Apostila Sistemas Logicos UFAM - Material Didatico Completo

Universidade Federal do Amazonas Instituto de Computação A P O S T I L A D E I C C 0 6 0 S I S T E M A S L Ó G I C O S l ea nd ro s i lv a ga lv ão de carva l ho Agosto 2018 versão 08 Leandro Silva Galvão de Carvalho Versão Agosto 2018 Apostila da disciplina ICC060 Sistemas Lógicos ministrada pelo Instituto de Computação da Universidade Federal do Amazonas IComp UFAM Endereço Av General Rodrigo Octávio 6200 Coroado I Manaus AM CEP 69080900 Você tem a liberdade de Compartilhar copiar distribuir e transmitir esta obra Remixar criar obras derivadas Sob as seguintes condições Atribuição você deve creditar a obra da forma especificada pelo autor ou licenciante mas não de maneira que sugira que estes conce dem qualquer aval a você ou ao seu uso da obra Uso não comercial você não pode usar esta obra para fins comer ciais Compartilhamento pela mesma licença se você alterar transfor mar ou criar em cima desta obra poderá distribuir a obra resultante apenas sob a mesma licença ou sob uma licença similar à presente S U M Á R I O i n trodu ç ão ao s s i s tema s ló gico s 1 A Necessidade de Computar 3 O Modelo de von Neumann 3 Organização da Apostila 3 s i s tema s d e re p re s e n ta ç ão 5 s i s tema s d e n umera ç ão 7 O que é um Sistema de Numeração 7 Esgotamento de Símbolos 9 Base Numérica 10 O Sistema Decimal de Numeração 11 O Sistema Binário 15 O Sistema Dozenal 17 O Sistema Hexadecimal 19 Conversão de uma Base B para a Base Decimal 20 Conversão BinárioDecimal 22 Conversão DozenalDecimal 23 Conversão HexadecimalDecimal 24 Conversão da Base Decimal para uma Base B 25 Generalizando Conversão de uma Base Z para Outra Base B 27 Instanciando Quando Z é uma Potência de B 28 Conversão da Base Binária para Hexadecimal 29 Conversão da Base Hexadecimal para a Biná ria 30 Operações Aritméticas com Números Binários 31 Adição de Números Binários 31 Subtração de Números Binários 32 Representação de Números em Espaços Restritos 33 Resumo do Capítulo 38 Exercícios do Capítulo 2 39 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 43 Notação Sinal e Magnitude 43 Conversão da Base 10 para a Notação Sinal e Magnitude 44 Conversão da Notação Sinal e Magnitude para a Base 10 45 Limites de Representação da Notação Sinal e Magnitude 46 Desvantagens da Notação Sinal e Magnitude 47 Complemento de 2 47 Complemento de Horas 48 iii iv s umário Complemento de Dez 48 A Notação Complemento de 2 Finalmente 51 Operações Aritméticas em Complemento de 2 58 Adição em Complemento de 2 58 Subtração em Complemento de 2 59 Overflow em Complemento de 2 60 Notação com Excesso 62 Propriedades da Notação com Excesso 62 Conversão da Base Decimal para a Notação com Excesso 64 Conversão da Notação com Excesso para a Base Decimal 66 Resumo do Capítulo 67 Exercícios do Capítulo 3 68 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 71 Representação de Números Reais em Base Binária 71 Conversão de Números Reais da Base Binária para Decimal 72 Conversão de Números Reais da Base Decimal para a Binária 74 Erros de Arredondamento 77 Limitações da Notação Fixa 78 Representação em Ponto Flutuante 78 O Padrão IEEE 754 79 Casos Especiais 86 Como Representar o Zero na Notação IEEE 754 86 Infinito 86 Situações Inválidas NaN 87 Números Desnormalizados 87 Propriedades 89 Overflow e Underflow 91 Resumo do Capítulo 92 Exercícios do Capítulo 4 93 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 97 Tipos numéricos em C 97 Tipos Inteiros 98 Tipos Ponto Flutuante 99 Entrada e Saída de Dados Numéricos em C 99 A função printf 101 Especificadores de formato 102 Modificadores de extensão 107 Flags 108 Tamanho mínimo 108 Precisão 109 Operações Lógicas Bit a Bit 111 Deslocamento de Bits 112 s umário v Deslocamento à Esquerda 112 Deslocamento à Direita 115 Resto da Divisão Inteira 117 Impressão de Valores em Formato Binário 117 Impressão de Inteiros em Binário 118 Impressão da Representação Hexadecimal de Ponto Flutuante 120 Overflow e Underflow 123 Overflow de Inteiros em Linguagem C 123 Overflow e Underflow de Ponto Flutuante em Linguagem C 123 Resumo do Capítulo 125 Exercícios do Capítulo 5 126 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem p ytho n 127 Números Inteiros em Python 127 Números Ponto Flutuante em Python 127 Resumo do Capítulo 127 Exercícios do Capítulo 6 128 o utra s fo rma s d e re p re s e n ta ç ão 129 Binary Coded Decimal BCD 129 Código Gray 129 Representação de caracteres 129 ASCII 129 Unicode 129 Códigos de Detecção e Correção de Erros 129 Código de Barras 129 QR Code 129 Resumo do Capítulo 129 Exercícios do Capítulo 7 130 c ircuito s co mbi n atório s 133 á l gebra boo l ea n a 135 Relação entre Álgebra Booleana e Conjuntos 135 Propriedades 135 Resumo do Capítulo 135 Exercícios do Capítulo 8 136 po rta s ló gica s 137 Porta NOT 137 Porta AND 137 Porta OR 137 Porta XOR 137 Porta NAND 137 Resumo do Capítulo 137 Exercícios do Capítulo 9 138 ma p a s d e k ar n augh 139 Resumo do Capítulo 139 vi s umário Exercícios do Capítulo 10 140 c ircuito s co mbi n atório s 141 Resumo do Capítulo 141 Exercícios do Capítulo 11 142 iii c ircuito s s eque nc iai s 143 c ircuito s s eque nc iai s 145 Resumo do Capítulo 145 Exercícios do Capítulo 12 146 c ircuito s d e memória 147 Resumo do Capítulo 147 Exercícios do Capítulo 13 148 j u n ta ndo tudo o p roce ss ador 149 Resumo do Capítulo 149 Exercícios do Capítulo 14 150 referê nc ia s bib l iográfica s 151 Figura 1 Níveis de abstração de um sistema computaci onal Fonte 10 2 Figura 2 Nas sociedades menos complexas não havia necessidade de se expressar grandes quantida des numéricas Em termos práticos pouco im portava a diferença entre três ou dez elemen tos o importante era correr Fonte 2 4 Figura 3 A invenção do número zero facilitou a realiza ção de operações aritméticas de modo que o sistema de numeração romano foi substituído pelo sistema indoarábico Fonte 2 15 Figura 4 Algoritmo de conversão de um número expresso na base decimal para uma base B qualquer 26 Figura 5 Algoritmo geral para conversão de bases Fonte 1 28 Figura 6 Analogia de um espaço restrito de numeração a um tabuleiro circular 35 Figura 7 Analogia da soma 110 001 2 em um tabu leiro circular 37 Figura 8 Analogia da soma 110 011 2 em um tabu leiro circular 37 Figura 9 Analogia da soma 0110 0011 2 em um tabu leiro circular maior agora com 16 casas 37 Figura 10 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação sinal e magnitude 45 Figura 11 Faixa de valores inteiros possíveis de serem re presentados por uma palavra de n bits na no tação sinal e magnitude 47 Figura 12 Horas complementares no relógio são simétri cas em relação ao eixo vertical 48 Figura 13 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação com plemento de 2 52 Figura 14 Faixa de valores inteiros possíveis de serem re presentados por uma palavra de n bits na no tação complemento de 2 55 Figura 15 Faixa de valores inteiros possíveis de serem re presentados por uma palavra de n bits na no tação com excesso 63 vii viii Lista de Figuras Figura 16 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação com excesso 64 Figura 17 Algoritmo de conversão de um número real fracionário expresso na base decimal para uma base B qualquer 75 Figura 18 Codificação dos campos de um número ponto flutuante segundo o padrão IEEE 754 A exten são dos campos expoente e fração diferen cia os formatos de precisão entre si 81 Figura 19 Formato de 32 bits considerando somente nú meros normalizados Fonte 26 87 Figura 20 Formato de 32 bits com números desnormali zados Fonte 26 89 Figura 21 Densidade de distribuição de números ponto flutuante ao longo da reta numérica Fonte 26 91 Figura 22 Subintervalos e regiões especiais na represen tação ponto flutuante Fonte 21 91 Figura 23 As funções scanf e printf acessam a me mória do computador identificada pela variá vel contida em seus argumentos 100 Figura 24 A função printf lê dados da memória sem modificálos apresentandoos na tela sob al gum formato especificado 101 Figura 25 Sintaxe de uma diretiva de formatação 102 Tabela 1 Representações dos valores de 0 a 32 nas bases binária decimal dozenal e hexadecimal 21 Tabela 2 Faixa de números inteiros representáveis na no tação complemento de 2 em uma palavra de n bits 54 Tabela 3 Comparação das notações complemento de 2 e com excesso para uma palavra de n bits 63 Tabela 4 Números binários podem ser convertidos em frações decimais Fonte 4 73 Tabela 5 Quantidade de bits ocupadas pelos formatos de número ponto flutuante definidos pelo pa drão IEEE 754 81 Tabela 6 Resumo dos principais parâmetros associados aos formatos IEEE 754 93 Tabela 7 Tamanho e faixa de valores dos tipos inteiros 98 Tabela 8 Tamanho e faixa de valores dos tipos ponto flu tuante 99 Tabela 9 Especificadores de formato para números in teiros Fontes 23 16 103 Tabela 10 Exemplos de diretivas de formatação para nú meros inteiros e seus respectivos resultados 104 Tabela 11 Especificadores de formato para ponto flutu ante Fontes 23 16 105 Tabela 12 Exemplos de diretivas de formatação para nú meros ponto flutuante e seus respectivos resul tados 106 Tabela 13 Modificadores de extensão Fontes 23 16 108 Tabela 14 Exemplos de diretivas de modificação de ex tensão de extensão 108 Tabela 15 Flags da função printf Fontes 23 16 109 Tabela 16 Exemplos de diretivas de formatação para va lores short int 110 Tabela 17 Exemplos de diretivas de formatação para va lores long double 111 Tabela 18 Operadores bit a bit Fontes 23 111 Tabela 19 Correspondência entre algumas convenções BCD e seu valor em base decimal 130 Tabela 20 Código Gray de 4 bits 131 Tabela 21 Exemplos de códigos de correção de erro na transmissão de alguns valores numéricos 131 ix x Lista de Tabelas Tabela 22 Código de barras UPC Universal Product Code 132 Código 1 Exemplo de declaração de variáveis em lingua gem C 97 Código 2 Modelo de código para encontrar o tamanho em bytes do espaço em memória ocupado pe los tipos da Linguagem C 99 Código 3 Exemplo básico de entrada e saída de dados em linguagem C 100 Código 4 Modelo de código C sobre os principais especi ficadores de formato de tipos inteiros aborda dos no Exemplo 51 103 Código 5 Modelo de código C sobre os principais especi ficadores de formato de tipos ponto flutuante abordados no Exemplo 52 105 Código 6 Modelo de código C sobre modificadores de extensão de tipos inteiros abordados no Exem plo 53 107 Código 7 Código C para exemplificar o uso de flags ali adas a tipos inteiros conforme abordado no Exemplo 54 109 Código 8 Código C para exemplificar o uso de flags ali adas a tipos de precisão dupla conforme abor dado no Exemplo 55 110 Código 9 Modelo de código para encontrar o tamanho em bytes do espaço em memória ocupado pe los tipos da Linguagem C 112 Código 10 Deslocamento à esquerda de uma variável unsigned char 113 Código 11 Deslocamento à esquerda de uma variável char sinalizada 114 Código 12 Deslocamento lógico à direita de uma variável unsigned char 115 Código 13 Deslocamento aritmético à direita de uma va riável char 116 Código 14 Função que imprime a sequência de bits de uma variável char 119 Código 15 Impressão da sequência de bits de uma variá vel short usando mascaramento 119 Código 16 Impressão da representação hexadecimal de uma variável float usando union 120 Código 17 Impressão da representação hexadecimal de uma variável float usando ponteiro 121 xi xii Listings Código 18 Disseca a representaçãode bits de uma variável float usando campos de bits e union 121 Código 19 Comparação entre a impressão de uma variá vel double e de outra float que armazenam valores iguais 123 LSB Least Significant Bit LSD Least Significant Digit MSB Most Significant Bit MSD Most Significant Digit xiii S I N T R O D U Ç Ã O A O S S I S T E M A S L Ó G I C O S 1 i s tema s co m p utacio n ai s s ão co ns titu ídos por dois componen tes básicos hardware e software Na verdade ambos os termos são empregados de forma coletiva de modo a designar um conjunto de componentes de mesma natureza O hardware engloba os aspectos físicos dos sistemas computacionais processador memó ria cabos interfaces fonte de alimentação entre outros Já o software designa os vários tipos de programas que operam sobre os sistemas computacionais Ambos os componentes são essenciais para o funcionamento de um dispositivo computacional No entanto conforme descrito por John von Neumann 6 há um importante sentido em que o hardware se torna prioritário em relação ao software Tratase de uma analogia com a Biologia Um dispositivo composto somente de hardware pode exis tir e manter seu próprio metabolismo Pode viver indefinidamente enquanto houver energia para engolir e números para mastigar Já um dispositivo composto somente de software deverá ser obrigatori amente um parasita Só poderá funcionar em um mundo onde haja outro dispositivo cujo hardware possa tomar emprestado Estendendo o paralelo entre Biologia e Computação podemos di zer que da mesma forma que a separação entre o núcleo e citoplasma ao nível celular proporcionou a evolução de seres mais complexos os multicelulares a separação entre hardware e software proporcionou a criação de máquinas mais complexas os computadores As primeiras máquinas da humanidade serviam apenas para um único propósito ver as horas fazer uma soma medir um ângulo Nas máquinas mo dernas não é necessário trocar de hardware toda vez que trocarmos de necessidade Basta apenas trocar o software Nosso corpo pode ser dividido em diversas camadas de abstração mente cérebro tecido cerebral células nervosas moléculas átomos Da mesma forma sistemas computacionais são constituídos por di versas camadas A abstração é uma técnica fundamental para geren ciar a complexidade pois esconde detalhes quando não são impor tantes A Figura 1 ilustra os níveis de abstração de um sistema computa cional juntamente com blocos de construção típicos em cada nível No nível mais baixo de abstração está a Física o movimento de elé trons O comportamento dos elétrons é descrito por mecânica quân tica Nosso sistema é construído a partir de dispositivos eletrônicos como transistores ou válvulas nos primórdios Esses dispositivos possuem pontos de conexão chamados terminais que podem ser mo 1 Figura 1 Níveis de abstração de um sistema computacional Fonte 10 deloados pela relação entre a tensão e a corrente medida em cada terminal Ao abstrair a esse nível dos transistores podemos ignorar os elétrons individuais O próximo nível de abstração são os circuitos digitais tais como portas lógicas nos quais as tensões são restritas a intervalos discretos indicados por 0 e 1 No projeto lógico podemos construir estruturas mais complexas como somadores ou memórias a partir de circuitos digitais O nível microarquitetura interliga o nível de lógica ao de arquitetura O nível de arquitetura descreve um computador do ponto de vista do programador Por exemplo a arquitetura Intel x86 usado por com putadores pessoais PCs é definida por um conjunto de instruções e registradores memória para armazenamento temporário de variá veis que o programador está autorizado a usar A microarquitetura envolve a combinação de elementos lógicos para executar as instru ções definidas pela arquitetura Já no mundo do software o sistema operacional lida com detalhes de baixo nível tais como o acesso a um disco rígido ou gerenciamento de memória Finalmente o aplicativo usa essas facilidades oferecidas pelo sistema operacional para resolver um problema para o usuário Graças ao poder de abstração sua avó pode navegar na web sem se preocupar com as vibrações quânticas dos elétrons ou com a organi zação da memória no tablet dela 11 a n ece ss idade de com p utar 3 Esta apostila enfoca os níveis dos circuitos digitais e da lógica Após estudála você compreenderá como os circuitos lógicos básicos po dem ser combinados um processador simples Depois dessa leitura você está condenado a deixar de ser um usuário ingênuo Entenderá que as façanhas e os cálculos realizados por um computador não são frutos de uma mágica inalcançável Pelo contrário são resultado do processamento de expressões lógicas encadeadas de maneira enge nhosa a n ece ss idade de com p utar A origem da computação o ato de calcular é indicada pela origem da própria palavra calcular que deriva da palavra latina calculus cuja origem é a palavra grega chalix Ambas significam pedra ou seixo Lembrese que quando dizemos que uma pessoa tem cálculo renal significa que ela tem pedras nos rins Mas o que pedras e seixos têm a ver com cálculo de quantidades O historiador grego Herótodo que viveu no século V aC reporta que os gregos escrevem e calculam com seixo movendo a mão da esquerda para a direita os egípcios fazemno ao contrário Ou seja simplificadamente podemos afirmar que pedras e seixos foram nos sas primeiras máquinas de calcular Entre os povos primitivos a computação atendia a duas necessida des primárias 5 Enumerar quantidades básicas relacionadas à agricultura e ao comércio tais como a contagem de rebanho troca de moedas e partilha de terras Manter um registro do tempo das estações do ano através de um calendário Embora dez e um milhão sejam quantidades muito diferentes para nós que vivemos no século XXI para a mente de pessoas de socie dades menos complexas ambas são muitos Resquícios disso pode ser encontrado no ditado popular um é pouco dois é bom três é demais 9 5 o mode lo d e vo n n euma nn o r g a n i z a ç ã o d a a p o s t i l a Esta apostila está organizada em três partes conforme mostra a Fi gura S i s tema s d e R e p re s e n ta ç ão Nesta parte abordamos como sis temas computacionais representam valores numéricos No Ca pítulo 2 convidamos você a olhar de outra maneira o sistema de Figura 2 Nas sociedades menos complexas não havia necessidade de se expressar grandes quantidades numéricas Em termos práticos pouco importava a diferença entre três ou dez elementos o im portante era correr Fonte 2 numeração decimal tão presente no nosso diaadia preparando o para compreender como outras alternativas de representação de números Nos Capítulos 3 e 4 vemos como representar nú meros inteiros e números reais em máquinas com memória li mitada como o seu smartphone por exemplo No Capítulo 5 você aprenderá a usar Linguagem C para manipular represen tações de números inteiros e ponto flutuante No Capítulo 6 você aprenderá a fazer o mesmo usando a Linguagem Python Por fim no Capítulo 7 você verá como representar outros tipos de dados em memória tais como caracteres C ircuito s Co mbi n atório s Nesta parte cobrimos os fundamen tos de projeto de circuitos lógicos e apresentamos os principais circuitos combinatórios cujas saídas dependem unicamente da entrada No Capítulo 8 recapitulamos os fundamentos básicos da Álgebra Booleana em uma abordagem informal O Capí tulo 9 O Capítulo 10 O Capítulo 11 C ircuito s S eque nc iai s Nesta última parte apresentamos os circuitos sequenciais mais importantes para sistemas computaci onais e finalmente mostramos como todos os circuitos vistos são reunidos para compor um processador básico O Capítulo 12 O Capítulo 13 Finalmente no Capítulo 14 você compreen derá como os circuitos lógicos básicos podem ser combinados um processador simples Parte I S I S T E M A S D E R E P R E S E N TA Ç Ã O Sistemas computacionais utilizam uma linguagem para se comunicar Essa linguagem é comumente chamada de có digo binário pois utiliza apenas dois símbolos zero e um para representar as mais diversas mensagens E S I S T E M A S D E N U M E R A Ç Ã O 2 m todo mome n to l idamo s c om nú mero s Qual a sua idade E a idade do universo Que hora é essa Quantas calorias tem este alimento Qual a resolução da câmera do smartphone na vitrine Quantos créditos tenho no celular Qual as dimensões de uma casa a ser reformada Empregamos números em uma variedade tão grande de aspectos do cotidiano que temos de registrálos a fim de não esquecêlos Ou a fim de expressálos de forma clara a alguém com quem desejamos in formar essas quantidades Ou a fim de realizar operações aritméticas com eles Conjuntos de símbolos tais como 153 e 42 são tão naturais para nós que não nos damos conta em que momento da história passamos a associálos às quantidades cento e cinquenta e três e quarenta e dois Neste capítulo abordaremos as regras implícitas ao sistema de numeração decimal que utilizamos no nosso diaadia dissociando a ideia de valor da concretude da representação Em seguida estudaremos outras possibilidades de representação de números como o sistema binário utilizado por microprocessadores e memórias Por fim vere mos algumas regras de conversão entre bases numéricas o que é um s i s tema de n umera ç ão Antes de responder à pergunta título desta seção precisamos deixar bem claras as definições de número e de numeral Definição 1 Nú m ero Um número é sequência de um ou mais símbolos que representa uma quantidade Definição 2 Nu m eral Um numeral também chamado algarismo é um símbolo usado para denotar um número Portanto podemos dizer que o conceito de número envolve a asso ciação entre uma ideia abstrata quantidade e uma representação con creta numeral Contudo estamos tão acostumados desde pequenos 7 a associar quantidades a símbolos que hoje já não mais o fazemos conscientemente Por exemplo se você vai ao supermercado e vê so bre um produto uns rabiscos semelhantes a 15 você logo os associa a quinze moedas de um real Porém um marciano que chegasse à Terra e visse esses mesmos rabiscos poderia achar que eles represen tam os anéis de Saturno por exemplo e não um número Da mesma maneira você pode achar que o símbolo repre senta um olho Contudo para qualquer membro alfabetizado da civi lização maia esse símbolo obviamente significava zero quantidade que hoje você costuma associar ao símbolo 0 Ao longo da história várias associações entre valores e símbolos foram utilizadas pelas sociedades À medida que as necessidades hu manas foram se tornando mais sofisticadas e complexas algumas associações foram se tornando pouco práticas e por isso substituídas por outras Por exemplo é fácil associar o símbolo XXI ao século em que vivemos atualmente Porém determinar quantos dias se passa ram nesses vinte um séculos XXI vezes C vezes CCCLXV já não é uma tarefa tão trivial Após esta discussão sobre associação de valores a símbolos escritos estamos prontos para responder à pergunta do título desta seção Definição 3 Sistema de Nu m eração Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras uti lizado para representar números de uma forma consistente Portanto quando adotamos um sistema de numeração arranjamos os símbolos numerais ou algarismos em uma sequência seguindo um conjunto de regras de tal forma que nenhuma pessoa tenha dú vida do valor representado Existem duas grandes classes de sistemas numéricos divididas segundo a interpretação que se faz sobre o po sicionamento dos símbolos ao longo do número escrito concretude para determinar o seu valor abstração s i s tema s n ão p o s icio n ai s Nestes o valor de um símbolo é sem pre o mesmo e independe da posição em que ocupa no número Exemplo Sistema de numeração romano O símbolo V expressa sempre cinco objetos seja em IV XV ou LXVIII s i s tema s p o s icio n ai s Nestes o valor atribuído a um algarismo depende da posição em que ele ocupa no número Exemplo Sistema decimal O símbolo 5 expressa cinco objetos em 15 ou 1235 mas expressa cinquenta objetos em 458 Quando você aprendeu o sistema de numeração romano deve ter se perguntado o seguinte como representar números muito maiores que mil De uma forma mais geral poderíamos questionar O que deve ser feito quando uma sequência de símbolos se esgota mas ainda restam objetos a ser contados A resposta para essa pergunta é o que veremos a seguir Esgotamento de Símbolos Sistemas de numeração não posicionais têm o inconveniente de que apresentam um número limitado de símbolos para se representar as infinitas quantidades numéricas que nossa mente pode imaginar Por mais que criemos mais um símbolo para representar uma quantidade presumida suficientemente grande logo surgirá a necessidade de se representar uma quantidade ainda maior Além do problema da re presentação de valores ainda temos o problema da manipulação dos símbolos criados por meio das operações aritméticas ex adição sub tração multiplicação divisão exponenciação entre outras Por outro lado os sistemas posicionais resolvem esse inconveniente estendendo a sequência de símbolos Ou seja quando uma sequência de símbolos se esgota registramos esse fato em uma posição e passa mos a utilizar outra posição da sequência de símbolos para contar os objetos disponíveis Vejamos um exemplo um pastor conta cada uma das suas ovelhas à medida em que elas passam pelo portão da cerca Ele usa uma pedra para representar cada ovelha As pedras são depositadas em uma caixa dividida em dois compartimentos Ao ver a primeira ovelha ele põe uma pedra dentro do compartimento mais à direita da caixa 1 1 a ovelha Após ver a segunda ovelha passar ele coloca outra pedra E assim continua procedendo até a nona ovelha 9 9 a ovelha Porém não há espaço para colocar uma décima pedra no mesmo compartimento da caixa caso contrário elas transbordam e ele perde a contagem Para contornar isso o pastor põe uma pedra no compar timento mais à esquerda e deixa vazio o compartimento da direita 1 10 a ovelha Note a grande utilidade do zero para diferenciar os registros da pri meira e da décima ovelha que atravessaram o portão da cerca Sem o símbolo zero tanto a primeira quanto a décima ovelhas seriam regis tradas apenas como 1 Se usássemos um espaço em branco isso po deria gerar uma ambiguidade quanto à presença ou não de espaços em branco Se usássemos um traço ou ponto estes símbolos teriam o mesmo papel que o zero só convencionaríamos em usar outro signo gráfico No número dez o zero é usado para segurar a posição mais à direita informando que os nove outros símbolos disponíveis foram esgotados Prosseguindo com sua tarefa nosso pastor registra o seguinte após a passagem da undécima ovelha 1 1 11 a ovelha E assim ele prossegue até a décima nona ovelha Como ele deve re gistrar a passagem da vigésima ovelha Na posição da direita ele re tira as pedras para marcar que foi esgotada a capacidade de armaze namento de pedras naquele compartimento da caixa Em seguida ele põe uma segunda pedra no compartimento da esquerda indicando que dois esgotamentos foram registrados 2 20 a ovelha E assim o pastor vai procedendo até a nonagésima nona ovelha E como ele registra a passagem da centésima ovelha pelo portão da cerca Bem primeiro ele passa a usar uma caixa com três comparti mentos Em seguida ele retira as pedras da posição mais à direita e tenta acrescentar uma nova pedra ao compartimento do meio Con tudo como lá já existem nove pedras uma décima causaria trans bordamento Consequentemente ele também esvazia essa posição e acrescenta uma pedra à posição mais à esquerda