Probabilidade

ATIVIDADE 4 Variáveis aleatórias conceitos funções de variáveis aleatórias variáveis aleatórias bidimensionais aplicações Algumas informações aos estudantes OA alunoa deverá apresentar todas as questões de numeração par em arquivo PDF que será enviado via plataforma até a data prevista As resoluções das questões ímpares estão disponíveis em videoaulas na plataforma mesmo assim oa alunoa deverá assistir antes da resolução das questões pares As questões de numeração par deverão ser feitas peloa alunoa e servirão de componente avaliativo doa mesmoa para composição de sua nota Obs deve ser explicado em detalhes as resoluções de cada questão caso contrário a questão será considerada nula As resoluções deverão ser feitas a caneta escaneadas e entregues na plataforma em arquivo no formato PDF com uma capa apresentando as informações básicas da disciplina nome do estudante e o polo em que ele estuda É importante que as resoluções sejam detalhadas o suficiente para evitar a anulação das questões por falta de explicação Bons Estudos Lorena Cáceres Tomaya QUESTÕES 01 Uma caixa contém 12 peças das quais 4 são defeituosas Duas peças são retiradas sucessivamente com reposição Seja 𝑋 a variável aleatória discreta vad 𝑋 que representa o número de peças defeituosas a Determine a distribuição de probabilidade de 𝑋 b Determine o número médio de peças defeituosas ou seja E 𝑋 c Determine a variância de 𝑋 02 Uma caixa contém 12 bolas vermelhas e 8 brancas Retiramse sucessivamente e com reposição três bolas dessa caixa e anotase a cor das bolas retiradas Considere 𝑋 a variável aleatória que representa o número de bolas brancas retiradas O seguinte grupo de pessoas está numa sala a Determine a distribuição de probabilidade para 𝑋 b Calcule o valor esperado do número de bolas brancas retiradas ou seja E𝑋 c Calcule a medida que quantifica a dispersão dos valores em torno da média ou seja o desviopadrão de 𝑋 03 Numa sala temos cinco rapazes e quatro moças São retiradas aleatoriamente três pessoas Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o número de rapazes Calcule a média e o desviopadrão da variável aleatória 𝑋 04 Numa sala temos 9 homens e 3 mulheres São sorteadas três pessoas ao acaso e sem reposição Sendo 𝑋 a Variável Aleatória que representa o número de homens sorteados Calcule a média e o desviopadrão da variável aleatória 𝑋 05 No lançamento simultâneo de dois dados considere as seguintes variáveis aleatórias 𝑋 número de pontos obtidos no primeiro dado 𝑌 número de pontos obtidos no segundo dado a Construa a distribuição de probabilidade através de uma tabela da seguinte variável 𝑇 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑋 𝑌 b Calcule as seguintes probabilidades I 𝑃1 𝑇 4 II 𝑃𝑇 7 c Calcule 𝑉𝑇 ATIVIDADE 4 Variáveis aleatórias conceitos funções de variáveis aleatórias variáveis aleatórias bidimensionais aplicações 06 Com base ainda no enunciado da questão anterior considere W uma variável aleatória discreta definida por 𝑊 𝑋 𝑌 a Construa a distribuição de probabilidade através de uma tabela da variável 𝑊 b Calcule as seguintes probabilidades I 𝑃3 𝑊 3 II 𝑃𝑊 5 III 𝑃0 𝑊 45 c Calcule 𝑉𝑊 07 Para lançar um dado não viciado um jogador paga 5 reais O jogo paga dez reais se sair 6 sete reais se saírem os números 4 ou 5 e não paga nada para os demais resultados Determine o valor esperado do ganho por partida neste jogo 08 Do total de peças produzidas por uma fábrica 90 são comercializáveis O restante apresenta defeito e são descartadas