muito longo de raio R possui uma distribuição uniforme de carga positiva sendo ρ a carga por unidade de volume a Deduza uma expressão para o campo elétrico no interior do volume a uma distância r do eixo do cilindro em termos da densidade de carga ρ b Qual é o campo elétrico em um ponto fora do volume em termos da carga por unidade de comprimento λ do cilindro c Compare os resultados dos itens a e b para r R d Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r de r 0 até r 3R 2241 Uma pequena esfera com massa de 0002 g e carga de 50 10⁸ C está suspensa por um fio próxima a uma grande placa condutora carregada como indica a Figura 2237 A densidade de carga sobre a placa é 250 10⁹ Cm² Determine o ângulo do fio Figura 2237 Problema 2241 2242 Uma esfera dentro de uma esfera Uma esfera condutora sólida de raio a possui carga q Ela está no interior de uma esfera condutora oca concêntrica com raio interno b e raio externo c A esfera condutora oca não possui nenhuma carga líquida a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r ao centro para as regiões r a a r b b r c e r c b Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r de r 0 até r 2c c Qual é a carga sobre a superfície interna da esfera oca d Qual é a carga sobre a superfície externa da esfera oca e Represente as cargas da pequena esfera usando quatro sinais de adição Faça um esboço das linhas de campo do sistema no interior de um volume esférico de raio igual a 2c 2243 Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica com raio 2R e que possui também uma carga Q A carga Q está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 r R R r 2R e r 2R b Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r 2244 Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b possui uma carga puntiforme positiva Q localizada em seu centro A carga total sobre a esfera oca é igual a 3Q e está isolada de suas vizinhanças Figura 2238 a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r ao centro para as regiões r a a r b e r b b Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície interna da esfera oca condutora c Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície externa da esfera oca d Faça um desenho indicando as linhas de campo elétrico e a localização de todas as cargas e Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r Figura 2238 Problema 2244 2245 Esferas ocas concêntricas Uma pequena esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b é concêntrica com uma grande esfera oca condutora com raio interno c e raio externo d Figura 2239 A carga total sobre a esfera oca interna é igual a 2q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a 4q a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em função da distância r ao centro comum para as regiões i r a ii a r b iii b r c iv c r d v r d Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de È em função da distância r b Qual é carga total sobre i a superfície interna da esfera oca pequena ii a superfície externa da esfera oca pequena iii a superfície interna da esfera oca grande iv a superfície externa da esfera oca grande Figura 2239 Problema 2245 2246 Repita o Problema 2245 porém agora supondo que a esfera oca grande possua uma carga igual a 2q Como no Problema 2245 a esfera oca pequena continua com uma carga 2q 2247 Repita o Problema 2245 porém agora supondo que a esfera oca grande possua uma carga igual a 4q Como no Problema 2245 a esfera oca pequena continua com uma carga igual a 2q 2248 Uma esfera condutora sólida de raio R possui uma carga positiva Q A esfera está no interior de uma esfera oca isolante e concêntrica com raio interno R e raio externo 2R A esfera isolante possui uma densidade de carga uniforme ρ a Calcule o valor de ρ para que a carga total do sistema seja igual a zero b Usando o valor de ρ encontrado na parte a determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 r R R r 2R e r 2R Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de È em função da distância r c Sabemos que geralmente o campo elétrico é descontínuo somente através de uma fronteira onde existe uma fina camada de cargas Explique como seu resultado da parte b confirma essa regra 2249 Uma carga negativa Q está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina de raio R Encontre o