para marcar o trans bordamento 1 100 a ovelha Base Numérica Durante a contagem das ovelhas o pastor passou a utilizar os com partimentos mais à esquerda da caixa porque só cabiam nove pedras em cada compartimento Consequentemente cada compartimento da caixa tinha dez estados possíveis nenhuma pedra uma pedra duas pedras nove pedras Ou seja o número dez serviu de base para a contagem das ovelhas Se a capacidade da caixa fosse de apenas oito pedras o registro se ria diferente Após a passagem da oitava ovelha não caberiam mais pedras no compartimento da direita o qual deveria ser esvaziado exi gindo que uma pedra fosse colocada no compartimento da esquerda 1 8 a ovelha De modo semelhante ao pastor ante a passagem das ovelhas um computador também conta a passagem de bits A diferença é que cada posição comporta apenas uma única pedra ou seja o com putador utiliza apenas dois símbolos para representar valores Tal analogia nos ajuda a enteder a definição de base numérica Definição 4 Base nu m érica A base de um sistema de numeração posicional define o número de algarismos distintos utilizados para representar números A partir dessa definição tiramos as seguintes conclusões sobre um sistema numérico de base B qualquer Um sistema numérico de base B utiliza B símbolos distintos para representar qualquer grandeza O menor valor representável com um único símbolo em um sis tema numérico de base B é zero O maior valor representável com um único símbolo em um sis tema numérico de base B é B 1 Núme ros que contêm o algarismo zero 0 na posição mais à direita são múltiplos da base B pois marcam o momento do esgotamento de símbolos que ocorre durante a contagem de cada B objetos Nas subseções a seguir trataremos algumas bases especiais como exemplo Começaremos pela base decimal da qual destacaremos al gumas características que nos passam despercebidas no diaadia As bases binária e hexadecimal são muito utilizadas em computação Já a base dozenal é apresentada a título de curiosidade O Sistema Decimal de Numeração Na maior parte das aplicações do cotidiano utilizamos o sistema de cimal de numeração para representar quantidades número de bom bons em uma embalagem quantidade de bytes em um pendrive área de uma superfície entre outras Para nós que vivemos no século XXI o sistema decimal nos parece tão simples e trivial que o senso comum nos leva a acreditar que a humanidade sempre pensou assim desde que começou a contar Entretanto o sistema decimal foi inventado pelos hindus por volta do século IV Ainda assim ele só foi difundido na Europa no século XII através dos árabes 13 Provavelmente o fato de termos dez dedos nas duas mãos deve ter influenciado nossos antepassados a contar grandezas com base em dez símbolos em uma correspondência biunívoca para cada um dos dez dedos das mãos 13 Cada objeto contado era associado a um dedo das mãos Quando o número de objetos ultrapassava dez registravase o esgotamento de dedos e recomeçavase a contagem de modo semelhante ao que discutimos no exemplo sobre contagens de ovelhas na Seção 211 Outros sistemas de numeração foram utilizados por diversas civili zações ao longo da história Os maias por exemplo contavam objetos associandoos aos dedos das mãos e dos pés de modo que seu sis tema de numeração tinha base vinte Acreditase que os babilônicos utilizavam as três falanges dos quatro dedos de apenas uma das mãos para contar em um sistema de numeração de base 3 4 12 Assim o polegar ficava livre para marcar a contagem e a outra mão também ficava livre podendo ser usada para manusear os objetos contados O fato é que entre essas e outras alternativas de contagem a base dez prevaleceu A base decimal utiliza dez símbolos para representar grandezas numéricas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Note que cada símbolo algarismo utilizado é uma unidade maior que o seu predecessor por exemplo 3 é uma unidade maior que 2 Embora pareça óbvio isso não acontece no sistema de numeração romano Note que o símbolo V é quatro unidades superior ao seu predecessor I Para representar grandezas numéricas utilizamos uma sequência de um ou mais dos dez símbolos disponíveis Eles são posicionados um ao lado do outro como no exemplo abaixo 5 3 9 7 Como vimos anteriormente o sistema de numeração decimal é um sistema posicional pois o valor de um algarismo é determinado pela sua posição relativa no número Por exemplo sabemos que 7 é maior que 3 se tomados individualmente Entretanto no número 5397 re presentado acima o algarismo 3 tem valor de trezentos e não de apenas três como na comparação inicial O algarismo localizado na posição mais à esquerda do número é co nhecido como algarismo mais significativo MSD most significant digit Ele representa a maior contribuição de um algarismo individual para o valor total do número representado Por outro lado o algarismo localizado na posição mais à direita do número recebe o nome de alga rismo menos significativo LSD least significant digit Ele representa a menor contribuição de um algarismo individual para o valor total do número representado No exemplo anterior o algarismo 5 é o mais significativo e o algarismo 7 é o menos significativo 5 3 9 7 MSD LSD Atenção Último algarismo É muito comum alunos iniciantes fazerem referências ao pri meiro algarismo ou ao último algarismo de um número Porém esses termos não têm expressividade alguma pois os ordinais primeiro e último carecem de um ponto de re ferência Portanto quando for se comunicar com um colega utilize apenas as expressões algarismo mais significativo e alga rismo menos significativo No caso da base decimal as posições são chamadas de casas deci mais O valor com que cada algarismo contribui individualmente para o valor numérico total representado depende de duas coisas O valor do algarismo em si A posição que o algarismo ocupa no número Assim para encontrar o valor de um algarismo que ocupa a casa das unidades U multiplicamolo por um Na casa das dezenas D multiplicamos o algarismo por dez Na casa das centenas C multi plicamos por cem Na casa dos milhares M multiplicamos por mil e assim por diante M C D U 5 3 9 7 No exemplo acima para encontra o valor N representado pelo con junto de símbolos 5397 procedemos assim N 5 1000 3 100 9 10 7 1 5397 1 Parece um tanto óbvio à primeira vista Porém a eq 1 nos diz que para encontrar o valor representado por um conjunto de símbolos na base decimal devemos multiplicar o valor de cada símbolo pelo peso da posição que ele ocupa no número No exemplo acima o peso da posição das centenas é cem enquanto que o peso da posição das unidades é apenas um Quando identificamos as casas decimais por letras M C D U começamos a ter dificuldades para referenciar posições mais signifi cativas como dezenas de milhares centenas de milhões etc Já que um número natural tem infinitas casas decimais é mais adequado identificálas usando números inteiros positivos 3 2 1 0 5 3 9 7 Observe os índices numéricos que identificam as casas decimais Note que eles correspondem ao expoente ao qual a base dez é elevada quando determinamos o peso com que cada casa contribui para o valor total representado pela sequência de símbolos N 5 10 3 3 10 2 9 10 1 7 10 0 5397 2 Pela eq 2 note que cada casa decimal representa dez vezes mais aquilo que representa a casa decimal à sua direita e um décimo do valor representado pelo casa decimal à sua esquerda O zero O numeral 0 zero apresenta uma peculiaridade adicional em rela ção aos demais símbolos usados na base decimal O zero representa o nada mas isso não significa que ele não represente coisa alguma Outra forma de entender essa colocação é remetendo ao conceito de cardinalidade Na matemática a cardinalidade indica uma medida do número de elementos de um conjunto Dessa forma o zero no papel de número representa a cardinalidade do conjunto vazio Além do papel de número o símbolo 0 zero desempenha o papel de portalugar na numeração posicional Nesse sentido o zero tem a função de marcar que a posição onde ele se encontra não contribui para o valor do número ou seja que aquela posição está vazia Veja que se o zero fosse omitido poderia haver ambiguidade na interpreta ção do valor representado Por exemplo usando espaços em branco no lugar do zero como entederíamos se 1 3 representa 13 103 ou 1003 Ainda que você sugerisse o uso de um traço estaria ape nas propondo um novo design para o número zero mas não estaria retirando seu papel de portalugar Para entender melhor o papel do zero tomemos um exemplo de John Gregg 8 Considere o número 608 O que o 0 quer dizer na casa das dezenas Alguém poderia dizer que não há dezenas no número 608 mas isso não é correto Há na verdade 60 dezenas em 608 Então Figura 3 A invenção do número zero facilitou a realização de operações arit méticas de modo que o sistema de numeração romano foi substi tuído pelo sistema indoarábico Fonte 2 o que o 0 na casa das dezenas realmente diz é que não sobraram gru pos de dezenas depois que as agrupamos em centenas Por outro lado 2 na casa das dezenas em 628 indica que sobraram dois grupos de dezenas depois que elas foram agrupadas em centenas Similarmente 6 na posição das centenas indica que houve 6 grupos de cem que não puderam ser agrupados em uma coleção de dez centenas ou seja em milhares Outra propriedade do zero é sua invisibilidade nas infinitas posi ções à esquerda de um número Ou seja 4 é a mesma coisa que 0000004 Por conveniência não precisamos escrever os infinitos ze ros à esquerda do dígito mais significativo diferente de zero Todos esses zeros indicam que a quantidade representada não se pode ser agrupada em coleções de 10 de 100 de 1000 etc No entanto em certas aplicações precisamos escrever esses zeros à esquerda para evitar ambiguidades É quando precisamos por exem plo preencher formulário ou visualizar o conteúdo da memória de computado r O Sistema Binário Na base dois também conhecida como base binária os números são expressos por uma sequência formada por algarismos 0 e 1 Como vi mos na discussão sobre bases Seção 212 p 10 uma base B possui B símbolos disponíveis para representar valores Logo a base 2 dispõe de apenas dois símbolos para representar números A base binária é amplamente utilizada por sistemas computacio nais Um dos principais motivos é que seu uso facilita a detecção e a correção de erros Como Durante a transmissão e processamento de dados estes são representados fisicamente por sinais eletromagnéti cos Estes por sua vez estão suscetíveis a diversas formas de ruído No receptor o sinal recebido com distorção pode não corresponder a nenhum dos sinais previamente convencionados pelo sistema de co municação Se você tem dez símbolos na sua convenção seu trabalho é decidir com qual dos dez símbolos o sinal distorcido mais se parece Já se você dispõe de apenas dois símbolos tal comparação é simplifi cada e estará menos propensa ao erro Eis a grande vantagem do uso da base binária E como contar na base binária Voltemos ao exemplo do pastor e suas ovelhas Desta vez ele conta suas ovelhas no sistema binário Consequentemente somente é possível colocar uma única pedra em cada compartimento da caixa Quando a primeira ovelha passar pelo portão da cerca é fácil registrar 1 1 a ovelha E quando a segunda ovelha passar Ora teremos um esgotamento de símbolos no compartimento menos significativo Ou seja não há espaço para uma segunda pedra no compartimento Logo devemos zerar o compartimento menos significativo após a passagem de duas ovelhas Não esperaremos mais dez ovelhas como no exemplo origi nal Esse transbordamento deverá ser registrado no compartimento logo à esquerda 1 0 2 a ovelha A terceira ovelha é fácil de registrar pois basta colocar uma pedra no compartimento vazio da direita 1 1 3 a ovelha Para registrar a passagem da quarta ovelha note que teremos dois transbordamentos No compartimento mais à direita retiramos a pe dra e acrescentamos outra logo à sua esquerda para indicar o trans bordamento 1 1 0 4 a ovelha No entanto não há espaço para mais uma pedra no segundo com partimento localizado à esquerda Assim retiramos a pedra dele e acrescentamos outra pedra logo à sua esquerda para indicar o trans bordamento 1 0 0 4 a ovelha E assim nosso pastor vai contando até a sétima ovelha 1 1 1 7 a ovelha Nesse ponto aparece uma oitava ovelha que causa um triplo trans bordamento entre os compartimentos da caixa 1 0 0 0 8 a ovelha A esta altura você já deve ter percebido que a caixa usada pelo pastor permite contar até quinze ovelhas 1 1 1 1 15 a ovelha Como fazer para contar um milhão de ovelhas Bom vamos imagi nar que o pastor do exemplo também é marceneiro nas horas vagas e pode construir tantos compartimentos na caixa quanto permite toda a madeira existente no planeta 0 1 0 1 1 0 1 zilionésima ovelha Números pares e ímpares na base dois A partir da conclusão 4 na Seção 212 p 11 observe que números pares expressos na base dois sempre terminam em zero algarismo menos significativo Por outro lado números ímpares sempre terminam em um Generalizando números di visíveis por 2 n quando expressos em binário devem terminar em n zeros O Sistema Dozenal Alguns pensadores e matemáticos têm agurmentado ao longo da his tória que 12 seria uma base melhor para a construção de um sistema numérico pois é um número mais versátil que o dez 2 O motivo wwwdozenalorg dessa vantagem está na divisibilidade O número doze pode ser di vidido por 2 3 4 e 6 ao passo que 10 pode ser dividido por apenas 2 e 5 Os defensores da base 12 argumentam que somos muito mais propensos a querer dividir por 3 ou 4 do que dividir por 5 em nosso cotidiano Alex Bellos cita o seguinte exemplo 2 Imagine um comerciante Se você tiver 12 maçãs então você pode dividilas em duas sacolas de 6 três sacolas de 4 quatro sacolas de 3 ou seis sacolas de 2 É muito mais fácil do que 10 que só pode ser dividido de forma exata em dois sacolas de 5 ou cinco sacolas de 2 Não é à toa que a dúzia ainda seja muito utilizada no comércio pois elimina algumas frações facilitando o cálculo mental de quanti dades a pagar Por exemplo um terço de 10 é 3 33 uma dízima ao passo que um terço de 12 é somente 4 Embora menos conhecida da maioria das pessoas a unidade grosa é também utilizada no comércio atacadista correspondendo a um conjunto de doze dúzias ou seja 144 unidades Por conta das vantagens citadas acima alguns entusiastas ao redor do mundo costumam adotar o sistema dozenal para uso particular Alguns chegam até a se organizarem em sociedades como a The Do zenal Society of America O sistema dozenal tem base 12 Portanto este sistema possui doze dígitos 0 a 9 emprestados do sistema decimal comum e dois sím bolos extras chamados de transdecimais O valor dez chamado dek é representado por X O valor onze chamado el é representado por Assim na base dozenal cabem doze pedras em cada comparti mento da caixa Dessa forma para um pastor deve registrar a pas sagem das overlhas pela cerca da seguinte maneira 9 9 a ovelha X 10 a ovelha 11 a ovelha 0 1 12 a ovelha 1 1 13 a ovelha 9 1 21 a ovelha X 1 22 a ovelha 1 23 a ovelha 0 2 24 a ovelha O Sistema Hexadecimal O sistema hexadecimal assim como o sistema binário também é bas tante utilizado em sistemas computacionais Sua base de contagem é o 16 Assim dezesseis símbolos são usados para representar os núme ros Para representar os valores de zero a nove usamos os mesmos símbolos da base decimal Já para representar os valores de dez a quinze utilizamos as seis primeiras letras do alfabeto latino A B C D E F de modo que A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 e F 15 Diferentemente do sistema dozenal o sistema hexadecimal não dis pões de símbolos e nomes especiais para os valores de dez a quinze Provavelmente isso se deve à sua origem ser de ordem mais pragmá tica enquanto que a do sistema dozenal ser mais ideológica Qual a aplicação prática do sistema hexadecimal Números binários podem ser longos Por exemplo o número 58 na base decimal é expresso como 111010 na base binária Por outro lado o sistema decimal embora seja mais compacto não exprime diretamente valores armazenados em sistemas computacionais Já o sistema hexadecimal permite que cada quatro dígitos binários sejam expressos por um só dígito hexa permitindo expressar de forma concisa números representados em máquina Veja a Seção 25 p 28 para mais detalhes Desse modo um pastor que adote o sistema hexadecimal poderá guardar apenas quinze pedras em cada compartimento de sua caixa de contagem registrando assim a passagem das suas ovelhas 9 9 a ovelha A 10 a ovelha B 11 a ovelha F 15 a ovelha 0 1 16 a ovelha 1 1 17 a ovelha 9 1 25 a ovelha A 1 26 a ovelha F 9 159 a ovelha 0 A 160 a ovelha F F 255 a ovelha Resumo A Tabela 1 apresenta uma contagem de 0 a 32 em suas representações nas bases decimal binária dozenal e hexadecimal Note que outras bases também são possíveis vinte utilizada pelos maias sessenta uti lizada pelos babilônicos mil duzentos e trinta e quatro sem utilidade conhecida Bases não pertencentes ao conjunto dos números naturais também são possíveis bases negativas fracionárias e irracionais Infelizmente elas estão fora do escopo desta apostila O leitor curioso pode buscar mais informações em Koren 17 ou Parhami 21 c o nv er s ão de uma ba s e b p ara a ba s e decima l Até o momento vimos como contar em diferentes bases numéricas partindo do zero em incrementos de um em um Por outro lado exis tem situações em que temos um número expresso em uma base B qualquer e necessitamos conhecer o valor dele na base decimal Dessa forma como podemos converter um número de uma base B para a conhecer seu valor na base decimal Para responder a essa pergunta considere um número N qualquer na base 10 contendo n casas decimais Logo sua representação é dada por uma sequência de n algarismos indicados por a i com 0 i n a n 1 a n 2 a 1 a 0 Tabela 1 Representações dos valores de 0 a 32 nas bases binária decimal dozenal e hexadecimal Decimal Binário Dozenal Hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 8 8 9 1001 9 9 10 1010 X A 11 1011 B 12 1100 10 C 13 1101 11 D 14 1110 12 E 15 1111 13 F 16 10000 14 10 17 10001 15 11 18 10010 16 12 19 10011 17 13 20 10100 18 14 21 10101 19 15 22 10110 1 X 16 23 10111 1 17 24 11000 20 18 25 11001 21 19 26 11010 22 1A 27 11011 23 1B 28 11100 24 1C 29 11101 25 1D 30 11110 26 1E 31 11111 27 1F 32 100000 28 20 Da discussão anterior sobre o sistema decimal Seção 213 sabe mos que o valor do número N representado acima será dado pela soma do produto de cada algarismo a i pelo peso de sua posição i Ora quando trabalhamos com a base decimal em específico esse peso é dado por 1 0 i Generalizando esse procedimento temos que se N está expresso em uma base B qualquer então seu valor na base decimal denotado por N 10 é expresso pela seguinte fórmula N 10 a n 1 B n 1 a n 2 B n 2 a 1 B 1 a 0 B 0 3 Note que todos os cálculos devem ser realizados na aritmética da base de destino Ou seja cada algarismo a i da base B e o próprio valor da base B devem ser expressos na base 10 Essa exigência se explica pelo fato de que só podemos operar números se todos eles estiverem em uma mesma base numérica Afinal um mesmo símbolo numeral pode ter significados diferentes valores quando operamos em bases distintas A eq 3 pode ser interpretada como um polinômio onde cada alga rismo a i é visto como um coeficiente e a base B de origem como a variável do polinômio Por conta disso esse método de conversão de bases é conhecido como polinomial Conversão BinárioDecimal A eq 3 vale para qualquer base B inteira ou não Aqui vamos par ticularizála para B 2 ou seja vamos abordar especificamente a conversão da base binária amplamente utilizada em sistemas com putacionais para a base decimal Para converter um número expresso em base binária para a base decimal primeiro você deve numerar as posições de cada algarismo do número em binário para identificar os pesos Você deve numerar do algarismo menos significativo para o mais significativo ou seja da direita para a esquerda A numeração começa em zero pois a contribuição da posição mais à direita é sempre B 0 1 Por fim basta aplicar a equação 3 onde cada a i 0 1 e B 2 Vejamos alguns exemplos a seguir Exemplo 2 1 Converter 1011 2 para a base dez 3 2 1 0 1 0 1 1 N 10 1 2 3 0 2 2 1 2 1 1 2 0 N 10 8 0 2 1 11 Exemplo 2 2 Converter 10100 2 para a base dez 4 3 2 1 0 1 0 1 0 0 N 10 1 2 4 0 2 3 1 2 2 0 2 1 0 2 0 N 10 16 0 4 0 0 20 Note que apenas as posições do número binário que contém 1 s são as que realmente contribuem para o cálculo da conversão de base As posições que contém o algarismo 0 têm peso nulo Portanto uma maneira mais prática de converter um número binário para a base de cimal é somar as potências de 2 correspondentes apenas às posições que contêm o algarismo 1 Veja o exemplo a seguir Exemplo 2 3 Converter 110001 2 para a base dez 5 4 3 2 1 0 1 1 0 0 0 1 N 10 2 5 2 4 2 0 N 10 32 16 1 49 Conversão DozenalDecimal Para converter um número expresso em base dozenal para a base decimal seguimos os mesmos procedimentos anteriores Numerar as posições de cada algarismo do número na base do zenal da direita para a esquerda identificando os pesos Aplicar a equação 3 onde desta vez cada a i 0 1 2 8 9 X e B 12 Vejamos alguns exemplos Exemplo 2 4 Converter 123 12 para a base dez 2 1 0 1 2 3 N 10 1 12 2 2 12 1 3 12 0 N 10 144 24 3 171 Exemplo 2 5 Converter 1 X 12 para a base dez 2 1 0 1 X 10 10 11 10 N 10 1 12 2 10 12 1 11 12 0 N 10 144 120 11 275 Conversão HexadecimalDecimal Para converter um número da base hexadecimal para a base decimal adotamos os mesmos procedimentos anteriores tomando B 16 Ve jamos alguns exemplos Exemplo 2 6 Converter 123 16 para a base dez 2 1 0 1 2 3 N 10 1 16 2 2 16 1 3 16 0 N 10 256 32 3 291 Exemplo 2 7 Converter ABC 16 para a base dez 2 1 0 A 10 10 B 11 10 C 12 10 N 10 10 16 2 11 16 1 12 16 0 N 10 2560 176 12 2748 c o nv er s ão da ba s e decima l p ara uma ba s e b 25 c o nv er s ão da ba s e decima l p ara uma ba s e b Agora nosso problema é inverso ao da Seção 22 anterior converter um número da base decimal para uma base B Para resolvêlo um caminho seria usar o método polinomial da eq 3 Contudo primeiro teríamos que converter o valor dos algarismos a i e o valor da base B para a notação da base B e em seguida realizar adições multipli cações e potenciações nessa base o que não é muito intuitivo para nós que estamos acostumados a fazer contas na base decimal Veja o exemplo a seguir Exemplo 2 8 Converter 13 10 para a base hexadecimal 3 1 1 0 Na base hexadecimal o valor 10 10 é expresso como A Aplicando a eq 3 temos N 16 1 A 1 3 A 0 N 16 A 3 D Note que embora correto o método polinomial não é muito prático para converter números da base 10 para outra base B Se você ainda não encontrou a dificuldade imagine então como seria converter o valor 123 10 para hexadecimal Teríamos que resolver a expressão A 2 2 A 3 na base hexadecimal sem recorrer à base 10 Um método mais prático para converter números expressos na base decimal para outra base B qualquer é o das divisões sucessivas descrito na Figura 4 Por esse método o número N 10 a ser convertido é divi dido pela nova base B na aritmética da base decimal à qual estamos familiarizados O resto dessa divisão forma o algarismo mais à direita menos significativo do número convertido à nova base O quociente é novamente dividido por B e assim sucessivamente até o quociente ser zero A sequência de todos os restos forma o número na nova base B do algarismo mais significativo para o menos significativo Para entender como o método funciona vamos dividir o número N 10 da eq 3 pela base B Figura 4 Algoritmo de conversão de um número expresso na base decimal para uma base B qualquer N 10 a n 1 B n 1 a n 2 B n 2 a 1 B 1 a 0 B 0 n 2 n 3 N 10 a n 1 B a n 1 B a 2 B a 1 B a 0 N 10 B a n 1 B a n 2 B a 2 B a 1 com resto a 0 n 2 n 3 z s Q 1 Q 1 a n 1 B n 3 a n 2 B n 4 a 2 B a 1 n 3 n 4 Q 1 B a n 1 B a n 2 Q 2 B a 2 com resto a 1 z s Dividindose sucessivamente os quocientes obteremos como resto os valores a 0 a 1 a n 2 a n 1 0 nessa ordem Portanto o número em base B será composto pelos valores a i convertidos à base B de destino arranjados na ordem inversa com que foram obtidos Uma vez que o resto da divisão é menor que o divisor temos que a i B i 0 n 1 Ainda que alguns v alo r es a i sejam exp r essos com mais de um algarismo na base 10 eles serão expressos com ape nas um único símbolo na base B de destino Vejamos alguns exemplos Exemplo 2 9 Converter 53 10 para a base binária 53 1 ge n era l iza nd o c o nv er s ão de uma ba s e z p ara outra ba s e b 27 2 26 2 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 Logo 53 10 110101 2 Exemplo 2 10 Converter 53 10 para a base hexadecimal 53 16 3 5 3 16 0 Logo 53 10 35 16 Exemplo 2 11 Converter 92 10 para a base hexadecimal 92 12 16 5 5 16 0 Note que a divisão acima foi realizada em base decimal Porém o resultado desejado deve ser expresso na base de destino que é 16 Assim o resto 12 10 deve ser representado pelo símbolo C 16 Tabela 1 Logo 92 10 5C 16 g e n era l iza nd o c o nv er s ão de uma ba s e z p ara outra ba s e b Até aqui vimos dois métodos de conversão de bases Método polinomial Seção 22 pelo qual cada algarismo de um número expresso numa base de origem é convertido à base deci mal e o resultado é então multiplicado pelo peso de sua posição no número Método das divisões sucessivas Seção 23 pelo qual um nú mero em base decimal é sucessivamente dividido pela base B de destino e então cada resto é posteriormente convertido em um algarismo da base de destino Embora pareçam diferentes ambos os métodos derivam da eq 3 Observe na Figura 5 como eles se integram A opção por um ou por outro vai depender da sua familiaridade com a aritmética da base Z de origem divisões sucessivas ou com a base B de destino polino mial Figura 5 Algoritmo geral para conversão de bases Fonte 1 i ns ta nc ia nd o qua nd o z é uma p otê nc ia de b Vimos que para transformar um número N da base decimal para a binária devemos dividilo sucessivamente por 2 até que o quociente seja zero O resto de cada operação de divisão representa um alga rismo do número resultante na base dois Portanto o número de divi sões realizadas até o fim do procedimento determinará a quantidade de bits do número resultante Uma vez que sistemas computacionais têm espaço limitado de me mória é importante conhecermos qual a relação entre a quantidade de algarismos de um número expresso em base decimal e a quanti dade de algarismos desse mesmo número quando expresso em base binária Ou seja temos de responder à seguinte pergunta Qual a quantidade d de bits necessária para representar um número N na base binária dado que N contém m algarismos na base decimal Para começar a responder consideremos o seguinte exemplo Se um número natural N tem três algarismos quando expresso em base dez então ele é maior ou igual a 100 e menor do que 1000 Logo para um número N qualquer de m algarismos temos 10 m 1 N 10 m Uma v ez que x y log