Resumo - Edo 1 e 2 Ordem - 2024-1

Resumo de Cálculo 3 Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem (E.D.O) Uma E.D.O é linear quando os termos constantes dependem ou não dependem da variável relacional e os termos diferenciais não possuem grau. 𝐴 𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝐵 𝑑 𝑛−1𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 +... + 𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Se essa E.D.O for igual a 0, dizemos que ela é homogênea. Caso contrário, ela será chamada de não homogênea. Para resolver E.D.O temos algumas maneiras. Sendo estas: ● Separação de variáveis: A E.D.O deve ser do tipo: 𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦) 𝑔(𝑥) 𝑜𝑢 𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑜𝑢 𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦)𝑧(𝑥)... 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)... ● Substituição e operações: Esta maneira depende da observação da equação. ● Equação exata: Caso sua E.D.O for uma E.D.O exata, existe uma função que resulta em uma φ(𝑥, 𝑦) constante, tal que suas derivadas parciais são equivalentes aos termos P(x,y) e Q(x,y). Sendo que sua E.D.O possa ser escrita assim: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Para verificar a exatidão da equação, deve-se verificar se as derivadas parciais de P(x,y) e Q(x,y) são iguais. Para isso, usamos as seguintes formas: ∂𝑃(𝑥,𝑦) ∂𝑦 = ∂𝑄(𝑥,𝑦) ∂𝑥 Portanto, a solução é: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∂φ(𝑥,𝑦) ∂𝑥 𝑑𝑥 + ∂φ(𝑥,𝑦) ∂𝑦 𝑑𝑦 Para se encontrar a solução deste tipo de equação, deve-se prosseguir da seguinte forma: φ(𝑥, 𝑦) = ∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑜𝑢 φ(𝑥, 𝑦) = ∫𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 O resultado da integral deve ser derivado em função da variável relacional que ainda não foi integrada e comparar com seu respectivo termo de equivalência para se encontrar a constante em termos da variável relacional derivada. Sendo assim: 𝐶(𝑥) = ∫𝐶'(𝑥)𝑑𝑥 𝑜𝑢 𝐶(𝑦) = ∫𝐶'(𝑦)𝑑𝑦 Entretanto, existem equações que não são exatas. Para isso, precisa-se de um fator integrante Ⅰ(x,y). Há cinco modos de se encontrar o Ⅰ(x,y). Logo: ❖ Maneira 1: Ⅰ(x,y) = Ⅰ(x); Ⅰ(𝑥) = 𝑒 −∫ 1 𝑄(𝑥,𝑦) ( ∂𝑃(𝑥,𝑦) ∂𝑦 − ∂𝑄(𝑥,𝑦) ∂𝑥 ) ❖ Maneira 2: Ⅰ(x,y) = Ⅰ(y); Ⅰ(𝑥) = 𝑒 −∫ 1 𝑃(𝑥,𝑦) ( ∂𝑃(𝑥,𝑦) ∂𝑦 − ∂𝑄(𝑥,𝑦) ∂𝑥 ) ❖ Maneira 3: Função homogênea; Dado P(x,y) e Q(x,y) tal que P(λx,λy) = λP(x,y) e Q(λx,λy) = λQ(x,y), o fator integrante Ⅰ(x,y) é dado por: Ⅰ(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥𝑃(𝑥,𝑦)+𝑦𝑄(𝑥,𝑦) Obs: soma dos graus pares ❖ Maneira 4: Função em termos de xy; Dado a E.D.O: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Podendo ser escrita