O Método dos Multiplicadores de Lagrange na Otimização

Matemática Econômica Prof Paulo Brasil Universidade Federal de Oeste do Pará Instituto de Ciências da Sociedade Bacharelado em Ciências Econômicas 1 2 3A 3B 4A 4B 4C 4D 5 6 Temperatura de Fundo PAMPO N 1485 1495 1505 1515 1525 1535 T C Correlação entre Variáveis FisicoQúimicas NO2NO3 NO2 CLOR NH4 PPART PT SIO4 NIT NO3 PO4 SIGMAT HPA SOD OD PPAPDI NITPO4 NO3PO4 PH SAL TEMP 0 10 20 30 40 50 Otimização com restrições de igualdade O multiplicador de Lagrange é uma técnica importante em cálculo e otimização utilizada para encontrar máximos e mínimos condicionados de uma função sujeita a restrições Foi desenvolvido pelo matemático italiano JosephLouis Lagrange no século XVIII e é amplamente utilizado em matemática física economia e engenharia A ideia central por trás do Método dos Multiplicadores de Lagrange é incorporar as restrições do problema diretamente na função objetivo transformando o problema de otimização com restrições em um problema de otimização sem restrições Em matemática em problemas de otimização o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições Suponha que você deseje otimizar uma função objetivo função que se quer maximizar ou minimizar z fx1 x2 xn sujeita a uma restrição de igualdade g x1 x2 xn c Nota Ás vezes a resolução de gx y 0 é muito difícil ou mesmo impossível Por isso teremos que examinar o problema através de um novo método Lembrese que as coordenadas do vetor gradiente de uma função z f x1 x2 xn são as derivadas parciais da função ou seja Lxyλ fxy λgxy c Exemplo 1 Suponha que você deseje maximizar a função fx y x² y² sujeita à restrição x y 1 Passo 1 Construção da Função Lagrangeana Lx y λ x² y² λxy1 Passo 2 Derivação das Equações das Primeiras Derivadas Lx 2x λ 0 Ly 2y λ 0 Lλ x y 1 0 Exemplo 1 Suponha que você deseje maximizar a função fx y x² y² sujeita à restrição x y 1 Passo 3 Resolução do Sistema de Equações Resolvendo essas equações obtemos x y 12 e λ 2 Passo 4Verificação das Condições de Viabilidade A solução satisfaz a restrição original x y 1 Passo 5 Interpretação da Solução A solução ótima é x y 12 e o valor máximo da função objetivo é 12 Exemplo 2 Suponha que um fazendeiro deseje maximizar seus lucros que são dados pela função objetivo fx y 4 x² y² onde x representa a quantidade de trigo a ser plantada e y representa a quantidade de milho a ser plantada No entanto o fazendeiro tem uma restrição orçamentária representada por x y 12 Isso significa que o fazendeiro só pode gastar R12 em sementes de trigo e milho Exemplo 2 fx y 4 x² y² gx y x y 12 Isso significa que o fazendeiro só pode gastar R12 em sementes de trigo e milho Passo 1 Construção da Função Lagrangeana A função Lagrangeana é construída como Lx y λ fx y λgx y c Lx y λ 4 x² y² λx y 12 Exemplo 2 fx y 4 x² y² gx y x y 12 Isso significa que o fazendeiro só pode gastar R12 em sementes de trigo e milho Passo 2 Derivação das Equações das Primeiras Derivadas Calcule as derivadas parciais de L em relação a x y e λ e igualeas a zero Lx 2x λ 0 Lx y λ 4 x² y² λx y 12 Ly 2y λ 0 Lλ x y 12 0 Resolvendo essas equações encontramos λ 12 x y 6 Exemplo 2 fx y 4 x² y² gx y x y 12 Isso significa que o fazendeiro só pode gastar R12 em sementes de trigo e milho