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Química ·
Física 3
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Cap 23 2347 Em certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela relação Vxyz Axy Bx² Cy em que A B e C são constantes positivas a Calcule os componentes x y e z do campo elétrico b Em que pontos o campo elétrico é igual a zero 2348 O potencial produzido por uma carga puntiforme Q localizada na origem é dado por V Q4πε₀r Q4πε₀x² y² z² a Calcule os componentes Ex Ey e Ez usando a Equação 2319 b Mostre que o resultado do item a está de acordo com a Equação 217 para o campo elétrico de uma carga puntiforme 2349 Uma esfera metálica com raio ra está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb Existe uma carga q na esfera interna e uma carga q na esfera externa a Determine o potencial Vr para as regiões i r ra ii ra r rb iii r rb Sugestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere V igual a zero para r infinito b Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por Vab q4πε₀1ra 1rb c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por Er Vab1ra 1rb 1r² d Aplique a Equação 2323 e o resultado do item a para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro sendo r rb e Suponha que a carga na esfera externa não seja q mas uma carga negativa de módulo diferente digamos Q Mostre que as respostas dos itens b e c não se alteram porém a resposta do item d tornase diferente 2358 Uma esfera metálica com raio ra 120 cm está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb 960 cm Uma carga q é colocada na esfera interna e uma carga q na esfera externa O módulo de q é escolhido para produzir uma diferença de potencial entre as esferas igual a 500 V mantendo a esfera interna com um potencial mais elevado a Use o resultado do Exercício 2349b para calcular o valor de q b Com base no resultado do Exercício 2349a faça um desenho indicando as superfícies equipotenciais que correspondem a 500 400 300 200 100 e 0 V c Sobre seu desenho mostre as linhas de campo elétrico As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares As superfícies equipotenciais ficam mais próximas entre si quando o módulo de Ē é mais elevado 2351 Um cilindro muito longo com raio de 20 cm carrega uma densidade de carga uniforme de 150 nCm a Descreva o formato das superfícies equipotenciais para esse cilindro b Tomando como nível de referência para o potencial zero a superfície do cilindro determine o raio das superfícies equipotenciais com potenciais de 100 V 200 V e 300 V c As superfícies equipotenciais estão igualmente espaçadas Em caso negativo elas se aproximam ou se afastam à medida que r aumenta Problemas 2352 A Figura 2333 mostra o potencial de uma distribuição de cargas em função de x Faça um gráfico do campo elétrico E sobre a região indicada 2353 Uma partícula com carga 760 nC está em um campo elétrico uniforme orientado da direita para a esquerda Outra força além da elétrica atua sobre a partícula de modo que ela se desloca para a direita quando é liberada do repouso Depois que ela se deslocou 80 cm a força adicional realizou um trabalho igual a 650 10⁵ J e a partícula possui uma energia cinética igual a 435 10⁵ J a Qual foi o trabalho realizado pela força elétrica b Qual é o potencial do ponto inicial em relação ao ponto final c Qual é o módulo do campo elétrico 2354 No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio um único elétron gira em torno de um único próton descrevendo uma órbita circular de raio r Suponha que o próton permaneça em repouso a Igualando a força elétrica com a massa do elétron vezes sua aceleração deduza uma relação para a velocidade do elétron b Deduza uma relação para a energia cinética do elétron e mostre que seu valor é igual à metade da energia potencial elétrica c Deduza uma relação para a energia total e calcule seu valor usando r 529 10¹¹ m Forneça sua resposta numérica em elétronvolts e em joules 2355 O diodo foi descrito no Exercício 2327 Em virtude do acúmulo de cargas existentes nas vizinhanças do catodo o potencial elétrico entre os eletrodos não é uma função linear da posição mesmo no caso de uma simetria plana porém é dado por Vx Cx⁴³ em que x é a distância entre o ponto e o catodo o eletrodo negativo e C é uma constante característica do diodo Suponha que a distância entre o catodo e o anodo o eletrodo positivo seja igual a 130 mm e que a diferença de potencial entre os eletrodos seja de 240 V a Determine o valor de C b Obtenha uma fórmula para o campo elétrico entre os eletrodos em função de x c Calcule a força sobre um elétron quando ele está na metade da distância entre os eletrodos 2356 Duas esferas isolantes idênticas e com cargas contrárias cada qual medindo 500 cm de diâmetro e carregando uma carga uniforme de módulo 175 μC são colocadas a uma distância de 10 m de um centro a outro Figura 2334 a Se um voltímetro é conectado entre os pontos mais próximos a e b sobre suas superfícies qual será a sua leitura b Qual ponto a ou b possui o potencial mais elevado Como saber isso sem fazer qualquer cálculo 2357 Um cristal iônico A Figura 2335 mostra oito cargas puntiformes distribuídas nos vértices de um cubo cuja aresta é igual a d Os valores das cargas são q e q como indicado Tratase do modelo da célula unitária de um cristal iônico cúbico Por exemplo no cloreto de sódio NaCl as cargas positivas são os íons Na as negativas são os íons Cl a Calcule a energia potencial U desse arranjo Considere zero o potencial quando a distância mútua entre as oito cargas for infinita b No resultado da parte a provavelmente você encontrou U 0 Explique