Lista de Exercícios Cálculo de Integrais Definidas e Áreas - MAT06195 UFES

2 Calcule a integral definida interpretandoa em termos de área 1 ₂⁴ 1 dx 3 ₄⁰ 16 x² dx 2 ₀⁹ 13x 3 dx 4 ₃¹ x dx 3 Seja fx 16 x² 4 x 0 Veja que a equação do gráfico de f é y 16 x² Assim y 0 e y² 16 x²² 16 x²² 16 x² logo x² y² 16 e y 0 A equação x² y² 16 representa uma circunferência C de centro na origem 00 do plano xy e tem raio R 16 4 x y xy está em C x² y² 16 Assim o gráfico de f corresponde à parte de C que está no semiplano y 0 e sobre o intervalo 40 do eixo x Como f é contínua e 0 no intervalo 40 segue que ₄⁰ fx dx A sendo A a quarta parte da área do círculo de raio 4 cuja circunferência é C Como a área de um círculo de raio R 0 é πR² segue que A 14π4² 16π4 4π e logo ₄⁰ 16 x² dx 4π DMATCCEUFES MAT06195 Matemática II T01 20241 Lista de Exercícios LEt2 1 Calcule a integral definida interpretandoa em termos de área 1 ₂⁴ 1 dx 2 ₀⁹ 13x 2 dx 3 ₃⁰ 9 x² dx 4 ₂⁵ x dx 5 ₄³ 12x dx 6 ₀¹ 2x 1 dx 2 Seja fx 13x 2 0 x 9 Sendo f uma função linear ela é função contínua em 09 e seu gráfico é parte da reta de equação y 13x 2 Essa reta corta os eixos em x 0 y 2 y 0 x 6 logo o gráfico de f é f0 2 f9 5 e portanto como f é contínua e 0 em 09 segue que ₀⁹ fx dx A 92 1293 18 272 632 área de área de um retângulo um triângulo 6 ₀¹ 2x 1 dx Vêse que fx 2x 1 0 x 1 é contínua já que 2x 1 2x 1 se 2x 1 0 2x 1 se 2x 1 0 Como 2x 1 0 x 12 temos que fx 2x 1 se 12 x 1 2x 1 se 0 x 12 e f 0 e contínua em 01 Daí ₀¹ fx dx A₁ A₂ 12121 12121 12 3 Calcule a integral definida interpretandoa em termos de diferença de áreas 1 ₂⁴ 1 x dx 2 ₀⁹ 13x 2 dx 3 ₀¹ x² 1 dx 4 ₄³ x 1 dx 3 Seja fx x² 1 0 x 1 O gráfico de f é parte da parábola de equação y x² 1 Essa parábola pode ser obtida a partir da parábola y x² movendo essa verticalmente para baixo de uma unidade Como f é contínua e 0 no intervalo 01 segue que ₀¹ x² 1 dx A Por outro lado como o movimento vertical não afeta a área segue que A A Além disso A B área do quadrado 11 1 daí A 1 B Como já sabemos que B 13 então A 1 13 23 e assim A 23 Portanto ₀¹ x² 1 dx 23 4 Considere a função fx x 1 se 3 x 0 1 x² se 0 x 1 e calcule a integral definida 31 fx dx interpretandoa como uma diferença de áreas f é contínua em 31 f 0 em 31 f 0 em 11 Assim 31 fx dx A₁ A₂ A₃ 12 2 2 12 1 1 14 π 1² 2 12 π4 32 π4 5 Use a Regra do ponto médio com o valor de n dado para obter uma aproximação para a integral Arredonde cada resposta para quatro casas decimais 1 01 x³ 1 dx n 4 2 13 xx1 dx n 5 1 Para n4 temos Δx ban 1 04 14 025 assim os pontos médios são 18 38 58 78 logo 01 x³ 1 dx 18³ 1 38³ 1 58³ 1 78³ 1 14 6 Calcule o valor das seguintes integrais definidas 1 11 1 x⁴ dx 2 10 x² dx 1 11 1 x⁴ dx 0 já que aa fx dx 0 se f é integrável 2 10 x² dx 01 x² dx 01 x² dx 13 13 7 Já mostramos que 01 x² dx 13 Use esse resultado e as propriedades das integrais definidas para calcular 01 5 6x² dx 01 5 6x² dx 01 5 dx 6 01 x² dx 510 6 13 5 2 3 Na figura abaixo estão indicadas as regiões A B e C delimitadas pelo gráfico de uma função contínua f em R e pelo eixo x Sabese que a área de cada uma dessas regiões é igual a 32 