Fundamentos de Matemática: Matrizes e Determinantes

Fundamentos de Matemática Matrizes e determinantes Prof Dr Tarcísio Lobato Manaus 2022 Universidade do Estado do Amazonas UEA Escola Superior de Ciências Sociais Curso de Bacharelado em Ciências Econômicas Matrizes e vetores Álgebra matricial lida com modelos lineares porém a linearidade não é uma restrição problemática Exemplo Modelo de mercado de duas mercadorias 𝑦 𝑎𝑥𝑏 log 𝑦 log 𝑎 𝑏 log𝑥 𝑐1𝑃1 𝑐2𝑃2 𝑐0 𝛾1𝑃1 𝛾2𝑃2 𝛾0 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑑1 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑑2 𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑑𝑚 Matrizes como arranjos Matriz de coeficientes Matriz de variáveis Matriz de termos constantes 𝐴𝑚𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑥1𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑑𝑚1 𝑑1 𝑑2 𝑑𝑚 Exemplo Dado o sistema de equações lineares Podemos escrever O sistema de equações pode ser representado por Ax d 6𝑥1 3𝑥2 𝑥3 22 𝑥1 4𝑥2 2𝑥3 12 4𝑥1 𝑥2 5𝑥3 10 𝐴 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 22 12 10 Operações com matrizes Igualdade As matrizes A e B são iguais se e somente se elas tiverem a mesma dimensão e elementos idênticos nas localizações correspondentes no arranjo ou 4 3 2 0 4 3 2 0 2 0 4 3 𝑥 𝑦 7 4 𝑥 7 𝑒 𝑦 4 Adição ou subtração de matrizes Duas matrizes podem ser somadas se e somente se tiverem a mesma dimensão E definida como a adição ou subtração de cada par de elementos correspondentes Exemplo Logo 4 9 2 1 2 0 0 7 4 2 9 0 2 0 1 7 6 9 2 8 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏22 𝑎11 𝑏11 𝑎12 𝑏12 𝑎21 𝑏21 𝑎22 𝑏22 Multiplicação por um escalar Multiplicase cada elemento da matriz por um número Exemplo Logo 7 3 1 0 5 7 3 7 1 7 0 7 5 21 7 0 35 𝑘 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑘 𝑎11 𝑘 𝑎12 𝑘 𝑎21 𝑘 𝑎22 Multiplicação de matrizes Dado duas matrizes A e B a multiplicação AB segue a condição de que a dimensão da coluna de A deve ser igual à dimensão da linha de B 1ª 2ª 𝐴𝑛𝑚 𝐵𝑚𝑝 𝐶𝑛𝑝 Esquema para multiplicação de matrizes 𝑐11 𝑎11𝑏11 𝑎12𝑏21 𝑐12 𝑎11𝑏12 𝑎12𝑏22 𝑐11 𝑐12 𝑐11 𝑐12 Exemplos Dada as matrizes A B C e D Faça se possível as multiplicações matriciais a AB b BA c AC d CA e BC f CB 𝐴32 1 2 4 3 8 0 𝐵21 5 9 𝐶33 3 1 2 1 0 3 4 0 2 Considerando a matriz A e o vetor x do inicio da aula podemos calcular Ax d 𝐴 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 22 12 10 𝐴𝑥 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 6𝑥1 3𝑥2 𝑥3 𝑥1 4𝑥2 2𝑥3 4𝑥1 𝑥2 5𝑥3 22 12 10 Divisão Não é possível dividir uma matriz pela outra isto é AB Porém existe se aplicarmos o conceito de matriz inversa Mas 𝐴𝐵1 𝐵1𝐴 No entanto os números a e b com b diferente de zero existe essa