a relação entre esse resultado e a observação da existência desses cristais na natureza 2361 Cilindros coaxiais Um longo cilindro metálico de raio a está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico de raio b A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é λ e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo a Determine o potencial Vr para as regiões i r a ii a r b iii r b Sugestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor Considere V0 para rb b Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por Vab λ2πε₀ lnba c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre os dois cilindros é dado por Er Vablnba 1r d Qual seria a diferença de potencial entre os dois cilindros se o cilindro externo não tivesse nenhuma carga líquida 2362 Um contador Geiger detecta radiações tais como partículas alfa usando o fato de que uma radiação ioniza o ar ao longo de sua trajetória Ao longo do eixo de um cilindro metálico oco existe um fio fino que está isolado do cilindro Figura 2337 Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo mantendose o fio em um potencial mais elevado isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para fora do fio Quando uma radiação ionizante entra no dispositivo ocorre ionização de algumas moléculas de ar Os elétrons livres produzidos são acelerados no sentido do fio pelo campo elétrico e quando eles se aproximam do fio ionizam muitas outras moléculas de ar Logo um pulso de corrente elétrica é gerado e pode ser detectado por um 2365 Deflexão em um CRT Os tubos de raios catódicos CRT do inglês cathoderay tubes são geralmente encontrados em osciloscópios e monitores de computador Na Figura 2338 um elétron com velocidade escalar inicial de 650 10⁶ ms é projetado ao longo do eixo até o meio da trajetória entre as placas de deflexão de um tubo de raios catódicos O campo elétrico uniforme entre as placas possui módulo de 110 10³ Vm e está orientado de baixo para cima a Qual é a força módulo direção e sentido que atua sobre o elétron quando ele está entre as placas b Qual é a aceleração do elétron módulo direção e sentido quando ele sofre a ação da força obtida no item a c Qual é a distância abaixo do eixo percorrida pelo elétron quando ele atinge o final das placas d Qual é o ângulo dele em relação ao eixo quando se move para deixar as placas e A que distância abaixo do eixo ele atingirá a tela fluorescente 2364 Placas defletoras de um osciloscópio As placas defletoras verticais de um osciloscópio comum usado em salas de aula consistem de um par de placas metálicas quadradas paralelas que carregam cargas iguais porém contrárias As dimensões típicas são de aproximadamente 30 cm de lado com uma separação de cerca de 50 mm As placas estão próximas o suficiente para que possamos desprezar interferências nas extremidades Sob essas condições a qual é a carga sobre cada placa e b qual é a força do campo elétrico entre as placas c Se um elétron em repouso for lançado das placas negativas qual será sua velocidade ao atingir a placa positiva 2365 Um precipitador eletrostático usa forças elétricas para remover partículas poluentes originárias de fumaças em particular fumaças expelidas por usinas que queimam carvão Um tipo de precipitador é constituído por um cilindro metálico oco vertical com um fio fino ao longo de seu eixo que está isolado do cilindro Figura 2339 Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo mantendose o fio em um potencial mais baixo Isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para o interior do cilindro O campo elétrico produz uma região com ar ionizado nas vizinhanças do fio A fumaça entra pela base do precipitador as cinzas e a poeira absorvem elétrons e os poluentes carregados são acelerados para a parede externa do cilindro pelo campo elétrico Suponha que o raio do fio central seja igual a 900 μm o raio do cilindro oco seja igual a 140 cm e que uma diferença de potencial de 500 kV seja estabelecida entre o fio e o cilindro Suponha também que o cilindro e o fio possuam comprimentos muito maiores do que o raio do cilindro de modo que os resultados do Problema 2361 possam ser usados a Qual é o módulo do campo elétrico nos pontos situados na metade da distância entre o fio e a parede do cilindro b Qual deve ser o módulo da carga sobre uma partícula de cinza com 300 μg para que o campo elétrico obtido no item a possa exercer sobre a partícula uma força dez vezes maior do que seu peso 2366 Um disco de raio R possui densidade superficial de carga uniforme igual a σ a Imaginando o disco como um conjunto de anéis finos concêntricos calcule o potencial elétrico sobre os pontos do eixo do anel a uma distância x do centro do disco Considere o potencial igual a zero no infinito Sugestão Use o resultado do Exemplo 2311 na Seção 233 b Calcule Vx Mostre que o resultado obtido concorda com o valor de Ex encontrado no Exemplo 2112 Seção 215 2367 a Pela expressão de E obtida no Problema 2240 encontre a expressão do potencial elétrico V em função de r para todos os pontos no interior e no exterior do cilindro Seja V 0 na superfície do cilindro Em cada caso expresse os resultados em função da carga por unidade de comprimento λ da distribuição de cargas b Faça um gráfico de V e de E em função da distância r de r 0 até r 3R 2368 Partículas alfa massa 67 10²⁷kg carga 2e são lançadas diretamente contra um alvo que consiste de uma folha de ouro Podemos modelar o núcleo do ouro como uma esfera uniforme de carga e supor que o ouro não se move a Se o raio do núcleo do ouro for 56 10¹⁵ qual é a velocidade escalar mínima necessária às partículas alfa