Exercícios Resolvidos de Integrais Indefinidas - Cálculo

25 Calcule as integrais indefinidas 1 2 dx 2 x³ 6x dx 3 t⁴ 3t³t 5t t dt 4 x¹³ 7x²⁵ dx 5 ⁵x⁴ dx 6 5 23 x² 34 x³ dx 7 vv² 2² dv 8 4x 7 dx 9 2x³ 23 x² 5x dx 7 v v² 2² dv v v⁴ 2v² 4 dv v⁵ 2v³ 4v dv v⁶6 2 v⁴4 4 v²2 C v⁶6 v⁴2 2v² C C constante arbitrária 3 Veja que t⁴ 3 t³ t 5t t t⁴t 3 t³2 t²1 5 tt t³ 3 t³2 5 t³ 3 t³2 5 daí t⁴ 3t³ t 5t t dt t³ 3 t³2 5 dt t⁴4 3 25 t⁵2 5t C t⁴4 65 t⁵2 5t C 10 x12x 8 dx 11 x 5² dx 12 7x²⁵ 8x⁴⁵ dx 13 3x 2 ³x dx 14 15 2x² dx 15 3t⁴ t³ 6t² t² dt 14 15 2x² dx 15 2 x² dx 15 x 2 x²1 21 C 15 x 2 x¹ 1 C 15 x 2 1 x¹ C 15 x 2 x¹ C 16 1 t t² t dt 19 t t² 3t 2 dt 17 2x⁴ 4x³ x x⁶ dx 18 x2 x³ dx 20 2x 3 4x² 1 dx 21 4 6u u du 22 1x² 4x³ dx 23 t1 t³ dt 24 x³x ⁴x dx 19 Veja que t t² 3t 2 t¹² t² 3t 2 t² 122 3 t¹2 1 2 t¹2 t⁵2 3 t³2 2 t¹2 daí t t² 3t 2 dt t⁵2 3 t³2 2 t¹2 dt 27 t⁷2 3 25 t⁵2 2 23 t³2 C 27 t⁷2 65 t⁵2 43 t³2 C 26 Dado que o gráfico de uma função f passa pelo ponto P25 e que a inclinação de sua reta tangente no ponto Qxfx é 3 4x determine f1 27 Dado que o gráfico de uma função f passa pelo ponto P2 2 e que a inclinação de sua reta tangente no ponto Qxfx é 12 x12 para x 0 determine f3 Temos que f2 2 e que fx 12 x12 x 0 Assim fx é uma primitiva de gx 12 x12 no intervalo x 0 De outro lado sabemos que a coleção de todas as primitivsa g é a integral indefinida gxdx 12 x12 dx 12 x12 112 1 C 12 21 x12 C sendo C uma constante arbitrária Assim f deve ser um membro dessa coleção ou seja existe uma constante C ℝ tal que fx x C para todo x 0 Agora sendo f2 2 então 2 f2 2 C 2 2 C C 0 Portanto fx x x 0 Logo f3 3 28 Determine a função real f sabendo que o gráfico dela passa pelo ponto P12 e que a inclinação de sua reta tangente no ponto Qtft é ft t2 2t 3 29 Calcule as integrais indefinidas 1 5x2 dx 2 x3x2 dx 3 x5 x2 5 dx 4 11x26 dx 5 vv2 210 dv 6 2x 34x2 1 dx 2 Usaremos a substituição z 3 x2 cuja diferencial é dz 3 x2 dx 2x dx Assim x3x2 dx 1z x dx 1z dz2 12 z12 dz daí x3x2 dx 12 z12 dz 12 z12 112 1 C 12 21 z12 C z12 C 3 x212 C 5 vv2 210 dv Substituicao p v2 2 dp v2 2 dv 2v dv v v2 210 dv v p10 dv p10 v dv p10 dp2 12 p10 dp daí v v2 210 dv 12 p10 dp 12 p1111 C p1122 C v2 21122 C 7 t1 t2 dt 8 x 2x 4 dx 9 3x 220 dx 10 x3 3 x dx 11 3x 62x2 8x 3 dx 12 t32t2 19 dt 10 Usew 3 x dw 3 x dx 1 dx dx daí x3 3 x dx x3 w dx x3 w dw Agora x w 3 logo x3 w 33 w 3 w 32 w 3 w2 6w 9 w3 6w2 9w 3w2 18w 27 w3 9w2 27w 27 daí x3 3 x dx x3 w dw w3 9w2 27w 27 w12 dw w72 9w52 27w32 27w12 dw e integrando x3 3 x dx w72 9w52 27w32 27w12 dw 29 w92 9 27 w72 27 25 w52 27 23 w32 C 29 3 x93 187 3 x72 545 3 x52 18 3 x32 C 13 t13 t23 132 dt 14 u35 4u32 5 du 15 p 123 p dp 16 1 u5 31 u2 du 17 vv 115 dv 18 2 3w2w3 2w 16 dw 13 Substituição u t23 1 du t23 1 dt 23 t13 dt logo t13 t23 132 dt t13 t23 132 dt t13 u32 dt u32 t13 dt u32 t13 32 t13 du 32 u32 t23 du 32 u32 u 1 du 32 u52 u32 du daí t13 t23 132 dt 32 u52 u32 du 32 27 u72 25 u52 C 37 t23 172 35 t23 152 C sendo C 32 C uma constante arbitrária 30 Calcule as integrais definidas 1 