Apostila Aula de Exercício 5 Escoamento Incompressível de Fluidos Não Viscosos-2022 2

Questão 1 Para provar que é incompressível calculamos o divergente V V x x V y y V y 33 x 2 y x 3 x y 2x 3 y V 3 x 2 y x 3 x y 2 y V 3 y x 2 x 3 x y 2 y V 3 y 2 x 3 x 2 y V 6 xy6 xy V 0 Como o divergente é nulo temos que o escoamento é incompressível Para provar que é irrotacional calculamos o rotacional rot V i j k x y z V x V y V z rot V i j k x y z y 33 x 2 y 3 x y 2x 3 0 rot V 3 x y 2x 3z i y 33 x 2 y z j3 x y 2x 3x y 33 x 2 y y k rot V 0 i0 j3 y 23 x 23 y 23 x 2 k rot V 0 i0 j0 k rot V 000 Como o rotacional é nulo temos que o escoamento é irrotacional Seja u a função potencial Logo devemos ter u x y 33 x 2 y u y 3 x y 2x 3 Integrando estas equações temos ux y 3x 3 y ux y 3x 3 y Logo a função potencial é ux y 3x 3 yC Seja ψ a função de corrente Assim devemos ter ψ y y 33 x 2 y ψ x 3 x y 2x 33 x y 2x 3 Integrando ambas equações obtemos ψ y 4 4 3 2 x 2 y 2f x ψ3 2 x 2 y 2 x 4 4 g y Por comparação das equações temos f x x 4 4 e g y y 4 4 Logo a função corrente fica ψ y 4 4 3 2 x 2 y 2 x 4 4 Questão 2 Calculamos o divergente V V x x V y y V z y V x y 2 z 2t x x 2 y z 2t y x 2 y 2 z t y V y 2 z 2t x x x 2 z 2t y y x 2 y 2t z y V y 2 z 2tx 2 z 2tx 2 y 2t V y 2 z 2x 2 z 2x 2 y 2t Calculamos o rotacional rot V i j k x y z V x V y V z rot V i j k x y z x y 2 z 2t x 2 y z 2t x 2 y 2 zt rot V x 2 y 2 zt yx 2 y z 2t z ix y 2 z 2t zx 2 y 2 zt x jx 2 y z 2t xx y 2 z 2t y k rot V 2 y x 2 zt2 x 2 yzt i2 x y 2 zt2 x y 2 zt j2 xy z 2t2 xy z 2t k rot V 0 i0 j0 k rot V 000 Questão 3 Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 Assim obtemos P1ρ V 1 2 2 ρg z1P2ρ V 2 2 2 ρg z2 P1ρ V 1 2 2 P2ρ V 2 2 2 Assim a diferença de pressão é dada por PP1P2ρ V 2 2 2 ρ V 1 2 2 P ρ 2 V 2 2V 1 2 Escrevendo em termos da vazão temos P ρ 2 m ρ A2 2 m ρ A1 2 P m 2 2 ρ 1 A2 2 1 A1 2 P m 2 2 ρ 1 π 4 D2 2 2 1 π 4 D1 2 2 P16 π 2 m 2 2 ρ 1 D2 2 2 1 D1 2 2 P 8 π 2 m 2 ρ 1 D2 4 1 D1 4 Substituindo valores temos P 8 π 2 10 2 1000 1 0050 4 1 0080 4 P10990 Pa P11kPa Questão 4 Pela conservação da massa temos que A1V 1A2V 2 π 4 D1 2V 1 π 4 D2 2V 2 D1 2V 1D2 2V 2 V 1 D2 2 D1 2 V 2 Aplicando a equação de Bernoilli entre os pontos 1 e 2 temse P1ρg z1 1 2 ρV 1 2P2ρg z2 1 2 ρV 2 2 P1 1 2 ρV 1 2P2 1 2 ρV 2 2 P1P21 2 ρV 2 2V 1 2 P1P21 2 ρV 2 2 D2 D1 4 V 2 2 P1P21 2 ρV 2 21 D2 D1 4 Mas a diferença de pressão entre os pontos é dada por P1P2ρmercurio gh Assim temos ρmercurio gh1 2 ρV 2 21 D2 D1 4 2 ρmercurio ρ ghV 2 21 D2 D1 4 V 2 2 ρmercurio ρ gh 1 D2 D1 4 V 2 2136980005 1 60 80 4 V 21396 m s Assim a vazão é dada por QV 2 π 4 D2 2 Q1396 π 4 0060 2 Q000395 m 3 s 395 l s Mecânica dos Fluidos Semestre 20222 Professor Marcus V S Rodrigues UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET CURSO CIÊNCIA E TECNOLOGIA AULA DE EXERCÍCIO 5 ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS 01 Seja o campo de escoamento tridimensional dado por V 1 2x𝑦2𝑧2 i 2x2yz2 2 j 3 2x2y2𝑧 k Determine o div V e o rot V para o campo de escoamento 02 Um campo de escoamento incompressível bidimensional é definido pelo vetor velocidade V 2x y i x 2y j Esse escoamento é irrotacional Em caso afirmativo encontre seu potencial de velocidade 03 A água escoa em um duto circular Em uma seção o diâmetro é 300 mm a pressão estática é 260 kPa manométrica a velocidade é 3 m s e a elevação é 10 m acima do nível do solo Em uma seção a jusante no nível do solo o diâmetro do duto é 200 mm Determine a pressão manométrica na seção de jusante desprezando os efeitos de atrito 04 Água escoa a uma vazão de 4 l s em uma tubulação horizontal que sofre uma redução em seu diâmetro de 50 mm para 30 mm Um manômetro em U é conectado entre dois pontos 1 e 2 antes e depois respectivamente da contração de diâmetro conforme ilustrado na Figura 1 Assim desprezando os efeitos do atrito e considerando a densidade do mercúrio igual 136 determine a leitura H indicada no manômetro Mecânica dos Fluidos Semestre 20222 Professor Marcus V S Rodrigues Figura 1 Manômetro em U conectado em tubulação de água com redução