Sabese que a fábrica ganha 12 reais por peça vendida e perde 2 reais na produção de uma peça defeituosa Calcule o valor esperado do lucro líquido por peça nessa fábrica 09 Uma variável aleatória X tem uma densidade de probabilidade dada por 𝑓𝑥 1 6 𝑥 𝑘 0 𝑥 3 0 fora do intervalo Determine a 𝑘 de modo que a 𝑓𝑥 seja um fdp b Encontre 𝑃1 𝑋 2 c A esperança de 𝑋 d A variância de 𝑋 e e O desviopadrão de 𝑋 10 Seja 𝑋 é uma variável aleatória contínua tal que 𝑓𝑥 𝐾𝑥2 𝐾𝑥3 se 0 𝑥 1 0 fora do intervalo a Ache o valor de 𝑘 b Encontre a esperança de 𝑋 c Determine a variância de 𝑋 e d Determine o desviopadrão de 𝑋 11 Dado o quadro abaixo referente ao salário e tempo de serviço de dez operários a determine a distribuição conjunta de probabilidade da variável X salário reais e da variável Y tempo de serviço em anos b as variáveis são independentes Justifique c calcular 𝐸𝑋 e 𝐸𝑌 d calcular 𝜎𝑋 e 𝜎𝑌 Operário A B C D E F G H I J X 500 600 600 800 800 800 700 700 700 600 Y 6 5 6 4 6 6 5 6 6 5 ATIVIDADE 4 Variáveis aleatórias conceitos funções de variáveis aleatórias variáveis aleatórias bidimensionais aplicações 12 Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y Y X 2 1 4 5 𝑷𝒙 1 01 02 0 03 06 2 02 01 01 0 04 𝑷𝒚 03 03 01 03 10 a as variáveis são independentes Justifique b calcular 𝐸𝑋 e 𝐸𝑌 c calcular 𝜎𝑋 e 𝜎𝑌 13 O lucro unitário 𝐿 de um produto é dado por 𝐿 12𝑉 08𝐶 35 Sabendose que o preço unitário de venda 𝑉 tem média R 6000 e desviopadrão R 500 e que o preço do custo unitário C tem uma distribuição de média R 5000 e o desviopadrão para R 200 qual a média e o desviopadrão do lucro unitário 14 Determine a média e o desviopadrão do peso líquido de um produto sabendose que a média do peso bruto é 880 g com desvio de 20 g e o peso da embalagem tem peso médio de 100 g com desvio de 1O g a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA x X n de bolas brancas retiradas em 3 tentativas com reposição considerando que cada retirada é uma tentativa independente com 2 possíveis resultados bola branca ou bola vermelha N de tentativas n 3 Probabilidade de retirar uma bola branca PB PB 820 25 Probabilidade de retirar uma bola vermelha PV PV 1220 35 Sendo a função da probabilidade de distribuição binomial Px k n k pk 1pnk e n k nknk temse Pxk 3 k 04k 1043k Pxk 3 k 04k 063k k0123 se k0 temse Px0 3 0 040 0630 110216 Px0 0216 se k1 temse Px1 3 1 041 062 3 04 036 Px1 0432 se k2 temse Px2 3 2 042 061 3 016 06 Px2 0288 se k3 temse Px3 3 3 043 060 1 0064 1 Px3 0064 Resposta Assim a distribuição de probabilidade para x é k 0 1 2 3 Pxk 0216 0432 0288 0064 b VALOR ESPERADO EX EX np 3 04 Resposta EX 12 CONTINUAÇÃO QUESTÃO 4 c DESVIOPADRÃO DE x σx Sendo o desvio padrão de uma variável aleatória hiperbólica X σx n p 1p temse σx 3 04 104 Resposta σx 08485 QUESTÃO 4 EX σx Admitindo n3 total pessoas sorteadas k9 total de homens N12 total de pessoas homens e mulheres temse cálculo de média EX como tratase de uma distribuição hipergeométrica temse Ex nkN 3 912 Resposta EX 225 cálculo do desviopadrão σx σx nkN 1kN NnN1 39121912123121 σx 3 075 025 911 σx 0675 Resposta σx 06775 QUESTÃO 8 EX Considerando PC 090 probabilidade peça ser comercializável LC 12 reais lucro peça comercializável PD 010 probabilidade peça ser defeituosa LD 2 reais prejuízo peça defeituosa X lucro líquido por peça valor esperado lucro líquido por peça EX EX PCLc PDLd 09012 0102 108 02 EX 106 Resposta 106 reais QUESTÃO 14 EX σx Admitindo PL peso líquido produto Pb peso bruto produto 880g Pe peso embalagem 100g