Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo I - Derivadas e Regras de Derivação

Núcleo de Interiorização e Educação à Distância Universidade Federal do Estado do Acre Discente Docente Ismael Dourado Disciplina Cálculo I Atividade IV Derivada e Regras de Derivação O exercícios 1 2 e 3 devem ser resolvidos usando a definição de derivada Questão 1 Calcule a derivada de fx x3 usando a definição de derivada Questão 2 Funções deriváveis são necessariamente contínuas será que o in verso também é verdade isto é funções contínuas são deriváveis Dica Use a função fx x Questão 3 Mostre que a função fx 3 5x é contínua para todo x 3 5 Os exercícios restantes podem ser resolvidos usando as regras de derivação exceto a regra da cadeia Questão 4 Calcule sem usar a regra do produto as derivadas de a fx x21 2x b fx x 22x 3 c fx x24x3 x Dica Lembrese que x x 1 2 Questão 5 Encontre uma reta tangente à curva fx x4 2x2 x no ponto P 1 1 Dica Lembrese que uma reta pode ser representada pela equação y mx x0 y0 em que m é sua inclinação e P x0 y0 é um ponto pelo qual ela passa Questão 6 Use a regra do produto ou do quociente para determinar as deri vadas de a fx 1 2x2x x2 b fx x3 2xex c fx ex 1x d fx 2x 4x2 e fx x2 sen x f fx 3x2 x2 cos x Questão 7 Sabendo que tg x sen x cos x e sec x 1 cos x mostre que a derivada da tangente é o quadrado da secante isto é d dxtg x sec2 x Questão 8 Sendo fx sec x mostre que fx sec x tg x isto é a derivada da secante é o produto da secante pela tangente Questão 9 Sendo cossec x 1 sen mostre que d dxcossec x cossec x tg x isto é a derivada da cossecante é o oposto do produto da cossecante pela tangente Questão 10 Sendo cotg x cos x sen x mostre que d dxcotg x cossec2 x isto é a derivada da cotangente é o oposto do quadrado da cossecante Questão 1 Se existir o limite a derivada de fx é lim h0 fxh fxh lim h0 xh³ x³ h lim h0 x³ 3h²x 3hx² x³ x³ h lim h0 h3hx 3x² h lim h0 3hx 3x² 3x² Logo fx 3x² Questão 2 Uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto Por exemplo fx x é contínua em todo x mas não é derivável no zero pois se x0 lim h0 xh x h lim h0 h h lim h0 hh 1 e lim h0 xh x h lim h0 h h lim h0 h h 1 Logo o limite que seria a derivada não existe Questão 3 Vamos mostrar que o limite em qualquer ponto x 35 é igual a função no ponto 1 caso x 35 lim yx fy lim yx 35y 35x fx 2 caso x 35 lim y35 fy lim y35 35y 3535 0 0 f35 Logo fx é contínua para todo x 35 Questão 4 a fx x²12x x² 2x³ fx 2x 23x² 2x 6x² b fx x 22x 3 2x² 3x 4x 6 2x² x 6 fx 4x 1 c fx x² 4x 3 x x² x12 4x x12 31 x12 x32 4x12 3x12 fx 32 x12 412 x12 312x32 32 x12 2 x12 32 x32 Questão 5 No ponto P11 xo 1 e yo 1 e m a inclinação da reta é igual a derivada em x1 fx x⁴ 2x² x fx 4x³ 4x 1 f1 41³ 41 1 f1 4 4 1 7 Logo a reta é y 7x 1 1 y 7x 7 1 y 7x 6 Questão 6 a fx 1 2x² x x² 1 2x²x x² 4x x x² 1 2x²1 2x 8x³ 6x² 2x 1 b fx x³ 2x ex x³ 2xex 3x² 2ex x³ 2x ex ex x³ 3x² 2x 2 c fx ex1x 1x ex 1x² ex 1x ex 1x² ex 2x 1x² d fx 2x4 x² 4 x² 2x 4 x²² 24 x² 2x2x 4 x²² 2x² 8 4 x²² e fx x² sen x x² sen x 2x senx x² cosx f fx 6x x² cos x x² cos x 6x 2x cosx x² senx Questão 7 Usando a regra do quociente tg x sen x cos x sen x cos x cos x sen x cos x2 cos2 x sen2 x cos2 x 1 cos2 x 1 cos x2 sec2 x Questão 8 Usando a regra do quociente sec x 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x2 0 cos x sen x cos2 x sen x cos2 x sen x cos x 1 cos x sec x tg x Questão 9 Usando a regra do quociente cosec x 1 sen x 1 sen x sen x 1 sen2 x 0 sen x cos x sen2 x cos x sen2 x 1 1 sen x cos x sen x cosec x cotg x Questão 10 Usando a regra do quociente cotg cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x2 sen2 x cos2 x sen2 x 1 sen2 x cos2 x sen2 x 1 sen2 x 1 1 sen x2 cosec2 x