Benefícios e Prêmios em Matemática Atuarial

Benefícios e Prêmios Matemática Atuarial Pamila Siviero UNIFESP Até agora todos os nossos estudos estão baseados no pagamento de Prêmio Puro Único para os produtos atuariais Na prática para comprar uma anuidade ou seguro fazemos vários pagamentos ao longo do ano ou de vários anos Vamos andar mais um pouco na teoria e criar uma estrutura que se aproxima de situações reais 2 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Veja que o prêmio poderá ser pago de 3 formas 1 Um único pagamento como já estamos vendo ao longo do curso 2 Prêmios periódicos de valor constante no tempo prêmios nivelados 3 Prêmios periódicos de quantidade variável 3 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Pensemos num produto de anuidade imagine um segurado de 40 anos que quer aposentarse aos 60 anos Essa pessoa deseja receber o valor de 36 mil por ano durante o período de 20 anos Essa pessoa irá pagar um prêmio x em uma conta que rende 8 ao ano Quando esse segurado deverá depositar por ano 4 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Para calcular x devemos calcular o valor total dos depósitos e o valor total dos benefícios Não usaremos os valores nominais pois depósitos e benefícios são feitos em momentos diferentes do tempo 5 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Vamos calcular o valor total dos depósito em t20 e o valor total dos benefícios no mesmo tempo mas inicialmente iremos desconsiderar a possibilidade do indivíduo morrer ou seja ele irá fazer todos os depósitos e receberá todos os benefícios 6 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Neste caso o problema não será atuarial e sim financeiro Veja que a soma de benefícios trazido a valor presente em t 20 será 360001 v v19 Assim em t 20 ele precisa ter acumulado com seus depósitos o valor de I 7 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS O total capitalizado de seus depósito no tempo t 20 será veja slide 9 de anuidades II 8 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Agora vamos calcular o equivalente ao período de acumulação em t 20 Prêmio nivelado Então precisamos achar o valor de x tal que I II Ou seja devese pagar 772370 por ano lembremos que não estamos considerando a possibilidade do segurado falecer para pagar a anuidade que paga 36 mil ao longo de 20 anos 9 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Princípio da equivalência O valor total dos compromissos do segurado num certo momento deve ser igual ao valor total dos compromissos do segurador no mesmo momento 10 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Infelizmente na prática não é tão simples calcular o prêmio como no exemplo anterior Ainda não consideramos os carregamentos do prêmio despesas administrativas lucro impostos e não consideramos que o segurado poderá falecer tanto no momento dos depósitos quanto no momento de recebimento dos benefícios 11 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Vamos considerar agora um exemplo mais simples Pensemos no seguro de vida inteira que pagará R 100 ao fim do ano de morte do segurado Então o compromisso em valor presente do segurador é em que K é o número de anos inteiros de vida adicional do segurado 12 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS O contrato estipula que o segurado deverá pagar um prêmio constante P no início de cada ano enquanto o segurado sobreviver Então o compromisso do segurado em valor presente é igual a 13 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Tanto Z compromisso do segurador quanto Y compromisso do segurado dependem de K que é variável aleatória O que fazer Veja que tanto Z quanto Y são variáveis aleatórias Pelo princípio de equivalência gostaríamos de escolher P tal que Z Y 0 Mas isto é impossível de garantir pois Z e Y são vas 14 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Gostaríamos obter um Prêmio tal que o princípio de equivalência fosse respeitado Porém como o Prêmio dependente da relação de duas vas não seria possível neste caso definir um Prêmio constante para um segurado em particular 15 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Os produtos atuariais são calculados para um grupo grande de pessoas e funciona bem em média A partir desse princípio poderemos calcular sim um Prêmio constante P que que satisfaça nosso Princípio de Equivalência em média Como 16 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Queremos um Prêmio que satisfaça EZ Y 0 Neste caso temos Como e Usando o Princípio da Equivalência 17 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Amortizar o Ax dividindo pela anuidade de vida inteira Veja que podemos obter o Prêmio utilizando apenas o cálculo do seguro de vida utilizando a seguinte relação então 18 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 1 Suponha que um segurado de 65 anos deseja comprar um seguro de vida inteira que paga R 100 e deseja pagar um prêmio nivelado enquanto estiver vivo Caso o atuário tenha calculado A65 04397 para uma taxa de juros anual i 005 Qual será o valor do prêmio a ser pago anualmente pelo segurado 19 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Resposta Veja que utilizando as informações do exercício Caso o segurado queira que o beneficiário receba R 10000 neste seguro de vida inteira então P R 374 20 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Seguindo a linha de procura de um equilíbrio entre as obrigações do segurado e do segurador defina L VP Dos benefícios VP Dos pagamentos dos Prêmios Em que L de loss é a va que representa a perda do segurador O princípio de equivalência pede que EL 0 21 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Se o segurador receber mais do que precisa Se o segurador receber menos do que precisa EL ZERO O valor do Prêmio que satisfaz este princípio é o Prêmio Puro Veja que se existe apenas um único pagamento como estamos trabalhando ao longo do cursoentão em t 0 L VP dos Benefícios a serem concedidos P 