01 1 7x dx 2 01 3t 150 dt 3 013 1 ³1 2x2 dx 4 0a xa2 x2 dx a 0 5 12 xx 1 dx 6 01 1 1 x4 dx 7 02 v21 v3 dv 8 12 1 3 5x2 dx 4 Considere a integral indefinida xa2 x2 dx Use a substituição z a2 x2 dz a2 x2 dx 2x dx daí xa2 x2 dx xz dx z x dx z dz 2 12 z12 dz logo xa2 x2 dx 12 z12 dz 12 23 z32 C 13 a2 x232 C e usando o TFC2 0a xa2 x2 dx xa2 x2 dx0a 13 a2 x232 C0a 13 a2 a232 C 13 a2 0232 C C 13 a232 C 13 a3 OBS a232 a2 32 a3 31 A taxa de variação do preço unitário em reais de um certo produto é dada por px 135x 9 x2 sendo x a demanda do produto número de unidades vendidas medida em centenas de unidades Suponha que a demanda seja de 400 unidades para um preço unitário de 30 reais 1 determine a função demanda px 2 para qual preço a demanda é de 300 unidades 3 qual é demanda para um preço unitário de 20 reais Usando integração indefinida px px dx 135x 9 x2 dx ou seja px 135 x 9 x2 dx Agora x 9 x2 dx 1u du2 12 u12 du u 9 x2 du 2x dx 12 u12 1 12 1 C 12 21 u12 C u C 9 x2 C ou seja px 135 x 9 x2 dx 135 9 x2 C sendo C uma constante arbitrária Como sabemos que x 4 p 30 então 30 p4 135 9 42 C 135 5 C daí C 30 135 5 705 1 Portanto px 135 9 x2 705 32 Calcule as integrais 1 5 ₁² 9 x³ 5x¹¹ dx 3 ₁² x² 9 x³ 5x¹¹ dx 2 ₀¹ x⁵ x² 4 dx 1 ₁² 5 3x² 9 x³ 5x¹¹ dx Calculando a integral indefinida 5 3x² 9 x³ 5x¹¹ dx w¹¹ dw w¹² 12 C w 9 x³ 5x dw 3x² 5 dx 112 9 x³ 5x¹² C daí ₁² 5 3x² 9 x³ 5x¹¹ dx 112 9 x³ 5x¹²₁² 112 11¹² 3¹² 11¹² 3¹² 12 2 Veja que x⁵ x² 4 dx 1 2 x⁵ dx se z x² 4 dz 2x dx z12 x⁴ x dx z12 x⁴ dz 2 12 z12 x²² dz e x² z 4 12 z12 z 4² dz 12 z12 z² 8z 16 dz Faltam terminar 32 33 Um fabricante estima que t meses após lançar um novo produto no mercado a receita da empresa com a venda do produto será Rt milhares de reais sendo Rt 750t 4t² 25 Qual será a receita média da empresa com a venda do produto nos primeiros 6 meses Receita média 1 6 0 ₀⁶ Rt dt 750 6 ₀⁶ t 4t² 25 dt Agora t 4t² 25 dt 1 u t dt 1 u du 8 18 u12 du u 4t² 25 du 8t dt daí t 4t² 25 dt 18 u12 du 18 2 u12 C 14 4t² 2512 C Assim usando o TFC2 Receita média 750 6 14 4t² 25₀⁶ 750 24 436 25 25 750 24 13 5 250 2 Para x3 temos p3 135 9 3² 705 135 32 705 4052 705 132 3 Se p 20 então 135 9 x² 705 20 daí 705 20 135 9 x² ou seja 9 x² 685135² x² 685135² 9 e como x0 temos x 685² 3135² 135 409 34 Determine o valor médio da função fxx³87x² no intervalo I01 Valor médio 110 ₀¹ fxdx ₀¹ x ³87x² dx Veja que x³87x² dx ³z x dx ³z dz14 114 z13 dz z87x² dz14x dx daí x ³87x² dx 114 z13 dz 114 34 z43 C 356 87x²43 C logo Valor médio 356 87x²43₀¹ 843813⁴ ³8⁴ 2⁴ 356 143843 356 116 4516 35 Um paciente recebe uma injeção de um medicamento t horas depois a concentração do medicamento no sangue do paciente é dada por ct 03tt²1612 mgcm³ Qual é a concentração média do medicamento nas primeiras três horas após a injeção Concentração média 130 ₀³ ct dt 033 ₀³ tt²1612 dt Agora tt²1612 dt tv12 dt v12 t dt v12 dv2 12 v12 dv v t²16 dv 2t dt daí tt²1612 dt 12 v12 dv 12 21 v12 C v C t²16 C Assim usando o TFC2 Concentração média 01 t²16₀³ 01 916 16 01 54 01