módulo a direção e o sentido da força que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme q localizada a a uma distância r R do centro da esfera no exterior da casca esférica b a uma distância r R do centro da esfera dentro da casca esférica 2250 a Qual o excesso de elétrons que deve ser distribuído uniformemente dentro do volume de uma esfera plástica isolada com 300 cm de diâmetro para produzir um campo elétrico de 1150 NC na área externa da esfera b Qual é o campo elétrico em um ponto a 100 cm fora da superfície da esfera 2251 Uma única placa condutora isolada Figura 2240 possui uma carga por unidade de área σ em sua superfície Como a placa é condutora o campo elétrico sobre sua superfície é perpendicular ao plano e possui módulo E σε0 a No Exemplo 227 Seção 224 verificamos que o campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado com carga por unidade de área σ possui módulo E σ2ε0 exatamente a metade do valor do campo elétrico de uma placa condutora Por que existe essa diferença b Considerando a distribuição de cargas sobre a placa condutora como dois planos carregados um de cada lado da placa cada um deles com uma carga por unidade de área σ use o resultado do Exemplo 227 e o princípio da superposição para mostrar que E 0 no interior da placa e E σε0 fora da placa Figura 2240 Problema 2251 2252 Modelo de Thomson para o átomo Nos primeiros anos do século 20 um dos modelos pioneiros para a estrutura foi proposto pelo físico inglês J J Thomson o descobridor do elétron Segundo o modelo de Thomson um átomo era constituído por uma esfera carregada positivamente com elétrons negativos espalhados no interior de seu volume tal como passas no interior de um bolo Imagine um átomo constituído por um elétron de massa m e carga e que pode ser considerado uma carga puntiforme e uma esfera de raio R uniformemente carregada com uma carga total e a Explique por que a posição de equilíbrio do elétron seria o centro do núcleo b No modelo de Thomson suponha que o material positivo do átomo não oferecesse resistência ao movimento do elétron Mostre que se o elétron se deslocar de sua posição de equilíbrio até uma distância menor do que R o movimento resultante do elétron deve ser harmônico simples e calcule a frequência das oscilações Sugestão Faça uma revisão da definição do movimento harmônico simples na Seção 132 É possível mostrar que se a força resultante sobre o elétron possui essa forma então o movimento resultante é harmônico simples Reciprocamente se a força resultante sobre o elétron não possui essa forma então o movimento resultante não é harmônico simples c Na época de Thomson já se sabia que átomos excitados só emitiam ondas luminosas com certas frequências Nesse modelo a frequência das ondas emitidas seria a mesma das oscilações do elétron ou a dos elétrons no átomo Qual deveria ser o raio do átomo no modelo de Thomson para que ele emitisse luz vermelha com uma frequência igual a 457 10¹⁴ Hz Compare sua resposta com o raio de um átomo real que é da ordem de 10¹⁰ m veja o Apêndice F para os dados sobre o elétron d Se o elétron se deslocasse de sua posição de equilíbrio até uma distância maior do que R ocorreria oscilação do elétron O movimento resultante do elétron seria harmônico simples Explique sua resposta Nota histórica Em 1910 o núcleo do átomo foi descoberto provando que o modelo de Thomson não era correto A carga positiva do átomo não se encontra espalhada em seu volume como Thomson imaginava mas concentrada em um núcleo minúsculo com raio da ordem de 10¹⁴ a 10¹⁵ m Figura 2241 Problema 2253 2253 Modelo de Thomson para o átomo continuação Usando o modelo desatualizado de Thomson para o átomo descrito no Problema 2252 considere um átomo constituído por dois elétrons cada um com carga e espalhados no interior de uma esfera de raio R com uma carga total 2e No equilíbrio cada elétron está a uma distância d do centro do átomo Figura 2241 Calcule a distância d em termos das outras propriedades do átomo 2254 Uma placa uniformemente carregada Uma placa de material isolante com espessura 2d é orientada de modo que suas faces fiquem paralelas ao plano yz e sejam dadas pelos planos x d e x d As dimensões da placa nas direções y e z são muito maiores do que d de modo que podem ser consideradas infinitas A placa