Corpo Rigido-Movimento de Rotacao em Torno de um Eixo Fixo

1 223 Corpo Rígido em Movimento de Rotação em Torno de um Eixo Fixo 𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 Duas situações sobre O Centro de Rotação G Centro de Massa G O G O 𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝐹𝑦 𝑚𝑎𝐺𝑦 𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 Aqui serão usadas Coordenadas xy Aqui serão usadas Coordenadas nt 2 223 Corpo Rígido em Movimento de Rotação em Torno de um Eixo Fixo Cont Consideremos um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao plano do slide e passa por um pino ou pivô em O Como o centro de massa G se move numa trajetória circular a aceleração deste ponto é expressa pelos suas componentes normal e tangencial As equações do movimento são Usamse coordenadas nt geralmente quando GO Quando GO geralmente usamse coordenadas xy 𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 3 𝑎𝐺𝑛 𝑣𝐺 2 𝑟𝐺 𝜔𝑟𝐺2 𝑟𝐺 𝜔2𝑟𝐺 𝑎𝐺𝑡 ሶ𝑣𝐺 𝛼𝑟𝐺 𝑣𝐺 𝜔𝑟𝐺 𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝐹𝑛 𝑚𝜔2𝑟𝐺 𝐹𝑡 𝑚𝛼𝑟𝐺 𝐹𝑛 𝑚𝜔2𝑟𝐺 𝐹𝑡 𝑚𝛼𝑟𝐺 𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 4 A equação do momento pode ser substituída por um somatório dos momentos em torno de um ponto arbitrário P tomado no corpo ou fora dele e igualando ao momentos das ações resultantes Geralmente usase o ponto P como sendo o ponto O o centro de rotação eliminandose convenientemente a força desconhecida Fo Do diagrama dinâmico isto implica MO MefO G G t G O J r m a M Obs Nos problemas de rotação adotase o sentido da rotação como sendo o sentido positivo para os momentos 5 Então as equações do movimento podem ser reescrita como Teorema dos eixos paralelos Usamse coordenadas nt geralmente quando GO Quando GO geralmente usamse coordenadas xy Ao se usar coordenadas nt lembrar que a origem do sistema está em G Σ𝑀𝑂 𝑟𝐺𝑚𝑎𝐺𝑡𝐽𝐺𝛼 Σ𝑀𝑂 𝑟𝐺𝑚𝛼𝑟𝐺 𝐽𝐺𝛼 Σ𝑀𝑂 𝐽𝐺 𝑚𝑟𝐺 2 𝛼 Σ𝑀𝑂 𝐽𝑂 𝛼 𝑎𝐺𝑛 𝑣𝐺 2 𝑟𝐺 𝜔𝑟𝐺2 𝑟𝐺 𝜔2𝑟𝐺 𝑎𝐺𝑡 ሶ𝑣𝐺 𝛼𝑟𝐺 𝑣𝐺 𝜔𝑟𝐺 Σ𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝑚𝜔2𝑟𝐺 Σ𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 𝑚𝛼𝑟𝐺 Σ𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 Σ𝑀𝑂 𝐽𝑂𝛼 6 Exercício 27 No instante mostrado na figura abaixo a barra fina de 20 kg na qual é aplicado um torque de 60 Nm tem uma velocidade angular 5 rads Determine a aceleração angular da barra e as componentes horizontal e vertical da reação no pino neste instante 7 Diagrama de Corpo Livre Sistema de Coordenadas n t Equações do Movimento Σ𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝑚𝜔2𝑟𝐺 𝑂𝑛 205215 𝑂𝑛 750 N Σ𝐹𝑡 𝑚𝑎𝐺𝑡 𝑚𝛼𝑟𝐺 𝑂𝑡 20 981 20𝛼15 Σ𝑀𝐺 𝐽𝐺𝛼 Σ𝑀𝑂 𝐽𝑂𝛼 𝑂𝑡15 60 15𝛼 𝐽𝐺 1 12 𝑚𝐿2 𝐽𝐺 1 12 2032 15 kgm2 𝑂𝑡 195 N 𝛼 5905 rads2 Obs Essa equação também poderia ser usada 2 equações 2 incógnitas 8 Diagrama Dinâmico Diagrama de Corpo Livre 9 Exercício 28 Um rolo de folha de alumínio de 20 kg tem um raio de giração de 90 mm em torno do eixo que passa pelo ponto A O rolo