y x y 0 temos que 2 log 2 10 m 1 N 2 log 2 10 m 2 m 1 log 2 10 N 2 m log 2 10 i ns ta nc ia nd o qua nd o z é uma p otê nc ia de b 29 Logo a quantidade d de bits do número N convertido em binário será um valor pertencente à seguinte faixa de valores m 1 log 2 10 d m log 2 10 4 A função teto A função teto é utilizada na eq 4 porque d indica quantidade de bits ou seja tem de ser um número natural mas o resultado da ope ração log pode fornecer um número real nãointeiro Exemplo 2 12 Quantos bits tem o número 53 quando convertido à base binária re sp o s ta Já que 53 tem dois dígitos então m 2 Da eq 4 temos 2 1 log 2 10 d 2 log 2 10 3 322 d 2 3 322 4 d 7 Logo 53 em binário tem de 4 a 7 bits Ora do Exemplo 2 9 sabemos que são exatamente seis bits o que corrobora com nossa expectativa denotada por x converte um número real x no menor número inteiro maior ou igual a x A função chão denotada por x converte um número real x no maior número inteiro menor ou igual a x Para números positivos a função chão é mais conhecida como truncamento Exemplo 2 13 Qual a ordem de grandeza do valor de 111010101101 2 re sp o s ta O número acima possui 12 bits Adaptando a eq 4 temos 12 1 log 10 2 d 12 log 10 2 11 0 301 d 12 0 301 3 311 d 3 612 4 d 4 Logo o número binário acima possui 4 casas decimais quando convertido em base dez Ou seja é da ordem de grandeza de milhares Conversão da Base Binária para Hexadecimal A partir da eq 4 podemos dizer que cada casa decimal equivale a log 2 10 3 322 dígitos binários Ou seja a cada três algarismos deci mais que representam um valor numérico usamos aproximadamente dez bits na notação binária equivalente relação de 3 333 É por isso que os fabricantes de memórias de armazenamento afirmam que 1024 Bytes 2 10 equivalem a aproximadamente 1000 Bytes 10 3 No entanto a relação não é exata e somente é aplicada em estimati vas Se na eq 4 em vez de log 2 10 tivéssemos log 2 2 n a relação entre os dígitos da base 2 e da base 2 n seria exatamente de n para 1 Dessa forma para converter valores de uma base B para outra B n B n N não precisamos converter da base B para a base decimal e depois desta para a base B n Para converter números expressos na base B para a base B n basta tomarmos cada n dígitos de N B e convertêlos em um dígito na base B n Similarmente na conversão de B n para B basta tomarmos cada dígito de N B n e convertêlo em n dígitos na base B Exemplo 2 14 Converter X 101010110010000001101100 2 para a base hexadecimal Primeiro devemos arrumar os dígitos de X em grupos de log 2 16 4 bits do bit menos significativo direita para o mais significativo esquerda Em seguida convertemos cada grupo de 4 bits em um único dígito hexadecimal 1010 1011 0010 0000 0110 1100 A B 2 0 6 C Portanto o resultado é X AB206C 16 Exemplo 2 15 Converter X 1011011001 2 para a base hexadecimal Mais uma vez arrumamos os dígitos de X em grupos de 4 bits da di reita para a esquerda Se o grupo mais significativo tiver menos de 4 bits completamos o restante com zeros à esquerda 0010 1101 1001 2 D 9 Portanto o resultado é X 2D9 16 Conversão da Base Hexadecimal para a Binária Para converter um número expresso na base hexadecimal para a base binária basta procedermos inversamente ao que vimos na Seção 251 anterior do dígito menos para o mais significativo tomamos cada dígito hexadecimal e o convertemos em 4 bits Ainda que seja um número que não ocupe 4 bits como o 5 16 101 2 preenchemolo de zeros à esquerda do conjunto até que ele forme um conjunto de 4 bits o p era çõ e s aritmética s c om nú mero s bi n ário s 31 Exemplo 2 16 Converter X 3A9B17 16 para a base binária Devemos converter cada dígito hexadecimal em 4 bits 3 A 9 B 1 7 0011 1010 1001 1011 0001 0111 Portanto o resultado é X 11 1010 1001 1011 0001 0111 2 o p era çõ e s aritmética s c om nú mero s bi n ário s Quando pequenos tivemos de aprender ou decorar a tabuada a fim de nos tornarmos capazes a fazer operações aritméticas Cada opera ção aritmética básica adição subtração multiplicação e divisão tem sua própria tabuada a ser memorizada pelos alunos Mas o que é a tabuada Tratase de uma tabela contendo o resultado da operação entre um número de 1 a 10 por sucessivos números de 1 a 10 Dessa forma para cada uma das quatro operações aritméticas tivemos de decorar 100 resultados Não é à toa que muitas crianças têm dificul dade de memorizar No sistema de numeração binário no entanto toda essa dificul dade desaparece Afinal temos apenas dois símbolos o 0 e o 1 de modo que temos apenas que memorizar quatro combinações de ope randos por operação aritmética Aqui veremos apenas a adição e a subtração de números expressos em base binária A multiplicação e a divisão serão vistas apenas na disciplina de Organização de Computadores Adição de Números Binários Independente da base em que operamos seja decimal binária do zenal etc a adição de dois números obedece às seguintes regras Arrumar operandos um abaixo do outro começando pela di reita alinhando os bits de mesma posição relativa em uma mes ma coluna Começando pelo dígito menos significativo somar individual mente os dígitos de uma mesma posição Se o resultado tiver apenas um dígito continuar somando do dígitos da próxima posição à esquerda Se o resultado tiver dois dígitos teremos um vaium ou transporte que deve ser somado aos dígitos da próxima posição à esquerda Dessa forma para somar dois números expressos na base biná ria temos de somar individualmente cada par de bits que ocupam a mesma posição relativa nos dois operandos Para tanto usamos a seguinte tabuada 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10 0 vai 1 Quando três bits são somados dois bits do operando e um bit do vaium a tabuada fica da seguinte maneira 1 0 0 01 1 vai 0 1 0 1 10 0 vai 1 1 1 0 10 0 vai 1 1 1 1 11 1 vai 1 Com base na tabuada de adição binária podemos ver agora alguns exemplos de adição de números binários Exemplo 2 17 Qual o resultado de 11100 2 10011 2 1 1 1 1 0 0 28 10 1 0 0 1 1 19 10 1 0 1 1 1 1 47 10 1 1 1 1 1 1 0 1 Exemplo 2 18 Qual o resultado de 111 2 11 2 1 7 10 1 3 10 0 10 10 Subtração de Números Binários Em uma subtração X Y o operando X é conhecido como minuendo e operando Y como subtraendo Para subtrair dois números expressos em base binária procedemos de forma semelhante ao que fazemos na base decimal Arrumar o subtraendo abaixo do minuendo começando pela direita alinhando os bits x i e y i de mesma posição relativa i em uma mesma coluna Começando pelo dígito menos significativo subtrair individu almente os dígitos de uma mesma posição Se x i y i escrever resultado na mesma coluna abaixo do subtraendo e continuar subtraindo os dígitos da próxima posição à esquerda Se x i y i tomar emprestado o valor da base B 2 10 1 0 2 somandoo ao dígito do minuendo x i r ealizar a subtração x i B y i esc r e v er r esultado na mesma co luna abaixo do subtraendo e devolver o empréstimo so mando o valor da base com o dígito y i 1 do subtraendo da próxima posição à esquerda Portanto para subtrair dois números expressos na base binária temos de subtrair individualmente cada par de bits que ocupam a mesma posição relativa nos dois operando Para tanto usamos a se guinte tabuada 0 0 0 1 0 1 1 1 0 10 1 1 empresta 1 Vejamos um exemplo Exemplo 2 19 Qual o resultado de 1001001 2 11111 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 73 10 31 10 42 10 Veja que a operação de subtração é um pouco mais trabalhosa que a de adição Como veremos no Capítulo 3 a seguir podemos expressar a operação X Y como sendo a soma de X com Y ou seja o com plemento de Y Da mesma forma que isso é mais fácil para humanos a redução de operações complexas em outras mais básicas também simplifica o projeto de hardware re p re s e n ta ç ão de nú mero s em e sp a ç o s re s trito s Até aqui nossas considerações de conversão de base e operações arit méticas cobriam todo o conjunto dos número naturais N mais o Um byte é um zero No entanto em sistemas computacionais o espaço disponível para armazenamento de informação em memória é limitado Ou seja por maior que seja a memória ela somente será capaz de representar uma ínfima quantidade de elementos do conjunto N que é infinito Por conta disso o tamanho do espaço de memória disponível deter minará a capacidade de representação de números Por exemplo com 10 bits de espaço temos a possibilidade de representar 2 10 1024 va lores distintos Isso pode ser um espaço muito limitado em diversas aplicações Por outro lado com 100 bits de espaço temos a possibilidade de representar 2 100 valores distintos Pela eq 4 essa quantidade de com binações equivale a aproximadamente 10 30 Este é um valor muito grande para as aplicações mais comuns do cotidiano Como meio de comparação estimase que existam 6 10 27 gotas de água na Terra e que se passaram aproximadamente 4 7 10 17 segundos desde o surgimento do Universo grupo de oito bits Os computadores representam e processam informações agrupa das em um conjunto básico de bits conhecido como palavra Por muito tempo os computadores usaram palavras de 32 bits Atual mente os sistemas computacionais mais modernos trabalham com palavras de 64 bits Porém para facilitar a compreensão trabalhemos aqui com uma palavra de 8 bits 7 6 5 4 3 2 1 0 Cada posição pode armazenar ou o símbolo 0 ou o símbolo 1 Logo o número de combinações de símbolos 0 e 1 possíveis em uma sequên cia de 8 bits é dado por z s 2 2 2 2 2 8 8 Se utilizarmos a sequência de bits 00000000 para representar o va lor zero 00000001 para representar o valor um e assim por diante teremos que a sequência 11111111 representará 255 2 8 1 Como temos 255 valores de 1 a 255 o 256 o valor representado é o zero Generalizando o raciocínio em um espaço de n bits de memória temos 2 n combinações únicas de bits Se usarmos cada combinação para representar números inteiros não negativos então os valores re presentados irão de 0 a 2 n 1 overflow E se trabalhando com palavras de 8 bits quisermos rea lizara a soma 255 1 O que aconteceria 11111111 00000001 1 00000000 Como o espaço de armazenamento em memória é restrito a apenas 8 bits o nono bit à esquerda é desprezado Essa situação é conhecida como transbordamento no sentido em que não há espaço para guardar o bit de transporte vaium de um resultado Portanto em um computador com palavras de 8 bits o valor 256 é interpretado como 0 pois ele requer 9 bits para ser representado 1 0000 0000 Porém como a máquina dispõe de apenas 8 bits o MSB nona posição é descartado restando apenas 0000 0000 No caso específico de números binários sem sinal o transborda mento nos indica que houve overflow É como se a contagem dos nú meros acontecesse em círculos você pode ter andado muitas casas mas ao cruzar o ponto de partida posição 0 a contagem recomeça e você perde tudo o que já andou A memória do computador reservada para armazenar um número natural se assemelha a um jogo de tabuleiro circular como mostrado na Figura 6 há um número limitado de casas que podemos percorrer Quando você anda mais casas do que o tabuleiro dispõe o que vale não é o número de casas que você percorreu mas sim a posição em que você está É essa discrepância que se chama overflow Figura 6 Analogia de um espaço restrito de numeração a um tabuleiro cir cular Na Seção 333 veremos outras formas de detectar overflow Por ora tenha em mente que transbordamento e overflow não são sinônimos Definição 5 Overflow Overflow é uma condição na qual um espaço de memória não é suficientemente grande para representar um valor em uma determinada notação numérica A condição de overflow é apenas um fenômeno Ela não tem ne nhuma conotação de certo ou de errado Errado de verdade é o pro gramador que esquece de verificar overflow em seu códig deixandoo propenso a ataques de segurança e x e m p l o s d e o v e r f l o w Por definição o que dete r mina se uma operação resulta ou não em overflow é a quantidade de bits disponí veis para representação Veja os exemplos a seguir Exemplo 2 20 Qual o resultado de 28 19 em um espaço de 6 bits 1 0 1 1 1 0 0 28 10 0 1 0 0 1 1 19 10 1 0 1 1 1 1 47 10 Um espaço de 6 bits nos permite representar números naturais que variam de 0 a 63 2 6 1 Como 28 19 47 então é possível representar esse resultado em um espaço de 6 bits Isso é comprovado pela soma em binário realizada acima Nela não houve transbordamento o que é um indicativo de que não ocorreu overflow Exemplo 2 21 Qual o resultado de 28 19 em um espaço de 5 bits 1 1 1 0 0 28 10 1 0 0 1 1 19 10 1 1 0 1 1 1 1 1 5 10 Um espaço de 5 bits nos permite representar números naturais que variam de 0 a 31 2 5 1 Como 28 19 47 então não é possível representar esse resultado em um espaço de 5 bits Isso é comprovado pela soma em biná rio realizada acima Nela houve transbordamento o que é um indicativo de que ocorreu overflow O sexto bit 1 do resultado não pode ser armazenado em um espaço de apenas 5 bits Por isso dizse que ele transborda ou seja ele se perde pois não há local em memória para ele ser armazenado Ele só existe na nossa mente humana Com isso o resultado de 5 bits fica sendo 01111 2 o que equivale a 15 10 Retornando à analogia do tabuleiro circular de 8 casas considere que estamos na casa 6 110 2 e desejamos andar uma casa à frente Ou seja desejamos somar 110 001 como mostra a Figura 7a Como o resultado é 7 não ultrapassamos a cada de partida e nem ocorre overflow Por outro lado se quisermos avançar três casas a partir da casa 6 ultrapassaremos a linha de partida e chegaremos à casa 1 novamente como mostra a Figura 8 Porém o esperado é que 6 3 resultasse em 9 e não em 1 Como o tabuleiro tem apenas oito casas não é possível registrar a casa de número 9 ocasionando overflow a b Figura 7 Analogia da soma 110 001 2 em um tabuleiro circular a b Figura 8 Analogia da soma 110 011 2 em um tabuleiro circular Mas nem sempre a soma 6 3 resulta em overflow Se ampliarmos o tabuleiro para 16 casas poderemos alcançar a cada de número 9 1001 2 como mostra a Figura 9 a b Figura 9 Analogia da soma 0110 0011 2 em um tabuleiro circular maior agora com 16 casas r e s u m o d o c a p í t u l o Palavraschave Número Numeral Sistema de numeração Sistema de numeração posi cional Base numérica Dígito mais significativo Conversão de base Método das divisões suces sivas Método polinomial Bit Byte Dígito de transporte Transbordamento Overflow Conversão de Bases Numéricas 1 n dígitos método polinomial base B n base B base 10 n 1 dígito divisões sucessivas e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 2 Usando apenas lápis e papel e talvez borracha converta os números abaixo para as bases indicadas Depois confira o re sultado com uma calculadora de programador BINÁRIO PARA DECIMAL a 101101 2 10 b 1010111 2 10 c 11111111 2 10 d 111000111 2 10 e 1000110001 2 10 DECIMAL PARA BINÁRIO a 27 10 2 b 31 10 2 c 32 10 2 d 33 10 2 e 198 10 2 BINÁRIO PARA HEXADECIMAL a 101101 2 16 b 1010111 2 16 c 11111111 2 16 d 111000111 2 16 e 1000110001 2 16 HEXADECIMAL PARA BINÁRIO a AB9 16 2 b 1F3 16 2 c 401 16 2 d B0CA 16 2 e CED0 16 2 DECIMAL PARA HEXADECIMAL a 27 10 16 b 31 10 16 c 32 10 16 d 33 10 16 e 198 10 16 HEXADECIMAL PARA DECIMAL a AB9 16 10 b 1F3 16 10 c 401 16 10 d B0CA 16 10 e CED0 16 10 Preencha os quadros em branco realizando as conversões de base pedidas de modo que cada coluna possua o mesmo valor numérico Binário 101110111 Hexadecimal A8 Decimal 197 Realize as operações de adição e subtração indicadas abaixo en volvendo operandos expressos na base binária Mostre também a operação equivalente na base decimal a 111 11 b 11100 10011 c 1101 1110 d 1111 1100 e 11 10 f 11 101 g 11011 1011 h 10101 11110 Considere um sistema de numeração de base B 1 Responda Quantos símbolos são disponíveis para representar núme ros nessa base Qual o menor número representável com apenas um sím bolo Qual o maior número representável com apenas um sím bolo Qual o valor em função de B do numeral 10 Qual o maior valor representável com dois símbolos Quantos algarismos aproximadamente possui x B quando convertido na base decimal 29 ex 118 Uma calculadora simples pode mostrar números decimais com no máximo seis dígitos Qual é o tamanho da palavra binária necessária para representar tais números Qual o maior número decimal representável em uma máquina de N bits 28 ex 21 Se circuitos digitais em computadores apenas fun cionam com números binários por que números hexadecimais são muito utilizados por profissionais da informática 11 Arrume em ordem crescente cada uma das seguintes tri plas de números a 2B 16 31 10 15 8 b 44 10 3C 16 55 8 15 ex 119 A extinta civilização Maia utilizava um sistema de numeração com base 20 Qual o maior número que pode ser expresso com quatro dígitos nesse sistema Uma caixa alienígena com o símbolo 317 gravado na tampa foi descoberta por um grupo de cientistas Ao abrirem a caixa encontraram 207 objetos Considerando que o alienígena tem um formato huma noide quantos dedos ele tem nas duas mãos Como o número ABC 16 seria representado no sistema de numeração alienígena 3 ex 27 Em um exame um aluno escreveu 2756 6 como res posta a uma pergunta Uma vez que 7 e 6 são maiores que 5 o maior dígito permitido em um sistema de base 6 a resposta deve estar errada O que você acha que é o equivalente mais provável deste número em decimal e por quê A primeira expedição a Marte provou a existência de civiliza ções inteligentes no planeta vermelho porque descobriu gra vada numa rocha a equação 5x 2 50x 125 0 bem como as respectivas soluções x 1 5 e x 2 8 O valor x 1 5 pareceu razoável aos cientistas da expedição mas a outra solução indi cava claramente que os marcianos não utilizavam como nós o sistema decimal de contagem talvez porque não possuíssem 10 dedos nas mãos Quantos dedos os marcianos tinham em cada mão Justifique 10 ex 166 Um disco voador caiu em um igapó em Iranduba Alunos de Ciência da Computação da UFAM investigaram os destroços e encontraram um manual contendo uma equação no sistema numérico alienígena 325 42 411 Se essa equação estiver correta quantos dedos esses alienígenas devem ter 19 p82 Ben e Alissa estão no meio de uma discussão Ben diz Para converter um número binário em decimal eu começo pelo bit mais à esquerda em direção ao mais à direita Pego o dobro do primeiro bit e somo com o próximo bit Pego o dobro do resultado e somo ao bit seguinte E assim vou repetindo até chegar ao bit menos significativo Alissa discorda Não isso é leseira da sua cabeça Isso só funciona na base 16 mas em vez de dobrar você multiplica por 16 Você concorda com Ben com Alissa com ambos ou com nenhum dos dois Argumente 215 24 ex 124 Mostre que um número de base b pode ser convertido para a base b 3 particionando os dígitos do número na base b em grupos de três dígitos consecutivos a partir do dígito menos significativo em direção à esquerda e convertendo se cada grupo em um dígito da base b 3 Dica Represente o número da base b usando uma expansão de série de potências Mostre que um número na base b 3 pode ser convertido para a base b expandindo cada dígito do número de base b 3 em três dígitos consecutivos a partir do dígito menos significativo em direção à esquerda 216 24 ex 125 Mostre como para representar cada um dos números 5 5 2 1 e 5 3 1 como um número de base 5 Generalize sua resposta na parte a e mostre como repre sentar b n 1 como um número de base b onde b pode ser qualquer número inteiro maior que 1 e n qualquer in teiro maior que 0 Dê uma derivação matemática de seu resultado 217 24 ex 126 Mostre que o número 121 b onde b é qualquer base maior que 2 é um quadrado perfeito ou seja é igual ao qua drado de um número inteiro Repita a parte a para o número 12321 b onde b 3 Repita a parte a para o número 14641 b onde b 6 Repita a parte a para o número 1234321 b onde b 4 218 22 ex 29 Em que base numérica B as seguintes operações são válidas a 9 8 11 B b 7 7 16 B R E P R E S E N TA Ç Ã O D E N Ú M E R O S I N T E I R O S O s nú mero s i n teiro s surgiram com a necessidade de subtrair uma quantidade maior de outra menor Por exemplo se te nho R 100 em conta qual será o meu saldo após descontar um cheque de R 150 Para muitos de nós parece intuitivo que a so lução para esse problema seja simplesmente trocar os operandos na subtração e acrescentar o sinal de negativo ao lado do resultado Porém que outros formatos poderíamos convencionar para represen tar esse resultado Os bancos por exemplo costumam pintar valores negativos em vermelho E o que acontece em um mundo onde existem apenas dois sím bolos o 0 e o 1 Nesse mundo o sinal negativo é totalmente estranho pois ele nem é 0 e nem é 1 Portanto ele não pode ser usado para marcar um valor negativo Consequentemente temos de desenvolver alguma convenção para indicar quando os zeros e uns es tão organizados para representar valores negativos ou quando estão organizados para representar valores positivos Na verdade vários sistemas ou convenções já foram desenvolvi dos ao longo da história para representar números negativos usando apenas zeros e uns Neste capítulo veremos alguns deles com des taque para a notação complemento de 2 o padrão atualmente usado pelos sistemas computacionais n ota ç ão s i n a l e mag n itude A notação sinal e magnitude representa números positivos e negati vos por meio de uma abordagem bem simples Dada uma palavra de n bits o bit mais significativo indica o sinal do número 0 se positivo 1 se negativo Os demais n 1 bits indicam a magnitude do número ou seja o seu módulo representado na base binária simples No exemplo abaixo temos as representações de 18 e 18 na no tação sinal e magnitude Note que os n 1 bits menos significativos das duas sequências são iguais A diferença entre elas está apenas no bit mais significativo 0 0 0 1 0 0 1 0 18 1 0 0 1 0 0 1 0 18 43 3 Uma palavra word é um conjunto ordenado de bits correspondente à unidade fundamental de informação que pode ser processada por um computador Note que a notação sinal e magnitude permite duas representações para o número zero 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Duas representações do zero podem ser úteis quando trabalhamos com limites pois podem indicar qual o sentido da convergência de uma função Contudo isso é válido se estivermos representando nú meros reais Como a notação sinal e magnitude representa números intei ros duas representações do zero pode gerar ambiguidade Conversão da Base 10 para a Notação Sinal e Magnitude Para converter um número representado na base 10 para a notação sinal e magnitude com n bits de tamanho procedemos da seguinte forma Figura 10 Tomamos o valor absoluto módulo do número em base deci mal e o convertemos para a base binária método das divisões sucessivas Seção 23 Ao número binário obtido acrescentamos zeros à esquerda até a posição n 2 O bit mais significativo posição n 1 é determinado pelo sinal do número Se for negativo a n 1 1 Se for positivo a n 1 0 Exemplo 3 1 Qual o valor de 23 10 na notação sinal e magnitude de 8 bits de tamanho Primeiro convertemos 23 10 para a base binária 23 1 2 11 2 2 1 5 2 1 2 2 0 1 1 0 Logo 23 10 10111 2 Em seguida acrescentamos zeros à esquerda até o segundo bit mais significativo Figura 10 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação sinal e magnitude 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Por fim como 23 é um número inteiro positivo completamos o bit mais significativo com o valor 0 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 Exemplo 3 2 Qual o valor de 23 10 na notação sinal e magnitude de 8 bits de tamanho Do exemplo anterior sabermos que 23 10 10111 2 Como 23 é um número inteiro negativo completamos o bit mais significativo com o valor 1 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 Conversão da Notação Sinal e Magnitude para a Base 10 Considere a seguinte sequência de n bits de um número em notação sinal e magnitude a n 1 a n 2 a 1 a 0 Para encontrar seu valor A na base dez procedemos de modo se melhante à conversão de número binários para decimal exceto pelo bit mais significativo Ou seja cada bit da sequência deve ser multi plicado pela potência de dois correspondente à sua posição exceto o bit mais significativo que apenas indica o sinal do número X n 2 A 1 a n 1 a i 2 i 5 i 0 Exemplo 3 3 Qual o valor em decimal de 10101110 SM 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2 2 A 1 1 0 6 1 2 5 0 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 0 0 2 2 5 2 3 2 2 2 1 32 8 4 2 46 Exemplo 3 4 Qual o valor em decimal de 01010001 SM 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 A 1 0 1 2 6 0 5 2 4 0 3 2 1 2 0 2 6 2 4 2 0 64 16 1 81 2 1 2 0 2 0 2 1 Limites de Representação da Notação Sinal e Magnitude Vimos no Capítulo 2 que no sistema binário sem sinal uma palavra de n bits é capaz de representar 2 n números Na notação sinal e mag nitude metade 2 n 2 2 n 1 dessas possibilidades são usadas para representar números positivos e o zero com sinal positivo e a outra 2 n 1 1 0 2 n 1 1 Figura 11 Faixa de valores inteiros possíveis de serem representados por uma palavra de n bits na notação sinal e magnitude metade os números negativos e o zero com sinal negativo Portanto a notação sinal e magnitude é capaz de representar números de 0 a 2 n 1 1 no lado positivo da reta inteira e de 2 n 1 1 a 0 no lado negativo A Figura 11 ilustra a distribuição dos inteiros representáveis em notação sinal e magnitude para uma palavra de n bits Assim com uma palavra de um byte de tamanho podemos representar os nú meros inteiros compreendidos no intervalo de 2 8 1 1 127 a 2 8 1 1 127 Desvantagens da Notação Sinal e Magnitude Além da ambiguidade gerada pelas duas representações do número zero a notação sinal e magnitude apresenta outra desvantagem Como veremos mais adiante operações aritméticas são implementadas usan dose uma combinação de portas lógicas Quanto mais operações são oferecidas por um circuito mais complexo é o seu projeto No entanto se pudermos fazer modificações simples para transformar uma ope ração aritmética em um caso especial de uma outra teremos um pro duto mais completo com projeto de menor complexidade e custo Ora lembrese que as operações aritméticas podem ser vistas como manipulações de símbolos Se esses símbolos seguirem uma notação apropriada poderemos ter manipulações menos complexas É o que v eremos nas próximas seções c o m p l e m e n t o d e 2 Os sistemas computacionais modernos utilizam a notação comple mento de 2 como padrão para representar números inteiros em me mória Tratase de um fruto de um longo trabalho de engenhosidade traduzido hoje em regras simples que escondem uma bela maneira de se interpretar os números Antes de apresentar as regras nuas e frias vamos mostrar os con ceitos básicos de onde elas surgiram Complemento de Horas Suponha que sejam 7 horas da noite Uma amiga lhe diz que tentou falar com você 9 horas atrás A partir dessas informações você logo deduz que essa tentativa deve ter ocorrido por volta das 10 horas da manhã Porém pensando explicitamente como você usou os números 7 e 