Fundamentos de Logica Matematica e Computacional - Introducao e Principios Fundamentais

Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Unidade 1 Princípios Fundamentais da Matemática e da Lógica Aula 1 Fundamentos de Lógica Introdução da unidade Objetivos da Unidade Ao final desta Unidade você será capaz de descrever o que são argumentos inferências silogismos e falácias aprenderá a diferenciar o raciocínio indutivo do raciocínio dedutivo e poderá comunicarse de maneira eficiente classificar a lógica empírica e pura diferenciandoas conforme o estudo de lógica transcendental discutir como se deu a evolução da lógica até os dias atuais explorando problemas ligados à área computacional Nesta unidade você terá contato com os princípios fundamentais da matemática e da lógica A partir desses conhecimentos você estará pronto para se aprofundar no estudo da lógica computacional que vai ajudálo a entender como trabalhar com programação e a construir algoritmos Hoje em dia com sistemas informacionais espalhados por todos os setores da economia e em nosso dia a dia as escolhas profissionais mais populares quanto à profissão a seguir são com certeza voltadas à computação programação ou análise de sistemas O surgimento das Anhanguera Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL startups é uma tendência e a demanda por profissionais qualificados em programação tende a subir Frente a isso para que o profissional tenha condições de progredir na profissão que demanda construção de sistemas que envolvem software será necessário um conhecimento sólido de lógica computacional Para resolver esses desafios nesta unidade você aprenderá o que são argumentos inferências silogismos e falácias aprenderá a diferenciar o raciocínio indutivo do raciocínio dedutivo e poderá comunicarse de maneira eficiente Aprenderá também a classificar a lógica empírica e pura diferenciandoas conforme o estudo de lógica transcendental Você também compreenderá como se deu a evolução da lógica até os dias atuais explorando problemas ligados à área computacional Na primeira aula apresentaremos os fundamentos de lógica conhecimento essencial para se compreender quais são as origens da lógica e conseguir classificála Na segunda aula desta unidade você será apresentado à evolução histórica da lógica começando pelos conhecimentos de Aristóteles até à lógica utilizada nos sistemas computacionais atuais Na terceira e última aula desta unidade você vai explorar alguns princípios da matemática relacionados à lógica computacional conhecer seus fundamentos e conceitos e ter contato direto com sua aplicação abordando especialmente alguns tópicos de análise combinatória e teoria das probabilidades Aproveite bem a oportunidade de praticar o estudo dos fundamentos da lógica tais conceitos são de suma importância para que o profissional que desenvolve sistemas de software utilizando diferentes linguagens de programação e algoritmos execute de forma eficaz suas funções técnicas e tenha resultados profissionais excepcionais Bons estudos Introdução da aula Anhanguera Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula será apresentada a definição de lógica e você aprenderá a classificála como indutiva e dedutiva a fim de construir argumentos válidos e tirar conclusões lógicas a partir de afirmações Objetivos gerais de aprendizagem Ao final desta aula você será capaz de apontar a construção de algoritmos para a resolução de problemas do cotidiano discutir as definições de lógica a lógica transcendental e formal relatar a classificação da lógica indutiva dedutiva clássica não clássica Situaçãoproblema O estudo da definição e classificação de lógica como indutiva e dedutiva a fim de construir argumentos válidos e tirar conclusões lógicas a partir de afirmações é importante para o trabalho na medida em que ao conversar com pessoas por escrito ou por meio da fala não haja falha de comunicação ou má interpretação É fundamental considerar também que tais conceitos permitem a construção de algoritmos para a resolução de problemas do cotidiano e Anhanguera posteriormente o desenvolvimento de programas de computador softwares de forma a minimizar a existência de bugs falhas e demais comportamentos não esperados Para motivar sua aprendizagem imagine que você trabalha em uma empresa de tecnologia que ajudou a fundar uma startup que desenvolve aplicativos para o setor industrial Para negociar com seu cliente papel que é de sua responsabilidade na empresa você tem que usar o raciocínio lógico para interpretar as intenções das pessoas que se relacionam comercialmente com você e conseguir demonstrar seu produto e fechar vendas Seu desafio é interpretar se um negócio pode ou não ser fechado a partir de frases contidas nos emails de seus clientes Você deverá utilizar as classificações de lógica indutiva e dedutiva para esse exercício e pensar sobre possíveis diálogos de negociação O ponto principal a ser entendido é a partir de uma determinada frase do cliente como podemos inferir algumas outras conclusões com grande probabilidade de acerto ou seja visando à venda de um produto Por exemplo a partir de um email do cliente você extraiu as seguintes frases Realizamos dezenas de testes com o seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução para nosso problema Nos últimos anos os softwares que resolveram nossos problemas foram adquiridos para a melhoria de nossos processos Você deverá concluir com base na lógica clássica se o cliente está motivado a adquirir o produto compondo argumentos e esclarecendo se a lógica utilizada é a indutiva ou a dedutiva Os conteúdos teóricos necessários para vencer o desafio estão apresentados nesta aula na qual serão caracterizadas as definições de lógica a lógica transcendental e formal classificação da lógica indutiva dedutiva clássica não clássica Sua aprendizagem será importante para um futuro profissional de sistemas computacionais em especial os relacionados à análise de sistemas e linguagem de programação Então bom trabalho Videoaula contextualizando Este conteúdo é 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técnica ou ciência pura como por exemplo a matemática A lógica vem sendo matéria estudada desde os filósofos da Grécia Antiga muitos anos antes de Cristo começando em Aristóteles e sua exploração da lógica formal e vem evoluindo até os tempos atuais tornandose assunto importante na Matemática conforme discute Fajardo 2017 O estudo da lógica nos permite portanto de forma prática entender como nosso raciocínio lógico é formado fundamentar nossos argumentos escrever e registrar de forma organizada nos comunicar melhor além de fazer conexões entre diversos assuntos e entender melhor o mundo que está a nossa volta Atualmente é fortemente estudada em matérias relacionadas à ciência da computação tecnologia da informação e programação pois é a base para a construção de algoritmos É importante ter um forte entendimento dessa ciência para que possa compreender como construir algoritmos e desenvolver e analisar sistemas computacionais Para um melhor entendimento da lógica é necessário conhecer as definições de alguns termos importantes e muito utilizados na lógica Mundim 2002 destaca alguns termos importantes que são proposição consiste em um enunciado uma frase declarativa premissas consistem em proposições que são utilizadas como base para um raciocínio Podese dizer que são as proposições do silogismo argumento conjunto de enunciados que se relacionam uns com os outros silogismo consiste em um raciocínio dedutivo premissas e possibilita a dedução de uma conclusão a partir das premissas falácia consiste em argumentos que logicamente estão incorretos A partir dos vocabulários podemos definir os tipos de lógica existentes entre os quais estão a lógica formal e a lógica transcendental Lógica formal Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL A lógica formal começa nos estudos de Aristóteles na Grécia Antiga A lógica é dita formal quando analisa e representa a forma de qualquer argumento para que possa ser considerado válido para alguma conclusão A lógica formal lida com as relações entre premissas e as conclusões que se chegam a partir das premissas independentemente se a premissa é verdadeira ou falsa MUNDIM 2002 A lógica busca uma harmonia de raciocínio utilizandose de argumentos para se desenvolver um raciocínio bem como traz regras a fim de que um raciocínio encadeado corretamente possibilite conclusões verdadeiras conforme expôs Fajardo 2017 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para se entender a lógica formal e como formamos nosso raciocínio é importante ter em mente alguns conceitos Uma proposição é um pensamento em forma de frase declarativa Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa A lógica não permite concluir se uma proposição ou afirmação é verdadeira ou falsa ela apenas garante que com base em premissas verdadeiras seja possível chegar a conclusões verdadeiras Portanto temos que as premissas podem ser verdadeiras ou falsas Se afirmo que o céu está claro e sem nuvens você pode olhar pela janela e concluir se a afirmação é verdadeira ou falsa Se estiver chovendo você dirá que minha afirmação é falsa Por outro lado um argumento pode ser válido ou inválido Exemplificando Se eu afirmar premissas Em dias sem nuvens chove Se há chuva João sai com seu guardachuva Então conclusão Em um dia sem nuvens João sairá com seu guardachuva A primeira premissa parece absurda ou falsa mas caso você considere ambas verdadeiras terá um argumento válido a conclusão é inevitável Por isso a análise da veracidade das premissas e a análise da validade dos argumentos são distintas A lógica se ocupa da validade do raciocínio a verdade das premissas deve ser decidida por outros meios Inferência Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Inferência é o processo que permite chegar a conclusões a partir de premissas constituindo a argumentação lógica perfeita A inferência como veremos a seguir pode ser de dois tipos indutiva e dedutiva Uma inferência inválida é chamada falácia A seguir mostraremos alguns exemplos de inferências da lógica formal com argumento válido e conclusão lógica Veja que a partir de duas frases que são as premissas chegamos a uma conclusão 1 Todos os homens são mortais Elias é homem Logo Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Elias é mortal 2 Toda novela conta histórias sobre o dia a dia das pessoas Roque Santeiro é uma novela Logo Roque Santeiro conta histórias sobre a vida das pessoas Em especial no século XIX como apresenta Fajardo 2017 alguns matemáticos e filósofos concluíram que a lógica formal não era suficiente para que se pudesse alcançar o rigor necessário na análise dos argumentos Em determinados idiomas como na língua portuguesa por exemplo a linguagem falada e escrita apresenta um conjunto de sinais sonoros no caso da fala e visuais no caso da escrita Para a linguagem escrita existe uma série de símbolos incluindo letras acentos gráficos e sinais de pontuação que quando reunidos formam palavras sentenças e frases Para a correta comunicação é necessário o domínio da língua e de suas regras gramaticais caso contrário podemos recair em frases ambíguas que permitem múltiplos entendimentos conforme discussão em Fajardo 2017 Um usuário proficiente da língua também pode manipulála para construir os chamados paradoxos como por exemplo os paradoxos de Zenão de Eléia 490430 aC que desenvolveram uma discussão sobre a existência ou não do movimento um fato empírico a partir de conclusões lógicas de premissas difíceis de serem contestadas A seguir serão expostos alguns exemplos de situações exploradas por Zenão que trazem conclusões lógicas embora cientificamente inverídicas A flecha que voa jamais sai do lugar porque em cada instante de tempo ocupa uma só posição no espaço logo ela está imóvel todo o tempo Entre dois pontos existem infinitos pontos Ninguém pode atravessar infinitos pontos Então não há movimento Quando a partir de argumentos válidos e verdadeiros obtemos conclusões falsas temos erros de raciocínio Os paradoxos apresentados mostram que conceituar o infinito com a linguagem tradicional escrita é muito complicado quando lidamos com conceitos abstratos Um famoso silogismo presente nessa interpretação de Zenão de Eléia apresenta que o herói Aquiles nunca seria capaz de alcançar uma tartaruga pois quando Aquiles alcançasse a posição da tartaruga ela já teria avançado mais um pouco É por isso que foi desenvolvida a lógica simbólica relacionada à