possui uma densidade de carga uniforme ρ a Explique por que o campo elétrico no centro da barra x 0 é igual a zero b Usando a lei de Gauss determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico em todos os pontos do espaço 2255 Uma placa carregada de forma não uniforme Repita o Problema 2254 porém agora supondo que a densidade de carga da placa seja dada por ρx ρ0xd2 onde ρ0 é uma constante positiva 2256 Pode ocorrer equilíbrio estável quando forças elétricas atuam sem nenhuma outra força No Capítulo 21 fornecemos diversos exemplos para o cálculo de uma força elétrica exercida sobre uma carga puntiforme por outras cargas puntiformes existentes em suas vizinhanças a Considere uma carga puntiforme positiva q Forneça um exemplo de como colocar duas outras cargas puntiformes escolhidas por você de modo que a força elétrica resultante exercida sobre a carga q seja igual a zero b Se a força elétrica sobre a carga q é igual a zero essa carga está em equilíbrio Dizemos que o equilíbrio é estável quando ao deslocarmos ligeiramente a carga em qualquer direção a partir da posição de equilíbrio a força elétrica resultante empurra a carga de volta à sua posição de equilíbrio Para que isso ocorra qual deve ser a direção do campo elétrico È produzido pelas outras cargas puntiformes existentes nas vizinhanças da carga em equilíbrio q c Suponha que a carga q seja removida para uma distância muito grande das outras cargas e imagine uma pequena superfície gaussiana centralizada no ponto onde a carga q estava em equilíbrio Aplicando a lei de Gauss para essa superfície mostre que é impossível obter a condição de equilíbrio estável mencionada no item b supondo que existam apenas as forças elétricas atuando sobre a partícula Em outras palavras uma carga q não pode atingir um equilíbrio estável quando sobre ela atuam forças exclusivamente eletrostáticas Esse resultado é conhecido como teorema de Earnshaw d Os itens de a até c referemse ao equilíbrio estável de uma carga puntiforme positiva q Prove o teorema de Earnshaw para uma carga puntiforme negativa q 2259 Lei de Gauss para a gravitação A força gravitacional entre duas massas puntiformes separadas por uma distância r é proporcional a 1r² tal como no caso da força elétrica entre duas cargas puntiformes Em virtude dessa semelhança entre uma força gravitacional e uma força elétrica também existe uma lei de Gauss para a gravitação a Seja g a aceleração da gravidade produzida por uma massa puntiforme m na origem de modo que g Gmr²r Considere uma superfície gaussiana esférica com raio r centralizada sobre essa massa puntiforme e demonstre que o fluxo de g através dessa superfície é dado por gdA 4πGm b Usando as mesmas etapas lógicas adotadas na Seção 223 para deduzir a lei de Gauss para um campo elétrico demonstre que o fluxo de g através de qualquer superfície fechada é dado por gdA 4πGMinte em que Minte é a massa total no interior da superfície fechada 2260 Aplicação da lei de Gauss para a gravitação Usando a lei de Gauss para a gravitação deduzida na parte b do Problema 2259 mostre que as seguintes afirmações são verdadeiras a Para qualquer distribuição de massas esfericamente simétrica com massa total M a aceleração da gravidade fora da distribuição é a mesma que aquela produzida se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro Sugestão Veja o Exemplo 225 na Seção 224 b Para qualquer ponto no interior de uma casca esférica com massa distribuída uniformemente em sua superfície a aceleração da gravidade é igual a zero Sugestão Veja o Exemplo 225 c Caso fosse possível fazer um buraco retílineo através do centro de um planeta esfericamente simétrico com densidade uniforme verificaríamos que o módulo de g seria diretamente proporcional à distância r ao seu centro Sugestão Veja o Exemplo 229 na Seção 224 Provamos esses resultados na Seção 126 fazendo cálculos muito trabalhosos as provas mediante o uso da lei de Gauss da gravitação são muito mais simples 2261 a Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade de carga uniforme ρ A esfera não está centralizada na origem porém seu centro está localizado no ponto r b Demonstre que o campo elétrico no interior da esfera é dado por E ρε0r b3ε0 b Uma esfera isolante com raio R possui um buraco esférico com raio a localizado