como: 𝑦𝐹(𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝐺(𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 O fator integrante pode ser definido por: Ⅰ(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥𝑃(𝑥,𝑦)−𝑦𝑄(𝑥,𝑦) Obs: Olhar se possui term xy em ambos termos P(x,y) e Q(x,y) ❖ Maneira 5: Função com x e y com grau igual; 𝑦(𝐴𝑥 𝑛𝑦 𝑚 + 𝐵𝑥 𝑟𝑦 𝑠)𝑑𝑥 + 𝑥(𝐶𝑥 𝑛𝑦 𝑚 + 𝐷𝑥 𝑟𝑦 𝑠)𝑑𝑦 = 0 O fator integrante pode ser definido por: Ⅰ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 α𝑦 β Obs: grau igual e não são dependentes de suas constantes ● E.D.O estilo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) Para este estilo, precisa-se achar um fator integrante. Este fator integrante é dado por: , sendo Ⅰ(𝑥, 𝑦) = 𝑒 α α = ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 Portanto, a solução é dada por: 𝑦(𝑥) = 𝑒 −α∫𝑒 α𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶𝑒 −α Teorema da existência e unicidade Equação Diferencial Ordinária de 2ª ordem Equação Diferencial Ordinária Lineares de Grau N com coeficiente constantes caso Homogêneo ❖ A solução de uma equação do tipo: 𝑦 (𝑛)'(𝑥) + 𝑎1𝑦 (𝑛−1)'(𝑥) + 𝑎2𝑦 (𝑛−2)'(𝑥) +... + 𝑎(𝑛−1)𝑦(𝑥) = 0 forma uma base em , logo as soluções são linearmente 𝑅 𝑛 𝑦1, 𝑦2, ..., 𝑦𝑛 independentes. ➢ Logo, a combinação linear de são soluções da equação: 𝑦1, 𝑦2, ..., 𝑦𝑛 também é solução. 𝑦(𝑥) = 𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2 +... + 𝐴𝑛𝑦𝑛 ❖ Para uma equação do tipo , sendo e 𝑑 2𝑦(𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝐵 𝑑𝑦(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶𝑦(𝑥) = 0 𝐵 = 𝑏 𝑎 e ‘a’ o termo que acompanha 𝐶 = 𝑐 𝑎 𝑑 2𝑦(𝑥) 𝑑𝑥 2 Passo 1 - Achar a equação característica 𝑦(𝑥) = 𝑒 λ𝑥 𝑑²(𝑒 λ𝑥) 𝑑𝑥² + 𝐵 𝑑(𝑒 λ𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶𝑒 λ𝑥 = 0 λ² + 𝐵λ + 𝐶 = 0 Passo 2 - Achar o λ −𝐵± 𝐵²−4𝑎𝐶 2𝑎 = λ1,2 Passo 3 - Após achar os valores de , aplicar na solução proposta e encontrar λ sua base vetorial. , 𝑦1(𝑥) = 𝑒 λ1𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑒 λ2𝑥 𝐵𝑎𝑠𝑒 {𝑒 λ1𝑥 , 𝑒 λ2𝑥 } Existem 3 casos possíveis de resolução de acordo com os valores de .λ ❖ , sendo as raízes Reais e diferentes. ( 1 ≠ 2) 𝑦(𝑥) = 𝐴𝑒 λ𝑥 + 𝐵 𝑒 λ𝑥 λ λ ❖ , sendo as raízes reais e iguais ( 1 = 2) 𝑦(𝑥) = 𝑒 λ𝑥(𝐴 + 𝐵 𝑥) λ λ ❖ , sendo as raízes complexas. 𝑦(𝑥) = 𝑒 α𝑥[𝐴. 