matemática a partir do século XIX Ela permite a expressão das premissas e de suas relações por meio de símbolos matemáticos construindo equações para expressar argumentos Tal linguagem é absolutamente precisa e não dá margem a duplas interpretações Vamos estudar mais à frente que a lógica matemática originou a lógica utilizada em computadores que são sistemas digitais construídos para executar tarefas programáveis e que fornecem respostas e saídas exatas conforme determinado conjunto de instruções e dados fornecidos a esses sistemas Lógica transcendental lógica dedutiva e lógica indutiva A lógica transcendental é desenvolvida por toda a obra do filósofo Immanuel Kant em especial em seu célebre livro Crítica da Razão Pura 2015 Neste livro Kant discute que nosso conhecimento o conhecimento humano parte de duas fontes principais A primeira trata da receptividade das impressões por meio de nossos sentidos a segunda fonte é relativa à faculdade de conhecer um objeto por representações mentais a partir do pensamento Desse modo a lógica transcendental opera a partir das representações dos conceitos e não das coisas em si Tratase de uma investigação sobre as representações a priori as categorias os conceitos puros em relação aos objetos enquanto a Lógica geral se volta para a forma lógica do pensamento Kant distingue Conhecimento Empírico e Conhecimento Puro O Conhecimento Empírico ou conhecimento a posteriori está relacionado ao que é obtido por meio de nossos sentidos à observação à experimentação com base na presença real de determinado objeto Já o Conhecimento Puro também chamado de conhecimento a priori é relativo à representação que não se mescla com a sensação é puramente racional não depende de nenhuma informação vinda de nossos sentidos Como vimos anteriormente ao discutirmos as inferências a lógica pode ser classificada em indutiva ou dedutiva A lógica dedutiva é aquela que parte de premissas afirmativas ou leis mais gerais permitindo a obtenção de verdades menos gerais ou particulares Vamos a um exemplo de inferência dedutiva ou dedução Todo o analista de sistemas sabe programar Mariana é analista de sistemas Portanto Mariana sabe programar Aqui partimos de uma informação geral sobre as habilidades dos analistas de sistemas para concluir sobre as habilidades de Mariana Com base na afirmativa geral tomada como verdadeira a conclusão é inevitável Chamamos Silogismo esse tipo de argumentação lógica Exemplos de Lógica Dedutiva 1 Todos os brasileiros gostam de praia Antônio é brasileiro Portanto Antônio gosta de praia 2 Todos os jogadores de futebol treinam em academias Paulo é um jogador de futebol Então Paulo treina em uma academia Já a lógica indutiva se preocupa com argumentos que permitem conclusões gerais a partir de casos particulares Vamos a um exemplo de inferência indutiva ou indução Mariana é analista de sistemas e sabe programar Enzo é analista de sistemas e sabe programar Sabrina é analista de sistemas e sabe programar Portanto todos os analistas de sistemas sabem programar Observe que ao consultar dezenas ou centenas de analistas de sistemas chegamos a uma conclusão geral com relação a eles Um cuidado a ser tomado com a lógica indutiva é que um único contraexemplo é capaz de invalidar todo um racocínio Um exemplo famoso é que por séculos a afirmação todo cisne é branco foi considerada verdadeira pelos europeus pois a cada encontro com um cisne eles verificavam que sua cor era branca Pela lógica indutiva chegouse à conclusão que todos eram brancos Com as navegações entretanto verificouse que na Austrália há cisnes negros O contraexemplo portanto invalidou imediatamente a conclusão anterior Observando alguns exemplos fica mais fácil perceber as diferenças entre as lógicas indutiva e dedutiva Veja a seguir exemplos de lógica indutiva Exemplos de Lógica Indutiva 1 Uma maçã solta no ar cai em direção ao solo Uma caneta solta no ar cai em direção ao solo Um livro solto no ar cai em direção ao solo Todos os objetos soltos no ar caem em direção ao solo 2 Um imã atrai um prego de ferro Um imã atrai limalha de ferro Um imã atrai argolas de ferro Um imã atrai o elemento ferro Note a importância do raciocínio indutivo para o desenvolvimento da ciência por meio da experimentação e da observação da natureza dos fatos naturais isolados permitindo a construção das leis naturais em um processo de generalização Assimile Para a lógica dedutiva partimos de premissas gerais para concluirmos verdades específicas e particulares Por outro lado para a lógica indutiva paremos da experiência com as verdades e fatos particulares na busca de uma conclusão geral Lógica clássica e lógica não clássica A lógica também pode ser dividida em lógica clássica e lógica não clássica Estudamos até esse ponto a lógica clássica cujo expoente foi Aristóteles e que está centrada na verdade das conclusões e na validade dos argumentos A conclusão pode ter dois valores lógicos verdadeiro 1 ou falso 0 A lógica não clássica permite variações como nos casos em que mais de dois valores de verdade podem ser aplicados por exemplo Um exemplo é a conhecida lógica fuzzy para a qual o valor verdade pode ser qualquer número real entre 0 e 1 Outras variações são possíveis com o abandono de alguns princípios da lógica clássica e análise de suas consequências Para exemplificar podemos citar a lógica modal desenvolvida por Lewis no início do século passado na qual a proposição pode ser além de verdadeira ou falsa necessária ou impossível necessariamente verdadeira ou necessariamente falsa Conforme explica Oliveira 2010 as lógicas não clássicas seguem geralmente uma ou mais das três características a seguir são baseadas em linguagens mais ricas em poder de expressão Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Por exemplo as lógicas modais que apresentam operadores de necessidade e possibilidade são baseadas em princípios distintos Por exemplo as lógicas não reflexivas que negam axiomas da lógica clássica que não admitem o princípio da identidade admitem semânticas distintas Por exemplo as lógicas do tempo que apresentam operadores temporais específicos para esse tipo de lógica Chegamos ao fim desta aula e esperamos que tudo que lhe foi apresentado anteriormente o tenha inspirado a refletir sobre como a lógica faz parte de nossa vida e pode nos ajudar nas decisões cotidianas em um mundo cada dia mais informatizado e conectado Conclusão Você se lembra que na situação problema você trabalha em uma startup que produz softwares para uso industrial e está analisando a troca de emails com o cliente para concluir se a venda deverá ser fechada ou não Para isso você decidiu recorrer à lógica clássica e aos raciocínios dedutivo e indutivo Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Vamos retomar as frases extraídas do email do cliente Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução para nosso problema Nos últimos anos os softwares que resolveram nossos problemas foram adquiridos para a melhoria de nossos processos Por meio de um raciocínio indutivo partindo de diversos casos particulares para chegarmos a uma conclusão geral poderíamos realizar a seguinte inferência com a primeira frase Realizamos dezenas de testes com seu software e em todos ele foi capaz de chegar à melhor solução para nosso problema Portanto o software da sua empresa resolve o problema do cliente As dezenas de testes individuais em diferentes contextos nos permitem concluir que o software atendeu às expectativas do cliente e resolve o problema da indústria Com relação à segunda frase podemos realizar a seguinte inferência Nos últimos anos os softwares que resolveram nossos problemas foram adquiridos para a melhoria de nossos processos Portanto o cliente sempre adquire os softwares que resolvem seus problemas Em todas as situações anteriores a empresa acatou a solução trazida pelo fornecedor para a solução dos seus problemas As duas conclusões apresentadas poderiam por sua vez ser combinadas por meio de um raciocínio dedutivo para se chegar a uma conclusão o cliente sempre adquire softwares que resolvem seus problemas o software da sua empresa resolve o problema do cliente a conclusão natural da dedução seria portanto o software de sua empresa será adquirido Isso mostra que as perspectivas são positivas para o fechamento do negócio mas não se esqueça de que as conclusões do raciocínio indutivo são válidas até que ocorra um contraexemplo Então antes de comemorar é melhor esperar que o cliente confirme formalmente a aquisição do software após as negociações finais Videoaula fundamentos da lógica Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre fundamentos da lógica Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 2 Evolução da Lógica Introdução da aula Qual é o foco da aula Nesta aula você aprenderá sobre a evolução histórica da lógica começando pelos conhecimentos de Aristóteles até à lógica utilizada nos sistemas computacionais atuais Objetivos gerais de aprendizagem Ao final desta aula você será capaz de discutir a evolução da lógica desde seus primórdios partindo das ideias de Aristóteles até os dias atuais identificar as operações lógicas fundamentais e relacionálas com diversas e atuais linguagens de programação apontar o estudo dos grandes períodos de evolução da lógica em especial o Período Booleano Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Situaçãoproblema Nesta aula você vai estudar como se deu a evolução da lógica desde Aristóteles até os dias atuais Parafraseando Isaac Newton que disse se eu vi mais longe foi porque me apoiei em ombros de gigantes é importante compreendermos os aspectos históricos que motivaram o estudo da lógica Os gigantes nesse caso são matemáticos filósofos e pensadores como Aristóteles George Boole e Gottlob Frege por exemplo Suas ideias serviram de base para todas as lógicas de programação com as quais lidamos atualmente Lembrese de que você está trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia Seu segundo desafio será o de mostrar aos colaboradores do setor de desenvolvimento de softwares como alguns conceitos de lógica podem ser relacionados à área da computação Mais especificamente você deverá elaborar uma apresentação destacando como conceitos como aberto e fechado ou ligado e desligado podem ser representados e trabalhados com uma álgebra booleana Para tanto foi proposto a você o seguinte problema O comitê diretor de uma multinacional é formado por três membros o diretor executivo o vicediretor financeiro e o vicediretor de relações institucionais Um projeto de criação de uma filial dessa empresa em um país emergente será votado pelo comitê e o projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria Você deverá projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e ao final do processo uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado Esse circuito poderá ser utilizado em outras votações pelo mesmo comitê Como você projetará esse circuito Que relação esse projeto guarda com aspectos da evolução da lógica O estudo dos grandes períodos de evolução da lógica em especial o Período Booleano dará a você pistas para resolver esse problema Bons estudos e mãos à obra Período Aristotélico Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Em um sentido amplo a lógica é o estudo da estrutura e dos princípios relativos ao raciocínio à estruturação do pensamento com ênfase na argumentação que pode ser considerada como válida ou inválida Com base em premissas ela permite a construção do raciocínio indutivo ou dedutivo e também a realização de operações lógicas simbólicas e demonstrações matemáticas Podemos classificar o estudo da lógica em três grandes períodos o Período Aristotélico o Período Booleano e o Período Atual Segundo Abar 2004 a história da lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles 384 322 aC de Estagira hoje Estavo na Macedônia que desenvolveu a teoria do silogismo um tipo de inferência dedutiva Podese dizer que o Período Aristotélico se inicia aproximadamente em 390 aC perdurando até meados do século XIX 1840 dC Aristóteles é tido como o homem mais erudito de todos os tempos sendo sua morte considerada como o marco do fim do primeiro grande período a Idade Helênica na história da civilização grega BOYER 1996 Assimile Silogismo nada mais é do que um argumento constituído de proposições das quais se infere extrai uma conclusão Assim não se trata de conferir valor de verdade ou falsidade às proposições frases ou premissas dadas nem à conclusão mas apenas de observar a forma