quando elas estão distantes para atingir a superfície do núcleo do ouro Despreze os efeitos relativistas b Forneça boas razões físicas para ignorar os efeitos dos elétrons orbitais quando a partícula alfa estiver i fora das órbitas dos elétrons e ii dentro das órbitas dos elétrons 2369 Para o anel carregado do Exemplo 2311 Seção 233 integre a expressão de Ex encontrada no Exemplo 2110 Seção 215 para determinar o potencial em um ponto P sobre o eixo do anel Considere V 0 a uma distância infinita Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 2311 usando a Equação 2316 2370 Uma haste isolante fina é encurvada formando um arco semicircular de raio a e uma carga elétrica total Q é distribuída uniformemente ao longo da haste Considerando o potencial igual a zero a uma distância infinita calcule o potencial no centro de curvatura do arco 2371 Energia própria de uma esfera de carga Uma esfera maciça de raio R contém uma carga total Q distribuída uniformemente por todo o seu volume Ache a energia necessária para juntar essa carga trazendo cargas infinitesimais de pontos distantes Essa energia é chamada de energia própria da distribuição de carga Sugestão Após juntar uma carga q em uma esfera de raio r quanta energia será necessária para acrescentar uma casca esférica de espessura dr possuindo carga dq Depois integre para obter a energia total 2372 a Usando a expressão de E obtida no Exemplo 229 Seção 224 encontre a expressão para o potencial V em função de r para a esfera interna e para a esfera externa uniformemente carregada Considere V 0 a uma distância infinita b Faça um gráfico de V e de E em função da distância r de r 0 até r 3R 2373 Uma esfera isolante maciça de raio R possui carga Q uniformemente distribuída por todo o seu volume a Use os resultados do Problema 2372 para achar o módulo da diferença de potencial entre a superfície da esfera e o seu centro b Qual é o potencial mais elevado a superfície ou o centro se i Q for positivo e ii Q for negativo 2374 Uma casca esférica isolante com raio interno de 250 cm e raio externo de 600 cm possui uma carga de 1500 µC uniformemente destruída pela sua superfície externa veja Exercício 2343 O ponto a está no centro da casca o ponto b está na superfície interna e o ponto c está na superfície externa a Qual será a leitura de um voltímetro conectado entre os seguintes pontos i a e b ii b e c iii c e infinito iv a e c b Qual está no potencial mais elevado i a ou b ii b ou c iii a ou c Qual das respostas se existir alguma teria o sinal invertido caso as cargas fossem 150 µC 2375 O Exercício 2343 mostra que no lado externo de uma casca esférica com carga superficial uniforme o potencial é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada em uma carga puntiforme no centro da esfera a Use esse resultado para mostrar que para duas cascas esféricas isolantes uniformemente carregadas a força que elas exercem mutuamente e a sua energia elétrica mútua são as mesmas que se toda a carga estivesse concentrada nos seus centros Sugestão Veja a Seção 126 b Esse mesmo resultado se aplica a esferas isolantes maciças com carga uniformemente distribuída pelo seu volume c Esse mesmo resultado se aplica à força entre as duas cascas condutoras carregadas Entre os dois condutores maciços carregados Explique 2376 Duas esferas plásticas cada qual com carga uniformemente distribuída em seu interior são inicialmente colocadas em contato e depois libertadas Uma esfera tem 600 cm de diâmetro possui massa de 500 g e contém 100 µC de carga A outra esfera tem 400 cm de diâmetro possui massa de 1500 g e contém 300 µC de carga Aché a aceleração máxima e a velocidade escalar máxima atingidas por cada esfera em relação ao ponto fixo da sua localização inicial no espaço considerando que nenhuma outra força atua sobre elas Sugestão As cargas uniformemente distribuídas se comportam como se estivessem concentradas nos centros das duas esferas 2377 Usando a expressão do campo elétrico obtida no Problema 2243 calcule a diferença de potencial entre a esfera condutora maciça e a fina casca isolante 2378 Considere uma esfera condutora maciça no interior de uma esfera condutora oca com as cargas e os raios especificados no Problema 2242 Considere V 0 para r Use o campo elétrico obtido no Problema 2242 para calcular o potencial para os seguintes valores de r a r c sobre a superfície externa da esfera oca b r b sobre a superfície interna da esfera oca c r a sobre a superfície da esfera maciça d r 0 no centro da esfera maciça 2379 Uma carga elétrica total Q é uniformemente distribuída ao longo de uma barra fina de comprimento a Considere o potencial igual a zero no infinito Calcule o potencial nos seguintes pontos veja a Figura 2340 a no ponto P a uma distância x à direita da barra b no ponto R a uma distância y acima da extremidade direita da barra c Como se reduzem os resultados da parte a e da parte b quando x ou y se tornam muito maiores do que a Figura 2340 Problema 2379 2380 a Supondo que uma gota de chuva de raio igual a 0650 mm possua uma carga igual a 120 pC uniformemente distribuída em seu volume qual é o potencial elétrico sobre sua superfície Considere o potencial igual a zero a uma distância infinita da gota b Duas gotas de chuva idênticas cada uma delas com as cargas e os raios especificados no item a colidem e se unem constituindo uma única gota maior Qual é o raio dessa gota maior e qual é o potencial sobre sua superfície supondo que a carga seja uniformemente distribuída em seu volume 2381 Duas esferas metálicas com tamanhos diferentes são carregadas de tal modo que o potencial elétrico apresenta