P2 - Geometria Analítica 2021 2

Universidade Federal do Esp´ırito Santo Segunda Avalia¸c˜ao-Geometria Anal´ıtica Data: Orienta¸c˜oes: Entregar a resolu¸c˜ao das quest˜oes na ordem em um ´unico arquivo PDF at´e sexta(25/03) `as 18:00 horas via classroom. 1. Considere a seguinte equa¸c˜ao de uma cˆonica no plano cartesiano 16y2 − 25x2 = 400 a) Reduza a equa¸c˜ao `a forma canˆonica b)identifique a cˆonica c) determine os focos d) os v´ertices e) as retas ass´ıntotas f) Esboce a cˆonica juntamente com suas ass´ıntotas. 2. Reduza a equa¸c˜ao `a forma canˆonica, identifique e esboce a qu´adrica cuja equa¸c˜ao ´e 4x2 − z2 − 4y2 = 4 3. Considere as matrizes A e B dadas por A =   1 1 −1 0 2 −1 0 0 1 0 2 1 −1 2 0 0   , B =   0 1 0 3 2 2 0 0 0 −1 2 1 2 1 1 −2   Calcule (a) A + B, AB, A2. (b) Utilizando o desenvolvimento por cofatores, calcule det(A). 4. Resolva o sistema linear utilizando o m´etodo de Gauss-Jordan 2x + 4y − z = 4 x + y + 5z = −1 −3x + 4y + 7z = 3 5. Considere a matriz A =   1 0 0 2 −2 0 0 −1 −3   1 (a) Determine os valores reais de λ para os quais o sistema AX = λX possui solu¸c˜ao X =   x y z   ̸= ¯0. (b) Para cada λ encontrado determine os respectivos X ̸= ¯0 tais que AX = λX. Obs: Cada valor de λ encontrado ´e dito um autovalor da matriz A e cada solu¸c˜ao X ´e dita um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ correspondente. 2 4X^2 - Z^2 - 4Y^2 = 4 <=> X^2 - \frac{Z^2}{4} - Y^2 = 1 FORMA CANÔNICA. Como a quadrica é do tipo \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} - \frac{Z^2}{c^2} = 1, Então \frac{X^2}{4} - \frac{Z^2}{4} - Y^2 = 1 é um hiperboloide de dois folhos. se Z = 0, então X^2 - Y^2 = 1. a) 16Y^2 - 25X^2 = 400 <=> \frac{16Y^2}{400} - \frac{25X^2}{400} = \frac{400}{400} <=> \frac{Y^2}{25} - \frac{X^2}{16} = 1 <=> FORMA CANÔNICA b) a cônica é uma hipérbole. Pois é do tipo \frac{Y^2}{b^2} - \frac{X^2}{a^2} = 1. O foco da hipérbole está no eixo Y. c) Como \frac{Y^2}{25} - \frac{X^2}{16} = 1, então b^2 = 5 e a^2 = 16. Deste modo b = ±5 e a = ±4. Como c^2 - b^2 = a^2, então c^2 = a^2 + b^2. Deste modo c^2 = 16 + 25 = 41, logo c = ±\sqrt{41}. Logo F_1 = (0, \sqrt{41}) e