Avaliação Mecflu-2022 2

AVALIAÇÃO 1100 ptsSejam dois blocos de massas diferentes conectados por uma corda O bloco de maior massa desliza sobre uma película de óleo de espessura h e viscosidade absoluta μ O bloco de massa menor está livre para realizar um movimento ascendente ou descendente sem reação de apoio de forma tal que a corda forma um ângulo de 90 Em um dado momento o bloco de massa menor começa a cair tracionando a corda e puxando o bloco maior que desliza sobre a superfície coberta de óleo fazendo com que o conjunto adquira aceleração Despreze a massa da corda e o atrito desta com quaisquer superfícies Determine a equação V t especificando cada variável adotada 2 Seja um recipiente cilíndrico de diâmetro D e altura h0 totalmente repleto por um fluido de massa M Abrese um furo de diâmetro d na lateral de forma tal que este furo tangencie a base do recipiente O fluido começa a escoar com velocidade 𝑉𝑓 ℎ 𝑔 Onde g é a gravidade local valendo V instantânea e exatamente a raiz quadrada do produto entre o dobro da gravidade e a altura h onde h é uma altura arbitraria para aquele instante Determine 1 40 pts A equação para 𝑑h𝑑𝑡 2 30 pts A equação para t fh0hDdg 3 30 pts Plote Altura em função do tempo 1 A configuração do problema é dado pela imagem abaixo 𝑙1 𝑙2 𝑙 𝑐𝑡𝑒 𝑥 𝑑 𝑑𝑡 𝑉1 𝑉2 0 𝑉1 𝑉2 𝑉 A velocidade 2 matematicamente teria sinal oposto da 1 mas o eixo de referência adotado faz com que ambos tenham o mesmo sinal tanto para a velocidade como para a aceleração 𝑉1 𝑉2 𝑥 𝑑 𝑑𝑡 𝑎1 𝑎2 𝑎 Quando um bloco acelera o outro acelera também E quando desacelera o outro desacelera também Da segunda lei de Newton para o bloco 1 de massa m 𝐹𝑦 𝑚𝑎1 𝑇 𝑚𝑔 𝑚𝑎 𝑇 𝑚𝑔 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 1 Para o bloco 2 de massa M 𝐹𝑥 𝑀𝑎2 𝑇 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝐴 𝑀𝑎 𝑇 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝐴 𝑀 𝑑𝑉 𝑑𝑡 A taxa de variação da velocidade do escoamento do óleo pela espessura do filme dudy pode ser expressa como Vh onde V é a própria velocidade do bloco de massa M e h é a espessura do filme Já que a análise é justamente neste ponto dy h 0 𝑇 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝐴 𝑀 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑇 𝜇 𝑉 ℎ 𝐴 𝑀 𝑑𝑉 𝑑𝑡 2 Isolando T e igualando as duas equações temos 𝑇 𝑚𝑔 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝜇 𝑉 ℎ 𝐴 𝑀 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑀 𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑚𝑔 𝜇𝑉𝐴 ℎ Separando os termos com V e isolando dt 𝑀 𝑚 𝑚𝑔 𝜇𝑉𝐴 ℎ 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑢 𝑚𝑔 𝜇𝑉𝐴 ℎ 𝑑𝑢 𝑑𝑉 𝜇𝐴 ℎ 𝑑𝑉 ℎ 𝜇𝐴 𝑑𝑢 Resolvendo a integral 𝑀 𝑚 𝑚𝑔 𝜇𝑉𝐴 ℎ 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑀 𝑚 𝑢 ℎ 𝜇𝐴 𝑑𝑢 𝑢2 𝑢1 𝑑𝑡 𝑡 0 ℎ𝑀 𝑚 𝜇𝐴 ln 𝑢2 𝑢1 𝑡 0 𝑢1 𝑢1𝑉 0 𝑚𝑔 𝜇𝐴 0 ℎ 𝑚𝑔 𝑢2𝑉 𝑉𝑡 𝑚𝑔 𝜇𝐴 𝑉𝑡 ℎ ln 𝑢2 𝑢1 