relação 𝐴𝐵1 𝑜𝑢 𝐵1𝐴 Vetores como matrizes especiais Matrizes como apenas uma coluna são denominadas de vetores coluna Ex No exemplo do sistema de equações lineares Ax d Um vetor é um conjunto ordenado de n elementos Um ponto no espaço ndimensional 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 22 12 10 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Multiplicação de vetores Um vetor coluna umx1 e um vetor linha v1xn sua matriz produto resulta na dimensão m x n Ex Por outro lado 𝑢 3 2 𝑣 1 4 5 𝑢𝑣 31 34 35 21 24 25 3 12 15 2 8 10 𝑢 3 4 𝑒 𝑣 9 7 𝑢𝑣 39 47 55 Matrizes 1 x 1 se comportam exatamente como escalares em relação a adição e multiplicação Portanto definese uv como um produto escalar Ex Em geral uu é a soma dos quadrados dos elementos de uj 𝑢𝑢 3 6 9 3 6 9 3² 6² 9² 𝑢 3 6 9 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 𝑢𝑢 𝑢1² 𝑢2² 𝑢𝑛² 𝑗1 𝑛 𝑢𝑗 2 Interpretação geométrica de operações vetoriais Dado um par ordenado 32 num espaço R² o vetor u 3 2 desempenha a mesma interpretação geométrica Multiplicação escalar de um vetor k 2 k 1 Combinação linear de vetores 3𝑣 2u 3 1 4 2 3 2 9 16 Dependência linear Dizse que um conjunto de vetores v vn é linearmente dependente se se somente se qualquer um deles puder ser expresso como uma combinação linear dos vetores restantes caso contrário são linearmente independentes Ex 𝑣1 2 7 𝑣2 1 8 𝑒 𝑣3 4 5 3𝑣1 2𝑣2 6 21 2 16 4 5 𝑣3 3𝑣1 2𝑣2 𝑣3 0 0 0 Um conjunto de vetores m v1 vn é linearmente dependente se e somente se existir um conjunto de escalares k1 kn nem todos zeros tal que Do contrário se for somente com ki 0 para todos os i esses vetores são linearmente independentes Ex 𝑖1 𝑛 𝑘𝑖𝑣𝑖 0𝑚1 𝑣1 2 4 𝑣2 4 8 𝑢1 1 4 𝑢2 3 2 Matriz identidade Uma matriz quadrada que tem números 1 em sua diagonal e zeros em todos os outros lugares Denotada por I ou In Essa matriz desempenha um papel semelhante ao número 1 na álgebra escalar 𝐼2 1 0 0 1 𝐼3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐼𝐴 𝐴𝐼 𝐴 Exemplo Se já a matriz então Quando A In Logo Se AA A é denominado de matriz idempotente 𝐴 1 2 3 2 0 3 𝐼𝐴 1 0 0 1 1 2 3 2 0 3 1 2 3 2 0 3 𝐴 𝐴𝐼 1 2 3 2 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 2 0 3 𝐴 𝐴𝐼𝑛 𝐼𝑛 2 𝐼𝑛 ൯ 𝐼𝑛 𝑘 𝐼𝑛 𝑘 12 Idiossincrasias da álgebra matricial 1 AB BA 2 AB 0 mesmo que A B 0 Exemplo 3 CD CE mesmo que D E 𝐴𝐵 2 4 1 2 2 4 1 2 0 0 0 0 𝐶 2 3 6 9 𝐷 1 1 1 2 𝐸 2 1 3 2 𝐶𝐷 𝐶𝐸 5 8 15 24 Matriz transposta Quando as linhas e colunas de uma matriz são permutadas denominamos de transposta da matriz Exemplo Suas transpostas são Então uma matriz A m x n sua transposta A deve ser n x m 𝐴23 3 8 9 1 0 4 𝐵22 3 4 1 7 𝐴32 3 1 8 0 9 4 𝑒 𝐵22 3 1 4 7 Exemplo Dizse que a matriz D é simétrica D D Propriedades das transpostas