no interior de seu volume e está centralizado em um ponto a uma distância b do centro da esfera em que a b R uma seção reta da esfera é indicada na Figura 2242 A parte maciça da esfera possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E no interior do buraco e mostre que E é uniforme em todos os pontos do volume do buraco Sugestão Use o princípio da superposição e o resultado do item a Figura 2242 Problema 2261 2262 Um cilindro isolante muito longo de raio R possui um buraco cilíndrico com raio a perfurado ao longo de toda a extensão do eixo paralelo ao eixo do cilindro O eixo do buraco está a uma distância b do eixo do cilindro em que a b R Figura 2243 A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E no interior do buraco e mostre que E é uniforme em todos os pontos do volume do buraco Sugestão Veja o Problema 2261 Figura 2243 Problema 2262 2263 Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo de cada volume de duas esferas de raio R Uma das esferas está centralizada na origem e a outra está centralizada no ponto x 2R Figura 2244 Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido por essas duas distribuições de cargas nos seguintes pontos sobre o eixo Ox a x 0 b x R2 c x R d x 3R 2264 Repita o Problema 2263 porém agora supondo que a esfera da esquerda possua carga Q e que a esfera da direita possua carga Q Figura 2244 Problema 2263 2265 Campo elétrico no interior de um átomo de hidrogênio Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga Q 160 10¹⁹ C e um elétron com carga Q 160 10¹⁹ C Podemos considerar o próton uma carga puntiforme situada em r 0 o centro do átomo O movimento do elétron faz com que sua carga seja espalhada ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por ρr Qπa₀³e2ra₀ em que a₀ 529 10¹¹ m é o chamado raio de Bohr a Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton Mostre que quando r a carga contida nesse volume tende a zero Explique esse resultado b Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido pelo átomo de hidrogênio em função da distância r c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r Problemas desafiadores 2266 Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que está distribuída uniformemente ao longo de uma esfera de tal modo que a densidade volumétrica de carga ρr é dada por ρr α para r R2 ρr 2α1 rR para R2 r R ρr 0 para r R Nessas relações α é uma constante positiva com unidades de Cm³ a Determine α em função de Q e de R b Aplicando a lei de Gauss deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico E em função da distância r Faça esse cálculo separadamente para cada uma das três regiões Expresse suas respostas em termos da carga total Q Verifique cuidadosamente se seus resultados coincidem quanto às fronteiras entre as três regiões c Que fração da carga total está contida no interior da região r R2 d Se um elétron com carga q e está oscilando em torno do ponto r 0 o centro da distribuição com amplitude menor do que R2 mostre que o movimento é harmônico simples Sugestão Faça uma revisão da definição do movimento harmônico simples na Seção 132 Se e somente se a força resultante sobre o elétron for proporcional ao seu deslocamento do equilíbrio então o movimento resultante será harmônico simples e Qual é o período do movimento da parte d f Se a amplitude do movimento descrito na parte e é maior do que R2 o movimento resultante é harmônico simples Por quê 2267 Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que está distribuída uniformemente ao longo de uma esfera de tal modo que a densidade volumétrica de carga ρr é dada por ρr 3αr2R para r R2 ρr α1 rR² para R2 r R ρr 0 para r R Nessas relações α é uma constante positiva com unidades de Cm³ a Determine α em função de Q e de R b Aplicando a lei de Gauss deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r Faça esse cálculo separadamente para cada uma das três regiões Expresse suas respostas em termos da carga total Q c Que fração da carga total está contida no interior da região R2 r R d Qual é o módulo do campo elétrico E para r R2 e Se um elétron com carga q e for liberado a partir do repouso em qualquer ponto de qualquer uma das três regiões o movimento resultante será oscilatório porém não será harmônico simples Por quê Veja o problema desafiador 2266