temse que PL PB PE CONTINUAÇÃO QUESTÃO 14 EX calculando a média do peso líquido temse EPL EPB EPe 880g 100g EPL 780g σx calculando o desviopadrão temse como σPB 20g e σPE 10g e que a variância é o quadrado do desviopadrão temse σ2PB 20g2 σ2PB 20g2 400g2 σ2PE 10g2 σ2PE 10g2 100g2 σ2PL 400g2 100g2 σPL2 500g2 δPL δ2PL 500g2 δPL 2236g Resposta A média do peso líquido é 780g e o desviopadrão do peso líquido é de aproximadamente 2236g QUESTÃO 12 a distribuição conjunta produto distribuição marginal se Pxx Yy PXx PYy para todos os valores de x e y então temos variáveis independentes se x1 e y2 Px1 y2 01 se x1 e y2 Px1 Py2 06 03 018 logo 01 Px1y2 018 Px1 Py2 e as variáveis X e Y não são independentes b EX EY EX calculando Ex temse Ex Σ π Pxπ Ex 1 Px1 2 Px2 Ex 1 06 2 04 Ex 14 EY calculando EY temse Ey Σ y Pyy Ey 2 Py2 1 Py1 4 Py4 5 Py5 Ey 2 03 1 03 4 01 5 03 Ey 10 CONTINUAÇÃO QUESTAO 10 c 6x 6y para 6x temse calculando EX2 temse EX2 Σ x2 pX x 12 06 22 04 EX2 22 calculando a variância temse VarX EX2 EX2 22 142 VarX 024 calculando 6x temse 6x sqrtVarX sqrt024 049 Para 6y temse calculando EY2 temse EY2 Σ y2 pY y 22 03 52 03 EY2 106 calculando a variância temse VarY EY2 EY2 106 12 VarY 96 calculando 6y temse 6y sqrtVarY sqrt96 31 Respostas a X e Y não são independentes b EX 14 e EY 10 c 6x 049 e 6y 31 QUESTAO 10 a k Admitindo fx uma fdp temse fx dx 1 fx x 0 x 1 0 fora do intervalo kx2 kx3 dx 1 01 k x2 dx k x3 dx 1 01 k x3 301 k x4 401 1 k 13 14 1 1 k3 k4 4k 3k12 1 k12 1 k 12 b Ex Ex x fx dx e como fx 12x2 12x3 temse Ex 01 x 12x2 12x3 dx 01 12x3 12x4 dx Ex 12 01 x3 x4 dx 12 01 x3 dx 12 01 x4 dx Ex 12 x4401 12 x5501 Ex 124 12 125 Ex 3 12 125 Ex 06 CONTINUAÇÃO QUESTAO 10 c VARX calculando Ex2 temse Ex2 01 x2 12x2 12x3 dx 01 12x4 12x5 dx Ex2 12 01 x4 dx 12 01 x5 dx Ex2 12 x5 501 12 x6 601 Ex2 125 126 04 calculando VarX temse VarX Ex2 Ex2 04 062 VarX 004 d 6x 6x sqrtVarx sqrt004 6x 02 Respostas a k 12 b Ex 06 c Varx 004 d 6x 02 QUESTAO 10 X nº de pontos primeiro dado Y nº de pontos segundo dado W X Y diferença entre os pontos dos dados a DISTRIBUIÇÃO DA PROBABILIDADE POR MEIO DE W 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 W está escrita acima de cada par ordenado Dessa forma podese avaliar que W está variando de 5 a 5 Organizando os dados encontrados temse x 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 1 2 3 4 5 6 y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 w 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 x 0 1 2 1 2 3 memoria 4 5 6 y 5 6 1 2 3 4 5 6 w 3 2 1 0 1 2 cálculo ass Worksheet 10 continuando a tabela temse x 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 w 4 3 2 1 0 1 5 4 3 2 1 0 calculando as probabilidades temse COMBINAÇÕES W FREQUENCIA PW 16 5 1 136 15 26 4 2 236 118 14 25 36 3 3 336 112 13 24 35 46 2 4 436 19 12 23 34 45 56 1 5 536 11 22 33 44 55 66 0 6 636 16 21 32 43 54 65 1 5 536 31 42 53 64 2 4 436 19 41 52 63 3 3 336 112 51 62 4 2 236 118 61 5 1 136 CONTINUACAO DA QUESTAO 10 b PROBABILIDADES I P3w3 P3w3 Pw2 Pw1 Pw0 Pw1 Pw2 Pw3 P3w3 436 536 636 536 436 336 2736 P3w3 34 II Pw5 Pw5 136 III P0w45 P0w45 Pw0 Pw1 Pw2 Pw3 Pw4 P0w45 636 536 436 336 236 2036 P0w45 59 12 c Varw calculando Ew temse Ew w PWw 5 136 4 236 3 336 2 436 1 536 0 636 1 536 2 436 3 336 4 236 5 136 Ew 0 calculando Ew² temse Ew² w² PWw 5² 136 4² 236 3² 336 2² 436 1² 536 0² 636 1² 536 2² 436 3² 336 4² 236 5² 136 Ew² 356 calculando a variância temse Varw Ew² Ew² 356 0² Varw 356 Respostas a tabulado b I 34 II 136 III 59 c Varw 356