9 para chegar a 10 Subtraindo 9 de 7 temos 2 e não 10 Na verdade o que vários de nós fazemos é subtrair 9 de 12 que é o total de marcações de horas no relógio obtendo 3 e somamos esse resultado à hora inicial 7 obtendo 10 como resultado Tudo isso é feito de forma intuitiva sem pensarmos muito a respeito Ao subtrair 9 horas de 7 horas primeiro fizemos uma complemen tação do subtraendo 9 do limite de horas 12 Em seguida a ope ração de subtração inicial 7 9 foi transformada em uma adição 7 3 Ou seja no contexto de horas nós normalmente transforma mos a operação de subtração em duas outras mais simples comple mentação e adição Pela Figura 12 podemos perceber em termos visuais que a com plementação no relógio consiste em espelhar em relação ao eixo vertical a hora desejada Em termos aritméticos o oposto de uma hora h corresponde a 12 h a 9 h b 3 h 12 9 c 8 h d 4 h 12 8 Figura 12 Horas complementares no relógio são simétricas em relação ao eixo vertical Complemento de Dez Na aritmética de relógio vimos que podemos transformar a subtra ção em duas operações mais simples a complementação e adição No entanto como usamos a base 10 na maioria das aplicações do diaa dia e não a 12 é complicado estender o raciocínio para números maiores Por isso na explicação a seguir vamos utilizar a base 10 à qual estamos acostumados desde pequenos Tomemos como exemplo o hodômetro que registra a distância per corrida por um veículo O mostrador do hodômetro possui um nú mero limitado de casas decimais Consideremos três posições para facilitar a explicação Se o carro andar 1002 km então o hodômetro marcará apenas 002 pois não tem como registrar a casa decimal mais à esquerda que contém o milhar 1 Na vida real hodômetros apenas incrementam nunca decremen tam No entanto imaginemos que o hodômetro do nosso exemplo regrida a contagem quando o carro anda em marcha ré Nesse caso se um carro com 000 km rodado andar 3 km em marcha ré nosso hodômetro fictício marcará 997 Semelhante ao relógio que possui 12 marcações de horas o nosso hodômetro tem mil marcações de quilometragem 0 a 999 Assim para encontrar como serão registrados 3 km negativos subtraímos esse valor de 1000 obtendo 997 Ou seja 997 km é o mesmo que 3 km na aritmética do hodômetro uma vez que este não tem capa cidade de representar o sinal de menos Em outras palavras 997 é o complemento a mil de 3 Generalizando o exemplo se um carro anda x quilômetros para a frente o hodômetro registrará x Se o carro anda x quilômetros de ré o hodômetro marcará 1000 x Dessa forma x e seu oposto x somarão sempre 1000 Generalizando mais ainda o valor registrado para o oposto de x dependerá do número de posições do hodômetro Para o hodômetro de 3 posições tínhamos 10 3 x Logo para um hodômetro de n posições x quilômetros em ré serão registrados como 10 n x Consequente o valor do oposto de um número registrado no hodô metro dependerá do número de posições deste Não podemos ser precipitados em afirmar que o oposto de 6 sempre será 994 Isso só vale para o hodômetro de três posições Para o hodômetro de cinco posições 99994 é o oposto de 6 Aritmética do hodômetro O valor do oposto de um número inteiro depende do número de posições do hodômetro Para um hodômetro de n posições então o oposto de x será representado por 10 n x Vejamos outra situação Considerando que o hodômetro marque 150 km qual o valor que ele passará a marcar se o carro andar 240 km em marcha ré Bem primeiro encontramos o oposto de 240 que é 1000 240 760 Em seguida somamos esse resultado à marcação original do hodôme tro o que resulta em 760 150 910 km Portanto um hodômetro que marca 150 km após rodar 240 km em marcha a ré passará a marcar 910 km Observe que por um lado transformamos subtrações 0 3 e 150 240 em adições por meio da complementação a 1000 Por outro lado a complementação a 1000 envolve uma subtração que é justamente a operação que estamos tentando evitar Ou seja temos de pensar em outra técnica de complementação que dispense definitivamente a subtração A complementação em relação a 1000 pode ser simplificada da se guinte forma Em vez de encontrarmos o complemento de um nú mero a 1000 é mais fácil encontrar sua diferença em relação a 999 pois não haverá empréstimos de uns Lembrese que a subtração de dois operandos é realizada pela comparação dos algarismos do subtraendo com os do minuendo que se encontram na mesma po sição Se tivermos um minuendo composto apenas de algarismos 9 garantimos que nenhum algarismo do subtraendo será maior que o do minuendo de modo que nunca precisaremos de empréstimos Para encerrar a operação de complemento a 1000 somamos 1 ao resultado do complemento a 999 de modo a devolver o 1 subtraído de 1000 Assim chegamos ao oposto de um número na aritmética do hodômetro de três posições A principal consequência de usarmos o complemento a 9 de cada algarismo a i de um número denotado pela sequência a n 1 a 1 a 0 em vez do complemento a 10 n é que podemos generalizar esse pro cedimento para hodômetros de tamanhos maiores não limitados a apenas três casas decimais Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento Exemplo 3 5 Qual é o complemento a 1000 de 123 ou seja qual seria a marcação do hodômetro se o carro andar 123 km em marcha ré a partir do quilômetro zero y 123 Compl 9 y 876 1 877 Logo o hodômetro marcaria 877 km Exemplo 3 6 A indicação 765 corresponde ao complemento a 1000 de que número no hodômetro y 765 Compl 9 y 234 1 235 Portanto 765 corresponde a 235 em complemento a 1000 Veja que nas duas analogias a do relógio base 12 e a do hodô metro base 10 tentamos substituir uma operação de subtração por duas outras mais simples em tese complementação e adição No exemplo do relógio a complementação é uma operação simples por que trabalhamos com apenas doze valores No exemplo do hodôme tro recorremos ao empréstimo de uma unidade para que a comple mentação fosse realizada algarismo por algarismo e não pelo valor total do número Mesmo assim em ambos os exemplos a complementação envolve uma subtração ainda que em relação a um mesmo número Por ou tro lado se utilizarmos um sistema de numeração com apenas dois símbolos a complementação será ainda mais fácil de ser resolvida pois o complemento de um dos símbolos será necessariamente o ou tro o que elimina de uma vez por todas a operação de subtração na complementação Isso é o que veremos a seguir A Notação Complemento de 2 Finalmente Vamos agora estender o raciocínio adotado na analogia do hodôme tro para entender como funciona a notação complemento de 2 e as conversões de base associadas Conversão de Decimal para Complemento de 2 No hodômetro de três posições convencionamos que o oposto de um número era o seu complemento de 10 3 1000 Da mesma forma na base binária podemos convencionar que o oposto de um número de n bits é o seu complemento para o valor 2 n Também vimos que dado um número a 2 a 1 a 0 é mais fácil subtraí lo de 999 10 3 1 do que de 1000 Isso porque deixamos de fazer empréstimos de 1 s durante a subtração e passamos apenas a com plementar cada algarismo a i em relação a 9 Por fim somamos 1 ao resultado para compensar o empréstimo de 1000 para 999 Da mesma forma a conversão de um número negativo expresso em base 10 para a notação complemento de 2 acontece da seguinte forma Figura 13 Tomamos o valor absoluto módulo do número em base deci mal e o convertemos para a base binária Ao número binário obtido acrescentamos zeros à esquerda até chegarmos a uma sequência de n bits Para obter o complemento em relação a 2 n subtraímos a sequên cia obtida no passo anterior de 2 n 1 que nada mais é do que uma sequência de n bits iguais a 1 Ou seja vamos complemen tar cada bit da sequência com 1 Por fim somamos 1 ao resultado final para compensar o em préstimo no passo anterior Figura 13 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação complemento de 2 Exemplo 3 7 Quanto vale 18 em complemento de 2 considerando uma sequência de n 8 bits Em binário sem sinal temos que 18 10 10010 2 Logo y 00010010 Compl 1 y 11101101 1 11101110 Portanto 18 11101110 C2 Conversão de Complemento de 2 para Decimal Considere a seguinte sequência de n bits que representa um número em notação complemento de 2 a n 1 a n 2 a 1 a 0 Para encontrar o valor A representado por essa sequência na base dez procedemos de modo semelhante à conversão de número biná rios para decimal exceto pelo bit mais significativo Ou seja cada bit da sequência deve ser multiplicado pela potência de dois correspon dente à sua posição exceto pelo bit mais significativo conforme a seguinte equação X n 2 N a n 1 2 n 1 a i 2 i 6 i 0 Exemplo 3 8 Qual o valor na base dez de 10101110 C2 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2 2 N 1 2 7 0 6 1 2 5 0 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 0 0 2 2 7 2 5 2 3 2 2 2 1 128 32 8 4 2 82 Exemplo 3 9 Qual o valor em decimal de 01010001 C2 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 N 0 7 1 2 0 5 1 2 0 3 0 2 0 1 1 2 0 2 2 2 2 6 4 2 6 2 4 2 0 64 16 1 81 Tabela 2 Faixa de números inteiros representáveis na notação complemento de 2 em uma palavra de n bits Decimal Complemento de dois 2 n 1 1000 0000 2 n 1 1 1000 0001 2 1111 1110 1 1111 1111 0 0000 0000 1 0000 0001 2 0000 0010 2 n 1 2 0111 1110 2 n 1 1 0111 1111 Limites de Representação da Notação Complemento de 2 Com uma palavra de n bits podemos gerar 2 n padrões de bits Na notação em complemento de 2 metade desses padrões são usados para representar os número negativos A outra metade é usada para representar o zero e os números positivos Portanto temos uma assi metria em relação ao zero pois representamos uma quantidade maior de números negativos do que de números positivos Conforme mostra a Tabela 2 o menor número inteiro negativo re presentável com n bits é 2 n 1 pois é a metade das combinações de 0 s e 1 s possí v eis com n bits 2 n 2 2 n 1 A sequência de bits co r respondente ao menor número inteiro negativo representável é com posta pelo bit 1 seguido de n 1 zeros Em complemento de 2 o valor 1 sempre corresponde a uma sequência de n bits iguais a 1 Já o maior inteiro positivo representável com n bits é 2 n 1 1 pois um dos padrões de bits que começam com 0 foi usado para represen tar o valor zero Daí sobram apenas metade das combinações possí v eis com n bits 2 n 1 menos a combinação do ze r o para r ep r esentar os números positivos Outra forma de visualizar a faixa de números inteiros represen táveis com n bits na notação complemento de 2 é pela Figura 14 Comparea com a Figura 11 p 47 que ilustra a faixa de valores representáveis em notação sinal e magnitude Generalizando a Regra de Negação Vimos que para negar um número inteiro positivo em complemento de 2 devemos inverter seus bits e somar 1 Será se negarmos um 2 n 1 0 2 n 1 1 Figura 14 Faixa de valores inteiros possíveis de serem representados por uma palavra de n bits na notação complemento de 2 número inteiro negativo vamos obter o número positivo de volta Vamos tentar um exemplo Exemplo 3 10 Sabendo que 11101110 C2 corresponde a 18 vamos en contrar seu complemento de 2 y 11101110 Compl 1 y 00010001 1 00010010 Conforme esperado a negação da negação de 18 é ele próprio Mas ainda nossa pergunta não fica respondida definitivamente Será se isso vale para qualquer número inteiro representado em com plemento de 2 Vamos demonstrar que sim Para isso considere a sequência de n bits a n 1 a n 2 a 1 a 0 equivalente a um número inteiro N na nota ção complemento de 2 Logo o valor de N na base dez é dado pela eq 6 X n 2 N a n 1 2 n 1 a i 2 i i 0 Denotemos o complemento de 1 de cada bit a i como a i Logo a negação de N em complemento de 2 será expressa por N 1 X n 2 N a n 1 2 n 1 1 a i 2 i i 0 Ora se a regra da negação da negação funcionar para qualquer caso de representação em complemento de 2 temos de provar que N N 0 n 2 n 2 N N a n 1 2 n 1 X a i 2 i a n 1 2 n 1 1 X a i 2 i i 0 X n 2 i 0 a n 1 a n 1 2 n 1 1 a i a i 2 i i 0 X n 2 2 n 1 1 2 i i 0 2 n 1 1 2 n 1 1 0 Portanto concluímos que a regra da negação de um número inteiro em notação complemento de 2 de n bits é válida para qualquer inteiro representável no intervalo 2 n 1 2 n 1 1 Existem porém dois casos especiais a considerarmos d oi s c a s o s e sp eciai s Na notação complemento de 2 o oposto de zero é zero y 00000000 Compl 1 y 11111111 1 1 00000000 Embora exista um transbordamento vai um ele é ignorado Por tanto a negação do zero é o próprio zero conforme esperado Já o segundo caso é um pouco mais estranho o oposto de 2 n 1 o menor número negativo representável em complemento de 2 com n bits é ele próprio y 10000000 Compl 1 y 01111111 1 10000000 Essa anomalia é inevitável Como vimos na Seção 3233 há uma desigualdade na quantidade de números negativos e positivos repre sentáveis na notação complemento de 2 Consequentemente existe uma representação para 2 n 1 mas não para 2 n 1 Por conta disso ao negarmos 2 n 1 voltamos ao mesmo número Regras práticas s i n a l Na notação complemento de 2 o bit mais significativo tam bém indica o sinal Se o bit mais significativo de um número for 0 então ele é positivo Se for 1 então ele é negativo Mas neste caso o sinal não é apenas multiplicado ao número como na notação sinal e magnitude eq 5 O bit mais significativo de uma palavra em comple mento de 2 pode tornar o número negativo porque no somatório da eq 6 ele contribui com a maior parcela em módulo mas subtraindo c om p ara ç ão Em certas situações dadas duas sequências de bits em complemento de 2 desejamos saber qual a menor ou a maior Uma abordagem seria convertêlas para a base 10 e comparar os re sultados Mas isso é trabalhoso e demorado A partir da Tabela 2 observamos os seguintes critérios Se um número tem 1 no bit mais significativo então ele é me nor que um número que tem 0 nessa mesma posição Ou seja apesar de uma sequência iniciar com um algarismo maior ela tem menor valor Nos bits menos significativos restantes o bit 1 vale mais que o bit 0 Exemplo 3 11 Considere as quatro sequências de bits S 1 S 2 S 3 e S 4 abaixo Arrumeas em ordem crescente supondo que estejam representadas em complemento de 2 S 1 11111010 S 2 00111011 S 3 01000111 S 4 10100010 Em complemento de 2 as sequências que têm o bit 1 na posição mais significativa representam valores negativos No caso de palavras de 8 bits essa posição contribui com 2 7 128 no valor do número Portanto S 1 e S 4 são as menores sequências e S 2 e S 3 são as maiores Para determinar quem é maior entre cada par analisamos a próxima po sição a segunda mais significativa As sequências que tiverem mais bits 1 concentrados nas posições mais significativas exceto a mais à esquerda re presentarão números maiores em decorrência do somatório da eq 6 Logo S 3 é maior que S 2 pois possui 1 na posição 6 ao passo que S 2 possui bit 0 nessa mesma posição Pelo mesmo motivo S 1 é maior que S 4 Portanto as sequências ficam assim arrumadas em ordem crescente S 3 S 2 S 1 S 4 Desvantagens da Notação Complemento de 2 A partir da discussão anterior percebemos que a notação comple mento de 2 não facilita a comparação de sequências de bits Existem dois critérios de comparação um para o bit mais significativo e outro para os demais bits da palavra Dessa maneira ou o circuito digital responsável pela comparação deverá ser projetado para fazer esse tra tamento especial ou o programador sabendo que seu hardware não faz essa diferenciação de critérios deverá corrigir isso via software Tal desvantagem não impede que a notação complemento de 2 seja amplamente utilizada em sistemas computacionais para representar números inteiros No entanto para representar o expoente de núme ros reais utilizamos a notação com excesso que facilita a operação de comparação É o que veremos na Seção 34 o p e r a ç õ e s a r i t m é t i c a s e m c o m p l e m e n t o d e 2 Todas as operações aritméticas básicas entre números representados em complemento de 2 podem ser reduzidas à adição Aqui veremos apenas a adição e a subtração A multiplicação e divisão ficam para um curso mais avançado Adição em Complemento de 2 Para somar dois números em complemento de 2 procedemos da mesma maneira que vimos na Seção 261 para números binários sem sinal alinhamse os operandos pela direita e somamse os bits de mesma coluna verificandose o transporte vaium Exemplo 3 12 Qual o resultado de 00101001 01001011 em notação complemento de 2 com 8 bits 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 41 10 0 1 0 0 1 0 1 1 75 10 0 1 1 1 0 1 0 0 116 10 Caso o bit de transporte vaium exceda o tamanho da palavra ele é desconsiderado Nesse caso teremos uma situação de transbor damento mas não de overflow como veremos na Seção 333 Exemplo 3 13 Qual o resultado de 11101010 11001011 em notação complemento de 2 com 8 bits 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 22 10 1 1 0 0 1 0 1 1 53 10 1 1 0 1 1 0 1 0 1 7 5 10 Pelos Exemplos 312 e 313 acima percebese que durante a adição em complemento de 2 não precisamos nos preocupar com o sinal dos operandos Para obter o resultado basta somarmos os bits inde pendentemente do peso que eles representam Além disso no Exemplo 313 houve um transbordamento do vai um resultante da soma dos bits mais significativos dos operados Ape sar disso não houve overflow pois o resultado 75 10 é representável no intervalo 128 127 segundo a notação complemento de 2 com 8 bits Lembrese que o conceito de overflow não está necessariamente amarrado a transbordamento de bits mas sim à capacidade de uma notação numérica e um espaço limitado de memória em armazenar um valor numérico Mais detalhes na Seção 333 Subtração em Complemento de 2 A notação complemento de 2 visa facilitar a realização de operações aritméticas transformando a subtração em uma adição Quanto me nor o conjunto de procedimentos a serem executados por um sistema computacional mais simples e mais barato ele será Para subtrair dois números em complemento de 2 devemos fazer o seguinte Manter o minuendo e inverter o sinal do subtraendo em com plemento de dois Somar o minuendo ao subtraendo com sinal invertido Vejamos alguns exemplos Exemplo 3 14 Qual o resultado de 01001011 00000101 em notação complemento de 2 com 8 bits re sp o s ta Primeiro devemos inverter o sinal de 00000101 y 00000101 Compl 1 y 11111010 1 11111011 Agora somamos o resultado 11111011 ao minuendo 01001011 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 75 10 1 1 1 1 1 0 1 1 5 10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 7 0 10 Exemplo 3 15 Qual o resultado de 11001011 11111011 em notação complemento de 2 com 8 bits re sp o s ta Primeiro devemos inverter o sinal de 11111011 5 Do exemplo anterior já sabemos que ele é o oposto de 00000101 5 Então basta somarmos 00000101 ao minuendo 11001011 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 53 10 0 0 0 0 0 1 0 1 5 10 1 1 0 1 0 0 0 0 48 10 Overflow em Complemento de 2 Como já vimos anteriormente o overflow ocorre quando um número tem mais bits do que o espaço de memória disponível para arma zenamento No caso específico de números binários sem sinal uma maneira de detectar overflow é quando há transbordamento de bits No entanto para a notação complemento de 2 a forma de detectar overflow é outra Veja que o conceito de overflow é o mesmo para qualquer notação O que muda são as técnicas que empregamos para detectálo Em números binários não sinalizados a técnica para se verificar overflow foi o transbordamento Seção 27 Na notação complemento de 2 o transbordamento não indica necessariamente overflow como vimos no Exemplo 313 Antes de apresentarmos as técnicas de detecção de overflow em complemento de 2 vejamos mais dois exemplos Exemplo 3 16 Qual o resultado de 01101001 01001011 em notação complemento de 2 com 8 bits 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 105 10 0 1 0 0 1 0 1 1 75 10 1 0 1 1 0 1 0 0 108 10 re sp o s ta Como os dois números começam por zero sabemos que ambos são positivos Vamos alinhálos à direita para somar somamos as parcelas bit a bit No Exemplo 316 o resultado esperado em base decimal seria 105 75 180 Entretanto o resultado obtido foi um número negativo 108 Isso aconteceu porque em notação complemento de 2 com 8 bits só pode mos representar números inteiros pertencentes ao intervalo de 2 7 a 2 7 1 Como 180 127 ocorreu um overflow pois a capacidade do espaço de memória foi excedida Por outro lado no Exemplo 316 não houve transbordamento que nos indicasse overflow Então que outro indicador podemos então uti lizar para detectar overflow em números expressos em complemento de 2 Vejamos mais um exemplo Exemplo 3 17 Qual o resultado de 10101001 01001011 em notação complemento de 2 com 8 bits re sp o s ta Como de trata de uma subtração de números expressos em notação complemento de 2 vamos inverter o sinal do subtraendo y 01001011 Compl 1 y 10110100 1 10110101 Agora somamos as parcelas alinhandoas à direita 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 87 10 1 0 1 1 0 1 0 1 75 10 1 0 1 0 1 1 1 1 0 8 6 1 0 No Exemplo 317 o resultado esperado em base decimal seria 87 75 162 Entretanto o resultado obtido foi um número positivo 86 Como 162 128 ocorreu um overflow pois mais uma vez a capacidade do espaço de memória foi excedida ao tentarmos representar um va lor com mais de 8 bits de tamanho Você já deve ter notado que em vez de transbordamento o que indica a ocorrência de overflow na notação complemento de 2 é a troca de sinal do resultado em relação aos operandos Se somarmos dois números inteiros de sinais opostos o resul tado com certeza ficará no intervalo representável de modo que não haverá overflow Se somarmos dois números inteiros de sinais iguais e o resul tado mantiver o mesmo sinal então não teremos overflow Exem plos 312 e 313 Por outro lado se somarmos dois números inteiros de sinais iguais haverá overflow se o resultado tiver sinal diferente pois terá ultrapassado o limite de representação em memória na no tação complemento de 2 Exemplos 316 e 317 n ota ç ão com e xc e ss o A notação com excesso convenciona que o valor literal de uma sequên cia de n bits deve ser diretamente proporcional ao valor representado Ou seja quanto maior o valor da sequência de bits em notação biná ria simples maior o valor representado na base decimal Dessa forma o menor valor representável com uma palavra de n bits será descrito por uma sequência de n 0 s ao passo que o maior valor representável será descrito por uma sequência de n 1 s A notação com excesso também é conhecida por representação po larizada 26 ou excesso x 27 onde x 2 n 1 1 e n é o tamanho em bits da palavra Por exemplo quando se considera uma palavra de 8 bits costumase dizer notação com excesso de 127 Atenção O que é o excesso Observe bem que a notação com excesso desloca o valor re presentado pela sequência de bits somando uma constante de offset O posicionamento dos bits na sequência não é modifi cado A Tabela 3 mostra os padrões de bits em notação com excesso e seus valores correspondentes na base decimal e na notação complemento de 2 Veja que na notação com excesso as sequências que têm 0 no bit mais significativo são usadas para representar os menores números os negativos e o zero Já as sequências cujo bit mais significativo é 1 são usadas para representar os maiores números apenas os positivos A notação com excesso facilita projeto de circuitos comparadores pois todas as posições de bits podem ser comparadas segundo os mesmos critérios sem aumento na complexidade do hardware nem da programação Por conta disso ela é usada para representar o ex poente de números reais como veremos no Capítulo 4 Propriedades da Notação com Excesso s i n a l Lembrese que a premissa básica da notação com excesso é que os valores numéricos representados sejam proporcionais ao valor Tabela 3 Comparação das notações complemento de 2 e com excesso para uma palavra de n bits Decimal Notação com excesso Complemento de dois 2 n 1 1000 0000 2 n 1 1 0000 0000 1000 0001 2 n 1 2 0000 0001 1000 0010 2 0111 1101 1111 1110 1 0111 1110 1111 1111 0 0111 1111 0000 0000 1 1000 0000 0000 0001 2 1000 0001 0000 0010 2 n 1 2 1111 1101 0111 1110 2 n 1 1 1111 1110 0111 1111 2 n 1 1111 1111 2 n 1 1 0 2 n 1 Figura 15 Faixa de valores inteiros possíveis de serem representados por uma palavra de n bits na notação com excesso nominal da sequência de bits Consequentemente os padrões de bits que têm 0 na posição mais significativa representam os menores nú meros que são os negativos Já os padrões que têm 1 na posição mais significativa representam os maiores números que são os positivos Isso é o contrário do que acontece com a notação complemento de 2 l imite s d e re p re s e n ta ç ão Independentemente da convenção adotada um espaço de n bits é capaz de representar 2 n números Na notação com excesso metade dessas possibilidades serão usadas para representar números positivos de 1 1000 0000 a 2 n 1 1111 1111 A outra metade de combinações de bits é usada para represen tar o zero 0111 1111 e os números negativos de 1 0111 1110 a 2 n 1 1 0000 0000 Portanto diferente da notação comple mento de 2 a notação com excesso representa uma quantidade maior de números positivos do que de negativos Observe a Figura 15 e comparea com as Figuras 11 e 14 p aridade Nas notações vistas anteriormente binário simples si nal e magnitude e complemento de 2 os números terminados em zero posição menos significativa da palavra eram múltiplos da base ou seja eram pares enquanto que os números terminados em 1 eram ímpares Observe a Tabela 3 e note que essa regra se inverte para núme ros em notação com excesso Conversão da Base Decimal para a Notação com Excesso Existem pelo menos duas formas de se converter um número repre sentado na base 10 para a notação com excesso com n bits de tama nho Tomamos o número na base decimal somamos com x 2 n 1 1 e n ainda na base decimal e convertemos o resultado para complemento de 2 Tomamos o número na base decimal convertemos para comple mento de 2 e somamos bit a bit com a sequência 0111 1111 ou seja o bit zero seguido de 2 n 1 bits um Note que pela Tabela 3 a sequência 0111 1111 corresponde ao valor zero em notação com excesso ou seja essa soma excesso não altera o valor do número que está sendo convertido Os procedimentos acima estão descritos na Figura 16 Figura 16 Algoritmo de conversão de um número inteiro expresso na base decimal para a notação com excesso Exemplo 3 18 Quanto vale 18 em notação com excesso considerandose uma palavra de n 8 bits Método 1 adicionar excesso ainda na base decimal y 18 10 2 8 1 1 y 109 ND Compl 2 01101101 Logo 18 corresponde a 01101101 em notação com excesso de 8 bits Método 2 adicionar excesso após conversão para complemento de 2 y 18 10 Compl 2 Exemplo 3 7 11101110 C2 y 0111 1111 1 01101101 Da mesma forma 18 corresponde a 01101101 em notação com ex cesso de 8 bits Exemplo 3 19 Quanto vale 18 em notação com excesso considerandose uma palavra de n 8 bits Método 1 adicionar excesso ainda na base decimal y 18 10 2 8 1 1 y 145 ND