a A A b A B A B c AB BA 𝐷 1 0 4 0 3 7 4 7 2 𝐷 1 0 4 0 3 7 4 7 2 Exemplo Sejam as matrizes Calcule A B A B Exemplo Dado as matrizes Obtenha AB BA A 4 1 9 0 𝑒 𝐵 2 0 7 1 𝐴 1 2 3 4 𝑒 𝐵 0 1 6 7 Inversas e suas propriedades A inversa da matriz A denotada por é definida somente se A for uma matriz quadrada satisfazendo a condição Ser uma matriz quadrada é uma condição necessária mas não suficiente para existência de uma inversa Se existir a inversa A é não singular caso contrário é dita como singular Se existir uma inversa ela será única Exemplo Seja as matrizes Verifique se uma é a inversa da outra 𝐴1 𝐴𝐴1 𝐴1𝐴 𝐼 𝐴 3 1 0 2 𝑒 𝐵 1 6 2 1 0 3 Propriedades Matriz inversa e solução de sistema de equações lineares 1 𝐴1 1 𝐴 2 𝐴𝐵 1 𝐵1𝐴1 3 𝐴 1 𝐴1 𝐴𝑥 𝑑 𝐴1𝐴𝑥 𝐴1𝑑 𝑥 𝐴1𝑑 Exemplo Dado o sistema de equações lineares Podemos escrever O sistema de equações pode ser representado por Ax d 6𝑥1 3𝑥2 𝑥3 22 𝑥1 4𝑥2 2𝑥3 12 4𝑥1 𝑥2 5𝑥3 10 𝐴 6 3 1 1 4 2 4 1 5 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 22 12 10 Suponha que a inversa de A seja Assim 𝑥 𝐴1𝑑 será Logo x1 2 x2 3 e x3 1 𝐴1 1 52 18 16 10 13 26 13 17 18 21 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 52 18 16 10 13 26 13 17 18 21 22 12 10 2 3 1 Condições para invertibilidade de uma matriz Condição necessária Matriz quadrada Condição suficiente Independência linear das linhas colunas de uma matriz 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ቊ𝑥 𝑦 8 𝑥 𝑦 9 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ቊ 2𝑥 𝑦 12 4𝑥 2𝑦 24 Exemplo Seja o sistema de equações Ax d na forma Logo d1 2d2 Não há solução única possível 10 4 5 2 𝑥1 𝑥2 𝑑1 𝑑2 10𝑥1 4𝑥2 𝑑1 5𝑥1 2𝑥2 𝑑2 Posto de uma matriz O posto da matriz r é a quantidade de linhas linearmente independente Em uma matriz m x n o posto será no máximo m ou n o que for menor Ex Seja a matriz A4x3 o posto é no máximo igual a 3 O método da matriz escalonada serve para determinar o posto da matriz Para isso é executado operações elementares nas linhas 1 Troca entre quaisquer duas linhas na matriz 2 Multiplicação ou divisão de uma linha por qualquer escalar k 0 3 Adição de k vezes qualquer linha a uma outra linha Essas operações não alteram o posto da matriz apesar de modificar a matriz Exemplo Encontre o posto da matriz O elemento a11 deve ser diferente de zero portanto permutamos primeira linha com a terceira O elemento a11 deve ser igual a 1 e os abaixo dele iguais à zero Logo dividimos a primeira linha de A1 pelo escalar 4 𝐴 0 11 4 2 6 2 4 1 0 𝐴1 4 1 0 2 6 2 0 11 4 𝐿1 𝐿1 4 Para transforma o elemento a21 em zero fazemos Agora devemos transformar o elemento 112 em 1 e o 11 em zero 𝐿2 𝐿2 2𝐿1 𝐴2 1 Τ 1 4 0 2 6 2 0 11 4 𝐴3 1 Τ 1 4 0 0 Τ 11 2 2 0 11 4 𝐿2 2 11 𝐿2 Agora realizamos a