como foi construído É um raciocínio mediado que fornece o conhecimento de uma coisa a partir de outras coisas buscando pois sua causa CABRAL 2020 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Em um silogismo as premissas e conclusões se encaixam de tal forma que uma vez que você aceita as premissas como verdadeiras fica obrigado a aceitar que a conclusão também o é independentemente do teor do real argumento que está sendo construído ZEGARELLI 2013 Considere por exemplo o seguinte argumento lógico dedutivo Premissas todos os brasileiros torcem pelo Brasil José é brasileiro Conclusão José torce pelo Brasil Assumindo as premissas como verdadeiras concluímos que José torce pelo Brasil Observe que ao analisarmos as premissas não podemos fazer juízo de valor sobre elas O argumento lógico é deduzido a partir daquilo que é colocado como verdade e a nossa opinião sobre a validade das premissas não pode interferir na elaboração da conclusão Antes de Aristóteles filósofos e pensadores já aplicavam argumentos lógicos porém de maneira intuitiva sem que houvesse necessariamente uma reflexão sobre tais argumentos Aristóteles porém foi o primeiro a reconhecer que a lógica poderia ser examinada e desenvolvida constituindose assim como uma ferramenta do pensamento que nos ajudaria a compreender melhor o mundo Quando discorremos sobre o Período Aristotélico estamos nos referindo à chamada Lógica Clássica que é regida basicamente por três princípios o da identidade o da não contradição e o do terceiro excluído Todos esses três princípios são facilmente compreendidos O mais importante é que esses princípios funcionam como leis que permitirão a formulação de conclusões lógicas sobre proposições mesmo que não estejamos familiarizados com a natureza daquilo que está sendo discutido ZEGARELLI 2013 O princípio da identidade estabelece que todo objeto é idêntico a si mesmo O princípio da identidade mostra que qualquer proposição no formato A é A tem que ser verdadeira O princípio da não contradição busca a especificidade de cada coisa ou seja é impossível que ela seja e não seja ao mesmo tempo Isso significa que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo O princípio do terceiro excluído afirma que toda proposição é verdadeira ou falsa não havendo uma terceira possibilidade para valoração da proposição Exemplificando Compreender os três princípios que regem a Lógica Clássica é importante para chegarmos a conclusões lógicas sobre proposições Considere as seguintes proposições I a Estátua da Liberdade é a Estátua da Liberdade Na proposição I verificamos o princípio da identidade ou seja cada coisa individual é idêntica a si mesma Mesmo que não conheçamos a Estátua da Liberdade podemos estabelecer com certeza e por pura lógica que essa proposição é verdadeira II O número dois é par III O número dois é ímpar Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL As proposições II e III exemplificam aquilo que chamamos de princípio da não contradição ou seja o número dois não pode ser ao mesmo tempo par e ímpar Logo se a proposição II é verdadeira a proposição III necessariamente é falsa IV Meu nome é Carlos Na proposição IV podemos observar o princípio do terceiro excluído Você pode se chamar Carlos verdade ou não falsidade Não há uma terceira possibilidade para essa proposição Zegarelli 2013 aponta que após o declínio da civilização grega o estudo da lógica passou por um longo período de ostracismo com alguns renascimentos esporádicos durante o Império Romano e a Europa Medieval Segundo Santos 2014 nos séculos XII e XIII por exemplo há um ressurgimento do interesse motivado ao que parece pelo desenvolvimento de um gênero específico da lógica medieval que se ocupava com o estudo de paradoxos semânticos Paradoxo é um tipo de pensamento ou argumento que apesar de aparentemente correto apresenta uma conclusão ou consequência contraditória ou em oposição a determinadas verdades aceitas JAPIASSÚ MARCONDES 2006 como os paradoxos de Zenão de Eléia Exemplificando Um exemplo interessante sobre paradoxos é o paradoxo do mentiroso atribuído a Eubúlides de Mileto filósofo do século IV aC em que um homem diz Estou metindo O que este homem diz será verdadeiro ou falso Se for verdadeiro então ele está realmente na mente por isso o que diz é falso Se for falso isso concorda com o que ele arma parecendo então que o que diz é verdadeiro SANTOS 2014 Solucionar esses tipos de paradoxo não é tarefa fácil Filósofos matemáticos e estudiosos da lógica tem se debruçado sobre eles ao longo de muitos anos Reflita Uma variação mais elaborada do paradoxo do mentiroso pode ser observada na construção apresentada na figura a seguir Anhanguera Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL A afirmação abaixo é verdadeira A afirmação acima é falsa Paradoxo do mentiroso Fonte elaborada pelo autor O que você pode concluir com relação às afirmações da figura Videoaula evolução da lógica Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre a evolução da lógica Período Booleano Anhanguera Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL É apenas por volta do século XVIII com o advento do Iluminismo na Europa quando a era da fé vai gradualmente dando lugar à era da razão que a lógica volta a figurar como objeto de maior interesse de cientistas e filósofos De acordo com Zegarelli 2013 cientistas como Isaac Newton e filósofos como René Descartes passaram a procurar respostas sobre o funcionamento do universo indo além dos ensinamentos da igreja Com isso a lógica ressurgiu no pensamento científico para se estabelecer como uma ferramenta essencial da razão É a partir desse contexto que temos o desenvolvimento do chamado Período Booleano 18401910 de desenvolvimento da lógica No final do século XIX matemáticos desenvolveram a Lógica Formal também chamada de Lógica Simbólica na qual símbolos computáveis substituem palavras e proposições ZEGARELLI 2013 Os três maiores expoentes desse período foram George Boole 18151864 Georg Cantor 18451918 e Gottlob Frege 18481925 George Boole foi o inventor da chamada Álgebra Booleana que foi o primeiro sistema totalmente detalhado que lida com a lógica como cálculo Colocando de uma maneira bem simples podemos dizer que a Álgebra Booleana se caracteriza por utilizar apenas dois números dígitos 0 e 1 que significam respectivamente falso e verdadeiro e que por meio de propriedades essenciais dos operadores lógicos e de conjuntos oferece uma estrutura para se lidar com proposições Considere por exemplo as seguintes afirmações A o Brasil é um país da América do Sul B Pablo Picasso é um grande jogador de futebol Assumindo a primeira proposição como verdadeira e a segunda como falsa podemos dizer que A 1 B 0 Anhanguera Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Na Álgebra Booleana a adição é associada ao conectivo ou Assim a proposição O Brasil é um país da América do Sul ou Pablo Picasso é um grande jogador de futebol pode ser representada como A B 1 0 1 Verdadeira E na Álgebra Booleana a multiplicação é associada ao conectivo e Assim a proposição O Brasil é um país da América do Sul e Pablo Picasso é um grande jogador de futebol pode ser representada como A x B 1 x 0 0 Falsa Embora o cálculo dos valores seja parecido ao da aritmética convencional o significado dessas operações é puramente lógico Georg Cantor foi o idealizador da Teoria de Conjuntos A Álgebra dos Conjuntos advinda da Teoria de Conjuntos com operações particulares como União e Interseção serviu não apenas como uma estrutura de linguagem para a lógica formal mas também como alicerce de toda a Matemática Moderna Gottlob Frege foi o criador da chamada Lógica Matemática Inspirado nas ideias e notações de Leibniz Frege reformulou toda a lógica tradicional construindo um sistema para apresentála em linguagem matemática É com base em suas obras que se desenvolveram o cálculo proposicional e o cálculo de predicados Uma de suas maiores contribuições foi a invenção do quantificador e a utilização de variáveis para formalizar a generalidade da linguagem natural JAPIASSÚ MARCONDES 2006 Segundo Alcoforado 2009 o ponto de partida dos trabalhos de Frege consistiu em construir um sistema formal cujas noções básicas fossem fixadas com exatidão e clareza e a seguir fossem estabelecidos os enunciados primitivos e regras de inferências que tornassem possível desenvolver sem qualquer lacuna uma demonstração nesse sistema Ele foi assim levado a desenvolver pela primeira vez um sistema formal a partir do qual é possível entender com exatidão não só o que vem a ser uma prova como também obter provas pela exclusiva utilização de regras formais aplicadas aos axiomas Podemos afirmar portanto que toda a notação símbolos utilizada pela lógica formal lógica simbólica nos dias de hoje teve origem com as notações introduzidas por Frege Segundo Alencar Filho 2002 quando pensamos efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas Estas operações obedecem a regras de um cálculo denominado cálculo proposicional semelhante ao da aritmética sobre números Os conectivos sentenciais correspondem a várias palavras nas linguagens naturais que servem para conectar proposições declarativas Os principais conectivos operações lógicas fundamentais são representados atualmente pelos seguintes símbolos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL O til corresponde à operação lógica NEGAÇÃO Alguns autores também utilizam o símbolo para designar negação A cunha corresponde à operação lógica CONJUNÇÃO Em programação a conjunção é representada pela palavra AND ou pelo símbolo que corresponde ao conectivo e A letra v corresponde à operação lógica DISJUNÇÃO Equivale à palavra ou em seu sentido inclusivo Em programação a conjunção é também representada pela palavra OR A seta corresponde à operação CONDICIONAL Em português corresponde à relação se então A dupla seta corresponde à operação BICONDICIONAL Em português corresponde à relação se e somente se Operadores lógicos Fonte adaptado de Alencar Filho 2002 Exemplificando Como escreveríamos em linguagem simbólica a seguinte proposição João não é gaúcho e Jaime não é paulista Considerando as proposições p João é gaúcho e q Jaime é paulista Podemos utilizar os operadores lógicos para escrever p q Negamos p e q utilizando o conectivo e de acordo com os símbolos apresentados no quadro anterior Período atual da lógica Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL É no início do século XX por volta de 1910 que chegamos ao Período Atual da lógica Seus maiores expoentes são Bertrand Russel 18721970 e Alfred North Whitehead 18611947 O Período Atual caracterizase pelo desenvolvimento de sistemas formais polivalentes que trabalham não apenas com os valores lógicos verdadeiro e falso lógica clássica mas também com imprecisões e contradições assumindo como valores lógicos o necessariamente verdadeiro o necessariamente falso o indeterminado o indecidível dentre outros Segundo Buchsbaum 2006 tais sistemas são chamados de lógicas não clássicas dentre as quais podemos destacar as lógicas paracompletas que não respeitam o princípio do terceiro excluído as lógicas paraconsistentes que não respeitam o princípio da não contradição e as lógicas modais que estudam possíveis variações da veracidade ou falsidade Também destacamos no conjunto de lógicas não clássicas a lógica fuzzy que tem apresentado contribuições para a Informática no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas De acordo com Martins e Martins 2015 a lógica fuzzy é uma modalidade da lógica capaz de tratar conceitos vagos imprecisos ou ambíguos em geral descritos na linguagem natural humana e convertêlos para um formato numérico de fácil processamento computacional No nosso dia a dia utilizamos conceitos subjetivos para classificar determinadas situações Considere as seguintes afirmações para chegar ao posto de gasolina prossiga na rodovia por mais alguns metros para atingir meu peso ideal preciso perder alguns quilos podemos dizer que devido à atual conjuntura econômica estamos com uma moeda estável a previsão do tempo para amanhã indica que teremos um dia parcialmente chuvoso Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Os termos destacados nessas afirmações são conceitos vagos que envolvem imprecisão Nesse sentido esses termos são chamados de fuzzy O conceito fuzzy pode ser entendido como uma situação em que não podemos responder simplesmente sim ou não Mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a situação dizer algo entre sim e não como talvez quase