Exercícios Resolvidos Calculo Integral - Concavidade e Tangentes

18 Em qual intervalo a função definida por gx 0x t2 t2 t 2 dt é côncava para baixo Use que se hx 0 para todo x em um intervalo J então h é côncava para baixo em J Para usar o TFC1 devemos estudar a continuidade da função ft t2 t2 t 2 Como f é uma função racional basta estudar se o denominador tem valor zero em algum t R t2 t 2 0 Δ 12 412 1 8 7 0 Sendo Δ 0 as raízes de t2 t 2 0 não são números reais logo t2 t 2 0 t R Assim f é contínua em R e o TFC 1 nos dá gx x2 x2 x 2 x R Daí gx x2 x 2 2x x2 2x 1 x2 x 22 2x3 2x2 4x 2x3 x2 x2 x 22 x2 4x x2 x 22 Como x2 x 22 0 segue que sinal de gx sinal de rx x2 4x x x 4 Logo gx 0 rx 0 4 x 0 portanto g é côncava para baixo no intervalo 4 x 0 19 Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f no ponto com abscissa x 1 sendo fx x4x6 1 t10 4t2 9 dt Veja que gt 1 t10 4t2 9 é uma função racional cujo denominador nunca se anula já que t10 4t2 9 9 t R Logo g é contínua em R Assim do TFC 1 segue que Gx xx gtdt é diferenciável em R e sua derivada é Gx gx 1 x10 4x2 9 x R Além disso como fx x4x6 gtdt 0x4 gtdt xx6 gtdt 0x6 gtdt 0x4 gtdt Gx6 Gx4 segue que fx Gx6 6x5 Gx4 4x3 daí f1 G1 6 G1 4 6 G1 4 G1 2 G1 x como G1 1 110 4 12 9 1 14 então f1 2 1 14 1 7 Assim a reta tangente ao ponto 1 f1 do gráfico de f é y f1 f1 x 1 e sendo f1 1416 gt dt 11 gt dt 0 obtemos a reta y 17 x 1 20 Considere a função real g definida por gx 2x t t2 t 1 dt x R e determine 1 a equação da reta tangente no ponto 2 g2 do gráfico de g 2 os intervalos nos quais o gráfico de g tem concavidade para cima 3 uma estimativa para o valor de g3 Seja ft t t2 t 1 Vemos que f é uma função racional cujo denominador 0 em todo t R já que Δ 12 4 1 1 1 4 3 0 logo a equação t2 t 1 0 não tem soluções reais Assim f é uma função contínua em R e o TFC 1 nos dá que Fx x2 ftdt é diferenciável em R e sua derivada é Fx fx x R Como gx x2 ftdt 2x ftdt Fx então g também é diferenciável em R e gx Fx fx Portanto a reta tangente no ponto 2 g2 do gráfico de g é y g2 g2 x 2 Como g2 22 ftdt 0 e g2 f2 1 4 2 1 13 então a reta tangente é y 0 13 x 2 y 13 x 23 2 Concavidade de g Como gx 1 x2 x 1 então g também é diferenciável em R gx x2 x 1 0 1 2x 1 x2 x 12 2x 1 x2 x 12 x ℝ temos que sinal de gx sinal de hx 2x 1 daí sinal de h 12 x Assim concavidades de g 12 x e disso segue que 12 g12 é o único ponto de inflexão de g e que o gráfico de g tem concavidade para cima no intervalo 12 3 Estimativas para g3 podemos usar x na variável de integração pois o intervalo de integração agora não usa x Como g3 32 ft dt 32 fx dx e f é contínua no intervalo fechado 32 podemos usar a método do intervalo fechado para encontrar os valores extremos absolutos de f em 32 1 Fronteira f3 1 32 3 1 1 9 3 