seguinte operação para transformar o elemento 11 em zero Como temos duas linhas não nulas o posto da matriz é igual a r 2 𝐴4 1 Τ 1 4 0 0 1 Τ 4 11 0 11 4 𝐿3 𝐿3 11𝐿2 𝐴5 1 Τ 1 4 0 0 1 Τ 4 11 0 0 0 Este método se aplica a qualquer matriz mesmo não sendo quadrada Para ser invertível uma matriz de ordem n deve possuir posto igual a n ou seja n linhas linearmente independentes Exemplos Determine o posto das matrizes A e B e comente em relação a invertibilidade 𝑎 𝐴 1 5 1 0 3 9 1 0 0 𝑏 𝐵 0 1 4 3 1 2 6 1 0 Determinantes e invertibilidade O determinante A é um escalar associado a matriz A Determinantes são definidos apenas para matrizes quadradas Cálculo para matriz de ordem 2 Ex Calcule o determinante das matrizes 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎11𝑎22 𝑎21𝑎12 𝐴 10 4 8 5 105 84 18 𝐵 3 5 0 1 31 05 3 Ex Determine os determinantes das matrizes C e D Um determinante igual a zero indica dependência linear Uma matriz com determinante igual a zero é dita ser singular isto é a matriz não é invertível 𝐶 3 8 3 8 38 38 0 𝐷 2 6 8 24 224 86 0 Cálculo de um determinante de terceira ordem Regra de Sarrus O determinante de ordem 3 da matriz A é dado por Passo 1 Reescreva as duas primeiras colunas à direta da matriz A 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎21 𝑎22 𝑎32 Passo 2 Multiplique as diagonais principais Passo 3 Multiplique pelas diagonais secundárias e troque o sinal do resultado 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎11𝑎22𝑎33 𝑎12𝑎23𝑎31 𝑎13𝑎21𝑎32 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎11𝑎22𝑎33 𝑎12𝑎23𝑎31 𝑎13𝑎21𝑎32 𝑎12𝑎21𝑎33 𝑎11𝑎23𝑎32 𝑎13𝑎22𝑎31 Exemplo a b 2 1 3 4 5 6 7 8 9 2 1 3 4 5 6 7 8 9 2 4 7 1 5 8 259 167 348 149 268 357 9 7 0 3 9 1 4 0 6 5 7 9 0 0 1 6 715 040 369 095 7 46 310 295 Desenvolvimento de Laplace Para obter o determinante da matriz A3X3 vimos que Podendo se rescrito como 42 𝑎11 𝑎22𝑎33 𝑎23𝑎32 𝑎12 𝑎21𝑎33 𝑎23𝑎31 𝑎13 𝑎21𝑎32 𝑎22𝑎31 𝑎11 𝑎22 𝑎23 𝑎32 𝑎33 𝑎12 𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑎33 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11𝑎22𝑎33 𝑎12𝑎23𝑎31 𝑎13𝑎21𝑎32 𝑎12𝑎21𝑎33 𝑎11𝑎23𝑎32 𝑎13𝑎22𝑎31 Observe que o determinante inicial 3x3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2x2 Onde Aij é a submatriz da inicial de onde a iésima linha e jésima coluna foram retiradas Podemos reescrever utilizando o cofator Obtendo No caso geral para ordem n det 𝐴 𝑎11 𝐴11 𝑎12 𝐴12 𝑎13 𝐴13 Δ𝑖𝑗 1 𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 det 𝐴 𝑎11Δ11 𝑎12Δ12 𝑎13Δ13 det 𝐴𝑛𝑥𝑛 𝑗1 𝑛 𝑎𝑖𝑗Δ𝑖𝑗 Exemplo 44 𝐴 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1Δ11 2Δ12 3Δ13 Δ11 111 1 1 1 2 12 12 1 1 1 Δ12 112 2 1 2 2 13 22 12 2 Δ13 113 2 1 2 1 14 2 1 12 0 1Δ11 2Δ12 3Δ13 11 22 30 1 