Lista Geometria Analítica 2021 2

Universidade Federal do Esp´ırito Santo Avalia¸c˜ao-Geometria Anal´ıtica Orienta¸c˜oes: Entregar a resolu¸c˜ao das quest˜oes na ordem, e em um ´unico PDF. Respostas sem as devidas contas/justificativas n˜ao ser˜ao consideradas. Assinar e datar todas as p´aginas. Entregar at´e sexta(11/02) `as 18:00 horas via classroom. 1. Dados os vetores ⃗u = (1, −2, 1),⃗v = (2, 1, 3) e ⃗w = (1, 1, −1), calcule: (a) ⃗u · ⃗v (b) ⃗u · ⃗w (c) ⃗u × ⃗v (d) ⃗v × ⃗w (e) (⃗u × ⃗v) · ⃗w. (f) O ˆangulo entre os vetores ⃗v e ⃗u (g) as coordenadas do vetor u + v − projuw, onde projuw = P w u ´e a proje¸c˜ao do vetor w sobre o vetor u. 2. Determine as equa¸c˜oes param´etricas e cartesianas do plano que cont´em os pontos A = (1, −1, 0), B = (3, 1, −1) e C = (1, −2, −7). 3. Determine as equa¸c˜oes vetorial, param´etrica e cartesiana da reta que cont´em os pontos P = (1, 1) e Q = (1, 3). 4. Determine as equa¸c˜oes vetorial e param´etrica da reta que ´e perpendicular ao plano 2x − y + z = 0 e passa por Q = (1, 2, 3). 5. Um vetor ⃗u ´e dito normal a um plano α em R3, se para quaisquer dois pontos A e B de α, os vetores ⃗u e ⃗ AB forem perpendiculares. Encontre um vetor normal ao plano 2x − 5z = 7y + 9 que tenha m´odulo um. 6. Considere os pontos A = (1, 3, 5), B = (0, −1, 2), C = (−1, 2, 4) e D = (0, 6, 7). (a) Mostre que A,B C e D s˜ao v´ertices de um paralelogramo. (b) Calcule a ´area do triˆangulo ABC. 7. Considere os pontos A = (−1, 5, 3), B = (2, 1, 1), C = (−1, −7, 3). a) Use o produto vetorial para verificar se estes pontos s˜ao colineares(se est˜ao em uma mesma reta). Justifique! b) ´E poss´ıvel/vocˆe consegue verificar de outra forma? Se sim, verifique. 8. Mostre que se os vetores ⃗u e ⃗v tem a mesma norma(m´odulo), ent˜ao os vetores os vetores ⃗u + ⃗v e ⃗u − ⃗v s˜ao perpendiculares. 1