o mesmo valor sobre as superfícies das duas esferas A esfera A possui um raio três vezes maior do que o raio da esfera B Sejam QA e QB as cargas sobre as esferas e EA e EB os módulos do campo elétrico sobre a superfície de cada esfera determine a a razão QAQB b a razão EAEB 2382 Uma partícula alfa com energia cinética igual a 110 MeV colide frontalmente com um núcleo de chumbo em repouso Qual é a menor distância entre as duas partículas Suponha que o núcleo de chumbo seja uma partícula puntiforme e que ele permaneça em repouso O número atômico do chumbo é 82 A partícula alfa é um núcleo de hélio e possui número atômico igual a 2 2383 Uma esfera metálica de raio R1 possui carga Q1 Considere o potencial igual a zero a uma distância infinita da esfera a Quais são os valores do potencial elétrico e do campo elétrico na superfície da esfera A esfera é a seguir conectada por um fio metálico fino e longo a outra esfera de raio R2 que está a muitos metros de distância da primeira esfera Antes de ela ser conectada a segunda esfera estava descarregada Depois que o equilíbrio eletrostático for atingido qual será b a carga total de cada esfera c O potencial elétrico sobre a superfície de cada esfera d O campo elétrico sobre a superfície de cada esfera Suponha que a carga do fio seja muito menor do que a carga de cada esfera 2384 Use a distribuição de cargas e o campo elétrico do Problema 2257 a Mostre que para r R o potencial é idêntico ao produzido por uma carga puntiforme Q Considere o potencial igual a zero no infinito b Obtenha uma expressão para o potencial elétrico válido na região r R 2385 Fusão nuclear no Sol A fonte da energia do Sol é uma seqüência de reações nucleares que ocorrem em seu núcleo A primeira dessas reações envolve uma colisão entre dois prótons que se fundem formando um núcleo mais pesado que libera energia Para que esse processo chamado de fusão nuclear possa ocorrer os prótons devem se aproximar até que suas superfícies fiquem essencialmente em contato a Suponha que os dois prótons se desloquem com a mesma velocidade e que a colisão seja frontal Sabendo que o raio do próton é igual a 12 1015 m qual deve ser a velocidade mínima para que a fusão nuclear ocorra A distribu ção de cargas no interior de um próton é esfericamente simétrica de modo que o potencial e o campo elétrico no exterior do próton são idênticos aos produzidos por uma carga puntiforme A massa do próton é 167 1027kg b Outra reação nuclear de fusão que ocorre no núcleo do Sol envolve a colisão entre dois núcleos de hélio cada um deles com carga 2e raio 17 1015 m e massa 299 vezes maior do que a massa do próton Supondo a mesma geometria da colisão indicada na parte a qual deve ser a velocidade mínima para que a fusão nuclear ocorra sabendo que os núcleos devem se aproximar até que a distância entre seus centros seja aproximadamente igual a 35 1015 m Da mesma maneira que o próton a carga do núcleo de hélio é uniformemente distribuída ao longo do seu volume c Na Seção 183 mostramos que a energia cinética translacional média de uma partícula de massa m em um gás com temperatura absoluta T é 32 kT em que k é a constante de Boltzmann dada no Apêndice F Para os dois prótons com energia cinética média capaz de produzir o processo descrito no item a qual é a temperatura absoluta necessária Qual é a temperatura absoluta necessária para que dois núcleos de hélio produzam o processo descrito na parte b Para essas temperaturas os átomos ficam completamente ionizados de modo que os elétrons e os prótons se movem separadamente d A temperatura no núcleo do Sol é da ordem de 15 107 K Como se compara esse resultado com o obtido no item c Como as reações descritas em a e b poderiam deixar de ocorrer no núcleo do Sol Sugestão Veja a discussão sobre a distribuição das velocidades moleculares na Seção 185 2386 O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por Vxyz Ax2 3y2 z2 em que A é uma constante a Deduza uma expressão para o campo elétrico E na região b O trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 150 µC é deslocada do ponto x y z 0 0 0250 m até a origem é igual a 60 105 J Calcule A c Determine o campo elétrico no ponto 0 0 0250 m d Mostre que em qualquer plano paralelo ao plano xz os contornos equipotenciais são círculos e Qual é o raio do contorno equipotencial correspondente a V 1280 V e y 20 m 2387 Fissão nuclear O núcleo instável de urânio 236 pode ser considerado uma esfera uniformemente carregada com carga Q 92e e raio 74 1015 m Em uma fissão nuclear ele pode se subdividir em dois núcleos menores cada um deles com a metade da carga e a metade do volume do núcleo de urânio 236 original Essa foi uma das reações que ocorreram durante a explosão da bomba atômica em Hiroshima no Japão em agosto de 1945 a Determine os raios dos dois núcleos filhos cada um deles com carga 46e b Como modelo simples do processo de fissão imaginamos que imediatamente após a fissão os dois núcleos filhos estão em repouso e quase em contato conforme mostra a Figura 2341 Calcule a energia cinética de cada núcleo filho quando a distância entre eles é muito grande c Nesse modelo a soma da energia cinética de cada núcleo filho calculada no item b é a energia liberada pela fissão do núcleo de urânio 236 Calcule a energia liberada pela fissão de 100 kg de urânio 236 A massa atômica do urânio 236 é igual a 236 u em que 1 u 1 unidade de massa atômica 166 1024 kg Expresse sua resposta em joules e em quilotons de TNT 1 quiloton de TNT libera 418 1012 J durante sua explosão d Com base nesse modelo discuta por que razão uma bomba atômica poderia também ser chamada de bomba elétrica