Passo 3 Verificação das Condições de Viabilidade A solução x y 12 é satisfeita pois 6 6 12 Passo 4 Interpretação da Solução A solução ótima é x 6 e y 6 e o fazendeiro deve plantar 6 acres de trigo e 6 acres de milho para maximizar seus lucros que serão de 4 6² 6² 76 unidades monetárias Exemplo 3 Suponha que uma fábrica deseje maximizar seu lucro produzindo dois tipos de produtos A e B O lucro por unidade de produto segue a função P R5A² R7B² A fábrica tem uma restrição de recursos pois só pode usar 10 unidades de matériaprima para a produção dos dois produtos Formulação do Problema Maximizar P 5A2 7B² lucro total Sujeito a AB10 restrição de recursos Exemplo 3 Maximizar P 5A² 7B² lucro total Sujeito a AB10 restrição de recursos Passo 1 Construção da Função Lagrangeana LA B λ 5A² 7B² λA B 10 Passo 2 Derivação das Equações das Primeiras Derivadas LA 10A λ 0 LB 14B λ 0 Lλ A B 10 0 Encontramos λ 1753 Substituindo λ nas duas primeiras equações obtemos A356 e B 256 Exemplo 3 Maximizar P 5A² 7B² lucro total Sujeito a AB10 restrição de recursos Passo 3 Verificação das Condições de Viabilidade A solução A B 10 é satisfeita pois 356 256 10 Passo 4 Interpretação da Solução Para maximizar o Lucro Total quando os lucros por unidade dos produtos A e B sejam A 356 e A 256 portanto P 5356²7256² 29167 reias ou seja a fábrica deve produzir aproximadamente 58 unidade do produto A e 416 unidades do produto B Exemplo 4 Uma empresa produz dois tipos de equipamentos E1 e E2 A função de custo associada à produção é C 05x² 4y² 2xy 100 A capacidade de produção num período é de 13 equipamentos no total Quantos equipamentos de cada tipo devem ser produzidos no período para minimizar o custo de produção Exemplo 5 Suponha que x unidades de mão de obra e y unidades de capital possam produzir fx y 60x34y14 unidades de certo produto Suponha também que cada unidade de mão de obra x custe R100 enquanto cada unidade de capital y custa R200 Considere que R30000 estão disponíveis para serem gastos com a produção Quantas unidades de mão de obra e quantas unidades de capital devem ser utilizadas para maximizar a produção Problema de Otimização com Três Variáveis Considere o seguinte problema de otimização com três variáveis Maximizar ou Minimizar fx y z Sujeito a gx y z0 A chave para aplicar o Método dos Multiplicadores de Lagrange é construir a função Lagrangeana Para um problema com três variáveis a função Lagrangeana é definida como Lx y z λ fx y z λgx y z Onde λ é o multiplicador de Lagrange associado à restrição gx y z 0 Problema de Otimização com Três Variáveis Derivação das Equações das Primeiras Derivadas Para encontrar os pontos críticos da função Lagrangeana calculamos as derivadas parciais em relação a x y z e λ e igualamos a zero Lx 0 Ly 0 Lz 0 Lλ 0 Isso nos dará um sistema de equações a ser resolvido Exemplo 1 Suponha que queremos maximizar a função objetivo fx y z 2x 3y z sujeita à restrição gx y z x² y² z² 9 0 Passo 1 Para resolver este problema construímos a função Lagrangeana da seguinte forma Lx y z λ 2x 3y z λx² y² z² 9 Exemplo 1 Suponha que queremos maximizar a função objetivo fx y z 2x 3y z sujeita à restrição gx y z x² y² z² 9 0 Passo 2 Calculamos as derivadas parciais de L em relação a x y z e λ e as igualamos