tornase mais apropriado ABAR 2004 Aprendemos nesta aula como se deu a evolução da lógica desde seus primórdios partindo das ideias de Aristóteles até os dias atuais Compreender essa evolução nos ajudará a compreender as operações lógicas fundamentais e relacionálas com diversas e atuais linguagens de programação Conclusão Agora que já estudamos a evolução da lógica em seus aspectos históricos vamos retomar a situaçãoproblema apresentada no início desta aula Trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia seu segundo desafio consiste em projetar um circuito de votação de projetos para o comitê diretor de uma empresa multinacional O comitê diretor dessa empresa multinacional é formado por três membros o diretor executivo o vicediretor financeiro e o vicediretor de relações institucionais que votarão um projeto de criação de uma filial dessa empresa em um país emergente O projeto só passará se o diretor executivo votar a favor e obtiver maioria Você deverá projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e ao final do processo uma luz se acenderá caso o projeto seja aprovado Lembrese de que você deverá elaborar uma apresentação destacando como conceitos como aberto e fechado ou ligado e desligado podem ser representados e trabalhados com uma álgebra booleana Inicialmente vamos determinar como se dará o funcionamento do interruptor desse circuito Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado que indicaremos por 1 o interruptor permite que a corrente passe através do ponto enquanto no estado aberto que indicaremos por 0 nenhuma corrente pode passar pelo ponto ABAR 2004 Quando tivermos a passagem de corrente estado 1 uma luz ligada ao circuito se acenderá De modo análogo quando não tivermos a passagem de corrente estado 0 a luz não se acenderá Em nossa apresentação representaremos o diretor executivo pela letra A o vicediretor financeiro pela letra B e o vicediretor de relações institucionais pela letra C Podemos então elaborar uma tabela com a combinação de todos os valores lógicos 1 ou 0 para os votos dos membros do comitê A B C Resultado 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Combinação de valores lógicos Fonte elaborado pelo autor A tabela nos mostra que das oito combinações possíveis em apenas três situações a luz se acenderá e o projeto será aprovado O valor lógico para o circuito A diretor executivo obrigatoriamente deverá ser igual a 1 Além disso para que o projeto seja aprovado o circuito de um dos dois vicepresidentes ou ambos também deverá ser igual a 1 Logo a luz ligada aos circuitos só se acenderá e o projeto só será aprovado quando o valor lógico na última coluna da tabela for igual a 1 Assim projetando o circuito para acendimento da lâmpada conforme a configuração apresentada na tabela teremos um protótipo que poderá ser utilizado não apenas nessa votação Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL mas também em outras votações desse comitê Perceba que para elaboração desse projeto utilizamos uma linguagem simbólica lógica simbólica baseada na álgebra booleana que ganhou notoriedade no Período Booleano estudado nesta aula Videoaula evolução da lógica Álgebra Booleana Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre a Álgebra Booleana Aula 3 Princípios Matemáticos Introdução da aula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula você vai explorar alguns princípios da matemática relacionados à lógica computacional conhecer seus fundamentos e conceitos e ter contato direto com sua aplicação abordando especialmente alguns tópicos de análise combinatória e teoria das probabilidades Objetivos gerais de aprendizagem Ao final desta aula você será capaz de apontar as diferentes formas com que objetos podem ser agrupados discutir o que são listas o que é uma árvore de decisão Diagrama de Árvore definir o que são Arranjos Permutações e Combinações Situaçãoproblema Após aprendermos o que é a lógica e estudarmos como se deu sua evolução nesta terceira aula nos debruçaremos sobre alguns princípios matemáticos relacionados à lógica Você pode já ter se deparado com problemas do tipo de quantas maneiras podemos escolher um password válido para um computador qual é a probabilidade de eu ganhar um prêmio de loteria qual é a rota mais curta entre duas cidades considerando um determinado meio de transporte como podemos ordenar uma lista de inteiros de modo que os inteiros fiquem em ordem crescente Em quantos passos podemos fazer essa ordenação Esses problemas além do raciocínio lógico envolvem noções de listagem contagem e agrupamentos noções essas que teremos oportunidade de conhecer um pouco melhor nesta aula e ajudarão você a resolver seu terceiro desafio Lembrese você está trabalhando como um colaborador de uma startup de tecnologia e mais um desafio lhe é apresentado agora relacionado ao número de dispositivos que têm acesso a uma determinada rede de computadores privada do tipo intranet Essa rede de computadores foi configurada de tal modo que cada um dos 3 escritórios da empresa A B C tem cinco pontos de acesso à rede Em um determinado momento havia 13 computadores conectados à rede e uma sobrecarga foi detectada por um software de gerenciamento de fluxo de dados Essa sobrecarga foi causada em um escritório em que cinco computadores estavam conectados à rede Desejase saber qual é a probabilidade chance de que essa sobrecarga tenha partido do escritório C Você deverá apresentar a solução desse problema de forma detalhada a seu superior imediato Será que você consegue Os conhecimentos discutidos nesta aula ajudarão você a resolver esse desafio Bons estudos Matemática discreta Na aula 1 vimos que a lógica é a arte de bem pensar FORBELLONE EBERSPACHER 2005 p 1 Na aula 2 ampliamos nossa compreensão admitindo que a lógica é o estudo da estrutura e dos princípios relativos à argumentação válida sobretudo da inferência dedutiva e dos métodos de prova e demonstração JAPIASSÚ MARCONDES 2006 Apesar de boa parte do desenvolvimento da lógica ter se dado a partir do estudo das relações entre premissas e conclusões não podemos negligenciar a íntima relação existente entre a lógica e a matemática especialmente um ramo da matemática denominado matemática discreta Segundo Picado 2008 a matemática discreta também conhecida como matemática finita ou matemática combinatória é um ramo da matemática voltado ao estudo de objetos e estruturas discretas ou finitas estruturas discretas são estruturas formadas por elementos distintos desconexos entre si Genericamente a matemática discreta é usada quando contamos objetos quando estudamos relações entre conjuntos finitos e quando processos algoritmos envolvendo um número finito de passos são analisados Nos últimos anos tornouse uma disciplina importantíssima porque nos computadores a informação é armazenada e manipulada de forma discreta A matemática discreta aborda fundamentalmente três tipos de problemas que surgem no estudo de conjuntos e estruturas discretas problemas de existência existe algum arranjo de objetos de um dado conjunto satisfazendo determinada propriedade problemas de contagem quantos arranjos ou configurações desse tipo existem problemas de otimização de todas as configurações possíveis qual é a melhor de acordo com determinado critério PICADO 2008 Nesta aula vamos abordar alguns princípios relacionados à matemática discreta que nos ajudarão a resolver problemas desse tipo e a compreender melhor algumas situações lógicomatemáticas que estão por trás dos mais diversos sistemas computacionais Um princípio imprescindível na matemática discreta é o princípio da contagem O ramo da Matemática que trata da contagem é a Combinatória Tratar a contagem é importante sempre que temos recursos finitos por exemplo os recursos computacionais tais como a capacidade de processamento espaço em disco memória tamanho das bases de dados Além disso é possível verificar a eficiência de um algoritmo uma vez que um algoritmo pode ser elaborado de diferentes maneiras e dependendo da forma de implementação e quantidade de entradas número de variáveis pode demandar um maior ou menor tempo para ser executado Logo o conhecimento sobre contagem também auxilia na análise do tempo de execução e quantidade de memória consumida ou seja a análise da complexidade de um algoritmo Problemas de contagem normalmente se resumem em determinar quantos elementos existem em um conjunto finito Determinar essas quantidades de recursos finitos podem gerar questões difíceis de serem respondidas GERSTING 2017 Por isso vamos inicialmente nos familiarizar com o conceito de lista Conceito de lista Uma lista é uma sequência ordenada de objetos SCHEINERMAN 2015 Costumamos representar uma lista abrindo parênteses e apresentando cada elemento da lista separandoos por vírgula Por exemplo a lista 2 4 8 16 é uma lista cujo primeiro elemento é o número 2 o segundo elemento é o número 4 o terceiro elemento é o número 8 e o quarto elemento é o número 16 A ordem com a qual os elementos figuram na lista é signifi cativa Assim a lista 2 4 8 16 não é a mesma que a lista 4 2 16 8 Embora os elementos que compõem a lista sejam os mesmos a forma pela qual foram arranjados ordem é diferente Também é importante destacar que uma lista pode conter elementos repetidos como 3 4 5 5 6 em que o número 5 aparece duas vezes Em uma lista chamamos de comprimento ao número de elementos que a compõem Quando a lista tem apenas dois elementos ela recebe o nome de par ordenado E uma lista vazia é uma lista cujo comprimento é igual a zero Exemplificando A lista 2 4 8 16 tem comprimento quatro A lista 3 4 5 5 6 tem comprimento cinco A lista 10 11 tem comprimento dois e também é chamada de par ordenado A lista tem comprimento zero e é chamada de lista vazia Outra expressão utilizada para representar listas é upla Uma lista de n elementos é conhecida como uma nupla lêse ênupla SCHEINERMAN 2015 Você pode ter associado a lista de dois elementos par ordenado à forma de representação de um ponto no plano cartesiano coordenadas x y E é isso mesmo As listas estão presentes em uma série de aplicações na matemática e muito além Um número é uma lista de algarismos uma palavra é uma lista de letras um identificador em um programa de computador pode ser uma lista de letras e algarismos a placa de um automóvel é uma lista de letras e algarismos o número de um telefone é uma lista de algarismos o código de barras é uma lista de algarismos só para citar algumas aplicações das listas E uma questão com a qual frequentemente nos deparamos é quantas listas podemos formar Vamos considerar a necessidade de se fazer uma lista de comprimento dois em que seus elementos sejam uma das letras A B C ou D Quantas listas podemos formar A forma mais direta de resolver esse problema é descrever todas as possibilidades conforme indicado a seguir Procuramos organizar as listas de modo a não se esquecer de registrar nenhuma possibilidade Perceba que na primeira linha registramos todas as listas que começam com a letra A na segunda todas as listas que começam com a letra B e assim por diante chegando ao total de 4 x 4 16 listas de comprimento 2 Consideremos agora um problema mais geral em que desejamos descobrir quantas listas de comprimento 2 podemos formar com os algarismos de 1 a n listas de 2 elementos em que há n escolhas possíveis Vamos então descrever todas as possibilidades Na primeira linha registramos todas as listas que começam com o algarismo 1 na segunda todas as listas que começam com o algarismo 2 e assim por diante Como há n linhas e cada linha tem exatamente n listas chegamos ao total de n x n n2 listas possíveis Assimile Considere uma situação em que se deseja descobrir quantas listas de comprimento 2 podemos formar sendo que para o primeiro elemento da lista temos n opções de escolha e para o segundo elemento da lista temos m opções de escolha E agora Vamos supor que os elementos possíveis na primeira posição da lista sejam números inteiros de 1 a n e que os elementos possíveis para a segunda posição sejam números inteiros de 1 a m Podemos construir o seguinte quadro para organizar todas as possibilidades Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Na primeira linha registramos todas as listas que começam com o algarismo 1 na segunda todas as listas que começam com o algarismo 2 e assim por diante Como há n linhas para cada primeira escolha possível e cada linha tem exatamente m listas concluímos que o total de listas possíveis é Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Consideremos por