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 ln 𝑚𝑔 𝜇𝐴 𝑉𝑡 ℎ 𝑚𝑔 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 ln 1 𝜇𝐴 𝑉𝑡 𝑚𝑔ℎ 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 𝑥 𝑒𝑥𝑝 1 𝜇𝐴 𝑉𝑡 𝑚𝑔ℎ exp 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 Isolando Vt 1 exp 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 𝜇𝐴 𝑉𝑡 𝑚𝑔ℎ 𝑉𝑡 𝑚𝑔ℎ 𝜇𝐴 1 exp 𝜇𝐴 𝑡 ℎ𝑀 𝑚 A função Vt acima tem como constantes g Aceleração da gravidade M Massa do bloco em x m Massa do bloco suspenso A Área de contato entre o bloco em x e o óleo h Espessura do filme de óleo 𝜇 Viscosidade absoluta do óleo 2 O problema tem a seguinte configuração a Da conservação da massa temos 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉𝐶 𝜌𝑉 𝑑𝐴 𝑆𝐶 0 Sabendo que no volume de controle tanque a densidade não varia mas o volume de fluido contido sim E na superfície de controle não há massa entrando mas há um fluxo de massa saindo pelo furo então 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝐴1 𝑑ℎ𝑉𝐶 𝜌𝑉2𝐴2 0 𝜌𝐴1 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝜌𝑉2𝐴2 0 𝐴1 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑉2𝐴2 0 𝐴1 𝜋 4 𝐷2 𝐴2 𝜋 4 𝑑2 𝑉2 2𝑔ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑉2𝐴2 𝐴1 2𝑔ℎ 𝜋 4 𝑑2 𝜋 4 𝐷2 2𝑔ℎ 𝑑 𝐷 2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 b Integrando a equação dhdt encontrada temos 2𝑔ℎ 𝑑 𝐷 2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 2𝑔ℎ 𝑑 𝐷 2 𝑑ℎ 𝐷 𝑑 2 1 2𝑔 ℎ12𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑡 0 𝐷 𝑑 2 1 2𝑔 ℎ1 2𝑑ℎ ℎ𝑡 ℎ0 𝑡 0 𝐷 𝑑 2 1 2𝑔 ℎ 1 2 ℎ0 ℎ𝑡 𝑡 𝐷 𝑑 2 1 2𝑔 ℎ𝑡 ℎ0 𝑡 𝐷 𝑑 2 1 2𝑔 ℎ0 ℎ𝑡 c Isolando ht 𝑡2𝑔 𝑑 𝐷 2 ℎ0 ℎ𝑡 ℎ𝑡 ℎ0 𝑡2𝑔 𝑑 𝐷 2 ℎ𝑡 ℎ0 𝑡2𝑔 𝑑 𝐷 2 2 A equação obtida é uma equação do segundo grau com coeficiente a 0 côncavo Obs gráfico plotado no Excel com valores arbitrários d 001mD 2m h03m g 981 ms2 3 Resumo do capítulo 5 do livro Mecânica dos Fluidos Brunetti Do teorema da quantidade de movimento temos que a força resultante em um escoamento interno é dado por 𝐹 𝑑𝑚2𝑣2 𝑑𝑡 𝑑𝑚1𝑣1 𝑑𝑡 𝑚2 𝑣2 𝑚1 𝑣1 Onde dm é a variação da massa do fluido v é a velocidade de escoamento dt a variação do tempo e m é a vazão mássica Para escoamento em regime permanente a vazão mássica será constante então 𝐹 𝑚 𝑣2 𝑣1 A expressão acima mostra que a direção da força resultante depende da direção de escoamento da seção 1 e 2 A força resultante tem contribuição das forças de superfície Fs atuando no volume de controle e as forças do volume de controle por exemplo o peso do fluido As forças de superfície são as forças de pressão do escoamento e a tensão cisalhante nas superfícies laterais da seção de escoamento 𝐹𝑠 𝑃 𝑛 𝑑𝐴 𝜏 𝑑𝐴 Onde P é a pressão nas seções em análise n é o vetor normal à seção A é a área da seção e τ é a tensão cisalhante que atua nas seções 0 05 1 15 2 25 3 35 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000