𝑐𝑜𝑠 β𝑥 + 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛 β𝑥] Sendo , , e . λ1,2 = α ± β𝑖 α = −𝐵 2𝑎 β = ± 𝐵²−4𝑎𝐶 2𝑎 𝐵2 ≠ 𝐵 Equação Diferencial Ordinária Lineares de Grau N com coeficiente constantes e não homogênea dada a E.D.O: 𝑦 (𝑛)'(𝑥) + 𝑎1𝑦 (𝑛−1)'(𝑥) + 𝑎2𝑦 (𝑛−2)'(𝑥) +... + 𝑎(𝑛−1)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) Utiliza-se esse método dos Coeficientes a Determinar para senos, cosenos, euleriano e polinómios Solução geral: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 , 𝑦ℎ = 𝑦ℎ1 +... + 𝑦ℎ𝑛 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 +... + 𝑦𝑝𝑛 Passo 1: Achar a equação Homogênea. Utilizar a Eq. Característica. Passo 2: Achar a equação Particular que se encaixa. Utilizar o método dos coef. a determinar (método dos cerf. Independentes) 1. Caso 1: 𝑞(𝑥) = 𝑃𝑚(𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑥 𝑘(𝐴𝑚𝑥 𝑚 +... + 𝐴0𝑥 0) na qual é dado de acordo com a multiplicidade de . 𝑘 λ = 0 2. Caso 2: 𝑞(𝑥) = 𝑃𝑚(𝑥)𝑒 α𝑥 𝑦𝑝 = 𝑥 𝑘𝑒 α𝑥(𝐴(𝑚)𝑥 𝑚 + 𝐴(𝑚−1)𝑥 (𝑚−1) +... + 𝐴0𝑥 0) onde é dado de acordo com a multiplicidade de . 𝑘 λ = α 3. Caso 3: 𝑞(𝑥) = 𝑃𝑚(𝑥)𝑒 α𝑥{𝑐𝑜𝑠β𝑥, 𝑠𝑒𝑛β𝑥} 𝑦𝑝 = 𝑒 α𝑥𝑥 𝑘(𝑃𝑚 1 (𝑥)𝑐𝑜𝑠β𝑥 + 𝑃𝑚 2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛β𝑥) sendo polinômios diferentes e a multiplicidade de 𝑃𝑚 1 (𝑥), 𝑃𝑚 2 (𝑥) 𝑘 . λ = α ± β𝑖 Passo 3: Derivar a equação em função da sua E.D.O Passo 4: Montar o sistema e achar incógnitas Caso sua E.D.O seja um combinação de casos, pode-se realizar as soluções de forma separada. Método da variação dos Parâmetros (Wronskiano) Utiliza-se esse método para um escopo de funções diferentes de senos, cosenos, euleriano e polinómios Solução Geral: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 Passo 1: Achar a equação Homogênea. Passo 2: Achar a BASE para Equação Particular Passo 3: Montar o Wronskiano W = |𝑦1 𝑦2 ... 𝑦 𝑛| |𝑦1' 𝑦2' ... 𝑦𝑛'| |... | |𝑦1 (𝑛−1)' 𝑦2 (𝑛−1)'... 𝑦𝑛 (𝑛−1)'| O tamanho do Wronskiano depende do tamanho da E.D.O. Caso o Wronskiano for igual a 0, dizemos que a base é L.D. Caso contrário, dizemos que a base é L.I. Passo 4: Achar a solução particular Para achar uma solução particular, precisa-se montar o Wronskiano com os valores da base e encontrar seu determinante. Dado que a solução particular seja: 𝑦𝑝 = 𝑢1(𝑥)𝑦ℎ1(𝑥) +... + 𝑢𝑛(𝑥)𝑦ℎ𝑛(𝑥) Da mesma forma, a o Wronskiano 1 deve ser feito por substituição, trocando a primeira coluna pelos valores , sendo o o valor da última linha. [0, 0, 0, ..., 𝑞(𝑥)] 𝑞(𝑥) Calcular seu determinante, dividir pelo determinante de Wronskiano e integrar seu valor para achar . 𝑢1(𝑥) Repetir o mesmo processo para Wronskiano N. Logo, a solução será dada por: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑢1(𝑥)𝑦ℎ1 +... + 𝑢2(𝑥)𝑦ℎ𝑛 E.D.O.L com coef. variáveis Dada a E.D.O: 𝑦'' + 𝑃(𝑥)𝑦' + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 , 𝑃(𝑥) = 𝑏(𝑥) 𝑎(𝑥) 𝑄(𝑥) = 𝑐(𝑥) 𝑎(𝑥) e dada a não homogênea: 𝑦'' + 𝑃(𝑥)𝑦' + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 𝐹(𝑥) = 𝑞(𝑥) 𝑎(𝑥) Não há método de resolução. Entretanto, dada a solução da E.D.O homogênea, aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular. Redução de Ordem Dado uma solução de uma E.D.O com coef. variável, o método de redução de ordem encontra uma segunda solução. E.D.O: 𝑦'' + 𝑃(𝑥)𝑦' + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 sendo solução: 𝑦ℎ1 = 𝑦1 Temos que: 𝑦ℎ2 = 𝑢1(𝑥)𝑦1 Substituir na E.D.O: 𝑦ℎ2' = 𝑢1'𝑦1 + 𝑢1𝑦1' 𝑦ℎ2'' = 𝑢1''𝑦1 + 𝑢1'𝑦1'+ 𝑢1'𝑦1' + 𝑢1𝑦1'' 𝑦ℎ2'' = 𝑢1''𝑦1 + 2𝑢1'𝑦1' + 𝑢1𝑦1'' (𝑢1''𝑦1 + 2𝑢1'𝑦1' + 𝑢1𝑦1'') + 𝑃(𝑥) (𝑢1'𝑦1 + 𝑢1𝑦1') + 𝑄(𝑥) (𝑢1𝑦1) = 0 𝑢1''𝑦1 + 𝑢1'[2𝑦1' + 𝑃(𝑥)𝑦1] + 𝑢1[𝑦1'' + 𝑄(𝑥)𝑦1 + 𝑃(𝑥)𝑦1'] = 0 𝑢1''𝑦1 + 𝑢1'[2𝑦1' + 𝑃(𝑥)𝑦1] = 0 𝑢1'' + 𝑢1' [2𝑦1'+𝑃(𝑥)𝑦1] 𝑦1 = 0 𝑤 = 𝑢1' 𝑤' + 𝑤 [2𝑦1'+𝑃(𝑥)𝑦1] 𝑦1 = 0 𝑢1 = ∫𝑤 Logo, a segunda solução é: 𝑦ℎ2 = (∫𝑤)𝑦1 Séries Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita. Uma sequência é definida como {an} = {a1, a2, a3, ……, já a série é o somatório = a1 + a2+ a3+....... + an…… Σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 Podemos definir uma série como uma sequência, na qual {a1, a2, a3, ……, an} é uma sequência, de modo que ao definirmos uma função que F(n) = an an = (-1)n obtemos: {1,-1,1,-1,1,....}. Para sabermos quando uma sequência diverge ou converge para um número: ➔ Teorema 1: Lim an = L n→ +∞ De modo que quando o Limite existe a série converge, caso contrário diverge. Exemplo: Lim → Aplica L'Hospital → Lim = 0 → Converge 𝑙𝑛(𝑥) 𝑥 1/𝑥 1 n→ +∞ x→ +∞ ➔ Teorema 2: Confronto , se an ≤ bn ≤ cn para todo n. Lim an = Lim cn = L n→+∞ n→+∞ Logo: Lim bn = L n→+∞ Exemplo: Lim( ) , sendo: -1 ≤ sen(x) ≤ 1 𝑠𝑒𝑛(𝑛) 𝑛 2 n→+∞ ≤ ) ≤ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞( −1 𝑛 2 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ ( 𝑠𝑒𝑛(𝑛) 𝑛 2 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞( 1 𝑛 2 ) ) = 0 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ ( 𝑠𝑒𝑛(𝑛) 𝑛 2 Tipos de séries ● Série Telescópica = + → A (n+1) +B (n) =1 →(A+B)n +A =1 →(A+B) =0 A=1 e B= -1 Σ𝑛=1 ∞ = 1 𝑛(𝑛+1) 𝐴 𝑛 𝐵 (𝑛+1) Logo, - → Sn = , aplicando limite Σ𝑛=1 𝑛 1 𝑛 1 (𝑛+1) 1 − 1 (𝑛+1) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ 𝑆𝑛 = 1, Convergente 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ 1 − 1 (𝑛+1) Obs: Caso fosse achado um termo oscilatório ou +- seria Divergente ∞ ● Série Geométrica: a. r = Σ𝑛=0 ∞ 𝑟 𝑛 𝑎2 𝑎1 Convergente: se r < 1 → S= | | 𝑎1 1−𝑟 Diverge: se r ≥ 1 | | Exemplo: (-1)n = (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 , oscilação entre -1, 1, -1, 1 ….. Σ𝑛=1 r =-1 Divergente | | ● Série P-Harmônica: Σ𝑛=1 ∞ 1 𝑛 𝑝 A série Convergente: se p > 1 A série Diverge: se p ≤ 1 Obs: Se p=1 a série é HARMÔNICA ● Série Absolutamente Convergente Quando se tirar o módulo da série ele convergir, logo a série vai ser absolutamente convergente. Exemplo: , sendo o cosseno variando de 0 ≤ cos k ≤1, converge visto