exemplo o problema de descobrir quantas listas de comprimento dois podem ser formadas sabendo que o primeiro elemento da lista n será uma vogal e o segundo elemento da lista m será um algarismo de 1 a 9 Como temos cinco opções para vogal A E I O U e nove opções de algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o total de listas de comprimento dois que podem ser formadas é m x n 9 x 5 45 Princípio da multiplicação Ao resumir e generalizar essas situações Scheinerman 2015 nos apresenta o princípio da multiplicação para listas com dois elementos Consideremos listas de dois elementos em que há n escolhas para o primeiro elemento e para cada uma dessas escolhas há m escolhas do segundo elemento Então o número de tais listas é n x m Um caso especial envolvendo a contagem de listas consiste no problema de se determinar quantas listas de comprimento n extraídas de um universo de n objetos em que não se permitem repetições podem ser formadas Em outras palavras de quantas maneiras diferentes podemos dispor n objetos em uma lista usando cada objeto exatamente uma única vez Podemos estender o princípio da multiplicação para listas com dois elementos para esta situação determinando o total de listas como n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2 2 1 Essa expressão ocorre com frequência em matemática e recebe um nome e símbolo especiais chamase fatorial de n e representamos por n Por exemplo 66 5 4 3 2 1720 Por definição considerase que 11 e 01 SCHEINERMAN 2015 Exemplificando De quantas maneiras distintas é possível ordenar três objetos a b e c Observe que neste exemplo não podemos computar o mesmo objeto mais de uma vez ou seja em nossa lista cada um desses objetos aparecerá exatamente uma única vez De quantos modos diferentes é possível ordenálos Repare também que não foi mencionado o comprimento da lista portanto ordenamos os três objetos a b e c ou seja o comprimento das listas será igual a três Para resolver esse problema podemos utilizar o conceito de fatorial Como temos três elementos a serem ordenados e estamos interessados em uma ordenação sem repetição o número total de listas fica determinado como 3 3 2 1 6 De fato se representarmos todas as listas possíveis temos a b c a c b b a c b c a c a b c b a Árvore de decisão Outra forma de representarmos os possíveis resultados de uma ordenação listas é a utilização de um diagrama chamado Árvore de Decisão Uma árvore de decisão é uma estrutura hierárquica que representa um mapeamento de possíveis resultados de uma série de escolhas relacionadas A árvore de decisão é uma importante ferramenta para auxiliar na tomada de decisões bem como visualizar as ramificações e as consequências Elas podem ser usadas tanto para conduzir diálogos informais quanto para mapear um algoritmo que prevê a melhor decisão escolha matematicamente além de auxiliar na criação de planos de ação Em geral uma árvore de decisão inicia a partir de um único nó de origem chamado de nó raiz que se divide em possíveis resultados O nó raiz é representado por um elemento no topo da árvore na figura a seguir é representado pelo círculo O nó raiz representa o todo ou uma amostra de alguma categoria e expressa nós de decisão em que a partir do nó raiz temos ramificações que levam a escolhas de um resultado decisão Na figura a seguir podem ser observadas três ramificações partindo do nó raiz As ramificações que partem de um nó representam as alternativas possíveis para se chegar a resultados ou ações e nesse sentido cada ramo indica um possível resultado Cada um desses resultados leva a nós adicionais que se ramificam em outras possibilidades Assim criase uma forma de árvore LUCIDCHART 2020 Adaptando seu uso para a Combinatória as árvores de decisão chamadas neste caso de Diagramas de Árvore servem para ilustrar o número de possibilidades de um evento baseado em uma série de opções possíveis Considere por exemplo o caso particular de se determinar quantas listas de comprimento dois de elementos distintos é possível formar a partir da ordenação de três objetos arbitrários a b e c Para essa situação podemos construir a árvore de decisão indicada na figura a seguir Árvore de decisão para três elementos tomados três a três Fonte elaborada pelo autor Neste problema foi mencionado que o comprimento da lista deveria ser igual a dois Por isso todas as listas encontradas têm apenas dois elementos A vantagem de utilização de uma árvore de decisão Diagrama de Árvore é que além de determinar a quantidade de listas que podem ser formadas ela também discrimina quais são essas listas Conhecer não apenas quantas listas podem ser formadas mas também quais são essas listas pode ser importante durante um processo de tomada de decisão Por outro lado se tivermos um número grande de elementos a combinar o desenho da árvore de decisão apresentará muitos nós e ramificações A representação poderá se tornar complexa e dependendo da sua utilização poderá até mesmo ser descartada em virtude de não colaborar para com uma melhor compreensão do problema em questão Vimos até aqui que a determinação da quantidade de listas que podem ser formadas a partir de um número qualquer de elementos é basicamente um problema de contagem Vimos também que as listas podem conter ou não conter elementos repetidos e que para determinar o número de listas que podem ser formadas além de utilizarmos o princípio multiplicativo podemos também utilizar as árvores de decisão Em Combinatória existem diferentes tipos de agrupamentos ordenados ou não que recebem os nomes específicos de Arranjos Permutações e Combinações Apesar de ser possível determinar esses agrupamentos de maneira intuitiva Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL existem fórmulas matemáticas que nos auxiliam a realizar essa tarefa Vamos então aprender a utilizálas considerando os agrupamentos Arranjos Permutações e Combinações simples isso é formados por elementos distintos Arranjos permutações e combinações De acordo com Iezzi et al 2004 dado um conjunto com n elementos distintos chamase arranjo dos n elementos tomados p a p a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes Para determinar o número de arranjos podemos utilizar a fórmula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para ilustrar esse conceito considere o conjunto A 1 2 3 4 Vamos determinar o número de arranjos desses quatro elementos n 4 tomados dois a dois p 2 Utilizando a fórmula para determinação do número de arranjos temos que De fato discriminando todos os arranjos chegamos a 12 possibilidades 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43 Note que 2 3 3 2 isto é ao trocarmos a ordem dos elementos obtemos um novo agrupamento Como a ordem dos elementos é relevante podemos afirmar que os arranjos são um tipo de lista Um caso especial de arranjo denominado permutação é obtido quando dado um conjunto com n elementos distintos selecionamos exatamente n elementos para formar a sequência ordenada Considere por exemplo o problema de se determinar de quantas maneiras seis pessoas A B C Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL D E e F podem ser dispostas em uma fila indiana Cada maneira de compor a fila é uma permutação das seis pessoas pois qualquer fila obtida é uma sequência ordenada na qual comparecem sempre as seis pessoas Ao utilizarmos a fórmula do número de arranjos percebemos que neste caso n p Ou seja existem 720 maneiras distintas para organização dessa fila Como nas permutações sempre temos n p podemos simplificar a fórmula matemática a ser utilizada Observe Portanto nesse exemplo de determinação do número de filas poderíamos simplesmente ter efetuado P6 6 720 Há ainda outra forma de agrupamento denominada combinação que considera cada sequência obtida como um conjunto não ordenado Dado um conjunto com n elementos distintos chamase combinação dos n elementos tomados p a p a qualquer subconjunto formado por p Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL elementos distintos escolhidos entre os n existentes Para determinar o número de combinações podemos utilizar a fórmula Considere por exemplo que dos cinco funcionários A B C D e E de uma empresa do setor de Tecnologia da Informação três serão promovidos Queremos determinar todas as combinações desses cinco funcionários tomados dois a dois Podemos calcular o número de combinações utilizando a fórmula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Temos portanto 10 possibilidades de escolha de três funcionários para serem promovidos Discriminamos a seguir todas essas possibilidades A B C A B D A B E A C D A C E A D E B C D B C E B D E C D E Observe que para esse problema a ordem dos elementos não faz diferença ou seja tanto faz considerarmos o conjunto A B C ou B C A pois os funcionários que estariam recebendo a promoção seriam os mesmos Os agrupamentos do tipo combinação por não serem ordenados não são considerados listas Atenção Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de p elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos A diferença é que no arranjo se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento obteremos um novo agrupamento na combinação mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento obtemos o mesmo agrupamento IEZZI et al 2004 Mais importante do que nos preocuparmos com as fórmulas é sabermos interpretar o problema e dispormos de ferramentas variadas para sua resolução Vamos por fim abordar uma situação em que o conhecimento do número de agrupamentos possíveis de serem realizados é relevante mas que não depende necessariamente do uso de fórmulas e sim de uma boa dose de interpretação e raciocínio lógico Considere por suposição que um diretório possui 4 pastas denominadas pastas a b c e d Em cada pasta podem ser criadas no máximo 5 subpastas Um usuário do diretório criou ao acaso 18 subpastas Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 subpastas na pasta a Sabemos que a probabilidade é a perspectiva favorável chance de que algo venha a acontecer e pode ser calculada dividindose o número de possibilidades favoráveis de interesse pelo número total de possibilidades Pelo princípio multiplicativo sabemos que poderiam ser criadas um total de 4 5 20 subpastas oriundas das quatro pastas distintas a b c e d Como o usuário criou 18 subpastas teremos duas configurações possíveis I 3 pastas com 5 subpastas e 1 pasta com 3 subpastas ou II 2 pastas com 5 subpastas e as outras duas com 4 subpastas Vamos de maneira intuitiva descrever todas as possibilidades Na configuração I temos as seguintes possibilidades A B C D 3 5 5 5 5 3 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 3 Na configuração II temos as seguintes possibilidades A B C D 5 5 4 4 5 4 5 4 5 4 4 5 4 5 5 4 4 5 4 5 4 4 5 5 Considerando as duas configurações temos um total de 10 maneiras de alocação dessas subpastas sendo que dessas 10 possibilidades apenas 3 apresentam exatamente 4 subpastas na pasta a Logo a probabilidade de haver exatamente 4 subpastas na pasta a é 310 03 30 Reflita A árvore de decisão é uma importante ferramenta para auxiliar na tomada de decisões e pode ser muito utilizada em diversos algoritmos o qual se trata de uma sequência ordenada de instruções a serem seguidas para se chegar a um objetivo resultado e ou uma ação Assim como seria uma árvore de decisão para o mapeamento de um algoritmo de recomendação em que encontre o tipo de filme mais adequado para diferentes perfis de usuários com base no que já foi visto e recomende novos filmes Nesta aula tomamos contato com alguns conteúdos da chamada matemática discreta compreendendo as diferentes formas com que objetos podem ser agrupados Vimos o que são listas o que é uma árvore de decisão Diagrama de Árvore e o que são Arranjos Permutações e Combinações Muitos problemas de lógica acabam recaindo em princípios matemáticos e os princípios aqui estudados serão de grande utilidade no decurso de sua formação Conclusão Você está lembrado do desafio apresentado no início da aula Como colaborador de uma startup de tecnologia você se deparou com o seguinte problema uma rede de computadores privada da empresa foi configurada de tal modo que cada um dos 3 escritórios da empresa A B C tem cinco pontos de acesso à rede Em um determinado momento havia 13 computadores conectados à rede e uma sobrecarga foi detectada por um software de gerenciamento de fluxo de dados Essa sobrecarga foi causada em um escritório em que cinco computadores estavam conectados à rede Desejase saber qual é a probabilidade chance de que essa sobrecarga