Exercícios - Séries - Cálculo 2 2021 2

Questão 1 até 1 item 2 pts cada Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado segundo o roteiro i encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer ii encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 a menos que a série termine antes iii calcule o wronskiano W y1 y2x0 e mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções iv se possível encontre o termo geral em cada solução Questão 13 3 pts Considere a equação diferencial x3y axy by 0 em que α e β são constantes reais e α 0 a Mostre que x 0 é um ponto singular irregular b Ao tentar encontrar uma solução da forma n0anxrn mostre que a equação inicial para r é linear e portanto existe apenas uma solução formal nessa forma proposta c Mostre que se βα 1 0 1 2 então a solução formal em série termina e é portanto uma solução de fato Para outros valores de βα mostre que a solução formal em série tem raio de convergência nulo logo não representa uma solução de fato em nenhum intervalo Questão 2 2 pts Fazendo a mudança de variável x1 t e supondo que y tem uma série de Taylor em potências em t encontre duas soluções da equação y x 12y x2 1y 0 em séries de potências de x1 Wx0 sumkparinfty fraca02frac52 0k k sumkimparinfty fraca1k 0k1 sumkparinfty k fraca02frac52 0k1 sumkimparinfty fraca1k 0k 0