Lista Calc3 Resolvida-2022 2

1. Considere a. seguinte equação y" - 5y' + 6y = g(t) (10) (a) Determine a solução geral de (10) para o caso homogêneo. (b) Determine a soluçã,o de (10) para as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 e gere o gráfico correspondente. (e) Deten11ine a solução geral de (10) para g(t) = 3et. (d) Determine a solução de (10) para g(t) = 3et para as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 e gere o gráfico correspondente. 2. Resolva a equação diferencial (1 - x)y" + y = O, xo = O mediante uma série de potências e1n torno do ponto indicado x 0 . Questão 1 A) Temos a equação: 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0 Adotando uma solução na forma 𝑦 = 𝑒𝑚𝑡, temos: 𝑦′ = 𝑚𝑒𝑚𝑡 𝑦′′ = 𝑚2𝑒𝑚𝑡 Substituindo na equação, chegamos a: 𝑚2 − 5𝑚 + 6 = 0 (𝑚 − 2)(𝑚 − 3) = 0 𝑚1 = 2 𝑚2 = 3 Assim, temos a seguinte solução geral: 𝒚 = 𝑨𝒆𝟐𝒕 + 𝑩𝒆𝟑𝒕 B) Temos: 𝑦(0) = 𝐴𝑒0 + 𝐵𝑒0 = 𝐴 + 𝐵 = 1 𝑦′(0) = 2𝐴𝑒0 + 3𝐵𝑒0 = 2𝐴 + 3𝐵 = 2 Assim, temos: 2𝐴 + 2𝐵 = 2 2𝐴 + 3𝐵 = 2 𝐵 = 0 𝐴 = 1 Assim, a solução é dada por: 𝒚 = 𝒆𝟐𝒕 Gráfico: C) Temos a equação: 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 3𝑒𝑡 Aqui, sabemos que 𝑦ℎ = 𝐴𝑒2𝑡 + 𝐵𝑒3𝑡 é uma solução homogênea do problema Para determinar uma solução particular, fazemos 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒𝑡 Assim, temos: 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 3𝑒𝑡 𝐴𝑒𝑡 − 5𝐴𝑒𝑡 + 6𝐴𝑒𝑡 = 3𝑒𝑡 𝐴 − 5𝐴 + 6𝐴 = 3 2𝐴 = 3 𝐴 = 3 2 Assim, a solução geral fica: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝒚 = 𝑨𝒆𝟐𝒕 + 𝑩𝒆𝟑𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒆𝒕 D) Temos: 𝑦(0) = 𝐴𝑒0 + 𝐵𝑒0 + 3 2 𝑒0 = 𝐴 + 𝐵 + 3 2 = 1 𝑦′(0) = 2𝐴𝑒0 + 3𝐵𝑒0 + 3 2 𝑒0 = 2𝐴 + 3𝐵 + 3 2 = 2 Assim, temos: 2𝐴 + 2𝐵 + 3 = 2 2𝐴 + 3𝐵 + 3 2 = 2 Subtraindo as equações, ficamos com: 𝐵 + 3 2 − 3 = 0 𝐵 = 3 2 Assim, temos: 2𝐴 + 2𝐵 + 3 = 2 2𝐴 + 2 3 2 + 3 = 2 2𝐴 + 6 = 2 𝐴 = −2 Logo, a solução é: 𝑦 = 𝐴𝑒2𝑡 + 𝐵𝑒3𝑡 + 3 2 𝑒𝑡 𝒚 = −𝟐𝒆𝟐𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒆𝟑𝒕 + 𝟑 𝟐 𝒆𝒕 Gráfico: Questão 2 Assumindo uma solução em séries de potências, temos: 𝑦 = ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 𝑦′ = ∑ 𝑐𝑛𝑛𝑥𝑛−1 ∞ 𝑛=1 𝑦′′ = ∑ 𝑐𝑛𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2 ∞ 𝑛=2 Substituindo na equação, temos: (1 − 𝑥)𝑦′′ + 𝑦 = 0 𝑦′′ − 𝑥𝑦′′ + 𝑦 = 0 ∑ 𝑐𝑛𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2 ∞ 𝑛=2 − 𝑥 ∑ 𝑐𝑛𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2 ∞ 𝑛=2 + ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 = 0 ∑ 𝑐𝑛𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2 ∞ 𝑛=2 − ∑ 𝑐𝑛𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 ∞ 𝑛=2 + ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 = 0 ∑ 𝑐𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 − ∑ 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 + ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 = 0 𝑐0+2(0 + 2)(0 + 1)𝑥0 + ∑ 𝑐𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 − ∑ 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 + 𝑐0𝑥0 + ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 = 0 2𝑐2 + ∑ 𝑐𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 + ∑[−𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛]𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 + 𝑐0 + ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 = 0 𝑐0 + 2𝑐2 + ∑[𝑐𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛 + 𝑐𝑛]𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 = 0 Igualando coeficientes, temos: 𝑐0 + 2𝑐2 = 0 𝑐𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛 + 𝑐𝑛 = 0 Assim, temos: 𝑐0 = 𝑐0 𝑐1 = 𝑐1 𝑐2 = − 1 2 𝑐0 𝑐𝑛+2 = 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛 − 𝑐𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) Assim, temos: 𝑐3 = 𝑐1+1(1 + 1) − 𝑐1 (1 + 2)(1 + 1) = 2𝑐2 − 𝑐1 3 ∗ 2 = 2 (−1 2 𝑐0) − 𝑐1 3! = −𝑐0 − 𝑐1 3! 𝑐4 = 𝑐2+1(2 + 1)2 − 𝑐2 (2 + 2)(2 + 1) = 𝑐33 ∗ 2 − 𝑐2 4 ∗ 3 = −𝑐0 − 𝑐1 3! 3 ∗ 2 + 1 2 𝑐0 4 ∗ 3 = −𝑐0 − 𝑐1 + 1 2 𝑐0 4 ∗ 3 = −𝑐1 − 1 2 𝑐0 4 ∗ 3 E assim por diante... Assim, a solução é dada por: Logo, temos: 𝑦 = ∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 = 𝑐𝑛+1(𝑛 + 1)𝑛 − 𝑐𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)