Notas de Aula - Cálculo 2 2022 1

Bom dia, gostaria da resolução correta e completa da seção de exercícios propostos, dos seguintes exercícios: Capítulo 5: 51,52,53,54,55,5.23,5.24,5.25,5.26,5.27. Capítulo 6: 6.1(Item 1 ao Item 20),6.3. Capítulo 7: 7.17,7.27,7.34,7.47,7.9,7.12,7.13,7.16. Capítulo 8: 8.2,8.3,8.5,8.8,8.10,8.11,8.12,8.16,8.17,8.22,8.25. Cálculo 2 - Estatística UFU Página 5 de 153 páginas Capítulo 1 Integrais Indefinidas 1.1 Primitivas Recordemos que uma função f com domínio X ⊂ ℝ e contradomínio ℝ, que associa cada elemento x ∈ X a um único elemento y ∈ ℝ, é denotada por f : X ⊂ ℝ → ℝ, y = f(x). Geralmente, quando não há dúvidas sobre o domínio e contradomínio de f, é comum indicar a função apenas pela expressão analítica de f. Por exemplo, f(x) = x² indica a função f com domínio ℝ e contradomínio ℝ que associa x em ℝ a y = x² também em ℝ. Às vezes utilizamos a notação mais completa para indicar uma função: f : X ⊂ ℝ ⟶ ℝ. x ⟼ y = f(x) Dada uma função f : X ⊂ ℝ → ℝ, y = f(x), uma primitiva (ou antiderivada) de f em X é uma função derivável F : X ⊂ ℝ → ℝ, y = F(x), tal que F'(x) = f(x) para qualquer x ∈ X. Por exemplo, F(x) = cos(x) + 1 é uma primitiva de f(x) = −sen(x), pois F'(x) = f(x) para qualquer x ∈ ℝ. Observemos que a definição acima não estabelece unicidade de primitiva para f. De fato, podem existir infinitas funções F tais que F' = f. Por exemplo, F₁(x) = x² + 1, F₂(x) = x² + 2 são primitivas de f(x) = 2x, pois F'₁(x) = F'₂(x) = f(x). Neste ponto é natural questionar a respeito da relação entre as primitivas de uma dada função. A proposição abaixo esclarece esse respeito. Proposição 1.1 Se F₁, F₂ : X ⊂ ℝ → ℝ são primitivas de f : X ⊂ ℝ → ℝ, então existe k ∈ ℝ tal que F₁(x) = F₂(x) + k para qualquer x ∈ X, ou seja, as primitivas de uma função diferem apenas por uma constante. O conjunto de todas as primitivas de f : X ⊂ ℝ → ℝ é chamado de integral indefinida de f e é indicado por ∫f(x) dx. Além disso, dizemos que f é integrável e, também, que f é o integrando da integral indefinida. Inspirados pela proposição acima, é comum escrever ∫f(x) dx = F(x) + k, sendo F uma primitiva de f e k constante real genérica, chamada de constante de integração. A justificativa para a notação ∫f(x) dx de integral indefinida vem das chamadas integrais definidas, que serão estudadas adiante. Exemplo 1.1 Temos: (1) ∫ x³ dx = x⁴/4 + k; (2) ∫ cos(x) dx = sen(x) + k; (3) ∫√(x) dx = ∫ x¹/² dx = 2√(x) + k = 2√x + k; (4) ∫ sec²(x) dx = tg(x) + k. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 3 de 153 p´aginas Sum´ario 1 Integrais Indefinidas 5 1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Algumas Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 T´ecnicas de Integra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 M´etodo da Substitui¸c˜ao (ou M´etodo da Mudan¸ca de Vari´aveis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 M´etodo da Integra¸c˜ao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 M´etodo da Integra¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais por soma de Fra¸c˜oes Parciais . . . . . . . . . . . . 14 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Integrais Definidas 21 2.1 Integrais e ´Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 O Teorema Fundamental do C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 T´ecnicas de Integra¸c˜ao na Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 O M´etodo da Substitui¸c˜ao (ou M´etodo da Mudan¸ca de Vari´aveis) na Integral Definida . . . . . 31 2.3.2 O M´etodo da Integra¸c˜ao por Partes na Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Integrais Definidas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 O Sistema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Curvas e Fun¸c˜oes em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 ´Areas e Integrais Definidas no Plano Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Integrais Impr´oprias 43 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Integrais Impr´oprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Volumes, ´Areas e Comprimentos com Integrais Definidas 51 4.1 Volume de S´olidos - M´etodo das Sec¸c˜oes Planas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Caso Particular: Volume de S´olidos de Revolu¸c˜ao - M´etodo dos Discos . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2 Caso Particular: Volume de S´olidos de Revolu¸c˜ao - M´etodo dos An´eis Circulares . . . . . . . . 55 4.2 Volume de S´olidos de Revolu¸c˜ao - M´etodo das Cascas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 ´Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Volumes, ´Areas e Comprimentos com Integrais Definidas . . . 64 5 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDO’s) de 1a. Ordem 67 5.1 Nomenclatura Relativa `as Equa¸c˜oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 EDO’s de 1a. Ordem: defini¸c˜ao e preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 T´ecnica da “Separa¸c˜ao de Vari´aveis” para Resolu¸c˜ao de EDO’s de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Uma Palavra e Dois Significados: EDO’s de 1a. Ordem Homogˆeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 Transformando EDO’s de 1a. Ordem em EDO’s de Vari´aveis Separ´aveis por meio de Mudan¸ca de Vari´aveis 76 5.6 T´ecnica do “Fator Integrante” para Resolu¸c˜ao de EDO’s de 1a. Ordem Lineares . . . . . . . . . . . . 77 5.7 Problemas Envolvendo a “Lei de Varia¸c˜ao Exponencial” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.8 Problemas Envolvendo a “Lei de Decaimento Radioativo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.8.1 Curiosidade Hist´orica: Um Modelo Matem´atico para Detectar Falsifica¸c˜oes em Obras de Arte de Van Meegeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.9 Problemas Envolvendo a “Lei de Resfriamento de Newton” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.10 EDO’s de 1a. Ordem Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.11 Extens˜ao da T´ecnica do “Fator Integrante”: transformando EDO de 1a. Ordem n˜ao exata em EDO exata 91 5.12 EDO’s de 1a. Ordem de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: EDO de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini P´agina 4 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica 6 Uma Breve Introdu¸c˜ao `as Sequˆencias de N´umeros Reais 111 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7 S´eries de N´umeros Reais 117 7.1 Defini¸c˜oes e Primeiros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2 Somando S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.3 Uma Condi¸c˜ao Necess´aria para a Convergˆencia de uma S´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.4 Testes de Convergˆencia para S´eries de Termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.5 S´eries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.5.1 Estimando Erros de Aproxima¸c˜ao em Somas Parciais de S´eries Alternadas . . . . . . . . . . . . 131 7.6 S´eries de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.7 Cuidado com Propriedades N˜ao V´alidas... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8 S´eries de Potˆencias 139 8.1 S´eries de Potˆencias de x − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.2 Deriva¸c˜ao e Integra¸c˜ao de S´eries de Potˆencias de x − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.3 S´eries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3.1 F´ormula Geral do Binˆomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: S´eries de Potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Referˆencias Bibliogr´aficas 153 Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br Cálculo 2 - Estatística UFU Página 15 de 153 páginas Exemplo 1.26 Calculemos a integral ∫(x^2+x+2)/(x^2-3x+2)dx, x ≠ 1 e x ≠ 2. Observemos que o grau do polinômio do numerador é igual ao grau do polinômio do denominador. Logo, podemos dividir um polinômio pelo outro: x^2 / -x^2 + 3x + 2 = (x^2 - 3x + 2) / 1 ⇒ x^2 + 2 = 1 (x^2 - 3x + 2) + 3x. Logo, (x^2 + 2)/(x^2 - 3x + 2) = 1((x^2 - 3x + 2)+3x)/(x^2 - 3x + 2) = 1 + 3x/(x^2 - 3x + 2) ⇒ ∫(x^2+2)/(x^2-3x+2)dx = ∫1dx + ∫3x/(x^2-3x+2)dx = x + ∫3x/(x^2-3x+2)dx. Quanto ao cálculo de ∫3x/(x^2-3x+2)dx temos x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2). Assim, 3x/(x^2-3x+2) = A/(x-1) + B/(x-2) ⇒ 3x/(x^2-3x+2) = A(x-2)+B(x-1)/(x-1)(x-2) ⇒ 3x = (A+B)x − 2A − B ⇒ { A+B=3 −2A−B=0 } ⇒ A=−3 e B=6. Logo, ∫3x/(x^2-3x+2)dx = ∫(A/(x-1)+B/(x-2))dx = ∫(-3/(x-1)+6/(x-2))dx = -3ln|x-1|+6ln|x-2|+k. Conclusão: ∫(x^2+x+2)/(x^2-3x+2)dx = x - 3ln|x−1| + 6ln|x−2| + k. Exemplo 1.27 Calculemos a integral ∫(x^4+2x+1)/(3x^2+4x+1)dx, x ≠ −1, x ≠ 0 e x ≠ 2. Observemos que o grau do polinômio do numerador é maior do que o grau do polinômio do denominador. Logo, podemos dividir um polinômio pelo outro: x^4 / -x^3+x^2 = (x^3-x^2-2x)/(x+1) ⇒ x^4+2x+1=(x^3-x^2-2x)(x+1)+(3x^2+4x+1). Logo, (x^4+2x+1)/(3x^2+4x+1) = (x^3−x^2−2x)(x+1)+1)/(x^2−x−2)x(x+1)⇒ x+1+ (3x^2+4x+1)/(3x^2+4x+1)= x+1+∫ (3x^2+4x+1)/(x^2−x−2)xdx = x^2/2+x+∫ (3x^2+4x+1)/(x^2−x−2)xdx. Quanto ao cálculo de ∫(3x^2+4x+1)/(x^2−x−2)dx temos x^3−x^2−2x=(x+1)(x−2). Assim, 3x^2+4x+1)/(x^2−x−2)=A/(x+1)+B/(x−2)⇒3x^2+4x+1/(x^2−x−2)=A(x^2−x)+B(x^2−x−2)+C(x^2−x)/(x+1)(x−2)⇒ { A+B+C=3 -2A-B+C=4 -2B=1 } A=0, B=−1/2, C=7/2. Logo, ∫(3x^2+4x+1)/(x^2−x−2)xdx= resultado. Conclusão: .......... ..........Página 16 de 153 páginas Exemplo 1.28 Calcule a integral ∫(x^2+1)/(x^3−x^2−2x+1)dx, x ≠ 1 e x ≠ −1. Tendo x^3−x^2−x+1(x+1)(x−1)^2. Assim, (x^2+1)/(x^3−x^2−2x+1)=A/(x+1)+B/(x−1)+C/(x−1)^2⇒ (x^2+1)/(x^3−x^2−2x+1)= (A+k)+B/(x−1)^2+C/(x−1) { A+B=0 2A+C=2 A−B+C=1 } A = −1/4, B = 1/4, C = 3/2. Logo, ∫(x^2+1)/(x^3−x^2−2x+1)dx=∫(A/(x+1)+B/(x−1)+C/(x−2)^2)dx .................. (Exemplo 1.29 Calculemos a integral ∫(x^2+1)/(x^2+x+1)dx. Resolução:........ Uma Observação Importante:...... Exemplo 1.30 Calculemos a integral ∫x^2+3)/(x^2+x+1)dx. As raízes do polinômio do denominador são... Nota Importante: .................. Erros........ Edson Agustini augusti@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Cálculo 2 - Estatística UFU Página 17 de 153 páginas Seção de Exercícios Propostos: Integrais Indefinidas Exercício 1.1 Calcule as integrais abaixo: (i) ∫3dx (ii) ∫xdx (iii) ∫5^xdx (iv) ∫√xdx (v) ∫√ x^2 dx (vi) ∫x–4 dx (vii) ∫1/xdx (viii) ∫ x^x-x^2 dx (ix) ∫sen(x)dx (x) ∫sen(2x)dx (xi) ∫cos(5x)dx (xii) ∫cos(√3x)dx (xiii) ∫(1/2−1/2cos(2x))dx (xiv) ∫(cos(3x)+1/2sen(4x))dx (xv) ∫(1/e^3x+sen(3x))dx Exercício 1.2 (i) Verifique que sen^2(x)=1/2 − 1/2cos(2x) e que cos^2(x)=1/2 + 1/2 cos(2x). (ii) Calcule: (a) ∫sen^2(x)dx (b) ∫cos^2(x)dx (c) ∫cos^2(2x)dx (d) ∫sen^2(3x)dx Exercício 1.3 Determine α e β de modo que sen(6x)cos(x)=1/2[sen(αx)+sen(βx)] e calcule ∫sen(6x)cos(x)dx. (sugestão: sen(p)+sen(q)=2sen((p+q)/2) cos((p-q)/2)) Exercício 1.4 (Resolvido) Vamos generalizar o Exercício 1.3, calculando ∫sen(ax)cos(bx)dx, sendo |a|≠|b| constantes fixadas. Resolução do Exercício 1.4 Da trigonometria temos: sen(ax+bx)=sen(ax)cos(bx)+sen(bx)cos(ax) sen(ax−bx)=sen(ax)cos(bx)−sen(bx)cos(ax) Logo, sen(ax)cos(bx)=sen(ax+bx)+sen(ax−bx)/2. Assim, ∫sen(ax)cos(bx)dx= = 1/2 (∫sen((a+b)x)dx+∫sen((a−b)x)dx = 1/2 (–cos((a+b)x)/(a+b) – (–cos((a−b)x)/(a−b) + k =cos((b−a) x)/(2(b−a)) − cos((a+b)x)/(2(a+b)) + k Exercício 1.5 Calcule utilizando a técnica de mudança de variável (substituição). (i) ∫√1−4x^2dx (ii) ∫1/√4−x^2dx (iii) ∫1/√4+x^2dx (iv) ∫1/4+x^2dx (v) ∫sen^2(x)cos(x)dx (vi) ∫√1−x^2/√1+x^2dx (vii) ∫√3−4x^2dx (viii) ∫1/√x−2dx (ix) ∫x^2/1−x^2dx (x) ∫sen(2x+7)dx (xi) ∫1/√ 1+x^2dx (xii) ∫√9−x^2+2x dx (xiii) ∫√9−4x^2dx (xiv) ∫sen^2 x^2+ 2x + 2dx (xv) ∫1/ (3x−5y)dx (xvi) ∫1/√1+√xdx (xvii) ∫x^2 (x+1)^10dx (xviii) ∫x^2√x−1dx (xix) ∫1/(1+√x) dx (xx) ∫sec^2(5x)dx Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini Cálculo 2 - Estatística UFU Página 21 de 153 páginas Capítulo 2 Integrais Definidas 2.1 Integrais e Áreas Para esse capítulo é importante recordarmos a notação sigma para soma. (Σ → sigma maiúsculo, σ → sigma minúsculo) Escrevemos \sum_{i=m}^{n} x_{i} = \sum_{j=m}^{n} x_{j} = \sum_{k=m}^{n} x_{k} = x_{m}+ x_{m+1} + \cdots + x_{n} e notamos que há liberdade para escolha do índice (i, j, ou k) utilizado para representar a soma na notação sigma. Naturalmente m ≤ n são números inteiros, geralmente positivos. Alguns exemplos: \sum_{i=1}^{5} 2i = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 \sum_{j=3}^{6} \frac{1}{3j+1} = \frac{3}{10} + \frac{4}{9} + \frac{5}{11} + \frac{6}{13} \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n A chamada integral definida, que definiremos abaixo, está relacionada com o chamado “Problema das Áreas”: como calcular a área de figuras planas mais gerais que as elementares? Área A = ? Por volta do século III a.C., Arquimedes estudou esse problema por meio do chamado “Método de Exaustão” que consiste em aproximar a área da figura em questão pela soma das áreas de figuras elementares (geralmente triângulos). Vamos considerar a situação na qual desejamos calcular área A da região sob o gráfico de uma função limitada não negativa f : [a, b] ⊂ ℝ → ℝ, y = f (x) ≥ 0, sendo a < b. Como calcular a área abaixo do gráfico de f, acima do eixo cartesiano x e entre as retas verticais x = a e x = b? agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Página 22 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística gráfico de f Seja P = {x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}} ⊂ ℝ tal que a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b. O conjunto P é chamado de partição de [a, b] e divide esse intervalo em n subintervalos. Também chamamos de norma da partição, e indicamos por |P|, o comprimento do maior desses subintervalos. Tomemos \bar{x}_{i} ∈ [x_{i-1}, x_{i}] com i = 1, \ldots , n e consideremos os retângulos R_{i} de base em [x_{i-1}, x_{i}] e altura f(\bar{x}_{i}). Seja A_{i} a área do retângulo R_{i}. Logo, A \approx \sum_{i=1}^{n} A_{i} = \sum_{i=1}^{n} f(\bar{x}_{i})(x_{i} - x_{i-1}). altura base Seja Δx_{i} = x_{i} - x_{i-1}. Assim, A \approx \sum_{i=1}^{n} f(\bar{x}_{i}) Δx_{i} e esta soma é chamada de Soma de Riemann de f relativa à partição P e aos números \bar{x}_{i}. É claro que se fizermos a norma de P diminuir e, consequentemente, aumentarmos o número de elementos na partição P, a área A será melhor aproximada por uma Soma de Riemann, conforme podemos observar na figura abaixo. Desta forma, podemos definir a área A como sendo limite de Somas de Riemann quando |P| tende a zero, ou seja, A = \lim_{|P|→0} \sum_{i=1}^{n} f(\bar{x}_{i}) Δx_{i}. Quando o limite acima existe, ele é chamado de Integral de Riemann, ou Integral Definida, de f no intervalo [a, b], denotado por A = \int_{a}^{b} f(x) dx e dizemos que f é integrável em [a, b]. Notemos que há uma similaridade muito grande entre as notações da integral indefinida e da integral definida. A justificativa para tal similaridade será dada adiante, no chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A função f é chamada de integrando de \int_{a}^{b} f(x) dx, a e b são extremos da integral e dx é o elemento de comprimento da integral. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Cálculo 2 - Estatística UFU Página 23 de 153 páginas Notemos também que, ao contrário da integral indefinida, que é um conjunto de funções, a integral definida é um conjunto numérico. Por fim, devemos notar que a símbolo \int da integral lembra um “s” e é inspirado no sigma maiúsculo \sum da soma que aparece no limite da definição da integral definida. Além disso o elemento de comprimento dx está correlacionado com o Δx. Observações importantes: (i) Se y = f (x) ≤ 0 for limitada não positiva, o raciocínio acima nos conduz a \int_{a}^{b} f (x) dx = −A, sendo A a área acima do gráfico de f, abaixo do eixo x, entre x = a e x = b. gráfico de f (ii) Seja f : [a, b] → ℝ limitada. Se f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ c e f (x) ≤ 0 para c < x ≤ b temos \int_{a}^{b} f (x) dx = A_{1} − A_{2}, sendo: A_{1} a área abaixo do gráfico de f, acima do eixo x, entre x = a e x = c. A_{2} a área acima do gráfico de f, abaixo do eixo x, entre x = c e x = b. gráfico de f (iii) Se a = b, não é possível tomar partições de [a, b] conforme fizemos acima, mas é natural considerar geometricamente que, neste caso, \int_{a}^{b} f (x) dx = 0. Sendo assim, definimos que \int_{a}^{a} f (x) dx = 0 sendo k número real fixo. (iv) O desenvolvimento que fizemos acima só faz sentido para a < b. Entretanto, há situações em que é interessante considerar \int_{a}^{b} f (x) dx com a > b. Neste caso, definimos que \int_{a}^{b} f (x) dx = − \int_{b}^{a} f (x) dx. (v) Toda função f contínua em [a, b] é, naturalmente, integrável. Entretanto, há funções limitadas não contínuas que também são integráveis. Proposição 2.1 (Propriedades) Sejam f, g : [a, b] ⊂ ℝ → ℝ funções integráveis em [a, b]. (1) \int_{a}^{b} (f(x) ± g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx ± \int_{a}^{b} g(x) dx. (2) \int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx para qualquer k constante real. (3) Se a < c < b, então \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx. (4) Se f (x) ≤ g (x) para qualquer x ∈ [a, b], então \int_{a}^{b} f (x) dx ≤ \int_{a}^{b} g (x) dx. Como caso particular, se 0 ≤ g (x), então 0 ≤ \int_{a}^{b} g (x) dx. Além disso, a área A da região entre os gráficos das funções f e g entre a e b é dada por agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Cálculo 2 - Estatística UFU Página 27 de 153 páginas Mas para x = a temos A (a) = ∫_a^a f (u) du = 0 e, portanto, k = −F (a). Para x = b temos A (b) = F (b) − F (a). Entretanto, A (b) = ∫_a^b f (u) du, de onde concluímos ∫_a^b f (u) du = F (b) − F (a) que, na notação original, é dada por ∫_a^b f (x) dx = F (b) − F (a), como queríamos. Uma consequência direta do TFC é dada por: d/dx (∫_a^x f (u) du) = F (x) − F (a) ⇒ d/dx (∫_a^x f (u) du) = d/dx (F (x) − F (a)) = F’ (x) − 0 ⇒ d/dx (∫_a^x f (u) du) = f (x), que é muito útil no estudo das chamadas equações diferenciais ordinárias (EDO). Neste contexto, observemos que o extremo superior da integral é variável. Portanto, na integral há duas variáveis: x e u. Nesta situação, às vezes chamamos a variável u de variável muda. Exemplo 2.1 Calculemos ∫_0^b xdx, sendo b > 0 constante, de duas formas diferentes: usando o TFC e usando direta- mente a definição. Primeiramente observemos que neste caso podemos calcular a integral usando geometria plana elementar, uma vez que o gráfico de f é um segmento de reta e a área A abaixo do gráfico de f e acima do eixo x, com 0 ≤ x ≤ b, é um triângulo retângulo com base medindo b e altura medindo f (b) = b. Portanto, A = b²/2. (i) Pelo TFC temos f (x) = x e F (x) = x²/2 (uma primitiva de f) sendo 0 ≤ x ≤ b. Logo, ∫_0^b xdx = x²/2 |_0^b = b²/2 − 0²/2 = b²/2. (ii) Utilizando definição: fixemos n ∈ N e tomemos a partição P = {x₀, x₁, … , xₙ} = {0, b/n, 2b/n, 3b/n, …, nb/n}. Escolhamos os números xᵢ, 1 ≤ i ≤ n, nos extremos superiores dos subintervalos da partição, ou seja, xᵢ = ib/n. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Página 28 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística Seja A a área abaixo do gráfico de f e acima do eixo x, com 0 ≤ x ≤ b. Logo, A = ∫_0^b f (x) dx = lim |P|→0 ∑_{i=1}^n f (xᵢ) Δxᵢ = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n xᵢ (xᵢ - xᵢ₋₁) = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n i b/n (ib/n - (i-1) b/n) = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n i b²/n² = lim n→+∞ b²/n² ∑_{i=1}^n i Mas a soma ∑_{i=1}^n i pode ser calculada. Para tanto, lembremos que (k + 1)² - k² = (k + 1 + k) (k + 1 - k) = 2k + 1. Logo, k = 1 → 2² - 1² = 2.1 + 1 k = 2 → 3² - 2² = 2.2 + 1 k = 3 → 4² - 3² = 2.3 + 1 k = 4 → 5² - 4² = 2.4 + 1 … k = n → (n + 1)² - n² = 2.n + 1 Somando as igualdades temos (n + 1)² - 1 = 2 (1 + 2 + 3 + ⋯ + n) + (1 + 1 + ⋯ + 1) ⇒ n vezes n² + 2n + 1 - 1 = 2 (∑_{i=1}^n i) + n ⇒ ∑_{i=1}^n i = n.n + n/2 ⇒ ∑_{i=1}^n i = n(n+1)/2 Substituindo: ∫_0^b f (x) dx = lim n→+∞ b²/n² * n(n + 1)/2 = lim n→+∞ b²(n + 1)/2n = lim n→+∞ b²/2 + b²/2. Exemplo 2.2 Calcule ∫_0^b x² dx sendo b > 0 constante de duas formas diferentes: usando o TFC e usando diretamente a definição. Observe a área sob o gráfico neste caso. Não dá para calculá-la utilizando fórmulas de geometria plana elementar. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br Cálculo 2 - Estatística UFU Página 29 de 153 páginas Seja A a área abaixo do gráfico de f e acima do eixo x, com 0 ≤ x ≤ b. Logo, A = ∫_0^b f (x) dx = lim |P|→0 ∑_{i=1}^n f (xᵢ) Δxᵢ = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n (xᵢ)² (xᵢ - xᵢ₋₁) = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n (ib/n) ² (ib/n - (i - 1) b/n) = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n (ib/n) ² b/n = lim n→+∞ ∑_{i=1}^n i² b³ /n³ = lim n→+∞ b³/n³ ∑_{i=1}^n i² Mas a soma ∑_{i=1}^n i² também pode ser calculada. Para tanto, lembremos que (k + 1)³ - k³ = (k + 1 - k) ((k + 1)² + (k + 1) k + k²) = k² + 2k + 1 + k² + k + k² = 3k² + 3k + 1 Logo, k = 1 → 2³ - 1³ = 3.1² + 3.1 + 1 k = 2 → 3³ - 2³ = 3.2² + 3.2 + 1 k = 3 → 4³ - 3³ = 3.3² + 3.3 + 1 k = 4 → 5³ - 4³ = 3.4² + 3.4 + 1 … k = n → (n + 1)³ - n³ = 3.n² + 3.n + 1 Somando as igualdades temos (n + 1)³ - 1 = 3 (1² + 2² + 3² + ⋯ + n²) + 3 (1 + 2 + 3 + ⋯ + n) + (1 + 1 + ⋯ + 1) ⇒ n vezes (n + 1)³ - 1 = 3 (∑_{i=1}^n i²) + 3 (∑_{i=1}^n i) + n ⇒ ∑_{i=1}^n i² = 2(n+1)(2n+1)-3n(n+1)/6 ∑_{i=1}^n i = n(n+1)/2 Substituindo: ∫_0^b f (x) dx = lim n→+∞ b³/n³ ∑_{i=1}^n i² = lim n→+∞ b³(n+1)(2n+1)/6n³ = lim n→+∞ b³(n+1)(n+1)/6n³ = lim n→+∞ b³ 1 + 1/n/6 Exemplo 2.3 Resolva ∫_{-2}^1 x³ dx. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Página 30 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística Pelo TFC: \[ \int_{-1}^{2} x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \left(\frac{-1}{4}\right)^{4} = \frac{15}{4}. \] Observações sobre esse exemplo: (i) O gráfico de \(f(x) = x^3\) está abaixo do eixo x no intervalo \([-1, 0] \). Logo, sendo \( A_1 \) a área acima do gráfico de \( f \) e abaixo do eixo x no intervalo \([-1, 0] \), temos \( -A_1 = \int_{-1}^{0} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}\big|_{-1}^{0} = 0 - \frac{1}{4} \), ou seja, \( A_1 = \frac{1}{4}. \) (ii) O gráfico de \( f(x) = x^3 \) está acima do eixo x no intervalo \([0, 2] \). Logo, sendo \( A_2 \) a área abaixo do gráfico de \( f \) e acima do eixo x no intervalo \([0, 2] \), temos \( A_2 = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}\big|_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - 0 \), ou seja, \( A_2 = 4 \). Como \( \int_{-1}^{2} x^3 \, dx = \int_{-1}^{0} x^3 \, dx + \int_{0}^{2} x^3 \, dx = -\frac{1}{4} + 4 = \frac{15}{4} \) vemos que o valor da integral corresponde a \( A_2 - A_1 \), ou seja, área acima do eixo x menos área abaixo do eixo x. (iii) Se quiséssemos calcular essa integral utilizando diretamente a definição de integral definida, precisaríamos de uma expressão para a soma \( \sum_{i=1}^{n} i^3 \). É um bom exercício provar que \[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2}. \] Exemplo 2.4 Obter a área limitada pela curva \( y = x^2 - x^3 \) e o eixo das abscissas. A curva \( y = x^2 - x^3 \) intersecta o eixo das abscissas em \( x = 0 \) e \( x = 1 \) (basta resolver a equação \( x^2 - x^3 = 0 \), ou seja, \( x^2 (1 - x) = 0 \). Fazendo \( y = f(x) \) podemos traçar com precisão o gráfico de \( f \) por meio de suas duas primeiras derivadas. gráfico de f Vemos que a região em questão está entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). Logo, \[ A = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left. \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}. \] Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br Cálculo 2 - Estatística UFU Página 31 de 153 páginas 2.3 Técnicas de Integração na Integral Definida 2.3.1 O Método da Substituição (ou Método da Mudança de Variáveis) na Integral Definida O cálculo de uma integral definida se resume, graças ao TFC, à procura de uma primitiva da função a ser integrada. Sendo assim, muitas vezes podemos utilizar os métodos de cálculo de primitiva em conjunto com o TFC. O próximo teorema relaciona o método da substituição (ou mudança de variáveis) com integrais definidas. Proposição 2.4 Sejam \( f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) contínua em \([a, b] \) e \( g : [c, d] \rightarrow [a, b] \) tal que \( g' \) é contínua, \( g (c) = a \) e \( g (d) = b \). Então, \[ \int_{a}^{b} f (x) \, dx = \int_{c}^{d} f ( g (u) ) g' (u) \, du. \] Observemos que na proposição acima estamos fazendo a mudança de variável \( x = g (u) \). Demonstração da Proposição 2.4 Seja \( F \) uma primitiva de \( f \), ou seja, \( F' = f \). Temos, pela Regra da Cadeia, \[ (F (g (u)))' = F' (g (u)) g' (u) = f ( g (u)) g' (u). \] Isto significa que, pelo TFC, \[ \int_{c}^{d} f ( g (u)) g' (u) \, du = F ( g (d) ) - F (g(c)) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) \, dx, \] como queríamos. \( \square \) Exemplo 2.5 Calculemos \( \int_{0}^{1} (x-1)^{10} \, dx \). Façamos a mudança de variáveis \( u = x-1 \). Logo, \( \frac{du}{dx} = 1 \), ou seja, \( du = dx \). Quando \( x = 0 \) em \( u = x-1 \) temos \( u = -1 \). Quando \( x = 1 \) em \( u = x-1 \) temos \( u = 0 \). Fazendo a substituição na integral temos \[ \int_{0}^{1} (x-1)^{10} \, dx = \int_{-1}^{0} u^{10} \, du = \left. \frac{u^{11}}{11} \right|_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{1}{11} \right)^{11} = \frac{1}{11}. \] Observação 1: fazendo correlação com a Proposição 2.4 acima, temos \( a = 0 \), \( b = 1 \), \( f(x) = (x-1)^{10} \), \( x = g(u) = u+1 \), \( c = -1 \), \( d = 0 \) (pois \( g(-1) = a = 0 \) e \( g(0) = b = 1) \), \( f(g(u)) = \left(g'(u) \right) \left. \frac{u^{10}}{11} \right|_{-1}^{0} \). Observação 2: obviamente podemos usar o TFC direto se tivermos uma primitiva de \( f(x) = (x-1)^{10} \), que neste caso pode ser \( F(x) = \left(x-1\right)^{11}, \). Assim, \[ \int_{0}^{1} (x-1)^{10} \, dx = \left. \frac{(x-1)^{11}}{11} \right|_{0}^{1} = 0 - \left(-\frac{1}{11} \right)^{11} = \frac{1}{11}. \] Exemplo 2.6 Calculemos \( \int_{0}^{\pi} \sen (5x) \, dx \). Façamos a mudança de variáveis \( u = 5x \). Logo, \( \frac{du}{dx} = 5 \), ou seja, \( dx = \frac{du}{5} \). Quando \( x = 0 \) em \( u = 5x \) temos \( u = 0 \). Quando \( x = \pi \) em \( u = 5x \) temos \( u = 5\pi \). Fazendo a substituição na integral temos \[ \int_{0}^{\pi} \sen (5x) \, dx = \int_{0}^{5\pi} \frac{\sen u}{5} \, du = \frac{1}{5} \left[ \frac{\sen (u)}{5} \right]_{0}^{5\pi} = \frac{1}{5} \left( -\cos (5\pi) - (-\cos (0)) \right) = \frac{1}{5} ( -1 - ( -1 )) = \frac{2}{5}. \] Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br Página 32 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística Exemplo 2.7 Calculemos \( \int_{0}^{\pi} x \cos (x^2) \, dx \). Façamos a mudança de variáveis \( u = x^2 \). Logo, \( \frac{du}{dx} = 2x \), ou seja, \( dx = \frac{du}{2x} \). Quando \( x = 0 \) em \( u = x^2 \) temos \( u = 0 \). Quando \( x = \pi \) em \( u = x^2 \) temos \( u = \pi^2 \). Fazendo a substituição na integral temos \[ \int_{0}^{\pi} x \cos (x^2) \, dx = \int_{0}^{\pi^2} x \cos (u) \frac{du}{2x} = \int_{0}^{\pi^2} \cos (u) \, du = \frac{1}{2} \left( \sen (u) \right)_{0}^{\pi^2} \] \[ = \frac{1}{2} \left( \sen (\pi^2) - (\sen (0)) \right) = \frac{\sen (\pi^2)}{2}. \] Exemplo 2.8 Calculemos \( \int_{-1}^{1} |x| \sqrt{1+x^2} \, dx \). Observemos que se fizermos \( u = 1 + x^2 \) temos \( x = g (u) = \pm\sqrt{u-1} \) (pois \(-1 \le x \le 1\) e, portanto, \( g \) não está bem definida. Temos que separar a integral em duas: uma para \( x \) negativo e outra para \( x \) positivo. Lembrando que \(|x| = -x\) para \( x \) negativo e \(|x| = x\) para \( x \) positivo, temos: \[ \int_{-1}^{1} |x| \sqrt{1+x^2} \, dx = \int_{-1}^{0} -x \sqrt{1+x^2} \, dx + \int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx. \] Para a primeira integral façamos \( x = -\sqrt{u-1} \), ou seja, \( u = 1 + (-x)^2 \). Logo, \( \frac{du}{dx} = 2(-x)(-1) = 2x \), ou seja, \( dx = \frac{du}{2x} \). Quando \( x = -1 \) em \( u = 1 + (-x)^2 \) temos \( u = 2 \). Quando \( x = 0 \) em \( u = 1 + (-x)^2 \) temos \( u = 1 \). Fazendo a substituição na integral temos \[ \int_{-1}^{0} -x \sqrt{1+x^2} \, dx = \int_{1}^{2} -x \sqrt{u} \frac{du}{2x} = \left[ -\frac{1}{2} \right]_{1}^{2} \sqrt{u} \, du = -\frac{1}{2} \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) \] \[ = -\frac{1}{2} \left(3 - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) = 2 \sqrt{2} - 3. \] Para a segunda integral façamos \( x = \sqrt{u-1} \), ou seja, \( u = 1 + x^2 \). Logo, \( \frac{du}{dx} = 2x \), ou seja, \( dx = \frac{du}{2x} \). Quando \( x = 0 \) em \( u = 1 + x^2 \) temos \( u = 1 \). Quando \( x = 1 \) em \( u = 1 + x^2 \) temos \( u = 2 \). Fazendo a substituição na integral temos \[ \int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx = \int_{1}^{2} x \sqrt{u} \frac{du}{2x} = \left[ \frac{1}{2} \right]_{1}^{2} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left(4\sqrt{2} - \frac{2}{3} \right) = 2 \sqrt{2} - 1. \] Assim, \[ \int_{-1}^{1} |x| \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{3}{2} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right). \] Uma observação importante: um erro de procedimento muito comum é não dividir a integral original em duas e fazer a substituição \( x = \sqrt{u-1} \) sem ficar atento aos extremos da integral. Neste caso, a substituição conduz a uma integral da forma \( \int_{1}^{2} \sqrt{u} \frac{du}{2} \) que é nula, conduzindo, assim, a uma resposta errada! 2.3.2 O Método da Integração por Partes na Integral Definida No capítulo anterior aprendemos o Método da Integração por Partes. Ao calcular uma integral definida, como relacionamos os extremos da integral com esse método? A resposta é muito simples: Proposição 2.5 Sejam \( f, g : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) deriváveis e com derivadas contínuas. Suponhamos que \((gf)' : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) possuam primitivas. Então, \[ \int_{a}^{b} f (x) g' (x) \, dx = f (x) g (x)\big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} g (x) f' (x) \, dx. \] Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br Cálculo 2 - Estatística UFU Página 33 de 153 páginas Exemplo 2.9 Calculemos ∫2₁ x ln(x) dx. Fazendo { u = ln(x) ⇒ du/dx = 1/x ⇒ du = dx/x dv = xdx ⇒ dv/dx = x ⇒ v = x²/2 ∫ x ln(x) dx = ∫ udv = uv - ∫ vdu ⇒ ∫2₁ x ln(x) dx = x²/2 ln(x)|²₁ - ∫2₁ x²/x = x²/2 ln(x)|²₁ - 1/2 (x²/2|²₁) ⇒ ∫2₁ x ln(x) dx = 2²/2 ln(2) - 1²/2 ln(1) - 1/2 (2²/2 - 1²/2) ⇒ ∫2₁ x ln(x) dx = 2 ln(2) - 3/4. 2.4 Integrais Definidas em Coordenadas Polares 2.4.1 O Sistema de Coordenadas Polares Até aqui estudamos integrais de funções no Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais, entretanto, sabemos da Geometria Analítica que há o chamado Sistema de Coordenadas Polares. Antes de introduzir as integrais em coordenadas polares, relembremos de forma resumida tal sistema. Consideremos um eixo de origem O em um plano (esse eixo pode ser pensado como sendo o eixo das abcissas Ox do sistema cartesiano). Chamaremos este eixo de eixo polar e a origem O será chamada de pólo. Dizemos que um plano com um eixo polar fixado está munido do Sistema de Coordenadas Polares que, simplificamente, será dito plano polar. Semelhante ao sistema cartesiano, é usual chamar os números reais associados aos pontos do eixo polar de abcissas (o ponto O possui abcissa nula). Por fim, para manter a analogia com o o eixo das abcissas do sistema cartesiano, também indicaremos o eixo polar com a notação Ox. Associando pares ordenados de números reais a pontos no plano polar (1) Partindo do par ordenado Dado um par ordenado (r, θ) de números reais, há um único ponto P no plano polar associado ao este par ordenado, e sua localização se processa do seguinte modo: (1 – i) gira-se o eixo polar Ox, em torno do pólo O, de θ radianos: no sentido anti-horário, quando θ ≥ 0; ou no sentido horário, quando θ < 0. (1 – ii) localiza-se o ponto P de abcissa r no eixo polar Ox girado. O ponto P está associado, portanto, às coordenadas polares (r, θ) e escreveremos P (r, θ). Alguns autores utilizam a notação P [r; θ], com ponto e vírgula separando as coordenadas. Adotaremos essa notação. A figura abaixo ilustra o procedimento acima para r > 0, r < 0, θ > 0 e θ < 0. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Página 34 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística (2) Partindo do ponto Dado um ponto P ≠ O, sendo O o pólo do eixo polar, para encontrar suas coordenadas polares procedemos do seguinte modo: (2 – i) liga-se o ponto P ao pólo O. A medida (positiva), em radianos, do ângulo orientado no sentido anti-horário a partir da semirreta formada pela parte positiva do eixo polar e o segmento OP é designada por θ. (2 – ii) a distância entre P e O é designada por r. Logo, P (r, θ) está dado em coordenadas polares (a figura acima no canto superior esquerdo ilustra esse procedi-mento). Quando P = O escrevemos P (0; θ), sendo θ qualquer número real. Observa-se imediatamente que no procedimento (2) descrito acima, para P ≠ O, temos r > 0 e 0 < θ < 2π. Na verdade, partindo do ponto P, precisaríamos apenas de r e θ nesses intervalos para que tenhamos uma correspondência bijuntiva entre os pontos do plano polar, sem o pólo O, e as coordenadas polares dos mesmos. Ao contrário do sistema cartesiano, onde o plano está em correspondência bijuntiva com R², no sistema de coordenadas polares isso não ocorre. Por exemplo, em coordenadas polares, P1 (1;π), P2 (1;-π), P3 (1; 3π), P4 (-1;0) e P5 (-1;2π) são todos, na verdade, um mesmo ponto (que é o ponto P (-1,0) em coordenadas cartesianas). Embora haja a desvantagem da ausência de bijeção entre pontos do plano e R² no sistema de coordenadas polares, o que interessa para nosso estudo é o procedimento (1) descrito acima, ou seja, temos as coordenadas (r; θ) (ou melhor, uma equação envolvendo as coordenadas r e θ) e queremos localizar os pontos associados no plano polar. Por fim, é extremamente importante relacionarmos as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares. Essa relação é dada pela proposição abaixo: Proposição 2.6 Consideremos um plano munido do Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais e do Sistema de Coordenadas Polares, nos quais os eixos polar e das abcissas coincidem. Então, as coordenadas cartesianas (x, y) e as coordenadas polares (r; θ) de um mesmo ponto P satisfazem {x = r cos(θ) y = r sen(θ) Exemplo 2.10 O ponto P (1, 1) em coordenadas cartesianas pode ser escrito em coordenadas polares como P (√2, π/4). Observemos que { 1 = √2 cos(π/4) 1 = √2 sen(π/4). A figura abaixo ilustra esse exemplo. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Cálculo 2 - Estatística UFU Página 35 de 153 páginas Exemplo 2.11 Dado os pontos em coordenadas polares P1 (2;0), P2 (3;π/4), P3 (-3;π/4), P4 (2;3π/4) e P5 (2;7π/4), a figura abaixo ilustra-os no plano polar. Esses pontos em coordenadas cartesianas são dados por P1 (x,y) = P1 (r cos( θ), r sen( θ)) = P1 (2 cos(0), 2 sen(0)) = P1 (2(1), 2(0)) = P1 (2,0) P2 (x,y) = P2 (r cos( θ), r sen( θ)) = P2 (3 cos(π/4), 3 sen(π/4)) = P2 (3√2/2, 3√2/2) P3 (x,y) = P3 (r cos( θ), r sen( θ)) = P3 (-3 cos(π/4), -3 sen(π/4)) = P2 (-3√2/2, -3√2/2) P4 (x,y) = P4 (r cos( θ), r sen( θ)) = P4 (2 cos(3π/4), 2 sen(3π/4)) = P2 (-√2, √2) P5 (x,y) = P5 (r cos( θ), r sen( θ)) = P5 (2 cos(7π/4), 2 sen(7π/4)) = P2 (√2, -√2) 2.4.2 Curvas e Funções em Coordenadas Polares À semelhança do que ocorre no plano cartesiano, uma equação nas variáveis polares r e θ pode representar uma curva no plano polar. Quando é possível colocar r em função de θ, ou seja, quando é possível isolar r, temos uma função r = f(θ) em coordenadas polares. Obviamente, podemos traçar curvas ou gráficos de funções no plano polar. Exemplo 2.12 A equação polar r = 2 representa uma circunferência de raio 2 e centro no polo. No plano cartesiano, trata-se de uma circunferência de raio 2 e centro na origem. De fato: x² + y² = 2² ⟺ (r cos(θ))² + (r sen(θ))² = 2² ⟺ r² (cos²(θ) + sen²(θ)) = 2² ⟺ r² = 2² ⟺ r = ±2. Exemplo 2.13 A equação θ = π/4 representa uma reta com coeficiente angular 1 passando pelo polo. No plano cartesiano, trata-se de uma reta de coeficiente angular 1 passando pela origem. De fato: y = x ⟺ y = r sen( θ) = r cos (θ) ⟺ sen(θ) = cos(θ) ⟺ θ = π/4 + kπ, k ∈ Z. Exemplo 2.14 A equação r = sen(θ), com 0 ≤ θ < π, representa uma circunferência de raio 1/2 passando pelo polo e centro no ponto (1/2, 1). No plano cartesiano, trata-se de uma circunferência de raio 1/2 passando pela origem e centro no ponto (0, 1/2). De fato: x² + (y - 1/2)² = (1/2)² ⟺ (r cos(θ))² + (r sen(θ) - 1/2)² = (1/2)² ⟺ r² cos²(θ) + r² sen²(θ) - r sen(θ) + 1/4 = 1/4 ⟺ r² (cos²(θ) + sen²(θ)) - r sen(θ) = 0 ⟺ ⟹ r (r - sen(θ)) = 0 ⟺ r (r - sen(θ)) = 0 ⟹ r = sen(θ) (pois r ≠ 0) ⟹ r = sen(θ) agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini Página 36 de 153 páginas UFU Cálculo 2 - Estatística Abaixo seguem alguns exemplos mais gerais de curvas em coordenadas polares (não necessariamente gráficos de funções em coordenadas polares). Exemplo 2.15 Retas. No plano polar, o lugar geométrico (conjunto) dos pontos P (r; θ) tais que: (i) θ = k (k ∈ ℝ constante) é uma reta passando pelo pólo. (ii) r cos(θ) = k é uma reta perpendicular à reta Ox. (iii) r sen(θ) = k é uma reta paralela à reta Ox. Na figura abaixo no canto superior esquerdo temos a reta de equação polar θ = π/4. Exemplo 2.16 Circunferências. No plano polar, o lugar geométrico dos pontos P (r; θ) tais que: (i) r = k (k ≠ 0 constante real) é uma circunferência de centro no pólo e raio |k|. (ii) r = k cos(θ), k ≠ 0, é uma circunferência de centro na reta Ox e raio |k/2|. (iii) r = k sen(θ), k ≠ 0, é uma circunferência de centro na reta perpendicular à reta Ox passando pelo pólo e raio |k/2|. Na figura abaixo na parte superior central temos a circunferência de equação polar r = sen(θ) (que tem raio 1/2 e centro cartesiano (0, 1/2) ). Cálculo 2 - Estatística UFU Página 37 de 153 páginas 2.4.3 Áreas e Integrais Definidas no Plano Polar Como calcular a área de regiões delimitadas por curvas em coordenadas polares? No sistema cartesiano a aproximação de áreas por Somas de Riemann teve por base retângulos, com base Δx_i e altura f(x_i) sendo y = f(x) uma função. No sistema polar, também podemos adaptar a mesma ideia de aproximação de áreas por Somas de Riemann. Entretanto, nesse caso, ao invés de retângulos, consideramos setores angulares de abertura (medida de ângulo) Δθ_i = θ_i - θ_{i-1 } e raio 𝑟_i = 𝑓 (θ_i). Obviamente, devemos ter uma função 𝑟 = 𝑓(θ) em coordenadas polares. A figura abaixo ilustra essa ideia. Recordemos da Geometria Euclidiana Plana que a área de um setor angular de abertura θ (em radianos) e raio 𝑟 é 𝑟^2θ/2. P´agina 42 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br P´agina 50 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br P´agina 66 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica (3) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de y = x 2 + 1 2, 1 ⩽ x ⩽ 3, em torno do eixo x. (4) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de y = x 2 + 1 2, 1 ⩽ x ⩽ 3, em torno do eixo y. (5) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de y = x3 9 , 0 ⩽ x ⩽ 2, em torno do eixo x. (6) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de y = √x, 3 4 ⩽ x ⩽ 15 4 , em torno do eixo x. (7) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de y = √ 2x − x2, 1 2 ⩽ x ⩽ 3 2, em torno do eixo x. (8) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de x = 2√4 − y, 0 ⩽ y ⩽ 15 4 , em torno do eixo y. (9) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de x = √2y − 1, 5 8 ⩽ y ⩽ 1, em torno do eixo y. (10) superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pelo giro de x = ey+e−y 2 , 0 ⩽ y ⩽ ln (2), em torno do eixo y. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 67 de 153 p´aginas Cap´ıtulo 5 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDO’s) de 1a. Ordem Neste cap´ıtulo abordaremos algumas classes das chamadas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (EDO’s) de 1 a. ordem e t´ecnicas de resolu¸c˜ao que fazem uso direto das integrais de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real que foram estudadas previamente. 5.1 Nomenclatura Relativa `as Equa¸c˜oes Diferenciais Nesta se¸c˜ao apresentamos uma pequena introdu¸c˜ao e a nomenclatura relativa `as chamadas equa¸c˜oes diferenciais. Trata-se de uma introdu¸c˜ao de cunho geral, para que possamos dimensionar o universo dessas equa¸c˜oes. Mais adiante vamos nos restringir `as equa¸c˜oes de 1a. ordem. Comecemos com a defini¸c˜ao de equa¸c˜ao diferencial. Uma equa¸c˜ao diferencial ´e uma equa¸c˜ao envolvendo uma fun¸c˜ao, suas derivadas e suas vari´aveis independentes. Pelo menos uma das derivadas deve estar presente na equa¸c˜ao. Quando em uma equa¸c˜ao diferencial temos uma fun¸c˜ao, por exemplo, y = f (x) e suas derivadas (todas dependentes da vari´avel x), ´e comum escrever y = y (x) no lugar de y = f (x) e y′ = y′ (x) no lugar de y′ = f′ (x). Mais ainda: ´e comum simplificar a nota¸c˜ao, omitindo a vari´avel independente x e escrevendo apenas a variavel dependente y no lugar de y (x). De forma an´aloga com mais do que uma vari´avel independente: escrevemos y = y (u, v) no lugar de y = f (u, v), yu = yu (u, v) no lugar de yu = fu (u, v) (ou no lugar de ∂y ∂u = ∂f ∂u (u, v)), e assim por diante. Mas aten¸c˜ao: sempre deve ficar muito claro quais s˜ao as vari´aveis dependentes e quais s˜ao as vari´aveis independentes na equa¸c˜ao diferencial. Vejamos alguns exemplos para fixar a nota¸c˜ao e entender melhor essas considera¸c˜oes. Exemplo 5.1 y′ = 3y2 sen (t + y), sendo y = y (t), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Observa¸c˜ao: y = y (t) significa que y ´e uma fun¸c˜ao de t, ou seja, y depende de t. Assim, t ´e vari´avel independente e y ´e vari´avel dependente. Exemplo 5.2 y′′′ = e−y + t + y′′, sendo y = y (t), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Exemplo 5.3 y′′ = ax + bx + c, sendo a, b e c constantes reais e y = y (x), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Exemplo 5.4 y′′ = a, sendo a constante real e y = y (x), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Exemplo 5.5 1 γ (γT ′)′ = 0, sendo T = T (γ), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Exemplo 5.6 yuu + yv + ey = uv, sendo y = y (u, v), ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Observa¸c˜ao: Note que aqui y depende de duas vari´aveis, que s˜ao u e v. A nota¸c˜ao yv significa que estamos derivando a fun¸c˜ao y em rela¸c˜ao `a vari´avel v, enquanto que yuu significa que estamos derivando y em rela¸c˜ao `a vari´avel u duas vezes. As fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, suas derivadas (chamadas de derivadas parciais) e suas integrais (chamadas de integrais m´ultiplas) s˜ao estudadas `a parte. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 81 de 153 p´aginas 5.8 Problemas Envolvendo a “Lei de Decaimento Radioativo” Decaimento radioativo ´e o processo pelo qual ´atomos inst´aveis (radioativos) podem emitir massa ou radia¸c˜ao para o ambiente. Por exemplo: • Carbono-14 ´e um is´otopo radioativo do carbono e pode decair (“transformar-se”), com o passar do tempo, em Nitrogˆenio-14, que ´e est´avel (n˜ao radioativo). O is´otopo “comum” do carbono, o Carbono-12 ´e est´avel, ou seja, n˜ao ´e radioativo. Obs.: dois elementos qu´ımicos s˜ao is´otopos quando possuem o mesmo n´umero de pr´otons e el´etrons, mas diferem no n´umero de neutrons. • Urˆanio-238 ´e radioativo e pode dacair, ap´os uma s´erie de transforma¸c˜oes intermedi´arias, em Chumbo-206, que n˜ao ´e radioativo. O tempo de decaimento de um ´atomo que iniciou esse processo de transforma¸c˜ao depende do elemento qu´ımico. ´E comprovado experimentalmente que a taxa de decaimento radioativo de um elemento qu´ımico, em rela¸c˜ao ao tempo, em uma amostra, ´e proporcional `a quantidade de ´atomos do elemento presente na amostra. Isto significa que a taxa de decaimento radioativo segue a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial, que vimos acima. Se y = y (t) ´e a quantidade de ´atomos radioativos da amostra no instante t, ent˜ao y′ = ky. Isso significa que, a menos de sinal, y′ (t) ´e a quantidade de ´atomos da amostra que est´a deixando de ser radioativo, por unidade de tempo, no instante t. Como y = y (t) est´a diminuindo, temos y′ (t) < 0 e, portanto, k < 0. Para evitar trabalhar com k negativo, alguns autores adotam k = −λ com λ positivo. Sendo assim, a EDO considerada ´e y′ = −λy, cuja solu¸c˜ao ´e y = Ae−λt. Todo ser vivo (animal ou vegetal) possui Carbono-14 em uma quantidade proporcional ao Carbono-12 no corpo. Essa propor¸c˜ao ´e aproximadamente a mesma propor¸c˜ao de Carbono-14 e Carbono-12 na atmosfera. Quando o organismo morre, o Carbono-14 presente no corpo come¸ca a decair. Sabemos, por meio de experimentos, que o tempo necess´ario para que a metade dos ´atomos de Carbono-14 de uma amostra decaia ´e de aproximadamente 5.700 anos. Esse ´e o chamado tempo de meia-vida do Carbono-14. Sendo assim, por meio da medi¸c˜ao da quantidade de Carbono-14 em um corpo que j´a foi orgˆanico ´e poss´ıvel saber a data aproximada de sua morte. Exemplo 5.35 Por meio da compara¸c˜ao da rela¸c˜ao Carbono-14 Carbono-12 na atmosfera e Carbono-14 Carbono-12 em um osso fossilizado, concluimos que 10% do Carbono-14 do osso decaiu. Qual ´e a idade aproximada do f´ossil? Consideremos que o tempo de meia-vida do Carbono-14 ´e de 5.700 anos. Resolu¸c˜ao. Seja y = y (t) a quantidade de ´atomos de Carbono-14 no osso fossilizado, sendo t o tempo medido em anos. Sejam t0 = 0 o instante da morte do organismo e t1 o instante atual. Queremos t1. Como o decaimento radioativo segue a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial, temos y′ = ky, cuja solu¸c˜ao ´e y = Aekt. Ap´os t1 anos da morte do organismo, h´a 90% de Carbono-14 no osso. Logo, y (t1) = 0, 9y (0) ⇒ Aekt1 = 0, 9Aek0 ⇒ kt1 = ln (0, 9) . Mas o tempo de meia-vida do Carbono-14 ´e de 5700 anos. Isso significa que y (5700) = 0, 5y (0) ⇒ Aek5700 = 0, 5Aek0 ⇒ 5700k = ln (0, 5) ⇒ k = ln(0,5) 5700 . Deste modo, ln(0,5) 5700 t1 = ln (0, 9) ⇒ t1 = 5700 ln(0,9) ln(0,5) ∼= 866 anos. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini P´agina 82 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica 5.8.1 Curiosidade Hist´orica: Um Modelo Matem´atico para Detectar Falsifica¸c˜oes em Obras de Arte de Van Meegeren Esta se¸c˜ao ´e um suplemento `as notas de aulas e sua leitura n˜ao ´e obrigat´oria no estudo das EDO’s. O conte´udo foi baseado principalmente na referˆencia: Braun, M. Differential Equations and Their Applications. Short version. New York: Springer Verlag. 1978. Ap´os o t´ermino da Segunda Guerra Mundial, em 1945, os governos dos pa´ıses europeus, dentre eles o governo holandˆes, empenharam esfor¸cos em investiga¸c˜oes para localizar, prender e julgar criminosos de guerra e colaboradores dos nazis- tas. Nesse per´ıodo, foram encontradas pelo ex´ercito aliado, em uma mina de sal na ´Austria, uma enorme quantidade de obras de arte pilhadas dos pa´ıses ocupados pelos alem˜aes e escondidas l´a pelos nazistas. Imediatamente, foram convocados especialistas em arte, para a identifica¸c˜ao e o repatriamento das obras. Entretanto, havia uma pintura antiga adquirida pelo alto comandante nazista Hermann Wilhelm Goering, intitulada “Woman taken in adultery”, do famoso pintor holandˆes do s´eculo XVII Johannes Vermeer (1632 - 1675), que os especialistas desconheciam. Na busca efetuada pelo governo holandˆes, pela origem da obra, foram descobertos registros de uma empresa que atuou durante a guerra vendendo in´umeras obras de arte holandesas para os nazistas. Dentre as vendas, havia a da referida obra. Essa venda foi feita a Goering intermediada por um banqueiro que afirmou agir em nome de um pintor holandˆes chamado Henricus Antonius Van Meegeren de quem a obra procedia. Hermann Goering “Woman taken in adultery”. Johannes Vermeer Van Meegeren Em 29 de maio de 1945, Van Meegeren foi localizado e preso sob a acusa¸c˜ao de colaborar com o inimigo por meio de venda clandestina de patrimˆonio cultural holandˆes, uma vez que ele n˜ao revelou a procedˆencia da obra. A senten¸ca para crimes de colaboracionismo com inimigos de guerra era a pena de morte. Neste ponto, cabe ressaltar que n˜ao era raro surgirem “obras perdidas” de grandes pintores depois de muito tempo de sua morte, na posse de fam´ılias, geralmente, abastadas. Em particular, Vermeer n˜ao era muito conhecido no mundo da arte at´e o in´ıcio do s´eculo XX, quando seu talento fora, ent˜ao, reconhecido. ´E sabido que Vermeer morreu muito pobre e que, antes de morrer, trocava quadros por comida. Sua vi´uva, para sobreviver, vendeu todos os seus quadros remanescentes a pre¸cos irris´orios e, provavelmente, muitas de suas obras se perderam. Hoje, certamente, n˜ao restam mais do que cerca de 40 de suas pinturas. Sendo assim, os peritos em arte acreditaram, em um primeiro momento, que a obra “Woman taken in adultery” era um “Vermeer perdido”. Entretanto, no dia 12 de julho de 1945, para tentar escapar da pena de morte, Van Meegeren surpreendeu o mundo ao revelar que a referida obra n˜ao era original. Ele mesmo a havia pintado entre 1941 e 1942, utilizando as t´ecnicas e o estilo de Vermeer, do qual ele era profundo conhecedor. Al´em disso, ele tamb´em revelou que a obra “The disciples at Emmaus”, confeccionada entre 1936 e 1937, e outros quatro “Vermeer’s”, al´em de dois “De Hoogh’s” (outro pintor holandˆes do s´eculo XVII) eram falsifica¸c˜oes de sua autoria. Essas revela¸c˜oes, embora chocantes, n˜ao foram em um primeiro momento levadas muito a s´erio. As autoridades holandesas desconfiavam que Van Meegeren queria escapar a todo custo da morte e que, por isso, estava inventando essa hist´oria. Al´em disso, a obra “The disciples at Emmaus” foi atestada como original, um “Vermeer perdido”, ap´os uma an´alise detalhada de dois dias por um famoso historiador de arte chamado Abraham Bredius. No entanto, para comprovar a veracidade de sua hist´oria, Van Meegeren predispˆos-se a pintar, em sua cela, uma obra chamada “Jesus amongst the doctors” para demonstrar o quanto era habilidoso na imita¸c˜ao do estilo de Vermeer. Durante a execu¸c˜ao dessa obra, Van Meegeren colaborou com as autoridades, revelando suas t´ecnicas e procedimentos de falsifica¸c˜ao e envelhecimento de obras de arte. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 83 de 153 p´aginas “The disciples at Emmaus” Pintando na cadeia “Jesus amongst the doctors” N˜ao demorou muito para as autoridades levarem a s´erio a hist´oria de Van Meegeren. Ele, de fato, era muito habilidoso. Uma equipe de qu´ımicos, f´ısicos, t´ecnicos e peritos em arte foi montada para examinar as obras citadas por Van Meegeren (e outras de origem duvidosa) para comprovarem se as obras eram, de fato, falsas. Naturalmente, as falsifica¸c˜oes n˜ao foram desvendadas t˜ao facilmente, uma vez que Van Meegeren conhecia muito bem as t´ecnicas empregadas pelos peritos. De fato, as telas utilizadas eram do s´eculo XVII e ele procurava utilizar os mesmos pigmentos de tinta que Vermeer utilizava, al´em de “cozer” as pinturas em forno para que assumissem o aspecto de envelhecidas pelo tempo. Van Meegeren comprava pinturas do s´eculo XVII de pouco valor e raspava a velha tinta endurecida para aproveitar a tela. Para o processo de envelhecimento da tinta, ele `as vezes utilizava fenoformalde´ıdo que ap´os o “cozimento” endurecia enormemente a tinta. Resqu´ıcios desse produto qu´ımico (que s´o foi descoberto no s´eculo XIX) foram encontrados pelos peritos em v´arias das obras de Van Meegeren. Al´em disso, pigmentos do moderno “azul cobalto” (que n˜ao existia na ´epoca de Vermeer) tamb´em foram encontrados em algumas das referidas obras. Radiografias foram empregadas para tentar descobrir se a tela era originalmente de uma outra pintura. Em particular, a obra “Woman taken in adultery”, comprada por Goering, era uma pintura de uma batalha com cavalos. Radiografia de “Woman taken in adultery” Ap´os essas evidˆencias, em 2 de outubro de 1947, a acusa¸c˜ao de colabora¸c˜ao com o inimigo contra Van Meegeren foi comutada pela de fals´ario e ele foi condenado a mais um ano de pris˜ao. Como ele esperava ser liberto sem condena¸c˜ao, Van Meegeren recusou-se a terminar a obra “Jesus amongst the doctors” que estava pintando na cela, n˜ao mostrando, na pr´atica, como seria o processo de envelhecimento da obra. Entretanto, Van Meegeren j´a havia colaborado enormemente com as autoridades, revelando suas t´ecnicas e, de certo modo, ajudando na arte de desvendar detalhes sutis em pinturas falsas. Talvez por esse motivo, sua pena tenha sido pequena; afinal, ele acabou ganhando a fama de ser o holandˆes que enganou os nazistas. Infelizmente, Van Meegeren jamais saiu da pris˜ao. Em 30 de dezembro de 1947, ele sofreu um ataque card´ıaco em sua cela e morreu. Mas a hist´oria n˜ao acabou com sua morte. Mesmo com as provas apresentadas pelos peritos, muitas pessoas, algumas delas altamente qualificadas no ramo da arte, recusavam-se a acreditar que a obra “The disciples at Emmaus”, que fora inclusive comprada pela prestigiada Sociedade Rembrandt por cerca de 170.000 d´olares (atuais), era uma falsifica¸c˜ao, pois se tratava de um quadro extremamente bem feito com qualidade impec´avel, ao contr´ario das demais obras listadas por Van Meegeren. Os peritos justificaram que essa obra fora a primeira falsifica¸c˜ao de Van Meegeren, que, por n˜ao ter sido reconhecido como um grande pintor pela sociedade holandesa, queria provar o contr´ario pintando algo excepcional. Entretanto, essa justificativa n˜ao satisfez os c´eticos, que queriam uma prova eficaz e definitiva para essa suposta obra de Van Meegeren. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini P´agina 88 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Tabela de desintegra¸c˜oes dos quadros suspeitos de falsifica¸c˜ao: Quadro Taxa desintegra¸c˜ao 210 84 Po Taxa desintegra¸c˜ao 226 88 Ra The disciples at Emmaus 8, 5 ´atomos/grama/min 0, 8 ´atomos/grama/min The washing of the feet 12, 6 ´atomos/grama/min 0, 26 ´atomos/grama/min Woman reading music 10, 3 ´atomos/grama/min 0, 3 ´atomos/grama/min Woman playing music 8, 2 ´atomos/grama/min 0, 17 ´atomos/grama/min Lacemaker 1, 5 ´atomos/grama/min 1, 4 ´atomos/grama/min Officer 5, 2 ´atomos/grama/min 6, 0 ´atomos/grama/min Procedimento an´alogo mostra que “The Washing of the Feet” (Lavando os P´es), “Woman Reading Music” (Mulher Lendo M´usica) e “Woman Playing Music” (Mulher Tocando Bandolin) s˜ao falsos tamb´em (pois as taxas de desinte- gra¸c˜ao do 210 84 Po e 226 88 Ra s˜ao muito discrepantes), enquanto “Lacemaker” (Rendeira) e “Officer” (Garota Sorrindo) s˜ao verdadeiros, ou pelo menos n˜ao podem ser falsifica¸c˜oes modernas (pois as taxas s˜ao muito pr´oximas). “The washing of the feet” “Woman reading music” “Woman playing music” “Lacemaker” “Officer” Obras reconhecidamente falsificadas por Van Meegeren: The Woman Taken in Adultery - “falso Vermeer”; Jesus Amongst the Doctors - “falso Vermeer”; The Disciples at Emmaus - “falso Vermeer”; The Washing of the Feet - “falso Vermeer”; Woman Reading Music - “falso Vermeer”; Woman Playing Music - “falso Vermeer”; The Head of Christ - “falso Vermeer”; The Last Supper, 1st. version - “falso Vermeer”; The Last Supper, 2nd. version - “falso Vermeer”; The Blessing of Jacob - “falso Vermeer”; Man and Woman at a Spinet - “falso Vermeer”; Interior with Cardplayers - “falso Pieter de Hoogh”; Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br P´agina 100 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: EDO de 1a. Ordem PARTE 1: Aplica¸c˜oes Exerc´ıcio 5.1 Determine a curva y = f (x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) e cujo coeficiente angular da reta tangente em cada ponto ´e 3√x. Exerc´ıcio 5.2 Determine a curva y = f (x) com as seguintes propriedades: (i) y′′ = f′′ (x) = 6x; (ii) Seu gr´afico passa pelo ponto (0, 1), e possui nesse ponto uma reta tangente horizontal. Quantas curvas como essa existem? Exerc´ıcio 5.3 Suponha que a velocidade, em m/s, de um ponto que se desloca ao longo do eixo s seja v = 10t − 10 e que no instante t = 0 ele esteja em s = 0. Determine: (i) A distˆancia percorrida pelo ponto entre t = 0 e t = 2; (ii) O deslocamento do ponto no eixo s entre t = 0 e t = 2 (o deslocamento ´e a distˆancia entre as posi¸c˜oes inicial e final do ponto). (iii) A distˆancia percorrida pelo ponto entre t = 2 e t = 3; (iv) O deslocamento do ponto no eixo s entre t = 2 e t = 3; (v) A distˆancia percorrida pelo ponto entre t = 0 e t = 3; (vi) O deslocamento do ponto no eixo s entre t = 0 e t = 3. Exerc´ıcio 5.4 Um foguete decola verticalmente da superf´ıcie da terra com uma acelera¸c˜ao constante e igual a 20 m/s2. Qual ser´a sua velocidade e altura atingida ap´os 1, 10 e 100 segundos? Exerc´ıcio 5.5 Uma bola de naftalina (C10H18), quando posta em uma gaveta, tinha 1 cm de raio. Um mˆes depois seu raio decresceu 0, 5 cm. Admitindo que a naftalina perde volume de forma homogˆenea com taxa proporcional `a ´area de sua superf´ıcie (e, portanto, permanece com formato esf´erico at´e sumir), determine a express˜ao do raio da naftalina em fun¸c˜ao do tempo. Quanto tempo ela levar´a para desaparecer? Exerc´ıcio 5.6 O C´esio-137 desintegra-se segundo a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial. Se a sua meia-vida ´e de 30 anos e se a massa inicial de uma amostra ´e de 100 g, determinar a massa presente de C´esio-137 em um tempo arbitr´ario t e quanto tempo ´e necess´ario para essa massa decair a 10 g. Exerc´ıcio 5.7 O tempo de meia-vida do Urˆanio-238 ´e 4, 56 × 109 anos. Aplicando a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial calcule quanto de 2 mg de U238 restar´a ap´os meio milh˜ao de anos. Exerc´ıcio 5.8 Suponha que o n´umero de bact´erias do c´olera, em uma colˆonia controlada em laborat´orio, possa crescer sem controle (isto ´e, n˜ao h´a morte de bact´eria) segundo a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial. A colˆonia come¸ca com uma bact´eria e dobra de tamanho a cada meia hora. Quantas bact´erias existir˜ao ao final de 24 horas? Obs.: sob condi¸c˜oes favor´aveis, criadas em laborat´orio, o n´umero de bact´erias do c´olera pode realmente dobrar a cada 30 minutos. Em uma pessoa infectada, muitas bact´erias s˜ao destru´ıdas (pelo organismo ou medicamentos), mas esse exemplo ajuda a explicar porque algu´em que se sente bem de manh˜a pode estar gravemente enfermo `a noite. Exerc´ıcio 5.9 Uma colˆonia de bact´erias ´e cultivada sob condi¸c˜oes ideais em laborat´orio, de modo que a popula¸c˜ao aumenta segundo a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial. Ao final de 3 horas existem 10.000 bact´erias. Ao final de 5 horas, 40.000. Quantas bact´erias havia inicialmente? Exerc´ıcio 5.10 Uma popula¸c˜ao de bact´erias cresce sem fatores inibidores segundo a Lei de Varia¸c˜ao Exponencial. Suponhamos que em um dado momento a popula¸c˜ao seja de 1000 bact´erias e que a popula¸c˜ao dobra a cada hora. Determine: (i) A popula¸c˜ao apos 6 horas. (ii) O tempo gasto para a popula¸c˜ao triplicar. Exerc´ıcio 5.11 No modelo log´ıstico de EDO de crescimento da ra¸ca humana h´a duas constantes: o coeficiente α de crescimento e o coeficiente β de inibi¸c˜ao. Suponha que α = 0, 029 (obtido experimentalmente). Em 1961 a popula¸c˜ao do planeta era de (3, 06) × 109 habitantes e que crescia `a taxa relativa de 2% ao ano. Determine a popula¸c˜ao m´axima do planeta. Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 101 de 153 p´aginas Exerc´ıcio 5.12 Suponha que, ap´os 10 minutos em uma sala cuja temperatura seja de 20◦C, a temperatura de uma tigela com sopa tenha passado de 90◦C para 60◦C. Usando a Lei do Resfriamento de Newton responda: (i) Quanto tempo mais levar´a para que a sopa chegue a 35◦C? (ii) Em vez de ser deixada na sala, a tigela com a sopa de 90◦C ´e colocada em um freezer, cuja temperatura ´e −15◦C, quanto tempo levar´a para a sopa esfriar de 90◦C a 35◦C? Exerc´ıcio 5.13 Uma panela de agua morna a 46◦C foi colocada no refrigerador. Dez minutos mais tarde, a tempe- ratura da ´agua era de 39◦C. Em outros dez minutos j´a atingia 33◦C. Use a Lei do Resfriamento de Newton para estimar a temperatura do refrigerador. Exerc´ıcio 5.14 Uma batata com temperatura 32◦C ´e colocada em um ambiente a 18◦C. Usando a Lei do Resfria- mento de Newton, qual sua temperatura ap´os 10 minutos? Suponha que o coeficiente de resfriamento da batata seja 0, 1 min−1. Exerc´ıcio 5.15 Suponhamos que uma placa de m´armore foi aquecida a 110◦C e ´e colocada em um ambiente a 10◦C. Ap´os uma hora, sua temperatura ´e de 60◦C. Usando a Lei do Resfriamento de Newton, quanto tempo ainda resta para que a placa chegue a 30◦C. Exerc´ıcio 5.16 Um cad´aver ´e encontrado e sua temperatura superficial ´e de 30◦C. Duas horas depois, sua tempera- tura ´e de 23◦C. A temperatura ambiente ´e de 20◦C. Usando a Lei do Resfriamento de Newton, quanto tempo antes de ser encontrado o cad´aver, ocorreu a morte? (Suponha a temperatura corp´orea normal como sendo 37◦C) Exerc´ıcio 5.17 A mais antiga m´umia humana congelada conhecida, chamada Otzi, descoberta na geleira Schnalstal, nos Alpes italianos, em 1991, foi encontrada usando sapatos de palha e vestindo um casaco de couro com pele de cabra, e tamb´em segurando um machado de cobre e um punhal de pedra. Estima-se que Otzi tenha morrido 5000 anos antes de ser descoberto na geleira em processo de derretimento. Quanto de carbono 14 original restava em Otzi no momento em que ele foi encontrado? Exerc´ıcio 5.18 Uma pintura atribu´ıda ao pintor holandˆes Vermeer (1632-1675), que deveria conter n˜ao mais do que 96, 2% de seu carbono 14 original, em vez disso continha 99, 5%. Qual a idade dessa falsifica¸c˜ao? Exerc´ıcio 5.19 Um ciclista de 66 kg em uma bicicleta de 7 kg est´a a 9 m/s em um trecho plano e retil´ıneo quando deixa de pedalar. Supondo que a constante de proporcionalidade da for¸ca de resistˆencia `a velocidade seja de 3, 9 kg/s, calcule: (i) a distˆancia percorrida entre o momento que o ciclista deixa de pedalar e a parada completa da bicicleta. (ii) o tempo necess´ario para que a velocidade do ciclista caia para 1 m/s. Dicas: F = −kv ⇒ ma = −kv ⇒ mv′ = −kv. s′ = v, v (t) = 9e −3,9 73 t, s (t) = 9(73) 3,9 Ä 1 − e −3,9 73 tä . t → +∞ ⇒ stotal = 9(73) 3,9 ∼= 168, 46. v (t) = 1 ⇒ t = 73 ln(9) 3,9 ∼= 41, 13. Exerc´ıcio 5.20 (EDO linear n˜ao homogˆenea) Um tanque cont´em 500 litros de ´agua doce. Uma solu¸c˜ao que cont´em 0, 5 kg/l de fertilizante sol´uvel escoa para o tanque a uma taxa de 1 l/ min, e a mistura ´e bombeada para fora do tanque a uma taxa de 3 l/ min. Depois de quanto tempo a quantidade de fertilizante ser´a m´axima no tanque? Exerc´ıcio 5.21 (EDO linear n˜ao homogˆenea) Uma sala cont´em 216 m3 de ar inicialmente isento de mon´oxido de carbono. A partir do tempo t = 0, fuma¸ca de cigarro contendo 4% de mon´oxido de carbono ´e expelida para a sala a uma taxa de 8 l/ min. Um ventilador mant´em a polui¸c˜ao bem distribuida na sala e a mistura tamb´em sai `a mesma taxa de 8 l/ min. Determine o momento em que a concentra¸c˜ao de mon´oxido de carbono na sala atinge 0, 01%. Exerc´ıcio 5.22 Um tanque cont´em 100 l de H2O. Despeja-se H2O contendo 0, 5 kg de NaCl (sal de cozinha) por litro a uma taxa de 2 litros por minuto no tanque. Deixa-se a ´agua do tanque escoar `a mesma taxa (2 l/ min). Determine a fun¸c˜ao que d´a a quantidade de sal no tanque em fun¸c˜ao do tempo. PARTE 2: C´alculo Exerc´ıcio 5.23 (i) Verifique que y = y (x) = e2x ´e solu¸c˜ao (particular) da EDO y′ − y = e2x. (ii) Verifique que y = y (x) = c x + 2, sendo c constante real ´e solu¸c˜ao (geral) da EDO y′ = 1 x (2 − y). (iii) Verifique que y = y (x) = (x + 1) − 1 3ex ´e solu¸c˜ao (particular) da EDO y′ = y − x sujeita `a condi¸c˜ao inicial y (0) = 2 3. (iv) Verifique que y = y (x) = e2x + aex, sendo a constante real ´e solu¸c˜ao (particular) da EDO y′ + y = 3e2x + 2aex. (v) Verifique que y = y (x) = e2x+aex+ c ex , sendo a e c constantes reais ´e solu¸c˜ao (geral) da EDO y′+y = 3e2x+2aex. Exerc´ıcio 5.24 Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) y′ = 1 + x + y2 + xy2, sendo y = y (x), com y (0) = 0. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini P´agina 110 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br P´agina 138 de 153 p´aginas UFU C´alculo 2 - Estat´ıstica Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br C´alculo 2 - Estat´ıstica UFU P´agina 153 de 153 p´aginas Referˆencias Bibliogr´aficas [1] Apostol, T. C´alculo (2 vols.). 2a. ed. Rio de Janeiro: Editora Revert`e, 2004. [2] Bassanezzi, R. C. & Ferreira Jr., W. C. Equa¸c˜oes Diferenciais com Aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: Editora Harbra, 1988. [3] Boulos, P. C´alculo Diferencial e Integral. Vol. 1 e Pr´e C´alculo. S˜ao Paulo: Editora Pearson Education, 2006. [4] Boulos, P. & Abud, Z. I. C´alculo Diferencial e Integral. Vol. 2. 2a. ed. S˜ao Paulo: Editora Pearson Education, 2002. [5] Boyce, W. E. & Diprima, R. C. Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10a. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, 2015. [6] Domingues, H. H. & Iezzi, G. ´Algebra Moderna. 5a. ed. S˜ao Paulo: Saraiva. 2018. [7] Edwards, C. H. & Penney, D. E. C´alculo com Geometria Anal´ıtica (3 vols.). 4a. d. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, 1999. (deixou de ser editado) [8] Figueiredo, D.G. & Neves, A. F. Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas. 3a. ed. Rio de Janeiro: IMPA - Instituto Nacional de Matem´atica Pura e Aplicada, 2015. [9] Fleming, D. M. & Goncalves, M. B. C´alculo A: fun¸c˜oes, limite, deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao. 6a. ed. S˜ao Paulo: Editora Pearson Education, 2006. [10] Goncalves, M. B. & Fleming, D. M. C´alculo B: fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, integrais m´ultiplas, integrais curvil´ıneas e de superf´ıcie. 2a. ed. S˜ao Paulo: Editora Pearson Education, 2007. [11] GeoGebra - Software livre de geometria dinˆamica. Site: www.geogebra.org [12] Guidorizzi, H. L. Um Curso de C´alculo (4 vols.). 5a. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, 2001. [13] Lang, S. C´alculo (2 vols.). Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, 1971. [14] Leithold, L. O C´alculo com Geometria Anal´ıtica (2 vols.). 3a. ed. S˜ao Paulo: Editora Harbra, 1994. [15] Matos, M. P. S´eries e Equa¸c˜oes Diferenciais. S˜ao Paulo: Pearson Education, 2001. [16] Morettin, P. A., Hazzan, S. & Bussab, W. O. C´alculo: fun¸c˜oes de uma e de v´arias vari´aveis. 3a. ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2016. [17] Munem, M. A. & Foulis, D. J. C´alculo (2 vols.). Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, 1982. [18] Simmons, G. F. C´alculo com Geometria Anal´ıtica (2 vols.). S˜ao Paulo: Editora Pearson Education, 1987. [19] Stewart, J. C´alculo (2 vols.). 6a. ed. S˜ao Paulo: Editora Cengage Learning, 2009. [20] Swokowski, E. W. C´alculo com Geometria Anal´ıtica (2 vols.). 2a. ed. S˜ao Paulo: Editora Makron Books, 1994. [21] Thomas, G. B., et al. C´alculo (2 vols.). 12a. ed. S˜ao Paulo: Editora Pearson Education. 2013. [22] Zill, D. G. & Cullen, M. R. Equa¸c˜oes Diferenciais (2 vols.). 3a. ed. S˜ao Paulo: Pearson Education, 2003. agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini