Trabalho 3 Dinâmica de Máquinas-2021 1

TMEC083 – DINÂMICA DE MÁQUINAS – 2021/1 – 3º. TRABALHO Fonte: System Dynamics (4th edition), W. J. Palm III, McGraw-Hill, 2021. 1) Contextualização Transportadores pessoais são pequenos veículos projetados para carregar, via de regra, apenas uma pessoa. Eles têm se tornado mais disponíveis pelo advento de sensores de menor preço e sistemas de controle via microprocessador mais poderosos, de modo a lidar com os cálculos complexos requeridos para equilibrar os veículos. Na figura ao lado, ilustra-se uma versão com duas rodas. Os motores do transportador acionam as rodas para equilibrar o veículo com a ajuda de um sistema de controle computadorizado usando sensores de inclinação e giroscópios. Introdução (cont.) O transportador estará equilibrado (ou seja, mantido aproximadamente na vertical) contanto que as rodas permaneçam sob o centro de gravidade. Assim o transportador pode ser equilibrado acionando-se as rodas na direção da inclinação. Isso significa que, para acelerar para frente, a pessoal deve se inclinar para frente, como indicado na figura ao lado (repetida por conveniência). O motor de acionamento aplica um torque ao subsistema rodas e eixo. A força tangencial entre as rodas e o solo é f. Essa força age na direção oposta ao corpo do veículo e propulsiona o transportador para frente (que, na figura, é para a esquerda). A dinâmica de um transportador pessoal é similar a um problema clássico de controle conhecido como pêndulo invertido, como se verá na sequência. 2) Modelagem Dinâmica O transportador pode ser modelado como um carrinho de massa M (que inclui a massa equivalente do subsistema rodas e eixo) e um pêndulo invertido conectado ao carrinho por um pivô no ponto P, como mostrado na figura ao lado. A massa do pêndulo é m e seu centro de massa G está à distância L do ponto P. O momento de inércia de massa do pêndulo em torno de G é IG. Por generalidade, inclui-se um torque T em torno do pivô, que corresponde a um motor no pivô em algumas aplicações. As equações de movimento podem ser encontradas usando os esforços f e T como entradas e as coordenadas x e ϕ como saídas. Modelagem Dinâmica (cont.) Os diagramas de corpo livre do modelo são mostrados na figura abaixo. Analise- se inicialmente o pêndulo. Os componentes horizontal e vertical da posição do centro de massa do pêndulo são x − Lsen φ e Lcosφ, respectivamente. Pela aplicação da 2ª. lei de Newton na direção horizontal, tem-se que ( ) 2 x G x 2 d F m(a ) H m x Lsen dt = → = − φ ∑ (1) onde H é a componente horizontal da força de reação no pivô. Já a equação do momento em torno do pivô P conduz a ( ) 2 P G G/P G G I m T mgLsen I mL mLxcos = + × → + φ = + φ − φ ∑M α r a ɺɺ ɺɺ (2) onde α = φ ɺɺ e 2 IG + mL é o momento de inércia do pêndulo em torno do pivô. Modelagem Dinâmica (cont.) Considere-se agora o carrinho (base). Pela 2ª. lei de Newton na direção horizontal, tem-se que Fx f H Mx = − − = ∑ ɺɺ (3) Como se assume que o carrinho não se move verticalmente e nem gira, não há necessidade de se escrever as equações relativas às forças verticais e aos momentos, a menos que se deseje calcular as forças de reação V, R1 e R2, indicadas na figura acima. Realizando a derivada da Eq. (1), obtém-se ( ) ( ) 2 d H mx mL cos mx mL sen cos dt = − φφ = − − φφ + φφ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (4) Modelagem Dinâmica (cont.) Da Eq. (3), tem-se que H Mx f = − ɺɺ − . Substituindo isso na Eq. (4), decorre que ( ) 2 Mx f mx mL sen cos − − = − − φφ + φφ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (5) Os termos das Eqs. (2) e (5) podem ser rearranjados de modo que dessas equações sejam obtidas, em ordem invertida, as seguintes equações: ( ) ( ) 2 m M x mL cos sen f + − φφ − φφ = − ɺɺ ɺ ɺɺ (6) ( ) 2 IG mL mLxcos mgLsen T + φ − φ − φ = ɺɺ ɺɺ (7) As Eqs. (6) e (7) são as equações de movimento do modelo. Pode-se considerar que, ao invés da força f, tenha-se como entrada o torque total TW aplicado pelo motor ao conjunto rodas e eixo, sendo R o raio das rodas. Decorre, então, que a força f pode ser substituída na Eq. (6) pela força tangencial resultante fT, que, como R.fT = TW, é tal que fT = TW/R. 3) Atividade Simular numericamente, via Compose ou alternativa pertinente, o comportamento dinâmico do modelo do transportador pessoal desenvolvido acima, tendo como entradas os esforços f (ou fT) e T e como saídas as coordenadas x e ϕ. O modelo pode ser adaptado para que se considere um único conjunto de rodas. Informações sobre características dimensionais e inerciais de tipos de transportadores pessoais podem ser levantadas em https://www.segway.com/. Outras fontes também podem ser usadas. 4) Observações a) O trabalho deverá ser enviado em um único arquivo pdf, individualmente, para o endereço prof.eduardo.ufpr@gmail.com, no dia 22/11/21, até às 18:30; b) Trabalho enviado fora do prazo e/ou de forma incompleta, ou ainda não enviado, resultará na atribuição de ausência na disciplina.