Compl 2 10010001 Logo 18 corresponde a 10010001 em notação com excesso de 8 bits Método 2 adicionar excesso após conversão para complemento de 2 y 18 10 Compl 2 y 00010010 C2 01111111 10010001 Da mesma forma 18 corresponde a 10010001 em notação com ex cesso de 8 bits Conversão da Notação com Excesso para a Base Decimal Considere a seguinte sequência de n bits representando um número em notação com excesso a n 1 a n 2 a 1 a 0 Para encontrar seu valor A na base decimal procedemos de modo inverso ao da conversão da base decimal para a notação com excesso Tomamos o número na notação com excesso convertemos para a base decimal como se fosse binário simples e subtraímos o valor x 2 n 1 1 do resultado Tomamos o número na notação com excesso subtraímos dele a sequência 0111 1111 ou seja somamos com a sequência 1000 0001 e convertemos o resultado para a base decimal Exemplo 3 20 Qual o valor na base dez de 10101110 ND 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Método 1 subtrair excesso do número na base decimal 2 2 2 A 1 2 7 0 6 1 2 5 0 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 0 0 2 7 2 5 2 3 2 2 2 1 128 32 8 4 2 174 Logo 10101110 ND corresponde a 174 127 47 na base decimal Método 2 subtrair excesso na notação complemento de 2 10101110 ND y 1000 0001 y 1 00101111 C2 Base 10 47 Da mesma forma 10101110 ND corresponde a 47 na base decimal A escolha entre o método 1 ou 2 para conversão é questão pessoal Depende de sua familiaridade com operações com números binários r e s u m o d o c a p í t u l o Palavraschave Notação sinal e magnitude Notação complemento de 1 Notação complemento de 2 Notação com excesso Transbordamento Overflow Conversão de Notações Sinalizadas de N Bits 2 N 1 1 10 ou 100 001 sz Not com excesso Compl de 2 2 N 1 1 10 ou 011 111 N bits z s N bits e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 3 Qual a quantidade mínima de bits requeridos para representar o intervalo de valores entre 0 e 65 535 no formato inteiro não sinalizado complemento de dois Qual a faixa de números inteiros representáveis em comple mento de 2 utilizandose palavras dos tamanhos abaixo Ex presse seu resultado em potências de 2 e em valores aproxima dos de potências de 10 8 bits 16 bits 32 bits 64 bits Realize as operações indicadas abaixo em notação binária com plemento de 2 de 8 bits a 23 9 b 9 23 c 19 1 d 19 1 e 89 76 f 89 76 Discuta por que as seguintes afirmações são falsas Para encontrar o valor em base decimal do número 00100101 representado em notação complemento de dois de 8 bits basta inverter os bits 11011010 e somar 1 11011011 re sultando em 219 10 A sequência 1111 representa o mesmo valor em qualquer uma das seguintes notações de 4 bits complemento de um complemento de dois e magnitude de sinal A soma de dois números positivos representados em no tação complemento de dois resultará sempre em outro nú mero positivo A soma de dois números negativos representados em no tação complemento de dois resultará sempre em outro nú mero negativo Overflow é um conceito restrito à representação binária Se os operandos estivessem na base decimal não haveria esse problema Considerando palavras de 4 bits toda vez que dois pa drões que iniciam por zero 0xxx e 0xxx são somados e a sequência resultante inicia por um 1xxx então podemos afirmar que ocorreu um overflow 10 ex 167 Ben e Alissa estão no meio de outra discussão Ben diz Todos os inteiros maiores que zero e divisíveis por seis têm exatamente dois dígitos 1 em sua representação binária Alissa discorda Não seu leso São todos os números que têm uma quantidade par de 1 s na sua representação binária Você concorda com Ben com Alissa com ambos ou com nenhum dos dois Argumente 10 ex 168 Ben e Alissa estão no meio de mais outra discussão Ben diz Eu posso obter o oposto de um número em comple mento de 2 primeiro subtraindo 1 e depois invertendo todos os bits do resultado Alissa diz Não seu leso Eu faço isso exami nando e copiando cada bit do número começando pelo menos significativo Quando encontro o primeiro 1 inverto todos os outros bits subsequentes Você concorda com Ben com Alissa com ambos ou com nenhum dos dois Argumente O que é um overflow e como ele pode ser detectado Como o overflow em números sem sinal difere do overflow em números com sinal 20 ex 92 Prove as seguintes afirmações Um número inteiro x expresso na notação binária sem sinal é uma potência de dois se e somente se o resultado da operação lógica AND bitabit entre x e x 1 for zero Um número inteiro binário sem sinal a n 1 a n 2 a 1 a 0 2 é divisível por 3 se e somente se i par a i i ímpar a i for múltiplo de 3 20 ex 97 Números negabinários utilizam o conjunto de dígitos 0 1 e a base B 2 O valor de um número negabinários na base 10 é calculado da mesma maneira que um número binário mas com os termos contendo potências ímpares da base sendo negativos Assim tanto números positivos e negativos podem ser representados sem a necessidade de um bit de sinal sepa rado ou um esquema de complementação Qual o intervalo de valores representáveis em uma repre sentação negabinária de 3 bits E de 10 bits Dado um número negabinário como você determina o seu sinal R E P R E S E N TA Ç Ã O D E N Ú M E R O S R E A I S 4 O c o nj u n to do s nú mero s reai s é formado por todos os valo res que representam uma quantidade ao longo de uma reta contínua Assim os números reais compreendem todos os números racionais tais como o inteiro 42 e a fração 74 e todos o números irracionais tais como 2 1 41421356 um número irraci onal algébrico e π 3 14159265 um número transcendental Números Os números reais são incontáveis Isso implica que o conjunto dos números reais R não pode ser associado biunivocamente ao conjunto dos números naturais N Ou seja embora ambos os conjuntos se jam infinitos não existe uma função que associe os elementos de um conjunto aos elementos do outro Dessa forma dizemos que a cardi nalidade de R é maior que a cardinalidade de N Em outras palavras o infinito de R é muito maior que o infinito de N No Capítulo 2 vimos que representar números naturais em siste mas computacionais não é uma tarefa trivial pois o espaço em me mória é um recurso finito ao passo que a quantidade de valores a serem representados é infinita Tal dificuldade se amplifica quando temos que representar números reais Uma notação com essa finali dade deve ser capaz de representar números muito grandes tal como a quantidade de átomos no universo observável e também números muito pequenos como a massa de um elétron Além disso entre a menor e a maior grandeza que se deseja re presentar existe uma infinidade de valores intermediários tais como as dízimas e os números irracionais que nunca poderão ser repre sentados de forma exata utilizandose uma quantidade limitada de bits Portanto os resultados de operações envolvendo números reais representados em computador frequentemente devem ser arredonda dos de modo a caber em um espaço finito de memória 7 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s em ba s e bi n ária Os números reais costumam ser representados em duas partes inteira e fracionária O sinal de vírgula marca a separação entre elas Já nos países de língua inglesa utilizase o ponto no lugar da vírgula Esse fato explica o nome das notações que veremos mais adiante ponto fixo e ponto flutuante Considere um número real qualquer expresso na base decimal con tendo n algarismos na parte inteira e k algarismos na parte fracioná ria Logo sua representação é dada por uma sequência de n k alga rismos indicados por a i k i n 71 algébricos são aqueles que podem ser a raiz de uma equação polinomial com coeficientes racionais Números transcendentais vão além dos números algébricos porque não podem ser expressos apenas com raízes de tais equações A cardinalidade de uma conjunto é a quantidade de elementos desse conjunto a n 1 a 1 a 0 a 1 a k Por exemplo o número 98 765 possui cinco algarismos sendo n 2 na parte inteira e k 3 na parte fracionária Ele é composto pela seguinte soma 98 765 9 10 1 8 10 0 7 B 1 6 B 2 5 B 3 Conversão de Números Reais da Base Binária para Decimal Como consequência do raciocínio anterior podemos estender a eq 3 pág 22 para converter números reais expressos em uma base B qual quer para a base decimal N 10 a n 1 B n 1 a 1 B 1 a 0 B 0 a 1 B 1 a k B k 7 Como vimos no Capítulo 2 na base binária os pesos das posições da parte inteira são potências positivas de 2 Logo pela eq 7 os pesos das posições da parte fracionária são potências negativas de 2 Lembramos mais uma vez que todos os cálculos devem ser realizados na aritmética da base de destino Ou seja cada algarismo a i da base B e o próprio valor da base B devem ser expressos na base 10 Exemplo 4 1 Converter 101 101 2 para a base dez 2 1 0 1 2 3 1 0 1 1 0 1 2 2 1 0 1 s s s 2 3 N 1 0 1 2 0 1 2 1 2 s 0 2 1 2 N 10 4 0 1 0 5 0 0 125 5 625 Note que o mesmo procedimento pode ser estendido para conver ter frações de outras bases para a base decimal Exemplo 4 2 Converter 0 D7 16 para a base dez 0 1 2 0 7 D N 10 13 16 1 7 16 2 N 10 13 0 0625 7 0 00390625 N 10 0 8125 0 02734375 0 83984375 Atenção Não converta grupos de bits da parte fracionária como se fossem inteiros No Exemplo 41 a sequência de bits 101 corresponde a 5 10 na parte inteira Porém na parte fracionária ela corresponde a 0 625 10 Portanto lembrese que a conversão de número reais da base binária para a decimal é realizada de acordo com o peso de cada posição e não por grupos de bits Exemplo 4 3 Converter 0 0001 2 para a base dez 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 N 10 1 2 4 1 N 10 0 0625 16 O Exemplo 43 sugere outro fato interessante números reais em base binária podem ser facilmente convertidos em frações decimais Por exemplo na base decimal o número 0 8 pode ser escrito como 8 o número 0 67 pode ser escrito como 67 o número 0 123 pode 123 10 ser escrito como 1000 e assim por diante 100 De modo similar a parte fracionária de um número binário pode ser convertida em fração como mostra a Tabela 4 O algoritmo de conversão funciona em quatro passos Tabela 4 Números binários podem ser convertidos em frações decimais Fonte 4 Binário Fração Decimal 2 0 0 2 0 4 0 01 2 1 8 0 010 2 2 16 0 0011 2 3 32 0 00110 2 6 64 0 001101 2 13 128 0 0011010 2 26 256 0 00110011 2 51 0 0 10 0 25 10 0 25 10 0 1875 10 0 1875 10 0 203125 10 0 203125 10 0 19921875 10 Desloque a vírgula em tantas k casas para a direita de modo que o número deixe de ter parte fracionária Converta o número inteiro assim obtido para a base decimal Useo como numerador Calcule 2 k Use o resultado como denominador Monte a fração dividindo o numerador pelo denominador Na base decimal deslocar a vírgula de um número real para a direita é mesmo que multiplicálo por 10 Por exemplo 12 34 10 123 4 Da mesma maneira deslocar a vírgula para a esquerda é mesmo que dividilo por 10 Por exemplo 12 34 10 1 234 Já na base binária o deslocamento da vírgula fará com que o nú mero seja multiplicado ou dividido pelo valor da base que é 2 Logo 0 01 2 2 0 1 2 ou seja 0 25 10 2 0 5 10 Do mesmo jeito 0 01 2 2 0 001 2 ou seja 0 25 10 2 0 125 10 Quase 1 0 valores bem próximos de 1 0 Analogamente na base binária Na base decimal números no formato 0 99 9 representam números no formato 0 11 1 2 representam valores imediata mente abaixo de 1 0 para a quantidade de posições utilizadas Comparação entre frações em bases diferentes Quando tomamos um número inteiro 11 por exemplo e duas bases B 1 e B 2 seu valor será maior quando interpretado na maior das bases Por exemplo 11 10 é maior que 11 2 que vale 5 10 Por outro lado com números fracionários ocorre o inverso pois os pesos de cada posição são potências negativas da base Assim 0 11 10 equivale a onze partes de cem ao passo que 0 11 2 equivale a 0 50 0 25 0 75 ou seja setenta e cinco partes de cem Portanto 0 11 10 0 11 2 embora 11 10 11 2 Conversão de Números Reais da Base Decimal para a Binária Para converter números reais da base decimal para a base binária adotamos um procedimento constituído de duas etapas Na primeira etapa convertemos a parte inteira usando o método das divisões suces sivas Seção 23 Na segunda etapa convertemos a parte fracionária usando o método das multiplicações sucessivas similar ao anterior Tome a parte fracionária F 10 do número a ser convertido e a multiplique por 2 Coloque a parte inteira do resultado 0 ou 1 à direita da parte fracionária F 2 do novo número na base binária Repita os passos 1 e 2 com a parte fracionária do resultado até que o resultado seja zero ou até alcançar o número de dígitos precisão desejado Na verdade o procedimento acima pode ser aplicado para qual quer outra base B 1 conforme o fluxograma da Figura 17 Figura 17 Algoritmo de conversão de um número real fracionário expresso na base decimal para uma base B qualquer 0 171875 2 0 34375 Fração 0 0 0 34375 2 0 6875 Fração 0 00 0 6875 2 1 375 Fração 0 001 0 375 2 0 75 Fração 0 0010 0 75 2 1 5 Fração 0 0010 0 5 2 1 0 Fração 0 0010 Exemplo 4 4 Converter 0 171875 10 para a base binária 1 11 Como atingimos zero na parte fracionária a partir da quinta multiplicação terminamos a conversão Logo 0 171875 10 0 001011 2 Exemplo 4 5 Converter 0 6 10 para a base binária 0 6 2 1 2 Fração 0 1 0 2 2 0 4 Fração 0 10 0 4 2 0 8 Fração 0 100 0 8 2 1 6 Fração 0 1001 0 6 2 1 2 Fração 0 10011 0 2 2 0 4 Fração 0 100110 Note que as multiplicações sucessivas continuarão infinitamente pois a parte fracionária nunca chegará a ser zero Como resultado obtemos uma dízima em base binária de período 1001 2 Logo 0 6 10 0 1001 2 Dízimas são uma questão de ponto de vista A fração 0 6 é um número exato na base decimal No entanto é uma dízima periódica na base binária Da mesma maneira 3 base ternária esse valor é dado simplesmente por 0 1 1 0 3333 é uma dízima periódica na base decimal mas na 0 72 2 1 44 Fração 0 1 0 44 2 0 88 Fração 0 10 0 88 2 1 76 Fração 0 101 0 76 2 1 52 Fração 0 1011 0 52 2 1 04 Fração 0 10111 0 04 2 0 08 Fração 0 101110 0 08 2 0 16 Fração 0 1011100 0 16 2 0 32 Fração 0 1011100 Exemplo 4 6 Converter 0 72 10 para a base binária com 8 bits de preci são na parte fracionária 0 Apesar de não termos atingido o zero chegamos à precisão desejada oito bits Por isso encerramos a conversão na oitava multiplicação Logo 0 72 10 0 10111000 2 Se não houvesse limitação de bits e continuássemos o procedimento vería mos que um período começaria a se formar somente a partir do 16 o dígito Nesse caso 0 72 10 0 1011 1000 0101 0001 1110 2 d e m o n s t r a ç ã o d o m é t o d o d a s m u l t i p l i c a ç õ e s s u c e ss i v a s Por que o método das multiplicações sucessivas funciona Note que a parte fracionária F de um número real é um valor pertencente ao intervalo 0 1 Em notação binária F 2 é expressa assim 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a i 0 1 i Z ou seja cada dígito a i só pode assumir os v alo r es 0 ou 1 Consequentemente a partir da eq 7 temos que F 10 é dado por F 10 a 1 2 1 a 2 2 2 a 3 2 3 1 1 1 2 1 F 10 a 1 2 a 2 2 2 a 3 2 2 F 10 2 1 a 1 a 2 2 1 a 3 2 2 F 10 2 1 a 1 a 2 2 1 a 3 2 1 2 1 F 10 2 1 a 1 2 1 a 2 2 1 a 3 Se multiplicarmos cada lado da expressão anterior por 2 temos 10 1 2 3 z s 2 F a 2 1 a 2 1 a X 1 Da expressão acima note que a 1 que é um valor entre zero e um é a parte inteira de 2 F 10 Se tomarmos a parte fracionária X 1 de 2 F 10 e a multiplicarmos por 2 temos 2 X 1 a 2 2 1 a 3 Assim obteremos o próximo dígito a 2 de F 2 Repetindo esse processo sucessivamente encontraremos os demais bits a i de F 2 Dessa maneira mostramos que os métodos de conversão de base são apenas variantes da fórmula de conversão polinomial básica eq 7 O que muda de um método para outro é que cada um busca mani pular os algarismos da forma mais conveniente procurando manter a maior parte das operações na base decimal com a qual estamos familiarizados Erros de Arredondamento Considere uma palavra fracionária binária de quatro bits de tama nho Considere ainda duas sequências consecutivas de 4 bits 0 1110 e 0 1111 Seus valores na base decimal são dados por 0 1110 1 2 1 1 2 2 1 2 3 0 2 4 0 8750 0 1111 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 0 9375 Percebese que a fração decimal 0 9270 não pode ser representada de forma exata usandose apenas 4 bits quando ela é convertida para a base binária obtemos 0 111011010100 2 mas o valor truncado em quatro bits 0 1110 2 corresponde a 0 8750 10 A única maneira de solucionar o problema é reservar mais bits para a representação binária Porém isso requer mais espaço em memória e consequentemente traz um custo maior associado Limitações da Notação Fixa Uma maneira ingênua de armazenar números reais em memória é seguir as mesmas etapas pelas quais foram convertidos reservar um espaço para a parte inteira e outro espaço para a parte fracionária a n 1 a 1 a 0 a 1 a 2 a k Essa abordagem tem um problema para atender às diversas apli cações do cotidiano ela precisa reservar espaço suficiente para ar mazenar núme r os muito grandes 2 n e também núme r os muito pequenos 2 k Contudo raramente há aplicações em que valores muito grandes e muito pequenos são manipulados simultaneamente Portanto reservar espaços distintos para a parte inteira e para a parte fracionária desperdiça recursos computacionais Por conta dessa limitação a notação de ponto fixo é raramente usada em sistemas computacionais para representar números reais Na Seção 421 a seguir veremos que na prática os números reais são mais comumente representados em termos de expoente e fração em vez de parte inteira e parte fracionária httpnewsbbc couk2hi sciencenature 3085885stm http arxivorgpdf 12035425v1pdf A notação científica é uma forma de escrever números reais muito grandes ou muito pequenos como o produto de um número no intervalo 1 10 significando por uma potência da base 10 re p re s e n ta ç ão em p o n to f l utua n te Estimase que o número de átomos no universo observável seja em torno do seguinte valor 70 000 000 000 000 000 000 000 Por outro lado a massa de um elétron foi determinada pelo físico J J Thomson em 1897 como tendo o seguinte valor em quilogramas 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 291 Esses números quando expressos em notação comum são difíceis de serem lidos bilhões trilhões quatrilhões Bilionésimos trilionési mos quatrilionésimos Por isso no meio acadêmico utilizamos a no tação científica para representar números muito grandes ou muito pe quenos Assim o número de átomos no universo é expresso mais facil mente como 7 10 22 e a massa do elétron como 9 10938291 10 31 A notação científica desloca a vírgula decimal para um lugar con veniente escrevendo a parte significativa do número com uma menor quantidade de dígitos O sentido e a quantidade de posições desloca das são compensados no expoente em base dez A notação científica é a base para representar números reais como ponto flutuante Em inglês o ponto é usado no lugar da vírgula para separar a parte inteira da fracionária de um número real O adjetivo flutuante vem da possibilidade de deslocar o ponto decimal Após vários anos de experimentações com diversos formatos de ponto flutuante sofrendo com resultados inconsistentes e incompatí veis a indústria de computadores adotou o formato IEEE 754 pro posto pelo Institute of Electrical and Electronics Engineers 20 7 Ou seja embora nossa discussão daqui para frente trate apenas do pa drão IEEE 754 enfatizamos que essa não é a única opção possível para representar números ponto flutuante É apenas a opção que a maioria dos sistemas computacionais utiliza na atualidade O Padrão IEEE 754 Para converter um número real em notação ponto flutuante começa mos obtendo sua notação científica em base binária Do Exemplo 44 vimos que 0 171875 10 0 001011 2 Logo sua representação em notação científica binária é a seguinte 1 011 2 3 Note que a expressão acima utiliza base de numeração mista a parte significativa está expressa em binário já a base 2 e seu expoente 3 estão expressos em decimal Generalizando um sistema numérico de ponto flutuante F R qualquer é um subconjunto dos números reais cujos elementos x têm a seguinte forma na base B 1 x 1 s M B E 8 onde s é o sinal de x que indica se x é positivo s 0 ou negativo s 1 1 M B é o significando e tem p dígitos e E é o expoente de x na base B e corresponde à quantidade de posições que a vírgula deve ser deslocada para que 1 M B O significando deve ser composto por um único algarismo dife rente de zero na parte inteira e os demais algarismos devem estar na parte fracionária No caso da base binária B 2 isso implica que a parte inteira deve conter apenas um único algarismo 1 A quantidade Precisão vem do latim praecisus cortar antes Nas ciências referese à menor unidade de medida usada para expressar um valor aproximado ou seja à menor medida com que um intervalo é cortado p de bits do significando determina a precisão ou seja a granulari dade do intervalo de números reais representados Atenção Significando ou Mantissa Alguns autores usam o termo mantissa para se referir ao signi ficando Porém há dois problemas com esse termo Mantissa denota a parte fracionária de um logaritmo que não é a mesma coisa que a parte fracionária de um nú mero ponto flutuante É uma designação obsoleta como relata David Goldberg no seu famoso artigo What every computer scientist should know about floatingpoint arithmetic 7 de 1991 Portanto neste texto usamos o termo significando para denotar a parte significativa de um número ponto flutuante normali zado composto por sua parte inteira sempre igual a 1 e pela sua parte fracionária Em sistemas computacionais números ponto flutuante têm base B 2 e são representados por meio de três campos s i n a l Um único bit que indica se o número é positivo ou negativo e xp oe n te Conjunto de k bits que representam o expoente do nú mero ponto flutuante normalizado Utiliza a notação com ex cesso em vez da notação complemento de 2 Ela é explicada na Seção 34 f ra ç ão Conjunto de n bits localizados à direita da vírgula parte fracionária do significando Logo M 1 f e p n 1 A parte inteira não é representada nos formatos float e double pois assumese implicitamente que ela é sempre igual a 1 O padrão IEEE 754 define três formatos básicos de precisão resu midos na Tabela 5 A Figura 18 mostra como o padrão IEEE 754 con venciona a montagem dos campos de sinal s expoente E e fração f na memória de sistemas computacionais Nas subseções a seguir detalhamos como os três campos dos núme ros de ponto flutuante são representados segundo o padrão IEEE 754 tomando o formato de precisão simples 32 bits como referência Tabela 5 Quantidade de bits ocupadas pelos formatos de número ponto flu tuante definidos pelo padrão IEEE 754 Formato Total Sinal Expoente Parte inteira Parte fracionária Precisão simples 32 bits 1 8 23 Precisão dupla 64 bits 1 11 52 Precisão estendida 80 bits 1 15 1 63 expoente fração Figura 18 Codificação dos campos de um número ponto flutuante segundo o padrão IEEE 754 A extensão dos campos expoente e fração diferencia os formatos de precisão entre si Sinal O sinal do número representado é indicado pelo bit mais significativo da sequência de bits Independente do formato de precisão adotado simples duplo ou estendido este campo sempre ocupa um único bit A convenção adotada para representar o sinal é a mesma utilizada na notação Sinal e Magnitude Seção 31 0 se positivo 1 se negativo Expoente O expoente de um número ponto flutuante é um número inteiro Ele representa a quantidade de posições casas binárias em que a vírgula foi deslocada para que o número ponto flutuante ficasse normalizado ou seja com um único dígito 1 na parte inteira O objetivo do expoente é manter o valor total do número após o deslocamento da vírgula Quando ele é positivo significa que o número normalizado ficou menor que o original após a vírgula ter sido deslocada para a direita Quando ele é negativo significa que o número normalizado fi cou maior que o original após a vírgula ter sido deslocada para a esquerda Na notação IEEE 754 o campo expoente é armazenado imedia tamente à direita do bit de sinal Qual a razão disso Facilitar a comparação Por exemplo quando comparamos 1 000011 2 3 com 1 00111 2 5 pouco importa olhar a parte fracionária Apenas com parando os expoentes já somos capazes de determinar que 1 00111 2 5 é o maior entre os dois pois tem o maior expoente Adicionalmente o campo expoente é representado em notação com excesso vista na Seção 34 Basicamente tomamos o expoente origi nal do número a ser representado e somamos a um valor fixo cha mado excesso bias em inglês O valor do excesso é 2 k 1 1 sendo k o tamanho do campo expoente 8 bits na precisão simples 11 bits na precisão dupla Dessa forma os expoentes negativos são sempre representados como positivos em notação binária o que facilita o projeto de circuitos comparadores Parte Inteira Nos formatos de precisão simples e dupla a parte inteira do signifi cando é omitida pois assumese que ela é sempre igual a 1 devido à normalização Já no formato de precisão estendida 80 bits a parte inteira é repre sentada por um bit entre os campos expoente e fração Se for 0 indica que o valor representado está desnormalizado se for 1 indica que está normalizado Detalhes mais específicos da notação estendida podem ser encontrados na versão 2008 do padrão IEEE754 12 ou na Wikipedia 30 Fração Para obter o campo fração de um número ponto flutuante x expresso na base decimal adote o seguinte procedimento Converta o número real x 10 da base decimal para a binária Primeiro converta a parte inteira usando o método de divisões sucessivas Depois a parte fracionária usando o método das multiplicações sucessivas Normalize o número deslocando a vírgula de x 2 até que reste apenas um único algarismo 1 na parte inteira Altere o valor do expoente conforme o número de posições deslocadas Se a parte fracionária do número normalizado tiver menos de 23 bits de tamanho complete com zeros para números exatos em binário ou com o período para dízimas binárias Esta será a fração Se a parte fracionária do número normalizado tiver mais de 23 bits de tamanho elimine os bits menos significativos excedentes Esta será a fração A normalização é necessária para garantir que cada número ponto flutuante tenha apenas uma única representação em formato binário Por exemplo o número 23 10 10111 2 pode ser expresso de diver sas maneiras equivalentes 101 11 2 3 1 0111 2 4 0 10111 2 5 1011100 2 2 Uma vez que a parte inteira de um número normalizado é sempre 1 é desnecessário armazenála Por isso esse bit fica implícito à no tação IEEE 754 Essa convenção permite representar mais um bit da parte fracionária conferindo maior precisão Exemplos Agora vamos juntar tudo em casos de exemplo convertendo números reais da base decimal para a notação IEEE 754 e viceversa Exemplo 4 7 Converta o valor 0 171875 10 para a notação IEEE 754 com precisão simples s i n a l Como o sinal é positivo então o bit de sinal é 0 e xp oe n te Do Exemplo 4 4 