a zero Lx 22λx 0 Ly 32λy 0 Lz 12λz 0 Lλ x² y² z² 9 0 Passo 3 Podemos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de λ 1A partir da primeira equação 2 2λx 0 2λx 2 λx 1 λ1x 2A partir da segunda equação 3 2λy 0 2λy 3 λy 23 λ 32y 3A partir da terceira equação 1 2λz 0 2λz 1 λz 12 λ 12z Agora temos três expressões para λ em termos de x y e z λ 1x λ 32y λ 12z Passo 4 Resolvendo para x y z λ 1x 32y 12z x 2y3 z y3 Usando Lλ x² y² z² 9 0 x² y² z² 9 23 y² y² y3² 9 y 24053 4y² 9y² y² 81 y 2405 x 224053 x 16036 z 24053 z 08018 Passo 5 Verificação das Condições de Viabilidade Verificamos se a solução encontrada satisfaz a restrição original 16036² 24053² 08018² 9 9 9 A solução satisfaz a restrição x² y² z² 9 Os valores que maximizam a função objetivo fx y z 2x 3y z sujeita à restrição x² y² z² 9 são x 16036 y 24053 z 08018 O valor máximo da função é 96214 Exemplo 2 Uma empresa de manufatura está buscando minimizar seus custos de produção de três produtos X Y e Z Os custos de produção por unidade de cada produto são representados por C e eles estão relacionados às quantidades produzidas de cada produto A empresa tem uma restrição orçamentária que limita a quantidade total que pode ser produzida O custo de produção por unidade de cada produto é dado pelas seguintes fórmulas Custo por unidade de X CX X² Custo por unidade de Y CY 2Y² Custo por unidade de Z CZ 3Z² Minimizar o custo total de produção C é definido como Ctotal CX CY CZ X² 2Y² 3Z² A empresa tem um orçamento limitado de 20 Sujeito a X 2Y 3Z 20 restrição de orçamento Exemplo 2 Pergunta Qual é a quantidade ótima de unidades dos produtos X Y e Z que a empresa deve produzir para minimizar o custo total de produção respeitando a restrição de orçamento Qual será o custo total mínimo de produção Solução usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange Construção da Função Lagrangeana LX Y Z λ X² 2Y² 3Z² λX 2Y 3Z 20 Derivação das Equações das Primeiras Derivadas LX 2X λ 0 LY 4Y 2λ 0 LZ 6Z 3λ 0 Lλ X 2Y 3Z 20 0 Agora temos as seguintes relações λ2X λ2Y λ2Z X 2Y 3Z 20 Vamos igualar as expressões para λ 2X2Y2Z Isso implica que XYZ Substituindo essa relação na restrição X 2Y 3Z 20 X 2X 3X 20 X 103 Y 103 Z 103 Portanto as quantidades ótimas de X Y e Z que minimizam o custo total de produção são X103 Y103 Z 103 E o custo total mínimo de produção é Ctotal 103² 2103² 3103² 4003 Portanto o custo total mínimo de produção é 4003 unidades monetárias Condições de Segunda Ordem para Otimização com Restrições Condição de segunda ordem A função z fx y no ponto estacionário xy para um problema de otimização com um restrição de igualdade gx y 0 e sujeito a g 0 alcançará Valor Máximo 2z 0 se e somente se ഥ𝐻 0 e Valor Mínimo 2z 0 se e somente se ഥ𝐻 0 Condição Suficiente ou Condição de 2ª Ordem Identifica se o ponto é máximo ou mínimo através de uma análise do Hessiano Aumentado H ou Hessiano Orlado Formação do Hessiano H Determinante formado pelas derivadas parciais de 2ª ordem da função principal Condição Suficiente ou Condição de 2ª Ordem Hessiano Aumentado para formar o hessiano aumentado adicionase uma linha acima e uma coluna à esquerda Essa linha é formada por 0 e as derivadas parciais da equação restrição ou condição ഥ𝐻 0 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑦𝑦 Lxy Lyx pois são as derivadas parciais cruzadas gx e gy são as derivadas parciais de x e de y com respeito a equação restrição Análise do Hessiano CS Para um máximo H2 0 H3 0 sinais alternados para os hessianos Para um mínimo H2 0 H3 0 Exemplo 1 Dada a função fx y xy 2x sujeita a condição 4x 2y 60Utilizar o Método do Multiplicador de Lagrange para identificar o ponto extremo e usar o teste do hessiano para saber se é um ponto de máximo ou de mínimo Condição necessária Condição de 1ª ordem fx y xy 2x 4x 2y 60 Lx y 4λ 0 Ly x 2λ 0 Lλ 4x 2y 60 0 x 8 y 14 λ 4 Exemplo 1 Dada a função fx y xy 2x sujeita a condição 4x 2y 60Utilizar o Método do Multiplicador de Lagrange para identificar o ponto extremo e usar o teste do hessiano para saber se é um ponto de máximo ou de mínimo Condição Suficiente Condição de 2ª ordem Lx y 2 ²Lx² Lxx 0 Ly x ²Ly² Lyy 0 ²Lxy Lxy 1 ²Lyx Lyx 1 gxy 4x 2y 60 gx 4 gy 2 Exemplo 1 Dada a função fx y xy 2x sujeita a condição 4x 2y 60 Utilizar o Método do Multiplicador de Lagrange para identificar o ponto extremo e usar o teste do hessiano para saber se é um ponto de máximo ou de mínimo Achando o Hessiano aumentado ഥ𝐻 0 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑦𝑦 ഥ𝐻 0 4 2 4 0 1 2 1 0 ഥ𝐻 16 16 0 portanto é um ponto máximo Exemplo 2 Resolva o problema de otimização encontrando o valor extremo da função z x² y² sujeito à restrição x 4y 2 Determine se nesse valor extremo a função alcançará um valor máximo ou mínimo por meio da condição de segunda ordem Exemplo 3 Considere o problema de otimizar f x y x13y23 sujeito a 27x 2y 81 Exemplo 4 Considere o problema de otimizar f x y z x 2y 3z xy yz sujeita a x y 2z 2 Lx y z λ x 2y 3y xy λx y 2z 2 Lx 1 y λ 0 Ly 2 x z λ 0 Lz 3 y 2λ 0 Lλ x y 2z 2 0 x 19 y 13 z 79 Exemplo 4 Considere o problema de otimizar f x y z x 2y 3z xy yz sujeita a x y 2z 2 Lx y z λ x 2y 3y xy λx y 2z 2 Lx 1 y λ 0 Ly 2 x z λ 0 Lz 3 y 2λ 0 Lλ x y 2z 2 0 Lxx 0 Lyy 0 Lzx 0 gx 1 Lxy 1 Lyx 1 Lzy 1 gy 1 Lxz 0 Lyz 1 Lzz 0 gz 2 Exemplo 4 Considere o problema de otimizar f x y z x 2y 3z xy yz sujeita a x y 2z 2 As condições para definir positiva mínimo local ou negativa máximo local do Hessiano Orlado são O ponto crítico ou extremo é Um mínimo local da função f se H2 H3 Hn 0 Um máximo local da função f se H2 0 H3 0 H4 0 Exemplo 4 Considere o problema de otimizar f x y z x 2y 3z xy yz sujeita a x y 2z 2 0 gx gy gz gx Lxx Lxy Lxz gy Lyx Lyy Lyz gz Lzx Lzy Lzz ഥ𝐻2 0 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑥𝑦 𝑔𝑦 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑦𝑦 ഥ𝐻3 Exemplo 4 Considere o problema de otimizar f x y z x 2y 3z xy yz sujeita a x y 2z 2 ഥ𝐻2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0 ഥ𝐻3 9 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 Um mínimo local da função f se H2 H3 Hn 0 Um máximo local da função f se H2 0 H3 0 H4 0 Ou seja Não é Máximo e nem Mínimo Exemplo 5 f x y z x² y² z² gx y x y z 9 Exemplo 6 Encontre o ponto crítico de f x y z 4ln x 2y 8z sujeita a 8 x y 2z 0 e 1 05x z 0 e verifique se é ponto de máximo ou mínimo Exemplo 6 Encontre o ponto crítico de f x y z 4ln x 2y 8z sujeita a 8 x y 2z 0 e 1 05x z 0 e verifique se é ponto de máximo ou mínimo Lx y z λ1 λ2 fx y z λ1gx y z λ2hx y z Lx y z λ1 λ2 4ln x 2y 8z λ18 x y 2z λ21 05x z Lx 4x λ1 05x λ2 0 Ly 2 λ1 0 Lz 8 2λ1 λ2 0 Lλ1 8 x y 2z 0 Lλ2 1 05x z 0 Exemplo 6 Encontre o ponto crítico de f x y z 4ln x 2y 8z sujeita a 8 x y 2z 0 e 1 05x z 0 e verifique se é ponto de máximo ou mínimo λ1 2 Ponto Crítico f 1 6 12 4ln 1 26 812 λ2 4 f 1 6 12 16 x 1 y 6 Validação g1 6 12 8 1 6 212 0 z ½ g1 6 12 1 051 12 0 0 0 gx gy gz 0 0 hx hy hz gx hx Lxx Lxy Lxz gy hy Lyx Lyy Lyz gz hz Lzx Lzy Lzz ഥ𝐻4 ഥ𝐻0 Se os sinais dos determinantes desses menores principais alternam de sinal e o determinante de Ho é igual a 1n então o ponto crítico é ponto de máximo local Se os sinais dos determinantes desses menores principais possuem todos o mesmo sinal de 1m então o ponto crítico é ponto de mínimo local n variáveis de escolha m restrições Exemplo 6 Encontre o ponto crítico de f x y z 4ln x 2y 8z sujeita a 8 x y 2z 0 e 1 05x z 0 e verifique se é ponto de máximo ou mínimo Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo Como n m 3 2 1 estamos interessados apenas no determinante de ഥ𝐻0 4 que tem o mesmo sinal de 13 Logo o ponto crítico é ponto de máximo ഥ𝐻4 ഥ𝐻0 6 0 0 1 1 2 0 0 05 0 1 1 05 6 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 Exemplo 6 Encontre o ponto crítico de f x y z x yz sujeita a y² z² 1 e xz 3 e verifique se é ponto de máximo ou mínimo Condição de primeira ordem para Maximização da utilidade Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE 𝑈 𝑥𝑦 2𝑦 ou 𝑈 𝑥1𝑥2 2𝑥1 Onde 𝑥1 e 𝑥2 são as quantidades a serem consumidas Vejam que quanto mais puder consumir maior será a UTILIDADE Por isso a maximização da UTILIDADE estará sujeita a uma restrição orçamentária 4𝑥1 2𝑥2 60 Isso significa que a solução ótima deverá se SUJEITAR à quantidade de dinheiro que o indivíduo possui Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE Uma função de utilidade é uma representação matemática das preferências de um indivíduo em relação a diferentes cestas de bens e serviços Maximizar uma função de utilidade significa encontrar a cesta de bens que proporciona o maior nível de satisfação ao indivíduo dado seu conjunto de restrições orçamentárias Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE 1 Especificar a Função de Utilidade Começamos com uma função de utilidade que descreve as preferências do indivíduo em termos de bens e serviços Geralmente a função de utilidade é representada como Ux y onde x e y são os bens em questão 2 Definir Restrições Orçamentárias O próximo passo é definir as restrições orçamentárias do indivíduo ou seja o quanto ele pode gastar nos bens em questão Isso é representado pela equação do orçamento Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE 3 Formular o Problema de Maximização O objetivo é maximizar a função de utilidade sujeita às restrições orçamentárias Isso pode ser formulado como um problema de otimização matemática 4 Aplicar a Condição de Primeira Ordem A condição de primeira ordem é uma ferramenta essencial para encontrar o máximo de uma função de utilidade Ela diz que a derivada da função de utilidade em relação a cada bem deve ser igual à relação marginal de substituição RMS entre esses bens RMS 𝑈 𝑥 𝑈 𝑦 Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE Teoria do Consumidor Maximização da função UTILIDADE