é suportado em suas extremidades por duas barras AB Se uma força vertical de 30 N é aplicada na extremidade da folha determine a aceleração angular do rolo quando o papel se desenrola Considere o coeficiente de atrito cinético entre a parede e o papel igual a 02 A 10 Solução Sistema de Coordenadas Como A O G então x y Diagrama de Corpo Livre θ F30 N P20981 N TAB NC Fat 02NC A Equações do Movimento Σ𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 Σ𝐹𝑦 𝑚𝑎𝐺𝑦 Σ𝑀𝐴 𝐽𝐴𝛼 𝑁𝐶 𝑇𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠6738 0 𝑡𝑔𝜃 300 125 𝜃 6738o 𝑇𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛6738 02𝑁𝐶 20 981 30 0 02𝑁𝐶 0125 30 0125 200092𝛼 𝑇𝐴𝐵 267313 N 𝑁𝐶 102813 N 𝛼 7282 rads2 11 Exerc 29 O sistema da Figura ao lado possui uma polia de raio rP08 m e massa mP8 kg Também possui um cabo de massa desprezível que passa pela polia e mantém ligados dois corpos A de massa mA4 kg e B de massa mB2 kg Sabendose que o cabo não escorrega na polia determine a a aceleração do corpo A b considerando que o sistema partiu do repouso qual a velocidade angular da polia após 24 segundos de movimento Resp a aA196 ms2 para baixo b 588 rads sentido antihorário 12 Solução rP08 m e massa mP8 kg mA4 kg mB2 kg Qual a aceleração do corpo A Qual a velocidade angular da polia após 24 s x y 1 Diagramas de Corpo Livre e Sistemas de Coordenadas Pp8981 TA TB N TA PA4981 PB2981 TB 2 Equações do Movimento Σ𝐹𝑦 𝑚𝐴𝑎𝐴 Bloco A 4 981 𝑇𝐴 4𝑎𝐴 Bloco B Σ𝐹𝑦 𝑚𝐵𝑎𝐵 𝑇𝐵 2981 2𝑎𝐵 Polia Σ𝑀𝑂 𝐽𝑂𝛼 𝑇𝐴𝑟𝑃 𝑇𝐵𝑟𝑃 Τ 1 2𝑚𝑃𝑟𝑃 2 𝛼𝑃 𝑇𝐴08 𝑇𝐵08 128082 𝛼𝑃 x y 13 4981 𝑇𝐴 4𝑎𝐴 𝑇𝐵 2981 2𝑎𝐵 𝑇𝐴08 𝑇𝐵08 256 𝛼𝑃 3 Análise Cinemática 3 Equações 5 Incógnitas P 𝑣𝐵 𝜔𝑃𝑟𝑃 vB 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝛼𝑃𝑟𝑃 4981 𝑇𝐴 4𝛼𝑃08 𝑇𝐵 2981 2𝛼𝑃08 𝑇𝐴08 𝑇𝐵08 256𝛼𝑃 Retornando à análise dinâmica 3 Equações 3 Incógnitas 𝑎𝐵 1962 ms2 𝑎𝐴 1962 ms2 Retornando à análise cinemática 𝜔 𝜔0 𝛼𝑡 𝜔 0 2452524 𝜔 588 rads vA 𝑣𝐴 𝜔𝑃𝑟𝑃 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝛼𝑃08 𝛼𝑃 24525 rads2 14 Exerc 210 A massa da engrenagem A é de 20 kg e seu raio de giração centroidal é 150 mm A massa da engrenagem B é de 10 kg e o seu raio de giração centroidal é 100 mm Calcule a aceleração angular da engrenagem B quando um torque de 12 Nm é aplicado ao eixo da engrenagem A Despreze o atrito Resp Força tangencial nas engrenagens 1416 N A1912 rads2 B255 rads2 15 Solução N N F F RAx RAy RBx RBy M x y x y 1 Diagramas de Corpo Livre e Sistemas de Coordenadas 2 Equações do Movimento Engrenagem A Σ𝑀𝐴 𝐽𝐴𝛼𝐴 Engrenagem B Σ𝑀𝐵 𝐽𝐵𝛼𝐵 A B 𝑀 𝐹𝑟𝐴 𝑚𝐴𝑘𝐴 2𝛼𝐴 12 𝐹024 200152𝛼𝐴 𝐹𝑟𝐵 𝑚𝐵𝑘𝐵 2𝛼𝐵 𝐹018 100102𝛼𝐵 P P WA WB 16 12 𝐹024 200152𝛼𝐴 𝐹018 100102𝛼𝐵 2 Equações 3 Incógnitas 3 Análise Cinemática A A P vP B P B vP 𝑣𝑃 𝜔𝐵𝑟𝐵 𝑎𝑃 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝑣𝑃 𝜔𝐴𝑟𝐴 𝑎𝑃 𝛼𝐵𝑟𝐵 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝛼𝐵𝑟𝐵 𝛼𝐴024 𝛼𝐵018 𝛼𝐴 018 024 𝛼𝐵 𝛼𝐴 075 𝛼𝐵 12 𝐹024 200152075 𝛼𝐵 𝐹018 100102𝛼𝐵 𝛼𝐵 255 rads2 𝐹 1416 N