Lista 2 - Integrais Definidas e Aplicações - Cálculo 2 2021-2

Integrais Definidas e Aplicacdes Universidade Federal de Uberlandia Pagina 1 A Lista 2 deve ser resolvida & mao e entregue no dia da 2” Prova. Area de Secao Transversal (1) Encontre uma f6rmula para a area A(x) das segdes transversais do sélido, perpendicular ao eixo x, que se situa entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x = 4. As secoes transversais perpendiculares ao eixo x, entre esses planos, sAo discos circulares com diametros no plano xy e vao da parabola y = \/x a pardbola y = —\/x. y TUT tte x=y" ax Volumes por fatiamento (2) Determine 0 volume do sdlido cuja base é 0 disco x? + y* < 1. As secdes transversais formadas por planos perpendiculares ao eixo y entre y = —1 e y = 1 sao triangulos retangulos isdsceles com um cateto no disco. y Se e+y=1 x lais@ufu.br Lista 3 Lais Rodrigues P´agina 2 Universidade Federal de Uberlˆandia Integrais Definidas e Aplica¸c˜oes Volumes pelo M´etodo do Disco (3) Determine o volume do s´olido obtido com a rota¸c˜ao da regi˜ao sombreada em torno do eixo dado. a) b) Em torno do eixo x. Em torno do eixo y. c) d) Em torno do eixo y. Em torno do eixo x. (4) Determine o volume dos s´olidos obtidos com a rota¸c˜ao, em torno do eixo x, das regi˜oes limitadas pelas curvas y = x − x2 e y = 0. Volumes pelo M´etodo do Anel (5) Determine o volume dos s´olidos obtidos com a rota¸c˜ao da regi˜ao sombreada em torno do eixo x (6) Determine o volume do s´olido obtido com a rota¸c˜ao, em torno do eixo x, da regi˜ao limitada pelas curvas y = x2 +1 e y = x + 3. (7) Determine o volume do s´olido obtido com a rota¸c˜ao, em torno do eixo y, da regi˜ao, no primeiro quadrante, limitada `a esquerda pelo c´ırculo x2 + y2 = 3, `a direita pela reta x = √ 3 e superiormente pela reta y = √ 3. Volumes de S´olido de Revolu¸c˜ao (8) Determine o volume do s´olido obtido com a rota¸c˜ao da regi˜ao limitada por y = √x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno: a) do eixo x. b) do eixo y. c) da reta y = 2. d) da reta x = 4. La´ıs Rodrigues Lista 3 lais@ufu.br Integrais Definidas e Aplica¸c˜oes Universidade Federal de Uberlˆandia P´agina 3 M´etodo da Casca (9) Use o m´etodo da casca para determinar os volumes dos s´olidos obtidos com a rota¸c˜ao das regi˜oes sombreadas em torno dos eixos indicados: a) b) Em torno do eixo y. Em torno do eixo x. c) Em torno do eixo y. Revolu¸c˜ao em torno do eixo y (10) Use o m´etodo da casca para determinar o volume dos s´olidos obtidos com a rota¸c˜ao, em torno do eixo y, das regi˜oes limitadas pelas curvas y = 2 − x2, y = x2 e x = 0. lais@ufu.br Lista 3 La´ıs Rodrigues P´agina 4 Universidade Federal de Uberlˆandia Integrais Definidas e Aplica¸c˜oes Rota¸c˜ao em torno de retas horizontais (11) Use o m´etodo da casca para determinar o volume dos s´olidos obtidos com a rota¸c˜ao da regi˜ao sombreada em torno dos eixos indicados: a) Eixo x. b) Reta y = 2. c) Reta y = 5. d) Reta y = − 5 8 Escolhendo Discos, An´eis ou Cascas (12) A regi˜ao apresentada gira em torno do eixo x gerando um s´olido. Qual dos m´etodos (disco, anel, casca) vocˆe usaria para determinar o volume do s´olido? Quantas integrais seriam necess´arias em cada caso? Explique. Comprimento de Curvas (13) Determine os respectivos comprimentos: a) y = 1 3 ( x2 + 2 ) 3 2 de x = 0 a x = 3. b) y = √ 1 − x2, − 1 2 ≤ x ≤ 1 2 ´Areas de Superf´ıcies (14) Determine as ´areas das superf´ıcies geradas pela rota¸c˜ao das curvas em torno dos eixos indicados. a) y = √x, 3 4 ≤ x ≤ 15 4 , eixo x b) y = √ 2x − x2, 0, 5 ≤ x ≤ 1, 5, eixo x c) x = 2√4 − y, 0 ≤ y ≤ 15 4 , eixo y d) x = √2y − 1, 5 8 ≤ y ≤ 1, eixo y La´ıs Rodrigues Lista 3 lais@ufu.br Integrais Definidas e Aplica¸c˜oes Universidade Federal de Uberlˆandia P´agina 5 (15) A faixa sombreada da figura a seguir foi cortada de uma esfera de raio R por dois planos paralelos, separados por uma distˆancia de h unidades. Demonstre utilizando integral que a ´area da faixa ´e 2πRh. lais@ufu.br Lista 3 La´ıs Rodrigues