que Σ𝑘=1 ∞ 𝑐𝑜𝑠(𝑘) 𝑘 2 → Converge, visto que p >1 1 𝑘 2 ● Série Alternada: Para uma série alternada do tipo, Σ𝑘=0 ∞ (− 1) 𝑘 A série será convergente se for decrescente E se o limite for igual a 0 Testagem de Convergência e Divergência 1. Teste de Divergência an Σ se, an ≠ 0 (Divergente) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ se, an = 0 (Nada Podemos Afirmar) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→ + ∞ Ex: ( , aplicando o Limite, temos Lim aplicando L´Hospital: Σ 4𝑛 5𝑛−2 ) 𝑛→ + ∞ ( 4𝑛 5𝑛−2 ) , Lim ( (Divergente) 4 5 ) ≠ 0 2. Teste da Integral an , sendo f(n) uma função contínua Σ f (n) dn = L , Convergente ∫ 1 +∞ f (n) dn = , Divergente ∫ 1 +∞ ∞ **Obs: Quando enxergar uma forma fácil de integrar Exemplo: Σ 𝑛. 𝑒 −𝑛 2 f (n) = n. , aplicando a integral n. dn 𝑒 −𝑛 2 ∫ 1 +∞ 𝑒 −𝑛 2 resolvemos fazendo uma substituição, após isso, temos se, n. dn , logo temos de 1 até t , logo - ] = 𝑙𝑖𝑚∫ 1 𝑡 𝑒 −𝑛 2 1 2 𝑙𝑖𝑚 𝑒 −𝑛 2 1 2 𝑙𝑖𝑚 [ 1 𝑒 𝑛 2 1 𝑒 1 2𝑒 𝑡→ + ∞ Converge 3. Teste da Razão Seja an Σ 𝑙𝑖𝑚 | 𝑎𝑛 +1 𝑎𝑛 | 𝑛→ + ∞ Converge se L < 1 Diverge se L >1 (N.P.A) se L =1 **Obs: Normalmente usamos esse teste quando tiver a função ou fatorial n! 𝑎 𝑛 Exemplo: ; ; Σ 1 𝑛! Σ 𝑛 2 𝑛 Σ 3 𝑛 𝑛 2 ; Σ 1 𝑛 2 4. Teste da raiz Seja {an} uma sequência e suponha que exista um limite 𝑙𝑖𝑚 ᴺ√|𝑎𝑛| = L 𝑛→ + ∞ ● Se L< 1 , então Converge Σ 𝑎𝑛 ● Se L > 1 , então Diverge Σ 𝑎𝑛 ● Se L = 1 (N.P.A) Exemplo: 5. Teste da Comparação Seja an e bn , se an>0 e bn>0 , sendo o Lim , ambos convergem ou Σ Σ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 > 0 ambos divergem Se an ⩾ bn → Converge Se an ⩽ bn → Diverge Exemplo: ; Σ 1 1+3 𝑛 Σ 1 𝑛 2+2 Obs: Sempre comparar com uma sequência conhecida seja ela geométrica ou harmônica Série de Potência = 0 + + + + …..+ +.... Σ𝑛=0 ∞ 𝑛 𝑛+1 . 𝑥 𝑛 𝑥 2 2𝑥 2 3 3𝑥 3 4 𝑛 𝑛+1 . 𝑥 𝑛 Logo: (Soma da série Geométrica) 1 1−𝑥 Σ𝑛=0 ∞ . 𝑥 𝑛 f(x)= Σ𝑛=0 ∞ . 𝐶𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛 Raio de Convergência (Domínio da Série) 𝑙𝑖𝑚 | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | 𝑛→ + ∞ Série de Taylor Representar uma função como série de potência f(x)= Σ𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛(𝑎) 𝑛 𝑛! . (𝑥 − 𝑎) 𝑛 𝐶𝑛 = 𝑓 𝑛(𝑎) 𝑛 𝑛! Exemplo: Σ𝑛=0 ∞ 𝑛+1 2 𝑛 3 . (𝑥 − 2) 𝑛 Achar a décima sétima (17) derivada de (2) → a = 2 𝐶𝑛 = 𝑛+1 2 𝑛 3 → = → = → 𝑓 𝑛(𝑎) 𝑛 𝑛! 𝑛+1 2 𝑛 3 𝑓 𝑛(𝑎) 𝑛 𝑛! (𝑛+1) 2 𝑛 3 = 𝑓 17(2) 17! (17+1) 2 17 3 Série de Maclaurin an → an = Σ 𝑓 𝑛(0) 𝑛 𝑛! f(x)= Σ𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛(𝑎) 𝑛 𝑛! . (𝑥) 𝑛 Exemplo : f(x)= +…… 𝑓(0) + 𝑓 ´ (0) 𝑥 1 1! + 𝑓 ´´(0) 𝑥 2 2! + 𝑓 ´´´(0) 𝑥 3 3! Transformada de Laplace 1. Transformada 2. Transformada Inversa 3. Deslocamento 4. Impulso 5. Convolução