tenha partido do escritório C Pelo princípio multiplicativo sabemos que há um total de 3 5 15 pontos de acesso a essa rede Como no momento da detecção da sobrecarga havia 13 computadores conectados à rede temos dois cenários possíveis I havia dois escritórios com todos os pontos de acesso utilizados e um terceiro escritório utilizando apenas três pontos de acesso ou II havia um escritório utilizando todos os pontos de acesso e dois escritórios utilizando 4 pontos de acesso No cenário I temos as seguintes possibilidades Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL No cenário II temos as seguintes possibilidades Considerando os dois cenários temos um total de 6 possibilidades de utilização dessa rede no momento da sobrecarga Dessas 6 possibilidades em três cenários temos o escritório C utilizando todos os seus pontos de acesso Poderíamos portanto presumir que há Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL de probabilidade de a sobrecarga ter sido causada pelo escritório C Uma análise mais detalhada no entanto revela que em dois dos três cenários em que o escritório C utiliza todos os seus pontos de acesso há outros escritórios que também estão utilizando todos os pontos de acesso Ao apresentar sua conclusão ao seu superior imediato esse detalhe não poderá ser omitido Videoaula princípios matemáticos Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre princípios matemáticos Videoaula recapitulando Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula recapitulando Referências ABAR C A A P Noções de lógica matemática Esboço do desenvolvimento da lógica Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia S l 2004 Disponível em httpswwwpucspbrlogica Acesso em 19 jan 2023 ABBAGNANO N Dicionário de filosofia São Paulo Martins Fontes 2007 ALCOFORADO P Introdução In FREGE G Lógica e filosofia da linguagem 2 ed rev São Paulo Editora da Universidade de São Paulo 2009 ALENCAR FILHO E Iniciação à lógica matemática São Paulo Nobel 2002 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL ARISTÓTELES Lógica Aristotélica 1 ed Memphis Books LLC 2011 BOYER C B História da Matemática 2 ed São Paulo Edgard Blücher 1996 BUCHSBAUM A Lógica geral São José UFSC 2006 CABRAL J F P Lógica de Aristóteles Brasil Escola sd Disponível em httpsbrasilescola uolcombrfilosofialogicaaristoteleshtm Acesso em 19 jan 2023 FAJARDO R Lógica Matemática 1 ed São Paulo Edusp 2017 FORBELLONE A L V EBERSPACHER H F Lógica de Programação a construção de algoritmos e estruturas de dados 3 ed São Paulo Person Prentice Hall 2005 GERSTING J L Fundamentos matemáticos para a ciência da computação matemática discreta e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Disponível em httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788521633303cfi6104500316 Acesso em 19 jan 2023 IEZZI G et al Matemática ciências e aplicações 2 ed São Paulo Atual 2004 JAPIASSÚ H MARCONDES D Dicionário básico de filosofia 4 ed aum Rio de Janeiro Jorge Zahar 2006 KANT I Crítica da Razão Pura Petrópolis Editora Vozes 2015 LOPES S O que é um sistema operacional Oficina da Net s l 30 mar 2017 Disponível em httpswwwoficnadanetcombrartigo851oqueeumsistemaoperacional Acesso em 19 jan 2023 LUCIDCHART O que é um diagrama de árvore de decisão Lucid Software Inc s l 2020 Disponível em httpswwwlucidchartcompagesptoqueearvorededecisaosection0 Acesso em 19 jan 2023 MARTINS E T MARTINS I T A lógica fuzzi na operacionalização de conhecimentos em interação de tarefas humanocomputador em máquinas complexas a aprendizagem em conjuntos de significância Revista Internacional de Aprendizaje y Cibersociedad s l v 19 n 2 p 153177 2015 MUNDIM R P A Lógica Formal princípios elementares Revista Economia Gestão Belo Horizonte v 2 n 3 janjun 2002 OLIVEIRA K E C S Uma introdução sobre lógicas nãoclássicas Bauru Universidade Estadual Paulista 2010 Disponível em httpwww2fcunespbrmatematicasemanaarquivos lncpdf Acesso em 19 jan 2023 PICADO J Que é a matemática discreta Coimbra Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra 2008 Disponível em httpwwwmatucptpicadoediscretas2008apontamentosoquepdf Acesso em 19 jan 2023 PINCELLI R O paradoxo do queijo suíço contra o câncer In HIPERCUBIC O paradoxo do queijo suíço contra o câncer S l 26 fev 2016 Disponível em httpscienceblogscombrhypercubic201602oparadoxodoqueijosuocontraocncer Acesso em 19 jan 2023 ROSEN K H Matemática 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característica eou propriedade Nesta unidade você terá a oportunidade de conhecer a Teoria de Conjuntos Álgebra de Conjuntos A Álgebra de Conjuntos é um importante ramo da Matemática e com aplicações em diferentes áreas de conhecimento entre elas a Computação A linguagem de conjuntos se caracteriza por ser uma linguagem clara concisa rigorosa e que não dá margens a interpretações equivocadas Por apresentar essas características ela é utilizada na organização de informações e resolução de problemas ligados a várias áreas como a computação Considere por exemplo situações em que seja necessário contabilizar o número de subconjuntos possibilidades derivados de outro conjunto identificar a quantidade de elementos que gozam de determinada característica eou propriedade e estudar relações entre conjuntos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Compreender a linguagem de conjuntos possibilitará a abordagem desses problemas Tais situações serão apresentadas exemplificadas e discutidas nesta unidade Na primeira aula você aprenderá a definição de conjunto as diferentes formas de apresentação de conjuntos e a simbologia sintaxe utilizada para representar as relações entre conjuntos entre elas as relações de pertinência e continência Já na segunda aula iniciaremos o estudo das operações de conjuntos Algumas dessas operações como as operações união e interseção por exemplo você já deve ter estudado no Ensino Médio Será uma excelente oportunidade para retomar e aprofundar os estudos a respeito dessas operações relacionandoas aos conectivos lógicos e e ou utilizados para a compreensão da lógica de programação e importantes para entendimento e elaboração de algoritmos computacionais para resolução de problemas do cotidiano Já na última aula desta unidade estudaremos algumas aplicações da Teoria de Conjuntos em Computação destacando as relações lógicas implícitas nas diferentes operações de conjuntos A partir dos conteúdos estudados nesta unidade além de conhecer e entender as teorias e álgebras de conjuntos suas operações e diferenças você irá desenvolver a habilidade de conhecer os conceitos de conjuntos e suas aplicações em diferentes casos Bons estudos Introdução da aula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula você aprenderá a definição de conjunto as diferentes formas de apresentação de conjuntos e a simbologia sintaxe utilizada para representar as relações entre conjuntos entre elas as relações de pertinência e continência Objetivos gerais de aprendizagem Ao final desta aula você será capaz de examinar o que são conjuntos como podemos representar os conjuntos o que é cardinalidade de um conjunto identificar o que são subconjuntos igualdade de conjuntos formas de apresentação de conjuntos sentenças e diagramas quantificadores universal e existencial e relações de pertinência elemento conjuntos e continência conjunto conjunto descrever a notação de conjuntos que compreende uma série de símbolos e signos específicos Situaçãoproblema Nesta aula serão introduzidos os principais conceitos da Teoria de Conjuntos Partindo da noção intuitiva de conjunto como uma coleção não ordenada de objetos iremos estudar uma série de conceitos como subconjuntos igualdade de conjuntos formas de apresentação de conjuntos sentenças e diagramas quantificadores universal e existencial e relações de pertinência elemento conjuntos e continência conjunto conjunto Além disso também teremos um primeiro contato com a notação de conjuntos que compreende uma série de símbolos e signos específicos Considere as seguintes questões você sabe o que é a cardinalidade de um conjunto Você sabe demonstrar a igualdade entre dois conjuntos Você sabe determinar e identificar todos os subconjuntos derivados de um determinado conjunto Nesta aula você aprenderá a responder questões como essas Profissionais da área da computação constantemente se deparam com situações desse tipo Você foi contratado por uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação TI e está trabalhando em uma equipe no desenvolvimento de um aplicativo para telefones móveis Você ficou responsável por elaborar diferentes chaves de acesso para esse aplicativo e durante esse trabalho você se deparou com o problema de identificar quantos e quais são os subconjuntos derivados de um conjunto constituído por quatro elementos arbitrários 1 2 3 4 As possíveis combinações subconjuntos encontradas deverão ser apresentadas para o restante da equipe que utilizará essas informações para finalizar o layout da tela inicial do aplicativo Você conseguiria determinar quantos subconjuntos podem ser formados independentemente do seu tamanho número de elementos a partir da conjugação dos quatro elementos arbitrários Você saberia identificar todos esses subconjuntos Determinar quantos subconjuntos podem ser formados independentemente do seu tamanho número de elementos e identificálos um a um é uma tarefa que exige raciocínio combinatório metodologia e organização Para resolver tal problema será necessário compreender o significado de subconjunto e as relações entre conjuntos Prossiga estudando e aprenda os conceitos necessários para a resolução dessa situaçãoproblema Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Videoaula Álgebra de conjuntoscontextualizando Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre a Álgebra de conjuntos Conceitos da Teoria de Conjuntos Os conjuntos podem ser definidos como coleções não ordenadas de objetos que podem ser de alguma forma relacionados FERREIRA 2001 Considere por exemplo o conjunto A das cores da bandeira do Brasil Temos que A verde amarelo azul branco Em geral objetos de um Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL mesmo conjunto gozam de uma propriedade em comum Assim qualquer objeto que verifique a propriedade ser cor da bandeira do Brasil será considerado um elemento do conjunto A Costumase utilizar letras maiúsculas do nosso alfabeto para representar os conjuntos Para descrever determinado conjunto é necessário identificar seus elementos Para tanto podese proceder de três maneiras distintas listando todos os elementos do conjunto como foi feito com o conjunto A que representa as cores da bandeira do Brasil Dependendo do conjunto que se deseja descrever essa maneira de representação pode se revelar trabalhosa sendo mais indicada para conjuntos finitos com um pequeno número de elementos indicando os primeiros elementos do conjunto presumindo que os elementos do conjunto possam ser ordenados que denotem um padrão para uma listagem indefinida Por exemplo considere o conjunto B 2 4 6 É possível deduzir a partir do padrão indicado que o conjunto B é um conjunto infinito constituído pelos números inteiros positivos pares escrevendo uma propriedade que caracterize os elementos que constituem o conjunto Por exemplo considere o conjunto C xx é um número inteiro e 4 x 9 Lêse C é o conjunto de todos os x tal que x é inteiro maior do que 4 e menor ou igual a 9 Listando todos os elementos de C temse que C 5 6 7 8 9 Escrever a propriedade característica dos elementos de um conjunto por meio de palavras é a maneira mais usual de descrever um conjunto Isso porque muitas vezes ao se trabalhar com conjuntos que possuem um número muito grande de elementos ou até mesmo conjuntos infinitos a listagem de todos os elementos do conjunto não se torna viável Assimile Considere o conjunto D 3 5 7 representado a partir de seus primeiros elementos Tal forma de representação pode suscitar dúvidas tratase do conjunto dos números inteiros ímpares maiores do que 1 ou dos conjuntos dos números inteiros primos maiores ou iguais a 3 Tal descrição não possibilita inferirmos de que grupo se trata Por isso escrever por extenso a propriedade característica dos elementos do conjunto mostrase como uma descrição mais clara e precisa do que as outras maneiras de descrição apresentadas Há ainda uma maneira alternativa de representação de conjuntos com forte apelo visual Tratase dos Diagramas de Venn John Venn 18341923 foi um matemático inglês tendose licenciado na Universidade de Cambridge onde depois