F_2 = (0, -\sqrt{41}) FOCO FOCO d) A_1 = (0, 5) e A_2 = (0, -5) e) os assintotas são Y = -\frac{b}{a}X e Y = \frac{b}{a}X, isto é, Y = -\frac{5}{4}X e Y = \frac{5}{4}X. f) [-1 0 0 | 0 2 1 | 2 0 0] = -1|2 1 | 0 1| + 0|0 2| + 0|2 0| = 0 0 0 0 1 2 0 0 2 0 [2 0 0 | 1 2 1 | -1 0 0] = 2|2 1 | -0|1 1| + 0|1 2| 0 0 0 0 0-1 0 0-1 [2 -1 0 | 1 0 1 | -1 2 0] = 2|0 1 | -(-1)|1 1| + 0|0 1| 2 0 0 0 0 1 0-1 2 = 2(-2) +1(+1) = -4 +1 =-3 det(A) = 1.0-1.0-1(-3)+0 = 3 det(A) = 0 (4) 2X+4Y-Z= 4 X+ Y+5Z=-1 -3X+4Y+7Z= 3 a matriz ampliada do sistema é |2 4 -1 | 4| |1 1 5 |-1| |-3 4 7 | 3| |1 2 -1/2| 2| ~ |1 2 -1/2| 2| |1 1 5 |-1| |0 -1 11/2|-3| |-3 4 7 | 3| |0 10 11/2| 9| ~ |0 2 -1/2| 2| |0 -1 11/2|-3| |0 0 -11/2|-21| 121/2 Z = -21. : Z = -42/121 -y + 11/2 (-42/121) = -3 -y - 21/11 = -3 => y = 3 -21/11 = 33-21/11 = 12/11 Y=12/11 (3) a) A= |1 1 -1 0| , B= |0 1 0 3| |2 1 0 0| |2 2 0 0| |1 0 2 1| |0 -1 2 1| |-1 2 0 0| |2 1 1 -2| A+B =|1 1 -1 0| + |0 1 0 3| |2 1 0 0| |2 2 0 0| |1 0 2 1| |0 -1 2 1| |-1 2 0 0| |2 1 1 -2| A+B =|1+0 1+1 -1+0 0+3| |2+2 1+2 0+0 0+0| |1+0 0-1 2+2 1+1| |-1+2 2+1 0+1 0-2| AB= [(1.0+1.2-1.0+0.0) (1.1+1.0-1.2+0.1) (1.0.0+1.0-1.2+0.0)] [(0.0+1.0-1.2+0.1) (1.3+1.0-2.1+0.2) AB= |2 0 6 2 0 5 4 3 0 3 -2 b) det(A)= 1 | -1 0 0 |-1 | 2 0 0|-1 | 2 -1 0| | 0 2 1 | | 1 2 1| | 1 0 2| | 2 0 0 | |-1 0 0| |-1 2 0| -0 |2 -1 0 |1 0 2 |-1 2 0 X + 2(12/11) - 1/2(-42/121) = 2 X + 24/11 + 21/121 = 2 X = 2 - 24/11 - 21/121 = 242 - 264 - 21 over 121 = -43/121 X = -43/121 5) A = [1 0 0 2 -2 0 0 -1 -3] α) AX = λX <=> (A - λI)X = 0 det(A - λI) = 0 | 1-λ 0 0 | | 2 -2-λ 0 | | 0 -1 -3-λ | = (1-λ)|-2-λ 0| | 20| |2 2-λ| -0 |-1 -3-λ| + 0 |0 -3-λ| |0 -1| = (1-λ)(-2-λ)(-3-λ) = 0 (1-λ)(2+λ)(3+λ) = 0 λ = 1 , λ = -2 , λ = -3 Se λ = 1 , então [0 0 0][X] [0] [2 -3 0][Y] = [0] [0 -1 -4][Z] [0] 2X - 3Y = 0 => X = 3/2 Y = 3/2(-4Z) = -6Z -Y - 4Z = 0 => Y = -4Z v = (-6Z, -4Z, Z) ∀ Z ≠ 0 ∈ ℝ Se λ = -2, então [3 0 0][X] [0] [2 0 0][Y] = [0] [0 -1 -1][Z] [0] 3X = 0 => X = 0 2X = 0 -Y - Z = 0 => Y = -Z v = (0, -Z, Z) ∀ Z ≠ 0 ∈ ℝ Se λ = -3, então [4 0 0][X] [0] [2 1 0][Y] = [0] [0 -1 0][Z] [0] 4X = 0 2X + Y = 0 -Y = 0 ⋅⋅⋅ Y = 0 & X = 0 v = (0, 0, Z) ∀ Z ≠ 0 ∈ ℝ