sabemos que 0 171875 10 0 001011 2 1 011 2 3 Portanto o expoente é 3 10 Convertendoo para a nota ção com excesso somamos 2 8 1 1 127 de excesso obtendo 124 Na base binária 124 10 1111100 2 Logo o campo expoente é 01111100 f ra ç ão O campo fração de 1 011 2 3 no padrão IEEE 754 precisão simples será dado pela parte fracionária 011 seguida de vinte zeros para completar o tamanho de 23 bits Tabela 5 Portanto o número 0 171875 10 será representado da seguinte maneira na memória de um computador segundo a notação IEEE 754 0 0111 1100 0110 0000 0000 0000 0000 000 Exemplo 4 8 Converta o valor 27 6 10 para a notação IEEE 754 com precisão simples s i n a l Como o sinal é negativo então o bit de sinal é 1 e xp oe n te No Exemplo 4 5 vimos que a fração 0 6 10 forma uma dí zima quando convertida em binário 0 1001 1001 2 Já a parte inteira 27 10 11011 2 Logo 27 6 10 11011 1001 1 10111001 2 4 Somando o expoente 4 com o excesso 127 temos 131 o que equivale a 10000011 2 f ra ç ão Estendendo a parte fracionária para 23 bits temos a seguinte representação em memória de computador 1 1000 0011 1011 1001 1001 1001 1001 100 Exemplo 4 9 A sequência 1 10000000 11100000000000000000000 cor responde a que valor em notação IEEE 754 com precisão simples s i n a l Como o bit de sinal é 1 então o sinal do número é negativo e xp oe n te O campo expoente é 10000000 que equivale a 128 10 Sub traindo o excesso 127 desse valor ficamos com um expoente igual a 1 10 f ra ç ão A partir da eq 8 recuperamos a parte inteira implícita igual a 1 no número normalizado de modo que temos x 1 111 2 2 1 x 11 11 2 1 0 1 2 1 1 1 1 Agora usamos a eq 7 para converter 11 11 2 para a base decimal x 2 1 2 0 2 1 2 2 x 2 1 0 5 0 25 x 3 75 Outro modo de chegar à resposta final é raciocinar assim x 1 111 2 2 1 2 x 1111 2 2 1 x 15 4 15 x 4 x 3 75 Exemplo 4 10 A sequência 0x3F50 0000 corresponde a que valor em no tação IEEE 754 com precisão simples Sabemos que a sequência de bits está expressa em base hexadecimal por conta do símbolo 0x Assim primeiro devemos convertêla para notação binária 3 F 5 0 0 0 0 0 0011 1111 0101 0000 0000 0000 0000 0000 Em seguida arrumamos os bits segundo a notação IEEE 754 com precisão simples da esquerda para a direita 1 bit para o sinal 8 bits para o expoente e os 23 bits restantes para a fração 0 0111 1110 1010 0000 0000 0000 0000 000 s i n a l Como o bit de sinal é 0 então o sinal do número é positivo e xp oe n te O campo expoente é 01111110 que equivale a 126 10 Sub traindo o excesso 127 desse valor ficamos com um expoente igual a 1 10 f ra ç ão A partir da eq 8 recuperamos a parte inteira implícita igual a 1 no número normalizado de modo que temos x 1 101 2 2 1 x 0 1101 2 0 1 2 3 4 0 1 1 0 1 Agora usamos a eq 7 para converter 0 1101 2 para a base decimal x 2 1 2 2 2 4 x 0 5 0 25 0 0625 x 0 8125 Outro modo de chegar à resposta final é raciocinar assim x 1 101 2 2 1 4 x 1101 2 2 1 x 13 16 13 x 16 x 0 8125 c a s o s e sp eciai s Nem todas as 2 32 combinações de bits em uma palavra de 32 bits são usadas para representar números ponto flutuante A notação IEEE 754 reserva algumas sequências de bits para representar algumas situa ções especiais tais como o zero infinito divisão por zero entre ou tras Ao longo desta seção veremos os seguintes casos especiais Representação do zero Representação do infinito Situações inválidas NaN Not a Number Números desnormalizados Como Representar o Zero na Notação IEEE 754 Devido à normalização não é possível representar o zero pela eq 8 Ou seja como a parte inteira implícita sempre vale 1 não há como obter zero seguindo a regra geral da notação IEEE 754 Por conta disso o zero é tratado como caso especial Quando todos os bits do campo expoente e do campo fração são iguais a zero a notação IEEE 754 convenciona que o número repre sentado não é 1 0 2 127 mas sim o próprio valor 0 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 Infinito Quando todos os bits do campo expoente são iguai a 1 e todos os bits do campo fração são iguais 0 a notação IEEE 754 convenciona que o valor representado é o infinito positivo ou o infinito negativo dependendo do bit de sinal Nesse caso o valor 1 0 2 128 não é representado para dar lugar à representação do infinito 0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 1 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 Ter uma representação do infinito é útil pois dá condições ao pro gramador de decidir se tratará o infinito como um erro ou se prosse guirá com a execução do programa c a s o s e sp eciai s 87 Situações Inválidas NaN Uma sequência de operações matemáticas pode resultar em situações não previstas na aritmética envolvendo números reais Por exemplo o resultado de 1 não pertence ao conjunto dos números reais Divi sões por zero ou por infinito também geram situações indefinidas Em computação tais situações são conhecidas como NaN Not a Number não é um número Quando todos os bits do campo expoente são iguai a 1 e o campo fração é diferente de 000000 a notação IEEE 754 convenciona que algum tipo de NaN está sendo representado 0 1111 1111 xxxxxx s 000000 1 1111 1111 xxxxxx s 000000 Núme ros Desnormalizados A regra geral adotada pelo padrão IEEE 754 é representar um número ponto flutuante em sua forma normalizada Ou seja implicitamente considerase que a parte inteira do número representado é 1 Con tudo note que essa abordagem cria dois problemas Figura 19 Formato de 32 bits considerando somente números normalizados Fonte 26 O zero não pode ser representado de forma normalizada Para contornar esse problema convencionase que quando todos os bits dos campos expoente e fração forem preenchidos por zero então estaremos representando o valor zero e não 1 0 2 127 Já que 2 127 não é mais representado então o menor número representável em precisão simples 32 bits é 2 126 Pela Propri edade 43 sabemos que é possível representar 2 23 números no intervalo de 2 126 a 2 125 No entanto não haveria nenhum nú mero representado no intervalo de 0 a 2 126 conforme ilustra a Figura 19 Usando apenas a notação normalizada não há garantia de x y 0 x y com x y F Ou seja um sistema de ponto flutuante F normalizado não garante que a diferença entre dois números x y F é zero se e somente se eles forem iguais Vejamos um exemplo Na Figura 19 o menor número positivo nor malizado representável é y 2 126 que corresponde à sequência 0 00000001 0000 0000 Assim o próximo menor número representá vel é x 2 126 1 2 23 que corresponde ao padrão 0 00000001 0000 0001 Portanto x y 2 126 1 2 23 2 126 s 2 s 1 2 s 6 2 1 26 2 2 3 s 2 s 1 2 s 6 2 126 2 23 2 149 Ora como o menor número representável é y 2 126 então a diferença x y 2 149 não pode ser representada underflow Por conta disso se usarmos a notação normalizada essa diferença seria arredondada para zero embora isso não seja verdadeiro no conjunto R Para contornar os problemas apontados o padrão IEEE 754 deter mina o uso da notação desnormalizada Ela é indicada quando todos os bits do campo expoente são 0 e a fração é diferente de zero 0 0000 0000 xxxxxx s 000000 1 0000 0000 xxxxxx s 000000 Na notação desnormalizada de 32 bits convencionase que a parte inteira implícita vale 0 e não 1 e que o expoente vale 126 Com isso o menor número positivo representável com essa precisão tem o seguinte padrão de bits 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 001 z s Parte inteira 0 000 001 2 23 23 bits Expoente 2 126 Total 2 23 2 126 2 149 Logo o menor valor representável na forma desnormalizada com 32 bits é justamente a menor diferença possível entre dois elementos quaisquer x y F Exemplo 4 11 Qual a sequência de bits correspondente a 2 130 na nota ção IEEE 754 com precisão de 32 bits Formatando 2 130 de acordo com a eq 8 temos 2 130 1 0 2 130 9 No entanto sabemos que o menor expoente representável com 32 bits de precisão é 126 Logo reescrevemos a eq 9 em função de 2 126 p ro p riedade s 89 Figura 20 Formato de 32 bits com números desnormalizados Fonte 26 2 130 1 0 2 4 2 126 0 0001 2 126 Portanto o número 2 130 será representado da seguinte maneira na me mória de um computador segundo a notação IEEE 754 de 32 bits 0 0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 000 Exemplo 4 12 Qual o valor correspondente a sequência de bits abaixo segundo a notação IEEE 754 de 32 bits 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 000 Como o campo expoente é zero mas o campo fração é diferente de zero sabemos que se trata de um formato desnormalizado da notação IEEE 754 Portanto sabemos que o expoente é 126 Falta determinar a parte fracioná ria 0 1 2 19 20 21 22 23 0 0 0 0 1 0 0 0 N 10 0 2 20 2 126 N 10 2 146 p ro p riedade s Nesta seção comentaremos algumas consequências decorrentes da notação IEEE 754 Nossa análise enfocará o formato de precisão sim ples 32 bits mas pode ser facilmente estendida para os formatos de precisão dupla 64 bits e precisão estendida 80 bits Propriedade 4 1 Maior número representável O maior número max representável na notação IEEE 754 de precisão simples é 2 2 23 2 127 O maior número ponto flutuante representável na padrão IEEE 754 será aquele correspondente ao maior expoente e maior fração A maior fração é dada por uma sequência de 23 dígitos 1 O maior expoente que é expresso em notação com excesso seria a sequência 11111111 Contudo ela está reservada para representar o e NaNs Logo o maior número representável no padrão IEEE 754 será dado em mó dulo por 0 1111 1110 1111 1111 1111 1111 1111 111 Essa sequência corresponde ao seguinte número em base decimal e xp oe n te 11111110 2 254 254 127 127 f ra ç ão Em aritmética de base 2 temos z s z s 1 111 111 2 10 0 2 0 000 001 2 23 bits que na base decimal equivale a 2 2 23 23 bits Propriedade 4 2 Menor número normalizado representável O me nor número min representável em módulo na notação IEEE 754 de preci são simples é 2 126 De modo semelhante o menor número representável na padrão IEEE 754 será aquele correspondente ao menor expoente e menor fração A menor fração é dada por uma sequência de 23 dígitos 0 O menor expoente que é expresso em notação com excesso seria a sequência 00000000 Contudo ela está reservada para representar o zero e os números desnormalizados Logo o menor número normali zado representável no padrão IEEE 754 será dado em módulo por 0 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 000 Essa sequência corresponde ao seguinte valor em base decimal e xp oe n te 1 127 126 f ra ç ão 1 0 Propriedade 4 3 Família de significandos de mesmo expoente É pos sível representar 2 23 valores no intervalo entre dois expoentes consecutivos 2 x e 2 x 1 126 x 126 overf l ow e u nd erf l ow 91 Entre dois expoentes consecutivos 2 x e 2 x 1 o significando varia de 1 00 00 a 1 11 11 Como a parte fracionária tem 23 bits de tamanho isso nos dá 2 23 valores intermediários Como consequência da Propriedade 43 podemos afirmar que os números ponto flutuante não são uniformemente distribuídos ao longo da reta numérica tal como os números inteiros em notação comple mento de 2 A Figura 21 ilustra esse fato Figura 21 Densidade de distribuição de números ponto flutuante ao longo da reta numérica Fonte 26 o verf l ow e u nd erf l ow Quando representamos números ponto flutuante em um espaço li mitado de memória um velho problema continua existindo muitos números são tão grandes que exigem uma quantidade de bits maior que aquele espaço oferece Esse é o problema do overflow Porém a representação de números ponto flutuante traz um ou tro inconveniente alguns números são tão pequenos em módulo que também precisam ser representados por uma quantidade de bits maior que o espaço de memória disponível É o caso de frações muito pequenas menores que o menor valor representável Propriedade 42 Esse problema é conhecido como underflow A Figura 22 esboça o significado visual de overflow e underflow Overflow ocorre quando um resultado é menor que max ou maior que max sendo max o maior número representável em uma no tação ponto flutuante Propriedade 41 Por outro lado underflow ocorre quando um resultado se encontra no intervalo compreendido entre min e min sendo min o menor número representável em módulo em uma notação ponto flutuante Propriedade 42 Figura 22 Subintervalos e regiões especiais na representação ponto flutu ante Fonte 21 Note que todos os problemas de representação em ponto flutuante não se resumem às faixas de overflow e underflow Mesmo no interior da faixa de números representáveis há uma infinidade de valores que não podem ser representados Por exemplo 16 2 23 não pode ser representado na notação IEEE 754 de precisão simples Para realizar essa adição as parcelas devem ser representadas com o mesmo expoente Ou seja a vírgula de uma das parcelas deve ser deslocada para que seu expoente seja alinhado ao da outra parcela Poderíamos deslocar a vírgula da parcela maior à direita Porém não haveria espaço em memória para guardar os algarismos deslocados em direção à parte inteira do valor pois o espaço de representação é utilizado para guardar a parte fracionária do significando Portanto devemos deslocar a vírgula da parcela menor à esquerda Assim seu expoente será aumentado e seu significando diminuído em compensação 16 2 23 1 0 2 4 1 0 2 23 z s 1 0 2 4 0 0 0 0 0 0 1 2 4 27 casas 1 z s s s 2 4 truncamento s 00 0001 27 casas 1 0 2 4 Em precisão simples o campo fração tem apenas 23 casas binárias de tamanho Dessa forma os quatro bits adicionais serão descartados de modo que o resultado de 16 2 23 será 16 Não use ponto flutuante quando números inteiros são suficientes Se você precisa computar valores exatos represente os dados como inteiros e somente convertaos para a escala correta du rante a exibição Por exemplo em aplicações financeiras nin guém gostaria de arcar com o prejuízo que uma série de arre dondamentos pode provocar Assim todos os cálculos devem ser efetuados em centavos e só no final podem ser divididos por 100 para serem exibidos em reais r e s u m o d o c a p í t u l o Tabela 6 Resumo dos principais parâmetros associados aos formatos IEEE 754 simples dupla estendida Tamanho 32 bits 64 bits 80 bits n bits Largura do expoente 8 bits 11 bits 15 bits k bits Precisão em bits 24 bits 53 bits 64 bits p bits Precisão em dígitos 7 16 19 p 1 log 1 0 2 1 Largura da fração 23 bits 52 bits 63 bits p 1 bits Excesso base 2 127 1023 16383 2 k 1 1 Maior expoente 127 1023 16383 2 k 1 1 Parâmetro Precisão Precisão Precisão Geral base 2 emax Menor expoente base 2 emin MaiorMenor 126 1022 16382 2 k 1 2 expoente base 1 0 3 8 3 08 4 9 3 2 e m ax log 1 0 2 e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 4 Explique por que as seguintes afirmações estão incorretas Considerando que 5 10 corresponde a 0101 2 então 1 5 10 é igual a 1 0101 2 Sabemos que 11 2 13 10 Logo deslocandose a vírgula à esquerda podemos afirmar que 1 1 2 1 3 10 Da mesma forma que 20 16 20 10 podemos dizer que 0 2 16 0 2 10 Os números 1 5 10 e 1 5 16 representam os mesmos va lores pois a base hexadecimal é a mesma coisa que a deci mal exceto pelos números A B C D E e F O valor de 1 5 16 na base decimal é 24 pois 1 5 16 24 Qual a vantagem de se usar a notação com excesso para repre sentar o expoente de um número de ponto flutuante Considere o formato de ponto flutuante IEEE 754 de precisão simples Argumente sobre as seguintes questões Os números com parte fracionária deixam de ser represen tados pela notação a partir de que expoente A partir de que expoente deixamse de se representar nú meros inteiros consecutivos Quantos números podem ser representados no formato desnormalizado Determine a representação binária no padrão IEEE 754 em pre cisão simples para os seguintes números a 20 10 b 20 5 10 c 0 1 10 d 0 125 10 e 56 10 f 2 10 Considere um sistema de representação de números ponto flu tuante com 8 bits três para o campo de expoente e quatro para a fração Responda às perguntas abaixo Qual o maior valor representável desconsiderando uma representação especial para o infinito Qual o menor valor representável em módulo desconsi derando uma representação especial para o zero Desenhe uma reta contendo todos os valores representá veis entre 0 5 e 3 Por que a quantidade de números representados entre 1 e 2 é a mesma que entre 4 e 8 embora este último intervalo seja quatro vezes maior 11 Arrume em ordem crescente cada uma das seguintes tri plas de números a 1 1 2 1 4 10 1 5 16 b 1 5 8 1 5 16 1 5 10 Quanto bits são necessários no mínimo para representar os seguintes valores O número de Avogadro 6 02 10 23 b A fração 0 00000000005 29 ex 122 Suponha que deseja representar a fração decimal 0 6 em binário usando uma palavra de 4 bits Encontre qual a fração binária que fornece o valor mais aproximado Qual o erro percentual se utilizarmos essa representação Repita o problema considerando uma palavra binário de 8 bits 29 ex 123 Considere um número decimal x 0 3141 Qual é a menor palavra binária que pode ser utilizada para represen tar esse valor com um erro de arredondamento menor do que 0 3 Considere as três sequências de bits abaixo Arrumeas em or dem crescente interpretandoas segundo as notações numéricas indicadas abaixo Não é necessário converter os padrões em no tação decimal 1010 1101 1010 0000 0000 0000 0000 0010 0001 0111 0001 0000 0000 0000 0000 0100 0110 1011 0111 0000 0000 0000 0000 1000 complemento de 2 Excesso de 2 31 1 Ponto flutuante IEEE 754 com precisão simples 18 ex 218 Para cada uma das seguintes sequências de bits em notação IEEE 754 de precisão simples mostre o valor numérico em termos de um significando e um exponente na base 2 Por exemplo 1 11 2 2 5 a 0 10000011 01100000000000000000000 b 1 10000000 00000000000000000000000 c 1 00000000 00000000000000000000000 d 1 11111111 00000000000000000000000 e 0 11111111 11010000000000000000000 f 0 00000001 10010000000000000000000 g 0 00000011 01101000000000000000000 Considere o seguinte número ponto flutuante de precisão dupla BFDC 0000 0000 0000 Qual o sinal desse número Qual o expoente base decimal da base 2 implícita na no tação IEEE 754 Qual o significando Qual o valor desse número na base decimal 18 ex 220 Utilizando o formato IEEE 754 de precisão simples mostre o valor em binário e em decimal de O maior número positivo representável obs número O menor número positivo normalizado não é um O menor número positivo em formato desnormalizado O menor espaçamento entre números normalizados O maior espaçamento entre números normalizados A quantidade de números normalizados representáveis in cluindo o 0 note que e NaN não são números 18 ex 2 21 Dois p r ogra m ado r es esc r e v eram gerado r es de nú meros aleatórios para números de ponto flutuante normaliza dos usando o mesmo método O gerador do Programador A cria números aleatórios no intervalo fechado de 0 a 1 2 e o ge rador do programador B cria números aleatórios no intervalo fechado de 1 2 a 1 O gerador do programador B funciona cor retamente mas o do Programador A produz uma distribuição de números aleatórios deslocada Qual deve ser o provável pro blema com a abordagem do programador A 4 ex 292 Por volta do ano 250 aC o matemático grego Ar quimedes provou que 223 71 π 22 7 Se ele tivesse acesso a um computador e à biblioteca mathh ele teria sido capaz de determinar que a aproximação em ponto flutuante de preci são simples para o π tem a representação hexa de 0x40490FDB Naturalmente tratase de uma aproximação uma vez que π é irracional Qual a fração binária representada por esse valor ponto flutuante Qual a representação binária de 22 7 A partir de que posição em relação ao ponto binário essas duas aproximações divergem uma da outra Considere as seguintes representações de números ponto flutu ante IEEE 754 com precisão simples x 0101 1111 1011 1110 0100 0000 0000 0000 y 0011 1111 1111 1000 0000 0000 0000 0000 z 1101 1111 1011 1110 0100 0000 0000 0000 Execute as seguintes operações mostrando todos os cálculos x y resultado do item a z Por que esse resultado não é comutativo ou seja igual a x z y N Ú M E R O S B I N Á R I O S N A L I N G U A G E M C A L i n guagem C oferece amplo suporte para manipular bits de dados numéricos No entanto poucos são os livros que fornecem detalhes de como fazer isso Neste capítulo apre sentamos as principais operações de leitura e escrita de dados numé ricos em diversas notações não sinalizada complemento de 2 e ponto flutuante Também explicamos como cada um desses tipos de dado numérico pode ser manipulado por meio de operações específicas ti p o s n umérico s em c No contexto da programação uma variável designa um local da me mória onde fica armazenado um valor manipulável pelo programa A Linguagem C exige que as variáveis sejam declaradas antes de seu uso ou seja o programador deve informar no início do código o nome da variável identificador e o tipo de valor que pode ser arma zenado nela tipo de dados O tipo determina as seguintes características de uma variável 23 n atureza é a espécie de dado representado Por exemplo pode mos ter um caractere um número inteiro um número real ou um tipo personalizado tama n ho é o espaço em bytes necessário para armazenar os va lores do tipo re p re s e n ta ç ão é a forma conjunto de regras como os bits ar mazenados devem ser interpretados Por exemplo podemos ter complemento de 2 formato IEEE 754 ASCII entre outros f ai x a de re p re s e n ta ç ão é o intervalo de valores válidos para o tipo Por exemplo 0 a 255 ou 128 a 127 Código 1 Exemplo de declaração de variáveis em linguagem C 1 2 int x1 3 float x2 4 char x3 5 O Código 1 apresenta um trecho de um programa C que declara três variáveis distintas x1 x2 x3 Cada uma delas ocupa uma região diferente na memória do computador Por exemplo 97 5 No contexto de linguagens de programação o tipo indica as características de dados que uma variável pode assumir número inteiro número real caracteres valores lógicos A variável x1 pode ser usada para representar números intei ros natureza de 32 bits tamanho segundo a notação com plemento de 2 representação dentro do intervalo que vai de 2 31 a 2 31 1 faixa de representação A variável x2 pode ser usada para representar números reais de 32 bits segundo a notação IEEE 754 dentro do intervalo que vai de 1 17549 10 38 a 3 40282 10 38 em módulo A variável x3 pode ser usada para representar caracteres de 8 bits segundo o formato ASCII dentro do intervalo de códigos que vão de 128 a 127 que são mapeados para um caractere correspondente T ipos Inteiros A Tabela 7 exibe os tipos inteiros básicos suportados pela Lingua gem C Nela também são indicados o tamanho e a faixa de valo res representados por variáveis assim declaradas A palavrachave unsigned indica que os valores representados são inteiros sem si nal nãonegativos Quando o termo unsigned é omitido os valores representados são inteiros sinalizados ou seja em notação Comple mento de 2 Na prática o número de bits alocados para representar um tipo de penderá de dois elementos o compilador e a arquitetura da máquina onde o códigofonte C é compilado Por exemplo o compilador gcc adota o tamanho de 32 ou de 64 bits para o tipo long int depen dendo se a máquinaalvo for de 32 ou 64 bits respectivamente Outro compilador poderá adotar outra convenção O Código 9 imprime o tamanho em bytes do espaço em memória ocupado pelo tipo int Essa informação é dada pelo resultado da fun ção sizeof tendo o tipo int como argumento A função printf Tabela 7 Tamanho e faixa de valores dos tipos inteiros Tipo Tamanho bits Mínimo Máximo char 8 128 127 short int 16 32768 32767 int 32 2147483648 2147483647 long int 32 ou 64 long long int 64 9223372036854775808 9223372036854775807 unsigned char 8 0 255 unsigned short int 16 0 65535 unsigned int 32 0 4294967295 unsigned long int 32 ou 64 0 unsigned long long int 64 0 18446744073709551615 e n trada e s a íd a de dado s n umérico s em c 99 é usada para imprimir esse resultado na tela Você pode modificar o Código 9 para encontrar o espaço ocupado por outros tipos de variá vel Basta trocar a expressão int por outro tipo desejado inclusive os tipos de ponto flutuante que serão abordados a seguir Código 2 Modelo de código para encontrar o tamanho em bytes do espaço em memória ocupado pelos tipos da Linguagem C include stdioh int main printfEspaco em memoria ld bytes sizeof int return 0 1 2 3 4 5 6 512 Tipos Ponto Flutuante A Tabela 8 exibe os tipos ponto flutuante básicos suportados pela Linguagem C Nela também são indicados o tamanho e a faixa de valores representados por variáveis assim declaradas em módulo A palavrachave unsigned não se aplica para os tipos ponto flutuante Nesta seção enfocamos o espaço de memória usado para armaze nar as variáveis Porém muitas vezes é necessário interpretar os valo res armazenados em memória a fim de que sejam exibidos em um dispositivo de saída tal como um monitor ou um arquivo em disco Esse processo é tratado na seção a seguir Tabela 8 Tamanho e faixa de valores dos tipos ponto flutuante Tipo Tamanho bits Mínimo Máximo float 32 1 175494 10 38 3 402823 10 38 double 64 2 225074 10 308 1 797693 10 308 long double 128 3 362103 10 4932 1 189731 10 4932 e n trada e s a íd a de dado s n umérico s em c Linguagens procedurais como C funcionam a partir da seguinte pre missa dados são inseridos como entrada armazenados em memória manipulados pelo programa e entregues a um dispositivo de saída Na linguagem C usamos a função scanf para ler a entrada de da dos inseridos via teclado e a função printf para produzir a saída de dados que são escritos na tela Ao executar um programa C os dados numéricos ficam armaze nados na memória do computador onde são identificados pelo nome da variável Como indica a Figura 23 os acessos de escrita e de leitura são sempre realizados a partir dessa região de memória Figura 23 As funções scanf e printf acessam a memória do computa dor identificada pela variável contida em seus argumentos String série tira cadeia é uma sequência conectada de caracteres tratados como um só item de dados 25 Basicamente as funções scanf e printf requerem dois argu mentos para ler e exibir respectivamente dados numéricos Nome das variávelis de entrada ou saída e Uma string contendo especificações de como converter os dados guardados na memória para serem exibidos na tela ou de como converter os dados digitados via teclado para serem armazena dos em memória Para utilizar essas duas funções em um programa C você deve incluir a biblioteca stdioh no preâmbulo do seu códigofonte O Código 3 apresenta um exemplo simples de como ler um número inteiro positivo digitado via teclado linha 7 armazenálo na variável x e escrever o valor de x na tela do computador linha 10 Código 3 Exemplo básico de entrada e saída de dados em linguagem C include stdioh int main unsigned x Inteiro NAO sinalizado Leitura de valores printfDigite o valor de x scanfu x Impressao de valores printf Valor de x u x return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Vamos entender como o Código 3 é executado Se você já conhece a linguagem C pode