ensinou Lógica e Teoria das Probabilidades Venn introduziu os diagramas em seus trabalhos baseado nos círculos eulerianos por isso alguns autores referemse aos diagramas de Venn como diagramas de EulerVenn NOVAES 2014 Os diagramas de Venn consistem em círculos que podem estar intersectados os quais representam os conjuntos No interior dos círculos são listados os elementos do conjunto Por exemplo o conjunto C xx é um número inteiro e 4 x 9 pode ser representado pelo diagrama apresentado na figura a seguir Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Um objeto pertencente a um conjunto é chamado de elemento do conjunto A relação de pertinência é indicada pelo símbolo e a relação de não pertinência pelo símbolo Assim a indicação x A significa que o objeto x é um elemento do conjunto A Retomando o conjunto das cores da bandeira do Brasil A verde amarelo azul branco podemos afirmar que verde A e que vermelho A A relação pode ser lida como é membro de ou está em ou é elemento de ou pertence a Cardinalidade de um conjunto Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Além de saber descrever um conjunto a partir das propriedades comuns de seus elementos também é importante saber determinar quantos elementos constituem o conjunto De acordo com Scheinerman 2015 ao número de objetos elementos de um determinado conjunto dáse o nome de cardinalidade As barras de valor absoluto em torno de um conjunto representam a cardinalidade ou o tamanho do conjunto isto é o número de elementos do conjunto Assim considerando o conjunto A verde amarelo azul branco podese afirmar que a cardinalidade de A é igual a 4 ou seja A 4 De maneira análoga considerando o conjunto C xx é um número inteiro e 4 x 9 podese afirmar que a cardinalidade de C é igual a 5 ou seja C 5 Um conjunto é chamado de finito quando sua cardinalidade é um número inteiro caso contrário é chamado de infinito Um conjunto é chamado de conjunto vazio quando sua cardinalidade é igual a zero ou seja é um conjunto desprovido de elementos Exemplificando Considere os seguintes conjuntos A xx é um mês com exatamente 30 dias B 1 4 9 16 25 e C xx é um número inteiro e x 3 e x 4 Temse que A abril junho setembro novembro e portanto A 4 O conjunto B é o conjunto dos números quadrados perfeitos Como existem infinitos números quadrados perfeitos não é possível determinar a cardinalidade de B Assim dizemos que o conjunto B é infinito Já o conjunto C é o conjunto dos números inteiros que são ao mesmo tempo maiores do que 3 e menores do que 4 Como não existe nenhum número inteiro que atenda simultaneamente a essas duas propriedades dizemos que o conjunto C é um conjunto vazio Essa afirmação pode ser representada como C ou C Ø Dizemos que a cardinalidade de C é igual a zero ou seja C 0 Como a cardinalidade de um conjunto vazio é igual a zero e zero é um número inteiro podemos afirmar que o conjunto vazio também é conjunto finito É muito comum nos deparamos com alguns conjuntos padrão largamente utilizados na matemática conjunto de todos os números inteiros não negativos Perceba que 0 Z conjunto de todos os números inteiros Q conjunto de todos os números racionais R conjunto de todos os números reais C conjunto de todos os números complexos Quando dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos dizemos que esses conjuntos são iguais Para provar que dois conjuntos A e B são iguais devemos mostrar que todo elemento de A é também elemento de B e viceversa Reflita Vimos que dois conjuntos são iguais se e somente se eles contêm os mesmos elementos Considere os seguintes conjuntos E x Z x é par e F y Z y a b em que a e b são ímpares Podemos afirmar que E F ou seja que todo elemento de E é também elemento de F e viceversa Reflita sobre as propriedades desses conjuntos e tente elaborar um esquema que valide ou refute a igualdade E F Quantificadores universal e existencial Na Teoria de Conjuntos há certas afirmações que não podem ser escritas adequadamente por meio de símbolos proposicionais parênteses e conectivos lógicos Elas contêm um elemento quantificador Os quantificadores são frases como para todo para cada ou para algum que indicam de alguma forma quantos objetos têm uma determinada propriedade GERSTING 1995 Por exemplo considere as seguintes afirmações todo inteiro é par ou ímpar existe um número natural que é primo e par A primeira afirmação traduz uma relação de universalidade já a segunda afirmação traduz uma relação de existência Utilizaremos uma notação específica para representar cada uma dessas situações O quantificador universal é simbolizado por um A de cabeça para baixo e é lido para todo ou qualquer que seja A forma geral para essa notação é x A afirmações sobre x A primeira afirmação todo inteiro é par ou ímpar ficaria representada como x Z x é par ou x é ímpar O quantificador existencial é simbolizado por um E espelhado e é lido como há ou existe A forma geral para essa notação é x A afirmações sobre x A segunda afirmação existe um número natural que é primo e par ficaria representada como x N x é primo e par Exemplificando Um exemplo de utilização do quantificador universal pode ser verificado no enunciado a seguir em que se deseja provar que todo número inteiro divisível por 10 é par Seja A x N 10 divide x Queremos provar que x A x é par Prova Seja x A ou seja x é um número inteiro divisível por 10 Isso significa que existe um inteiro y de modo que x10y Podemos escrever essa igualdade como x 25 y 2 5y Portanto x é divisível por 2 e consequentemente x é par Considere agora os conjuntos A2 5 7 9 e B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Perceba que todos os elementos pertencentes ao conjunto A também pertencem ao conjunto B Nesse caso dizemos que A é um subconjunto de B Sejam os conjuntos A e B Dizemos que A é um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A também for elemento de B A notação A B significa que A é subconjunto de B SCHEINERMAN 2015 Se A é um subconjunto de B mas A B ou seja existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A então A é chamado de subconjunto próprio de B Subconjuntos próprios podem alternativamente ser representados pelo sinal Atenção Observe que e têm significados relacionados porém diferentes O símbolo é utilizado para representar uma relação de pertinência entre um objeto e um conjunto Por exemplo seja o conjunto A 5 7 9 11 13 podemos afirmar que 7 A Já o símbolo é utilizado para representar uma relação de continência subconjunto entre conjuntos Por exemplo seja A5 7 9 11 13 e B 5 1113 podemos afirmar que B A Tome cuidado Os sinais e não podem ser permutados Para provar que um conjunto N é subconjunto de um conjunto M devemos mostrar que todo elemento de N é também elemento de M perceba que nesse caso a recíproca não precisa ser verdadeira Por exemplo considere os conjuntos M xx é múltiplo de 5 e N x x é múltiplo de 10 Vamos provar que N M Temos que x satisfaz a propriedade característica de N ou seja x é múltiplo de 10 Logo podemos escrever x 10 y para algum inteiro y Essa igualdade pode ser reescrita como x 52 y 5 2 y ou x 5 k em que k 2 y de tal forma que k também é um inteiro Isso mostra que x também é múltiplo de 5 ou seja x também satisfaz a propriedade característica de M portanto N M Um problema recorrente envolvendo subconjuntos diz respeito à determinação do número de subconjuntos de um determinado conjunto Por exemplo quantos subconjuntos tem o conjunto A a b c Uma maneira para resolver esse problema é listar todas as possibilidades Como a cardinalidade de A é igual a 3 A 3 qualquer subconjunto de A pode ter de zero a três elementos Consideremos o quadro a seguir com a descrição de todas as possibilidades Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Número de elementos Subconjuntos Número de subconjuntos 0 1 1 a b c 3 2 a b a c b c 3 3 a b c 1 Total 8 Subconjuntos de A cardinalidade 3 Fonte elaborado pelo autor Portanto A a b c tem oito subconjuntos É importante nesse momento retomar a definição de conjunto como uma coleção não ordenada de objetos Isso significa dizer que o subconjunto a b e o subconjunto b a são iguais e portanto contabilizados uma única vez Também é importante destacar que o conjunto vazio e o próprio conjunto A também são subconjuntos de A Nesse exemplo conseguimos listar e contabilizar todos os subconjuntos de A Como A 3 essa tarefa não se mostrou muito trabalhosa No entanto imagine no caso de um conjunto com cardinalidade igual a 10 quantos subconjuntos poderiam ser contabilizados O teorema a seguir permite contabilizar o número de subconjuntos de um conjunto qualquer conhecendose a sua cardinalidade Teorema seja A um conjunto finito O número de subconjuntos de A é 2ASCHEINERMAN 2015 Exemplificando Seja A um conjunto com cardinalidade igual a 10 quantos subconjuntos de A poderiam ser contabilizados Como A 10 utilizando o resultado do Teorema anterior o número de subconjuntos de A é igual a 2A 2¹⁰1024 Nesta aula você estudante aprendeu o que são conjuntos como podemos representar os conjuntos o que é cardinalidade de um conjunto o que são quantificadores universal e existencial e como podemos listar e contabilizar os subconjuntos de um determinado conjunto Todos esses conceitos serão de suma importância na resolução de situaçõesproblema que envolvam conjuntos e relações entre conjuntos Conclusão Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Você se lembra da situaçãoproblema apresentada no início da aula Vamos retomála Você foi contratado por uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação TI e está trabalhando em uma equipe no desenvolvimento de um aplicativo para telefones móveis Durante o desenvolvimento do aplicativo você se deparou com o problema de identificar quantos e quais são os subconjuntos derivados de um conjunto constituído por quatro elementos arbitrários 1 2 3 4 Você conseguiria determinar quantos subconjuntos podem ser formados independentemente do seu tamanho número de elementos e a partir da conjugação desses quatro elementos arbitrários Você saberia identificar todos esses subconjuntos Lembrese de que as possíveis combinações subconjuntos encontradas deverão ser apresentadas para o restante da equipe que utilizará essas informações para finalizar o layout da tela inicial do aplicativo Em primeiro lugar vamos elucidar o significado da palavra arbitrário Quando dizemos que x é um elemento arbitrário de um conjunto A queremos dizer que x pode ser qualquer elemento de A e não podemos fazer qualquer outra suposição sobre x Denotando o conjunto 1 2 3 4 por A podemos determinar a sua cardinalidade Temos que A 4 logo o número de subconjuntos de A é igual a 2A 2⁴ 16 Resta agora identificar todos esses 16 subconjuntos Como a cardinalidade de A é igual a 4 podemos ter subconjuntos com 0 1 2 3 ou 4 elementos Por exemplo 1 3 4 é subconjunto de A pois 1 3 4 A 2 3 também é subconjunto de A pois 2 3 A Para identificar todos os subconjuntos de A vamos elaborar uma lista quadro a seguir Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Número de elementos Subconjuntos Número de subconjuntos 0 1 1 1 2 3 4 4 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 6 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 4 4 1 2 3 4 1 Total 16 Subconjuntos de A cardinalidade 4 Fonte elaborado pelo autor Vale ressaltar que como a cardinalidade do conjunto A era igual a 4 não tivemos maiores dificuldades em listar todos os 16 subconjuntos Problemas envolvendo conjuntos de maior cardinalidade costumam exigir a contabilização do número de subconjuntos sem necessariamente precisar identificálos Inúmeros problemas envolvendo o raciocínio computacional exigem essa habilidade Você conseguiria determinar quantos subconjuntos poderiam ser obtidos a partir de um conjunto com cardinalidade igual a 20 Que estratégia você utilizaria para identificálos um a um Pense nisso Videoaula teoria de conjuntos Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre a teoria de conjuntos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 2 Álgebra de Conjuntos Introdução da aula Qual é o foco da aula Nesta aula você aprenderá sobre o estudo das operações de conjuntos Objetivos gerais de aprendizagem Ao final desta aula você será capaz de recordar as operações união e interseção que você já deve ter estudado no Ensino Médio identificar os conectivos lógicos e e ou utilizados para a compreensão da lógica de programação descrever a importância da utilização dos diagramas de Venn para utilização na resolução de problemas Situaçãoproblema Nesta aula estudaremos