Limite e Derivada de Primeira Ordem

Lista de Exercícios Questão 1 Encontre os limites abaixo a lim x x x2 1 b lim x ³xx23 c lim x 12x13x d lim x x2x1x Questão 2 Prove que a equação x3 11x4 admite ao menos uma raiz real Questão 3 Seja gx x1 se x1 x3 se x 1 a Esboce o gráfico de g b g é derivável em p1 Por quê Questão 4 Seja fx x3 3x Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 Questão 5 Calcule a derivada de 1ª ordem das seguintes funções a x 1x32 b cos xx21 Bruna Viana Santos 01 a lim x x x2 1 x x21 x x21x x21 x2 x2 1x x21 1x x21 Logo lim x x x21 lim x 1x x21 0 b lim x ³xx23 ³lim x xx23 Dividindo em cima e embaixo por x2 ³lim x 1x1 3x2 0 lim x 1x1 3x2 lim x 1x1 0 c lim x 1 2x1 3x Aplicando regra de lHôpital lim x 1 2x1 3x lim x 2x3x lim x 23x 0 d lim x x2x1x lim x elnx2x1x lim x ex lnx2x1 Então lim x x lnx2x1 lim x lnx2x1 1x Aplicando regra de lHôpital lim x 1x2x11x2 lim x x2 x2 3x 2 Derivando por partes lim x 1x 3x 2x2 1 Logo elim x x lnx2x1 e1 2 Como x3 e 11x4 são funções conhecidamente contínuas x3 11x4 também é Pelo Bolzano garante que se fafb 0 para ab R existe pelo menos uma raiz real entre a e b logo fa f1 1 12 32 fb f1 1 12 12 Logo fafb 0 Então existe pelo menos uma raiz real entre a e b gx x1 x 1 x3 x 1 a graph with g1 2 b Para que seja derivável em p precisa lim hp gxh gx h lim hp gxh gx h gp I II III I lim h1 gxh gx h lim h1 xh x h 1 II lim h1 gxh gx h lim h1 x h 3 x 3 h 1 III g1 2 Logo não é derivável em x 1 4 fx x3 3x I f0 0 II fx y x3 3x dydx ddx x3 3x mx 3x2 3 m0 3 Logo y y0 mx x0 y 3x 5 y x 3x3 2 dydx 12x 3x3 22 3x2 12x 9x2x3 22 b y cosxx2 1 dydx ddx cosxx2 1 cosxddx x2 1 x2 12 dydx sinxx2 sinx 2x cosx x4 2x2 1