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Cap 23 2347 Em certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela relação Vxyz Axy Bx² Cy em que A B e C são constantes positivas a Calcule os componentes x y e z do campo elétrico b Em que pontos o campo elétrico é igual a zero 2348 O potencial produzido por uma carga puntiforme Q localizada na origem é dado por V Q4πε₀r Q4πε₀x² y² z² a Calcule os componentes Ex Ey e Ez usando a Equação 2319 b Mostre que o resultado do item a está de acordo com a Equação 217 para o campo elétrico de uma carga puntiforme 2349 Uma esfera metálica com raio ra está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb Existe uma carga q na esfera interna e uma carga q na esfera externa a Determine o potencial Vr para as regiões i r ra ii ra r rb iii r rb Sugestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere V igual a zero para r infinito b Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por Vab q4πε₀1ra 1rb c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por Er Vab1ra 1rb 1r² d Aplique a Equação 2323 e o resultado do item a para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro sendo r rb e Suponha que a carga na esfera externa não seja q mas uma carga negativa de módulo diferente digamos Q Mostre que as respostas dos itens b e c não se alteram porém a resposta do item d tornase diferente 2358 Uma esfera metálica com raio ra 120 cm está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb 960 cm Uma carga q é colocada na esfera interna e uma carga q na esfera externa O módulo de q é escolhido para produzir uma diferença de potencial entre as esferas igual a 500 V mantendo a esfera interna com um potencial mais elevado a Use o resultado do Exercício 2349b para calcular o valor de q b Com base no resultado do Exercício 2349a faça um desenho indicando as superfícies equipotenciais que correspondem a 500 400 300 200 100 e 0 V c Sobre seu desenho mostre as linhas de campo elétrico As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares As superfícies equipotenciais ficam mais próximas entre si quando o módulo de Ē é mais elevado 2351 Um cilindro muito longo com raio de 20 cm carrega uma densidade de carga uniforme de 150 nCm a Descreva o formato das superfícies equipotenciais para esse cilindro b Tomando como nível de referência para o potencial zero a superfície do cilindro determine o raio das superfícies equipotenciais com potenciais de 100 V 200 V e 300 V c As superfícies equipotenciais estão igualmente espaçadas Em caso negativo elas se aproximam ou se afastam à medida que r aumenta Problemas 2352 A Figura 2333 mostra o potencial de uma distribuição de cargas em função de x Faça um gráfico do campo elétrico E sobre a região indicada 2353 Uma partícula com carga 760 nC está em um campo elétrico uniforme orientado da direita para a esquerda Outra força além da elétrica atua sobre a partícula de modo que ela se desloca para a direita quando é liberada do repouso Depois que ela se deslocou 80 cm a força adicional realizou um trabalho igual a 650 10⁵ J e a partícula possui uma energia cinética igual a 435 10⁵ J a Qual foi o trabalho realizado pela força elétrica b Qual é o potencial do ponto inicial em relação ao ponto final c Qual é o módulo do campo elétrico 2354 No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio um único elétron gira em torno de um único próton descrevendo uma órbita circular de raio r Suponha que o próton permaneça em repouso a Igualando a força elétrica com a massa do elétron vezes sua aceleração deduza uma relação para a velocidade do elétron b Deduza uma relação para a energia cinética do elétron e mostre que seu valor é igual à metade da energia potencial elétrica c Deduza uma relação para a energia total e calcule seu valor usando r 529 10¹¹ m Forneça sua resposta numérica em elétronvolts e em joules 2355 O diodo foi descrito no Exercício 2327 Em virtude do acúmulo de cargas existentes nas vizinhanças do catodo o potencial elétrico entre os eletrodos não é uma função linear da posição mesmo no caso de uma simetria plana porém é dado por Vx Cx⁴³ em que x é a distância entre o ponto e o catodo o eletrodo negativo e C é uma constante característica do diodo Suponha que a distância entre o catodo e o anodo o eletrodo positivo seja igual a 130 mm e que a diferença de potencial entre os eletrodos seja de 240 V a Determine o valor de C b Obtenha uma fórmula para o campo elétrico entre os eletrodos em função de x c Calcule a força sobre um elétron quando ele está na metade da distância entre os eletrodos 2356 Duas esferas isolantes idênticas e com cargas contrárias cada qual medindo 500 cm de diâmetro e carregando uma carga uniforme de módulo 175 μC são colocadas a uma distância de 10 m de um centro a outro Figura 2334 a Se um voltímetro é conectado entre os pontos mais próximos a e b sobre suas superfícies qual será a sua leitura b Qual ponto a ou b possui o potencial mais elevado Como saber isso sem fazer qualquer cálculo 2357 Um cristal iônico A Figura 2335 mostra oito cargas puntiformes distribuídas nos vértices de um cubo cuja aresta é igual a d Os valores das cargas são q e q como indicado Tratase do modelo da célula unitária de um cristal iônico cúbico Por exemplo no cloreto de sódio NaCl as cargas positivas são os íons Na as negativas são os íons Cl a Calcule a energia potencial U desse arranjo Considere zero o potencial quando a distância mútua entre as oito cargas for infinita b No resultado da parte a provavelmente você encontrou U 0 Explique a relação entre esse resultado e a observação da