as operações de conjuntos Conjuntos são coleções não ordenadas de objetos que podem ser de alguma forma relacionados FERREIRA 2001 Estudaremos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL portanto que relações são essas direcionando nosso olhar especialmente para as operações de união interseção e diferença entre conjuntos Lembrese de que você foi contratado por uma grande empresa do setor de Tecnologia da Informação TI e está trabalhando em uma equipe de desenvolvimento de um aplicativo para telefones móveis No desenvolvimento desse aplicativo por sua vez surgiu um novo problema a equipe de desenvolvimento de software percebeu que alguns comandos de busca desse aplicativo ações solicitadas pelo usuário para sua execução direcionam a busca do usuário para o Banco de Dados A enquanto outros comandos direcionam a busca do usuário para o Banco de Dados B e ainda há comandos que realizam essa busca em ambos os Bancos de Dados A e B Considere que há 20 comandos que direcionam a busca do usuário para o Banco de Dados A que no total há 60 comandos distintos e que 12 comandos direcionam a busca para os Bancos de Dados A e B Você saberia informar quantos desses 60 comandos realizam a busca no Banco de Dados B Você deverá apresentar a representação e resolução desse problema à equipe de desenvolvimento de software para que ela decida sobre a viabilidade de unificação desses Bancos de Dados Perceba que apesar de parecer ser um problema de simples solução é necessário tomar cuidado para não contabilizar comandos em duplicidade E agora como resolver essa situação Nesta aula você aprenderá a encontrar a união a interseção e a diferença entre conjuntos e a utilizar essas relações na resolução de situaçõesproblema como essa Bons estudos Operações de conjuntos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Em Matemática quando nos referimos a operações automaticamente nos recordamos das operações numéricas fundamentais adição subtração multiplicação e divisão porém em Teoria de Conjuntos também há várias operações que podem ser realizadas Podemos por exemplo somar ou multiplicar os elementos de conjuntos reunilos considerar apenas os elementos comuns enfim há uma série de operações que podem ser feitas Dentre essas operações as mais fundamentais são denominadas união e interseção A operação união é representada pelo símbolo e a operação intersecção pelo símbolo Consideremos por exemplo o conjunto M constituído por todos os estudantes de uma determinada universidade Podemos afirmar que o conjunto A formado pelos estudantes do Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Assista à videoaula sobre as operações com conjuntos diferença Aula 3 Aplicações de Teoria dos Conjuntos Introdução da aula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Diferença simétrica de conjuntos Fonte elaborada pelo autor Produto cartesiano Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Produto cartesiano em Diagrama de Venn Fonte elaborada pelo autor Temos portanto o produto cartesiano A B 24253435 como o conjunto formado por todos os pares possíveis formados com os elementos de A e de B Relação arbitrária entre conjunto Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula sobre aplicações de teoria dos conjuntos Videoaula recapitulando Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista à videoaula recapitulando Referências Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para concluir com êxito essa fase do processo seletivo e garantir sua vaga na empresa você aprenderá na primeira aula da unidade sobre a lógica proposicional e os conectores de conjunção disjunção e negação Na segunda aula iremos explorar novas proposições compostas aprendendo outros conectores Na terceira aula veremos como as regras lógicas nos permitem criar novas conclusões por meio de métodos dedutivos e inferenciais Vamos juntos dar esse importante passo rumo à formação de programadores Bons estudos Videoaula Introdução Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista a videoaula de introdução Introdução da aula Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Videoaula Contextualização Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Acompanhe a videoaula de contextualização Videoaula Introdução à Lógica Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista a videoaula de Introdução à Lógica Proposição Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula você aprenderá novos conectivos lógicos o que lhe possibilitará valorar proposições compostas mais complexas desenvolvendo suas habilidades de aplicar a lógica proposicional com suas regras e formas Objetivos gerais de aprendizagem Ao longo desta aula você irá Apontar os conectivos disjunção exclusiva condicional e bicondicional Explicar a conexão entre as estruturas de decisão e o conectivo condicional Analisar a importância da equivalência lógica Situaçãoproblema Olá estudante Iniciamos agora mais uma aula do nosso estudo de introdução à lógica proposicional Você já deve ter ouvido e falado muito frases do tipo Se chover eu não vou sair de casa ou então Se eu ganhar na loteria não vou mais trabalhar Esse tipo de frase possui uma estrutura lógica embasada em uma condição se algo acontecer então outro evento também irá acontecer Nesta aula vamos entender esse tipo de estrutura lógica bem como outros importantes conceitos Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Acompanhe a videoaula da SP3 Videoaula Conceitos Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista a videoaula sobre Conceitos Conclusão Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para demonstrar esse argumento foram necessários seis passos sendo três deles as hipóteses Após elencar as hipóteses consultamos o quadro com as Regras de inferência e vimos que era possível aplicar a regra de Modus Tollens entre os itens 1 e 3 com isso obtivemos o resultado P no item 4 Também vimos que podíamos aplicar a mesma regra entre os itens 2 e 4 com isso obtivemos o resultado Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula você poderá praticar os conhecimentos adquiridos nesta unidade por meio de exercícios comentados Objetivos gerais de aprendizagem Ao longo desta aula você irá Analisar as situaçõesproblema apresentadas Desenvolver possíveis soluções levando em conta as aulas previamente estudadas Comparar suas respostas com as soluções e feedbacks apresentados Exercício 1 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista a videoaula da SP4 e o encerramento Unidade 4 Tabela Verdade Aula 1 Construção da Tabela Verdade Introdução da Unidade Caroa estudante seja bemvindo eou bemvinda Reparou no modo como escrevi as boasvindas eou O que essa notação quer dizer O que eu quis dizer ao escrever e Será que a resposta seria a mesma se eu optasse pelo ou Por Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Acompanhe a videoaula de introdução Videoaula Contextualização Este conteúdo é um vídeo Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet Assista a videoaula de Contextualização Uso de conectivos para a construção da Tabela Verdade Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Olá estudante já deve ser do seu conhecimento que um computador é dividido em duas partes o hardware componentes físicos e o software os programas Muitos pesquisadores contribuíram para que chegássemos ao nível de evolução computacional que vivenciamos O avanço do hardware se deu por meio das pesquisas na área da eletrônica digital que visa construir circuitos que representam grandezas por meio de valores discretos DACHI HAUPT 2018 Os componentes eletrônicos que compõem um computador são formados por pequenos elementos chamados de transistores que são capazes de lidar com dois estados aberto ou fechado Um conjunto de transistores pode ser usado para construir uma porta lógica que ao receber sinais digitais de entrada produz uma determinada saída que depende do tipo de operação lógica para o qual foi construído Por exemplo uma porta lógica pode receber um sinal de ligado 1 em uma entrada e um sinal de desligado 0 em outra qual seria o resultado Depende da operação lógica dessa porta se for uma operação AND o resultado seria desligado mas se fosse um OR o resultado seria ligado Assim como no hardware o software também possui operações lógicas Por exemplo podemos escrever um programa que irá somar dois valores se e somente se ambos forem positivos Nesse caso teremos que construir o algoritmo utilizando o operador AND Como você pode ver tanto o hardware como o software computacional dependem da Lógica Formal Sabemos que os fundamentos da lógica computacional estão baseados nas proposições e nos conectivos ou operadores lógicos mas como podemos organizar os resultados das operações lógicas para facilitar nosso trabalho Podemos seguir a sugestão de Silva Finger e Melo 2017 e construir matrizes de conectivos conforme mostra o quadro visto no início desta aula No canto superior esquerdo temos a operação lógica AND E a ser feita Nas linhas abaixo da operação temos os valores verdadeiro V e falso F para a proposição P assim como ocorre também para a proposição Q nas colunas ao lado direito da operação Ao cruzar tais valores que ambas as proposições podem assumir temos os possíveis resultados lógicos para a operação AND conforme mostra a tabela Veja que quando ambas as proposições são verdadeiras P AND Q o resultado é Verdadeiro V Para todos os demais casos o resultado é falso F Matriz do conectivo AND Fonte adaptado de Silva Finger e Melo 2017 A representação dos resultados lógicos por meio de matrizes de conectores ajuda na organização porém limita uma operação por matriz Como meio de organizar os resultados e facilitar a operação entre vários conectores em uma mesma estrutura podemos utilizar a Tabela Verdade Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL analisar linha a linha Na linha 1 L1 colocamos as proposições A e B com entrada V Veja na coluna 3 C3 que a saída para essas entradas também é V Na linha 2 L2 colocamos a proposição A com entrada V e a B com entrada F Veja na coluna 3 C3 que a saída para essas entradas é V Na linha 3 L3 colocamos a proposição A com entrada F e a B com entrada V Veja na coluna 3 C3 que a saída para essas entradas é V Na linha 4 L4 colocamos as proposições A e B com entrada F Veja na coluna 3 C3 que a saída para essas entradas é F Como mostra a Tabela Verdade da disjunção basta que uma entrada seja verdadeira para obtermos um resultado verdadeiro Videoaula Tabela Verdade Condicional Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Amostra dos dados de combustíveis automotivos Fonte Brasil 2019 Dadas as seguintes proposições A O município é Brasília Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Qual é o foco da aula Nesta aula você poderá praticar os conhecimentos adquiridos nesta unidade por meio de exercícios comentados Objetivos gerais de aprendizagem Ao longo desta aula você irá Analisar as situaçõesproblema apresentadas Desenvolver possíveis soluções levando em conta as aulas previamente estudadas Comparar suas respostas com as soluções e feedbacks apresentados Roteiro de Aula Prática Clique aqui e acesse o Roteiro de aula prática Exercício 1 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Escolha a seguir a opção que representa a sequência correta dos possíveis resultados a serem obtidos pelas portas por meio da Tabela Verdade para as saídas R e S considerando respectivamente as seguintes entradas 1 A V B V 2 A V B F 3 A F B V 4 A F B F a R V F F F S V V V F b R V V F F S F V V F c R F F F V S F V V F d R F V V F S V F F F e R V F V V S V V F F Exercício 1 Solução Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Resposta Alternativa A Podemos construir uma Tabela Verdade com as fórmulas da conjunção e disjunção Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Usando a tabela como um gabarito podemos obter todos os possíveis resultados para as portas lógicas AND e OR Como AND é verdadeiro se e somente se todas as entradas são V então somente a primeira linha é V Já para a porta OR basta que uma entrada seja V portanto somente a última linha é falsa Exercício 2 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a F F V F b V F F F c V V F V d F F F V e V F V F Exercício 2 Solução Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Exercício 3 Disciplina LÓGICA E MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Exercício 3 Solução Resposta Alternativa B Para responder a essa questão primeiro construa a tabela verdade da implicação