Equações Diferenciais de Primeira Ordem na Matemática Econômica

Matemática Econômica Prof Paulo Brasil Universidade Federal de Oeste do Pará Instituto de Ciências da Sociedade Bacharelado em Ciências Econômicas 1 2 3A 3B 4A 4B 4C 4D 5 6 Temperatura de Fundo PAMPO N 1485 1495 1505 1515 1525 1535 T C Correlação entre Variáveis FisicoQúimicas NO2NO3 NO2 CLOR NH4 PPART PT SIO4 NIT NO3 PO4 SIGMAT HPA SOD OD PPAPDI NITPO4 NO3PO4 PH SAL TEMP 0 10 20 30 40 50 Tempo contínuo equações diferenciais de primeira ordem Equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficiente constante e termo constante Equações do tipo diferencial são amplamente desenvolvidas e estudadas no campo das ciências exatas em física em engenharia etc Mas também nas ciências sociais aplicadas em especial na economia encontram amplo emprego Seja 𝑥 a variável independente A expressão da derivada da variável dependente 𝑦 em relação a ela 𝑑𝑦𝑑𝑥 aparece então em pelo menos um dos termos que compõe esse tipo de equação Como se trata de derivadas estamos supondo que a relação entre 𝑥 e 𝑦 comporta uma bem comportada função de classe C1 isto é que possua derivada contínua Uma equação diferencial é dita ordinária quando existe apenas uma variável independente A equação 1 representa esse tipo de equação 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑏 1 Na qual y é a variável dependente de 𝑡 que funciona como uma variável independente antes chamada de 𝑥 𝑎 e 𝑏 são constantes A primeira é o coeficiente e a segunda representa o termo constante A derivada primeira dydt é a única que pode aparecer em uma equação diferencial de primeira ordem mas ela pode aparecer em várias potencias dydt dydt² ou dydt³ A potência mais alta alcançada pela derivada na equação e denominada o grau da equação diferencial Caso a derivada dydt apareça somente no primeiro grau o mesmo acontecendo com a variável dependente y e além disso não ocorrer nenhum produto da forma ydydt então dizse que a equação é linear Assim uma equação diferencial linear de primeira ordem geralmente adotara a formato 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝜇 𝑡 𝑦 𝜔 𝑡 2 Se 𝑢𝑡 e 𝜔𝑡 não forem funções apenas de 𝑡 a equação 2 continua tida como linear mesmo que essas funções não sejam lineares em t O caso homogêneo Se u e w forem funções constantes e se por acaso w for identicamente zero se tornara 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎𝑦 0 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎 Vejamos então como solucionar a homogênea associada do tipo 𝑑𝑦𝑑𝑡𝑎𝑦 0 𝑦 𝑡 𝐴 𝑒𝑎𝑡 Solução Geral 𝑦 𝑡 𝑦0 𝑒𝑎𝑡 Solução Definida O caso não homogêneo Quando lima constante diferente de zero toma o lugar do zero temos uma equação diferencial linear nãohomogênea 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑏 A solução dessa equação consistirá na soma de dois termos um dos quais é denominado a função complementar que denotaremos por yc e o outro e conhecido como a solução particular a ser denotada por yp O caso não homogêneo A discussão do caso homogêneo já nos deu a solução geral da equação homogênea associada e por conseguinte podemos escrever 𝑦𝑐 𝑡 𝐴 𝑒𝑎𝑡 O caso não homogêneo E a solução particular Uma vez que a solução particular é qualquer solução particular da equação completa podemos tentar em primeiro lugar o tipo de solução mais simples possível a saber y é alguma constante y k Se y for uma constante então seguese que dydt 0 e 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑏 se tornara ay b com a solução y ba Por conseguinte a solução constante funcionará contanto que a0 Nesse caso temos 𝑦𝑝 𝑏 𝑎 O caso não homogêneo A soma da função complementar e da solução particular constitui entao a solução geral da equação completa 𝑦 𝑡 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝐴𝑒𝑎𝑡 𝑏 𝑎 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑡 𝑦 0 𝑏 𝑎 𝑒𝑎𝑡 𝑏 𝑎 Solução definida Exemplo 1 Resolva a equação dydt 2y 6 com a condição inicial y0 10 Exemplo 2 Resolva a equação dydt 4y 0 com a condição inicial y0 1 Exemplo 3 Resolva a equação dydt 7y 7 com a condição inicial y0 7 Modelo com a dinâmica do preço de mercado Então de acordo com o preço de equilíbrio deve ser tempo contínuo Equações diferenciais de primeira ordem Igualandose 𝑄𝑑 𝑄𝑠 𝑃 𝛼𝛾 𝛽𝛿 Um modelo simples e bem conhecido de trajetória temporal de 𝑃𝑡 foi proposto pelo economista John Hicks Ele segue o velho preceito dos comerciantes de que os preços crescem com excesso de demanda e decrescem com excesso de oferta Representase matematicamente esse processo simples por meio da equação diferencial Nesta equação j é o coeficiente constante de ajuste 𝑄𝑑𝑡 𝑄𝑠𝑡 representa o excesso de demanda em cada instante t Portanto tal excesso faz os preços crescerem 𝑑𝑃𝑑𝑡 0 Temos assim um padrão de variação de 𝑃𝑡 que é bem descrito por uma equação diferencial de 1ª ordem Se 𝑄𝑑𝑡 𝑄𝑠𝑡 não há mudança de preço 𝑑𝑃𝑑𝑡 0 Note que esse preço representa um equilíbrio dinâmico Um princípio da análise econômica proposto por Paul Samuelson princípio de correspondência argumenta que tal preço de equilíbrio dinâmico deve corresponder ao equilíbrio estático 𝑃 No entanto vamos diferenciálos e chamar o equilíbrio dinâmico de 𝑃 Substituindose 5 em 6 temos 𝑑𝑃𝑑𝑡 j𝛼 𝛽 𝑃 𝛾 𝛿 𝑃 j𝛼 𝛾 𝑗𝛽 𝛿𝑃 de onde segue a equação diferencial 7 Note que essa equação tem mesmo formato que a equação 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑏 para 𝑎 j𝛽 𝛿 e 𝑏 j𝛼 𝛾 Substituindose 5 em 6 temos 𝑑𝑃𝑑𝑡 j𝛼 𝛽 𝑃 𝛾 𝛿 𝑃 j𝛼 𝛾 𝑗𝛽 𝛿𝑃 de onde segue a equação diferencial 7 Observandose a solução para o caso 𝑎 0 em 𝑦 𝑡 𝑦 0 𝑏 𝑎 𝑒𝑎𝑡 𝑏 𝑎 podese escrever a solução do problema dinâmico em tela como sendo a equação 𝑦 𝑡 𝑃 0 𝛼 𝛾 𝛽𝛿 𝑒𝛽𝛿𝑡 𝛼 𝛾 𝛽𝛿 Substituindose 5 em 6 temos 𝑑𝑃𝑑𝑡 j𝛼 𝛽 𝑃 𝛾 𝛿 𝑃 j𝛼 𝛾 𝑗𝛽 𝛿𝑃 de onde segue a equação diferencial 7 Chamandose j𝛽 𝛿 de 𝐾 e tendose em conta que 𝑃 𝛽𝛼 𝛾𝛿 podese escrever a solução como na equação 8 Exemplo 1 Resolva a equação diferencial de preço de mercado quando o modelo de mercado apresenta as equações de demanda e oferta Qd 21 3P e Qs 4 8P quando o preço no tempo zero é 2 P0 2 Exemplo 2 As equações de demanda e oferta Qd 30 2P e Qs 6 5P quando P0 3