existência desses cristais na natureza 2361 Cilindros coaxiais Um longo cilindro metálico de raio a está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico metálico de raio b A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é λ e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo a Determine o potencial Vr para as regiões i r a ii a r b iii r b Sugestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor Considere V0 para rb b Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por Vab λ2πε₀ lnba c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre os dois cilindros é dado por Er Vablnba 1r d Qual seria a diferença de potencial entre os dois cilindros se o cilindro externo não tivesse nenhuma carga líquida 2362 Um contador Geiger detecta radiações tais como partículas alfa usando o fato de que uma radiação ioniza o ar ao longo de sua trajetória Ao longo do eixo de um cilindro metálico oco existe um fio fino que está isolado do cilindro Figura 2337 Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo mantendose o fio em um potencial mais elevado isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para fora do fio Quando uma radiação ionizante entra no dispositivo ocorre ionização de algumas moléculas de ar Os elétrons livres produzidos são acelerados no sentido do fio pelo campo elétrico e quando eles se aproximam do fio ionizam muitas outras moléculas de ar Logo um pulso de corrente elétrica é gerado e pode ser detectado por um 2365 Deflexão em um CRT Os tubos de raios catódicos CRT do inglês cathoderay tubes são geralmente encontrados em osciloscópios e monitores de computador Na Figura 2338 um elétron com velocidade escalar inicial de 650 10⁶ ms é projetado ao longo do eixo até o meio da trajetória entre as placas de deflexão de um tubo de raios catódicos O campo elétrico uniforme entre as placas possui módulo de 110 10³ Vm e está orientado de baixo para cima a Qual é a força módulo direção e sentido que atua sobre o elétron quando ele está entre as placas b Qual é a aceleração do elétron módulo direção e sentido quando ele sofre a ação da força obtida no item a c Qual é a distância abaixo do eixo percorrida pelo elétron quando ele atinge o final das placas d Qual é o ângulo dele em relação ao eixo quando se move para deixar as placas e A que distância abaixo do eixo ele atingirá a tela fluorescente 2364 Placas defletoras de um osciloscópio As placas defletoras verticais de um osciloscópio comum usado em salas de aula consistem de um par de placas metálicas quadradas paralelas que carregam cargas iguais porém contrárias As dimensões típicas são de aproximadamente 30 cm de lado com uma separação de cerca de 50 mm As placas estão próximas o suficiente para que possamos desprezar interferências nas extremidades Sob essas condições a qual é a carga sobre cada placa e b qual é a força do campo elétrico entre as placas c Se um elétron em repouso for lançado das placas negativas qual será sua velocidade ao atingir a placa positiva 2365 Um precipitador eletrostático usa forças elétricas para remover partículas poluentes originárias de fumaças em particular fumaças expelidas por usinas que queimam carvão Um tipo de precipitador é constituído por um cilindro metálico oco vertical com um fio fino ao longo de seu eixo que está isolado do cilindro Figura 2339 Uma grande diferença de potencial é aplicada entre o fio e o cilindro externo mantendose o fio em um potencial mais baixo Isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para o interior do cilindro O campo elétrico produz uma região com ar ionizado nas vizinhanças do fio A fumaça entra pela base do precipitador as cinzas e a poeira absorvem elétrons e os poluentes carregados são acelerados para a parede externa do cilindro pelo campo elétrico Suponha que o raio do fio central seja igual a 900 μm o raio do cilindro oco seja igual a 140 cm e que uma diferença de potencial de 500 kV seja estabelecida entre o fio e o cilindro Suponha também que o cilindro e o fio possuam comprimentos muito maiores do que o raio do cilindro de modo que os resultados do Problema 2361 possam ser usados a Qual é o módulo do campo elétrico nos pontos situados na metade da distância entre o fio e a parede do cilindro b Qual deve ser o módulo da carga sobre uma partícula de cinza com 300 μg para que o campo elétrico obtido no item a possa exercer sobre a partícula uma força dez vezes maior do que seu peso 2366 Um disco de raio R possui densidade superficial de carga uniforme igual a σ a Imaginando o disco como um conjunto de anéis finos concêntricos calcule o potencial elétrico sobre os pontos do eixo do anel a uma distância x do centro do disco Considere o potencial igual a zero no infinito Sugestão Use o resultado do Exemplo 2311 na Seção 233 b Calcule Vx Mostre que o resultado obtido concorda com o valor de Ex encontrado no Exemplo 2112 Seção 215 2367 a Pela expressão de E obtida no Problema 2240 encontre a expressão do potencial elétrico V em função de r para todos os pontos no interior e no exterior do cilindro Seja V 0 na superfície do cilindro Em cada caso expresse os resultados em função da carga por unidade de comprimento λ da distribuição de cargas b Faça um gráfico de V e de E em função da distância r de r 0 até r 3R 2368 Partículas alfa massa 67 10²⁷kg carga 2e são lançadas diretamente contra um alvo que consiste de uma folha de ouro Podemos modelar o núcleo do ouro como uma esfera uniforme de carga e supor que o ouro não se move a Se o raio do núcleo do ouro for 56 10¹⁵ qual é a velocidade escalar mínima necessária às partículas alfa quando elas estão