pular a explicação a seguir e ir direto à Seção 53 Todo programa C é formado por um conjunto de funções A fun ção principal chamada main é aquela por onde o programa inicia a execução Toda função em C deve indicar quais os seus argumentos entrada e qual a sua saída No Código 3 a função main não espera receber nenhum argumento como entrada por isso seus parênteses estão vazios A saída resul tado da função principal deve ser 0 a fim de que o sistema ope racional entenda que a execução do programa foi bem sucedida A devolução do valor 0 é indicada pelo comando return na linha 12 Como a função principal deve retornar um valor inteiro seu tipo é indicado como int no início da linha 2 Na Seção 53 a seguir detalhamos como a função printf funci ona a fu nç ão printf A função printf instrui o computador a imprimir uma mensagem de texto string de caracteres no terminal de vídeo Por exemplo o comando printfFiat lux imprimirá na tela a mensagem Fiat lux sem aspas A string de caracteres contida entre as aspas é composta de pelo menos um dos seguintes elementos caractere s ordi n ário s são impressos na tela da maneira como são informados entre aspas no argumento da função tal como no exemplo anterior d iretiva s d e formata ç ão descrevem como os argumentos se guintes da função printf devem ser interpretados para con verter os dados numéricos armazenados na memória do compu tador em caracteres impressos na tela Por exemplo na linha 10 do Código 3 u é uma diretiva que instrui o programa para interpretar os bits da região de memória denotada pela variável x como um número inteiro sem sinal unsigned Diretiva é uma instrução não executada diretamente usada para controlar o compilador ou interpretador de uma linguagem de programação Figura 24 A função printf lê dados da memória sem modificálos apresentandoos na tela sob algum formato especificado Como ilustrado na Figura 24 a função printf transforma sequên cias de bits armazenados na memória em caracteres exibidos na tela Assim sequências de bits sempre estarão guardadas na memória no formato binário O modo de exibilas na tela não as modifica de ma neira alguma Analogamente quando as luzes de uma sala de apa gam os objetos ali contidos não somem eles apenas deixam de serem vistos Ou ainda se uma luz azul for projetada sobre objetos amare los a tinta que os reveste não passará a ser verde mas sim a cor com que são exibidos é que passará a ser verde As diretivas de formatação são compostas por um grupo de carac teres que começa com o símbolo seguido obrigatoriamente por um caractere especificador de formato Este último define o tipo e o formato como um valor armazenado em memória será interpretado para ser apresentado como uma sequência de caracteres na tela Entre o sím bolo e o especificador de formato podemos ter opcionalmente quatro outros itens como mostra a Figura 25 flags precisão especificador de formato 0 12 5 L g tamanho mínimo modificador de extensão Figura 25 Sintaxe de uma diretiva de formatação modificador de e x te ns ão altera a quantidade de bits de como a posição de memória será interpretada sem alterar os dados armazenados em memória Está detalhado na Seção 532 p reci s ão indica o número de casas decimais a serem impressas na tela no caso de dados numéricos em ponto flutuante Está detalhado na Seção 535 tama n ho m ín imo define a quantidade mínima de caracteres a se rem impressos na tela para representar o valor passado como argumento Está detalhado na Seção 534 fl ag s são opcionais e mais de uma é permitida Alteram alinha mento impressão de sinalização e preenchimento de zeros à esquerda Estão detalhadas na Seção 533 Especificado res de formato Os especificadores de formato são caracteres que definem o tipo e o formato como um valor armazenado em memória será interpretado para ser apresentado como uma sequência de caracteres na tela Ou seja a linguagem C permite que uma variável seja declarada segundo um tipo mas tenha seu valor impresso segundo um outro tipo espe cificado No entanto essa operação não altera o valor nem o tipo da variável impressa mas apenas a forma de como o padrão de bits é interpretado e apresentado na tela Atenção Especificadores de formato não alteram os valores arma zenados em memória Especificadores de formato d u x servem para interpretar o dado durante a impressão Os bits armazenados em memória continuam os mesmos A escolha do especificador de formato depende do tipo do argu mento da função printf Por exemplo a linguagem C não permite que variáveis ponto flutuante sejam impressas como inteiras ou vice versa Tabela 9 Especificadores de formato para números inteiros Fontes 23 16 Especificador Efeito d O argumento é impresso como um inteiro na base deci mal u O argumento é impresso como um inteiro não sinali zado na base decimal x X O argumento é impresso em base hexadecimal Se o especificador for x minúsculo os dígitos a f serão im pressos em caracteres minúsculos Se for X então serão impressos em caracteres maiúsculos o O argumento é impresso em base octal f ormata çõ e s i n teira s Os especificadores de formato inteiro relacionados na Tabela 9 são utilizados para imprimir valores intei ros int unsigned e variantes Eles não podem ser utilizados para imprimir valores ponto flutuante float ou double Inicialmente o argumento variável ou valor correspondente é convertido para a no tação informada pela diretiva Em seguida o resultado é formatado em uma sequência de caracteres string a ser impressa na tela Código 4 Modelo de código C sobre os principais especificadores de for mato de tipos inteiros abordados no Exemplo 51 include stdioh int main int arg 155 printf Valor de arg diretiva o o arg return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Exemplo 5 1 A Tabela 10 apresenta a saída produzida pelas diretivas de formatação de números inteiros em programas C semelhantes ao Código 4 Por exemplo a última linha da tabela mostra que para o valor 155 armaze nado em uma variável chamada arg do tipo int o comando printfo arg produz a saída 233 na tela Para observar o efeito dos demais exemplos da tabela substitua a diretiva desejada na linha 5 ou o valor atribuído à variável arg na linha 3 Tabela 10 Exemplos de diretivas de formatação para números inteiros e seus respectivos resultados Diretiva Argumento Impressão Argumento Impressão d 155 155 155 155 u 155 155 155 4294967141 x 155 9b 155 ffffff65 X 155 9B 155 FFFFFF65 o 155 233 155 37777777545 No Exemplo 51 o valor 155 é impresso como 155 tanto na notação decimal sinalizada d como na não sinalizada u pois seu sinal é positivo Nesse caso tanto a notação binária simples como a comple mento de dois usam a mesma convenção para representar números menores ou iguais a 2 n 1 1 sendo n o tamanho da palavra A maioria dos compiladores C atuais utilizam 32 bits para repre sentar o tipo int Para ter certeza disso mande imprimir o resultado da função sizeofint De qualquer maneira 155 2 31 1 Assim as diretivas d e u exibiram o mesmo resultado na tela Por fim usando o método das divisões sucessivas é fácil verificar que 155 corresponde a 9B 16 ou a 233 8 Por outro lado quando o argumento é um valor negativo 155 a notação decimal sinalizada d imprime o valor como o conhecemos na aritmética cotidiana Já a diretiva não sinalizada u faz o seguinte O valor 155 corresponde a 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0101 em complemento de dois Essa sequência quando convertida em he xadecimal resulta em FFFF FF65 Quando convertida à base octal re sulta em 37 777 777 545 conforme mostra a Tabela 10 Atenção Diretivas de formatação não alocam espaço em memória Diretivas de formatação tais como X e ld servem para interpretar o dado inserido via teclado quando usadas na fun ção scanf ou o dado armazenado em memória quando usa das na função printf A alocação de espaço em memória acontece durante a declaração de variáveis f ormata çõ e s d e p o n to f l utua n te Os especificadores de for mato da Tabela 11 são utilizados para exibir valores reais em nota ção IEEE 754 seja de precisão simples float ou de precisão dupla double Primeiro o argumento da função printf que pode ser uma variável ou valor literal é convertido para a notação indicada pela diretiva Em seguida o resultado é formatado em uma sequência de caracteres que será impressa na tela Tabela 11 Especificadores de formato para ponto flutuante Fontes 23 16 Especificador Efeito f O valor é impresso no formato decimal sinal parte in teira ponto parte fracionária e O valor é impresso no formato científico sinal parte in teira ponto parte fracionária caractere e indicando ex poente de uma potência de 10 valor do expoente em base decimal a A O valor é impresso no formato hexadecimal pela nota ção IEEE 754 sinal 0x 1 parte inteira parte fracioná ria em hexadecimal caractere p indicando expoente de uma potência de 2 valor do expoente em base decimal sem deslocamento A diretiva A imprime os caracte res especiais da base hexadecimal em letras maiúsculas enquanto que a diretiva a os imprime em minúsculas g G O argumento deve ser double O valor é impresso no formato da diretiva f ou e dependendo da precisão Mais detalhes em 23 16 Os zeros à direita da parte fracionária são removidos Código 5 Modelo de código C sobre os principais especificadores de for mato de tipos ponto flutuante abordados no Exemplo 52 include stdioh int main float arg 1375 printf Valor de arg diretiva e e arg return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Exemplo 5 2 A Tabela 12 a seguir apresenta a saída produzida pelas dire tivas de formatação de números ponto flutuante em programas C semelhantes ao Código 5 Por exemplo a terceira linha da tabela mostra que para um valor 13 75 armazenado em uma variável chamada arg do tipo float ou double o comando printfe arg produz a saída 1375000e001 na tela Para observar o efeito dos demais exemplos listados na tabela substitua a diretiva desejada na linha 5 ou o valor atribuído à variável arg na linha 3 Tabela 12 Exemplos de diretivas de formatação para números ponto flutu ante e seus respectivos resultados Diretiva Argumento Impressão Argumento Impressão f 1375 13750000 0875 0875000 e 1375 1375000e001 0875 8750000e001 A 1375 0X1B80000P3 0875 0X1C00000P1 No Exemplo 52 o valor 13 75 10 é impresso dessa mesma maneira pela diretiva f Já a diretiva e faz com que esse valor seja apre sentado na notação científica provocando o deslocamento da vírgula uma casa decimal para a esquerda o que é compensado no expoente e001 Em binário simples o valor 13 75 10 equivale a 1101 11 2 Deslocandose a vírgula em três casas binárias para a esquerda temos 1 1011 1000 2 2 3 Assim a diretiva A substitui os bits da parte fra cionária por símbolos hexadecimal B800 e indica que houve um deslocamento de três casas binárias para a esquerda P3 As diretivas f e A fazem com que os números reais sejam exibidos na tela com precisão simples Logo a parte fracionária é representada com 23 bits Lembrese que na conversão bináriohexadecimal cada quatro dígitos binários são convertidos em um dígito hexadecimal Por conta disso um 24 o bit é anexado aos 23 existentes de modo a imprimir 6 casas hexadecimais correspondentes à parte fracionária do número Esses 24 bits espelham os dados tais quais estão armaze nados em memória Já na conversão bináriodecimal os 23 bits da parte fracionária equi v alem a 2 3 log 1 0 2 6 casas decimais Por isso a di r eti v a f imprime por padrão seis casas decimais na tela Em contraste no lado direito da Tabela 12 para representar o valor 0 875 10 em notação científica deslocamos a vírgula para a direita de modo que a diretiva e imprime na tela um expoente negativo e001 Em formato binário simples o valor 0 875 10 equivale a 0 111 2 Deslocandose a vírgula em uma casa binária para a direita temos 1 1100 2 2 1 Assim a diretiva A substitui os bits da parte fracionária por símbolos hexadecimais C000 e indica que houve um deslocamento de uma casa binária para a direita P1 Portanto a diretiva A é mais indicada quando se deseja observar como os bits correspondentes a um número ponto flutuante estão armazenados em memória segundo o padrão IEEE754 Já as diretivas f e e são mais indicadas quando desejamos interpretar os valores ponto flutuante na base decimal Modificadores de extensão Os modificadores de extensão alteram a quantidade de bits com que o argumento será formatado Note mais uma vez que a variável não é modificada pois a função printf apenas faz a leitura dos valores armazenados em memória para apresentálos na tela O que se mo difica é a apresentação na tela da variável informada como argumento Assim uma variável do tipo int que normalmente tem 32 bits pode ser apresentada na tela como se tivesse apenas 8 bits hhd ou 64 bits lld de tamanho O efeito dos modificadores de extensão depende muito do compila dor utilizado As explicações aqui contidas referemse ao gcc 473 Você pode obter efeitos diferentes se utilizar outros compiladores Por conta disso para evitar resultados não planejados recomendamos que você utilize modificadores de tipo correspondentes ao tamanho do tipo do argumento impresso Além disso quando as combinações de modificadores de extensão e especificadores de tipo não casam com o tipo do argumento alguns compiladores exibem mensagens de alarme warnings durante a compilação A Tabela 13 apresenta os modificadores de extensão mais comuns associados à impressão de variáveis numéricas A coluna Efeito diz que a combinação Modificador e Especificador limitará o tama nho do valor impresso à mesma quantidade de bits correspondente ao tipo informado Por exemplo a diretiva hhx especifica que o valor impresso na tela terá o mesmo tamanho de bits ocupado por uma va riável unsigned char mesmo que o argumento informado à função printf seja de outro tipo Código 6 Modelo de código C sobre modificadores de extensão de tipos inteiros abordados no Exemplo 53 include stdioh int main int arg 300 Impressao de valores printf Valor de arg diretiva hhd hhd arg return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exemplo 5 3 A Tabela 14 apresenta a saída produzida pelas diretivas de modificadores de extensão em programas C semelhantes ao Código 6 Cada Tabela 13 Modificadores de extensão Fontes 23 16 Modificador Especificador Efeito hh d char o u x X unsigned char h d short int o u x X unsigned short int l d long int o u x X f e a A unsigned long int sem efeito ll d long long int o u x X unsigned long long int L f e a A long double linha da tabela apresenta um exemplo de diretiva primeira coluna dois exemplos de valores aos quais a diretiva é aplicada 300 e 70000 e resultados correspondentes impressos na tela Por exemplo a terceira linha da tabela mostra que para um valor 300 ar mazenado em uma variável chamada arg do tipo int o comando printfhhd arg produz a saída 44 na tela Para observar o efeito dos demais exemplos listados na tabela substitua a diretiva desejada na linha 6 ou o valor atri buído à variável arg na linha 3 Tabela 14 Exemplos de diretivas de modificação de extensão de extensão Diretiva Argumento Impressão Argumento Impressão d 300 300 70000 70000 hhd 300 44 70000 112 hd 300 300 70000 4464 ld 300 300 70000 70000 lld 300 4625656705227685588 70000 4634787943137865360 Flags As flags são caracteres especiais que alteram a formatação padrão de finida pelos especificadores de formato Mais de uma flag pode ser utilizada ao mesmo tempo A Tabela 15 fornece uma lista das flags mais comuns Tamanho mínimo O especificador de tamanho mínimo define a quantidade mínima de caracteres que serão usados para representar o valor formatado Se Tabela 15 Flags da função printf Fontes 23 16 Flag Efeito Alinha valor à esquerda com impressão de espaços à direita se forem necessários para completar o tamanho mínimo do campo Sem essa flag alinhase o valor à direita por padrão No caso de números sinalizados força a exibição do sinal do valor seja positivo ou negativo Sem essa flag exibese por padrão o sinal apenas dos números negativos Torna explícita a notação utilizadas Para números na base oc tal inicia o valor exibido com um 0 Para números na base hexadecimal inicia o valor exibido com um 0x ou 0X 0 Imprime zeros em vez de espaços à esquerda do número a fim de que ele ocupe todo o espaço indicado pelo tamanho mínimo o valor formatado possui uma quantidade menor de caracteres que o tamanho mínimo especificado então espaços e zeros são usados para atingir o tamanho especificado Se possui uma quantidade maior de caracteres então ele é impresso com todos os seus caracteres sem truncamento 23 16 Ou seja o especificador é ignorado nesse último caso Precisão Para as diretivas de formatação de ponto flutuante f e a o especi ficador de precisão determina o número de dígitos impressos na tela após o ponto decimal Se a quantidade de dígitos da parte fracionária for maior que a precisão especificada então o valor impresso é arre dondado se for menor então o valor impresso é estendido com zeros à direita Caso a precisão não seja especificada seu valor padrão é de 6 casas decimais conforme discutido na Seção 531 Código 7 Código C para exemplificar o uso de flags aliadas a tipos inteiros conforme abordado no Exemplo 54 include stdioh int main short int arg 3530 printf Valor de arg diretiva 3hd 3hd arg return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Exemplo 5 4 A Tabela 16 a seguir apresenta a saída produzida por di versas flags de formatação para valores inteiros armazenados em variável do tipo short int em programas C semelhantes ao Código 7 Cada linha mostra um exemplo de diretiva dois valores aos quais ela é aplicada 3530 e 3530 e os respectivos resultados que são exibidos na tela Por exemplo a terceira linha da tabela mostra que para um valor 3530 ar mazenado em uma variável chamada arg do tipo short int o comando printf3hd arg produz a saída 3530 na tela Para observar o efeito dos demais exemplos listados na tabela substitua a diretiva desejada na linha 5 ou o valor atribuído à variável arg na linha 3 Tabela 16 Exemplos de diretivas de formatação para valores short int Diretiva Argumento Impressão Argumento Impressão hd 3530 3530 3530 3530 3hd 3530 3530 3530 3530 8hd 3530 3530 3530 3530 08hd 3530 0003530 3530 0003530 8hd 3530 3530 3530 3530 2hd 3530 3530 3530 3530 6hd 3530 003530 3530 003530 86hd 3530 003530 3530 003530 Código 8 Código C para exemplificar o uso de flags aliadas a tipos de pre cisão dupla conforme abordado no Exemplo 55 include stdioh int main long double arg 4503 printf Valor de arg diretiva 13Lf 13Lf arg return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Exemplo 5 5 A Tabela 17 a seguir apresenta a saída produzida pelas di retivas de formatação para valores armazenados em variável do tipo long double precisão dupla em programas C semelhantes ao Código 8 Cada linha mostra um exemplo de diretiva dois valores aos quais ela é aplicada 450 3 e 450 3 e os respectivos resultados que são exibidos na tela Por exemplo a quarta linha da tabela mostra que para um valor 450 3 armazenado em uma variável chamada arg do tipo long double o comando printf13Lf arg produz a saída 450300000 alinhado à esquerda da tela Para observar o efeito dos demais exemplos listados na tabela subs titua a diretiva desejada na linha 5 ou o valor atribuído à variável arg na linha 3 Tabela 17 Exemplos de diretivas de formatação para valores long double Diretiva Argumento Impressão Argumento Impressão Lf 4503 450300000 4503 450300000 4Lf 4503 450300000 4503 450300000 13Lf 4503 450300000 4503 450300000 13Le 4503 4503000e02 4503 4503000e02 13Le 4503 4503000e02 4503 4503000e02 Lf 4503 450300000 4503 450300000 013Lf 4503 000450300000 4503 00450300000 13Lf 4503 450 4503 450 4Lf 4503 4503000 4503 4503000 138Lf 4503 45030000000 4503 45030000000 13Le 4503 5e02 4503 5e02 13Le 4503 5e02 4503 5e02 o p era çõ e s ló gica s bit a bit Nas operações lógicas bit a bit o processador alinha os operandos bit a bit e os bits de cada posição são operados individualmente sem considerar o valor ou significado da string de bits A Tabela 18 descreve as quatro operações lógicas bit a bit supor tadas pela Linguagem C As operações AND OR e XOR envolvem dois operandos Nesse caso os bits de mesma posição de cada ope rando são processados um de cada vez sem considerar os resultados obtidos nas posições vizinhas Por outro lado a operação NOT é exe cutada sobre apenas um único operando Tabela 18 Operadores bit a bit Fontes 23 Operação Operador Efeito AND Cada bit do resultado é igual a 1 se os bits de mesma posição dos operandos forem iguais a 1 ou igual a zero caso contrário OR Cada bit do resultado é igual a zero se os bits de mesma posição dos operandos forem iguais a zero ou igual a 1 caso contrário XOR Cada bit do resultado é igual a zero se os bits de mesma posição dos operandos forem iguais entre si ou igual a 1 caso contrário NOT Troca o valor de cada bit do operando Cor responde ao complemento de 1 Código 9 Modelo de código para encontrar o tamanho em bytes do espaço em memória ocupado pelos tipos da Linguagem C include stdioh int main short int a 123 0x7B b01111011 short int b 20 0x14 b00011110 printfAND X a b printfOR X a b printfXOR X a b printfNOT X a return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AND 10 OR 7F XOR 6F NOT FFFFFF84 d e sl ocame n to de bit s O deslocamento de bits é uma operação realizada sobre a cadeia de bits de um tipo inteiro Essa sequência de bits pode ser movida para a esquerda ou para a direita Operações aritméticas como a adição e a divisão transformam os valores operados Já as operações de deslocamento de bits transformam a cadeia de bits 4 Deslocamento à Esquerda A operação a k desloca os bits da variável inteira a em k posições para a esquerda Desse modo os k bits mais significativos de a são descartados e os k espaços criados na extremidade direita são preen chidos com zero Consequentemente o número de posições deslocadas k deve ser maior ou igual zero caso contrário o compilador emitirá uma men sagem de aviso Se k for maior que o número de bits de a o resultado será invariavelmente igual a zero Note que o deslocamento à esquerda a k corresponde à multi plicação a 2 k Porém se o produto for maior que o tamanho de a poderá haver truncamento Vejamos algumas situações de exemplo Em todas elas a operação de deslocamento funciona da mesma forma Alterase apenas a forma de interpretarmos os bits d e sl ocame n to de um va l or n ão s i n a l izado Observe o Código 10 e sua saída correspondente Ele imprime o resultado em base decimal e binária do deslocamento à esquerda dos bits de uma variável unsigned char A função printbin será detalhada na Se ção 56 por isso não se preocupe como ela funciona por enquanto Inicialmente atribuise o valor dez 00001010 2 à variável a Em seguida por meio do laço for os bits de a são deslocados de zero a oito posições à esquerda Isso faz com que em base decimal o resultado vá dobrando de valor 20 40 80 e assim por diante Porém quando a cadeia de bits 00001010 é deslocada cinco posições à esquerda o bit 1 mais significativo é descartado Por isso em base decimal o valor obtido 64 não corresponde ao esperado 320 10 Outra forma de entender esse resultado é lembrar que o valor 320 não pode ser armazenado em um espaço não sinalizado de apenas 8 bits o qual representa no máximo 255 2 8 1 Código 10 Deslocamento à esquerda de uma variável unsigned char include stdioh Procedimento para imprimir os bits de uma variavel inteira void printbin unsigned char a Imprime cada bit da variavel a for unsigned i 8 i 0 i printfu a 7 a a 1 printf int main unsigned char a 10 for unsigned i 0 i 8 i printfa d 3hhu i a i printbina i Deslocamento de i posicoes return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a 0 10 00001010 a 1 20 00010100 a 2 40 00101000 a 3 80 01010000 a 4 160 10100000 a 5 64 01000000 a 6 128 10000000 a 7 0 00000000 a 8 0 00000000 d e sl ocame n to de um va l or s i n a l izado Agora observe o Código 11 e sua saída correspondente Nele uma variável char sina lizada de 8 bits e com valor inicial de 10 tem seus bits deslocados de zero a oito posições em direção à esquerda Isso faz com que o resultado expresso na base decimal vá dobrando de valor 20 40 80 e assim por diante Desta vez quando a cadeia de bits 00001010 é deslocada quatro po sições à esquerda o MSB indicador do sinal de um número em com plemento de dois muda de um para zero Ou seja o número perde o sinal negativo Dessa forma na base decimal o valor obtido 96 não corresponde ao esperado 160 10 2 4 Outra forma de entender esse resultado é lembrar que o valor 160 não pode ser armazenado em um espaço sinalizado de apenas 8 bits o qual representa no mí nimo 128 2 7 Código 11 Deslocamento à esquerda de uma variável char sinalizada include stdioh Procedimento para imprimir os bits de uma variavel inteira void printbin unsigned char a Imprime cada bit da variavel a for unsigned i 8 i 0 i printfu a 7 a a 1 printf int main unsigned char a 160 for unsigned i 0 i 8 i printfa d 3hhd i a i printbina i Deslocamento de i posicoes return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a 0 10 11110110 a 1 20 11101100 a 2 40 11011000 a 3 80 10110000 a 4 96 01100000 a 5 64 11000000 a 6 128 10000000 a 7 0 00000000 a 8 0 00000000 Deslocamento à Direita A operação a k desloca os bits da variável inteira a em k posições para a direita Desse modo os k bits menos significativos de a são descartados Já os k espaços criados na extremidade esquerda de a podem ser preenchidos de duas maneiras No modo lógico a extremidade esquerda é sempre preenchida com k zeros No modo aritmético a extremidade esquerda é preenchida com k repetições do bit mais significativo MSB da variável a origi nal Essa convenção pode parecer estranha mas ela preserva o sinal do operando na notação complemento de 2 O sinal usado pela Linguagem C para o deslocamento à direita não distingue o modo lógico do aritmético O tipo da variável deslocada é que determina qual dos dois modos será aplicado Para variáveis não sinalizadas unsigned aplicase o modo lógico Para variáveis sinalizadas signed aplicase o modo aritmético Note que o deslocamento à direita a k corresponde à divisão inteira a 2 k Vejamos algumas situações de exemplo d e sl ocame n to ló gico Observe o Código 12 e sua saída Nele uma variável unsigned char com valor inicial de 160 tem seus bits deslocados de zero a oito posições em direção à direita Isso faz com que o resultado vá caindo pela metade 80 40 20 10 5 2 1 Código 12 Deslocamento lógico à direita de uma variável unsigned char include stdioh Procedimento para imprimir os bits de uma variavel inteira void printbin unsigned char a Imprime cada bit da variavel a for unsigned i 8 i 0 i printfu a 7 a a 1 printf int main unsigned char a 160 for unsigned i 0 i 8 i printfa d 3hhu i a i printbina i Deslocamento de i posicoes return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Quando a cadeia de bits 10100000 é deslocada seis posições