1 114 f2 1 22 2 1 13 2 Nos críticos no interior fx 0 Como fx gx fx gx daí fx 0 gx 0 x 12 Calculamos f12 1 14 12 1 43 Candidatos obtidos f3 114 mín absoluto f2 13 f12 43 máx absoluto Portanto f3 fx f12 x 3 2 ou seja 114 fx 43 x 3 2 Logo 114 2 3 32 fx dx 43 2 3 daí 514 g3 203 21 O que está errado com as igualdades 1 21 x4 dx x3 31 2 38 2 1 2 4 x3 dx 2 x211 32 1 Na 1ª igualdade foi feito uso do TFC2 e portanto está sendo assumido que a função fx x4 é uma função contínua no intervalo fechado 2 1 Como f não está definida em x 0 pois o expoente de x é 4 x4 1 x4 então não é verdade que f seja contínua em 2 1 pois x 0 está nesse intervalo Assim a 1ª igualdade é falsa Já a 2ª igualdade é verdadeira pois representa apenas a diferença de valores 22 Se f1 12 f é contínua em ℝ e 14 fx dx 17 qual é o valor de f4 f contínua em ℝ f continue em 1 4 TFC2 1 4 fx dx fx41 já que fx fx fx f4 f1 daí 17 f4 12 f4 17 12 29 23 Use o TFC2 e as propriedades algébricas da integral definida para calcular o valor de cada integral definida 1 ₁³ x²2x4 dx 2 ₁¹ x¹⁰⁰ dx 3 ₀² 45 t³ 34 t² 25 t dt 4 ₀¹ x⁴⁵ dx 5 ₁⁸ ³x dx 6 ₀² x2x⁵ dx TFC2 ₐᵇ fx dx Fb Fa Fx xaˣⁿ sendo F alguma primitiva de f no intervalo ab Aqui f é suposta ser contínua em a b 5 ₁⁸ ³x dx ₁⁸ x13 dx x131131 x8ˣ1 34 x⁴³ ₁⁸ 34 8⁴³ 1⁴³ 34 ³8⁴ ³1⁴ 34 2⁴ 1⁴ 454 já que Fx 34 x⁴³ verifica Fx 34 43 x⁴³ 1 x¹³ ³x ou seja Fx é uma primitiva de fx ³x 11 ₁² v⁴ 3v⁶v⁴ dv ₁² v⁴v⁴ 3v⁶v⁴ dv ₁² 1 3v² dv v 3v³3 v2ˣ1 v v³₁² 2 8 1 1 8 12 ₁¹⁸ 3z dz ₁¹⁸ 3 z dz ₁¹⁸ 3 1z¹² dz 3 ₁¹⁸ z¹² dz 3 z¹² 1 12 1₁¹⁸ 3 2 z¹²₁¹⁸ 23 18 1 26 32 1 8 ₁⁴ 2 x²x dx ₁⁴ 2 x² x¹² dx ₁⁴ 2 x¹² x² x¹² dx ₁⁴ 2x¹² x³² dx 4x¹² 25 x⁵²₁⁴ 42 2532 4 25 84 645 25 4 625 825 14 Veja que 2x1 2x1 se x 12 2x1 se x 12 daí ₀² 2x1 dx ₀¹² 2x1 dx ₁²² 2x1 dx ₀¹² 2x1 dx ₁²² 2x1 dx x² x₀¹² x² x₁²² 14 12 0 42 14 12 14 2 14 14 2 14 52 24 Esboce o gráfico da função f definida por fx 4 se 2 x 0 4 x² se 0 x 2 e diga se f é contínua no intervalo 2 2 Em seguida calcule o valor da integral definida from 2 to 2 fx dx Podemos considerar as expressões 1 y 4 2 y 4 x² A 1ª é a reta paralela ao eixox e a 2ª é uma parábola com concavidade p baixo e que corta o eixox em x 2 Assim y 4 y 4 x² Daí o gráfico de f é y 4 y 4 x² f Como o gráfico de f não apresenta nenhum ruptura vemos que f é contínua em 2 2 OBS lim x0 fx lim x0 fx 4 f0 e f é contínua em x 0 Nos outros valores de x f é contínua pois a expressão de f é polinomial nos intervalos 0 e 0 Assim podemos calcular from 2 to 2 fx dx from 2 to 0 fx dx from 0 to 2 fx dx from 2 to 0 4 dx from 0 to 2 4 x² dx 4 x from 2 to 0 4x x³3 from 0 to 2 4 0 2 4 2 83 0 8 8 83 403 25 Calcule as integrais indefinidas 1 2 dx 2 x³ 6x dx 3 t⁴ 3t³ t 5tt dt 4 x13 7x25 dx 5 5x⁴ dx 6 5 23 x² 34 x³ dx 7 vv² 2² dv 8 4x 7 dx 9 2x³ 23 x² 5x dx