distantes para atingir a superfície do núcleo do ouro Despreze os efeitos relativistas b Forneça boas razões físicas para ignorar os efeitos dos elétrons orbitais quando a partícula alfa estiver i fora das órbitas dos elétrons e ii dentro das órbitas dos elétrons 2369 Para o anel carregado do Exemplo 2311 Seção 233 integre a expressão de Ex encontrada no Exemplo 2110 Seção 215 para determinar o potencial em um ponto P sobre o eixo do anel Considere V 0 a uma distância infinita Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 2311 usando a Equação 2316 2370 Uma haste isolante fina é encurvada formando um arco semicircular de raio a e uma carga elétrica total Q é distribuída uniformemente ao longo da haste Considerando o potencial igual a zero a uma distância infinita calcule o potencial no centro de curvatura do arco 2371 Energia própria de uma esfera de carga Uma esfera maciça de raio R contém uma carga total Q distribuída uniformemente por todo o seu volume Ache a energia necessária para juntar essa carga trazendo cargas infinitesimais de pontos distantes Essa energia é chamada de energia própria da distribuição de carga Sugestão Após juntar uma carga q em uma esfera de raio r quanta energia será necessária para acrescentar uma casca esférica de espessura dr possuindo carga dq Depois integre para obter a energia total 2372 a Usando a expressão de E obtida no Exemplo 229 Seção 224 encontre a expressão para o potencial V em função de r para a esfera interna e para a esfera externa uniformemente carregada Considere V 0 a uma distância infinita b Faça um gráfico de V e de E em função da distância r de r 0 até r 3R 2373 Uma esfera isolante maciça de raio R possui carga Q uniformemente distribuída por todo o seu volume a Use os resultados do Problema 2372 para achar o módulo da diferença de potencial entre a superfície da esfera e o seu centro b Qual é o potencial mais elevado a superfície ou o centro se i Q for positivo e ii Q for negativo 2374 Uma casca esférica isolante com raio interno de 250 cm e raio externo de 600 cm possui uma carga de 1500 µC uniformemente destruída pela sua superfície externa veja Exercício 2343 O ponto a está no centro da casca o ponto b está na superfície interna e o ponto c está na superfície externa a Qual será a leitura de um voltímetro conectado entre os seguintes pontos i a e b ii b e c iii c e infinito iv a e c b Qual está no potencial mais elevado i a ou b ii b ou c iii a ou c Qual das respostas se existir alguma teria o sinal invertido caso as cargas fossem 150 µC 2375 O Exercício 2343 mostra que no lado externo de uma casca esférica com carga superficial uniforme o potencial é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada em uma carga puntiforme no centro da esfera a Use esse resultado para mostrar que para duas cascas esféricas isolantes uniformemente carregadas a força que elas exercem mutuamente e a sua energia elétrica mútua são as mesmas que se toda a carga estivesse concentrada nos seus centros Sugestão Veja a Seção 126 b Esse mesmo resultado se aplica a esferas isolantes maciças com carga uniformemente distribuída pelo seu volume c Esse mesmo resultado se aplica à força entre as duas cascas condutoras carregadas Entre os dois condutores maciços carregados Explique 2376 Duas esferas plásticas cada qual com carga uniformemente distribuída em seu interior são inicialmente colocadas em contato e depois libertadas Uma esfera tem 600 cm de diâmetro possui massa de 500 g e contém 100 µC de carga A outra esfera tem 400 cm de diâmetro possui massa de 1500 g e contém 300 µC de carga Aché a aceleração máxima e a velocidade escalar máxima atingidas por cada esfera em relação ao ponto fixo da sua localização inicial no espaço considerando que nenhuma outra força atua sobre elas Sugestão As cargas uniformemente distribuídas se comportam como se estivessem concentradas nos centros das duas esferas 2377 Usando a expressão do campo elétrico obtida no Problema 2243 calcule a diferença de potencial entre a esfera condutora maciça e a fina casca isolante 2378 Considere uma esfera condutora maciça no interior de uma esfera condutora oca com as cargas e os raios especificados no Problema 2242 Considere V 0 para r Use o campo elétrico obtido no Problema 2242 para calcular o potencial para os seguintes valores de r a r c sobre a superfície externa da esfera oca b r b sobre a superfície interna da esfera oca c r a sobre a superfície da esfera maciça d r 0 no centro da esfera maciça 2379 Uma carga elétrica total Q é uniformemente distribuída ao longo de uma barra fina de comprimento a Considere o potencial igual a zero no infinito Calcule o potencial nos seguintes pontos veja a Figura 2340 a no ponto P a uma distância x à direita da barra b no ponto R a uma distância y acima da extremidade direita da barra c Como se reduzem os resultados da parte a e da parte b quando x ou y se tornam muito maiores do que a Figura 2340 Problema 2379 2380 a Supondo que uma gota de chuva de raio igual a 0650 mm possua uma carga igual a 120 pC uniformemente distribuída em seu volume qual é o potencial elétrico sobre sua superfície Considere o potencial igual a zero a uma distância infinita da gota b Duas gotas de chuva idênticas cada uma delas com as cargas e os raios especificados no item a colidem e se unem constituindo uma única gota maior Qual é o raio dessa gota maior e qual é o potencial sobre sua superfície supondo que a carga seja uniformemente distribuída em seu volume 2381 Duas esferas metálicas com tamanhos diferentes são carregadas de tal modo que o potencial elétrico apresenta o mesmo valor