Tarefa 3 - Cálculo 2 2020 2

TAREFA T3 Cálculo 2 Segundo semestre de 2020 ENPE Considere uma placa metálica quadrada de 12cm de lado De modo a mapear essa placa utilizamos dois eixos coordenados um eixo horizontal x e um eixo vertical y de modo que a origem desse sistema de coordenadas esteja localizada exatamente no centro da placa Dessa forma a placa pode ser associada ao conjunto do plano R² dado por C xy R² 6 x 6 e 6 y 6 Suponha que essa placa foi mantida em um ultracongelador a uma temperatura de 40ºC e logo que foi retirada do freezer um isqueiro foi posicionado logo abaixo da placa sob o ponto de coordenadas 25 e mantido aceso por 3 minutos antes de ser apagado Exatamente no instante em que o isqueiro foi apagado a temperatura sobre cada ponto da placa foi medida e com o auxílio de recursos computacionais constatouse que a temperatura z Txy medida em graus Celsius em cada ponto xy da placa satisfaz a seguinte equação x² y² 001z² 4x 10y 2z 71 0 1 Faça um esboço gráfico da placa descrita acima 2 Observe que uma curva de nível z T₀ sendo T₀ uma constante representa o conjunto de todos os pontos da placa que possuem temperatura igual a T₀ Faça um esboço das curvas de nível da temperatura da placa nas seguintes temperaturas z 40 z 0 z 80 e z 100 Olhando para a representação geométrica dessas curvas de nível descreva o que isso significa do ponto de vista da situação problema em questão 3 Encontre uma parametrização para a curva de nível z Txy que passa pelo ponto 51 e utilize esta parametrização para encontrar um vetor tangente a esta curva de nível no ponto 51 4 Utilize derivação implícita para calcular o vetor gradiente T51 e calcule o ângulo formado por este vetor gradiente e pelo vetor tangente do item 3 Faça um esboço geométrico da curva de nível juntamente com os dois vetores 5 A conclusão obtida no Exercício 4 vale em geral Prove que se α ab C é uma curva de nível de z Txy então para qualquer t ab os vetores Tαt e αt são ortogonais Obs Esse resultado significa que a partir de qualquer ponto sobre a placa a direção na qual a temperatura varia mais rapidamente é a direção dada pelo vetor gradiente c xy ℝ² 6 x 6 e 6 y 6 z Txy x² y² 001z² 4x 10y 2z 71 0 1 x² 4x y² 10y 001z² 2z 71 2 x² 4x 4 y² 10y 001z² 2z 75 3 x 2² y 5² 001z² 2z 75 25 4 x 2² y 5² 001z² 2z 100 5 x 2² y 5² 001z² 2z 100 100 6 x 2² y 5² 001z² 2z 0 z 40 x² y² 00140² 4x 10y 240 71 0 x² y² 16 4x 10y 80 71 0 x² 4x y² 10y 167 x 2² y 5² 138 z 0 z 200 100 z 0 Para cada se I o vê ns é um vetor unitário e será designado por Js isto é Js xs ys Seja ns o vetor unitário de R² dependendo a Js tal que a base diagonal Js ns tem a mesma orientação de base canônica e₁ e₂ ns Js 0 e detxs1 ys1 1 ys1 xs1 n J x y