22 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS AGORA QUEREMOS O PREMIO PARCELADO NIVELADO Neste caso considerando que obteremos o Prêmio Puro tal que a Esperança da Perda seja igual a zero EL 0 EL EVP B a serem concedidos P 0 P EVP Ben a serem concedidos que é o princípio utilizado para cálculo de prêmio utilizado até o momento 23 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 2 Suponha um seguro de vida temporário por 10 anos que paga C no final do ano de morte de x 40 anos se a morte ocorrer no período de 10 anos Seja P o prêmio periódico anual pago antecipadamente enquanto o segurado estiver vivo por não mais que 10 anos Determine o Prêmio nãoúnico P deste contrato 24 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Solução Como dito anteriormente queremos calcular o Prêmio tal que EL 0 Veja que estamos considerando L como uma va e a partir daí calculando sua esperança matemática Para calcular a Esperança Matemática desta va é necessário reconhecer duas coisas nessa va você se lembra quais são 25 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS A lista de valores possíveis e a outra de probabilidades associadas Como L é a perda da seguradora veremos inicialmente os valores possíveis dos benefícios a serem concedidos compromisso do segurador 26 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS E como ficam os valores possíveis dos pagamentos realizados pelo segurado Lembrando que ele poderá falecer antes de completar todas as contribuições 27 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Compromisso do segurador Assim 28 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Compromisso do segurado L compromisso da seguradora Z compromisso do segurado Y Veja que já calculamos várias vezes a EZ e EY que são respectivamente dadas por Então 29 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 3 Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar um seguro de vida temporário por 5 anos Para isso o segurado deseja pagar durante a vigência do contrato um prêmio fixo Qual o valor do Prêmio a ser pago pelo segurado considerandose a tabela AT49 e uma taxa de juros i 005 30 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Veja que então 32 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Caso no exemplo anterior o benefício do seguro seja de R 500000 então 33 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Seguro muito barato Por que Idade Período de cobertura Exemplo 4 Considere agora à luz do enunciado do exemplo 3 que o mesmo segurado queira comprar um seguro de vida inteira e pagar prêmios enquanto estiver vivo começando a pagar o prêmio antecipadamente Qual deverá ser o valor deste prêmio 34 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Veja que neste caso então 35 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Para vários casos esses valores estão tabelados ver final do livro do Bowers Veja que no exemplo 3 o período de cobertura do seguro é menor que o período de cobertura do seguro no exemplo 4 Analisando apenas esse aspecto o prêmio deveria ser maior no exemplo 4 que o prêmio cobrado no exemplo 3 No entanto o período de pagamento de prêmio é maior no exemplo 4 durante toda a vida do segurado que no exemplo 3 o que nos levaria a pensar que o prêmio cobrado no exemplo 4 deveria ser menor que no exemplo 3 Nesta briga de risco o prêmio cobrado no exemplo 4 é aproximadamente 5 vezes maior que o prêmio cobrado no exemplo 3 36 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 5 Seja um segurado de 40 anos de idade que resolve contratar um seguro de vida inteiro que paga R 100 ao final do ano de morte e decide pagar esse seguro em 10 parcelas iguais sendo a primeira paga imediatamente Considerando uma tábua de vida AT49 e uma taxa de juros anual de 5 qual deverá ser o valor do Prêmio pago por esse segurado 37 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Solução Para resolvermos esse exercício devemos lembrar do Princípio da Equivalência que diz que o compromisso do segurador é igual ao compromisso do segurado em um determinado tempo t Ou de outra forma L VP das obrigações da seguradora VP das obrigações do segurado 38 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Queremos um Prêmio tal que EL 0 Seja a va Z que representa o compromisso da seguradora e Y a va que representa o compromisso do segurado 39 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS O exercício se resume ao cálculo de uma anuidade e de um seguro de vida inteiro Sabemos calcular os dois 41 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 6 Uma pessoa de 20 anos decide contratar uma aposentadoria vitalícia que pagará R 100 ao ano até que este segurado faleça Ele se aposentará caso chegue vivo à idade de 60 anos Esse segurado decide pagar um prêmio nivelado enquanto estiver ativo Considerando a tábua de mortalidade AT49 e a taxa de juros de 5 ao ano qual será o valor do Prêmio a ser pago pelo segurado 42 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Solução Novamente vamos calcular o prêmio P tal que a esperança de L seja zero Então L Z Y em que 43 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Caso o segurado tenha interesse de receber R 2500000 ao ano então 45 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Exemplo 7 Suponhamos que o salário do segurado no exemplo anterior seja insuficiente para pagar os prêmios durante o período em que ele está em idade ativa O segurado pergunta ao atuário se é possível pagar um prêmio anual nivelado durante toda a sua vida inclusive enquanto aposentado Qual deveria ser o prêmio pago pelo segurado neste caso 46 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS Solução Veja que neste caso o que o segurado está fazendo será diminuir o benefício que irá receber De fato o segurado irá receber um benefício como no exemplo 6 porém parte deste benefício estará comprometido para pagamento do prêmio Como anteriormente queremos um Prêmio tal que EL 0 47 BENEFÍCIOS E PRÊMIOS