Utilize as propriedades da integral definida e determine o valor de from 4 to 2 7 2fx dx 9 Escreva a expressão from 2 to 2 fx dx from 2 to 5 fx dx from 2 to 1 fx dx como uma única integral na forma from a to b fx dx 10 Se from 2 to 8 fx dx 73 e from 2 to 4 fx dx 59 determine o valor de from 4 to 8 fx dx 11 Sabese que from 0 to 9 fx dx 37 e que from 0 to 9 gx dx 16 Qual é o valor de from 0 to 9 2fx 3gx dx 12 Calcule o valor de from 0 to 5 fx dx sabendose que fx 3 se x 3 x se x 3 13 Use as propriedades das integrais definidas para verificar a desigualdade sem calcular as integrais 1 ₀⁴ x² 4x 4 dx 0 2 ₀¹ x² 1 dx ₀¹ x 1 dx 3 2 ₁¹ 1 x² dx 22 4 ₀¹ x⁴ dx ₀¹ x³ dx 14 Use uma das propriedades da integral definida para obter uma estimativa para cada integral definida 1 ₀¹ x³ dx 2 ₀³ 1x4 dx 3 ₀² x³ 3x 3 dx 4 ₁³ x²1 x² dx 15 Seja Fx ₂ˣ ft dt sendo f a função cujo gráfico é dado abaixo Qual dos seguintes valores é o maior 1 F0 2 F1 3 F2 4 F3 5 F4 17 Em qual intervalo a função fx integral de 0 a x de 1 t2t2 1 dt é crescente Vamos usar que se fx 0 para todo x em um intervalo I então f é crescente em I Para usar o TFC1 precisamos que a função no integrando seja contínua nos intervalos 0 x para qualquer x em R Para isso observemos que rt 1 t2t2 1 é uma função racional logo é contínua em seu domínio ou seja os valores de t nos quais o denominador não é zero como t2 1 1 t em R segue que r é contínua em R Assim o TFC1 nos dá que fx 1 x2x2 1 x em R e como x2 1 0 x em R segue que fx 0 1 x2 0 x2 1 x raizx2 raiz1 1 x 1 Portanto f é crescente no intervalo 1 x 1 16 Use o TFC1 para determinar a derivada da função dada 1 gx integral de 0 a x de raiz1 t2 dt 2 px integral de 1 a x de 1t3 1 dt 3 ru integral de u a 2 de t3t2 1 dt 4 sx integral de 13x a 1 de u31 u2 du 5 hw integral de w a 1 de t2t4 1 dt 6 gx integral de 2x a 3x de u2 1u2 1 du 6 Seja fu u2 1u2 1 u em R Como f é uma função racional e seu denominador nunca é zero segue que f é contínua em R Do TFC1 temos que Fx integral de 0 a x fu du é diferenciável em R e sua derivada é Fx fx x2 1x2 1 Agora gx integral de 2x a 3x fu du integral de 2x a 0 fu du integral de 0 a 3x fu du integral de 0 a 2x fu du integral de 0 a 3x fu du F2x F3x Daí gx F2x 2x F3x3x 2 F2x 3 F3x 2 2x2 12x2 1 3 3x2 13x2 1 2 4x2 14x2 1 3 9x2 19x2 1 18 Em qual intervalo a função definida por gx integral de 0 a x de t2t2 t 2 dt é côncava para baixo Use que se hx 0 para todo x em um intervalo J então h é côncava para baixo em J Para usar o TFC1 devemos estudar a continuidade da função ft t2t2 t 2 Como f é uma função racional basta estudar se o denominador tem valor zero em algum t em R t2 t 2 0 Delta 12 412 1 8 7 0 Sendo Delta 0 as raízes de t2 t 2 0 não são números reais logo t2 t 2 0 t em R Assim f é contínua em R e o TFC1 nos dá gx x2x2 x 2 x in R Daí gx x2 x 22x x22x 1x2 x 22 2x3 2x2 4x 2x3 x2x2 x 22 x2 4xx2 x 22 Como x2 x 22 0 segue que sinal de gx sinal de rx x2 4x xx 4 Logo gx 0 rx 0 4 x 0 portanto g é côncava para baixo no intervalo 4 x 0 19 Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f no ponto com abscissa x 1 sendo fx de t6 a tx4 1 t10 4t2 9 dt