à di reita o bit 1 mais à direita é descartado Mesmo assim o valor obtido continua correspondendo ao quociente inteiro de 160 2 6 2 Pela saída produzida percebemos que o deslocamento à direita aplicado foi do tipo lógico pois zeros foram inseridos nas posições vagas à esquerda apesar da variável a ter 1 no MSB O programa pro cedeu assim porque a variável a foi declarada como unsigned char a 0 160 10100000 a 1 80 01010000 a 2 40 00101000 a 3 20 00010100 a 4 10 00001010 a 5 5 00000101 a 6 2 00000010 a 7 1 00000001 a 8 0 00000000 d e sl ocame n to aritmético Observe o Código 13 e sua saída Nele uma variável char sinalizada e com valor inicial de 80 tem seus bits deslocados de zero a oito posições em direção à direita Isso faz também com que o resultado vá caindo pela metade 40 20 10 5 2 1 Código 13 Deslocamento aritmético à direita de uma variável char include stdioh Procedimento para imprimir os bits de uma variavel inteira void printbin unsigned char a Imprime cada bit da variavel a for unsigned i 8 i 0 i printfu a 7 a a 1 printf int main char a 80 for unsigned i 0 i 8 i printfa d 3hhd i a i printbina i Deslocamento de i posicoes return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 De modo semelhante ao exemplo anterior quando a cadeia de bits 01010000 é deslocada cinco posições à direita obtemos o quociente inteiro 2 como esperado 80 2 5 80 32 2 Olhando apenas a saída produzida não é possível percebemos se o deslocamento à direita aplicado foi no modo lógico ou no aritmético Como o MSB de 80 01010000 2 é zero não sabemos se os bits 0 à esquerda foram inseridos por definição modo lógico ou pela repetição do MSB modo aritmético a 0 80 01010000 a 1 40 00101000 a 2 20 00010100 a 3 10 00001010 a 4 5 00000101 a 5 2 00000010 a 6 1 00000001 a 7 0 00000000 a 8 0 00000000 Por outro lado se alterarmos o valor inicial da variável a para 80 na linha 13 perceberemos claramente que o Código 13 aplica o deslocamento à direita no modo aritmético pois o MSB de 80 10110000 2 que vale um é replicado para preencher os espaços que vão sendo criados na extremidade esquerda Em inglês o deslocamento aritmético também é conhecido como sticky shift ou seja deslocamento grudento em tradução literal É como se o MSB fosse um chiclete que vai esticando à medida em que a sequência de bits é deslocada à direita 11 11 ou 00 00 a 0 80 10110000 a 1 40 11011000 a 2 20 11101100 a 3 10 11110110 a 4 5 11111011 a 5 3 11111101 a 6 2 11111110 a 7 1 11111111 a 8 1 11111111 Resto da Divisão Inteira i m p re ss ão de va l ore s em formato bi n ário Na Seção 53 vimos que a Linguagem C oferece diretivas de formata ção prédefinidas para imprimir valores numéricos nas bases decimal octal e hexadecimal No entanto não oferece uma diretiva para im primir valores na base binária Para atingir esse objetivo temos de escrever um pouco mais de código Também vimos que a Linguagem C trata valores inteiros e ponto flutuante de forma diferente Portanto teremos que adotar estratégias distintas para imprimir na tela a sequência de bits que representa valores de cada tipo de variável É o que veremos nas duas seções a segui r Impressão de Inteiros em Binário Antes de qualquer discussão é importante ter em mente que todos os dados armazenados na memória de um computador estão codifica dos em binário A restrição que a Linguagem C impõe para visualizar a sequência de bits não implica que devemos fazer uma nova con versão de bases numéricas Pelo contrário devemos contornar essa restrição lançando mão dos recursos que a Linguagem C oferece Existem duas maneiras básicas para atribuir um valor a uma variá vel em C A variável pode receber um valor numérico estático chamado de valor imediato Por exemplo a 666 A variável pode receber um valor digitado via teclado Por exem plo scanfu a Bem na verdade há ainda uma terceira maneira uma variável pode receber o valor de outra variável mas esse caso pode ser re cursivamente reduzido a um dos dois casos básicos anteriores No primeiro caso o valor imediato será transformado em uma sequência de bits durante a compilação Por exemplo durante a atri buição int x 19 o número 19 será convertido para 10011 Essa sequência será gravada no código executável do programa e quando este for executado ela será carregada em memória No segundo caso valores lidos pela função scanf também serão transformados em uma sequência de bits mas desta vez durante o tempo de execução do programa Por exemplo se o usuário pressionar as teclas 1 e 9 durante a execução do comando scanfd x o código ASCII dessas teclas será fornecido pelo Sistema Operacional à função scanf Esta por sua vez converterá esses caracteres em uma sequência de bits segundo a notação complemento de 2 de 32 bits considerando que a variável x seja do tipo int Em qualquer um dos casos o valor da variável x será represen tado em memória por uma sequência de bits Nosso problema agora é justamente imprimir esses bits sem que uma nova conversão seja feita pois ela já aconteceu ou durante a compilação ou durante a execução Já que a Linguagem C não permite que todos os bits da sequên cia sejam impressos de forma direta temos de escrever um código que imprima um bit de cada vez Portanto o código exige um laço de repetição que seja executado tantas vezes quanto for o tamanho da va riável em bits Por exemplo se estivermos imprimindo uma variável do tipo int o laço deverá ser repetido 32 vezes E o que deve ser executado em cada iteração Isso depende da ordem como a saída do programa é apresentada na tela que nor malmente é da esquerda para a direita Dessa forma nosso algoritmo deve imprimir primeiramente o bit mais significativo da sequência de sejada Como fazemos isso Uma forma simples é deslocar as n 1 posições menos significativas da sequência de n bits para a direita de modo que apenas o bit mais significativo reste nela Daí ele já pode ser impresso pois as casas à esquerda serão completadas com zero certificandose que o tipo seja unsigned Para as demais iterações devemos cuidar para que o segundo bit mais significativo seja deslocado em uma posição à esquerda para que fique na posição mais significativa e o procedimento anterior possa ser repetido O Código 14 apresenta uma função que implementa o algoritmo descrito considerando variáveis de 8 bits de tamanho char Tente modificála para impressão de tipos mais longos com o short int int ou o long long int Código 14 Função que imprime a sequência de bits de uma variável char void printbin shift unsigned char a unsigned int i Contador Imprime cada bit da variavel a for i 8 i 0 i printfu a 7 a a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A função apresentada pelo Código 14 tem um problema O valor original da variável é perdido à medida que os deslocamentos são aplicados sobre ela O Código 15 resolve esse problema utilizando uma máscara de bits A máscara é definida de tal modo que a cada iteração apenas um bit é extraído da variável para impressão na tela Entre uma iteração e a seguinte somente a máscara e não a variável de interesse é deslocada para extrair o próximo bit Código 15 Impressão da sequência de bits de uma variável short usando mascaramento void printbin mask unsigned short int a unsigned int i Contador 1 2 3 unsigned int mask 0x8000 Mascara 4 5 Imprime cada bit da variavel a 6 printf Binario 7 for i 16 i 0 i 8 printfu a mask i1 9 mask mask 1 10 11 Imp ressão da Representação Hexadecimal de Ponto Flutuante Como vimos na Seção 53 não é possível utilizar a diretiva X para imprimirmos a representação hexadecimal de variáveis do tipo float ou double em C O Código 16 contorna esse impedimento fazendo com que uma mesma área de memória seja interpretado ora como float ora com unsigned Isso se dá por meio da union definida nas linhas 4 a 7 Todos os componentes de uma union são armazenados em um mesmo local endereço de memória Quando desejamos es crever um valor real em base decimal usamos o componente float Já quando queremos ler a representação hexadecimal por meio da diretiva X utilizamos o componente unsigned Código 16 Impressão da representação hexadecimal de uma variável float usando union include stdioh Permite multiplas interpretacoes a partir de um mesmo espaco de memoria typedef union float f unsigned u tipoFloat 8 9 int 10 main tipoFloat numero 12 printfDigite um numero real em base decimal 13 scanff numerof 14 15 printfNumero real f numerof 16 printfRepresentacao binaria u numerou 17 printf 18 19 return 0 20 11 O Código 17 apresenta uma solução mais elegante pois usa pon teiros em C Ponteiros são variáveis que armazenam endereços de memória O Código 17 define uma variável do tipo float chamada var Como sabemos ela não pode ser impressa usandose a diretiva de formatação X Para contornar esse impedimento o Código 17 exe cuta os seguintes passos na linha 8 Tomase o endereço e não valor da variável var por meio do operador Convertese o ponteiro de float para unsigned pois este tipo suporta o uso da diretiva de formatação X Esse procedi mento não altera o valor do endereço de memória O que muda é o tipo de variável apontada Extraise o valor apontado pelo endereço convertido por meio do operador à esquerda da palavra unsigned Essa operação é conhecida como derreferenciamento Código 17 Impressão da representação hexadecimal de uma variável float usando ponteiro include stdioh int main float var printfDigite o valor da variavel float scanff var printfRepresentacao binaria 08X unsigned var return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Por fim apresentamos o Código 18 uma modificação do Código 16 Ele imprime os três campos da representação IEEE 754 sinal expo ente e fração Para isso definimos nas linhas 3 a 7 uma estrutura chamada bitsIEEE754 constituída por três componentes Estes por sua vez têm seu tamanho em bits determinado pelo valor à direita do sinal de dois pontos Estruturas são úteis para agrupar valores em um só registro que pode ser manipulado como um só tipo ao longo do código Assim na linha 14 acrescentamos mais uma interpretação da union tipoFloat Podemos enxergar esse espaço de memória de três maneiras como um número real em base decimal como um bloco único de caracteres hexadecimal corresponden tes aos 32 bits da notação IEEE 754 ou como um conjunto de 32 bits dividido nos três campos da nota ção IEEE 754 Código 18 Disseca a representaçãode bits de uma variável float usando campos de bits e union include stdioh 1 Define campos de bits de um float typedef struct unsigned fracao 23 unsigned expoente 8 unsigned sinal 1 tipoCamposIEEE754 Permite multiplas interpretacoes a partir de um mesmo espaco de memoria typedef union float f unsigned u tipoCamposIEEE754 bits tipoFloat int main tipoFloat numero printfDigite um numero real em base decimal scanff numerof printf CAMPOS DA NOTACAO IEEE 754 printf printfNumero f numerof printfSinal u numerobitssinal printfExpoente b10 d numerobitsexpoente 127 printfFracao hexa 06X numerobitsfracao 1 printf return 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 As linhas 26 27 e 28 imprimem os valores dos campos da sequência de bits da notação IEEE 754 Eis alguns detalhes importantes s i n a l este é o campo mais simples pois assume um dos seguintes valores zero se o valor representado for positivo ou um se for negativo e xp oe n te este campo está representado em notação deslocada vide Seção 34 p 62 Para encontrar seu valor em complemento de 2 basta subtrair o deslocamento que é de 2 n 1 1 sendo n o tamanho do campo em bits Para o tipo float o expoente tem 8 bits Logo devemos subtrair 127 antes de imprimir o valor Usando a diretiva d o valor do expoente é convertido da no tação complemento de 2 para a base decimal f ra ç ão este campo tem 23 bits de tamanho na notação IEEE 754 de precisão simples Por outro lado o processador manipula in formação organizada em bytes e não em bits Assim ao operar um valor inteiro sem sinal de 23 bits de tamanho como defi nido na linha 4 o processador inclui um zero à esquerda para overf l ow e u nd erf l ow 123 completar 3 bytes 24 bits Sabemos que a inclusão de zeros à esquerda de valores inteiros não altera o seu valor Contudo o valor aqui manipulado não um inteiro Ele representa uma fra ção E em frações zeros acrescidos à esquerda modificam o valor representado Por conta disso temos de deslocar a sequência de bits uma posição à esquerda antes de imprimila a fim de eli minar esse zero inconvenientemente acrescentado o verf l ow e u nd erf l ow Overflow de Inteiros em Linguagem C Overflow e Underflow de Ponto Flutuante em Linguagem C Código 19 Comparação entre a impressão de uma variável double e de ou tra float que armazenam valores iguais include stdioh int main float x 066666666666666666666 precisao 32 bits double y 066666666666666666666 precisao 64 bits printfx 20f x printfy 20lf y return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quando executado o Código 19 produz a seguinte saída na tela x 066666668653488159000 y 066666666666666663000 No Código 19 a dízima 0 6 truncada em vinte casas decimais foi atribuída duas variáveis x do tipo float e y do tipo double Sabe mos que o tipo float ocupa 32 bits na memória dos quais 23 são utilizados para representar a parte fracionária o que correspondem a 2 3 log 2 1 0 6 casas decimais De modo semelhante o tipo double ocupa 64 bits na memória dos quais 52 bits representam a parte fra cionária 15 casas decimais Se o tipo float possibilita representar valores com até 6 casas de cimais de precisão então de onde vieram os valores exibidos a partir da sétima casa decimal 0 000000686534882 Antes de tudo esse valor não é aleatório Se fosse aleatório cada execução do programa forneceria um valor diferente Também não é lixo de memória Quando declaramos variáveis em um programa C um espaço de memória é reservado para armazenar o valor delas Entre o momento da declaração de uma variável e o momento da atribuição de valor a essa variável de fato o valor da variável será aquele que já estava gravado naquela região de memória durante um processamento anterior que utilizava essa mesma região Contudo as linhas 3 e 4 do Código 19 atribuem um valor às variáveis x e y Portanto não podemos justificar os dígitos excedentes como sendo lixo de memória Pegue uma calculadora e verifique o valor de 2 23 2 23 0 000 000 119 209 289 550 781 250 Note que a representação do número 2 23 na base decimal ocupa 23 casas decimais Algo semelhante acontece com outras potências de 2 próximas 2 20 0 000 000 953 674 316 406 250 000 000 2 21 0 000 000 476 837 158 203 125 000 000 2 22 0 000 000 238 418 579 101 562 500 000 2 23 0 000 000 119 209 289 550 781 250 000 2 24 0 000 000 059 604 644 775 390 625 000 2 25 0 000 000 029 802 322 387 695 312 500 2 26 0 000 000 014 901 161 193 847 656 250 Quando convertemos um número fracionário de n bits para a base dez realizamos uma soma das potências de 2 correspondentes às n casas fracionárias Embora essa soma nos ofereça precisão de apenas n log 2 1 0 casas decimais ela se estende por n casas decimais Po rém o comando da linha 6 diz ao processador para imprimir as casas decimais excedentes além da sexta posição Como a variável x tem 32 bits de tamanho o resultado mostrado a partir da sétima casa decimal é justamente o resíduo da soma das vinte e três potências de 2 disponíveis para o campo significando Se desejássemos imprimir por exemplo o valor exato da sétima casa decimal seria necessário estender o campo de 23 bits e consequente mente mais potências de 2 entrariam nessa soma tornando o resul tado da conversão mais próximo do valor real Já a variável y tem 64 bits de tamanho por isso sua impressão exibiu as 15 casas decimais com a precisão esperada Por outro lado por que não foi exibido um resíduo das somas de potências de 2 a partir da 16 a casa decimal de modo semelhante ao que ocorreu na impressão da variável x Devemos lembrar que memória de um sistema computacional é um recurso finito Portanto existe algum limite de espaço a partir do qual não é possível armazenar os valores das potências de 2 que se estendem por muitas casas decimais r e s u m o d o c a p í t u l o 125 Além disso a função printf promove os seus argumentos do tipo float para double no momento da impressão 1 É por isso que a soma das potências de 2 pôde ser expressa na saída do programa mesmo que seu valor esteja além da capacidade de armazenamento de uma variável float Já no caso da variável double embora haja resíduos de soma de potências de 2 não há espaço para guardálas Desse modo acrescentaramse zeros à direita para satisfazer a forma tação solicitada 20 5 8 r e s u m o d o c a p í t u l o 1 Para mais detalhes consultar o parágrafo 6 da seção 6522 Function calls do padrão C18 14 e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 5 Que resultado será impresso na tela pelo seguinte programa Explique include stdioh int main float a 900625 90 116 unsigned u unsigned a unsigned x u 23 0xFF unsigned y u 0x007FFFFF 1 printfx 0x08X x printfy 0x08X y return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Que resultado será impresso na tela pelo seguinte programa Explique include stdioh int main union float x unsigned y numero numerox 414375 printf08X numeroy return 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N Ú M E R O S B I N Á R I O S N A L I N G U A G E M P Y T H O N 6 P CAPÍTULO EM CONSTRUÇÃO ytho n é uma l i n guagem de p rograma ç ão que vem ganhando popularidade nos últimos anos Este capítulo apresenta algu mas funções e métodos que manipulam números inteiros e ponto flutuante em Python nú mero s i n teiro s em p ytho n n ú mero s p o n to f l utua n te em p ytho n print10hex 0x10000000000000p0 Retorna a representação de um número ponto flutuante como uma string hexadecimal r e s u m o d o c a p í t u l o 127 128 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem p ytho n e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 6 O U T R A S F O R M A S D E R E P R E S E N TA Ç Ã O 7 P a l avra s d e bit s podem ser usadas para representar não ape nas números mas também caracteres Adicionalmente for mas de representação numéricas podem facilitar a realização de operações lógicas e aritméticas no nível do processador mas po dem trazer complicações quando utilizadas no interfaceamento com o mundo físico Por fim os erros de transmissão e de armazena mento inerentes ao mundo físico podem exigir representações de da dos mais robustas a tais problemas Neste capítulo veremos bi n ary coded decima l bcd c ódigo gray r e p re s e n ta ç ão de caractere s ASCII Unicode c ódigo s d e detec ç ão e corre ç ão de erro s Código de Barras QR Code r e s u m o d o c a p í t u l o 129 Tabela 19 Correspondência entre algumas convenções BCD e seu valor em base decimal Dígito BCD Natural Excesso de 3 Aiken 0 0000 0011 0000 1 0001 0100 0001 2 0010 0101 0010 3 0011 0110 0011 4 0100 0111 0100 5 0101 1000 1011 6 0110 1001 1100 7 0111 1010 1101 8 1000 1011 1110 9 1001 1100 1111 e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 7 7 5 r e s u m o d o c a p í t u l o 131 Tabela 20 Código Gray de 4 bits Decimal Binário Gray 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000 Tabela 21 Exemplos de códigos de correção de erro na transmissão de al guns valores numéricos Decimal Paridade ímpar Paridade par 2 de 5 Biquinário 0 00001 00000 01001 0100001 1 00010 00011 00011 0100010 2 00100 00101 00101 0100100 3 00111 00110 00110 0101000 4 01000 01001 01010 0110000 5 01011 01010 01100 1000001 6 01101 01100 10001 1000010 7 01110 01111 10010 1000100 8 10000 10001 10100 1001000 9 10011 10010 11000 1010000 Tabela 22 Código de barras UPC Universal Product Code Dígito Lado Esquerdo Lado Direito 0 0001101 1110010 1 0011001 1100110 2 0010011 1101100 3 0111101 1000010 4 0100011 1011100 5 0110001 1001110 6 0101111 1010000 7 0111011 1000100 8 0110111 1001000 9 0001011 1110100 Parte II C I R C U I T O S C O M B I N AT Ó R I O S Nesta parte veremos os Circuitos Combinatórios Á L G E B R A B O O L E A N A 8 r e l a ç ão e n tre á l gebra boo l ea n a e co nj u n to s p ro p riedade s r e s u m o d o c a p í t u l o 135 136 á l gebra boo l ea n a e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 8 P O RTA S L Ó G I C A S 9 p orta n ot p orta a nd f 1 x 3 x 2 x 1 x 0 p orta or p orta x or p orta n a nd r e s u m o d o c a p í t u l o 137 138 p orta s ló gica s e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 9 M A PA S D E K A R N A U G H 10 10 1 r e s u m o d o c a p í t u l o 139 140 ma p a s d e k ar n augh e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 1 0 C I R C U I T O S C O M B I N AT Ó R I O S 11 11 1 r e s u m o d o c a p í t u l o 141 142 circuito s combi n atório s e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 1 1 Parte III C I R C U I T O S S E Q U E N C I A I S Nesta parte veremos circuitos sequenciais e uma das suas principais aplicações os circuitos de memória C I R C U I T O S S E Q U E N C I A I S 12 12 1 r e s u m o d o c a p í t u l o 145 146 circuito s s eque n ciai s e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 1 2 C I R C U I T O S D E M E M Ó R I A 13 13 1 r e s u m o d o c a p í t u l o 147 148 circuito s d e memória e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 1 3 J U N TA N D O T U D O O P R O C E S S A D O R 14 r e s u m o d o c a p í t u l o 149 150 j u n ta nd o tudo o p roce ss ador e x e r c í c i o s d o c a p í t u l o 1 4 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S S P Bali 2000 Solved Problems in Digital Electronics Sigma Series Tata McGrawHill Nova Deli 2005 Alex Bellos Alex nos País dos Números Uma viagem ao mundo ma ravilhoso da Matemática Companhia das Letras São Paulo 2011 Kenneth J Breeding Digital Design Fundamentals Prentice Hall The Ohio State University 2 edition 1992 Randal E Bryant and David R OHallaron Computer Systems A Programmers Perspective AddisonWesley 3 edition 2016 Ha rold T Davis História da Computação Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula volume 2 Atual Editora 1992 F reeman Dyson Infinito em todas as direções do gene à conquista do universo Editora Best Seller São Paulo 1988 D avid Goldberg What every computer scientist should know about floatingpoint arithmetic ACM Comput Surv 231548 March 1991 ISSN 03600300 John R Gregg Ones and Zeros Understanding Boolean Algebra Digital Circuits and the Logic of Sets Understanding Science Tech nology Series WileyIEEE Press New Jersey 1998 Be rnard H Gundlach História dos Números e Numerais Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula volume 1 Atual Editora 1992 D avid Harris and Sarah Harris Digital Design and Computer Ar chitecture Morgan Kaufmann 2 edition 2012 Geo ffrey L Herman Craig Zilles and Michael C Loui How do students misunderstand number representations Computer Sci ence Education 213289312 2011 doi 101080089934082011 611712 IEEE Computer Society IEEE Standard for FloatingPoint Arith metic IEEE Computer Society 2008 Disponível em http wwwcseeumbcedutsimo1CMSC455IEEE7542008pdf No vembro 2016 Geo rges Ifrah Os Números Globo 5 edition 1992 14 ISOIEC ISOIEC 98992018 C18 Standard 2018 151 152 referê n cia s bib l iográfica s Annibal Hetem Jr Fundamentos de Informática Eletrônica Digital LTC Rio de Janeiro 2010 K N King C Programming A Modern Approach W W Norton Company 2008 Israel Koren Computer Arithmetic Algorithms A K Peters Natick Massachusetts 2 edition 2002 Miles J Murdocca and Vincent P Heuring Computer Architecture and Organization An Integrated Approach Wiley 2007 Linda Null and Julia Lobur Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores Bookman 2010 Beh rooz Parhami Arquitetura de Computadores de microprocessa dores a supercomputadores McGrawHill São Paulo 2007 Beh rooz Parhami Computer Arithmetic Algorithms and Hardware Designs Oxford University Press New York 2 edition 2010 T ales Cleber Pimenta Circuitos Digitais Análise e Síntese Lógica aplicações em FPGA Elsevier Rio de Janeiro 2007 Francisco A C Pinheiro Elementos de Programação em C Book man 2012 Charles H Roth and Larry L Kinney Fundamentals of Logic De sign Cengage Learning 7 edition 2014 Má rcia Regina Sawaya Dicionário de Informática e Internet Nobel 1999 W illiam Stallings Arquitetura e Organização de Computadores Pe arson Prentice Hall São Paulo 8 edition 2010 And rew S Tanenbaum and Todd Austin Organização Estrutu rada de Computadores Pearson Prentice Hall São Paulo 6 edition 2013 Roger Tokheim Fundamentos de Eletrônica Digital sistemas combi nacionais volume 1 Bookman 7 edition 2013 John P Uyemura Sistemas Digitais Uma Abordagem Integrada Pi oneira Thonmson Learning São Paulo 2002 W ikipedia the free encyclopedia Extended Precision No vember 2016 Disponível em httpsenwikipediaorgwiki Extended precision Novembro 2016 L I S TA D E F I G U R A S L I S TA D E TA B E L A S L I S T I N G S A C R Ô N I M O S 2 i n trodu ç ão ao s s i s tema s ló gico s 4 i n trodu ç ão ao s s i s tema s ló gico s 10 s i s tema s d e n umera ç ão 21 o que é um s i s tema de n umera ç ão 11 22 c o nv er s ão de uma ba s e b p ara a ba s e decima l 21 22 s i s tema s d e n umera ç ão 26 s i s tema s d e n umera ç ão 28 s i s tema s d e n umera ç ão 30 s i s tema s d e n umera ç ão 32 s i s tema s d e n umera ç ão 27 re p re s e n ta ç ão de nú mero s em e sp a ç o s re s trito s 33 2 8 r e s u m o d o c a p í t u l o 39 40 s i s tema s d e n umera ç ão 44 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 31 n ota ç ão s i n a l e mag n itude 45 3 2 c o m p l e m e n t o d e 2 47 48 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 3 3 o p e r a ç õ e s a r i t m é t i c a s e m c o m p l e m e n t o d e 2 59 60 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 34 n ota ç ão com e xc e ss o 63 64 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 3 5 r e s u m o d o c a p í t u l o 67 68 re p re s e n ta ç ão de nú mero s i n teiro s 72 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 41 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s em ba s e bi n ária 73 42 re p re s e n ta ç ão em p o n to f l utua n te 79 80 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 88 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 90 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 92 re p re s e n ta ç ão de nú mero s reai s 4 6 r e s u m o d o c a p í t u l o 93 100 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 100 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 53 a fu nç ão printf 101 54 o p era çõ e s ló gica s bit a bit 111 112 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 55 d e sl ocame n to de bit s 113 114 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 56 im p re ss ão de va l ore s em formato bi n ário 117 118 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 124 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 126 nú mero s bi n ário s n a l i n guagem c 130 outra s f orma s d e re p re s e n ta ç ão 132 outra s f orma s d e re p re s e n ta ç ão