Problemas Estaticamente Indeterminados Resolvidos - Engenharia Estrutural

Problemas estaticamente indeterminados Prof Lázaro Silva Problemas estaticamente indeterminados Nesses problemas precisamos além do diagrama de corpo livre e das equações de equilíbrio da estática de relações de deformações que envolvam a geometria da estrutura Exemplo 01 Barra de seção A1 módulo de elasticidade E1 e comprimento L1 colocada dentro de um tubo de área A2 módulo de elasticidade E2 e mesmo comprimento da barra Qual é a deformação do tubo e da barra quando uma força P é aplicada em uma placa lateral rígida como mostra a figura Desenhamos os diagramas de Corpo livre para a barra e para o tubo e indicamos as forças que agem em cada um deles por P1 e P2 respectivamente Em seguida aplicamos as equações da estática Só essa equação não resolve o problema As equações de deformação ajudam a resolver o problema Assim 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Substituindo esse resultado na equação 𝟏 𝟐 encontramos P2 ou seja 𝑬𝟏𝑨𝟏 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑬𝟐𝑨𝟐 𝟐 𝟐 Em seguida calculamos 𝟏 pela equação abaixo 𝟏 𝟐 e por último as deformações 𝟏 𝑷𝟏𝑳𝟏 𝑬𝟏𝑨𝟏 e 𝟐 𝑷𝟐𝑳𝟐 𝑬𝟐𝑨𝟐 Exemplo 02 Uma barra AB de comprimento L está ligada a suportes rígidos em A e B antes de a ela ser aplicado uma carga P Quais são as tensões nas partes AC e BC se for aplicada a carga P no ponto C Ao lado temos o diagrama de Corpo livre Pela análise do problema a seção CA encontrase sobre tração enquanto a seção CB está sobre compressão Em primeiro lugar precisamos determinar as reações de apoio em A e em B e Aplicando as equações de equilíbrio resulta Somente esta Eq não é suficiente para encontrar e o problema é EI Ao lado temos o diagrama de Corpo Livre para cada seção que foram separadas pelos planos de corte Aplicando as Equações de Equilíbrio em cada seção temos A deformação total deve ser nula assim Eq 3 Ou seja 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Eq 4 Uma barra de aço presa em ambas as extremidades por apoios fixos é submetida ao carregamento indicado Determine o valor das reações nesses apoios Vamos considerar a reação em B como redundante e liberamos a barra do apoio em B RB tornase uma força desconhecida e será determinada impondose que a deformação total é nula Vamos calcula a deformação total pela expressão δtotal δi As tensões nas seções podem agora ser encontradas 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 Ideia para resolver o problema P1 L1 P2 L2 0 Eq 5 Como RA P1 e RB P2 Substituindo esse resultado na Eq 1 temos P1 P2 P Eq 6 Resolvendo 5 e 6 encontramos P1 e P2 P1 P2 L2 L1 substituindo em 6 P2 L2 L1 P2 P P2 L1 L1 L2 P P2 P L1 L e P1 L1 L1 L2 P L2 L1 P L2 L Considerando um plano de corte na seção BK Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P10 Considerando um plano de corte na seção CK Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P2600kN0P2600kN Considerando um plano de corte na seção DC Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P3600kN0P3600kN Considerando um plano de corte na seção AD Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P4600kN300kN0P4900kN Cálculo da deformação δi δLδiδ1δ2δ3δ4 Ou seja δLP1L1E1A1P2L2E2A2P3L3E3A3P4L4E4A4125109E Para a determinação da deformação δg por causa da reação redundante RB vamos dividir a barra em duas partes 1 e 2 e aplicar as equações de equilíbrio Considerando um plano de corte na seção BC Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P1RB0P1RB Considerando um plano de corte na seção AC Aplicando as equações de equilíbrio resulta Fy0P2RB0P2RB Ideia para resolver o problema Cálculo da deformação δg δgδiδ1δ2 Ou seja δgP1L1E1A1P2L2E2A2195109E RB A deformação total deve ser nula assim δTotalδgδl0 125109E195109E RB0RB577kN Cálculo da reação em A Para calcular a reação em A vamos considerar o Diagrama de Corpo livre e aplicar as equações de equilíbrio resulta ΣFy 0 RA 300 kN 600 kN RB 0 RA 323 kN Determinar as reações em A e B para a barra de aço mostrada na figura Considere o mesmo carregamento anterior e suponha agora que exista uma folga de 45 mm entre a barra e o apoio antes de aplicar o carregamento Vamos considerar a reação em B como redundante e liberamos a barra do apoio em B tornase uma força desconhecida e será determinada impondose que a deformação total é 45 mm Vamos calcula a deformação total pela expressão Ideia para resolver o problema Considerando um plano de corte na seção BK Aplicando as equações de equilíbrio resulta Considerando um plano de corte na seção CK Aplicando as equações de equilíbrio resulta Considerando um plano de corte na seção DC Aplicando as equações de equilíbrio resulta Considerando um plano de corte na seção AD Aplicando as equações de equilíbrio resulta Cálculo da deformação δL δL Σδi δ1 δ2 δ3 δ4 Ou seja δL P1L1 E1A1 P2L2 E2A2 P3L3 E3A3 P4L4 E4A4 125109 E Para a determinação da deformação δg por causa da reação redundante RB vamos dividir a barra em duas partes 1 e 2 e aplicar as equações de equilíbrio Considerando um plano de corte na seção BC Aplicando as equações de equilíbrio resulta ΣFy 0 P1 RB 0 P1 RB Considerando um plano de corte na seção AC Aplicando as equações de equilíbrio resulta ΣFy 0 P2 RB 0 P2 RB Cálculo da deformação δg δg Σ δi δ1 δ2 Ou seja δg P1 L1 E1 A1 P2 L2 E2 A2 195 109 E RB A deformação total deve ser igual a 425 mm assim δTotal δg δl 000425 m 125 109 E 195 109 E RB 000425 m RB 1154 kN Cálculo da reação em A Para calcular a reação em A vamos considerar o Diagrama de Corpo livre e aplicar as equações de equilíbrio resulta Σ Fy 0 RA 300 kN 600 kN RB 0 RA 785 kN