sobre as superfícies das duas esferas A esfera A possui um raio três vezes maior do que o raio da esfera B Sejam QA e QB as cargas sobre as esferas e EA e EB os módulos do campo elétrico sobre a superfície de cada esfera determine a a razão QAQB b a razão EAEB 2382 Uma partícula alfa com energia cinética igual a 110 MeV colide frontalmente com um núcleo de chumbo em repouso Qual é a menor distância entre as duas partículas Suponha que o núcleo de chumbo seja uma partícula puntiforme e que ele permaneça em repouso O número atômico do chumbo é 82 A partícula alfa é um núcleo de hélio e possui número atômico igual a 2 2383 Uma esfera metálica de raio R1 possui carga Q1 Considere o potencial igual a zero a uma distância infinita da esfera a Quais são os valores do potencial elétrico e do campo elétrico na superfície da esfera A esfera é a seguir conectada por um fio metálico fino e longo a outra esfera de raio R2 que está a muitos metros de distância da primeira esfera Antes de ela ser conectada a segunda esfera estava descarregada Depois que o equilíbrio eletrostático for atingido qual será b a carga total de cada esfera c O potencial elétrico sobre a superfície de cada esfera d O campo elétrico sobre a superfície de cada esfera Suponha que a carga do fio seja muito menor do que a carga de cada esfera 2384 Use a distribuição de cargas e o campo elétrico do Problema 2257 a Mostre que para r R o potencial é idêntico ao produzido por uma carga puntiforme Q Considere o potencial igual a zero no infinito b Obtenha uma expressão para o potencial elétrico válido na região r R 2385 Fusão nuclear no Sol A fonte da energia do Sol é uma seqüência de reações nucleares que ocorrem em seu núcleo A primeira dessas reações envolve uma colisão entre dois prótons que se fundem formando um núcleo mais pesado que libera energia Para que esse processo chamado de fusão nuclear possa ocorrer os prótons devem se aproximar até que suas superfícies fiquem essencialmente em contato a Suponha que os dois prótons se desloquem com a mesma velocidade e que a colisão seja frontal Sabendo que o raio do próton é igual a 12 1015 m qual deve ser a velocidade mínima para que a fusão nuclear ocorra A distribu ção de cargas no interior de um próton é esfericamente simétrica de modo que o potencial e o campo elétrico no exterior do próton são idênticos aos produzidos por uma carga puntiforme A massa do próton é 167 1027kg b Outra reação nuclear de fusão que ocorre no núcleo do Sol envolve a colisão entre dois núcleos de hélio cada um deles com carga 2e raio 17 1015 m e massa 299 vezes maior do que a massa do próton Supondo a mesma geometria da colisão indicada na parte a qual deve ser a velocidade mínima para que a fusão nuclear ocorra sabendo que os núcleos devem se aproximar até que a distância entre seus centros seja aproximadamente igual a 35 1015 m Da mesma maneira que o próton a carga do núcleo de hélio é uniformemente distribuída ao longo do seu volume c Na Seção 183 mostramos que a energia cinética translacional média de uma partícula de massa m em um gás com temperatura absoluta T é 32 kT em que k é a constante de Boltzmann dada no Apêndice F Para os dois prótons com energia cinética média capaz de produzir o processo descrito no item a qual é a temperatura absoluta necessária Qual é a temperatura absoluta necessária para que dois núcleos de hélio produzam o processo descrito na parte b Para essas temperaturas os átomos ficam completamente ionizados de modo que os elétrons e os prótons se movem separadamente d A temperatura no núcleo do Sol é da ordem de 15 107 K Como se compara esse resultado com o obtido no item c Como as reações descritas em a e b poderiam deixar de ocorrer no núcleo do Sol Sugestão Veja a discussão sobre a distribuição das velocidades moleculares na Seção 185 2386 O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por Vxyz Ax2 3y2 z2 em que A é uma constante a Deduza uma expressão para o campo elétrico E na região b O trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 150 µC é deslocada do ponto x y z 0 0 0250 m até a origem é igual a 60 105 J Calcule A c Determine o campo elétrico no ponto 0 0 0250 m d Mostre que em qualquer plano paralelo ao plano xz os contornos equipotenciais são círculos e Qual é o raio do contorno equipotencial correspondente a V 1280 V e y 20 m 2387 Fissão nuclear O núcleo instável de urânio 236 pode ser considerado uma esfera uniformemente carregada com carga Q 92e e raio 74 1015 m Em uma fissão nuclear ele pode se subdividir em dois núcleos menores cada um deles com a metade da carga e a metade do volume do núcleo de urânio 236 original Essa foi uma das reações que ocorreram durante a explosão da bomba atômica em Hiroshima no Japão em agosto de 1945 a Determine os raios dos dois núcleos filhos cada um deles com carga 46e b Como modelo simples do processo de fissão imaginamos que imediatamente após a fissão os dois núcleos filhos estão em repouso e quase em contato conforme mostra a Figura 2341 Calcule a energia cinética de cada núcleo filho quando a distância entre eles é muito grande c Nesse modelo a soma da energia cinética de cada núcleo filho calculada no item b é a energia liberada pela fissão do núcleo de urânio 236 Calcule a energia liberada pela fissão de 100 kg de urânio 236 A massa atômica do urânio 236 é igual a 236 u em que 1 u 1 unidade de massa atômica 166 1024 kg Expresse sua resposta em joules e em quilotons de TNT 1 quiloton de TNT libera 418 1012 J durante sua explosão d Com base nesse modelo discuta por que razão uma bomba atômica poderia também ser chamada de bomba elétrica