4 5 Exemplo calcule o determinante a Pela definição b Em relação à segunda coluna usando o desenvolvimento de Laplace 45 𝐴 2 0 1 3 0 2 4 3 7 Propriedades básicas de determinantes 1 A A Ex 2 A troca de quaisquer duas linhas ou colunas alterará o sinal mas não o valor numérico do determinante Ex 3 A multiplicação de qualquer linha ou coluna por um escalar k multiplicará o calor do determinante por k 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑘𝑎 𝑏𝑘 𝑐 𝑑 𝑘𝑎𝑑 𝑘𝑏𝑐 𝑘 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 4 A adição ou subtração de um múltiplo de qualquer linha a outra linha não altera o valor do determinante Ex 5 Se uma linha ou coluna for um múltiplo de qualquer outra linha ou coluna o valor do determinante será zero Ex 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘𝑎 𝑑 𝑘𝑏 𝑎 𝑑 𝑘𝑏 𝑏 𝑐 𝑘𝑎 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 2𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏 0 𝑐 𝑐 𝑑 𝑑 𝑐𝑑 𝑐𝑑 0 Matriz adjunta Dada uma matriz A podemos formar uma matriz dos cofatores de A dada por Exemplo 48 ሜ𝐴 Δ𝑖𝑗 ҧ𝐴 𝛥11 𝛥12 𝛥13 𝛥21 𝛥22 𝛥23 𝛥31 𝛥32 𝛥33 𝐴 2 1 0 3 1 4 1 6 5 ሜ𝐴 19 19 19 5 10 11 4 8 5 Dada uma matriz quadrada A a matriz adjunta será a transposta da matriz dos cofatores sendo Exemplo 𝑎𝑑𝑗𝐴 19 5 4 19 10 8 19 11 5 𝑎𝑑𝑗𝐴 ሜ𝐴 𝑎𝑑𝑗 ҧ𝐴 𝛥11 𝛥21 𝛥31 𝛥12 𝛥22 𝛥32 𝛥13 𝛥23 𝛥33 ҧ𝐴 𝛥11 𝛥12 𝛥13 𝛥21 𝛥22 𝛥23 𝛥31 𝛥32 𝛥33 𝐴 2 1 0 3 1 4 1 6 5 ሜ𝐴 19 19 19 5 10 11 4 8 5 Matriz inversa Uma matriz A admite uma inversa se e somente se det A 0 Neste caso obtemos por Exemplo 50 𝐴1 1 det 𝐴 𝑎𝑑𝑗𝐴 𝑎𝐴 1 2 3 2 1 1 2 1 2 𝑏𝐴 2 0 1 3 0 2 4 3 7 𝑐𝐴 2 1 0 3 1 4 1 6 5 Regra de Cramer O cálculo da inversa de uma matriz fornece um outro método de resolução de sistemas lineares de equações Podemos reescrever 51 ቐ 𝑎11𝑥1 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑏1 𝑎𝑛1𝑥1 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 𝑏𝑛 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 𝑏1 𝑏𝑛 𝐴 𝑋 𝐵 𝑋 𝐴1𝐵 Exemplo Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas encontre os valores de x y e z 52 𝑥𝑖 𝑎11 𝑎𝑛1 𝑏1 𝑏𝑛 𝑎1𝑛 𝑎𝑛𝑛 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑛 𝑐 ቐ 2𝑥 3𝑦 7𝑧 1 𝑥 3𝑧 5 2𝑦 𝑧 0 𝑎 ቊ5𝑥1 3𝑥2 30 6𝑥1 2𝑥2 8 𝑏 ቐ 7𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 10𝑥1 2𝑥2 𝑥3 8 6𝑥1 3𝑥2 2𝑥3 7 Tipos de soluções para uma sistema de equações lineares Aplicações Modelo de mercado 𝑐1𝑃1 𝑐2𝑃2 𝑐0 𝛾1𝑃1 𝛾2𝑃2 𝛾0 𝐴 𝑐1 𝑐2 𝛾1 𝛾2 𝑐1𝛾2 𝑐2𝛾1 𝐴1 𝑐0 𝑐2 𝛾0 𝛾2 𝑐0𝛾2 𝑐2𝛾0 𝐴2 𝑐1 𝑐0 𝛾1 𝛾0 𝑐1𝛾0 𝑐0𝛾1 𝑃1 𝐴1 𝐴1 𝑐2𝛾0 𝑐0𝛾2 𝑐1𝛾2 𝑐2𝛾1 𝑃2 𝐴2 𝐴1 𝑐0𝛾1 𝑐1𝛾0 𝑐1𝛾2 𝑐2𝛾1 Aplicações Modelo de renda nacional Logo 𝑌 𝐶 𝐼0 𝐺0 𝑏𝑌 𝐶 𝑎 𝐴 1 1 𝑏 1 1 𝑏 𝐴1 𝐼0 𝐺0 1 𝑎 1 𝐼0 𝐺0 𝑎 𝐴2 1 𝐼0 𝐺0 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝐼0 𝐺0 𝐶 𝐴2 𝐴 𝑎 𝑏 𝐼0 𝐺0 1 𝑏 𝑌 𝐴1 𝐴 𝐼0 𝐺0 𝑎 1 𝑏